CoKrigagemProcedimento geoestatístico

segundo o qual diversas variáveis regionalizadas podem ser estimadas em conjunto, com base na correlação espacial entre si. É uma extensão multivariada do método da krigagem quando para cada local amostrado obtém-se um vetor de valores em lugar de um único valor.

Aplicação da cokrigagem Quando duas ou mais variáveis são

amostradas nos mesmos locais dentro de um mesmo domínio espacial e apresentam significativo grau de correlação.

O método deve ser usado quando uma das variáveis apresenta-se sub-amostrada em relação às demais. Essa variável é conhecida como “primária” e as demais como “secundárias”.

O objetivo é melhorar a estimativa da variável sub-amostrada utilizando aquelas mais densamente amostradas.

Fundamental na utilização da cokrigagem é a verificação prévia da correlação existente entre as variáveis, a qual deve ser alta para que as estimativas sejam consistentes. Também deve ser notado que a melhoria de interpretação somente é significativa quando uma das variáveis tem um número extremamente reduzido de casos em relação à outra.

Solução por cálculo matricial

][ ][ ][

0

1

2x,0x12C

1x,0x11C

2

1

2

1

001100

000011

102´

y,2

y22C1

x,2

y21C

10

012

y,1

x12C1´

x,1

x11C

01

BXA

αi = 1,...ni representam os ni pontos para a variável Zi e α’i = 1, ...ni representam os ni pontos com deslocamento h para a variável Zi

Zi, onde i é o identificador da variável primária Z1 ou secundária Z2

Matriz [A] A matriz [A] é composta por:

•sub-matriz , que descreve a distribuição espacial da primeira variável Z1;

•sub-matriz , que descreve a distribuição espacial da segunda variável Z2;

•sub-matrizes, que descrevem a variabilidade cruzada das variáveis Z1 e Z2 consideradas em conjunto;

•os termos restantes 0 e 1 correspondem à condição de não viés para ambas as variáveis.

Vetor [B] A matriz [A] não contém nenhuma

informação sobre o ponto X0 , objeto da estimativa.

Toda a informação necessária está contida no segundo membro do sistema, o vetor [B], o qual é composto por 2 subvetores:•o que depende da configuração geométrica

relativa ao ponto X0 em relação aos pontos x1 , onde Z1 é observada;

•o que depende da configuração geométrica relativa ao ponto X0 em relação aos pontos y2, onde Z2 é observada;

•os termos restantes 0 e 1 correspondem à condição de não viés.

Vetor [X]

A solução do sistema, ou seja, o cálculo dos coeficientes ’s, ’s e dos multiplicadores de Lagrange μ1 e μ2, expressos pelo vetor [X] para diferentes pontos X0 é obtida pela inversão de [A] e subseqüente multiplicação por [B].

As equações da cokrigagem são formuladas na suposição que as variáveis primária e secundária apresentam covariâncias, com matriz positiva definitiva, para ser considerada uma matriz de covariâncias-cruzada válida.

Uma maneira simples para a obtenção dessa matriz é utilizar o “modelo linear de corregionalização”.

Modelo linear de corregionalização

Ajusta os auto-variogramas e variogramas cruzados entre duas variáveis, ou mais, de tal maneira que a variância de qualquer combinação linear possível dessas variáveis seja sempre positiva. Tal combinação usa a mesmas estruturas dos auto-variogramas e dos variogramas cruzados, mantendo o mesmo valor para o alcance.

Ambos os determinantes das matrizes referentes aos valores do efeito pepita (Co) e soleira (C), devem ser positivos: 0

CVCUV

CUV CU 0

CoVCoUV

CoUV CoU

Exemplo:

563.25

514.46

543.98

520.01

506.17

576.60

504.35

541.45

537.46

546.28

556.50

502.17

496.77

501.15 518.00

499.56502.88 513.60

504.98

534.50

518.00530.13521.80

547.45

535.00

526.70

558.50

499.27495.78

522.48

510.95

527.00

508.80518.00

501.28502.22

500.75

512.85511.56

511.69

504.24

554.87

551.25

555.35

559.80559.15

549.40

543.53

535.30530.60538.90

541.15538.10

510.00512.18

508.43

534.00

542.38

503.23

552.00

530.00

511.40

501.80

535.63

541.40

505.15

514.90

510.00

494.77

537.16

519.00523.30

548.48

556.58

564.73

495.63

528.33

562.73

528.30

554.08

539.70

526.10

502.10

534.02

577.87

504.68

542.00

525.00

568.84

549.00

516.74516.56

696000 697000 698000 699000 700000 701000 702000 703000 704000

7526000

7527000

7528000

7529000

7530000

7531000

7532000

7533000

7534000

Lençol freático (Bauru/SP)

Correlação entre cota topográfica e topo do lençól freático

Variogramas

Variograma cruzado

Cokrigagem do topo do lençol freático

694000 696000 698000 700000 702000 704000 706000

(UTM) - LESTE

7524000

7526000

7528000

7530000

7532000

7534000

7536000

7538000

(U

TM

) -

NO

RT

E

450

460

470

480

490

500

510

520

530

540

550

560

570

580

590

600

COKRIGAGEM DO TOPO DO LENÇOL FREÁTICO

Mapa dos desvios padrão da cokrigagem

694000 696000 698000 700000 702000 704000 706000

UTM - LESTE

7524000

7526000

7528000

7530000

7532000

7534000

7536000

7538000U

TM

- N

OR

TE

6.0

7.5

9.0

10.5

12.0

13.5

15.0

16.5

18.0

19.5

MAPA DOS DESVIOS PADRÃO DA COKRIGAGEM TOPO DO LENÇOL FREÁTICO