Ecuaciones de Segundo Orden

Programa : Ingeniería Civil

Asignatura : Ecuaciones Diferenciales Tutor : Jorge A. León R.

Semestre : Quinto

EJERCICIOS UNIDADES 4 - 5

Temas a evaluar:

Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Coeficientes Indeterminados, método de superposición Coeficientes indeterminados, método del anulador Variación de parámetros

Problemas de valor inicial y de valores en la frontera: 1. En los problemas a. y b., cada familia de funciones es la solución general de la

ecuación diferencial en el intervalo indicado. Determine un miembro de la familia que sea solución del problema de valor inicial.

a. Y = c1e4x + c2e-x, (-∞, ∞); y”- 3y’ - 4y = 0, y(0) = 1, y’(0) = 2

b. y = c1x + c2xlnx, (0, ∞); x2y” – xy’ + y = 0, y(1) = 3, y’(1) = -1

2. Si 푥(푡) = 푐 cos(푤푡) + 푐 푠푒푛(푤푡) es la solución general de x” + w2x = 0, en el intervalo (-∞, ∞).

Demuestre que una solución que satisface las condiciones iniciales x(0) = x0, x’(0) = x1 es:

푥(푡) = 푥 cos(푤푡) +푥푤푠푒푛(푤푡)

Ecuaciones lineales homogéneas: 3. En los problemas a. y b., compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente

independientes en el intervalo (-∞, ∞).

a. f1(x) = x, f2(x) = x2, f3(x) = 4x - 3x2

b. 푓 (푥) = 0, 푓 (푥) = 푥, 푓 (푥) = 푒

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4. En los problemas a. a c. , compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general.

a. y”- 2y’ + 5y = 0; excos2x, exsen2x, (-∞, ∞)

b. x2y” – 6xy’ + 12y = 0; x3, x4 , (0, ∞)

c. x3y”’ + 6x2y” + 4xy’ - 4y = 0; x, x-2, x-2lnx, (0, ∞)

5. Determine una solución general de la ecuación diferencial dada.

a. 푦 − 10푦 + 26푦 = 0

b. 푦 + 5푦 − 6푦 = 0

c. 푦 + 8푦 + 16푦 = 0

d. 푦 − 2푦 − 2푦 = 0; 푦(0) = 0, 푦 (0) = 3

Ecuaciones no homogéneas: 6. Compruebe que la familia biparamétrica de las funciones dadas en los problemas

a. y b. sea la solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo indicado.

a. y” – 7y’ + 10y = 24ex; y = c1e2x + c2e5x + 6ex , (-∞, ∞)

b. y”+ y = secx; y = c1cosx + c2senx + xsenx + cosx ln(cosx), (-π/2, π/2)

7. Compruebe que: (a) yp1 = 3e2x y yp2 = x2 + 3x son, respectivamente, soluciones particulares de:

y” - 6y’ + 5y = -9e2x y y” - 6y’ + 5y = 5x2 + 3x – 16. (b) Use la parte (a) para determinar soluciones particulares de:

y” - 6y’ + 5y = 5x2 + 3x – 16 - 9e2x y y” - 6y’ + 5y = -10x2 – 6x + 32 + e2x.

8. Determine la solución general de cada ED de segundo orden:

a. y” – 36y = 0

b. y” + 4y’ - y = 0

c. 3y” + 2y’ + y = 0

d. 022

2

3

3

udt

uddt

ud



9. Resuelva las siguientes ED por los métodos de: coeficientes indeterminados y

superposición:

a. 푦 − 2푦 + 5푦 = 푒 cos (2푥)

b. 푦 − 2푦 − 4푦 + 8푦 = 6푥푒

10. Resuelva las siguientes ED por coeficientes indeterminados, método del anulador:

a. y” + 4y’ + 4y = 2x + 6

b. y” + 25y = 20sen5x

11. Resolver las siguientes ED por variación de parámetros:

a. 2y” – 2y’ – 4y = 2e3x

b. y” – y’ = 2x + 4



























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