Bahan ajar Kalkulus Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika
0NPPage 1 APLIKASI INTEGRAL 1.LUAS DAERAH BIDANG
Misalkanf(x)kontinupadaa x b, dan daerah tersebut dibagi menjadi n
sub interval h1, h2, , hn yang panjangnya 1x, 2x, , nx (anggap 1x =
2x = =nx), ambil sebarang titikx=xipadamasing-masinghi
danbentukpersegipanjangyangalasnyahi(jadi panjangnya ix) dan
tingginya f(xi). Persegi panjang tersebut disebut sebagai persegi
panjang pendekatan dengan luas = f(x.i) ix.Sehingga jumlah luas n
persegi panjang adalah : (xk)nk=1kx Luasan tersebut merupakan
pendekatan dari luas daerah yang dibatasi oleh f(x), sumbu X, dan
garis-garis x = a dan x = b. Jika kx 0, maka banyaknya subinterval
n , sehingga luas daerah tersebut adalah : Iuos = I
=limn-(xk)nk=1kx = _(x)Jxbu Misal : luas daerah yang dibatasi oleh
garis y = x, sumbu X, x = 1 dan x = 3 adalah : Bahan ajar Kalkulus
Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika 0NPPage 2 I =_x Jx31=
12x2|13 = 12{9 - 1] =4 Ada beberapahal yang harus diketahui adalah
: A.Jika f(x) kontinu pada a x b dan f(x) 0 pada interval tersebut
maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x = a, x = b, dan sumbu X
adalah Luax =_(x)dxha B.Jika f(x) kontinu pada a x b dan f(x) 0
pada interval tersebut maka luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x
= a, x = b, dan sumbu X adalah Luax =_-(x)dxha Bahan ajar Kalkulus
Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika 0NPPage S C.Jika f(x)
kontinu pada a x b dan bertukar tanda, maka luas daerah yang
dibatasi olehf(x) 0, x = a, x = b, dan sumbu X sama dengan
penjumlahan luas masing-masing daerah. Misal pada gambar : MakaLuas
= Luas I + Luas II + Luas III Jadi L =_(x)dx+ ca_-(x)dx +
_(x)dxhddc Atau secara umum luas daerah yang dibatasi oleh f(x), x
= a, x = b, dan sumbu X adalah Luax =_|(x)|dxha D.Luas daerah yang
dibatasi oleh grafik x = f(y), garis-garis y = a, y = b, dan sumbu
Y adalah : Luax =_|(y)|dyha E.Kalau fungsi f(x) dan g(x) kontinu
pada a x b, secara umum berlaku bahwa luas daerah yang dibatasi
oleh f(x) dan g(x), garis x = a serta x = b adalah : Bahan ajar
Kalkulus Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika 0NPPage 4
seperti tampak pada gambar berikut : atau bila f(y) dan g(y)
kontinu pada a y b, maka luas daerah yang dibatasi oleh f(y), g(y),
garis y = a, dan y = b, adalah : seperti tampak pada gambar berikut
: = =badx x g x f L Luas ) ( ) ( = =bady y g y f L Luas ) ( )
(Bahan ajar Kalkulus Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika
0NPPage S Catatan Penting :
Untukmenghitungluassuatudaerahbidangdenganintegral,secaraumumbisadilakukan
langkah-langkah sebagai berikut :
1.Buatgambardaerahyangdimaksud,jugapersegipanjangpendekatannyadengantebal
x(bilapersegipanjangtegak/vertikal)atauy(bilapersegipanjangmendatar/
horizontal). 2.Tentukan luas persegi panjang pendekatan, tentukan
batas kiri / kanan (untuk yang tegak)
ataubatasbawah/atas(untukyangmendatar).Kemudiangunakanintegraluntuk
menghitung jumlah luas persegi panjang tersebut yang banyaknya
dibuat menjadi . Contoh pemakaian integral untuk menghitung luas
daerah : 1.Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 4, garis
x = 0, x = 3, dan sumbu X adalah : Jadi luas daerah tersebut adalah
: ( ) ( ) + =20322 24 4 dx x dx x Luas Bahan ajar Kalkulus Integral
2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika 0NPPage 6 323 203431431 + = x x x
x + = 2 . 4 8 .313 . 4 27 .310 2 . 4 8 .31 + = 83812327838 +
=31639316 37316+ =323= Jika dilakukan penghitungan nilai integral
secara langsung, maka akan terjadi kesalahan yaitu( ) =3024 dx x
Luas303431 = x x 0 3 . 4 27 .31 = 3 12 9 = = (salah !!! tidak ada
besar luasan yang bernilai negatif). 2.Hitung luas daerah yang
dibatasi oleh parabola y = x2 4 dan garis y = 3x. Titik potong
parabola f(x) = y = x2 4 dan garis lurus g(x)= y = 3x adalah (4,
12) dan (-1, -3)*
*)y=x24dipotongkandengangarisy=3xmakax24=3xataux2-4-3x=0. Dengan
menggunakan pencarian akar kuadrat dari persamaan kuadrat x2 4 - 3x
= 0, diperoleh (x 4)(x + 1) = 0, berarti x = 4 atau x = -1. Untuk x
= 4, maka y = 12, dan untuk x = -1, maka y = -3. Sehingga diperoleh
pasangan titik potong kedua kurva yaitu (4, 12) dan (-1, -3). Bahan
ajar Kalkulus Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika 0NPPage 7
Grafik dari kurva seperti berikut : Sesuai dengan kondisi (E), maka
dapat dihitung luas daerah sbb : ( ) ( ) =41dx x g x f Luas =4123 4
dx x x =4124 3 dx x xselanjutnya perlu diselidiki tanda-tanda dari
persamaan kuadrat tersebut yaitu : x2 - 3x - 4 = (x 4)(x + 1).+ + +
- - - + + + -14 Jadi pada interval -1 x 4, x2 - 3x 4 0 sehingga
penghitungan luas dilakukan dengan menegasikan nilai integrand-nya
sbb : Bahan ajar Kalkulus Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika
0NPPage 8 ( ) =4124 3 dx x x Luas+ + =4124 3 dx x x 412 342331+ + =
x x x( ) ( ) ( ) + + + + = 1 . 4 1 .231 .314 . 4 4 .234 .312 3 2 3
+ + + = 4233116248364+ =6136112
6125=
Sebagaicatatanbahwajikadilihatdarigambar,makapadainterval-1x4,kurvagaris
terletak di atas kurva parabola yang berarti bahwa g(x) f(x)
bernilai positif atau 3x (x2
4)positif,sehinggaluasdaerahyangdibatasikeduakurvatersebutbisalangsungdihitung
menggunakan : ( ) =41) ( ) ( dx x f x g Luas ( ) { } =4124 3 dx x x
( )+ =4124 3 dx x x ( )+ + =4124 3 dx x x6125= 3.Luas daerah satu
ruas sikloida x = t sin t, y = 1 cos t seperti ditunjukkan pada
gambar berikut adalah : Luas satu ruas dapat diambil misalnya
untukt = 0sampai 2. Karenax = t sin t,makadx = dt cos t dt = (1 cos
t) dt. Bahan ajar Kalkulus Integral 2009Wiiting by
FiuaT.Infoimatika 0NPPage 9 Sehingga== 20 tdx y Luas= = 20) cos 1 (
) cos 1 (tdt t t= = 202) cos 1 (tdt t =+ = 202) cos cos 2 1 (tdt t
t = = =+ = 2020220cos cos 2 1t t tdt t dt t dt
=+ = 202 2020cos | sin 2 |tdt t t t untuk menghitung nilai
integral = 202costdt tgunakan kesamaan fungsi trigonometri cos2t =
1 - sin2t,sehingga= 202costdt t= = 202) sin 1 (tdt t = = = 20220sin
1 (t tdt t dt= =202 20sin |tdt t t . Bahan ajar Kalkulus Integral
2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika 0NPPage 1u = 202sintdt tdihitung
menggunakan kesamaan trigonometrix x212sin 2 ) cos 1 ( = , dengan
demikian sin2t = (1 - cos2t) sehingga= 202sintdt t= = 20) 2 cos 1
(21tdt t = = 20) 2 cos 1 (21tdt t = = = 20202 cos21121t tdt t dt =
=20202 cos21|21tdt t t .Dengan substitusi u = 2t, maka du = 2 dt,
sehingga= 202 costtdt== 2021costdu u == 20cos21tdu u 2020| 2 sin21|
sin21t u = = . Jadi = 202) cos 1 (tdt t 2020202020| 2 sin21.21|21|
| sin 2 | t t t t t + + = 2020202020| 2 sin21.21| sin 2 |21| | t t
t t t + + = 20202020| 2 sin41| sin 2 |21| 2 t t t t + =Bahan ajar
Kalkulus Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika 0NPPage 11
202020| 2 sin41| sin 2 |23t t t + = ) 0 sin414 sin41( ) 0 sin 2 2
sin 2 ( 2 .23 + = 0 0 3 + = 3 = Latihan : 1.Hitung luas daerah yang
dibatasi oleh parabola y = 4x x2 dan sumbu X. Sebagai bantuan,
grafik kurvanya adalah : 2.Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh
parabola y2 = 4x dan garis y = 2x 4 dengan garfik sebagai berikut :
Bahan ajar Kalkulus Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika
0NPPage 12 3.Hitung luas daerah antara y = 6x x2 dan y = x2 2x.
Grafik digambarkan seperti berikut : 4.Tentukan luas daerah yang di
dalam y2 = x2 x4 dengan grafik simetri terhadap sumbu X dan simetri
terhadap sumbu Y dan grafik ditunjukkan seperti berikut : Bahan
ajar Kalkulus Integral 2009Wiiting by FiuaT.Infoimatika 0NPPage 1S
Luas daerah bisa dihitung dengan menghitung 4 kali luas pada
kuadran pertama. Luas daerah di kuadran pertama adalah : =104 21 dx
x x Luas sehingga luas daerah keseluruhan adalah =104 24 dx x x
Luas
