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Álgebra de Boole

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¿Qué sabrás al final del capítulo?

• Leyes y propiedades del Algebra de Boole• Simplificar funciones utiliando el Algebra de

Boole

• Analiar circuitos mediante Algebra de Booley simplificarlos

• !asar de una tabla de "erdad a Suma de!roductos y !roducto de Sumas

• #tiliar $apas de %arnaug& para simplificarfunciones l'gicas

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Algebra de Boole binaria

(n )*+, -eorge Boole desarroll' un Algebra en la .ue los"alores de A y B s'lo podían ser /"erdadero0 o /falso0 1) ' ,23Se llama Algebra de Boole y se utilia en (lectr'nica 4igital

(lementos5 6,7)8

9peradores5

Suma Booleana5 es la funci'n l'gica 9:

;4

; < AB

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Aioma5 !ropiedad @onmutati"a

A=B < B=A(l orden en la 9: no importa

AB = BA

El orden en la AND no importa

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Aioma5 !ropiedad asociati"a

A = 1B = @2 < 1A = B2 = @ Agrupar "ariables en la 9: no importa

A (B C) = (A B) C

Agrupar variables en la AND no importa

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Aioma5 !ropiedad distributi"a

A1B = @2 < AB = A@

A

BC

X

YX=Y

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A

B

C

X

Y

A+BC = (A+B)(A+C)

Aioma5 !ropiedad distributi"a

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Aioma5 (lemento identidad 1, para =2

A+0=A

acer una operaci'n 9: con , no cambia nada3

A

X X=A

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A·1=A

acer una operaci'n A>4 con ) no cambia nada

A

XX=A

Axioma: Elemento identidad ( para ·)

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A+A = 19 bien A o A serán )7 luego la salida será )

A

A

XX=

Axioma: Elemento !omplemento

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A·A=0

Bien A o A son , luego la salida será ,3

A

A

XX="

Axioma: Elemento !omplemento

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Ceorema5 A•,4 con , siempre da ,

A

X X="

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Ceorema5 A=A < A 1C3 dempotencia2

acer una operaci'n 9: consigo mismo da elmismo resultado

A

A

XX=A

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Ceorema5 A•A < A 1C3 dempotencia2

acer una operaci'n A>4 consigo mismo da elmismo resultado

A

A

X X=A

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Ceorema5 A < A 1C3 n"oluci'n2

Si negamos algo dos "eces "ol"emos al principio

A

X X=A

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Ceorema5 A = AB < A 1C3 Absorci'n 2

A

B

X

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Ceorema A = AB < A = B 1C3 Absorci'n 2

Si A es ) la salida es ) Si A es , la salida es B

A

B

XY

X=Y

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Leyes de 4e $organ 1D "ariables2

4e $organ ayuda a simplificar circuitos digitales usando>9:s y >A>4s3

A • B < A = B

A = B < A • B

#gual para n variables

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A +B +C + D = A $ B $ C $ D

Leyes de 4e $organ 1más de D "ariables2

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Análisis Booleano de

Eunciones L'gicas • (l prop'sito de este apartado es obtener

epresiones booleanas simplificadas a partirde un circuito

• Se eamina puerta a puerta a partir de susentradas

• Se simplifica usando las leyes y propiedadesbooleanas3

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@álculo de la epresi'n algebraica de salida

1eFemplo )2

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(A + B) (CD) = (A + B) + (CD) = A + B + CD

X e Y soniguales

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X = (A+B) C + CD + B

= (A+B) C % CD + B

= (A+B) C % (CD + B)

= A B C % (C +D +B)

= A B C C + A B C D +A B C B

= A B C D

@álculo de la epresi'n algebraica de salida

1eFemplo D2

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&os

!ir!uitossoniguales

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!uerta a puerta a partir de sus entradas

X= AB+(C+D)

X= AB + C+ D

E'emplo

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X = (AB)(CD)X = ABCD

E'emplo

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E'emplo *

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X = ABCD +A

impli,i!ando:

X = A + BCD

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E'emplo -

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X = (AB+B)BC

.sando la propiedaddistributiva:

X = ABBC +BBC

X = ABC + BBC

X = ABC + "$C

X = ABC + "

X = ABC

En la siguientetransparen!ia se ve!/mo las dos !osas sonlo mismo

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E'emplo 0

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X = (A +AB) +(B(C+D))

X = (A + B) + (B(C + D))

X = (A + B) + (BC + BD)

X = A + B + BC + BD

X = A + B + C + BD

X = A + B + C + D

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(presiones booleanas desde tablas de

"erdadSuma de productos

G< AHBH@=BH@H4=AH@H4 o directamenteG< AB@=B@4=A@4

Producto de sumas

G

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Sumas de !roductos 1S!2

1= ABCD + ABCD + ABCD+ ABCD ⇒ 1 es suma de produ!tos

ea una ,un!i/n 1(ABCD) 2ue s/lo es para los !asos:0011, 1011, 1110, 1111

Cuando ABCD=""3 4ni!amente laexpresi/n produ!to ABCD es 5

Cuando ABCD="3 4ni!amente laexpresi/n produ!to ABCD es

67 as8 su!esivamente6 resultando 2ue

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9rodu!tos de umas (9)

1=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

Cuando ABCD="""3 s/lo la

suma A+B+C+D es "5

Cuando ABCD="""3 s/lo lasuma A+B+C+D es "3 6

67 as8 su!esivamente6

&a ,un!i/n 1 es " (o bien 1 es )

!uando ABCD="""

o !uando ABCD="""

o !uando ABCD="

o !uando ABCD=""

o !uando ABCD="

7 en ning4n otro !aso ms5

1=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)

⇒ 1 es produ!to de sumas

De ;organ

ea una ,un!i/n 1(ABCD) 2ue

s/lo es " para los !asos:0010, 0100, 0111,

1010, 1101

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• e usa para minimi !ontiene en la misma tabla de verdad de la ,un!i/n pero dispuesta endos dimensiones5

• Celdas ad7a!entes: En dire!!iones 73 dependiendo del tama?o del;>3 la ad7a!en!ia puede existir doblando el mapa sobre s8 mismo o mediantere,lexi/n en e'es verti!ales 7 @ori

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$apas de %arnaug& de I "ariables

"" " "

"

A

A

B C B C B C B CC/digo ra7

"

* 0 -

"

""

$ .na !elda a impli!a a variables

$ Dos !eldas ad7a!entes a impli!an a variables

$ Cuatro !eldas ad7a!entes a impli!an a variable

$ !@o !eldas ad7a!entes a !onstitu7en ,un!i/n de valor

1 = C + AB

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$apa de %arnaug& de J "ariables

C/digo ra7

A B

A B

A B

A B

C D C D C D C D

""

"

"

"" " "

$.na !elda a impli!a a variables

$Dos !eldas ad7a!entes a impli!an a variables

$Cuatro !eldas ad7a!entes a impli!an a variables

$!@o !eldas ad7a!entes a impli!an a variable

$Die!isis !eldas ad7a!entes a !onstitu7en ,un!i/n de valor

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(Femplo )3 ; < A B @ 4 = A B @ 4 = A B @ 4 = A B @ 4 =

A B @ 4 = A B @ 4

"" " "

C D C D C D C D

X = ABD + ABC + CD

#ntentar !onredu!!iones

booleanas

""

"

"

C/digo ra7

A B

A B

A B

A B

"" " "

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K < B @ 4 = B @ 4 = @ 4 = B @ 4 = A B @

A BA B

A B

A B

C D C D C D C D

X = C + A B + B D

""

"

"

"" " "

(Femplo D3

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(Femplo I3 4ado un circuito encontrar otro mássencillo usando $apas de %arnaug&

9rimero lo pasamos a uma de 9rodu!tos

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Y= A + B + B C + ( A + B ) ( C + D)

Y = A B + B C + A B ( C + D )

Y = A B + B C + A B C + A B D

Y = A B + B C + A B C A B D

Y = A B + B C + (A + B + C ) ( A + B + D)Y = A B + B C + A + AB + A D + AB + B + BD + AC + BC + CDa!ando ,a!tor !om4n A (en ro'o) 7 B (en a

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A B

A B

A B

A B

C D C D C D C D

=

"" " "

""

"

"

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$apa de %arnaug& de "ariables

$.na !elda a impli!a a * variables$Dos !eldas ad7a!entes a impli!an a variables

$Cuatro !eldas ad7a!entes a impli!an a variables

$!@o !eldas ad7a!entes a impli!an a variables

$Die!isis !eldas ad7a!entes a impli!an a variable

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SIMPLIFICACIÓN POR KARNAUGH

• )2 :ealiar agrupaciones de )Ms7 con sus adyacentes7 lo mayorposibles7 pero siempre en cantidades potencias de D3

• D2 >o deFar ningNn ) sin agrupar3 !uede ocurrir .ue un )perteneca a más de una agrupaci'n3 >o se pueden cogeragrupaciones totalmente contenidas en otras3

• I2 !or cada agrupaci'n de )Ms resulta un producto de "ariables3@uanto más )Ms se agrupen7 más sencilla resultará la epresi'n de esaagrupaci'n3

• J2 (n cada agrupaci'n7 cada una de las "ariables puede apareceren alguno de los siguientes casos5

• a2 Si siempre "ale ) OOOOOP Se pone afirmada3

• b2 Si siempre "ale , OOOOOP Se pone negada3• c2 Si cambia de "alor 1, de los casos un "alor y el otro ,otro "alor2 OOOOOP >o se pone3

• 2 La epresi'n de la funci'n booleana será la suma l'gica detodos los productos .ue &ayan salido 1epresi'n como Suma de!roductos2

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4iseRar un sistema de alarma

Sensores disponibles

5 F = Fentana (F=" CEGGADA3 F= AB#EGHA)

5 9 = 9uerta (9=" CEGGADA3 9= AB#EGHA)

5 C = Cale,a!!i/n (C=" A9AADA3 C= ENCEND#DA)5 A = Aire a!ondi!ionado (A=" A9AAD3 A= ENCEND#D)

*5 # = Alarma de proximidad de intruso (#=" N IAY #NHG.3

#= J IAY #NHG.)

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El sistema de alarma debe a!tivarse !uando:

5 &a puerta est abierta 7 la !ale,a!!i/n en!endida (9=3 C=)5 &a puerta est abierta 7 el aire a!ondi!ionado en!endido (9=3 A=)

5 &a puerta est abierta !on una alarma de proximidad de intruso (9=3 #=)

5 &a ventana est abierta 7 la !ale,a!!i/n en!endida5 (F=3 C=)

*5 &a ventana est abierta 7 el aire a!ondi!ionado en!endido (F=3 A=)

-5 &a ventana est abierta !on una alarma de proximidad de intruso (F=3#=)

1un!i/n sistema de alarma 1 de variables F3 93 C3 A3 #

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1 1 1 1

1 1 1 1

:ellenando el mapa1!

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:ellenando el mapa1T

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F 9

F 9F 9

F 9

!odemos agrupar así

1 = 9 C+ 9 A + 9 # + FC + FA + F #

KCuntos !@ips ne!esito para estoL

""

"

"

""" "" " "" " " ""C A # C A # C A # C A # C A # C A # C A # C A #

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9 usando los ceros

1 = C A # + F 9/lo dos !@ips

""" "" " "" " " ""

""

"

"

" " " " ""

"

"

"

""F 9

F 9

F 9

F 9

C A # C A # C A # C A # C A # C A # C A # C A #

1 = C A # + F 9

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!atillaFe de los circuitos UJ,J y

UJJUJ,J UJJ

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@oneionado físico

1

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@ircuito diseRado

1

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Ga sabes

• Leyes y propiedades del Algebra de Boole• Simplificar funciones utiliando el Algebra de

Boole

• Analiar circuitos mediante Algebra de Booley simplificarlos

• !asar de una tabla de "erdad a Suma de!roductos y !roducto de Sumas

• #tiliar $apas de %arnaug& para simplificarfunciones l'gicas

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Einal del Cema

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