CLASE 4 ERRORES MODELO MATEMÁTICO.pptx

ERRORES MODELO MATEMÁTICO

MODELO MATEMÁTICO.- Si realizamos un gran numero de observaciones y suponemos que solamente existen errores accidentales y representamos en el eje de abscisas los residuos respecto a la media y en el eje de ordenadas el numero de veces que se obtiene cada residuo obtenemos una curva denominada curva de Gauss o campana de Gauss, que es simétrica respecto al eje de ordenadas y asintótica respecto al eje de abscisas, y cuya expresión matemática es:

Siendo e la base de los logaritmos neperianos y p una constante, que se denomina “grado de precisión”. El valor de P = que se denomina


Eje x = Residuos respecto a la media Eje y = N° de veces que se obtiene cada residuoDe la observación de la curva Gauss, se pueden obtener dos conclusiones importantes:• A todo error positivo le corresponde otro negativo de igual valor absoluto.• Los errores más pequeños son los más numerosos y por lo tanto los más

probables de cometer.El punto de inflexión de la curva de Gauss corresponde al error medio cuadrático.


APLICACIÓN DE LA CURVA DE GAUSS PARA LA DETERMINACIÓN DE LA PROBABILIDAD.

- Se denomina probabilidad de un suceso al cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.- La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. El suceso seguro o

certeza es aquél cuya probabilidad es igual a 1. --- La probabilidad de cometer un error comprendido entre –x y +x es igual

al área limitada por la curva de Gauss, las ordenadas levantadas en –x y +x y el eje de abscisas (número de casos favorables) dividida por el área total limitada por la curva de Gauss y el eje de abscisas (número de casos posibles). De este modo la probabilidad de cometer un error comprendido entre -∞ y +∞ es la unidad.

La probabilidad de que un error este comprendido entre dos valores a y b, vendrá por la integral:

Que presenta el área comprendida entre la curva de Gauss, las ordenadas levantadas en a y

b, y el eje de abscisas.

ERRORES MODELO MATEMATICO

Para determinar la probabilidad sin necesidad de calcular la integral se han tabulado los valores de la misma. Si queremos entrar en la tabla que nos da la probabilidad, es decir el área comprendida entre el eje de ordenadas, la ordenada por la abscisa correspondiente y la curva de Gauss, hay que tipificar la variable, para lo cual se le resta la media aritmética y se divide por la deviación típica. De este modo conseguimos que la media aritmética sea cero y la desviación típica la unidad. La desviación típica coincide con el error medio cuadrático. Para tipificar una variable hace falta un mínimo de treinta medidas.


• El área comprendida entre -1 y +1, es el 68.27% del total que es igual a la unidad. El área comprendido entre -2 y +2, y entre -3 y +3 son respectivamente el 95.45% y el 99.73% del total. Este valor, es decir el valor de la abscisa que delimita el 99.73% de la superficie comprendida entre la curva y el eje de la abscisa corresponde al error máximo, que será más utilizado en Topografía ya que nos define la tolerancia de los errores cometidos

ERRORES MODELO MATEMATICO.- EJEMPLO• Se ha medido un ángulo con un teodolito sexagesimal y se han realizado

treinta y seis medidas, cuyos resultados son los siguientes:

123º 42' 6.11'' 123º 42' 5.14'' 123º 42' 5.14'' 123º 42' 11.78''

123º 42' 8.28'' 123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.11'' 123º 42' 7.21''

123º 42' 6.11'' 123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47''

123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 7.21'' 123º 42' 5.14''

123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 5.14'' 123º 42' 6.47''

123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47''

123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.11''

123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 8.28'' 123º 42' 8.28''

123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 5.14'' 123º 42' 6.47''

1. Determinar la probabilidad de que un nuevo valor que obtuviéramos en las mismas condiciones estuviera comprendido entre 123º42’5.23’’ y 123º42’11.78’’

ERRORES MODELO MATEMATICO.- EJEMPLO

• SOLUCION• En primer lugar calculamos la media aritmética y la desviación típica para

poder tipificar la variable y de esta forma utilizar la tabla que nos da los valores de la probabilidad.

• Media = M = 123º42’6.83’’ = 123.7019º

Medidas Medidas Frecuencia123º 42 6.11'' 123.7017º 4 0.00020º 1.620E-07123º 42' 8.28'' 123.7023º 8 -0.00040º 1.291E-06123º 42' 6.47'' 123.7018º 16 0.00010º 1.673E-07123º 42' 5.14'' 123.7014º 5 0.00047º 1.110E-06123º 42' 7.21'' 123.7020º 2 -0.00010º 2.195E-08

123º 42' 11.78'' 123.7033º 1 -0.00137º 1.887E-06

4.640E-06


• (1.310=0.0004)

• Primera pregunta

• Encontrando con este valor en la tabla obtenemos una probabilidad de 0.3888

• El máximo valor de la probabilidad que nos da la tabla es para 3.49 que le corresponde 0.4998 luego a 3.773 le asignamos 0.4999

ERRORES MERRORES MODELO MATEMATICO.- EJEMPLO• Gráficamente tendremos:

• Luego la probabilidad de que un nuevo valor este comprendido en el intervalo definido será de:

• 0.3888 + 0.4999 = 0.89

-1.22 3.773


2. Determinar la probabilidad de que un nuevo valor que obtuviéramos en las mismas condiciones fuera inferior a 123º42’1.80’’

123º 42' 6.11'' 123º 42' 5.14'' 123º 42' 5.14'' 123º 42' 11.78''

123º 42' 8.28'' 123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.11'' 123º 42' 7.21''

123º 42' 6.11'' 123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47''

123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 7.21'' 123º 42' 5.14''

123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 5.14'' 123º 42' 6.47''

123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47''

123º 42' 6.47'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.11''

123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 8.28'' 123º 42' 8.28''

123º 42' 8.28'' 123º 42' 6.47'' 123º 42' 5.14'' 123º 42' 6.47''

Se ha medido un ángulo con un teodolito sexagesimal y se han realizado treinta y seis medidas, cuyos resultados son los siguientes:


Segunda pregunta

• El máximo valor de la probabilidad que nos da la tabla es para -3.49 que le corresponde 0.4998 luego a -3.840 le asignamos 0.4999

• Gráficamente tendríamos:


• La probabilidad de que un nuevo valor sea inferior 123º42’1.80’’ vendrá dada por el área limitada por las ordenadas levantadas en -3.840 y en -∞, la curva de Gauss y el eje de abscisas, es decir:

• 0.5 – 0.4999 = 0.0001

-3.840

0.4999


RELACIÓN ENTRE LOS ERRORES DEFINIDOS. - Si realizamos un número suficiente elevado de medidas de una magnitud, se pueden

establecer las relaciones siguientes entre el error máximo

≈ 2,5 ≈ 3≈ 4Donde: = Error máximo = Error medio cuadrático

= Error medio aritmético = Error probable

TRANSMICION DE ERRORES

• 1. Error de una suma.- Supongamos que para medir una magnitud efectuando n mediciones elementales afectadas de un cierto error.

• • Se cumplirá que:

• Siendo

• El error de la suma será:

• Evaluando el cuadrado y sumando tendremos

• Si el número de mediciones es suficiente elevado podemos considerar que tiende a anularse, y por tanto nos quedara

• ;


• Una aplicación de la expresión anterior es el cálculo del error accidental de un teodolito. Como sabemos el error accidental en le medida de ángulos horizontales es producido por el error de verticalidad del eje principal ), el error de puntería (, el error de dirección (, y el error de lectura (. Luego el error total vendrá dado por

• En el caso de que todos los errores sean iguales, el error de la suma tendrá la expresión siguiente

• Y se puede afirmar que el error de una suma crece con la raíz cuadrada del número de sumandos.

• Supongamos que estamos midiendo una distancia de 1000m con una cinta de 25m, y que el error de una observación aislada es de 3cm. El error total será:


• 2. Error de una diferencia.- Medir una magnitud con 2 mediciones elementales afectadas de un cierto error.

• Se cumplirá que:

• Siendo


3. Error de un producto

U = es una función DE LAS MAGNITUDES MEDIDAS x, y, z,….n; y los errores probables de esas magnitudes son Δx, Δy, Δz,… Δn

Ejemplo: Calcular la superficie de un terreno que tiene las siguientes medidas A= 50.00 0.01,B=100 0.02.

El área del terreno será el producto de S = A x B ;

= b ; = a = = 1.41

Superficie = 50.00 x100.00 +1.41 = 5 000 1.41

TRANSMISION DE ERRORES

MEDIA PONDERADA Y PESO

Si medimos una magnitud M varias veces empleando instrumentos diferentes o métodos de distinta precisión y obtenmos una serie de valores de la magnitud

medida, el valor más probable de la misma no vendrá dado por la media aritmética

Sino por la media ponderada

representan los pesos de cada medida y su valor es igual a la inversa del cuadrado del error medio cuadrático de la media.

El error medio cuadrático de la media ponderada viene dado por la expresión:

Siendo P los pesos, e la diferencia entre la media ponderada y la media aritmética y n el número de métodos o instrumentos

utilizados.

.

OBSERVACIONES DE DIFERENTE PRECISION

• Cuando no se conoce el número de observaciones pero si el error probable de cada medición, se puede deducir el peso, sabiendo de que los pesos son inversamente proporcionales al cuadrado de los correspondientes errores probables, llamando W al peso y E al error probable podemos tener la siguiente relación.

= • Para cualquier número de mediciones podemos escribir

= = = …………• Ejemplo: Se midió una línea en dos días distintos, las mediciones del primer día

fue 389.706 0.0004. El segundo día las longitudes medidas fueron 389.7020.007m. Cual es la longitud media ponderada de la línea.

• = ; = ; M = = 389.70292

•

OBSERVACIONES DE DIFERENTE PRECISIONEjemplo: Se ha medido una longitud por cuatro brigadas diferentes obteniéndose los siguientes resultados con sus errores probables., hallar el valor más probable de la magnitud medida:

BRIGADA LONG. MEDIDA A 127.612 ± 0.006 B 27.615 ± 0.012 C 127.610 ± 0.018 D 127.618 ± 0.024

BRIGADA LONG. MEDIDA PESO MEDIDA PONDERADA

A 127.612 ± 0.006 1 127.612 B 27.615 ± 0.012 31.904 C 127.610 ± 0.018 14.179 D 127.618 ± 0.024 7.976

181.671

Para obtener la tercera columna (pesos)

Si

127.612+ 31.904 + 14.179 + 7.976MEDIA PONDERADA = ----------------------------------------------- = 127.613

1 + + 1/9 + 1/16


• Cuando la suma de varios valores observados, de diferente peso, ha de ser igual a un valor conocido, medio o dado, los valores más probables son los observados, corregidos en una parte adecuada de la discrepancia o error total y entonces se dice que las correcciones que hay que aplicar son inversamente proporcionales a los pesos, es decir

= • En donde C es la corrección que debe aplicarse al valor

observado de una cantidad para obtener el valor más probable. Para un número cualquiera de

cantidades la formula anterior se puede expresar así: • = = = …………

OBSERVACIONES DE DIFERENTE PRECISION• Ejemplo: Desde un punto 0 se han medido los ángulos A0B, B0C y el ángulo

total A0C, con los pesos 1, 2, 6 respectivamente encontrar los valores mas probables de los ángulos.

• ÁNGULOS MEDIDA PESO ABSOLUT• A0B 43° 12’ 18” 1• B0C 26° 53’ 12” 2 • A0C 70° 07’ 15” 6

• Discrepancia 15” • X + + X = 15 X = x 15

• Luego las correcciones serán • A0B = 43° 12’ 18” – 9”= 43° 12’ 09”• B0C = 26° 53’ 12” – 4” = 26° 53’ 08”• A0C = 70° 07’ 15” + 2 = 70° 05’ 17”• S = 70° 05’ 17”

OBSERVACIONES DE DIFERENTE PRECISION• Por ser las correcciones inversamente proporcionales a los

pesos y ser estos inversamente proporcionales a los cuadrados de los errores probables resulta que las correcciones son directamente proporcionales a los cuadrados de los errores probables

= = = …• Ejemplo: Se han medido los 3 ángulos de un triángulo cuyos datos son• A 49° 51’ 05” ± 01”• B 60° 32’ 00” ± 02”

• C 69° 36’ 27” ± 03”• Hallar los valores más probables de los ángulos


• La suma da 179° 59’ 32” es decir hay un error de 28”

• E CORRECCIÓN ANGULOS CORREGIDOS• A – 1” 1 x 28 = 2” 49° 51’ 05” + 2” = 49° 51’ 07”• B – 2” 4 x 28 = 8” 60° 32’ 00” + 8” = 60° 32’ 08”

• C – 3” 9 x 28 = 18” 69° 36’ 27” + 18” = 69° 36’ 45”

• 14 180° 00’ 00”•

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