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An alyse d e la Robu s tesse
d es Sys tèm es Asservis
ULP – ENSPS 3a ISAV- MASTER ISTI
Ed ou ard Laroch e
laroch e@ls iit .u - s t rasbg.fr
h t tp :/ / eavr .u -s t rasbg.fr / ~ laroch e/ s tu d en t /
2
Problém at iqu e r
+ Process correcteur -
y u
• Souvent, le correcteur est établi pour un modèle du processus correspondant au fonctionnement nominal
• Robustesse en stabilité: le système bouclé est- il stable malgré des variations de comportement du modèle ?
• Robustesse en performance : les performances sont elles conservées malgré des variations de comportement du modèle ?
3
Les sou rces d ’er reu r d e m od élisat ion
• Param ètres m al con n u s (m al id en t ifiés ou qu i var ien t len tem en t )
• Erreu rs d e m od élisat ion :
- cer tain s p aram ètres su bissen t d es var iat ion s d on t on n églige les d yn am iqu es
- cer tain es d yn am iqu es son t n égligées d an s le m od èle d e syn th èse
4
Bu ts d e cet en seign em en t
• Don n er les bases th éor iqu es (con cep ts et th éorèm es)
• Don n er u n e ‘cu ltu re’ (les ou t ils d isp on ibles p ou r l’an alyse d e la s tabilité, le vocabu laire)
5
Plan de l’exposé
A- In t rod u ct ion
B- Robu s tesse d es sys tèm es à p aram ètres con s tan ts in cer tain s (m od èle LFR)
C- Robu stesse d es sys tèm es à p aram ètres var ian t d an s le tem p s (m od èle LPV affin e)
6
Bibliograp h ie (1)
• Duc G. and Font S., Com m ande H∞ et µanalyse‑ , Hermes, 1999
• Balas G.J., Doyle J.C., Glover K., Packard A. and Smith R., µ- Analysis and Synthesis Toolbox, The MathWorks, 1994
• Boyd S., El Ghaoui L., Feron E. and Balakrishnan V., Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory , SIAM, 1994
• Fan M.K.H., Tits A.L. and Doyle J.C., Robustness in the presence of mixed parametric uncertainty and unmodeled dynamics, IEEE trans. Autom atic Control, vol. 36, no. 1, 1991
• Ferreres G., A Practical Approach to Robustness Analysis with Aeronautical Applications, Kluwer Academic Publishers, 2001.
7
Bibliograp h ie (2)
• Gahinet P., Nemirovski A., Laub A.J. and Chilali M., LMI Control Toolbox, The MathWorks, 1995
• Magni J.F., Linear Fractional Representations with a Toolbox for use with Matlab, rapport technique, ONERA, 2001
• Scherer C. and Weiland S., Lecture Notes on DISC Course on Linear Matrix Inequalities in Control, Université de Delft (Pays- Bas), 1999, h t tp :/ / www.ocp .tu d elft .n l/ s r / p erson al/ Sch erer /
• Young P.M. and Doyle J.C., Computation of µ with real and complex uncertainties, proc. of Conference on Decision and Control, pp . 1230- 1235, 1990
• Zhou K., Doyle J.C. and Glover K., Robust and Optim al Control, Prentice Hall, 1996‑
8
Ou t ils m at lab
µ- Analysis and Synthesis Toolbox : calcul de µ LMI toolbox m atlab : solver LMI + fonct ions
d’analyse et de synthèse pour m odèles LPV LMI toolbox (El Guaoui) : solver LMI
http :/ / robotics.eecs.berkeley.edu/ ~ elghaoui/ lmitool/ lmitool.html
LMI toolbox (SEDUMI) : solver LMI http :/ / fewcal.kub.nl/ sturm/ software/ sedumi.html
LFR toolbox : créat ion et m anipulat ion de représentat ions linéaires fract ionnaires (LFR), http :/ / www.onera.fr/ dcsd
9
Notat ion s et acron ym es
( ) ( )( )TT MM θ=θ
LTI: linéaire à temps invariantLTV: linéaire à temps variantLPV: linéaire à paramètres variantsLFR: linear fractional representationLFT: linear fractional transformationLMI: linear matrix inequalityco : enveloppe convexe
A- Introduction
A1- les d ifféren ts typ es d e m od èles
A2- in égalités m at r icielles affin es (LMI)
A3- con vexité
A4- m éth od es d ’an alyse d e la s tabilité
A5- cr itères d e p erform an ce
A6- les d ifféren ts p roblèm es d e robu s tesse
A7- exem p le t raité
11
A1- Différents ty pes de modèles
• Systèm e LTI
• Systèm e LTV
• Systèm e LPV
• Systèm e qu as i- LPV
• Systèm e n on - lin éaire
12
Sys tèm e lin éaire à t em p s in var ian t (LTI)
+=+=
DuCxy
BuAxxu y
y
x
u
n
n
n
Ry
Rx
Ru
∈
∈
∈ ( )( ) ( )( ) uy
x
nn
n
RsG
DBAsICsG
usGy
×
−
∈
+−=
=1
13
Sys tèm e lin éaire à t em p s var ian t (LTV)
+=+=
utDxtCy
utBxtAx
)()(
)()(u y
14
Sys tèm e lin éaire à p aram èt re var ian t (LPV)
θ+θ=θ+θ=
uDxCy
uBxAx
)()(
)()(u
yθ
On parle de système quasi- LPV si θ = Fx
[ ] [ ]( )( )
[ ] [ ]kkkkkk
kk
kkk
nn
n
ww
w
R
k
+θ−θ=θθ
θ−θ=
θ+θ=θ
θθ××θθ×θθ=Θ
⊂Θ∈θ
θ
ΘΘ
θ
00
0
2211
;;
2
12
1
;;;
15
Sys tèm e n on - lin éaire
θ=θ=
),,(
),,(
uxgy
uxfxu yyux
xux
nnnn
nnnn
RRRRg
RRRRf
→××
→××θ
θ
:
:
Le modèle linéarisé est un modèle LPV :
θ+θ=θ+θ=
uuxDxuxCy
uuxBxuxAx
),,(),,(
),,(),,(
0000
0000
),,(),,(),,(),,(
),,(),,(),,(),,(
00000000
00000000
θ∂∂
=θθ∂∂
=θ
θ∂∂=θθ
∂∂=θ
uxu
guxDux
x
guxB
uxu
fuxBux
x
fuxA
Attention, le choix des variables d’état est fondamental pour la simplicité du modèle
16
A2- Inégalités Matricie lles Affines
• LMI = lin ear m at r ix in equ ality
17
Défin it ion d e la p os it ivité
• Soit M, une m atrice de Rn×n.
• M est d ite défin ie posit ive et on note M > 0, s i et seulem ent si
• Équivalent à : vp(M) > 0
• Rem arque : On t ravaille sur des m atrices sym étriques
0,0 ≠∈∀> xRxMxx nT
18
In égalités m at r icielles affin es (1)
• Soit M0, …, Mp, p+ 1 m atrices de Rn×n.
• Le problèm e consistant à t rouver x1, …, xp tels que
const itue une inégalité matricie lle affine (AMI ou LMI)
0110 <+++ ppMxMxM
19
In égalités m at r icielles affin es (2)
• Le p roblèm e d u typ e t rou ver u n e m at r ice Q sym étr iqu e s t r ictem en t p os it ive telle qu e
où A es t d on n ée, se ram èn en t au p roblèm e p récéd en t en p osan t
d an s le cas d e m at r ices 2×2.
0<+ AAT QQ
=
32
21
xx
xxQ
20
LMI : p rop r iétés
0<−⇔< NMNM
γ<⇔γ< )vp(MIM
Un système de p lusieurs LMI est une LMI:
00
0
0
0>
⇔
>>
N
M
N
M
21
Ed iteu rs LMI
• In ter faces vers les solveu rs :– LMI control toolbox (commercial)
– LMI tools de El Ghaoui (http :/ / robotics.eecs.berkeley.edu/ ~ elghaoui/ )
– SeDuMi de Peaucelle (http :/ / www.laas.fr/ ~ peaucell/ SeDuMiInt .html)
– YALMIP (http :/ / control.ee.ethz .ch/ ~ joloef/ yalmip .php)
22
lm ied it (toolbox LMI con t rol)
23
A3- Conv exité
• en sem ble con vexe
• fon ct ion con vexe
• m u lt icon vexité
24
En sem ble con vexe
• Un en sem ble E es t d it con vexe s i
p ou r tou t cou p le d e p oin ts (x,y ), le segm en t qu i les relie ap p ar t ien t au ss i à l’en sem ble
]1,0[)1( ∈λ∀∈λ−+λ⇒
∈∈
EyxEy
Ex
Ensem ble convexe Ensem ble non convexe
25
En sem ble con vexe p ar t icu lier
• Soit
Cet en sem ble es t ap p elé p arallélép ip èd e rectan gle ou boite ; il es t con vexe
maxmin\ kkk xxxxE ≤≤=
26
En velop p e con vexe• On note co(E) le p lus pet it ensem ble
convexe contenant l’ensem ble E.• co(E) est aussi l’ensem ble des
com bianaisons barycentriques des élém ents de E :
x1
x4
x3 x2
=λ≤λ≤∈λ= ∑ ∑= =
n
k
n
k
kkkkk ExxE1 1
1,10,\co
coE
E=X1,X2,X3,X4
Ap p licat ion 1• Pour que l’inégalité m atricielle f(x) < 0 affine en
x soit vérifiée sur F = coE, il suffit qu’elle soit vérifiée sur E.
Supposons en effet que la LMI soit vérifiée sur E, alors:
Et calculons f(x), pour x∈F:
( ) ( ) ExxxMMxf jj
jj ∈=∀<+= ∑ 00
( )∑ ∑=
=λ≤λ≤∈=λ=k
n
k
kkkjkkk Exxxx1
1,10,\
f x =M0∑j
Mjx j=M0∑k
k∑j
M j∑k
k xkj=∑k
kM0∑j
M jxkj0
0
28
Fon ct ion con vexe
• la fonct ion f est d ite convexe ssi
c’est- à- d ire si le segm ent passe au-dessus de la courbe
( )( ) ( ) ( ) ( )2121 11 xfxfxxf λ−+λ≤λ−+λ
x1 x2
λx1+ (1- λ)x2
f(λx1+ (1- λ)x2)
λf(x1)+ (1- λ)f(x2)
29
En sem ble m u lt icon vexe
• Un ensem ble E est d it m ult iconvexe s’il est convexe dans chacune des d irect ions de l’espace
• Un ensem ble convexe est m ult iconvexe m ais un ensem ble m ult iconvexe n’est pas nécessairem ent convexe
• En d im ension 1, convexité et m ult i-convecité coincident
Ensem ble m ult iconvexe
Ensem ble non m ult iconvexe
30
Fon ct ion m u lt i- con vexe
• Un e fon ct ion es t m u lt i- con vexe s i elle es t con vexe d an s ch acu n e d es d irect ion s d e l’esp ace
• Un e fon ct ion con vexe es t n écessairem en t m u lt icon vexe
• Il exis te d es fon ct ion s m u lt icon vexes n on con vexes
31
Ap p licat ion d e la m u lt i-con vexité
• Soit f u n e fon ct ion m u lt i- con vexe et E u n e boite en gen d rée p ar l’en sem ble Es d e ses som m ets (E = co(Es))
• f(x) < 0 su r E s i f(x) < 0 su r Es
• Au trem en t d it , il su ffit d e vér ifier la con d it ion su r les som m ets d e E.
0xm in xm ax
32
A4- Analy se de s tabilité
• p ôles d ’u n sys tèm e lin éaire
• th éorèm e d u p et it gain
• th éor ie d e Lyap u n ov
33
Pôles d ’u n sys tèm e lin éaire
• Un sys tèm e au ton om e lin éaire es t s table s i les valeu rs p rop res d e la m at r ice A , ap p elées p ôles d u sys tèm e, son t à p ar t ie réelle n égat ive.
• Pou r la s tabilité d ’u n sys tèm e n on lin éaire au tou r d ’u n p oin t d ’équ ilibre x0 \ f(x0) = 0 , on con s id ère
Axx =
( )xfx =
( )0xdx
dfA =
34
Th éorèm e d u p et it gain
P(s)
∆(s)
v z
• Le système interconnecté est stable ssi | | ∆(s)P(s)| | ∞ < 1
où
et est la p lus grande des valeurs singulières
))((max)( ωσ=∈ω∞ jMsM
R
σ
35
Stab ilit é au sen s d e Lyap u n ov (p ass ivité)
• Soit Σ, un systèm e dynam ique autonom e
• x0 est un point d ’équilibre s table s’il existe une fonct ion scalaire V(x) d ite fonct ion de stockage (storage) vérifiant :
la condit ion de m inim um :
la condit ion de décroissance :
( ) ( ) 00 xxxVxV ≠∀>
( ) 00 xxxV ≠∀<
)(xfx =
36
Stab ilit é qu ad rat iqu e
• On d it d ’u n sys tèm e qu ’il es t qu ad rat iqu em en t s table s ’il exis te u n e fon ct ion d e Lyap u n ov qu ad rat iqu e V(x) = xTQx, où Q = QT > 0 telle qu e
( ) ( ) ( )xfQxxQxfxQxQxxxV TTTTT ⋅⋅+⋅⋅=+=
)(xfx =• Pou r le sys tèm e
( ) 00 xxxV ≠∀<
37
Stab ilit é qu ad rat iqu e : sys tèm e LTI
• Le sys tèm e LTI es t s table ss i
∃ Q = QT > 0 vér ifian t la LMI :Axx =
0<+ AAT QQ
38
A5- Analy se des performances
• Norm e H∞
• Diss ip at ivité
39
Norm e H∞
• On d éfin it la p erform an ce d ’u n sys tèm e p ar la n orm e H∞ d ’u n t ran sfer t m u lt i- var iable
• Le n iveau d e p erform an ce réalisé es t γ
P(s)w z ( ) γ≤∞sM
40
Diss ip at ivité
• Soit Σ, un systèm e dynam ique et S(u ,y) une fonct ion scalaire (d ite d ’alim entat ion ou supply)
• Σ est d it S- d issipat if (st ricte) s’il existe une fonct ion de stockage V(x) telle que
( ) ( )yuSxV ,<
41
Fon ct ion d ’alim en tat ion qu ad rat iqu e
• Q1,Q2,Q3- d iss ip at ivité
( )
=
u
y
u
yyuS T
T
23
31,
42
Diss ip . : sys tèm e LTI (1)
•
• Q1,Q2,Q3- d iss ip at ivité
•
( )
=
=
u
x
I
DC
I
DC
u
x
u
y
u
yyuS T
TT
T
T
00,
23
31
23
31
( )
+
=+=
u
x
QB
QBQAQA
u
xxQxQxxxV
T
TT
TT
0
+=+=
ΣDuCxy
BuAxx:
43
Diss ip . : sys tèm e LTI (2)
• Σ es t Q1,Q2,Q3- d iss ip at if s ’il exis te Q = QT > 0 tel qu e
• Dém o : il su ffit d ’écr ire
0* 2331
311 <
−−−−
−−−+QDQQDDQD
QCDQCBCQCAATTT
TTTT QQQ
( ) ( )yuSxV ,<
44
Lem m e d e Yaku bovitch -Kalm an
• Les proposit ions suivantes sont équivalentes: Σ est Q1,Q2,Q3- d issipat if
– ∀ω ∈ RR\ det(jω I- A)≠0,
• Dém o: en fréquent iel, u (t)= e jω t, y(t)= G(jω )e jω t et
→ Extension des critères de perform ance H∞ aux systèm es non linéaires et LPV
( ) ( )0
23
31 ≥
ω
ω
I
jG
I
jGT
T
( ) 0=xV
45
Sys tèm e LTI : n orm e H∞
• Soit
• Les proposit ions suivantes sont équivalentes:
Σ est S- d issipat if
– | | Σ| | ∞ < γ
• Dém o: Q1= - I, Q2 = γ 2I et Q3 = 0;
YK : G*(jω )G(jω ) < γ 2I
⇔ vp( G*(jω )G(jω ) ) = σ2( G(jω ) ) < γ 2
• On parlera alors de γ - dis s ipativ ité
( )
γ−
=−γ=
u
y
I
I
u
yyyuuuyS
T
TT2
2
0
0,
46
Sys tèm e LTI : n orm e H∞ (2)
Pou r u n sys tèm e LTI H(s), la γ - d iss ip at ivité es t équ ivalen te à | | H(s)| | ∞ < γ
47
Lem m e born é réel (bound ed real lem m a BRL)
• | | Σ| | ∞ < γ s s i ∃ Q = QT > 0 vér ifian t la LMI
02
<
γ−+
+++IDDCDB
DCBCCAATTT
TTT
Q
QQQ
48
BRL et com p lém en t d e Sch u r
• Com p lém en t d e Sch u r
• Ap p licat ion au BRL
<−
<⇔<
− 0
00
1 TT UUVT
V
VU
UT
[ATQQACTC QBCTDBTQDTC DTD−2I ]=[ATQQA QB
BTQ −2I]T
−[CT
DT ]U
−IV
−1 [C D]
49
BRL : form e éten d u e
• | | Σ| | ∞ < γ ss i existe Q = Q T > 0 vérifiant la LMI
02 <
−γ−
+
IDC
DIB
CBAATT
TT
Q
QQQ
50
A6- Notions de robus tes se
• p roblèm e s tan d ard
• p aram ètres con s tan ts / var ian ts
• robu s tesse en s tabilité / p erform an ce
51
Problèm e s tan d ard (1)
θ+θ=θ+θ+θ=
θ+θ+θ=θ
wDxCe
uDwDxCz
uBwBxAx
sP
)()(
)()()(
)()()(
:),(
212
12111
21
( )
+=+=
eDxCu
eBxAxsK
KKK
KKKK:
P(s, θ)
K(s)eu
w z
θProcessus LPVCorrecteur LTI
θ∈ ΘΣ∈θ
52
Problèm e s tan d ard (2)
=
KM x
xx
M(s, θ)w z
θ
++
++=
211211122121
212
2121222
DDDDCDCDDC
DBACB
DDBBCBCDBA
DC
BA
KkK
KKK
KKK
MM
MM
Ms, :xM = AM xMBMwz = CMxMDMw
53
Param èt res con s tan ts in cer tain s
• Dan s ce cas , les m éth od es d ’an alyse d es sys tèm es lin éaires son t p er t in en tes
→ On p eu t s ’in téresser au x p ôles d u sys tèm e et à la n orm e H∞ d es t ran sfer t s
→ Par t ie B d u cou rs
54
Param èt res var ian t s
• Dans ce cas, le vecteur des param ètres apparaît com m e une entrée supplém entaire qui est m élangée aux autres signaux
→ le systèm e est non- linéaire et la s tabilité ne peut êt re étud iée avec les out ils des systèm es linéaires
→ part ie C du coursRq.: Le cas des param ètres constants est un cas
part iculier de celui où les param ètres varient
55
Stab ilit é / p er form an ce
• Si le systèm e est s table pour l’ensem ble des variat ions des param ètres, on d it qu’il est robus te en s tabilité ou robus tement s table
• Si le systèm e respecte les critères de perform ance pour l’ensem ble des variat ions des param ètres, on d it qu’il est robus te en performance
• La robustesse en perform ance inclut la robustesse en s tabilité
56
Marge d e robu s tesse
• On d éfin it la m arge d e robu s tesse com m e la d ilatat ion qu e l’on p eu t im p oser su r le d om ain e d e var iat ion d es p aram ètres tou t en con servan t la robu s tesse
• Le sys tèm e es t robu s te s i la m arge d e robu s tesse es t su p ér ieu re ou égale à 1
57
Pess im ism e ou op t im ism e
• Si l’évalu at ion d e la robu s tesse es t op t im is te (ex.: on n e t ien t p as com p te d e tou s les cas), alors on obt ien t u n e born e su p ér ieu re d e la m arge d e robu s tesse
• Si l’évalu at ion d e la robu s tesse es t p ess im is te (sou ven t d û à la m éth od e), alors on obt ien t u n e born e in fér ieu re d e la m arge d e robu stesse
58
A7- Exemple traité
• Descr ip t ion
• Résu ltat d e l’asservissem en t su r le m od èle n om in al
• Mod èle
• Problèm e d e robu s tesse
59
Exem p le t ra it é (1)
• sys tèm e flexib le en rotat ion
• asservissem en t d e la vitesse d e la ch arge
u
act ion n eu r
t ransm iss ion soup le
ch arge
régu lateu r
Ω2
Ω2*
u : coup le (N.m)y = Ω2 : vitesse de la charge (rad / s)
60
Exem p le t ra it é (2) : sch ém a d e s im u lat ion
r
To Workspace5
y
To Workspace4
t
To Workspace2
U
To Workspace1
Step1
u y
Processus
NumK(s)
DenK(s)
Correcteur
Clock
61
Exem p le t rait é (3) : rép on se tem p orelle
0 0.5 1 1.50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
temps (s)
r, y
réponse à un échelon
62
Exem p le t ra it é (4) : équ at ion s p h ys iqu es
Ω1 , θ1 : vitesse et posit ion de l’actionneur (rad / s)Ω2 , θ2 : vitesse et posit ion de la charge (rad / s)K : constante de raideur de l’accouplement (N.m/ rad)f , f1, f2 : coefficients de frot tement de l’accouplement, de l’act ionneur et de la charge (N.m.s)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Ω−Ω+θ−θ+Ω−=Ω
Ω=θ
Ω−Ω−θ−θ−Ω−=Ω
Ω=θ
21212222
22
21211111
11
fKfJdt
ddt
d
fKfCJdt
ddt
d
63
Exem p le t rait é (5) : m od èle d ’état
• Le m od èle s ’écr it au ss i
x1=1J1x2
x2=−Kx1−f 1fJ1
x2Kx3fJ2x4u
x3=1J2
x4
x4=Kx1fJ1x2−Kx3−
ff 2J2
x4
y =1J2x4
64
Exem p le t ra it é (6) : p rob lèm e d e robu s tesse
• On con s id èrera qu e les p aram ètres K et J2 son t in cer tain s d an s u n in tervalle
];[
];[
222 JJJ
KKK
−∈
−∈
65
B- Système à Paramètres Constants Incertains
B1- Balayage d e l’esp ace p aram étr iqu e
B2- Rep résen tat ion lin éaire fract ion n aire (LFR)
B3- Valeu r s in gu lière s t ru ctu rée (µ-an alyse)
66
B1- Balay age de l’espace paramétrique
• Le sy s tème es t robus te en s tabilité s i chacun des sy s tèmes M(θ), θ∈ Θ es t s table (ap p roch e m u lt i- m od èle)
67
Stab ilit é d ’u n sys tèm e lin éaire: valeu rs p rop res
• Méthode: calculer les valeurs p ropres pour d ifférentes valeurs de param ètres
• Soit un sous ensem ble fin i de Θ.
• Le systèm e est s table si les pôles de A M sont à part ie réelle s t rictem ent négat ive pour .
• Il s’agit d ’une condit ion nécessaire et non suffisante car on n’explore qu’une part ie de Θ.
Θ~
Θ∈θ ~
68
Résu ltat s su r l’exem p le (1)
Partie réelle toujours négative → Système robustement stable
69
Marge d e robu s tesse (1)
• But : chercher le p lus grand ensem ble des param ètres tel que le systèm e reste stable
• Soit rΘ défin i ainsi:
• Soit φ (r) : R+ → R
[ ]kk
rwrw kkk θθ +θ−θ∈θ 00 ;
( ) ( )( )θλ=φ=
Θ∈θMk
nkr
Ar
MA
realmax
,,1
~
70
Marge d e robu s tesse (2)
• φ (0) < 0 est une condit ion nécessaire de stabilité nom inale
• φ (1) < 0 est une condit ion nécessaire de stabilité robuste
• On défin it r*, la m arge de robustesse (en stabilité) com m e la p lus pet ite valeur de r am enant le systèm e en lim ite de s tabilité:
• Le dom aine de stabilité est alors (contenu dans) r*Θ.
0)(argmin* =φ=+∈
rrRr
71
Résu ltat s su r l’exem p le (2)
→ Marge de robustesse r* = 1,875 > 1 ⇒ système robustement stable pour θk∈[θk0- r*w k; θk0+ r*w k], θ ∈K, J2
72
Résu ltat s su r l’exem p le (3)
• pire cas obtenu pour δ1= - 1.875 et δ
2= - 0,21
lieu des pôles limitepour r* = 1,875
73
Robu s tesse en p er form an ce (1)
• Les perform ances sont spécifiées par une m ajorat ion sur la norm e H∞ du t ransfert T z w(s) entre les signaux exogènes:
• Par exem ple, on p lace une pondérat ion W1(s) sur l’erreur de régulat ion et on souhaite
où T er(s) est la sensibilité (t ransfert entre la référence et l’erreur)
( ) γ≤∞sTzw
( ) ( ) 11 ≤∞sTsW er
74
Robu s tesse en p er form an ce (2)
• Soit
• Le systèm e est robuste en perform ance si γ *≤1 (condit ion nécessaire).
• La m arge de robustesse (en perform ance) est r*= 1/ γ * (m ajorant de la m arge de robustesse).
( ) ∞Θ∈θθ=γ ,max~
* sTzw
75
Lim ites d e cet te m éth od e
• Tem ps de calcul exponent iel en fonct ion du nom bre de param ètres et de la finesse de l’échant illonnage.
• Évaluat ion op t im iste de la robustesse
76
B2- Représentation linéaire fractionnaire (LFR)
• LFR et m odèle LPV• Écriture des équat ions où les param ètres sont
écrits avec le m oins de redondance possible• Écriture du schém a bloc faisant apparaît re les
param ètres• Bouclage avec le correcteur• Norm alisat ion
77
LFR et m od èle LPV
• Une LFR est un m odèle LPV part iculier où les param ètres sont regroupés dans une m atrice de gains ∆(δ) qui est bouclé avec un systèm e LTI : H(s)
H(s) yu
v z∆(δ)
M(s)
78
LFR et m od èle LPV (2)
• Soit
• La LFR est d ite ‘bien posée’ si I- D11∆ est inversible et alors
( )
++=++=
++=
uDvDxCy
uDvDxCz
uBvBAxx
sH
22212
12111
21
:
( )
+=
+=
uDxCy
uBxAxsM ~~
~~:
A=AB1I−D11−1C1
B=B2B1I−D11−1D12
C=C2D21I−D11−1C1
D=D22D21I−D11−1D12
79
LFR et m od èle LPV (3)
• Tout m odèle LPV dont les m atrices d ’état sont des fonct ions rat ionnelles des param ètres et où les param ètres ne sont pas des pôles peut se m ettre sous form e de LFR
• Si D11 = 0, il s’agit d ’un m odèle LPV affine (les m atrices d ’état sont des fonct ions affines de param ètres)
• Souvent , la m atrice ∆ est d iagonale et chacun des param ètres est répété un certain nom bre de fois
• Il existe des m éthodes d’analyse des systèm es LFR
80
Écr itu re d u sch ém a- b loc
• Mettre le m odèle sous form e de schém a-bloc faisant in tervenir un nom bre m inim al de param ètres
1
y
s
1
Integrator3
s
1
Integrator2
s
1
Integrator1
s
1
Integrator
K
Gain6
f
Gain5
1/ J2
Gain4
1/ J1
Gain3
f2
Gain2
f1
Gain1
1
u
81
Mise en p lace d es in cer t itu d es
• K et J2 sont considérés com m e incertains
• Chaque param ètre incertain est norm alisé:
δ+=
δ+=
22202
110
11w
JJ
wKK
z1 v1
1
Out1
w1
Gain7
d1
Gain5
K0
Gain4
1
In1
z2 v2
1
Out1
w2
Gain7
d2
Gain5
1/ J20
Gain4
1
In1
]1;1[−∈δkoù
( )( )
−=
+=⇒−∈
KKw
KKKKKK
2
12
1
];[
1
0
82
Mod èle LFR (1)
• On obt ien t le m od èle su ivan t
H(s) yu
v z∆(δ1,δ2)
avec ( )
δ
δ=δδ∆
2
121 0
0,
83
Mod èle LFR (2)
• et le sch ém a- bloc d e H(s) su ivan t :
3
y
2
z2
1
z1s
1
Integrator3
s
1
Integrator2
s
1
Integrator1
s
1
Integrator
w2
Gain8
w2
Gain7
1/ J20
Gain6
f
Gain5
1/ J20
Gain4
1/ J1
Gain3
f2
Gain2
f1
Gain1
3
u
2
v2
1
v1
H(s) yuv z
84
Mod èle LFR (3)
• Le m od èle d e H(s) s ’écr it
( )
2420
422
31111
221420
2302
1104
2420
3
210420
3021
1102
21
1
1
1
1
vXJ
y
Xwz
XwXwz
vffvXJ
ffXKX
J
fXKX
vXJ
X
ufvvKXJ
fXKX
J
ffXKX
XJ
X
+=
=−=
+−++
−−+=
+=
+−−+++
−−=
=
85
In tégrat ion d u correcteu r
H(s) -K(s) y u
v z ∆(p)
M(s)
v z ∆(p)
on parle de produit de Redheffer ou de star-product et on note M = H∗(- K)
B3- Valeur s ingulière s tructurée (µ - analy se)
• défin it ions
• calcul d irect
• calcul par gridd ing (échantillonnage fréquentiel)
87
Mod èle M- ∆ (1)
• Soit le m odèle suivant :
1
,,
:,,,,,,,,[ 111 11
≤∆
∈∆∈ε∈δ
∆∆εεδδ=
∈∆
∞
×∆
∆
ii
ts
mmiii
Fctcrsr
CCR
IIIIdiagE
E
M(s)
∆vz
88
Mod èle M- ∆ (2)
+=+=
DzCxv
BzAxxsM :)(
M(s)
∆vz
( )( )xCDIBAxsM 1:)( −∆+∆+=∆−
vz ∆=∆ :
La représentation linéaire fract ionnaire (LFR) est bien condit ionnée si I+ D∆ est non singulier et l’équation dynamique du système bouclé est :
89
Utilisat ion d u th éorèm e d u p et it gain
• Théorèm e du pet it gain: Stabilité si | | ∆M(s)| | ∞ ≤ 1
• | | ∆(s)| | ∞ ≤ 1⇒ s tabilité si | | M(s)| | ∞ ≤ 1
• Condit ion suffisante m ais non nécessaire qui ne t ient pas com pte de la s tructure de ∆.
90
Valeu r s in gu lière s t ru ctu rée: d éfin it ion
( ) ( ) ( )( )( ) .0detif0
,0det:inf1
∆
−
∈∆
∈∆∀=∆−=
=∆−∆σ=µ
∆
EPI
PIME
• 1/ µ est la taille de la p lus pet ite incert itude capable de déstabiliser le systèm e
• 1/ µ est la m arge de robustesse
• µ(P) < 1 ⇒ s tabilité robus te
91
Calcu l d irect
• Pour ∆ donné, le systèm e est s table si les pôles de A+ B∆(I+ D∆)- 1C sont tous à part ie réelle st rictem ent négat ive.
• On travaille alors sur , un sous-ensem ble fin i de E∆.
• Si ∆ ne com porte que des scalaires réels , il s’agit d ’un cas part iculier de la m éthode présentée au § B.
∆E~
92
Résu ltat s su r l’exem p le
• cf. résultats de l’analyse m ult i- m odèle• µ = 1/ r* = 0,53 < 1 ⇒ système robustement
stable
93
Calcu l d e µ : Gr in d in g fréqu en t iel
Pour une pulsat ion ω k, soit Mk := M(jω k) = D+ C(jω k In–A )- 1B.
Il s’agit alors d ’évaluer la valeur s ingulière st ructurée d’une m atrice Mk de gains com plexes.
On obt ient alors d ifférentes valeurs µk
pour les d ifférentes pulsat ions . On parle de « µ- p lot ».
µ est le m axim um des µk.
94
Soit EQ le sous- ensemble de E∆ suivant:
Il a été montré par Young et Doyle (1990) que:
où ρR est la p lus grande valeur absolue des valeurs p ropres réelles:
ρR = 0 si M n’a pas de valeur p ropre réelle
Remarque: cette borne inférieure peut être at teinte
Inconvénient: d ifficultés de convergence pour les incert itudes réelles pures
Calcu l d e µ : born e in fér ieu re
)()(max kkREQ
MQMQ
µ≤ρ∈
IEQE iiiiiQ =∆∆=εε−∈δ∈= ∆** ,1],1;1[:
( )MM riR λ=ρ max)(
95
principe:
idée: considérer l’ensemble ED des matrices inversibles qui commutent avec les matrices ∆.
Calcul de µ : borne supérieure (1)
**11 ,0,:],,,,,[
1
+×+ ∈>=∈= RdDDCDIdIdDDdiagE iii
rrimFmtsD
ii
F
M(s)
∆
D- 1 D
)()( kk MM σ≤µ
M(s)
∆
D- 1
D
96
Majorant :
Remarque : le majorant peut- être at teint
Sous forme de LMI (Fan et al., 1991):
Calcul de µ : borne supérieure (2)
)(inf)( 1−
∈σ≤µ DDMM k
EDk
D
0)(:mininf)( 2** ≤β−−+β≤µ+∈β
∈∈
DGMGMjDMMM kkkkR
EGED
k
GD
ii
ft
rriimmccsG CGGGGdiagE ×∈== *
1 :0,,0,0,,0,,,[11
97
Majorant :
Remarque : le majorant peut- être at teint
Inconvénient 1 : p résence de p ics étroits qui risquent d’être minorés (surtout pour les systèmes flexibles)
Inconvénient 2 : La matrice ∆ n’est pas calculée, on ne connaît donc pas le p ire cas.
Calcul de µ : borne supérieure (3)
)(inf)( 1−
∈∆ σ≤µ DDMM kED
kD
98
Utilisat ion sou s Mat lab
• Les born es ‘in f’ et ‘su p ’ son t d isp on ibles avec les fon ct ion s m u d e la ‘toolbox’ « µ- an alys is an d syn th es is » et m uss d e la Robu s t con trol toolbox v. 3
99
Résu ltat su r l’exem p le
µ ≤ 0,88 < 1 ⇒ système robustement stable
• la borne inférieure ne converge pas systématiquement (incert itudes toutes réelles)
• pic très étroit (même cause)
100
Robustesse en performance (1)
• Pour le critère de perform ance
on obt ient le schém a suivant où− ∆s(θ) cont ient les param ètres (scalaires réels),− ∆p est une m atrice com plexe p leine.
+K(s)
‑y
uH(s)
v 1z 1∆s(θ)
∆p
v 2 = r
z 2 W1(s)e
( ) ( ) 11 ≤∞sTsW er
101
Robustesse en performance (2)
• On con st ru it alors le sys tèm e P(s) avec
• La s tabilité robu s te es t assu rée s i µ(P)≤1
P(s)
v z ∆
∆
∆=∆
p
s
0
0
102
Résu ltat s su r l’exem p le : m od èle
3z3
2
z2
1
z1
NumW1(s)
DenW1(s)W1
v1
v2
u
z1
z2
y
Processus
NumK(s)
DenK(s)
Correcteur
3
vp
2
v2
1
v1
δδ
δ=∆
p00
00
00
2
1 δ1∈R; δ2∈R; δp∈C;
( )s
ssW
125,025,01
+=
103
Résu ltat s su r l’exem p le (2)
µ < 1 ⇒ systèm e robuste en perform ance la borne inférieure converge bien (une
incert itude com plexe)
104
Rem arqu es su r la µ-an alyse
• Ne pas oublier de vérifier la stabilité du systèm e central (pour ∆= 0)
• L’analyse considère des param ètres constants incertains → analyse op t im iste dans le cas de param ètres variants
• S’adresse à des m odèles sous form e de LFR
105
Su p p ress ion d e l’éch an t illon n age fréqu en t iel
• On peut considérer 1/ ω (dans s = jω ) com m e un param ètre incertain
• Pour éviter les p roblèm es en ω = 0, on peut u t iliser le changem ent de variable
+=+=
DzCxv
BzAxxsM :)(
M(s)
∆vz
vz
DC
BA
∆nI
s
1dt
dxx
δ−δ+=
ω 1
11
106
C- Systèmes à paramètres variants
C1- Stabilité qu ad rat iqu e
C2- Stabilité qu ad rat iqu e d ép en d an t d es p aram ètres
C3- Pass ivité
107
C1- Stabilité quadratique : sys tèm e LPV
• Le systèm e LPV est quadrat iquem ent stable ssi ∃ Q = QT > 0 tel que
• Il s’agit d ’une LMI (sem i- ) infin ie. On peut chercher à l’évaluer sur un sous- ensem ble fin i de Θ.
( ) xAx θ=
Θ~
( ) ( ) Θ∈θ∀<θ+θ 0AAT QQ
108
Stab ilit é qu ad rat iqu e :sys tèm e LPV affin e
• Systèm es LPV affine :
• Soit Θs l’ensem ble des som m ets de Θ :
∀ Θ est l’ensem ble convexe engendré par Θs.
( )ΘΘ
θ++θ+=θ nn AAAA 110
Θskθ
skθ
109
Stab . qu ad . – LPV affin e (2)
• Notons où
• Toute m atrice A (θ) peut s’écrire com m e une com binaison linéaire des som m ets:
( ) ( )( )
=α
α=θ∈α∃Θ∈θ∀
∑
∑
=
=+=
1
\,
1
11 s
s
s
s n
k
k
n
k
skk
n
nkk
AA
R
( )sk
sk AA θ= ss
k Θ∈θ
110
Stab . qu ad . – LPV affin e (3)
• Prop r iété : p ou r u n sys tèm e LPV affin e, il su ffit d e vér ifier la con d it ion p ou r θ∈ Θs.
• En effet :
xT ATQQA x=xT∑k=1
ns
kAks TQQ∑
k=1
ns
kAks Tx
=∑k=1
ns
k xT Ak
s TQQAks
0
x 0
111
Stab . qu ad . : rem arqu es
• On obt ien t u n e con d it ion su ffisan te (n on n écessaire) d e s tabilité.
• La s tabilité es t évalu ée p ou r d es var iat ion s arb it raires d es p aram ètres (san s lim itat ion su r les vitesses d e var iat ion ).
• La d ép en d an ce affin e d e la m atr ice d ’état lim ite for tem en t le ch am p d ’ap p licat ion .
112
Stab . qu ad . : Am éliorat ion
• Matr ice d e Lyap u n ov Q(θ) d ép en d an te d es p aram ètres
→ p r ise en com p te d es vitesses d e var iat ion d es p aram ètres
→ la con d it ion res te su ffisan te m ais n on n écéssaire
113
Stab ilit é qu ad rat iqu e avec tau x d e d écrois san ce
• En p lus d’une fonct ion d’énergie décroissante, on peut chercher à im poser un taux de décroissance : on cherche Q> 0 telle que
• C’est équivalent à
• Pour θ donné, cet te relat ion est une LMI en Q et α.
• On peut chercher Q et α tout en m axim isant α.
xxxV Tα−<)(
( ) ( ) 0<α+θ+θ IQAQAT
114
C2- Stabilité quadratique dépendant des paramètres (1)
• L’idée est de chercher un fonct ion de Lyapunov dépendant des param ètres: V(x)= xTQ(θ)x, pour d im inuer le conservat ism e.
• La condit ion de décroissance s’écrit m aintenant :
• Pour un m odèle A (θ) affine, on cherchera égalem ent Q(θ) affine:
( )ΘΘ
θ++θ+=θ nn QQQQ 110
Vx=xTQxxTQxxT Qx=xT ATQQAQ x 0
115
SQDP(2)• Il s’agit donc de vérifier les inégalités
où
avec Σ l’ensem ble des vitesses adm issibles:
On considère Σs l’ensem ble des som m ets de Σ:
( ) ( ) 011 QQQQQ nn −θ=θ++θ=θΘΘ
( ) θθ
⊂Σ∈θ=θ =n
nkk R1
[ ] kkknkks θθ∈σσ=σ=Σ
Θ= ,:1
Q 0ATQQ AQ 0
116
SQDP(3)
• A cause du produit A (θ)Q(θ), la LMI
n 'est p lus affine en θ. Il ne suffit donc p lus de vérifier l'équation aux som m ets du dom aine pour qu 'elle soit valable partout .
→ u t ilisat ion de la m ult iconvexité pour obtenir une condit ion suffisante
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00 <−θ+θθ+θθ QQAQQAT
117
SQDP (4)
• Lem m e
Soit f : Θ⊂ Rp → Rn×n, Θ= coΘs
et
alors ( )
( )( ) Θ∈∀<⇒
Θ∈∀≥∂∂
Θ∈∀<xxf
xxx
f
xxf s
00
0
2
2
[ ] kkknkks θθ∈θθ=θ=Θ
Θ= ,:1
118
SQDP (5)
• Applicat ion: le systèm e LPV affine est robuste en stabilité s’il existe des m atrices Qk sym étriques vérifiant :
• Il s’agit de résoudre LMIs dont les inconnues sont les Qk.
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
=∀≥+
Σ×Θ∈θθ∀<−θ+θθ+θθ
Θ∈θ∀>θ
θnkAQQA
QQAQQA
Q
kkkT
k
ssT
s
,,10
,0
0
0
θ++ θθ nnn 42
119
fon ct ion s d e la LMI toolbox
• Fonct ions s’adressant à des systèm es LPV polytop iques ou affines:
• quadstab : s tabilité quadrat ique• decay : taux de décroissance de la fonct ion de
coût quadrat ique • quadperf : calcule la norm e H∞ m axim ale
• pdlstab : s tabilité quadrat ique dépendant des param ètres
120
C3- Dis s ipativ ité d’un sy s tème LPV
• Soit Σ un systèm e LPV :
∀ Σ est S- d issipat if s’il existe Q = QT > 0 vérifiant , pour tout θ∈ Θ la LMI sem i- infin ie :
• Cette LMI peut êt re évaluée sur un sous-ensem ble fini
• LMI non affine en A , B, C et D
θ+θ=θ+θ=
uDxCy
uBxAx
)()(
)()(
Θ⊂Θ~
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
2<
γ−θ⋅θθ⋅θ+⋅θθ⋅θ+θ⋅θ⋅θ+θ⋅+⋅θ
IDDCDB
DCBCCAATTT
TTT
Q
QQQ
121
Diss ip at ivité d ’u n sys tèm e LPV
• Soit Σ un systèm e LPV :
∀ Σ est S- d issipat if s’il existe Q = QT > 0 vérifiant , pour tout θ∈ Θ la LMI sem i- infin ie :
• Cette LMI peut êt re évaluée sur un sous-ensem ble fini
θ+θ=θ+θ=
uDxCy
uBxAx
)()(
)()(
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )02 <
−θθθγ−⋅θθθ⋅θ⋅+⋅θ
IDC
DIB
CBAATT
TT
Q
QQQ
Θ⊂Θ~
122
Diss ip . : sys tèm e LPV affin e
• Systèm e LPV affine :
• LMI affine en θ → il suffit de la vérifier aux som m ets Θs de Θ.
( )( )( )( )
θ++θ+=θ
θ++θ+=θ
θ++θ+=θ
θ++θ+=θ
ΘΘ
ΘΘ
ΘΘ
ΘΘ
nn
nn
nn
nn
DDDD
CCCC
BBBB
AAAA
110
110
110
110
123
Diss ip at ivité : in terp rétat ion
• Si le sys tèm e LPV Σ es t S- d iss ip at if alors :– il est s table pour toute t rajectoire de θ
dans Θ (x tend vers z éro pour u = 0)
– | | Σ| | ∞ < γ pour tout θ figé dans Θ.
124
Diss ip . d e sys tèm e LPV : rem arqu e
• La robustesse est évaluée sans restrict ion sur les vitesses de variat ion des param ètres
→ In troduct ion d’une m atrice de Lyapunov Q(θ) dépendant des param ètres
125
Récapitulatif des différentes méthodes d’analyse de la stabilité
born e in fborn e in fborn es in f. et su p .
Marge d e robu s tesse
born éein fin ien u lleDyn am iqu e
d es p aram ètres
LPV affin eLPV affin eLPV affin e + LFRMod èle
d ép en d an t d es
p aram ètres
m atr ice con s tan te
Stabilité qu ad rat iqu e
µ- an alyse
126
Récapitulatif des différentes méthodes d’analyse des performances
born e in fborn e in fborn es in f. et su p .
Marge d e robu s tesse
born éein fin ien u lleDyn am iqu e
d es p aram ètres
LPV affin eLPV affin eLPV affin e + LFRMod èle
d ép en d an t d es
p aram ètres
m atr ice con s tan te
Diss ip at ivité qu ad rat iqu e
µ- an alyse
