(735317562) Fuerza Magnetica

8/19/2019 (735317562) Fuerza Magnetica

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Cartilla de Problemas

Heidy Gutiérrez Garro

Verano-2015


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1

Esta cartilla contiene problemas de magnetismo, electromagnetismo, ó ptica y f ́ısica mo-

derna. Cualquier error por favor reportelo a la direccion de correo: [email protected] .

mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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Índice general

Fuerza Magnética 3

1.1. Fuerza magnética sobre una carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Nota Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Cargas Circulantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1. Nota Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Fuerza Magnética sobre un Cable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1. Nota Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4. El par en una espira de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.1. Nota Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.2. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.

2


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Ca ṕıtulo 1

Fuerza Magnética

1.1. Fuerza magnética sobre una carga

1.1.1. Nota Teórica

La fuerza magńetica que percibe una carga puntual, que se mueve a una velocidad v, en

presencia de un campo magnético externo, está dada por medio de la expresion:

FB = qv × B. (1.1.1) F

La magnitud de esta fuerza esta dada por FB = |q|vB sin φ, siendo φ el ángulo entre los vectores v y B. La presencia del producto cruz indica que la fuerza magnética es un vector perpendicular al

plano definido por los vectores de campo magnético y velocidad,

como lo muestra la figura 1.1. En el caso de que la par t́ıcula sea B q

neutra o se mueva en forma paralela al campo magnético, el campo φ v no interfiere en el estado de movimiento de la carga, es decir no

hay fuerza magnética generada sobre la par t́ıcula. En el caso de

que la par t́ıcula se mueva perpendicular al campo magnético,

el ángulo entre los vectores velocidad y campo ser ́a de 90◦, por

lo

Figura 1.1: Fuerza

magnética sobre q

que la fuerza magnética ser máxima.

Al ser la fuerza magnética perpendicular a la velocidad ser tam bíen perpendicular al

desplazamiento y siendo el trabajo realizado por una fuerza definido por:Z

WF = F · dr , C

en el caso de la fuerza magnética, el trabajo realizado por ella ser siempre cero. Si se

considera una par t́ıcula, de masa constante, en la que solo perciba la fuerza magnética1 y

aplicando el Teorema de Trabajo y Ener ǵıa, se tendr a:

1 Es importante señalar que esta condicion se dar ́a siempre y cuando el campo magnético no var ́ıe con el

tiempo. En el caso de variaciones temporales, se presentan otras fuerzas como resultado de esta variacion,

las cuales seran estudiadas posteriormente.


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Ca ṕıtulo 1

3


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CAPÍTULO 1. FUERZA MAGNÉTICA 4

WFB = ∆K

1

0 = m v2 − v2

22 1

v2 = v1.

Esto quiere decir que la fuerza magnética solo puede cambiar la dirección de la velocidad.

En cuanto a las unidades, usando el S.I., si la fuerza est dada en newtons (N), la velocidad

en metros sobre segundo (m/ s) y la carga eléctrica columbios (C), el campo magnético debe

estar en la unidad conocida como tesla (T). Otra unidad de uso común es el gauss y el factor

de equivalencia est dado por 1 T = 1 × 104 gauss.

Si estan presentes al mismo tiempo campos eléctrico y magnético, la carga percibir ́a tanto

la fuerza electrica como la magnética, esta fuerza nete se conoce como fuerza Lorentz y se

expresa como:

FL = qE + qv × B. (1.1.2)

En el caso de que los vectores E, v y B sean perpendiculares entre śı, dar como resultado

que la fuerza eléctrica y magnética ser ́an opuestas o paralelas. Particularmente, si se desea

de que la fuerza de Lorentz sea cero, ambas fuerzas seran opuestas y de la misma magnitud,

haciendo que la carga no sufra desviaciones y donde la magnitud de la velocidad se relaciona

con la magnitud de los campos, por medio de:

1.1.2. Problemas Resueltos

Problema 1.1.1

E v = . (1.1.3)

B

En un campo magnético de magnitud de 12.55 T y dirigido de izquierda a derecha, se

mueve un positr ́on2 con una rapidez de 6 × 106 m/ s. Debido a esto, experimenta una fuerzamagnética de 3.57 × 10−12 N dirigida hacia afuera del plano de la pagina. ¿Cual es el ángulo entre el vector velocidad y el campo magnético?

Datos

B = 12.55 T

v = 6 × 106 m/ s

q = 1.6 × 10−19 C

F = 3.57 × 10−12 N

2 El positron es la antipar t́ıcula del electr ́on, lo cual quiere decir que es una par t́ıcula con la misma masa

que la del electron pero con una carga eléctr ica positiva.


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,

Procedimiento

La figura 1.2 muestra los vectores de velocidad, campo magnético, fuerza y el ángulo por

determinar.

La magnitud de la fuerza magńetica está dada por:

F = qvB sin θ,

por lo que al despejar: v

F θ

F q θ = sin−1 B

qvB

= sin−1

de tal forma:

3.57 × 10−12

1.6 × 10−19 (6 × 106)12.55

Figura 1.2: Trayectoria de q

θ = 17.24◦.

Problema 1.1.2

Una par t́ıcula alfa3 tiene una velocidad de 3 î + 5 ̂j − 9 k ˆ

m/ s dentro de un campo

magnético uniforme dado por 3 î − 20 ̂j + 5 k ˆ

µT.

a. ¿Cuál es la fuerza que percibe la par t́ıcula alfa?

b. ¿Qúe campo eléctrico hace que la fuerza neta sobre la carga sea cero?

Datos

v = 3 î + 5 ̂j − 9 k ˆ

m/ s

B = 3 î − 20 ̂j + 5 k ˆ

µT = 3 î − 20 ̂j + 5 k ˆ

× 10−6 T

q = 2e = 3.2 × 10−19 C

Procedimiento

a. La fuerza magnética est dada por medio de:

F = qv × B.

Al sustituir los valores en ella se obtiene:

3 Una par t́ıcula alfa corresponde al núcleo de He, es decir está formado por dos protones y dos neutrones.


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, î ̂j k ˆ

F = 3.2 × 10−19 3 5 −9

por lo que el resultado es:

3 × 10−6 −20 × 10−6

5 × 10 −6

F = −4.96 î − 1.34 ̂j − 2.40 k ˆ

× 10−23 N.

b. Si las fuerzas eléctrica y magnética estan equilibradas, indica que la fuerza de Lorentz

debe ser nula:

de tal forma que:

FL = 0 = qE + qv × B,

entonces:

E = −v × B,

E = 1.55 î + 0.42 ̂j + 0.75 k ˆ

× 10−4 V/ m.

Problema 1.1.3

Las cargas q1 = 2 µC y q2 = −5 µC, que se z

muestran en la figura, se mueven con rapideces de v1 = 3 m/ s y v2 = 5 m/ s. Determine el campo

magnético de forma tal que la fuerza que perceiben

ambas cargas sean la misma y considerando que el

valor de la componente z del campo es de 2 T.q1

x

v1

q2 30◦

y

v2

Datos

q1 = 2 µC

q2 = −5 µC

v1 = 3 m/ s

v2 = 5 m/ s.

Figura 1.3: Problema propuesta


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Procedimiento

Se calcula la fuerza magnética sobre cada una de las cargas:

F1 = q1 v1 × B F2 = q2v2 ×B

î ̂j ˆ î ̂j k ˆ

= 2 × 10−6 0 3 0 = −5 × 10−6

0 5 cos 30

5 sin 30 ◦ ◦

Bx By Bz Bx By Bz

= 2 × 10−6 3Bz î − 3Bx k ˆ

= −5 × 10−6 h

(5 cos 30◦Bz − 5 sin 30◦ By ) î

+5 sin 30◦ Bx ̂j − 5 cos 30◦Bx k ˆ

i .

Como se desea que la fuerza percibida por ambas cargas sea igual, se iguala cada componente:

î : 3 2 × 10−6

Bz = −5 × 10−6 (5 cos 30◦Bz − 5 sin 30

◦By )

̂j : 0 = −5 × 10−6 (5 sin 30◦ Bx)

k ˆ : −3 2 × 10−6

Bx = −5 × 10−6 (5 cos 30◦Bx) ,

sabiendo que Bz = 2 T, se encuentra:

B = 2.7 ̂j + 2.0 k ˆ

T.

Problema 1.1.4

Un electron se mueve con una aceleración de (200 î + 500 ˆ j) m/ s2 y en un instante dadosu velocidad es de 4 m/ s î. La situación anterior es el resultado de la prescencia de campos

eléctrico y magnético. El campo magnético con una orientación en k ˆ, mientras que el eléctrico

es tiene una − ̂i. El campo eléctrico es producido por dos placas paralelas separadas una distancia de 15 cm y conectadas a una diferencia de potencial ∆V . Determine:

a. la magnitud del campo magnetico

b. la diferencia de potencial

Datos

q = −1.6 × 10−19 C m

= 9.11 × 10−31 kg v =

4 m/ s ̂i


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d

− −

a = (200 î + 500 ˆ j) m/ s2

d = 0.15 m

E = −E î

B = B k ˆ

Procedimiento

La aceleracion que percibe el electr ́on es producto de la fuerza de Lorentz y la magnitud

del campo eléctrico es dado por ∆V , entonces:

FL = ma

q(v × B + E) = ma

(−1.6 × 10−19 ) 4 î × B k ˆ − E î

= 9.11 × 10−31 (200 î + 500 ̂j)

4B ̂j ∆V 0.15

î = − 1.14 î + 2.85 ̂j

× 10−9 ,

comparando las componentes por separado, se encuentr a:

−4B = −2.85 × 10−9 − ∆V

0.15= −1.14 × 10−9

B = 7.13 × 10−10 ∆V = 1.71 × 10−11 .

Usando el valor de entonces:

B = 7.13 × 10−10 T

∆V = 1.71 × 10−11 V.

1.2. Cargas Circulantes v

1.2.1. Nota Teórica q

La fuerza magnética que se muestra en la figura 1.4 se F

le conoce como deflectora y cumple con dos caracter ́ısti- r

cas:

a. no altera la rapidez de las par t́ıculas

b. siempre opera perpendicular a la velocidad.

B

Figura 1.4: Cargas circulantes


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En forma mas simple, esta fuerza es tipo centr ́ı peta y genera que las cargas sigan un movimien-

to circular uniforme. De lo anterior, usando las magnitudes de fuerza centr ́ı peta y fuerza

magnética se tendr 4:

de tal forma que:

Fcent = FB

v2 |q |vB = m

r,

mvr =

|q |B , (1.2.1)

donde mv es la magnitud de la cantidad de movimiento lineal p. Además como es un

movimiento circular, las expresiones de frecuencia y rapidez angular siguen siendo validas:

v ωω = f =

r 2π

ω =|q|B m

f =|q |B

. 2πm

La frecuencia (f ) se conoce con el nombre de frecuencia de ciclotr ́on. Recibe este nom bre,

ya que el dispositivo llamado ciclotr ́on, utiliza estas ideas para acelerar par t́ıculas cargadas.

A partir de estos resultados es posible calcular la ener ǵıa cinética de la par t́ıcula:

p2 K = =

2m

(qBm)2

2m . (1.2.2)

En el caso relativista (v ∼ c), el dispositivo se conoce como sincrotron y es necesario utilizar las relaciones relativistas en las anteriores expresiones, en particular:

p = p

(mc)2 − (m0c)2, (1.2.3)

donde

m0 masa en reposo

m masa relativista

E = mc2 ener ǵıa de la par t́ıcula.

La masa relativista esta dada por:

m = p1 m0

− v2 . (1.2.4)

/c2

4 El caso que se est analizando es no relativista, es decir v c, llamado tam bíen movimiento de ciclotr on,

el caso relativista se conoce como movimiento de sincrotr ́on.


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1.2.2. Problemas Resueltos

Problema 1.2.1

Un ion con carga +2e tiene una masa de 3.2 × 10−26 kg.Se acelera desde el reposo por una diferencia de potencialde 900 V, luego entra en un campo magnético uniforme de

0.98 T, perpendicularmente. Calcule:

a. la rapidez del ión

b. el radio de su trayectoria dentro del campo magnético.

Datos

q = 3.2 × 10−19 C

m = 3.2 × 10−26 kg

∆V = 900 V

∆V

r

q

B

Figura 1.5: Trayectoria de q

B = 0.98 T

Procedimiento

La figura 1.5 muestra un esquema de la trayectoria de la par t́ıcula. Esta trayectoria se

divide en dos partes:

a. Se acelera en ĺınea recta en la región donde se ha definido una diferencia de potencial

∆V .

b. Su trayectoria se dobla formando un semićırculo, esto debido a que ingresa en una zonadonde está presente un campo magnético perpendicular al sentido del movimiento.

Una vez entendido el problema se responderan las preguntas en el orden en que se han

formulado.

a. El trabajo realizado por el campo eléctrico sobre la carga, en la region donde existe la

diferencia de potencial est dado por:

W = q∆V.

Usando sobre esta expresion el Teorema de Trabajo y Ener ǵıa se encuentra:

al despejar la velocidad:

q∆V = 1

mv2, (1.2.5) 2


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= ,

= ,

dando como resultado:

r 2q∆V

v = m

r 2(3.2 × 10−19 )900

3.2 × 10−26

v = 1.34 × 105 m/ s.

b. El radio de la trayectoria circular est dado por:

dando como resultado:

mvr =

qB

3.2 × 10−26 (1.34 × 105 ) 3.2 × 10−19 (0.98)

r = 13.69 mm.

Problema 1.2.2

El cinescopio de la television (antigua) utiliza dos imanes de desviación en lugar de placas

eléctricas de desviación. Suponga que un haz de electrones se acelera a través de una diferencia

de potencial de 50 kV y entonces pasa a través de un campo magnético uniforme producido

por los imanes en una region de 1 cm a lo largo del movimiento de los electrones. La pantalla

est localizada a 50 cm del punto donde los electrones dejan el campo magnético y es de 50 cm

de la parte inferior de la pantalla a la parte superior de ésta. Cuando el campo est ausente,

el haz de electrones golpea el centro de la pantalla. ¿Qúe intensidad de campo es necesario

para desviar el haz hasta el extremo de la pantalla?

Datos q = 1.6 × 10−19 C

m = 9.1 × 10−31 kg

V = 50 × 103 V


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P ANT q

v B

Figura 1.6: Esquema de funcionamiento de un cinescopio

Procedimiento

Combinando las expresiones (1.2.1) y (1.2.5) y despejando el campo magnético se encuen-

tra:

1 s

2mV

B = , (1.2.6)r q

por lo que es necesario encontrar el radio r para encontrar el campo magnético.

La figura 1.7 muestra el viaje los electrones, siendo el origen donde comienza el movimiento

y el eje x va en el sentido inicial del movimiento. El punto A corresponde a la posicion en donde

est la par t́ıcula cuando abandona la zona de campo magnético y el punto B corresponde a

la posicion en la pantalla donde choca la par t́ıcula.

La ecuacion de la trayectoria circular que describir ́ıa la par t́ıcula si la zona de campo

magnético no terminar si escribe como:

x2

+ (y − r)2

= r 2

, (1.2.7)al evaluarla en el punto A:

(0.01)2 + (h − r)2 = r 2

0.0001 + h2 − 2rh = 0 (1.2.8)

Al derivar impĺıcitamente con respecto a x la expresión (1.2.7) y despejando y0 , se obtiene:


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B

y

0.25 m

r A

h

0.01 m 0.5 m

Figura 1.7: Trayectoria de los electrones

y al evaluarla en el punto A:

y0 =

y0 =

x

r − y

0.01

r − h (1.2.9)

Pero esta derivada corresponde a la pendiente de la ĺınea recta definida por AB y esta se

puede encontrar de la forma tradicional por medio de:

m = 0.25 − h

0.51 − 0.01

= 0.5 − 2h. (1.2.10)

Entonces las expresiones (1.2.9) y (1.2.10) son iguales, al hacer y0 = m y simplificar se

encuentra:

0.5r − 2hr − 0.5h + 2h2 = 0.01. (1.2.11)

Las ecuaciones (1.2.8) y (1.2.11) forman un sistema, al eliminar la variable r, se encuentra la

siguiente expresion:

2h3 − 0.5h2 − 0.0202h + 0.00005 = 0

h = 2.34 × 10−3 m,


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en realidad esta expresion tiene tres soluciones, sin embargo las otras dos se desechan. La

primera solución se elimina porque es un número más alto que la altura de mitad superior

de la pantalla, mientras que la otra por ser un valor negativo.

Tomando el valor de h encontrado y sustituyendolo en la expresion (1.2.11) se encuentra:

r = 22.53 × 10−3 m.

Usando este valor en (1.2.6) se da respuesta al pr oblema:

B = 33.47 mT.

Problema 1.2.3

Una par t́ıcula con carga q y masa m se proyecta dentro de un campo magnético uniforme

B (observe la figura 1.8(a)), con una rapidez v formando un ángulo α con el campo magnético

(0 < α < 90◦). Halle:

a. el periodo

b. el paso p

c. el radio de la trayectoria helicoidal.

B

vz v

pB

v

q α r

+

vθ

(a) Trayectoria seguida por q (b) Componentes del vector ve-

locidad

Figura 1.8: Solución del problema 1.2.2

Procedimiento

Se elegir la direccion del eje z paralela al vector de campo magnético. Entonces el vector

velocidad se puede descomponer en una componente paralela al eje z y una componente

tangencial trayectoria, como se representa en la figura 1.8(b), obteniendo:


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vz = r cosα vθ = r sinα.

Como la componente vz es paralela al campo magnético, no hay fuerza magnética en esta

direccion, manteniendo inalterada esta componente de la velocidad. En cambio como la com-

ponente tangencial es perpendicular al campo magnético, se genera una fuerza magnéticaque hace que la trayectoria sea circular; la combinacion de ambos resultados genera una

trayectoria helicoidal, como se muestra en la figura 1.8(a).

a. Como la frecuencia está dada por:

f =|q |B 2πm

y es el rećıpr oco del periodo, se tendr ́a:

2πm T =

qB . (1.2.12)

b. El paso p, es decir la distancia que recorre la par t́ıcula en la direccion z en el mismo

tiempo que le toma dar una vuelta, está dada por:

p = vz T = v cos θT ,

por lo que, al usar la expresión (1.2.12) sobre este resultado:

2πmv cosα p =

qB

c. El radio de la trayectoria se calcula usando la velocidad tangencial a esta trayectoria

(vθ ):

por lo que:

r =mvθ

,qB

mv sinα r = .

qB

Problema 1.2.4

Una par t́ıcula de carga q y masa m tiene una cantidad de movimiento lineal p = mv y

una ener ǵıa cinética K = 1/ 2mv2. Si se mueve en una órbita circular de radio r en el interior

de un campo magnético B. Demuestre que:

a. p = B |q|r

b. K = (Bqr )2/ 2m


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p α

Procedimiento

Si es un movimiento circular, es cierto que:

v = r ω ω =|q|B

m

a. Aplicando las anteriores relaciones para la cantidad de movimiento lineal:

p = mv

= mr

|q |B m

= B |q|r ,

con lo cual queda demostrado el primer ı́tem.

b. En el caso de la ener ǵıa cinética se tendr a:

K =1

mv2 2

1 |q|B 2

= m r 2 m

(qr B)2

= , 2m

con lo que queda demostrado el segundo ı́tem.

Problema 1.2.5

Protones (q = +e), deuterones (q = +e) y par t́ıculas α (q = +2e), con la misma ener ǵıacinética, entran en un campo magnético B que es perpendicular a sus velocidades. Sean r p ,

r d y r α son los radios de sus órbitas circulares. Si las masas de las par t́ıculas son mα = 2md =

4m p , determine los cocientes r d /r p y r α /r p .

Procedimiento

Como las tres par t́ıculas tienen la misma ener ǵıa cinética, se puede determinar el valor para la rapidez de cada una:

1 K = m p v

2

2

1 K = md v

2

2

1 K = mα v

2

2


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= =

v p =

s 2K

m p vd =

r 2K

md vα =

r 2K

.mα

El radio para una par t́ıcula carga en una órbita circular est

mv

dada por:

al evaluar para cada par t́ıcula:

r = , |q|B

m p v p md vd mα vα

r p = r d = q p B

r α = qd B qα B

m p

q 2K

m 2K mα

q 2K

m p d md mα

r p = r d = q p B

r α = qd B qα B

p2K m p

√

2K md

√2K mα

r p = r d = q p B

r α = qd B

.qα B

Al realizar las relaciones de radio solicitadas:

√2K md r d qd B

r p√

2K m p

q p B

r d q pr

md =

√2K mα r α qα B

r p√

2K m p

q p B

r α q pr

mα =

r p qd m p r p qα m p

r d e

= r p e

s

2m p

m p

r α e =

r p 2e

s

4m p

m p

r d=

√2

r α = 1

r p r p

1.3. Fuerza Magnética sobre un Cable


La fuerza magnética que percibe un alambre recto que conduce una corriente eléctrica

constante y que está dentro de un campo magnético constante en magnitud y dirección,

est dada por medio de la ex presión:


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donde:

F = i` × B (1.3.1)

F es la fuerza magnética sobre el alambre


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i es la corriente eléctrica que el cable porta

` es la longitud del cable

` es un vector con direccion a lo largo del cable, con el mismo sentido que lleva la corriente

eléctrica y con una magnitud igual a la longitud del cable

B es el vector de campo magnético.

i

B

i

`

INICIO

B FINAL

F

F d`

(a) Cable recto (b) Cualquier cable

Figura 1.9: Fuerza magnética sobre un cable que lleva una corriente eléctrica

La expresion anterior se puede generizar para el caso de un cable sobre el que circule una

corriente eléctrica constante pero que tenga cualquier forma o que el campo magnético externo pueda ser distinto de una constante. Para ello se tomar ́a un segmento diferencial de cable

d`, el cual sufre una fuerza magnética de tamaño diferencial y dada por la expresion (1.3.1):

dF = id` × B. La fuerza magnética total se encuentra al sumar todas las contribuciones de la fuerza a lo largo del cable completo:

F = i

Z final

inicio

d` × B (1.3.2)

donde:

i es la corriente eléctrica que circula por el segmento de cable analizado

d` vector unitario, cuya dirección es siempre positiva, según el sistema de referencia

B el campo magnético externo aplicado sobre el cable

los ĺımites inicial y final, corresponden a los extremos del segmento de cable que se esta

considerando, el inicio se define como aquel de donde viene la corriente eĺectrica y el

extremo final es el extremo a donde llegue la corriente eléctrica.


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1.3.2. Problemas

Problema 1.3.1

En un campo magnético uniforme B = 3 î T hay un segmento de alambre en forma de

L (observe la figura 1.10(a)). El alambre lleva un intensidad de corriente de 2 A, la seccion

larga mide 3.6 m y forma un ángulo de 60◦ con el eje x, como se muestra en la figura, y

la seccion corta mide 0.4 m. Determine la magnitud y direccion de la fuerza que percibe el

alambre debido al campo magnético.

Datos

B = 3 î T

i = 2 A

`1 = 0.4 m

`2 = 3.6 m

θ = 60◦

Procedimiento

La fuerza magnética para ambos segmentos rectos, está dada por medio de la expre-

sion (1.3.1), tomando como las direcciones de los vectores las dadas en la figura 1.10(b), se

tendr que la fuerza magnética para cada segmento es:

F1 = i`1 × B F2 = i`2 × B = i`1 (cos 30

◦ î − sin 30◦ ˆ j) × B î = i`2(cos 60◦ î + sin 60◦ ˆ j) × B î

= i`1 B sin 30◦ k ˆ

al sustituir los valores numéricos se encuentra:

F1 = 1.2 N k ˆ

= −i`2B sin 60◦ k ˆ,

F2 = −18.7 N k ˆ.

De tal forma que la fuerza neta es la suma vectorial de estos dos resultados:

F = −17.5 N k ˆ.

Problema 1.3.2

Un cable recto, de una longitud de 0.75 m, se coloca en el eje x positivo, de tal forma

que el origen de coordenadas coincida con uno de los extremos del cable. El cable porta una


23/35


y

y

B

`2

i

60◦

x

(a) Configuracion

60◦ x

30◦ B

`1

(b) Vectores


corriente eléctrica de 0.4 A dirigida haciax negativo. El cable se coloca en una zona de un

campo magnético dirigido hacia el eje y positivo pero con una magnitud variable dada por

la expresión:

B = 3x2 + 1,

con B en teslas, x en metros. Determine la fuerza magnética.

Datos

` = 0.75 m

B = (3x2 + 1) ̂j

i = 0.4 A

Procedimiento

Interpretando el problema, se tiene el siguiente esquema:

Como la corriente eléctrica no es constante, es necesario calcular la fuerza sobre un difer-

encial de cable, de largo dx y luego sumar esta fuerza a lo largo de todo el cable:


24/35


i d`

y

B

x

dx

Figura 1.11: Diagrama del problema

Z

FB = FB Z

FB = i d` × B

Z 0 =

0.75

0.4 dx î × 3x2 + 1

̂j

= 0.4

Z 0

0.75

3x2 + 1

dx k ˆ

= 0.4 x3 + x 0

k ,

evaluando:

0.75ˆ

F = −0.47 N k ˆ. Problema 1.3.3

Un alambre largo est doblado en la forma que se muestra en la figura 1.12(a) y lleva una

corriente eléctrica de 13 A. Encuentre la fuerza magnética neta sobre él, si est dentro de un

campo magnético que var ́ıa angularmente como 2 sin θ T y que sale del plano de la página.

Tome en cuenta que el radio es de 20 cm.

Datos i = 13 A

R = 0.2 m

B = 2 sin θ T k ˆ


25/35


y y

d` ds

i i

R dθ

θ x x

a b

B

(a) Configuracion

B

(b) Variables utilizadas

Figura 1.12: Fuerza magnética sobre un cable doblado

Procedimiento

Para encontrar la fuerza magnética sobre el cable, se toma un diferencial de arco ds, detal forma que el vector d` sea tangente a la circunferencia, es decir d` = R dθ

forma:

θ̂. De esta

d` × B = R dθ θ̂ × 2 sin θ k ˆ

= 2R sin θdθ θ̂ ×

= 2R sin θdθ r̂

k ˆ

= 2R sin θdθ cos θ î + sin θ ̂j

Este resultado indica que la variable de integración es la coordenada θ y según el sentido de

la corriente eléctrica que circula en el cable, al realizar la integración, para calcular la fuerza

neta sobre el cable, se debe realizar desde el punto a hasta el punto b. De tal forma que:

Z

F = id` ×B Z 0

= i2R sin θdθ π

Z 0

sin θ î + cos θ ̂j

Z 0

= 2R i cos θ sin θ dθ î + π

sin2 θ dθ ̂j π

al sustituir estos valores:

= −R iπ ̂j,

F = −8.17 Nk ˆ.


26/35


Problema 1.3.4

La figura muestra un cable doblado en una estructura cú bica no conductora y que porta

una corriente eléctrica uniforme i, en una zona donde existe un campo magnético B = B k ˆ.Demuestre que la fuerza magnética sobre él es nula.

Procedimiento

z

B

c

i

b

d

y

L

a e

x


Datos

Del sistema de coordenadas que se muestra en la figura se obtiene la siguiente informacion

B = B k ˆ

r ab = r b − r a = L î + L ̂j + L k ˆ − L î = L ̂j + L k ˆ

r bc = r c − r b = L ̂j + L k ˆ − L î + L ̂j + L k ˆ

= −L î

r cd = r d − r c = L ̂j − L ̂j + L k ˆ

= −L k ˆ

r ed = r e − r d = L î + L ̂j − L ̂j = L î

r ae = r a − r e = L î − L î + L ̂j

= −L ̂j


27/35


Procedimiento

Con estos resultados se puede calacular la fuerza magnética que percibe cada segmento:

Fab = i L ̂j + L k ˆ

× B k ˆ

= ibL î

F bc = i −L î

× B k ˆ

= ibL ̂j

Fcd = i −L k ˆ

× B k ˆ

= 0

Fde = i L î

× B k ˆ

= −ibL ̂j

Fae = i −L ̂j

× B k ˆ

= −ibL î.

Al realizar la suma vectorial, se encuentra el resultado esperado:

F = 0.

Problema 1.3.5

El cable que se muestra en la figura 1.14(a) se dobla en forma de tríangulo, porta una

corriente uniforme i = 10 A y se coloca dentro de un campo magnético no uniforme dado

por:

donde x est

B = 4x + 3,

en metros y B en teslas, con una dirección hacia afuera del plano de la pagina.

Determine la fuerza magnética total a la que es sometido el cable.

Datos

B = −(4x + 3) k ˆ

i = 10A

Para calcular la fuerza total, se separar

en la figura 1.14(b).

el cable en tres segmentos, tal como se muestra

Desarrollo

Segmento a – b

Como el campo magnético depende de x y el segmento est

var ́ıa en él, no se puede utilizar la formula para cables rectos.

colocado de tal forma que x

La figura 1.15 muestra las variables por utilizar. Usando estas variables en la expresión

(1.3.2) se obtiene:


28/35


B

x dx

y(m) y(m)

B B

c

3 3

i i

i i

x(m)

i 4 a

b

i 4

(a) Configuracion (b) Planteamiento del problema


y(m)

a i 4

x(m)

Figura 1.15: Fuerza magnética sobre el segmento a – b

Fab =

Z a id` × B

b

Z 0

= i (dx î) × [−(4x + 3) k ˆ] 4

= 10 Z

(4x + 3)dx ̂j 4

= 10 2x2 + 3x 0

j

4ˆ

= −440 N ˆ j. (1.3.3)


29/35


Segmento b – c

En este caso x = 4, es decir por lo que el campo magnético es constante en este segmentode cable, su magnitud es B = 4 ∗ 4 + 3 = 19 T. Como ademas la corriente eléctrica tam bíen lo es, se puede utilizar la expresion (1.3.1) para calcular la fuerza magnética. La figura 1.16

muestra las variables.

y(m)

B

c

3

i

−3 ̂ j

b

x(m)

4

Figura 1.16: Fuerza magnética sobre el segmento b – c

En este caso se tendr ́a que la fuerza sobre el cable es:

F bc = i` × B

= 10(−3 ˆ j) × (−19 k ˆ)

= 570 N î. (1.3.4)

Segmento c – a

La porción de cable inclinado tiene dos puntos importantes por analizar:

a. el campo magnético var ́ıa con x

b. la coordenada y depende de x.

La figura 1.17 muestra que ` = dx î +dy ˆ j, pero la ecuacion de la ĺınea recta que describeel segmento de cable es:

De esta forma se tendr ́a que:

` = dx î + 0.75dx ̂j

B = −(4x + 3) k ˆ,

y = 0.75x⇒

dy = 0.75dx.


30/35


0

y(m)

B

c

3

d` i

d ̀

x(m)

a 4

Figura 1.17: Fuerza magnética sobre el segmento c – a

usando estas variables en la expresión (1.3.2):

Fca =

Z c i` × B

a

Z 4

= i (dx î + 0.75dx ˆ j) × [−(4x + 3) k ˆ] 0

Z 4

= i −(4x + 3)(0.75 î − ̂j)dx 0

= i(−0.75 î + ˆ j) 2x2 + 3x 4

= 10(44)(−0.75ˆi +

ˆ j)

= (−330 î + 440 ˆ j) N.

Por lo tanto la fuerza neta sobre la espira está dada por:

FT = Fab + F bc + Fca

= −440 ̂j + 570 î + (−330 î + 440 ̂j)

= 240 î N.


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1.4. El par en una espira de corriente


La figura 1.18(a) muestra una espira rectangular 5 , que porta un corriente eléctrica i e

inmersa en un campo magnético externo B. Producto de esta configuración cada segmento

de la espira percibe una fuerza magnética, en las direcciones mostradas en la figura y con

magnitudes de:

F1 = F2 = i`B

F3 = F4 = iwB.

Al sumar la fuerza magnética total, como es de esperarse, es cero.

F1 F1

θi i

F3 S F4

w O O0 Oθ

w

B

B × i

F2 θ

`

(a) Vista Frontal

F2

(b) Vista Lateral

Figura 1.18: Fuerza magnética sobre una espira de corriente

Supongase ahora que la espira est inclinada, tal como se muestra en la figura 1.18(b),

la suma de fuerzas sigue siendo cero y las fuerzas F1 y F2 continuan siendo las mismas. Sin

embargo cada una de estas dos fuerzas producir un torque alrededor del eje de rotación OO0

(las otras dos componentes no lo hacen ya que su ĺınea accion coincide con el eje de rotacion).

Estos torques tienen la misma dirección, sentido horario en este caso, y su magnitud es:

1 τF1 = τF2 = 2 i`Bw sin θ,

por lo que la magnitud del torque total es:

τF1 + τF2 = i`Bw sin θ

= SiB sin θ.

5 Se usa esta forma solamente por simplicidad, los resultados por obtener son validos independientemente

de la forma.


32/35


De lo anterior se infiere que el torque sobre una espira de corriente dentro de un campo

magnético es:

donde:

τ = N iS × B, (1.4.1)

N número de vueltas en la espira

i corriente eléctrica en la espira

S vector de superficie, su dirección se obtiene por medio de la Regla de Mano Derecha,

según el sentido de la corriente eléctrica

B campo magnético.

1.4.2. Problemas

Problema 1.4.1

La figura muestra una bobina rectangular de 160 vueltas de 26 cm y circula una intensidad

de corriente de 0.65 A en la direccion mostrada. La bobina est articulada a lo largo del eje

y con su plano formando un ángulo de 33◦ con el eje x. ¿Cual es la magnitud del momento

de torsion sobre la espira debido a un campo magnético de 0.57 T dirigido a lo largo del eje

x? ¿En qué dirección gira la bobina?

Datos

N = 160 vueltas

l = 0.26 m

a = 0.17 m

θ = 33◦

B = 0.57 T

Procedimiento

La figura 1.19(b) muestra la vista superior de la figura 1.19(a), además en ella se muestrala dirección del campo magnético y la dirección del vector de área. De esta forma el ángulo

entre los vectores A y B es de 57◦ , por lo que:

τ = N iAB sin θ

= N ilaB sin θ

= (160)(0.65)(0.26)(0.17)(0.57) sin 57◦,


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y

i

x

26 cm

A 57◦ bobina

B

33◦

33◦

57◦

17 cm z

(a) Configuracion

z

(b) Vista Superior


de tal forma:

τ = 2.2 N ·m.

Problema 1.4.2

En un campo magnético uniforme de 2 T hay una bobina de 150 vueltas de un radio de

0.5 m que lleva una intensidad de corriente de 0.2 A. ¿Cual es el trabajo realizado al girar la

bobina desde una posicion dende el momento magnético forma un ángulo de 0◦ con el campo

magnético hasta la posición donde el momento magnético forma un ángulo de 180◦ con el cam-

po? AYUDA: La expresion para calcular el trabajo que se realiza al girar un cuerpo un difer-

encial de arco es dW = τ dα, donde τ es el momento de torsión y dα es el ángulo que se gira.

Datos

B = 2 T

N = 150 vueltas

A bo bina

α

θ

B

r = 0.5 m

i = 0.2 A

Figura 1.20: Configu-

racion


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Procedimiento

El torque de la bobina est dado por:

τ = N iSB sin θ

donde θ es el ángulo entre el campo magnético y el vector área. El trabajo en función del momento está dado por :

dW = τ dα

= N iSB sin θdα.

Si se observa la figura 1.20, se concluye que α = θ, con lo que dα = dθ, por lo que:

entonces:

dW = N iSB sin θdθ,

Z π W = N iSB sin θdθ

0

= 2 N iπr 2B,

sustituyendo valores:

W = 94.25 J.

Problema 1.4.3

Un galvanómetro de bobina móvil consta de un carrete de alambre suspendido en un

campo magnético radial B mediante una fibre delgada y flexible. Cuuando una corriete i

pasa a través de la bobina se genera un momento que tiende a girarla. A su vez en la fibra

se genera un par restaurador dado por τ = k θ, siendo k la constante de torsión. Demuestre

que:

k θ i = ,

N AB

siendo N el número de vueltas de la bobina y A el área de la espira.

Procedimiento

La magnitud del torque generado por la bobina es:

τB = N iAB sin φ

τB = N iAB,


35/35


donde φ = 90◦ , ya que el campo magnético tiene dirección radial y el vector de área es

perpendicular al plano de la espira.

Como el torque generado por el campo manético sobre la bobina es el mismo, en magnitud,

que se genera en la fibra, se tendr ́a:

N iAB = k θ

k θ i = .

N AB

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(735317562) Fuerza Magnetica