Apunte 5_1 Lcs Cft 2016

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  • 8/17/2019 Apunte 5_1 Lcs Cft 2016

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     Álgebra de Boole

  • 8/17/2019 Apunte 5_1 Lcs Cft 2016

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    ¿Qué sabrás al final del capítulo?

    • Leyes y propiedades del Algebra de Boole • Simplificar funciones utiliando el Algebra de

    Boole

    •  Analiar circuitos mediante Algebra de Boole y simplificarlos

    • !asar de una tabla de "erdad a Suma de !roductos y !roducto de Sumas

    • #tiliar $apas de %arnaug& para simplificar funciones l'gicas

  • 8/17/2019 Apunte 5_1 Lcs Cft 2016

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     Algebra de Boole binaria

    (n )*+, -eorge Boole desarroll' un Algebra en la .ue los"alores de A y B s'lo podían ser /"erdadero0 o /falso0 1) ' ,23 Se llama Algebra de Boole y se utilia en (lectr'nica 4igital

    (lementos5 6,7)8

    9peradores5

    Suma Booleana5 es la funci'n l'gica 9:

    ;4

    ; < AB 

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     Aioma5 !ropiedad @onmutati"a

     A=B < B=A (l orden en la 9: no importa

    AB = BA

    El orden en la AND no importa

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     Aioma5 !ropiedad asociati"a

     A = 1B = @2 < 1A = B2 = @  Agrupar "ariables en la 9: no importa

    A (B C) = (A B) C

    Agrupar variables en la AND no importa

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     Aioma5 !ropiedad distributi"a 

     A1B = @2 < AB = A@

    A

    B C

    X

    Y X=Y

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    A

    B

    C

    X

    Y

    A+BC = (A+B)(A+C)

     Aioma5 !ropiedad distributi"a 

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     Aioma5 (lemento identidad 1, para =2

    A+0=A

    acer una operaci'n 9: con , no cambia nada3

    A

    X X=A

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    A·1=A

    acer una operaci'n A>4 con ) no cambia nada

    A

    X X=A

    Axioma: Elemento identidad ( para ·)

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    A+A = 1 9 bien A o A serán )7 luego la salida será )

    A

    A

    X X=

    Axioma: Elemento !omplemento

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    A·A=0

    Bien A o A son , luego la salida será ,3

    A

    A

    X X="

    Axioma: Elemento !omplemento

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    Ceorema5 A•,4 con , siempre da ,

    A

    X X="

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    Ceorema5 A=A < A 1C3 dempotencia2

    acer una operaci'n 9: consigo mismo da el mismo resultado

    A

    A

    X X=A

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    Ceorema5 A•A < A 1C3 dempotencia2

    acer una operaci'n A>4 consigo mismo da el mismo resultado

    A

    A

    X X=A

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    Ceorema5 A < A 1C3 n"oluci'n2

    Si negamos algo dos "eces "ol"emos al principio 

    A

    X X=A

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    Ceorema5 A = AB < A 1C3 Absorci'n 2

    A

    B

    X

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    Ceorema A = AB < A = B 1C3 Absorci'n 2

    Si A es ) la salida es ) Si A es , la salida es B

    A

    B

    X Y

    X=Y

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    Leyes de 4e $organ 1D "ariables2

    4e $organ ayuda a simplificar circuitos digitales usando >9:s y >A>4s3

     A • B < A = B

     A = B < A • B

    #gual para n variables

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      A +B +C + D = A $ B $ C $ D

    Leyes de 4e $organ 1más de D "ariables2

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     Análisis Booleano de

    Eunciones L'gicas  • (l prop'sito de este apartado es obtener

    epresiones booleanas simplificadas a partir de un circuito

    • Se eamina puerta a puerta a partir de sus entradas

    • Se simplifica usando las leyes y propiedades booleanas3

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    @álculo de la epresi'n algebraica de salida

    1eFemplo )2

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    (A + B) (CD) = (A + B) + (CD) = A + B + CD

    X e Y soniguales

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    X = (A+B) C + CD + B

      = (A+B) C % CD + B

      = (A+B) C % (CD + B)

      = A B C % (C +D +B)

      = A B C C + A B C D +A B C B

      = A B C D

    @álculo de la epresi'n algebraica de salida

    1eFemplo D2

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    &os

    !ir!uitos son iguales

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    !uerta a puerta a partir de sus entradas

    X= AB+(C+D)

    X= AB + C+ D

    E'emplo 

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    X = (AB)(CD) X = ABCD

    E'emplo 

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    E'emplo *

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    X = ABCD +A

    impli,i!ando:

    X = A + BCD

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    E'emplo -

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    X = (AB+B)BC

    .sando la propiedad distributiva:

    X = ABBC +BBC

    X = ABC + BBC

    X = ABC + "$C

    X = ABC + "

    X = ABC

    En la siguiente transparen!ia se ve !/mo las dos !osas son lo mismo

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    E'emplo 0

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    X = (A +AB) +(B(C+D))

    X = (A + B) + (B(C + D))

    X = (A + B) + (BC + BD)

    X = A + B + BC + BD

    X = A + B + C + BD

    X = A + B + C + D

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    (presiones booleanas desde tablas de

    "erdad Suma de productos

    G< AHBH@=BH@H4=AH@H4 o directamenteG< AB@=B@4=A@4

    Producto de sumas

    G

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    Sumas de !roductos 1S!2

    1= ABCD + ABCD + ABCD+ ABCD ⇒  1 es suma de produ!tos

    ea una ,un!i/n 1(ABCD) 2ue s/lo es  para los !asos: 0011, 1011, 1110, 1111

    Cuando ABCD=""3 4ni!amente la expresi/n produ!to ABCD es 5

    Cuando ABCD="3 4ni!amente la expresi/n produ!to ABCD es 

    67 as8 su!esivamente6 resultando 2ue

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    9rodu!tos de umas (9)

    1=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

    Cuando ABCD="""3 s/lo la

    suma A+B+C+D es "5

    Cuando ABCD="""3 s/lo la suma A+B+C+D es "3 6

    67 as8 su!esivamente6

    &a ,un!i/n 1 es " (o bien 1 es )

    !uando ABCD="""

    o !uando ABCD="""

    o !uando ABCD="

    o !uando ABCD=""

    o !uando ABCD="

    7 en ning4n otro !aso ms5

    1=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)

    ⇒  1 es produ!to de sumas

    De ;organ

    ea una ,un!i/n 1(ABCD) 2ue

    s/lo es " para los !asos: 0010, 0100, 0111,

    1010, 1101

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    • e usa para minimi !ontiene en la misma tabla de verdad de la ,un!i/n pero dispuesta en dos dimensiones5

    • Celdas ad7a!entes: En dire!!iones 73 dependiendo del tama?o del ;>3 la ad7a!en!ia puede existir doblando el mapa sobre s8 mismo o mediante re,lexi/n en e'es verti!ales 7 @ori

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    $apas de %arnaug& de I "ariables

    "" "  "

    "

    A

    A

    B C B C B C B C C/digo ra7

    "   

     * 0 -

      

     

    "

    ""

    $ .na !elda a  impli!a a  variables

    $ Dos !eldas ad7a!entes a  impli!an a  variables

    $ Cuatro !eldas ad7a!entes a  impli!an a  variable

    $ !@o !eldas ad7a!entes a  !onstitu7en ,un!i/n de valor 

    1 = C + AB

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    $apa de %arnaug& de J "ariables

    C/digo ra7

      A B

      A B

      A B

      A B

    C D C D C D C D

    ""

    "

    

    "

    "" "  "

    $.na !elda a  impli!a a  variables

    $Dos !eldas ad7a!entes a  impli!an a  variables

    $Cuatro !eldas ad7a!ente