ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM 2020. 5. 14.¢  1.2.3 JEDINI¤’NA IMPULSNA FUNKCIJA (DELTA FUNKCIJA) Jedini¤†na

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM 2020. 5. 14.¢  1.2.3 JEDINI¤’NA IMPULSNA...

  • 1 ANALIZA SISTEMA U VREMENSKOM DOMENU

    PRELAZNO I STACIONARNO STANJE DINAMIČKIH SISTEMA

    Posmatramo jedan stacionaran dinamički sistem na čijem ulazu deluje konstantna pobuda ( )u t U . Neka je izlaz sistema ( )y t na ovu pobudu prikazan na slici

    Sa grafika uočavamo sledeća moguća ponašanja sistema:

     ponašanje u prelaznom stanju definisano sa ( )y t , kada je t  

     ponašanje u stacionarnom stanju definisano sa ( ) lim ( ) . t

    y y t const 

      

    Stacionarno stanje sistema određeno je vrednošću konstantne pobude ( )u t U koja

    deluje na sistem i na njegovom izlazu, kad t , generiše konstantni izlaz ( )y  .

    Napomena: Neki sistemi ne poseduju stacionarno stanje. Za ove sisteme važi lim ( ) .

    t y t const

      ili lim ( )

    t y t

      

    stacionarno stanje

    prelazno stanje

    sistem

  • 1.1 MODELOVANJE DINAMIČKIH SISTEMA

    Dinamičko ponašanje sistema se može opisati pomoću operatora H koji preslikava ulazne veličine  u t u izlazne veličine  y t sistema.

    Operator H nazivamo model sistema.

    H se opisuje pomoću nekog tipa jednačina u zavisnosti od vrste sistema koji se modeluje.

    Tip jednačina stacionarnog H operatora

    Funkcionalna zavisnost jednačina Stanje sistema

    algebarske jednačine ( , ) 0f u y  stacionarno stanje

    diferencijalne jednačine ( , , , ) 0 dydu

    dt dt f u y 

    stacionarno + prelazno stanje

    integralne jednačine ( , , , ) 0f u udt y ydt   stacionarno + prelazno stanje

    diferencijalno-integralne jednačine

    ( , , , , , ) 0 du dy

    f u udt y ydt dt dt

      stacionarno + prelazno stanje

    H

    gH

  • POSEBNI SLUČAJEVI DINAMIČKIH SISTEMA

    Napomena. Osobina linearnosti sistema biće kasnije razmatrana.

    H je opisan sistemom linearnih diferencijalnih jednačina (LDJ) sa konstantnim koeficijentima Linearni, stacionarani

    dinamički sistem

    Linearni, stacionarani dinamički sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom

    H je opisan jednom linearnom diferencijalnom jednačinom (LDJ) sa konstantnim koeficijentima

    SISTEM

    u1(t)

    ur(t)

    y1(t)

    ym(t)

    SISTEM u(t) y(t)

    1

    1 1 01

    1

    1 0

    ( ) ( ) ( ) ... ( )

    ( ) ( ) ... ( )

    n n

    n nn n

    m m

    m mm

    d y t d y t dy t a a a a y t

    dt dt dt

    d u t d u t b b b u t

    dt dt

     

        

       

  • 1.1.1 LINEARNI STACIONARNI DINAMIČKI SISTEMI SA JEDNIM ULAZOM I JEDNIM IZLAZOM

    Linearni stacionarni dinamički sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom se može opisati jednom linearnom diferencijalnom jednačinom (LDJ) sa konstantnim koeficijentima

    1

    1 1 01

    1

    1 0

    ( ) ( ) ( ) ... ( )

    ( ) ( ) ... ( )

    n n

    n nn n

    m m

    m mm

    d y t d y t dy t a a a a y t

    dt dt dt

    d u t d u t b b b u t

    dt dt

     

        

       

    Ulaz - pobuda sistema ( )u t

    Izlaz - odziv sistema ( )y t

    Koeficijenti diferencijalne jednačine 1 1 0 1 1 0, , , , ; , , , ,n n m ma a a a b b b b 

    Red modela (sistema) n Uslov fizičke ostvarljivosti sistema n m Početni uslovi (1) ( -1)(0), (0), , (0)ny y y

    SISTEM

  • Primer. Mehanički sistem na koji deluje sila f(t) sadrži masu M, oprugu koeficijenta elastičnosti k i trenje koeficijenta  .

    Rešenje.

    sila inercije: 2

    2 ( )i

    d x f t M

    dt  ,

    sila viskoznog trenja: ( )t dx

    f t dt

    

    sila elastičnosti opruge: ef kx .

    RAVNOTEŽA: ( ) ( ) ( )ei tf t f t f f t  

    2

    2

    ( ) ( ) ( ) ( )

    d x t dx t M kx t f t

    dt dt   

    Karakteristike sistema:

    - red izvoda diferencijalne jednačine:

    2n  , 0m  - red sistema: 2n  - parametri sistema:

    0 1

    2 0

    , ,

    , 1

    a k a

    a M b

     

     

  • 1.2 STANDARDNE ULAZNE VELIČINE

    Namena standardnih ulaznih veličina:

    - Za izvođenje teorijskih rezultata

    - Za poređenje osobina različitih klasa sistema

    - Za definisanje karakterističnih odziva sistema

    Vrste standardnih ulaznih veličina:

    - jedinična odskočna funkcija

    - jedinična nagibna funkcija

    - jedinična impulsna funkcija

    - prostoperiodična funkcija

    sistem

  • 1.2.1 JEDINIČNA ODSKOČNA FUNKCIJA (HEVISAJDOVA FUNKCIJA)

    Jedinična odskočna funkcija - ( )h t

    0 0 ( )

    1 0

    t h t

    t

      

    

    Odskočna funkcija

    0 0 ( )

    0

    t Kh t

    K t

      

    

    t

    h(t)

    1

    t

    Kh(t)

    K

  • Zakašnjena jedinična odskočna funkcija

    0 ( )

    1

    t h t

    t

     

       

    

    Zakašnjena odskočna funkcija

    0 ( )

    t Kh t

    K t

     

       

    

    t

    1

    t

    K

  • Realna odskočna funkcija

    Nagla promena vrednosti odskočne funkcije se ne može realizovati u praksi.

    Zbog toga u praksi koristimo funkciju sa postepenom, ali brzom promenom u posmatranom trenutku vremena

    Osobine odskočne funkcije:

     modeluje idelani prekidač.

     permanentno pobuđuje sistem nakon uključivanja.

    t

    h(t)

    1

    0 ( ) ( )a ah t h t 

    t

    ha(t)

    1

    -a/2 a/2

  • 1.2.2 JEDINIČNA NAGIBNA FUNKCIJA

    Jedinična nagibna funkcija

    0, 0 ( )

    , 0

    t r t

    t t

      

     ( ) ( )r t t h t 

    t

    1

    f(t) = t

    t

    1

    45o

    t

    45o

  • Nagibna funkcija

       ar t ath t

    Zakašnjena nagibna funkcija

     ar t 

    t

    a

    t

  • 1.2.3 JEDINIČNA IMPULSNA FUNKCIJA (DELTA FUNKCIJA)

    Jedinična impulsna funkcija ( )t

    2

    1

    1 2

    ( ) 0, 0

    ( ) 1, 0

    t

    t

    t t

    t dt t t

     

      

    Za 0t  , (0)   , strelica „gleda“ u .

    Površina ispod krive jedinične impulsne funkcije iznosi 1!

    Impulsna funkcija ( )K t

    2

    1

    1 2

    ( ) 0, 0

    ( ) , 0

    t

    t

    t t

    K t dt K t t

     

      

    K - površina ispod krive t

    Kδ (t)

    K

    0

    t

    δ (t)

    1

    0

  • Zakašnjena jedinična impulsna funkcija

    2

    1

    1 2

    ( ) 0,

    ( ) 1,

    t

    t

    t t

    t dt t t

      

      

      

       

    Zakašnjena impulsna funkcija

    2

    1

    1 2

    ( ) 0,

    ( ) ,

    t

    t

    K t t

    K t dt K t t

      

      

      

       

    t

    1

    0

    t

    K

    0

  • Realna impulsna funkcija

    Kod impulsne funkcije imamo nagli beskonačni skok sa nultim trajanjem koji se ne može realizovati u praksi.

    Impulsnu funkciju aproksimirmo funkcijom ( )T t sa pravougaonim skokom.

    Smanjivanjem parametra T postepeno se dobija oštrija impulsna promena

    0

    ( ) lim ( )T T

    t t  

    T0

    t

    δT (t)

    T/2 -T/2

    1/T

    t

    δT (t)

    T/2 -T/2

    1/T

    t

    δT (t)

    T/2 -T/2

    1/T

    t

    δ (t)

    1

  • Veza između funkcija h, r i δ

    Veza preko ( )r t Veza preko ( )t

    ( )r t ( )t

    ( ) ( )

    dr t h t

    dt  ( ) ( )

    t

    h t d   

     

    ( ) ( )

    dh t t

    dt  

    ( ) ( )

    t

    r t h d  

      ili

    ( ) ( )r t t h t 

  • 1.2.4 SINUSNA FUNKCIJA

          2

    sin sin 2 siny t A A ft A t T

         

            

     

    Prigušena sinusna funkcija

          2

    sin sin 2