Upload
pitrahdewi
View
58
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Turunan
mempelajari
KasusMaksimum
danMinimum
PenyelesaianLimit Tak
Tentu
Kecepatandan
Percepatan
PersamaanGaris
Singgung
Aturan RantaiRumus DasarTurunan
AplikasiGrafikFungsi
Fungsi Naik,Turun, danStasioner
Turunan FungsiEksponen dan
Logaritma
Turunan FungsiAljabar
April 15, 2023
Turunan Fungsi
Trigonometri
1. Tentukan gradien dari garis f(x) = x2 + 2x di titik (a, b).
2. Diketahui f’(x) = 2x + 2. Tentukan .
3. Samakan hasil 1 dan 2? Apa sebenarnya hubungan antara
soal 1 dan 2?
April 15, 2023
1. Pengertian Turunan
Turunan suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut.
Bentuk limit sudah disinggung di Bab 7.
Coba diingat lagi!
April 15, 2023
Contoh:
Dengan menggunakan definisi turunan, tentukan turunan
pertama fungsi f(x) = x2 + 1.
Jawab:
April 15, 2023
2. Turunan Ditinjau Dari Sudut Pandang Geometri
Misalkan diketahui fungsi y = f(x). Secara geometri turunan
fungsi diartikan sebagai gradien (kemiringan).
Gradien garis singgung di titik P(a, b) yang terletak pada
fungsi y = f(x) adalah sebagai berikut.
m = f’(a) =
Secara geometris, ilustrasinya dapat dilihat pada gambar
berikut.
April 15, 2023
h
afhafh
)()(lim
0
Contoh:
Tentukan gradien garis singgung kurva yang memiliki
persamaan untuk x ≠ 0 di x = 2.
Jawab:
Gradien garis singgung kurva y = f(x) untuk x = 2 adalah
m = f'(2) = –1.
Dengan kata lain, laju perubahan fungsi f(x) di x = 2 adalah –1.
April 15, 2023
Jika n bilangan rasional, a dan c konstanta sedangkan f'(x)
turunan dari f(x) maka berlaku rumus turunan
Jika f(x) = c maka turunannya adalah f'(x) = 0.
Jika f(x) = xn maka turunannya adalah f'(x) = nxn – 1.
Jika f(x) = axn maka turunannya adalah f'(x) = anxn – 1.
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan turunan dari f(x) = 6x4.
Jawab:
f(x) = 6x4
Mengacu rumus di atas, diperoleh nilai
a = 6
n = 4
Jadi, f'(x) = 6(4x4 – 1)
= 24x3
April 15, 2023
1. Turunan Fungsi Sinus
2. Turunan Fungsi Kosinus
Dengan menggunakan rumus
akan diperoleh
April 15, 2023
Jika f(x) = sin x, maka turunannya adalah f'(x) = cos x
Jika f(x) = cos x, maka turunannya adalah f'(x) = –sin x.
a. Jika f(x) = a sin x maka f'(x) = a cos x.b. Jika f(x) = a cos x maka f'(x) = –a sin x.c. Jika f(x) = tan x maka f'(x) = sec2 x.d. Jika f(x) = csc x maka f'(x) = –csc x cot x.e. Jika f(x) = sec x maka f'(x) = sec x tan x. f. Jika f(x) = cot x maka f'(x) = –csc2 x.
a. f(x) = c u(x), turunannya f'(x) = c u'(x).
b. f(x) = u(x) ± v(x), turunannya f'(x) = u'(x) ± v'(x).
c. f(x) = u(x) v(x), turunannya f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x).
d. f(x) = , v(x) ≠ 0, turunannya
e. f(x) = u(x)n, turunannya f'(x) = n(u(x))n – 1u'(x).
April 15, 2023
)(
)(')()()(')('
2 xv
xvxuxvxuxf
)(
)(
xv
xu
Contoh:
Tentukan f'(x) jika diketahui f(x) = (7x2 – 5)8.
Jawab:
f(x) = {u(x)}8
u(x) = 7x2 – 5
Dengan demikian, u'(x) = 14x.
f'(x) = 8(7x2 – 5)8 – 1 (14x)
= 112(7x2 – 5)7
Jadi, f'(x) = 112(7x2 – 5)7.
April 15, 2023
Misal terdapat fungsi y = f(u(x)), turunan fungsinya
ditentukan dengan rumus
Misalkan terdapat fungsi y = f(u(v(x))), turunan fungsinya
dapat ditentukan dengan
April 15, 2023
Contoh 1:
Tentukan turunan fungsi y = (3x – 2)2.
Jawab:
Misalkan u = 3x – 2. Dengan demikian,
y = u2
u = 3x – 2 =
Jadi,
= 2u × 3 = 2(3x – 2)(3) =18x – 12.
April 15, 2023
Contoh 2:
Tentukan turunan fungsi y = cos (sin (2x – 1 )).
Jawab:
Misalkan u = 2x – 1
v = sin u
y = cos v
April 15, 2023
1. Turunan Fungsi Eksponen (y = ex)
Secara umum, dapat ditentukan turunan fungsi y = eax + b
Jika y = ex maka y' = ex.
Jika y = eax + b maka y' = aeax + b
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan turunan dari fungsi berikut.
a. y = e5x
b. y = e–x + 3
Jawab:
a. y = e5x maka y' = 5e5x
b. y = e –x + 3 maka y' = –e –x + 3
April 15, 2023
Secara umum, dapat ditentukan turunan y = ln u, dengan
u = f(x), adalah sebagai berikut.
ln x = y x = ey Jika y = ln x maka
Jika y = ln u, dengan u = f(x) maka
April 15, 2023
Perhatikan turunan fungsi-fungsi berikut.
a. y = 2 ln x maka
b. y = ln (kx + c)
Misalkan u = kx + c. Oleh karena itu, u' = k
sehingga
c. y = ln (6x5 – 3x2 + 2x)
u = 6x5 – 3x2 + 2x.
Oleh karena itu, u' = 30x4 – 6x + 2
sehingga April 15, 2023
1. Pengertian Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner
Grafik fungsi f(x) naik pada interval a < x < b dan interval d < x < e.Grafik fungsi turun pada interval b < x < c. Grafik fungsi tidak naik dan tidak turun (stasioner) pada interval c < x < d.
April 15, 2023
Y
0 Xa b C d e
f(x)
Cara menentukan interval suatu fungsi naik atau turun.
Misalkan diberikan fungsi y = f(x).
a. Grafik f(x) naik jika f'(x) > 0.
b. Grafik f(x) turun jika f'(x) < 0.
c. Grafik f(x) stasioner (tidak naik dan tidak turun) jika f'(x) = 0.
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan interval yang menyebabkan fungsi f(x) = x2 + 2x + 1 naik atau turun, serta titik stasionernya.
Jawab:
f(x) = x2 + 2x + 1 f'(x) = 2x + 2 = 2(x + 1).
Fungsi naik jika f'(x) > 0 2(x + 1) > 0 x > –1.
Fungsi turun jika f'(x) < 0 2(x + 1) < 0 x < –1.
Fungsi stasioner jika f'(x) = 0 2(x + 1) = 0 x = –1
sehingga f(–1) = 0. Jadi, titik stasionernya (–1, 0).
Secara geometris, dapat dilihat pada grafik f(x) = x2 + 2x + 1
berikut.April 15, 2023
Misalkan x = a adalah stasioner.
Jika pada x < a, f(x) turun dan x > a , f(x) naik maka
x = a adalah titik balik minimum. (Gambar (a))
Jika pada x < a ,f(x) naik dan x > a, f(x) turun maka x = a
adalah titik balik maksimum. (Gambar (b))
Jika pada x < a, f(x) naik dan x > a, f(x) juga naik
maka x = a adalah titik belok. (Gambar (c))
Jika pada x < a, f(x) turun dan x > a, f(x) juga turun
maka x = a adalah titik belok. (Gambar (d))
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan nilai-nilai stasioner fungsi f(x) = x2 – 3x + 2 dan
jenisnya.
Jawab:
f(x) = x2 – 3x + 2 f'(x) = 2x – 3.
Nilai stasioner dicapai jika f'(x) = 0, yaitu di titik .
Untuk fungsinya turun.
Untuk maka fungsinya naik.
Dengan demikian, nilai stasioner pada yaitu
adalah titik balik minimum, tepatnya adalah titikApril 15, 2023
Dalam menggambar grafik suatu fungsi f(x), langkah-
langkah yang perlu kalian perhatikan adalah sebagai
berikut.
1. Menentukan titik potong fungsi f(x) dengan sumbu-sumbu
koordinat (sumbu X dan sumbu Y).
2. Menentukan titik-titik stasioner atau titik ekstrem dan
jenisnya.
3. Menentukan titik-titik sembarang dalam fungsi untuk
memperhalus grafik.April 15, 2023
Contoh:
Sketsalah grafik fungsi f(x) = 2x3 – x4.
Jawab:
Langkah 1:
f(x) = 2x3 – x4 = x3(2 – x) = 0
x = 0 atau x = 2 (0, 0) dan (2, 0).
Titik potong dengan sumbu Y, x = 0 sehingga f(0) = 0 (0, 0)
Langkah 2:
f(x) = 2x3 – x4 f'(x) = 6x2 – 4x3 = 2x2(3 – 2x) = 0
x = 0 atauApril 15, 2023
a) Untuk x = 0
Untuk x < 0 maka f'(x) > 0 fungsi f(x) naik.
Untuk x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok
Untuk maka f'(x) > 0 f(x) naik.
Jadi x = 0 merupakan nilai di mana terdapat titik belok.
b) Untuk
Untuk maka f'(x) > 0 f(x) naik.
Untuk maka f'(x) < 0 f(x) turun.
Jadi titik balik maksimum
April 15, 2023
April 15, 2023
Grafiknya adalah seperti gambar berikut.
Arah gradiennya seperti ditunjukkan gambar berikut.
1. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva
Persamaan garis di titik (a, b) dan bergradien m adalah
y – b = m(x – a).
Karena gradien garis singgung f(x) di titik (a, b) adalah
y' = f'(a), persamaannya dapat dirumuskan dengan
y – b = f'(a)(x – a)
April 15, 2023
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung fungsi f(x) = x2 di titik
(2, 4).
Jawab:
f(x) = x2
f'(x) = 2x.
f'(2) = 2(2) = 4.
Oleh karena itu, persamaan garis singgungnya adalah
y – 4 = 4(x – 2)
y = 4x – 4
April 15, 2023
2. Perhitungan Kecepatan dan Percepatan
Kecepatan rata-rata = v(t) =
s = perubahan jarak; t = perubahan waktu.
Jika Δt → 0, kecepatan v(t) dirumuskan dengan
v(t) = atau v(t) =
Misalkan percepatan pada saat t dinotasikan dengan a(t).
a(t) =
April 15, 2023
t
s
dt
dst
st
0lim
2
2
dt
sd
dt
ds
dt
d
dt
dv
Contoh:Suatu benda bergerak sepanjang garis lurus. Jarak yang
ditempuh benda tersebut dalam waktu t detik adalah
meter.Tentukan kecepatan benda pada waktu t = 2 detik.Jawab:Kecepatan benda saat t = 2 detik adalah sebagai berikut.
v(t) = = 2t2 – 9t + 10
v(2) = 2(2)2 – 9(2) + 10 Hal ini berarti pada saat t = 2 detik, benda berhenti sesaatkarena pada waktu itu kecepatannya nol.
April 15, 2023
dt
ds
3. Menentukan Limit Tak Tentu
Salah satu manfaat turunan adalah menentukan nilai limit
fungsi jika limit tersebut memiliki bentuk tak tentu. Aplikasi ini
sering disebut dengan dalil L’Hopital.
Jika f(x) dan g(x) memiliki turunan di x = a dan f(a) = g(a) = 0,
sedangkan f'(a) dan g'(a) tidak nol, berlaku rumus berikut.
April 15, 2023
)('
)('
)('
)('lim
)(
)(lim
ag
af
xg
xf
xg
xfaxax
Contoh:
Tentukan nilai .
Jawab:
f(x) = x – 2
g(x) = x2 – 4
Kita cek, f(2) = 0 dan g(2) = 0. Akibatnya, .
Kita gunakan dalil L’Hopital:
Diperoleh f'(x) = 1 dan g'(x) = 2x.
Jadi, .
April 15, 2023
4
1
2
1lim
4
2lim
222
xx
xxx
4. Menyelesaikan Kasus Maksimum atau Minimum
Contoh:
Suatu persegi panjang mempunyai keliling 200 cm. Tentukan panjang dan lebarnya agar luas bangun itu maksimum.
Jawab:
Misalkan panjang = p dan lebarnya = l.
Kelilingnya adalah
K = 2p + 2l
200 = 2p + 2l
p = 100 – l
Luasnya L = pl = (100 – l)l = 100l – l2.
April 15, 2023