ECUACIONES DIFERENCIALES E SEGUNDO ORDEN …...1 CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N 2 5.1. Introducción Una ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática

1

CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N2

5.1. Introducción

Una ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función

con sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresión del tipo ( )

La ecuación anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos: ( )

5.2. Reducción de orden

Este método consiste en reducir el problema de resolver una ecuación diferencial de segundo orden a

un problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales de primer orden. Casos a considerar

5.2.1. Ecuaciones que no contienen la variable y. Sea la ecuación ( )=0. Haciendo ,

se deduce . Por tanto la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación diferencial de

primer orden

0p,p,xf '

Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde finalmente, se tiene

21 C,C,xΦydxxpy

5.2.2. Ecuaciones que no contiene la variable x. Sea la ecuación ( )=0. Haciendo ,

se tiene

dy

dpp

dx

dy

dy

dp

dx

ydy

La ecuación dada se transforma en

0yd

dpp,p,yf

Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde posteriormente se obtiene

2

21 C,C,xΦy

5.3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

La ecuación lineal general de segundo orden puede escribirse en la forma estándar

xRyxQyxPy

En la cual P(x) , Q(x) , R(x) son funciones conocidas

Teorema 1.De existencia y unicidad para el problema del valor inicial Sean P, Q, R funciones

continuas en un intervalo I y sea Ix 0 . Sean

00 y,y dos números reales cualesquiera. El problema del

valor inicial

0000 yxy,yxy,xRyxQyxPy

tiene solución única definida en I

5.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden

La ecuación lineal general de segundo orden

xRyxQyxPy

es homogénea , si R(x) = 0 ,

x I

0yxQyxPy

Teorema 2. Sean 21 y,y soluciones de la ecuación lineal homogénea en un intervalo I. Entonces se

verifica

1. 21 yy es una solución en I

2. Para cualquier constante c, 1yc es una solución en I

3

Las relaciones (1) y (2) se pueden combinar de la forma siguiente. Si 21 y,y son dos soluciones de la

ecuación anterior 2211 ycyc es una solución para dos constantes cualesquiera

Definición 1. Las soluciones 21 y,y son linealmente dependientes en un intervalo I si existen dos

números reales no todos nulos tales que

c1 y1+c2 y2 =0

Si la relación anterior solamente se verifica si c1=c2 =0 entonces y1, y2 son linealmente independientes.

Las soluciones y1, y2 forman un sistema fundamental de soluciones si son linealmente independientes

Teorema 3. Estudio del wronskiano para la independencia lineal

Sea la ecuación homogénea de segundo orden ( ) ( ) , y sean y1, y2 soluciones de la

ecuación diferencial dada en el intervalo I . Se demuestra que si el Wronskiano de [y1 , y2] que viene dado

por el determinante

xyxy

xyxyy,yW

21

21

21

es distinto de cero , entonces y1 , y2 son linealmente independientes

Teorema 4. Sean y1, y2 soluciones independientes de: ( ) ( ) en un intervalo I. Se

demuestra que toda solución de la ecuación diferencial es de la forma y = c1 y1+c2 y2, siendo 21 c,c

constantes. La combinación lineal: c1 y1+c2 y2 es la solución general de la ecuación diferencial si y1 , y2

son linealmente independientes . Esta solución contiene todas las posibles soluciones de la ecuación

diferencial

5.4.1. Obtención de una segunda solución a partir de una solucion conocida. Sea la ecuación lineal

homogénea de segundo orden

( ) ( )

Supongamos que se conoce una solución y1 de la ecuación diferencial. Se trata de buscar una segunda

solución linealmente independiente de la forma

y2(x)= u(x) y1(x)

4

Calculemos

22 y,y y sustituyamos en la ecuación diferencial, se tiene entonces

0uyQyPyuyPy2'u'y 111111 '

Como 0yQyPy 111 . La nueva ecuación diferencial será

0uyPy2yu 111

Haciendo , la ecuación diferencial dada se transforma en

0pPy

y2p

1

1

Ecuación lineal de donde obtenemos p. A continuación se calcula u en función de p, con lo cual

y2(x)= u(x) y1(x) es una solución de la ecuación diferencial original, siendo y1 , y2 linealmente

independientes ya que u(x) no es constante. Por tanto y1, y2 forman un conjunto fundamental de

soluciones de la ecuación original. La solución general es de la forma y = c1 y1+ c2 y2

5.5. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes

Esta ecuación es de la forma

( )

Supongamos q (x) = 0. Esta ecuación tiene siempre soluciones del tipo exponencial de la forma y= e r x

. La

sustitución de esta solución en la ecuación diferencial nos da

0ebrar xr2

Como e r x 0, x, se tiene que . Esta ecuación se llama ecuación característica de la

ecuación diferencial. Las raíces dan valores de r para los cuales e r x

es una solución de la ecuación.

Estas raíces son

2

b4aar

2

Las raíces pueden ser: Dos raíces reales distintas. Una raíz real doble. Raíces complejas conjugadas

5

1. La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas. Sean r1 y r2 estas raíces, por tanto

xr

2

xr

121 ey,ey son soluciones de la ecuación diferencial. Estas soluciones son linealmente

independientes en cualquier intervalo por ser el wronskiano 0 , luego y1 ,y2 forman un conjunto

fundamental de soluciones, por tanto la solución general de la ecuación homogénea es

xr

2

xr

121 ececy

2. La ecuación característica tiene dos raíces reales iguales. En este caso: a2-4 b=0. Una solución de esta

ecuación diferencial es: x

2

a

ey

Para obtener una segunda solución buscamos soluciones de la forma :

( ) ( )

. La solución general de la ecuación diferencial será

x

2

a

21 exccxy

3. La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas. En este caso: a2 - 4 b< 0 . Sean

2

ab4n,

2

am

2 .

Las raíces son: r1= m +i n, r2= m – i n . La solución general de esta ecuación diferencial será:

y= e m x

(C1 cos n x+ C2 sen n x)

5. 6. Ecuación diferencial de Euler

Esta ecuación es de la forma

, x >0

Para resolver esta ecuación se hace el cambio t = L x , con lo cual la ecuación diferencial dada se

transforma en la ecuación de coeficientes constantes

( )

6

5.7. Ecuaciones de segundo orden no homogéneas

Sea la ecuación diferencial lineal

( ) ( ) ( ) (1)

Teorema 5. Sean y1, y2 un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y sea py una

solución cualesquiera de la ecuación (1). Entonces toda solución de la ecuación (1) es de la forma

p2211 yycycy

Por tanto el teorema nos dice que conocemos todas las soluciones de la ecuación dada, si podemos

hallar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea junto con una solución

particular cualesquiera de la ecuación no homogénea

La ecuación ( ) ( ) , es la ecuación homogénea asociada de la ecuación (1)

La solución c1 y1+c2 y2 la denotamos por y h. La solución es la solución general de la

ecuación diferencial

5.8. Principio de superposición

Sea la ecuación diferencial

( ) ( ) ( )

Siendo R(x) la suma de un numero finito de funciones

R(x)= f1(x)+f2(x) +…….+f n(x)

y supongamos que podemos hallar una solución particular y j de cada uno de los problemas

( ) ( ) ( )

Se demuestra que la suma de estas soluciones particulares es una solución particular de

( ) ( ) ( )

7

Es decir es una solución de la ecuación diferencial: ( ) ( )

( )

5.9. Método de variación de los parámetros

Sea la ecuación diferencial

( ) ( ) ( ) (2)

P(x), Q(x) , R(x) son funciones continuas en un intervalo I . Supongamos que podemos hallar dos

soluciones linealmente independientes y1 , y2 de la ecuación homogénea, el método de variación de los

parámetros intenta obtener una solución particular de la ecuación dada en la forma

y p= u(x) y1(x)+ v(x) y2(x)

Se necesitan dos ecuaciones para calcular u(x) y v(x). Para ello vamos a operar en la ecuación (2) de la

siguiente forma

2121p yvyuyvyuy

Por otra parte de u y v exigimos que deben satisfacer la ecuación

0yvyu 21 (3)

Ahora bien 2121p yvyuyvyuy '' . Por tanto la ecuación

xRyxQyxPy ppp

se transforma en

R(x)yvyuQyvyuPyvyuyvyu 21212121

Esta ecuación se puede escribir como

xRyvyuyQyPyvyQyPyu 21222111

8

Como y1, y2 son soluciones de la ecuación homogénea, los términos entre paréntesis son cero, con lo cual se

tiene

xRyvyu 21 (4)

De las ecuaciones (3 y 4) se tiene

Rvyuy

0vyuy

21

21

El determinante de los coeficientes es distinto de cero por ser el wronskiano [y1,y2] 0 , al ser y1,y2

linealmente independientes . Por tanto

W

Ry

W

Ry

0y

v'W

Ry

W

yR

y0

u' 11

1

22

2

Posteriormente se calculan u y v. Finalmente se obtiene y p=u(x) y1(x)+ v(x) y2(x)

5.10. Ecuaciones diferenciales de orden n

Definiciones. Se define el problema del valor inicial de la ecuación diferencial lineal de orden n de la

forma

( ) (x) ( )

1n00

1n0000 yx.y..........,yxy,yxy '

Siendo a1(x)….a n(x) funciones continuas en un intervalo abierto I. Este problema tiene solución única en I

5.11. Ecuación lineal homogénea de orden n

Sea la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n

( ) (x) ( )

9

Sean y1…….y n soluciones de la ecuación homogénea. Entonces se verifica

1. y1 + y2 +………y n es una solución de la homogénea

2. c y i es una solución para cualquier numero c

Prueba del Wronskiano. Sean n1 .........y,y soluciones de la ecuación diferencial

( ) (x)

en un intervalo abierto I . Entonces se verifica

1. W(x)= 0 xI o bien W(x)0 xI

2 .y1 , y2 ,………y n son linealmente independientes en I si y solo si W(x0)0 para algún x0 en I

Teorema 6. Sean y1, y2,………y n soluciones linealmente independientes de

( ) (x)

en un intervalo abierto I .Entonces c1y1 +……+c n y n es la solución general de la ecuación diferencial

homogénea.

5.12. Ecuación lineal no homogénea de orden n

Sea la ecuación lineal no homogénea

( ) (x) ( )

y sea y p cualquier solución de

( ) (x) ( )

Sean y1,………y n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. Cualquier solución

de la ecuación no homogénea se puede escribir en la forma

y =c1y1+c2y2+……..+c n y n + y p

10

Por tanto se tiene y =y h + y p

5.13. Ecuación homogénea con coeficientes constantes

Sea la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes

Supongamos que y=e r x

es una solución de la ecuación diferencial, al sustituir en dicha ecuación se tiene

e r x

( r n+a1 r

n-1+……+a n-1 r +a n )=0

La ecuación característica adopta la forma . Esta ecuación tiene n -

raíces, para cada raíz r de esta ecuación, e r x

es una solución de esta ecuación.

5.14. Método de los coeficientes indeterminados

Sea la ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes:

( ) (5)

La solución general de esta ecuación diferencial es y h + y p . Por tanto necesitamos obtener una

solución particular y p de la ecuación (5). Para aplicar el método de los coeficientes indeterminados la

función f(x) ha de ser una suma algebraica de funciones tipo

f i(x)= e a x

[P n cos b x+ Q m (x) sen b x]

Donde a , b R y P n (x) , Qm(x) son polinomios de grado n y m respectivamente . Por tanto, para cada

una de las funciones f i (x) se busca una solución particular tal y como se indica en la tabla siguiente en

función de la forma de f i (x)

Forma de f i (x) Raíces del polinomio Forma de la solución

Característico. Particular siendo: k= Max [m, n]

P n (x) El 0 no es una raíz del

Polinomio característico. xPn

11

P n (x) El 0 es una raíz del polinomio (x)Px n

s

Característico de multiplicidad s

P n (x) e a x

(a real) El número a no es una raíz del (x)Pe n

xa

Polinomio característico.

P n (x) e a x

(a real) El número a es raíz del polinomio xPex n

xas


xbsenxQ

xbcosxP

m

n Los números bi no son

xbsenxQ

xbcosxP

m

n

Raíces del polinomio característico

xbsenxQ

xbcosxPe

m

nxa i b son raíces del polinomio

xbsenxQ

xbcosxPe

m

nxa


xbsenxQ

xbcosxPe

m

nxa bia Son raíces del polinomio

xbsenQ

xbcosPex

m

nxas


Donde

k

k10n

k

k10n

xB.........xBBQ

xA.........xAAP

Son polinomios de coeficientes a determinar cuyo grado k, es el máximo entre los valores m y n.

Observación: Este método no es aplicable a una ecuación del tipo: y’’-y = Tang x

Ejercicios resueltos

1. Integrar la ecuación diferencial: Lyy'y' ' 3

Ecuación diferencial en la que falta la x: Cambio: y'dy

dp

dx

dy

dy

dp'y'p'y'

12

La ecuación diferencial se transforma en

dyLyp

dpLyp

dy

dp2

2

11 CyLyy

dx

dy

1CyLyy

p

1

dyCyLyydx 1

Lyy2

1y4

3CyCx 2221

2. Integrar la ecuación diferencial xseney2y'3'y' x

a) Ensayando una solución particular

b) Hallando la integral general de la incompleta y aplicando el método de variación de los parámetros

Solución de la homogénea

1r,2r02r3r2

x2

x21H eCeCy

Para hallar integral general, ensayamos una solución particular de la completa

xsenbxcosaey xp

Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene

xsen2

1xcos

2

1ey x

p

Solución general de la ecuación diferencial

xsenxcos2

eeCeCy

xx

2x2

1

b) Método de variación de los parámetros

13

2x

2x

1 eCeCy

xseneeC2Ce

0CeCexx'

2'1

x

'2

x'1

x

xseneC,xsen

e2e

ee

e2xsene

e0

C x'2

xx

xx

xx

x

'1

2x

2

11

K2

xsenxcoseC

KxcosC

x2

2xx

1 eK2

xsenxcoseeKxcosy

x2

2xx

1 eK2

xsenxcoseeKxcosy

x)senx(cose2

1eKeKy xx2

2x

1

3. Integrar la ecuación diferencial 222 xsenx4yx4

x

y''y'

Conociendo dos soluciones de la incompleta 2

22

1 xcosy,xseny

Integral de la incompleta o homogénea

22

21 xcosCxsenCy

Apliquemos el método de variación de los parámetros

22'2

22'1

222'2

'1

2

2'2

2'1

xsenx2C

xcosxsenx2C

xsenx4xsenCx2Cxcosx2

0xcosCxsenC

14

2

222

2

1

22

1

K2

xcosxsen

2

xC

K2

xsenC

Integral general

2

xcosxsenxcosKxcos

2

xxsenK

2

xseny

2222

22

22

1

23

4. Integrar la ecuación diferencial xcosxy''y'

a) A través del método general

b) Conociendo una solución particular de la incompleta x

1 ey

a) Solución de la homogénea

x21H eCCy

Solución particular de la completa, ensayo una solución del tipo

xcosdxcxsenbxayp


xcos1x2

1xsen

2

1x2

1eCCy x

21

b) y(x)= u (x) e –x

Sustituyendo en la ecuación diferencial y, y’, y’’ se obtiene

xcosxeu''u' x

Haciendo u’=p , se obtiene la ecuación diferencial lineal

xcosxepp' x

Cuya solución es

1x Kxcosxsenxep

De donde se obtiene

15

x1

xx eKxcosexsenxedx

dy

De donde se obtiene

xcosxxsenxxcos2xsen2

1eKKy x

21

5. Sea la ecuación diferencial de coeficientes variables x22e.1xyy'x'y'1x

Se conocen dos soluciones particulares de la ecuación incompleta x

21 ey,xy

Aplicar el método de variación de las constantes para obtener la integral general de la completa

Solución: x

21 eCxCy

x2x'2

'1

x'2

'1

e1xeCC

0eCxC

Sistema en '2

'1 C,C , que resolvemos por Cramer

x'2

x2'1 exC,eC

Integrando obtenemos C1, C2

2xx

2

1

x2x2

1

K1xedxxeC

K2

edxeC

Solución general x2

x1

x2

eK1xexK2

ey

x2x2x21 exe

2

1eKxKy

6. Integrar la ecuación diferencial 2x4y2y'3'y'

y hallar una solución particular que pase por el origen , tal que la tangente en el tenga pendiente 1y '0

Solución de la homogénea x

2x2

1 eCeCy

16

Solución particular de la completa, para ello ensayamos una solución del tipo cxbxay 2p

Solución general de la completa:

7x6x2eCeCy 2x2

x21

Calculemos ahora una solución particular con las condiciones dadas

9C,2C6C2C1(0)y

7CC0y(0)21

12'

21

Solución particular: 7x6x2e9e2y(x) 2xx2

7. Integrar la ecuación diferencial xexy'y'

Solución de la homogénea xsenCxcosCy 21H

Para calcular una integral particular de la completa, ensayamos una solución del tipo xp1 ebxay


x21G e

2

1x2

1xsenCxcosCy

8. Integrar la ecuación diferencial xx e4xseneyy'2'y'


x21h exCCy

Solución particular de xseneyy'2'y' x

Ensayo una solución del tipo xcosbexsenaey xxp1

De donde se obtiene xsen3xcos425

ey

x

p1

Solución particular de xe4yy'2'y'

17

Ensayo una solución del tipo:x2

p2 exKy

De donde obtenemos x2

p2 ex2y

Integral general x2x

21x ex2x)sen3xcos(4

25

eCxCey

9. Integrar la ecuación diferencial de coeficientes variables x32 exy2'y'x obteniendo previamente

una solución particular de la incompleta de la forma mxy . Calculemos a continuación una solución

particular tal que para y(1) = 0 e y’(1)=1

Solución:

Veamos primeramente la solución de la homogénea

Sustituyendo y, y’, y’’ en la ecuación homogénea

1m

2m0x2x1mmx

2

1m2m2

x

CxCy 22

1h

Método de variación de los parámetros para calcular la solución particular de la completa

xex

1CxC2

0x

1CxC

x

2

'2

'1

'2

2'1

3

exC;

3

eC

x3'2

x'1

223

x

21

x

1 K6x6x3x3

eC;K

3

eC

x

1K66xx3x

3

exK

3

ey 2

23x

21

x

Solución general

18

2

x

2xe

x

KxKy x221

Integral particular

eeKK21(1)y

221eKK01y

21'1

21

Integral particular

2

x

2xe

x3

e21x

3

e1y x2

10. Integrar la ecuación diferencial xcosxy''y'

Solución de la homogénea x

21 eCCy

Solución particular de la completa

1d,2

1c,

2

1b,

2

1axcosdxcxsenbxayp

Solución general

xcos2xcosxxsenxxsen2

1eCCy x

21

11. Integrar la ecuación diferencial 2

23

x1

xy8y'x1'y'x)(1''y'x1

La ecuación diferencial es de Euler. Hacemos el cambio L(1+x)=t (1+x)=e t , de donde se obtiene

(1+x) y’= y’(t) ;

(1+x)2 y’’=y’’(t) - y’(t)

(1+x)2 y’’’=y’’’(t) – b2 y’’(t)+b1 y’(t)

1)n1)....(rr(rb2

19

Ecuación característica 08r31rr2r1rr

08r4r2r 23

Que se corresponde con la ecuación diferencial homogénea

0y8(t)y'4(t)'y'2(t)''y'

La ecuación diferencial completa será

t2

t

e

1ey8(t)y'4(t)'y'2(t)''y'


t2senCt2cosCeCy(t) 32t2

1

Solución particular 15

1KeKy 1

t11

Solución particular 32

1KeKy 1

t12 2

Solución general

t2t32

t21 e

32

1e

15

1-t2senCt2cosCeCy(t)

Deshaciendo el cambio t = L (1+x)

x)L(12x)L(132

x)L(121 e

32

1e

15

1-x1L2senCx)L(12cosCeCy(x)

2

3

32

22

1x132

1

x115

1-x1LsenCx)L(1cosCx)(1Cy(x)

12. Resolver la ecuación diferencial x2senx109y'y'


x32

x31 eCeCy

20


169

40d,0c,0b,

13

10-ax2cosdxcx2senbxayp

Solución general

x2cos169

40x2senx

13

10eCeCy x3

2x3

1

13. Resolver la ecuación diferencial 3x2 exxy2y'3'y'


x22

x1h eCeCy


x32p ecxbxay

Ensayando esta solución se tiene

x32p e1xx

2

1y

Solución general de la completa

x32x22

x1 e1xx

2

1eCeCy

14. Resolver la ecuación diferencial xsenx2cosy4y'4'y'


x221 exCCy

Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:

xsenx3sen2

1xsenx2cos

21

Por tanto, y p = y p1+y p2

Para x3sen2

1 ensayamos soluciones del tipo: A sen 3 x+ B cos 3 x, obteniéndose la solución

x3cos169

6x3sen

338

5yp1

Para xsen2

1 ensayamos soluciones del tipo: A sen x + B cos x , obteniéndose la solución

xcos25

2xsen

50

3yp2

Solución general:

xcos25

2xsen

50

3x3cos

169

63xsen

338

5eCxCy x2

21

15. Resolver la ecuación diferencial xsenx2seny2y'3'y'


x22

x1 eCeCy


x3cosxcos2

1xsenx2sen

Por tanto, y p = y p1+y p2

Para xcos2

1 ensayamos soluciones del tipo: a cos x + b sen x

Para x3cos2

1 ensayamos soluciones del tipo: a cos 3 x + b sen 3 x

Solución general

x3cos260

7x3sen

260

9xcos

20

1xsen

20

3eCeCy x3

2x

1

22

16. Resolver la ecuación diferencial 5exseny134y''y' x3


x)3senCx3cos(Cey 21x2


x3cosxcos2

1xsenx2sen

Solución particular, y p = y p1+y p2 + y p3

Para yp1 ensayamos soluciones del tipo x3cosbx3senayp1

Para yp2 ensayamos soluciones del tipo x3

p2 eky

Para yp3 ensayamos soluciones del tipo kyp3


13

5e

10

1xcos

40

1xsen

40

3x3senCx3cosCey x3

21x2

23

24

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