Ecuaciones Dirferenciales de Segundo Orden

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  • ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN REDUCIBLES A PRIMER ORDEN

    TRANSFORMACION DE LAPLACE

    Jess Alberto Lagares Navas

    Daniela Mara Gutirrez Sierra

    Hermes Lamadrid

    UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO

    FACULTAD DE INGENIERIA

    Puerto Colombia, Atlntico 23 de Noviembre de 2011

  • INTRODUCCION

    Una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden es una ecuacin donde

    aparece la segunda derivada de una funcin desconocida y no aparecen derivadas

    de orden mayor. Una ecuacin diferencial de segundo orden es de la forma:

    (, ,

    ,2

    2) = 0

    En general las ecuaciones de este tipo son muy difciles de resolver. Sin embargo,

    para tipos especiales de estas ecuaciones se conocen sustituciones que transforman

    la ecuacin original en una que puede resolverse en forma rpida. Un mtodo

    consiste en hacer una adecuada sustitucin para rebajar el orden , despues, tratar

    de resolver el resultado.

    Dada la importancia de resolver una ecuacin diferencial, se hace necesario

    prescindir de varios mtodos de resolucin de ecuaciones pero que estos hagan

    fcil la resolucin de la ecuacin diferencial mas no hacerla tediosa; una alternativa

    que hace la resolucin de ecuaciones diferenciales fcil y sistemtica es la

    transformada de Laplace que hace que las ecuaciones diferenciales e integrales se

    vuelvan ecuaciones polinmicas.

  • OBEJTIVOS

    Identificar ecuaciones diferenciales de orden dos que pueden ser reducidas a

    orden uno y resolverlas.

    Calcular transformadas directas e inversas de Laplace, aplicando los

    diferentes teoremas y definiciones de esta teora.

  • JUSTIFICACION

    Las ecuaciones diferenciales surgen en diversas reas del conocimiento, que

    incluyen no slo las ciencias fsicas, sino tambin campos diversos tales como la

    economa, medicina, psicologa e investigacin de operaciones. En el estudio de las

    ciencias e ingeniera se desarrollan modelos matemticos para ayudar a

    comprender los fenmenos fsicos. Estos modelos a menudo dan lugar a una

    ecuacin que contiene ciertas derivadas de una funcin desconocida, que puede

    resultar importante hallar.

    Por sta razn, se hace necesario estudiar los mtodos bsicos para reducir las

    ecuaciones diferenciales de segundo orden a primer orden; adems de saber

    resolver la ecuaciones diferenciales a partir de una transformada, como lo es la

    transformada de Laplace aplicando las integrales y la algebra en las ecuaciones

    haciendo mucho ms fcil la resolucin de ecuaciones diferenciales.

  • ECUACIONES DIRFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

    1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer

    orden.

    1.1 Si la ecuacin diferencial de segundo orden no contiene , puede escribirse

    como sigue:

    2

    2= (,

    ) (1)

    Considerando que

    es la variable dependiente, y haciendo

    =

    (2)

    Se recibe:

    2

    2=

    (

    ) =

    (3)

    Sustituyendo 2 y 3 en 1, se obtiene la siguiente ecuacin:

    = (, ) (4)

    La ecuacin 4 es una ecuacin diferencial de primer orden.

    Ejemplo 1

    2 2

    2+ (

    )

    2= 0 (5)

    La ecuacin 5 no contiene , entonces:

    =

    y

    2

    2=

  • Reemplazando estos valores en la ecuacin 5 se obtiene

    2

    + 2 = 0

    La solucin de esta ecuacin es:

    = 1

    + 1 1 es una constante de integracin

    Entonces

    =

    1

    + 1

    Integrando con respecto a se obtiene

    = 1

    + 1

    o bien

    = 12 ln( + 1) 1 + 2

    donde 1 y 2 son constantes arbitrarias.

    1.2 En caso de que la ecuacin diferencial no contenga puede escribirse en la

    forma siguiente:

    2

    2= (,

    ) (6)

    En este caso tambin se hace

    =

    (7)

    Entonces

    2

    2=

    (

    ) =

    =

    (8)

    Sustituyendo 7 y 8 en 6 se recibe la ecuacin siguiente:

    = (, ) (9)

  • La ecuacin 9 es una ecuacin diferencial de primer orden en donde es la variable

    independiente.

    Ejemplo 2

    2

    2 (

    )

    2+ (

    )

    3= 0 (10)

    Sea

    =

    Entonces

    2

    2=

    Reemplazando estos valores en la ecuacin 10 se obtiene:

    2 + 3 = 0

    o bien

    (

    + 2) = 0

    Si

    =

    = 0 Entonces = (11)

    y si

    + 2 = 0 o bien

    = 2

    Entonces

    1= 1

    O bien

    = =

    1

    1 1

    Por esto

    = 21() (12)

    en donde 1 y 2 son constantes arbitrarias.

  • Si la ecuacin 12 se da a 1 un valor cero resulta la solucin particular 11 = 2, por

    esto puede decirse que la ecuacin 12 es la solucin general de 10.

    1.3 Una ecuacin diferencial de la forma

    2 = (, (2)2 (13)

    puede resolverse por el mtodo anterior 1.2, pero con el fin de hacer el desarrollo

    ms fcil se hace

    (

    )

    2= (14)

    Derivando ambos miembros de 14 con respecto a se recibe:

    2

    2

    2=

    =

    o bien

    2

    2=

    1

    2

    Entonces la ecuacin 13 toma la forma

    1

    2

    = (, ) (15)

    Ejemplo 3

    ( + 1) 2

    2= (

    )

    2 (16)

    Sea

    (

    )

    2= entonces

    2

    2=

    1

    2

    La ecuacin 16 se transforma en la siguiente ecuacin:

    + 1

    2

    =

  • La solucin de esta ecuacin es;

    = 12( + 1)2

    pero

    (

    )

    2= entonces

    = 1( + 1)

    de donde

    ( + 1) = 21

    1.4 En la ecuacin

    = () (17)

    Faltan . Entonces la ecuacin 17 es un caso particular de las ecuaciones 6 y 13.

    Pero esta ecuacin puede resolverse tambin de la siguiente manera:

    Multiplicando ambos miembros de 17 por 2

    se obtiene

    2 2

    2

    = 2()

    Entonces

    (

    )

    2= 2()

    o bien

    (

    )

    2 = 2()

    Integrando miembro a miembro se recibe:

    (

    )

    2= 2 ()

    entonces

    = 2 () + 1

  • o bien

    2 ()+ 1=

    Integrando miembro a miembro se obtiene

    2 ()+ 1= + 2 (18)

    Ejemplo 4

    2

    2= 2 (19)

    Aplicando directamente la ecuacin 18 se obtiene

    122 = + 2

    entonces

    1= ( + 2)

    = 1

    ( + 2) (20)

    o bien

    = 1

    ( + 2) y =

    1

    ( 2)

    En general se puede escribir la solucin as:

    = ( + ) (21)

    La ecuacin diferencial 19 es la ecuacin de oscilacin simple y es frecuentemente

    aplicada en Fsica.

  • TRANSFORMACIN DE LAPLACE

    2. Transformacin de Laplace.

    Si una funcin dada (), definida para todo valor positivo de , se hace

    corresponder una nueva funcin:

    0

    ( ) ( )sxF s e f x dx

    (1)

    A la correspondencia se llama transformacin de Laplace y a (s) se le llama la

    transformada de Laplace de y la notaremos por:

    0

    ( ) ( ) ( )sxF s f s e f x dx

    (2)

    Por ejemplo si () = 1 cuando > 0, entonces

    8 80 0

    11 t te dt e

    s

    Por esto si > 0 entonces tenemos:

    1

    1 ss

    (3)

    Ejemplo 1

    Sea ( )nf x x , entonces

    8 8 8 100 0

    1 1( ) ]n x x x nf s x e dx e e nx dx

    s s

  • Luego si 0x , n entero mayor que cero se obtiene:

    1 80

    ( ) n xn

    f s x e dxs

    (4)

    Aplicando la relacin 4 sucesivamente se tiene:

    1 8 1 8 0 80 0 0

    ( 1) ( 1) 2 1( ) n x n x x

    n n n n nf s x e dx x e dx x e dx

    s s s s s s s

    1

    ! 1 !n s

    n n

    s s n

    Ejemplo 2

    Sea ( )axf x e cuando 0x , a una constante. Entonces:

    (8 )

    8 (8 )

    00 0( )

    aax x a ef s e e dx e dx

    s a

    Por consiguiente, cuando ( ) 0s a se tiene:

    1

    ( )f ss a

    2.1 Teorema 1

    La transformacin de Laplace es una operacin lineal es decir:

    af bg a f b g Donde , so