CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN

Mg. Amancio R. Rojas Flores

Un circuito de segundo orden se caracteriza por una ecuación

diferencial de segundo orden. Consta de elementos R, L y C

1.- INTRODUCCION

En este capítulo se analizan circuitos que contienen dos elementos de almacenamiento. A estos circuitos se les conoce como circuitos de segundo orden, porque sus respuestas se describen con ecuaciones diferenciales que contienen segundas derivadas.

Ejemplos

circuitos RLC

Circuitos RC y RL

2.- DETERMINACIÓN DE VALORES INICIALES Y FINALES

Hay dos puntos clave que se deben tener presentes en la determinación de las condiciones iniciales.

Se debe tener cuidad la polaridad de la tensión v(t) en el capacitor y la

dirección de la corriente i(t) a través del inductor .

Tener presente que:

La tensión del capacitor siempre es continua

)()( ovov

La corriente del inductor siempre es continua

)()( oioi

nconmutaciódeeventoundedespuesjustomomento

nconmutaciódeeventoundeantesjustomomento

donde

ot

ot

:

:

:

Ejemplo 1

El interruptor en la figura ha estado cerrado mucho tiempo. Se abre en t = 0

Hallar:

Entonces tenemos el circuito de la figura (a)

Aoi 324

18)(

voiov 6)(2)(

Dado que la corriente del inductor y la tensión del capacitor no pueden cambiar abruptamente

Aoioi 3)()( vovov 6)()(

Solución

a) Si el interruptor esta cerrado mucho tiempo antes de t = 0 esto significa que el

circuito ha llegado al estado estable de cd en t =0. en el estado estable de CD

- El inductor actúa como un cortocircuito - El capacitor actúa como un circuito abierto

b) En t=0+ , el interruptor esta abierto ; el circuito equivalente se muestra en la

fig. tanto por el inductor como por el capacitor fluye la misma corriente. Así

Aoioic 3)()(

C

i

dt

dv

dt

dvCiquedado c

c

sVC

i

dt

dv c /301.0

3)0()0(

L

v

dt

di

dt

idLvmaneraigualde L

L

Se obtiene vL aplicando la LTK al lazo de la figura (b)

sAL

ov

dt

oidtolopor L /0

25.0

0)()(tan

0)()()(418 ovovoi L 061218)( ovL

c) Para t>0, el circuito pasa por un trasiente. Pero como t , llega otra vez al

estado estable. El inductor actúa como un cortocircuito y el capacitor como

circuito abierto, de modo que el circuito de la fig (b) se convierte en el que

aparece en la fig(c), del que se tiene

Ai 0)(

Vv 18)(

Prob. En referencia al circuito de la figura , encuentre:

Solución

En t(0-) el circuito ha alcanzado el estado estacionario de manera que el circuito equivalente se muestra en la figura a

VvAi 12)0(,26/12)0(

VvvAiiten 12)0()0(,2)0()0(0

b) Para t > 0 tenemos el circuito equivalente mostrado en la figura (b).

L

v

dt

dio

dt

diLv L

L

obtenemostenLVKaplicando )0(

0)0(10)0()0( ivvL

Vvv LL 8)0(02012)0(

sAdtditolopor /42/8/)0(tan

sVdtdv

ii

C

i

dt

dvo

dt

dvCitesimilarmen

C

CC

/54.0/2/)0(

2)0()0(

:

c) Cuando t tiende a infinito, el circuito alcanza el estado de equilibrio.

VvAi 0)(,0)(

Prob. En el circuito de la figura , determine:

a) En t = 0 -, el circuito equivalente se muestra en la figura (a).

Solución

mAi

k

R 2)1525/(80)0(

1520//60

Por el principio de divisor de corriente,

0)0(

5.1)2060/()2(60)0(

C

L

v

mAmAi

mAii

ten

LL 5.1)0()0(

)0(

mAki

vi

R

CR

778.145/80)0(

)0()2025)(0(80

mAii

iiipero

CC

LCR

278.0)0(5.1)0(778.1

0)0()0()

CL vvb

dtdvdtdi

vinuevamente

dtdi

LvdtdidtLdivpero

CR

CR

L

LLLL

//450

4580

0/)0(

0/)0(/)0(/

sAdtdi

dtdvdtditolopor

sVuFmCidtdvpero

R

CR

CC

/1778.6/)0(

45/278/)0()45/1(/)0(tan

/2781/278.0/)0(/)0(

c) Cuando t tiende a infinito, tenemos el circuito equivalente de la figura (b).

sAdtdidtdi

dtdidtdidtdi

iiitambien

CC

LCR

LCR

/1788.6/)0(0/)0(1788.6

/)0(/)0(/)0(

0/)()(

788.145/80)()(

dtCdvi

mAii

L

LR

Practica1

El interruptor de la figura estuvo abierto mucho tiempo, pero se cerro en t=0 hallar:

Ejemplo 2 En el circuito de la figura calcular

Solución

a) Para t<0 , 3u(t) =0 . En t = 0- , dado que el circuito ha llegado al estado

estable, el inductor puede remplazarse por un cortocircuito, mientras que

el capacitor se remplaza por un circuito abierto, como se ve en la figura

Para t>0, 3u(t)=3, así que ahora el circuito es el equivalente al de la figura.

Puesto que la corriente del inductor y la tensión del capacitor no pueden

cambiar abruptamente

La aplicación de la LCK al nodo a de la figura da

Vovov

oioi

cc

LL

20)()(

0)()(

Aplicamos la LTK al lazo intermedio de la figura b da:

..(2)

..(3)

..(4)

Vovcomo c 20)(

De la ecuación (2) , la ecuación (4) implica que

..(5)

De la ecuación (3) , y (5) se obtiene

b) Puesto que dt

idLvL

La aplicación de la LTYK a la malla derecha de la figura da como resultado

De ahí que

dt

dvCicomomaneraigualde c Aplicamos la LCK al nodo b para obtener ic

Aiivquedado cL 14/4)0(,0)0(,4)0(0

dt

ovdobtenerpara R )(

La aplicación de la LCK al nodo a produce

Al tomar la derivada de cada termino y establecer t = 0+ se obtiene

…(10)

También se aplica la LTK al lazo intermedio de la figura (b) de lo que resulta

Al tomar la derivada de cada termino y establecer t = 0+ se obtiene

dadt

ovdnsustitucióla C ,2

)(

…(11)

De las ecuaciones (10) y (11) se obtiene

Como t , el circuito llega al estado estable. Asi se tiene el circuito equivalente de la figura (a) , salvo que ahora esta en operación la fuente de corriente de 3A. Por la regla de división de corriente

Practica 2 En referencia al circuito de la figura, hallar

CIRCUITO RLC EN SERIE

Sea el circuito mostrado en la figura. Este circuito

se excita con energía almacenada en el capacitor y

el inductor. Tal energía esta representada por la

tensión inicial del capacitor V0 y la corriente inicial

del inductor I0 . Así en t = 0

Al aplicar la LTK en la malla de la figura

Para eliminar la integral, se deriva con respecto a t y se reordenan los términos

0

0

0

)0(

1)0(

Ii

VidtC

v

…(2)

01

t

idtCdt

diLRi …(3)

02

2

LC

i

dt

di

L

R

dt

id…(4)

Resolver la ecuación diferencial de segundo orden requiere que haya dos condiciones

iniciales, como el valor inicial de i y de su primera derivada o el valor inicial de

algunas i y v.

El valor inicial de i se da en la ecuación (2b). Se obtiene el valor inicial de la derivada

de i de las ecuaciones (2a) y (3)

0)0(

)0( 0 Vdt

diLRi

O sea

)(1)0(

00 VRILdt

di

…(5)

Con las dos condiciones iniciales en las ecuaciones (2b) y (5), ahora se puede

resolver la ecuación (4). Con la experiencia sobre circuitos de primer orden, indica

que la solución es de forma exponencial.

stAei

Donde A y s son contantes a determinar

…(6)

De la sustitución de la ecuación (6) en la ecuación (4) y de la realización de las derivaciones necesarias se obtiene

…(7)

Esta ecuación cuadrática se conoce como ecuación característica de la ecuación diferencial (4), ya que sus raíces dictan el carácter de i, las dos raíces de la ecuación (8) son

…(8)

…(9)

Una forma mas compacta de expresar estas raíces es:

donde

Las raíces s1 s2 se denominan frecuencias naturales, medidas en nepers por segundo (Np/s), porque se asocian con la respuesta natural del circuito

0 se conoce como frecuencia resonante, o mas estrictamente como frecuencia natural no amortiguada. Expresada en radianes por segundo (rad/s)

, es la frecuencia neperiana o factor de amortiguamiento, expresada en nepers por segundo.

…(10)

En términos de y 0 , la ecuación (8) puede escribirse como.

Los dos valores de s en la ecuación (10) indican que hay dos posibles soluciones para i ,

cada una de las cuales es de la forma de la supuesta solución en la ecuación (6), es decir

Como la ecuación (4) es una ecuación lineal, cualquier combinación lineal de las

dos distintas soluciones i1 e i2 también es una solución de la ecuación (4). Una

solución completa o total de la ecuación (4) requeriría por lo tanto una combinación

lineal de i1 e i2 . Así la respue4sta natural del circuito RLC en serie es:

Donde las constantes A1 A2 se determinan a partir de los valores iniciales de i(0) y

di(0)/dt en las ecuaciones (2b) y (5)

De la ecuacion (10) se puede inferir que hay tres tipos de soluciones

oamortiguad

oamortiguadtecríticamen

iguadosobreamort

,

,

,

0

0

0

…(13)

)( 0 iguadosobreamortcaso (Cuando las rices de la ecuación característica

del circuito son diferentes y reales )

Con base en las ecuaciones (9) y (10) . > 0 implica que C=4L/R2 , cuando esto sucede , las raíces s1 y s2 son negativas y reales. La respuesta es:

)( 0 oamortiguadtecriticamencaso ( cuando las raíces son iguales y reales)

Cuando = 0 , C= 4L/R2

En este caso, la ecuación (13) da por resultado

Donde A3 = A1 + A2 , . Esta no puede ser la solución, porque las dos condiciones iniciales no pueden satisfacer con la condición sencilla A3

La suposición de una solución exponencial es incorrecta para el caso especial de amortiguamiento critico.

Usamos la ecuación (4). Cuando = 0 =R/2L . La ecuación (4) se convierte en:

O sea …(16)

Haciendo

La ecuación (16) se convierte en

…(17)

La cual es una ecuación diferencial de primer orden con solución teAf 1

Donde A1 es una constante. La ecuación (17) se convierte entonces en

O sea …(18)

Esta puede escribirse como

La integración de ambos miembros produce

O sea …(20)

Donde A2 es otra constante. Así, la respuesta natural del circuito críticamente amortiguado es una suma de dos términos: una exponencial negativa y una exponencial negativa multiplicada por un termino lineal, o sea

)( 0 uadosubamortigcaso ( cuando las raíces son complejas)

Cuando < 0 , C< 4L/R2 Las raíces pueden escribirse como

…(22)

donde

22

01 dyjLa cual se llama frecuencia

de amortiguamiento

Tanto 0 como d son frecuencias naturales , porque contribuyen a determinar la respuesta natural

0 suele llamarse frecuencia natural no amortiguada

d suele llamarse frecuencia natural amortiguada

La respuesta natural es

…(23)

Usando las identidades de Euler

…(24)

Se obtiene

…(25)

Al remplazar las constantes (A1 +A2 ) y j(A1 -A2 ) por las constantes B1 y B2 , se escribe

Ejemplo

En la figura , R = 40 , L= 4H y C= 1/4 F. Calcule las raíces características del circuito. ¿La respuesta natural está sobre, sub o críticamente amortiguada?

solución

Primero se calcula 1

4

14

11,5

)4(2

40

20

xLCL

R

Las raíces son 12552

0

2

2,1 s

899.9101.0 21 ss

Puesto que w0 se concluye que la respuesta está sobreamortiguada. Esto también es evidente en el hecho de que las raíces son reales y negativas.

Halle i(t) en el circuito de la figura. Suponga que el circuito ha llegado al estado estable en t = 0 - .

Ejemplo

Solución:

Para t < 0, el interruptor está cerrado. El capacitor actúa como circuito abierto, mientras que el inductor lo hace como circuito derivado. El circuito equivalente se muestra en la figura (a). Así, en t = 0,

donde i(0) es la corriente inicial a través del inductor y v(0) es la tensión inicial a través del capacitor.

Para t> 0, el interruptor está abierto y la fuente de tensión desconectada. El circuito equivalente se presenta en la figura (b), de un circuito RLC en serie sin fuente. Nótese que los resistores de 3 y 6 , que están en serie inicialmente cuando el interruptor se abre, se han combinado para producir R = 9 en la figura (b). Las raíces se calculan de la siguiente manera:

o sea

Así, la respuesta está subamortiguada ( ); es decir,

Ahora se obtiene A1 y A2 usando las condiciones iniciales. En t = 0,

Partiendo de la ecuación

Adviértase que se emplea v(0)=V0 =-6V , porque la polaridad de v en la figura (b) es la opuesta a la de la figura inicial. Al tomar la derivada de i(t) en la ecuación

La imposición de la condición en la ecuación (*) en t= 0 da por resultado

(*)

Pero A1 =1 . En consecuencia,

La sustitución de los valores de A1 y A2 en la ecuación

produce la solución completa como

CIRCUITO RLC EN PARALELO

Sea el circuito RLC en paralelo, que se representa en la figura .

Suponiendo que la corriente inicial

del inductor I0 y la tensión inicial

del capacitor V0

…(27)

Puesto que los tres elementos están en paralelo, tienen la misma tensión v en sus extremos.

De acuerdo con la convección pasiva de los signos, en cada elemento entra corriente; esto es , la corriente a través de cada elemento sale por el nodo superior. Así la aplicación de la LCK al nodo superior nos da.

…(28)

Al tomar la derivada respecto a t y dividir entre C resulta

…(29)

Se obtiene la ecuación característica remplazando la primera derivada por s y la segundad derivada por s2 . Siguiendo el mismo razonamiento que el utilizado al establecer las ecuaciones (4) y (8), la ecuación característica se obtiene como

…(30)

Las raíces de la ecuación características son

o sea

Donde

…(31)

…(32)

2

0

2

2,1 s

)( 0 iguadosobreamortcaso

A partir de la ecuación (32) CRL 2

0 4,

Las raíces de la ecuación característica son reales y negativas. La respuesta es

)( 0 oamortiguadtecríticamencaso

CRLPara 2

0 4,

Las raíces son reales e iguales , así que la respuesta es

)( 0 uadosubamortigcaso

CRLcuando 2

0 4,

En este caso las raíces son complejas y pueden expresarse como

donde

La respuesta es

Las constantes A1 A2 pueden determinarse en cada caso con base en las condiciones iniciales. Se necesita v(o) dv(0)/dt. El primer termino se conoce a partir de la ecuación (27b). El segundo se halla combinando las ecuaciones (27) y (28), en esta forma

O sea

Problema 1 Dado el circuito que se muestra en la Figura 8.1, que ha permanecido así durante mucho tiempo, encontrar:

)0(),0(,)0(,)0( 2121 LLCC iyiVV

Cuando un circuito alcanza el estado de equilibrio, un inductor se parece a un corto circuito y un condensador se ve como un circuito abierto.

Solución

Por lo tanto, utilizamos el siguiente circuito para encontrar los valores iniciales.

Usamos transformaciones de fuente para simplificar el circuito.

Ahora es evidente que

Usamos análisis nodal para hallar V1 , V2 , y V3

En el nodo 1 En el nodo 2 En el nodo 3

Sustituyendo la ecuación del nodo 2 en la ecuación del nodo 1

VV

VEntonces 5.122

25

21

2

Por lo tanto

Dado el circuito de la figura 8.1, que ha alcanzado el estado estacionario

antes de que el interruptor se cierra, encontrar i (t) para todo t > 0. Problema 2

Solución

Usamos la LTK para escribir la ecuación de malla para t > 0

Reordenando los términos y la inserción de los valores de R, L y C,

Multiplicando por 1/L y derivando con respecto al tiempo

asumiendo una solución de Aest

21 21 SySque da raíces reales y desiguales en

0)2)(1(tan SStolopor

tt eAeAtitolopor 2

21)(tan

En t = 0+ el circuito es

1221)0(tan AAoAAitolopor

1)0(

10)0(

10)0(

dt

dio

dt

diVtambien L

21

0

2

0

1 22)0(

AAeAeAdt

diy

11121 221tan AAAAAtolopor

11 21 AyAluego