División Algebraica II

8/19/2019 División Algebraica II

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COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 2DO. AÑO

COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. d P!"#$%&%$o'( 2))* 115


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Los problemas que nos encontramos en la matemática china parecen ser a menudo más pintorescos que

prácticos, y, sin embargo, la civilización china produjo un número de innovaciones técnicas sorprendentemente alto

La utilización de la imprenta y de la pólvora !"iglo #$$$%, as& como del papel y de la brújula marina !"iglo '$% (ue

anterior en )hina que en cualquier otro lugar, y anterior también a la épocas más brillante de la matemática china,que tuvo lugar durante el siglo '$$$, coincidiendo con la última parte del per&odo "ung *n esta época hab&a

matemáticos trabajando en diversos lugares de )hina, pero las relaciones entre ellos parecen haber sido escasas y

remotas y, como en el caso de los tratados que circularon en su d&a, evidentemente *l último y a la vez el más

importante de los matemáticos "ung (ue )hu "hih + )hieh, que (loreció hacia los aos 1-./ + 10/0, a pesar de lo

cual sabemos tan poco sobre él que ni siquiera conocemos la (echa eacta de su nacimiento ni la de su muerte #ivió

en 2en3shan, cerca de 4eing, pero parece ser que estuvo viajando durante unos veinte aos, en plan de sabio

errante que se ganaba la vida enseando matemáticas, a pesar de lo cual encontró el tiempo y la tranquilidad

su(icientes para escribir dos tratados6 el primero de ellos, escrito hacia el 1-77, (ue el "uan3hs8eh ch9i3meng o

:$ntroducción a los estudios matemáticos;, un libro relativamente elemental que ejerció sin embargo una gran

in(luencia en )orea y en )hu "hih + )hieh eplica en este libro un método de

trans(ormación para ecuaciones, que él llama el (an (a, y cuyo (undamento debe haber aparecido en )hina mucho

tiempo antes, método que suele conocerse en ?ccidente con el nombre de :método de @orner;, matemático que

vivió medio milenio más tarde 4ara resolver la ecuación - A -5- + 5-7- B /, por ejemplo )hu "hih + )hieh

obtiene en primer lugar por tanteo la aproimación B 17, lo cual signi(ica que la ecuación tiene una ra&z entre

B 17 y B -/, y a continuación utiliza el (an (a, en este caso la trans(ormación y B + 17, para obtener la

ecuación y- A -7/y + 1>0 B / con una ra&z entre y B / e y B 1 *l valor aproimado de la ra&z buscada de esta última

es%-7/1!

1>0 y

= , y por lo tanto el correspondiente valor de es-71

1>017 4ara la ecuación 0 + 5C> B / se usa la

trans(ormación y B + ., que conduce a y0 A ->y

- A 17-y + D- B /, y la ra&z buscada viene epresada como

%17-->1!D-.

ó B C-. *n algunos casos )hu "hih + )hieh obtiene aproimaciones decimales de las

ra&ces

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El Álgebra China


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DIVISI+N ALGEBRAICA IIDIVISI+N ALGEBRAICA II


comparemosE,-p#o:

07 . !E% Eividendo B -5

0- > !d% Eivisor B C

C !q% )ociente B 0

!r% Festo B >

Luego se cumpleG

07 B 0 > A C

E B d q r

E,-p#o:Ee la división de polinomiosG

- A 5 A C A - E!% B

- A 5 A C

A 0 d!% B A -

1 q!% B A 0

r!% B 1

4uedes comprobar mediante multiplicación queG

- A 5 A C B ! A -%! A 0% A 1

1. DIVISIÓN DE POLINOMIOSM!ODO DE "O#NE#

4ara poder aplicar este método los polinomios dividendo y divisor deben ser completos y ordenados

descendentemente y si (altase algún término se completará con ceros

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NIVEL: SECUNDARIA SEMANA N. / SEGUNDO AÑO

Obser$a %&e'() H * y + I *

L&ego siempre sec&mple %&e'

D ≥ , y r I ,Compr&-balo con

0l ig&al %&e con losnmeros na&rales2 conlos polinomios ,ebec&mplirse'

D ≥ , y r I , 3ra,o

,el3ra,o

,el≥

3ra,o,el

3ra,o,elI

En el e/emploanerior 4c5mo

se hall5 elcociene y el

reso6#esol$amos

esa in%&ie&,


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E,-p#o:

EividirG . A 0- A 11 entre - A

?rdenemos los polinomios dividendo y divisor

E!% B 0- A . A 11 d!% B 0 A -

LuegoG )oe(icientes del EividendoG 0, ., 11

)oe(icientes del EivisorG 0, -

Jbicamos estos coe(icientes en el siguiente esquemaG

Ee esta maneraG

2 procedemos del siguiente modoG

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)oe(icientes del Eividendo

)on signo

cambiado÷ A• A

)oe(icientes del

)ociente

)oe(icientes

del Festo

0 0 . 11

3-

)on signo

cambiado

Kúmero de espacios igual

al rado del Eivisor

0 0 . 11

3-

1B

EividimosG 0 0 . 11

3-

1

=ultiplicamosG

3-B

0 0 . 11

3-

1

"umamosG

D

A

0 0 . 11

3-

1

÷

EividimosG

B

-

0 0 . 11

3-

1

=ultiplicamosG

3-B

3>

-

0 0 . 11

3-

1

"umamosG

-

A

3- 3>

C

"ornerin$eno s&m-o,o en

1*1)

Sab7as %&e

Las operaciones %&ese reali8an se

repien primero se,i$i,e l&ego se

m&liplica ,esp&-ss&mamos para

n&e$amene ,i$i,ir yas7 s&cesi$amene.

obser$a


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Luego el esquema resultaG

⇒ q!% B 1 A - B A -

F!% B C

ϖ EividirG >0 A >

- A 1 + 0 entre A -

- 3 0

?rdenemosG

E!% B >0 A >

- + 0 A 1 Jbicamos los coe(icientes

d!% B -- A + 0 en el esquemaG

4rocedemosG

FesumiendoG

⇒ M!% B - A 1

F!% B - A >

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0 0 . 11

3-

1 -

3>

C

3-

)oe( del

)ociente

)oe( del

Festo

rec&er,a

L&ego la l7neap&nea,a solo se

s&ma.0,em9s el cociene

y reso %&e seobienen es9n

EividimosG =ultiplicamosG "umamosG

Si el reso ,e&na ,i$isi5n no

es n&lo :#:;< ≡ =<

enonces la,i$isi5n se llamaine;aca.

- > > 30

31signo

cambiado

- espacios porque el

grado del divisor es -

1

0

- > > 30

31

1

0

-

- > > 30

31

1

0

-

3- D

- > > 30

31

1

0

-

3- D

A

-

EividimosG

- > > 30

31

1

0

-

3- D

1B

"umamosG

- > > 30

31

1

0

-

3- D

A

1

31 0

A

- >

- > > 30

31

1

0

-

3- D

A

1

31 0

A

- >

A

=ultiplicamosG

- > > 30

31

1

0

-

3- D

1

31 0BB


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Ψ EividirG>0

>050-

0->

⇒

⇒ M!% B 1 - A / A 1 6 F!% ≡ /

M!% B - A 1

Ψ EividirG-5

1111/ -

⇒ M!% B

F!% B

Ψ EividirG-0

/.D

-0

.D --

=

⇒

⇒ M!% B

F!% B

Ψ

EividirG -/0

5/015

-0

0515

-

-0

-

-0

=

⇒

⇒ M!% B

F!% B

Ψ EividirG1-

15D.-

-0

⇒ M!% B

F!% B

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1 1

>

30 30

0

>

3>

1

0

A

/

/

A

/ /

A

5

3>

1

A

/

0 3>

>0hora &?

5 1/ 11 1

>

0

A

-

C

A

÷

Si el reso ,e &na,i$isi5n es n&lo:#:;< ≡ =<

enonces la,i$isi5n se llama

e;aca.

0 D 3. /

.

-

A

3-

A

÷

0 15 30 /

/

5

3-

/ 31/

/ -


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$ @allar el cociente en las siguientes divisionesG

1 0

1..-

a% A 5 b% A 1 c%

d% + - e% A 0

--

C5-

a% + 1 b% A 0 c% A C

d% + C e% 3 0

01

C50 -0

a% - A - + 0 b%

- 3 - + 0 c%

- A - A 0

d% - 3 - + . e% 3

- A - A 0

$$ @allar el residuo en las siguientes divisionesG

>10

>D -

a% 31 b% 5 c% 0d% D e% -

5-5

--7001/ -0

a% . b% 1 c% 3-

d% > e% 3.

D-0

1-7-C

-

0

a% 1 b% - c% 0

d% 3. e% 7

C0-

->

>5

C-5C1D

a% C b% 0 c% C A C

d% C e% - 3 1

. 50

1>0-1>>-

>-

a% 5 b% - A > c% 0 3 1

d% + 1 e% - 3 -

7 >0-

1.100--1D0

0-5

a% >- A 0 b% 1 c% 0 3 1

d% C A 1 e% C

1/-5

1DC15050

-05

a% 0 + 1 b% -- A 1 c% >

d% - A 0 e% 0

- 3 .

11 $ndicar el término independiente del resto enla siguiente divisiónG

10-

D-D-

-0

a% 1 b% 0 c% >d% C e% -

1- $ndicar si la siguiente división es eacta oineacta

0

D7-0-

-0

"i es ineacta indicar el resto

a% *s eacta b% 1 c% -d% 0 e% > 3 -

10 *n la siguiente divisiónG

>

5>-0

-05

)alcular la suma de coe(icientes del cociente

a% 31 b% - c% /d% 0 e% 1

1> Eada la siguiente división eactaG

1-

-- -0>

@allar el mayor coe(iciente del cociente

a% 0 b% - c% 31d% 1 e% 3-

15 @allar :b; si la siguiente divisiónG

0

b.-

es eactaG

a% 10 b% 1- c% 1>d% 15 e% -

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E0ERCICIOS DE APLICACI+NE0ERCICIOS DE APLICACI+N


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TAREA DOMICILIARIA Nº 5

$ *n las siguientes divisiones hallar el cocienteG

1>

1/C-

a% + - b% A 0 c% A >

d% A 1 e%

-5

>-1--

a% > A 1 b% - c% A C

d% A 5 e% + C

0-

-00 -0

a% - b% 1 c% /

d% 0 e% 5

$$ @allar el residuo en las siguientes divisionesG

>-0

007 -

a% 0 b% 5 c% 30d% 35 e% 1

50>

01/. -0

a% 0 b% C c% /

d% 1 e% 31

D-

-0

50

-C11-/

a% 5 b% > c% -

d% + e% /

C5>

-515C1--/-

0->

a% / b% 1 c% -

d% A 1 e% C

. -

>-

5-

15-D7

a% A 1 b% / c% 3 1

d% e% - A 1

70-

C>-C1D0

0-5

a% -- + 1 b%

- + -c% 0

- A 1

d% 0- + 1 e% /

1/0

0-5

-5

.-051>

a% + 1 b% A - c% 3 0

d% + > e% /


10

D-D-

-0

$ndicar el término independiente del resto

a% / b% C c% 1

d% - e% 31

1- $ndicar si la siguiente divisiónG

0

D-

->

*s eacta o ineacta "i es ineacta indicar el

residuo

a% *s eacta b% 5 c% -

d% 31 e% 1


1

5->

>5

$ndicar la suma de coe(icientes del cociente

a% 31 b% / c% -

d% 1 e% 0

1> *n la siguiente divisiónG

1-

D-0D0

0>

"ealar el mayor coe(iciente del cociente

a% 1 b% 0 c% -

d% 31 e% 30

15 @allar :b; en la siguiente división eactaG

0 bC

-

a% 15 b% 0 c% C



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d% 1- e% 3C

4 GRADO : )aracter&stica que solo poseen los polinomios y esto dado por los

eponentes de las variables )uando el polinomio posee una sola

variable el grado es el mayor eponente que presenta

E,-p#o:4!% B 0 A 5

- + - A

> A 0

04olinomio de rado >

4 POLINOMIO COMPLETO : *s aquel polinomio que posee todos los eponentes desde cero

hasta un máimo

4 POLINOMIO ORDENADO : *s aquel polinomio cuyos eponentes están ordenados en (orma

creciente o decreciente

4 COEFICIENTE : La parte constante de un monomio Nambién se considera a un

término independiente

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