Capitulo 12 - Circuitos Trifasicos

5/10/2018 Capitulo 12 - Circuitos Trifasicos

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C i r c u i t o s t r i fas icosQuien no puede perdonar a los demds, rompe el puente que il mismo debecruzar.

-G. Herbert-------VVv](R ITE RIO S ABE T EC 2 000 (J.e), t 'capacidad para ident lf les r,formulaT y reso lver problemas de ingenieria".La "capacidad para identificar, formular y resolver problemas de ingenierta"es precisamente 10 que se desarroUa y refuerza en usted can este libra de tex-to. De hecho, seguir nuestro proceso de resoluci6n de problemas de seis pa-sos esta especfficarnente diseiiado para lograrlo. Le recomendamos aplicar eseproceso tanto como sea posible, Quiza le agrade saber que dicho proceso dabuenos resultados incluso en curses no relacionados con Ia ingenierfa.(R IT ER IOS ABET EC2 00 0 (I), " compre ns i .nde la responsab iJ idadprofesional y etica".Una "comprension de la responsabilidad profesional y etica" es nece aria encada ingeniero. Hasta cierto punta, se trata de algo muy personal. Usted sa-be que esto es algo que se espera de u ted, asf que le ofrezco algunos indi-cadores para ayudarle a desarrollar esa comprension, Una de mis manerasfavoritas de entender esto es que un ingeniero tiene la responsabilidad de con-testar 10 que llama la "pregunta no hecha" ..Pongamos un ejemplo sencillo.Imagine que su automovil tiene un problema con la transmision y 10 ofreceen venta, Un posible cliente le pregunta si hay un problema en el cojinete dela rueda delantera derecha. Usted responde que no. Sin embargo, como inge-niero debe informar al posible cliente que hay un problema con la transmi-sian, aunque e l no haya heche esta pregunta.

Su responsabilidad, tanto profesional como etica, es actuar de tal mane-ra que no perjudique a quienes 10 rodean y a aqueUos ante quienes tiene querendir cuentas. Evidentemente, mejorar esta capacidad demandara de ustedtiernpo y madurez. Le recomiendo practicarla buscando las caracteristicas pro-fesionales y eticas de sus actividades diarias,

Foto por Charles Alexander


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I Nota hist6rica: Thomas Edison invent6el sistema de tres conductores, usandotres conductores en vez de custro.

a A

FIgura . 1:2.2Sistema bifasico de tres conductores.

A

B

cN

Figura 12.3Sistema trifasico de cuatro conductores.

C a pit ulo 1 2 Ci rcu it os t ri fas i co5

12~1 Introducci6nHasta aquf se ha tratado ace rca de circuitos monofasicos. Un sistema mono-fasico de potencia de ca consta de un generador conectado a traves de un parde conductores (una linea de transrnision) a una carga. En Ia figura 12.1a)aparece un sistema monofasico de dos conductores, donde Vp es la magnirudde Latension de fuente y Lafase, Mas cormin en la practice es un sistemamonofasico de tres conductores, como el que aparece en la figura 12.1b). Es-te sistema contiene dos fuentes identicas (de igual magnitud y de la mismafase) conectadas ados cargas por medio de dos conductores exteriores y eIneutro ..POI ejemplo,el sistema domestico normal es un sistema monofasicode tres conductores, porque las tensiones entre las terrninales tienen la rnismamagnitud y la misrna fase. Tal sistema permite la conexion de aparatos tantode 120 V como de 240 V.

a

a ) b)Figura 12.1Sistemas rnonofasicos: a) tipo de dos conductores, b) tipo de tres conductores.

Los circuitos 0 sistemas en los que las fuentes de ca operan a la rnismafrecuencia pew en diferentes fases se conocen como polifdsicos. En 1 8 1 figura12.2 se muestra un sistema bifasico de tres conductores, y en Ia Figura 12.3un sistema trifasico de cuatro conductores. A diferencia de un sistema mono-fasico, uno bifasico se produce con un generador que consta de dos bobinasdispuestas en forma perpendicular entre S 1 a fin de quela tension generadapor una se atrase 90 de Ia otra .. Por 1a misma razon, un sistema trifasico seproduce con un generador que consta de tres fuentes con la misma amplitudy frecuencia, pero desfasadas 120 entre sf. Dado que el sistema trifasico escon mucho e1 sistema polifasico mas frecuente y econornico, este capftulo tra-tara principa1mente de los sistemas trifasicos,Los sistemas trifasicos son importantes por al menos tres razones, Prime-fO, casi toda la potencia electrica se genera y distribuye en forma trifasica, auna frecuencia de utilizacion de 60 Hz (0 W := 377 rad/s) en Estados Unidoso de 50 Hz (0 W = 314 radls) en otras partes del mundo. Cuando se requie-fen entradas monofasicas 0 bifasicas, se les toma del sistema trifasico en vezde generarlas en forma independiente. Y aun si se necesitan mas de tres fa-ses, como en la industria del alummio, donde se requieren 48 fases para efec-tos de fundicion, es posible obtenerlas manipulando las tres fases provistas.Segundo, Ia potencia iastantanea en un sistema trifasico puede ser constante(no pulsante), como se vera en Laseccion 12.7. Esto produce una transmisionuniforme de potencia y menos vibracion de las maquinas trifasicas ..Tercero,respecto del mismo manto de potencia, el sistema trifasico es mas econ6mi-co que e1 moaofasico, La cantidad de alambre conductor requerida para unsistema trifasico es menor que la requerida para un sistema monofasico equi-valente.


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12~2 Tensionestrifasices balanceadas

.Petfi ' les hist6ricosNikola Tesla (1856-1943) fue un ingeniero croata-estadounidense cuyos in-ventos, entre eJlos el motor de induccion y el primer sistema polifasico de po-tencia de ca, influyeron enonnemente en Ia resoluci6n a favor de la ca deJdebate entre esta y la cd. Tambien fue responsable de la adopci6n de 60 Hzcomo norma de los sistemas de paten cia de ca en Estados Unidos,

Nacido en Ausrria-Hungria (hoy Croacia) e hijo de un eclesiastico, Teslaposeia una memoria increible y una marcada afinidad can las matematicas. Setraslado a Estados Unidos en 1884, y al principia Lrabaj6 para Thomas Edi-son. En ese entonces, en aquel pais se libraba la "batalla de las corrientes";George Westinghouse (1846-1914) promovia la ea y Thomas Edison dirigiafirmemente a las fuerzas de la cd. Tesla e aparto de Edison y se unio a Wes-tinghouse, a causa de su interes en la ca. Por media de Westinghouse, Teslaobtuvo el prestigio y aceptacion de su sistema polifasico de generacion, trans-misi.6n y distribuci6n de ca. Consiguio en vida 700 patentes. Sus demas in-ventos incluyen un aparato de alta tension (la bobina de Tesla) y un sistemade transmision inalambrico. La unidad de densidad de flujo rnagnetico, el tes-la, se llama asi en su honor.

Cortesia de SmithsonianInstitution

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Se comenzara can unaexplicaci6n de las tensiones trifasicas balanceadas.Despues se analizaran eada una de las cuatro posibles configuraciones de lossistemas trifasicos balanceados. Tambien se tratara el analisi de sistemas tri-fasicos desbalanceados. Se aprendera a usar PSpice for Windows para anali-zar un sistema trifasico baJaneeado 0 desbalanceado. Par ultimo. 1 0 conceptode este capitulo se aplicaran a la medici6n de la potencia trifa ica Ya la ins-talaei6n electrica residencial.

Tensiones tr ifas ic as ba lanceadasLas tensiones trifasicas se producen a menudo con un generador (0 altema-dor) trifasico de ca, la apariencia de cuya secei6n transversal se muestra enla figura 12.4. Este generador consta basicamente de un iman giratorio (l1a-mado rotor) rodeado por un devanado estacionario (llarnado estatori. Tres de-

aSalidatrifasica b

Estatorc

Rotor

F i gu r a 1~4Generador trifasico.


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F ig u r a 1 2. 5Las tensiones generadas estan desfasadas1200 entre sf.

Capitulo 12 CircuitostntasicQ$

vanados 0 bobinas independientes can terminales a-a', b-b, y c-c' se dispo-nen fisicamentealrededor del estator a 1200 de distancia entre s f. Las termi-nales a y a', pm ejemplo, representan uno de los extremes de las bobinas, endireccion hacia la pagina, y el otro extrema de las bobinas, hacia fuera de 1apagina, AI girar el rotor, su campo magne tic o " co rta " el flujo de las tres bo-binas e induce tensiones en ellas. A causa de que las bobinas se hallan a 1200de distancia entre sf, las tensiones inducidas en eUas son iguales en rnagnitudperoestan desfasadas 1200 (figura ,12.5). Puesto que cada bobina puede con-siderarse en sf misma un generador monofasico, el generador trifasico puedesurninistrar potencia a cargas tanto mono como trifasicas,

Un sistema trifasico habitual consta de tres fuentes de tension conectadasa cargas mediante tres 0 cuatro conductores (0 lfneas de transmision). (Lasfuentes trifasicas de corriente son muy escasas.) Un sistema trifasico equiva-Ie a tres circuitos monofasicos, Las fuentes de tensi6n pueden conectarse enestrella, como se observa en la figura 12.6a), 0 en delta, como en la figuraI2.6b).

'------------Qca) b)

F ig u r a 1 2. 6Fuentes trifasicas de tension: a)conectadas enY,.b) conectadas en il.

a)

~ 1200 .1200 (\\}--. ----I ) v.,

--::1200

b)F ig u r a 1 2. 7Secuencias de fases: a) abc 0 secuenciapositiva, b) acb 0 secuencia negativa.

Considerense por ahora las tensiones conectadas en estrella de Ia figura12.6a). Las tensiones Van' V bn Y V"n se encuentran respectivamente entre laslineas a, bye y la linea neutra n. Esas tensiones se llaman tensiones de fa-se. Si las fuentes de tension tienen la misma amplitud y frecuencia w y estandesfasadas 1200 en t re sf, se dice que las tensiones estan balanceadas. Estoimplica que

Van + V bn + Ven = 0 (12.1)(12.2)

ASI ,

Dado que las tensiones trifasicas estan desfasadas 1200 entre sf, hay doscombinaciones posibles, Una posibilidad aparece en 1a figura 12.7a) y se ex-presa maternaticamente como

(12.3)


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1 2.2 T ens io ne s tr iftJ sic as b ala nc e ad as

donde Vp es el valor eficaz 0 rms de las tensiones de fase. Esto se conoce co-mo secuencia abc 0 secuencia positiva. En esta secuencia de fases, V an seadelanta a V bn la que a su vcz se adelanta a Ven- Esta secuencia se producecuando el rotor de la figura 12.4 gira en sentido contrahorario. La otra posi-bil idad aparece en Ia figura 12.7b) y esta dada por

v.; = Vp/ -1200Vbn =Vp/-240 =Vp/+120

(12.4)

Esto se llama secuencia acb 0 secuencia negativa. En esta secuencia de fa-ses, Van se adelanta a Vem la que a su vez se adelanta a Vbn. La secuenciaacb se produce cuando el rotor de la figura 12.4 gira en la direccion de lasrnanecillas del reloj. Es facil demostrar que las tensiones en las ecuaciones(12.3) 0 (12.4) satisfacen las ecuaciones (12.1) y (12.2). Par ejernplo, partien-do de la ecuaci6n (12.3).

Van + Vbtl + v; =Vp~ + Vp/-120 + Vp/+120=Vp(l.O - 0.5 - jO .866 - 0.5 + jO.866)=0

(12.5)

.. La secuendaf de f a s e s . e s e l orde n te mpe ra! e n qu e la s tens iones pesan pol"s us r es pe c tiv os v alo re s rnexirnos, . .

La secuencia de fases e te i determinada por el orden en que los fasores pasanpar un punto fijo en el diagrarna de fase.En la figura 12.7a), mientras los fasores giran en direccion contraria a las

manecillas del reloj can la frecuencia w, pa. an por el eje horizontal en unasecuencia abcabca ... ASI , esta secuencia es abc, bea 0 cab. De igual mane-ra, en cuanto a los fasores de la figura 12.7b), al girar en direccion contrariaa las manecillas del reloj pasan por el eje hor izontal en una secuencia acbac-ba ... Esto describe a la secuencia acb. La secuencia de fases es importanteen la distribucion de potencia trifasica, Determina la direcci6n de la rotacionde un moto r conectado a la fuente de potencia, par ejemplo.

Al igual que las conexiones del generador, una carga trifasica puede co-nectarse en estrella 0 en delta, dependiendo de la aplicaci6n final. En la figu-ra 12.8a) se presenta una carga conectada en estrella, y en la figura 12.8b)una carga conectada en delta. La linea neutra de la figura 12.8a) puede exis-tir a no, dependiendo de si el sistema es de cuatro a de tres conductores. (Y,desde luego, una conexi6n neutra es topoldgicamente imposible en una cone-xi6n en delta.) Se dice que una carga conectada en estrella 0 en delta esta des-balanceada si las impedancias de fase no son igualesen magnitud 0 fase ..

En una carga balanceada conectada en estrella,

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I P o r u na c o st umb re cornun e n s is tema sde po te nc ia , e n e ste capitulo la te n-si6n y Ie cor r i en te estan e n v alo re s rms,e m enos que se indique o tra cosa .

I L a s e cue nc ia de fa se s ta m b ie n pue deconce birse como e l o rde n e n que la stens iones de tase I le g an a s us va Jo re spice (0 maxirnos) re spe cto a l ie mpo .I Recordatono: A. IncTernentarse e l. tiernpo, (ada I 'aso' (0 Sinor) giraa l unave loc tdad ang r w.

a)ao------~

co---------__Jb)

Figura 12.8Dos posibles configuraciones de cargastrifasicas: a) conexi6n enY, b) conexion(12.6) en 6.


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Recordstono. U na ca rga co ne cta da e nY c ons ta de tre s iro pe da nc ie s c one c-ta das a un no do ne utro , m ie ntra s queuna ca rga co ne cta da e n fl. c ons ta detre s im pe da nc ia s c one cta da s a 1 0 la rgode u na m alla . L a c a rga e s te b ala nc e ad ac ua ndo la s tre s im pe da nc ia s s onigua le s e n c ua lquie ra de a mbo s c as os .

Prob lema , '.:.d~e pra~k!a 1'2 .~1 .

Capitulo 12 Circuitostnfasicos

donde Zy es la irnpedancia de carga por fase. En una carga balanceada co-nectada en delta.

(12.7)don de Zti es la impedancia de carga par fase en este caso. Recuerdese de 1aecuacion (9.69) que

Zt. =3Zy 0 1Zy= -ZtJ,.3 (12.8)asi que se sabe que una carga conectada en estrella puede transfonnarse enuna carga conectada en delta, 0 viceversa, can el uso de 1a ecuacion (12.8).

Puesto que tanto la fuente trifasica como la carga trifasica pueden conec-tarse ya sea en estrella 0 en delta, se tienen cuatro conexiones posibles: Conexi6n Y-Y (es decir, fuente conectada en Yean carga conectada en Y) . Conexi6n Y-D.. Conexi6n D . - D . . Conexi6n 6. - Y .

En las secciones subsecuentes se considerara cada una de estas posibles con-figuraciones.

Conviene mencionar aqui que una carga balanceada conectada en delta esmas corrnin que una carga balanceada conectada en estrella. Esto se debe a lafacilidad con Ja que pueden afiadirse 0 retirarse cargas de cada fase de unacarga conectada en delta. Esto es muy dificil can una carga conectada en es-trella, porque la linea neutra podrfa no estar accesible. Por otra parte, las fuen-tes conectadas en delta no son comunes en la practica, a causa de la corrientecirculante que se producira en la malla en delta si tas tensiones trifasicas es-tan levernente desbalanceadas .

Determine 1a secuencia de fases del conjunto de tensionesvan =200 cos (w e + 10)

VC> I =200 cos (W i - 110)bn = 200 cos (wt - 230),Soluc ion:Las tensiones pueden expresarse en forma fasoriaI comoVan = 200/10"V, V bll= 200/-2300 V, Vm = 200/-1100 VEs notorio que V a" se adelanta a Ven en 120, y que Veil se adelanta a su vez aVb" en 120.Asl, se tiene una secuencia acb.

Dado que V bn. = 110/30 V, halle Van y Ven suponiendo una secuencia po-sitiva (abc).

Respuesta: 110! 150 V. 110 / - 90y.


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12.3 Conexi6n estrella-estrellabalanceada

Conexi6n estrella-estrella balanceadaSe comenzara par el si tema Y - Y , porque cualquier sistema trifasico balancea-do puede reducirse a un sistema Y-Y equivalente. Por 10 tanto, el analisis deeste sistema debe considerarse la clave para resolver todos los sistemas trifa-sicos balanceados.

Un sistema Y-Y ba lance ado e s un s is te m a tr ita sic o c on fuente balanteada co -.nec tada en'Y y ca rgo t ja l~ lnceada cone ctada e n Y.Considerese el sistema Y-Y balanceado de cuatro conductores de la figu-

ra 12.9, en el que una carga conectada en Y se conecta a una fuente conecta-da en Y. Se supone una carga balanceada, de modo que las impedancias decarga son iguales. Aunque la impedancia Zy es 1a impedancia de carga totalpar fase, tambien puede concebirse como la suma de la impedancia de fuen-te Zs, la impedancia de tinea Z e Y la impedancia de carga ZL de cada fase,ya que estas impedancias estan en serie. Como se ilustra en la figura 12.9, Z.tdenota Ia impedancia interna del devanado de fase del generador; Ze es la im-pedancia de la linea que une a una fase de la fuente con una fase de la car-ga; ZL es la impedancia de cada fase de la carga, y Z" es la impedancia deIa linea neutra. Asf, en general,

(12.9)

BZe

Zf.Figura 1'2.9Sistema y.Y balanceado, en el que se indican las im-pedancias de fuente, linea y carga.

Zs Y Ze suelen scr muy reducidas en comparaci6n con Zv de modo que pue-de suponerse que Zy = ZL si no se da ninguna impedancia de fuente 0 linea.En todo caso, mediante la agrupaci6n de las impedancias, el sistema Y-Y dela figura 12.9 puede simplificarse en el que se muestra en la figura 12.10.

Suponiendo la secuencia positiva, las tensiones de lase (0 tensiones linea-neutro) son

(12.10)

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r,a ~ A,--------------,

cB

Figura 12.10Conexi6n y-Y balanceada.


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a)

,~ - - - - - - - - - Vabr"

Vall

b)F ig u r a 1 9:. 11Diagramas fasoriales que ilustran larelaci6n entre tensicnes de linea y las defase.

Capitulo 12 Circuitostrifasicos

Las tensiones tinea-linea, 0 simplernente tensiones de linea, Vab, Vbe Y Vcose relacionan con las tensiones de fase. Por ejemplo,Vbc = Van + Vnb= Van - Vim =Vp~ - Vp/-120

= Vp( 1 + + j ~) = Y-Wp/30 (12.11a)De igual manera puede obtenerse

Vbc =Vbn - Vcn =v'3Vp/-90 (12.11b)Vca = V C II - Van =V3V p/-210 (12.11c)

Par 1 0 tanto, la magnitud de Las tensiones de linea Vl. es V3 veces la mag-nitud de las tensiones de fase Vp' 0

(12.12)donde

(12.13)y

(12.14)Asimismo, las tensiones de linea se adelantan respecto a las tensiones de fasecorrespondientes en 30. La figura 12.11a) ilustra esto. Esta figura tambien in-dica como determinar Vab a partir de las tensiones de fase, en tanto que la fi-gura 12.l1b) indica 1 0 mismo acerca de las tres tensiones de linea. N6tese queV ab se adelanta a V be en 1 200 Y V be se adelanta a V ca en 1200, de manera quelas tensiones de linea suman cero, al igual que las tensiones de fase.Alaplicar la LTK a cada fase de la figura 12.10, se obtienen las corrien-tes de linea como

VallI-_a - z; (12_15)Se infiere facilrnente que las corrientes de linea suman cera,

I"+ I, + I, = 0 (12.16)de modo que(12.17a)

o sea(12.17b)

1 0 cual quiere decir que la tension en el conductor neutro es de cero. Asf pues,la linea neutra puede eliminarse sin afeetar el sistema. De hecho, en transmi-si6n de potencia de larga distancia se emplean conductores en rmiltiplos detres en los que la tierra acnia como eI conductor neutro. Los sistemas de po-tencia que se diseiian de esta manera se aterrizan cuidadosamente en todoslos puntas entices para garantizar la seguridad.

Mientras que 1acorriente de linea es la corriente en cada linea, la corrien-te de fase es 1a corriente en cada fase de la fuente 0 1a carga. En el sistemay-Y, la corriente de linea es igual a la corriente de fase. Se usara un solo sub-


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12.3 Conexi6n estrelte-estreusbalanceada

indicc en las corrientes de linea, porque es natural y convencional suponerque las corrientes de Ifnea fluyen de la fuente a la carga

Otra forma de analizar un sistema Y-Y balanceado es hacerlo "par fase".Se examina una fase, la fase a por cjemplo, y se analiza el circuito mono fa-sico equivalente de la figura 12.12. El analisis monofasico produce la corrien-te de lfnea Ia como

(12.18)

A partir de I,u se aplica la secuencia de fases para obtener las demas corrien-tes de linea. Asf, en tanto el sistema este balanceado, basta con analizar unafase. Esto puede hacerse aun si la linea neutra esta ausente, como en el sis-tema de tres conductorcs,

Calcule las corrientes de linea del sistema Y-Y de tres conductores de la fi-gum 12.13,5-j2 Q A

in +j8 Q

c1O+j8Q

110/-120" V

5-j2 n cF i gu ra 1~.13S istem a Y -Y d e tres conductores, para el ejem plo 1 2.2.

Soluc: i6n:El circuito trifasico de la figura 12.13 esta balanceado; se le puede remplazarpor su circuito monofasico equivalente, como e1 de 1a figura 12.12. I,e ob-tiene del analisis monofasico como

I = Va"a Zydonde Zy = (5 - j2 ) + (10 + j8 ) = 15 + j6 = 16.155/21.8. As!,

110~ 0h1 20 =6.81/-21.8 A16.155~I =Como las tensiones de fuente de 1a figura 12.13 estan en secuencia positiva,las corrientes de linea tambien estan en secuencia positiva:

Ib = lu/-l20 = 6.81/-141.8 AI, = la/-240 = 6.81/-261.8 A =6.81/98.2A

S11

Zy

11 NF i gu ra 1'2..1iCircuito monofasico equivalente.

Ejemplo 12.2


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E ste e s q uize e l s is te m a tr ifa sic o m asprac tko , ya que la s fuen tes t r i fasicass ue le n c one cta rs e e n 1, mientras quela s c a rg a s t nfa s ic a s s ue le n c o ne c ta r see n D . .

Capitulo 12 Circuitostnfasicos

Un generador trifasico balanceado conectado en Y con una impedaneia de 0.4+ )0.3 n por fase se conecta con una carga balanceada conectada en Yeanuna impedancia de 24 + j19 n por fase ..La linea que une al generador y lacarga tiene una impedancia de 0.6 + j O . 7 ' npor fase. Suponiendo una secuen-cia positiva de las tensiones de fuente y que V",. = 120/300 V baUe:--ajlastensiones de linea, b) las corrientes de linea.'Res:puesta:a) 207,85/600 V, 207.85/-600 Y, 207.85/-1800 V,b) 3.75/-8.66 A , 3.75/-128.66A. 3.75/-111.34 A.

Conexi6n estrella-delts belenceeda.->

EI sistema Y-delta baJanceado se presenta en la figura 12.14, en la que 1 3fuente esta conectada en estrella y la carga esta conectada en ~. No hay, des-de luego, conexion neutra de la fuente a Ia carga en este caso .. Suponiendo 1asecuencia positive, las tensiones de rase son. de nueva cuenta

V a l l = Vp~Vbn = Vp/-120, Vcn = Vp/+120 (12.19)

Como se rnostro en 1a seccion 12.3, las tensiones de linea son

1 0 que indica que las tensiones de lfnea son iguales a las tensiones en las im-pedancias de carga en esta configuracion de sistemas. De estas tensiones pue-den obtenerse las corrientes de fase como

_ VBClac = -z .tl.

I - V CACA - Z I : : , (12.21)

Estas corrientes tienen la misma magnitud, pero estan defasadas I'20" entre sf.

1I

v.,

VOl + - - -

c b I Inc-igura 12.14Conexi6n Y-Abalanceada,


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12.4 Conexi6n estrella-delta balanceada

Otra manera de obtener estas corrientes de fase es aplicar la LTK. Pur ejem-plo, la aplicacion de la LTK a 10 largo del lazo aABbna da como resultado

-Van + Zil,_IAB + Vb n = 0o sea

Van - V bl l Vab VAB.lA B = Z 6 , = Z t J = ZL l (12.22)ecuacion igual a la ecuacion (12.21). Esta es L a manera mas general de deter-minar las corrientes de fase.

Las corrientes de linea se obtienen de las corrientes de fase aplicando laLCK en los nodos A, By C. As),

L;;::CA - Isc (12.23)Puesto que leA = lAB/-240,

I, = lAB - ICA = IAB(l 1/-240)= IAB(l + 0 .5 - jO.866) = lA Bv3/ - 30 (12.24)

Lo que indica que la rnagnitud ]L de la corriente de linea es v'3 veces la mag-nitud I p de la corriente de fase, 0

IL = V1lp (12.25)donde

h= 1 1 0 1 = I I J = 1 1 ( " 1 (12.26)y /I p ; ; : : I l A B I = I I B d = I l c A I (12.27)

Asimisrno, las corrientes de lfnea se atrasan respecto a las corrientes de faserespectivas en 30, suponiendo la secuencia positiva. La figura 12.15 es undiagrama fasorial que ilustra la relacion entre las corrientes de fase y las co-rrientes de linea.

Otra manera de analizar el circuito Y-b. es transformar la carga conectadaen b. en una carga equivalente conectada en Y. Mediante la formula de trans-formacion A - Y de la ecuacion (12.8),

(12.28)

Despues de esta transformacion, se tiene un sistema Y-Y como el de Ia figu-ra 12.10. El sistema trifasico v-a de la figura 12.14 puede remplazarse por elcircuito monofasico equivalente de la figura 12.16. Esto permite calcular iini-camente las corrientes de linea. Las corrientes de fase se obtienen con baseen 1a ecuaci6n (12.25) y en el heche de que cada corriente de fase se adelan-ta respecto a la corriente de linea respcctiva en 30.

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I,

F ig u r a 12 .15Diagrama fasorial que ilustra 1arelacionentre las corrientes de fase y las corrientesde lfnea,

F ig u r a 12 .16Circuito monofasico equivalente de uncircuito Y-b. balanceado.

Ejemplo 12.3na fuente balanceada conectada en Yen secuencia abc con Vall = 100L.!Q: Vse conecta con una carga balanceada conectada en a de (8 + j4) . n par fase.Calcule las eorrientes de fase y de linea.


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514 Capitulo 12 Circuitos trifasicos

Solud6n:Este problema puede resolverse de dos maneras, METODO1 La impedancia de carga es

Z t : . = 8 + j4 = 8.944/26.57 nSi la tension de fase Van = 100 /10, entonces La tensi6n de linea es

o sea

Las corrientes de fase sonV 173.2/400lAB = z A B = / = 19.36/13.43 A. A 8.944 26.57

Inc = IAB/-120" = 19.36/-106.570 AlCA = IAB/+120 = 19.36/133.43 A

L as corrientes de lfnea sonI,=IsvJ/-30 = Y3(19.36)/13.43- 30"= 33.53/-16.57 A

I, = la/-120 =33.53/-136.57" AI, = la/+120 = 33.53/103.43A

mODO 2 Alternativamente, aplicando el analisis monofasico,V an L OO/l0 I . = 33.54/ -16.57 Aa = ZA/3 = 2.981 /26.57 -

como se obtuvo anteriormente. Las demas corrientes de linea se obtienen si-guiendo la secuencia de fases abc.

Problema.de pract ica 12.3

Una tensi6n de linea de una fuente balanceada conectada en Y es VAS =180/- 200 V. Si la fuente se conecta a una carga en t1 de 20/40 n, halle lascorrientes de fase y de linea. Suponga la secuencia abc.Respuesta:9/ -60, 9/-1800, 9/60, 15.59/-900, 15.59/-150, 15.59/300 A.

it.5 ~ . Conexi6n de lta -d e lta b a la n c ead a.U nsrst~ ~a& -4 . balah ceed o es et;1uel en e l que. tan to la fuente balanceadacorrio ' Ia c e rs e b 'a la qc ead& estarl c m e c t a d a s ~n 6.. . .;

. i-.

La fuente y la carga pueden conectarse en delta como se muestra en la fi-gura 12.17. La meta, como siempre, es obtener las corrientes de fase y de linea.


13/52

12.5 Conexion delta-delta balanceada

a I"- AF igura 1 ! 1.1 7Conexion ~-A balanceada.

Suponiendo una secuencia positiva, las tensiones de fase de una fuente conec-tada en delta son

Vab = VpLQ:Vbc = Vp/-120, Vea= /+ 1200 (12.29)

Las tensiones de linea son iguales a las tensiones de fase, Con base en 1a fi-gura 12.17, suponiendo que no hay impedancias de linea, las tensiones de fa-se de la fuente conectada en delta equivalen a las tensiones a traves de lasimpedancias; es decir, ...

Vab =VAS, Vbc =VBe. (12.30)ea =VCAAsf, las corrientes de fase son

I VBC v;BC=--=--Z~ Ztlf__ VCA_ Vea~A - -Zt,. Z l1

(12.31,

Dado que 1a carga esta conectada en delta como en 1a seccion anterior, algu-nas de las formulas derivadas en ella e aplican aquf. Las corrientes de linease obtienen de las corrientes de fase aplicando la LCK en los nodos A, B yC, como se hizo en 1a seccion anterior:

I,= lCA - IBe (12.32)Asimismo, como se indico en la seccion precedente, cada corriente de linease atrasa de la correspondiente corriente de fase en 30; la magnitud l s : de lacorriente de linea es v3 veces la magnitud lp de la corriente de fase,

(12.33)Otra forma de analizar el circuito Ll-Il es convertir tanto la fuente como

1a earga en sus equivalentes en Y . Ya se sabe que Zy = Z6,/3. Para convertiruna fuente conectada en Ll en una fuente conectada en Y, vease 1a siguienteseccion,

Una carga balanceada conectada en a yean impedancia 20 - jlS n se co-necta con un generador coneetado en A en secuencia positiva con V"b =330 L T _ V Calcule la corrientes de fase de la carga y las corrientes de linea.

515


14/52

516 C a pitu lo 1 2 Ci rcu it o s t r if a s icos

Soluc i6n:La impedancia de carga por fase es

Z6, = 20 - jI5 = 25/-36.87 nDado que VAB = Yah, las corrientes de fase son

VA8 330lQ:lAB =-Z =, / ,. =13.2/36.8r AD. 25 -36.87

IBC =IB/-l20 = 13.2/-83.13 AICA = IAB/ + 1200 =13.2/156.87 A

En el caso de una carga en delta, la corriente de lfnea siempre se atrasa de lacorrespondiente corriente de fase en 30 y tiene una magnitud de V3 vecesla de la corriente de fase. En cons ecuenci a, las corrientes de linea son

III = IIIB\I3/-30 = (13.2/36.87)(\13/-30)= 22.86/6.8r AII; = la/-120 = 22.86/-113.13 A

I, = 1,,/+120 =22.86/126.87 A

Prob lema '. de practice 12.4 Una Fuente balanceada conectada en Ll en secuencia positiva alimenta a unacarga balanceada conectada en . : : 1 . Si Ia impedancia por fase de 1a carga es 18+ jl2 n y I" =22.5/350 A, halle lAB Y VAS'Respuesta: 13/65 A, 281.5/98.690 v.

Conexi6n delte-estrelle ba l anceadaUn sistema ll-Y balariceado co ns te de una Fuente be lence sde corecteda entJ . que a tim erita o una carga ba lance ada cone cte de e n YConsiderese el circuito . : : 1 - Y de la figura 12.18. Suponiendo otra vez la

secuencia abc, las tensiones de fase de una fuente conectada en delta sonYah = VplQ:., Vb, = Vp!-1200

V ca = Vp[ + 1200Estas son tam bien las tensiones de linea asf como las de fase.

Las corrientes de Ifnea pueden obtenerse de much as maneras. Una de eliases aplicar la LTK a t lazo aANBba de la figura 12.18 y escribir

(12.34)

o sea

As], V p L Q : _I-lb=--(j Zy (12.35)


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12_6 Conexion delta-estreUabalanceada

1 .1 I"- AZy

B cr,-Igura 12.18Conexi6n b . . -Y balanceadaPero I, se atrasa de I, en 120, ya que se ha supuesto la secuencia abc; estoes.T; = 1,,/-1200 Por 1 0 tanto,

(12.36)

La sustitucion de la ecuacion (12.36) en la ecuaci6n (12_35) produceI= Vp/v '3~" Zy (12.37)

De esto se obtienen las dernas corriente de linea I, YI,iguiendo la secuen-cia positiva de fases, es decir I b = la l - L20. L. = Ii120. Las corrien-tes de fase son iguales a las corrientes de linea I

Otra forma de obtener las corriente de linea es remp1azar la fuente conec-tada en delta par su fuente equivalente conectada en estrella, como se sefiala enIa figura 12.19. En la seccion 12.3 e determine que las tensiones linea-linea deuna fuente conectada en estrella se adelantan a sus correspondientes tensionesde fase en 30. En consecuencia, cada tension de fase de la fuente equivalentsconectada en estrella se obtiene dividiendo la correspondiente tension de lineade la fuente conectada en delta entre v3 y aLterando su fase en -30. Asf, laFuente equivalente conectada en estrella tiene las tensiones de fase

VpV


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518 C a pitu lo 1 2 Cir cui tos t ri fc s lcos

Alternativamente, la carga conectada en estrella puede transformarse enuna carga equivalente conectada en delta, Esto c ia por resultado un sistemadelta-delta.vel cual puede analizarse como en la seeci6n 12.5. Note que

(12.40)

Como ya se senalo, Ia earga conectada en delta es preferible que la car-ga conectada en estrella. Es mas facil modificar las cargas en cualquiera delas fasesconectadas en delta, ya que la s cargas individuales se conectan di-rectamente entre las Ifneas. En cambia, Ia fuente coneetada en delta diffcil-mente se usa en la practica, porque cualquier Jeve desbalance en Jas tensionesde fase provocara corrientes circulantes indeseables.

En la tabla 12.1 se presenta un resumen de las formulas de corrientes ytensiones de fase y de corrientes y tensiones de lfnea de las cuatro conexio-nes, Se aconseja a los estudiantes no memorizarlas, sino comprender como se

Resumen de tensiones/corrientes de fase y de lineade sistemas trlfas'icos belenceedos.'Cenexlon Tensioneslcorrientes de lase 'Iensioaes/corrientes de lineay-y Van =V p l . . ! ! . .

Vb" = Vp/-120c

v ., = "j,j+ 120"Misma corriente de linea

Y-D. Van"" V p L Q :Vbn =Vp!-120V"" = Vp/ + ]20"lAB =VAB!ZaIB C= V yc!Zt.,ICA = VCA!Zt;.Vab =V p l . ! ! _Vbc =Vp/-120"V"a = Vp/+120"lA B = V"b/ZI),IB e = V"jZI),(CA =Vca/Z!J.V "" = V p f S ! _VbC = Vp/-120"V"" = VI'/+120"

D.-Y

, Mismacorriente de linea

v., = v'3Vp/30Vb


17/52

12.7 Potenciaen un sistemabalanceado

dedujeron. Estas formulas pueden obtenerse siempre aplicando directarnentela LCK y la LTK a los circuitos trifasicos apropiados.

519

Una carga balanceada conectada en Y con una impedancia de fase de 40 +j2 5 nse alimenta con una f uen te ba lanceada conectada en A . en secuencia po -sitiva con una tension de linea d e 210 V. Calcule las corrientes de fase, U seVub como referenda.Soluci6n:L a imp ed an cia de carga es

Zy = 40 + j25 = 47.17 /320 ny la tension de fuente es

Vab =210/00 VCuando la fuente conectada en . & se transforms en una fuente conectada en Y,

Vob / _ 7.n~ / oVail = \13~ = 12l.2 -30 VLas corrientes de lfnea son

las cuales son iguales alas corrientes de fase.

Ejemplo .12~5

En un circuito . & -Y balanceado, Vob = 240~ YZy = (12 + j1S) n. Calcu-Ie las corrientes de linea.Re:spuesta: 7.21/-66,340 A, 7.21/-173.660 A. 7.21/53.66 A,

1'2.7 iPotenciaen un sistema balanceadoConsiderese ahora la potencia en un sistema trifasico balanceado. Se comen-zara examinando la potencia instantanea ab orbida por la carga. Esto requiereque el analisis se realice en el dominio temporal. En una carga conectada enY , las tensiones de fase son

VAN =vzv, coswt, VSN = = v'2Vp cos(wt - 120)VeN = V2Vp cos(wt + 120)

donde el factor Vz es necesario porque Vp se ha definido como el valor rmde la tension de fase. Si Zy = Zft las corrientes de fase se atrasan respec-to a las tensiones de fa e respectivas en f). Asi,

(12.41)

t; = -ru, cos(wt - e), i" =V2lp cos(wt - 0 - 120) (12.42)i,= v'2Ip cos(wt - () + l200)

Problemade practica12.5


18/52

520 c a p ft u 1 0 12 C I r e c it e s t ri fa s ic o sdonde I p es el valor rms de la corriente de fase. La potencia instantanea totalen la carga es la suma de las potencias instantaneas en las tres fases; es decir,

p =p" + Pb + P c = f.JANia + f.JBNib + f.JCNic+ Z Vplp[cos w tcos(w t - 8)+ cos(wt - 120) cos(w t - (j - 120)+ cos(wt + l20a) cos(w t - 8 + 12 00)

(12.43)

La aplicacion de 1a identidad trigonometricaIcos A co s B = 2 [cos (A + B). + cos (A ~ B)] (12.44)da como resultado

p = V~p[3 cos 8 + co s (2wt - 8) + cos (Z ut - e - 240)+ cos (2wt ~ () + 240)= Vt!p[3 cos f) + cos a + cos a cos 2400 + sen a sen 2400+ cos a cos 240 - sen a sen 240 ] (1 2.45)

donde a= 2wt - , f JVI'Jp[3 cosf + cos a + 2 ( ~)cosa] = 3Vplp cos e

De este modo, la po tenci a i ns tan tanea total en un sistema trifasico balances-do es constante; no cambia can e1 tiernpovcomo 10 haee Lapotencia instants-nea de cada fase, Esto es as! ya sea que Ia carga este conectada en Y 0 en ~.Esta es una importante razon para el empleo de un sistema trifasico con ob-jeto de generar y distribuir potencia ..Mas adelante se dara otra razon,

Como la potencia instantanea total es independiente del tiempo, la poten-cia promedio par fase P I' en la carga conectada en l1 0 en Ia carga conectadaen Y es p/3, a ~

Pl > = VI}p cos Hy la potencia reactiva por fase es

(12.46)

(12.47)La potencia aparente pOI fase es

(12.48)La potencia compleja por fase es

(12.49)donde Vp Y II' son la tension de fase y Ia corriente de fase con magnitudesVI' y If " respectivamente. La potencia promedio total es la suma de las poten-cias promedio en las fases:

En una carga conectada en Y, li. = II' pero Vi = v '3vp mientras que en unacarga conectada en 11, IL =V3lp pero VL = v; Asi, la ecuaci6n (12.50) seaplica a cargas tanto conectadas en Y como conectadas en 11.De igual forma,la potencia reaetiva total es

(12.51)


19/52

12.7 Potenciaen un sistemabalanceado 521

y la potencia cornpleja total es

(12.52)

donde Zp = ZpZL! !_ es la impedancia de carga par fase. (Z p podrta cr Zy 0Z6,.) Alternativamente, la ecuaci6n (12.52) puede expresarse como

(12.53)

Recuerdese que V , , , lp, VL, Y lL son valores rms y que ( J es el angulo de la im-pedancia de carga 0 el angulo entre la tension de fase y la corriente de fase.Una segunda gran ventaja de los sistemas trifasicos para Ia distribuci6n

de potencia es que los sistemas trifasicos utilizan menor cantidad de alarnbreconductor que el sistema monofasico para la misma tension de linea VLY lamisma potencia absorb ida P L ' Se compararan estos cases y se supondra enambos que los conductores son del rnismo material (por ejemplo, cobre conresistividad p), de la rnisma longitud . e y que las carga son resistivas (es de-e r r , de factor de potencia unitario), En relacion con el sistema monofasico dedos conductores de la figura 12.21a), li. = PdVL, de manera que la perdidade potencia en los dos conductores es

(12.54)

Fuentemonofasica

+

~ -J +Fuente R ' r, VL LSt ' Cargatrifasica - -" =v v trifasicabalanceada + balanceada

R ' r, VL /-120Q-0 .A, - -

R ' I"R it-R

Ltneas de tran misi6n Lineas de transmision0) b)

F igura 12.21Comparaci6n de la perdida de potencia en a) un sistema monofasico y b) un sistema trifasico.

En cuanto al sistema trifasico de rres conductores de la figura 12.21b), l~I l a l = I I b l = I l e l = Pr /V3V L de la ecuaci6n (12.50). La perdida de potenciaen los tres conductores esP ' . = 3(1' ) 2R ' = 3R ' p i = R ' p iperdida L 3 vI v i (12.55)

Las ecuaciones (12.54) y (12.55) indican que para la rnisma potencia total su-ministrada PL Y la misma tension de linea VL;PperdidaVperdida

2RR' (12.56);;;--


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522 CapItulo 12 Circuitostrifesicos

Pero per eI capitulo 2, R = pC / TTr~ Y R ' =pfJrrr,2, donde r y r'son los ra-dios de los conductores, Por 10 tanto,

p 2r'2pcrdidaP ' perdida ?

Si 1a misma perdida de potencia se tolera en ambos sistemas, entonces ? =2r'2. La razon del materia] requerido esta determinada por el mirnero de con- .ductores y sus vohimenes, de modo que

(12.57)

Material para monofasico ~ 2{7 T ? C ) 2?Material para trifasico - 3(7Tr,2C) 21',2

2= "3(2) = 1.333 (12.58)

puesto que? = 21',2. La ecuacion (1258) indica que el sistema rnonofasicoconsume 33% mas material que el sistema trifasico 0 que el sistema trifasicoconsume 861075% del material consumido enel sistema monofasico equiva-lente. E n otras palabras, se necesi ta considerab le rnente menos material para su-ministrar la m isma potencia con un sistema trifasico que can un o m on ofasico .

Refierase al circuito de la figura 12.13 (del ejemplo 12.2). Determine los va-lares totales de 1a potencia prornedio, potencia reactiva y potencia complejaen 1a fuente y en 1a carga.So:luci6n:Es suficiente considerar una fase, ya que el sistema esta balanceado, En re1a-cion co n Ia fase a,

y r, = 6,81/ -21.3 AAsi, en la fuente, la potencia compleja suministrada es

s, = -3VpI~ = -3(11012:)(6.81/21.8)= -2 247/21.8 = -(2 087 + )834.6) VA

La potencia rea] 0promedio suministrada es de -2087 ny la potencia reac-tiva de -834.6 VAR.

En la carga, la potencia compleja absorbida esSL = 31IlZp

donde ZI' = 10 + )8 = 12.81/38.660 y II' = Ia = 6.81/-21.8. Asi,SL = 3(6.81)212.81L38.66 = I 782/38.660

= (1 392 = )1 113) VALa potencia real absorbida es de 1391.7 W y la potencia react iva absorbidade 1113.3 VAR. La diferencia entre las dos potencias complejas es absorbi-da por la impedancia de lfnea (5 - }2) O. Para demostrar que este es eJ ca-so, la potencia compleja absorbida pO T la lfnea se halla como

Se= 31IlZe = 3(6.81ic5 - }2) = 695.6 - }278.3 VAla cual es 1a diferencia entre S, y S, es decir S, + Se + SL = 0, como erade esperar,


21/52

12,7 Potenciaen unsistemabalanceado

En referencia al circuito Y-Y del problema de practica 12.2, calcule la poten-cia compleja en la fuente y e n la carga.Respuesta: -(1 054 + j843 .3 ) VA, (l 012 + j801.6) VA.

, ,. Problema: ,--d e ,p ra c tic a 12~6_:

523

Un motor trifasico puede considerarse una carga en Y balanceada. Un motortrifasico toma 5.6 kW cuando la tensi6n de linea es de 220 V Y la conientede linea de 18.2 A. Determine el factor dc potencia del motor,Solucion:La potencia aparente es

S = = Y3VLh = \13(220)(18.2) =6 935,13 VADado que la paten cia real es

P=Scos(J=5600Wel factor de potencia es

P 5600fp = cos e = S=6 935,13 = 0.8075

..: E jemp lo 12 .7

Calcule la coniente de linea requerida para un motor trifasico de 30 kW canun factor de potencia atrasado de 0.85 si se conecta a una fuente balanceadacon una tensi6n de linea de 440 VRespuesta: 46,31 A.

Problemade precttce 12.7

Dos cargas balanceadas se conectan a una linea de 240 kV rms a 60 Hz, comose muestra en la figura 12.2Za)_ La carga 1 toma 30 kW can un factor de po-tencia atrasado de 0.6, mientras que la carga 2 toma 45 kVAR can un factor depalencia atrasado de 0.8. Suponiendo la secuencia abc, determine: a) las po-tencias compLeja, real y reactiva ab orbidas par la carga combinada; b) las co-mentes de lfnea y c) la capacidad nominal en kVAR de los tres capacitaresconee tados en A en paralelo can la carga que elevaran el factor de palenciaa atrasado de 0.9 y la capacitancia de cada capacitor,Soluc ion:a) En cuanto a Ia carga 1, dado que PI = 30 kW Y cos 01 = 0-6, entoncessen 81 = 0.8. Por 10 tanto,

-.J:.L _ 30 kW - SOkVSI - - - Acosth 0.6Y Ql = SI sen Ol =50(0.8) =40 kVAR. Asi, la paten cia compleja debida ala carga 1 es

S I= PI + jQI =30 + j40 kVA (12.8.1)


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Si4

Carga C argabalanceada baianceada

1 Ia)

=fC 1= f C _ I CCarga

combinada

b)F ig u r a 1 2. 22P ara e l e jemp lo 1 2.8 : a) cargasbalanceadas originales, b) carga combi-nada can factor de potencia mejorado.

Capitulo 12 Circuitos t r i fasicos

En cuanto a Lacarga 2, si Q2 = 45 kVAR Ycos O 2 = 0.8, entonces sen 82 =0.6. Se hallaQ2 45 kVAS2 = sen O 2 = 0.6 =75 kVA

Y P 2 = 52 coss, = 75(0.8) = 60 kW. En consecuencia, la potencia comple-ja debida a Lacarga 2 es '82 = P 2 + jQ 2 =60 + j4 5 kVA ( 12 .8 ..2 )

A partir de las ecuaciones (L2.8.1) y (12.8.2), la potencia compleja total ab-sorbida par la carga es

S =S I + S 2 =90 + j8 S kYA = 123.8/43.360 kVA (12.8.3)la cual tiene un factor de potencia de cos 43.36 =0.727 atrasado, La palen-cia real es entonees de 90 kW, mientras que la potencia reactivaes de 85kVAR .b) Puesto que S = Y3VdL, la corriente de linea es

I =_S_L v3V,,- (12.8.4)

Se aplica esto a cada carga, teniendo en cuentaque en ambascargas VL =240 kV En cuanto a 1a carga 1,

50000hJ= , M = 120.28 rnAv3 240 000Dado que el factor d e p oten cia es a tra sa do , la corriente de lfnea se atrasa dela tension de linea en 81 = cos-] 0.6 = 53.13. Par consiguiente,

lal = 120.28/-53.13En cuanto a la carga 2, 75000h2 = V3 240 000 = 180.42 rnAy la corriente de llnea se atrasa de la tension de Ifnea en O 2 = cos-10.836.87". De ahf que

Ia2 = 180.42/-36.870La corriente de lfnea total es

Ia = Ial + la2 = 120 .28 / __53 .13Q + 180.42/-36.87= (72.168 - j96.224) + (144.336 - j108.252)=216.5 - j204.472 = 297.8/-43.360 rnA

Altemativarnente, la corriente podria obtenerse de Ia potencia complejatotal mediante la ecuacion 02.8..4) como

123800li.= v3 240000 = 297.82 rnAy

10 = 297.82/-43.36 rnA /que es 10 mismo que se obtuvo anteriormente, L as demas corrientes de linea,Ib2 Y lea. pueden obtenerse de acuerdo con la secuencia abc (es decir, I,=297.82/-163.36 rnA y I f . ' = 297.82/76.640 rnA).c) La potencia reactiva necesaria para aumentar el factor de paten cia a 0.9atrasado puede deterrninarse con la ecuacion (11.59),

Q c =P Ctan O an tigu o - tan enucvo)


23/52

12.8 Sistemas t r i fsstcos desbalenceados

donde P = 90 kW , 8antiguo = 43.36 y 8nuevo =COS-I 0 .9 = 25.84 As},Qc = 90 OOO Oan 43.36 - tan 25.84) =41.4 kVAR

Esta potencia reactiva es para los tres capacitores. Para cada capacitor, la ca-pacidad nominal de Q ; = 13.8 kVAR. Can base en la ecuacion (11.60), 1acapacitancia requerida es

c = _g_?wV;,,}SPuesto que los capacitores estan conectados en ~ como se muestra en la fi-gun 12.22b), Vnns en la formula anterior es la tension lfnea-Ifnea 0 de lfnea,Ia cual es de 240 kV. Por lo tanto,

13800c = (27T60)(240 000) =635.5 pFSuponga que las dos cargas balanceudas de la figirra 12.22a) se alimentan canuna linea de 840 V TInS a 60 Hz. La carga 1 esta conectada en Yean 30 +)40 n . par rase, mientras que la carga 2 es un motor trifasico balanceado quetoma 48 kW con un factor de palencia atrasado de 0.8. Suponiendo 1asecuen-ci a abc, calcule: a) la o potencia compleja absorbida por la carga combinada;b) la capacidad nominal en kVAR de cada uno de los tres capacitores conec-tados en ! : : . . en paralelo can la carga para elevar el factor de potencia a la uni-dad, y c) la corriente tomada de la alimentacion en 1a condicion de factor depotencia unitario.Respuesta: a) 56.47 + )47.29 kVA. b) 15.7 kVAR, c) 38. 13 A.

tS is temas tr ifas icos desba l anceadosEste capitulo quedarfa incomplete sin mencionar los sistemas trifasicos des-balanceados. Un sistema desbalanceado es producto de dos posibles situacio-nes: 1) las tensiones de fuente no son iguales en magnitud ylo ditieren en faseen angulos desiguales, 0 2) las impedancias de carga son desiguales, Asf,

Un s is tema desbalanceado se de be a flle nte s de tensi6ri"desoalancead:}s oa una c ars a de sbe le nc ea de .Para simplificar el analisis, se supondran tensianes de fuente balanceadas, pe-ro carga desbalanceada.

Los sistemas trifasicos desbalanceados se resuelven mediante la aplica-cion directa de los analisis de mallas y nodal. En la figura 12.23 se present aun ejemplo de un sistema trifasico desbalanceado que consta de tensiones defuente balanceadas (las cuales no aparecen en la figura) y una carga desba-lanceada conectada en Y (mostrada en la figura). Puesto que la carga esta des-balanceada, ZA, Z 1 3 y Zc no son iguales. Las corrientes de linea se detenninanmediante la ley de Ohm como

I =VCNc Z : (12.59)

525

Problema.de prectlce 12.8

I"- Ac

Figura 12.23Carga trifasica desbalanceada conectadaenY

I Una tecn ice e spec i a l para m a ne ja r s is -.. te m as trita sic os desba l anceados e s e lrne todo de componentes simetnces,e l c ua l que da fuera de la lcance dee s te lib ra .


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52 6 Capftulo 12 Circuitos trifssicos

Este conjunto de corrientes de linea desbalanceadas produce corriente en la li -nea neutra, la cual no es cero como en un sistema balanceado, La aplicacionde la LCK en el nodo N da por resultado la corriente de la linea neutra como

I 1/1= - CIa+ Ib + IJ (12 .60)En un sistema de tres conductores, en el que la linea ne utra e sta ausente,

tambien es posible hallar las corrientes de linea I a . I, YL, aplicando el anali-sis de malla. En el nodo N, la LCK debe satisfacerse, de modo que I,+ I,+I,= 0 en este caso. La mismo podrfa hacerse en un sistema A - Y ,. Y - D . a D . - D .de tres conductores. Como ya se menciono anteriorrnente, en la tran misi6n depotencia a larga distancia se emplean conductores par multiples de tres (siste-mas multiples de tres hilos) en los que la tierra acnia como el conductor neutro.

Para calcular la potencia en un sistema t ri fa si co desbalanceado se requ ie -re hallar la potencia en cada fase por media de las ecuaciones (12.46) a(12.49). La potencia total no es sencillamente tres veces la potencia en unafase, sino la suma de las potencias en las tres fases.

F igu r a 12. 24Cargaen A desbalanceada; para elproblemade practice 12.9.

La carga en Y desbalanceada de la figura 12.23 tiene tensiones balanceadasde 100 V Y la secuencia acb. Calcule las corrientes de linea y la corrienteneutra. Considere ZA = 15 fl, Z8 = 1 0 + jS n, Zc = 6 - j8 n.Soluci6n:Con base en la ecuacion (12.59), las corrientes de linea son

. 100iQ:[= . = 6.67 lO a Aa 1 5 cz:100/1200 100/1200I,= 10 + j5 = 11.18/26.56 = 8.94/93.44 A100/-1200 100/-1200I = = . = 10j-66.8r Ac 6 - j8 10/-53.13 '----

Con base en la ecuaci6n (12.60), la corriente en la lfnea neutra esIn = -(Ia + Ib + Ie>= -(6.67 - 0.54 + j8.92 + 3.93 - j9.2)

=-10.06 + jO.28 = 10.06/178.40 A

La carga en D . desbalanceada de l a f i g u r a 12.24 se alimenta con tensiones li-nea-lfnea balanceadas de 200 V en la secuencia positiva. Halle las corrientesde linea. Tome Vab como referenda.Respuesta: 18.05/-41.060 A. 29.15/-139.80 A, 31.87 /74.27 A


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12.8 Sistemastrifasicos desbalanceados

En referencia al circuito desbalanceado de la figura 12.25, baLIe: a) las co-rrientes de linea; b) la potencia compleja total absorbida par la carga, y c) lapotencia compleja total suministrada por la fuente.

120~ nus

IQa -(I:)

+ 120/-120QnnsI I >- - - - B

~--,c

A

)50N

-)100

c

F igu ra 1.2.25Para el ejemplo 12.10.Solucion:a) Se aplica el analisis de malla para hallar las corrientes requeridas. En cuan-to a11azo 1,

120/-1200 - 120/0 + (10 + j S ) I } - 1012= 0o sea

(10 + jS)I) - 1012=1Wv'3/30 (12.10.1)En cuanto al lazo 2,

120/1200 - 120/-120 + (10 - j10)I2 - 101. =0o sea

(12.10.2)Las ecuaciones (12.10.1) y (12.10.2) forman una ecuacion matricial:

[10 + jS -10 ] [ I I ] _ [ 120\13/300 ]-10 10 - jlO 12. 120\13/-900Los determinantes son

110 + J 'S -1O I6. = = 50 - j50 = 70.71/-450-10 lO-jlO

1120\13/300 -10 I6.1= ~h/ = 207.85(13.66 - j13,66)120v 3_-900 10 - jlO

= 401.5/-450

110 + j5 120\1'3/300 I6.2 = -10 120v'3/-900 = 207.85(13.66 - jS )

. = 3 023.4/-20.10Las corrientes de malla son

6.1 4015.23/-45I=- = = 56.78 A1 6. 70.71/-45. 6 .2 3023.14/-20.10 0I., = - = =42.75/24.9 A- 6 . 70.71/ -4So

"51 7


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528 Capitulo 12 Circuitos trifasicos

Las corrientes de linea sonIt) = 11 = 56.78 At I, = -12 = 42.75/-155.10 AI, = 12 - II = 38.78 + jI8 - 56.78 = 25.46/1350 A

b) Ahora puede calcularse la potencia compleja absorbida por la carga. Encuanto a la fase At

En cuanto a la fase a ,En cuanto a Ia fase C, .

Sc = I I < . f z c = (42.75)2(-)10) = -j18276VALa potencia compleja total absorbida par 1 a carga es

SL =SA + SB + Sc =6480 - j2 156VAc) El resultado anterior se comprueba hallando la potencia provista pur lafuente. En cuanto a la fuente de tension en la fase a,

Sa;;;;; -VanI~ =-(120,LQ:)(56.78) =-6813.6VAEn cuanto a la fuente en la fase b,

SI>:= -V b , , 1 1 = -(120/-1200)(25.46/-13SO)= -3 055.2/1050 = 790 -j2 951.1 VA

En cuanto a 1a Fuente en la fase c,S, = -VbnI~ = = -(120/120)(42.75/155.1)

= -5 130/275.10 = -456.03 + j5 109.7 VALa potencia cornpleja total suministrada pa r la Fuente trifasica es

S5 = Sa + S, + S, = -6480 + j2 156 VA10 que indica que S" + SL = 0 y confirma el principio de conservacion de lapotencia de ca.

Problemade practice 12.10 Halle las corrientes de linea en el circuito trifasico desbalanceado de la figu-ra 12.26 y la potencia real absorbida por la carga.a A

220/-120 rIDS V

b220/120 rm s VFigura 12.26Para el problema de practica 12.10.

Respuesta: 64/80.10 A, 38.1/-600 A, 42.5/225 A 4.84 kW.


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12.9 PSpicep a ra c ir cu it os t rif as ic o s

12.9 . PSpice p a ra c ir cu ito s trlfeslcosP Sp ic e puede usar se para analizar circuitos trifasicos balanceados a desbalan-ccados de la misma manera que se usa para analizar circuitos rnonofasicos deca. Sin embargo, una fuenre conectada en delta presenta dos grandes proble-mas a PSpice. Primero, una fuente conectada en delta es una malla de fuen-tes de tension, 10 cual no es adecuado para PSpice. Can objeto de evitar esteproblema, se inscrta una resistencia despreciable (I J - t f l par fase, par ejem-plo) en cada fase de la fuente conectadaen delta. Segundo, la fuente conec-tada en delta no brinda un nodo conveniente para el nodo de tierra, el cual esnecesario para ejecutar Pspice. Este problema puede eliminarse insertandotambien resistencias grandes balanceadas conectadas en estrella (de 1 MO parfase, par ejemplo) en Ja fuente conectada en delta a fin de que el nodo neu-tro de las resistencias conectados en estrella sirva como el nodo de tierra O .El ejernplo 12.12 ilu trara esto.

Ejemplo l ' 2.11n referencia al circuito Y-b. balanceado de la figura 12.27. use PSpice parahallar la corriente de linea IaA' la tension de fase VAB Y la corriente de faselAC Supongase que la frecuencia de Fuente es de 60 Hz.

EJ esquema se muestra en 1a figura 12.28. Los seudocomponentes IPRINT sehan insertado en las Ifneas apropiadas para obtener laA y lAC. rnientras queVPRINT2 se ha insertado entre los nodos A y B para imprimir Ia tensi6n di-ferenciaI V.4B. Los atributos tanto de IPRINT como de VPRINT2 se fijan co-mo AC = yes, MAG = yes, PHASE = yes para imprimir s610 la magnitud yfase de las corrientes y tensiones .. A1 igual que en un analisis de frecuenciaiinica, se selecciona Analysis/Setup/AC Sweep y se introduce Total Pts = 1,Start Freq = 60 y Final Freq = 60 . Una vez guardado el circuito, se le simu-la seleccionando Analysis/Simulate. EI archivo de salida incluye 10 siguiente:

FREQ V(A.B) VP(A,B)6.000E+Ol 1.699E+02 3.081E+OlFREQ 1M(V_PR1NT2) IP(V_PRINT2)6.00{)E+Ol 2.350E+OO -3.620E+OlFREQ 1M (V_PRINT3 ) IP(V_PRINT3)6.000E+Ol 1.3578+00 -6.620E+Ol


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uo CapItulo12 Circuitos triiasicosAC ~ yesMAG ~ yes

ACMAG ~ 100 V PHASE = yesACPHASE = ar----II(+I-------Y/Vr-----'

VI

1

AC = yesMAG = yesPHASE = yes

ACMAG = 100ACPHASE = -120

I(V2

ACMAG = 100 VACPHASE = 120

I(V3

R2

AC = yesMAG = yesPHASE = yes

R31

Figura 12.28Esquema del circuito de la figura 12.27.

De esto se obtieneIaA = 2.35 / - 36.2 A

VAH = 169.9/30:81 V, lAC = 1.357/-66.20 A

Prob lema.de prscnca 12.11

Para el circuito Y-Y balanceado de la figura 12.29, use PSpice para hallar lacorriente de lfnea IbB Yla tension de fase VAN' Adopte f = 100 Hz.

120/60 V a 20 1.6mH A

120/-60 V b

120/180 V cc

Figura 12.29Problema de practica 12.11.

Respuesta : 100.9/60.870 V. 8.547/-91.270 A.

Ejempl:o:12.12 Considere el circuito A-A desbalanceado de la figura 12.30..Use PSpice parahallar la corriente del generador lab. la corriente de linea IbB Yla corriente defase IBc,


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12.9 PSpicepa ra c ir cui tos t ri fa s ic os

a

son

-j40Q08/1300 V : + 8j30n

c cFigura 12.30Para el ejemplo 12.12.

Soluc ion:1 . Definir. El problema y el proceso de solucion estan claramente defini-dos.

2. Presenter. Se debe hallar la corriente del generador que fluye de a . a b,la corriente de linea que fluye de b a B y la corriente de fase que fluyede B a C.3. Altemativas. Aunque existen diferentes metodos para resolver este pro-blema, el usa de PSpice es obligado. Par 1 0 tanto, se seguira este,

4. Intentar. Como ya se menciono, el lazo de la fuentes de ten i6n e evi-ta insertando una resistencia en seriede l-,u!1 en la fuente conectada endelta. Para disponer de un node de tierra 0, e insertan resi tencias ba-lanceadas conectadas en estrella (1 Mil par fase) en la fuente conectadaen delta, como se muestra en el e qoema de 1a figura 12.31. Se han in- I

R1 L1

ACMAG

PHASERS lMeg

ACMAG

A,CMAG

ACPHASER8

ACPHASE 130 R6 lMegA,CMAG 208

ACPHASE yes

2 5Figura 12.31Esquema del circuito de la figura 12.30.

PRINT3

531

Cl0.025


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532 Capitulo 12 Circuitostrifasicos

sertado tres seudocomponentes IPRINT con sus atributos para poder ob-tener las corrientes requeridas lab> II,s Y IRe. Puesto que no se ha indica-do Ia frecuencia de utilizacion y dado que en Ingar de impedancias debenespecificarse inductancias y eapacitancias, se supone w = I rad/s de rna-nera que f = 1 /21T = 0.159155 Hz. Asf ,

L= XLW y

1c=-wXcSe selecciona Analysis/Setup/ AC Sweep y se introduce Total Pts = 1,Star Freq = 0.159155 Y Final Freq = 0..159155 ..Una vez almacenado elcircuito, se selecciona Analysis/Simulate para simular el cireuito. El ar-chivo de salida incluye:

F.REQ1.592E-01

1M (V_PRINT1 )9.1068'+00

IP (V_PRINT1)1.6B5E+02

FREQ1.592E~Ol IM(V_PRINT2)S.959E+OO IP(V_PRINT2)-1.772E+02FRE.Q1.592E-Ol

IM (V_PRINT 3 )5.500E+00

IP(V_PRINT3)1.725E+02

de 1 0 que se obtienelab = 5.595/-177.2 A,los =9.106/168.5 A, y

IBC' =5.5/172S A_ .

5. Evaluar. Los resultados pueden comprobarse aplieando el analisis de ma-llas. Suponga que el lazoaABb es el Iazo 1, el lazo bBec el lazo 2 y ellazo ACE, el lazo 3, y que las tres corrientes de lazo fluyen en el senti-do de las manecillas del reloj. Se eoncluye entonces con las siguientesecuaciones de lazes:Lazo 1

(54 + )lO)h - (2 + )5)h - (50)h =208/10 =204.8 + )36.12Lazo 2

-(2 + )5)11 + (4 + )40)/2 - (j30)13 = 208/-1 Wo= -71.14 - )195..46

Lazo 3- (50)ll - ()30)/z + (50 - )10)13 = 0

Del usa de MATLAB para resolver esto se obtienez=[ (54+101), (-2-51), -50; (-2-5i) I (4+40i) r-301;~50/-30i, (50-10i)]Z'"54.0000+10.00001-2.0000-5.0000i-50.0000-2.0000-5.00001 4.0000+40.00001 0-30.00001-50.0000 0-30.00001 50.0000-10. OOOOi


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12.9 PSpicep ar a c ir cu ito s t ri fa s ic o s 533

V~[(204.8+36.12i};(-71.14-195.46i);0]v =1.Oe+.002*2.0480+0.36121-0.7114-1.9546ioI~inv(Z)*V1=8.9317+2.6983i0.0096+4.5175i5.4619+3.7964i

IhR = -II + Iz = -(8.932 + j2.698) + (0.0096 + )4.518)"" -8,922 + jI.82 =9.106/168.47 A Se comprueba Ia respuesta

IR e = h - 13 = (0.0096 + j4.S J8 ) - (5.462 + j3 .796)= - 5.452 + )0.722 = 5.5/172.46 A Se comprueba la respuesta

Ahora se procede a determinar I b I J . Si se supone una impedancia intemapequefia en cada fuente, es posible obtener una estimaci6n razonablemen-te aceptable de lab' De la adici6n tanto de las resistencias int mas de 0.010. como de un cuarto lazo alrededor del circuito de la fuente da por re-sultadoLazo 1(54.01 + JIO)!! - (2 + j5)I2 - (50)h - 0.01I,t =208~

= 204.8 + j36.12Lazo 2-(2 + j5)l. + (4.01 + j40)h - (j30)l3 - 0.01I4

= 208/-1100 = -71.14 - j195.46Law 3

-(50)ll - (30)12 + (50 -jlO)13 = 0Lazo4

-(0.01)[1 - (0.0l)I2 + (0.03)h=0> >z= [ ( 54.01+ 10i) , (-2.-5i) , - 50, - a . 01; (-2 -5 i) ,(4.01+40 i) , -3 Oi, -0 .01 i -50 I -30i, (50 -10i) ,0;-0.01.-0.01,0,0.03]'Z~54.0100+10.0000i -2.0000-5.0DOOi, -50.0000 -0.0100-2.0000-5.0000i 4.0100-40. OOOOi 0-30. OOOOi 0.0100-50.0000 0-30. OOOOi 50.0000-10. OOOOi 0-0.0100 -0.0100 0 0.0300V_[(204.8+36.12i);(-71.14-195.46i);O;O]


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534 Capitulo 12 Circuitostrifasicos

v=1.0e+002*2.0480+0.3612i-O.7114-1.9546i

ooI=inv(Z)*vI;;:;8.9309+2.6973iO.0093+4.S159i5.4623+3.7954i2.9801+2.4044ila b = -I I + 14 = -(8.931 + j2.697) + (2.98 + j2.404)

= -5.951 - jO.293= 5.958 / -177 .18" A. Se comprueba la respuesta

6. i,Satisfactorio? Se tiene una solucion satisfactoria y una comprobacionadecuada de la solucion. Los resultados pueden presentarse ahora comouna solucion del problema.

fr-oblem.~':de practlca 12.12 En relacion con el circuito desbalanceado de la figura 12.32, use PSpice pa-ra hallar la corriente del generador lea, la corriente de linea Icc Y la corrien-te de fase lAB'a A

10 fl+ 220/-300 V

220/900 V 100+I O n+ 220/-1500 V ,--jlO .Q

c cFigura 12.32Para el problema de practica 12.12.

Respuesta: 24.68/-900 A, 37.25/83.80 A, 15.556/-750 A.

tAplicacio'hesLas conexiones de fuentes tanto en estrella como en delta tienen importantesaplicaciones practices. La conexion de fuente en estrella se usa para la trans-misi6n de larga distancia de energfa electrica, en la que las perdidas resisti-


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12_10 Aplicaciones

v as (PR) deben ser rnfnimas, Esto se debe al hecho de que la conexion en es-trella produce un_aten ion de lfnea v'3 mayor que Ia conexion en delta, y deahf que, para 1a misma potencia, la corriente de linea sea V3 menor. La co-nexi6n de fuente en delta se utiliza cuando se desean tres eireuitos monofas i -cos de una fuente trifasica, Esta conversion de trifasico a monofasico serequiere en la instalacion electrica residencial, porque la i luminacion y apa-ra te s p ar a el h og ar u sa n potencia monofasica, La potencia trifasica se empleaen la instalacion electrica industrial, caso en el que se requiere gran potencia.En algunas aplicaciones carece de importancia que Ia carga este conectada enestrella 0 en delta. Por ejemplo, ambas conexiones son satisfactorias en mo-tores de induccion, De hecho, algunos fabricantes conectan un motor en del-ta para 220 V Y en estrella para 440 V, a fin de que una linea de motorespueda adaptar-se facilmente ados diferentes tensiones. .

Aquf se consideraran dos aplicaciones practices de los conceptos cubier-tos en este capitulo: medicion de potencia en c ir cu it os t ri fa si co s e instalaci6nelectrica residencial.

12.10.1 Medici6n de la potencia trifasicaEI wattfmetro es el instrumento para m ed ir 1 a potencia promedio (0 real) encircuitos monofasicos, ta l como se presento en la seccion 11_9. Un wattime-tro sencillo tambien puede medir la potencia promedio en un sistema trifasi-co balanceado, de modo que PI = P 2 = P 3 la potencia total es tres veces Ialectur-a de ese wattimetro. En cambio, se necesitan dos a tre wattimetros mo-nofasicos para medir la potencia si el sistema e ta desbalanceado. EI metodade los tres wattimetros para medir la potencia, el cual se muestra en Ja figu-ra 12.33, funcionara sin importar iIacargaesta balanceada 0 desbalanceadao conectada en estrella 0 en delta. Dicho metoda es adecuado para medir lapotencia en un sistema trifasico en el que el factor de potencia cambia cons- /tantemente. La potencia promedio total es 1 a suma algebraica de la s lecturasde los tres wattimetros,

(12.61)don de P I> P 2 Y P3 corresponden a las lecturas de los wattimetros W I> W 2 YW3, respectivamente. Cabe sefialar que el punto comun 0 de referenda 0 enla figura 12.33 se ha seleccionado de manera arbitraria. Si Ia carga esta co-nectada en estrella, el pu_nto0puede conectarse al punta neutro n. En una car-ga conectada en delta, el punto 0 puede conectarse a cualquier punto. Si seconecta al punta b , por ejemplo, 1a bobina de tensi6n del wattfmetro W 2 lee-ra cero Y P2 = 0, 10 que indica que el wattimetro W2 no es necesario. Asf,dos wattfmetros son suficientes para medir 1a potencia total.

El metoda de los dos wattimetros es el de usa mas conuin para medir lapotencia trifasica. Los dos wattimetros deben conectarse apropiadamente adosfases cualesquiera, como se observa en Lafigura 12.34. Adviertase que la bo-bina de corriente de cada wattfrnetro rnide la corriente de linea, mientras quela respectiva bobina de tensi6n esta conecradaentre la linea y la tercera lfneay mide la tensi6n de linea. Adviertase asimismo que la terminal : : : ! : de la bo-bina de tension esta conectada a Lalinea a 1aque se conecta la correspondien-te bobina de corriente. Aunque los wattimetros individuales ya no leen lapalencia tomada por cualquier fase particular, La suma algebraica de las lee-turas de los dos wattimetro es igual a la paten cia promedio total absorbidapor la carga, sin importar si esta ultima esta conectada en estrella 0 en delta

Carga trifasica(en estrella 0

'-+--,----1 en delta.balanceada 0desbalanceada)

535

Figura 1UM&odo de los tre wattimetros para rnedirla potencia trifasica,

Carga trifasica(en es tre ll a 0

b 0--------+----.1en delta,balanceada 0desbalanceada)

Figura 12.34Metoda de los dos wattimetros para medir1a potencia trifasica,


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536 CapItulo 12 Clrcuitostrifasicos

o si esta balanceada 0 desbalanceada, La potencia real total es igual a la su-rna algebraica de las lecturas de los dos wattfmetros,

(12.62)Aquf se demostrara que este metoda da resultado en un sistema trifasico ba-lanceado.Considerese Ia carga baianceada conectada en estrella de la figura 12.35.E1 objetivo es aplicar el metoda de los dos wattimetros para hallar la poten-cia prornedio absorbida par la carga, Supongase que la fuenteesta en la se-cuencia abc y que la impedancia de carga Z y =Zyl..!!: Debido a la impedanciade carga, cada bobina de tension se adelanta a su bobina de corriente en e ,de manera queel factor de potencia es cos O . Recuerdese que cada tension delfnea se adelanta a la correspondiente tension de fase en 30. Asi, la diferen-cia de fase total entre la corriente de fase Ia Y la ten sio n d e linea V ah es 0 +30, y la potencia promedio Iefda por el wattimetro W1es

a+

Vab

bvcb+

C

"

F ig ura 1~.35Metoda de los dos watnmetros aplicado a una carga enesrrella balanceada,

De igual forma, puede demostrarse que Ia potencia promedio lefda par el watti-metro 2 es

Ahora se usan las identidades trigonometricascos (A + B) = cos A cos B - sen A sen Bcos (A - B) = cos A cos B + sen A sen B

para hallar la suma y la diferencia de las lecturas de lo s dos wattimetros enlas ecuaciones (12.63) y (12.64):

(12.65)

PI + P 2 = V r .h [c os ( 8 + 30 D) + cos (0 ~ 30)]=Vddcos 0 cos 30 - sen e sen 30+ cos ()cos 30 + sen (J sen 30)

= VdL2cos 30 cos f J = v'3VdL cos li (12.66)puesta que 2 cos 300 = Vi La comparacion de laecuacion (12.66) can laecuaci6n (12.50) dernuestra que la suma de las lecturas de los wattfrnetros dapar resultado la potencia promedio total,

(12.67)


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12.10 Aplicaciones

De la misma manera,PI - P; =VLh[cos (0 + 30) + cos ( ) - 30)]=V1h(cos () cos 30 - sen e sen 30

- cos 8 cos 30 - sen e sen 30)=VLh2 sen 30 sen f)

P 2 - P I =VdLsen 8

(12.68)

puesto que 2 sen 30 = 1. La comparacion de la ecuaci6n (12.68) con 1a ecua-cion (12.51) demuestra que la diferencia de las lecturas de los wattfrnerros esproporcional a la potencia reactiva total, 0

[ QT = Y3(P, - P,) [ (12.69)

De las ecuacioncs (12.67) y (12.69) puede obtenerse la potencia aparente to-tal como(12.70)

La divisi6n de la ecuaci6n (12.69) entre Ia ecuaci6n (12.67) produce la tan-gente del angulo del factor de potencia como

(12. 71)

de 10 que puede obtenerse el factor de potencia como fp = co 8. A i. el me-toda de los dos wattfrnetros no s610 proporciona la potencias real y reacti atotaLes, sino que tambien puede servir para calcular el factor de potencia. Delas ecuaciones (12.67), (L2.69) y (12.71) se concluye que I1. 5i P 2 =PI> la carga es resistiva.2. Si P 2 > P 1> la carga es inductiva.3. Si P 2 < PI> la carga es capacitiva.

Aunque estos resultados se derivan de una carga balanceada conectada en es-trella, son igualmente validos para una carga balance ada conectada en delta.Sin embargo, el metoda de los dos wattfmetros no es aplicable a la medicionde la potencia en un sistema trifasico de cuatro conductores a menos que lacorriente a traves de la linea neutra sea de cero. EI metodo de los tres watti-metros se emplea para rnedir la potencia real en un sistema trifasico de cua-tro conductores.

Tres wattfrnctros WI, W2 Y W3 se conectan a las fases a, h y c, respecti-vamente, para medir la potencia total absorbida por la carga desbalanceadaconectada en estrella del ejemplo 12.9 (vease la figura 12.23). a) Prediga lasIecturas de los wattimetros, b) Halle la potencia total absorbida.Solucl6n:Parte del problema ya e resolvi6 en el ejemplo 12.9. Suponga e que los warti-metros se conectan apropiadarnente, como en la figura "12.36.

537


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53 8 CapItulo 12 Circuitos trifasicos

A~------{W )--------,+VAN

+c

150I--j8n

O---,~r---------~F ig u r a 1 2. 36Para el ejemplo 12.13.

a) Partiendo del ejemplo 12.9,VAN= 100lQ:. VBN = 100/l20, VeN = 100/-120 V

mientras quet, = 6.67~. r,= 10/-66.87Q A

Las lecturas de los wattfrnetros se calculan de la siguiente manera:P i =Re(VANI ,n = VANIa cos (eVAN -0.)

= 100 x 6.667 x cos (0 - 0) = 667 WP2 = Re(VBNIt) = VBNh cos (e VSN - th b)= 100 x 8.94 x cos (1200 - 93.44) =800 WP3 =Re(V cNli) = VCN1ccos (OVeN - (}l)

= 100 X 10 X cos (-120 + 66.87) = 600 W

"

b) La potencia total absorbida esP T = P1 + P 2 + P 3 = 667 + 800 + 600 = 2 067 W

Puede hallarse Ia potencia absorbida por los resistores dela figura 12.36 yusar eso para comprobar 0 confirmar este resultado.

PT =1 1 a I2(15)+ I h l \ l O ) + 11c I2(6)= 6.672(15) + 8.942(10) + 102(6)= 667 + 800 + 600 = 2 067 W

que es exactamente 10 rnismo.

Repita el ejemplo 12.13 respecto de la red de la figura 12.24 (vease el pro-blema de practica 12.9). Sugerencia: Conecte el punta de referencia 0 de lafigura 12.33 aI punto B.Respues ta : a) 2722 W, 0 W. 6 177 W, b) 8 899 W.

El metodo de los dos wattfmetros produce las lecturas de wattimetros PI =I 560 n y P2 = 2 100 .n en conexidn con una carga conectada en delta. Si latensi6n de linea es de 220 V, calcule: a) la potencia promedio por fase; b) lapotencia reactiva par fase; c) el factor de potencia, y if) la impedancia de fase.


37/52

12.10 Aplicaciones

Solucion:Los resultados dados pueden aplicarse a la carga conectada en delta. a) Lapotencia real 0promedio total es

PT =PI + P 2 = 1 560 + 2 100 =3660 WLa potencia promedio par fase es entonces

b) La potencia reactrva total esQT = V3(P2 - Pd = \13(2 100 - 1 560) = 935.3 VAR

de manera que la potencia reactiva por fase es

c) El angulo de potencia ese = tan-1~ = tan-I ~ 3 g 6 ~= 14.33

Asi, el factor de potencia escos e = 0.9689 (atrasado)

El fp es atrasado porque QT es positiva 0 ?2 > PI'c) La irnpedancia de fase es Zp = ' 4 > L ! . Se sabe que e es el angulo del fp;es decir, (j = 14.33.

VpZ =-P I pRecuerdese que en una carga conectada en delta, Vp = VL = 220 V. Can ba-se en la ecuaci6n (12.46),

1 220t,=220 x 0.9689 =5.723 APar 1 0 tanto,

V 220Zp =t 5,723 = 38.44 ny

z, = 38.44/14.330 n

539

Considere que la tension de linea VL = 208 V Yque las lecturas de los. wat-timetros del sistema balanceado de 1a figura 12.35 son PI =-560 W Y P 2= 800 W.Determine:a) la potencia promedio totalb) L a potencia reactiva totalc) eI factor de potenciad) la impedancia de fase~La impedancia es inductiva 0 capacitiva?Rcspuesta: a) 240 W, b) 2 355.6 VAR, c) 0.1014, d) 18.25/84.18 o, in-ductiva.

Prabl 'ema'de practie:ai2.l4


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540

. ' - ': P r . o . b le r n ~ : - : ' . ' --de p ra .c tia 42 ., ~18 , '.

Cepltulo 12 Circuitostrifcsicos

La carga trifasica balanceada de Ia figura 12.35 tiene tina impedancia par fa-se de Zy = 8 + )6 n. Si se conecta a Ifneas de 208 V, determine las lectu-ras de los wattimetros w, Y W z Halle PT Y QT'Soluc l6n:L a im pedancia por fase es

Zy =8 + )6 = 1O/36.8r nde modo que el angulo del fp es de 36.8]0. Dado que la tension de linea VL= 208 V , la corriente de linea es

Vp 20S/v'}h=- = = 12AI Z y l 10 _.En consecuencia,

PI = VdL cos (11 + 30) =208 X 12 X cos (36,Sr + 30)= 980.48 WPz = VdL cos (fJ - 30) = 208 x 12 x cos (36.87 - 30)= = 2478.1 W

Asf, el wattfmetro I lee 980.48 W , mientras que el wattfrnetro 2 lee 2 478.1W. Como Pi > PI, la carga es inductiva. Esto es evidente a partir de la pro-pia carga Zy. Despues,

P I" = e, + P z = 3.459 kWy

QT =Y3(P2 - PI) = V3(1497.6) VAR = 2.594 kVAR

Si Lacarga de 1a figura 12..35 esta conectada en delta con una impedancia porfase de Zp = 30 - )40 0. Y VL = 440 V, determine las lecturas de los wattf-metros Wi Y W z Calcule PT y QT'Res'puesta: 6.166 kW,. 0.8021 kW, 6.968 kW, -9.291 kVAR.

12.10.2 lnsteteoone lectrtce residencia lEn Estados Unidos, la mayor parte de 1a iluminacion y aparatos para el ho-gar operan con corriente alterna rnonofasica de 120 V, 60 Hz. (La electrici-dad tambien puede suministrarse a J 10, 115 0 117 V, dependiendo del lugar.)La compafifa local suministradora de energfa electrica abastece a los hog arescon un sistema de ca de tres conductores, Par 10 general, como se muestra enla figura 12.37, la tension de linea de, par ejemplo, 12 000 V se reduce gra-dualmente a 120/240 V can un transformador (hay mas detalles sabre trans"formadores .en el siguiente capitulo). Los tres conductores procedentes deltransformador suelen ser de color rojo (vivo), negro (vivo) y blanco (neutro),Como se indica en la figura 12.38, las dos tensiones de 120 V son de faseopuesta, y por 10 tanto suman cera. Es deeir, v; = OVt: VB = 120LQ: : .VR = 120/1800 = -VB'

( 1 2 . 7 2 )


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Como la mayoria de los aparatos estan disefiados para operar con 120 V, lailuminaci6n y los aparatos se conectan a las lfneas de 120 V, como se ilustraen la figura 12.39 en el case de una habitaci6n. N6tese en la figura 12.37 quetodos los aparatos se conectan en paralelo. Los aparatos de alto consumo querequieren grandes corriente , como los equipos de aire acondicionado, las la-vadoras de trastes, los homos y las lavadoras, se conectan a la linea electricade 240 V .

A causa de los riesgos de L a electricidad, en Estados Unidos la instala-cion electrica residencial esta estrictamente reglamentada por un c6digo esta-blecido por norm as locales, asi como por el National Electrical Code (NEC). !Para evitar contratiempos, se emplean aisladores, conexion a tierra, fu ibles e ---.,j~c------,--+-__'..-1~-interruptores. Los c6digos modemos de instalaci6n electrica exigen un tercer 1_2_0_v_o_lts_~'_ '_ __ --4"__conductor para una tierra aparte. Como el conductor neutro, el conductor detierra no conduce electricidad, pero permite que los aparatos dispongan de unaconexi6n a tierra independiente. En 1a figura 12.40 se observa la conexi6n deun receptaculo can una lfnea de 120 V rms y a tierra. Como se advierte enesa figura, la lfnea neutra se conecta a tierra en rnuchos puntas criticos. Aun-que la linea de tierra parece redundante, la conexion a tierra es importante pormuch as razones. Primero, la exige el NEe. Segundo, proporciona una trayec-

12.10 ApJicaciones

Circuito Circuito# I # 2120V 120V

Circuito#3

240 VPared de'/Iacasa

Fusible Fusibles

F ig u r a 12 .3 7Sistema electrico domestico de 120/240 V .(Fuente: A . Marcus y C. M. Thomson, Electricity for Technicians, 2.3..e d, [EnglewoodC li ff s. P r en ti ce H a ll, 1 9 7 5] . p. 324 .) .

A otras casas- - - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - - . - ~ - - - - - - - . - - - -,

Negro , I I _ . . _ 1(vivo) N , Focos de Aparato de l+Blanco , l20V nov J(neutro) : 120VI ~ ~ d e l- I I~ Tierra I I: 120V Foco: de Aparaio d e l,, +Rojo (vivo) , I nov 120V:ador I Iransform , Casa ,M_~_J

F ig u r a 1 2. .3 8Instalacion electrica residencial monofasica de tres conductores.

I

541

Portalamparas

Interrupror Tomacorrientesde base

F ig u r a 12 ..3 9Diagrama de la instalacion electrica usualde una. habitacion,(Fuente: A. Marcus y C. M. Thomson,Electricity for Technicians, 2a. e d, [EnglewoodC li ff s, P re nti ce H a ll, 1 9 7 51 . p. 325.)


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542 Capitulo 12 Circuitostritasicos

Fusible 0mterruptor Conductor vivo"..._-------_---------------Receptacula

A otros aparatos

Conductor neutro

Tierra del sistema Tierra del Conductor de tierraelectrico panel de servieios

F i gu r : a 12. 4 0C on exio n d e un receptaculo a la l in ea con co rr ie n te y a t ie rr a.

tori a conveniente a tierra a los relampagos que impactan Ia linea electrica, Ter-cero, las tierras minimizan el riesgo de cheque electrico. La causa deeste esel paso de corriente de una parte del cuerpo a otra. EI c ue rp o h umane es co-mo un gran resistencia R. Si V es la diferencia de potencial entre elcuerpo ytierra, la corriente que fluye a traves del cuerpo se determina mediante la leyde Ohm como

V[=-R (12.73)El valor de R varia de una persona a otra y depende de si el cuerpo esta hti-medo 0 seco ..La intensidad 0 efecto aniquilador del cheque depende de la ean-tidad de corriente, la trayectoria de Ia corriente par el cuerpo y el lapso en queel cuerpo se exponga a la corriente. Corrientes inferiores a 1 rnA podrfan noser perjudiciales para el cuerpo, pero corrientes superiores a 10 rnA puedencausar un choque severo. Un dispositive modemo de seguridad es el interrup-tor del circuito de falla Q tierra (ground-fault circuit interrupter, GFCI pO T sussiglas en ingles), el cual se utiliza en circuitos a la intemperie y en bafios, don-d e e1 riesgo de elec tro ch oq ue es m a yo r. S e trataen esen cia d e un interrupterque se abre cuando la suma de las corrientes iR iw Y il J a traves de las lfneasroja, blanca y negra no es igual acero, 0 iR + iw + iB "'" O.

La mejor manera de evitar electrochoqueses seguir las Donnas de segu-ridad concemieates a sistemas y aparatos electricos. He aquf algunas de elias: Nunca suponer que un circuito electrieo esta desactivado, H ay que pro-barlo siempre para estar segllfo.

Emplear dispositivos de seguridad cuando sea necesario, y vestir ropaad ecuad a ( zap ato s con aislamiento, guantes, e tce te ra) . Nunca utilizar arnbas manosal probar circuitos de alta tension, ya que lacorriente de una mana a Ia otra pasa directamente por el pecho y el co-raz6n.

No toear ningtin aparato electrico estando mojado, pues el agua conduceeiectricidad.

S er extrem ad am ente cuid ad oso al operar aparatos electronicos com o ra-dios y televisores, pues contienen grandes capacitores que tardan en des-cargarse despues de la desconexion electrica,

Quien efecnia operaciones en un sistema de instalacion electrica se debeacompahar de otra persona, par si acaso sucediera un accidente.


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P r e gu nta s d e r ep as o 543

. Res umen1. La secuencia de fases es el orden en que la ten iones de fase de un ge-nerador trifasico se producen respecto al tiempo, En una secuencia abcde tensiones de fuente balanceadas, Val l se adelanta a V bn en 120, la quea su vez se adelanta a Ven en l20. En una ecuencia acb de tensionesbalanceadas, Val l se adelanta a Ven en 1200, la que a su vez se adelantaa Vb" en 120,

2. Una carga baianceada conectada en estrella a en delta es aquellaen laque L as tres impedancias de las fases son igu ales,

3. La manera mas facil de analizar un circuito trifasico balance ado es trans-formar tanto la fuente como la carga en un sistema Y -Y y d esp ue s a na li-zar el circuito monofasicoequivalente. En la tabla 12.1 se present6 unresumen de las f6nnulas de corrientes y tensiones de fase y corrientes ytensiones de linea de las cuatro configuracione posibles.

4. La corriente de linea hes la corriente que fluye del generador a Ia car-ga en cada lfnea de transmisi6n de un sistema trifasico. L a tensi6n de li-nea VL es la tension entre cada par de lfneas, salvo la linea neutra, siexiste. La corriente de fase I; es la corriente que fluye a traves de cadafase en una carga trifasica, La tension de fase Vp es la tensi6n de cada fa-se, En una carga conectada en estrella,

yEn una carga conectada en delta,

y5. La potencia instantanea total en un istema trifasico balanceado es constan-te e igual a la potencia promedio.

6, La potencia compleja total absorbida por una carga trifasica baJanceadaconectada en Y 0 en ! ! . es

s = P + jQ = V?Ndd.~dande (J es e1 angulo de las impedancias de carga.

7. Un sistema trifasico desbalanceado puede analizarse aplicanda el analisisnodal 0 de malla.

8 . P Spice se usa para analizar circuit as trifasicos de la misma manera quepara analizar circuitos monofasicos.

9. La potencia real total se mide en sistemas trifasicos siguiendo ya sea elmetodo de los tres wartfmetros 0 el de los dos wattfrnetros.

10. En la instalacion electrica residencial se emplea un sistema monofasicode tres conductores de 120/2400 V.

l,CwU es la secuencia de fases de un motor trifasico paraeleual VAN = 220/-1000 V YV RN = 220/-: 1400 V? 12.3 l.CuaI de las siguientes no es una condici6n requerida pa-ra un sistema balanceado?

Ia) 100/-1400c) 100/-500

b ) 1 00 /1 000d) 100/100

a) I V < m l = I V t m l =: I v , , , , 1b) I" = Ib = I" = 0c) Vall =,V1m + V"n = 0d Las tensiones de fuente estan desfasadas )200entre

sf.e) Las impedancias de carga de las tres fases son iguales,

a) abc h) acb12.2 Si en una secuencia de fases acb, V (liT = 100/- 20 , en-tonces Veil es:


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544 Capitulo 12 Circuitos tritasicos

1.2.4 En una carga conectada en Y, la corriente de lfnea y 1aco-mente de fase son igua le s .a) Cierto b) Falso

12.5 En una ca rga conectada en 8., la corriente de linea y la co-mente de fase son iguales.a) Cierto b) Falso

12.6 En un sistema Y - Y , una tension de linea de 220 V produ-ce una tension de fase de:a) 381 Vd) J56 V

b) 31 1 Ve) 127 V

c) 220 V

12.7 En un sistema 8.-8., una tension de fase de 100 V produceun a tension de linea de:a) 58 Vd) 173 V

b) 7l Ve) 141 V

c) ]OOV

I P rob l emas 1

12.8 Cuando una carga conectada en Y se alimenta con tensio-nes en secuencia de fases abc, las tensiones de linea seatrasan de las correspondientes tensiones de fase en 30".a) Cierto b) Falso

12.9 En un circuito trifasico balanceado, la potencia instanta-nea total es igual ala potencia promedio.a) Cierto b) Falso

12.10 La potencia total suministrada a una carga en 8. balancea-da se detennina de la misma mancra que en una carga enY balanceada,a) Cierto b) Falso

Respuestas: 12. la, 12.2a, 12.3c, 12.4a, 12.5b, 12.6e, 12.7c,12.8b, 12.9a, 12.JOa.

Secci6n 12.2 Tensiones trifasicas balanceadas12.1 Si V"u =400 V en un generador trifasico balanceado co-

nectado enY, halle las tensiones de fase , suponiendo quela secuencia de fases es:a) abc b) acb

12.2 ~CuaI es la secuencia de fases de un circuito trifasico ba-lanceado para el cual V"" = 160/30 V Y Ven =160/-900 V? Halle Vb,, '

12.3 Determine 1a secueacia de fases de un circuito trifasicobalance ado en el que Vbtl =208/130" V YV,." = 208~V. Obtenga Van-

12.4 Un sistema trifasico COn secuencia abc y VL=200 V ali-menta a una carga conectada en Y con ZL =40/30 H.Halle las corrientes de ltnea.

12.5 En relaci6n can una carga conectada enY , las expresionesen el dominic temporal (0 del tiempo) de tres tensiones If-nea-neutro en las terminales son:

VAN = 150 cos (wt + 32) VVSN = 150 cos (wt - 88") VDeN = 150 cos (wt + 152") V

Escriba las expresiones en el dorninio temporal de lastensiones lfnea-Iinea vAB, vee YDCA

Secci6n 12.3 Conexi6n estrella-estrella balanceada12.6 En referencia al circuito Y- Y de la figura 12.41,.halle las

corrientes de linea, las tensiones de linea y las tensionesde carga.

220LQ: : v A L O Q j5 Q

/I

a

Nb B

c cFigura 12.41Para el problema 12.6.

12.7 Obtenga las corrientes de linea en el cireuito trifasico dela figura 12.42.

12.8 En un sistema Y - Y trifasico balanceado, la fuente esta enuna secuencia abc de tensiones y Vwt =100/20" V rrns.La impedancia de linea pOI' fase es 0.6 + jl.2 n, rnientrasque la irnpedancia par fase de la carga es 10 + )14 n.Calcule las corrientes de linea y las tensiones de carga.

12.9 Un sistema Y - Y balanceado de cuatro conductores tienelas tensiones de fase

V"" = 120LQ:_, v: = 120/-120"Vn = 120/120" V

La impedancia de carga per fase es 19 + j13 n, y la im-pedancia de linea por fase es 1 + j2 fl. Determine lascorrientes de linea y la corriente neutra.

lRecuerdese que, a menos que se indique otra cosa, todas las tensiones y corrientes dadas on valores ems.


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a

Prob lemas 545

Ia A

440/120 V +6 - j8 0:

+ 440/-120 V[h

F i gu r a 12.42Para el problema 12..7.

12.10 En referencia al circuito de la figura 12.43, determine lacorriente en la lfnea neutra.

ZQ

25 - jlO n

10+)5 Q220/120" V -2Q

F ig u r a 1 2. 43Para el problema 12.10.

Secci6n 12.4 Conexion estrella-delta balanceada12.11 En el sistema Y-ll.que aparece en 13 figura 12.44, la fuen-

te esta en una secuencia po sitiva con Van = 20LQ:,V eimpedancia de fase Zp = 2 - j3 n. Calcule la tensi6n delf ne a V L Y la corrien te d e ltnea IL

Vall

n

IF ig u r a 12 .4 4Para el problema 12.11.

12.12 Determine las corrientes de Ifnea en el circuito Y e L l de lafigura 12.45. Adopte Zt. = 60/450 n.A

c[c-- Figura 12.45

Para el problema 12.12.

12.13 En el sistema trifasico balanceado Y-6. de la figura 12.46,$I halle la corriente de Ifnea li.y la potencia promedio surni-pS ML n tstrad a a la carga.IIOLQ:: V rm s

9-j6Q9-j6Q

9-j6Q

F i gu r a 12.46P ara e l p ro blem a 1 2..1 3.

12.14 Obtenga las corrientes de linea en el circuito trifasico dela fig ura L 2 .4 7.


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546 Capitulo 12 Circuitostrifi:\sicos

100L!L_V

100 h120 Vh

1+)2nFigura 12.47Para el pro~lema 12.14 .

12.15

eIp~SEl circuito de la figura 12.48 se excita mediante una fuen-te trifasica balanceada can una tension de linea de 210 V.S i Z/ = 1 + jl n, Zo o=24 - j3 0 n y Zy = 12 + )5 n,determine la magnitad de la corriente de lfnea de [as car-g as c ombi na d as .

a

b

cFigura 12.48Para el problema 12.15.

12.16 Una carga balanceada conectada en delta tiene una co-mente de fase lAC= to ! -3~'' A.a) Determine las tres corrientes de Ilnea suponiendo que

el circuito o pera en la secuen cia d e C ases p ositiv a,b) Calcule la impedancia de carga si la tension de lineaes VAB = llOlQ: v .

12.17 Una carga balanceada conectada en delta tiene corrientede Ifnea I" =10/ -:-25" A. Halle [as corrientes de fase IAB,IBC Y IcA

12.18 Si Va" =400/60 V en la red de Ia fignra 12.49,.halle [ascorrientes de fase de la carga lAB, I B C , e ICA-

_. -- -------- - a AGeneradortrifasicoconectadoen y

bSecuencia B 12n j9nde fases (+) c

Figura, 12.49Para eJproblema 12.18.

l+j2n

Secci6n 12.5 Conexi6n delta-delta balanceada12.19 En referencia al circuito 6-6. de la figura 12.50, calculelas corrientes de fase y de linea.

a A

30n

J IOnb

)Ion

30.0L73/120 V '" B

30n! 173/-120' Vjlon

cFigura, 12.50Para eI problema 12.l9.

12.20 Para el circuito ll-A de la figura 12.51. Halle las corrien-tes de Unea y de fase. Suponga que la impedancia decarga es ZL = 12 + }9nporfase.

.~ A

2 1O iL 2 _O ' V

c

Figura 12.51Para el problema 12.20.

5/10/2018 Ca

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Capitulo 12 - Circuitos Trifasicos