Bećirović Fadil - Implementacija dijakoptike u analizama tokova snaga

UNIVERZITET U SARAJEVU ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET

ODSJEK ZA ELEKTROENERGETIKU

Završni rad 1. ciklusa studija

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZAMA TOKOVA SNAGA

Mentor: Kandidat: Van. prof. dr Tatjana Konjić, dipl. ing. el. Bećirović Fadil

Sarajevo, 2015.

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO

SADRŽAJ

POSTAVKA DIPLOMSKOG RADA ....................................................................................... 3

SAŽETAK .................................................................................................................................. 5

ABSTRACT ............................................................................................................................... 6

UVOD ........................................................................................................................................ 7

1. PREDSTAVLJANJE I MODELIRANJE ELEMENATA ELEKTROENRGETSKOG SISTEMA U ANALIZAMA TOKOVA SNAGA ................................................................... 10

1.1. Definicija tokova snaga ................................................................................................. 10

1.2. Predstavljanje pojedinih elemenata sistema .................................................................. 10

1.3. Klasifikacija sabirnica ................................................................................................... 12

1.4. Iteracijski postupci rješavanja sistema dobijenih formuliranjem problema raspodjele tokova snaga ......................................................................................................................... 15

2. PREGLED METODA ZA ANALIZU TOKOVA SNAGA ................................................ 16

2.1. Y-matrična metoda ........................................................................................................ 16

2.2. Z-matrična metoda ........................................................................................................ 19

2.3. Newton-Raphsonova metoda ........................................................................................ 21

3. DIJAKOPTIKA .................................................................................................................... 22

3.1. Uvod .............................................................................................................................. 22

3.2. Thévenin-ov ekvivalent ................................................................................................. 23

3.2.1. Simultano dodavanje proizvoljnog broja grana unutar jednog sistema ................. 23

3.2.2. Primjena Thévenin-ovog matričnog ekvivalenta u dijakoptici .............................. 24

3.2.3. Formiranje Thévenin-ove matrice impedansi......................................................... 25

3.3. Princip dijakoptike ........................................................................................................ 26

4. PRIMJENA DIJAKOPTIKE KOD Z-MATRIČNE METODE ZA PRORAČUN TOKOVA SNAGA .................................................................................................................................... 29

4.1. Matematska formulacija dijakoptike za primjenu u proračunu tokova snaga ............... 29

4.2. Primjer ........................................................................................................................... 32

4.2.1. Proračun pomoću Z-matrične metode .................................................................... 33

4.2.2. Proračun primjenom dijakoptike ............................................................................ 38

5. ZAKLJUČAK ...................................................................................................................... 46

POPIS SLIKA .......................................................................................................................... 48

LITERATURA ......................................................................................................................... 49

2

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA

POSTAVKA DIPLOMSKOG RADA

ODSJEK ZA ELEKTROENERGETIKU

Akademska godina: 2014/2015.

Studij Bologna: I Ciklus

ZAVRŠNI RAD

Nastavnik: van. prof. dr Tatjana Konjić, dipl. ing. el.

Naziv rada:

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZAMA TOKOVA SNAGA

Kratak sadržaj:

Proračuni tokova snaga u mrežama sa značajnim brojem sabirnica iziskuju značajne

memorijske i procesorske resurse, te je česta sitacija da neke metode divergiraju ili se ne mogu

uopće primijeniti. U ovim sitacijama se koriste modificirane metode i iteracijski postupci.

Dijakoptika omogućava rješavanje složenih elektroenergetskih sistema razbijanjem na

podsisteme. Svaki od podsistema razmatra se posebno, a konačno rješenje dobije se razmjenom

odgovarajućih Thévenin-ovih ekvivalenata. Prethodno navedeno vrijedi kod primjene metode

napona čvorova; a kada se isto primjenjuje kod proračuna tokova snaga, tada je potrebno u

svakoj iteraciji vršiti povezivanje podsistema. Navedeno je vrlo jednostavno za programiranje,

a omogućava značajnu uštedu memorijskih i procesorskih resursa.

Postavka zadatka:

Za zadanu konfiguraciju više podsistema poznatu proizvodnju i potrošnju u svim čvorištima

elektroenergetskog sistema potrebno je odrediti naponske prilike u razmatranoj mreži koristeći

dijakoptiku. U svakoj iteraciji se vrši određivanje Thévenin-ovih napona, te se određuju struje

kroz dodane grane, a zatim novi naponi u svim podsistemima. Proces konvergira kada se

zadovolji određena tačnost. Primjenu ovog algoritma potrebno je testirati na jednostavnoj DC

3

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO mreži ili na jednoj izmjeničnoj mreži. Potom provesti usporednu analizu primjene ovog

algoritma u usporedbi sa Y-matričnom ili Z-matričnom metodom na primjeru sa znatnim

brojem sabirnica. Za realizaciju ovog problema koristiti MathCed ili Matlab softverske pakete.

Osnovna literatura:

1. S. Sadović (Knjiga) - "ANALIZA ELEKTROENEREGTSKIH SISTEMA", ETF

Sarajevo, 2003.

Dopunska literatura:

Kandidat je dužan samostalno ili u saradnji sa nastavnikom i njegovim saradnicima pribaviti i

obraditi dopunsku literaturu.

Mentor:__________________________________

Van. prof. dr. Tatjana Konjić, dipl. ing. el.

4


SAŽETAK

Analize koje se provode u elektroenergetskom sistemu imaju različite ciljeve, a neki od njih su

izbor opreme, smanjenje troškova proizvodnje, prijenosa i distribucije, podešavanje uređaja

zaštite, itd.

Proračun tokova snaga predstavlja jedan od najvažnijih i najzahtjevnijih proračuna u

projektiranju i samom radu elektroenergetskog sistema. Mnogo je istraživačkog rada provedeno

na pronalasku algoritama i metoda kojima se postiže što veća tačnost u što manjem broju

iteracija, odnosno da se pojednostavi proračun a da pritom tačnost ostane nepromijenjena.

S obzirom da je broj potrošača električne energije stalno u porastu, to i elektroenergetski sistem

konstatno postaje komplikovaniji, te se još uvijek nastoje pronaći što adekvatnije metode za

proračun tokova snaga, koje će adekvatno odgovoriti na sve zahtjevnije proračune.

Vodeći se tim zadatkom u ovom radu će biti izložena jedna metoda za proračun tokova snaga,

koja se zasniva na principu dijakoptike. Dijakoptika je metod rješavanja složenih

elektroenergetskih sistema razbijanjem na podsisteme. U radu su navedene prednosti i mane

dosadašnjih metoda. Navedeni metode i iterativni postupci za analizu tokova snaga po direktnoj

šemi, tj. pretpostavlja se da je razmatrani sistem simetrično opterećen.

Izložena metoda će biti primijenjena na jednostavnom primjeru DC-mreže. Na istom primjeru

će biti primijenjena i Z-matrična metoda. Dobijene rezulate korištenjem ove dvije metode će se

uporediti i komentarisati.

Ključne riječi: elektroenergetski sistem, dijakoptika, tokovi sanga, Z-matrični metod

5


ABSTRACT

Power System analysis have different goals, such as equipment selection, production,

transferring and distribution cost decrease, setting up protection devices etc.

Load flow analysis is one of the most important and most challenging calculations in the design

and work of power system. A lot of research has been conducted on finding algorithms and

methods that achieve the highest possible accuracy by less iterations, and how to simplify the

calculation while accuracy remains unchanged. As the number of consumers is constantly

rising, that the power system becomes more complicated. Therefore, it is still being tried to find

more adequate methods for load flow analysis, which will adequately respond to the more

complicated calculations.

Guided by this mission, this paper will be exposed to a new method for load flow analysis,

based on the principle of diakoptics. Diakoptics is a method of solving complex electric power

systems by tearing it into subsystems. Also, this paper will primarily pay attention to the current

methods for load flow analysis and their advantages and disadvantages. Methods and iterative

procedures for analysing load flows by positive-sequence are given in this paper; that means, it

is assumed that the concerned systems are loaded simetrically.

Exposed method will be applied on the simple example of DC network. Also the Z-matrix

method will be applied on the same example. Obtained results of both methodes will be

compared amd commented.

Keywords: power system, diakoptics, load flow, Z-matrix method

6


UVOD

Elektroenergetski sistemi predstavljaju jedan od najsloženijih tehno-ekonomskih sistema

današnjice. Izgrađeni su na ogromnim prostranstvima a sastoje se od izuzetno velikog broja

elemenata, te su za njihovu izgradnju potrebna ogromna sredstva. Iako iziskuju ogromne

troškove i mijenjaju prirodno okruženje, današnji način življenja je nezamisliv bez njih.

Osnovni zadatak elektroenergetskih sistema je osiguranje pouzdanog, kvalitetnog i racionalnog

napajanja električnom energijom različitih vrsta potrošača. Elektroenergetski sistem zapravo

povezuje potrošače električne energije sa proizvođačima iste.

Izvori električne energije najčešće su udaljeni od centara potrošnje električne energije, te se

energija prenosi prijenosim sistemom. Prijenosni sistem je podsistem elektroenergetskog

sistema, a on obuhvata visokonaponske vodove i kablove, te visokonaponska postrojenja i

kontrolne centre. Prijenos naizmjenične struje visokih napona obavlja se visokonaponskim

prijenosnim putevima (dalekovodi, podzemni kablovi). Pored toga, u određenim uslovima

prijenos električne energije se obavlja i putem vodova i kablova jednosmjerne struje.

Električna energija se proizvodi u električnim centralama, u kojima se najčešće mehanička ili

termička energija pretvaraju u električnu energiju. Često se za ove električne centrale, koje

nazivamo elektranama, kao gorivo koriste plin, nafta, ali i nuklearno gorivo.

Spektar potrošača električne energije danas je veoma bogat. Naime, potrošnja električne

energije se odvija raznovrsnim potrošačkim strukturama, kao što su gradska i seoska naselja,

industrijski kompleksi i transportni sistemi. Za svaki od ovih potrošača, potrebno je

transportovati električnu energiju visokim naponom, a zatim napone prilagoditi potrošačima.

Za to prilagođavanje potrebna su nam rasklopna postrojenja u kojima se nalaze

transformatorska polja, koja mijenjaju vrijednost napona i struje pri istoj frekvenciji.

Iz ovog kratkog opisa funkcije i komponenata elektroenergetskog sistema moguće je uvidjeti

da elektroenergetski sistem ima veoma kompleksnu strukturu, te se s pravom može reći da

elektroenergetski sistem do danas predstavlja jedno od najvećih dostignuća čovječanstva.

Između različitih vrsta analizai proračuna, prilikom planiranja, izgradnje i samog pogona

elektroenergetskog sistema vrši se i analiza tokova snaga. Osnovna analiza sistema vrši se u

stacionarnom stanju, pri čemu se pretpostavlja da su elementi sistema simetrični. Pored toga,

usvaja se da su i potrošači simetrični, tj. da oni uzimaju istu vrijednost snage po pojedinim

fazama. Ovakav pristup, koji se u najvećem broju slučajeva odnosi na realna stanja

elektroenergetskih sistema, omogućava formulisanje problema samo na direktnoj shemi.

7

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Najveći broj metoda i računarskih programa za analize tokova snaga baziran je na prethodnim

pretpostavkama.

U slučaju nesimetričnih elemenata sistema i nesimetričnih potrošača, potrebno je problem

formulisati kao trofazni, što ga bitno usložnjava.

Osnovna karakteristika problema tokova snaga je u tome što je problem, odnosno rezultirajući

sistem jednačina, nelinearan, pa je za njegovo rješavanje potrebno primijeniti neki od

iteracijskih postupaka (Jacobijev postupak, Gauss-Seidelov postupak, metoda sukcesivne

nadrelaksacije, Newton-Raphsonov postupak).

Porastom životnog standarda i broja stanovnika na Zemlji, svakodnevno raste potražnja za

električnom energijom. Zbog toga i sistemi napajanja električnom energijom postaju sve

složeniji i komplikovaniji za praćenje, upravljanje i zaštitu, odnosno komplikovaniji za

proračune bitnih parametara u realnom vremenu. Razvoj elektroenergetskih sistema je, uslijed

njegove cijene i složenosti, praćen računarskim simulacijama i analizama koje u potpunosti

prate nove tehnologije u komunikacijama i upravljanju. Povećanje složenosti

elektroenergetskog sistema čini njegov razvoj pomoću jednog računara znatno otežanim i

nepraktičnim, dok je praćenje stanja elektroenergetskog sistema, ukoliko u njemu postoji i

distribuirana proizvodnju, skoro nemoguće [7].

Dijakoptika predstavlja koristan alat koji može smanjiti složenost operacija na računaru.

Teorijski, to je postupak rješavanja složenih sistema razbijanjem originalnog sistema na više

jednostavnijih podsistema, a modifikacijom rješenja za pojedine sisteme dobija se rješenje koje

odgovara ukupnom problemu [7].

Ovo omogućava da se algoritam dijakoptike implementira na jednom ili više računara koji su

svrstani u određenu hijerarhiju i međusobno povezani komunikacijskim kanalima, što u

konačnici omogućava znatno brže proračune, uzimajući u obzir i to koliko su današnji računari

napredni.

8

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA Rad je organiziran na sljedeći način:

- u 1. poglavlju će se navesti osnovni teorijski zakoni za predstavljanje pojedinih

elemenata sistema, kao i tipove sabirnica koji su nam neophodni za shvatanje samog

postupka dijakoptike.

- u 2. poglavlju će se navesti neke metode, koje se najčešće primjenjuju za proračun

tokova snaga, sa njihovim osnovnim izrazima i osobinama. Cilj ovog poglavlja je da se

kroz nekoliko metoda pobliže upozna s proračunom tokova snaga, te s procesima koji

se dešavaju, kako bi se na kraju adekvatno mogla uporediti Z-metodu s metodom, koja

će biti objašnjena u ovom radu - a to je proračun tokova snaga primjenom dijakoptike.

- u 3. poglavlju prvo će se objasniti Théveninov ekvivalneta, tj. formiranje Théveninove

matrice impedansi i simultanog dodavanja grana pomoću pomenutog postupka. Zatim

će se izložiti koncept dijakoptike na jednostavnom primjeru, gdje će se moći uočiti

glavni zakoni i osobine ovog postupka. Uz koncept dijakoptike, navest ćemo neke od

najbitnijih prednosti i osobina ovog postupka. Nakon toga će se pristupiti matematskoj

formulaciji proračuna tokova snaga pomoću dijakoptike. Ovaj postupak se sastoji od

dva koraka. Prvi korak je određivanje neophodnih parametara sistema potrebnih za

primjenu dijakoptike, a drugi korak je formulisanje iterativnog postupka. I prvi i drugi

korak će biti detaljno izloženi u ovom poglavlju sa pratećim izrazima. Na kraju ovog

poglavlja na jednom primjeru DC-mreže izvršiti će se proračun tokova snaga Z-

matričnom metodom iproračun tokova snaga primjenom dijakoptike.

- U posljednjem, 5. poglavlju, će se samo ukazati na prednosti novoformiranog postupka

za proračun tokova snaga. Ukratko, izvršit će se poređenje sa Z-metodom, na osnovu

primjera iz 4. poglavlja. Na samom kraju u nekoliko rečenica će se objasniti plan daljeg

razvoja ove metode, kako bi ista postala konkurentna u proračunima tokova snaga.

9


1. PREDSTAVLJANJE I MODELIRANJE ELEMENATA ELEKTROENRGETSKOG SISTEMA U ANALIZAMA TOKOVA SNAGA

1.1. Definicija tokova snaga

Proračun tokova snaga i naponskih stanja je vjerovatno najviše proučavani i najčešće

dokumentovani problem u analizi elektroenergetskih sistema. U suštini, on se sastoji u

proračunu fazora napona u čvorovima elektroenergetske mreže u stacionarnom stanju, pri čemu

su konfiguracija i parametri mreže poznati, a granični uslovi unaprijed određeni. Tek naknadno

pristupa se vršenju proračuna tokova aktivnih i reaktivnih snaga po granama mreže [5].

Opšta definicija problema raspodjele tokova snaga u elektroenergetskom sistemu (EES) glasi:

Za datu konfiguraciju EES, poznatu proizvodnju generatora i poznatu potrošnju potrošača,

odrediti napone svih sabirnica, te na osnovu njih odrediti tokove snaga i gubitke na

elementima EES.

Osnovna karakteristika problema raspodjele tokova snaga jeste da je sistem jednačina koji

opisuje ovaj problem nelinearan, pa je za njegovo rješavanje potrebno primjeniti neke od

iterativnih postupaka. Problem raspodjele tokova snaga provodi se na direktnoj šemi, pri čemu

su zamjenske šeme elemenata EES prevedene u sistem jediničnih vrijednosti, pa se i problem

raspodjele tokova snaga provodi u sistemu jediničnih vrijednosti (p.u. – per unit sistem). Ako

u sistemu jediničnih vrijednosti, za baznu snagu usvojimo trofaznu snagu, a za bazni napon

linijski napon, onda se problem može analizirati kao da se radi o jednofaznom kolu.

1.2. Predstavljanje pojedinih elemenata sistema

a) Generatori i potrošači:

Snage potrošača i proizvodnje generatora predstavljaju trofazne vrijednosti, a za bazne

napone i bazne snage uzimaju se linijski naponi i trofazne snage. Ekvivalentni generator se

predstavlja preko odgovarajućeg strujnog izvora.

b) Otočne provodnosti:

Otočne provodnosti, spojene između odgovarajuće sabirnice i zemlje, mogu se pojaviti kod

uzimanja u obzir kapaciteta vodova, induktiviteta otočnih prigušnica, provodnosti uslijed

nenominalnog položaja regulacione sklopke transformatora, itd.

10


Otočne provodnosti mogu se direktno uključiti u odgovarajuću matricu provodnosti, ili

tretirati kao dopunski strujni izvor, Slika 1.1. [1][3].

Slika 1.1. Predstavljanje otočne provodnosti preko dopunskog izvora

Ako se tretira kao dopunski strujni izvor, rezultujuća čvorna struja sabirnice "i" iznosi:

𝐼𝐼𝑛𝑛𝑛𝑛 =𝑆𝑆𝑛𝑛∗

𝑈𝑈𝑛𝑛∗− 𝑌𝑌0𝑈𝑈𝑛𝑛 =

𝑃𝑃𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑄𝑄𝑛𝑛𝑈𝑈𝑛𝑛∗

− 𝑌𝑌0𝑈𝑈𝑛𝑛 (1.1)

gdje je " Y0 " otočna provodnost.

Ovakav način predstavljanja otočne provodnosti ima prednost u slučajevima da se isti

mijenjaju po iznosu i položaju, a ostali dio mreže ostaje nepromijenjen. Na ovaj način

osnovna matrica Y formira se samo jednom.

c) Visokonaponski vodovi i kabeli:

Visokonaponski vodovi i kabeli predstavljaju se preko ekvivalentne π – sheme. Zadaje se

samo direktna shema, a važno je uzeti u obzir sve elemente ove sheme. Dozemni kapacitet

može se uključiti direktno u odgovarajuću matricu provodnosti ili tretirati kao dopunski

strujni izvor.

d) Koncentrirani parametri:

Koncentrirani parametri spojeni između sabirnica predstavljaju se preko grana čija je

provodnost jednaka provodnosti razmatranog koncentriranog elementa. Provodnost grane

mora biti različita od "0". Predstavljanje otočnih koncentriranih parametara predstavljeno

je ranije.

e) Energetski transformatori:

Na osnovu podataka o praznom hodu i kratkom spoju određuje se zamjenska shema

transformatora. Najčešće se zanemaruje otočna grana dobivena pokusom praznog hoda.

Veliku ulogu ima položaj regulacione preklopke. Tronamotajni trofazni transformator

11


predstavlja se pomoću tri grane, čije su impedanse određene na osnovu pokusa kratkog

spoja i jedne otočne grane čija je provodnost određena na osnovu praznog hoda. U slučaju

da se radi o regulacionom tronamotajnom transformatoru onda se on predstavlja sa jednim

π elementom, dvije serijske grane i jednom otočnom granom.

Zamjenska shema transformatora sa nenominalnim prijenosnim odnosom, tj. sa

nenominalnim položajem regulacione sklopke, data je na Slici 1.2 [3].

Slika 1.2. Zamjenska shema dvonamotajnog regulaciong transformatora

Na Slici 1.2. 𝑌𝑌𝑇𝑇 predstavlja provodnost serijske grane, koja je određena na osnovu

podataka iz pokusa kratkog spoja, dok je sa t označen jedinični položaj regulacione

sklopke. Primjećujemo da kod tronamotajnih transformatora postoji fiktivna (četvrta)

sabirnica, koja odgovara zajedničkom spoju svih grana transformatora.

1.3. Klasifikacija sabirnica

U opštoj definiciji problema raspodjele tokova snaga spomenuta je ''sabirnica''.

Sabirnica ili čvorište predstavlja mjesto (lokaciju) gdje se spajaju dva ili više elemenata EES.

Za EES koji ima m ( m ≥ 0 ) sabirnica, i-ta ( i ≤ m ) sabirnica se definiše sa ukupno četiri

varijable:

Pi – Aktivna snaga,

Qi – Reaktivna snaga,

|Ui| – Modul napona,

θi – Ugao napona.

Za definisanje problema tokova snaga potrebno je da na i-toj sabirnici budu poznate dvije

varijable, dok se rješavanjem problema tokova snaga odrede ostale nepoznate varijable. U

ovisnosti koje su varijable poznate postoje i tipovi (vrste) sabirnica.

12

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA a) PQ sabirnica

- poznato Pi,Qi

- nepoznato |Ui|,θi

Sabirnica PQ služi za modelovanje potrošača, elektrana za koje je poznata proizvodnja

aktivne i reaktivne snage, te statičkih neupravljivih kompenzacionih uređaja. Na ovu

sabirnicu može biti priključeno više potrošača, izvora i kompenzacionih neupravljivih

uređaja. Neka je priključeno m potrošača, n izvora i k neupravljivih kompenzacionih uređaja.

Tada je ekvivalentna snaga na ovoj sabirnici data izrazom:

𝑆𝑆𝑒𝑒 = −𝑆𝑆𝑃𝑃𝑛𝑛 + 𝑆𝑆𝐺𝐺𝑛𝑛 ± 𝑆𝑆𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝑛𝑛

𝑘𝑘

𝑛𝑛=1

𝑛𝑛

𝑛𝑛=1

𝑚𝑚

𝑛𝑛=1

(1.2)

Snaga potrošača se uzima sa predznakom (-), snage izvora sa predznakom (+), a snaga

kompenzacionog neupravljivog uređaja sa predznakom (-) ako se radi o kompenzatoru

induktivnog karaktera, odnosno predznak (+) ako se radi o kompenzatoru kapacitivnog

karaktera.

Ekvivalentna snaga na sabirnici:

𝑆𝑆𝑒𝑒 = 𝑃𝑃𝑒𝑒 + 𝑗𝑗𝑄𝑄𝑒𝑒 (1.3) predstavlja se preko ekvivalentnog strujnog izvora, na osnovu izraza

𝑆𝑆 = 𝑈𝑈𝐼𝐼∗. (1.4) Predstavaljnje PQ sabirnica u rješavanju problema tokova snaga je prikazano na Slici 1.3.

Slika 1.3 Predstavljanje PQ sabirnice u rješavanju problema tokova snaga

13

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO b) P|U| sabirnica

- poznato |Pi |, Ui

- nepoznato Qi, θ i

Sabirnica 𝑃𝑃|𝑈𝑈| služi za modelovanje elektrana velike snage i kompenzacionih upravljivih

uređaja. Elektrane velike snage su elektrane koje koriste konvencionalne izvore energije, a

to su termoelektrane, nuklarne elektrane, plinske elektrane, hidroelektrane. Modul napona na

pragu elektrane se zadaje kao nominalni ili za 5% veći od nominalnog napona. Ova činjenica

ovisi o udaljenosti elektrane od distributivnog centra. Modelovanjem kompenzacionog

uređaja pomoću 𝑃𝑃|𝑈𝑈| sabirnice, kao rezultat tokova dobija se reaktivna snaga koju treba

injektirati na sabirnicu da bi na njoj vladao zadani modul napona. Na osnovu proračunate

reaktivne snage nije teško odrediti podešenje regulatora kompenzatora.

c) |U |θ sabirnica

- poznato |Ui|, θi

- nepoznato Pi, Qi

Sabirnica |U| θ se naziva i referentna sabirnica. Da bi problem tokova snaga mogao biti rješen,

potrebno je definisati sabirnicu ovog tipa. Imaju dva razloga zbog kojih mora biti definisana

referentna sabirnica:

1. Mora biti definisan napon pri kojem se vrši prenos snage.

2. Poznata je proizvodnja i potrošnja na pojedinim sabirnicama. Međutim, u početku nisu

poznati gubici na pojedinim elementima sistema, tako da nije moguće odrediti

generatore koji pokrivaju gubitke u sistemu. Zbog toga se referentnoj sabirnici

pridružuje fiktivni generator, koji pokriva gubitke u sistemu i eventualnu razliku između

ukupne proizvodnje i ukupne potrošnje.

Ovdje treba napomenuti kako je napon referentne sabirnice poznat, pa stoga nije potrebno

rješavati jednačinu koja opisuje referentnu sabirnicu.

Objašnjene vrste sabirnica poredane po hijerarhiji su: |U| θ , |P|U i PQ .

Ovo znači da ako je na neku proizvoljnu sabirnicu EES priključen generator sa poznatim

modulom napona i uglom napona, tada ta sabirnica postaje |U|θ sabirnica. Na istu sabirnicu

mogu biti priključeni generatori ili potrošači koji guraju odnosno uzimaju snagu iz sistema.

Rezultirajuća snaga proizvodnje generatora (koji je odredio tip sabirnice), se dobija sumiranjem

svih snaga koje ulaze u proizvoljnu sabirnicu i izjednačavanjem istih sa snagom dobijenom

14

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA rješavanjem tokova snaga. Treba voditi računa da se snaga potrošača priključenih na

proizvoljnu sabirnicu uzima sa predznakom (-).

Ako je na proizvoljnu sabirnicu priključen generator ili kompenzacioni uređaj za koji je poznat

modul napona i aktivna snaga, (kompenzacioni uređaj ne predaje aktivnu snagu EES), tada

proizvoljna sabirnica postaje |P|U sabirnica. Na istu sabirnicu mogu biti priključeni generatori

ili potrošači koji guraju odnosno uzimaju snagu iz sistema. U ovom slučaju treba voditi računa

da aktivna snaga, koja se uzima za rješavanje problema tokova snaga, treba da bude suma svih

snaga na proizvoljnoj sabirnici.

1.4. Iteracijski postupci rješavanja sistema dobijenih formuliranjem problema raspodjele tokova snaga

Za iteracijsko rješavanje sistema jednačina, dobijenog formuliranjem problema raspodjele

tokova snaga, koriste se neki od sljedećih iteracijskih postupaka:

- Jacobijev postupak

Prema ovom postupku, rješenja u k+1 iteracijskom ciklusu dobiju se uvrštavanjem svih

veličina iz k-tog iteracijskog ciklusa u odgovarajuće jednačine.

- Gauss-Seidelov iteracijski postupak

Ovaj postupak predstavlja modifikaciju Jacobijevog. Sastoji se u tome što se prethodno

izračunate vrijednosti u k+1 ciklusu koriste u istom ciklusu, dok se veličine koje nisu

prethodno određene uzimaju iz k-tog ciklusa.

- Postupak (metoda) sukcesivne nadrelaksacije

Ovaj postupak se sastoji u tome što se rješenje dobiveno Gauss-Siedelovim postupkom prije

daljeg korištenja modificira (ubrzava). Za ovo se koristi jednačina koja ima sljedeći oblik:

𝑈𝑈(𝑘𝑘+1)′ = 𝑈𝑈𝑘𝑘 + 𝛼𝛼 (𝑈𝑈𝑘𝑘+1 − 𝑈𝑈𝑘𝑘), (1.5)

gdje je:

𝑈𝑈(𝑘𝑘+1)′ – modificirana vrijednost,

𝑈𝑈𝑘𝑘+1 – vrijednost dobivena Gauss-Siedelovim postupkom,

𝑈𝑈𝑘𝑘 – vrijednost iz prethodnog iteracijskog ciklusa,

𝛼𝛼 – koeficijent ubrzanja (nadrelaksacije).

Koeficijent nadrelaksacije kreće se u granicama 1 < α < 2 i određuje se iskustveno.

15


2. PREGLED METODA ZA ANALIZU TOKOVA SNAGA

Za proračun tokova snaga postoje dva osnovna matrična metoda, Y-matrični i Z-matrični

metod. U ovom poglavlju objašnjeni su matematski modeli navedenih metoda. Cilj ovog

poglavlja je ukratko objasniti karakteristike navedenih metoda, izložiti konačne formule po

kojima se iterira, i na blok strukturi prikazati način programiranja istih.

2.1. Y-matrična metoda

Ovaj iteracijski postupak rješavanja problema raspodjele tokova snaga se sprovodi tako što se

iteracijska shema primjenjuje direktno na odgovarajuću matricu provodnosti [𝑌𝑌]. Prednost

ovog metoda je što se iteracijski postupak provodi direktno na ovoj matrici [𝑌𝑌], što dovodi do

jednostavnosti programiranja i malih memorijskih zahtjeva, jer je matrica provodnosti [𝑌𝑌]

rijetko popunjena matrica. Nedostatak ove metode je veliki broj iteracija, te zbog toga za velike

sisteme ova metoda često divergira. Na Slici 2.1. prikazana je blok struktura programiranja Y-

matričnog metoda.

Slika 2.1. Blok struktura Y-matričnog metoda [3]

16

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA U dijelu koji slijedi prikazane su osnovne formule za proračun tokova snaga korištenjem Y-

matričnog metoda, sa konciznim objašnjenjima svake. Naime, ako u sljedećem sistemu

jednačina:

𝑌𝑌11𝑈𝑈1 + 𝑌𝑌12𝑈𝑈2 ··· +𝑌𝑌1𝑁𝑁𝑈𝑈𝑁𝑁 = 𝑃𝑃1−𝑗𝑗𝑄𝑄1𝑈𝑈1∗

− 𝑌𝑌10𝑈𝑈0

𝑌𝑌21𝑈𝑈1 + 𝑌𝑌22𝑈𝑈2 ··· +𝑌𝑌2𝑁𝑁𝑈𝑈𝑁𝑁 =𝑃𝑃2 − 𝑗𝑗𝑄𝑄2

𝑈𝑈2∗− 𝑌𝑌20𝑈𝑈0

⋮

𝑌𝑌11𝑈𝑈1 + 𝑌𝑌12𝑈𝑈2 ··· +𝑌𝑌1𝑁𝑁𝑈𝑈𝑁𝑁 =𝑃𝑃1 − 𝑗𝑗𝑄𝑄1𝑈𝑈1∗

− 𝑌𝑌10𝑈𝑈0

𝑌𝑌𝑁𝑁1𝑈𝑈1 + 𝑌𝑌𝑁𝑁2𝑈𝑈2 ··· +𝑌𝑌𝑁𝑁𝑁𝑁𝑈𝑈𝑁𝑁 =𝑃𝑃𝑁𝑁 − 𝑗𝑗𝑄𝑄𝑁𝑁

𝑈𝑈𝑁𝑁∗− 𝑌𝑌𝑁𝑁0𝑈𝑈0

(2.1)

Ako se na lijevoj strani zadrže samo nepoznati naponi, dobit ćemo sistem jednačina na koji se

direktno primjenjuje odgovarajući iteracijski postupak:

𝑈𝑈1 =1𝑌𝑌11

𝑃𝑃1 − 𝑗𝑗𝑄𝑄1𝑈𝑈𝑁𝑁∗

− 𝑌𝑌10𝑈𝑈0 − 𝑌𝑌12𝑈𝑈2 ··· −𝑌𝑌1𝑁𝑁𝑈𝑈𝑁𝑁

𝑈𝑈2 =1𝑌𝑌22

𝑃𝑃2 − 𝑗𝑗𝑄𝑄2

𝑈𝑈2∗− 𝑌𝑌20𝑈𝑈0 − 𝑌𝑌21𝑈𝑈1 ··· −𝑌𝑌2𝑁𝑁𝑈𝑈𝑁𝑁

⋮

𝑈𝑈𝑁𝑁 =1𝑌𝑌𝑁𝑁𝑁𝑁

(𝑃𝑃𝑁𝑁 − 𝑗𝑗𝑄𝑄𝑁𝑁

𝑈𝑈𝑁𝑁∗− 𝑌𝑌𝑁𝑁0𝑈𝑈0 − 𝑌𝑌𝑁𝑁1𝑈𝑈1 ··· −𝑌𝑌𝑁𝑁,𝑁𝑁−1𝑈𝑈𝑁𝑁−1 )

(2.2)

Za rješavanje sistema (2.2) moguće je primijeniti jedan od sljedećih iteracijskih postupaka:

Jacobijev, Gauss-Seidelov i sukcesivna nadrelaksacija. Uz poznate članove matrice [Y] i

poznati napon referentne sabirnice (npr. U0=1,1+j0), iteracijski postupak započinje usvajanjem

početnog vektora napona:

[𝑈𝑈]0 =

⎣⎢⎢⎡𝑈𝑈1

0

𝑈𝑈20⋮𝑈𝑈𝑁𝑁0⎦⎥⎥⎤ (2.3)

Članovi početnog vektora napona sabirnica mogu biti međusobno jednaki (npr. Ui0=1+j0).

Nakon svakog iteracijskog ciklusa kontrolira se konvergencija rješenja, tj. vrši se određivanje

izraza:

|[𝑈𝑈]𝑘𝑘+1 − [𝑈𝑈]𝑘𝑘| ≤ ɛ (2.4)

17

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Iteracijski postupak zaustavlja se u trenutku kada je modul razlike napona svih sabirnica,

između dvije susjedne iteracije, manji ili jednak zadanom broju ε (npr. ε = 0,0001).

Prethodni postupak odnosio se na slučajeve kod kojih su na sabirnicama bile zadane aktivne i

reaktivne snage ekvivalentnog generatora (PQ tip sabirnice).

Sabirnica koja ima zadanu aktivnu snagu i modul napona ( P|U| tip sabirnice), zahtijeva

posebno razmatranje. Neka je na sabirnici m zadana aktivna snaga Pm i modul napona |U|m.

Jednačinu iz prethodnog sistema koja odgovara sabirnici m:

𝑈𝑈𝑚𝑚 =

1𝑌𝑌𝑚𝑚𝑚𝑚

(𝑃𝑃𝑚𝑚 − 𝑗𝑗𝑄𝑄𝑚𝑚

𝑈𝑈𝑚𝑚∗− 𝑌𝑌𝑚𝑚0𝑈𝑈0 − 𝑌𝑌𝑚𝑚1𝑈𝑈1 ··· −𝑌𝑌𝑚𝑚𝑁𝑁𝑈𝑈𝑁𝑁)

(2.5)

Jednačina (2.5) može se preurediti na sljedeći oblik:

𝑃𝑃𝑚𝑚 − 𝑗𝑗𝑄𝑄𝑚𝑚 = 𝑈𝑈𝑚𝑚∗ (𝑌𝑌𝑚𝑚0𝑈𝑈0 + 𝑌𝑌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑈𝑈𝑚𝑚)𝑁𝑁

𝑚𝑚=1

(2.6)

Iz jednačine (2.6) dobija se izraz za reaktivnu snagu na sabirnici m:

𝑄𝑄𝑚𝑚 = Im[−𝑈𝑈𝑚𝑚∗ (𝑌𝑌𝑚𝑚0𝑈𝑈0 + 𝑌𝑌𝑚𝑚𝑚𝑚𝑈𝑈𝑚𝑚)𝑁𝑁

𝑚𝑚=1

] (2.7)

Na osnovu jednačine (2.7) moguće je odrediti reaktivnu snagu sabirnice m, ako su poznati

naponi svih sabirnica (uključujući i sabrinicu m).

Iteracijski postupak u slučaju P|U| sabirnica sprovodi se tako da na osnovu svih napona u k-tom

iteracijskom ciklusu odredi reaktivna snaga sabirnice m, koja služi da se odrede svi napone u

k+1 iteracijskom ciklusu. Napon na sabirnici m računa se kako bi se našli fazni ugao tokom tog

iteracijskog ciklusa, dok modul napona ostaje isti kao zadani (P|U| sabirnica - zadan modul

napona).

18


2.2. Z-matrična metoda

Ova metoda rješavanja problema raspodjele snaga slična je Y-matričnoj metodi. Razlika je u

tome što se prije početka iteracijskog postupka izvrši inverzija matrice provodnosti [Y].

Prednost ovog metoda u odnosu na Y-matrični metod je mali broj iteracija. Razlog tome je puna

matrica [𝑍𝑍]. Ipak, mana ovog metoda je potreba za invertovanjem [𝑌𝑌], pri čemu se povećava

vrijeme proračuna.

Sada, kao i u prethodnom slučaju, navedimo osnovne formule za Z-matričnu metodu. Naime,

ako se jednačins [𝑌𝑌][𝑈𝑈] = [𝐼𝐼] pomnoži sa [Y]-1 , dobit će se [1]:

[𝑌𝑌][𝑈𝑈] = [𝐼𝐼] /[𝑌𝑌]−1

[𝑈𝑈] = [𝑌𝑌]−1[𝐼𝐼]

[𝑈𝑈] = [𝑍𝑍][𝐼𝐼]

(2.8)

gdje je:

[Z] – matrica impedansi, dobivena inverzijom matrice provodnosti.

Jednačina (2.8) napisana u razvijenom obliku glasi [1]:

𝑈𝑈1 = 𝑍𝑍11𝐼𝐼11 + 𝑍𝑍12𝐼𝐼12 + ⋯+ 𝐼𝐼1𝑁𝑁𝑍𝑍1𝑁𝑁

𝑈𝑈2 = 𝑍𝑍21𝐼𝐼21 + 𝑍𝑍22𝐼𝐼22 + ⋯+ 𝐼𝐼2𝑁𝑁𝑍𝑍2𝑁𝑁

⋮

𝑈𝑈𝑁𝑁 = 𝑍𝑍𝑁𝑁1𝐼𝐼𝑁𝑁1 + 𝑍𝑍𝑁𝑁2𝐼𝐼𝑁𝑁2 + ⋯+ 𝑍𝑍𝑁𝑁𝑁𝑁𝐼𝐼𝑁𝑁𝑁𝑁

(2.9)

Za rješavanje problema raspodjele tokova snaga ovom metodom moguće je koristiti bilo koji

od iteracijskih postupaka.

Iteracijski postupak za Z-matricu (Gauss-Seidel) se sastoji u sljedećim koracima [4]:

- 0. iteracija – pretpostavljanje nazivnog napona u svim čvorovima, osim referentnog, i

proračun struja u svim čvorovima.

𝐼𝐼𝑗𝑗0 =𝑆𝑆𝑗𝑗∗

𝑈𝑈𝑗𝑗0− 𝑌𝑌𝑗𝑗,0 ⋅ 𝑈𝑈𝑗𝑗0 (2.10)

- 1. iteracija – proračun napona u čvorovima

𝑈𝑈𝑛𝑛1 = 𝑍𝑍𝑛𝑛,𝑗𝑗 ⋅ 𝐼𝐼𝑗𝑗0𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

(2.11)

- Ubrzanje postupka postižese tako što nakon izračunavanja napona u svakom čvoru

odmah se računa i struja u tom čvoru, pa se ona može iskoristiti za računanje napona u

narednim čvorovima [4].

19


𝑈𝑈𝑛𝑛𝑘𝑘+1 = 𝑍𝑍𝑛𝑛,𝑗𝑗 ⋅ 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑘𝑘+1 + 𝑍𝑍𝑛𝑛,𝑗𝑗 ⋅ 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑘𝑘𝑛𝑛

𝑗𝑗=𝑛𝑛

𝑛𝑛−1

𝑗𝑗=1

𝐼𝐼𝑗𝑗𝑘𝑘 =𝑆𝑆𝑗𝑗∗

𝑈𝑈𝑗𝑗𝑘𝑘− 𝑌𝑌𝑗𝑗,0 ⋅ 𝑈𝑈𝑗𝑗𝑘𝑘

𝐼𝐼𝑗𝑗𝑘𝑘+1 =𝑆𝑆𝑗𝑗∗

𝑈𝑈𝑗𝑗𝑘𝑘+1− 𝑌𝑌𝑗𝑗,0 ⋅ 𝑈𝑈𝑗𝑗𝑘𝑘+1

(2.12)

- Završetak postupka, ako je zadovoljena konvergencija:

max𝑈𝑈𝑛𝑛𝑘𝑘+1 − 𝑈𝑈𝑛𝑛𝑘𝑘 ≤ 𝜀𝜀 (2.13)

Na Slici 2.2 prikazana je blok struktura [𝑍𝑍] matričnog metoda.

Slika 2.2. Blok struktura Z-matričnog metoda [3]

Kao što se može vidjeti kod ovog postupka rješavanja problema tokova snaga, moguće je pratiti

i promjene čvornih struja ili odstupanja između izračunatih i zadanih snaga. Sabirnice sa

zadanim modulom napona (tip sabirnice P|U|) uzimaju se u obzir slično postupku uvedenom

kod Y-matričnog metoda. Ako su zadane aktivna snaga i modul napona sabirnice m, iz

jednačine (2.9) izdvaja se ona koju odgovara sabirnici m. Na osnovu te jednačine i izraza, kojim

20

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA je predstavljen ekvivalentni generator sabirnice m, odredi se reaktivnu snagu na sabirnici m.

Nakon toga, odredise napon za sve sabirnice, tj. od napona je potreban odgovarajući fazni ugao

za sabirnicu m, dok je modul napona zadan [1].

2.3. Newton-Raphsonova metoda

Newton-Raphsonova (N-R ) metoda koristi se za rješavanje sistema nelinearnih jednačina. Ima

vrlo dobre karakteristike s obzirom na konvergenciju (kvadratna konvergencija), tako da su

danas skoro svi moderni računarski programi za proračun raspodjele tokova snaga u EES-u

bazirani na ovom metodu, ili na nekoj od njegovih modifikacija. Smatra se da je sedam do deset

puta brži od Y-matričnog metoda za rješavanje problema tokova snaga. Za razliku od ostalih

metoda za proračun, broj iteracija kod N-R metode praktično je nezavisan od dimenzija

problema. Jedina mana ovog metoda je potreba za određivanjem i invertiranjem tzv. Jacobijan

matrice, i to u svakom iteracijskom ciklusu. Ovaj problem ublažava se korištenjem neke od

modificiranih N-R metoda i tehnike rijetko popunjenih matrica [1].

Pored standardnog N-R postupka u analizama tokova snaga koriste se još dva modifikovana

N-R postupka:

- Razdvojeni N-R postupak slično konvergira kao i standardni N-R postupak, ali je

glavna prednost ušteda memorijskog prostora. Standardni N-R postupak zahtjeva

memorijski prostor za matricu reda 2N × 2N i njenu inverziju u svakoj iteraciji, dok

razdvojeni N-R postupak zahtjeva memorijski prostor za dvije matrice reda N × N i

također njihovo invertovanje. Iz prethodno rečenog možemo zaključiti da je zasigurno

vrijeme proračuna kod razdvojenog N-R kraće od standardnog N-R [3].

- Brzi razdvojeni N-R postupak je modifikacija razdvojenog postupka. Vrijeme

proračuna ovim postupkom je znatno kraće nego standardnim postupkom, ali je broj

iteracija znatno veći. Ova činjenica će se moći uočiti kod konkretnih primjera, koji su

obrađivani u ovom radu. Njegova glavna prednost leži u tome da jednom formirane

Jakobian matrice i invertovane, ne treba više formirati tokom iterativnog procesa. Ako

se za ovaj postupak upotrijebe tehnike rijetko popunjenih matrica, tada bi se moglo reći,

da je ovo jedan od najboljih postupaka za rješavanje problema tokova snaga [3].

21


3. DIJAKOPTIKA

3.1. Uvod

Dijakoptika je postupak rješavanja složenih sistema razbijanjem originalnog sistema na više

jednostavnijih podsistema, a modifikacijom rješenja za pojedine podsisteme dobija se rješenje

koje odgovara ukupnom problemu. Riječ dijakoptika je nastala od grčkih riječi kopto, što znači

podijeliti, rastaviti na dijelove, i dia, koja pojačava riječ koja slijedi iza nje (kao "veoma").

Dijakoptiku je prvi uveo i razvio Gabriel Kron ranih 1950-ih godina u oblasti tenzorske analize,

a širu primjenu u oblasti elektrotehnike doživjela je početkom šezdesetih godina 20. stoljeća.

Dijakoptika se od tada razvijala i koristila u drugim oblastima gdje su uključeni veliki i/ili

složeni sistemi, i danas spada u osnovne matematske tehnike nepovezane sa specifičnom

primjenom [8].

Značajnija primjena dijakoptike očekuje se kod analiza EES u realnom vremenu (razmjena

ekvivalenata između pojedinih područja) i kod korištenja paralelnog računanja - procesiranja.

(shematski prikaz primjene dat je na Slici 3.1).

Slika 3.1 Shematski prikaz primjene dijakoptike u elektroenergetskim sistemima [7]

Kod paralelnog multiprocesorskog računanja svakom procesu dodjeljujemo odgovarajući

podsistem, a centralni procesor vrši koordiniranje ukupnog rada i razmjenu informacija između

pojedinih procesora [1].

Primjenom dijakoptike, procesor se opterećuje s više manje zahtjevnih matematskih operacija,

umjesto jedne mnogo zahtjevne matematske operacije [1]. Omjer broja sabirnica i memorijskih

zahtjeva prikazan je na Slici 3.2.

22


Slika 3.2. Memorijski zahtjevi i broj operacija sa i bez primjene dijakoptike [2]

Kako je elektroenergetski sistem moguće podijeliti i posmatrati u više podsistema, što se u

praksi često i radi, to je on veoma pogodan za primjenu dijakoptike. Naime, konfiguracije

elektroenergetskih sistema su takve da se oni generalno mogu grupisati na više podsistema,

između kojih postoji relativno mali broj međusobnih veza. Tipičan primjer su distributivni i

industrijski elektroenergetski sistemi, koji individualno imaju veliki broj sabirnica, a s

prijenosnim sabirnicama su povezani malim brojem visokonaponskih vodova.

Izlaganju dijakoptike posvećeno je više posebnih knjiga, monografija i doktorskih radnji.

Međutim, uvođenjem koncepta multifaznog Théveninovog ekvivalenta u matričnom obliku,

vrlo je jednostavno uvesti dijakoptiku koristeći se prethodno uvedenim pravilima.

3.2. Thévenin-ov ekvivalent

3.2.1. Simultano dodavanje proizvoljnog broja grana unutar jednog sistema

Prilikom primjene Thévenin-ovog matričnog ekvivalenta u procesu dijakoptike, prvo se

razmatraju pojedini podsistemi kao odvojene cjeline, a zatim se dodaju grane koje ih povezuju,

pomoću procedure simultanog dodavanja proizvoljnog broja grana [1].

23

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Sažetak procesa dodavanja grana je:

a) Poznato je stanje prije dodavanja grana, opisano sa [Y], [Z], [U].

b) Na osnovu poznatog vektora [U], određuje se vektor Thévenin-ovih napona [U]TH (razlika

napona sabirnica između kojih se priključuju grane). Matrica [Z]G formira se tako da se na

odgovarajuća dijagonalna mjesta uvrste vrijednosti impedansi pojedinih grana. Na osnovu

poznate matrice [Z] formira se Thévenin-ova matrica impedansi [Z]TH. Odredi se zbir [Z]G

+ [Z]TH. Kod praktične realizacije matricu [Z]G nije potrebno ni formirati. Dovoljno je na

odgovarajuća dijagonalna mjesta u matrici [Z]TH dodati impedanse pojedinih grana. Odredi

se inverzija matrice ([Z]G + [Z]TH), odnosno dobija se matrica ([Z]G + [Z]TH)-1. Zatim se

određuje vektor struja kroz dodane grane pomoću formule:

[𝐼𝐼]𝑃𝑃 = ([𝑍𝑍]𝐺𝐺 + [𝑍𝑍]𝑇𝑇𝑇𝑇)−1[𝑈𝑈]𝑇𝑇𝑇𝑇 . (3.1) Na osnovu poznatog vektora [I]P, jednostavno se formira vektor [I]G, te se na osnovu

izraza:

[𝑈𝑈]𝑁𝑁 = [𝑈𝑈] − [𝑍𝑍][𝐼𝐼]𝐺𝐺 (3.2) odredi vektor novih napona.

3.2.2. Primjena Thévenin-ovog matričnog ekvivalenta u dijakoptici

Navedena procedura se može koristiti i u procesu dijakoptike, ali uz određene izmjene. Na

početku određivanja napona dijakoptikom, svaki od NPS podsistema računa vlastite matrice

admitansi i impedansi, [Y]i i [Z]i, te vektor napona ukoliko ne postoje veze između podsistema

[U]i (𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁𝑃𝑃𝑃𝑃). Nakon toga se vrši simultano dodavanje veza između podsistema.

Razlika u odnosu na prethodno navedenu proceduru je u tome što svaki podsistem određuje

svoje napone pojedinačno. Nakon što se odredi vektor struja [I]P pomoću formule (3.1), svaki

podsistem pojedinačno formira matricu [I]G u ovisnosti od lokacije dodanih grana, te određuje

svoje nove napone koristeći formulu (3.2). Formiranje Thévenin-ove matrice impedansi, [Z]TH,

se razlikuje u odnosu na klasično dodavanje grana i opisano je u posebnom poglavlju.

24


3.2.3. Formiranje Thévenin-ove matrice impedansi

Pri korištenju navedene procedure u procesu dijakoptike koriste se karakteristična svojstva

matrica [Y] i [Z] cjelokupnog sistema (iako se ove matrice ne formiraju tokom procesa). Naime,

matrica admitansi EES-a, koja se sastoji od NPS nepovezanih podsistema, može se predstaviti u

obliku:

[𝑌𝑌] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡[𝑌𝑌1] 0 … … 0

0 [𝑌𝑌2] … … 0… … ⋱ … …0 … … 𝑌𝑌𝑁𝑁𝑃𝑃𝑃𝑃−1 00 … … 0 𝑌𝑌𝑁𝑁𝑃𝑃𝑃𝑃⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

(3.3)

Inverzijom matrice admitansi dobija se matrica impedansi oblika:

[𝑍𝑍] =

⎣⎢⎢⎢⎢⎡[𝑍𝑍1] 0 … … 0

0 [𝑍𝑍2] … … 0… … ⋱ … …0 … … 𝑍𝑍𝑁𝑁𝑃𝑃𝑃𝑃−1 00 … … 0 𝑍𝑍𝑁𝑁𝑃𝑃𝑃𝑃⎦

⎥⎥⎥⎥⎤

(3.4)

gdje su [Yi] i [Zi] (𝑖𝑖 = 1,𝑁𝑁𝑃𝑃𝑃𝑃) matrice admitansi i impedansi odgovarajućih podsistema.

Ovakav oblik matrice impedansi omogućava određena pojednostavljenja pri formiranju

Thévenin-ove matrice impedansi, zbog toga što su svi članovi, koji ne pripadaju glavnoj

dijagonali, jednaki nuli.

Prilikom formiranja dijagonalnih članova matrice [Z]TH koristimo sljedeću formulu [1]:

𝑍𝑍𝑇𝑇𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 − 2𝑍𝑍𝑚𝑚𝑛𝑛0

= 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 (3.5)

Članovi 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚,𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛,𝑍𝑍𝑚𝑚𝑛𝑛 pripadaju matrici impedansi cjelokupnog sistema (3.4), iz koje je

vidljivo da je 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑛𝑛 = 0, s obzirom da se ne nalazi na glavnoj dijagonali. Za formiranje

vandijagonalnih članova matrice [Z]TH posmatramo parove grana i pri tome važi generalna

formula [1]:

𝑍𝑍𝑇𝑇𝑛𝑛𝑗𝑗 = 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑘𝑘 + 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑚𝑚 − 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 − 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑘𝑘 (3.6) Koji će elementi biti jednaki nuli u ovoj formuli zavisi od međusobnog položaja grana, odnosno

da li (i koliko) imaju čvorova koji se nalaze u jednom podsistemu. Neka se jedna grana dodaje

između čvorova m i n, a druga između čvorova n i k. Na osnovu toga, razlikuju se tri slučaja:

1. Par grana nema zajednički podsistem - U ovom slučaju sve impedanse se nalaze izvan

dijagonale matrice (3.4), tako da su sve jednake nuli i vrijedi:

𝑍𝑍𝑇𝑇𝑛𝑛𝑗𝑗 = 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑘𝑘0

+ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑚𝑚0

− 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚0

− 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑘𝑘0

= 0 (3.7)

25


2. Par grana ima jedan zajednički podsistem - Sada neće svi elementi biti jednaki nuli. S

obzirom da se čvorovi n i k (moguće je i da su to čvorovi m i l) nalaze na istom

podsistemu, ostat će član Znk (ili Zml):

𝑍𝑍𝑇𝑇𝑛𝑛𝑗𝑗 = 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑘𝑘0

+ 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑚𝑚0

− 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚0

− 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑘𝑘 = −𝑍𝑍𝑛𝑛𝑘𝑘 (3.8)

3. Par grana ima dva zajednička podsistema - Za ovaj slučaj imamo sljedeću formulu:

𝑍𝑍𝑇𝑇𝑛𝑛𝑗𝑗 = 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑘𝑘 + 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑚𝑚 − 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚0

− 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑘𝑘0

(3.9)

3.3. Princip dijakoptike

Za izlaganje koncepta dijakoptike poslužit ćemo se jednostavnim primjerom koji je prikazan

na Slici 3.3 [1].

Slika 3.3. Međusobno povezani podsistemi 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆1 𝑖𝑖 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆2

Razmatrani elektroenergetski sistem može se posmatrati odvojeno, kao EES1 i EES2, koji su

međusobno povezani samo jednim vodom impedancije 𝑍𝑍𝑔𝑔. On povezuje sabirnice m i n. Neka

je N ukupan broj sabirnica koji odgovara ukupnom sistemu.

Slika 3.4. Odvojeni podsistemi 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆1 𝑖𝑖 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆2

26

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA Iz razmatranog sistema isključimo granu koja povezuje sabirnice m i n, (Slika 3.4). Neka je 𝑁𝑁1

broj sabirnica koji odgovara 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆1, a 𝑁𝑁2 broj sabirnica koji odgovara podsistemu 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆2.

Sabirnica m pripada podsistemu 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆1, a sabirnica n podsistemu 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆2.

Neka je:

[𝑌𝑌]1 – matricu provodnosti koja odgovara podsistemu 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆1 bez grane 𝑍𝑍𝑔𝑔 (reda 𝑁𝑁1 × 𝑁𝑁1),

[𝑌𝑌]2 – matricu provodnosti koja odgovara podsistemu 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆2 bez grane 𝑍𝑍𝑔𝑔 (reda 𝑁𝑁2 × 𝑁𝑁2),

[𝐼𝐼]1 – vektor čvornih struja prvog podsistema,

[𝐼𝐼]2 – vektor čvornih struja drugog podsistema.

Vektor čvornih napona prvog podsistema je definiran kao:

[𝑌𝑌]1[𝑈𝑈]1 = [𝐼𝐼]1 /[𝑌𝑌]1−1

[𝑈𝑈]1 = [𝑌𝑌]1−1[𝐼𝐼]1 = [𝑍𝑍]1[𝐼𝐼]1. (3.10)

Na isti način, za vektor napona drugog podsistema je:

[𝑌𝑌]2[𝑈𝑈]2 = [𝐼𝐼]2 /[𝑌𝑌]2−1

[𝑈𝑈]2 = [𝑌𝑌]2−1[𝐼𝐼]2 = [𝑍𝑍]2[𝐼𝐼]2. (3.11)

Ako sa [𝑈𝑈] označimo vektor napona koji odgovara ukupnom sistemu sa izbačenom granom 𝑍𝑍𝑔𝑔:

[𝑈𝑈] = [𝑈𝑈]1[𝑈𝑈]2

(3.12)

onda se može pisati:

[𝑌𝑌]1 0

0 [𝑌𝑌]2

[𝑈𝑈]1[𝑈𝑈]2

= [𝐼𝐼]1[𝐼𝐼]2

. (3.13)

Zbog blok-dijagonalne strukture matrice provodnosti u (3.13), ima se:

[𝑈𝑈] = [𝑈𝑈]1[𝑈𝑈]2

= [𝑌𝑌]1 0

0 [𝑌𝑌]2−1[𝐼𝐼]1[𝐼𝐼]2

= [𝑍𝑍]1 0

0 [𝑍𝑍]2

[𝐼𝐼]1[𝐼𝐼]2

. (3.14)

Izbacivanjem grane između sabirnica m i n postignuta je blok-dijagonalna forma matrice

provodnosti, a samim tim i blok-dijagonalna struktura odgovarajuće impedantne matrice. U

protivnom, na vandijagonalnim mjestima (m,n), i (n,m) pojavile bi se provodnosti grane s

negativnim predznakom (− 1𝑍𝑍), tj. umjesto nul-submatrice pojavile bi se matrice različite od

nule, pa bi i impedantna matrica bila puna matrica.

Jednačinu (3.14) moguće je zapisati i u sljedećem obliku:

[𝑈𝑈] = [𝑍𝑍][𝐼𝐼] (3.15)

gdje je:

[𝑈𝑈] = [𝑈𝑈]1[𝑈𝑈]2

; [𝑍𝑍] = [𝑍𝑍]1 0

0 [𝑍𝑍]2 ; [𝐼𝐼] =

[𝐼𝐼]1[𝐼𝐼]2

.

27

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Jednačina (3.15) definira ponašanje ukupnog sistema bez grane 𝑍𝑍𝑔𝑔. Ako se između sabirnice m

i n vrati izbačena grana, dobit će se rješenje koje odgovara sistemu sa Slike 3.3.

Dodavanje izbačene grane radi se na sljedeći način. Thévenin-ov napon i impedansa su:

𝑈𝑈𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 − 𝑈𝑈𝑛𝑛 = 𝑈𝑈𝑚𝑚𝑛𝑛

𝑍𝑍𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 − 2𝑍𝑍𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚 + 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑛𝑛 (3.16)

𝑍𝑍𝑚𝑚𝑛𝑛 = 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑚𝑚 = 0 zbog blok-dijagonalne forme matrice [𝑍𝑍].

Struja kroz dodanu granu, odnosno ekvivalentni strujni izvori je:

𝐼𝐼𝑔𝑔 = 𝑈𝑈𝑇𝑇𝑇𝑇𝑍𝑍𝑔𝑔+𝑍𝑍𝑇𝑇𝑇𝑇

. (3.17)

Neka je vektor [𝐼𝐼]𝐺𝐺1 vektor koji ima sve članove jednake nuli, osim člana koji odgovara

sabirnici m, pri čemu je vrijednost ovog člana jednaka struji Ig. Ovaj vektor ima 𝑁𝑁1 članova:

[𝐼𝐼]𝐺𝐺1 = 01

0 … 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑚𝑚

… 0 0𝑁𝑁1

𝑡𝑡

(3.18)

Vektor novih napona sabirnica koje pripadaju podsistemu 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆1 dobije se prema sljedećim

izrazima:

[𝑌𝑌]1[𝑈𝑈]1𝑁𝑁 = [𝐼𝐼]1 − [𝐼𝐼]𝐺𝐺1 /[𝑌𝑌]1−1=[𝑍𝑍]1

[𝑈𝑈]1𝑁𝑁 = [𝑍𝑍]1[𝐼𝐼]1 − [𝑍𝑍]1[𝐼𝐼]𝐺𝐺1

[𝑈𝑈]1𝑁𝑁 = [𝑈𝑈]1 − [∆𝑈𝑈]1.

(3.19)

Slično prethodnom izvođenju, definira se i vektor [𝐼𝐼]𝐺𝐺2 kao:

[𝐼𝐼]𝐺𝐺2 = 0𝑁𝑁1+1

0 …− 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑛𝑛

… 00𝑁𝑁

𝑡𝑡

(3.20)

Brojevi sabirnica drugog podsistema počinju od broja 𝑁𝑁1 + 1. Vektor novih napona za

podsistem 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑆𝑆2 iznosi:

[𝑌𝑌]2[𝑈𝑈]2𝑁𝑁 = [𝐼𝐼]2 − [𝐼𝐼]𝐺𝐺2 /[𝑌𝑌]2−1=[𝑍𝑍]2

[𝑈𝑈]2𝑁𝑁 = [𝑍𝑍]2[𝐼𝐼]2 − [𝑍𝑍]2[𝐼𝐼]𝐺𝐺2

[𝑈𝑈]2𝑁𝑁 = [𝑈𝑈]2 − [∆𝑈𝑈]2.

(3.21)

Korekcioni vektori napona [∆𝑈𝑈]1 i [∆𝑈𝑈]2 lahko se izračunavaju množenjem odgovarajuće

kolone impedantne matrice sa strujom 𝐼𝐼𝑔𝑔 [1].

28


4. PRIMJENA DIJAKOPTIKE KOD Z-MATRIČNE METODE ZA PRORAČUN TOKOVA SNAGA

4.1. Matematska formulacija dijakoptike za primjenu u proračunu tokova snaga

Kao što je u prethodnom poglavlju objašnjen koncept dijakoptike, tako se i metoda za proračun

tokova snaga primjenom dijakootpike, zasniva na rastavljanju velikog sistema sa značajnim

brojem sabirnica na više sistema sa manjim brojem sabirnica. Proračun se vrši na svakom od

podsistema, te se na kraju određenim matematskim pravilima proračun prenosi na kompletan

sistem. Ovaj koncept se bazira na sljedećim koracima.

Neka se razmatra sistem od 𝑁𝑁 sabirnica i neka se podijeli na n podsistema, koji imaju

𝑁𝑁𝑠𝑠1 ,𝑁𝑁𝑠𝑠2 , … ,𝑁𝑁𝑠𝑠𝑛𝑛 sabirnica, s tim da brojevi sabirnica narednog sistema 𝑁𝑁𝑠𝑠𝑚𝑚+1 počinju od

posljednjeg broja prethodnog sistema 𝑁𝑁𝑠𝑠𝑚𝑚 + 1.

Neka vrijedi:

𝑁𝑁 = 𝑁𝑁𝑠𝑠1 + 𝑁𝑁𝑠𝑠2 + ⋯+ 𝑁𝑁𝑠𝑠𝑛𝑛. (4.1)

Prije samog proračuna, za dati sistem usvaja se referentni čvor - najčešće je to nulti čvor

cjelokupnog sistema. Zatim se usvaja i nazivni napon 𝐸𝐸0.

Za proračun je potrebna matrica impedansi svakog od podsistema [𝑍𝑍]𝑠𝑠𝑚𝑚), koja se dobije

inverzijom odgovarajućih matrica provodnosti [𝑌𝑌]𝑚𝑚. Matrice [𝑌𝑌]𝑠𝑠𝑚𝑚 određuje se metodom

napona čvorova s tim da se ne uzima provodnost (impedansa) grane koja se dodaje. Pri ovom

koraku voditi računa da se izbaci referentni čvor iz odgovarajućeg podsistema, tj. iz

odgovarajuće [𝑌𝑌]𝑠𝑠𝑚𝑚 matrice u kojoj se isti nalazi.

Potrebno je prije iterativnog ciklusa odrediti Thévenin-ovu matricu impedansi [𝑍𝑍]𝑇𝑇𝑇𝑇.

Određivanje ove matrice objašnjeno je detaljno u poglavlju 3.2.3.

Nakon toga, formira se matrica impedansi dodanih grana [𝑍𝑍]𝐺𝐺, tako što se na dijagonalna mjesta

stavlja impedanse grana koja se dodaje.

Posljednji korak prije iterativnog ciklusa je određivanje matrice [𝑍𝑍]𝑁𝑁 i matrice [𝑌𝑌]𝑁𝑁:

[𝑍𝑍]𝑁𝑁 = [𝑍𝑍]𝐺𝐺 + [𝑍𝑍]𝑇𝑇𝑇𝑇

[𝑌𝑌]𝑁𝑁 = [𝑍𝑍]𝑁𝑁−1. (4.2)

Neka su naponi orginalnog sistema, prije rastavljanja na podsistema, dati sa:

[𝑈𝑈] =

𝑈𝑈1𝑈𝑈2⋮𝑈𝑈𝑁𝑁

(4.3)

29

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Dok je :

[𝑈𝑈]𝑘𝑘 =

⎣⎢⎢⎡𝑈𝑈1

𝑘𝑘

𝑈𝑈2𝑘𝑘⋮𝑈𝑈𝑁𝑁𝑘𝑘⎦⎥⎥⎤ (4.4)

vektor napona orginalnog sistema u k-toj (prethodnoj) iteraciji.

U nultoj iteraciji iterativnog ciklusa usvajaju se početni uslovi, tj. vrijednost svih napona

čvorova postavljamo na nazivni napon 𝐸𝐸0:

𝑈𝑈𝑛𝑛0 = 𝐸𝐸0 (𝑖𝑖 = 1,2, … ,𝑛𝑛)

[𝑈𝑈]0 =

𝑈𝑈1𝑈𝑈2⋮𝑈𝑈𝑁𝑁

=

𝐸𝐸0𝐸𝐸0⋮𝐸𝐸0

, (4.5)

gdje je:

- i,. redni broj čvora

- m, redni broj sistema.

Nakon toga određuju se vektori čvornih struja za svaki od podsistema [𝐼𝐼]𝑠𝑠𝑚𝑚:

[𝐼𝐼]𝑠𝑠𝑚𝑚𝑘𝑘+1 =

⎣⎢⎢⎢⎡ 𝐼𝐼1

𝑘𝑘+1

𝐼𝐼2𝑘𝑘+1⋮

𝐼𝐼𝑁𝑁𝑚𝑚𝑘𝑘+1⎦

⎥⎥⎥⎤. (4.6)

Pojedine vrijednosti iz vektora čvornih struja [𝐼𝐼]𝑠𝑠𝑚𝑚 određuju se na dva načina, ovisno o tome

da li je poznata snaga odgovarajuće sabirnice 𝑃𝑃𝑛𝑛 ili njen napon 𝑈𝑈𝑛𝑛:

𝐼𝐼𝑛𝑛𝑘𝑘+1 =

𝑃𝑃𝑛𝑛𝑈𝑈𝑛𝑛𝑘𝑘

𝐼𝐼𝑛𝑛𝑘𝑘+1 = 𝑈𝑈𝑛𝑛𝑘𝑘 ⋅ 𝑌𝑌𝑛𝑛. (4.7)

Zatim se odrede vektori napona prije dodavanja grana za svaki od podsistema [𝑈𝑈]𝑠𝑠𝑚𝑚, tj. naponi

prije spajanja svih podsistema u početni kompletni sistem:

[𝑈𝑈]𝑠𝑠𝑚𝑚𝑘𝑘+1 = [𝑍𝑍]𝑠𝑠𝑚𝑚 ⋅ [𝐼𝐼]𝑠𝑠𝑚𝑚

𝑘𝑘+1. (4.8)

S obzirom na proračunate napone prije spajanja podsistema [𝑈𝑈]𝑠𝑠𝑚𝑚 , formira se vektor

ekvivalentih Thévenin-ovih napona [𝑈𝑈]𝑇𝑇𝑇𝑇. Određivanje vektora Thévenin-ovih napona

objašnjeno je u 3.2.1. Određivanje vekotra Thévenin-ovih napona mora se vršiti u svakoj

iteraciji ponovo, s obzirom da su se usvajanjem napona iz prethodne iteracije promjenili

paramteri mreže.

30

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA Nakon što se odredi vektor Thévenin-ovih napona [𝑈𝑈]𝑇𝑇𝑇𝑇, vrši se proračun struja kroz dodane

grane [𝐼𝐼]𝑔𝑔:

[𝐼𝐼]𝑔𝑔𝑘𝑘+1 = [𝑌𝑌]𝑁𝑁 ⋅ [𝑈𝑈]𝑇𝑇𝑇𝑇𝑘𝑘+1 (4.9)

Zatim se formira vektore [𝐼𝐼]𝐺𝐺𝑠𝑠𝑚𝑚 za svaki od podsistema. Vektori [𝐼𝐼]𝐺𝐺𝑠𝑠𝑚𝑚 imaju sve članove

jednake nuli, osim člana koji odgovara jednom od čvorova između kojih se dodaju "nove"

grane. Ta vrijednost je jednaka odgovarajućoj vrijednosti iz vektora [𝐼𝐼]𝑔𝑔. Ukoliko je riječ o

početnom čvoru (npr. ukoliko se dodaje grana između čvorova p i q, početni čvor je p) uzima

se pozitivan predznak, a ukoliko je riječ o krajnjem čvoru onda se uzima negativni predznak:

[𝐼𝐼]𝐺𝐺𝑠𝑠𝑚𝑚𝑘𝑘+1 = 0 0 … 𝐼𝐼𝑔𝑔𝑛𝑛

𝑘𝑘+1𝑝𝑝

… 0𝑡𝑡

[𝐼𝐼]𝐺𝐺𝑠𝑠𝑚𝑚𝑘𝑘+1 = 0 0 …−𝐼𝐼𝑔𝑔𝑛𝑛

𝑘𝑘+1𝑞𝑞

… 0𝑡𝑡

(4.10)

Novi naponi podsistema određuju se prema izrazu:

𝑈𝑈𝑠𝑠𝑚𝑚𝑘𝑘+1 = 𝑈𝑈𝑠𝑠𝑚𝑚

𝑘𝑘 − ∆𝑈𝑈𝑠𝑠𝑚𝑚𝑘𝑘+1, (4.11)

gdje je:

∆𝑈𝑈𝑠𝑠𝑚𝑚𝑘𝑘+1 = [𝑍𝑍]𝑠𝑠𝑚𝑚 ⋅ [𝐼𝐼]𝐺𝐺𝑠𝑠𝑚𝑚

𝑘𝑘+1 (4.12)

Zatim se definira vektor novih napona orginalnog sistema [𝑈𝑈]𝑘𝑘+1:

[𝑈𝑈]𝑘𝑘+1 =

⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡𝑈𝑈𝑠𝑠10𝑈𝑈𝑠𝑠11⋮

𝑈𝑈𝑠𝑠1𝑁𝑁1𝑈𝑈𝑠𝑠2𝑁𝑁1+1𝑈𝑈𝑠𝑠2𝑁𝑁1+2

⋮𝑈𝑈𝑠𝑠𝑚𝑚𝑁𝑁 ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤

(4.13)

Nakon svakog iteracijskog ciklusa kontrolira se konvergencija rješenja, tj. vrši se određivanje

izraza:

|[𝑈𝑈]𝑘𝑘+1 − [𝑈𝑈]𝑘𝑘| ≤ 𝜀𝜀 (4.14)

Iteracijski postupak zaustavlja se u trenutku kada je modul razlike napona svih sabirnica,

između dvije susjedne iteracije, manji ili jednak zadanom broju 𝜀𝜀.

31


4.2. Primjer

Data je istosmjerna mreža, kao na Slici 4.1 na kojoj su označeni i podsistemi (I, II, III), kao i

njihovi čvorovi koji su naznačeni crvenom bojom. Također, na istoj slici su naznačene crvenom

bojom i grane koje se izbacuju/ubacuju. Izvršiti proračun novih napona na sabirnicama pomoću

Z-matrične metode i pomoću primjene dijakoptike za proračun tokova snaga.

Slika 4.1. Primjer DC mreže

Podaci o mreži su:

𝐸𝐸0 = 10 (𝑉𝑉) 𝑃𝑃4 = −4 (𝑊𝑊) 𝑌𝑌1 = 10 (𝑆𝑆)

𝑃𝑃7 = −5 (𝑊𝑊) 𝑌𝑌2 = 10 (𝑆𝑆)

𝑌𝑌3 = 0,1 (𝑆𝑆)

𝑌𝑌4 = 20 (𝑆𝑆)

𝑌𝑌5 = 20 (𝑆𝑆)

𝑌𝑌6 = 0,2 (𝑆𝑆)

𝑌𝑌7 = 5 (𝑆𝑆)

𝑌𝑌8 = 0.125 (𝑆𝑆)

𝑌𝑌9 = 0.125 (𝑆𝑆

𝑌𝑌10 = 10 (𝑆𝑆)

𝑌𝑌11 = 5 (𝑆𝑆)

32


4.2.1. Proračun pomoću Z-matrične metode

Podaci o mreži:

Formiranje matrice [Y] po metodi napona čvorova:

Formira se [Y] matrica koja ne sadrži redove i kolone referentnog cvora:

E0 10V:=Y1 10S:= Y2 10S:= Y3 0.1S:= Y4 20S:= Y5 20S:= Y6 0.2S:= Y7 5S:= Y8 0.125S:= Y9 0.125S:=

Y10 10S:= Y11 5S:=

P1 0W:= P2 0W:= P3 0W:= P4 4− W:= P5 0W:= P6 0W:= P7 5− W:=

Y

Y1

0

Y1−

0

0

0

0

0

0

Y2 Y10+

Y2−

Y10−

0

0

0

0

Y1−

Y2−

Y1 Y2+ Y3+

0

0

0

0

0

0

Y10−

0

Y10 Y4+ Y11+

0

Y4−

Y11−

0

0

0

0

0

Y5

Y5−

0

0

0

0

0

Y4−

Y5−

Y4 Y5+ Y6+

0

0

0

0

0

Y11−

0

0

Y8 Y7+ Y11+

Y7−

0

0

0

0

0

0

Y7−

Y7 Y9+

:=

Y

10

0

10−

0

0

0

0

0

0

20

10−

10−

0

0

0

0

10−

10−

20.1

0

0

0

0

0

0

10−

0

35

0

20−

5−

0

0

0

0

0

20

20−

0

0

0

0

0

20−

20−

40.2

0

0

0

0

0

5−

0

0

10.125

5−

0

0

0

0

0

0

5−

5.125

S=

m 1 7..:=

n 1 7..:=Ynm 1− n 1−, Ym n,:=

Yn

20

10−

10−

0

0

0

0

10−

20.1

0

0

0

0

0

10−

0

35

0

20−

5−

0

0

0

0

20

20−

0

0

0

0

20−

20−

40.2

0

0

0

0

5−

0

0

10.125

5−

0

0

0

0

0

5−

5.125

S=

33

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Formiranje [Z] matrice:

Pocetni uslovi:

Iteracija k=0 Određivanje čvornih struja:

Zatim se određuju novi naponi:

Z Yn 1−:=

U0 E0:= U1 E0:= U2 E0:= U3 E0:= U4 E0:= U5 E0:= U6 E0:= U7 E0:=

I1P1U1

Y1 0, U0⋅−:= I1 0A= Y1 0, 0S=

I2P2U2

Y2 0, U0⋅−:= I2 100A= Y2 0, 10− S=

I3P3U3

Y3 0, U0⋅−:= I3 0A= Y3 0, 0S=

I4P4U4

Y4 0, U0⋅−:= I4 0.4− A= Y4 0, 0S=

I5P5U5

Y5 0, U0⋅−:= I5 0A= Y5 0, 0S=

I6P6U6

Y6 0, U0⋅−:= I6 0A= Y6 0, 0S=

I7P7U7

Y7 0, U0⋅−:= I7 0.5− A= Y7 0, 0S=

Un1

Un2

Un3

Un4

Un5

Un6

Un7

Z

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

⋅:=

Un1

Un2

Un3

Un4

Un5

Un6

Un7

8.993

9.449

8.537

8.413

8.433

8.043

7.749

V=

Z

0.184

0.091

0.176

0.174

0.174

0.168

0.164

0.091

0.095

0.088

0.087

0.087

0.084

0.081

0.176

0.088

0.265

0.262

0.262

0.252

0.246

0.174

0.087

0.262

0.359

0.309

0.25

0.244

0.174

0.087

0.262

0.309

0.309

0.25

0.244

0.168

0.084

0.252

0.25

0.25

0.431

0.42

0.164

0.081

0.246

0.244

0.244

0.42

0.605

Ω=

34

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA Provjera konvergencije:

Pridruzivanje novih napona starim naponima:


U1 Un1− 1.007V=

U2 Un2− 0.551V=

U3 Un3− 1.463V=

U4 Un4− 1.587V=

U5 Un5− 1.567V=

U6 Un6− 1.957V=

U7 Un7− 2.251V=

U1 Un1:=

U2 Un2:=

U3 Un3:=

U4 Un4:=

U5 Un5:=

U6 Un6:=

U7 Un7:=

I1P1U1

Y1 0, U0⋅−:= I1 0A= Y1 0, 0S=

I2P2U2

Y2 0, U0⋅−:= I2 100A= Y2 0, 10− S=

I3P3U3

Y3 0, U0⋅−:= I3 0A= Y3 0, 0S=

I4P4U4

Y4 0, U0⋅−:= I4 0.475− A= Y4 0, 0S=

I5P5U5

Y5 0, U0⋅−:= I5 0A= Y5 0, 0S=

I6P6U6

Y6 0, U0⋅−:= I6 0A= Y6 0, 0S=

I7P7U7

Y7 0, U0⋅−:= I7 0.645− A= Y7 0, 0S=

35

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Zatim se određuju novi naponi:

Provjera konvergencije:

Pridruživanje novih napona starim naponima:


Un1

Un2

Un3

Un4

Un5

Un6

Un7

Z

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

⋅:=

Un1

Un2

Un3

Un4

Un5

Un6

Un7

8.956

9.431

8.482

8.351

8.374

7.963

7.643

V=

U1 Un1− 0.037V=

U2 Un2− 0.018V=

U3 Un3− 0.056V=

U4 Un4− 0.062V=

U5 Un5− 0.059V=

U6 Un6− 0.08V=

U7 Un7− 0.106V=

U1 Un1:=

U2 Un2:=

U3 Un3:=

U4 Un4:=

U5 Un5:=

U6 Un6:=

U7 Un7:=

I1P1U1

Y1 0, U0⋅−:= I1 0A= Y1 0, 0S=

I2P2U2

Y2 0, U0⋅−:= I2 100A= Y2 0, 10− S=

I3P3U3

Y3 0, U0⋅−:= I3 0A= Y3 0, 0S=

I4P4U4

Y4 0, U0⋅−:= I4 0.479− A= Y4 0, 0S=

I5P5U5

Y5 0, U0⋅−:= I5 0A= Y5 0, 0S=

36


Zatim se određuju novi naponi:


Pridruzivanje novih napona starim naponima:

I6P6U6

Y6 0, U0⋅−:= I6 0A= Y6 0, 0S=

I7P7U7

Y7 0, U0⋅−:= I7 0.654− A= Y7 0, 0S=

Un1

Un2

Un3

Un4

Un5

Un6

Un7

Z

I1

I2

I3

I4

I5

I6

I7

⋅:=

Un1

Un2

Un3

Un4

Un5

Un6

Un7

8.954

9.43

8.479

8.347

8.371

7.958

7.636

V=

U1 Un1− 2.091 10 3−× V=

U2 Un2− 1.04 10 3−× V=

U3 Un3− 3.141 10 3−× V=

U4 Un4− 3.464 10 3−× V=

U5 Un5− 3.286 10 3−× V=

U6 Un6− 4.662 10 3−× V=

U7 Un7− 6.3 10 3−× V=

U1 Un1:=

U2 Un2:=

U3 Un3:=

U4 Un4:=

U5 Un5:=

U6 Un6:=

U7 Un7:=

37


4.2.2. Proračun primjenom dijakoptike

Podaci o mreži:

Formiranje matrice admitansi [Y] za tri podsistema [Ys1], [Ys2] i [Ys3] po metodi napona čvorova:

Formiranje matrice [Z] za tri podsistema [Zs1], [Zs2] i [Zs3]:

Određivanje Theveninove matrice impedansi [Zth] i matrice impedansi dodatih grana [Zg]:

E0 10V:=

Y1 10S:= Y2 10S:= Y3 0.1S:= Y4 20S:= Y5 20S:= Y6 0.2S:= Y7 5S:= Y8 0.125S:=

Y9 0.125S:= Y10 10S:= Y11 5S:=

P1 0W:= P2 0W:= P3 0W:= P4 4− W:= P5 0W:= P6 0W:= P7 5− W:=

Ys1Y2

Y2−

Y2−

Y1 Y2+ Y3+

:= Ys2

Y4

0

Y4−

0

Y5

Y5−

Y4−

Y5−

Y4 Y5+ Y6+

:= Ys3Y7 Y8+

Y7−

Y7−

Y9 Y7+

:=

Ys110

10−

10−

20.1

S= Ys2

20

0

20−

0

20

20−

20−

20−

40.2

S= Ys35.125

5−

5−

5.125

S=

Zs1 Ys1 1−:= Zs2 Ys2 1−

:= Zs3 Ys3 1−:=

Zs10.199

0.099

0.099

0.099

Ω= Zs2

5.05

5

5

5

5.05

5

5

5

5

Ω= Zs3

4.049

3.951

3.951

4.049

Ω=

ZthZs10 0, Zs20 0,+

Zs20 0,−

Zs20 0,−

Zs20 0, Zs30 0,+

:= Zg

1Y10

0

0

1Y11

:=

Zth5.249

5.05−

5.05−

9.099

Ω= Zg

0.1

0

0

0.2

Ω=

Zn Zg Zth+:= Zn5.349

5.05−

5.05−

9.299

Ω=

Yth Zn 1−:= Yth

0.384

0.208

0.208

0.221

S=

38

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA ITERACIJSKI POSTUPAK Početni uslovi:

Iteracija k=0 Formiranje vektora čvornih struja za tri razmatrana podsistema:

Određivanje napona prije dodavanja grana:

Određivanje napona nakon dodavanja grana:

U0 E0:= U1 E0:= U2 E0:= U3 E0:= U4 E0:= U5 E0:= U6 E0:= U7 E0:=

U

U0

U1

U2

U3

U4

U5

U6

U7

:= U

10

10

10

10

10

10

10

10

V=

I2 U0 Y1⋅:= I4P4U4

:= I7P7U7

:=

I2 100A= I4 0.4− A= I7 0.5− A=

Is10

I2

:= Is2

0

I4

0

:= Is30

I7

:=

Is10

100

A= Is2

0

0.4−

0

A= Is30

0.5−

A=

Us1 Zs1 Is1⋅:= Us2 Zs2 Is2⋅:= Us3 Zs3 Is3⋅:=

Us19.901

9.901

V= Us2

2−

2.02−

2−

V= Us31.975−

2.025−

V=

UthUs10 Us20−

Us20 Us30−

:= Uth11.901

0.025−

V=

39

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Struja kroz dodate grane:

Određivanje vektora korekcionih napona za tri podsistema:

Određivanje novih napona na svakom od podsistema:

Određivanje novih napona cjelokupnog sistema:

Ig Yth Uth⋅:= Ig4.561

2.474

A=

IG1Ig0

0

:= IG2

Ig0− Ig1+

0

0

:= IG3Ig1−

0

:=

IG14.561

0

A= IG2

2.087−

0

0

A= IG32.474−

0

A=

∆U1 Zs1 IG1⋅:= ∆U2 Zs2 IG2⋅:= ∆U3 Zs3 IG3⋅:=

∆U10.908

0.452

V= ∆U2

10.537−

10.433−

10.433−

V= ∆U310.018−

9.774−

V=

Uns1 Us1 ∆U1−:= Uns2 Us2 ∆U2−:= Uns3 Us3 ∆U3−:=

Uns18.993

9.449

V= Uns2

8.537

8.413

8.433

V= Uns38.043

7.749

V=

Un

E0

Uns10

Uns11

Uns20

Uns21

Uns22

Uns30

Uns31

:= Un

10

8.993

9.449

8.537

8.413

8.433

8.043

7.749

V=

40


Pridruživanje novih napona:



U Un−

0

1.007

0.551

1.463

1.587

1.567

1.957

2.251

V=

U Un:= U

10

8.993

9.449

8.537

8.413

8.433

8.043

7.749

V=

I2 U0 Y1⋅:= I4P4U4

:= I7P7U7

:=

I2 100A= I4 0.475− A= I7 0.645− A=

Is10

I2

:= Is2

0

I4

0

:= Is30

I7

:=

Is10

100

A= Is2

0

0.475−

0

A= Is30

0.645−

A=


Us19.901

9.901

V= Us2

2.377−

2.401−

2.377−

V= Us32.549−

2.613−

V=

41

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Određivanje napona nakon dodavanja grana:

Struja kroz dodate grane:



Određivanje novih napona cjelokupnog sistema:

UthUs10 Us20−

Us20 Us30−

:= Uth12.278

0.172

V=


2.596

A=

IG1Ig0

0

:= IG2

Ig0− Ig1+

0

0

:= IG3Ig1−

0

:=

IG14.746

0

A= IG2

2.15−

0

0

A= IG32.596−

0

A=


∆U10.945

0.47

V= ∆U2

10.859−

10.752−

10.752−

V= ∆U310.512−

10.255−

V=


Uns18.956

9.431

V= Uns2

8.482

8.351

8.374

V= Uns37.963

7.643

V=

Un

E0

Uns10

Uns11

Uns20

Uns21

Uns22

Uns30

Uns31

:= Un

10

8.956

9.431

8.482

8.351

8.374

7.963

7.643

V=

42





U Un−

0

0.037

0.018

0.056

0.062

0.059

0.08

0.106

V=

U Un:= U

10

8.956

9.431

8.482

8.351

8.374

7.963

7.643

V=

I2 U0 Y1⋅:= I4P4U4

:= I7P7U7

:=

I2 100A= I4 0.479− A= I7 0.654− A=

Is10

I2

:= Is2

0

I4

0

:= Is30

I7

:=

Is10

100

A= Is2

0

0.479−

0

A= Is30

0.654−

A=


Us19.901

9.901

V= Us2

2.395−

2.419−

2.395−

V= Us32.585−

2.649−

V=

43

ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET SARAJEVO Određivanje napona nakon dodavanja grana:

Struja kroz dodate grane:



UthUs10 Us20−

Us20 Us30−

:= Uth12.296

0.19

V=


2.604

A=

IG1Ig0

0

:= IG2

Ig0− Ig1+

0

0

:= IG3Ig1−

0

:=

IG14.757

0

A= IG2

2.153−

0

0

A= IG32.604−

0

A=


∆U10.947

0.471

V= ∆U2

10.874−

10.766−

10.766−

V= ∆U310.543−

10.285−

V=


Uns18.954

9.43

V= Uns2

8.479

8.347

8.371

V= Uns37.958

7.636

V=

44

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA Određivanje novih napona cjelokupnog sistema:



Un

E0

Uns10

Uns11

Uns20

Uns21

Uns22

Uns30

Uns31

:= Un

10

8.954

9.43

8.479

8.347

8.371

7.958

7.636

V=

U Un−

0

2.091 10 3−×

1.04 10 3−×

3.141 10 3−×

3.464 10 3−×

3.286 10 3−×

4.662 10 3−×

6.3 10 3−×

V=

U Un:= U

10

8.954

9.43

8.479

8.347

8.371

7.958

7.636

V=

45


5. ZAKLJUČAK

U uvodu rada je spomenuta važnost pravilnog proračuna tokova snaga za pravilno

funkcioniranje elektroenergetskog sistema. S obzirom na navedene metode i postupke koji su

spomenuti u ovom radu može se zaključiti da je mnogo truda i vremena posvećeno upravo

osmišljavanju što adekvatnije metodu za pomenuti proračun.

U radu je definiran metod koji iterativnim postupkom proračunava vrijednost napona u

čvorovima istosmjerne mreže, a koji se zasniva na dijakoptici. Nakon određivanja napona na

sabirnicama lahko se dođe do proračuna tokova aktivnih snaga.

Posmatrajući dobivene rezultate, prilikom proračuna datog primjera pomoću Z-matrične

metode i pomoću dijakoptike, može se primijetiti da se dobiju iste vrijednosti napona na

sabirnicama, te može se zaključiti da metod daje tačne rezultate u pogledu proračuna vrijednosti

napona na sabirnicama, te da je isti primjenljiv za proračune tokova snaga.

Posmatrajući dalje sam postupak proračuna, može se primijetiti da pri korištenju Z-matričnog

metoda vrši se inverzija matrice 7𝑥𝑥7, dok pri korištenju dijakoptike inverzija matrice

provodnosti pojedinih sistema, koje su bile reda 2𝑥𝑥2 i 3𝑥𝑥3, kao i matricu provodnosti 𝑌𝑌𝑛𝑛, reda

2𝑥𝑥2. Može se primjetiti da je primjena dijakoptike omogućila da se "komplikovan" proračun

inverzije matrice 7𝑥𝑥7 svede na proračune inverzije matrica manjih dimenzija, što znatno

olakšava sam proračun, i prava vrijednost ove karakteristike se tek može očekivati na sistemima

sa znatno većim brojem sabirnica.

Gledajući broj iteracija, može se primijetiti da je za obje metode bilo potrebno po tri iteracije

da bi se postigao zadovoljavajući nivo konvergencije.

S obzirom na sve navedeno, može se zaključiti da dijakoptika ima veoma dobre karakteristike

za primjenu proračuna tokova snaga.

Dakle, osobine dijakoptike omogućavaju da se proračun tokova snaga elektroenergetskih

sistema sa znatnim brojem sabirnica provodi na način da se originalni sistem posmatra kao skup

podsistema, te da se za svaki zasebno provede proračun napona na sabirnicama, a zatim pri

postupku koji je objašnjen u prethodnom poglavlju, odrede naponi originalnog sistema.

Ova karakteristika omogućava da se proračun vrši na više računara, tj. da više računara vrši

proračune za svaki od podsistema pojedinčano, te da se na kraju, već pomenutim postupkom

ustanove naponi na svim sabirnicama. Također, uočljivo je da će primjena dijakoptike znatno

olakšati te iste proračune, jer se smanjuju dimenzije matrica koje se trebaju invertovati.

46

IMPLEMENTACIJA DIJAKOPTIKE U ANALIZMA TOKOVA SNAGA Osobina dijakoptike da smanjuje dimenzije matrica koje se trebaju invertovati je jako bitna, s

obzirom da je u samom uvodu spomenuto kako proračuni na jednom računaru postaju znatno

komplikovani, skoro nemogući, zbog konstatnog razvijanja elektroenergetskog sistema.

Dalji razvoj primjene dijakoptike u proračunu tokova elektroenergetskih sistema može biti

usmjeren prvenstveno na formulisanje ovog postupka za izmjenične mreže. Nakon toga, s

obzirom da se iz priloženog pokazuje kao vrlo pogodno, osmisliti te isprogramirati softver, koji

će omogućiti proračune tokova snaga primjenom ove metode. Također, u istom programu se

može omogućiti implementacija ove metode na više računara u jednoj mreži.

S tim da se mora voditi računa koji računar se opterećuje s najmanjim, odnosno najvećim

brojem sabirnica. Naime, karakteristika dijakoptike jeste da je ona efikasna koliko je i njena

"najslabija karika". Vrijeme proračuna je uslovljeno najsporijim računarom, tako da će

prisustvo trenutno najsavremenijih računara napraviti malu razliku ukoliko imamo jedan

podsistem sa lošim računarom. To znači da ukoliko se nabave novi računari na nekoliko

podsistema (u krajnjem slučaju na svakom podsistemu osim jednog), neće doći do bilo kakvog

značajnog poboljšanja efikasnosti sistema. U tom slučaju, pogodno je uvesti raspodjelu tako da

podsistemi nemaju jednak broj čvorova, te na računaru sa najslabijim karakteristikama postaviti

podsistem sa najmanjim brojem čvorova.

47


POPIS SLIKA

Slika 1.1. Predstavljanje otočne provodnosti preko dopunskog izvora .................................. 10

Slika 1.2. Zamjenska shema dvonamotajnog regulaciong transformatora ............................. 11

Slika 1.3 Predstavljanje PQ sabirnice u rješavanju problema tokova snaga .......................... 13

Slika 2.1. Blok struktura Y-matričnog metoda [3] ................................................................. 16

Slika 2.2. Blok struktura Z-matričnog metoda [3] .................................................................. 20

Slika 3.2. Memorijski zahtjevi i broj operacija sa i bez primjene dijakoptike [2] .................. 23

Slika 3.3. Međusobno povezani podsistemi EES1 i EES2 ....................................................... 26

Slika 3.4. Odvojeni podsistemi EES1 i EES2 .......................................................................... 26

Slika 4.1. Primjer DC mreže ................................................................................................... 32

48


LITERATURA

[1] S. Sadović (Knjiga) "Analiza elektroenergetskih sistema", ETF Sarajevo, 2003.

[2] Van. prof. dr T. Konjić (Predavanja) "Elektroenergetski sistemi'', ETF Sarajevo, 2014.

[3] V. Bečirović (Diplomski rad) "Analiza tokova snaga u elektroenergetskom sistemu uz

minimalne troškove goriva termo blokova", ETF Sarajevo, 2008.

[4] Prof. dr sci. Ivica Pavić (Predavanja) "Analiza visokonaponskih mreža", FER Zagreb,

2014.

[5] M. S. Ćalović, A. T. Sarić (Knjiga) "Osnovi analize elektroenergetskih mreža i sistema",

Beograd, 2003.

[6] Prof. dr sci. Salih Sadović (Predavanja) "Analiza elektroenergetskih sistema", ETF

Sarajevo, 2014.

[7] Prof. dr sci. Salih Sadović, mr. sci. Vedad Bečirović, dipl. ing. Amer Mešanović

"Implementacija dijakoptike na računarskoj mreži", ETF Sarajevo, 2013.

[8] Flourish Olobaniyi, Hassan Nouri, Sabir Ghauri, "Investigation of Diacoptics as a

Resourceful Tool in Power System Analysis", Universities Power Engineering

Conference (UPEC) 2012 47th International, London.

49

Documents

Bećirović Fadil - Implementacija dijakoptike u analizama tokova snaga