Algunos usos de simetrías y reflexiones con la bisectriz ... · PDF filesi y sólo si está en una de las bisectrices de los ángulos formados por éstas P'' s. Primeras consecuencias

IV Torneo Matemático TriangularAragón – La Rioja – Navarra

Tudela, 11 de marzo de 2017

Algunos usos de simetrías y reflexiones

Daniel Lasaosa MedardeIV Torneo Triangular 2017

Aragón – La Rioja – Navarra

Algunos usos de simetrías y reflexionescon la bisectriz como referencia

Daniel Lasaosa Medarde

Índice

•Resultados conocidos

•Definiciones básicas

•Primeras consecuencias

•Distancias a puntos de tangencia



•Semejanzas con exinradios y alturas

•La bisectriz y la circunferencia circunscrita

•La bisectriz y cuadriláteros cíclicos










Resultados conocidos (I)Arco capaz, cuadriláteros cíclicos, teorema del seno

A

O

A'

O

A



B C

D

BDCBACBOC ∠−°=∠=∠ 23602 ARBACR

CBARBC

sin2sin2

'sin2

=∠=∠=

O

B C

Resultados conocidos (II)Potencia, ángulos semiinscritos

A

P

U

O

TU

W



B

V

O

VBPAUPBVPPAU ∠=∠∠=∠ ,

( )( ) 22 ROPROPROP

PVPUPBPA

−=+−=

⋅=⋅

O

V

TUV, WTV, WUT son semejantes 2WT WU WV

UTW TVU TPU

= ⋅∠ = ∠ = ∠

P

Resultados conocidos (III)Teoremas del coseno y de Stewart

CA



A BD

( )( ) ( )

22 2

2 2

2 2

cos sin

2 cos

BC AB AD CD

AB AC A AC A

AB AC AB AC A

= − +

= − +

= + − ⋅

ADBCDADCDADAC

ADBBDADBDADAB

∠⋅++=∠⋅−+=

cos2

cos2222

222

DB C

CDBDBC

BDACCDABAD ⋅−⋅+⋅=

222










Algunas definiciones básicas (I)

Bisectrices de dos rectasBisectriz de un ángulo



Algunas definiciones básicas (II)

Bisectrices internas y externas












Primeras consecuencias (I)Puntos a igual distancia de dos rectas

P'

r

P

Q



Un punto está a la misma distancia de dos rectas no paralelas dadas,si y sólo si está en una de las bisectrices de los ángulos formados por éstas

P'' s

P

Primeras consecuencias (II)Existencia de incentro

A

I

d

d



Las bisectrices interiores de un triángulo coinciden en un punto,que es el centro de una circunferencia tangente a los tres lados.

BC

d

Primeras consecuencias (III)Existencia de exincentros

A

BC



Las bisectrices exteriores de dos ángulos del triángulo, y la bisectriz interiordel tercero, coinciden en un punto, que es el centro de una circunferencia,

tangente a un lado y a las prolongaciones de los otros dos.

d

d

d

Ia

Primeras consecuencias (IV)Teorema de la bisectriz (I)

A

cABBD ==

AC

CD

CDA

CAD

BDA

BAD

AB

BD =∠∠=

∠∠=

sin

sin

sin

sin

Usando el teorema del seno



La bisectriz de un ángulo divide al lado opuesto en dos segmentos, que están enrelación de proporcionalidad directa con los lados adyacentes.

B CD

b

c

AC

AB

CD

BD ==

cb

caBD

+=

cb

baCD

+=

Primeras consecuencias (V)Teorema de la bisectriz (II)

( )( )

( )2

22

2

2

222

cb

acbbc

cb

bcabc

CDBDBC

ABCDACBDAD

+−+=

+−=

⋅−⋅+⋅=

Usando el teorema de Stewart

A



B CD

( ) ( )2

222

2222 2

cos4cos12

cb

Acb

cb

AcbAD

+=

++=

Aplicando el teorema del coseno

2cos

2 A

cb

bcAD

+=

Ejemplo de aplicación (1)Problema 3, OME 2007 (Solución 1)

Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. La bisectriz que parte de A cortaal lado opuesto en P. Probar que se cumple AP2++++OA2−−−−OP2====bc.

Solución:

La potencia de P respecto a lacircunferencia circunscrita a ABC es

A



circunferencia circunscrita a ABC es

CPBPOPOAOPR ⋅=−=− 2222

222222

2 OPOAbcOPRbcCPBPBC

ABCPACBPAP +−=+−=⋅−⋅+⋅=

Usando el teorema de Stewart

B CP

O

Primeras consecuencias (VI)Simétricos del ortocentro respecto de los lados

AHb

H

BBCHBAH −°=∠=∠ 90

Por ser cada altura perpendicular al lado opuesto

Luego



El simétrico del ortocentro H de ABC, respecto de cada lado de este triángulo,está sobre la circunferencia circunscrita a ABC.

B C

H

Ha

Hc

BCHBAHBAHBCH aa ∠=∠=∠=∠










Distancias a puntos de tangencia (I)Circunferencia inscrita

A

I

xx

yz

=+=+=+

cyx

bxz

azy

V

W



La distancia desde el vértice A a los puntos de tangencia de la circunferenciainscrita con los lados AB, AC es (b++++c−−−−a)/2.

BC yz

z

2

acbx

−+=

U

Ejemplo de aplicación (2)Problema 2, Ibero 1990

En el triángulo ABC, sea I el centro de la circunferencia inscrita, y D, E, Fsus puntos de tangencia con los lados BC, CA, AB respectivamente. Sea P el

otro punto de intersección de la recta AD con la circunferencia inscrita, y M el punto medio de EF. Demuestra que P, I, M, D están alineados o son concíclicos.

A

El triángulo AEF es isósceles en A,

Solución:



B CD

E

F

I

MP

El triángulo AEF es isósceles en A,luego la bisectriz de A y la altura desde A

en AEF coinciden, y M está en AI.Como AME y AEI son semejantes,

usando la potencia de A respecto de lacircunferencia inscrita se tiene

ADAPAEAIAM ⋅==⋅ 2

Distancias a puntos de tangencia (II)Circunferencias exinscritas

A

BC U

x

xy

=++=+

ayx

ybxc

2

cbax

−+=2

bacy

−+=



La distancia desde el vértice A a los puntos de tangencia de la circunferenciaexinscrita opuesta, con las prolongaciones de los lados AB, AC, es (a++++b++++c)/2.

Ia

V

Wx

y

2

cbaxcyb

++=+=+

Distancias a puntos de tangencia (III)Circunferencias inscrita y exinscritas

UVM

A

BC

I

2

cbaCUBV

−+==



El punto de tangencia del lado BC con la circunferencia inscrita, y con laexinscrita opuesta a A, son simétricos respecto del punto medio de BC.

VM

Ia

Distancias a puntos de tangencia (IV)Cuadriláteros circunscriptibles

r r

rr

A

B

D I

T

W

xx

y

yt

t



Un cuadrilátero convexo admite circunferencia inscrita si y sólo si las longitudesde dos lados opuestos suman lo mismo que las otras dos.

C

UV

zz

t

DABCtzyxCDAB +=+++=+










Semejanzas con exinradios (I)

U

A

BC

Ir

2

acbAU

−+=2

cbaAV

++=

cba

acb

AV

AU

r

r

a ++−+==

Por semejanza de AIU, AIaV



La suma de los inversos de los exinradios es igual al inverso del inradio.

V

Ia

ra

rrrr cba

1111 =++

cbaAVra ++

Semejanzas con exinradios (II)

U

V

A

BC

I

B'C'



El vértice A, el punto de tangencia del lado BC con la circunferencia exinscritaopuesta, y el punto diametrálmente opuesto al de tangencia de la circunferencia

inscrita con BC, están alineados.

Ia

Semejanzas con exinradios (III)

U

A

BC

I



El vértice A, el punto de tangencia del lado BC con la circunferencia inscrita,y el punto diametrálmente opuesto al de tangencia de la circunferencia

exinscrita opuesta con BC, están alineados.

V

Ia

B'C'

Semejanzas con alturas

I

A

ha

rh

AI

r

IA

h

AA

aa −== ''

Por semejanza de AA'Ha y IA'T

Usando conocidas relacionespara el área S de ABC



Podemos expresar los cocientes entre distancias desde vértice a incentro y apie de la bisectriz, en función de altura e inradio, luego en función de lados.

B CHa T A'

r

para el área S de ABC

a

cba

r

ha ++=

Ejemplo de aplicación (3)

Problema 1, IMO 1991Dado un triangulo ABC, sea I el centro del círculo inscrito. Las bisectrices internas

de los angulos A, B, C cortan a los lados opuestos en A', B', C', respectivamente.Demostrar que

27

8

'''4

1 ≤⋅⋅⋅⋅<CCBBAA

CIBIAI

Solución: Por el resultado anterior, y el problema es equivalente a



Solución: Por el resultado anterior,

cba

cb

S

arS

h

rh

AA

AI

a

a

+++=−=−=

2

2

'

y el problema es equivalente a

( )( )( )( ) 27

8

4

13 ≤

+++++<

cba

accbba

( )( )( )( ) uvwpwuvwuvp

wpvpupp

++++=

+++<3

3

2

2Para la desigualdad de la izquierda,

cpw

bpv

apu

cbap

2

2

2

−=−=−=

++=










La bisectriz y la circunferencia circunscrita (I)A

B

I

N

°=∠ 90MAN

Luego MN es diámetro

CAMBAM ∠=∠



Las bisectrices interna y externa del ángulo A, cortan por segunda vez a lacircunferencia circunscrita en dos puntos diametralmente opuestos,

situados sobre la mediatriz de BC.

BC

M

d dCMBM =

Luego M está en la mediatriz de BC

CAMBAM ∠=∠

Ejemplo de aplicación (4)Problema 4, Ibero 2009

Sea ABC un triángulo con incentro I, y sea P el punto de intersección de labisectriz exterior del ángulo A con el circuncírculo de ABC. La recta PI corta porsegunda vez al circuncírculo de ABC en el punto J. Pruebe que los circuncírculos

de los triángulos JIB y JIC son respectivamente tangentes a IC e IB.

Solución:

Por ángulos semiinscritos, basta con

AP



Por ángulos semiinscritos, basta condemostrar que ∠BJP+∠BIC=180°.Pero como PQ es mediatriz de BC,

y diámetro de la circunferencia circunscrita,∠BJP=∠BQP=90°−∠BPQ =90°−∠BAQ.

Luego ∠BJP=(B+C)/2 =180°−∠BIC.

Q

CB

I

J

La bisectriz y la circunferencia circunscrita (II)

2

CABAMICBICM

+=∠+∠=∠

Luego ICM es isósceles en M

ICMCA

CMAICMCIM

∠=+=

=∠−∠−°=∠

2

180

A

I

N

d



El segundo punto de corte de la bisectriz de A con la circunferencia circunscritaes centro de una circunferencia que pasa por B, C y el incentro I.

Luego ICM es isósceles en MBC

M

dd

d

IMCMBM ==

La bisectriz y la circunferencia circunscrita (III)Fórmula de Euler para el triángulo

AI

Rr

AI

MNIUCMIM

2=⋅==

Los triángulos MCN y IUA son semejantes

A

I

N

U



La potencia del incentro respecto a la circunferencia circunscrita es 2Rr.La distancia entre incentro y circuncentro cumple OI2====R2−−−−2Rr.

RrIMAI 2=⋅

BC

M










Bisectriz y cuadriláteros cíclicos (I)

A

B

P



C

D

El triángulo APD se puede obtener como sigue: se refleja el triángulo CPBsobre la bisectriz de BPC, y se amplía con factor de escala PD/PB====PA/PC.

Los triángulos APD y CPB son semejantes

Ejemplo de aplicación (5)Problema G4, lista corta IMO 2009

Dado un cuadrilatero cíclico ABCD, sean E el punto de interseccion de lasdiagonales AC y BD, y F el punto de intersección de las rectas AD y BC. Lospuntos medios de AB y CD son G y H, respectivamente. Demuestra que EF

es tangente a la circunferencia circunscrita al triangulo EGH.

Solución:

Obtenemos AUB reflejandoy escalando CED. Al

A

D

E



y escalando CED. Alser AEB y DEC semejantes,

G es punto medio de UE.De forma similar obtenemosV y H es punto medio de EV.

U

V

BC

F

GH

Como U y V se obtienen reflejando y escalando EF, UV es simétrica deEF respecto de la bisectriz de ∠AFB. Como EV y EU se obtienen una de

otra por reflexión y escalado, ∠EHG=∠EVF=∠FEU.

Trazando el círculo de diámetro BC quecorta a AB, AC en F, E, se tiene que∠AEB=∠AFC=90°, luego E, F sonlos pies de las alturas desde B, C.

Además AEF se obtiene a partir de ABCpor reflexión y escalado.

Bisectriz y cuadriláteros cíclicos (II)Simetría de AH y AO respecto de la bisectriz de A

A

E

FO



El triángulo formado por los pies de las alturas desde B, C, y el vértice A,forman un triángulo que se obtiene de ABC por reflexión y escalado.

Esa misma transformación convierte la recta AH en la recta AO.

B CD

F

H

O

BAHBAOCCAO ∠=−°=∠−°=∠ 902

190

Como AOC es isósceles en O,

Ejemplo de aplicación (6)

Solución:

Problema 3, OME 2007 (Solución 2)Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. La bisectriz que parte de A corta

al lado opuesto en P. Probar que se cumple AP2++++OA2−−−−OP2====bc.

A

Aplicando el teorema del coseno a AOP,obtenemos:

OAPAPROPOAAP ∠⋅=−+ cos2222



B CPQ

O

OAPAPROPOAAP ∠⋅=−+ cos2222

Como ∠OAP=∠QAP, APcos∠OAP=AQ,Luego usando conocidas relaciones para

el área S de ABC, tenemos

bca

RSAQROPOAAP ==⋅=−+ 4

2222

Ejemplo de aplicación (7)Problema 3, OME 2016

Sea A' el punto diametralmente opuesto al vértice A del triángulo ABC en lacircunferencia circunscrita, y sea A1 el punto en el que la recta AA' corta al lado BC.

La perpendicular a AA1 trazada por A1 corta a los lados AB y AC (o a susprolongaciones) en M y N, respectivamente. Demostrar que los puntos

A, M, A' y N están en una circunferenciacuyo centro se encuentra en la altura desde A en el triángulo ABC.

A



Solución:A

BC

N

M

O

A'

A1

A''

A2

El triángulo ANM es el resultado dereflejar y escalar el triángulo ABC.

Por ese mismo escalado A''se convierte en A'.

1

2

'

''

AAAA

AA AA= O' Aplicamos a la circunferencia de

ABC ese escalado, y pasa por los 4puntos pedidos. Su centro está en la

simétrica de AO respecto de la bisectriz

Ejemplo de aplicación (8-1)

Solución:

Problema 6, IMO 2008Sea ABCD un cuadrilátero convexo con AB≠≠≠≠BC. Se sabe que existe un círculoΓΓΓΓ tangente a la semirrecta BA más allá de A, a la semirrecta BC más allá de C,y a las rectas CD, DA. Demostrar que las tangentes externas comunes de las

circunferencias inscritas en ABC y ACD, se cortan en un punto de ΓΓΓΓ.

Por las simetrías en los puntos de tangencia,

; ; ; DVDUPUPTBWBT ===

B

A



. ; ;

; ; ;

CWCUAVATQWVQ

DVDUPUPTBWBT

======

A

C

D

Z

T

U

V

W

PQ

CDBCDUCUCWBW

DVAVATBTADBA

+=−+−=−+−=+

Luego

Solución (cont.):B

A

C

D

X

Y'

X'

Y

CYADACCDBCACAB

AX =−+=−+=22

Los puntos B, X', Y están alineadosLos puntos D, X, Y' están alineados

Ejemplo de aplicación (8-2)



D

Z

Un escalado desde B nos permite llevar X' alpunto de Γ donde la tangente es paralela a AC

Un escalado desde D nos permite llevar Y' alpunto de Γ donde la tangente es paralela a AC

En ese punto Z de Γ convergen X'Y, XY'.

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