-ROTASISetelah mempelajari bagian ini, mahasiswa mampu :
menghitung percepatan sentripetal, perc tangensial dan percepatan
total pada gerak melingkar membedakan besaran linier dari besaran
angular menghitung besaran angular dari besaran linier atau
sebaliknya
BERGERAK MELINGKAR - BERPUTAR ( Rotasi )
melingkar
rotasi
GERAK MELINGKAR :Gerak yang lintasannya berbentuk lingkaran
Benda/partikel bergerak melingkar dari A ke B menempuh : atau sudut
dU jarak dsBesaran LINIER Ads
Besaran ANGULAR
RdU
B
Kecepatan linier ( tangensial ) : V m/s ds = R dU Percepatan
tangensial aT m/s2
Kecepatan sudut : [ o/s ; rad/s Percepatan sudut : E o/s2;
rad/s2
V RdU
Ads
B
Besaran LINIER Kecepatan linier ( Kec tangensial ) :
V
Besaran ANGULAR Kecepatan sudut :
ds R dU v! ! dt dt
dU [! dt
O/s
; rad/s
v ! R[
Percepatan sudut :
d[ d 2 U 0 /s2 ; E! ! 2 rad / s2 dt dt
MEMBEDAKAN KECEPATAN TANGENSIAL v DARI KECEPATAN ANGULAR [
[
sama
Pada pertandingan lari, pelari di jalur terluar menempuh jarak
yang lebih panjang untuk jumlah putaran yang sama dibandingkan
pelari di jalur yang lebih dalam.
Makin besar [, makin tinggi pula v pada benda yang berotasi (
misalkan merry-go-round atau CD), artinya v ~ [ [ tidak tergantung
pada di mana anda berada di merry-goround, tetapi v tergantung pada
posisi anda, artinya v ~ rKecepatan liniernya dua kali kecepatan
linier orang ini
Semua orang mempunyai rpm sama, tetapi kecepatan linier yang
berbeda
GERAK MELINGKARv konstan adav2 ! RKe slide 10
v tak konstan
aaR v2 ! R
PERCEPATAN SENTRIPETAL ( mengubah arah kecepatan )aR
( konstan )
(tak konstan)
PERCEPATAN TANGENSIAL (mengubah besarnya kecepatan)
aT ! 0
aT
dv ! ! RE dtKe slide 10
Ke slide 8
PERCEPATAN TOTAL
a = a R+ a T
MELINGKAR BERATURAN
MELINGKAR TAK BERATURANV = 10
V=5
V=5
V=5
V=7
V = 15
V = 5 m/s
V = 5 m/s
V konstan Back
V tidak konstan
V=5
V = 10
aR aRV=5 V=7
aT aR aR aT aR aT aR aTV = 15
aR
V=5
aR
V = 5 m/s
V = 5 m/s
aT = 0Back again
MELINGKAR BERATURAN
MELINGKAR TAK BERATURAN
Padanan gerak lurus dan gerak melingkarLurus dengan a konstan
Melingkar dengan E konstan
v ! vo a tv2 2 ! vo
[ ! [o E t
2 a (s - s o )
[
2
1 2 s so ! vo t a t 2
1 2 U U o ! [o t E t 2
2 ! [o
2 E (U - U o )
KINEMATIKA ROTASI Bila terjadi perubahan sudut dalam selang
waktu tertentu, didefinisikan kecepatan sudut rata-rata sebagai
:
U 2 U1 [! t2 t1 Bila terjadi perubahan kecepatan sudut dalam
selang waktu tertentu, didefinisikan percepatan sudut rata-rata
sebagai :
[2 [1 E ! t 2 t1U = Sudut [radian] [ = Kecepatan sudut
[radian/s] E = Percepatan sudut [radian/s2 ] t = Waktu [s]
Kecepatan dan percepatan sudut sesaat :
(U dU [ ! lim ! ( t p 0 (t dt ([ d [ E ! lim ! (t p0 (t dt
Persamaan-persamaan kinematika rotasi :[ ! [o E t [ [o U Uo ! t 2 1
2 U U o ! [ot E t 2 1 2 U Uo ! [ t E t 2 2 [ 2 ! [o 2E (U U o )
Contoh Soal 5.1 Sebuah roda gila (grindstone wheel) berputar
dengan percepatan konstan sebesar 0,35 rad/s2. Roda ini mulai
berputar dari keadaan diam ([o = 0) dan sudut mula-mulanya Uo = 0.
Berapa sudut dan kecepatan sudutnya pada saat t=18 s ? Jawab :
1 putaran ! 360 o ! 2T radian1 2 U ! [o t E t 2 1 ! 0(18)
(0,35)(18) 2 2 ! 56,7rad } 3200o } 9 putaran
[ ! [o E t ! 0 (0,35)(18) ! 6,3rad / s ! 6,3 rad / s } 360o / s
} 1 putaran / s
Contoh Soal 5.2 Dalam suatu analisis mesin helikopter diperoleh
informasi bahwa kecepatan rotornya berubah dari 320 rpm menjadi 225
rpm dalam waktu 1,5 menit ketika mesinnya dihentikan. a). Berapa
percepatan sudut rata-ratanya ? a). Berapa lama baling-balingnya
berhenti ? b). Berapa kali baling-balingnya berputar sampai
berhenti ? Jawab :
[ [o 225 320 ! ! 63,3 putaran / s 2 a ). E ! t 1,5 [ [ 0 320 !
5,1 menit ! b). t ! E 63,32 [ 2 [o 0 320 2 ! ! 809 putaran c). U !
2E 2(63,3)
Hubungan antara kecepatan linier dan kecepatan sudut
ds s !U r v ! dt dU v! r ! [r dt Hubungan antara percepatan
linier dan percepatan sudut
dv d[r d[ at ! r !E r ! ! dt dt dt 2 2 ([r ) v Er ! ! ! [ 2r r
r
Momen Inersia (rotasi)
m
massa (translasi)
Untuk sistem partikel energi kinetiknya :1 1 1 2 2 K ! mi vi !
mi ([ri ) ! 2 2 2 1 I ! mi ri 2 p K ! I[ 2 2
m r [2 i i
2
I disebut momen inersia dari sistem partikel Untuk benda tegar
momen inersianya dapat dihitung dari :
I ! r 2 dm
Contoh Soal 5.3 Suatu sistem terdiri dari dua buah benda
bermassa sama m yang dihubungkan dengan sebuah batang kaku
sepanjang L dengan massa yang dapat diabaikan. a). Bila sistem
tersebut berputar dengan sumbu ditengah batang tentukan momen
inersianya b). Tentukan momen inersianya bila berputar dengan sumbu
pada ujung batang Jawab :
1 2 L L a ). I ! mi ri ! m m ! mL 2 2 22
2
2
b). I ! mi ri ! m0 mL ! mL22 2 2
DINAMIKA
ROTASI
Sebuah benda berputar pada suatu sumbu disebabkan karena adanya
momen gaya atau torka/torsi (torque)
X ! Ft r ! F sin J r ! (r sin J ) F ! rB F X ! rvFHukum Newton
II untuk rotasi :
X ! IEUf
m
F ! map dW ! X dUxf
KERJA DAN DAYA ROTASI
dW ! F y ds ! Ft rdU ! ( Ft r )dU W ! X dUUi
m W ! Fdxxi
dW X dU P! ! !X [ dt dt
m P ! Fv
Contoh Soal 5.4 Sebuah batang homogen bermassa 1,5 kg sepanjang
2 m dapat berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini
berada dalam keadaan diam dan membuat sudut 40o terhadap horisontal
seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Hitung : a). Percepatan
sudut pada saat dilepaskan b). Kecepatan sudut pada posisi
horisontal disebelah kiri
R
Mg 40o
Jawab :I! 1 ML2 3R
Mg 40o
1 1 a ). I ! ML2 ! (1,5)(2) 2 ! 2 kgm 2 3 3 X ! I E p F R ! Mg R
! (1,5)(9,8)(0,5(2) cos 40 o ) ! 11,26 ! 2 E 11,26 ! 5,63 rad / s 2
2 1 1 2 I[1 Mgh 1 ! I[ 2 Mgh 2 h 1 ! 0,5L sin 40 o h 2 ! 0 b). 2 2
2 1 1 (2)(0) (1,5)(9,8)(0,5)(2) sin 40 o ! (2) [ 2 (1,5)(9,8)(0) 2
2 2 9,45 ! [ 2 p [ ! 3,08 rad / s 2 E!
Contoh Soal 5.5. Sebuah batang homogen bermassa 0,5 kg sepanjang
80 cm dapat berputar pada salah satu ujungnya. Mula-mula batang ini
berada dalam keadaan horisontal seperti terlihat pada gambar di
bawah ini. Bila diberi kecepatan sudut awal sebesar 5 rad/s,
tentukan : a). Momen inersia batang tersebut, I b). Momen gaya yang
dialami pada saat horisontal, Xo c). Percepatan sudut awal, Eo d).
Kecepatan sudut pada posisi vertikal, [
Jawab :ho
L/2
[o
h=0
mg
[
Momentum Sudut Momentum sudut didefinisikan sebagai perkalian
antara momen inersia dan kecepatan sudut
L ! I[ m p ! m vHukum Newton II :
dL dI[ X ! dt ! dt ! IE m
dp dmv F ! dt ! dt ! ma
Hukum kekekalan momentum sudut :
X ! 0
p L i ! L f ! kons tan
Contoh Soal 5.6 Sebuah cakram (disk) dengan momen inersia I1
berputar dengan kecepatan sudut [I terhadap poros yang licin.
Cakram ini jatuh mengenai cakram lain dengan momen inersia I2 yang
sedang diam. Akibat gesekan pada permukaannya cakram lain ini ikut
berputar sampai akhirnya mempunyai kecepatan sudut yang sama.
Tentukan kecepatan sudut akhir ini. Jawab :
Contoh Soal 5.7 Sebuah komedi putar mempunyai jari-jari 2 m dan
momen inersia sebesar 500 kgm2. Seorang anak bermassa 25 kg berlari
sepanjang garis yang tangensial terhadap tepi komedi putar yang
semula diam dengan kecepatan 2,5 m/s dan melompat seperti terlihat
pada gambar. Akibatnya komedi putar bersama-sama dengan anak
tersebut ini berputar. Hitung kecepatan sudut komedi putar
tersebut. Jawab :
Gerak Menggelinding Sebuah bola menggelinding di atas bidang
datar tanpa slip Titik kontak antara bola dan bidang datar bergerak
sejauh s Pusat massa terletak di atas titik kontak juga bergerak
sejauh s
Vpm
dJ ds ! !R dt dt
dJ 
