APLIKASI TEOREMA GREEN PADA BIDANG DALAM …

APLIKASI TEOREMA GREEN PADA BIDANG DALAM MENGHITUNG

LUAS SEGI-𝒏 DENGAN BANTUAN MATLAB

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun Oleh:

Michael Bobby Christian

141414022

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i



SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Disusun Oleh:


141414022

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019


ii

SKRIPSI



Oleh:


141414022

Disetujui oleh:

Dosen Pembimbing

Beni Utomo, M.Sc. Tanggal: ___ Mei 2019


iii

SKRIPSI

APLIKASI TEOREMA GREEN DALAM MENGHITUNG LUAS SEGI-𝒏

DENGAN BANTUAN MATLAB

Dipersiapkan dan disusun oleh:


141414022

Telah dipertahankan di depan panitia penguji

Pada tanggal 8 Mei 2019

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. ........................

Sekretaris : Beni Utomo, M.Sc. ........................

Anggota I : Beni Utomo, M.Sc. ........................

Anggota II : Cyrenia Novella Krisnamurti, M.Sc. ........................

Anggota III : Dominukus Arif Budi Prasetyo, M.Si. ........................

Yogyakarta, 8 Mei 2019

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sanata Dharma

Dekan,

Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si.


iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Kupersembahkan untuk:

Tuhan dan Allahku Yesus Kristus

Bapa Yoseph dan Bunda Maria

Papahku Hendrik dan mamahku Seravina

Almamater: Universitas Sanata Dharma Yogyakarta


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.


Peneliti



vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Michael Bobby Christian

NIM : 141414022

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

APLIKASI TEOREMA GREEN DALAM MENGHITUNG LUAS SEGI-𝑵

DENGAN BANTUAN MATLAB

Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata

Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa

meminta ijin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama tetap

mencantumkan nama saya sebagai peneliti.

Dengan pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya


Yang menyatakan



vii

ABSTRAK

Michael Bobby Christian. 2019. Aplikasi Teorema Green pada Bidang dalam

Menghitung Luas Segi-𝒏 dengan Bantuan MATLAB. Skripsi. Program Studi

Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas

Sanata Dharma, Yogyakarta.

Aplikasi Teorema Green merupakan salah satu teorema dalam kalkulus

vektor yang mengkaji bagaimana cara menghitung luas yang batas daerahnya

merupakan kurva tertutup dan sederhana. Teorema tersebut dapat diterapkan pada

bangun persegi panjang yang merupakan kurva tertutup dan sederhana. Perluasan

atau akibat teorema Green pada bidang dapat digunakan untuk menghitung

pendekatan luas daerah lingkaran satuan sebagai konsep limit.

Metode yang diterapkan dalam penelitian ini adalah studi kasus yang

mempelajari integral garis untuk menghitung luas daerah dikaji dengan akibat

teorema Green pada bidang yang dilakukan secara analitik sehingga dapat

digunakan untuk menghitung luas segi-𝑛 dengan nilai n yang semakin besar. Luas

lingkaran satuan didekati secara numerik yakni data luas dari segi-𝑛 yang dibuat.

Langkah-langkah penelitian ini diawali dengan menemukan persamaan yang dapat

digunakan untuk menghitung luas daerah segi-𝑛, segi-𝑛 yang dibuat adalah segi-𝑛

beraturan dan tak beraturan yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan.

Selanjutnya menyusun program dengan bantuan MATLAB untuk menghitung dan

memunculkan visualisasinya. Langkah berikutnya menghitung luas daerah segi-𝑛

untuk 𝑛 = 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, dan 1024, kemudian data luas daerah

tersebut akan dibandingkan dengan luas daerah lingkaran satuan yaitu 𝜋, dan

memastikan bahwa program yang dibuat dapat berjalan dengan baik untuk semua

nilai 𝑛.

Hasil penelitian menunjukkan, bahwa luas segi-𝑛 beraturan dan tak beraturan

dengan menggunakan akibat teorema Green pada bidang untuk menghitung luas

daerah dengan bantuan software MATLAB dapat digunakan dengan baik untuk

semua nilai 𝑛. Luas segi-𝑛 yang dicari dengan nilai 𝑛 semakin besar yang dibuat di

luar atau di dalam lingkaran satuan, setelah diamati luasannya semakin mendekati

luas dari lingkaran satuan. Program yang disusun mampu menunjukkan visualisasi

daerah segi-𝑛 beraturan dan tak beraturan yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran

satuan untuk semua nilai 𝑛 yang diinginkan. Program yang dihasilkan ini juga dapat

digunakan untuk membantu dalam memahami pembelajaran konsep limit yaitu luas

segi-𝑛 akan konvergen ke suatu nilai dalam kasus ini konvergen keluas daerah

lingkaran satuan.

Kata kunci: Teorema Green, bidang datar, luas, segi-𝑛, MATLAB


viii

ABSTRACT

Michael Bobby Christian. 2019. The Application of Green’s Theorem in Plane

Geometry for Calculating The Area of Polygon by Using MATLAB. Thesis.

Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics and

Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata

Dharma University, Yogyakarta.

The Green Theorem is one of the theorems in vector calculus which examines

how to calculate the area where the boundary area is a closed curve and simple. The

theorem can be applied to a rectangle which is a closed and simple curve. The

extension or effect of the Green theorem on the field can be used to calculate the

area of the unit circle area which is approach as a limit concept.

The method applied in this thesis was a case study that studies line integrals

to calculate the area studied with the results of the Green theorem in an analytical

field so that it can be used to calculate the n-faceted area. The area of the unit circle

is approached numerically, which was the broad data from the n-aspect made. The

writing steps began by finding a equation that could be used to calculate the area of

the n-nodes, the n-nodes made are regular and irregular facets made outside and

inside the unit circle. Then, compiling the program with MATLAB to calculate and

bring up the visualization. The next step was to calculate the area of the nodes for

n = 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, and 1024, then the area data were compared to

the area of the unit circle, which was π, and ensured that the program made could

run well for all values n.

The results of the writing show, that the area of regular and irregular polygon using

the results of the Green theorem in fields to calculate the area aided by MATLAB

software can be used well for all values of n. The area of polygon is sought by the

value of n wich is getting bigger which is made outside or inside the unit circle,

after observing the area polygons it is getting closer to the area of the unit circle.

The program was compiled to be able to show visualization of regular and irregular

polygons made outside and inside a unit circle for all desired n values. The resulting

program can also be used to assist in understanding limit concept learning, namely

the polygons area will converge to a value in this case converging the area of the

unit circle.

Keywords: Green’s Theorem, plane geometry, area, regular polygon, MATLAB


ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur peneliti panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah

melimpahkan berkat dan rahmat-Nya sehingga peneliti dapat menyelesaikan skripsi

yang berjudul “Aplikasi Teorema Green pada Bidang dalam Menghitung Luas

Segi-𝑛 dengan Bantuan MATLAB” ini dengan baik. Skripsi ini disusun untuk

memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan.

Banyak masalah yang menghambat dalam penelitian skripsi ini. Peneliti

menyadiri skripsi ini tidak dapat selesai dengan baik tanpa adanya dukungan dan

doa dari berbaga pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini peneliti ingin

menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si. selaku dekan Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika, juga selaku dosen pembimbing skripsi yang telah bersedia

meluangkan waktu, tenaga, dan tiada lelah selalu mengingatkan peneliti

penelitian skripsi di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

3. Ibu Maria Suci Apriani, S.Pd., M.Sc. selaku dosen pembimbing akademik

NIM genap yang telah bersedia memberikan masukan, semangat, dan refleksi

selama peneliti menjalani kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma Yogkyakarta.

4. Bapak, ibu, dan pastor dosen Program Studi Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma yang telah mendidik peneliti selama kuliah di

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

5. Seluruh staff sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal

administrasi, perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah

menyediakan buku-buku referensi yang menunjang perkuliahan selama

berkuliah dan dalam penelitian skripsi, dan Laboran Micro Teaching

Pendidikan Matematika yaitu mas Made Setianto yang terus mengingatkan

penetili menyusun skripsi.


x

6. Kedua orangtua peneliti Papah Hendrikus Hendrik, Mamah Seravina

Sumartini yang selalu mendukung dan juga adik peneliti Ignatius Benny

Christian yang selalu mendukung peneliti.

7. Veronika Kania Anindita yang tiada lelah memberikan dukungan, semangat,

dan menjadi pengingat agar tidak menyerah dalam penelitian skripsi.

8. Teman-teman seperjuangan Jonathan Wijaya, Fransiska Intan, Suhardy,

Amdika Styadi, Joseph Wijaya, yang memberi semangat untuk mengerjakan

skripsi.

9. Teman-teman Kos Asolole: Bagus, Favian, Yunus, Morgan, Hendra,

Vander, Dimas, Bayu, Dominikus Bagus, dan Rizki yang menemani dalam

penyusunan skripsi selama di kos.

10. Teman-teman kelas A dan bimbingan DPA Bu Maria NIM Genap 2014

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta, yang telah

memberikan pengalaman berharga yang tak dilupakan selama perkuliahan.

11. Teman-teman bimbingan skripsi Pak B: Anton, Titis, Dita, Desi, Hera, Meli,

yang sama-sama telah membuat Pak Beni kewalahan, tetap terus semangat.

12. Teman-teman Student Staff Humas dan Staff Humas Universitas Sanata

Dharma Yogyakarta yang memberikan pengalaman berharga bagi peneliti di

akhir-akhir masa perkuliahan.

13. Semua pihak yang telah membantu peneliti selama kuliah dan selama menulis

skripsi yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Peneliti mengucapkan terima kasih atas segala kritik dan saran yang

membangun guna melengkapi skripsi ini. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat dan

memberikan wawasan yang lebih kepada setiap pembacanya.


Peneliti



xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ............................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS .............................................................. vi

ABSTRAK ............................................................................................................ vii

ABSTRACT ......................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... ix

DAFTAR ISI .......................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL ................................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiv

DAFTAR SIMBOL ............................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................ 1

B. Rumusan Masalah ....................................................................................... 3

C. Batasan Masalah .......................................................................................... 3

D. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 4

E. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 4

F. Metode Penelitian ........................................................................................ 5

G. Sistematika Penelitian ................................................................................. 6

BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI ............................................. 8

A. Sistem Koordinat Kartesius ℝ𝟐 ................................................................... 8

B. Koordinat Kutub ........................................................................................ 11

C. Lingkaran .................................................................................................. 13

D. Segi-𝒏 ........................................................................................................ 18

E. Persamaan Garis Lurus .............................................................................. 20

F. Konversi Sudut Radian Dalam Derajat ..................................................... 27

G. Turunan Parsial ......................................................................................... 28

H. Diferensial ................................................................................................. 29

I. Integral Tentu ............................................................................................ 30


xii

J. Luas Daerah Suatu Kurva.......................................................................... 31

K. Integral Kurva ........................................................................................... 33

BAB III AKIBAT TEOREMA GREEN PADA BIDANG .................................. 38

A. Teorema Green Pada Bidang ..................................................................... 38

B. Kasus-kasus Pengaplikasian Teorema Green dalam Bidang .................... 39

BAB IV PEMBAHASAN DAN HASIL .............................................................. 45

A. Formulasi Luas Segi-𝒏 Menggunakan Akibat Teorema Green Pada Bidang

................................................................................................................... 46

B. Menghitung Luas Segi-𝒏 Menggunakan Akibat Teorema Green Pada

Bidang dengan Menggunakan MATLAB ................................................. 64

BAB V PENUTUP ................................................................................................ 85

A. Kesimpulan ................................................................................................ 85

B. Saran .......................................................................................................... 87

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 88

LAMPIRAN .......................................................................................................... 90


xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan. ....... 66

Tabel 4.2 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan. ........ 67

Tabel 4.3 Luas Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan.......................... 67

Tabel 4.4 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. .... 69

Tabel 4.5 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ..... 69

Tabel 4.6 Luas Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ..................... 70

Tabel 4.7 Koordinat Titik Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan.

............................................................................................................................... 71

Tabel 4.8 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ..... 72

Tabel 4.9 Luas Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ............... 72

Tabel 4.10 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan. ..... 74

Tabel 4.11 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan. ...... 74

Tabel 4.12 Luas Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan........................ 75

Tabel 4.13 Koordinat Titik Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. 76

Tabel 4.14 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ... 77

Tabel 4.15 Luas Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan .................... 77

Tabel 4.16 Koordinat Titik Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan.

............................................................................................................................... 79

Tabel 4.17 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. ... 80

Tabel 4.18 Luas Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ............. 80

Tabel 4.19 Resume Luas Segi-𝑛 .......................................................................... 82


xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Koordinat Kartesius ........................................................................... 8

Gambar 2. 2 Kuadran Pada Bidang Koordinat........................................................ 9

Gambar 2. 3 Jarak Dua Titik Ruas Garis 𝐴𝐵 ........................................................ 10

Gambar 2. 4. Koordinat Kutub .............................................................................. 11

Gambar 2. 5 Koordinat Kartesius ......................................................................... 12

Gambar 2. 6 Lingkaran Berpusat di (0,0) ............................................................. 14

Gambar 2. 7 Lingkaran yang Berpusat di Titik A(𝑎, 𝑏) ....................................... 15

Gambar 2. 8 Lingkaran Satuan ............................................................................. 17

Gambar 2. 9 Persegi .............................................................................................. 18

Gambar 2. 10 Segitiga Sama Sisi .......................................................................... 18

Gambar 2. 11 Segilima Tak Beraturan .................................................................. 18

Gambar 2. 12 Segienam Dalam Lingkaran ........................................................... 19

Gambar 2. 13 Segienam Luar Lingkaran .............................................................. 20

Gambar 2. 14 Garis 𝑙 ∥ Sumbu 𝑦 .......................................................................... 20

Gambar 2. 15 Garis 𝑠 ∥ Sumbu 𝑥 .......................................................................... 21

Gambar 2. 16 Garis 𝑙 yang Melewati Titik Asal Dan Sebuah Titik Tertentu ....... 21

Gambar 2. 17 Garis 𝑙 yang Melewati Dua Titik ................................................... 23

Gambar 2.18 Garis 𝑔 yang Melewati Suatu Titik dan Gradien Garis G Diketahui

............................................................................................................................... 25

Gambar 2. 19 Garis 𝑔 yang Berpotongan dengan Kedua Sumbu ......................... 26

Gambar 2. 20 Daerah di Atas Sumbu 𝑥 ................................................................ 32

Gambar 2. 21 Daerah di Bawah Sumbu 𝑥 ............................................................ 32

Gambar 2. 22 Daerah di Antara Dua Kurva .......................................................... 33

Gambar 2. 23 Partisi C dari [𝑎, 𝑏] ......................................................................... 34

Gambar 2. 24 Luas Tirai Tegak Melengkung Sepanjang C .................................. 35

Gambar 3. 1 Ilustrasi Kasus I (Elips) .................................................................... 39

Gambar 3. 2 Daerah yang Dibatasi Oleh 𝑦 = 𝑥 dan 𝑦 = 𝑥2 ............................... 42

Gambar 3. 3 Daerah D yang dibatasi oleh Kurva C .............................................. 43

Gambar 4. 1 Lingkaran Satuan ............................................................................. 48

Gambar 4. 2 Segiempat di Luar Lingkaran Satuan ............................................... 49

Gambar 4. 3 Segiempat ABCD di Dalam Lingkaran Satuan ................................ 51

Gambar 4. 4 Segidelapan ABCDEFGH ................................................................ 61

Gambar 4. 5 Segienambelas ABCDEFGH ........................................................... 62

Gambar 4. 6 Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ........................... 66

Gambar 4. 7 Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ........................... 68

Gambar 4. 8 Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan .................... 70

Gambar 4. 9 Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ........................ 73

Gambar 4. 10 Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ...................... 75

Gambar 4. 11 Segidelapan Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan ............... 78


xv

DAFTAR SIMBOL

ℝ2 : Ruang Dimensi Dua Atas Semua Bilangan Real

𝑑(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ) : Panjang Ruas Garis 𝐴𝐶

𝜃 : Nama Sudut

|𝑥 − 𝑦| : Nilai Mutlak dari 𝑥 Kurang 𝑦

𝑔||𝑙 : Garis 𝑔 Sejajar Garis 𝑙

‖𝑃‖ : Norma P

𝑚 : Gradien Garis

b

a

f x dx : Integral Tentu Suatu Fungsi 𝑥 Dari 𝑎 Sampai 𝑏 Terhadap 𝑥

( , ) C

f x y ds : Integral Kurva Fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) Atas Lintasan C

R

: Integral Lipat Dua Atas Daerah R

𝐷𝑥 : Notasi Turunan Terhadap Variabel Bebas 𝑥

𝑑𝑦 : Notasi Diferensial Suatu Fungsi

≈ : Nilai Pendekatan

𝜕 : Notasi Turunan Parsial

∆𝑥 : Perubahan Nilai 𝑥

∑ : Penjumlahan Suatu Barisan Bilangan

° : Satuan Derajat

|| : Notasi Menyatakan Kesamaan Panjang Dua Atau Lebih Ruas

Garis

[𝑎, 𝑏] : Interval Tertutup Dari 𝑎 Sampai 𝑏


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika kini bukanlah suatu hal yang asing bagi kita. Terlebih kini

Matematika dapat dikatakan suatu kebutuhan utama. Permasalah matematika

dapat diselesaikan melalui dua metode yakni secara analitik ataupun secara

numerik. Secara analitik, kita menggunakan rumus dan teorema yang sudah

baku dalam pelajaran Matematika. Contohnya, dalam menghitung luas persegi

panjang dengan rumus 𝑙𝑢𝑎𝑠 = 𝑝 × 𝑙 dimana 𝑝 adalah panjang dari persegi

panjang dan 𝑙 lebar persegi panjang, solusi yang didapatpun berupa jawaban

eksak. Namun pada metode numerik, digunakan pendekatan (aproksimasi)

dengan menyusun algoritma yang terprogram dengan banyak perulangan.

Contohnya adalah mencari nilai terdekat dari bilangan irrasional seperti

√7, 𝜋, dan 𝑒. Saat ini jika mencari luas suatu bangun dalam matematika

merupakan permasalah yang masih sederhana atau dengan kata lain untuk

masing-masing bentuknya telah tersedia formula-formulanya, namun apabila

kita hendak menghitung luas daerah yang bentuknya lebih rumit atau misal

menghitung luas daerah suatu kota atau bahkan pulau tidak ada formula yang

diberikan yang dapat digunakan untuk menghitung luas daerahnya. Seperti

halnya yang dilakukan oleh pemerintah dalam mencari luas daerah suatu kota,

tanah warga, dsb. Penelitian skripsi ini mencoba menemukan sebuah cara

untuk menghitung luas daerah yang juga dapat digunakan untuk membantu

dalam pembelajaran konsep limit.


2

Salah satu bidang ilmu matematika yakni kalkulus. Kalkulus meliputi

dua permasalahan berikut, yaitu kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang

saling berkaitan dengan teorema dasar kalkulus. Kalkulus merupakan awalan

menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, seperti analisis

matematika yang khusus mempelajari fungsi dan limit. Contohnya dalam buku

kalkulus karya Purcell dan Steward mereka berdua mengawalinya dengan

mengulas tentang limit. Purcell mengatakan bahwa salah satu yang mengarah

pada konsep pembelajaran limit yaitu luas lingkaran yang didekati secara grafis

oleh luas segi-𝑛 yang dibuat di dalam dan di luar lingkaran, yang akan

konvergen ke suatu nilai yakni akan konvergen ke luas lingkaran tersebut.

Kalkulus vektor merupakan salah satu cabang kalkulus yang lebih lanjut,

di dalamnya terdapat beberapa materi yang berkaitan untuk menghitung luas

daerah adalah integral garis dan akibat teorema Green pada bidang. Nama

Teorema Green didapat dari George Green yakni seorang ilmuwan otodidak

Inggris (yang juga merupakan penemu kasus khusus Teorema Stokes dimensi

dua). Teorema Green menyatakan hubungan antara integral garis yang

dilakukan sepanjang kurva tertutup sederhana 𝐶 dan integral lipat dua pada

daerah bidang 𝐷 yang dibatasi oleh 𝐶 dalam vektor. Guna menyatakan teorema

Green digunakan perjanjian bahwa penyelusuran 𝐶 dengan arah berlawanan

putaran jarum jam ini menunjukkan dalam teorema Green arah menjadi syarat

penting dalam pengerjaannya. (Stewart, 1999: 543-544).

Akibat teorema Green pada bidang untuk menghitung luas daerah

dilakukan secara analitik dan kemudian perhitungan pada penelitian ini akan


3

dikaji secara numerik dengan menggunakan bantuan software MATLAB.

MATLAB merupakan suatu software pemograman yang cukup diminati

kalangan matematikawan untuk memecahkan permasalahan numerik, karena

MATLAB juga dapat menyajikan visulisasi dari masalah numerik yang dicari.

Penelitian ini lebih difokuskan pada memanfaatkan akibat Teorema

Green pada bidang; terutama dalam memecahkan permasalahan tentang

menghitung luas segi-𝑛 yang nantinya dapat dimanfaatkan untuk memberikan

pemahaman lebih dalam konsep limit.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana cara menghitung luas segi-𝑛 dengan menggunakan akibat

Teorema Green pada bidang untuk menghitung pendekatan luas

lingkaran satuan?

2. Bagaimana penggunaan akibat Teorema Green pada bidang untuk

menghitung luas suatu daerah dengan menggunakan MATLAB?

C. Batasan Masalah

Batasan-batasan masalah dalam penelitian ini adalah:

1. Menghitung luas daerah dengan integral garis yang dikaji dengan akibat

teorema Green pada bidang.

2. Luas pada segi-𝑛 yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan

3. Pendekatan dilakukan dengan membuat dan menghitung luas dari segi-

𝑛 beraturan yang dapat dibuat pada lingkaran satuan.


4

4. Software yang digunakan dalam membantu penelitian ini adalah

MATLAB.

D. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah:

1. Menganalisa cara menghitung luas segi-𝑛 dengan menggunakan akibat

teorema Green pada bidang untuk menghitung luas sebagai

pembelajaran konsep limit.

2. Menghitung luas suatu daerah pada segi-𝑛 dengan menggunakan

MATLAB.

E. Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Bagi Peneliti

Peneliti menambah pengetahuan mengenai Teorema Green, serta

dapat membangun suatu program yang dapat membantu serta mem-

visual-kan pendekatan yang dilakukan dengan menggunanakan bantuan

MATLAB.

2. Bagi Pembaca

Pembaca dapat mengetahui bagaimana melakukan pendekatan

luas lingakaran secara numerik dengan memanfaatkan akibat dari

teorema Green, melalui MATLAB.


5

F. Metode Penelitian

Metode yang digunakan oleh peneliti dalam menyusun skripsi ini

adalah metode studi pustaka, yakni peneliti membaca referensi-referensi yang

berkaitan dengan segi-𝑛, teorema Green, lingkaran, dan MATLAB.

Kemudian peneliti mencoba untuk memanfaatkan apa yang telah didapat

kemudian mencoba membuat suatu program dalam MATLAB yang dapat

digunakan dalam pengembangan berikutnya.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Membaca berbagai referensi yang berkaitan dengan geometri analitik

bidang, kalkulus diferensial, kalkulus integral, teorema Green,

lingkaran, dan berbagai referensi lain yang dibutuhkan, serta menonton

tutorial dalam menggunakan MATLAB.

2. Melakukan pengakajian rumus dari akibat teorema Green pada bidang

untuk menghitung luas daerah secara analitik.

3. Membuat segi-𝑛 beraturan yang dibuat di dalam dan di luar lingkaran

satuan, serta segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam dengan 𝑛 = 4,

8, 16, 32, sampai 1024.

4. Menemukan koordinat (𝑥, 𝑦) titik-titik sudut pada segi-𝑛 beraturan

yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan serta segi-𝑛 tak

beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan.

5. Melakukan perhitungan untuk setiap segi-𝑛 yang dibuat.


6

6. Membuat program pada MATLAB sebagai alat bantu visual dalam

proses penggambaran lingkaran satuan dan segi-𝑛 berurutan dan tak

beraturan hingga membantu proses perhitungan.

7. Membandingkan luas masing-masing segi-𝑛 beraturan dengan luas

lingkaran satuan.

8. Menyusun hasil penelitian.

G. Sistematika Penelitian

Tujuan akhir penelitian skripsi ini yaitu untuk mengetahui bahwa luas

lingkaran satuan dapat didekati secara numerik dengan menggunakan segi-𝑛

beraturan. Agar penelitian penelitian ini tersusun secara sistematis, maka

peneliti memberikan sistematika penelitian sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Adapun pada bab I berisikan latar belakang, rumusan masalah,

batasaan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode

penelitian, dan sistematika penelitian.

BAB II LANDASAN TEORI

Adapun pada bab II berisikan sistem koordinat kartesius, jarak

dua titik pada bidang, segi-𝑛, persamaan garis lurus, pengertian luas,

lingkaran satuan, turunan parsial, dan integral garis. Pada bab ini

menjadi batasan materi yang digunakan dalam penelitian ini.

Penelitian ini akan melakukan pendekatan luas lingkaran satuan

secara numerik oleh luas segi-𝑛 yang dibuat di luar dan di dalam

lingkaran satuan. Selanjutnya untuk menghitung luas segi-𝑛 tersebut


7

dengan menggunakan integral garis yang dikaji dengan akibat teorema

Green pada bidang yang dilakukan secara analitik. Penelitian skripsi ini

merupakan lanjutan dari penelitian sebelumnya yang juga menghitung

luas segi-𝑛 dengan akibat teorema Green pada bidang menggunakan

software Microsoft Excel untuk segi-𝑛 yang beraturan, sedangkan

dalam skripsi ini akan dihitung luas daerah segi-𝑛 beraturan dan tak

beraturan yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan dengan

mengunakan MATLAB dan memanfaatkan fitur GUI.

BAB III TOEREMA GREEN PADA BIDANG

Adapun pada bab III berisikan Teorema Green pada bidang dan

kasus-kasus pengaplikasian Teorema Green dalam bidang.

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Adapun pada bab IV berisikan formulasi luas segi-𝑛 beraturan

menggunakan akibat Teorema Green pada bidang, dan formulasi luas

segi-𝑛 menggunakan akibat Teorema Green pada bidang dengan

menggunakan MATLAB.

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Adapun pada bab V berisikan kesimpulan dan saran dari

penelitian skripsi ini.


8

BAB II

KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI

A. Sistem Koordinat Kartesius ℝ𝟐

1. Sistem Koordinat Kartesius ℝ2

Sistem koordinat kartesius di dimensi dua (ℝ2) atau bidang

terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik

𝑂(0,0) yang disebut titik asal (Suarsana, 2014). Garis yang mendatar

(horizontal) dinamakan sumbu 𝑥. pada sumbu 𝑥 dari titik 𝑂 ke kanan

disebut arah positif atau sumbu 𝑥 positif. Sedangkan dari titik 𝑂 ke kiri

dikatakan arah negatif atau sumbu 𝑥 negatif. Garis yang tegak (vertikal)

dinamakan sumbu 𝑦. Pada sumbu 𝑦, dari titik 𝑂 ke atas disebut arah

positif atau sumbu 𝑦 positif. Sedangkan dari titik 𝑂 ke bawah dikatakan

arah negatif atau sumbu 𝑦 negatif. Letak titik-titik yang ada pada ℝ𝟐

dinyatakan dalam bentuk (𝑥, 𝑦). Gambar 2.1 menunjukkan titik 𝑃 pada

koordinat kartesius.

Gambar 2. 1 Koordinat Kartesius

Sumber: Suarsana, 2014

𝑦

𝑥 𝑂

𝑃(𝑥, 𝑦)

(𝑥, 0)

(0, 𝑦)


9

Sebuah titik 𝑃 pada koordinat kartesius dapat dinyatakan sebagai

berikut 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑥 merupakan koordinat titik 𝑃 pada sumbu-𝑥 disebut

absis, sedangkan 𝑦 merupakan koordinat dari titik 𝑃 pada sumbu-𝑦

disebut ordinat.

Sumbu koordinat pada bidang kartesius terbagi menjadi empat

daerah yang disebut kuadran Suarsana (2014), seperti Gambar 2.2 di

bawah ini:

Gambar 2. 2 Kuadran Pada Bidang Koordinat


Keterangan:

Kuadran I, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 positif

Kuadran II, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 positif

Kuadran III, korrdinat 𝑥 negatif dan 𝑦 negatif

Kuadran IV, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 negatif

2. Jarak Dua Titik Pada Bidang

Menurut Suarsana (2014), jarak dua titik merupakan suatu

besaran satuan panjang, yang terbentuk dari dua buah titik berbeda pada

bidang, maka jarak antara kedua titik tersebut adalah panjang ruas garis

𝑂 𝑥

𝑦

Kuadran II

(−, +)

Kuadran I

(+, +)

Kuadran III

(−, −)

Kuadran IV

(+, −)


10

yang menghubungkan kedua titik tersebut. Jarak Euclides yaitu

perhitungan jarak dari 2 buah titik yang berdekatan.

Gambar 2. 3 Jarak Dua Titik Ruas Garis 𝐴𝐵̅̅ ̅̅


Misalkan 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2) dua titik berbeda seperti pada

Gambar 2.3, dengan 𝑥1 ≠ 𝑥2 dan 𝑦1 ≠ 𝑦2 selanjutnya 𝐶(𝑥2, 𝑦1).

Selanjutnya Wernick (1968), melalui segitiga siku-siku ∆𝐴𝐶𝐵 dengan

siku-siku di titik 𝐶 dengan menggunakan teorema Phytagoras untuk

menghitung panjang ruas garis 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , diperoleh:

𝑑(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ) = |𝑥2 − 𝑥1|

𝑑(𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ) = |𝑦2 − 𝑦1|

Kemudian 𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = 𝑑|𝐴𝐶̅̅ ̅̅ |2 + 𝑑|𝐵𝐶̅̅ ̅̅ |2

𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ )2 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

Contoh 2.1:

Tentukan jarak antara titik 𝐴(1,4) dan titik 𝐵(−3,2)!

𝐵(𝑥2, 𝑦2)

(𝑥1, 𝑦1) (𝑥2, 𝑦1)


11

Penyelesaian:

𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √(−3 − 1)2 + (2 − 4)2

𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √(−4)2 + (−2)2

𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √16 + 4

𝑑(𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = √20 = 2√5

Jadi, jarak antara titik 𝐴 dan titik 𝐵 adalah 2√5.

B. Koordinat Kutub

Koordinat kutub juga dapat digunakan untuk menentukan kedudukan

suatu titik selain mengunakan koordinat kartesius. koordinat kutub

dinyatakan dalam sebuah sinar garis dengan sumbu-𝑥 dan titik pangkalnya,

sinar garis ini biasanya digambar mengarah ke kanan dan dinamakan sumbu

kutub, sedangkan titik pangkalnya disebut titik asal atau kutub (Suarsana,

2014).

Gambar 2. 4. Koordinat Kutub

Sumber: Sursana, 2014

Suatu titik dinyatakan dengan pasangan (𝑟, 𝜃) dengan 𝑟 menyatakan

jarak titik 𝑃 ke titik 𝑂 sedangkan 𝜃 adalah sudut antara sinar yang memancar

dari titik 𝑂 melewati titik 𝑃 dengan sumbu 𝑥 positif, seperti pada Gambar 2.4.

𝑃(𝑟, 𝜃) 𝑟

𝜃 𝑂 𝑥


12

Koordinat kutub dapat membantu untuk memudahkan dalam mengubah

persamaan kutub menjadi persamaan kartesius atau sebaliknya, sehingga titik

𝑃(𝑥, 𝑦) dalam sistem koordinat kartesius yang dinyatakan sebagai 𝑃(𝑟, 𝜃)

dalam sistem koordinat kutub, seperti pada gambar di bawah ini:

Gambar 2. 5 Koordinat Kartesius


Berdasarkan pada Gambar 2.5, Jika ∆ 𝑂𝑇𝑃 siku-siku di 𝑇, maka

diperoleh hubungan sebagai berikut:

𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2

tan 𝜃 =𝑦

𝑥⟺ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan

𝑦

𝑥

Contoh 2.2:

Nyatakan koordinat kartesius berikut ke dalam koordinat kutub:

a. Titik 𝐵(3,3√3)

b. Titik 𝐷(−√3, 1)

Penyelesaian:

a. i. menentukan jari-jari:

𝑦

𝑥 𝑂

𝑟

𝜃

𝑥

𝑦

𝑃(𝑥, 𝑦)

𝑇(𝑥, 0)


13

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √32 + (3√3)2

= √9 + 27 = √36 = 6

ii. menetukan sudut:

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan𝑦

𝑥= 𝑎𝑟𝑐 tan

3√3

3= 60°

Karena nilai 𝑥 dan 𝑦 positif, sehingga titik 𝐵 ada di kuadran I dengan

sudut 60°.

Jadi, koordinat kutub dari 𝐵(3,3√3) adalah 𝐵(6,60°).

b. i. menentukan jari-jari:

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 = √(−√3)2

+ 12 = √3 + 1 = √4 = 2

ii. menetukan sudut:

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan𝑦

𝑥= 𝑎𝑟𝑐 tan

1

−√3= 30°

Karena nilai 𝑥 negatif dan 𝑦 positif, akibatnya titik 𝐷 ada di kuadran

II, sehingga sudutnya: 180° − 30° = 150°.

Jadi, koordinat kutub dari 𝐷(−√3, 1) adalah 𝐷(2,150°).

C. Lingkaran

Definisi 2.1 (Muharti, 1973: 82)

Lingkaran adalah semua himpunan titik-titik yang berjarak sama

dengan suatu titik tertentu yang disebut titik pusat. Jarak titik-titik dengan

titik tertentu disebut jari-jari.

1. Persamaan Lingkaran


14

Berikut ini akan ditunjukkan persamaan lingkaran yang bertitik

pusat di titik asal (0,0) dan persamaan lingkaran yang bertitik pusat di

titik (𝑎, 𝑏).

Gambar 2. 6 Lingkaran Berpusat di (0,0)


Pada Gambar 2.6 nampak lingkaran dengan titik pusat di 𝑂(0,0)

dan jari-jari 𝑟 satuan panjang. Untuk menemukan persamaan lingkaran,

misalkan diberikan titik 𝐴(𝑥, 𝑦). Jarak titik 𝑂 ke titik 𝐴 dengan teorema

Phytagoras adalah √𝑥2 + 𝑦2 . Namun diketahui bahwa 𝑂𝑇̅̅ ̅̅ adalah jari-

jari lingkaran, maka diperoleh persamaan lingkaran yang berpusat di

titik (0,0):

√𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 (2.1)

Selanjutnya untuk persamaan lingkaran yang berpusat di titik

(𝑎, 𝑏) dengan jari-jari 𝑟 dapat diturunkan sebagai berikut:

𝑂

𝐴(𝑥, 𝑦)


15

Gambar 2. 7 Lingkaran yang Berpusat di Titik A(𝑎, 𝑏)

Sumber: http://memedwachiantosmkn10.blogspot.com diakses

pada 10 Desember 2018.

Menentukan persamaan lingkaran seperti Gambar 2.7, ambil

sembarang titik pada lingkaran, misal titik 𝑃(𝑥, 𝑦). Pada segitiga siku-

siku 𝐴𝑃′𝑃 didapat jarak titik 𝐴 ke titik 𝑃 adalah √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2.

Padahal jaraknya adalah jari-jari lingkaran, yaitu 𝑟, maka diperoleh

persamaan di bawah ini:

√(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 (2.2)

Karena 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah sembarang titik pada lingkaran tersebut,

berlaku persamaan di atas untuk setiap titik pada lingkaran tersebut.

Sehingga persamaan lingkaran yang berpusat 𝐴(𝑎, 𝑏) dengan berjari-

jari satuan adalah:

(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 (2.3)

𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 disebut sebagai persamaan umum

lingkaran. Apabila diketahui persamaan umum suatu lingkaran, maka

(𝑥 − 𝑎)

𝑃′(𝑥, 𝑏)

𝑎


http://memedwachiantosmkn10.blogspot.com/

16

dapat ditemukan koordinat-koordinat titik pusat dan jari-jarinya.

Persamaan bentuk umum tersebut diubah menjadi:

𝑥2 + 𝐴𝑥 +1

4𝐴2 + 𝑦2 + 𝐵𝑦 +

1

4𝐵2 =

1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶

(𝑥 +1

2𝐴)

2

+ (𝑦 +1

2𝐵)

2

=1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶 (2.4)

Dari persamaan (2.3) dan (2.4), dapat disimpulkan bahwa titik

pusat lingkaran adalah (−1

2𝐴, −

1

2𝐵) dan jari-jarinya adalah:

𝑟 = √1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶.

Dari pernyataan di atas terkait titik pusat dan jari lingkaran,

terdapat 2 kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu:

a. Jika 1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶 > 0, persamaan bentuk umum itu

menyatakan lingkaran nyata.

b. Jika 1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶 = 0, persamaan bentuk umum itu

menyatakan lingkaran dengan jari-jari nol, berarti berupa sebuah

titik.

c. Jika 1

4𝐴2 +

1

4𝐵2 − 𝐶 < 0, persamaan bentuk umum itu

menyatakan lingkaran imajiner, yaitu lingkaran yang tidak mudah

untuk dibayangkan.


17

2. Lingkaran Satuan

Lingkaran satuan adalah lingkaran yang berpusat di titik asal

(0,0) dengan jari-jari 𝑟 = 1. Kemudian persamaan dari lingkaran

satuan adalah 𝑥2 + 𝑦2 = 1.

Gambar 2. 8 Lingkaran Satuan


Lingkaran satuan sangat membantu dalam mendefinisikan fungsi

trigonometri. Misal diberikan titik 𝑇(𝑥, 𝑦) pada lingkaran satuan

𝑥2 + 𝑦2 = 1

Kemudian berdasarkan Gambar 2.8 ∆𝑂𝑃𝑇 siku-siku di 𝑃, maka

diperoleh hubungan, sebagai berikut:

sin 𝜃 =𝑦

1 ⟺ 𝑦 = sin 𝜃

cos 𝜃 =𝑥

1 ⟺ 𝑥 = cos 𝜃

} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

Berdasarkan dari hubungan di atas, titik 𝑇 berubah menjadi,

𝑇(cos 𝜃 , sin 𝜃). Selanjutnya dengan mensubstitusikan koordinat 𝑇,

yakni 𝑥 = cos 𝜃 dan 𝑦 = sin 𝜃 pada persamaan lingkaran satuan,

sehingga persamaan lingkaran satuan menjadi:

1

𝑇(𝑥, 𝑦)

𝑦

𝑥


18

cos2 𝜃 + sin2 𝜃 = 1. (2.5)

D. Segi-𝒏

Definisi 2.2 (Bronshtein, 1998: 175)

Segi-𝑛 adalah bidang datar yang dibatasi oleh garis lurus sebanyak n

garis/sisi pada bidang datar, kemudian jumlah besar sudut dalamnya adalah

(𝑛 − 2) 180°. Segi-𝑛 disebut beraturan jika sisi-sisi dan sudut-sudutnya

adalah sama panjang dan sama besar. Sedangkan segi-𝑛 disebut tak

beraturan ketika sisi-sisinya tidak sama panjang dan besar sudut-sudut

dalamnya berbeda.

Contoh seperti pada Gambar 2.9, 2.10 dan 2.11, berturut-turut persegi

adalah segiempat beraturan, segitiga sama sisi adalah segitiga beraturan, dan

segilima tak beraturan.

Gambar 2. 10 Segitiga Sama Sisi Gambar 2. 9 Persegi

Gambar 2. 11 Segilima Tak Beraturan


19

Segi-𝑛 dikatakan sebagai segi-𝑛 yang dibuat di dalam lingkaran satuan

apabila segi-𝑛 dibuat melalui titik-titik sudut yang berada pada lingkaran

satuan dan daerah yang dibatasi oleh segi-𝑛 berada di dalam lingkaran satuan.

Jika segi-𝑛 dalam lingkaran merupakan segi-𝑛 beraturan, maka titik pusat

lingkaran juga merupakan titik pusat dari segi-𝑛, seperti pada Gambar 2.12 di

bawah ini. Titik 𝑂 merupakan titik pusat dari segi-6 sekaligus lingkaran

satuan serta 𝑂𝐹̅̅ ̅̅ adalah 𝑟 atau jari-jari lingkaran satuan.

Gambar 2. 12 Segienam Dalam Lingkaran

Sumber: Bronshtein, 1998

Selanjutnya segi-𝑛 dikatakan sebagai segi-𝑛 yang dibuat di luar

lingkaran satuan apabila sisi-sisi pada segi-𝑛 bersinggungan dengan

lingkaran. Jika segi-𝑛 yang dibuat di luar lingkaran satuan merupakan segi-𝑛

beraturan, maka titik pusat lingkaran satuan juga merupakan titik pusat dari

segi-𝑛, seperti pada Gambar 2.13 di bawah ini. Titik 𝑂 merupakan titik pusat

segi-6 sekaligus lingkaran dan 𝑑(𝑂𝐺̅̅ ̅̅ ) = 𝑟 atau jari-jari lingkaran satuan.

𝑟


20

Gambar 2. 13 Segienam Luar Lingkaran

Sumber: Bronshtein, 1998

E. Persamaan Garis Lurus

Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak

terdekat. Sehingga persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang

menyatakan titik-titik yang dilalui oleh suatu garis lurus. Persamaan garis

lurus ada beberapa macam jenisnya, menurut Suarsana (2014) yakni:

1. Garis Sejajar Sumbu-Sumbu Koordinat

Gambar 2. 14 Garis 𝑙 ∥ Sumbu 𝑦


𝐹

𝐴 𝐺 𝐵

𝐶

𝐷 𝐸

𝑂

𝑟

𝑦

𝑥 𝑂

𝑙

𝐴(𝑎, 0)


21

Gambar 2. 15 Garis 𝑠 ∥ Sumbu 𝑥


Garis 𝑙 pada Gambar 2.14 melalui titik 𝐴(𝑎, 0) dan sejajar sumbu-

𝑦 yang berarti semua ruas garis yang dibuat melalui sumbu-𝑦 dan tegak

lurus dengan garis 𝑙 sama panjang yakni berjarak sebesar 𝑎, sehingga

persamaan garis 𝑙 dinyatakan sebagai 𝑥 = 𝑎. Selanjutnya garis 𝑠 pada

Gambar 2.15 melalui titik 𝐵(0, 𝑏) dan sejajar sumbu-𝑥, sehingga

persamaan garis 𝑠 merupakan 𝑦 = 𝑏.

2. Garis Melalui Titik Asal dan Sebuah Titik Tertentu

Persamaan garis lurus yang melalui titik asal (0,0) dan sebuah

titik tertentu 𝑃(𝑥1, 𝑦1), dapat dibuat dengan sebelumnya menentukan

atau mencari sifat-sifat yang sama yang dimiliki oleh semua titik pada

garis, misal garis 𝑙, seperti gambar di bawah ini:

Gambar 2. 16 Garis 𝑙 yang Melewati Titik Asal Dan Sebuah Titik

Tertentu


𝑦

𝑥 𝑂

𝑠 𝐵(0, 𝑏)

𝑦

𝑥 𝑂

𝑙

𝑃(𝑥1, 𝑦1)

𝑇(𝑥2, 𝑦2)

𝑄(𝑥1, 0) 𝑅(𝑥2, 0)

𝛼

𝑆(0, 𝑦1)

𝑈(0, 𝑦2)


22

Ambilah sebarang titik T dan titik P pada garis 𝑙 dan titik R dan Q

masing-masing adalah proyeksi titik T dan P pada sumbu-𝑥. Misalkan

𝑇(𝑥2, 𝑦2) dan 𝑅(𝑥2, 0), 𝑃(𝑥1, 𝑦1) dan 𝑄(𝑥1, 0) serta 𝑇𝑅 ∥ 𝑃𝑄 maka:

𝑑(𝑇𝑅̅̅ ̅̅ ): 𝑑(𝑂𝑅̅̅ ̅̅ ) = 𝑑(𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ): 𝑑(𝑂𝑄̅̅ ̅̅ )

𝑦2: 𝑥2 = 𝑦1: 𝑥1

atau dapat ditulis

𝑦2

𝑥2=

𝑦1

𝑥1

Jika 𝛼 adalah sudut yang dibentuk garis 𝑙 dengan sumbu 𝑥 arah

positif, maka:

𝑦2

𝑥2=

𝑦1

𝑥1= tan 𝜃

Dapat dilihat bahwa perbandingan ordinat dan absis setiap titik

garis 𝑙 adalah tan 𝜃. Apabila sebarang titik (𝑥, 𝑦) terletak pada garis 𝑙,

maka diperoleh:

𝑦

𝑥= tan 𝜃

Mengingat titik 𝑃(𝑥1, 𝑦1) diketahui, maka nilai tan 𝜃, sehingga

diperoleh:

𝑦

𝑥= tan 𝜃

𝑦

𝑥=

𝑦1

𝑥1

Jadi persamaan garis lurus 𝑙 yang melalui titik asal 𝑂 dan

𝑃(𝑥1, 𝑦1) adalah:


23

𝑦 =𝑦1

𝑥1𝑥 (2.6)

3. Garis Melalui Dua Titik yang Diketahui

Garis yang melalui dua titik yaitu suatu garis lurus yang dibuat

melalui dua buah titik yang diberikan misalkan titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan titik

𝐵(𝑥2, 𝑦2) dapat merupakan titik yang berbeda atau pun dua titik yang

saling berhimpit. Persamaan garis yang melalui dua titik yang diketahui

dapat dinyatakan sebagai berikut:

Gambar 2. 17 Garis 𝑙 yang Melewati Dua Titik


Pada Gambar 2.17, garis lurus 𝑙 melalui titik-titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan

𝐵(𝑥2, 𝑦2) yang diketahui, dengan bantuan teorema Phytagoras dan

jarak dua titik, dapat dinyatakan:

tan 𝜃 =𝑑(𝐶𝐵̅̅ ̅̅ )

𝑑(𝐴𝐶̅̅ ̅̅ )=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Langkah untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua

titik yang diketahui, diawali dengan mengambil sebarang titik 𝑃(𝑥, 𝑦)

𝑦

𝑥 𝑂

𝑙

𝐵(𝑥2, 𝑦2)

𝐴(𝑥1, 𝑦1) 𝐶(𝑥2, 𝑦1)

𝑃(𝑥, 𝑦)

𝜃

𝛼

(𝑥2, 0) (𝑥, 0) (𝑥1, 0)

(0, 𝑦1)

(0, 𝑦)

(0, 𝑦2)


24

pada garis lurus 𝑙, maka gradien garis lurus 𝑙 sama juga dengan gradien

ruas garis 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ .

tan 𝜃 =𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1

Karena gradien ruas garis 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ sama dengan gradien ruas garis 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

sehingga diperoleh persamaan:

𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1=

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1 (2.7)

atau dapat ditulis

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1=

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1 (2.8)

Karena 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah sebarang titik pada garis lurus 𝑙, maka

persamaan (2.8) merupakan persamaan garis lurus yang melalui titik

𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2).

4. Garis Melalui Suatu Titik Tertentu dengan Gradien yang Diketahui

Persamaan garis juga dapat dibuat apabila diberikan satu titik dan

gradien garis tersebut juga diketahui. Misalkan sebuah garis 𝑔 dibuat

melalui titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan gradien garis 𝑔 yaitu 𝑚. Selanjutnya diambil

sebarang titik 𝑃(𝑥, 𝑦) pada garis 𝑔, sehingga gradien ruas garis 𝐴𝑃̅̅ ̅̅

adalah

𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1= 𝑚


25

Gambar 2.18 Garis 𝑔 yang Melewati Suatu Titik dan Gradien Garis 𝑔

Diketahui


Gradien ruas garis 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ sama saja dengan gradien garis 𝑔, karena

gradien garis 𝑔 adalah 𝑚, maka diperoleh persamaan sebagai berikut:

𝑦 − 𝑦1

𝑥 − 𝑥1= 𝑚

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) (2.9)

Karena 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah sebarang titik pada garis lurus 𝑔,

persamaan garis lurus yang melalui titik (𝑥1, 𝑦1) dengan gradien 𝑚

adalah:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) (2.10)

5. Garis dengan Perpotongan Kedua Sumbu Diketahui

Suatu garis lurus dapat dibuat berpotongan dengan sumbu-𝑋 dan

sumbu-𝑌 masing-masing berpotongan di titik 𝐴(0, 𝑎) dan 𝐵(𝑏, 0), atau

juga dapat dikatakan persamaan garis yang melalui dua titik yang

masing-masing berada di sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦.

𝑦

𝑥 𝑂

𝑔

𝑃(𝑥, 𝑦) 𝐴(𝑥1, 𝑦1)

𝑄(𝑥, 𝑦1)


26

Gambar 2. 19 Garis 𝑔 yang Berpotongan dengan Kedua Sumbu


Berdasarkan Gambar 2.19 diberikan suatu garis yang melalui dua

titik yaitu 𝐴(0, 𝑎) dan 𝐵(𝑏, 0), sehingga menurut persamaan (2.8)

persamaan garisnya adalah:

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1=

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

Selanjutnya dengan mensubtitusikan 𝐴(0, 𝑎) dan 𝐵(𝑏, 0) ke

persamaan (2.8), didapat:

𝑦 − 0

𝑏 − 0=

𝑥 − 𝑎

0 − 𝑎

𝑦

𝑏=

𝑥 − 𝑎

−𝑎

𝑦

𝑏=

𝑥

−𝑎+ 1

𝑦

𝑏+

𝑥

𝑎= +1

𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑏

Akhirnya didapat persamaan garis yang melalui titik 𝐴(𝑎, 0) dan

𝐵(0, 𝑏) adalah

𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 𝑎𝑏 (2.11)

𝑦

𝑥 𝑂

𝑔

𝐴(𝑎, 0)

𝐵(0, 𝑏)


27

F. Konversi Sudut Radian Dalam Derajat

Definisi 2.3 (Zen, 2012: 39)

Sudut adalah dua sinar garis yang bertemu di satu titik yang disebut

titik sudut. Ukuran sudut yang sering digunkaan adalah “derajat” yang

dinotasikan °.

Satu derajat dapat dituliskan:

1° =1

360𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟𝑎𝑛

Ukuran sudut yang lazim digunakan selain “derajat” adalah “radian”

(disingkat: rad), satu radian didefinisikan sebagai ukuran sudut di dalam

sebuah lingkaran yang diapit oleh dua jari-jari dan panjang busur lingkaran

yang sama dengan panjang jari-jari tersebut. Satu radian dapat dituliskan:

1 𝑟𝑎𝑑 =180°

𝜋 𝑎𝑡𝑎𝑢 1° =

𝜋

180𝑟𝑎𝑑

Contoh 2.3:

Ubahlah ukuran sudut berikut ke dalam ukuran radian!

a. 30°

b. 100°

Penyelesaian:

a. 30° = 30 ×𝜋

180𝑟𝑎𝑑 =

𝜋

6𝑟𝑎𝑑

b. 100° = 100 ×𝜋

180𝑟𝑎𝑑 =

5𝜋

9𝑟𝑎𝑑


28

G. Turunan Parsial

Definis 2.4 (Purcell, 2007: 624)

Andaikan bahwa 𝑓 adalah suatu fungsi dua peubah 𝑥 dan 𝑦. Jika 𝑦

ditahan agar konstan, misalnya 𝑦 = 𝑦0, maka 𝑓(𝑥, 𝑦0) menjadi fungsi satu

peubah 𝑥. Turunannya di 𝑥 = 𝑥0 di sebut turunan parsial terhadapa 𝑥 di

(𝑥0, 𝑦0) dan 𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0).

Jadi,

𝑓𝑥(𝑥0, 𝑦0) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

∆𝑥 (2.12)

Demikian pula, turunan parsial 𝑓 terhadapat 𝑦 dinyatakan oleh

𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0), dan dituliskan sebagai,

𝑓𝑦(𝑥0, 𝑦0) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥0, 𝑦0 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥0, 𝑦0)

∆𝑦

Misal diberikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), terdapat cara penelitian lainnya dengan

menggunakan notasi 𝜕 yang merupakan lambang khas dalam matematika dan

disebut tanda turunan parsial.

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑧

𝜕𝑥=

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) =𝜕𝑧

𝜕𝑦=

𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦

Contoh 2.4:

Jika 𝑧 = 𝑥2 sin(𝑥𝑦2), carilah 𝜕𝑧

𝜕𝑥 dan

𝜕𝑧

𝜕𝑦!


29

Penyelesaian:

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑥2

𝜕 sin(𝑥𝑦2)

𝜕𝑥+ sin(𝑥𝑦2)

𝜕𝑥2

𝜕𝑥

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑥2

𝜕 sin(𝑥𝑦2)

𝜕𝑥+ sin(𝑥𝑦2)

𝜕𝑥2

𝜕𝑥

= 𝑥2 cos(𝑥𝑦2)𝜕(𝑥𝑦2)

𝜕𝑥+ sin(𝑥𝑦2) ⋅ 2𝑥

= 𝑥2 cos(𝑥𝑦2) 𝑦2 + 2𝑥 sin(𝑥𝑦2)

= 𝑥2𝑦2 cos(𝑥𝑦2) + 2𝑥 sin(𝑥𝑦2)

demikian pula,

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑥2

𝜕 sin(𝑥𝑦2)

𝜕𝑦+ sin(𝑥𝑦2)

𝜕𝑥2

𝜕𝑦

= 𝑥2 cos(𝑥𝑦2) ⋅ 2𝑥𝑦 + 0 = 2𝑥3𝑦 cos(𝑥𝑦2).

H. Diferensial

Definisi 2.5 (Purcell, 2007: 143)

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah fungsi terdiferensial dari variabel bebas 𝑥.

∆𝑥 adalah pertambahan sebarang dalam variabel bebas 𝑥, sedangkan notasi

𝑑𝑥 disebut diferensial variabel bebas 𝑥, adalah sama dengan ∆𝑥. Selanjutnya

𝑓′(𝑥0) = lim∆𝑥0→0

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

jika ∆𝑥 kecil, maka:

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) ≈ ∆𝑥𝑓′(𝑥0) (2.13)


30

Ruas kiri ekpresi diatas adalah ∆𝑦 yang merupakan perubahan

sebenarnya dalam variabel 𝑦 ketika 𝑥 berubah dari 𝑥 menjadi:

𝑥 + ∆𝑥

yakni

∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥).

Notasi 𝑑𝑦, didefinisikan oleh 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥.

Contoh 2.4:

Carilah 𝑑𝑦 jika:

a. 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 + 1!

b. 𝑦 = sin(𝑥4 − 3𝑥2 + 11)!

Penyelesaian:

a. 𝑑𝑦 = (3𝑥2 − 3)𝑑𝑥

b. 𝑑𝑦 = cos(𝑥4 − 3𝑥2 + 11) ⋅ (4𝑥3 − 6𝑥)𝑑𝑥

I. Integral Tentu

Definisi 2.6 (Purcell, 2007: 224)

Misalkan suatu fungsi yang didefiniskan pada interval tertutup [𝑎, 𝑏].

Jika terdapat nilai

𝑙𝑖𝑚‖𝑃‖→0

∑(𝑓(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

(2.14)

Maka dapat dikatakan 𝑓 terintegralkan pada [𝑎, 𝑏]. Lebih lanjut dinotasikan

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎


31

disebut integral tentu dari fungsi 𝑓dari [𝑎, 𝑏], selanjutnya didefinisikan

sebagai berikut:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= lim‖𝑃‖→0

∑(𝑓(𝑥�̅�)∆𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

(2.15)

Pada ( )

b

a

f x dx dapat disebut 𝑎 sebagai titik ujung bawah dan 𝑏 sebagai

titik ujung atas untuk integral. Dalam definisi, ( )

b

a

f x dx , secara implisit

dapat diasumsikan bahwa 𝑎 < 𝑏. Sehingga juga dapat dinotasikan sebagai

berikut dengan 𝑎 > 𝑏:

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= − ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎

𝑏

, 𝑎 > 𝑏 (2.16)

J. Luas Daerah Suatu Kurva

Menurut Purcell (2007), terdapat dua masalah geometri yang

memunculkan pemikiran terpenting dalam kalkulus. Masalah pencarian garis

singgung berkaitan dengan turunan (derivative), dan permasalahan terkait

mencari luas daerah berkaitan dengan integral tentu (definite integral).

1. Daerah di Atas Sumbu 𝑥

Suatu daerah dibatasi oleh sebuah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu-𝑥

sepanjang 𝑎 sampai 𝑏 seperti Gambar 2.20.


32

Gambar 2. 20 Daerah di Atas Sumbu 𝑥

Sumber: Purcell, 2007

Misalkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) menentukan persamaan kurva di bidang-𝑥𝑦 dan

misalkan 𝑓 tak-negatif pada interval [𝑎, 𝑏], seperti ditunjukkan pada

Gambar 2.20. Berdasarkan daerah 𝑅 yang dibatasi oleh grafik-grafik

𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 dan 𝑦 = 0. Terlihat bahwa 𝑅 adalah daerah

tertutup yang dibatasi oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥), diantara 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏. Luas

𝐴(𝑅), diberikan oleh:

𝐴(𝑅) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 (2.17)

2. Daerah di Bawah Sumbu 𝑥

Suatu daerah dibatasi oleh sebuah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan sumbu-𝑥

sepanjang 𝑎 sampai 𝑏 seperti Gambar 2.21.

Gambar 2. 21 Daerah di Bawah Sumbu 𝑥


𝑦

𝑥 𝑏 𝑎

𝑓(𝑥)

𝑅

𝑦

𝑥

𝑏 𝑎

𝑓(𝑥)

𝑅


33

Luas adalah bilangan tak-negatif. Jika grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) terletak di

bawah sumbu 𝑥 maka ( )b

af x dx adalah bilangan negatif, sehingga tidak

dapat menyatakan suatu luas. Sehingga luasnya dinyatakan sebagai

berikut:

𝐴(𝑅) = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 (2.18)

3. Daerah di Antara Dua Kurva

Gambar 2. 22 Daerah di Antara Dua Kurva


Berdasarkan pada Gambar 2.2 daerah yang dimaksud berada

diantara kurva-kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥) dengan 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥)

pada [𝑎, 𝑏], seperti. Adapun untuk mencari luasanya menggunakan

metode iris, aproksimasi, integrasi. Yakinkan untuk memperhatikan

bahwa 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) memberikan tinggi yang benar dari irisan tipis

tersebut.

K. Integral Kurva

Menurut Purcell (2007), integral garis atau integral kurva adalah

hasil dari generalisasi integral tentu ( )

b

a

f x dx dengan menggantikan


34

[𝑎, 𝑏] dengan suatu kurva 𝐶 di bidang-𝑥𝑦, sehingga menghasilkan

integral yakni , C

f x y ds .

Misalkan 𝐶 suatu kurva bidang mulus, 𝐶 diberikan soleh

persamaan parameter

𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), [𝑎, 𝑏]

𝑥′ dan 𝑦′ kontinu dan tidak secara serentak nol pada [𝑎, 𝑏],

andaikan bahwa 𝐶 terorientasi positif (arah positifnya berpadanan

terhadap pertambahan nilai 𝑡) bahwa 𝐶 hanya ditelusuri sekali saat 𝑡

berubah dari 𝑎 ke 𝑏. Jadi, 𝐶 memiliki titik awal di (𝑥(𝑎), 𝑦(𝑎)) dan titik

terakhir (𝑥(𝑏), 𝑦(𝑏)). Partisi dari selang [𝑎, 𝑏] menghasilkan

pembagian kurva 𝐶 menjadi 𝑛 subbusur 𝑃𝑖−1𝑃𝑖

𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 < ⋯ < 𝑡𝑛 = 𝑏

Gambar 2. 23 Partisi C dari [𝑎, 𝑏]


Partisi dari [𝑎, 𝑏] ini menghasilkan suatu pembagian kurva 𝐶 ke dalam

𝑛 busur-bagian. Misalkan ∆𝑠𝑖 melambangkan panjang busur 𝑃𝑖−1𝑃𝑖 dan


35

misalkan |𝑃| merupakan aturan untuk mempartisi P; yaitu misalkan |𝑃|

adalah ∆𝑡𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1.

Contoh 2.5:

Pilih titik 𝑄𝑖(�̅�𝑖, �̅�𝑖) pada subbusur 𝑃𝑖−1𝑃𝑖 seperti pada Gambar 2.23.

Gambar 2. 24 Luas Tirai Tegak Melengkung Sepanjang C

Selanjutnya memperhatikan jumlahan Riemann 1

( , )n

i ii

i

f x y s

. Jika 𝑓

positif, jumlahan ini mengaproksimasi luas tirai tegak melengkung seperti

Gambar 2.22. Jika 𝑓 kontinu pada daerah D yang mengandung kurva 𝐶. Maka

jumlahan Riemann memiliki limit untuk |𝑃| → 0. Limit ini disebut integral

garis dari 𝑓 sepanjang 𝐶 dari A ke B; yaitu

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠𝐶

= lim|𝑃|→0

∑ (𝑓(�̅�𝑖, �̅�𝑖)∆𝑠𝑖)𝑛

𝑖=1

Guna memperoleh perhitungan yang baik disajikan dalam parameter 𝑡

dan menjadi integral tentu biasa. Integral garis atas kurva 𝐶 dapat dinyatakan

𝑃𝑛 = 𝐵

𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)


36

dalam integral tentu biasa dari 𝑎 sampai 𝑏 dalam parameter 𝑡, seperti di bawah

ini:


= ∫ (𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))√[𝑥′(𝑡)]2 + [𝑦′(𝑡)]2) 𝑑𝑡𝑏

𝑎

(2.19)

Contoh 2.6:

Hitung integral garis 3 C

x y ds ; dengan 𝐶 adalah kurva 𝑥 = 3𝑡,

𝑦 = 𝑡3, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1!

Jawab:

Diketahui:

𝑥 = 3𝑡 maka 𝑥′ = 3 dan

𝑦 = 𝑡3 maka 𝑦′ = 3𝑡2

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥3 + 𝑦

Subtitusi nilai 𝑥 dan 𝑦 ke 𝑓(𝑥, 𝑦), sehingga menjadi fungsi dalam 𝑡, yakni,

𝑓(𝑡) = (3𝑡)3 + 𝑡3 = 27𝑡3 + 𝑡3 = 28𝑡3. Maka


= ∫ (𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡))√[𝑥′(𝑡)]2 + [𝑦′(𝑡)]2) 𝑑𝑡𝑏

𝑎

Kemudian telah diberikan batas nilai t dari 0 hingga 1, selanjutnya batas

tersebut sebagai nilai-nilai integral tentu, seperti di bawah ini,

∫ (𝑥3 + 𝑦)𝑑𝑠𝐶

= ∫ (28𝑡3√[3]2 + [3𝑡2]2) 𝑑𝑡1

0

= ∫ (28𝑡3√9 + 9𝑡4) 𝑑𝑡1

0


37

= 84 ∫ (𝑡3√1 + 𝑡4) 𝑑𝑡1

0

=84

4∙

2

3(1 + 𝑡4)

32 |

𝑡 = 1𝑡 = 0

= 14(2√2 − 1)

= 14(√2 − 1).


38

BAB III

AKIBAT TEOREMA GREEN PADA BIDANG

Bab III ini peneliti mempelajari akibat teorema Green pada bidang

untuk mencari luas segi-𝑛. Perlu disadari bahwa akibat dari Teorema Green

pada bidang dapat membantu dalam menyelesaikan persoalan integral garis

dengan lebih efisien. Seperti beberapa contoh kasus yang akan ditunjukkan

pada bab ini.

A. Teorema Green Pada Bidang

Teorema Green merupakan teorema yang cukup penting karena teori

ini menyatakan hubungan antara integral garis yang dilakukan sepanjang

kurva tetutup 𝐶 pada bidang dengan integral lipat dua (double integral) atas

suatu daerah yang dibatasi oleh 𝐶. Teorema ini, dengan kata lain, menjelaskan

bahwa permasalahan integral garis dalam menghitung luas daerah yang

dibatasi suatu kurva dapat diselesaikan dengan akibat teorema Green dengan

lebih baik/ efisien. Suatu kurva tertutup sederhana 𝐶 memiliki dua arah yaitu

berlawanan arah dengan arah putarjarum jam/ CCW (counter-clock-wise)

sebagai arah positif, dan searah dengan putaran jarum jam/ CW (clock-wise)

sebagai arah negatif.

Jika 𝑅 ada suatu daerah tertutup dalam bidang 𝑋𝑌 yang dibatasi oleh

kurva tertutup sederhana 𝐶. Misal 𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝑥, 𝑦) masing fungsi kontinu

dan mempunyai turunan parsial pertama yang juga kontinu dalam R, maka


39

∮ 𝑀 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑑𝑦

𝐶

= ∬ (𝜕𝑁

𝜕𝑥−

𝜕𝑀

𝜕𝑦)

𝑅

𝑑𝑥𝑑𝑦 (3.1)

Kurva tertutup 𝐶 dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah jarum

jam/ counter clockwise). Pembuktian teorema ini dapat dilihat pada Marsden

(1976: 405-407).

B. Kasus-kasus Pengaplikasian Teorema Green dalam Bidang

Bagian ini menunjukkan bahwa akibat teorema Green pada bidang

untuk mengitung luas dapat dilakukan dengan baik, untuk ke dalam beberapa

permasalahan atau kasus. Berikut adalah kasus-kasus pengaplikasian

Teorema Green dalam Bidang.

1. Kasus I

Teorema Green dalam bidang jika 𝐶 adalah sebuah kurva tertutup

yang memiliki sifat bahwa sembarang garis lurus yang sejajar sumbu-

sumbu koordinat memotong 𝑅 paling banyak pada dua buah titik.

Gambar 3. 1 Ilustrasi Kasus I (Elips)

𝑅

𝐹

𝐵

𝐴

𝐸

𝑏 𝑎

𝑒

𝑓

𝑦

𝑥

𝑦 = 𝑦1(𝑥)

𝑦 = 𝑦2(𝑥)


40

Bukti:

Misalkan persamaan kurva-kurva 𝐴𝐸𝐵 dan 𝐴𝐹𝐵 masing-masing

adalah 𝑦 = 𝑦1(𝑥) dan 𝑦 = 𝑦2(𝑥) seperti pada Gambar 3.1. Jika 𝑅

adalah daerah yang dibatasi oleh 𝐶, maka:

∬𝜕𝑀

𝜕𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

= ∫ [ ∫𝜕𝑀

𝜕𝑦𝑑𝑦

𝑦2(𝑥)

𝑦=𝑦1(𝑥)

] 𝑑𝑥

𝑏

𝑥=𝑎

= ∫ 𝑀(𝑥, 𝑦) |𝑌2(𝑥)

𝑦 = 𝑌1(𝑥)

𝑏

𝑥=𝑎

𝑑𝑥

= ∫ [𝑀(𝑥, 𝑌2) − 𝑀(𝑥, 𝑌1)]𝑑𝑥

𝑏

𝑥=𝑎

= − ∫ 𝑀(𝑥, 𝑌1)𝑑𝑥𝑏

𝑎

− ∫ 𝑀(𝑥, 𝑌2)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= ∮ 𝑀 𝑑𝑥𝐶

Sehingga diperoleh

∮ 𝑀 𝑑𝑥𝐶

= − ∬𝜕𝑀


𝑅

(1)

Berikutnya, dengan cara yang sama, misalkan persamaan-

persamaan kurva-kurva 𝐸𝐴𝐹 dan 𝐸𝐵𝐹, masing-masing adalah 𝑥 =

𝑋1(𝑦) dan 𝑥 = 𝑋2(𝑦), maka


41

∬𝜕𝑁

𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑅

= ∫ [ ∫𝜕𝑁

𝜕𝑥𝑑𝑥

𝑥2(𝑦)

𝑥=𝑥1(𝑦)

] 𝑑𝑦

𝑓

𝑦=𝑒

= ∫ 𝑁(𝑥, 𝑦) |𝑋2(𝑦)

𝑥 = 𝑋1(𝑦)

𝑓

𝑒

𝑑𝑦

= ∫[𝑁(𝑋2, 𝑦) − 𝑁(𝑋1, 𝑦)]𝑑𝑦

𝑓

𝑒

= ∫ 𝑁(𝑋1, 𝑦) 𝑑𝑦𝑓

𝑒

+ ∫ 𝑁(𝑋2, 𝑦) 𝑑𝑦𝑓

𝑒

= ∮ 𝑁 𝑑𝑦𝐶

Sehingga diperoleh:

∮ 𝑁 𝑑𝑦𝐶

= ∬𝜕𝑁


𝑅

(2)

Jumlahkan (1) dan (2) untuk memperoleh:

C R

N MM dx N dy dxdy

y y

∎


42

2. Kasus II

Gambar 3. 2 Daerah yang Dibatasi Oleh 𝑦 = 𝑥 dan 𝑦 = 𝑥2

Akan dibuktikan akibat teorema Green pada bidang untuk

2 2

C

xy y dx x dy , dengan 𝐶 adalah kurva tertutup dari daerah yang

dibatasi oleh 𝑦 = 𝑥 dan 𝑦 = 𝑥2, yang berpotongan di titik (0,0) dan

titik (1,1).

Bukti:

Sepanjang 𝑦 = 𝑥2 dari (0,0), sampai (1,1), integral garisnya

yaitu,

∫ ((𝑥)(𝑥2) + 𝑥4)𝑑𝑥 + (𝑥2)(2𝑥)𝑑𝑥1

0

= ∫ (3𝑥3 + 𝑥4)𝑑𝑥1

0

=19

20

Sedangkan sepanjang 𝑦 = 𝑥 dari (1,1), sampai (0,0) integral

garisnya yaitu,

∫ ((𝑥)(𝑥) + 𝑥2)𝑑𝑥 + (𝑥2)𝑑𝑥0

1

= ∫ 3𝑥2𝑑𝑥0

1

= −1

Maka integral lintasannya adalah 19 1

120 20

∎


43

3. Kasus III

Gambar 3. 3 Daerah D yang dibatasi oleh Kurva C

Sumber: https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Green

diakses pada 12 Desember 2018

Akibat teorema Green pada bidang juga dapat digunakan untuk

menghitung luas suatu daerah dengan konsep integral garis. Jika suatu

daerah 𝐷 pada bidang mempunyai batas 𝐶, dengan kurva 𝐶 sederhana,

tertutup, mulus sepotong-sepotong, seperti Gambar 3.3 maka luas 𝐷

diberikan oleh:

𝐴(𝐷) =1

2∮ 𝑥 𝑑𝑦

𝐶

− 𝑦 𝑑𝑥 (3.2)

Bukti:

Diberikan ( , )2

yM x y dan ( , )

2

xN x y dan terapkan akibat

teorema Green untuk menghitung luas.

∮𝑥

2 𝑑𝑦

𝐶

−𝑦

2 𝑑𝑥 = ∬ (

𝜕

𝜕𝑥(

𝑥

2) −

𝜕

𝜕𝑦(−

𝑦

2)) 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷


https://id.wikipedia.org/wiki/Teorema_Green

44

= ∬ (1

2+

1

2) 𝑑𝐴

𝐷

= 𝐴(𝑅) ∎


45

BAB IV

PEMBAHASAN DAN HASIL

Bab ini membahas tentang penggunaan atau pengaplikasian Teorema Green

untuk menghitung pendekatan luas lingkaran. Luas lingkaran akan didekati

menggunakan luas dari lingkaran satuan yakni lingkaran yang berjari-jari 1,

berpusat di titik pangkal (0,0), dan memiliki luas 𝜋. Metode yang digunakan dalam

penelitian ini yaitu studi pustaka dengan membaca buku-buku yang berkaitan

dengan luas daerah dan Teorema Green. Seperti yang telah diulas pada Bab III

bahwa teorema ini dapat diaplikasikan untuk menghitung luas daerah, prinsipnya

dalam Teorema Green mirip dengan integral garis yakni menghitung panjang

lintasan suatu kurva. Sedangkan dalam bidang teorema green menghitung luasan

suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva, dan kurva tersebut masing-masing

lintasannya terbentuk dari dua titik yang saling berdekatan. Penelitian ini

mengambil pendekatan yang dibangun dari segi-𝑛 beraturan dan tidak beraturan

yang dibuat di dalam serta di luar lingkaran satuan. Nilai 𝑛 yang akan digunakan

adalah 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, dan 1024.

Teorema Green yang ada tidak dapat langsung digunakan begitu saja untuk

menghitung luas daerah segi-𝑛, melainkan perlu dikaji kembali secara analitik

sehingga ditemukan formula yang dapat digunakan untuk menghitung luas segi-𝑛.

Langkah ini membutuhkan pengetahuan tentang persamaan garis melalui dua titik,

diferensial, integral garis, dan Teorema Green. Luas daerah dalam skripsi ini seperti

yang telah dikatakan di atas, yakni menggunakan luas daerah segi-𝑛 beraturan dan

tidak beraturan. Aplikasi Teorema Green pada bidang dapat digunakan untuk


46

menghitung luas daerah tersebut, karena kurva yang membatasi daerah tersebut

memenuhi syarat-syarat agar teorema ini dapat digunakan. Adapun syarat-

syaratnya yakni suatu daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup yang sederhana,

mulus sepotong-sepotong, dan tetap mempertahankan luasan berada disebelah kiri

lintasan.

Penelitian ini membutuhkan titik sudut-titik sudut dari segi-𝑛. Kemudian

titik-titik yang saling berdekatan disubstitusikan ke dalam persamaan yang telah

didapat. Melalui proses tersebut akan diperoleh luasan sebelah kiri dari garis yang

terbentuk melalui dua titik yang berdekatan dan arah integrasinya berlawanan arah

jarum jam. Proses ini terus diulang dengan pasangan titik yang lain hingga pasangan

titik (𝑛 − 1, 𝑛), setelah itu luasan pada masing-masing lintasan yang didapat

kemudian dijumlahkan sehingga didapat luas daerah sepanjang lintasan 𝐶 dari segi-

𝑛 beraturan di dalam dan di luar lingkaran satuan. Luas dari segiempat beraturan,

segidelapan beraturan, dst, menjadi data yang akan diamati.

Pada penelitian ini peneliti harus menemukan rumus untuk menghitung segi-

𝑛 di dalam ataupun diluar baik beraturan maupun tidak beraturan

A. Formulasi Luas Segi-𝒏 Menggunakan Akibat Teorema Green Pada

Bidang

Pada awal dari pembahasan ini telah dikatakan bahwa persamaan yang

ada tidak dapat serta-merta digunakan untuk menghitung luas daerah yang

dicari. Pembahasan diawali dengan mengkaji beberapa aturan yang akan

digunkaan dalam menjelaskan penggunaan akibat Teorema Green pada

bidang untuk menghitung luasan. Bagian ini merupakan tahapan mengkaji


47

secara analitik akibat Teorema Green pada bidang hingga pada akhirnya

mendapatkan sebuah persamaan yang secara umum dapat digunakan untuk

menghitung luas daerah segi-𝑛 yang dibuat, serta cara yang digunakan untuk

menemukan koordinat dari titik-titik sudut segi-𝑛 yang dibuat.

1. Formulasi pengambilan titik dari segi-𝑛

Penelitian ini menggunakan titik-titik sudut pada segi-𝑛 yang

akan dicari luas daerah yang membayaitu di dalam dan di luar

lingkaran, sehingga terdapat perbedaan dalam formulasi pengambilan

koordinat titik-titiknya. Mengambil koordinat titik pada segi-𝑛 menjadi

bagian penting dalam penelitian ini karena koordinat ini menjadi input

pada persamaan yang digunakan. Langkah ini dilakukan dengan

menggunakan pendefinisian Trigonometri pada koordinat Cartesius

dengan lingkaran satuan dan besar sudut dalam radian. Langkah ini

perlu dilakukan guna menunjukkan dan memastikan bahwa pasangan

titik yang digunakan merupakan titik-titik yang saling berdekatan. Jika

lintasan terbentuk dari titik-titik yang saling berdekatan, maka kurva

yang terbentuk bukan lagi kurva yang tertutup sederhana.


48

Gambar 4. 1 Lingkaran Satuan

a. Titik Segi-𝑛 di Dalam Lingkaran Satuan

Lingkaran satuan, dari gambar 4.1, dengan jari-jari 1 satuan

dan berpusat pada titik pangkal (0,0). Dari ∆𝑂𝑃𝑇 dengan siku-

siku di 𝑃, dapat ditemukan 𝑥 dan 𝑦 sebagai berikut:

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃𝑥 = 𝑟 cos 𝜃

} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 (4.1)

b. Titik Segi-𝑛 di Luar Lingkaran Satuan

Menentukan koordinat titik segi-𝑛 agar berada di luar

lingkaran pada dasarnya menggunakan formula yang sama

dengan menentukan titik-titik sudut pada segi-𝑛 yang dibuat di

dalam lingkaran satuan, namun terdapat perbedaan yakni adanya

variabel pengali, seperti berikut ini:

𝑦 = 𝑟1 × 𝑟 sin 𝜃𝑥 = 𝑟1 × 𝑟 cos 𝜃

} 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 (4.2)

𝑦

𝑥 𝑂

𝑟

𝜃

𝑥

𝑦

𝑇

𝑃 1

1

−1

−1


49

dengan 𝑟1 adalah panjang 1

2 diagonal segi-𝑛 yang dibuat di luar

lingkaran satuan. Pada penelitian ini menggunakan “𝑟1” sebagai

pengalinya, dan dinyatakan sebgai berikut:

𝑟1 =1

cos (2𝜋2𝑛)

Pengali “𝑟1” diatas didapat dari proses dibawah ini:

Gambar 4. 2 Segiempat di Luar Lingkaran Satuan

Berdasarkan gambar di atas, dapat ditemukan panjang ruas

garis 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ dan 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ maka diperlukan besar sudut 𝐴𝑂𝑂’ atau sudut

𝛼, yakni 2

2n

dengan 𝑛 = 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, dan

1024. Dapat ditemukan panjang ruas garis 𝑂𝐴, yaitu cosr

OA

.

Pada gambar 4.2 mendeskripsikan segiempat beraturan

yang di buat di luar lingkaran satuan, maka panjang ruas garis 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ ,

seperti berikut ini:

𝐴

𝐵

𝐶

D

𝑂

𝑂′

𝑟

𝛼

𝑟1


50

𝑂𝐴̅̅ ̅̅ =1

cos (2𝜋2𝑛)

𝑂𝐴̅̅ ̅̅ =1

cos (2𝜋8 )

𝑂𝐴̅̅ ̅̅ =1

cos (𝜋4)

𝑂𝐴̅̅ ̅̅ = √2

Selanjutnya berlaku cara yang serupa dalam menemukan

panjang 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ , 𝑂𝐶̅̅ ̅̅ , 𝑂𝐷̅̅ ̅̅ . Sehingga guna menemukan koordinat dari

titik-titik sudut pada segiempat beraturan yaitu “𝑟1” kali dari

koordinat saat berada di lingkaran satuan.

2. Formulasi Luas Segi-𝑛

Akibat Teorema Green pada bidang serta beberapa aturan yang

digunakan dalam menjelaskan penggunaan akibat Teorema Green pada

bidang untuk mencari luasan akan dikaji. Setelahnya akan ditemukan

formulasi sebuah persamaan yang digunakan untuk menghitung luasan

daerah dari segi-𝑛 yang dibuat.

a. Formulasi Luas Segiempat

Penelitian ini akan diawali dengan menghitung luas

segiempat dengan menggunakan akibat Teorema Green pada

bidang. Teorema ini akan dikaji secara analitik sehingga didapat

sebuah formula yang dapat digunakan untuk mengitung luas

segiempat beraturan dan tidak beraturan yang dibuat didalam dan


51

diluar lingkaran satuan berpusat di titik pusat 𝑂(0,0), berjari-jari

1 satuan, dan memiliki luas sebesar 𝜋.

Melalui dua buah sebarang titik dapat dibuat suatu garis.

Misalkan titik-titik tersebut adalah (𝑥1, 𝑦1) dan (𝑥2, 𝑦2). Maka

dari dua titik tersebut dapat dibuat suatu garis lurus dengan

persamaan

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1=

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1 (4.3)

Persamaan tersebut dapat juga dinyatakan dalam:

𝑦 = 𝑦1 +𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

(𝑦2 − 𝑦1) (4.4)

Diberikan sebarang segiempat beraturan ABCD yang

dibuat di dalam lingkaran satuan seperti Gambar 4.3.

Gambar 4. 3 Segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 di Dalam Lingkaran Satuan

Luas daerah segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 dapat dicari menggunakan

aplikasi Teorema Green untuk menghitung luas daerah pada

bidang dengan menggunakan formula, sebagai berikut:

A

B

C

D

𝑂

S


52

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) =1

2∮ (−𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦)

𝑆

(4.5)

Misal diberikan koordinat masing-masing titik yaitu

𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2), 𝐶(𝑥3, 𝑦3), dan 𝐷(𝑥4, 𝑦4), maka perhitungan

luas dilakukan atas lintasan S yang terdiri dari lintasan-lintasan

yang terbentuk dari A ke B ke C ke D dan kembali ke A.

i. Pada lintasan 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

Persamaan garis yang terbentuk dari titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan

𝐶(𝑥2, 𝑦2), dari persamaan (4.4) dapat ditemukan diferensial 𝑑𝑦,

seperti di bawah ini:

𝑦 = 𝑦1 +𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

(𝑦2 − 𝑦1) (4.4a)

𝑦 = 𝑦1 +𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 = 𝑦1 +𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥 −

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1

𝑑𝑦 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑑𝑥 (4.6a)

Langkah berikutnya mengubah persamaan (4.5) ke dalam

variabel 𝑥 serta diferensialnya dalam 𝑑𝑥. Langkah tersebut

dilakukan dengan cara menyubtitusikan persamaan (4.4a) dan

persamaan (4.6a) ke persamaan (4.5), seperti di bawah ini:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) =1


𝑆

=1

2∮ [− (𝑦1 +

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

(𝑦2 − 𝑦1)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑑𝑥)]

𝑆

=1

2∮ [− (𝑦1 +

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

(𝑥 − 𝑥1)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑑𝑥)]

𝑆


53

=1

2∮ [− (𝑦1 +

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥 −

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1) 𝑑𝑥

𝑆

+ 𝑥 (𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑑𝑥)]

=1

2∮ [−𝑦1 −

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥 +

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1 + 𝑥 (

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1) ] 𝑑𝑥

𝑆

Sehingga diperoleh:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵 =1

2∫ [

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1 ] 𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

Adapun setelah persamaan di atas tersebut diselesaikan secara

analitik, maka:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐴𝐵 =1

2∫ [

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1 ] 𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

=1

2[((

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1) 𝑥 − 𝑦1𝑥) ]

𝑥1

𝑥2

=1

2[(

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1) 𝑥 ]

𝑥1

𝑥2

=1

2[(

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1) 𝑥2 − (

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1) 𝑥1]

=1

2[(

𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1𝑥1 − 𝑦1) (𝑥2 − 𝑥1)]

=1

2[(

𝑥1(𝑦2 − 𝑦1) − 𝑦1(𝑥2 − 𝑥1)

𝑥2 − 𝑥1) (𝑥2 − 𝑥1)]

=1

2[𝑥1(𝑦2 − 𝑦1) − 𝑦1(𝑥2 − 𝑥1)]

=1

2[𝑥1𝑦2 − 𝑥1𝑦1 − 𝑦1𝑥2 + 𝑦1𝑥1]

=1

2[𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑥2]

=1

2𝑥1𝑦2 −

1

2𝑦1𝑥2


54

ii. Pada lintasan 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

Persamaan garis yang terbentuk dari titik B(𝑥2, 𝑦2), dan

C(𝑥3, 𝑦3), jika berdasarkan persamaan (4.4a) dengan

menggunakan titik 𝐵 dan 𝐶 maka persamaannya akan berubah

menjadi,

22 3 2

3 2

( )x x

y y y yx x

(4.4b)

Kemudian dari persamaan (4.4b) dapat ditemukan

diferensial 𝑑𝑦, seperti di bawah ini:

22 3 2

3 2

( )x x

y y y yx x

(4.4b)

3 22 2

3 2

( )y y

y y x xx x

3 2 3 22 2

3 2 3 2

y y y yy y x x

x x x x

𝑑𝑦 =𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑑𝑥 (4.6b)



dilakukan dengan cara menyubtitusikan persamaan (4.4b) dan

persamaan (4.6b) ke persamaan (4.5), seperti di bawah ini:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =1


𝑆

=1

2∮ [− (𝑦2 +

𝑥 − 𝑥2

𝑥3 − 𝑥2

(𝑦3 − 𝑦2)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑑𝑥)]

𝑆

=1

2∮ [− (𝑦2 +

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2

(𝑥 − 𝑥2)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑑𝑥)]

𝑆


55

=1

2∮ [− (𝑦2 +

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥 −

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥2) 𝑑𝑥

𝑆

+ 𝑥 (𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑑𝑥)]

=1

2∮ [−𝑦2 −

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥 +

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥2 + 𝑥 (

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2) ] 𝑑𝑥

𝑆

Sehingga diperoleh:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =1

2∫ [

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2 ] 𝑑𝑥

𝑥3

𝑥2


analitik, maka:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =1

2∫ [

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2 ] 𝑑𝑥

𝑥3

𝑥2

=1

2[((

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥2) 𝑥 − 𝑦2𝑥) ]

𝑥2

𝑥3

=1

2[(

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2) 𝑥 ]

𝑥2

𝑥3

=1

2[(

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2) 𝑥3 − (

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2) 𝑥2]

=1

2[(

𝑦3 − 𝑦2

𝑥3 − 𝑥2𝑥2 − 𝑦2) (𝑥3 − 𝑥2)]

=1

2[(

𝑥2(𝑦3 − 𝑦2) − 𝑦2(𝑥3 − 𝑥2)

𝑥3 − 𝑥2) (𝑥3 − 𝑥2)]

=1

2[𝑥2(𝑦3 − 𝑦2) − 𝑦2(𝑥3 − 𝑥2)]

=1

2[𝑥2𝑦3 − 𝑥2𝑦2 − 𝑦2𝑥3 + 𝑦2𝑥2]

=1

2[𝑥2𝑦3 − 𝑦2𝑥3]

=1

2𝑥2𝑦3 −

1

2𝑦2𝑥3


56

iii. Pada lintasan 𝐶𝐷̅̅ ̅̅

Persamaan garis yang terbentuk dari titik 𝐶(𝑥3, 𝑦3), dan

𝐷(𝑥4, 𝑦4) jika berdasarkan persamaan (4.4a) dengan

menggunakan titik 𝐶 dan 𝐷 maka persamaannya akan berubah

menjadi,

𝑦 = 𝑦3 +𝑥 − 𝑥3

𝑥4 − 𝑥3

(𝑦4 − 𝑦3) (4.4c)

Kemudian dari persamaan (4.4c) dapat ditemukan


𝑦 = 𝑦3 +𝑥 − 𝑥3

𝑥4 − 𝑥3

(𝑦4 − 𝑦3) (4.4c)

𝑦 = 𝑦3 +𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3

(𝑥 − 𝑥3)

𝑦 = 𝑦3 +𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥 −

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3

𝑑𝑦 =𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑑𝑥 (4.6b)



dilakukan dengan cara menyubtitusikan persamaan (4.4c) dan

persamaan (4.6b) ke persamaan (4.5), seperti di bawah ini:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =1


𝑆

=1

2∮ [− (𝑦3 +

𝑥 − 𝑥2

𝑥4 − 𝑥3(𝑦4 − 𝑦3)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑑𝑥)]

𝑆

=1

2∮ [− (𝑦3 +

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3(𝑥 − 𝑥3)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑑𝑥)]

𝑆


57

=1

2∮ [− (𝑦3 +

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥 −

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3) 𝑑𝑥

𝑆

+ 𝑥 (𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑑𝑥)]

=1

2∮ [−𝑦3 −

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥 +

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3 + 𝑥 (

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3) ] 𝑑𝑥

𝑆

Sehingga diperoleh:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =1

2∫ [

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3 ] 𝑑𝑥

𝑥4

𝑥3


analitik, maka:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =1

2∫ [

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3] 𝑑𝑥

𝑥4

𝑥3

=1

2[((

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3) 𝑥 − 𝑦3𝑥) ]

𝑥3

𝑥4

=1

2[(

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3) 𝑥 ]

𝑥3

𝑥4

=1

2[(

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3) 𝑥4 − (

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3) 𝑥3]

=1

2[(

𝑦4 − 𝑦3

𝑥4 − 𝑥3𝑥3 − 𝑦3) (𝑥4 − 𝑥3)]

=1

2[(

𝑥3(𝑦4 − 𝑦3) − 𝑦3(𝑥4 − 𝑥3)

𝑥4 − 𝑥3) (𝑥4 − 𝑥3)]

=1

2[𝑥3(𝑦4 − 𝑦3) − 𝑦3(𝑥4 − 𝑥3)]

=1

2[𝑥3𝑦4 − 𝑥3𝑦3 − 𝑦3𝑥4 + 𝑦3𝑥3]

=1

2[𝑥3𝑦4 − 𝑦3𝑥4]

=1

2𝑥3𝑦4 −

1

2𝑦3𝑥4


58

iv. Pada lintasan 𝐷𝐴̅̅ ̅̅

Persamaan garis yang terbentuk dari titik dan 𝐷(𝑥4, 𝑦4) dan

𝐴(𝑥1, 𝑦1), jika berdasarkan persamaan (4.4a) dengan

menggunakan titik 𝐷 dan 𝐴 maka persamaannya akan berubah

menjadi,

𝑦 = 𝑦4 +𝑥 − 𝑥4

𝑥1 − 𝑥4

(𝑦1 − 𝑦4) (4.4d)

Kemudian dari persamaan (4.4d) dapat ditemukan


𝑦 = 𝑦4 +𝑥 − 𝑥4

𝑥1 − 𝑥4

(𝑦1 − 𝑦4) (4.4d)

𝑦 = 𝑦4 +𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4(𝑥 − 𝑥4)

𝑦 = 𝑦4 +𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥 −

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4

𝑑𝑦 =𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑑𝑥 (4.6c)



dilakukan dengan cara menyubtitusikan persamaan (4.4d) dan

persamaan (4.6c) ke persamaan (4.5), seperti di bawah ini:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ =1


𝑆

=1

2∮ [− (𝑦4 +

𝑥 − 𝑥4

𝑥1 − 𝑥4(𝑦1 − 𝑦4)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑑𝑥)]

𝑆

=1

2∮ [− (𝑦4 +

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4(𝑥 − 𝑥4)) 𝑑𝑥 + 𝑥 (

𝑦4 − 𝑦3

𝑥1 − 𝑥2𝑑𝑥)]

𝑆


59

=1

2∮ [− (𝑦4 +

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥 −

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4) 𝑑𝑥

𝑆

+ 𝑥 (𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑑𝑥)]

=1

2∮ [−𝑦4 −

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥 +

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4 + 𝑥 (

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4) ] 𝑑𝑥

𝑆

Sehingga diperoleh:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ =1

2∫ [

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4 ] 𝑑𝑥

𝑥1

𝑥4


analitik, maka:

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷)𝑠𝑒𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ =1

2∫ [

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4 ] 𝑑𝑥

𝑥1

𝑥4

=1

2[((

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4) 𝑥 − 𝑦4𝑥) ]

𝑥4

𝑥1

=1

2[(

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4) 𝑥 ]

𝑥4

𝑥1

=1

2[(

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4) 𝑥1 − (

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4) 𝑥4]

=1

2[(

𝑦1 − 𝑦4

𝑥1 − 𝑥4𝑥4 − 𝑦4) (𝑥1 − 𝑥4)]

=1

2[(

𝑥4(𝑦1 − 𝑦4) − 𝑦4(𝑥1 − 𝑥4)

𝑥1 − 𝑥4) (𝑥1 − 𝑥4)]

=1

2[𝑥4(𝑦1 − 𝑦4) − 𝑦4(𝑥1 − 𝑥4)]

=1

2[𝑥4𝑦1 − 𝑥4𝑦4 − 𝑦4𝑥1 + 𝑦4𝑥4]

=1

2[𝑥4𝑦1 − 𝑦4𝑥1]

=1

2𝑥4𝑦1 −

1

2𝑦4𝑥1


60

Luas segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷 yaitu luas yang dihitung sepanjang

lintasan 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ .

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 𝐸1 + 𝐸2 + 𝐸3 + 𝐸4

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = (1

2𝑥1𝑦2 −

1

2𝑦1𝑥2) + (

1

2𝑥2𝑦3 −

1

2𝑦2𝑥3)

+ (1

2𝑥3𝑦4 −

1

2𝑦3𝑥4) + (

1

2𝑥4𝑦1 −

1

2𝑦4𝑥1)

Keterangan:

𝐸1: Luas (𝐴𝐵𝐶𝐷) sepanjang 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐸2: Luas (𝐴𝐵𝐶𝐷) sepanjang 𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝐸3: Luas (𝐴𝐵𝐶𝐷) sepanjang 𝐶𝐷̅̅ ̅̅

𝐸4: Luas (𝐴𝐵𝐶𝐷) sepanjang 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ ∎

b. Formulasi Luas Segidelapan

Penelitian ini dilanjutkan dengan menghitung luas

segidelapan dengan menggunakan akibat Teorema Green pada

bidang. Melalui proses yang serupa dalam menemukan formula

menghitung luas pada segiempat di atas, akan ditemukan sebuah

formula yang dapat digunakan untuk menghitung luas

segidelapan beraturan dan tidak beraturan yang dibuat didalam

dan diluar lingkaran satuan berpusat di titik pusat 𝑂(0,0), berjari-

jari 1 satuan, dan memiliki luas sebesar 𝜋.


61

Gambar 4. 4 Segidelapan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻

Diberikan segidelapan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 seperti pada gambar

4.4. Misalkan koordinat masing-masing titik yaitu 𝐴(𝑥1, 𝑦1),

𝐵(𝑥2, 𝑦2), 𝐶(𝑥3, 𝑦3), 𝐷(𝑥4, 𝑦4), 𝐸(𝑥5, 𝑦5), 𝐹(𝑥6, 𝑦6), 𝐺(𝑥7, 𝑦7),

dan 𝐻(𝑥8, 𝑦8), maka luas segidelapan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 yaitu luas

yang dihitung sepanjang lintasan 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ ,

dan 𝐻𝐴̅̅ ̅̅ . Luas daerah segidelapan berdasarkan akibat Teorema

Green pada bidang yang telah dikaji pada segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷,

didapat formula menghitung luas segidelapan 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻.

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻)

= (1

2𝑥1𝑦2 −

1

2𝑦1𝑥2) + (

1

2𝑥2𝑦3 −

1

2𝑦2𝑥3)

+ (1

2𝑥3𝑦4 −

1

2𝑦3𝑥4) + (

1

2𝑥4𝑦5 −

1

2𝑦4𝑥5)

+ (1

2𝑥5𝑦6 −

1

2𝑦5𝑥6) + (

1

2𝑥6𝑦7 −

1

2𝑦6𝑥7)

+ (1

2𝑥7𝑦8 −

1

2𝑦7𝑥8) + (

1

2𝑥8𝑦1 −

1

2𝑦8𝑥1) ∎


62

c. Formulasi Luas Segienambelas

Penelitian ini dilanjutkan dengan menghitung luas

segienambelas dengan menggunakan akibat Teorema Green pada

bidang. Melalui proses yang serupa dalam menemukan formula

menghitung luas pada segiempat di atas, akan ditemukan sebuah

formula yang dapat digunakan untuk menghitung luas

segienambelas beraturan dan tidak beraturan yang dibuat didalam

dan diluar lingkaran satuan berpusat di titik pusat 𝑂(0,0), berjari-

jari 1 satuan, dan memiliki luas sebesar 𝜋.

Gambar 4. 5 Segienambelas 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃

Diberikan segienambelas 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃 seperti

pada gambar 4.5. Misalkan koordinat masing-masing titik yaitu

𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2), 𝐶(𝑥3, 𝑦3), 𝐷(𝑥4, 𝑦4), 𝐸(𝑥5, 𝑦5), 𝐹(𝑥6, 𝑦6),

𝐺(𝑥7, 𝑦7), 𝐻(𝑥8, 𝑦8), 𝐼(𝑥9, 𝑦9), 𝐽(𝑥10, 𝑦10), 𝐾(𝑥11, 𝑦11),

𝐿(𝑥12, 𝑦12), 𝑀(𝑥13, 𝑦13), 𝑁(𝑥14, 𝑦14), 𝑂(𝑥15, 𝑦15), dan

𝑃(𝑥16, 𝑦16), maka luas segienambelas 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃

A

B

C

D E

F

G

H

I

J

K L

M N

O

P


63

yaitu luas yang dihitung sepanjang lintasan

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , 𝐹𝐺̅̅ ̅̅ , 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ , 𝐻𝐼̅̅̅̅ , 𝐼�̅�, 𝐽𝐾̅̅ ̅, 𝐾𝐿̅̅ ̅̅ , 𝐿𝑀̅̅ ̅̅ , 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅, 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ , dan

𝑃𝐴̅̅ ̅̅ . Luas daerah segienambelas berdasarkan akibat Teorema

Green pada bidang yang telah dikaji pada segiempat 𝐴𝐵𝐶𝐷,

didapat formula menghitung luas segienambelas

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃.

𝐿𝑢𝑎𝑠 (𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿𝑀𝑁𝑂𝑃)

= (1

2𝑥1𝑦2 −

1

2𝑦1𝑥2) + (

1

2𝑥2𝑦3 −

1

2𝑦2𝑥3)

+ (1

2𝑥3𝑦4 −

1

2𝑦3𝑥4) + (

1

2𝑥4𝑦5 −

1

2𝑦4𝑥5)

+ (1

2𝑥5𝑦6 −

1

2𝑦5𝑥6) + (

1

2𝑥6𝑦7 −

1

2𝑦6𝑥7)

+ (1

2𝑥7𝑦8 −

1

2𝑦7𝑥8) + (

1

2𝑥8𝑦9 −

1

2𝑦8𝑥9)

+ (1

2𝑥9𝑦10 −

1

2𝑦9𝑥10) + (

1

2𝑥10𝑦11 −

1

2𝑦10𝑥11)

+ (1

2𝑥11𝑦12 −

1

2𝑦11𝑥12) + (

1

2𝑥12𝑦13 −

1

2𝑦12𝑥13)

+ (1

2𝑥13𝑦14 −

1

2𝑦13𝑥14) + (

1

2𝑥14𝑦15 −

1

2𝑦14𝑥15)

+ (1

2𝑥15𝑦16 −

1

2𝑦15𝑥16) + (

1

2𝑥16𝑦1 −

1

2𝑦16𝑥1)

=1

2(∑(𝑥𝑖𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖𝑥𝑖+1) + (𝑥16𝑦1 − 𝑦16𝑥1)

15

𝑖=1

) ∎

d. Formulasi Luas Segi-n

Penelitian ini akan menghitung luas segi-𝑛 dengan

menggunakan akibat Teorema Green pada bidang. Melalui proses

yang serupa dalam menemukan formula menghitung luas pada


64

segiempat, segidelapan, dan segienambelas di atas, akan

ditemukan sebuah formula yang dapat digunakan untuk

menghitung luas segi-𝑛 beraturan dan tidak beraturan yang dibuat

didalam dan diluar lingkaran satuan berpusat di titik pusat

𝑂(0,0), berjari-jari 1 satuan, dan memiliki luas sebesar 𝜋. Luas

segi-𝑛 yang akan dihitung dengan nilai 𝑛 =4, 8, 16, 32, 64, 128,

256, 512, dan 1024, dapat dinyatakan sebagai berikut:

𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖 − 𝑛 = ∑1

2(𝑥𝑖𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖𝑥𝑖+1)

𝑛−1

𝑖=1

+1

2(𝑥𝑛𝑦1 − 𝑦𝑛𝑥1), (4.7)

𝑛 ∈ ℕ

B. Menghitung Luas Segi-𝒏 Menggunakan Akibat Teorema Green Pada

Bidang dengan Menggunakan MATLAB

Penelitian ini diawali dengan membentuk suatu formula untuk

memunculkan koordinat titik segi-𝑛 dengan persamaan (4.1) untuk

menentukan titik-titik sudut segi-𝑛 yang dibuat di dalam lingkaran satuan,

kemudian untuk menentukan titik-titik sudut segi-𝑛 yang di buat di luar

lingkaran satuan menggunakan persamaan (4.2), serta formula untuk

menghitung luas segi-𝑛 yang telah diolah yakni persamaan (4.7). Langkah

selanjutnya ialah menyatakan beberapa formula tersebut ke dalam software

MATLAB. Adapun formula-formula yang telah diubah agar dapat diproses

oleh MATLAB yang akan dilampirkan pada bagian lampiran skripsi ini.

Setelah penyusunan program selesai dan dijalankan, tampilan pada

Command Window akan menjadi, sebagai berikut:


65

Kemudian, pada bagian “Masukkan banyaknya Segi” dapat diisi

dengan banyaknya segi yang diinginkan, sebagai contoh peneliti mengambil

segiempat, segidelapan. Kemudian setelah dieksekusi (run), program akan

menghitung luas daerah sepanjang lintasan dari segiempat beraturan dan tak

beraturan tersebut dengan menggunakan akibat teorema Green pada bidang

untuk menghitung luas daerah yang telah dikaji sebelumnya yakni persamaan

(4.7).

1. Menghitung Luas Segi-𝑛

Berikut akan ditunjukkan proses perhitungan luas daerah segi-𝑛

beraturan di dalam lingkaran satuan, di luar lingkaran satuan, dan luas daerah

segi-𝑛 tak beraturan di dalam maupun di luar lingkaran satuan.

a. Luas Segiempat

Berikut ini akan menghitung luas segiempat beraturan yang dibuat

di dalam, di luar lingkaran satuan, dan segiempat tak beraturan yang

dibuat di dalam lingkaran satuan.

Selamat Datang di Program Saya ^_^

----------------------------------

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

*********************************

Masukkan banyaknya Segi: ….


66

i. Luas segiempat beraturan di luar lingkaran satuan

Gambar 4. 6 Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan

Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna hijau di

luar lingkaran satuan seperti pada Gambar 4.6 merupakan luas

daerah yang akan dicari, setelah di-input-kan jumlah sisi yang

diinginkan. Program akan berlanjut pada proses pembentukan

segiempat beraturan, pembentukannya dilakukan dengan perintah

pada program seperti berikut ini:

theta = (0:pi/(n/2):2.*pi);

rr = 1/cos(2*pi/(2*m));

r = ones (1,(n+1));

polar(theta,rr*r,'g');

Selanjutnya, akan mencari koordinat masing-masing titik

sudutnya yang dapat dicari dengan menggunakan persamaan 4.2

yang dihitung dengan MATLAB. Berikut koordinat titik yang

didapat:

Tabel 4.1 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Luar

Lingkaran Satuan. Titik ke- Koordinat Titik

1 (1.4142,0)

2 (0, 1.4142)

𝑹


67

Titik ke- Koordinat Titik

3 (−1.4142,0)

4 (0, −1.4142)

Selanjutnya akan dicari luas daerah 𝑅 dengan melalui

lintasan yang dibentuk dari dua titik saling berdekatan, dan arah

integrasinya mempertahankan luas daerah yang dicari berada

disebelah kiri lintasan atau counter clockwise/ CCW.

Berdasarkan pada Tabel 4.1 pemasangan titik-titiknya yaitu, titik

pertama ke titik kedua, titik kedua ke titik ketiga, titik ketiga ke

titik keempat, dan titik keempat kembali ke titik pertama. Berikut

lintasan yang digunakan untuk menghitung luas daerah 𝑅:

Tabel 4.2 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran

Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik

1 (1.4142,0)(0, 1.4142)

2 (0, 1.4142)( −1.4142,0)

3 (−1.4142,0)(0, −1.4142)

4 (0, −1.4142)( 1.4142,0)

Luas daerah 𝑅 dapat dihitung menggunakan persamaan 4.7

yang telah didapat sebelumnya dengan memperhatikan Tabel 4.1

dan Tabel 4.2, sehingga diperoleh hasil perhitungan sebagai

berikut:

Tabel 4.3 Luas Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan Lintasan ke- Pasangan Titik Luas

1 (1.4142,0)(0, 1.4142) 1

2 (0, 1.4142)( −1.4142,0) 1

3 (−1.4142,0)(0, −1.4142) 1


68

Lintasan ke- Pasangan Titik Luas

4 (0, −1.4142)( 1.4142,0) 1

Luas total 4

Dari perhitungan luas di atas diperoleh luas daerah yang

dibatasi segiempat beraturan di luar lingkaran satuan dengan

menggunakan akibat teorema Green pada bidang memiliki luas 4

satuan luas.

ii. Luas segiempat beraturan di dalam lingkaran satuan

Gambar 4. 7 Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan

Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna biru di






theta = (0:pi/(n/2):2.*pi);

r = ones (1,(n+1));

polar(theta,r,'b');

𝑅


69




didapat:

Tabel 4.4 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Dalam


1 (1,0)

2 (0,1)

3 (−1,0)

4 (0, −1)




disebelah kiri lintasan atau CCW. Berdasarkan pada Tabel 4.4

pemasangan titik-titiknya yaitu, titik pertama ke titik kedua, titik

kedua ke titik ketiga, titik ketiga ke titik keempat, dan titik

keempat kembali ke titik pertama. Berikut lintasan yang

digunakan untuk menghitung luas daerah 𝑅:

Tabel 4.5 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Dalam

Lingkaran Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik

1 (1,0)(0,1)

2 (0,1)(−1,0)

3 (−1,0)(0, −1)

4 (0, −1)(1,0)




70


berikut:

Tabel 4.6 Luas Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik Luas

1 (1,0)(0,1) 0.5

2 (0,1)(−1,0) 0.5

3 (−1,0)(0, −1) 0.5

4 (0, −1)(1,0) 0.5

Luas total 2


dibatasi segiempat beraturan di dalam lingkaran satuan dengan

menggunakan akibat teorema Green pada bidang memiliki luas 2

satuan luas.

iii. Luas segiempat tak beraturan di dalam lingkaran satuan

Gambar 4. 8 Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan

Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna merah di

dalam lingkaran satuan seperti pada Gambar 4.8 merupakan luas


𝑅


71




r = ones (1,(n+1)); random = 0 + (2.*pi-0)*rand(1,n); pengurutan = sort(random); baru = [pengurutan pengurutan(1)], polar(baru,r,'r')




didapat:

Tabel 4.7 Koordinat Titik Segiempat Tak Beraturan di Dalam


1 (0.1638, 0.9864)

2 (−0.5378, 0.8430)

3 (−0.8598, −0.5104)

4 (0.9681, −0.2502)










72


Lingkaran Satuan. Lintasan

ke- Pasangan Titik

1 (0.1638, 0.9864) (−0.5378, 0.8430)

2 (−0.5378, 0.8430) (−0.8598, −0.5104)

3 (−0.8598, −0.5104)(0.9681, −0.2502)

4 (0.9681, −0.2502)(0.1638, 0.9864)




berikut:

Tabel 4.9 Luas Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran

Satuan Lintasan

ke- Pasangan Titik Luas

1 (0.1638, 0.9864) (−0.5378, 0.8430) 0.334348

2 (−0.5378, 0.8430) (−0.8598, −0.5104) 0.499741

3 (−0.8598, −0.5104)(0.9681, −0.2502) 0.354715

4 (0.9681, −0.2502)(0.1638, 0.9864) 0.498047

Luas total 1.686853


dibatasi segiempat tak beraturan di dalam lingkaran satuan

dengan menggunakan akibat teorema Green pada bidang

memiliki luas 1.686853 satuan luas.

b. Luas Segidelapan

Berikut ini akan menghitung luas segidelapan beraturan yang

dibuat di dalam, di luar lingkaran satuan, dan segidelapan tak beraturan

yang dibuat di dalam lingkaran satuan.


73

i. Luas segidelapan beraturan di luar lingkaran satuan

Gambar 4. 9 Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran

Satuan

Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna hijau di






theta = (0:pi/(n/2):2.*pi);

rr = 1/cos(2*pi/(2*m));

r = ones (1,(n+1));

polar(theta,rr*r,'g');




didapat:

𝑅


74

Tabel 4.10 Koordinat Titik Segiempat Beraturan di Luar


1 (1.0823, 0)

2 (0.7653, 0.7653)

3 (0, 1.0823)

4 (−0.7653, 0.7653)

5 (−1.0823, 0)

6 (−0.7653, −0.7653)

7 (0, −1.0823)

8 (0.7653, −0.7653)









Tabel 4.11 Pasangan Titik Segiempat Beraturan di Luar

Lingkaran Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik

1 (1.0823, 0)(0.7653, 0.7653)

2 (0.7653, 0.7653)( 0, 1.0823))

3 (0, 1.0823))(−0.7653, 0.7653)

4 (−0.7653, 0.7653)( −1.0823, 0)

5 (−1.0823, 0)( −0.7653, −0.7653)

6 (−0.7653, −0.7653)( 0, −1.0823)

7 (0, −1.0823)( 0.7653, −0.7653)

8 (0.7653, −0.7653)( 1.0823, 0)


75


yang telah didapat sebelumnya dengan memperhatikan Tabel

4.10 dan Tabel 4.11, sehingga diperoleh hasil perhitungan sebagai

berikut:

Tabel 4.12 Luas Segiempat Beraturan di Luar Lingkaran Satuan Lintasan ke- Pasangan Titik Luas

1 (1.0823, 0)(0.7653, 0.7653) 0.414213

2 (0.7653, 0.7653)( 0, 1.0823)) 0.414213

3 (0, 1.0823))(−0.7653, 0.7653) 0.414213

4 (−0.7653, 0.7653)( −1.0823, 0) 0.414213

5 (−1.0823, 0)( −0.7653, −0.7653) 0.414213

6 (−0.7653, −0.7653)( 0, −1.0823) 0.414213

7 (0, −1.0823)( 0.7653, −0.7653) 0.414213

8 (0.7653, −0.7653)( 1.0823, 0) 0.414213

Luas total 3.313708


dibatasi segiempat beraturan di luar lingkaran satuan dengan

menggunakan akibat teorema Green pada bidang memiliki luas

3.313708 satuan luas.

ii. Luas segidelapan beraturan di dalam lingkaran satuan

Gambar 4. 10 Segidelapan Beraturan di Dalam Lingkaran Satuan

𝑅


76

Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna biru di






theta = (0:pi/(n/2):2.*pi);

r = ones (1,(n+1));

polar(theta,r,'b');




didapat:

Tabel 4.13 Koordinat Titik Segidelapan Beraturan di Dalam

Lingkaran Satuan.


1 (1, 0)

2 ( 0.7071, 0.7071)

3 (0.4142, 1)

4 (−0.7071, 0.7071)

5 (−1, 0)

6 (−0.7071, −0.7071)

7 (0, −1)

8 (0.7071, −0.7071)






77






Lingkaran Satuan. Lintasan ke- Pasangan Titik Luas

1 (1, 0)( 0.7071, 0.7071) 0.353553

2 ( 0.7071, 0.7071)( 0.4142, 1) 0.353553

3 (0.4142, 1)(−0.7071, 0.7071) 0.353553

4 (−0.7071, 0.7071)( −1, 0) 0.353553

5 (−1, 0)( −0.7071, −0.7071) 0.353553

6 (−0.7071, −0.7071)( 0, −1) 0.353553

7 (0, −1)( 0.7071, −0.7071) 0.353553

8 (0.7071, −0.7071)( 1, 0) 0.353553

Luas total 2.828427




berikut:

Tabel 4.15 Luas Segiempat Beraturan di Dalam Lingkaran

Satuan Lintasan ke- Pasangan Titik Luas

1 (1, 0)( 0.7071, 0.7071) 0.353553

2 ( 0.7071, 0.7071)( 0.4142, 1) 0.353553

3 (0.4142, 1)(−0.7071, 0.7071) 0.353553

4 (−0.7071, 0.7071)( −1, 0) 0.353553

5 (−1, 0)( −0.7071, −0.7071) 0.353553

6 (−0.7071, −0.7071)( 0, −1) 0.353553

7 (0, −1)( 0.7071, −0.7071) 0.353553


78

Lintasan ke- Pasangan Titik Luas

8 (0.7071, −0.7071)( 1, 0) 0.353553

Luas total 2.828427


dibatasi segiempat beraturan di dalam lingkaran satuan dengan

menggunakan akibat teorema Green pada bidang memiliki luas

2.828427 satuan luas.

iv. Luas segiempat tak beraturan di dalam lingkaran satuan

Gambar 4. 11 Segidelapan Tak Beraturan di Dalam Lingkaran

Satuan

Daerah 𝑅 yang dibatasi oleh segiempat berwarna merah di

dalam lingkaran satuan seperti pada Gambar 4.11 merupakan luas





r = ones (1,(n+1)); random = 0 + (2.*pi-0)*rand(1,n);

𝑅


79

pengurutan = sort(random); baru = [pengurutan pengurutan(1)], polar(baru,r,'r')




didapat:

Tabel 4.16 Koordinat Titik Segiempat Tak Beraturan di Dalam

Lingkaran Satuan.


1 ( 0.9972, 0.0747)

2 ( 0.6849, 0.7285)

3 (−0.5204, 0.8538)

4 (−0.9815, 0.1911)

5 (−0.9813, −0.1923)

6 (−0.9079, −0.4190)

7 (0.1822, −0.9832)

8 (0.9152, −0.4028)










80


Lingkaran Satuan. Lintasan

ke- Pasangan Titik

1 (0.9972, 0.0747) ( 0.6849, 0.7285)

2 (0.6849, 0.7285) (−0.5204, 0.8538)

3 (−0.5204, 0.8538) (−0.9815, 0.1911)

4 (−0.9815, 0.1911) (−0.9813, −0.1923)

5 (−0.9813, −0.1923) (−0.9079, −0.4190)

6 (−0.9079, −0.4190) (0.1822, −0.9832)

7 (0.1822, −0.9832) (0.9152, −0.4028)

8 (0.9152, −0.4028) (0.9972, 0.0747 )




berikut:

Tabel 4.18 Luas Segiempat Tak Beraturan di Dalam Lingkaran

Satuan Lintasan

ke- Pasangan Titik Luas

1 (0.1638, 0.9864) (−0.5378, 0.8430) 0.337675

2 (−0.5378, 0.8430) (−0.8598, −0.5104) 0.482042

3 (−0.8598, −0.5104)(0.9681, −0.2502) 0.369324

4 (0.9681, −0.2502)(0.1638, 0.9864) 0.188164

5 (−0.9813, −0.1923) ( 0.6849, 0.7285) 0.118329

6 ( 0.6849, 0.7285) (−0.5204, 0.8538) 0.484558

7 (−0.5204, 0.8538)(−0.9815, 0.1911) 0.413263

8 (−0.9815, 0.1911)(−0.9813, −0.1923) 0.235050

Luas total 2.628411


dibatasi segiempat tak beraturan di dalam lingkaran satuan


81

dengan menggunakan akibat teorema Green pada bidang

memiliki luas 2.628411 satuan luas.

c. Luas Segi-𝑛 tak Beraturan di Luar Lingkaran Satuan

Penelitian skripsi ini menggunakan aplikasi akibat teorema Green

pada bidang untuk menghitung luas daerah yakni luas segi-𝑛 beraturan

yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan, serta luas segi-𝑛 tak

beraturan yang dibuat di luar dan di dalam lingkaran satuan. Pada

penelitian ini untuk menghitung luas segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat

di luar lingkaran satuan peneliti mengalami kendala dalam proses

pembuatan atau penyusunan program yang mampu menampilkan

visualisasinya.

Pada dasarnya untuk menghitung luas daerah segi-𝑛 tak beraturan

yang dibuat di luar lingkaran satuan, juga berlaku akibat teorema Green

pada bidang yang telah dikaji sebelumnya yakni persamaan (4.7)

asalkan diketahui koordinat masing-masin titik sudut pada segi-𝑛 tak

beraturan yang dibuat. Aturan-aturan lainnya pun juga tak dapat

diabaikan agar akibat teorema Green dapat menghitung luas daerah

segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di lingkaran satuan dengan baik yaitu,

lintasan yang dibentuk dari dua titik yang terdekat, tetap

mempertahankan luas daerah berada di seblah kiri kurva, kemudian

kurva merupakan kurave tetutup dan sederhana.


82

2. Resume Luas Segi-𝑛 dan Analisis Hasil Perhitungan

Penelitian skripsi ini akan menghitung luas daerah segi-𝑛 beraturan

yang dibuat di luar dan dalam lingkaran satuan dan segi-𝑛 tak beraturan yang

dibuat di dalam lingkaran satuan. Sebelumnya telah dihitung luas segiempat

dan segidelapan menggunakan akibat teorema Green pada bidang untuk

menghitung luas. Langkah berikutnya akan di hitung luas daerah segi-𝑛

dengan proses yang serupa dalam menghitung luas segiempat dan

segidelapan beraturan dan tak beraturan dapat dilakukan untuk menghitung

luas segi-𝑛. Berikut ini akan ditunjukkan hasil perhitungan luas segi-𝑛 dengan

nilai 𝑛 atau jumlah sisi pada segi-𝑛 yang terus bertambah. Sehingga,

diperolehlah luasan dari masing-masing segi-𝑛 beraturan di dalam dan di luar

lingkaran satuan dan segi-𝑛 tak beraturan di dalam lingkaran satuan, sebagai

berikut:

Tabel 4.19 Resume Luas Segi-𝑛

Segi-𝑛 Beraturan Tak Beraturan

Luar Dalam Dalam

4 4 2 1.686853

8 3.313708 2.828427 2.628411

16 3.182598 3.061467 2.779228

32 3.151725 3.121445 3.042149

64 3.144118 3.136548 3.109551

128 3.142224 3.140331 3.133733

256 3.141750 3.141277 3.140062

512 3.141632 3.141514 3.141161

1024 3.141603 3.141573 3.141489

Dapat dilihat, pada Tabel 4.19, bahwa benar apa yang dikatakan Purcell

(2007) sebagai awalan dalam membelajarkan konsep limit dengan


83

menggunakan luas segi-𝑛 beraturan yang dibuat di lingkaran satuan. Pada

penelitian ini juga mengembangkan apa yang disampaikan Purcell dengan

menghitung luas segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan.

Apabila semakin besar atau semakin banyak 𝑛 pada segi-𝑛 beraturan

konvergen ke suatu nilai yakni luas lingkaran satuan yang berpusat di titik

pusat (0,0),berjari-jari 1, sehingga luas lingkaran satuan satuan adalah 𝜋 atau

dapat ditulis nilai 𝜋 ≈ 3.141593 satuan luas.

Berdasarkan Tabel 4.19 dapat dilihat luas segi-𝑛 beraturan yang dibuat

di luar lingkaran satuan semakin besar nilai 𝑛 atau semakin banyak sisi pada

segi-𝑛 luas nya semakin mengecil mendekati luas lingkaran satuan. Dapat

dilihat luas segiempat beraturan yang dibuat di luar lingkaran satuan adalah 4

satuan luas, kemudian untuk 𝑛 = 8 dan 16 memiliki luas masing-masing

3.313708 satuan luas dan 3.182598 satuan luas terlihat bahwa luas daerah segi-𝑛

beraturan yang dibuat di luar lingkaran satuan saat nilai 𝑛 membesar luasnya mulai

mengecil. Pada akhirnya luas daerah segi-𝑛 tersebut dengan nilai 𝑛 = 1024 memiliki

luas daerah sebesar 3.141603 satuan luas. Hal ini menunjukkan bahwa luas segi-𝑛

beraturan yang dibuat di luar lingkaran satuan akan terus mengecil mendekati nilai

luas lingkaran satuan yaitu 𝜋 ≈ 3.141593.

Selanjutnya untuk luas segi-𝑛 beraturan yang dibuat di dalam lingkaran

satuan, berdasarkan Tabel 4.19 dapat dilihat luas segi-𝑛 tersebut ketika

semakin besar nilai 𝑛 atau semakin banyak sisi pada segi-𝑛 luasannya

semakin membesar mendekati luas lingkaran satuan. Dapat dilihat luas

segiempat beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan adalah 2 satuan


84

luas, kemudian untuk 𝑛 = 8 dan 16 memiliki luas masing-masing 2.828427

satuan luas dan 3.061467. Berikutnya terlihat bahwa luas daerah segi-𝑛 beraturan

yang dibuat di dalam lingkaran satuan saat nilai 𝑛 terus membesar luasnya mulai

membesar. Pada akhirnya luas daerah segi-𝑛 tersebut hingga nilai 𝑛 = 1024 memiliki

luas daerah sebesar 3.141573 satuan luas. Hal ini menunjukkan bahwa luas segi-𝑛

beraturan yang dibuat di luar lingkaran satuan akan terus membesar mendekati nilai

luas lingkaran satuan yaitu 𝜋 ≈ 3.141593.

Akibat teorema Green pada bidang untuk menghitung luas yang telah

dilakukan pada segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan

dengan nilai 𝑛 atau banyak sisi pada segi-𝑛 yang terus bertambah. Pada Tabel

4.19 dapat dilihat bahwa luas daerahnya semakin membesar mendekati luas

lingkaran satuan. Luas segiempat tak beraturan yang dibuat di dalam

lingkaran satuan adalah 1.686853 satuan luas, kemudian untuk 𝑛 = 8 dan 16

memiliki luas masing-masing 2.628411 satuan luas dan 2.779228 satuan luas,

terlihat bahwa luas daerah segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam lingkaran satuan

saat nilai 𝑛 membesar luasnya juga semakin membesar. Pada akhirnya luas daerah

segi-𝑛 tersebut hingga nilai 𝑛 = 1024 memiliki luas daerah sebesar 3.141489 satuan

luas. Hal ini menunjukkan bahwa luas segi-𝑛 tak beraturan yang dibuat di dalam

lingkaran satuan akan terus membesar mendekati nilai luas lingkaran satuan yaitu

𝜋 ≈ 3.141593.


85

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Teorema Green merupakan teorema yang cukup penting karena teori

ini menyatakan hubungan antara integral garis yang dilakukan sepanjang

kurva tetutup 𝐶 pada bidang dengan integral lipat dua (double integral) atas

suatu daerah yang dibatasi oleh 𝐶. Penelitian ini diaplikasikan pada

menghitung luas daerah yang dibatai oleh segi-𝑛. Segi-𝑛 adalah bangun datar

yang dibatasi oleh 𝑛 sisi garis lurus. Menghitung luas segi-𝑛 menggunakan

persamaan yang didapat, kemudian perhitungan dalam penelitian ini dengan

menggunakan aplikasi matematika MATLAB. Program ini dapat digunakkan

sebagai pengantar membelajarkan konsep limit, khususnya luas lingkaran

satuan yang dapat didekati oleh luas segi-𝑛 tak hingga beraturan. Berdasarkan

hasil yang diperoleh dari pembahsan sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa:

1. Akibat Teorema Green dalam bidang dapat digunakan untuk mencari

luas segi-𝑛 beraturan dan tak beraturan yang dibuat di luar maupun di

dalam lingkaran satuan dengan baik. Penggunaan akibat teorema Green

dalam bidang untuk menghitung luas daerah yakni, apabila kurva 𝐶

tertutup sederhana, dan mulus sepotong-sepotong dengan persamaan:

𝐴(𝑅) = ∮ 𝑥 𝑑𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥𝑅

Kemudian persamaan tersebut dikaji secara analitik dengan

mensubstitusikan persamaan garis melalui dua titik dan diferensialnya.


86

Sehingga didapat persamaan yang akan digunakan untuk menghitung

luas daerah yang dibatasi segi-𝑛 beraturan, yang diyantakan dalam:

𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖 − 𝑛 = ∑1

2(𝑥𝑖𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖𝑥𝑖+1)

𝑛−1

𝑖=1

+1

2(𝑥𝑛𝑦1 − 𝑦𝑛𝑥1), 𝑛 ∈ ℕ

2. Syarat yang harus dipenuhi agar perhitungan mendapatkan hasil yang

benar, kurva harus tertutup sederana, mulus, dan arah integrasinya

mempertahankan agar luasan tetap berada di sebelah kiri kurva.

3. Persamaan yang ada perlu diubah ke dalam Bahasa pemograman

MATLAB agar dapat berjalan dengan baik, persamaan yang diubah ke

dalam bahasa pemogram yaitu persamaan menghitung luas segi-𝑛 dan

kemudian persamaan untuk menemukan titik-titik sudut pada segi-𝑛

beraturan.

4. Membantu dalam menghitung luas dengan diketahui titik-titiknya saja,

dan lintasan dibentuk dari dua titik yang saling berdekatan dan arah

lintasan berlawan dengan arah perputaran jarum jam (counter

clockwise/ CCW).

5. Luas daerah yang dibatasi oleh segi-𝑛 beraturan baik di luar maupun di

dalam lingkran satuan, saat nilai 𝑛 bertambah, sudut pada segi-𝑛

semakin membesar untuk segi-𝑛 yang dibuat di luar dan di dalam

lingkaran satuan, sehingga semakin besar nilai 𝑛 bentuk segi-𝑛 semakin

menyerupai lingkaran dan luasnya juga mendekati luas daerah

lingkaran satuan yakni:

𝐿 = 𝜋 ⋅ 𝑟2 = 𝜋 ⋅ 12 = 𝜋 ≈ 3,14.


87

B. Saran

Penelitian ini tak luput dari beberapa hambatan yang ditemui oleh

peniliti dalam proses penelitian. Maka dari itu, saran yang dapat diberikan

peniliti untuk penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan aplikasi dari

akibat teorema Green pada bidang adalah:

1. Penelitian ini menggunakan akibat teorema Green pada bidang yang

dibuat pada lingkaran satuan. Selanjutnya dapat digunakan untuk

mengitung luas suatu daerah atau pulau.

2. Penelitian ini masih mempunyai beberapa kekurangan, salah satunya

pada penyusunan program di MATLAB. Peneliti masih belum mampu

membuat program untuk memvisualisaikan segi-𝑛 tak beraturan yang

dibuat di luar lingkaran satuan, kemudian pada tampilan GUI yang

sudah dibuat peneliti belum memunculkan titik-titik pada segi-𝑛 karena

kurangnya informasi dan pengalaman dalam mengoperasikan

MATLAB.

3. Program yang telah dibuat dapat digunakan untuk membantu guru

dalam proses pembelajaran guna memberikan gambaran terkait

pemahaman konsep limit.


88

DAFTAR PUSTAKA

Bronshtein, I. N., Semendyayev, K. A. (1998). Handbook Of Mathematics.

Springer: New York.

Fenn, Roger. (2000). Geometry. Springer: London.

Hadiwidjojo, Muharti. (1973). Ilmu Ukur Analitik Bidang Bagian I. Yayasan

Pembina FKIE – IKIP: Yogyakarta.

Jerri, Abdul J. (1999). Introduction To Integral Equations With Applications

Second Edition. Jhon Wiley & Sons, Inc: New York.

Marsden & Tromba. (1976). Vector Calculus Second Edition. W. H. Freeman And

Company: San Fransisco.

Smith, Rolland R. & Ulrich, James F. (1956). Plane Geometry. Harcourt, Brace &

World, Inc: New York.

Stewart, James. (1999). Calculus Fourht Edition. Brooks/Cole Publishing: USA.

Stewart, James., Terj. Oleh Susila, I Nyoman (2003). Kalkulus Edisi Keempat.

Erlangga: Jakarta.

Suarsana, I Made. (2014). Geometri Analitik. Graha Ilmu: Yogyakarta.

Sundstrom, Ted., Schlicker, Steven. Trigonometry. Grand Valley State Universty:

California.

Utomo, Beni. (2018). Implementasi Teorema Green Pada Bidang Untuk

Menghitung Luas Daerah Dengan Ms. Excel. Universitas Sanata

Dharma: Yogyakarta.

Varberg, D., Purcell, E. (1987). Calkulus and Analytical Geometry. Prentice-Hall,

Inc, Upper Saddle: New Jersey.

Varberg, D., Purcell, E., dan Rigdon, S. (2007). Calculus: Ninth Edition. Prentice-

Hall, Inc, Upper Saddle: New Jersey.

Wernick, William. (1968). Analitic Geometry. Silver Burdett Company: USA.


89

www.geogebra.org/graphinghttp://we15hang.blogspot.com/2012/02/MATLAB-

gui-inserting-background-image.html (diakses pada 29 November

2018)

www.youtube.com/watch?v=Q_19XxHIVGU (diakses pada 29 November 2018)

Zen, Fathurin. (2012). Trigonometry. ALFABETA: Bandung.

Zill, Dennis G., Jacqueline M. Dewar. Trigonometry.


http://www.geogebra.org/graphing

http://www.geogebra.org/graphing

http://we15hang.blogspot.com/2012/02/matlab-gui-inserting-background-image.html

http://www.youtube.com/watch?v=Q_19XxHIVGU

90

LAMPIRAN


91

A. LIST PROGRAM MATLAB

%program menunjukkan lingkaran dan segi_n %dan melakukan perhitunga luas %input : segi_n yang diinginkan %output : luas segi_n di dalam dan di luar lingkaran

clc;clear;close all; disp('Selamat Datang di Program') disp('Menghitung Luas Segi-n') disp('**********************************') XC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran YC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran R = 1; %jari-jari fprintf('Masukkan banyaknya Segi : '); m = input(''); %banyaknya segi yang diinginkan n = m; %banyaknya segi yang diinginkan

luas_lingkaran = pi*R^2; disp(['Luas Lingkaran = ' num2str(luas_lingkaran,'%7.6f')]); %bagian untuk buat lingkaran teta = 0:360; x = XC + R*cosd(teta); y = YC + R*sind(teta); plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]);

%bagian untuk membuat segi-n di luar lingkaran theta = (0:pi/(n/2):2.*pi) rr = 1/cos(2*pi/(2*m)); r = ones (1,(n+1)); figure(1) polar(theta,rr*r,'g');

%hitung luas segi_n luar lingkaran luas_total_luar = 0; for index = 1:n x_luasluar = rr*R*cos (theta); y_luasluar = rr*R*sin (theta); luas_garisluar =

((x_luasluar(index)*y_luasluar(index+1))/2)-

((y_luasluar(index)*x_luasluar(index+1))/2) luas_total_luar = luas_total_luar + luas_garisluar; end; disp(['Luas Segi-',num2str(n),' luar lingkaran = '

num2str(luas_total_luar,'%7.6f')]);


92

%bagian untuk membuat segi-n di dalam lingkaran theta = (0:pi/(n/2):2.*pi); r = ones (1,(n+1)); figure(2) plot(x,y,'k'); hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); polar(theta,r,'b');

%hitung luas segi_n dalam lingkaran luas_total_dalam = 0; for index = 1:n x_luasdalam = R*cos (theta); y_luasdalam = R*sin (theta); luas_garisdalam =

((x_luasdalam(index)*y_luasdalam(index+1))/2)-

((y_luasdalam(index)*x_luasdalam(index+1))/2) luas_total_dalam = luas_total_dalam + luas_garisdalam; end; disp(['Luas Segi-',num2str(n),' dalam lingkaran = '

num2str(luas_total_dalam,'%7.6f')]); %----------------------------------------------------------% %----------------------------------------------------------%

%bagian untuk membuat segi-n tidak beraturan random = 0 + (2.*pi-0)*rand(1,n); pengurutan = sort(random); baru = [pengurutan pengurutan(1)] figure(3) plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); polar(baru,r,'m')

%hitung luas segi-n tak beraturan luas_total = 0; for index = 1:n x_luasdalam = R*cos (baru); y_luasdalam = R*sin (baru); luas_garisdalamacak =

((x_luasdalam(index).*y_luasdalam(index+1))/2)-

((y_luasdalam(index).*x_luasdalam(index+1))/2) luas_total = luas_total + luas_garisdalamacak; end; disp(['Luas Segi-',num2str(n),' tak beraturan = '

num2str(luas_total,'%7.6f')]);


93

B. LIST PROGRAM MATLAB TAMPILAN GUI

function varargout = skripsifix1(varargin) % SKRIPSIFIX1 MATLAB code for skripsifix1.fig % SKRIPSIFIX1, by itself, creates a new SKRIPSIFIX1 or

raises the existing % singleton*. % % H = SKRIPSIFIX1 returns the handle to a new SKRIPSIFIX1

or the handle to % the existing singleton*. % % SKRIPSIFIX1('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...)

calls the local % function named CALLBACK in SKRIPSIFIX1.M with the given

input arguments. % % SKRIPSIFIX1('Property','Value',...) creates a new

SKRIPSIFIX1 or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property

value pairs are % applied to the GUI before skripsifix1_OpeningFcn gets

called. An % unrecognized property name or invalid value makes

property application % stop. All inputs are passed to skripsifix1_OpeningFcn

via varargin. % % *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI

allows only one % instance to run (singleton)". % % See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Edit the above text to modify the response to help

skripsifix1

% Last Modified by GUIDE v2.5 27-Mar-2019 17:04:05

% Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1; gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ... 'gui_Singleton', gui_Singleton, ... 'gui_OpeningFcn', @skripsifix1_OpeningFcn,

... 'gui_OutputFcn', @skripsifix1_OutputFcn,

... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1}) gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end

if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State,

varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before skripsifix1 is made visible.


94

gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end

if nargout [varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State,

varargin{:}); else gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end % End initialization code - DO NOT EDIT

% --- Executes just before skripsifix1 is made visible. function skripsifix1_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles,

varargin) % This function has no output args, see OutputFcn. % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of

MATLAB % handles structure with handles and user data (see

GUIDATA) % varargin command line arguments to skripsifix1 (see

VARARGIN) clc; grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); axes(handles.axes1); axes(handles.axes2); axes(handles.axes3);

% Choose default command line output for skripsifix1 handles.output = hObject;

% Update handles structure guidata(hObject, handles);

% UIWAIT makes skripsifix1 wait for user response (see

UIRESUME) % uiwait(handles.figure1);

% --- Outputs from this function are returned to the command

line. function varargout = skripsifix1_OutputFcn(hObject, eventdata,

handles) % varargout cell array for returning output args (see

VARARGOUT); % hObject handle to figure % eventdata reserved - to be defined in a future version of


GUIDATA)

% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;

function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of


95

% Get default command line output from handles structure varargout{1} = handles.output;



GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of edit1 as

text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of

edit1 as a double

% --- Executes during object creation, after setting all

properties. function edit1_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to edit1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of

MATLAB % handles empty - handles not created until after all

CreateFcns called

% Hint: edit controls usually have a white background on

Windows. % See ISPC and COMPUTER. if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'),

get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) set(hObject,'BackgroundColor','white'); end



GUIDATA)



edit2 as a double




CreateFcns called


Windows. % See ISPC and COMPUTER.


96




CreateFcns called




function numSidesedit_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to numSidesedit (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of


GUIDATA)

% Hints: get(hObject,'String') returns contents of

numSidesedit as text % str2double(get(hObject,'String')) returns contents of

numSidesedit as a double


properties. function numSidesedit_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to numSidesedit (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of


CreateFcns called






GUIDATA)



edit4 as a double


97



GUIDATA)



edit4 as a double




CreateFcns called






GUIDATA)



edit6 as a double




CreateFcns called





98






GUIDATA)



edit7 as a double




CreateFcns called






GUIDATA)



edit8 as a double




CreateFcns called


99




CreateFcns called






GUIDATA)



edit10 as a double




CreateFcns called






GUIDATA)



edit11 as a double


properties.


100



edit11 as a double




CreateFcns called






GUIDATA)



edit12 as a double




CreateFcns called






GUIDATA)


101



GUIDATA)



edit13 as a double




CreateFcns called






GUIDATA)



edit15 as a double




CreateFcns called





102






GUIDATA)



edit16 as a double




CreateFcns called






GUIDATA)



edit17 as a double




CreateFcns called


Windows.


103




CreateFcns called




% --- Executes on button press in gambar1. function gambar1_Callback(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to gambar1 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of


GUIDATA) m = str2num(get (handles.numSidesedit,'String')); handles.m=m; guidata(hObject,handles) XC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran YC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran R = 1; %jari-jari n = m; %banyaknya segi yang diinginkan

%bagian untuk buat lingkaran axes(handles.axes2); cla(handles.axes2); teta = 0:360; x = XC + R*cosd(teta); y = YC + R*sind(teta); plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]);

%bagian untuk membuat segi-n di luar lingkaran theta = (0:pi/(n/2):2.*pi); rr = 1/cos(2*pi/(2*m)); r = ones (1,(n+1)); polar(theta,rr*r,'g');



((y_luasluar(index)*x_luasluar(index+1))/2); luas_total_luar = luas_total_luar + luas_garisluar; end; % menampilkan luas pada command window


104



((y_luasluar(index)*x_luasluar(index+1))/2); luas_total_luar = luas_total_luar + luas_garisluar; end; % menampilkan luas pada command window disp(['Luas Segi-',num2str(n),' luar lingkaran = '

num2str(luas_total_luar,'%7.6f')]); set

(handles.edit15,'string',num2str(luas_total_luar,'%7.6f'));


MATLAB m = str2num(get (handles.numSidesedit,'String')); handles.m=m; guidata(hObject,handles) XC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran YC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran R = 1; %jari-jari n = m; %banyaknya segi yang diinginkan

%bagian untuk buat lingkaran axes(handles.axes1); cla(handles.axes1); teta = 0:360; x = XC + R*cosd(teta); y = YC + R*sind(teta); plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]);

%bagian untuk membuat segi-n di dalam lingkaran theta = (0:pi/(n/2):2.*pi); r = ones (1,(n+1)); plot(x,y,'k'); hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); polar(theta,r,'b');



((y_luasdalam(index)*x_luasdalam(index+1))/2); luas_total_dalam = luas_total_dalam + luas_garisdalam;


105



((y_luasdalam(index)*x_luasdalam(index+1))/2); luas_total_dalam = luas_total_dalam + luas_garisdalam; end; % menampilkan luas pada command window disp(['Luas Segi-',num2str(n),' dalam lingkaran = '

num2str(luas_total_dalam,'%7.6f')]); set

(handles.edit16,'string',num2str(luas_total_dalam,'%7.6f'));



GUIDATA) m = str2num(get (handles.numSidesedit,'String')); handles.m=m; guidata(hObject,handles) XC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran YC = 0; %XC/YC itu menunjukkan titik pusat lingkaran R = 1; %jari-jari n = m; %banyaknya segi yang diinginkan

%bagian untuk buat lingkaran axes(handles.axes3); cla(handles.axes3); teta = 0:360; x = XC + R*cosd(teta); y = YC + R*sind(teta); plot(x,y,'k') hold on; xlim([-1 1]) ylim([-1 1]) grid on axis equal axis ([-2 2 -2 2]); %bagian untuk membuat segi-n tidak beraturan random = 0 + (2.*pi-0)*rand(1,n); pengurutan = sort(random); baru = [pengurutan pengurutan(1)]; r = ones (1,(n+1)); polar(baru,r,'r');

%hitung luas segi-n tak beraturan luas_totalacak = 0; for index = 1:n x_takberaturan = R*cos (baru); y_takberaturan = R*sin (baru); luas_acakdalam =

((x_takberaturan(index).*y_takberaturan(index+1))/2)-

((y_takberaturan(index).*x_takberaturan(index+1))/2); luas_totalacak = luas_totalacak + luas_acakdalam; end; % menampilkan luas pada command window disp(['Luas Segi-',num2str(n),' tak beraturan = '

num2str(luas_totalacak,'%7.6f')]);


106

%hitung luas segi-n tak beraturan luas_totalacak = 0; for index = 1:n x_takberaturan = R*cos (baru); y_takberaturan = R*sin (baru); luas_acakdalam =

((x_takberaturan(index).*y_takberaturan(index+1))/2)-

((y_takberaturan(index).*x_takberaturan(index+1))/2); luas_totalacak = luas_totalacak + luas_acakdalam; end; % menampilkan luas pada command window disp(['Luas Segi-',num2str(n),' tak beraturan = '

num2str(luas_totalacak,'%7.6f')]); set (handles.edit17,'string',num2str(luas_totalacak,'%7.6f'));


properties. function axes2_CreateFcn(hObject, eventdata, handles) % hObject handle to axes2 (see GCBO) % eventdata reserved - to be defined in a future version of


CreateFcns called

% Hint: place code in OpeningFcn to populate axes2



GUIDATA)



edit19 as a double


107

C. HASIL EKSEKUSI PROGRAM PADA MATLAB DENGAN

TAMPILAN GUI

Tampilan Ketika Pushbutton dijalankan

Input banyaknya sisi mulai dari 𝑛 = 4, 8, 16, 32, 64, 𝑑𝑎𝑛 1024

Tampilan Poligon Segi-4 Beraturan Setelah Pushbutton Dijalankan.


108




109




110



Documents

APLIKASI TEOREMA GREEN PADA BIDANG DALAM …