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7/17/2019 Modelo Segundo Orden
http://slidepdf.com/reader/full/modelo-segundo-orden 1/16
RSM - Superficies de respuesta de segundo orden
SUPERFICIES DE RESPUESTA DE SEGUNDO
ORDEN
1 Superfcie de respuesta de segundo orden.
Se busca identifcar la región que contenga la solución óptima:
a) Los diseños actoriales con puntos centrales 2K o 2K-1 con niveles -1! "!
#1)$
b) %robar la curvatura del modelo de segundo grado:
ε β β β β ++++= ∑ ∑∑ ≠ == ji
k
j j jj jiij
k
j j j x x x x y1
2
10
&onde las 'ipótesis de traba(o son:
o: ∑=
=k
j
jj
1
0β *o 'a+ curvatura signifcativa
1: ∑=
≠k
j
jj
1
0β La curvatura es signifcativa
C F
C F C F curv
nn
y ynnSS
+
−=
2)(
&onde:
F y , promedio de los puntos del diseño en los vrtices del cubo o cuadrado
C y , promedio de los puntos del diseño de puntos centrales del cubo o
cuadrado
F n *.mero de puntos actoriales en los vrtices del cubo o cuadrado$
C n *.mero de puntos centrales en el cubo o cuadrado$
MSE
SS F Curv
C =
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 1 de 15 0bril"6! 2""5
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RSM - Superficies de respuesta de segundo orden
Se rec'aa la o si 7c 8 7ala! 1! nc + si al menos 'a+ in punto óptimo dentro
de la región actual de e9perimentación$
uando en los modelos de naturalea lineal! si la curvatura uera signifcativa!
es necesario a(ustar modelos de segundo orden! es decir! se requiere de la
metodolog;a de superfcies de respuesta /S<)$
Funci!n de apro"i#aci!n de segundo orden.
n la metodolog;a de superfcie de respuesta /S<) se asume que la relacional
uncional:
, = 9!>) # ?
1
es desconocida$ Las variables 91! 92!$$$$! 9@! son centrada + convertidas en
unidades de diseño + se aplica el siguiente modelo:
ε β β β β ++++= ∑∑∑∑−
= ==
j
k
i
k
j
iiji
k
i
ii
k
i
x x x x y1
1 2
2
1
110 2
ste es el modelo de superfcie de respuesta de segundo orden$
.1 Caracter$sticas de %a &unci!n de segundo orden ' %a superfcie de
respuesta.
l modelo de la ecuación 2 se a(usta a la ma+or;a de datos e9perimentales en
los que e9iste curvatura$ n algunos casos poco recuentes se pueden requerir
el uso de los trminos c.bicos sea ,, 2
212
2
1 x x x x etctera) para lograr un a(uste
adecuado$ n otros casos la curvatura puede ser adecuadamente mane(ada atravs del uso de transormación sobre la misma respuesta$
l modelo de segundo orden descrito en ecuación 2 es mu+ efca + Acilmente
se adapta a una gran variedad de diseños de e9perimentos$
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 2 de 15 0bril"6! 2""5
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La naturalea geomtrica de la unción de segundo orden se muestra en las
7iguras 1! 2! + B$ Las 7iguras 1 + 2 indican contornos de la respuesta constante
para una situación 'ipottica con @ = 2 variables$ n 7igura 1 el centro del
sistema! o punto estacionario! es un punto de respuesta mA9ima$ n la 7igura 2
el punto estacionario es un punto de respuesta m;nima$ n ambos casos la
respuesta se muestra en elipses concntricas$ La 7igura B! muestra un sistema
'iperbólico de contornos$ *ote que el centro no es ni un mA9imo ni un punto
m;nimo$ n este caso! el punto estacionario es llamado un punto silla + el
sistema de contornos se llama de silla o sistema minima9$ La identifcación de
las caracter;sticas del sistema + la ubicación del punto estacionario son
importantes en el anAlisis de segundo orden$ ste tipo de anAlisis es mu+
amigable por computadora$ Los grAfcos tridimensionales pueden ser mu+
.tiles para el analista de datos en la defnición de las caracter;sticas de una
superfcie de respuesta$
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina B de 15 0bril"6! 2""5
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%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina C de 15 0bril"6! 2""5
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%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 6 de 15 0bril"6! 2""5
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%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 5 de 15 0bril"6! 2""5
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7ig$ B Sistema de segundo orden mostrando un punto silla a) ontorno b)
Superfcie
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
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. Superfcie de respuesta de segundo orden
La caracter;stica del sistema de superfcie de respuesta mA9imo! m;nimo! o
punto silla) depende de los signos + las magnitudes de los coefcientes del
modelo de la ecuación 2$ Los coefcientes de segundo orden interacciones +
trminos cuadrAticos puros) tienen un papel esencial$ Eenemos que considerar
que los coeicientes usados son estimaciones de las FGs de la ecuación 2$ omo
resultado los contornos representan contornos de estimaciones de respuesta$
%or lo tanto! incluso el sistema mismo puntos silla! mA9imo o m;nimo) es
parte del proceso de estimación$ l punto estacionario + la caracter;stica
general del sistema surgen como consecuencia de un modelo a(ustado! no de
la estructura real$
onsidere el e(emplo de la fgura 1 para la cual el modelo de segundo orden
estA dado por:
Hn anAlisis de esta unción de superfcie de respuesta determinar;a la ubicación
del punto estacionario + la naturalea de la respuesta$
l punto estacionario de la solución es:
sto resulta en el sistema de las ecuaciones lineales
1591 # 1292 = 6
1291 # 2C92 = 1"
Iiendo la solución para el punto estacionario 91 = " 92 = SJ12
La respuesta apro9imadamente en el punto estacionario es dada por:
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina de 15 0bril"6! 2""5
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,est = 1"2$"$
l anAlisis grAfco! tiene un papel importante$ Sin embargo muc'as veces el
anAlisis ormal es mu+ provec'oso$ sto es particularmente cierto cuando
varias variables de diseño @ 8 2) estAn involucradas$ l anAlisis ormal pude
ser me(or para defnir las caracter;sticas de la superfcie de respuesta$ 0
menudo la naturalea del sistema se logra a travs de una combinación de las
tcnicas anal;ticas + anAlisis grAfco$ 0demAs! recuentemente es necesario!
para el cient;fco o el ingeniero! usar optimiaciones restringida para llegar a
las condiciones operativas optimas$ sto es particularmente cierto cuando el
punto de respuesta silla! m;nimo o mA9imo se encuentran uera de la región
e9perimental! o e9isten varias respuestas que deben de ser consideradas$
(. )ode%o ana%$tico de apro"i#aci!n para respuesta de segundo
orden.
onsiderar otra ve el modelo de superfcie de respuesta de segundo orden de
la ecuación 2$ Sin embargo! consideraremos el modelo a(ustado en notación
matricial como:
x B xb xb y ˆ''ˆ 0
++=
B
&onde b"! *! + B son las estimaciones de los coefcientes de la intersección!
de la lineal + de los segundo orden! respectivamente$ &e 'ec'o 9G=M91! 92! N!
9@O! bG=Mb1!b2! N! b@O + B es la matri simtrica @ 9 @
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
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(.1 +oca%i,aci!n de% punto estacionario.
s sencillo dar una e9presión general para la localiación del punto
estacionario! dice PB$ Hno puede dierenciar y en la ecuación B con respecto a
x + obtener:
x Bb x y ˆ2/ˆ +=∂∂
Qgualando la derivada a "! uno puede encontrar el punto estacionario del
sistema:
b B x 1
3 ˆ2
1 −
−= 6
La predicción de la respuesta en el punto estacionario es:
s s s s x B xb xb y ˆˆ ''
0 ++=
b xb s
'
02
1+=
(. Caracter$stica de% punto estacionario -an%isis can!nico/
La caracter;stica del punto estacionario es determinada de los signos de los
eigenvalores de la matri B $ Se observa que las respectivas magnitudes de
estos eigenvalores pueden ser .tiles en la interpretación total$
Λ= P B P
ˆ'
5
&onde R es una matri diagonal que contiene los eigenvalores de B como los
elementos diagonales principales$ 0'ora si traducimos el modelo de ecuación B
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 1" de 15 0bril"6! 2""5
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a un nuevo centro! nombrado el punto estacionario! + rotamos a e(es
principales del sistema de contorno! tenemos:
= 9 - 9s
= %G D
l proceso es ilustrado grAfcamente en la 7igure C$ La conversión es:
)(ˆ)'()'(ˆ 0 s s s x z B x z b x z b y +++++=
)ˆ2ˆ'']ˆ[ '''0 z B x z B z b z x B xb xb s s s s +++++=
z B z y s ˆ'ˆ +=
%or que b z z B x 'ˆ2 '
0 −= de la ecuación 6$ La transormación da
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 11 de 15 0bril"6! 2""5
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Pw B P w y y s
ˆ''ˆˆ +=
ww y Λ+= 'ˆ
l e(e es el principal e(e del sistema de contornos$ La ecuación puede ser
escrita:
2
1
ˆˆ i
k
i
i s w y y ∑=
+= λ
&onde s y es la respuesta estimada del punto estacionario + k λ λ λ ,...,, 21 son
eigenvalores de B $ Las variables 1! 2! N! @ son las variables canónicas$
La conversión + rotación descrita anteriormente resultan en la ecuación $ sta
ecuación describe la naturalea del punto estacionario + la naturalea del
sistema acerca del punto estacionario$ Los signos de las TGs determinan la
naturalea de 9s! + la magnitud relativa de los eigenvalores a+udan al usuario
comprender me(or la respuesta del sistema$
1$ Si los valores de k λ λ λ ,...,, 21 son todos negativos! el punto estacionario
es una respuesta mA9ima
2$ Si los valores de k λ λ λ ,...,, 21 son todos positivos! el punto estacionario
es una respuesta m;nima$
B$ Si los valores de k λ λ λ ,...,, 21 tienen signos mi9tos! el punto estacionario
es una silla$
l anAlisis de la respuesta de segundo orden presenta un enoque anal;tico
ormal para + la rotación de e(es descritos aqu; es llamada un anAlisis canónico
del sistema de respuesta$ Ubviamente si el sistema es del tipo silla! se requiere
otro tipo de anAlisis$ Sin embargo! para sistemas de respuesta m;nima o
mA9ima! este tipo de anAlisis es .til$
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
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(.( Siste#as de cordi%%era
Las dierentes respuesta de mA9imo! m;nimo + de silla son bastante comunes
Hn eigenvalor esencialmente cero) mu+ pequeño implica el alargamiento
considerable de la superfcie de respuesta en esa dirección canónica!
resultando en una sistema de cordillera$
Codi%%era estacionaria.
onsidere la situación mostrada en 7igure 5 para @= 2 donde T1 V " + T2 V "
con WT1W X"$ l modelo canónico para esta superfcie lo es
2
22ˆˆ w y y s λ +=
l punto estacionario estA en la región oY el diseño e9perimental$ ste tipo de
superfcie de respuesta es un sistema de cordillera estacionaria$ l punto
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 1B de 15 0bril"6! 2""5
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estacionario es un mA9imo + es apro9imadamente un mA9imo en la l;nea
dentro de la región de diseño$ sto es! esencialmente 'a+ una l;nea mA9ima$
Cordi%%era creciente.
a+ otros ciertos movimientos de cordillera en la estrategia para el analista$
<ientras la cordillera estacionaria indica Ze9ibilidad en la elección de las
condiciones operativas! la cordillera creciente o ca+endo) indica que el
movimiento uera de la región e9perimental para la e9perimentación adicional
podr;a considerarse (ustifcada$
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
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l anAlisis de la respuesta de segundo orden cubre un enoque anal;tico ormal
para los valores de carril elevado$ ectivamente la cordillera creciente o
ca+endo) es una señal para el investigador de que l o ella quiAs 'an 'ec'o
una selección deectuosa o prematura de la región de diseño e9perimental a
menudo$ sto no es para nada poco com.n en las aplicaciones de /S<$
La cordillera creciente es marcada por un punto estacionario que esta le(ano de
la región de diseño$ 0demAs! sin embargo! uno de los eigenvalores estA cerca
del cero$ La condición restrictiva para tres variables se muestra en la
ilustración en la 7igura $ 0qu; los eigenvalues para 1! 2! + B son -! -! =")$
Una &or#a can!nica a%ternati0a
La orma canónica del modelo de segundo orden dado en ecuación es
llamada generalmente la 4-orma canónica$ s mu+ .til para determinar la
naturalea de la superfcie de respuesta! particularmente en identifcar
sistemas de silla + cordilleras$
(. E% pape% de %as tra#as de Contorno
Las tramas de contorno! o mapas con curvas de nivel! proveen una de las
maneras mAs reveladoras de ilustrar e interpretar el sistema de superfcie de
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 16 de 15 0bril"6! 2""5
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respuesta$ Las tramas de contorno son simplemente grAfcos bidimensionales
o a veces tridimensionales) que indican contornos de la respuesta constante
con el sistema de e(es! con un par especifco de las variables de diseño! r + 9 1
mientras que las otras variables de diseño son f(as$ Los grAfcos modernos
admiten interpretaciones interesantes que pueden ser .tiles al usuario$ 0 decir
verdad! en casi todas las situaciones prActicas de superfcie de respuesta! el
anAlisis debe ser seguido de una visualiación de contorno$ Las tramas son
particularmente necesarias cuando el punto estacionario no es
signifcativamente prActico un punto de silla! o es decir un punto mA9imo
cuando uno pide un punto de respuesta m;nima) o cuando el punto
estacionario es le(ano de la región de diseño$ videntemente! sistemas de
cordillera pueden ser interpretados cuando se puede observar sistemas
bidimensionales como un (uego de [7otos[ de la región de diseño solamente$
%or supuesto! si 'a+ un e9cesivo numero de variables de diseño! idear es mAs
di;cil! +a que muc'os actores tienen que ser f(os$ l mtodo de anAlisis de
cordilleras puede a+udar al usuario a menudo a entender el sistema$
Hna nota respecto a las tramas de contorno deben ser tomados en cuenta$ l
investigador debe entender que los contornos son solamente cAlculos
apro9imados! + si observa con(untos repetidos! debe usar el mismo diseño! la
comple(idad del sistema de respuesta podr;a cambiar ligeramente o
drAsticamente$ n otras palabras! los contornos no son generados por las
ecuaciones$ ada punto sobre un contorno tiene un error usual$
%roesor: &r$ %rimitivo /e+es0guilar
0lumna: Lic$ sperana 3imne 4ecerril%agina 15 de 15 0bril"6! 2""5