Topologc3ada Algebraica Basica

7/22/2019 Topologc3ada Algebraica Basica

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Introduccion

Notacion:

De ahora en adelante:

I= [0, 1]

La notacion f : (X, x0

)(Y, y0

) significa quef(x0

) =y0

El simbolo indica union disjunta

Definicion.

Sean X, Ydos espacios topologicos, sean f, g :XY dos aplicaciones continuas, decimos que f es

homotopa a g si existe una aplicacion continuaF :X IY conF(x, 0) =f(x) yF(x, 1) =g(x),

en ese caso, notamos fg y, a la aplicacion F la llamaremos homotopaentre f y g

Definicion.

Sean X, Y dos espacios topologicos, sean f, g : X Y dos aplicaciones continuasm, y sea X0 un

subespacio deX, para el cual f(x) =g(x) si x X0 decimos que f es homotopa a g relativa a X0

si existe una homotopa F entref yg tal queF(x, t) =f(x) =g(x) para cada x X0 y cada t I, en

ese caso, notamos fX0 g

Definicion.

Diremos que dos espacios X eY tienen el mismo tipo de homotopa (lo representaremosX Y )

si existen f :XY g: Y Xaplicaciones continuas tales que

g f1X

f g 1Y

f, g reciben el nombre de equivalencias de homotopa

Observacion! Se dara cuenta el lector que se ha usado el mismo smbolo () para decir que dos

aplicaciones son homotopas y para decir que dos espacios tienen el mismo tipo de homotopa, pero esto

no debera ser un problema puesto que son relaciones (de equivalencia) en conjuntos distintos

En esta asignatura, nos centraremos, en armarnos de herramientas para saber cuando dos espacios

topologicos, que a priori, son distintos, bajo las gafas de la homotopa son el mismo, es decir,

tienen el mismo tipo de homotopa, y por tanto una inmensidad de propiedades iguales.

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Operaciones con espacios topologicos

Definicion. Sea X un espacio topologico, defini-

mos la suspension de X, como el conjunto co-

ciente de X Iobtenido al colapsar X {0} en

un punto y X {1} en otro, y lo denotaremo S X

Definicion. ea Xun espacio topologico, definimos el cono de X, CXcomo el conjunto cociente de

X I obtenido al colapsar X {0}en un punto.

Definicion. Sean X, Y dos espacios, sea x X e y Y definimos la suma conexa o wedge sum

como el conjunto cociente de X Y al identificar x con y

El tipo de homotopa

Proposicion. Sean X, Y , Z tres espacios topologicos, y sean f1, f2 : XY g1, g2 :Y Z cuatro

aplicaciones continuas tales que f1 f2 y g1 g2, entonces g1 f1 g2 f2

Prueba. Sea F :X IY la homotopa entre f1 y f2 y sea G: Y IZ la homotopa entre

g1 y g2 definimos H :X IZcomo H(x, t) =G(F(x, t), t). Claramente, Hes continua y ademas

transformag1 f1 eng2 f2

Proposicion. La relacion binaria es una relacion de equivalencia

Observacion! Aqu la notacion facilita mucho la proposicion, puesto que esto es valido tanto como

para referente a aplicaciones, como referente a espacios topologicos.

Prueba. Como siempre, antes de empezar una prueba, pensamos, que es lo que tenemos que probar:

1. es reflexiva

2. es simetrica

3. es transitiva

Comencemos viendolo, para aplicaciones.

Sean, por tanto,X, Ydos espacios topologicos, seanf , g , h: XY, tres aplicaciones continuas entre

X eY tales que fg y g h

Comencemos viendo 1. ff?

Esto es claro, consideremos la aplicacion H : X I Y, H(x, t) = f(x) para cada x X y cada

tI, es claro queHes continua, y es una homotopa entref y f

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Veamos ahora 2. g f?

Comofg existe una homotopa F :X IY que transforma f eng , si consideramos F(x, 1 t)

es facil ver que es continua, y que ademas es una homotopa entre g y f.

Veamos por ultimo 3. fh?

Sabemos que Fes una homotopa entre f y g y, por hipotesis, existe una homotopa G : X IY

que relaciona g conh, consideremos:

G: X IY

G(x, t) =

F(x, 2t) Si t 12

G(x, 2t 1) Si t 12

Es claro que Gcumple las condiciones necesarias.

Veamos esto ahorapara espacios topologicos: SeanX , Y , Z espacios topologicos,conX Y eY Z

Comencemos viendo 1. X X? Esto es mas que trivial, solo hay que tomar como equivalentes de

homotopia a la aplicacion 1X

Veamos ahora 2. Y X? Nuevamente, esto es una trivialidad, puesto que la definicion es totalmente

simetrica

Por ultimo concluyamos con 3. X Y? Quizas esto si sea algo mas engorroso y pueda parecer masartificial, Sean f1 : X Y g1 : Y X y f2 : Y Z g2 : ZY entonces f2 f1 : X Z y

g1 g2: ZXson equivalentes de homotopa por la proposicion anterior

Espacios contactiles

Definicion. Sea Xun espacio topologico, decimos que X es contractil si tiene el tipo de homotopa

de un punto. (X )

Observacion:

Si Xes un espacio topologico contractil, entonces 1X Cx0 para cualquier x0 X

Cualquier espacio contractil es arcoconexo

Proposicion. Sean X, Y dos espacios topologicos, sean f, g : X Y dos aplicaciones continuas,

entonces, si Y es contractil, entonces g f

Proposicion. SeaXun subconjunto estrellado de Rn, entonces Xes contractil.

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Prueba. Si Xes estrellado, entonces existe un x0 X tal que tx0+ (1 t)x X para todo t I y

todox X

luego consideramos H :X IX tal que H(t, x) =tx0+ (1 t)x X. Hes una homotopa entre

1X y Cx0

Retractos de deformacion

Definicion. Sea f : XY una aplicacion con-

tinua, definimos el cilindro de la aplicacion

f, Mf, como el espacio cociente de la union dis-

junta (X I) Y obtenida por la identificacion(x, 1)X I con f(x) Y

Definicion. Unaretraccionde un espacio Xa subespacio A es una aplicacion continua r : XX

tal quer(X) =A y r(x) =x para cadax A, si existe dicha aplicacion decimos queA es unretracto

de X

Definicion. Un retraccion de deformacion de un espacio Xen un subespacio A es una aplicacion

continua H :X IX, tal que H(x, 0) = 1X , H(X, 1) =A y H(x, t) =x para cada x A, en ese

caso decimos que A es un retracto de deformacion de X

Proposicion.SeaXa espacio topologico, seaf :XXuna aplicacion continua. Entonces fes una

retraccion si y solo si f f=f

Teorema. Sean X, Ydos espacios topologicos, entonces es equivalente:

1. X e Y tienen el mismo tipo de homotopa

2. Existe un espacioZtal que X, Y Zy ademas X, Y son retractos de deformacion deZ

Prueba. La prueba, aunque sencilla, es muy engorrosa y no entrara en lo que queda de pagina si el

lector quiere comprobarlo, animo! (recuerde el cilindro de una aplicacion)

CW-Complejos

Definicion. Sea Xun espacio topologico, decimos que X es CW-complejosi se puede construir de

la siguiente manera.

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1. empezamos con un espacio discretoX0 constituido por puntos

X0=iI0

e0i

2. inductivamente,Xn se construye a partir de Xn1 tomandoenj n celdas con j In y anadimos

esasn celdas mediante las aplicaciones j :Sn1 Xn1

Xn= Xn1jIn

enj

3. Si llegado a un n N tenemos queX=xn termina el proceso, si por el contrario x = nNXn

Veamos esto en un ejemplo:

Consideramos un espacio discreto formado por 3 puntos

tomamos, por ejemplo, cuatro copias de S0, llamemoslas S1, S2, S3, S4 y definamos

S1 S3

1A 1B

1B 1C

S2 S4

1B 1A

1B 1C

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y de esta forma anadimos los D1

por ejemplo, si f : S1 D, es homeomorfismo,( Donde D es la curva que pasa por A,B,C que

en el dibujo esta coloreada de naranja) podemos anadirle una 2-celda y podramos seguir el proceso

anadiendo celdas.

Observacion! Todos los grafos, son CW-complejos construidos con 0-celdas y 1-celdas

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El primer invariante del tipo de homotopa: Las componentes

arco-conexas.

Es claro que si dos espacios tienen el mismo tipo de homotopa, entonces, han de tener los mismostrozos, esto es que tienen el mismo numero de componentes arco-conexas.

Definicion.Sea Xun espacio topologico, llamaremos0(X) alconjunto de las componentes arco-

conexas de X

Definicion. Seaf :XY una aplicacion continua. Definimos

0(f) :0(X)0(Y)

C0(f)(C)

Donde0(f)(C) es la unica componente arco-conexa de Yque contiene a f(C)

Teorema. Sean X, Ydos espacios topologicos, entonces, si X eY tienen el mismo tipo de homotopa,

entonces,0(X) =0(Y)

Prueba. Veamos que:

(1). Si X f Y g Zentonces:0(g f) =0(g) 0(f)

(2). 0(1X) = 10(X)

(3). si fg entonces 0(f) =0(g)

(1)0(gf)(C) es la unica componente de Zque contiene a g(f(C)) por otra parte 0(g)(0(f)(C)) =0(g)(D)

con D la unica componente arco-coneza que contiene a f(C) ademas f(C) D

por tanto 0(g f)(C) =0(g) 0(f)(C)

(2) trivial

(3) En efecto, Sea H :X IY una homotopa entre f y g

Sea C 0(X). Consideremos f(C) = H(C, 0) H(C, I) analogamente g(C) = H(C, 1) H(C, I),

luego0(f) =0(g)

Visto esto el teorema es trivial.

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Captulo 1

El grupo fundamental

Definicion. SeaXun espacio topologico, decimos que una aplicacion : IXes un caminosi

es continua

Recordamos que la relacion X0 es una relacion de equivalencia, en particular {0,1} esto sera muy

importante de ahora en adelante puesto que nos permitira introducir el grupoide 1(X).

Definicion. SeaG, Mdos conjuntos, se dira queG es un grupoidesobre Mo con base M (Se repre-

sentara G M) si existen dos aplicaciones S, T : G M llamadas proyeccion origen y proyeccion

final, una aplicacion nclusionsobre el grupoide 1 : M G x 1x y existe una multiplicacion

definida sobre el subconjunto

G G= {(, ) G G| T() =S()} G G

que satisface

1. T() =T() y S() =S() para cada (, ) G G

2. Asociatividad

3. S(1x) =T(1x) =x para todo x M

4. g1T(g) = 1S(g)g = g para cada g G

5. para cadag G existe un h G que verifica hg = 1T(g) y g h= 1S(g)

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Teorema. Sea Xun espacio topologico arco-conexo. consideremos el cojunto:

1(X) ={: IX| C(I, X)}/{0,1}

Entonces 1(X) es un grupoide con base X.

Prueba. Daremos una demostracion constructiva, diciendo como son las aplicaciones S, T y como

sera esa multiplicacion parcial.

Definiremos S, T : 1(X) X mediante S() = (0) y T() = (1) dadas dos curvas (, )

1(X) 1(X) definimos

(s)

(2s) si 0 s 12

(2s 1) si 1

2 s 1

La aplicacion 1 :X1(X) sera 1x : IX 1x(s) =x para cada s I

Claramente, as definido, 1(X) es un grupoide.

Definicion.Sea Xun espacio topologico y seax0 X, definimos el conjunto1(X, x0) ={1(X)|

S() =T() =x0} 1(X) es decir, el conjunto de los caminos deXque empiezan y acaban enx0, a

los elementos de 1(X, x0) los llamaremos lazos.

Teorema. Sea Xun espacio topologico y sea x0 X, entonces el conjunto 1(X, x0) con el producto

heredado del grupoide es un grupo y recibe el nombre de grupo fundamental

Prueba. Totalmente rudimentaria y se deja al lector.

Definicion. Sea X un espacio topologico y sean x0, x1 X para los cuales existe : I X que

verifica (0) =x0 y (1) =x1, definimos:

h[] : 1(X, x0)1(X, x1)

h[]([]) = [1][][]

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Teorema. La aplicacion h [] de la definicion anterior es un isomorfismo

Prueba.

Para relajar la notacion llamaremos h a h[]

Hay que ver

1. h es un homomorfismo

2. h es inversible

(1). veamos que dados , caminos de 1(X, x0) veamos queh() =h()h().

Pero esto es trivial porque:

h()h() = [][][1][][][1] = [][][][1] = [][][1] =h()

(2). Esto tambien es trivial puesto que h1() = [1][][]

Consecuencia. SiXes un espacio arcoconexo, y x0, x1 X entonces 1(X, x0)=1(X, x1)

Observacion:

Si el espacio topologico X es arcoconexo y x X, usualmente llamaremos al 1(X, x) simplemente

como1(X) siempre que no haya problemas en cuanto a la claridad del punto base escogido, y no haya

confusion con el grupoide anteriormente citado.

Definicion. Un espacioXse dice que es simplemente conexosi es arco-conexo y1(X, x0) es trivial

para algun x0 (y por tanto para todo x0 X)

Proposicion. Si Xes un espacio topologico contractil, entonces es simplemente conexo

Definicion. Seaf : (X, x0)(Y, y0) una aplicacion continua, definimos

1(f) :1(X, x0)1(Y, y0)

1(f)([]) = [f ]

Proposicion. La aplicacion1(f) es un homomorfismo al que llamaremos Homomorfismo inducido

por f

Proposicion.

Sean f : (X, x0)(Y, y0) yg: (Y, y0)(Z, z0) aplicaciones continuas, entonces 1(g f) =1(g) 1(f)

Prueba. Sea1(X, x0), 1(g f)() = [(g f) ] = [g (f )] =1(g)(f ) =1(g) 1(f)()

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Proposicion. Sea Xun espacio topologico, y consideremos la aplicacion 1X :XXentonces

1

(1X

) = 11(X)

Consecuencia. Si f : (X, x0)(Y, y0) es un homeomorfismo, entonces 1(f) es un isomorfismo

Proposicion. Sea Xun espacio topologico, y sea A un retracto de X, y sea i : (A, a0) (X, a0) la

inclusion deAen X entonces 1(i) es inyectiva

Teorema. Sea f : (X, x0)(Y, y0) una equivalencia de homotopa, entonces

1(f) :1(X, x0)1(Y, y0)

es un isomorfismo de grupos.

Prueba. Seag : (Y, y0)(X, x1) otra equivalencia de homotopa, entonces

1(g f)(1(X, x0)) =1(X, x1)

Veamos que existe una h[] : 1(X, x1)1(X, x0).

Para ello es suficiente con encontrar una curva que una x0 conx1.

Pero esto es trivial por que si Hes una homotopa entre g f y 1X (Que existe por ser X Y) se tiene

que

: IX

(t) =H(x0, t)

Verifica:

1. es un camino

2. (0) =g(f(x0)) =x1

3. (1) =x0

Consecuencia. Sean X, Ydos espacios topologicos arcoconexos, tales que XY entonces

1(X, x0)=1(Y, y0)

Teorema. Sean X, Y dos espacios topologicos arcoconexos y sea (x, y) XY entonces 1(X

Y, (x, y))=1(X, x) 1(Y, y)

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Captulo 2

Espacios recubridores

Definicion. Sea p : E B una aplicacion continua y sobreyectiva. Sea U un abierto de B se dice

que esta regularmente cubierto por p si la imagen inversa de p1(U) puede escribirse como una

union disjunta de conjuntos abiertos V de Etales que, para cada , p restringida a V sobre Ues un

homeomorfismo. La coleccion{V}se denominara particion de p1(U) en rebanadas

Observacion:

La familia{V}Jpuede tener cualquier cardinalidad, es decir, Jes una familia cualquiera de indices.

Definicion. Sea p : E B una aplicacion continua y sobreyectiva. Si todo punto b de B tiene un

entornoUque esta regularmente cubierto porp, entonces se dice quep es unaaplicacion recubridora

y Ees un espacio recubridordeB

Ejemplo.

Cosideremos la aplicacion p : R S1 definida

por p(x) = (cos(2x), sen(2x)) es una aplicacion

recubridora, podemos pensar que la aplicacion p

enrolla la recta real entorno a laS1.

Claramentep es continua, abierta y sobreyectiva.

ademas dado un abierto U de S1 p1(U) si no es

demasiado grande ( no sea toda la S1) sera union

disjunta de abiertos, y en ellos la aplicacion

sera inyectiva.

Justo lo necesario para que sea p una aplicacion

recubridora

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Teorema.Seap : EB una aplicacion recubridora. Si B0 es un subespacio de B y siE0= p1(B0)

entonces la aplicacionp0: E0B0 obtenida al restringir p, es una aplicacion recubridora

Prueba.

Consideremos p : E0 B0 la restriccion de dominio e imagen de la aplicacion p, claramente, es

continua y sobreyectiva por quep lo es.

Tomemos ahora b0 B y sea Uun entorno de b0 en B y sabemos que p1(U) =

J

V, pero U B0

es un entorno de b0 en B0 que ademas esta dentro de U, y llamemos V =Vp1(B0), Veamos que

p| V es un homeomorfismo sobre su imagen, pero esto es trivial, por que p| V = (p| V) i donde i

es la inclusion (i: V V) lo que la hace inyectiva, ya era sobreyectiva y continua por hip otesis, y

es natural que la inversa es continua puesto que la inversa de P |V lo es.

Ejemplo.Consideremos la siguiente aplicacionf : R+ S1 dada porf(x) =p(x). Esta aplicacionf

no es una aplicacion recubridora. Dado un entorno del (1, 0) la imagen inversa no contiene al (, )

para ningun lo que contradice que sea una aplicacion recubridora

Teorema. Si p: EB y p :E B son aplicaciones recubridoras entonces

p p :E E B B

es una aplicacion recubridora

Teorema. Sea p : EB una aplicacion continua y sobreyectiva, seaUun abierto conexo de B que

esta regularmente cubierto por p, entonces la particion de p1(U) es abiertos disjuntos es unica.

De ahora en adelante, consideraremos Ecomo arco-conexo

Definicion. Sea p : E B una aplicacion recubridora, sea b B definimos la fibra de b como el

conjuntop1(b)

Al asumir la arco-conexion de Eaparecen algunas propiedades interesantes

Proposicion. Sea P :EB una aplicacion recubridora con Earcoconexo, entonces:

1. B es arco-conexo

2. p es un homeomorfismo local

3. p es abierta

4. cada fibra tiene la topologa discreta.

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2.1. Levantamientos

Definicion. Sea p : E B una aplicacion. Si f es una aplicacion continua de algun espacio X en

B, un levantamiento de f es una aplicacion f : X E tal que p f = f (Pedimos que f sea

continua?)

Teorema. Sea Xun espacio conexo, y sea p : E B una aplicacion recubridora. Sea f : X B

una aplicacion continua, sean h, g : X E Dos levantamientos de f tales que g(x0) = h(x0) para

algun x0 X entonces h = g

Prueba. SeaA = {xX |h(x) =g(x)}veamos queA es abierto y cerrado de Xy por tanto como X

es conexo y A es no vaco A = X

Veamos que A es abierto. Sea x A y sea b = f(x), existe Ub entorno de b tal que p1(Ub) =

iI

Vi

abiertos de E. Existira j Ital que g(x) =h(x)Vj, ya que p(g(x)) =p(h(x)) =f(x) =b, por tanto

h(x) =g(x)p1(f(x))

Tomemosg1(Vj)h1(Vj) abierto deXy veamos queg

1(Vj)h1(Vj) Aseay g

1(Vj)h1(Vj).

g(y) Vj y h(y) Vj y sabemos que p: Vj Ub es un homeomorfismo, por tanto p(g(y)) =p(h(y))

luegog(y) =h(y).

Luego A es abierto.

Veamos que A es cerrado, o equivalentemente que X A es abierto

Sea x (X A), tomemos f(x) =b y p1(Ub) =iI

Vi, sean j, k Itales que g(x) Vj y h(x) Vk

disjuntos.

Entoncesg1(Vj) h1(Vk) es un abierto de Xno vaco.

Veamos queg1(Vj) h1(Vk) (X A), esto es claro, sea y g

1(Vj) h1(Vk), entoncesg(y)Vj

y h(y) Vk y como Vj Vk = entonces g (y)=h(y)

Luego A es cerrado.

Recuerda:

Sea A un recubrimiento abierto del espacio metrico (X, d). Si Xes compacto, existe un >0 tal que

para cada subconjunto X0 con diametro menor que existe un A Atal que X0 A

A tal le llamaremos numero de lebesgueasociado al recubrimient A

Teorema. Sea p: EB una aplicacion recubridora con p(e0) =b0. Cualquier camino : IB

comenzando en b0 tiene un unico levantamiento a un camino en Eque comienza en e0

Prueba. Solo hay que probar la existencia, por que la unicidad se obtiene del apartado anterior.

Tomemos, para cada t Iun entorno U(t) de(t) del que se pide en la definicion.

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Sea

1

U(t)

abiertos de I que lo recubren, y sea el numero de lebesgue asociado a tal recu-

brimiento.

Sea 0 = t0 < t1 < < tn = 1 una particion de I tal que ti ti1 < existe Ui {U(t)} tal que

([ti1, ti]) Ui para cada i = 1 . . . n

Vamos a construir nuestro camino

para ello hacemos i = 1

p1(U1) =iI

Vi , llamaremos V1 al unico elemento de la particion que contiene a e0, sabemos que

p1: V1 U1 es un homeomorfismo, luego, definimos 1: [0, t1]E por 1(t) =p11

analogamente lo hacemos para i = 2..n solo tenemos que ver que i(ti) = i+1(ti) y de esta forma

definimos = 12 . . .n

?p(i(ti)) =(ti) = (i+1(ti)?

Proposicion. Sea p : E B una aplicacion recubridora con p(e0) = b0 sea F : I I B una

aplicacion continua con F(0, 0) = b0 entonces, existe un unico levantamiento de F a una aplicacion

continua

F :I IE

tal que F(0, 0) =e0. Si, ademas,Fes una homotopa de caminos, entonces F tambien es una homotopa

de caminos.

Teorema.Sea p : EB una aplicacion recubridora conp(e0) =b0. Sean y dos caminos en B de

b0 ab1 y sean y sus levantamientos a caminos deEque comienzan ene0. Si y son homotopicos

por caminos, entonces y terminan en el mismo punto y ademas son homotopicos por caminos

Teorema. Sea p : EB una aplicacion recubridora, entonces, para todos b1, b2 B se tiene que la

fibra de b1

es homeomorfa a la de b2

, es decir p1(b1

)=p1(b2

)

Prueba. La demostracion es muy elemental y se deja al lector. (Indicacion:dado un camino :B

con(0) =b1 y (1) =b2 considerar la aplicacion f[] : p1(b1)p

1(b2) e (1), con (0) =e)

Teorema. Sea p : (E, e0) (B, b0) una aplicacion recubridora, sea f : (X, x0) (B, b0) una

aplicacion continua con E, Xarco-conexo y localmente arcoconexo. Existe f levantamiento de f si y

solo si

Im(1(f)) I m(1(p)

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Definicion. Sea p : E B una aplicacion recubridora y b0 B. Tomemos e0 p1(b0). Dado

un elemento [] 1(B, b0), consideramos el levantamiento de a un camino de E que comience

en e0. Denotaremos por ([]) al punto (1). Entonces : 1(B, b0) p1(b0) es una aplicacion

bien definida a la que llamaremos correspondencia del levantamiento derivada de la aplicacionrecubridorap basada en e0

Teorema. Seap : EB una aplicacion recubridora con p(e0) =b0. SiEes arco-conexo, entonces la

correspondencia del levantamiento

:1(B, b0)p1(b0)

es sobreyectiva, Si Ees simplemente conexo, entonces, es biyectiva

Teorema. Seap : EB una aplicacion recubridora con p(e0) =b0 entonces:

(1). El homomorfismo1(p) :1(E, e0)1(B, b0) es un monomorfismo

(2). SeaH=1(p)(1(E, e0)). La correspondencia del levantamiento induce una aplicacion inyec-

tiva

: 1(B, b0)Hp1(b0)

de la coleccion de las clases por la derecha de H en P1(b0) la cual es biyectiva sin Ees arco-conexo.

(3). Si fes un lazo en B basado en b0 entonces [] Hsi y solo si es un levantamiento a un lazo

en Ebasado en e0

Teorema. Sea p: EB un espacio recubridor , Earcoconexo, y sea b B y Sean e0, e1 p1(b)

entonces

1. 1(p)(1(E, e0)) y 1(p)(1(E, e1)) son subgrupos conjugados

2. si H es un subgrupo conjugado de 1(p)(1(E, e0)) entonces existe e2 p1(b) tal que H =

1(p)(1(E, e2))

2.2. Teorema de clasificacion

Definicion. Sean p : E B y p : E B dos aplicaciones recubridoras con E, EyB espacios

arcoconexos, decimos que p y p son equivalentes si existe un homeomorfismo f : E E tal que

p f=p.

En ese caso, a la tal aplicacion f la llamaremos transformacion recubridora.

Al conjunto cociente bajo la relacion anterior lo llamaremos C ov(B)

Observacion! Esta relacion es de equivalencia.

Recuerda! SeaG un grupo denotamos Conj(G) alconjunto de las clases de conjugacion de G,

es decir, si H, F son subgrupos de G tales que Hes conjugado de Fentonces pertenecen a la misma

clase de Conj(G)

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Definicion. SeaXun espacio topologico se dice queXes semilocalmente 1-conexosi dado x X

y A entorno de x existe abierto con x A de forma qe cualquier lazo : I de base x es

homotopicamente trivial (en X)

Teorema. (De clasificacion) Sea B un espacio arco-conexo, localmente conexo y semilocalmente1-conexo no vaco, y sea b B , Entonces

#Cov(B) = #Conj(1(B, b))

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Captulo 3

El Teorema de Seifert-van Kampen

3.1. Apendice: El grupo libre y el producto libre de grupos

Definicion. Sean G yHdos grupos. Se define el producto libredeG y H como el conjunto

G H={1, a1 . . . an, si ai G, entonces ai+1 H}

Con la operacion yuxtaponer.

Teorema. Sea fG : G F, fH : H F dos morfismos de grupos, entonces existe un unico

morfismos de grupos f :G HF tal quef iG = fG y f iH=fH

Definicion.Sea Sun conjunto cualquiera, definimos elgrupo libre generado porScomo el conjunto

f(S) ={1, sn11 . . . snpp |si S, ni Z}

y lo dotamos de la operacion anterior.

Consecuencia. F(S T)=F(S) F(T)

3.2. El Teorema de Seifert-van Kampen

Teorema. Sea X un espacio topologico arcoconexo, Sean A, B abiertos arcoconexos de X no vacos

tales que A B =X, A B arcoconexo. Sean jA :A X, jB :B oXlas inclusiones de A, B en

X, Sean x0 A B y 1(jA) :1(A, x0)1(X, x0), 1(jB) :1(B, x0)1(X, x0).

Entonces el morfismo inducido : 1(A, x0) 1(B, x0)1(X, x0) es sobreyectivo.

Ademas si iA: A BA y iB :A BB son las inclusiones, entonces

Ker() ={1(iA)(a)1(iB)(a)1}a1(AB,x0)

Proposicion. Sean f , g : Sn1 X dos aplicaciones continuas tales quefg entonces

Cfen Xgen

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Consecuencia. SeaX un espacio arcoconexo, Xfe1 X S1

Proposicion. Sea Xun espacio topologico y sea en una n celda, sea Y =X (en {0}) entonces

Xes un retracto de deformacion de Y

Teorema.(Consecuencia inmediata del Teorema de Seifert-Van Kampen)Sea Xun espaciotopologico arcoconexo entonces:

1. 1(X e1) =1(X) 1(S)1

2. 1(X e2) =1(X)/Im(1(f))

3. si n 3 entonces 1(X en) =1(X)

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Captulo 4

Clasificacion de grupos

fundamentales y aplicaciones

4.1. El grupo fundamental de S1

Teorema. Seax S1 entonces1(S1, x)= Z

Prueba. Seap : R S1, p(x) = (cos(2x), sen(2x). sea e0= 0 y b0 = p(0) emtpmces la fibra de b0

es Z, dado que R es simplemente conexo, la correspondencia del levantamiento es biyectiva

:1(S1, b0) Z

.

Solo hay que ver que es un homeomorfismo.

Aplicaciones

Teorema. Seah : S1 X una aplicacion continua. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. h es homotopicamente nula

2. h se extiende a una aplicacion continua k : B2 X

3. 1(h) es el morfismo trivial de grupos.

Prueba.

Veamos 1 2

Sea H : S1 I X una homotopa entre h y una aplicacion constante. Sea f : S1 I B2 la

aplicacion

f(x, t) = (1 t)x

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Entonces fes continua, cerrada y sobreyectiva, es decir, una aplicaci on cociente, esta aplicacion colapsa

S1 {1} en un punto y es inyectiva en el resto, luego como Hes constante sobre S1 {1} f induce

una aplicacion continua k : B2 Xque extiende a h

Veamos ahora 23seaj :S1 B2 la inclusion, se sabe que h= k j pero sabemos que

1(k j) =1(k) 1(j)

pero 1(j) es el homomorfismo trivial

Veamos por ultimo 3 1

Sea p : R S1la aplicacion recubridora estandar. y sea p0 : I S1 la restriccion de p a I

entonces [p0] genera todo 1(S1, b0) pongamos x0 = h(b0) como 1(h) es trivial el lazo = h p0

representa el elemento neutro de1(X, x0) por tanto existe una homotopaF entreycx0 . La aplicacion

p0 1I :I IS1 Ies una aplicacion cociente, y esta aplica (0, t) y (1, t) sobre (b0, t) para cada

tIy en el resto es inyectiva.

La aplicacionF envia{0} I, {1} I eI {1} sobre el punto x0 de esta forma induce una aplicacion

continua H :S1 IXque es una homotopa entre h y una aplicacion constante.

Consecuencia. La aplicacion inclusion S1 R {0} y la aplicacion 1S1 no son homotopicamente

nulas.

Teorema. Dado un campo de vectores sobreB2 que no se anule en ningun punto, existe un punto de

S1 donde el campo de vectores apunta hacia el interior y otro donde apunta hacia el exterior

Prueba. Por reduccion al absurdo, totalmente rudimentaria tras los resultados anteriores. y se deja al

lector

Teorema. Sea f :B2 B2 continua, entonces existe al menos un punto x B2 tal que f(x) =x

Prueba.

Trivial, considerar la aplicacion g (x) =f(x) x y aplicar el teorema anterior.

Teorema. Sea f :S2 R2 continua. entonces existe x0 S2 tal que f(x0) =f(x0)

Prueba. Suponer por reduccion a lo absurdo y definirg : S2 S1

g(x) = f(x) f(x)

f(x) f(x)

Teorema. SeanF1, F2, F3 tres cerrados tales que S2 =F1 F2 F3 Entonces alguno de ellos contiene

un par de puntos antpodas

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4.2. El grupo fundamental de la Sn

Teorema. Sean 2 entonces1(Sn) es trivial

Prueba. Esto es una consecuencia inmediata del teorema de Seifert-Van Kampen

Sea N, Sel polo norte y sur, respectivamente de la Sn, consideremos A = Sn {N} y B =Sn {S}

claramente,A, B estan en las condiciones del teorema. luego tomemos x0 A B

1(Sn, x0)=1(A, x0) 1(B, x0)/K

Claramente,1(A, x0) =1(B, x0) solo hay que ver que cada uno de ellos es el trivial.

Pero esto es elemental, puesto queSn {p}=Rn sea cual sea p Sn y como el gurpo fundamental es

un invariante del tipo de homotopa, 1(Sn {p}) es trivial, en particular1(A, x0) =1(B, x0) ={1}

4.3. El grupo fundamental de los espacios proyectivos

Definicion.Sea Sn la esferan-dimensional, definimos eln-espacio proyectivo RPn como el conjunto

Sn/x x

Observacion! el 1-espacio proyectivo, o tambien conocido como recta proyectiva es homeomorfo a la

S1

Teorema. Sean 2 entonces1(RPn, x0)= Z2

Prueba. Sea p: Sn RPn la proyeccion, es trivial comprobar que p es una aplicacion recubridora,

como hemos visto queSn es simplemente conexa, sin 2 entonces la correspondencia del levantamiento

es biyectiva.

Sea y RPn, entonces p1(y) tiene dos elementos, luego 1(RPn, y) es un grupo con dos elementos,

luego1(RPn, y)= Z2

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