Aula0 Rac Logico AFRFB 38071

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O contedo deste curso de uso exclusivo de Nome99999999999, vedada, por quaisquer meios e a qualquer ttulo, a sua reproduo, cpia,divulgao e distribuio, sujeitando-se os infratores responsabilizao civil e criminal.

RACIOCNIO LGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neveswww.pontodosconcursos.com.br 1

Aula0Apresentao................................................................................................................................................2

1. Fatorial....................................................................................................................................................5

2. Anlise Combinatria........................................................................................................................6

3. Exemplos introdutrios....................................................................................................................8

4. Princpio Fundamental da Contagem........................................................................................10

5. Permutaes Simples......................................................................................................................16

6. Permutaes de elementos nem todos distintos..................................................................17

7. Permutaes circulares..................................................................................................................20

8. Combinaes Simples.....................................................................................................................22

9. Relao das questes comentadas nesta aula......................................................................58

10. Gabaritos..........................................................................................................................................72

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Apresentao Ol, pessoal! Tudo bem com vocs? Como todos bem sabem, o edital da Receita Federal est na praa. Sabemos que Raciocnio Lgico Quantitativo o calo de muita gente nas provas da Receita (na prova de 2012, assim como ocorreu em 2009, sero 20 questes com peso 2). O assunto , de fato, gigantesco e a ESAF procura usar todo o contedo programtico. Na prova de 2009, tivemos questes sobre Estruturas Lgicas, Inequaes do 2 grau, Porcentagem, Trigonometria, Sistemas Lineares, Diviso de Polinmios, Anlise Combinatria, Probabilidade, Matemtica Financeira, Estatstica Descritiva, Estatstica Inferencial, etc. Vale frisar que das 20 questes, 6 foram de Estatstica!! Neste curso, veremos toda a teoria necessria e resolveremos muitos, muitos exerccios para atingirmos dois objetivos:

i) Preparar os candidatos que dizem odiar Matemtica e matrias afins (fiquem tranquilos, partimos do pressuposto que vocs nunca viram a matria).

ii) Desenvolver habilidades e procurar dissecar tudo que a ESAF j cobrou nos ltimos anos. Assim, aperfeioaremos os candidatos que j tem uma certa base em Matemtica.

Permitam-me uma breve apresentao: meu nome Guilherme Neves. Sou professor de Raciocnio Lgico, Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica. Sou autor do livro Raciocnio Lgico Essencial (Editora Campus). Posso afirmar em alto e bom tom que ensinar a minha predileo. Comecei a dar aulas para concursos, aqui em Recife, quando tinha apenas 17 anos (mesmo antes de comear o meu curso de Bacharelado em Matemtica na UFPE). Como j comentei, o concurso da RFB exige, atualmente, uma verdadeira montanha de conhecimentos matemticos. Eles fazem um grande mixde Raciocnio Lgico, Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica. Com a ESAF no se brinca! Se voc gosta de muita emoo e adrenalina, aqui vai uma dica: depois que voc passar no concurso da RFB, voc poder ter altas emoes saltando de pra-quedas ou brincando de bungeejumping.

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Agora, existe um tipo de emoo que, certamente, ningum gosta: se deparar com uma questo completamente desconhecida. E justamente disso que a ESAF gosta! A prova do ltimo AFRFB foi um soco no estmago de muita gente. Voc j pensou que iria precisar calcular a esperana de uma varivel aleatria usando integral? E que tal uma permutao circular? Imagine agora voc se deparando com questes deste nvel... (Ministrio da Integrao Nacional 2012/ESAF) Seja X uma varivel aleatria contnua com funo densidade de probabilidade constante no intervalo [0,2]. Determine sua varincia. a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 5/7 e) 5/6 (Ministrio da Integrao Nacional 2012/ESAF) Se X for a soma dos quadrados de n variveis aleatrias N(0,1) independentes, ento X uma varivel a) F com 1 grau de liberdade no numerador e n graus de liberdade no denominador. b) T2 de Hotelling com n-1 graus de liberdade. c) t de Student com n-1 graus de liberdade. d) Lognormal. e) Qui quadrado com n graus de liberdade. (Ministrio da Integrao Nacional 2012/ESAF) Dos 120 candidatos do sexo masculino que se submeteram a um concurso, 55 foram aprovados, enquanto dos 180 candidatos do sexo feminino que se submeteram ao mesmo concurso, 95 foram aprovados. Se desejarmos testar a hiptese estatstica de que a proporo de aprovao no concurso independe do sexo dos candidatos, calcule o valor mais prximo da estatstica do teste, que tem aproximadamente uma distribuio Qui quadrado com um grau de liberdade. a) 1,91 b) 1,74 c) 1,65 d) 1,58 e) 1,39 Professor, o que isso? Bom, meu amigo, nada disso surpresa na ESAF. Estas trs questes j tinham aparecido em provas anteriores da ESAF. Por isso, resolveremos o mximo de questes que for possvel (inclusive de outras bancas para aprofundar a teoria).

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Eis o contedo programtico do edital publicado (idntico ao de 2009): 1. EstruturasLgicas. 2. Lgica de Argumentao. 3. DiagramasLgicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Soluo de SistemasLineares. 6. lgebra. 7. Combinaes, Arranjos e Permutao. 8. Probabilidade, VariveisAleatrias, PrincipaisDistribuies de Probabilidade, EstatsticaDescritiva, Amostragem, Teste de Hipteses e Anlise de Regresso. 9. GeometriaBsica. 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalncia de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortizao. 11. Compreenso e elaborao da lgica das situaespormeio de: raciocniomatemtico (queenvolvam, entre outros, conjuntosnumricosracionais e reais - operaes, propriedades, problemasenvolvendo as quatrooperaesnasformasfracionria e decimal; conjuntosnumricoscomplexos; nmeros e grandezasproporcionais; razo e proporo; divisoproporcional; regra de trs simples e composta; porcentagem); raciocniosequencial; orientaoespacial e temporal; formao de conceitos; discriminao de elementos.

O problema quemuitacoisaestimplcitanesteedital. Porexemplo, vocestvendo o assunto FunoQuadrtica?No? Issocaiunaprova de 2009!! Quandoeleescreve lgebra no item 6, abremargemparamuitosassuntos de Matemtica.

Seguiremos o seguinte cronograma:

Aula 0 Aula demonstrativa. Anlise Combinatria Aula 1 Lgica proposicional.Lgica de Argumentao. Aula 2 Equivalncias lgicas, negao de proposies compostas e de proposies

quantificadas. Diagramas Lgicos. Aula 3 Verdades e Mentiras. Problemas de Associao. Problemas gerais de

Raciocnio Lgico Aula 4 Introduo Teoria dos Conjuntos. Operaes e relaes entre conjuntos.

Conjuntos Numricos (Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais, Reais e Complexos). Operaes: Adio, Subtrao, Multiplicao, Diviso, Potenciao e Radiciao.Mnimo Mltiplo Comum e Mximo Divisor Comum. Sistemas de Medidas.

Aula 5 Razo e proporo, diviso proporcional, regra de trs simples e composta. Porcentagem. Progresso Aritmtica e Progresso Geomtrica.

Aula 6 Problemas do 1 grau. Equao do segundo grau. Funes. Funo Afim, Funo Quadrtica, Funo Exponencial e Funo Logartmica. Mdulo de um nmero real (propriedades e equaes modulares).

Aula 7 Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. Probabilidade Aula 8

Trigonometria, Geometria Plana e Geometria Espacial. Aula 9

Regimes de Capitalizao. Juros Simples e Descontos Simples. Juros

Compostos e taxas de Juros. Descontos Compostos. Equivalncia de Capitais. Aula 10 Rendas Uniformes (Anuidades) e Sistemas de Amortizao.

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Aula 11 Estatstica Descritiva. Distribuio de frequncias. Medidas de Tendncia

Central, Quantis e Medidas de Disperso. Aula 12

Variveis aleatrias discretas e contnuas: Funo densidade de

probabilidade, funo de distribuio, parmetros de variveis aleatrias

(esperana, mediana, moda, medidas de variabilidade). Aula 13

Distribuies tericas discretas e contnuas de probabilidade.

Aula 14 Teoria da amostragem: Amostras. Distribuies amostrais. Estimao.

Intervalo de confiana. Correlao e Regresso Linear

Aula 15 Teste de Hipteses

Vamos comear?

1. Fatorial Sendo um nmero natural, define-se fatorial de e indica-se ! expresso:

! 1 2 2 1, 2 1! 10! 1

Exemplos 3! 3 2 1 6

4! 4 3 2 1 24 5! 5 4 3 2 1 120

Observao: a leitura correta da expresso ! fatorial de n. Muitas pessoas, erradamente, falam n fatorial. Esta leitura incorreta pode gerar ambigidades. Por exemplo:

2 3! 23 2 3! 23

As pessoas que falam n fatorial vo falar assim (erradamente):

2 3! 23 2 3! 23

Esperamos ter convencido que a leitura correta de ! fatorial de n.

Exemplo 1. Calcular !!.

Resoluo Poderamos simplesmente expandir os dois fatoriais e cortar os fatores comuns.

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Entretanto, podemos simplificar os clculos notando que:

8!6!

8 7 6!

6! 8 7 56

Em suma, podemos expandir o fatorial at o fator desejado e, em seguida,

colocar o smbolo do fatorial no final. Vamos ver mais um exemplo.

Exemplo 2. Calcule o valor de !!!

.

Aqui podemos expandir o fatorial de 8 e travar no nmero 5. Lembre-se de

expandir o fatorial de 3.

8!5! 3!

8 7 6 5!5! 3 2 1

Neste ponto, podemos cancelar 5!. Observe ainda que 3 2 1 6.

8!5! 3!

8 7 6 5!5! 3 2 1

8 7 6

6 8 7 56

2. Anlise Combinatria Chamamos de Anlise Combinatria ou simplesmente Combinatria a parte da Matemtica que estuda as estruturas e relaes discretas. Falando na lngua do concurss, a Anlise Combinatria a parte da Matemtica que se preocupa em realizar contagens dos subconjuntos de um conjunto finito que satisfazem certas condies dadas. A grande maioria dos alunos pensa que a Anlise Combinatria o estudo dos arranjos, combinaes e permutaes. Isto na verdade apenas um assunto de Anlise Combinatria, que, a bem da verdade, 99,9% do necessrio para uma prova de concurso pblico. A Anlise Combinatria trata de vrios outros problemas que esto alm dos nossos objetivos e no ser visto neste curso. Calma, no ser visto porque

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nunca apareceu nem vai aparecer em prova alguma de concurso (assuntos como permutaes caticas, funes geradoras, etc.) Diga-se de passagem, este um dos assuntos mais importantes (se no for o mais importante) de toda a Matemtica concurseira. um assunto adorado por todas as bancas organizadoras. Vocs percebero um aspecto um pouco diferente nesta aula: no apresentaremos a frmula dos arranjos. Optamos em seguir esta linha, pois no achamos que seja didtico utilizar frmulas e casos particulares em demasia. Quem troca o princpio fundamental da contagem por frmulas de arranjos ter dificuldades imensas em resolver inmeros problemas de anlise combinatria. Permitam-me copiar um trecho de um livro da Sociedade Brasileira de Matemtica sobre o ensino de Anlise Combinatria (A Matemtica do Ensino Mdio Volume 2). Voc quer mostrar que o bom ou quer que seus alunos aprendam? Se voc prefere a segunda alternativa, resista tentao de em cada problema buscar a soluo mais elegante. O que deve ser procurado um mtodo que permita resolver muitos problemas e no um truque que resolva maravilhosamente um problema. A beleza de alguns truques s pode ser apreciada por quem tem domnio dos mtodos. Combinatria no difcil; impossvel aprender alguma coisa apenas com truques em vez de mtodos.

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




3. Exemplos introdutrios Exemplo 1: Quantos so os resultados possveis que se obtm ao jogarmos uma moeda no-viciada duas vezes consecutivas para cima?

Como podemos ver no diagrama de rvore, so 4 possibilidades. No primeiro lanamento h duas possibilidades (cara ou coroa) e no segundo lanamento h duas possibilidades (cara ou coroa) gerando os seguintes resultados: (CARA,CARA), (CARA,COROA), (COROA,CARA), (COROA,COROA).

Lanamentodasmoedas

Cara

Cara Cara,Cara

Coroa Cara,Coroa

Coroa

Cara Coroa,Cara

Coroa Coroa,Coroa

No

m

e

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N

o

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N

o

m

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N

o

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N

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e

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N

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N

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N

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Exemplo 2: Em uma urna, h existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A). Uma bola retirada, observada e devolvida para a urna. Qual o nmero de resultados possveis em 3 extraes sucessivas?

`

Extraodasbolas

V

V

V

P

A

P

V

P

A

A

V

P

A

P

V

V

P

A

P

V

P

A

A

V

P

A

A

V

V

P

A

P

V

P

A

A

V

P

A

No

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N

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N

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m

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m

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Temos 3 possibilidades para a primeira extrao (V, P ou A), 3 possibilidades para a segunda extrao (V,P ou A) e 3 possibilidades para a terceira extrao (V,P ou A). Temos um total de 27 possibilidades. Exemplo 3: Numa sala h 3 homens e 2 mulheres. De quantos modos possvel selecionar um casal (homem-mulher)? Vamos chamar os homens de H1,H2,H3 e as mulheres de M1,M2. Para escolher o homem temos 3 possibilidades e para escolher a mulher temos 2 possibilidades.

Existem 3 possibilidades para a primeira etapa (a primeira etapa escolher o homem), 2 possibilidades para a segunda etapa (a segunda etapa escolher a mulher). O nmero de diferentes casais que podem ser formados igual a 3 2 6. Este o princpio fundamental da contagem que pode ser assim enunciado.

4. Princpio Fundamental da Contagem Se um experimento pode ocorrer em vrias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: - o nmero de possibilidades da 1 etapa. - o nmero de possibilidades da 2 etapa. . . . - o nmero de possibilidades da n-sima etapa. O nmero total de possibilidades de o acontecimento ocorrer igual a

Casais

H1M1 H1M1

M2 H1M2

H2M1 H2M1

M2 H2M2

H3M1 H3M1

M2 H3M2

No

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e

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N

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N

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N

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N

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N

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N

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9

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Vamos resolver novamente os exemplos introdutrios com o auxlio do princpio fundamental da contagem. Exemplo 1: Quantos so os resultados possveis que se obtm ao jogarmos uma moeda no-viciada duas vezes consecutivas para cima? Resoluo So duas etapas: lanar a moeda na primeira vez e lanar a moeda na segunda vez. H 2 possibilidades no primeiro lanamento e 2 possibilidades no segundo lanamento. Portanto, so 2 2 4 resultados possveis. Exemplo 2: Em uma urna, h existem bolas vermelhas (V), pretas (P) e azuis (A). Uma bola retirada, observada e devolvida para a urna. Qual o nmero de resultados possveis em 3 extraes sucessivas? Resoluo So trs etapas: observar a cor da primeira bola, observar a cor da segunda bola e observar a cor da terceira bola. H 3 possibilidades para a primeira etapa, 3 possibilidades para a segunda etapa e 3 possibilidades para a terceira etapa. So, portanto, 3 3 3 27 resultados possveis. Exemplo 3: Numa sala h 3 homens e 2 mulheres. De quantos modos possvel selecionar um casal (homem-mulher)? Resoluo So duas etapas: escolher o homem do casal e escolher a mulher do casal. Existem 3 possibilidades para a escolha do homem e 2 possibilidades para a escolha da mulher. Podemos selecionar o casal de 3 2 6 modos diferentes. Os passos bsicos para resolver os problemas com o Princpio Fundamental da Contagem so os seguintes: i) Identificar as etapas do problema. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. iii) Multiplicar. Exemplo: Para fazer uma viagem Recife-Petrolina-Recife, posso escolher como transporte nibus, carro, moto ou avio. De quantos modos posso escolher os transportes se no desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida? Resoluo Vejamos novamente os passos: i) Identificar as etapas do problema. Escolher o transporte da ida e escolher o transporte da volta. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. Temos 4 possibilidades para a ida e 3 possibilidades para a volta (pois no desejo utilizar o mesmo meio de transporte).

No

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e

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N

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N

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N

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m

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N

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




iii) Multiplicar. 4 3 12 modos. Quais seriam os 12 modos? (nibus, carro);(nibus, moto);(nibus, avio); (carro, nibus); (carro, moto); (carro, avio); (moto, nibus); (moto, carro); (moto,avio); (avio, nibus); (avio, carro); (avio, moto). Obviamente no precisamos descrever quais so os 12 modos. Mas para um exemplo inicial, fica interessante mostr-los. 01. (ANEEL 2006/ESAF) Em um campeonato de tnis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade de vencer. O nmero de diferentes maneiras para a classificao dos 3 primeiros lugares igual a:

a) 24.360 b) 25.240 c) 24.460 d) 4.060 e) 4.650 Resoluo i) Identificar as etapas do problema. Escolher o primeiro, o segundo e o terceiro colocado. ii) Calcular a quantidade de possibilidades em cada etapa. Temos 30 possibilidades para o primeiro colocado, 29 possibilidades para o segundo colocado e 28 possibilidades para o terceiro colocado. iii) Multiplicar. 30 29 28 24.360 diferentes maneiras. Letra A 02. (COVEST-UFPE 1995) Uma prova de matemtica constituda de 16 questes do tipo mltipla escolha, tendo cada questo 5 alternativas distintas. Se todas as 16 questes forem respondidas ao acaso, o nmero de maneiras distintas de se preencher o carto de respostas ser:

a) 80 b) 165 c) 532 d) 1610 e) 516 Resoluo

No

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e

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Matemtica uma cincia eterna. Buscamos esta questo em uma prova para o vestibular da UFPE de 1995. Ela continua sendo atual e muito boa para fins didticos. Quais so as etapas do problema? Escolher a resposta da primeira questo (5 possibilidades), escolher a resposta da segunda questo (5 possibilidades), escolher a resposta da terceira questo (5 possibilidades), ..., ..., escolher a resposta da dcima sexta questo (5 possibilidades). Devemos multiplicar essas possibilidades.

5 5 5 5 5 Letra E (BB 2009/CESPE-UnB) Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as trs primeiras colocadas, julgue os itens a seguir. 03. O total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes 58.

Resoluo Para o primeiro colocado temos 5 possibilidades, 4 possibilidades para o segundo colocado e 3 possibilidades para o terceiro colocado. Logo, pelo princpio fundamental da contagem o total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes 5 x 4 x 3 = 60. O item est errado. 04. O total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes com a equipe A em primeiro lugar 15.

Resoluo Se a equipe A est em primeiro lugar, temos 4 possibilidades para o segundo lugar e 3 possibilidades para o terceiro lugar. Logo, pelo princpio fundamental da contagem, o total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes com a equipe A em primeiro lugar 4 x 3 = 12. O item est errado. 05. Se a equipe A for desclassificada, ento o total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes ser 24.

Resoluo Se a equipe A for desclassificada, sobram 4 equipes. O total de possibilidades distintas para as trs primeiras colocaes ser 4 x 3 x 2 = 24, pelo princpio fundamental da contagem. O item est certo.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Exemplo 3. Quantas palavras contendo 4 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?

Resoluo Atente para o fato de que as letras devem ser diferentes! H 26 possibilidades para a primeira letra, 25 possibilidades para a segunda letra, 24 possibilidades para a terceira letra e 23 possibilidades para a quarta letra. O nmero de palavras igual a:

26 25 24 23 358.800

Exemplo 4. Quantas palavras contendo 4 letras podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?

Resoluo Neste caso, podemos repetir as letras. H 26 possibilidades para a primeira letra, 26 possibilidades para a segunda letra, 26 possibilidades para a terceira letra e 26 possibilidades para a quarta letra. O nmero de palavras igual a:

26 26 26 26 456.976 06. (Administrador Jnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Quantos nmeros naturais de 5 algarismos apresentam dgitos repetidos? (A) 27.216 (B) 59.760 (C) 62.784 (D) 69.760 (E) 72.784 Resoluo Os nmeros naturais de 5 algarismos comeam em 10.000 e terminam em 99.999. H, portanto, 90.000 nmeros de 5 algarismos. O problema pede a quantidade desses nmeros que apresentam dgitos repetidos. Observe que o problema no especifica QUANTOS dgitos devem ser repetidos: podem ser 2, 3, 4 ou 5 dgitos. Existe uma maneira rpida de calcular este valor. Vamos calcular primeiramente o que o problema NO quer. O problema se interessa em nmeros que apresentam dgitos repetidos. Obviamente, no nos interessa nmeros com todos os dgitos diferentes. este nmero que vamos calcular. So 5 algarismos: __ __ __ __ __ O primeiro no pode ser 0. Ele deve ser escolhido dentre os algarismos 1,2,3,4,5,6,7,8,9. H, portanto, 9 possibilidades para o primeiro algarismo.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




No h restries para os outros algarismos. O segundo algarismo s no pode ser igual ao primeiro. H, portanto, 9 possibilidades para o segundo algarismo (j que o zero pode ser escolhido agora). Analogamente, existem 8 possibilidades para o terceiro algarismo, 7 possibilidades para o quarto algarismo e 6 possibilidades para o quinto algarismos. O total de nmeros de 5 algarismos todos distintos igual a:

9 9 8 7 6 27.216 Esta a quantidade de algarismos que NO nos interessa. Portanto, a quantidade de nmeros de 5 algarismos que apresentam dgitos repetidos igual a:

90.000 27.216 62.784 Letra C 07. (PETROBRAS 2008/CESGRANRIO) Em uma fbrica de bijuterias so produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura.

As contas esto disponveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos possvel escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a ltima contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes? (A) 336 (B) 392 (C) 448 (D) 556 (E) 612 Resoluo

Vamos comear pintando as contas das extremidades. Elas devem ser pintadas da mesma cor e, portanto, h 8 possibilidades para pint-las.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Como cores adjacentes no podem ser pintadas da mesma cor, ento h 7 possibilidades para pintar as contas 2 e 4. A conta de nmero 3 no pode ter a mesma cor das contas 2 e 4, mas ela pode repetir a cor das contas 1 e 5. Portanto, h 7 possibilidades para pintar a conta nmero 3. O total de maneiras para pintar as contas do colar obedecendo as exigncias igual a 8 7 7 392. Letra B

5. Permutaes Simples De quantas maneiras possvel ordenar objetos distintos? Vamos comear o problema com 4 objetos. O problema pode ser separado em 4 etapas: escolher o primeiro objeto, escolher o segundo objeto, escolher o terceiro objeto e escolher o quarto objeto. Temos 4 objetos possveis para o primeiro lugar, 3 objetos possveis para o segundo lugar, 2 objetos possveis para o terceiro lugar e 1 objeto possvel para o ltimo lugar. O total de maneiras igual a 4 3 2 1 4! 24. No caso geral, temos modos de escolher o objeto que ocupar o primeiro lugar, 1 modos de escolher o objeto que ocupar o segundo lugar,..., 1 modo de escolher o objeto que ocupar o ltimo lugar. Portanto, o nmero de modos de ordenar objetos distintos :

1 1 ! Cada uma destas ordenaes chamada permutao simples de objetos e o nmero de permutaes simples de objetos distintos representado por . Desta maneira, !.

Exemplo 5. Quantos so os anagramas da palavra BOLA?

Resoluo Cada anagrama de BOLA uma ordenao das letras B,O,L,A. Desta maneira, o nmero de anagramas de BOLA 4! 4 3 2 1 24.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




6. Permutaes de elementos nem todos distintos Quantos anagramas possui a palavra ARARAQUARA? O problema surge quando h letras repetidas como na palavra ARARAQUARA. Nesta palavra a letra A aparece 5 vezes e a letra R aparece 3 vezes. Aparentemente a quantidade de anagramas seria 10! (pois h 10 letras na palavra). Devemos fazer uma correo por conta das letras repetidas. Devemos dividir o 10! por 5! e por 3! que so as quantidades de letras repetidas. Assim, o nmero de anagramas da palavra ARARAQUARA igual a

,

10!5! 3!

10 9 8 7 6 5!

5! 3 2 1

Observe que ao expandirmos o 10!, podemos trav-lo onde quisermos para efetuar os cancelamentos. Dessa forma,

,

10!5! 3!

10 9 8 7 6

3 2 1 5.040

08. (Administrador Jnior Petrobras 2010/CESGRANRIO) Quantos so os anagramas da palavra PETROBRAS que comeam com as letras PE, nesta ordem? (A) 720 (B) 2.520 (C) 5.040 (D) 362.880 (E) 3.628.800 Resoluo Se os anagramas devem comear com as letras PE, nesta ordem, ento devemos permutar apenas as letras T-R-O-B-R-A-S. So 7 letras com 2 Rs repetidos. O nmero de anagramas ser igual a:

7!2!

7 6 5 4 3 2 1

2 1 2.520

Letra B 09. (Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contguos em uma mesma fila no teatro. O nmero de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, so, respectivamente,

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384. Resoluo a) H1 M1 H2 M2 H3 M3 H4 M4

Vamos permutar os 4 homens nos lugares indicados e as 4 mulheres nos lugares indicados. Devemos multiplicar o resultado por 2, pois no necessariamente devemos comear por homem: poderamos ter comeado a fila com uma mulher.

2 4! 4! 2 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1.152 b)

Em todos os problemas de permutao onde houver pessoas ou objetos que obrigatoriamente fiquem juntos, deveremos coloc-los dentro de caixas. Assim, os 4 homens sero permutados dentro da caixa, pois devem estar juntos. As 4 mulheres sero permutadas dentro da caixa, pois devem estar juntas. Em seguida devemos permutar as duas caixas, pois as caixas no obrigatoriamente estaro na ordem descrita acima.

4! 4! 2! 4 3 2 1 4 3 2 1 2 1 1.152 LetraC Percebendo que os dois resultados so claramente os mesmos j que 2 igual a s poderamos marcar a letra C. 010. (ANEEL Analista2006/ESAF) Um grupo de amigos formado por trs meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz -, compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Alm disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informaes, o nmero de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se igual a:

a) 1920 b) 1152 c) 960

H1 H2 H3 H4 M1 M2 M3 M4

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




d) 540 e) 860 Resoluo Como falamos na questo anterior, quando houver pessoas ou objetos que obrigatoriamente devam ficar juntos, devemos coloc-los em caixas. Chegamos ao desenho base feito acima. Vejamos as permutaes que devemos fazer. i) Permutar as duas caixas maiores, pois podemos ter meninos esquerda e meninas direita ou o contrrio. Essa permutao corresponde a P2. ii) Permutar Beto e Caio: P2 iii) Permutar o grupo (caixa) formado por Beto e Caio com o terceiro menino H1. Estamos permutando dois objetos (a caixa e o terceiro menino) e assim escrevemos P2. iv) Permutar Ana e Beatriz: P2

v) Permutar a caixa formada por Ana e Beatriz e as 4 meninas. Teremos a permutao de 5 objetos (4 meninas e 1 caixa): P5. O nmero de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se igual a 2! 2! 2! 2! 5! 2 2 2 2 120 1.920

Letra A 011. (Oficial de Chancelaria 2002/ESAF) Chico, Caio e Caco vo ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O nmero de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, igual a: a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48

H1 Beto Caio

M1M2 M3 M4 Ana Beatriz

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Resoluo Caio Caco Biba Devemos permutar Chico e Beti dentro da caixa: P2 Devemos permutar Caio, Caco, Biba e a Caixa: P4

4! 2! 4 3 2 1 2 1 48 Letra E

7. Permutaes circulares De quantos modos podemos colocar objetos distintos em lugares equiespaados em torno de um crculo, se considerarmos equivalentes disposies que possam coincidir por rotao?

A pergunta que propomos considera as 3 posies acima como equivalentes. Isso porque podemos obter a segunda e a terceira disposies por uma simples rotao da primeira disposio. A resposta desse problema representada por , o nmero de permutaes circulares de objetos distintos. Repare que nas permutaes simples importam os lugares que os objetos ocupam ao passo que nas permutaes circulares o que importa apenas a posio relativa dos objetos entre si. Em geral, podemos afirmar que o nmero de permutaes circulares de objetos distintos dado por 1!.

1! 012. (BB 2007/CESPE-UnB) Julgue o item seguinte. Uma mesa circular tem seus 6 lugares que sero ocupados pelos 6 participantes de uma reunio. Nessa situao, o nmero de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunio superior a 102. . Resoluo

1

23

3

12

2

31

ChicoBeti

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Este problema retrata exatamente a questo das permutaes circulares. Lembre-se que o que importa no o lugar de cada participante da reunio e sim a posio relativa dos participantes entre si.

6 1! 5! 5 4 3 2 1 120 Como 120 maior que 100 (102) o item est certo. 013. (EPPGG SEPLAG/RJ 2009 CEPERJ) Em uma mesa redonda vo sentar-se seis pessoas, entre as quais h um casal. Sabendo que o casal sentar junto (um ao lado do outro), o nmero de maneiras diferentes que as pessoas podem ficar dispostas em volta da mesa :

a) 24 b) 48 c) 60 d) 64 e) 72

Resoluo

Estamos permutando as pessoas em torno de uma mesa redonda. Utilizaremos a permutao circular. A primeira deciso tomar a ordem em que o casal A e B se colocaro na mesa redonda. H duas possibilidades: AB e BA. Agora tudo se passa como se A e B fossem uma nica pessoa. Iremos permutar 6 1 = 5 objetos em torno de uma mesa redonda. Lembre-se da frmula da permutao circular:

1!

Portanto, podemos permutar os 5 objetos de 5 1! 4! 4 3 2 1 24 maneiras. Assim, o nmero de maneiras diferentes que as pessoas podem ficar dispostas em volta da mesa 2 24 48.

Letra B

014. (AFRFB 2009/ESAF) De quantas maneiras podem sentar-se trs homens e trs mulheres em uma mesa redonda, isto , sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens? a) 72 b) 36 c) 216 d) 720 e) 360 Resoluo Vamos esquecer as mulheres por enquanto. De quantas maneiras podemos dispor os homens na mesa redonda?

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




3 1! 2! 2 1 2

Depois disso, as 3 mulheres devem ser postas nos 3 lugares entre os homens, o que pode ser feito de 3! 3 2 1 6 modos. Pelo princpio fundamental da contagem, a resposta 2 6 12. Questo anulada

8. Combinaes Simples Imagine que dispomos das seguintes frutas: mas, bananas, mames e abacates. Desejamos fazer uma salada de fruta com 3 destas frutas, ento picamos separadamente cada fruta e, em seguida misturamos tudo na seguinte ordem: ma, banana,mamo no primeiro prato e banana, ma e mamo no segundo prato. bvio que obtemos o mesmo resultado. Agrupamentos como este, que tm a caracterstica de no mudar quando alteramos a ordem de seus elementos, so chamados de combinaes. A pergunta aqui a seguinte: Dispomos de um conjunto com elementos. Queremos formar um subconjunto deste conjunto com elementos. De quantos modos podemos escolher estes elementos? Estamos utilizando a linguagem dos conjuntos porque no existe ordem entre os elementos de um conjunto. Por exemplo, os conjuntos , , so iguais. Vamos ilustrar: temos o conjunto {1,2,3,4,5} e queremos formar um subconjunto com 2 elementos deste conjunto. Temos as seguintes possibilidades: {1,2},{1,3},{1,4},{1,5} fixando o nmero 1 {2,3},{2,4},{2,5} fixando o nmero 2 {3,4},{3,5} fixando o nmero 3 {4,5} fixando o nmero 4 Temos um total de 4+3+2+1=10 subconjuntos com 2 elementos.

H1

?

H3

?

H2

?

H1

?

H2

?

H3

?

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Repare que corremos o risco de esquecer algum subconjunto, sobretudo se houver um nmero grande de elementos. para isto que serve a anlise combinatria. Contar agrupamentos sem precisar descrev-los. Pois bem, tendo um conjunto com elementos, o nmero de subconjuntos com elementos igual ao nmero de combinaes de elementos tomados a e calculado da seguinte maneira:

,

!! !

Esta a frmula que aparece nos livros. Em breve iremos simplific-la. No nosso caso, temos 5 elementos no conjunto ( 5) e queremos escolher 2 destes 5 elementos ( 2).

5!2! 5 2!

5!2! 3!

5 4 3!2 1 3!

5 42 1

10

Que exatamente o nmero de subconjuntos que havamos encontrado. A maneira mais fcil de utilizar esta frmula a seguinte: O nmero de combinaes sempre ser uma frao.

No denominador, devemos colocar o fatorial expandido do menor nmero.

2 1

Quantos fatores h no denominador? Dois!! Pois bem, devemos expandir o outro nmero, no caso o nmero 5, em dois fatores.

5 42 1

10

Muito mais fcil, no? Pronto! Pode esquecer a frmula agora!! Vamos ver um exemplo em uma questo... 015. (EBDA 2006/CETRO) Sobre uma circunferncia marcam-se oito pontos diferentes. O total de tringulos distintos que podem ser formados com vrtices nesses pontos : (A) 56 (B) 24 (C) 12 (D) 336 (E) 28 Resoluo

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Vejamos o desenho acima. O tringulo ABC congruente ao tringulo ACB, que congruente ao tringulo BAC e assim por diante. Portanto, a ordem dos vrtices no relevante na definio do tringulo. Assim, no podemos aplicar o Princpio Fundamental da Contagem. Se assim o fizssemos, estaramos contando os tringulos ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA como tringulos diferentes, o que no verdade. E como fazer essa correo? Vejamos o problema genericamente: temos 8 objetos e devemos escolher trs, sem levar em considerao a ordem dos elementos. A resposta desse problema o nmero de combinaes de 8 objetos tomados 3 a 3, representado por . Esse clculo feito da seguinte maneira: teremos uma frao. Colocaremos o fatorial do menor dos nmeros no denominador. No caso, o fatorial de 3 (no denominador. Ficamos assim por enquanto:

3 2 1

E o numerador? Devemos expandir o nmero 8 na mesma quantidade de fatores do denominador (3 fatores).

8 7 63 2 1

56.

Letra A 016. (EPE 2010/CESGRANRIO) Dos 24 municpios situados na rea de estudo da Bacia do Araguaia, 2 localizam-se no Mato Grosso, 8, no Tocantins e os restantes, no Par. Uma equipe tcnica dever escolher trs muncipios no Par para visitar no prximo ms. De quantos modos distintos essa escolha poder ser feita, sem que seja considerada a ordem na qual os municpios sero visitados?

(A) 56 (B) 102 (C) 364 (D) 464 (E) 728

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Resoluo So 24 municpios no total. Como 2 localizam-se no Mato Grosso e 8 no Tocantins, ento h 24 2 8 14 municpios no Par. Queremos escolher 3 destes 14 municpios sem levar em considerao a ordem deles. A resposta desse problema o nmero de combinaes de 14 objetos tomados 3 a 3, representado por . Esse clculo feito da seguinte maneira: teremos uma frao. Colocaremos o fatorial do menor dos nmeros no denominador. No caso, o fatorial de 3 (no denominador. Ficamos assim por enquanto:

3 2 1

E o numerador? Devemos expandir o nmero 14 na mesma quantidade de fatores do denominador (3 fatores).

14 13 123 2 1

364

Letra C 017. (Prefeitura da Estncia Turstica de Embu 2006/CETRO) Com seis tipos de doce e cinco tipos de fruta, quantos pratos podem ser formados, tendo, cada um, dois tipos de doce e dois tipos de fruta? (A) 300 (B) 150 (C) 75 (D) 50 (E) 25 Resoluo Obviamente, em um prato de doces e frutas a ordem dos objetos no relevante. Assim, temos 6 tipos de doces disponveis dos quais desejamos escolher apenas 2 e temos 5 tipos de frutas das quais desejamos escolher 2. O total de possibilidades

6 52 1

5 42 1

150.

Letra B 018. (EBDA 2006/CETRO) Um hospital tem trs mdicos e cinco enfermeiras. Quantas equipes de plantes com cinco profissionais podem ser formadas contendo no mnimo um mdico? (A) 15 (B) 20 (C) 40 (D) 45 (E) 55

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Resoluo A equipe ter no mnimo um mdico. Temos trs possibilidades:

i) Um mdico (dentre 3 disponveis) e 4 enfermeiras (dentre 5 disponveis).

315 4 3 24 3 2 1

15

ii) Dois mdicos (dentre 3 disponveis) e 3 enfermeiras (dentre 5 disponveis).

3 22 1

5 4 33 2 1

30

iii) Trs mdicos (dentre 3 disponveis) e 2 enfermeiras (dentre 5 disponveis).

3 2 13 2 1

5 42 1

10

Total de possibilidades: 15 + 30 + 10 = 55. Letra E 019. (TFC-CGU 2008/ESAF) Ana precisa fazer uma prova de matemtica composta de 15 questes. Contudo, para ser aprovada, Ana s precisa resolver 10 questes das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questes? a) 3003 b) 2980 c) 2800 d) 3006 e) 3005 Resoluo Quando algum realiza uma prova, no relevante a ordem que resolvemos as questes. Assim, Ana tem 15 questes e deve escolher 10 para resolver. A resposta

15 14 13 12 11 10 9 8 7 610 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Trabalhoso? Quando a quantidade de objetos que queremos escolher for muito grande, podemos utilizar um artifcio.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Veja bem, a deciso de escolher as 10 questes para responder a mesma deciso de escolher as 5 questes que no vai responder! Assim,

Grosso modo, para trocar o nmero de cima basta subtrair (15 10 = 5).

15 14 13 12 11

5 4 3 2 1 3.003

Letra A Ao descobrir que a resposta

poderamos marcar a resposta sem fazer a conta toda. Veja:

15 14 13 12 115 4 3 2 1

J que 4 x 3 = 12, ento podemos cancelar estes nmeros na diviso. 14 dividido por 2 igual a 7 e 15 dividido por 5 igual a 3.

3 7 13 11 21 13 11

Percebe-se aqui que o algarismo das unidades igual a 3 e j podemos marcar a alternativa A. 020. (AFC 2002/ESAF) Na Mega-Sena so sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possveis (as dezenas sorteveis so 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mnima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que sero sorteadas no prximo concurso da Mega-Sena estaro entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O nmero mnimo de apostas simples para o prximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemtica que ser um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto : a) 8 b) 28 c) 40 d) 60 e) 84 Resoluo Para comear: a ordem dos nmeros que escolhemos para jogar na Mega-Sena no relevante. Imagine se voc alm de ter que acertar os nmeros tivesse que acertar a ordem!!! Temos 8 nmeros a nossa disposio e devemos escolher 6.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




Observe que 6 grande, podemos ento troc-lo por 8 6 = 2.

8 72 1

28

Letra B Aproveitando a oportunidade, s por mera curiosidadade, quantos resultados possveis h no jogo da Mega-Sena? Temos 60 nmeros dos quais apenas 6 sero escolhidos.

60 59 58 57 56 55

6 5 4 3 2 1 50.063.860

Ou seja, se voc faz uma aposta mnima, a sua chance de ganhar de apenas

150.063.860

0

021. (TRANSPETRO 2008/CESGRANRIO) Para ganhar o prmio mximo na Sena, o apostador precisa acertar as seis dezenas sorteadas de um total de 60 dezenas possveis. Certo apostador fez sua aposta marcando dez dezenas distintas em um mesmo carto. Quantas chances de ganhar o prmio mximo tem esse apostador? (A) 60 (B) 110 (C) 150 (D) 180 (E) 210 Resoluo O apostador marcou 10 dezenas e apenas 6 sero sorteadas. Ele est concorrendo a:

Como o nmero de cima muito grande, podemos troc-lo por 10 6 4.

10 9 8 74 3 2 1

210

Letra E 022. (DETRAN Acre 2009/CESGRANRIO) De quantas maneiras um comit de trs membros pode ser formado, a partir de uma lista de nove advogados? (A) 27 (B) 84 (C) 504 (D) 729

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9




(E) 362.880 Resoluo H 9 advogados dos quais sero escolhidos 3. Basta calcular o nmero de combinaes de 9 objetos tomados 3 a 3.

9 8 73 2 1

84

Letra B 023. (PETROBRAS 2008/CESGRANRIO) Um grupo formado por 7 mulheres, dentre as quais est Maria, e 5 homens, dentre os quais est Joo. Deseja-se escolher 5 pessoas desse grupo, sendo 3 mulheres e 2 homens. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita de modo que Maria seja escolhida e Joo, no? (A) 60 (B) 90 (C) 126 (D) 150 (E) 210 Resoluo Maria ser escolhida. Temos, portanto, que escolher ainda 2 mulheres dentre as 6 que restaram. Teremos tambm que escolher 2 homens dentre os 4 que restaram, j que Joo no poder ser escolhido.

6 52 1

4 32 1

15 6 90

Letra B 024. (Gestor Fazendrio MG 2005 ESAF) Marcela e Mrio fazem parte de uma turma de quinze formandos, onde dez so rapazes e cinco so moas. A turma rene-se para formar uma comisso de formatura composta por seis formandos. O nmero de diferentes comisses que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que Mrio no participe igual a: a) 504 b) 252 c) 284 d) 90 e) 84 Resoluo A questo no informa a quantidade de homens e mulheres na comisso. Assim, se Marcela participa e Mrio no participa, sobram 13 pessoas (dentre homens e mulheres) para escolher as outras 5 pessoas da comisso.

No

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Documents

Aula0 Rac Logico AFRFB 38071