Unid 5.2 Circuitos Trifasicos Desequilibrados

CIRCUITOS ELÉTRICOS PARA MECATRÔNICA (FEELT49050) 1 Unidade 5 – Sistemas de Corrente Alternada Senoidal Polifásicos

UFU – FEELT - Mauro Guimarães

UNIDADE 5.2 CIRCUITOS TRIFÁSICOS DESEQUILIBRADOS

5.2.1 – CARGAS NÃO EQUILIBRADAS

Cargas trifásicas são definidas como não equilibradas se pelo menos uma impedância de uma das fases difere das restantes.

5.2.2 – CARGAS NÃO EQUILIBRADAS EM ∆ • Inicialmente, calculam-se as correntes de fase dadas por:

ab

abab Z

VI

&

&& = ;

bc

bcbc Z

VI

&

&& = ;

ca

caca Z

VI

&

&& = .

• A seguir, calculam-se as correntes de linha dadas por:

caabaa III &&& −=' ; abbcbb III &&& −=' ; bccacc III &&& −=' .

Exemplo 5.2.1 - Para a seqüência de fases ab-ca-bc (inversa), calcular as correntes de fase e de linha dado a tensão de linha °∠= 0100abV& volts e as impedâncias de fase:

.020020

;87,36534

;13,531086

Ω°∠=+=

Ω°−∠=−=

Ω°∠=+=

jZ

jZ

jZ

ca

bc

ab

&

&

&

;0100 VVab °∠=&

;120100 VVca °−∠=&

.120100 VVbc °∠=&

Correntes de fases:

;13,531013,5310

0100A

Z

VI

ab

abab °−∠=

°∠°∠==

&

&&

;87,1562087,365

120100A

Z

VI

bc

bcbc °+∠=

°−∠°∠==

&

&&

.1205020

120100A

Z

VI

ca

caca °−∠=

°∠°−∠==

&

&&

Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das correntes de fase e que a seqüência de fases destas correntes foi mantida com relação aquelas das tensões da alimentação.

Correntes de linha: ;35,2326,9120513,5310' AIII caabaa °−∠=°−∠−°−∠=−= &&&

;97,14609,2913,531087,15620' AIII abbcbb °∠=°−∠−°+∠=−= &&&

.48,3703,2087,156201205' AIII bccacc °−∠=°∠−°−∠=−= &&&

Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das correntes de linha e que a seqüência de fases destas correntes foi mantida com relação aquelas das tensões da alimentação.

Unidade 5.2 - Circuitos Trifásicos não Equilibrados



5.2.3 – CARGAS NÃO EQUILIBRADAS EM Y

Transforma a ligação Y na sua ligação ∆ equivalente e, a seguir, proceda de maneira similar ao item anterior.

Exemplo 5.2.2 – Para a carga trifásica ligada em Y e tensões aplicadas na seqüência inversa e mostradas, a seguir, calcule as correntes de linha.

.9020200

;4514,141010

;010010

Ω°−∠=−=

Ω°∠=+=

Ω°∠=+=

jZ

jZ

jZ

co

bo

ao

&

&

&

;90212 VVab °∠=&

;150212 VVbc °−∠=&

.30212 VVca °−∠=&

Impedâncias da ligação ∆ equivalentes à ligação Y:

;4521,219020

4526,424 Ω°∠=°−∠

°−∠=++=co

aococoboboaoab Z

ZZZZZZZ

&

&&&&&&&

;4543,42010

4526,424 Ω°−∠=°∠

°−∠=++=ao

aococoboboaobc Z

ZZZZZZZ

&

&&&&&&&

;90304514,14

4526,424 Ω°−∠=°∠

°−∠=++=bo

aococoboboaoca Z

ZZZZZZZ

&

&&&&&&&

Correntes de fases:

;45104521,21

90212A

Z

VI

ab

abab °∠=

°∠°∠==

&

&&

;10554543,42

150212A

Z

VI

bc

bcbc °−∠=

°−∠°−∠==

&

&&

.6007,79030

30212A

Z

VI

ca

caca °∠=

°−∠°−∠==

&

&&

Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das correntes de fase e que a seqüência de fases destas correntes foi invertida com relação aquelas das tensões da alimentação.

Correntes de linha: ;1566,36007,74510' AIII caabaa °∠=°∠−°∠=−= &&&

;1,12555,1445101055' AIII abbcbb °−∠=°∠−°−∠=−= &&&

.21,6697,1110556007,7' AIII bccacc °∠=°−∠−°∠=−= &&&

Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das correntes de linha e que a seqüência de fases destas correntes foi invertida com relação aquelas das tensões da alimentação.

Conclui-se, então, que dependendo do desequilíbrio das impedâncias poderá, inclusive, ocorrer mudança da seqüência de fases das correntes com relação à seqüência de fases das tensões que as originaram.




Problema 5.2.1 – Calcule aoV& , boV& e coV& no exemplo anterior.

.8,234,23921,6697,119020

;1,8074,2051,12555,144514,14

;156,361566,3010

'

'

'

VIZV

VIZV

VIZV

cccoco

bbbobo

aaaoao

°−∠=°∠×°−∠==

°−∠=°−∠×°∠==

°∠=°∠×°∠==

&&&

&&&

&&&

Observe o desequilíbrio em módulo e ângulo das tensões fase-ponto O (ponto comum das cargas) e que a seqüência de fases destas tensões foi mantida com relação aquelas das tensões da alimentação mesmo, tendo-se ocorrido, inversão da seqüência de fases das correntes de linha.

Problema 5.2.2 – Determine as potências dissipadas nas três fases e total no Exemplo 5.2.2.

.351;097,110;21755,1410;13466,310 222 WPPPPWPWPWP cbaabccba =++==×==×==×=

Problema 5.2.3 – Inverta as fases das tensões bc caV eV• •

do Exemplo 5.2.2 (tensões aplicadas na seqüência direta) e calcule as novas correntes de linha. Têm-se as correntes:

;45104521,21

90212A

Z

VI

ab

abab °∠=

°∠°∠==

&

&&

;1554543,42

30212A

Z

VI

bc

bcbc °∠=

°−∠°−∠==

&

&&

.6007,79030

150212A

Z

VI

ca

caca °−∠=

°−∠°−∠==

&

&&

;7566,136007,74510' AIII caabaa °∠=°−∠−°∠=−= &&&

;2,1112,64510155' AIII abbcbb °−∠=°∠−°∠=−= &&&

.9,9953,71556007,7' AIII bccacc °−∠=°∠−°−∠=−= &&&

Observe no diagrama fasorial acima as tensões de linha da alimentação e as correntes de linha correspondentes ao Exemplo (5.2.2) e ao Problema (5.2.3). O índice (d) está associado à tensão da alimentação na seqüência direta e as correntes obtidas. O índice (i) está associado à alimentação na seqüência inversa.

5.2.4 – CARGAS COMBINADAS EM ∆ E Y

Calculam-se os s∆ equivalentes aos Ys e, a seguir, determina-se o ∆ equivalente, procedendo-se, então, de maneira similar aos itens anteriores.




5.2.5 – O SISTEMA Y-Y SEM CONEXÃO DOS NEUTROS (subíndice duplo)

Para o circuito abaixo, têm-se as equações de corrente e de tensões:

;0''' =++ ccbbaa III &&&

( ) ( ) '''''''' nbnabbbobbnbaaaoaana EEIZZZIZZZ &&&&&&&&&& −=++−++ ,

( ) ( ) .'''''''' nbncbbbobbnbcccoccnc EEIZZZIZZZ &&&&&&&&&& −=++−++

5.2.6 – NOTAÇÃO COM SUBÍNDICE SIMPLES

Para o circuito abaixo, têm-se as equações de corrente e de tensões:

;0=++ cba III &&&

( ) ( ) babbgaag EEIZZIZZ &&&&&&&& −=+−+ ,

( ) ( ) .bcbbgccg EEIZZIZZ &&&&&&&& −=+−+




Exemplo 5.2.3 – Para o circuito do item anterior, dados as tensões e as impedâncias:

.120000.1866500

;120000.1866500

;0000.10000.1

VjE

VjE

VjE

c

b

a

°∠=+−=

°−∠=−−=

°∠=+=

&

&

&

.964,75246,882

;018,60033,605230

;050050

;45284,282020

Ω°∠=+=

Ω°∠=+=

Ω°∠=+=

Ω°∠=+=

jZ

jZ

jZ

jZ

g

c

b

a

&

&

&

&

Calcule as correntes de linha, as tensões de fase e de linha na carga.

Respostas:

;81,7068,20

;519,152486,22

;841,34024,16

AI

AI

AI

c

b

a

°∠=

°−∠=

°−∠=

&

&

&

;828,1305,241.1

;519,1523,124.1

;159,1023,453

VV

VV

VV

c

b

a

°∠=

°−∠=

°∠=

&

&

&

;655,1454,523.1

;26,97470.1

;527,228,562.1

VV

VV

VV

ca

bc

ab

°∠=

°−∠=

°∠=

&

&

&

Problema 5.2.4 – Para o circuito do Exemplo 5.2.3, inseriu-se dois wattímetros: aW percebendo a corrente

aI& e a tensão abV& na carga e o outro, cW percebendo a corrente cI& e a tensão cbV& na carga. Calcule:

a) Calcular as leituras de aW e de cW .

( )( )

=°−°+°−××=−=

=°−−°××=−=

.743.29)81,70)18026,97((cos68,20470.1cos

;8,503.13))841,34(527,22(cos024,168,562.1cos

WIVW

WIVW

ccb

aab

IVccbc

IVaaba

&&

&&

θθ

θθ

b) Comparar a soma das leituras de aW e de cW com a soma das potências reais da carga trifásica.

+≅=×+×+×=++

=+=+

.3,246.4368,2030486,2250024,1620

;8,246.43743.298,503.13222

cacba

ca

WWWPPP

WWW

Observe que mesmo nas cargas desequilibradas, o método dos dois wattímetros continua válido para a medição da potência real de uma carga trifásica.

Problema 5.2.5 – Estabelecer as equações necessárias para determinar 1I no circuito

abaixo, sabendo-se que: As impedâncias dadas estão em Ωs;

;105

;10

;10

3

2

1

Ω+=

Ω−=

Ω=

jZ

jZ

jZ

&

&

&

.90100

;0100

VE

VE

nb

na

°∠=

°∠=&

&

Solução: Número de nós = N=4 (nós n, c, d e e); Número de equações de correntes independentes = I - 3141 =−=−= N ; Equações de corrente:

214 III &&& −= ;

325 III &&& += ;

316 III &&& += .




Número de ramos = R – 6 (ramos nae, nd , nbc, cd , ce ede); Número de equações de tensões independentes = T - 336 =−=− IR ; Equações de tensões:

( ) ( )( ) ( ) .0

;

;

21323212

313233

3211

=−+−−

−=++++

=−+

IZIIZIIZ

EIIZIIZIZ

EIZIZIZ

naan

nbnb

&&&&&&&&

&&&&&&&&&

&&&&&&&

,

Resolvendo o sistema de equações acima, obtém-se: AjI °−∠=−−= 58,15109,69,236,51& .

5.2.7 – O SISTEMA Y-Y COM CONEXO DOS NEUTROS

Sugestão: Correntes de laço (1I& , 2I& e 3I& ) onde aaII '1&& = , bbII '2

&& = e ccII '3&& = com 1I& , 2I& e 3I&

retornando pelo neutro. Dessa forma 321' IIII on&&&& ++= .

5.2.8 – O SISTEMA Y - ∆




Determinam-se, inicialmente, as correntes de laço 1I& , 2I& e 3I& . A seguir:

3

32

31

2

12

1

II

III

III

II

III

II

ca

bc

ab

c

b

a

&&

&&&

&&&

&&

&&&

&&

=

+=

+=

−=

−=

=

Problema 5.2.6 – Para o sistema Y-∆ acima, com as tensões e as impedâncias:

.120350.1170.1675

;120350.1170.1675

;0350.10350.1

VjE

VjE

VjE

c

b

a

°∠=+−=

°−∠=−−=

°∠=+=

&

&

&

;2050

;0100

;6040

Ω−=

Ω+=

Ω+=

jZ

jZ

jZ

ca

bc

ab

&

&

&

.5,09,0

;5,11,0

Ω+=

Ω+=

jZ

jZ

L

g

&

&

Calcularam-se as correntes de linha, em ampères:

a

b

c

I 70,6 20,4

I 28,5 161,7

I 51,5139,4

•

•

•

= − °

= − °

= °

.

Pede-se a potência total gerada no gerador trifásico.

.6,183)4,139120(cos5,51350.1

))7,161(120(cos5,28350.1))4,20(0(cos6,70350.1

kW

Pgerador

=°−°××

+°−−°−××+°−−°××=

Problema 5.2.7 - Para o mesmo problema anterior, usando a ligação Y equivalente, calcular as tensões e

correntes ab bc caab bc caV ,V ,V , I , I , I• • • • • •

e a potência na carga trifásica com ligação triângulo.

Calculando-se as impedâncias a b cZ , Z e Z• • •

da estrela equivalente ao ∆ do exercício anterior (Problema 5.2.6). Obtém-se:

;64,3375,27;80,2185,53

;42,4415,37;0100

;57,2203,20;31,5611,72

Ω°−∠=Ω°−∠=Ω°∠=Ω°∠=Ω°∠=Ω°∠=

cca

bbc

aab

ZZ

ZZ

ZZ




Cálculo das tensões das fases ao ponto comum (n) das cargas.

an

bn

cn

V 70,6 20,4 x20,03 22,57 1.414,12 2.17 1.413,1 j53,55V

V 28,5 161,7 x37,15 44,42 1.058,78 117,28 485,3j941,02V

V 51,5139,4 x27,75 33,64 1.429,13105,76 388,2j1.375,4V

•

•

•

= − ° ° = ° = +

= − ° ° = − ° = −

= ° − ° = ° = − +

Cálculo das tensões de linha na carga trifásica.

ab an nb

bc bn nc

ca cn na

V V V 1.414,12 2,17 1058,78 117,28 2.143 27,65 V

V V V 1.058,78 117,28 1.429,13105,76 2.318,5 92,4 V

V V V 1.429,13105,76 1.414,12 2,17 2.234,3143,7 V

• • •

• • •

• • •

= + = ° − − ° = °

= + = − ° − ° = − °

= + = ° − ° = °

Cálculo das correntes de fase na carga com ligação triângulo.

;66,2872,2931,5611,72

65,27143.2A

Z

VI

ab

abab °−∠=

°∠°∠==

&

&&

;4,9218,230100

4,925,318.2A

Z

VI

bc

bcbc °−∠=

°∠°−∠==

&

&&

.5,16549,4180,2185,53

7,1433,234.2A

Z

VI

ca

caca °∠=

°−∠°∠==

&

&&

Cálculo da potência na carga trifásica com ligação triângulo. .13,17549,415018,2910072,2940 222 kWPPPP cabcab =×+×+×=++=∆

Problema 5.2.8 - Comparar potência gerada com a potência total consumida no circuito do Problema 5.2.6. Potência gerada = 183,6 kW (Problema 5.2.6); Potência consumida no gerador = ;845,05,511,05,281,06,701,0 222 kW=×+×+×

Potência consumida na linha = ;604,75,519,05,289,06,709,0 222 kW=×+×+×

Potência consumida na carga ∆ = 175,13 kW (Problema 5.2.7); Potência total consumida = 0,845 +7,604 +175,13 = 183,6 kW = Potência gerada.

5.2.9 - EFEITOS DA SEQÜÊNCIA DE FASES A menos que seja explicitamente informado, a expressão “Seqüência de fases” refere-se à seqüência

de fases das tensões. Deve-se recordar que, em sistemas não equilibrados, as correntes de linha e de fase têm sua própria seqüência de fases que podem ou não ser, iguais à da tensão. Veja Exemplo 5.2.2. Com a alternância da seqüência de fases das tensões da alimentação, destacam-se os efeitos seguintes:

A) - Sistema equilibrado 1. É invertido o sentido de rotação de motores de indução polifásicos; 2. No método dos dois wattímetros para medição de potência real, ocorre a permuta de suas leituras; 3. Porém os módulos de correntes e tensões não são alterados.

B) - Sistema não equilibrado 1. Em geral, causará alterações nos módulos bem como nas fases de certas correntes nos ramos; 2. Porém os Watts e os VARs totais gerados permaneçam os mesmos.




Exemplo 5.2.4 – Observe o efeito da inversão da seqüência de fases da tensão de alimentação nos módulos e fases das correntes da carga conectada em Υ, indicada ao lado. a) Tensões na seqüência inversa (Exemplo 5.2.2):

;90212 VVab °∠=& ;150212 VVbc °−∠=& .30212 VVca °−∠=&

;157,3 AI ao °∠=& ;1,1256,14 AI bo °−∠=& .2,660,12 AI co °∠=&

b) Tensões na seqüência direta (Problema 5.2.3): ;90212 VVab °∠=& ;30212 VVbc °−∠=& .150212 VVca °−∠=&

;757,13 AI ao °∠=& ;2,1112,6 AI bo °−∠=& .9,995,7 AI co °−∠=&

5.2.10 – MÉTODO PARA VERIFICAÇÃO DA SEQÜÊNCIA DE FA SES DE TENSÕES Há dois métodos gerais para a verificação da seqüência de fases de tensão; um, baseado no sentido de

rotação de motores de indução; o outro, em características de circuitos polifásicos não equilibrados.

5.2.10.1 – Método do Sentido de rotação de motores de indução polifásicos Pequenos motores de indução polifásicos, que foram previamente aferidos para uma determinada

seqüência de fases conhecida, podem ser empregados para verificar a seqüência de fases de um dado sistema. O princípio de operação deste método envolve a teoria de campos magnéticos girantes.

5.2.10.2 – Uso de Características de Circuitos Polifásicos não Equilibrados

5.2.10.2.1 - Método das duas Lâmpadas

Definem-se, arbitrariamente, as fases de linha a, b, e c para o circuito ao lado.

Método: Se a lâmpada ‘a’ brilhar mais que a lâmpada ‘b’, então, a seqüência de fases é ABC (seqüência direta) e, caso contrário, é seqüência CBA (inversa).

Veja comprovação numérica no Exemplo 5.2.5.

Exemplo 5.2.5 – Com a finalidade de ilustrar o efeito da inversão da seqüência de fases sobre módulos das tensões de fase e de correntes de linha, considere o circuito ao lado, onde:

;0100 VVab °∠=& ;120100 VVbc °−∠=& .120100 VVca °∠=&

;100Ω=aoZ& ;100Ω= jZbo& ;100Ω=coZ&

Solução: Para as correntes de laço 1I& e 2I& indicadas têm-se as equações:




a 1 b 1 2 a b ba 'b '

c b 1 2 b b cc 'b '

1

2

Z I Z (I I ) V (Z Z ) Z 100 j0

100 60Z I 2 Z (I I ) V Z Z Z

100 j100 j100 I 100

j100 100 j100 100 60I

10.000 j20.000 22.360,7 63, 435

• • • • • • • •

• • • • • • • •

•

•

•

+ + = + + ⇒ = ° + + = +

+ = ⇒ + °

∆ = + = °

Resolvendo para as correntes de laço 1I& e 2I& indicadas, têm-se:

;435,48864,0646,0573,0000.525,660.1810010060100

1001001

11 AjIjj

j°−∠=−=

∆∆=⇒+=

+°∠=∆

&

&&&

;565,71231,0220,00732,025,660.325,660.360100100

1001001002

22 AjIjj

j°∠=−=

∆∆=⇒+=

°∠+

=∆&

&&&

Tensões de fase, de linha e correntes de linha:

.02,12097,99

;565,711,23

;435,484,86

2

1

VVVV

VIZV

VIZV

aococa

cco

aao

°∠=−=

°∠==

°−∠==

&&&

&&&

&&&

( ).565,71231,0

;529,146775,0

;435,48864,0

2'

21'

1'

AII

AIII

AII

cc

bb

aa

°∠==

°∠=+−=

°−∠==

&&

&&&

&&

Para Seqüência inversa têm-se: ;0100 VVab °∠=& ;120100 VVbc °∠=& .120100 VVca °−∠=&

⇒

°−∠°∠

=

++

60100

0100

100100100

100100100

2

1

I

I

jj

jj&

&

;000.20000.10 j+=∆&

Resolvendo para as correntes de laço 1I& e 2I& indicadas, têm-se:

;565,11231,00464,0227,0000.57,339.110010060100

1001001

11 AjIjj

j°∠=−=

∆∆=⇒+=

+°−∠=∆

&

&&&

;435,108864,0820,0273,03,660.133,660.1360100100

1001001002

22 AjIjj

j°−∠=−−=

∆∆=⇒−=

°−∠+

=∆&

&&&

Tensões de fase, de linha e correntes de linha:

.98,11997,99

;435,1084,86

;565,111,23

2

1

VVVV

VIZV

VIZV

aococa

cco

aao

°∠=−=

°−∠==

°∠==

&&&

&&&

&&&

( ).435,108864,0

;529,86775,0

;565,11231,0

2'

21'

1'

AII

AIII

AII

cc

bb

aa

°−∠==

°∠=+−=

°∠==

&&

&&&

&&




5.2.10.2.2 – Método do Voltímetro

Definem-se, arbitrariamente, as fases de linha a, b, e c para o circuito ao lado.

Método: Se o voltímetro V acusar uma leitura maior que a tensão de linha (LV ), então, a seqüência de fases é ABC (seqüência direta) e, caso contrário, é seqüência CBA (inversa). Resumindo:

Se LVV > ⇒ seqüência de fases direta (ABC);

Se LVV < ⇒ seqüência de fases inversa (CBA). Veja comprovação numérica no exemplos seguintes. Exemplo 5.2.6 – Seqüência direta:

ab

bc

ca

V 200 0

V 200 120

V 200 120

•

•

•

= °

= − °

= + °

caca

ca

bo bc co

V 200120I 1,366 j0,366 1.414165

100 j100Z

V V V 200 120 141,4165 273,21 150

••

•

• • •

°= = = − + = °−

= + = − ° + ° = − °

Exemplo 5.2.7 – Seqüência Inversa

ab

bc

ca

V 200 0

V 200 120

V 200 120

•

•

•

= °

= + °

= − °

caca

ca

bo bc co

V 200 120I 1,414 75

100 j100Z

V V V 200120 141,4 75 73,21150

••

•

• • •

− °= = = − °−

= + = ° + − ° = °

5.2.11 – MÉTODO DOS TRÊS WATTÍMETROS PARA MEDIDA DE POTÊNCIA TRIFÁSICA

Um wattímetro por fase, onde cada wattímetro mede a potência de cada uma das impedâncias da carga trifásica. Este método não será, em geral, usado a menos que fossem desejadas as potências de cada fase. È aplicável em circuitos onde o fator de potência varia continuamente como, por exemplo, no caso da obtenção das características de um motor síncrono.




5.2.12 – MÉTODO DOS DOIS WATTÍMETROS PARA MEDIDA DE POTÊNCIA TRIFÁSICA

Os três wattímetros ligados conforme indicado na figura acima medirão corretamente a potência consumida pela carga trifásica abc, conforme provado a seguir. Como a potência real entregue a carga

trifásica abcP corresponde à potência média num período, tem-se:

( ) dtivivivT

PT

cccobbboaaaoabc ∫ ++=0

'''

1.

A soma das potências medida pelos wattímetros é:

( )dtivivivT

PT

cccpbbbpaaapmedida ∫ ++=0

'''

1, onde:

+=

+=

+=

.

;

;

opcocp

opbobp

opaoap

vvv

vvv

vvv

Substituindo os valores de apv , bpv e cpv na integral anterior, tem-se:

medidaP = ( ) abc

T

ccbbaaopcccobbboaaao PdtiiivivivivT

=

+++++∫

=0

0

''''''

14434421 .

Observa-se que a comprovação acima foi inteiramente independente da posição física do ponto P. Dessa forma, ao ligar-se este ponto a qualquer uma das fases, o wattímetro correspondente à fase ligada ao ponto P acusará valor nulo sendo, portanto, desnecessário para a medição da potência trifásica recaindo-se, assim, no método dos dois wattímetros.




5.2.13 – EMPREGO DE N-1 WATTÍMETROS PARA MEDIR POTÊNCIA N-FILAR Uma mera extensão do item anterior.

5.2.14 – MÉTODO DE VERIFICAÇÃO PARA LEITURA POSITIV A OU NEGATIVA DO WATTÍMETROS

O mesmo critério aplicado para sistema equilibrado, desconectando-se, separadamente, as bobinas de correntes dos wattímetros. Estamos considerando aqui o caso de sistema trifásico, cargas desequilibradas, método dos dois wattímetros

5.2.15 – AMPÈRES REATIVOS EM SISTEMA TRIFÁSICO TETR AFILARES NÃO EQUILIBRADOS

Utilização de três varímetros – medidores de volt-ampères reativos:

]]] .

;

;

co

co

bo

bo

ao

ao

V

Icococ

V

Ibobob

V

Iaoaoa

senIVVAR

senIVVAR

senIVVAR

&

&

&

&

&

&

θ

θ

θ

=

=

=

Exemplo 5.2.8 – Para o circuito acima com as tensões e impedâncias indicadas obtém-se as correntes:

;0100' VEna °∠=&

;120100' VEnb °−∠=&

.120100' VEnc °∠=& .6020

;050

;4525

Ω°−∠=

Ω°∠=

Ω°∠=

co

bo

ao

Z

Z

Z

&

&

&

.1805

;1202

;450,4

Ω°∠=

Ω°−∠=

Ω°−∠=

co

bo

ao

I

I

I

&

&

&

Pedem-se as leituras dos varímetros a, b e c e a potência reativa (abcQ ) da carga trifásica, bem como,

as leituras dos wattímetros a, b e c e a potência real (abcP ) ao substituir os varímetros por wattímetros.

]]] .01,433)60(5100

;002100

;84,282454100

VArsensenIVVAR

VArsensenIVVAR

VArsensenIVVAR

co

co

bo

bo

ao

ao

V

Icococ

V

Ibobob

V

Iaoaoa

−=°−××==

=°××==

=°××==

&

&

&

&

&

&

θ

θ

θ

abcQ = ;17,150)01,433(084,282 VArVARVARVAR cba −=−++=++

]]] .250)60(cos5100cos

;2000cos2100cos

;84,28245cos4100cos

WIVW

WIVW

WIVW

co

co

bo

bo

ao

ao

V

Icococ

V

Ibobob

V

Iaoaoa

=°−××==

=°××==

=°××==

&

&

&

&

&

&

θ

θ

θ

;84,73225020084,282 WWWWP cbaabc =++=++=




5.2.16 - FATOR DE POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS NÃO EQUILIBRADOS

Num sistema polifásico não equilibrado cada fase tem seu próprio fator de potência. Assim, a média dos fatores de potência das fases individuais é uma boa indicação da relação dos watts totais para os volt-ampères totais apenas nos casos onde as cargas por fase são todas indutivas ou todas capacitivas. Tendo-se tanto cargas indutivas como capacitivas, o cálculo do valor médio não leva em consideração o efeito compensativo dos volt-ampères reativos indutivos e capacitivos deteriorando, dessa forma, seu cálculo. Será, então, usado a definição de ‘fator de potência vetorial’, dado por:

( ) ( ) ( ) 2222

cos

cos

cos

abcabc

abcvetorial

QP

P

VImódulo

VI

senVIVI

VIfp

+==

++=

∑∑

∑∑

∑ θ

θθ

θ onde:

cccbbbaaaabc IVIVIVVIP θθθθ coscoscoscos ++==∑ ;

cccbbbaaaabc senIVsenIVsenIVsenVIQ θθθθ ++==∑ .

Os subíndices empregados nas equações acima, referem-se a valores individuais por fase. Por exemplo, aθ é

a defasagem entre a tensão e a corrente da fase a do sistema.

Exemplo 5.2.9 – Comparar o fator de potência médio com o fator de potência vetorial do Exemplo 5.2.8.

a) Fator de potência médio

.7357,03

5,01707,0

).(5,0)60(cos

);(10cos

);(707,045cos

=++=

=°−==°=

=°=

médio

c

b

a

fp

capacitivofp

resistivofp

indutivofp

b) Fator de potência vetorial

( ).9796,0

07,748

84,732

17,15084,732

84,7322222

==−+

=+

=abcabc

abcvetorial

QP

Pfp

5.2.17 – MEDIDA DE ∑ θsenIV NUM CIRCUITO TRIFÁSICO TRIFILAR

Será utilizado dois Varímetros (medidores de volt-ampères reativos) com ligação idêntica à da ligação dos instrumentos no método dos dois Wattímetros. Será mostrado a seguir que, quando conectados deste modo, a soma algébrica das duas leituras dos medidores de volt-ampères reativos é igual à potência reativa do circuito trifásico,

cccbbbaaaabc senIVsenIVsenIVsenVIQ θθθθ ++==∑ .

Os varímetros conectados conforme a figura ao lado, indicam as leituras:

]] .

;

'

'

'

'

cb

cc

ab

aa

V

Icccbc

V

Iaaaba

senIVVAR

senIVVAR&

&

&

&

θ

θ

=

=




Com a finalidade de análise, as leituras acima serão expressas em função das componentes complexas das tensões e correntes. Sabe-se que:

'.

;'

jiiI

jvvV

+=+=

&

&

Dessa forma,

] ( )( ) ( ) ( ) ( ) '.'coscos

coscos)(

ivivsenIVIsenV

sensenVIsenVIsenVI

IVIV

VIIVIVVI

−=−=−=−=

θθθθθθθθθθθ &

&

Do circuito com os dois varímetros nota-se que:

.;; '' bococbboaoabcoccaoaa VVVeVVVIIII &&&&&&&&&& −=−===

Têm-se, então, para as medições dos varímetros A e C:

]( ) ( ) ( ).''''''

')()''(''''

ababaababaaaa

abaabaaabaabV

Iaaaba

ivivQiviviviv

ivvivvivivsenIVVAR ab

aa

−−=−−−

=−−−=−==&

&θ

]( ) ( ) ( ).''''''

')()''(''''

cbcbccbcbcccc

cbccbcccbccbVIcccbc

ivivQiviviviv

ivvivvivivsenIVVAR cb

cc

−−=−−−

=−−−=−==&

&θ

Lembrando-se que ( )bca III &&& −=+ )( , têm-se para a soma algébrica das medições de aVAR e cVAR :

( ) ( )( )( ) .''

''()('

''''

cbacbbbba

ccabcaba

cbcbcababaca

QQQQivivQ

QiiviivQ

ivivQivivQVARVAR

++=+−+=++−+−

=−−+−−=+

Note que não foi imposta nenhuma condição quanto ao equilíbrio de tensões e correntes no desenvolvimento acima viabilizando, assim, o método dos dois varímetros para a medição de potência reativa em sistema trifásico trifilar.

Exemplo 5.2.10 - Seja o sistema trifásico trifilar, não equilibrado, na seqüência ab–bc–ca , com carga em ∆ e com os valores de tensões de linha e impedâncias de fase informadas, calculam-se as correntes:

°−∠=

°−∠=

°∠=

2254,141

1354,141

0200

ca

bc

ab

V

V

V

&

&

&

°∠=

°∠=

°∠=

9010

18010

6020

ca

bc

ab

I

I

I

&

&

&

°∠=

°∠=

°−∠=

4514,14

4514,14

6010

ca

bc

ab

Z

Z

Z

&

&

&

°∠=

°−∠=

°∠=

4514,14

1,13945,26

2,364,12

c

b

a

I

I

I

&

&

&

Determine as leituras dos pares de Varímetros.




=°××=−=°−××=

VArsenVAR

VArsenVAR

b

a

4,2671,445,264,141

7,732.1)2,81(4,124,141 ⇒

;3,465.1 VARVARVAR ba −=+

=°××=−=°−××=

VArsenVAR

VArsenVAR

c

a

0014,144,141

7,464.1)2,36(4,12200 ⇒

;7,464.1 VARVARVAR ca −=+

=°××=−=°−××=

VArsenVAR

VArsenVAR

c

b

4,999.19014,144,141

6,463.3)9,40(45,26200 ⇒

;2,464.1 VARVARVAR cb −=+

Problema 5.2.9 – Determinar o fator de potência vetorial para o circuito do Exemplo 5.2.10.

=++= cabcababc PPPP 200 x 20 x cos (-60°) + 141,4 x 10 x cos 45° + 141,4 x 10 x cos45° =

2.000 + 999,8 + 999,8 = 3.999,7 W.

.939,03,259.4

7,999.3

)2,464.1(7,999.3

7,999.322

==−+

=vetorialfp

f.p. media = ?3

=++

Para o mesmo circuito, determine as medidas de potências reais:

=°××==°−××=

;5,3730)1,4(cos45,264,141

;2,268)2,81(cos4,124,141

WW

WW

b

a ⇒ .7,998.3 WPabc =

=°××==°−××=

;4,999.1)0(cos14,144,141

;3,001.2)2,36(cos4,120,200

WW

WW

c

a ⇒ .7,000.4 WPabc =

=°××==°−××=

;0)90(cos14,144,141

;5,998.3)9,40(cos45,260,200

WW

WW

c

b ⇒ .5,998.3 WPabc =

Exemplo 5.2.11 - Para a figura ao lado, sabendo-se que as tensões '''''' ,, accbba VVV &&& são trifásicas

equilibradas, seqüência inversa, onde VV cb °∠= 120200''

& e que

1 CV=735 watts, pede-se:

a) As tensões ,,, cabcab VVV &&& '''''' ,, ncnbna VVV &&& na seqüência inversa

°−∠=

°∠=

°∠=

.120200

;120200

;0200

VV

VV

VV

ca

bc

ab

&

&

&

°−∠=

°∠=

°∠=

VV

VV

VV

nc

nb

na

903

200

1503

200

303

200

''

''

''

&

&

&




b) As correntes ccbbaaabcnbnan IeIIIIII ''' ,,,,, &&&&&&&

Para um motor elétrico tem-se: .4,444.581,0

7356W

PP M

E =×==µ

cnbnanLLLE IIAIAIIVP ===⇒=××

=⇒= 71,1871,1884,02003

4,444.5cos3 θ ;

f.p.=0,84 ⇒ φ =arccos(0,84)=32,86° indutivo;

.57,4557,28

;57,45)57,45(0)(

;57,45)7,0(cos

;57,257,0200

000.4cos

;86,2)86,3230()(

AI

capacitivoarc

AIIVP

ab

abVI

abababab

anVanI

ab

°∠=

°=°−−°=−=°−==

=×

=⇒=

°−=°−°=−=

&

&&

&&

θθθθ

θ

φθθ

⇒

.86,12271,18

;51,17277,28

;71,2631,43

;86,12271,18

;14,11771,18

;86,271,18

'

'

'

AII

AIII

AIII

AI

AI

AI

cncc

abbnbb

anabaa

cn

bn

an

−∠==

−∠=−=

∠=+=

°−∠=

°∠=

°−∠=

&&

&&&

&&&

&

&

&

c) As leituras de aW e cW . À partir destes valores determine o valor de abcP , potência total das cargas.

.4,444.94,444.5000.4

;67,444.9

;97,706.1)86,122(60(cos71,18200cos

;70,737.7)71,260(cos31,43200cos

arg

2'''

1'''

WP

WWWP

WIVW

WIVW

asc

caabc

ccbcc

aabaa

=+==+=

=°−−°−××===°−°××==

θθ

d) As leituras de aVAR e cVAR se substituirmos os wattímetros A e C por varímetros. Calcule o valor de

abcQ à partir dos valores de aVAR e cVAR . Compare o valor de abcQ com a potência reativa das cargas.

;36,563

;98,329.3)86,62(71,18200

;35,893.3)71,26(31,43200

VArVARVARQ

VArsenVAR

VArsenVAR

caabc

c

a

−=+==°××=

−=°−××=

;39,080.4)57,45(

;75,516.3)86,32(

VArtgPQ

VArtgPQ

abab

MM

−=°−==°=

.64,56339,080.475,516.3arg abcasc QVarQ ≅−=−=

5.2.18 – RELAÇÕES ESTABELECIDAS A PARTIR DOS MÓDULOS DE TENSÕES E CORRENTES DETERMINADOS EXPERIMENTALMENTE

Relações de fase em sistemas polifásicos não equilibrados podem, em alguns casos, serem determinados por leituras em amperímetros e voltímetros. Em geral, para se obter uma solução única necessita-se de um conhecimento prévio da seqüência de fases das correntes ou das tensões e, para determinar-se as fases do sistema é necessário conhecer a fase de um deles.




a) Tensões entre linhas trifásicas Neste caso deve-se atender à equação:

.0=++ cabcab VVV &&&

Sabe-se que uma construção geométrica equivalente a esta equação vetorial é um triângulo cujos lados tenham as dimensões dos módulos dos vetores da equação conforme mostrado na figura ao lado para as seqüências direta e inversa. Definido o triângulo pode-se facilmente determinar os ângulos α e β através da lei dos cossenos, por exemplo, para o ângulo α, esta lei diz que: “o quadrado do lado oposto ao ângulo definido é igual à soma dos quadrados dos lados que formam o ângulo α, subtaindo-se o produto destes lados e do cosseno do ângulo que o define”, ou melhor:

.cos2222 αbcabbcabca VVVVV −+= De forma similar para o ângulo β têm-se:

.cos2222 βcaabcaabbc VVVVV −+=

Nas equações acima, conhecendo-se os valores de abV ,

bcV e caV calculam-se os valores numéricos de α e de

β. A seguir, considerando abV na referência, têm-se as tensões:

na seqüência direta:

( )( ) .180

;180

;0

°−∠=

°−−∠=

°∠=

βα

caca

bcbc

abab

VV

VV

VV

&

&

&

na seqüência inversa:

( )( ) .180

;180

;0

°−−∠=

°−∠=

°∠=

βα

caca

bcbc

abab

VV

VV

VV

&

&

&

Problema 5.2.10 – Dado as tensões entre linhas de um sistema trifásico, seqüência ab, ca, bc, determinar os valores vetoriais para tensões tendo como referência a tensão abV .

.5,155

;8,120

;160

VV

VV

VV

ca

bc

ab

===

Lei dos cossenos para o ângulo α :

.53,65

41421,0656.38

39,012.16

8,1201602

5,1551608,120cos

222

°=

⇒==××

−+=

α

α

Lei dos cossenos para o ângulo β :

.45

70715,0760.49

61,187.35

5,1551602

8,1205,155160cos

222

°=

⇒==××

−+=

β

β




Expressões vetoriais para as tensões:

.1355,155)180(5,155

;47,1148,120)180(8,120

;160160

VV

VV

VV

ca

bc

ab

°−∠=−°−∠=

°∠=−°∠=

°∠=

βα

&

&

&

b) As seis tensões de uma carga trifásica (ou gerador) conectada em estrêla

Neste caso, além de atender à equação 0=++ cabcab VVV &&& já discutido no item (a) é necessário

satisfazer, também, as equações:

.

;

;

aococa

cobobc

boaoab

VVV

VVV

VVV

&&&

&&&

&&&

−=

−=

−=

Após a montagem do triângulo ABC com as tensões entre linhas, determina-se o ponto O, cruzamento dos arcos aoV ,

boV e coV que se iniciam, respectivamente, na origem dos

vetores abV& , bcV& e caV& . Com procedimento similar ao item

anterior (a) determinam-se, por exemplo, os ângulos α, β e δ e, a seguir, obtêm-se as tensões fasoriais:

( )( )( ) .180

;

;

°−°−∠=

°−∠=

°∠=

δθ

βθα

bc

bc

Vcoco

Vbobo

aoao

VV

VV

VV

&

&

&

&

&

c) As seis correntes de uma carga trifásica (ou gerador) conectada em triângulo

Neste caso, além de atender à equação 0=++ cba III &&& é necessário satisfazer, também, as

equações:

.

;

;

abbcb

bccac

caaba

III

III

III

&&&

&&&

&&&

−=

−=

−=

No caso da equação 0=++ cba III &&& faça de modo

similar ao item (a), anteriormente, com a ressalva de que na montagem do triângulo correspondente o vetor

ccI '& deve seguir ao vetor aaI '

& , conforme mostrado na

figura ao lado. Após a montagem do triângulo com as correntes de linha, montam-se os triângulos correspondentes as composições das correntes de linha pelas correntes de fase. Com procedimento similar aos itens anteriores (a) e (b) determinam-se, por exemplo, os ângulos α, β, ρ, δ e γ, a seguir, obtêm-se as correntes fasoriais:




( )( );180

;180

;0

αβ

−°∠=

°−°−∠=

°∠=

cc

bb

aa

II

II

II

&

&

&

( )( ) .180

;

;

'

°−°−∠=

°−∠=

°−∠=

γ

δθδ

caab

Ibcbc

abab

II

II

II

bb

&

&

&

&

Observe que os ângulos das tensões fasoriais foram estabelecidos em função de uma referência arbitrada, no caso, abV& na referência. Caso isto não seja a sua realidade basta efetuar uma rotação no diagrama fasorial o

que corresponde a adicionar ou subtrair todos os ângulos de um determinado θ∆ . Isto é válido tanto para o diagrama das tensões como das correntes. Por outro lado, para um correto casamento dos fasores de tensão e de corrente é necessário conhecer o real defasamento de uma tensão e de uma corrente correspondente e, dessa forma, ajustando as demais correntes por um defasamento apropriado.

Exemplo 5.2.12 – Para uma carga conectada em ∆, seqüência de fases da tensão é direta, tendo como referência a tensão abV , abZ& é indutivo com a relação 1=RX e têm-se as informações de medições:

;200 voltsVab =

;4,141 voltsVbc =

.4,141 voltsVca =

;8,15' ampèresI aa =

;07,7' ampèresI bb =

.14,14' ampèresI cc =

;07,7 ampèresI ab =

;10 ampèresI bc =

.10 ampèresI ca =

determine os valores complexos para todas tensões e correntes. Respostas:

;0200 VVab °∠=&

;1354,141 VVbc °−∠=&

;1354,141 VVca °∠=&

;5,188,15' AI aa °−∠=&

;13507,7' AI bb °−∠=&

;13514,14' AI cc °∠=&

;4507,7 AI ab °−∠=&

;9010 AI bc °−∠=&

;18010 AI ca °∠=&




REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. KERCHNER, R. M.; CORCORAN, G. F. Circuitos de Corrente Alternada. Tradução de Reynaldo Resende e Ruy Pinto da Silva Sieczkowski. Porto Alegre: Globo, 1968. 644 p. (Tradução de: Alternating Current Circuits. 4. ed. John Wiley & Sons). cap. 9, p. 354-410.

2. BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Tradução: José Lucimar do Nascimento; revisão técnica: Antonio Pertence Junior. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004. 828 p. 3. reimpressão, fev. 2008. Tradução de Introductory circuit analysis, tenth edition. cap. 22, p. 663-686.

3. IRWIN, J. D. Análise de Circuitos em Engenharia. Tradução: Luis Antônio Aguirre, Janete Furtado Ribeiro Aguirre; revisão técnica: Antônio Pertence Júnior. 4. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. 848 p. Tradução de: Basic Engineering Circuit Analysis – 4 th edition. cap 12. p. 475-549.

4. NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. Tradução: Ronaldo Sérgio Biasi. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 656 p. Tradução de Electric circuits, revised printing, 6th edition. cap 11. p. 365-391.

5. ROBBA, E. J. et al. Introdução a sistemas elétricos de Potência - componentes simétricas. 2. ed. rev. e ampl. São Paulo: Blucher, 2000. 467 p. 2. reimpressão, 2007. cap 1. p. 1-105.

6. JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. Tradução: Onofre de Andrade Martins, Marco Antonio Moreira de Santis. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994. 539 p. Reimpressão 2000. Tradução de Basic electric circuit analysis, John Wiley & Sons, 1990. cap 13. p. 319-343.

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Unid 5.2 Circuitos Trifasicos Desequilibrados