Correction des systèmes asservis

D. Bareille

2007

Correction

pX pY+ - H(p)

K(p)

BF

pp

p p

HT1 H K

p p pT H KFonction de transfert en boucle ouverte :

Fonction de transfert en boucle fermée :

Correction

• Précision :

• Stabilité :

comportement en basses fréquences

comportement à des fréquences

voisines de T. (marge de phase M

Fonction de transfert

Précision statique relative

Marge de phase

Correction

35T p1 1 p 100 1 p 2500

1000T p2 1 p 100 1 p 2500

0 0

1X 1 T

2,8 % 0,1 %

M

M

Peu précis Peu stable

Rapidité

Peu précis Peu stable

Correction pX pY

+ - H(p)

K(p)

C(p)

Il faut modifier la fonction de transfert du système :

p1T p2T

introduire un correcteur

augmenter le gain en basse fréquence

ne pas agir en basse fréquence

ne pas agir autour de T augmenter la phase autour de T

Problème de précision

Correcteur Proportionnel Intégral

augmenter le gain en basse fréquence ne pas agir autour de T

i

1C p K 1

i i p

1 p iC p Ki i p i

avec 1i i

Diagramme de Bode d’un PI K=0,966 w3=100rds-1

Pulsation (rd/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

); G

ain

(d

B)

Diagramme de Bode

-10

0

10

20

30

40

10-4

10-3

10-2

10-1

-100

-80

-60

-40

-20

0

To: Y

(1)

Correcteur PI Bode k=0,966 w3=100

Pulsation (rad/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

); G

ain

(d

B)

Diagrammes de Bode

-40

-20

0

20

40

60

80

100

101

102

103

104

-200

-150

-100

-50

0

Correcteur PI Nyquist k=0,966 w3=100

Axe réel

Ax

e i

ma

gin

air

eDiagrammes de Nyquist

-5 0 5 10 15 20 25 30 35-25

-20

-15

-10

-5

0

Correcteur PI réponses indicielles k=0,966 w3=100

Temps (s)

Am

plitu

de

Réponses indicielles

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

To: Y

(1)

Correcteur PI réponses indicielles k=1 w3=50

Temps (s)

Am

plit

ud

e

Réponses indicielles

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

0.5

1

1.5

Correcteur PI Nyquist K=1, w3=50

Axe réel

Axe

im

ag

ina

ire

Diagrammes de Nyquist

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Problème de précision

Correcteur à retard de phase

augmenter le gain en basse fréquence ne pas agir autour de T

1 p 3C p Ki i 1 p 4

Limiter l’amplification en continu

Bodes T1(p) Co NC et C

Pulsation (rd/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

); G

ain

(d

B)

Diagrammes de Bode

-40

-20

0

20

40

60Gm = Inf, Pm=35.227 deg. (at 3652.4 rad/sec)

10-1

100

101

102

103

104

-200

-150

-100

-50

0

35T p1 1 p 100 1 p 2500

28,2 1 p 50C pi 1 p 3,3

Nyquist T1(p) Co NC et C

Axe réel

Ax

e i

ma

gin

air

eDiagrammes de Nyquist

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

35T p1 1 p 100 1 p 2500

28,2 1 p 50C pi 1 p 3,3

T1(p) réponses indicielles C et NC

Temps (s)

Am

pli

tud

eRéponses indicielles

0

0.5

1

1.5

2

2.5

35T p1 1 p 100 1 p 2500

28,2 1 p 50C pi 1 p 3,3

Problème de stabilité

Correcteur Proportionnel Dérivé

augmenter la phase autour de T

ne pas agir en basse fréquence

dC p K 1 pd d

C p K 1 p dd d avec 1 dd

Correcteur dérivé Kd=1 wd=15000

Pulsation (rad/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

); G

ain

(d

B)

Diagramme de Bode

0

5

10

15

20

103

104

105

0

20

40

60

80

100

To: Y

(1)

Correcteur dérivé Kd=1 wd=15000 Bode

Pulsation (rad/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

); G

ain

(d

B)

Diagrammes de Bode

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

101

102

103

104

105

-200

-150

-100

-50

0

50

100

To: Y

(1)

Correcteur dérivé Kd=1 wd=15000 Nyquist

Axe réel

Ax

e i

ma

gin

air

eDiagrammes de Nyquist

-20 -15 -10 -5 0 5 10-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0T

o: Y

(1)

Correcteur dérivé Kd=1 wd=15000 Réponse indicielle

Temps (s)

Am

pli

tud

eRéponses indicielles

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10-3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Problème de stabilité

Correcteur Proportionnel Dérivé

augmenter la phase autour de T

ne pas agir en basse fréquence

3

4

1 pC p K

d d 1 p

Limiter l’amplification en hautes fréquences

Bode 1000

Pulsation (rad/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

); G

ain

(d

B)

Diagrammes de Bode

-60

-40

-20

0

20

40

60Gm = Inf, Pm=-180 deg. (at 0.00017263 rad/sec)

101

102

103

104

105

106

-200

-150

-100

-50

0

50

1 1 p 15000

C pD 1 p 75000

1000T p2 1 p 100 1 p 2500

Nyquist 1000

Axe réel

Ax

e i

ma

gin

air

eDiagrammes de Nyquist

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0From: U(1)

To: Y

(1)

1 1 p 15000

C pD 1 p 75000

1000T p2 1 p 100 1 p 2500

Time (sec.)

Am

plit

ud

eRéponses indicielles

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

x 10-3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

1 1 p 15000

C pD 1 p 75000

1000T p2 1 p 100 1 p 2500

Correcteur PID

Correcteur Proportionnel Intégral Dérivé

augmente le gain en basse fréquence “apporte de la phase” autour de T

d

di

1 pC p K 1

p 1 p

PID

Pulsation (rad/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

) ;

Ga

in (

dB

)Diagrammes de Bode

100

101

102

103

104

105

106

-90

-60

-30

0

30

60

90

0

10

20

30

40

50

Correcteur PID

améliore la stabilité, permet une augmentation de la rapidité

• à degré de stabilité constant elle diminue le temps de réponse,• à temps de réponse constant, elle augmente la marge de phase

L’action dérivée

L’action intégrale

élimine l’erreur statique,• vis à vis de la consigne• vis à vis d’une perturbation.

PID + T1(p) P=10 I=1000 D=3,8e-3 N=100000

Pulsation (rad/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

) ;

Ga

in (

dB

) Diagrammes de Bode

101

102

103

104

105

-200

-150

-100

-50

0

50

100

-100

-50

0

50

100

K=10 i=100rds d= 2600rds

Rose

20

2000

7,69e-3

1e6

vert Rouge bleu

P 1 5 10

I=100*P 100 500 1000

D=P 2600 3,846e-4

N 26000 1e5 1e5

Réponses indicielles PID + T1(p)

Time (sec.)

Am

pli

tud

eRéponses indicielles

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10-3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Kp=1

tr5%=0,871ms

Kp=5tr5%=0,152ms

Kp=10tr5%=0,0638ms

Kp=20tr5%=0,0422ms

Amélioration du temps de réponse par un PID

Pulsation (rad/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

); G

ain

(d

B)

Diagrammes de Bode

102

103

104

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

To: sort

ie

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

M

35T p1 1 p 100 1 p 2500

Rapidité

Time (sec.)

Am

plit

ude

Réponse indicielle

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Sortie

Erreur

0,962

35T p1 1 p 100 1 p 2500

Time (sec.)

Am

plit

ude

Temps de réponse

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

tr5%=1,74ms

35T p1 1 p 100 1 p 2500

Pulsation (rad/sec)

Arg

um

en

t (d

eg

); G

ain

(d

B)

Diagrammes de Bode

-40

-20

0

20

40

60Gm = Inf, Pm=9.405 deg. (at 15713 rad/sec)

10-1

100

101

102

103

104

105

-200

-150

-100

-50

0

M

rds

1000T p2 1 p 100 1 p 2500

Rapidité

Time (sec.)

Am

plit

ude

Réponse indicielle

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Sortie

Erreur

0,999

1000T p2 1 p 100 1 p 2500

Time (sec.)

Am

plit

ude

Temps de réponse

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tr5%=2,22ms

1000T p2 1 p 100 1 p 2500

Axe réelDiagrammes de nyquist

-2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Axe imaginaire

A

M

M

35T p1 1 p 100 1 p 2500

1000T p2 1 p 100 1 p 2500

Axe réelDiagrammes de nyquist

-200 0 200 400 600 800 1000-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Axe imaginaire

Axe réelDiagrammes de nyquist

-200 0 200 400 600 800 1000-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

Axe imaginaire

35T p1 1 p 100 1 p 2500

1000T p2 1 p 100 1 p 2500

Correcteur PI

Frequency (rad/sec)

Phase (

deg);

Magnitude (

dB

)

Diagrammes de Bode

10-1

100

101

102

103

104

-200

-150

-100

-50

0

To: O

utp

ut P

oin

t

-50

0

50

100

35T p1 1 p 100 1 p 2500