Sistemas Elétricos de Potência Cap1 Circuitos Trifasicos D Caselato

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Exercícios Introdutórios a Sistemas Elétricos de Potência

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AGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOSAGRADECIMENTOS

O autor agradece a todos os seus alunos que de forma indireta o motivaram para realização deste livro.

Agradece também a todos os amigos professores da Escola de Engenharia Mauá que incentivaram a realização desta obra.

Agradece de todo o coração a sua filha Lygia Caselato que com muito empenho e carinho fez a revisão gramatical do presente livro.

Agradece igualmente a sua filha Sandra Caselato que preparou a capa do presente livro.

Finalmente, agradece à sua esposa pela compreensão e paciência durante os anos em que este livro foi elaborado.

Circuitos Trifásicos

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SUMÁRIO

SOBRE O AUTOR PRIMEIRO PREFÁCIO SEGUNDO PREFÁCIO 1 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Extrato da Teoria 1 1.1 Introdução 1 1.2 Operador α 1 1.3 Seqüência positiva (direta) 1 1.4 Seqüência negativa (inversa) 2 1.5 Relação entre corrente de linha e corrente de ramo na ligação em triângulo 2 1.6 Potência complexa 2 1.7 Equivalência entre carga ligada em triângulo e carga ligada em estrela 3 1.8 Modelos para representação de cargas 3 1.9 Matriz de impedância de uma linha trifásica a 4 fios com indutâncias mútuas 4 Exercícios resolvidos 5 Exercícios Propostos 22 Bibliografia 34 2 VALORES PERCENTUAIS E POR-UNIDADE Extrato da Teoria 35 2.1 Definições 35 2.2 Representação de transformadores em valores por-unidade 36 2.3 Representação de transformadores com três enrolamentos em valores por-

unidade 37

2.4 Representação de banco de transformadores monofásicos em valores por-unidade

39

2.5 Representação de máquinas rotativas em valores por-unidade 40 2.6 Representação de linha de transmissão 40 2.6.1 Linha curta 40 2.6.2 Linha média 40 2.6.3 Linha longa 41 2.7 Mudança de bases 41 2.8 Representação de transformadores quando há choques de bases 42 Exercícios resolvidos 43 Exercícios propostos 56 Bibliografia 61 3 COMPONENTES SIMÉTRICAS 62 Extrato da Teoria 62 3.1 Operador α 62 3.2 Seqüência positiva (direta) 62 3.3 Seqüência negativa (indireta ou inversa) 62 3.4 Seqüência nula (zero ou homopolar) 63 3.5 Matriz de transformação de componentes simétricas para componentes de

fases 63

3.6 Sistemas trifásicos a três fios – ligação estrela (Y) 64 3.7 Sistemas trifásicos a três fios – ligação triângulo (delta) 66 3.8 Carga em estrela com neutro não-aterrado 67 3.9 Carga em estrela com neutro aterrado 68 3.10 Circuitos trifásicos com indutâncias para redes equilibradas 68 3.11 Potência complexa em componentes simétricas 69 3.12 Representação de carga do tipo Z = R + j X 70 3.121 Carga ligada em estrela com neutro aterrado 70 3.12.2 Carga ligada em triângulo 71 3.12.3 Carga em estrela com neutro aterrado através de impedância Zn 71 3.13 Gerador com neutro aterrado através de Zn 71 3.14 Transformador trifásico com dois enrolamentos 71 3.15 Transformador trifásico com três enrolamentos 74 Exercícios Resolvidos 75 Exercícios Propostos 93 Bibliografia 98 4 CURTOS-CIRCUITOS E ABERTURAS DE FASES Extrato da Teoria 99 4.1 Geradores equivalentes de Thévenin 99 4.2 Curto-circuito trifásico 100 4.3 Curto-circuito bifásico sem contato com a terra 100 4.4 Curto-circuito bifásico com contato com a terra 101 4.5 Curto-circuito monofásico com a terra 102 4.6 Abertura de uma fase 103 4.7 Abertura bipolar – abertura de duas fases 105 Exercícios resolvidos 105 Exercícios Propostos 123 Bibliografia 129


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5 MATRIZES ADMITÂNCIAS E IMPEDÂNCIAS DE BARRAS Extrato da Teoria 130 5.1 Equivalência de Fontes 130 5.2 Matriz de Impedâncias Primitiva da Rede 130 5.3 Construção da Matriz Admitância de Barras 132 5.3.1 Rede sem impedâncias mútuas 132 5.3.2 Rede com impedâncias mútuas 133 5.4 Eliminação de Barras da Matriz Ybarra por Álgebra Matricial 133 5.5 Matriz Impedância de Barras 133 5.6 Método para Obtenção da Matriz Impedância de Barras 134 5.7 Rede Equivalente da Matriz Impedância de Barra 136 Exercícios resolvidos 137 Exercícios Propostos 153 Bibliografia 161 Respostas Capítulo 1 163 Capítulo 2 169 Capítulo 3 172 Capítulo 4 178 Capítulo 5 180 Apêndice 191


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SOBRE O AUTORSOBRE O AUTORSOBRE O AUTORSOBRE O AUTOR

Djalma Caselato é engenheiro eletricista, com ênfase em eletrotécnica, formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, com Mestrado e Doutorado em Engenharia na área de Sistema de Potência pela Escola Politécnica da USP.

Desde sua formatura, em 1968, tem trabalhado na área de elaboração de projetos de usinas hidrelétricas e de subestações, com atuação específica na área de equipamentos elétricos de grande porte (gerador, barramento de fases isoladas, transformadores, disjuntores, seccionadoras, sistemas de excitação e reguladores de tensão). Atividade profissional internacional, nas áreas indicadas, com trabalhos desenvolvidos na Suíça, França, Alemanha, Tchecoslováquia, África do Sul, República Democrática do Congo, Angola e Moçambique.

Foi pesquisador junto ao Departamento de Energia e Automação Elétricas da Escola Politécnica da USP.

Como atividade didática exerceu a função de Professor Adjunto do Departamento Elétrico da Universidade de Mogi das Cruzes, de março de 1984 a janeiro de 1994, e desde maio de 1994 é responsável pelas disciplinas Sistemas de Potência I e II, Laboratório de Sistemas de Potência I e II, Subestações Elétricas e Usinas Hidrelétricas na Escola de Engenharia Mauá para o curso de engenharia eletrotécnica.

O autor possui artigos publicados no Brasil e no exterior sobre projeto elétrico de subestação, sobre modernização e reabilitação de usinas hidrelétricas, sobre eficiência e limites operacionais de turbinas com velocidade ajustável em sistema de conexão unitária, sobre novo modelo de gestão de qualidade para o setor energético, sobre método para cálculo do GD2 de hidrogeradores e sobre aspectos técnicos no pré-dimensionamento de grandes hidrogeradores.


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PRIMEIRO PREFÁCIOPRIMEIRO PREFÁCIOPRIMEIRO PREFÁCIOPRIMEIRO PREFÁCIO

Este livro nasceu da necessidade de desenvolvimento de elaboração de exercícios para a disciplina sistemas elétricos de potência do curso de engenharia elétrica, opção eletrotécnica, da Escola de Engenharia Mauá. Uma idéia inicialmente mais tímida deu lugar à elaboração deste livro mais consistente.

O livro trata de soluções de exercícios padrão e de exercícios extraídos da realidade profissional do autor. A motivação principal para a elaboração deste livro, uma vez que o assunto não é inédito, é a escassez de livros contendo exercícios sobre o assunto. Existe uma infinidade de livros com abordagem teórica e vários níveis de profundidade, porém com uma gama de exercícios pouco extensa. Espera-se que este livro venha a colaborar com a formação de engenheiros eletrotécnicos e a reciclagem dos profissionais atuantes no mercado de trabalho.

Dividido em cinco capítulos, o livro trata de circuitos elétricos trifásicos desequilibrados como uma introdução ao estudo de sistemas elétricos de potência e com um reforço muito grande na aplicação das leis de Kircchoff, através de exercícios padrão de circuitos que normalmente se encontram na prática industrial. Em seguida, aborda os valores por-unidade e valores percentuais. Posteriormente, trata de componentes simétricas da forma mais comumente utilizada no Brasil. Até aqui, está toda a fundamentação necessária para o cálculo de curtos-circuitos e abertura de fases. Para finalizar, o livro introduz matrizes de impedância e admitância nodal, como preparação para o leitor galgar níveis mais altos em seus estudos de sistemas elétricos de potência.

A competência técnica e intelectual do Prof. Dr. Engº Djalma Caselato fica claramente registrada nesta coletânea de exercícios, que possibilitará aos leitores fixar ou relembrar os conceitos da teoria dos Sistemas Elétricos de Potência através de questões práticas, com aplicação no cotidiano do engenheiro eletricista.

Há de se destacar que somente um profissional com muita experiência prática, que atuou nos projetos mais importantes do Brasil, no segmento da Energia Elétrica, com formação acadêmica sólida e muita dedicação à profissão e ao compartilhamento do conhecimento poderia fazer esse livro.

José Ayres de Campos

Diretor de Gestão e Engenharia da Construções e Comércio Camargo Correa S.A.

Presidente da CNEC Engenharia S.A.


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SEGUNDO SEGUNDO SEGUNDO SEGUNDO PREFÁCIOPREFÁCIOPREFÁCIOPREFÁCIO

A tecnologia moderna é capaz de realizar a produção sem emprego. O diabo é que a economia moderna não consegue inventar o consumo sem salário.

Herbert de Souza

Este livro, concebido para auxiliar os alunos da disciplina sistemas elétricos de potência, é um livro de exercícios no qual não serão desenvolvidos os formulários e justificativas teóricas dos conceitos desta disciplina. O livro se apresenta, portanto, como um suplemento básico aos textos de sistemas elétricos de potência.

Assim, a compreensão do assunto abordado tem como pré-requisito o conhecimento da teoria de máquinas elétricas, das soluções de circuitos elétricos e a manipulação de matrizes.

Embora sejam abordados assuntos introdutórios aos sistemas elétricos de potência, muitos exercícios foram concebidos a partir da prática em projetos elétricos reais, o que contribui para estimular o estudante a adentrar neste campo imenso que é o domínio dos sistemas elétricos de potência.

O primeiro capítulo aborda soluções de circuitos elétricos trifásicos na condição de sistemas desequilibrados, seja a fonte e/ou a carga o elemento de desequilíbrio. Estuda os diversos tipos de cargas existentes e o seu comportamento.

O segundo capítulo aborda um ferramental necessário para o desenvolvimento das soluções de problemas de sistemas elétricos de potência em valores por-unidade. Trata-se de uma sistemática usual, na qual todas as características elétricas dos equipamentos, como potência, tensões, reatâncias, resistências e outras são apresentadas em valores relativos a uma determinada base, normalmente a potência e a tensão nominais do equipamento, apresentadas nos dados de placas e nas especificações técnicas dos equipamentos. São inúmeras as vantagens de resolver problemas de sistemas de potência aplicando esta sistemática de valores por-unidade, como se verá no segundo capítulo.

O terceiro capítulo trata de desenvolver e solucionar exercícios pela metodologia de componentes simétrica, principalmente aplicada para casos de defeitos em redes elétricas.

O quarto capítulo aborda as soluções de exercícios englobando a maioria dos defeitos elétricos (curtos-circuitos e aberturas de fases) que acontecem em uma rede elétrica. Neste capítulo, em particular, são apresentados alguns exercícios extraídos de sistemas reais.

O quinto capítulo aborda a metodologia de análise dos nós, desenvolvendo o cálculo e montagem da matriz admitância de nós ou de barras. A partir desta, calcula-se a matriz impedância de barras. Desenvolve, também, a montagem direta da matriz de impedância de barras.

Alguns exercícios são resolvidos e outros apenas propostos, para permitir ao estudante um desenvolvimento pessoal no conhecimento do assunto de introdução à análise de sistemas de potência.

Djalma Caselato


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1 1 1 1 CIRCUITOS TRIFÁSICOSCIRCUITOS TRIFÁSICOSCIRCUITOS TRIFÁSICOSCIRCUITOS TRIFÁSICOS

Extrato da Teoria

1.1 Introdução

A grande maioria dos sistemas elétricos de potência é trifásica e, também, a maioria das cargas é trifásica e equilibrada; entretanto, quando as cargas são monofásicas, elas sempre criam um desequilíbrio no sistema. Daí a necessidade de se desenvolver o conhecimento de soluções de circuitos trifásicos e desequilibrados.

1.2 Operador αααα

α = 1 /120º = - 0,5 + 23

j (1.1)

α2 = 1 /240 = 1 /-120 = - 0,5 - 23

j (1.2)

1 + α + α2 = 0 (1.3)

1.3 Seqüência positiva (direta)

Van 1

[ Van ] = Vbn = | Van | α2 (1.4)

Vcn α

A figura 1.1 – a) representa o diagrama fasorial para a seqüência positiva.

A relação entre tensões de fase e de linha para a seqüência positiva (direta) se expressa pela equação matricial (1.5) a seguir:

Vab 1

Vbc = 3 |Van | /30º α2 (1.5)

Vca α


10

1.4 Seqüência negativa (inversa)

Van 1

[ Van ] = Vbn = |Van | α (1.6)

Vcn α2

A figura 1.1 – b) representa o diagrama fasorial para a seqüência negativa.

A relação entre tensões de fase e de linha para a seqüência negativa (inversa) se expressa pela equação matricial (1.7) a seguir:

Vab 1

[Vab ] = Vbc = 3 |Van | / - 30º α (1.7)

Vca α2

1.5 Relação entre corrente de linha e corrente de ramo na ligação em triângulo

Ia 1

[Ia ] = Ib = 3 | Iab | /-30º α2 (1.8)

Ic α

1.6 Potência complexa

S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn . Ic* (1.9)

Sendo Ia* o conjugado da corrente Ia, Ib* de Ib e Ic* de Ic.

Para sistema simétrico e equilibrado a potência aparente vale:

S = 3 |Vab| . |Ia| , (1.10)

sendo o valor do fator de potência igual ao co-seno do ângulo formado entre a corrente de linha Ia e a tensão de fase correspondente Van; ou seja, o ângulo é a diferença entre os argumentos de Van e Ia.


11

1.7 Equivalência entre carga ligada em triângulo e carga ligada em estrela

A expressão matricial que converte uma ligação em triângulo numa ligação em estrela é a (1.11):

Za Zca 0 0 Zab

Zb

=

++ caZacZabZ1

0

Zab

0

Zbc

(1.11)

Zc 0 0 Zbc Zca

A expressão matricial que converte uma ligação em estrela numa ligação em triângulo é a (1.12):

Zab Zb 0 0 Za

Zbc

=

++

cba ZZZ111

0

Zc

0

Zb

(1.12)

Zca 0 0 Za Zc

1.8 Modelos para representação de cargas

Pc = F (V) potência ativa em função da tensão

Qc = F (V) potência reativa em função da tensão

a) Carga de corrente constante com variação de tensão

2

2

1

1

V

S

V

S= (1.13)


12

b) Carga de potência constante com variação de tensão

S = P + j Q as potências ativa e reativa permanecem iguais com a variação de tensão

c) Carga de Impedância constante com variação de tensão

XjRS

VZc +==

2

(1.14)

22

22

1

1

V

S

V

S= (1.15)

1.9 Matriz de impedâncias de uma linha trifásica a 4 fios com indutâncias mútuas

A figura 1.4 indica um trecho de linha de transmissão trifásica a 4 fios com indutâncias mútuas, cujas características indicadas na figura são assim definidas:

Ra, Rb, Rc Resistência ôhmica dos condutores de linha;

La , Lb , Lc Indutância própria dos condutores de linha;

Mab , Mbc , Mca Indutância mútua entre os condutores de linha;

Rg Resistência ôhmica do condutor de retorno;

Lg Indutância própria do condutor de retorno;

Mag , Mbg , Mcg Indutância mútua entre o condutor de retorno e os condutores de linha.

Aplicando a 2ª lei de Kirchhoff, e escrevendo as equações em forma matricial, resulta:

Vaa’ Ra + j ωLa j ω(Mab – Mag) J ω(Mac – Mag) Ia

Vbb’ = j ω(Mab – Mbg) Rb + j ωLb J ω(Mbc – Mbg) Ib (1.16)

Vcc’ j ω(Mac – Mcg) j ω(Mbc – Mcg) Rc + j ωLc Ic

Resulta ainda:

Vn’n = (Ia + Ib + Ic) (Rg + jωLg) – jωMag.Ia – jωMbg.Ib – jωMcg.Ic (1.17)

Vn’n = [Rg + jω (Lg - Mag.)] Ia + [Rg + jω (Lg – Mbg.)] Ib + [Rg + jω (Lg – Mcg.)] Ic (1.18)

Para linhas de transmissão com transposição completa, resultam:

Ra = Rb = Rc = R

La = Lb = Lc = L

Mab = Mbc = Mca = M (1.19)

Mag = Mbg = Mcg = M’

Ra + j ωLa = Rb + j ωLb = Rc + j ωLc = R + j ωL impedância própria

Zp = R + Rg + + j ω (L + Lg – 2 M’) (1.20)


13

Zm = Rg + jω (Lg + M – 2.M’ ) = impedância mútua

Portanto,

A matriz impedância que multiplica a matriz coluna de correntes chama-se matriz de impedâncias da rede e representa-se por Zrede.

Exercícios resolvidos

1.1 Um sistema trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta alimenta uma carga com Vcn = 380 /35º V. Pede-se: a) As tensões de fase da carga; b) As tensões de linha da carga; c) Desenhar o diagrama fasorial.

Solução:

Por ser um sistema simétrico: |Vcn| = |Van| = |Vbn| = 380 V

a) Cálculo das tensões de fase da carga:

Por ser trifásico e com seqüência direta, e utilizando a expressão matricial (1.4), tem-se:

Vcn 1 380 /35º

[Vcn] = Van = 380 /35º α2 = 380 /-85º volts

Vbn α 380 /155º

b) Cálculo das tensões de linha da carga:

Utilizando a expressão matricial (1.5), as tensões de linha da carga são:

Vca 1 658,179 /75º

Vab = √3 x 380 /35 + 30º α2 = 658,179 /-45º

Vbc α 658,179 /195º

c) O diagrama fasorial da figura 1.5 mostra as tensões de linha da carga para a seqüência positiva:

1.2 Resolver o exercício anterior admitindo seqüência inversa.

Van – Va’n’ Zp Zm Zm Ia

Vbn – Vb’n’ = Zm Zp Zm Ib (1.21)

Vcn – Vc’n’ Zm Zm Zp Ic


14

Solução:

a) Cálculo das tensões de fase da carga:

Por ser trifásico e com seqüência inversa ou negativa, e utilizando a expressão matricial (1.6), tem-se:

Vcn 1 380 /35º

[Vcn] = Vbn = 380 /35º α2 = 380 /-85º volts

Van α 380 /155º

b) Cálculo das tensões de linha da carga:

Utilizando a expressão matricial (1.7), as tensões de linha da carga são:

Vab 1 658,179 /125º

Vbc = √3 x 380 /155-30º α = 658,179 /245 volts

Vca α2 658,179 /5º

c) O diagrama fasorial da figura 1.6 mostra as tensões de linha da carga, para a seqüência negativa:

1.3 Resolver o circuito trifásico da figura 1.7. Calcular: a) A corrente de carga; b) A potência consumida pela carga.

Os valores dos parâmetros são: ZL = 0,5 + j ohms; Z = 10 + j 6; E = 127 V.

Solução:

Como o circuito está totalmente equilibrado, pode-se resolvê-lo como se tivesse uma única fase, ou seja, interligando os pontos N e N’ por um fio de impedância nula, conforme mostrado na figura 1.8.


15

a) Cálculo da corrente da carga:

=+∠

=+

∠=

jZZL

EIa

75,10

01270 10,064 / -33,69º A

b) Cálculo da potência consumida pela fonte:

Cálculo da potência (ver equação (1.10)): A defasagem angular entre a tensão de fase e a corrente é de 33,69°.

S = °∠=°∠××= 69,33899,383469,33064,102203||.||3 IV VA

ou ainda, pela equação (1.9):

S = 127 / 0º x 10,064 / 33,69º + 127 / - 120° x 10,064 / 153,69º + 127 /120° x 10,064 / -86,31°

S = 3834,899 /33,69º VA

1.4 No circuito da figura 1.9, os valores das impedâncias são:

ZL = 0,2 + j 0,6 Ω Zn = 5 Ω (retorno) Za = 5 + 3 j Ω Zb = 5 + 8 j Ω Zc = 3 + 12 j

A fonte é simétrica e equilibrada com o valor de tensão Van = 127 /0° V.

Calcular: a) Os valores das correntes das fases; b) O valor da potência consumida da carga.

Solução:

a) Cálculo das correntes das fases:

Seja a equação matricial:

[ Van ] = [ Z ] . [ Ia ] + Zn . In

Van ZL + Za 0 0 Ia

Vbn = 0 ZL + Zb 0 Ib + Zn . (Ia + Ib + Ic) (1.22)

Vcn 0 0 ZL + Zc Ic


16

Da equação matricial (1.22), resultam:

naL

n

aL

ana I

ZZ

Z

ZZ

VI

+−

+= (1.23)

nbL

n

bL

bnb I

ZZ

Z

ZZ

VI

+−

+= (1.24)

ncL

n

cL

anc I

ZZ

Z

ZZ

VI

+−

+= (1.25)

Como In = Ia + Ib + Ic, tem-se que:

cL

n

bL

n

aL

n

cL

cn

bL

bn

aL

an

n

ZZ

Z

ZZ

Z

ZZ

ZZZ

V

ZZ

V

ZZ

V

I

++

++

++

++

++

+=

1 (1.26)

127 /0° 5,2 + j 3,6 0 0 Ia

127 /-120° = 0 5,2 + 8,6 j 0 Ib + 5 . In

127 /120° 0 0 3,2 + 12,6 j Ic

Portanto,

127 /0° = (5,2 + j 3,6) . Ia + 5 In

127 /-120° = (5,2 + j 8,6) . Ib + 5 In

127 /120° = (3,2 + j 12,6) . Ic + 5 In

Das expressões acima resultam:

nna IIjj

i °−∠−°−∠=+

−+

°∠= 7,3479,07,3408,20

6,32,55

6,32,50127

nnb IIjj

i °−∠−°−∠=+

−+

°−∠= 8,584975,08,17864,12

6,32,55

6,32,5120127

nnc IIjj

i °−∠−°∠=+

−+

°∠= 7,753846,02,44769,9

6,32,55

6,32,5120127

Sendo Ia + Ib + Ic = In, quando se somam as três expressões acima, tem-se que:

nn II °−∠−°−∠= 2,51601,12,2492,11


17

In = 5,052 / 7,7° A e

Ia = 16,13 / -36,6° A Ib = 14,32 / 173,2° A Ic = 10,66 / 54,0° A

Outra maneira de resolver o problema é partindo de (1.23):

Van ZL + Za 0 0 Ia Zn Zn Zn Ia

Vbn = 0 ZL + Zb 0 Ib + Zn Zn Zn Ib (1.27)

Vcn 0 0 ZL + Zc Ic Zn Zn Zn Ic

Van ZL + Za + Zn Zn Zn Ia

Vbn = Zn ZL + Zb + Zn Zn Ib (1.28)

Vcn Zn Zn ZL + Zc + Zn Ic

127 /0° 10,2+3,6i 5 5 Ia

127 /-120° = 5 10,2+8,6i 5 Ib

127 /120° 5 5 8,2+12,6i Ic

Daí, resulta:

Ia = 16,13 / -36,6° A

Ib = 14,32 / 173,2° A

Ic = 10,66 / 54,0° A

Somando as três correntes, determina-se In:

In = Ia + Ib + Ic = 5,052 / 7,7° A

E, ainda,

Vn’n = Zn.In = (5) x (5,052 / 7,7°) = 25,25 / 7,7º V (Queda no fio de retorno)

Va’n’ = Za . Ia = (5 + j 3) x 16,13 / -36,6° = 94,05 / -5,6°

Vb’n = Zb. Ib = (5 + j 8) x 14,32 / 173,2° = 135,09 / -128,8°

Va’n’ = Zc . Ic = (3 + j 12) x 10,654 / 53,9° = 131,78 / 129,9°

b) Cálculo da potência consumida pela carga:

A potência consumida pela carga, pela equação (1.8), é:

S = 94,05 / - 5,6° x 16,13 / 36,6° + 135,09 / - 128,8° x 14,32 / -173,2° + 131,78 / 129,9° x10,66 / -53,9°

S = 2667,0 +3782,9 j VA

1.5 Para a figura 1.10, determinar os valores de corrente e de potência envolvidos, utilizando os seguintes dados:


18

Van = 220 / 0° V; Vbn = 220 / -120° V; Vbn = 220 / 120° V; ZL = 0,2 + 10 j; Za = 20 + j Ω ; Zb = 1 + 15 j Ω ; Zc = 1 - 18 j Ω Zn = 0,2 + 10 j

SOLUÇÃO:

a) Cálculo das correntes:

A partir da equação matricial (1.28), obtém-se:

220 /0° 20,4+21i 0,2+10i 0,2+10i Ia

220 /-120° = 0,2+10i 1,4+35i 0,2+10i Ib

220 /120° 0,2+10i 0,2+10i 1,4+2i Ic

Resolvendo essa equação matricial, resultam:

Ia = 22,9460 + j 2,8008 A

Ib = 4,9241 – j 3,8717 A

Ic = -59,1812 + j 21,7149 A

Sendo Ia + Ib + Ic = In, então:

In = -31,3111 + j 20,6439 A

Cálculo das tensões na carga: [Va’n] = [Van] – [Zrede] . [Ia]

Va’n Van 0,2 + 10 j 0 0 22,95 + j 2,80 334,91 /-43,4º

Vb’n = Vbn - 0 0,2 + 10 j 0 4,92 – j 3,87 = 282,01/-122,1º

Vc’n Vcn 0 0 0,2 + 10 j -59,18 + j 21,71 787,04 /81,3º

b) Cálculo da potência consumida:

A partir da equação (1.8) obtém-se o valor da potência consumida pela carga:

S = 334,906 / - 43,4° x (22,9460 - j 2,8008) + 282,007 / - 122,1º x (4,9241 + j 3,8717) + 787,041 / 81,3º x (-59,1812 - j 21,7149)

S = 14982 W - j 56343 var

c) Cálculo da potência da fonte:

A partir da equação (1.8) obtém-se o valor da potência da fonte:

S = 220 / 0° x (22,9460 - j 2,8008) + 220 / - 120º x (4,9241 + j 3,8717) + 220 / 120º x (-59,1812 - j 21,7149)


19

S = 15892 W - j 10867 var

1.6 Calcular o circuito da figura 1.11, determinando: a) As correntes envolvidas; b) As tensões envolvidas; c) A potência fornecida pela fonte de energia; d) O fator de potência da fonte.

São dados: ZL = 0,2 + 0,5 j;

Za = 10 j Ω ;

C = 100 µF; freqüência 60 Hz;

|Ia’| = |Ib’| = Ic’| = 2 A (simétrico e equilibrado)

Solução:


jj

Xj C 52,2610100377 6

−=××

−=−

−

Va’n = - j Xc . Ia = - j 26,52 x 2 / 0° = 53,0504 / -90° V

Vb’n = - j Xc . Ib = - j 26,52 x 2 / -120° = 53,0504 / -210° V

Vc’n = - j Xc . Ic = - j 26,52 x 2 / 120° = 53,0504 / 30° V

AjZ

VI

a

naa 304,5

10900504,53

'' ' −=−∠

==

AjjZ

VI

b

nbb 593,4652,2

102100504,53

'' ' +=−∠

==

AjjZ

VI

a

naa 593,4652,2

10304050,53

'' ' −=∠

==

Cálculo das correntes na fonte:

Ia = Ia’ + Ia

” = - 3,304 A

Ib = Ib’ + Ib

” = 1,652 + j 2,861 A

Ia = Ia’ + Ia

” = 1,652 – j 2,861 A

b) Cálculo das tensões:


20

Cálculo de Van, Vbn e Vcn

Van = Va’n + ZL . Ia = 53,0504 / -90° + (0,2 + j 0,5) x (-3,304 / 0°) = 55,702 / -91,1° V

Vbn = Vb’n + ZL . Ib = 53,0504 / -210° + (0,2 + j 0,5) x (1,652 + j 2,861) = = 55,702 / 148,9° V

Vcn = Vc’n + ZL . Ic = 53,0504 / 30° + (0,2 + j 0,5) x (1,652 – j 2,861) = = 55,702 / 28,9° V

c) Cálculo da potência na fonte:

A potência da fonte é S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic*

S = 55,702 /-91,1° x 3,304 /180°+ 55,702 /148,9° x (1,652 + j 2,861) + 55,702 / 28,9° x (1,652 - j 2,861)

S = 10,5146 + j 552,0191 = 552,119 / 88,9° VA

d) Cálculo do fator de potência da fonte:

º91,885146,10

0191,552arctan ==ϕ

Fator de potência = cos (88,9º) = 0,019

1.7 Calcular o circuito da figura 1.12, determinando: a) O valor de Vnn’; b) Os valores das correntes; c) Os valores das quedas de tensão da carga; d) As tensões de fase da carga; e) A potência fornecida pela fonte; f) A potência consumida pela carga; g) O fator de potência da carga.

Dados: Van = 127 / 0° , fonte simétrica e equilibrada.

ZL = j 0,2 Ω Za = 5 + 2 j Ω Zb = 4 + j Ω Zc = 6 + 1,5 j Ω

Solução:

a) Cálculo de Vnn’:

Van’ = Van + Vnn’ = ( ZL + Za ). Ia (1.29)

Vbn’ = Vbn + Vnn’ = ( ZL + Zb ). Ib (1.30)

Vcn’ = Vcn + Vnn’ = ( ZL + Zc ). Ic (1.31)

Resultam dessas equações:

a

nn

a

ana ZZL

V

ZZL

VI

++

+= ' (1.32)


21

cba

c

cn

b

bn

a

an

ZZLZZLZZL

ZZL

V

ZZL

V

ZZL

V

Vnn

++

++

+

++

++

+−=

111'

b

nn

b

bnb

ZZL

V

ZZL

VI

++

+= '

(1.33)

c

nn

c

cnc

ZZL

V

ZZL

VI

++

+= '

(1.34)

Somando as três expressões e sabendo que: Ia + Ib + Ic = 0 , resulta:

(1.35) 1.35)

Cálculo das correntes:

Das expressões (1.32); (1.33); (1.34) e (1.35) obtém-se:

Ajj

Ia º9,14221,242,25

º5,79615,202,25º0127

−∠=+

∠+

+

∠=

Ajj

Ib º4,140811,252,25

º5,79615,202,25

º120127−∠=

+

∠+

+

−∠=

AIII bac º8,98980,22)( ∠=+−=

b) Cálculo das quedas de tensões de fase da carga:

Va’n’ = Za . Ia = (5 + j 2) x 24,221 / -14,9º = 130,434 / 6,9º V

Vb’n’ = Zb . Ib = (4 + j) x 25,811 / -140,4º = 106,426 / -126,3º V

Vc’n’ = Zc . Ic = (6 + j 1,5) x 22,980 / 98,8º = 142,124 / 112,9º V

c) Cálculo das tensões de fase da carga

Va’n = Za . Ia + Vn’n = 130,434 / 6,9º - 20,615 /79,5º = 125,838 / -2,1º V

Vb’n = Zb . Ib + Vn’n = 106,426 / -126,3º - 20,615 /79,5º = 125,297 / -122,1º V

Vc’n = Zc . Ic + Vn’n = 142,124 / 112,9º - 20,615 /79,5º = 125,413 / 118,0º V

d) Potência fornecida pela fonte:

A potência fornecida pela fonte é calculada utilizando a equação (1.8):

S = Van . Ia* + Vbn . Ib* + Vcn. Ic*

S = 127 / 0° x 24,221 / 14,9° + 127 / -120° x 25,811 / 140,4° + 127 / 120° x 22,980 / -98,8°

S = 8766,67 + j 2987,85 VA = 9261,81 / 18,8º

e) Potência consumida pela carga:

A potência consumida pela carga é S = Va’n’ . Ia* + Vb’n’ . Ib* + Vc’n’. Ic*

27,2074,3

5,162,0

1

42,0

1

252,0

1

5,162,0

120127

42,0

120127

252,0

0127

' j

jjjjjj

jjjjjjVnn +=

+++

+++

++

++°∠

+++

°−∠+

++°∠

−=


22

S = 125,838 / -2,1° x 24,221/ 14,9° + 125,297/ -122,1° x 25,811 / 140,4° + 125,413/ 118,0° x 22,980 / -98,8°

S = 8766,67 + j 2631,66 VA = 9153,15 / 16,7º VA

f) Fator de potência da carga:

º71,1667,8766

66,2631arctan ==ϕ

Fator de potência = cos(16,71º) = 0,9578

1.8 Calcular os valores de W1 e W2, para o exercício anterior, de acordo com os wattímetros instalados na figura 1.13:

Va’b’ = Va’n – Vb’n = 125,838 / -2,1º - 125,297 / -122,1º = 217,58 / 27,8º V

Vb’c’ = Vc’n – Vb’n = 125,413 / 118,0º - 125,297 / -122,1º = 216,84 / 87,9º V

W1 = Re (Va’b’ . Ia*) = 217,58 / 27,8º . 24,221/ -14,9° = 3873,45 W

W2 = Re (Vc’b’ . Ic*) = 216,84 / 87,9º . 22,980 / 98,8° = 4893,22 W

W1 + W2 = 8766,67 W

1.9 Calcular o circuito da figura 1.14, determinando: a) O valor das correntes; b) O valor das tensões de fase da carga; c) A potência fornecida pela fonte; d) A potência consumida pela carga; e) O fator de potência da carga.

Dados: ZL = 0,1 + 0,5 j Ω

Za’b’ = 5 + j 10 Ω Zb’c’ = 3+ 15 j Ω Zc’a’ = 12 Ω

E ainda, Van = 380 / 0º V; Vbn = 380 / - 100º V e Vcn = 405 / 100º V.

Solução:

Transformar a carga ligada em delta numa ligação em estrela não aterrada, ficando, portanto, a solução similar à do exercício 1.7.

j0,87804,09762520

12.)105(+=

+

+=

jj

Za


23

j5,34150,07317-2520

)153(.)105(+=

+

++=

jjj

Zb

j2,63415,09272520

12.)153(+=

+

+=

jj

Zc

Cálculo de Vnn’

A partir da expressão (1.35), obtém-se:

Vnn’ = 1,368 – 128,9 j V


A partir das expressões (1.24); (1.25) e (1.26) obtém-se:

Ajj

Ia º8,3612,913780,11976,4

º4,8991,128

3780,11976,4

º0380−∠=

+−∠

++

∠=

Ajj

Ib º9,17284,868415,5026829,0

º4,8991,128

8415,5026829,0

º100380∠=

+−∠

++−∠

=

Ajj

Ic º2,7394,451341,31927,5

º4,8991,128

1341,31927,5

º100405∠=

+−∠

++∠

=

b) Cálculo das tensões de fase da carga:

Va’n = Van - ZL . Ia = 380 / 0º - (0,1 + 0,5 j ) x (72,91 –54,65 j) = 345,38 + 30,99 j V

Vb’n = Vbn - ZL . Ib = 380 / -100º - (0,1 + 0,5 j ) x (-86,1735 +10,6713 j) = = - 52,03 – 332,20 j V

Vc’n = Vcn - ZL . Ic = 405 / 100º - (0,1 + 0,5 j ) x (13,2635 +43,9787 j) = = - 49,66 + 387,82 j V

c) Potência fornecida pela fonte:

A potência fornecida pela fonte é calculada utilizando a equação (1.9):


S = 380 / 0° x 91,12 / -36,8° + 380 / -100° x 86,84 / 172,9° + 405 / 100° x 45,94 / 73,2°

S = 46010,9 (W) + j 62103,5 (var) = 77290,7 / 53,5º VA

d) Cálculo da potência consumida pela carga:

S = (345,38 - 30,99 j) x 91,12 / 36,8° + (- 52,03 – 332,20 j) x 86,84 /-172,9° + (- 49,66 + 387,82 j) x 45,94 / -73,2°

S = 44215,6 + 53126,8 j VA

e) Fator de potência da carga:

º23,506,44215

8,53126arctan ==ϕ

Fator de potência = cos(50,23º) = 0,64

1.10 Calcular o circuito da figura 1.15, determinando: a) O valor das correntes; b) O valor das tensões de

jjj

jjjVnn

1341,31927,51

8415,5026829,01

3780,11976,41

1341,31927,5

100405

8415,5026829,0

100380

3780,11976,4

0380

'

++

++

+

+

°∠+

+

°−∠+

+

°∠

−=


24

fase da carga; c) A potência fornecida pela fonte; d) A potência consumida pela carga; e) O fator de potência da fonte.

Dados: ZL = 0,1 + j 0,5 Zm = 0,1 j

Za’b’ = 6 + 4 j Zb’c’ = 12 + 8 j Zc’a’ = 12 – 8 j

Van = 460 V simétrico e equilibrado.

Solução:

Transformar a carga ligada em delta numa ligação em estrela não aterrada, aplicando a equação matricial (1.11) ficando, portanto, a solução similar à do exercício 1.7.

Za 12-8 j 0 0 6+4 j 3,4061 – 0,4541 j

Zb =

+ j430

1 0 6+4 j 0 12+8 j = 1,7293 + 2,9694 j

Zc 0 0 12+8 j 12-8 j 6,8122 – 0,9083 j

Para os terminais da carga, vale;

Va’n’ = Va’n + Vnn’ = Ia . Za

Vb’n’ = Vb’n + Vnn’ = Ib . Zb (1.36)

Vc’n’ = Vc’n + Vnn’ = Ic . Zc

Isolando as correntes e sabendo que Ya, Yb e Yc são as admitâncias das cargas, têm-se:

Ia = Ya.Va’n + Ya.Vnn’

Ib = Yb.Vb’n + Yb.Vnn’ (1.37)

Ic = Yc.Vc’n + Yc.Vnn’

Sabendo que a somatória das correntes é nula, resulta:

cba

nccnbbnaann

YYY

VYVYVYV

++++

= ''''

... (1.38)

Matricialmente a equação (1.38) pode ser escrita:

Vnn’ Ya Yb Yc Va’n

Vnn’ = cba YYY ++

−1 Ya Yb Yc Vb’n (1.39)

Vnn’ Ya Yb Yc Vc’n

As equações (1.36) resultam:

Va’n’ Za 0 0 Ia Ia

Vb’n’ = 0 Zb 0 Ib = Zcarga Ib (1.40)

Vc’n’ 0 0 Zc Ic Ic


25

Substituindo (1.39) em (1.40) resulta:

cba

a

YYY

Y

++−1

cba

b

YYY

Y

++

− cba

c

YYY

Y

++

− Va’n’ Ia

cba

a

YYY

Y

++

− cba

b

YYY

Y

++

−−1

cba

c

YYY

Y

++

− Vb’n’ = Zcarga Ib

(1.41)

cba

a

YYY

Y

++

− cba

b

YYY

Y

++

− cba

c

YYY

Y

++

−−1 Vc’n’ Ic

cba

a

YYY

Y

++−1

cba

b

YYY

Y

++

− cba

c

YYY

Y

++

−

YT =

cba

a

YYY

Y

++

− cba

b

YYY

Y

++

−−1

cba

c

YYY

Y

++

− (1.42)

cba

a

YYY

Y

++

− cba

b

YYY

Y

++

− cba

c

YYY

Y

++

−−1

Resulta, portanto:

Va’n’ Ia

YT Vb’n’ = Zcarga Ib (1.43)

Vc’n’ Ic

Por outro lado, a tensão no início da rede vale:

Van Va’n’ ZL Zm Zm Ia

Vbn = Vb’n’ + Zm ZL Zm Ib (1.44)

Vcn Vc’n’ Zm Zm ZL Ic

Ou, ainda:

Va’n’ Van ZL Zm Zm Ia

Vb’n’ = Vbn - Zm ZL Zm Ib (1.45)

Vc’n’ Vcn Zm Zm ZL Ic

Substituindo (1.45) em (1.41) resulta:

Van ZL Zm Zm Ia Za 0 0 Ia

YT Vbn - Zm ZL Zm Ib = 0 Zb 0 Ib (1.46)

Vcn Zm Zm ZL Ic 0 0 Zc Ic


26

Zrede Zcarga

Ou

Van Ia

YT Vbn = YT Zrede + Zcarga Ib (1.47)

Vcn Ic

E, portanto:

Ia -1 Van

Ib = YT Zrede + Zcarga YT Vbn (1.48)

Ic Vcn

a) Cálculo das correntes

Calculando as matrizes da equação (1.48) vem primeiramente a matriz da equação (1.42):

0,9681 + 0,0032 j -0,2610 – 0,2742 -0,7071 + 0,2710 j

YT = -0,0319 + 0,0032 j 0,7390 – 0,2742 j -0,7071 + 0,2710 j

-0,0319 + 0,0032 j -0,2610 – 0,2742 j 0,2929 + 0,2710 j

Por outro lado,

0,1 + j 0,5 0,1 j 0,1 j

Zrede = 0,1 j 0,1 + j 0,5 0,1 j

0,1 j 0,1 j 0,1 + j 0,5

E, ainda,

3,4061 – 0,4541 j 0 0

Zcarga = 0 1,7293 + 2,9694 j 0

0 0 6,8122 – 0,9083 j

E,

Van 480 / 0º

Vbn = 480 / -120º

Vcn 480 / 120º

Resulta, portanto;

Ia 154,91 / -7,4º

Ib = 130,59 / -169,2º (A)


27

Ic 51,13 / 119,7º

b) Cálculo das tensões de fase da carga:

Aplicando o conjunto de equações (1.36), resultam:

Va’n = 532,33 / -15,0º V

Vb’n = 448,73 / -109,4º V

Vc’n = 351,36 / 112,1º V

c) Cálculo da potência fornecida pela fonte:


S = 133400 (W) + j 54832 (var)

d) Cálculo da potência consumida pela carga:

S = Va’n . Ia* + Vb’n . Ib* + Vc’n. Ic*

S = 129040 (W) j 37365 (var)

e) Cálculo do fator de potência da carga:

fp = cos(atan(54832/133400)) = 0,925

Exercícios Propostos

1.11 Um sistema trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta alimenta uma carga com Vcn = 230 /15º V. Pede-se: a) As tensões de fase da carga; b) As tensões de linha da carga; c) Desenhar o diagrama fasorial com as três fases.

1.12 Resolver o circuito anterior admitindo seqüência inversa.

1.13 Resolver o circuito trifásico da figura do exercício 1.7. Calcular: a) A corrente da carga; b) A potência fornecida pela fonte; c) A potência consumida pela carga. Dados: ZL = 1 + j ohm; Z = 1 + j 6,5 ohm; E = 110 V.

1.14 No circuito mostrado na figura 1.10, os valores das impedâncias são:

ZL = 0,1 + j 3,5 Ω Za = 4 + 2,5 j Ω Zb = 4 + 9 j Ω Zc = 3,5 + 10,5 j Ω Zn = 4,5 Ω (impedância de aterramento da carga) A fonte é simétrica e equilibrada, com valor de tensão Van = 220 /0° V.

Calcular: a) As correntes de fase e do neutro; b) As tensões de fase da carga; c) A potência consumida pela carga; d) A potência fornecida pela fonte de energia.

1.15 No circuito da figura 1.9, os valores das impedâncias são:

ZL = 0,1 + j 3,5 Ω Za = 4 + 2,5 j Ω Zb = 4 + 9 j Ω Zc = 3,5 + 10,5 j Ω Zn = 4,5 Ω (impedância de retorno da linha) A fonte é simétrica e equilibrada, com o valor de tensão Van = 220 /0° V.

Calcular: a) As correntes de fase e do neutro; b) As tensões de fase da carga; c) A potência consumida pela carga; d) A potência fornecida pela fonte de energia.

1.16 Para o circuito da figura 1.16, para Van = 210 / 0° V; Vbn = 205 / -102° V e Vcn = 208 / 119° V e, ainda, Za = j 45 Ω, Zb = j 18,5 Ω e Zc = - j 27 Ω; determinar: a) As correntes de linha e a corrente de neutro; b) As tensões de fase da carga; c) A potência consumida; d) A potência fornecida pela fonte de energia.


28

1.17 Um restaurante com alimentação monofásica a três fios (220 V fase-a-fase e 110 V fase-neutro – obtido por tap central do enrolamento do transformador) possui as seguintes cargas: 20.000 W ligados em 220 V, 10.000 W ligados na fase A com o neutro, e outros 12.100 W ligados na fase B com o neutro. Determinar as correntes nos três condutores. Ver figura 1.17.

1.18 Uma pizzaria com alimentação monofásica a três fios (220 V fase-a-fase e 110 V fase-neutro – obtido por tap central do enrolamento do transformador) possui as seguintes cargas: 18.000 W ligados em 220 V, 7.000 W ligados na fase A com o neutro e outras 5.000 W ligados na fase B com o neutro. Determinar as correntes nos três condutores. Ver figura 1.17.

1.19 Uma casa comercial possui uma alimentação monofásica a três fios (220 V fase-a-fase e 127 fase-neutro) com as seguintes cargas: 18.000 W ligados em 220 V, 7.000 ligados na fase A com o neutro e outras 5.000 W ligados na fase B com o neutro. Determinar as correntes nos três condutores.

1.20 Para o circuito da figura 1.18, para Van = 118 / 0° V; Vbn = 125 / -102° V e Vcn = 128 / 119° V e, ainda, Za = j 40,5 Ω, Zb = j 39,7 Ω , Zc = j 40,2 Ω, ZL = 0,1+0,6 j e Zn = 0,4 j (retorno da linha), determinar: a) As correntes de linha; b) As tensões das fases da carga; c) A tensão Vnn’; c) A potência consumida pela carga; d) A potência fornecida pela fonte de energia.

1.21 Um gerador possui um sistema de aquecimento para quando está fora de operação. Este sistema consiste de resistências ligadas, como mostra a figura 1.19. Calcular as correntes das fases A, B, C, a corrente do neutro e a potência complexa consumida, nos casos a seguir:


29

a) Por um problema técnico, as duas resistências da fase C ficam desconectadas, deixando esta fase aberta.

b) Por um problema técnico, somente uma das resistências da fase C fica desconectada.

Características de cada resistência: Potência 1500 W; Tensão 380 V; Comprimento 750 mm.

A alimentação elétrica é feita com seqüência direta, com valor de tensão: VAB = 220 V.

1.22 Para o circuito da figura 1.18, Van = 125 / 0° V, Vbn = 125 / -102° V, Vcn = 128 / 119° V, e ainda, ZL = j 0,5 Ω, Za = 46,6 + j 40,5 Ω, Zb = 45,0 + j 39,7 Ω, Zc = 47 + j 40,2 Ω, e Zn = j 40 Ω (impedância de aterramento da carga). Determinar: a) As correntes da carga e do neutro; b) A potência consumida pela carga; c) O fator de potência da carga.

1.23 Resolver o exercício anterior com Zn = 0 Ω, determinando: a) As correntes da carga e do neutro; b) A potência complexa consumida pela carga; c) O fator de potência da carga.

1.24 Resolver o exercício 1.22 para o caso em que o fio de retorno se rompe e a carga fica com o neutro isolado, calculando: a) As correntes da carga; b) A tensão VNN’; c) A potência fornecida pela fonte.

1.25 Para o circuito da figura 1.20, com o disjuntor D aberto e sabendo os seguintes dados:

Dados 1.25.1 1.25.2 1.25.3 1.25.4 1.25.5

Za (Ω) 400 + j 200 410 + j 210 390 + j 190 385 + j 185 380 + j 180

Zb (Ω) 400 + j 200 410 + j 210 390 + j 190 385 + j 185 380 + j 180

Zc (Ω) 400 + j 200 410 + j 210 390 + j 190 385 + j 185 380 + j 180

ZL (Ω) 5 + j 50 4 + j 40 6 + j 60 7 + j 70 8 + j 80

Zm (Ω) 50 j 45 j 6 j 0 0

Zmg (Ω) j 5 j 4,5 j 0,5 0 0

Zn (Ω) 10 + j 50 8 + j 40 12 + j 60 2 + j 35 0

Van (V) 127 / 1º 200 / 1,5º 265 / 2º 290 / 2,5º 300 / -1º

Vbn (V) 127 / -105º 200 / -115º 265 / -109º 290 / -115º 300 / -100º

Vcn (V) 127 / 125º 200 / 128º 265 / 115º 290 / 135º 300 / 120º

Calcular: a) As correntes de fase e de neutro; b) A potência da carga; c) A potência complexa no início da Linha (pontos A-B-C); d) As tensões nos pontos A’, B’ e C’, próximo ao disjuntor aberto.


30

1.26 Resolver o circuito abaixo, figura 1.21, sabendo que é simétrico e equilibrado:

CARGA

Exercício Tensão de linha na fonte (V)

Impedância da linha Z (ohm)

Tensão nominal (V)

Potência (kW)

Fator de potência (indutivo)

1.26.1 480 0,01 + j 0,05 480 300 0,9

1.26.2 2200 0,02 + j 0,15 2200 2500 0,9

1.26.3 4160 0,02 + j 0,3 4160 4500 0,85

1.26.4 6900 0,04 + j 0,7 6600 5000 0,92

1.26.5 13800 0,07 + j 0,1 13800 15000 0,9

1.26.6 460 0,008 + j 0,02 440 700 0,85

1.26.7 480 0,009 + j 0,018 440 800 0,9

1.26.8 2200 0,08 + j 0,1 2200 3500 0,9

1.26.9 220 0,005 + j 0,02 220 125 0,82

1.26.10 400 0,009 + j 0,01 380 600 0,85

1.26.11 4160 0,05 + j 0,25 4160 4500 0,85

Resolver, considerando: a) Carga modelada por impedância constante; b) Carga modelada por potência constante; c) Carga modelada por corrente constante; d) Construir uma tabela comparativa entre as três soluções.

Solução do Exercício 1.26.1

a) Carga modelada por impedância constante

Cálculo da impedância da carga:


31

ohmjarc

S

VZ ab

C 3013,06221,09,0/300000

)9,0cos(480*

2

+=∠

==

Cálculo da corrente:

º1,2922,383)3013,06221,005,001,0(3

0480−∠=

+++

∠=

+=

jjZZ

VI

CL

an

a

A tensão nos terminais da carga é:

Va’n’ = Ia . Zc = (0,6221 + j 0,3013) x 383,22 / - 29,1º = 264,89 / -3,26º V

A potência absorvida pela carga é:

kVAIVS ana º8,2554,304º1,2922,383º26,389,26433 '' ∠=∠×−∠×==

b) Carga modelada por potência constante

Como a potência consumida é constante, a corrente elétrica depende da tensão aplicada à carga e este valor não é conhecido. O cálculo é processado iterativamente da seguinte forma:

• Adota-se um valor de tensão inicial da carga, que pode ser a nominal do sistema;

• Calcula-se a corrente absorvida pela carga;

• Com este valor de corrente, calcula-se o novo valor de tensão nos terminais da carga;

• Compara-se este valor com o valor adotado inicialmente e, se a diferença estiver dentro da precisão desejada, o valor procurado é este, senão, calcula-se novamente a corrente e o novo valor de tensão daí resultante.

Tensão inicial: º0128,2773

480)0(

'' ∠==naV

Cálculo do valor inicial da corrente:

AxV

SI

na

a º8,2594,400º0128,2779,03

º8,25300000

3

**

''

)0( −∠=

∠×∠

=

=

Cálculo do novo valor de tensão:

º5,328,265º8,2594,400)05,001,0(º0128,277)0()1(

'' −∠=−∠×+−∠=×−= jIZVV aLanna

Cálculo da iteração seguinte:

AxV

SI

na

a º3,2984,418º5,328,2659,03

º8,25300000

3

**

''

)1( −∠=

−∠×∠

=

=


º5,373,263º3,2984,418)05,001,0(º0128,277)1()2(

''−∠=−∠×+−∠=×−= jIZVV aLanna


AxV

SI

na

a º3,2931,421º5,373,2639,03

º8,25300000

3

**

''

)2( −∠=

−∠×

∠=

=


º5,362,263º3,2931,421)05,001,0(º0128,277)2()2(

''−∠=−∠×+−∠=×−= jIZVV aLanna


AxV

SI

na

aº3,2948,421

º5,362,2639,03

º8,25300000

3

**

''

)3( −∠=

−∠×∠

=

=



32

º5,364,263º3,2948,421)05,001,0(º0128,277)3()3(

'' −∠=−∠×+−∠=×−= jIZVV aLanna


AxV

SI

na

a º3,2945,421º5,364,2639,03

º8,25300000

3

**

''

)4( −∠=

−∠×∠

=

=


º5,364,263º3,2945,421)05,001,0(º0128,277)4()4(

'' −∠=−∠×+−∠=×−= jIZVV aLanna

Como a diferença de valores entre a iteração 4 e a iteração 3 está dentro da precisão desejada, o valor da tensão a ser adotada é: Va’n’ = 263,64 / - 3,5º V

O seguinte cálculo é feito para comprovar que a potência permaneceu constante:

S = 3 x Va’n’ . Ia* = 3 x 263,62 / - 3,5º x 421,48 / + 29,4º = 333,33 / 25,8º kVA

c) Carga modelada por corrente constante

Neste caso, o módulo da corrente é constante; entretanto, seu argumento não o é. O processo de cálculo a ser adotado é também iterativo.

Tensão inicial: º0128,2773

º0480)0('' ∠=

∠=naV

Cálculo do valor inicial da corrente:

AxV

SI

na

a º8,2594,400º0128,2779,03

º8,25300000

3

**

''

)0( −∠=

∠×∠

=

=

O valor de ϕ = 25,84º deve permanecer constante.


º5,329,265º8,2594,400)05,001,0(º0128,277)0()1(

'' −∠=−∠×+−∠=×−= jIZVV aLanna

Cálculo do argumento da corrente:

δ(1) = θ(1) - ϕ = - 3,5º - 25,8º = -29,3º

Então, o novo valor de corrente é Ia(2) = 400,94 / - 29,3º A

Cálculo da iteração seguinte do valor de tensão:

º4,328,264º3,2994,400)05,001,0(º0128,277)2()2(

''−∠=−∠×+−∠=×−= jIZVV aLanna


δ(1) = θ(1) - ϕ = - 3,4º - 25,8º = 29,2º

Então, o novo valor de corrente é Ia(3) = 400,94 / - 29,2º A.

Cálculo da iteração seguinte do valor de tensão:

º4,330,264º2,2994,400)05,001,0(º0128,277)3()3(

'' −∠=−∠×+−∠=×−= jIZVV aLanna


δ(1) = θ(1) - ϕ = - 3,4º - 25,8º = 29,2º

Então, o novo valor de corrente é Ia(4) = 400,94 / - 29,2º A.

Cálculo da iteração seguinte do valor de tensão: º4,330,264º2,2994,400)05,001,0(º0128,277

)4()4(

'' −∠=−∠×+−∠=×−= jIZVV aLanna


δ(1) = θ(1) - ϕ = - 3,4º - 25,8º = 29,2º


33

Então, o valor final da corrente é Ia = 400,94 / - 29,2º A; neste caso, a potência absorvida pela carga é:

S = 3 x Va’n’ . Ia* = 3 x 264,30 / - 3,4º x 400,94 / + 29,2º = 317,91 / 25,8º kVA

d) Comparação entre as três soluções

Modelo Impedância constante

Potência constante Corrente constante

Ia (A) 383,23 / - 29,1º 421,48 / - 29,4º 400,94 / - 29,2º

Va’n’ (V) 264,89 / -3,2º 263,62 / - 3,5º 264,30 / - 3,4º

S (kVA) 304,540 / 25,8º 333,333 / 25,8º 317,905 / 25,8º

1.27 Um alimentador de uma fonte de energia de 440 V, trifásica, 60 Hz, alimenta as seguintes cargas trifásicas:

Motor 440 V, 150 kW, rendimento de 94%, fator de potência 0,85 atrasado;

Resistência 32 kW;

Outras cargas 60 kW com fator de potência 0,7 atrasado.

Calcular a potência complexa total.

1.28 Um forno a arco submerso para produção de silício metálico consome 25 kW, com fator de potência 0,68 atrasado. Calcular a potência do banco de capacitores necessária para corrigir o fator de potência para 0,92 atrasado.

1.29 Para correção do fator de potência de uma fábrica existe um banco de capacitores formado de dois sub-bancos, conforme mostra a figura 1.22. Cada sub-banco é ligado em estrela não-aterrada, e os neutros desses sub-bancos estão interligados. Cada braço da estrela possui sete capacitores ligados em paralelo. O reator de limitação de corrente de inrush possui o valor de indutância L = 9,06 mH. Cada capacitor possui o valor de capacitância C = 5,71 µF. O sistema é alimentado com a tensão de linha de 14.800 V, simétrico e equilibrado na freqüência de 60 Hz. Calcular o módulo da corrente de neutro para as seguintes situações:

Exercícios Situações

1.29.1 Um capacitor com defeito na fase A

1.29.2 Defeito num capacitor da fase A de uma estrela e na fase B da outra estrela

1.29.3 Dois capacitores com defeito no mesmo braço da estrela – Fase A

1.29.4 Defeito num capacitor da fase A de uma estrela e na fase A da outra estrela

1.29.5 Defeito num capacitor no braço A e de outro no braço B da mesma estrela


34

Solução do Exercício 1.29.1

Cálculo dos valores de reatâncias:

XL = 2 Π f L = 376,9911 x 9,06 x 10-3 = 3,4155 Ω

faseX c /3632,667101,579911,376

106

Ω=××

= de cada sub-banco

A seqüência de tensão aplicada é:

Van = 8544,8 / 0º V

Vbn = 8544,8 / -120º V

Vcn = 8544,8 / 120º V

Aplicando a lei da malha de Kircchoff para o circuito dado, têm-se

Van = j 3,4151 Ia – j 66,3632 Ia1 + Vn’n

Vbn = j 3,4151 Ib – j 66,3632 Ib1 + Vn’n

Vcn = j 3,4151 Ic – j 66,3632 Ic1 + Vn’n

Analogamente:

Van = j 3,4151 Ia – j 66,3632 Ia2 + Vn’n

Vbn = j 3,4151 Ib – j 66,3632 Ib2 + Vn’n

Vcn = j 3,4151 Ic – j 66,3632 Ic2 + Vn’n

E, ainda:

Ia = Ia1 + Ia2

Ib = Ib1 + Ib2

Ic = Ic1 + Ic2


35

In = Ia1 + Ib1 + Ic1 = – Ia2 – Ib2 – Ic2

Matricialmente pode-se escrever: [ V’ ] = [ Z’ ] [ I’ ]

Sendo:

Van 8544,8 / 0º Vbn 8544,8 / -120º Vcn 8544,8 / 120º Van 8544,8 / 0º Vbn 8544,8 / -120º

[ V’ ] = Vcn = 8544,8 / 120º 0 0 0 0 0 0 0 0

e

Ia

Ib

Ic

Ia1

Ib1

[ I’ ] = Ic1

Ia2

Ib2

Ic2

Vn’n

O valor da matriz [ Z’ ] é:

(Ia) (Ib) (Ic) (Ia1) (Ib1) (Ic1) (Ia2) (Ib2) (Ic2) (Vn’n)

3,415j 0 0 -66,363j 0 0 0 0 0 1 0 3,415j 0 0 -66,363j 0 0 0 0 1 0 0 3,415j 0 0 -66,363j 0 0 0 1 3,415j 0 0 0 0 0 -66,363j 0 1 0 3,415j 0 0 0 0 0 -66,363j 0 1 0 0 3,415j 0 0 0 0 0 -66,363j 1 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 1 1 1 1 1 0

A matriz acima vale para o circuito equilibrado, caso em que o valor da corrente de neutro é nulo. Supondo a queima de um capacitor na primeira estrela, na fase A, a reatância correspondente muda para:

Ω=×

= 4237,7763632,667'

CX

Este valor substitui o valor da célula da primeira linha, quarta coluna.

Pode-se utilizar o software MatLab paras resolver facilmente esse sistema de 10 equações, 10 incógnitas. As respostas são:

Ia = 271,54 j A Ib = 248,60 – 135,77 j A Ic = -248,60 – 135,77 j A

Ia1 = 125,33 j A Ib1 = 124,30 – 67,89 j A Ic1 = -124,30 – 67,89 j A


36

Ia2 = 146,21 j A Ib1 = 124,30 – 67,89 j A Ic1 = -124,30 – 67,89 j A

Vn’n = -231,03

Para determinar a corrente de neutro basta somar as três correntes de fase de qualquer uma das estrelas:

In = Ia1 + Ib1 + Ic1 = - Ia2 - Ib2 - Ic2 = 125,33 j + 124,30 – 67,89 j - 124,30 – 67,89 j = = 10,45 j

1.30 Resolver a rede da figura 1.23 com os mesmos dados do exercício 1.25, porém com as fases A e B abertas, através dos disjuntores instalados na linha.

1.31 Resolver a rede da figura 1.24 com os seguintes dados:

Van = 127 /1º; Vbn = 127 /-119º; Vcn = 127 /120º em volts;

ZL = 5+50 j e Zm = 5j em ohms;

Carga Za = Zb = Zc = 400 + j200 em ohms;

Considerando o disjuntor da fase A aberto, calcular: a) As correntes de fase e de neutro; b) A potência da carga; c) A potência complexa no início da Linha (pontos A-B-C).

1.32 No circuito trifásico, simétrico e equilibrado, mostrado na figura 1.25, cujos parâmetros valem: R = 15 ohms, XL = 12 ohms, Xc = 9 ohms, R1 = 0,6 ohm, X1 = 1,3 ohms, I = 9,5 A. Calcular as tensões em A, B e C.

1.33 A rede da figura 1.33 perde os capacitores e um conjunto R e XL ligados entre a fase A e B, conforme


37

indica a figura 1.26. Supondo-a alimentada pelas tensões de fase calculadas no exercício 1.33 calcular as correntes nas três fases.

1.34 A rede da figura 1.26 perde os capacitores e dois conjuntos R e XL ligados entre a fase A e B, e entre B e C, conforme indica a figura 1.27. Supondo-a alimentada pelas tensões de fase calculadas no exercício 1.33, calcular as correntes nas três fases.

1.35 No circuito mostrado na figura 1.28, sabendo que Zab = Zbc = Zca = 40 / 40º ohms, e a tensão da fonte (fase-neutro) é simétrica e equilibrada e igual a 220 V, calcular: a) As correntes de linha b) O valor de cada wattímetro; b) a potência ativa fornecida pela fonte; c) comparar com a soma de W1 e W2; d) O fator de potência da carga.

1.36 Na figura 1.28, o valor lido no Wattímetro 1 é 1853,83 W, o fator de potência da carga é 0,866 indutivo, a tensão aplicada é simétrica e equilibrada e igual a 110 V, e sabe-se ainda, que Z = Zab = Zbc = Zca. Calcular o valor de Z.

Bibliografia

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Documents

Sistemas Elétricos de Potência Cap1 Circuitos Trifasicos D Caselato