Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 344 CAPITULO VIII Campo magntico y fuerza magntica Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 345 8.1Polos magnticos y lneas de campo Lacienciadelmagnetismonacidelaobservacindequeciertaspiedras(MagnetitaFe3O4)atraanpedazosde hierro. A estas piedras se les denominaron imanes naturales (vase la figura 8.1a). Uno de los imanes naturales ms importanteeslatierra(vaselafigura8.1b),cuyaaccinorientadorasobrelabrjulahapermitidodiferenciarel polo norte verdadero del norte geogrfico y determinar los denominados polos magnticos de un imn.

(a)(b) Figura 8.1.(a) Imn natural en formade barra, (b) Imn terrestre con sus polos norte y sur A partir de una experimentacin cualitativa se puede establecer que: Unabarraimanadapresentadospolos.Estassonregionescercanasalosextremosdelimndonde aparentemente se concentra la actividad magntica. Entre dos polos magnticos existe siempre o una atraccin o una repulsinSlo existen dos clases de polos magnticos denominados polo norte(N) y polo sur(S). En ausencia de otros imanes en su vecindad, una brjula se orienta pors misma en la direccin norte- sur. El polo que apunta hacia el norte geogrfico se le denomina polo norte y el que apunta hacia el sur geogrfico se le denomina polo sur del imn. Lafuerzadeinteraccinentredospolosmagnticospresentaladependenciadelinversoalcuadradodela distancia que los separa. Dos polos de diferente nominacin experimentan una interaccinatractiva como se muestra en las figuras 8.2a y8.2bydospolosdelamismanominacinexperimentanunainteraccinrepulsivacomosemuestraenla figura 8.2c y 8.2d.

Figura8.2. (a)y(b)Interaccinatractivaentredospolosdediferentenominacin;(c)y(d)interaccinrepulsivaentre polos de igual nominacin Debesealarsequecuandounabrjulasecolocaenunaregincercadeunalambrequenotransportacorriente elctrica, la brjula no experimenta una orientacin respecto al alambre (figura 8.3a). Sin embargo, si por alambre circula unacorrientehaciaarriba(figura8.3b) o haciaabajo (figura8.3c), labrjulaexperimentaunaorientacin.Esta situacin indica que el origen del campo magntico son las corrientes elctricas. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 346

(a)(b)(c) Figura 8.3.(a) la brjula en la cercana a un conductor por el que no fluye corriente no experimenta orientacin, (b) la brjula en la cercana de un conductor que transporta corriente hacia arriba experimenta una orientacin, (c) si la corriente fluye hacia abajo la brjula se orienta en direccin opuesta En la prctica resulta imposible aislar a un slo polo magntico, es decir si se divide a un imn en dos partes iguales comosemuestraenlafigura8.4,lejosdeobtenerunslopoloseobtienedosimanesconsuspropiospolos magnticosnorteysurysinuevamentedividimosaestosimanesendospartesseobtienecuatroimanes.Porlo tanto, se dice que el campo magntico es de origen dipolar. Figura 8.4.El campo magntico es de origen dipolar es decir si se divide a un imn en n partes se obtiene n imanes. Paratrazaruncampomagnticoseutilizanlasbrjulas,siendoladireccindelcampomagnticolaqueapuntala aguja de este instrumento cuando se coloca cerca de un imn (vase lafigura 8.5a. El vector campo magntico (B) conocidotambinconelnombredeInduccinMagntica,selepuederepresentarporlneasdecampocomose muestra en la figura 8.5b.

(a)(b) Figura 8.5.Trazadodelaslneasdecampomagnticoparaunimnenformadebarrausandounabrjula,(b)el campo magntico siempre es tangente a una lnea de campo magntico El ampo magntico se encuentra relacionado con las lneas de fuerza de la siguiente manera: a)El campomagntico siempre es tangente a una lneade campo magntico. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 347 b)Las lneas de campo magntico se dibujan de tal manera que el nmero de lneas por unidad de rea de seccin transversal sea proporcional a la magnitud del campo magntico. c)Las lneas de campo magntico son cerradas y terminan en el interior del imn. d)Las lneas de induccin se dibujan saliendo del polo norte y entrando en el polo sur. En la Figura 8.6a, 8.6b y 8.6c, se muestran la forma como se dibujan las lneas de campo magntico.

Figura 8.6.(a) Lneas de fuerza para un imn en forma de barra, (b) lneas de campo magntico para una bobina que transporta una corriente I, y (c) un imn en forma de herradura produce un campo magntico uniforme 8.2.Fuerza magntica y campo magntico. Experimentalmente se demuestra que cuando una partcula cargada q, se mueve con una velocidad , en el espacio endondeexisteuncampomagntico,experimentaunafuerzadeorigenmagntico

comosemuestraenla figura 8.7a. La fuerza magntica tiene las siguientes caractersticas. a)La fuerza magntica sobre una partcula cargada es siempre perpendicular tanto al vector campo magntico , as como al vector velocidad, de la partcula. b)Lamagnituddelafuerzamagnticaesdirectamenteproporcionalalamagnitudde,alamagnituddelavelocidad de la partcula y a la carga q que lleva la partcula. c)La magnitud de la fuerza magntica es directamente proporcional al seno del nguloentre el vector velocidad de la carga y al vector campo magntico . d)La fuerza magntica depende del signo de la carga puntual mvil. Todas estas caractersticas se resumen en la ecuacin matemtica ( )BF qvxB =(8.1) Dondeesunaconstantedeproporcionalidadquedependedelsistemadeunidadeselegidas.Enelsistema internacional de unidades es igual a la unidad. Por lo tanto la ecuacin anterior se escribe: BF qvxB =(8.2) La magnitud de la fuerza magntica se expresa BF qvBsenu =(8.3) La direccin se determina usando la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura 8.7c. Enlafigura8.7a,seobservaquesilacargaqsemuevedentrodeuncampomagnticoproducidoporunimn experimentaunafuerzamagnticayenlafigura8.7bseobservaquesiqsemueveconunavelocidadqueest formandounnguloconelcampomagntico,lafuerzamagntica

siempreesperpendicularalplano formado por y , entonces dicha fuerza siempre ser todo el tiempo una fuerza lateral. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 348

(a)(b)(c) Figura8.7. (a)Grficaqueilustraeltrazo delafuerza magntica,(b)Aplicacindelaregladela manoderechapara determinar la direccin de la fuerza magntica Por otro lado la ecuacin (3) tambin indica que: La fuerza magntica se anula cuando la velocidad de la partcula cargada es cero. Lafuerzamagnticaseanulacuandolavelocidaddelapartculacargadaesparalelaalcampomagntico (figura 8.8a) Lafuerzamagnticasobrelapartculacargadatienesuvalormximocuandolavelocidadyelcampo magntico son perpendiculares esto es = 90 como se muestra en la figura 8.8c. Este valor est dado por: qvB F =max (8.4) La unidad del campo magntico en el sistema internacional de unidades es B:1Tesla = N.s/C.m = N/A.m = 1 Weber/m2 Las unidades del campo magntico en el sistema c.g.s. el denominado Gauss. 1 Tesla = 104 Gauss. Silapartculasemueveenunareginendondeexisteuncampoelctricoyuncampomagntico,lafuerza resultante sobre la partcula cargada se expresa en la forma RF qE qvxB = +(8.5) A la ecuacin anterior se le denomina como Fuerza de Lorentz. (a)(b) (c) Figura 8.8(a) la fuerza magntica es nula cuando la carga se mueve paralelamente al campo magntico, (b) la fuerza magnticaesperpendicularalplanodelavelocidadyelcampomagnticoy(c)lafuerzamagnticaes mxima cuando la velocidad y el campo magntico son perpendiculares. Debeobservarseademsquelafuerzamagnticaalserperpendicularalavelocidaddelapartculacargadayal campo magntico, no produce cambio alguno en la velocidad y como tal la energa cintica se mantiene constantes. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 349 En otras palabras, la fuerza magntica no puede mover hacia arriba o hacia abajo a la carga. Consecuentemente, la fuerza magntica no realiza trabajo sobre la partcula. . ( ).( ) ( ). 0mdW F ds q vxB vdt q vxv Bdt = = = = (8.6) Sin embargo, la direccin de la velocidad de la partcula puede ser alterada por la fuerza magntica, como veremos posteriormente 8.3Flujo magntico SedefinealflujomagnticoB atravsdeunasuperficiedadaScomolaintegraldelacomponentedelcampo magntico perpendicular a la superficie, sobre el rea dada. ParadeterminarelvalordeBconsideremosunasuperficiearbitrariaStalcomosemuestraenlafigura8.9,y dividmosloaellaenelementosdA.Porlogeneralelcampomagnticonoesconstantenienmagnitudnien direccin sobre lasuperficie, sino queelcampomagnticodeterminaelvalor local del campo magntico en el punto P. Figura 8.9.Flujo magntico a travs de una superficie. LacomponentedenormaladAenesepunto,essimplementelacomponentedelcampomagnticoenla direccin del vector unitario normal a la superficie, esto es cos .nB B Bn | = = (8.7) El elemento de flujo dB a travs del rea dA ser .B Bd B dA BndA u = = (8.8) Para calcular el flujo total B que atraviesa toda la superficie S se procede a integrar la ecuacin (8), . .BS SBdA BndA u = =} }(8.9) Sielcampomagnticoesconstanteenmagnitudydireccinentodoslospuntosdelasuperficieysistaes plana, la cantidadn B .tambin ser la misma para todos los elementos dA. Por lo tanto, la ecuacin (8) se escribe . cosBSBn dA BA | u = =}(8.10) DondeAeselreatotaldelasuperficie.Siademselcampomagnticoesperpendicularalsuperficie=0,la expresin anterior se reduce a BBA u =(8.11) Las unidades del flujo magntico en el sistema internacional de unidades es Weber. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 350 8.4La ley de Gauss para el magnetismo. Si se tiene un imn en forma de barra de longitud muy grande, la fuerza magntica entre los polosobedece a la ley de Coulomb, en elsentido de que son inversamente proporcionales alinverso al cuadrado de la distancia entre los mismos.Comolascargasmagnticassepuedenconsiderarcomolafuentedeloscamposmagnticoslos mismos que decrecen con la inversa del cuadrado de la distancia, se puede demostrar temporalmente la ley de Gauss para el magnetismo, imaginando que B se origina en una carga magntica aislada. En formaanloga a lo que se hizo con la ley de Gauss para el campo elctrico }=SmKq dA n B t 4 . (8.12) La integral se evala sobre toda la superficie y la carga magntica qm es la carga magntica total encerrada dentro de la superficie gaussiana. La constante K relaciona a B con la supuesta carga magntica qm y la distancia, es decir rmerqK B||.|

\|=2(8.13) Puestoquelanicacausaqueoriginaaloscamposmagnticoseslascorrienteselctricayademsloscampos magnticos son de origen dipolar, la carga magntica realmente no existe, es decir equivale a un valor cero para qm. Entonces la ley de Gauss para el magnetismo se escribe }=SdA n B 0 .(8.14) Geomtricamente se puede entender observando que las lneas de campo magntico comienzan en el polo norte (N) y terminan en el polo sur (S) es decir forman lneas cerradas, entonces la ecuacin (8.14) se satisface en la medida de que todas las lneas de campo que entran en la superficie S tambin salen de la superficie, es decir ninguna lnea puede comenzar o terminar dentro de la superficie. 8.5.Fuerza magntica sobre una corriente elctrica. Debidoaquelacorrienteelctricaesunconjuntodecargasenmovimiento,ellasestarnsometidasaunafuerza lateral, si sobre ella acta un campo magntico como se muestra en la Figura 8.10. Dicha fuerza es proporcional a la intensidad de corriente I,a la induccin magntica B y es perpendicular a ambas cantidades. La direccin de la fuerza magntica se determinamediante la regla de la mano derecha aplicada como semuestra en la figura 8.10b. En la figura 8.10c,se muestra un experimento que muestra el efecto del campo magntico sobre un corriente (a)(b)(c) Figura 8.10. (a). Cuando un alambre que transporta una corriente I se encuentra en un campo magntico, experimenta una fuerza magntica, (b) regla de la mano derecha para determinar la direccin de la fuerza magntica y (c) experimento en el laboratorio que muestra la fuerza magntica sobre corrientes Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 351 Consideremos un alambre recto suspendido en la regin entre dos polos magnticos de un imn como se muestra en la figura 8.11a. El campo magntico se encuentraingresando al plano de la pginay serepresentamedianteaspas (x). Podemos demostrar rpidamente que cuando no pasa corriente a travs del alambre (figura 8.11b) el alambre se mantienerecto.Sinembargo,siatravsdelalambrefluyeunacorrientedeabajohaciaarriba(figura8.11c)el alambresufreunadeflexinhacialaizquierda,mientrasquesiporelalambrefluyeunacorrientedearribahacia abajo el alambre experimenta una deflexin hacia la derechas como se muestra en la figura 8.11d. (a) (b)(c) (d) Figura 8.11. Deflexin experimentada por un alambre que transporta corriente Paradeterminarunaexpresinmatemticaquerelacioneelcampomagntico,laintensidaddecorrienteIyla fuerzamagntica

,consideremosunconductorrectodeseccintransversalAylongitudlquetransportauna corriente elctrica constante I, tal como se muestra en la Figura 8.12a. El campo magntico se encuentra entrando a la pgina.

(a) (b) Figura 8.12. (a)Fuerzamagnticasobreunconductorrecto;(b)fuerzamagnticasobreunelementodiferencialde corriente Lacargasemueveconunavelocidaddederivapromedio

.Debidoaquelacantidaddecargatotaleneste segmento es

, donde n es el nmero de cargas por unidad de volumen, la fuerza magntica total sobre el segmento es ( )( )m tot d d dF Q v xB q nAl v xB nqAv lxB = = =( )mF I lxB = (8.15) Donde:

y es un vector dirigido a lo largo de la direccin de la corriente elctrica Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 352 Paradeterminarlafuerzamagnticasobreunalambredeformaarbitraria,sedividealconductorenelementos diferencialesdelongitud,seccintransversalAquetransportaunacorrientetalcomosemuestraenlafigura 8.12b, y se evala la fuerza sobre dicho elementoLa carga dentro del conductor se mueve con una velocidad v y en el tiempo dt atraviesa un volumen dV dado por Adl dV = (8.16) El desplazamiento de la carga es , el cual apunta en la direccin de la corriente en tal punto, con esto la velocidad se expresa dtl dv=(8.17) El elemento de fuerza , sobre la carga dq ser

( ) B x v dq F d= (8.18) Remplazando la ecuacin (8.17), en la ecuacin (8.18), se tiene ||.|

\|= B xdtl ddq F d(8.19) Siendo la densidad de carga por unidad de volumen, la carga dq se escribe en la forma Adl dV dq = = (8.20) Por lo tanto, la fuerza magntica sobre el elemento ser ( ) B x l ddtdlA B xdtl dAdl F d =||.|

\|=(8.21) Pero (dl/dt) es la magnitud de la velocidad, entonces la ecuacin anterior se escribe ( ) B x l d Av F d = (8.22) Teniendo en cuenta que la intensidad de corriente se define como vA JA I = = (8.23) La ecuacin (8.20) se escribe ( ) B x l d I F d = (8.24) Laecuacin(8.24),nospermitedeterminarelelementodefuerza,queactasobrelacargadqdentrodeun segmento deconductor delongitud.Lafuerza resultantesobreun segmento deconductor delongitud finita, se obtiene integrando la ecuacin (24) sobre todos los elementos del conductor ( ) ( )} }= = xB l d I B x l d I F (8.25) EndondesehasacadolaintensidaddecorrienteI,fueradelaintegralyaquesetratadeunacorrienteelctrica continua. Para un circuito cerrado la integral se calcula alrededor de la trayectoria formada por el conductor, esto es ( )CF I dlxB = }(8.26) Existen en la prctica dos casos que merecen nuestra especial atencin: Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 353 a)El campo magntico es de magnitud y direccin constante y el alambre es finito, entonces la expresin (8.26), se escribe (vase figura 8.13a) ( ) B x l I B x l d I FABBA =(((

= }(8.27) b)Elcampomagnticoesdemagnitudydireccinconstanteylatrayectoriaesuncircuitocerrado,entoncesse tiene (vase figura 8.13b) | | 0 = = }B x l d I F (8.28) En esta ecuacin, la integral se anula ya que la suma vectorial de todos los elementos de longitud ,es igual a cero porque ellos forman un polgono cerrado.

(a)(b) Figura 8.13.(a) Fuerza magntica sobre un alambre curvo que lleva una intensidad de corriente I y se encuentra dentro deuncampomagnticouniforme,(b)Fuerzamagnticasobreunconductorcerradoquellevauna corriente I y se encuentra en un campo magntico uniforme Unadelasaplicacionesdelasfuerzasobrecorrientessedaenlosaltavoces(vaselafigura8.14).Elcampo magntico radial creado por el imn permanente ejerce una fuerza sobre la bobina de voz la cual es proporcional a laintensidaddecorrienteenlabobina,ladireccindelafuerzapuedeserhacialaderechaohacialaizquierda segnelsentidodelacorriente.Lasealprovenientedelamplificadorhaceoscilarlacorrienteentrminosde sentido y magnitud. La bobina y el altavoz al que est acoplada responden oscilando con una amplitud proporcional a la amplitud de la corriente en la bobina. Figura 8.14.Componentes de un altavoz. El campo magntico radial ejerce una fuerza sobre la corriente de la bobina de voz en la direccin mostrada. Cuando la corriente oscila en la bobina de voz, el cono acoplado a la bobina oscila a la misma frecuencia. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 354 8.6.Momento o Torque sobre una espiraque lleva una corriente elctrica. CuandounalambreporelquecirculaunacorrienteelctricaIsesitaenelinteriordeuncampomagntico uniforme , se ejercen fuerzas sobre cada trozo de alambre. Si el conductor tiene la forma de una espira cerrada, no existeningunafuerzanetasobreelladebidoaquelasdistintasfuerzasejercidassobrelaespirasesuman vectorialmentedandounaresultantenula.Sinembargo,engenerallasfuerzasmagnticasproducenunparo momentosobrelaespiraquetiendeahacergiraralaespiracomosemuestraenlafigura8.15a,demodoquesu superficie resulte perpendicular a la induccin magntica como se muestra en la figura 8.15b. Paramostrarestasituacinconsideremosunaespirarectangulardeladosaybporlaquecirculaunacorriente constanteIcomosemuestraenlaFigura8.15c.Laespiraseencuentraenunareginendondeexisteuncampo magntico uniforme paralelo al plano de la espira.

(a)(b) (c) Figura 8.15.(a) Espira de corriente en el interior de un campo magntico, (b) espira con el rea perpendicular al campo magntico y(c) Fuerza y Momento (torque) magntico sobre una espira de corriente Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira sern: Fuerza sobre AB

1 1( ) 0ABF I l j xBj F = = (8.29) Fuerza sobre el alambre BC 2 2( )BCF I l k xBj F IaBi = = (8.30) Fuerza sobre el conductor CD 3 3( ) 0CDF I l j xBj F = = (8.31) Fuerza sobre el conductor DA 4 4( )DAF I l k xBj F IaBi = = + (8.32) Analizando las ecuaciones (8.29), (8.30), (8.31) y (8.32), se observaquelas fuerzassobrelos lados AB yCD son nulas y que las fuerzas sobre los lados BC y CD son iguales en magnitud pero sentidoopuesto formando estas dos fuerzasunacuplaopardefuerzas.Lafuerzanetasobrelaespirasiguesiendonulaperoelmomentorespectoa cualquier puntoes diferente de cero. El momento de la fuerza F2 respecto del punto O, es Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 355 ( ) ( )k ab IB i IaB x jbF x r M 212 2 22= |.|

\|= = (8.33) El momento de la fuerza F4 respecto del punto O, es ( ) ( )k ab IB i IaB x jbF x r M 214 4 42= |.|

\| = = (8.34) El momento totalcon respecto al punto O debido a todas las fuerzas ser k ab IB Mk ab IB k ab IB MM M M M MTTT ) () ( 0 ) ( 021214 3 2 1=+ + + =+ + + = (8.35) Pero el producto (ab) es igual al rea de la espira A, entonces el momento se expresa k IBA MT =(8.36) El momento resulta igual al producto de la corriente elctrica I, por el rea A de la espira por el campo magntico B. Este momento tiende a hacer girar a la espira alrededor del eje Z. Considere ahora un circuito rectangular que transporta una corriente I colocado de tal forma que elvector unitario normalalplanodelaespiraformeunnguloconelcampomagntico,ylosladosdelaespirason perpendiculares al campo magntico, como se muestra en la figura 8.16.

(a) (b) Figura 8.16. (a)Fuerzassobreunaespiradecorrienteenuncampomagnticouniforme.Lafuerzaresultanteescero pero la magnitud del momento (torque) es diferente de cero, (b) el momento de torsin es mximo cuando la normal a la espira es perpendicular al campo magntico Las fuerzas sobre cada uno de los segmentos de la espira son: Fuerza sobre el conductor AB ( )k bIB Fj B i Bsen x i l I FAB uu ucoscos ) (11 =+ = (8.37) Fuerza sobre el conductor CD Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 356 ( )k bIB Fj B i Bsen x i l I FCD uu ucoscos ) (33+ =+ =(8.38) Fuerza sobre el conductor BC ( )( ) j sen i aIB Fj B i Bsen x k l I FBC u uu u+ =+ =coscos ) (22(8.39) Fuerza sobre el conductor DA ( )( ) j sen i aIB Fj B i Bsen x k l I FDA u uu u+ + =+ =coscos ) (44 (8.40) Lasecuaciones(35),(36),(37)y(38),muestranunavezmsquelafuerzanetasobrelaespiraescero,veamos ahora que sucede con los momentos respecto al punto O. Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O ( ) ( )0cos1211 1 1= = =Mk bIB x k a F x r M u(8.41) Momento de la fuerza F3 con respecto al punto O ( ) ( )0cos3213 3 3= = =Mk bIB x k a F x r M u(8.42) Momento de la fuerza F2 con respecto al punto O ( ) ( )( )12 2 2 212 2cos M r xF bi x aIB i sen jM ab IBsen ku uu (= = + =(8.43)

Momento de la fuerza F1 con respecto al punto O ( ) ( )( )14 4 4 214 2cos M r xF bi x aIB i sen jM ab IBsen ku uu (= = + = (8.44) El momento total respecto al punto O ser: 1 2 3 41 12 20 ( ) 0 ( )

TTTM M M M MM IB ab sen k IB ab sen kM IBAsen ku uu= + + += + ++=(8.45) La magnitud del momento ser TM IBAsenu =(8.46) Si en lugar de una sola espira se tiene N espiras del mismo tamao. El momento sobre toda la espira ser ( ) u Bsen NIA M =(8.47) Sedefinealmomentodipolarmagnticocomounacantidadvectorialperpendicularalplanodelcircuitoyest expresado mediante la ecuacin Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 357 NIAn =(8.48) Entonces la ecuacin (41) se escribe M Bsen u =(8.49) Ecuacin que en forma vectorial se escribe M xB = (8.50) Esta ecuacin es similar a aquella obtenida para el momento producido por un campo elctrico ,externo sobre un dipolo elctricoEM xE = . Es necesario sealar que el sentido del momento dipolar magntico es el de avance deltornilloderoscaderechaquegiraenelmismosentidoqueeldelacorrienteelctrica.Esdecirelsentido tambin se puede determinar mediante el uso de la regla de la mano derecha tal como se muestra en la figura8.17. Las unidades del momento dipolar magntico son el amperio por metro2 (A.m2) Figura 8.17.Regladelamanoderechaparadeterminarelmomentodipolarmagnticodeunaespiracircularque transporta una corriente en sentido antihorario. Debido a que, cuando una espira que transporta corriente se encuentra dentro de un campo magntico externo, obra unmomento detorsin, deducimos quedebehacersetrabajo positivoonegativomedianteun agenteexterno para cambiar la orientacin de la espira. Es decir, una espira de corriente o cualquier dipolo magntico tienen una energa potencialasociadaconsu orientacin en el campomagntico. El trabajo hecho por elagenteexterno pararotar el dipolo magntico desde un ngulo 0 a un ngulo est dado por 0 00 0(cos cos )extW U U Md Bsen d Bu uu uu u u u u = = = = } }(8.51) Puesto que Wext = -W, donde W es el trabajo hecho por el campo magntico. Se puede determinar la energa para unarotacincualquieragiroasumiendoqueU0=0cuandoelmomentodipolarmagnticoyelcampomagntico son perpendiculares. Entonces la energa potencial en cualquier posicin ser cos . U B B u = = (8.52) Laconfiguracinesdeequilibrioestablecuando

seencuentraalineadoparalelamentecon,siendoUun mnimocon

.Porotrolado,cuandoysonanti-paraleloslaenergapotencialesunmximo

, en estas condiciones el sistema es inestable. 8.7.Fuerza magntica sobre un dipolo magntico. En la seccin anterior se ha demostrado que, la fuerza que experimenta una espira de corriente (dipolo magntico) localizadaenuncampomagnticouniformeesnula.Qusucederasieldipolomagnticoseencuentraenun Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 358 campomagnticonouniforme?.Enestecasodebemosesperarquelafuerzamagnticanetasobreeldipolosea diferente de cero. Para ilustrar esta situacin consideremos un pequeo dipolo cuyo momento dipolar

es localizado a lo largo del eje de un imn en forma de barra, como se muestra en la figura 8.18,

Eldipoloexperimentaunafuerzaatractivaejercidaporelimncuandoelcampomagnticoenelespacionoes uniforme. As, puede aplicarse unafuerza externa paramover el dipolo hacia la derecha. La fuera

ejercida por un agente externo para mover al dipolo una distanciahacia la derecha est dada por ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]exF x U B x x B x B x x B x A = A = + A + = + A (8.53) Figura 8.18. Un dipolo magntico en la cercana de un imn en forma de barra Para desplazamientospequeos, la fuerza puede expresarse en la forma [ ( ) ( )]exB x x B x dBFx dx + A = = A(8.54) Lacualesunacantidadpositivayaque

,esdecirelcampomagnticodisminuyeconunaumentodela distanciax.estaesprecisamentelafuerzanecesariaparamovereldipoloencontradelaatraccinmagntica ejercida por la barra.- En forma general la fuerza magntica se expresa en la forma ( . )mdB dF Bdx dx = = (8.55) Utilizando la definicin de gradiente la expresin anterior se escribe ( . )mF B =V (8.56) 8.8.Movimiento de una partcula cargada en el interior de un campo magntico. Una caracterstica importante de la fuerza magntica que acta sobre una carga en movimiento en el interior de un campomagnticoesquedichafuerzaessiempreperpendicularalavelocidaddelapartcula.Porconsiguientela fuerza magntica no realiza trabajo sobre la partcula y la energa cintica de sta no sufre alteracin por accin de dicha fuerza, lo nico que hace la fuerza magntica es modificar la direccin de la velocidad y no su magnitud, En el caso en el cual la velocidad de la carga sea perpendicular al campo magntico considerado uniforme, como se muestra en la figura 8.19, la fuerza magntica nos da la fuerza centrpeta responsable del movimiento circular. Para encontrar una relacin entre el campo magntico, la velocidad , el radio del crculo r, se aplica la segunda ley de Newton en direccin normal, esto es: rmvqvB Fma Fmn n2= == Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 359 De donde se obtiene el radio de la rbita descrita por la partcula cargada mvrqB=(8.57) De otro lado la velocidad angular con que gira la partcula cargada est dada por ( / )v v qBr mv qB me e = = = (8.58) Esta ecuacin nos indica que la velocidad angular con que gira la partcula es independiente de la velocidadv y slo depende de la carga q, de la masa m y del campo magnticoB. La expresin vectorial de la velocidad angular est dad por qBme| |= |\ . (8.59) Elsignomenosindicaquelavelocidadangulartieneunsentidoopuestoaladireccindelcampodeinduccin magntico.

(a) (b) (c) Figura 8.19. (a)Movimientodeunapartculacargadadentrodeuncampomagnticouniforme.(b)Hazdeelectrones movindose en una trayectoria circular dentro de un campo magntico Por otrolado,siladireccindelavelocidadinicialnoesperpendicularalcampomagntico,lacomponentedela velocidadparalelaalcampoesconstanteperonoexisteningunafuerzaparalelaalcampo.Enestascondicionesla carga se mueve describiendo una hlice (vase la figura 8.20a), cuyo radio de hlice est dado por la ecuacin (56), donde es ahora la componente perpendicular al campo . Figura 8.20. (a) Movimiento de una carga puntual que inicialmente tiene componente perpendicular y paralelaal campo magntico, (b) Movimiento de una partcula cargada en el interior de la botella magntica Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 360 El movimiento de una partcula cargada en el interior de un campo magntico no uniforme es an ms complejo. La figura8.20b, muestraelcampo producido por dos bobinas separadas ciertadistancia. Si unapartculaentraen esta reginexperimentarfuerzashaciaelcentroenlasregionescercanasalasbobinasysiestatieneenergacintica suficientecirculardeunladoaotroenelcampoproducidoporlasbobinas.Estecamposedenominabotella magntica. En forma anloga el campo magntico terrestre no uniforme atrapa a las partculas cargadas provenientes del sol en regionesenformaderosquillasquecircundanalatierra,comosemuestraenlafigura8.21.Estasregionesse denominan cinturones de radiacin Van Allen

(a) (b) Figura8.21.(a)CinturonesderadiacinVanAllenalrededordelatierra.(b)aurorasborealesoriginadasporel movimiento de las partculas cargadas dentro del campo magntico. 8.9El motor de corriente continua. Unmotor elctrico es aquel dispositivo que trabaja o se alimenta de corriente contnua. Est formado generalmente por las siguientes partes. 8.9.1.Partes principales Uninductoroestator.Esunelectroimnformadoporunnmeropardepolos.Lasbobinasquelas arrollan son las encargadas de producir el campo inductor al circular por ellas la corriente de excitacin. Inducido o rotor (arrollamiento de inducido). Es una pieza giratoria formada por un ncleo magntico alrededor del cual va el devanado de inducido sobre el que acta el campo magntico. Colector dedelgas:Es un anillo delminas decobre llamadas delgas,dispuesto sobreel eje del rotor que sirve para conectar las bobinas del inducido con el circuito exterior a travs de las escobillas. Escobillas. Son unas piezas de grafito que se colocan sobre el colector de delgas, permitiendo la unin elctrica de las delgas con los bornes de conexin del inducido. Algirarelrotor,lasescobillasvanrozandoconlasdelgas,conectandolabobinadelinducido correspondiente a cada par de delgas con el circuito exterior. El motor y su estructura bsica se muestra en la figura 8.22. 8.9.2.Funcionamiento. El motor de CC basa su funcionamiento en la fuerza ejercida por el campo magntico de un imnsobre un elementoenformadeespiralacualtransportaunacorriente.Seobtendrelvalormximodefuerza cuando el campo magntico sea perpendicular al conductor y tendr una fuerza nula cuando el campo sea Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 361 paralelo al flujo de corriente elctrica. El par torsor que se origina es . En la figura 8.23, cada unodelossegmentosdelconmutadorhacecontactoconunodelosbornes,oescobillasdeuncircuito externoqueincluyeunafuentedefem.Estohacequeentrelacorrienteporunodelosladosdelrotory salgaporelotro.Elrotoralestnenelcampomagnticoproducidoporelimn,giraensentidoanti horario debido al par producido por el campo sobre la corriente (vase figura 8.23a). Figura 8.22.Estructura bsica de un motor de corriente contnua. En la figura 8.23b, se observa al rotor girado 90 respecto a su posicin inicial. Si la corriente a travs del rotorfueseconstante,elrotorestaraenequilibrio.Peroesenestosinstantesenqueentraenjuegoel conmutador,ahoracadaescobillaestencontactoconambossegmentosdelconmutador.Portanto,aqu nohaydiferenciadepotencialentrelosconmutadoressiendolacorrienteenelrotorigualaceroyel momentomagnticoescero.Elrotorsiguegirandoensentidoantihorariodebidoasuinerciayunavez ms fluye corriente a travs del rotor como se muestra en la figura 8.23c. Pero ahora la corriente entra por elladodecolorazulysaleporelrojo,estoesunasituacinopuestaalafigura8.23a.Entantoqueel sentido delacorrienteseha invertidocon respecto alrotor, elcualhagirado 180.El motor dela figura 8.23 es de una sola espira. En los motores prcticos existen muchas espirasaumentndose de este modo el momento magntico y como tal aumenta tambin el momento torsor. Debido a que un motor convierte energa elctrica en mecnica, requiere entonces de una alimentacin de energaelctrica.SiladiferenciadepotencialentresusbornesdeVabylacorrienteesI,entoncesla potencia de alimentacin ser P =VabI. Aun cuando la resistencia del devanado es aproximadamentenula, debe existir siempre una diferencia de potencial para que la potencia P sea diferente de cero. Veremos ms adelante la aparicin de una fem inducida la que provoca una fuerza contra electromotriz. Figura 8.23 DiagramaesquemticodeunmotorsimpledeCC.Elrotoresunaespiradealambrequegiraen tornoauneje.Losextremosdelrotorestnacopladosalconmutador.Lossegmentosdel conmutador estn aislados unos de otros. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 362 8.10El efecto Hall. E. C Hall descubri que cuando una placa metlica por la que pasa una corriente I se coloca en un campo magntico perpendicular a ella, aparece una diferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este efecto se denomina efecto Hall. Para mostrar dicho fenmeno consideremos una placa metlica que transporta una corriente I, como semuestra en la figura8.24.Supongamosademsquelosportadoresdecargaelctricasonloselectronescuyacargaesq=-e. CuandoseaplicauncampomagnticoB,perpendicularalaplaca,enelsentidodeleje+y,loselectronesse encuentran sometidos a la fuerza magntica expresada por ( )( )m eF e v xB = ( )( )m eF e v ixBj = (8.60)

(a)(b) Figura 8.24.(a)Conductordeanchotinstaladoencircuitoysometidoauncampomagntico,(b)loselectrones experimentan una fuerza magntica FB de tal manera que son desplazados hacia el lado superior de la placa Laecuacin(8.60)indicaqueloselectronesresultansometidosaunafuerzaenladireccin+z,esdecirlos electronessondesviadosalladosuperiordelaplaca,elcualresultacargadonegativamente.Porlotanto,ellado inferiorresultacargadopositivamentealtenerunadeficienciadeelectrones,comoresultadodeestoapareceun campo elctrico

paralelo al eje +z. La fuerza debido a este campo elctrico serE e Fe = dirigida hacia abajo, llegandoenalgninstanteacontrarrestaralafuerzamagnticadebidaalcampomagntico,producindoseel equilibrio(vaselafigura8.25a).Estoasuvezdalugaraunadiferenciadepotencialverticalentrelosbornes opuestos del conductor, siendo el lado superior el que est a un potencial menor que el inferior; dicha diferencia de potencialesproporcionalalcampomagntico.Paramostrarlo,observequelasdosfuerzasqueactansobrelos electrones se encuentran en equilibrio, esto es ( ) 0 = + =+ =B x v e E e FF F Fm e

De donde se obtiene B x v Ee H = (8.61) La magnitud del campo elctrico ser 90H e eE v B sen v B = =(8.62) m eF e v Bk =Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 363 Teniendo en cuenta que la diferencia de potencial est dada por d E VH H = A(8.63) Remplazando la ecuacin (50) en la ec. (51), resulta H eV v Bd A = (8.64) Apartirdelasmedidasdeladiferenciadepotencialparaunacintadetamaodeterminadoporlaquecirculauna corriente I en el interior de un campo magntico B se puede determinar el nmero de portadores de carga por unidad de volumen. Teniendo en cuenta que la densidad de corriente J est dada por dnev J = La velocidad de los portadores es neJve = (8.65) Al sustituir la ecuacin (53) en la ecuacin (52), da como resultado Bde nJVH|.|

\|= A.(8.66) Recordando que (J = I/A), la expresin anterior se escribe A e nIBdVH. .= A (8.67) De donde se obtiene que el nmero de portadores por unidad de volumen est dado por V eAIBdnA=(8.68)* Un anlisis idntico pero esta vez usando portadores de carga positivo permite obtener la misma ecuacin (56)* con la nica diferencia es que los portadores de carga positivos se acumularan en la parte superior dejando un exceso de portadores negativos en la parte inferior (vase la figura 8.25b)

(a) (b) Figura 8.25.(a) Si los portadores son negativos el borde superior se carga negativamente, dicho lado seencuentra a un potencialmenoraldelladoinferior,(b)Silosportadoressonpositivoselbordesuperiorsecarga positivamente, dicho lado se encuentra a un potencial mayor al del lado inferior Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 364 8.11.Aplicaciones del movimiento de partculas cargadas en el interior de campos magnticos. En esta seccin se describealgunas aplicaciones de los principios formulados en el captulo. Se sugiere al lector leerlo detenidamente y ampliar sus fundamentos con la lectura del mimo tema proporcionado por otros autores. 8.11.1Selector de velocidades. Cuandoseproduceunhazdepartculascargadasenunfilamentocaliente(ctodo),notodaslas partculas tienen la misma velocidad. Una forma cmo seleccionar un conjunto de partculas que tengan la misma rapidez es usar el dispositivo mostrado en la figura 8.26a, en donde se observa la presencia de un campo elctrico yuncampomagnticomutuamenteperpendicularesaestesellamaselectordevelocidades.Enlafigurase observaunapartculaconcarga+q,masam,quehasidoliberadaenlafuentedeionesconunavelocidadvy atraviesa una ranura entrando en el espacio donde el campo elctrico y magntico son perpendiculares. El campo elctrico est dirigido hacia abajo y el campo magntico ingresando al plano del dibujo. Por tanto,la partcula+q experimentauna fuerza elctrica

,hacia abajo yunafuerzamagntica

,hacia arriba. Si se escogen las magnitudes de los campos de tal manera que las fuerza se equilibren, la fuerza neta sobre +q ser nula. Entoces aplicando la segunda ley de Newton al diagrama de cuerpo libre (figura 8.26b), se tiene 0yF qvB qEEvB= == (8.69) EsdecirsolamenteaquellaspartculasquetenganlamismavelocidadvpasaratravsdelaranuradeS2sin desviarse. Figura 21. (a) selector de velocidades de partculas cargadas, (d) DCL de una partcula positiva dentro de los campos cruzados. 8.11.2Experimento de Thomson J. J. Thomson (1856 1940) utiliz el aparato mostrado en la figura 22 para medir la relacin de carga a masa del electrn. El aparato consiste de un tubo de vidrio en cuyo interior se ha hecho alto vaco y en el cual se aceleran electrones provenientes del ctodo caliente y se renen en un haza mediante una diferencia de potencial AV entre los dos nodos. La velocidad de los electrones es determinada por el potencial acelerador AV. Utilizando la conservacin de la energa se tiene 21 2 ( )[ ]2e Vmv e V vmA= A = (8.70) Loselectronespasanentrelasplacaseincidenenlapantalladelextremodeltubo,lacualestrecubiertadeun materialfluorescentequeemiteluzenelpuntodeimpacto.Loselectronespasanenlnearectaentrelasplacas cuando se cumple la ecuacin (8.69), al remplazar esta ecuacin en la ecuacin (8.70) se riene 222 ( )2E e V e EB m m B VA= =A(8.71) Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 365 Enestaecuacintodaslascantidadesdelsegundomiembrosepuedenmedirportantosepuededeterminarla relacin e/m. ElaspectomsimportantedelexperimentodeThomsonesqueencontrnunsolovalorparae/m.Esdeciresta magnitud no dependeni del material del ctodo ni del gas residual presente en el tubo ni de ningn otro aspecto delexperimento.Estaindependenciapermitidescubrirlaprimerapartculasubatmicaqueahorallamamos electrn. As mismo Thomson demostr que la rapidez de los electrones eran casi un dcimo de lavelocidad de la luz. El valor ms preciso de e/m es 111, 758820174.10 /eC kgm = (8.72) AosposterioresaldescubrimientodeThomson,RobertMillikanpudomedirlacargadelelectrnconunaalta precisin permitiendo de esta manera encontrar la masa del electrn obtenindose: 319,10938188.10em kg= (8.73) Figura 22. Aparato de Thomson para medir la relacin e/m del electrn 8.11.3Espectrmetro de masas. Unespectrmetrodemasasesundispositivoqueseempleaparasepararionesdentrodeuna muestra que poseendistinta relacin carga/masa.Lamezclapuedeestar constituidapordistintos istopos de una misma sustancia o bien por distintos elementos qumicos. Existen distintos modelos de espectrmetros. En la figura anterior se ha representado un esquema de su principio de funcionamiento. Todosloselementosdelespectrmetrodebenestarenelinteriordeunacmaradevaco.Lamuestragaseosa (situadaalaizquierdadelafigura)seionizamedianteunhazdeelectrones.Losionespositivossonacelerados poruncampoelctrico.Entrelasplacasaceleradorasexisteuncampoelctrico,porloquelosiones experimentarn una fuerza dada por: eF qE = Donde q es la carga de los iones positivos. A continuacin el haz de iones pasa por una zona del espacio donde existe un campo magnticoB. La fuerza que el campo magntico hace sobre una carga es [ ]mF q vxB = Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 366 Fuerzaqueesperpendicularalcampomagnticoyalvectorvelocidaddelacarga(enestecaso,delosiones positivos). Figura22.Espectrmetrodemasaselcualutilizaunselectordevelocidadparaobtenerpartculasconvelocidad constanteposteriormentelaspartculassemuevenentrayectoriascurvilneas(semicircunferenciaspara despus impactar sobre una pantalla fluorescente Comolafuerza(representadaenverdeenlafigura)esperpendicularalatrayectoriadelosiones,stostendrn aceleracin normal y se desviarn describiendo una trayectoria curva. Utilizando la la segunda ley de Newton, se tiene 2n nmvF ma qvBRm vRq B = == Paraunvalorfijo delavelocidadydelmdulodelcampomagntico,cuantomenorseaelcocientem/qmenor ser el radio de curvatura R,de la trayectoria descrita por los iones, y por tanto su trayectoria se deflectar ms. Si lamuestraest constituidapor istopos delmismo elemento, todos tendrn lamismacarga, pero los quesean ms pesados se deflectarn menos. Por tanto, haces de iones de distinta relacin carga/masa llegarn a puntos diferentes de un detector, y, en funcin de la intensidad de las seales que dejan, se determina la abundancia relativa de cada tipo. Elprimerespectrmetrodemasasfuedesarrolladoenladcadade1920porelfsicoinglsFrancisWilliam Aston, y recibi en 1922 el Premio Nobel de Qumica por su desarrollo. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 367 8.12PROBLEMAS RESUELTOS. 1.Unelectrneslanzadodentrodeuncampo magnticodadopor T. Determinelaexpresinvectorialdelafuerza magnticasobredichoelectrnsisemuevecon una velocidad

m/s. Solucin 5x y zx y z19145i j ki jkv vv 03,7.1001,4 2,1(8, 3.100B B B1)R, 6.10 [ 1, 4(3, 7.t10 ]a)F qvxBF kF k N= = === 2.Unprotnseestmoviendoconunavelocidad

m/senunaregindelespacioen dondeelcampomagnticovieneexpresadoporla ecuacin T.Culesla magnitud de la aceleracinen este instante?. Solucin 19627i jk1, 6.10( ) 6.10 0 01, 67.103 -1,5 2B ppF ma q vxBqa vxBm= == = 18 6 614 24 20, 958.10 (12.10 9.10 )(11.496 8, 622 ).1014, 37.10 //a i ka i k m sa m s= == 3.Unapartculaalfa(m=3,3.10-27 kg,||)es acelerada desde el reposo a travs de una diferencia depotencialde1 kV.Entonces lapartculaingresa enunaregindondeexisteuncampomagntico ,perpendicularaladireccindesu movimiento. Cul es el radio de la trayectoria que describe la partcula alfa?. Solucin Eltrabajoquerealizaelcampoelctricoenla regindondeexisteunadiferenciadepotencial sobre la partcula alfa es ( ) W q Vo= A (1) Porotroladoeltrabajoesigualalavariacinde energa cintica, es decir kW E = A (2) Igualando las ecuaciones(1) y (2) se tiene 21( )2mv q Vo= A (3) La velocidad de la partcula ser 2 ( ) q Vvmo A=Debidoaquelapartculadescribeunmovimiento circular,lafuerzamagnticasiempresedirigeal centro de la trayectoria. Entonces se tiene 22 ( )2 ( ) 1n nvF ma qvB mrq V mv mrq B q B mmq VrB qoo ooo= =A= =A= 271921 2(3, 3,10 )(1000 )0, 2 2(12, 27.10 , 6.10R a)tkgrVrT Cm== 4.Una varillaconductora de72 cm de longitud tiene unamasade15g.Lavarillaseencuentra suspendidaenunplanoverticalporunparde alambresflexiblesdentrodeuncampomagnticoB = 0,54 T cuya direccin es saliendo de la pginatalcomosemuestraenlafigura.Qucorriente debefluiratravsdelavarillaparaquelatensin en los alambres soportantes sea igual a cero? Solucin Paraquelastensionesenlosalambresverticales sean nulas entonces lafuerza magntica debo estar dirigidahaciaarribaparaqueequilibrealpeso. Entonces aplicando laregladelamano derechaso obtiene que la corriente debiera estar dirigida hacia laizquierdaes decir deQaP tal comosemuestra en el DCL de la varilla Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 368 Lafuerzamagnticaseexpresamediantela ecuacin ( )( )BB QPB QPF I dlxB I dli x BkF Il BjF Il B= = ==} } Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene 2378 0Rt0, 015 (9, 8 / )0, 72 (0, 54 )ay BQPQPF F W mgIl B mgmg kg m sIl BI mTAm= = ===== 5.Un imn en forma de barra con su polo norte arriba eslocalizadosimtricamenteenelejeydebajode un anillo conductor de radio r el cual transporta una corriente I en sentido horario como se muestra en la figura.Enlalocalizacindelanillo,elcampo magnticoforma un ngulo con la vertical. Cul eslamagnitudydireccindelafuerzaresultante sobre el anillo? Solucin Paraevaluarlafuerzamagnticasobreelanillose divideasteenelementosdiferencialesde corrientepequeos,comosemuestraenla figura. La fuerza sobre el elemento ser dF IdlxB = Usando coordenadas cilndricas tenemos ( ) ( cos )r zdF I dle x Bsen e B eu u = +cosz rdF IBdlsen e IBdl e u u = Debidoalasimetriaquepresentalafigura,las componentesradialesecancelanmutuamenteya queexisteunacomponenteidnticaenellado izaquierdo. Entonces slo queda la componente z Lafuerzamagnticanetaqueactuasobreelanillo ser z zC CF dF IBdlsen e IBsen e dl u u = = =} } } 22zF IBsen eF IBsent ut u== Lafuerza magntica sobre el anillo es repulsivaya que est dirigida hacia arriba en la direccin +z. 6.Unprotn,aceleradoporunadiferenciade potencial atraviesauncampo magnticohomogneotransversalcuyainduccin es B = 0,51 T. El espesor de la zona del campo es d = 10 cm(vaselafigura. Determine:(a)el ngulo odedesviacindelprotnrespectoaladireccin inicialdelmovimiento,(b)eldesplazamiento verticalAy1alsalirdelaregindelcampo magntico(c)elmomentolinealdelapartcula cuandosaledelcampomagntico.Considereque mp = 1,67.10-27kgy qP=1,6.10-19C. Solucin Datos e incgnitas. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 369 227 191500 0, 51 10.101, 67.10 1, 6.10???; ???; ???p pV V B T d mm kgq Cy p o A = = == == A = = Alingresarelprotnenlaregindondeexisteun campomagntico,experimentarunafuerza expresada como 00 ( ) ( )m pm pF q vxB q v i x BkF q v Bj= = = 0 m pF q v B = (1) Debidoaqueelprotnenelinteriordelcampo describe un movimiento circular, la aplicacin de la segunda ley de Newton nos da 200n npF mavq v B mR == 0pmvRq B= (2) Ahoraseprocedeadeterminarlavelocidadcon queingresaelprotnalinteriordelcampo magntico. Remplazando la ecuacin (4) en (3), resulta 2027 2 19 50121[1, 67.10 ] 1, 6.10 [5.10 ]2mv q Vkg v C V = A= 609, 788.10 / v m s = (3) En la figura se muestra la trayectoria descrita por el protnenelcampoylaorientacindelvector velocidad con que abandona el campo 102030dsenRoo= == Seprocedeahoraadeterminaeldesplazamiento vertical 211cos 20.10 [1 cos30 ]2, 679y R R my cmoA = = A = Finalmente el vector momento lineal est dado por 0 027 621 21 [ cos30 30 ] 1, 67.10 (9, 788.10 / )[0,8 0, 5 ] [14.16.10 8,17.10 ] . /pp mv m v i v sen jp kg m s i jp i j kg m s = = + = += + 7.Una barra cilndrica de masa m radio R es colocada sobredosrielesparalelosdelongitudlseparados por una distancia d, como se muestra en la figura.la varilla lleva una corriente I y rueda sin deslizar a lo largodelosrielesloscualesestnubicadosenun campomagnticouniformedirigido verticalmentehaciaabajo.Silabarraest inicialmenteenreposo,Culessuvelocidad cuando abandona los rieles. Solucin Pararesolverelejemploseutilizaelsistemade referencia mostrado en la figura Lafuerzamagnticaqueactasobrelabarra cilndrica ser ( )( )( )F I dlxB I dli x BkF IBd j= = =} } Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 370 El trabajo total hecho por la fuerza magntica sobre labarracilndricacuandosemueveatravsdela regin es. 0. ( ).f f li fi ii fW F ds IBd j dxj IBd dxW IBld= = ==} } } Utilizandoelteorematrabajo-energacinticase tiene. , , , ,( ) ( )i f k k tras k rot f k tras k rot iW E E E E E = A = + + Puestoqueelmomentodeinerciadelabarraes

, y cuando la barra rueda sin deslizar se cumple que , la ecuacin anterior se escribe en la forma 2 2 21 1 32 4434IBld mv mv mvI l B dvm= + == 8.Unelectrnesaceleradodesdeelreposoatravs deunadiferenciadepotencialdeAV=500V, entoncesingresadentrodeuncampomagnticoB uniforme. Este campo hace que la partcula recorra media revolucin en un tiempo de 2 ns. Cul es el radio de su rbita?. Solucin Enprimerlugarsedeterminalavelocidaddel electrn con que ingresa al campo magntico. 193172 2(1, 6.10 )(500 )9,1.101, 33.10 / (1)eeeeq V C Vvm kgv m sA= == Alingresaralcampoexperimentaunafuerza magntica expresada por 00 ( ) ( )m e em eF q vxB q v i x BkF q v Bj= = = El mdulo de la fuerza magntica ser 0(2)m eF q v B = Debidoaqueelelectrnenelinteriordelcampo describe un movimiento circular, La aplicacin de la segunda ley de Newton nos da 200n e ne eF m avq v B mR == 0 (3)eem vRq B= Deotroladolavelocidadangularconquegirala partcula cargada est dada por 3119 93( / )22 2 (9,1.10 )1, 6.10 [4.10 ]8.93.10 (4)ee e eeeeeq v vBr m v q B mqBT mm kgBq T C sB Teslaett t = = === == Remplazandolasecuaciones(1)y(4)en(3) resulta -31 70-19 39.1.10 [1, 33.10 / ]=1,6.10 [8, 93.10 ] Rt 8 43 a ,eeRm v kg mmsRmq B C T== Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 371 9.Unapartculacargadaconq=+6,6C,semueve enunaregindelespacioendondeexisteun campoelctricocuyamagnitudes1250N/C dirigidoenladireccinpositivadelejex,yun campo magntico de magnitud 1,02 T dirigido en la direccinpositivadelejez.Silamagnituddela fuerza neta que acta sobre la partcula es 6,23.10-3 Nyseencuentradirigidaenladireccin+x. Determinelamagnitudyladireccindela velocidaddelapartcula.Asumaquelavelocidad de la partcula se encuentra en el plano x-y. Solucin Ladireccindelcampoelctrico,elcampo magntico,ylafuerzainvolucradaenelproblema se muestran en el diagrama Estrategia.Debidoaquelapartculaestcargada positivamenteelcampoelctricoE,ejerceuna fuerzaenladireccin+x.Porotroladodebidoa quelafuerzanetaqueactasobrelapartculaest en la direccin +x, la fuerza magntica puede estar enladireccinx,peropodratenerlamisma direccinolaopuesta.Paraverellocomparamos lasmagnitudesrelativasdelafuerzanetayla fuerzaelctricaparadecidirconculdeestasdos direcciones coincide la fuerza magntica. Debido a queladireccindelafuerzanetaesconocida,se usala regla delamano derechaparadeterminar la direccin de la velocidad de la partcula. La fuerza elctrica que acta sobre la partcula es 666, 6.10 [1250 / ]8, 250.10 (1)eeF qE C i N CF N= == Debido a que la fuerza neta es menor que la fuerza magnticaseencuentradirigidaensentidox.De acuerdoconlaregladelamanoderechase determinaquelavelocidaddelapartculase encuentra en sentido y. Aplicando la segunda ley de Newton se tiene neta e m netanetaF F F F FqE qvB F = = = 336 338, 25.10 [6, 6.10 ][ ][1, 02 ] 6, 23.100, 25[ 255.10 ] /5.1Rta0 /C v T Nv j m sv m s === 10.Laespiradecorrientemostradaenlafigura, consisteenunlazocondossemicrculosde diferenteradio. Si lacorriente en elcircuito esI = 2A,ylosradiossona=3,00cmyb=9,00cm. Determineelmomentodipolarmagnticodela espira de corriente. Solucin El momento dipolar magntico viene expresado por 2 221[2, 5 ] [(0, 09 )0,(0, 03 ) ]( )2035B nBBNIAeA m mA m kkt== += 11.Unacorrientede200mAesmantenidaenuna bobina circular compuesta por 50 vueltasde 25 cm de radio cada una. Si dicha bobina es ubicada en un campo magntico de 0,85 T con su rea paralela al campocomosemuestraenlafigura.Determine: (a)elmomentodipolarmagnticodelabobinay (b)lamagnituddeltorquemagnticoejercidopor el campo magntico sobre la bobina. Solucin Parte (a). Clculo del momento dipolar magntico 2250[0, 2 ][ (0,[ 0, 982 ]25 ) ( )2BBBnNIk A mAeA m kt ===Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 372 Parte (b). Clculo del torque magntico 2 [ 0, 982 ] [0,85 ][0,84 ]BM xB k x iM j T A m = = = 2(0,84) M T A m = 12.Unalambremasaesm=10gestsuspendido mediante unos alambres flexibles, como se muestra enlafiguraenuncampomagnticodirigidohacia elinteriordelapginaycuyomduloesB = 1,25 T. Cul es la magnitud y direccin de la corrientenecesariaparaeliminarlatensinenlos alambresflexibles?.Considerequeelsistemase encuentraenunplanoverticalyqueelradiodel alambre es R = 10 cm. Solucin Paraqueseaneliminadaslastensionesenlos alambresflexiblesesnecesarioquelafuerza magnticaqueactesobreelalambreestdirigida haciaarriba.Porelloseusalaregladlamano derechayseobservaquelacorrientesedirigede izquierda a derecha como se ve en la figura La fuerza magntica ser 0( ) [ ] ( cos ) [ ] ( cos2mmmmF I dl x B I dl xBF I dlsen i dl j x B kF IRB sen d i d j x kF IRB jtu uu u u u= = (= (= ( =} }}} En la figura se muestra el DCL del alambre Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene 3 20210.10 [9,8 / ]2 2[0,1 (1, 25 )]392y mF F mgIRB mgmg kg m sIRB m TI mA= = === = 13.Un campo magntico uniforme de magnitud 0,15 T est dirigido a lo largo del eje positivo de las x. Un positrnquesemuevea5.106m/sentraenel camposiguiendounadireccinqueformaun ngulo = 85 con el eje de las x como se muestra nlafigura.Seesperaqueelmovimientodela partculaseahelicoidal.Determine:(a)elpasode hlice p y el radio r de la trayectoria. Solucin La fuerza magntica sobre la partcula cargada ser 0 00( ) [ ] [ ][ ] (1)mm x ym yF q vxBF q v i v j x B iF q v B k== += Las componentes de la fuerza sern 0 (2)0 (3)xyFF== 0(4)z yF q v B = Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 373 Lasecuaciones(2)y(3)indicanquelas componentesdelavelocidadnovaranenestas direcciones. Es decir el protnse mover a lo largo delejexconvelocidadconstantesiserperturbado porelcampomagnticoBdebidoaquev0xes paralelo a B, siendo su rapidez. 60 060cos85 5.10 cos850, 436.10 /xxv vv m s= = = Sinembargolacomponenteydelavelocidades perpendicularalcampomagntico.Porelloel protnexperimentarunafuerzaFzdirigida perpendicularmente al plano que contiene a v0y y al campomagnticoB.Dichafuerzaharquegireel protnconunavelocidadangularealrededorde unejeparaleloalcampomagntico(ejex) describiendouncrculoderadioRcomose muestra en la figura. AplicandolasegundaleydeNewtonendireccin centrpeta se tiene 20200yn n myyvF ma F mRvq v B mR = == 027 6191.6725.10 (5.10 85 / )1, 6.10 [0,15 ]0, 0347ymvRqBkg sen m sRC TR m=== El perodo no es ms sino el tiempo que demora en dar una vuelta completa. Esto es 271922 (1, 6725.10 )1, 6.10 (0,15)0, 43ppmTq BT stt= == Elmovimientodescritoporelprotneshelicoidal portanoelavancequeexperimentaenelejexse denomina paso de hlice y est dado por 6 60(5.10 cos85 / )[0, 40,13.10 ]87xp v t m sp ms== = 14.Un disco deradio R tienen unadensidad decarga uniforme(C/m2).Eldiscorotaalrededordesu ejecentralconunavelocidadanularrad/scon suejeperpendicularauncampomagntico uniforme .(a)Encuentresumomento dipolarmagntico,(b)Muestrequeeltorque magnticosobreeldiscotieneunamagnitudde

. Solucin Eldiscosedivideenelementodecargadqen formadeanillosderadioryespesordrcomose muestra en la figura La densidad de carga dq ser (2 ) (1)dqdq dAdAdq rdro oo t= == Sieldiscogiraaunavelocidadangulare constante,lacorrientegeneradaportalrotacin ser Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 374 2 (2)2 /dq rdrdI rdrTtooet e= = = El momento dipolar magntico est dado por 23 ( )[ ][ ](3)B nBBd dI Aed rdr r kd r dr k oe t toe=== Integrando expresin (3) resulta 430Rta4RBBr dkr kR toe toe ==} Parte(b).Paradeterminareltorquemagntico, primerosedeterminaeltorquediferencial producidoporelmomentodipolarmagntico diferencial. Esto es 33 ( ) ( ) [ ] ( )BdM d x B r dr k x B jdM B r dr i toetoe= == Integrando la expresin anterior se tiene 3404 Rt4a4RM B r dr iBRBRMM itoetotoee= = =} 15. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 375 8.13. PROBLEMAS PROPUESTOS. 16.Unprotnviajaconunavelocidadde3.106m/sa unngulode37enladireccindelcampo magntico con un valor de 0,3 T en la direccin de lasypositiva.Determine:(a)Lamagnituddela fuerzamagnticasobreelprotny(b)su aceleracin 17.Unprotnsemueveperpendicularmenteaun campomagnticouniformeBaunavelocidadde 1.107m/syexperimentaunaaceleracinde2.1013 m/s2enladireccinpositivadelasxcuandosu velocidadestenladireccinpositivadelasz. determinelamagnitudydireccindelcampo magntico. 18.Unapartculaconunacargade+8,4Cyuna velocidadde45m/sentraenunaregindonde existe un campo magntico uniforme de 0,3 T. Para loscasosmostradosenlafigura,encuentrela magnitudyladireccindelafuerzamagntica sobre la partcula. 19.Unconductorsuspendidopordosalambres flexibles,comosemuestraenlafiguratieneuna masaporunidaddelongitudiguala0,040kg/m. Determinelacorrientequedebepasarporel conductorparaquelatensinenlosalambresde soporteseaigualacerocuandoelcampo magnticotieneunvalorde3,6Tesladirigido hacia la pgina. Cul es la direccin de I? . 20.Unalambredobladoenformadesemicrculo,de radioR=0,25m,formauncircuitocerradoy conduce una corriente I = 3 A. el alambre est en el planoxyyconuncampomagnticouniformeest dirigido a lo largo del eje positivo de las y como se muestra.SilamagnituddelcampoesB=0,25T. Determinelamagnitudydireccindelafuerza magnticasobrelaporcinrectaycurvadel alambre 21.Unavarillacon0,72kgdemasayunradiode 6.00cmdescansasobredosrielesparaleloscomo se muestra en la figura que estn separados por una distanciad=12,cmytienenunalongitudL=45cmdelargo.Lavarillaconduceuna corriente I = 48 A (en la direccin que semuestra) yruedaporlosrielessindeslizar. Perpendicularmente a la varilla y a los rieles existe uncampomagnticouniformedemagnitudB = 0,24 T. Si la varilla parte del reposo, determine lavelocidaddelavarillacuandoabandonalos rieles. 22.Enlafiguraelcubo tiene aristas de40 cm.Cuatro segmentosrectosdealambre,ab,bc,cd,yda formanunlazocerradoporelquefluyeuna corrienteI=5Aenladireccinindicada.Enla direccinpositivadelasyexisteuncampo magnticouniformedemagnitudB=0,02T. Determinelamagnitudyladireccindelafuerza magntica que se ejerce sobre cada segmento. 23.UnabobinadeN=200vueltas,muyapretadas tiene las dimensiones de a = 8 cm y b = 6 cm. Si la bobinaseencuentraenuncampomagnticoB = 0,48 T en la direccin + x como se muestra en lafigura.Determine:(a)Elmomentodipolar Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 376 magntico,(b)lamagnituddeltorquemagntico sobrelaespiracuandoporestacirculauna intensidad de corrienteI = 15 A y (c) el sentido de rotacin de la bobina. 24.UnapartculaAconunacargaqymasamAyuna partcula B con carga 2q y masa mBson aceleradas desdeelreposomedianteunadiferenciade potencialVysubsecuentementedeflectadaspor uncampomagnticouniformeentrayectorias semicirculares. Los radios de las trayectorias de las partculasAyBsonry2r,respectivamente.La direccindelcampomagnticoesperpendiculara lavelocidaddelaspartculas.Determinelarazn entre sus masas. 25.Un lazo decorrienteconsistedeunsemicrculo de radio R y dos segmentos rectos de longitud l con un ngulo entre ellos. El lazo es entonces localizado en un campo magntico uniforme representado por los puntos en la figura mostrada. Determine: (a) La fuerzanetasobreellazodecorriente,(b)El momentodipolarmagnticoy(c)Eltorque magntico sobre el lazo de corriente. 26.Un lazo cuadrado de alambre, de longitud l = 0,1 m porlado,tieneunamasade50gypivotasobreel ejeAAquecorrespondeaunladohorizontal, como se muestra en la figura. Un campo magntico uniformede500G,dirigidoverticalmentehacia abajo llena completamente la regin en la vecindad dellazo.EllazollevaunacorrienteItalquesu posicindeequilibriosealcanzacuando=20. (a)Considerelafuerzasobrecadasegmento separadamenteyencuentreladireccindela corriente en el lazo para mantener el ngulo en 20. (b)Calculeeltorquealrededordelejedebidoa estasfuerzas.(c)Encuentrelacorrienteenellazo queserequiereparaquelasumadetodoslos torques(alrededordelejeseacero.Considereel efecto delagravedad sobrecadauno delos cuatro segmentos del alambre separadamente. 27.ElcampomagnticoBenciertareginesde 0,138 T, y su direccin es la del eje de las +z en la figuraCuleselflujomagnticoatravsdela superficieabcd?.Culeselflujomagnticoa travsdelasuperficiebefc?.Culeselflujo magntico atravs delasuperficieaefd?. Cul es el flujo neto a travs de toda la superficie? 28.Unestudiantedefsicaafirmaquehaacomodado imanes de modo tal que el campo magntico dentro delvolumensombreadodelafiguradelproblema 27 es ( )2B y j | = Donde=0,3Ty=2,0T/m2.(a)Halleelflujo magnticonetodeatravsdelascincocaras queencierraelvolumensombreadodelafigura?. Es plausible la afirmacin del alumno?. Porqu? Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 377 29.Unavarillametlicaconunamasaporlongitud unitaria Transporta una corriente I. La varilla est suspendidadealambresverticalesenuncampo magntico vertical uniforme, como se muestra en la figura.Silosalambresformanunnguloconla verticalcuandoestnenequilibrio.Determinela magnitud del campo magntico. 30.El circuito de la figura est formado de alambres en su parte superior e inferior y de resortes metlicos idnticosenlosladosderechoeizquierdo.La porcinsuperiordelcircuitoseencuentrafija.El alambreinferiortieneunamasade10gramosy una longitud de 5 cm. Los resortes se estiran 0,5 cm bajolaaccindelpesodelalambreyelcircuito presentaunaresistenciatotalde12.Cuandoel campomagnticoseencuentraoperandohaciael exterior delapgina, los resortes seestiran0,3 cm adicionales.Determinelamagnituddelcampo magntico. 31.Unabarrametlicademasamest apoyadasobre unpardevarillasconductorashorizontales separadas una distancia L y unidas a un fuente AV, segnseveenlafigura.Silaresistenciadel circuitoesRcuandoseestableceuncampo magnticovertical.(a)Despreciandoel rozamiento y considerando que en t = 0 la barra estenreposo,determinarlavelocidaddelabarra encualquierinstante.(b)Enqusentidose mueve?. (c) Si ahora se considera la friccin siendo el coeficiente de rozamiento esttico es S, halle el valormnimodelcampoBnecesarioparahacer que se ponga en movimiento. (d) si los conductores deapoyocarecenderozamientoperoestn inclinadoshaciaarribademodoqueformanun ngulouconlahorizontalQucampomagntico verticalsenecesitaparaquelabarranodeslice haciaabajoporlosconductores?.Culesla aceleracindelabarrasieseldobledelvalor hallado?. 32.Laespirarectangulardealambredelafiguratiene unamasade0,19gporcentmetrodelongitudy estfijaenelladoabaunejederotacinsin friccin.Lacorrienteenelcableesde6,8Aenla direccinmostrada.Encuentrelamagnitudyla direccindelcampomagnticoparaleloalejey queocasionarquelaespirasebalanceehastaque su plano forme un ngulo de 30 con el plano yz 33.Un alambredoblado como semuestraen lafigura. Sicadatramorectotieneunalongitud3Lyel mediocrculotieneunaradioLyporelalambre circulaunacorrienteIenelsentidoindicada. Determinelafuerzamagnticasobreelalambre cuandosteseencuentraenuncampomagntico

dirigido en la direccin +x. 34.Un rea circular con un radio de6,5 cmyace en el plano xy . Cul es la magnitud del flujo magntico atravsdestecrculodebidoauncampo magntico uniforme B = 0,23 T. (a) en la direccin +z, (b) a un ngulo de 53,1 respecto al eje +z y (c) en la direccin +y. 35.Unapartculacargadaentraenuncampo magnticouniformeBysiguelatrayectoria Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 378 circularmostradaen eldiagrama. (a) Lapartcula estcargadapositivamenteonegativamente?,(b) Lavelocidaddelapartculaes140m/s,la magnituddelcampomagnticoesde0,48T,yel radio de la trayectoria descrita es 960 m. Determine la masa de la partcula sisu carga es 820 C. 36.Dos rieles conductores se encuentran fijos sobre un planoinclinado30conlahorizontal.Sienla regin del espacio existe un campo magntico cuya magnitudesB=0,05T.Culserlaintensidad de corriente que debe fluir por la barra de aluminiode0,27kgparaquestadeslicesinfriccinauna velocidad constante. 37.Un haz de protones se mueve a travs de un campo magntico uniforme de magnitud 2,00 T, dirigido a lo largo del eje positivo de laz.los protones tiene unavelocidadde3.106m/senelplanoxzaun ngulode30coneleje+z.Encuentre:(a)La fuerza sobre el protn y (b) su aceleracin. 38.Unaespiracuadradadelado2adealambreque transportaunacorrienteI,seencuentraenel interiordeuncampomagnticoBdirigidoenla direccinzcomosemuestraenlafigura. Determine:(a)lafuerzamagnticasobrecadauno delosalambresrectosy(b)eltorquemagntico total que produce el campo magntico. 39.Sea la espira rectangular de la figura de lados a y b, recorridaporunacorrientedeintensidadIenel sentido indicado, situada en el interior de un campo magntico no uniforme de valor 0aB B kx=Calcularla fuerza que aparece sobre los lados cd y de. 40.Unalambrecompuestopordossegmentosrectos delongitud2ayuncuartodecircunferenciade radio a que transporta una corrienteI, se encuentra fijoenunaregindondeexisteuncampo magnticoBenladireccin+x.Encuentrela fuerza neta que acta sobre el alambre. 41.Enlafigurasemuestraunaespiracuadradade alambrequeseencuentraenelplanoxy. Laespira tieneladosdelongitudLyporellacirculauna corrienteconstanteIenelsentidohorario.El campomagnticoestdadopor k L y B j L z B B ) / ( ) / (0 0+ = ,conB0una Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 379 constantepositiva.(a)Encuentrelamagnitudyla direccindelafuerzamagnticaejercidasobre cadaalambre,(b)Encuentrelamagnitudyla direccindelafuerzamagnticanetasobrela espira. 42.Unprotnseestmoviendoa1500m/senel campo de135 Tmostrado en lafigura. Cules el radio de la trayectoria descrita por el protn?. 43.El lazo triangular de alambre mostrado en la figura llevaunaintensidaddecorrienteI=4,70A.Un campomagnticouniformeestdirigido paralelamentealladoABdeltringuloytieneun magnitudde1,8T.(a)Encuentrelamagnitudyla direccindelafuerzaejercidasobrecadaunode losladosdeltringulo,(b)determinelamagnitud delafuerzanetaejercidasobreelalambre,(c) encuentrelamagnitudydireccindelmomento dipolar elctrico y (c) la torsin sobre el alambre 44.Un electrnque se halla en el punto A de la figura tiene una rapidez v0 = 1,41.106 m/s. Determine: (a) lamagnitudydireccindelcampomagnticoque obligaalelectrnaseguirlatrayectoria semicircular de A a B; (b) el tiempo necesario para que el electrn se traslade de A a B. 45.La barra AC de la figura tiene 40 cm de longitud y una masa de 40 g, y se desliza libremente sobre las tiras metlicas en los bordes de un plano inclinado. UnacorrienteIfluyeatravsdeestastirasyla barra, y existeun campo magnticoBy= 0,2 T enladireccinopuestaalejey.(a)Dequ magnituddebeserIparaquelabarrapermanezca enreposo?.(b)Silacorrientequefluyeenel conductoresrealmente2,5ACulesla aceleracindelabarraalolargodelplano inclinado?. 46.Una bobina circular de alambre con un radio R = 1 cmtieneN=100vueltasytransportauna corriente I = 500 mA. Cul ser el torque ejercido sobrelabobinacuandoestaesubicadaenuna regin donde existe un campo magntico uniforme B=5mTelcualhaceunngulode60conel plano de la bobina? 47.Aunalambreconductorseledalaformadeuna Mconlasdimensionesquesemuestranenla figura y se le hace conducir una corriente de 15 A. UncampomagnticoexternoB=2,5Teslaest dirigido como se muestra y est a travs de toda la reginocupadaporelconductor.Calculela magnitudydireccindelafuerzatotalejercida sobre el conductor por el campo magntico. 48.Uncampomagnticonouniformeejerceuna fuerza neta sobre un dipolo magntico. Un imn de granintensidadseponebajounanilloconductor Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 380 horizontalderadiorqueconduceunacorrienteI, comosemuestraenlafigura.Sielcampo magntico B forma un ngulo con la vertical en la posicindelanillo.Culessonlamagnitudyla direccin de la fuerza resultante sobre el anillo?. 49.Una bobina rectangular con 200 espiras tiene 5 cm dealtoy4cmdeancho.Cuandolabobinaes colocadaenuncampomagnticode0,35T,su mximo torque es 0,22 N.m. Cul ser la corriente que fluye en la bobina?. 50.Una bobina rectangular de 50 vueltas tiene lados de 6 cm y 8 cm y transporta una corriente de1,75 A. estorientadacomoindicalafiguraypivota alrededordelejez.(a)Sielalambresituadoenel plano xy forma un ngulo = 37 con el eje y como seindica,qunguloformaelvectorunitario normal n con el eje x; (b) Expresar n en funcin de losvectoresiyj;(c)Culeselmomento magnticodelabobina?;(d)Determineel momentomagnticodelparqueactasobrela bobinacuandosesitaenuncampomagntico uniforme B = (1,5 j) Tesla. 51.Unaespiradealambreestformadapordos semicilindrosconectadospordossegmentos rectos. Los radios interiores y exteriores son 0,3 m y 0,5 m, respectivamente. Por el circuito fluye una corrientede1,5 A, siendo su sentido horario en el semicrculoexterior.Determineelmomento magntico de esta espira de corriente?. 52.Una barra metlica delgada de L = 50 cm de largo, conunamasadem=750gdescansasobredos apoyosmetlicos(sinestarsujetosaellos)enun campomagnticouniformedeB=0,450T, comosemuestraenlafigura.Unabaterayun resistordeR=25estnconectadosalos soportes.(a)Culeslamximafem,quela baterapuedetenersinquesiinterrumpael circuitoenlossoportes?.(b)Lafemdelabatera tiene el valor mximo calculado en el inciso (a). Si elresistorrecibedeimprovisouncortocircuito parcialysuresistenciadisminuyeaR=2,0, encuentre la aceleracin inicial de la barra. 53.Los protones con una energa cintica de5,0 MeV se mueven inicialmente en la direccin positiva de lasx,yentranenuncampomagntico (0, 05 ) B k T =dirigidoperpendicularmentehacia afueradelplanodelapginaqueseextiende desde x = 0 hasta x = 1,0 m, como se muestra en la figura.Determine:(a)lacomponenteydel momento delos protones cuando salen del campo magntico,(b)elngulooentreelvector velocidad inicial del haz de protones y el vector de velocidad despus de que el haz de protones salga delcampo.Ignorelosefectosrelativistasy considere que 1 eV = 1,6.10-19 J. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 381 54.Unhazdeprotonesconunaenergacinticade 3,00 MeV se mueve en la direccin positiva de las xyentraenunaregindondeexisteuncampo magntico ,dirigidohaciaafuera delplanodelapginayqueseextiendedesde x = 0 hasta x = 1 m, como se muestra en la figura . Determineeldesplazamientoverticaldelhazal salirdelaregindondeexisteelcampo magntico. 55.Unelectrndevelocidad107m/sentraauna regindecampomagnticouniformeB=0,8T, dirigidohaciaelexteriordelapginacomo muestra la figura. Si el ngulo u = 60, Determine: (a) el ngulo , (b) la distancia d, (c) el tiempo que permaneceenelinteriordelcampo(d)la frecuencia del movimiento. 56.Uncableconductorporelquecirculauna corrienteItienelaformadeunaespira semicircularderadioRsituadosobreelplanoxy. Sienlareginexisteuncampomagntico

perpendicularalplanodelaespiracomo semuestraenlafigura.Determinelafuerza magntica sobre la espira. 57.Laestructurarectangulardelafigurapuedegirar librementealrededordelejeA-Ahorizontal.La estructuraesde16cmdelongitudy6cmde anchuraysumasaporunidaddelongitudes

. Un campo magntico uniforme B =0,2 T tieneladireccin mostrada. Por medio de dosalambresuperiorespuedeenviarseuna corrientequecirculaporlaestructura.(a)sino pasacorrienteporlaestructura.Culesel perododestepndulofsicoparapequeas oscilaciones?.(b)siunacorrientede8Afluyea travsdelosconductoresenelsentidoindicado, Cules elperodo deeste pndulofsico?. (c) Si la corriente es de sentido opuesto al indicado en la figura,laestructurasedesplazarunnguloa partirdelaposicinvertical.Culdebeserla magnituddelacorrienteparaquelaestructura permanezca en equilibrio 58.El circuito de la figura est formado por una batera cuyafemes ,conectadaporalambresen su parte superior e inferiory de resortes metlicos idnticosenlosladosderechoeizquierdo.La porcinsuperiordelcircuitoseencuentrafija.El alambreinferiordeformasemicirculartieneuna masade24gramosyunradioder=8cm.Los resortesseestiran0,6cmbajolaaccindelpeso del alambre cuando no existe campo magntico y el circuito presenta una resistencia total de R = 16 . Cuandoelcampomagntico,dirigido perpendicularmente hacia el interior de la pgina se encuentraactuando,losresortesseestiran0,4cm adicionales.Determine:(a)laintensidadde corriente quefluye en el circuito y (b) lamagnitud del campo magntico aplicado. Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 382 59.Un alambre doblado como semuestra en la figura transportaunacorrienteIyvacolocadoenun campomagnticouniforme,quesaledelplano delafigura.Determinelafuerzamagnticaque obra sobre el alambre. 60.UnanilloderadioRtienenunadensidaddecarga uniforme (C/m). El anillo rota alrededor de su eje central con una velocidad anular rad/s con su eje perpendicularauncampomagnticouniforme

.Determine:(a)elmomentodipolar magntico,(b)Eltorquemagnticoqueejerceel campo magntico 61.UnacortezaesfricaderadioRposeeuna densidaddecargasuperficialo.Siadichaesfera selehacegiraralrededordesudimetroconuna velocidadangulare.Determineelmomento angular de esta esfera giratoria. 62.Unacorteza slidade radio R posee unadensidad decargauniforme.Siadichaesferaselehace giraralrededordesudimetroconunavelocidad angulare. Determineelmomento angular deesta esfera giratoria. 63.Unapartculaconunacargade2,15Cyuna masade3,2.10-11kgviajainicialmenteenla direccin+yconunarapidezv0=1,45.105m/s. Despusentraenunareginquecontieneun campomagnticouniformedirigido perpendicularmenteeingresandoalapgina comosemuestraenlafigura.Lamagnituddel campomagnticoesde0,42T.Lareginse extiende hasta una distancia de 25 cm a lo largo de la direccin inicial del recorrido; a75 cm desde el punto de entrada en la regin de campo magntico hay una pared. Cuando la partcula con carga entra enelcampomagntico,sigueunatrayectoria curvacuyoradiodecurvaturaesR.Despussale delcampomagnticoalcabodeuntiempot1, habiendosidodesviadaunadistancia

.A continuacinlapartculaviajaenlareginlibre delcampoeincideenlapareddespusdesufrir una deflexin total de . (a) Encuentre el radio R delapartecurvadelatrayectoria.(b)Determine t1,eltiempoquelapartculapasaenelcampo magntico,(c)Determine

,ladesviacin horizontalenelpuntodesalidadelcampo,(d) determine , la desviacin horizontal total. 64.Unaesferano conductoratienen unamasade80 g yunradiode20cm.Asualrededorseenrolla apretadamenteunabobinaplanaycompactade alambrecon5vueltas,dondecadavueltaes concntrica con la esfera. Como se puede ver en la figuralaesferaescolocadaenunplanoinclinado queseinclinaalaizquierdaabajo,formandoun ngulo u con la horizontal, de manera que la bobina resultaparalelaalplanoinclinado.Enlaregin existeuncampomagnticouniformede0,35T dirigidoverticalmentehaciaarriba.Qucorriente debepasarporlabobinaparaquelaesferapueda quedarenequilibriosobreelplanoinclinado?. Demuestrequeelresultadonodependedelvalor del ngulou. 65.Lafiguramuestraundispositivousadopor Dempsterparamedirlamasadelosiones.La puerta S es un cmara en la cual se est efectuando unadescargaenungasy produce un in demasa My carga +q casi sin velocidad. El in se acelera mediante una diferencia de potencial AV y se hace ingresar en magntico B. En el campo describe un semicrculoyvaachocarcontraunaplaca fotogrficaaunadistanciaxdelaaberturade entradadejandoahsumarca.Demuestrequela masa M est dada por la ecuacin 28( )qBM xV=A Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 383 66.Unabarraconductora demasamy longitudLse deslizasobrerieleshorizontalesconectadosauna fuentedevoltaje.Lafuentedevoltajemantiene una corriente constante I en los rieles y en la barra, y un campo magntico vertical uniforme llena la regincomprendidaentrelosrielescomose muestra en lafigura. (a) Despreciando lafriccin, determinelamagnitudyladireccindelafuerza neta que acta sobre la barra conductora. (b) Si la barratieneunmasam,halleladistanciadquela barra debe recorrer a lo largo de los rieles a partir desuposicindereposohastaalcanzarla velocidad v 67.Una partcula alfa cuya carga es q = +2e que tiene unamasam=6,65.10-27kgsemueveenuna trayectoriacircularderadioR=0,5menel interiordeuncampomagntico

(),comosemuestraenlafigura. Determine:(a)elperododelmovimiento,(b)las velocidades linealy angular delmovimiento dela partculaalfay(c)laenergacintica(en electronvoltios) de la partcula alfa 68.UnalambreflexiblecuelgadelpuntoPenuna regindondehayuncampomagnticohorizontal uniforme de magnitud B, dirigido hacia el plano de lafiguray perpendicular al. Se sujetaunapesa a laparteinferiordelalambreafin deproporcionar unatensinuniformeTatodoelalambredepeso despreciable.CuandofluyeunacorrienteIdela partesuperioralainferiordelalambre,stese curvaparaformarunarcocircularderadioR.(a) considerandolasfuerzasqueactansobreun segmentopequeodealambrequesubtiendeun ngulou.Demuestrequeelradiodecurvaturade alambreesR=T/IB.(b)Siahoraseretirael alambrey en elpunto P selanza unapartcula con carga q y masa m en la misma direccin en la que seextendaapartirdeP,demuestrequela trayectoriadelapartculasigueelmismoarco circularformadoporelalambresilarapidezdela partcula es v = qT/mI. 69.Cierta bobina de voz de un altavoz tiene 50 espiras de alambre y un dimetro de 1,56 cm, y la corriente que fluye en la bobina es de 950 mA. Suponga que elcampomagnticoencadapuntodelabobina tieneunamagnitud constantedeB = 0,22 Ty est dirigido a un ngulo de 60 hacia afuera respecto a la normal al plano de la bobina como se muestra en la figura. El eje de la bobina est en la direcciny. Lacorrienteenlabobinatieneunsentidoanti horario. Determine la magnitud y la direccin de la fuerza magntica sobre la bobina. 70.Unalambreaisladodemasam=5,4.10-5kgest dobladoenformadeUinvertida,detalmodoque lapartehorizontaltieneunalongitudl=15cm. Losextremosdoladosdelalambreseencuentran parcialmentesumergidosendosdepsitosde mercurio, con 2,5 cm de cada extremo debajo de la superficielibredelmercurio.Laestructuraentera sehallaenunaregindondeexisteuncampo magnticouniformeB=6,5mTdirigidahaciael interior dela pginacomo semuestraen la figura. Seestableceunaconexinelctricaentrelos Fsica General III Campo magntico y fuerza magntica Optaciano Vsquez Garca 384 depsitos demercurio atravs delos extremos del alambre.Losdepsitosdemercurioestn conectadosaunabaterade1,50Vyaun interruptorS.CuandosecierraS,elalambresalta 3,5cmenelaire,medidosrespectoalaposicin original. (a) Determine la rapidez v del alambre en elmomentoenquesaledelmercurio,(b) suponiendoquelacorrienteIatravsdelalambre fue constante desdeelmomento en quesecerro el interruptor hasta que el alambre sali del mercurio, halle el valor de I. 71.El circuito de la figura est formado por una batera cuya femes ,conectadaporalambresensuparte superioreinferioryderesortesmetlicosidnticosen losladosderechoeizquierdo.Laporcinsuperiordel circuitoseencuentrafija.Elalambreinferiordeforma semicircular tiene una masa de 24 gramos y un radiode r = 8 cm. Los resortes se estiran 0,6 cm bajo la accin del pesodelalambrecuandoelinterruptorSseencuentra abierto y el circuito presenta una resistencia total de R = 16.CuandosecierraSyelcampomagntico, dirigidoperpendicularmentesaliendodelplanodela pginaseencuentraactuando,losresortesseestiran0,4 cm adicionales. Determine: (a) la intensidad de corriente quefluyeenelcircuitoy(b)lamagnituddelcampo magntico aplicado. 72.En el espectrmetro de masas de la figura, los iones aceleradosporunadiferenciadepotencialVentre SyAentranenelcampomagnticoBquecubre unsectorde60ysonenviadosaunaemulsin fotogrfica. Demostrar que q/m = 32V/B2D2. 73.Enlafigurasemuestraunaespiracuadradade alambrequeseencuentraenelplanoxy. Laespira tieneladosdelongitudLyporellacirculauna corrienteconstanteIenelsentidohorario.El campomagnticoestdadopor 0 0 ( / ) ( / ) B B y L i B x L j = +,conB0unaconstante positiva.(a)Encuentrelamagnitudyladireccin de la fuerza magntica ejercida sobre cada alambre, (b)Encuentrelamagnitudyladireccindela fuerzamagnticanetasobrelaespira,(c)sila espirapuedegirarlibrementeentornoalejex, encuentrelamagnitudydireccindeltorque magntico sobre la espira. 74.