2.1.2. Các dạng bài toán chứng minh trong hình học phẳng và phương

pháp giải.

2.1.2.1. Chứng minh các hình bằng nhau.

Để giải quyết các bài toán chứng minh, ta thường quy về sự chứng

minh hai hình nào đó bằng nhau, cơ bản nhất là sự chứng minh bằng nhau

của các đoạn thẳng, các góc, các tam giác.

a. Các kiến thức cơ bản về các hình bằng nhau.

Định nghĩa đoạn thẳng: Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm

B và tất cả các điểm nằm giữa A và B.

Hai đoạn thẳng bằng nhau hay có cùng số đo.

Định nghĩa góc: Góc là hình gồm hai tia chung gốc.

Hai góc bằng nhau nếu số đo của chúng bằng nhau.

Định nghĩa hai tam giác bằng nhau: Hai tam giác bằng nhau là hai

tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng

nhau.

b.Các phương pháp chứng minh các hình bằng nhau.

I.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:

Phương pháp 1: Sử dụng yếu tố độ dài của đoạn thẳng.- Hai đoạn thẳng có cùng số đo- Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba- Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng hai đoạn thẳng bằng nhau.

Phương pháp 2: Sử dụng tam giác bằng nhau.- Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

Phương pháp 3: Sử dụng định nghĩa các hình.- Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, đường trung tuyến của tam giác, đường trung trực của đoạn thẳng.- Hai cạnh bên của tam giác cân, các cạnh của tam giác đều.- Bán kính của đường tròn.

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất của các hình.

- Tính chất tia phân giác của một góc, tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.- Tính chất của trọng tâm, tính chất của giao điểm ba đường phân. giác, tính chất giao điểm của ba đường trung trực của tam giác.

Phương pháp 5.Sử dụng quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu. - Hai đường xiên có hình chiếu bằng nhau.- Hai hình chiếu có đường xiên bằng nhau.

III.Chứng minh hai góc bằng nhau.

Phương pháp 1: Sử dụng các yếu tố số đo của góc.- Hai góc có cùng số đo. - Hai góc cùng bằng góc thứ ba.- Hai góc cùng bằng tổng hoặc hiệu của hai góc bằng nhau.- Hai góc cùng phụ hay bù với góc thứ ba.- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung tròn hoặc chắn hai cung bằng nhau.

Phương pháp 2: Sử dụng tam giác bằng nhau.- Hai góc tương ứng của hai cạnh bằng nhau.

Phương pháp 3: Sử dụng định nghĩa các hình.- Định nghĩa tia phân giác của một góc.

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất các hình.- Hai góc đối đỉnh.- Hai góc so le trong, hoặc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song với một cát tuyến.- Hai góc ở đáy của tam giác cân, các góc của tam giác đều.

b. Các phương pháp chứng minh các hình bằng nhau.

Phương pháp: Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

- Trường hợp thứ nhất: cạnh – cạnh – cạnh ( c – c – c ): Nếu 3 cạnh của tam giác này bằng 3 cạnh của tam giác kia thì 2 tam giác đó bằng nhau

- Trường hợp thứ hai: cạnh – góc – cạnh ( c – g – c ): Nếu 2 cạnh và góc xen giửa của tam giác này bằng 2 cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì 2 tam giác đó bằng nhau.

- Trường hợp thứ ba : góc – cạnh – góc ( g – c – g ): Nếu 1 cạnh và 2 góc kề của tam giác này bằng 2 cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì 2 tam giác đó bằng nhau.

*Trường hợp đặc biệt: Các tam giác vuông bằng nhau- Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông kia bằng nhau thì 2 tam giác vuông ấy bằng nhau.- Nếu 1 cạnh góc vuông và 1 góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng 1 cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông ấy bằng nhau.- Nếu 2 tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và 1 góc nhọn bằng nhau thì 2 tam giác vuông đó bằng nhau.- Hai tam giác vuông có cạnh huyền bằng nhau và 1 cạnh góc

vuông bằng nhau thì bằng nhau.

2.1.2.2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Có nhiều bài toán liên quan đến góc vuông và hai đường thẳng

vuông góc với nhau, đơn giản như bài toán chứng minh một tam giác là

vuông, hay một tứ giác là hình chữ nhật hay hình vuông...Ta gọi ở đây,

những bài toán đó là: “ Bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc

với nhau”.

a. Các kiến thức cơ bản về hai đường thẳng vuông góc.

1. Định nghĩa hai đường thẳng vuông

góc:

Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt

nhau và trong các góc tạo thành có một

góc vuông được gọi là hai đường thẳng

vuông góc và kí hiệu là xx’ yy’.

2. Tiên đề Ơclit về đường thẳng vuông

góc.

Có một và chỉ một đường thẳng a’

đi qua điểm O và vuông góc với đường

_y

_y'

_x'_x

thẳng a cho trước.

3. Đường thẳng đi qua trung điểm của

đoạn thẳng và vuông góc với .đoạn

thẳng được gọi là đường trung trực của

đoạn thẳng ấy.

Khi d là đường trung trực của đoạn

thẳng AB thì ta cũng nói A, B đối xứng

nhau qua đường thẳng d.

b.Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

Phương pháp 1: Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa

hai đường vuông góc: Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và trong các

góc tạo thành có một góc vuông được gọi là hai đường thẳng vuông góc

và kí hiệu là xx’ yy’.

Phương pháp: Để chứng minh hai đường vuông góc thực chất ta

chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau đó bằng 900.

Có rất nhiều cách chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng

900 như :

+ Dựa vào tính chất tổng ba góc trong một tam giác bằng

1800, ta đi chứng minh cho tam giác có hai góc phụ nhau suy ra góc thứ

ba bằng 900.

+ Chứng minh góc đó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

thì góc đó có số đo bằng 900.

_O

_a'

_a

_I _B_A

_d

+ Chứng minh tổng các góc tạo thành góc cần chứng minh

bằng 900.

Phương pháp 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào tính

chất song song của đường thẳng trong mặt phẳng.

Phương pháp: Ta dựa vào tính chất : Một đường thẳng vuông góc

với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với

đường thẳng kia.

Phương pháp 3: Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định lí nhận

biết một tam giác vuông.

Phương pháp : Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta tìm cách

gán hai đường thẳng đó trở thành hai đường thẳng chứa hoặc song song

với hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Để chứng minh ta dựa

vào định lí nhận biết sau:

- Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng

bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông

(định lí Pitago đảo).

- Nếu một tam giác có trung tuyến thuộc một cạnh bằng nửa

cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông (định lí đường trung

tuyến ).

Phương pháp 4: Chứng minh hai đường vuông góc dựa vào định nghĩa và

tính chất các đường trong tam giác và trong hình học phẳng.

Phương pháp:

- Định nghĩa 3 đường cao trong tam giác: Trong một tam giác,

đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối

diện gọi là đường cao của tam giác đó.

- Tính chất ba đường cao trong tam giác: Ba đường cao của một

tam giác cùng đi qua một điểm.

- Định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng: Đường thẳng

đi qua trung điển và vuông góc với đoạn thẳng được gọi là

đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

- Tính chất tam giác cân , tam giác đều: Trong một tam giác cân(

tam giác đều), đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là

đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất

phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

- Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù: Hai tia phân giác

của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau.

- Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

vuông tại A

Phương pháp 5: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào đường

tròn và các yếu tố trong đường tròn.

Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

ta dựa vào các định lí và các tính chất có liên quan đến đường tròn.

- Tính chất đường kính của đường tròn đi qua trung điểm của

một dây cung hoặc đi qua điểm chính giữa của một cung thì

vuông góc với dây trương cung đó.

- Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thì có số đo bằng

900 .

- Tính chất: Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường

tròn thì nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.

- Tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm ở ngoài

đường tròn thì đường thẳng đi qua điểm đó và tâm đường tròn

phải vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm.

Phương pháp 6: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào định lí

4 điểm.

Định lí : Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau khi và chỉ

khi tổng bình phương của hai cạnh đối diện bằng nhau.

Như vậy muốn chứng minh hai đường thẳng AC và BD vuông góc

với nhau, ta cần chứng minh:

AB2 + CD2 = AD2 + BC2 và ngược lại.

- Nếu D trùng với A thì nội dung định lí trên chính là nội dung định lí

Pytago cho tam giác vuông. Vì thế định lí trên coi là sự mở rộng định lí

Pytago cho tứ giác.

- Nếu D trùng với trực tâm H của tam giác ABC thì ta có : H là trực

tâm của tam giác ABC.

- NÕu D trïng víi trùc t©m H cña tam gi¸c ABC th× ta

cã:

H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC

Vấn đề D trùng với trực tâm H cho ta suy nghĩ về tứ giác ABCD có hai

đường chéo vuông góc với nhau, không nhất thiết phải là tứ giác lồi.

2.1.2.3. Các bài toán liên quan đến đa giác nội tiếp, ngoại tiếp

đường tròn.

a. Các kiến thức cơ bản về đa giác nội tiếp, ngoại tiếp đường tròn.

- Định nghĩa: Một tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn được

gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp).

- Tính chất: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện

bằng 1800.

Tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) =>

b. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.

a) Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng .

b) Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối

của đỉnh đó.

c) Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định

được).

Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

d) Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn

lại dưới một góc .

2.1.2.4. Chứng minh các hệ thức hình học

Độ dài của đoạn thẳng, độ lớn của một góc, diện tích hình phẳng,

thể tích hình không gian là những khái niệm về “ lượng “ của hình học

Ơclit. Các khái niệm đó có liên quan chặt chẽ với nhau được thể hiện

trong những hệ thức hình học xác định, đó là những biểu thức chứa các

phép toán (đại số và siêu việt ) về độ dài, góc, diện tích, thể tích các hình.

Việc tìm tòi và chứng minh các hệ thức hình học có vai trò quan trọng

trong học tập và nghiên cứu hình học.

a. Các phương pháp chứng minh các hệ thức hình học.

Phương pháp 1: Tính chất các đoạn thẳng tỉ lệ.

Phương pháp:

Định nghĩa: Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn

thẳng và nếu có tỉ lệ thức: hay .

Tính chất:

Phương pháp 2: Định lí Ta-lét thuận, đảo và hệ quả của nó.

Phương pháp:

- Định tí Ta-lét thuận: Nếu một

đường thẳng song song với một cạnh

của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì

nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn

thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Định lí Ta-lét đảo: Nếu một

đường thẳng cắt hai cạnh của một tam

giác và định ra trên hai cạnh này

những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì

đường thẳng đó song song với cạnh

còn lại của tam giác.

- Hệ quả của định lí Ta-lét: Nếu một

đường thẳng cắt hai cạnh của một tam

giác và song song với cạnh còn lại thì

nó tạo thành một tam giác mới có ba

cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của

tam giác đã cho.

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác.

Phương pháp: Ta dựa vào tính chất: Trong tam giác, đường phân giác

của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai

đoạn ấy.

Phương pháp 4: Dựa vào các tỉ số được suy ra từ hai tam giác đồng dạng.

Phương pháp: Tam giác đồng dạng với tam giác ABC (theo tỉ

số đồng dạng k)

- Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng

tỉ số đồng dạng.

- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ

số đồng dạng.

Phương pháp 5: Sử dụng tính chất của đường cao, đường phân giác, trung

tuyến và diện tích của hai tam giác đồng dạng.

Phương pháp 6: Vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Phương pháp: Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

- Trong một tam giác vuông, bình

phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của

cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc

vuông đó trên cạnh huyền.

- Trong một tam giác vuông, bình

phương đường cao ứng với cạnh huyền

bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc

vuông trên canh huyền.

- Trong một tam giác vuông, tích hai

canh góc vuông bằng tích của canh huyền

và đường cao tương ứng.

- Trong một tam giác vuông, nghịch

đảo của bình phương đường cao ứng với

cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của

bình phương hai cạnh góc vuông.

- Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền

được gọi là sin của góc , kí hiệu sin .

- Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền

được gọi là côsin của góc , kí hiệu cos

.

- Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được

gọi là tan của góc , kí hiệu tg (hay tan

).

- Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được

gọi là côtang của góc , kí hiệu cotg

(cot ).

Phương pháp 7: Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Phương pháp: Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông:

- Trong mỗi cạnh góc vuông, mỗi

cạnh góc vuông bằng:

+ Cạnh huyền nhân với sin góc đối

hoặc nhân với côsin góc kề;

+ Cạnh góc vuông kia nhân với

tang góc đối hoặc nhân với côtang góc

kề.

Phương pháp 8: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác thường.

Phương pháp 9: Sử dụng hệ thức lượng trong đường tròn.

Vị trí tương đối

của đường thẳng và đường tròn

Số

điểm

chung

Hệ thức

giữa d và R

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau. 2 d < R

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau.

Đường thẳng và đường tròn không giao

nhau.

1

0 d = R

d > R

2.1.2.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng

quy hoặc song song.

Phần1: Chứng minh ba điểm A, B, C, thẳng hàng:

a. Các kiến thức cơ bản về ba điểm thẳng hàng.

Định nghĩa: Khi 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng, ta nói chúng

thẳng hàng.

Tính chất: Trong 3 điểm thẳng hàng, có một điểm và chỉ một điểm nằm

giữa hai điểm còn lại.

b. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Phương pháp 1: Chứng minh ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường đặc

biệt (đường chéo của hình, đường trung trực của một đoạn thẳng, đường

trung tuyến, phân giác,...)

Phương pháp 2: Chứng minh ABC là một góc bẹt

Phương pháp: A, B, C thẳng hàng.

Phương pháp3: Chứng minh AB và AC cùng là cạnh của hai góc đối đỉnh

Phương pháp: A, B, C thẳng hàng.

Phương pháp 4: Chứng minh AB và AC cùng song song với một đường

thẳng (áp dụng tiên đề Euclide).

AB// d và AC//d A, B, C, thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua

điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

Phương pháp 5: Chứng minh AB và AC cùng vuông góc với một đường

thẳng.

AB d và ACd A, B, C thẳng hàng.

Phương pháp 6: Chứng minh AB và AC là hai cạnh còn lại nằm về một

phía của cạnh chung của hai góc bằng nhau.

Phương pháp 7: Sử dụng định lí Ta lét để chứng minh thẳng hàng.

Định tí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam

giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn

thẳng tương ứng tỉ lệ.

Phương pháp 8: Sử dụng phương pháp toạ độ.

Phần 2: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy.

Phương pháp 1: Chúng là những đường đặc biệt của một tam giác

( đường cao, trung tuyến, phân giác, trung trực ). Phương pháp:

Phương pháp 2: Hai đường thẳng nào đó cắt nhau tại điểm S, các đường thẳng còn lại cung đi qua điểm S.

Phương pháp 3: Chỉ ra một điểm cố định S nào đó trên một đường thẳng các đường còn lại đều đi qua S.

Phần 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.

a. Các kiến thức cơ bản về hai đường thẳng song song

Định nghĩa: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có

điểm chung.

b.Các phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song.

Phương pháp 1: Xét vị trí các cặp góc tạo bởi 2 đường thẳng định chứng

minh song song với một đường thẳng thứ ba ( ở các vị trí đồng vị, so

le,...).

Phương pháp 2: Sử dụng các tính chất của hình bình hành.

Tính chất: Trong hình bình hành

- Các cạnh đối bằng nhau

- Các góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Phương pháp 3: Sử dụng quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song.

Phương pháp: Dựa vào quan hệ:

- Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba

thì chúng song song với nhau.

- Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba

thì chúng song song với nhau.

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường trung bình của một tam giác,

một hình thang, tính chất hình bình hành.

Phương pháp:

- Định nghĩa đường trung bình của tam giác: Đường trung bình

của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

- Tính chất đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của

tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

- Định nghĩa đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối

trung điểm hai cạnh bên của hình thang.

- Tính chất đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của

hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Phương pháp 5: Sử dụng định nghĩa hai đường thẳng song song: Hai

đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung.

Phương pháp 6: Sử dụng kết quả của các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để

suy ra các đường thẳng tương ứng song song ( định lí Ta-lét ).

Phương pháp: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác

và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường

thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

Phương pháp 7: Sử dụng tính chất đường thẳng đi qua trung điểm hai

cạnh bên hoặc trung điểm hai đường chéo của hình thang.