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ÀLGEBRA–5AÑO

5 ÁLGEBRA

Profesor: Robert André Vega Catón

II BIMESTRE

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ÀLGEBRA–5AÑO

Tabla de contenido SESIÒN 01: .................................................................................................................................................................... 3

SITUACION 01 ............................................................................................................................................................... 3 FACTORIZACION I ................................................................................................................................................ 3 ejercicios de aplicaciòn ..................................................................................................................................... 4 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................... 5

SESIÒN 02: .................................................................................................................................................................... 6 FACTORIZACION II .............................................................................................................................................. 6 ejercicios de aplicaciòn ..................................................................................................................................... 8 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................. 10

SESIÒN 03: .................................................................................................................................................................. 10 SITUACION 02 ............................................................................................................................................................. 10

MCM Y MCD DE POLINOMIOS ........................................................................................................................ 10 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 11 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................. 13

SESIÒN 04: .................................................................................................................................................................. 14 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ............................................................................................................................ 14 ejercicios de aplicaciòn ................................................................................................................................... 15 tarea domiciliaria ............................................................................................................................................. 16

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SITUACION 01: Consideremos el conjunto de los 17 primeros enteros positivos {1; 2; 3; ...; 17}. Hay que elegir dos números de este conjunto tales que la multiplicación de estos dos números sea igual a la suma de los restantes quince números. ¿Cuáles son dichos números? SESION 01: FACTORIZACIÓN I

Factor Algebraico Sean F y P dos polinomios de grados positivos. Decimos que F es factor algebraico de P si y sólo si P es divisible por F, es decir P ÷ F es exacta.

Factor Primo Sean F y P dos polinomios de grados positivos. Decimos que F es un factor primo de P si y sólo si F es polinomio irreductible y factor algebraico de P. FACTORIZACIÓN Es la transformación de un polinomio en la multiplicación indicada de sus factores primos (o potencias de sus factores primos). Ejemplo: § P(x, y) = 2x2y3 (x - 5)4 (x2 – x + 1)5

(y - 2)6 tiene 5 factores primos: 4 lineales : x ; y ; (x - 5) ; (y - 2) 1 cuadrático : (x2 – x + 1) criterios para factorizar

Existen diversos criterios para factorizar polinomios, entre ellos tenemos: 1. FACTOR COMÚN –

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Se buscan factores comunes que pueden ser monomios o polinomios. En caso de no haber algún factor común, se agrupará convenientemente tratando de que aparezca algún factor común. Ejemplo: § Factorizar: 4x4 + 5x2 notamos

que x2 es un factor común. Þ x2(4x2 + 5); donde sus factores primos son: “x” y “4x2 + 5” 2. criterio del aspa simple

Se utiliza para factorizar a polinomios de la siguiente forma general: Ax2n + Bxnym + Cy2m o m, n Î N Ax2n + Bxn + C 3. criterio de las identidades

En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas en sentido inverso al de los productos notables. Ejemplo: § Factorizar: x3 + x2 – x – 1

® x2(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(x2 - 1)

® (x + 1)(x + 1)(x - 1) Þ x3 + x2 – x – 1 º (x + 1)2 (x - 1)

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Factorizar:

A(m, n) = mn4 – 5m2n3 + 4m3n2 – 20m4n;

dar el número de factores primos: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2. Factorizar: F(x, y) = x5y5 – 2x6y4 + x7y3;

indicar un factor primo: a) x + y b) x – y c) x – 2y d) x + 2y e) x5

3. Factorizar: L(a, b, c, x) = a(x - 1) – b(1 - x) +

cx – c; dar un factor primo: a) x + 1 b) a + b – c c) a + b + c d) x – 2 e) a – b + 2c

4. Factorizar: R(a, b, c) = a3b2 + b3c2 – a3b2 –

b5; dar un factor primo: a) b + c b) a + b c) a2 – ab + b2 d) 2b + c e) a – b + c

5. Factorizar: K(x, y) = (9x2 – 4y2)x2 + 25y2(4y2

– 9x2);

indicando el número de factores primos: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Factorizar: M(x) = x2 – b2 + 2ax + a2 Dar un factor primo: a) x + a d) x + b b) x + a – b e) x + a – 2b c) x – a + b

7. Factorizar: M(a, b) = a2 + 2a + ab + b + 1;

dar un factor primo: a) a + 2 b) a + 1 c) a - 1 d) a + b – 1 e) 2a + 1

8. Factorizar: P(x) = x14 – x2 – 6x – 9;

indicando la suma de factores primos: a) 2x7 – 6 b) 2x7 c) 2x + 6 d) x7 + x e) 2x + 7

9. Factorizar: P(x, y) = 6x2 – 31xy – 30y2;

indique la suma de coeficientes de uno de los factores primos: a) 7 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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10. Factorizar: M(x) = (x - 1)4 + (x - 1)2 – 6;

dar la suma de coeficientes de un factor primo: a) 1 b) -2 c) 5 d) 6 e) -4

11. Factorizar: P(a, b, c) = (a + b + c) (a – b +

c) – (a + b)(a - b); dar un factor primo. a) a b) c c) 2a - c d) 2a + b e) a + c

12. Factorizar: P(a, b, c) = a(a2 + bc) + c(a2 +

b2) – b3; e indique un factor: a) a + b + c b) a2 + b2

c) b2 + c2 d) a – b + c e) a2 + bc

13. Factorizar:

P(x) = (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4; indicando un factor primo: a) x + 3 b) x + 5 c) x + 7 d) x + 10 e) x + 8

14. Factorizar: P(a) = 35a4 – 61a2 + 25;

indicando el número de factores primos: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8

15. Factorizar y dar como respuesta el número de factores de:

P(x) = x32 - 1 a) 4 b) 6 c) 10 d) 8 e) 11 TAREA DOMICILIARIA

1. Factorizar: M(a, b) = 64a7b7 – ab13;

dar un factor primo: a) a b) b2 c) 2a - 3b d) 4a2 + 2ab – b2 e) a + b3

2. Factorizar: P(x, y) = x5y + 2x4y2 + x3y3;

indicar un factor primo: a) x + y b) x – y c) x – 2y d) x + 2y e) x – 3y

3. Factorizar:

M(x, y) = 12(x - y)2 + 7(x - y) – 12;

dar el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Factorizar:

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M(x, y) = ab(x2 – y2) + xy(a2 – b2);

dar un término de un factor primo. a) ay b) –ax c) -by d) b e) a2 + b2

5. F(a, b) = a6 – 64b6 indicando el número de factores primos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

SESIÓN 02: FACTORIZACIÓN II 1. aspa simple

Forma General:

ax2 + bxy + cy2 Ejemplo: § Factorizar:

E = 3x2 - 8xy – 3y2 3x +y xy x -3y -9xy -8xy

Los factores serán: E = (3x + y) (x – 3y) 2. ASPA DOBLE

Forma General:

ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f

Consiste en la formación de 2 aspas simples que permite la comprobación de todos los términos del polinomio menos de uno de ellos que se comprueba realizando el aspa de los extremos. Los factores como toda aspa se tomarán en forma horizontal. Ejemplo: § Factorizar:

E = x2 + 5xy + 6y2 + 13y + 4x - 5 x 3y -1 x 2y +5

COMPROBACIÓN Para comprobar 4x usamos el aspa de los extremos: E = x2 + 5xy + 6y2 + 13y + 4x - 5

x -1 x 5 Finalmente, los factores se tomarán de la siguiente forma: E = (x + 3y - 1) (x + 2y + 5)

3. ASPA DOBLE ESPECIAL

Forma General:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

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Ejemplo: § Factorizar:

x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 1

x2 5x 1 ® x2

x2 x 1 ® x2 2x2 Þ (x2 + 5x + 1) (x2 + x + 1)

teorema del factor Todo polinomio será divisible entre cada uno de sus factores. Podemos decir entonces que un cierto polinomio es múltiplo de sus factores. Ejemplo: § Demostrar que (x - 3) es factor x3

– 13 x + 12

Solución: Por el teorema del factor

tenemos que demostrar que la

división:

es exacta (R = 0)

Por el teorema:

Þ R = 33 – 13(3) + 12 = 0

\ (x – 3) Þ factor de x3 – 13x

+ 12

4. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS Generalmente se utiliza para

factorizar polinomios de grado

impar y que tienen factores de la

forma:

ax + b

Consideraciones: 1. El valor que anula a un

polinomio (lo convierte en

cero) lo llamaremos cero del

polinomio.

2. Si en un polinomio P(x), x = b

anula a dicho polinomio; este

valor será un cero del

polinomio y (x - b) será un

factor de dicho polinomio.

3. Esto significa que si (x - b) es

un factor del polinomio, por el

teorema del factor la división

de P(x): (x – b), será exacta.

4. Existe un procedimiento para

calcular los posibles ceros en

el polinomio.

3x12x13x3

-+-

eCoeficientimerPrdelDivisoreseCoeficientÚltimodelDivisores

CerosPosibles±

=

Q = 7x2 T = 2x2 F = 5x2

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5. MÉTODO DE LOS ARTIFICIOS

En este caso mediante sumas y restas trataremos de formar trinomio cuadrado perfecto para exponentes impares. También se pueden hacer cambios de variables. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Factorizar e indicar un término de un factor primo:

P(x, y) = 15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 14

a) 5x b) 2 c) 3y d) y e) Todas son correctas

2. Indicar uno de los coeficientes de “y” en uno de los factores primos de:

P(x, y) = 6x2 – xy – 12y2 + x – 10y - 2

a) 1 b) 2 c) 8 d) 4 e) 6

3. Factorizar e indicar un factor primo:

F(x, y) = 15x2 – xy – 6y2 + 34x + 28y - 16

a) 5x + 3y + 2 d) x + y - 2 b) 5x + 3y – 2 e) 3x + 5y - 3

c) 5x – 3y - 9 4. Factorizar:

F(x, y) = 6x2 + xy – 2y2 + 18y + 5y + 12;

indique un factor primo: a) 2x + y – 4 d) 2x + y - 1 b) 3x + 2y + 3 e) 2x – 3y + 1 c) 3x + 2y + 4

5. Factorizar: P(x, y) = 5x2 + 9x - 6y2 + 8y –

7xy – 2; señale un factor primo: a) 5x + 3y – 2 d) 5x + 3y - 1 b) 5x – 3y + 1 e) x – 2y - 1 c) x – 2y + 3

6. Factorizar: R(x, y) = 4x2 + 8xy – 5x + 6y – 6; indique la suma de coeficientes de un factor primo. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

7. Factorizar: P(x) = x4 + x3 – x2 + x – 2;

dar el factor primo de mayor suma de coeficientes. a) x + 2 b) x2 + 1 c) x2 + 4 d) x – 1 e) x2 - 3

8. Factorizar: P(x) = 3x4 – x3 – 23x2 + 9x – 36; dar el factor primo de mayor grado.

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a) 3x2 – x + 9 d) x + 3 b) 3x2 – x – 3 e) x - 3 c) 3x2 – x + 4

9. Factorizar:

P(x) = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1; indique un factor primo. a) x2 + 3x – 3 d) x2 + 3x - 1 b) x2 + 2x – 1 e) x2 -2x + 1 c) x2 + x + 2

10. Factorizar y señale un factor

primo de: F(x) = x4 + 6x2 + 25

a) x2 + 2x + 5 b) x2 + x + 1 c) x2 – x + 3 d) x2 + 4x + 1 e) x2 – x + 7

11. Factorizar: P(x) = x4 + 4x2 + 16;

dar la suma de factores primos. a) 2(x2 + 2) b) 2(x2 + 3) c) 2(x2 + 4) d) x2 + 5 e) x2 - 5

12. Factorizar: P(x) = x4 + 4;

dar la suma de factores primos. a) x2 + 2x b) x(x + 3)

c) 2(x2 + 2) d) 2(x2 + 4) e) x(x - 3)

13. Factorizar:

P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6; indique un factor primo. a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2 d) x + 6 e) x - 3

14. Factorizar: P(x) = x3 – 13x + 12;

y reconoce un factor. a) x + 1 b) x – 2 c) x + 4 d) x + 3 e) x - 4

15. Factorizar: F(x, y) = 6x2 – 7xy + 2y2 – 13x +

7y + 5; indicar un factor primo: a) 3x – 2y – 5 b) 3x – y c) 2x + y d) 3x + 5y e) 4x – 5y - 1

16. Factorizar: M(x, y) = 6x2 + 9xy + 5x – 6y –

6; dar el factor primo de menor suma de coeficientes. a) 2x + 3y – 3 b) 2x – 3y – 3 c) 3x – 2 d) 3x + 2 e) 2x + 4y – 3

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TAREA DOMICILIARIA 1. Factorizar:

N(x, y) = 8x2 + 2xy + 28x + 13y + 24;

y señalar el factor primo trinomio: a) 2x + 3y + 3 d) 4x + y + 8 b) 2x + 3y + 1 e) 2x – 3y + 2 c) 4x + y + 4

2. Factorizar: F(x, y) = 6x2 – xy2 – 2y2 + 17x –

2y + 12; indique un factor primo: a) 2x + y – 2 d) 2x + y - 4 b) 3x – 2y – 3 e) 3x + 2y - 4 c) 3x – 2y + 4

3. Factorizar: G(x, y) = 6x2 + 20y2 + x + 23xy +

6y – 2; señale el factor primo de mayor suma de coeficientes: a) 3x + 4y + 2 d) 3x – 4y + 2 b) 2x + 5y + 1 e) 3x – 2y + 4 c) 2x – 5y - 2

4. Factorizar: H(x, y) = x2 + 5x + 4 + 9y – 9y2;

señalar un factor primo: a) x + 3y – 2 d) x + 3y - 1 b) x – 11y + 3 e) x – 3y + 4 c) x + 3y - 4

SITUACIÓN 02: Supongamos que tenemos 100 nuevos soles y entramos a una tienda donde se vende un solo tipo de artículo. Si cada artículo cuesta 100 nuevos soles, ¿cuánto podríamos llevar? La respuesta es obvia: sólo uno. En cambio si el precio de cada artículo es 50 nuevos soles con los 100 nuevos soles que tenemos podríamos llevar 2 artículos. Y si cada artículo cuesta 10 nuevos soles, nos llevaríamos 10. Siguiendo con este razonamiento, descubrimos que si el precio de cada artículo se hace cada vez más barato, la cantidad de artículos que nos llevaríamos se hace cada vez mayor. Ahora pregunto: ¿y si los artículos fueran gratutitos? Es decir, si no costaran nada (o lo que es lo mismo, si su precio fuera ceros sols) ¿cuántos nos podemos llevar? Continuando con el tema de que dividir por cero, no tiene sentido, ahora planteamos la siguiente pregunta: ¿A QUE ES IGUAL X/X? DEMUESTRA QUE 2=1 SESIÓN 03: MCD Y MCM DE POLINOMIOS

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Hallar el MCD de los polinomios:

A(x) = (x + 6)2 (x - 7)3 (x + 9)4 B(x) = (x + 10)3 (x - 7)2 (x + 6)3 a) x + 9 d) (x - 7)2 (x + 6)2 b) x + 10 e) (x - 7)3 (x + 6)3 c) (x - 7)3(x + 6)3

2. Hallar el MCD de los polinomios: A(x) = (x + 2)6(x - 1)4(x - 2)6(x + 3)4 B(x) = (x + 3)6(x - 1)2(x + 2)2(x + 7)2 C(x) = (x - 3)4(x + 7)2(x - 1)3(x + 2)2

a) (x - 1)(x + 2) d) (x + 2)2 b) (x + 1)(x + 3) e) (x - 1)2 c) (x - 1)2(x + 2)2

M.C.D. y M.C.M. de Polinomios

Máximo Común Divisor (M.C.D.)

Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.)

Propiedades

M.C.D. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la

característica de estar contenido en cada uno de los polinomios.

M.C.M. de dos o más polinomios es otro polinomio que tiene la característica de contener a cada uno de los

polinomios.

Dos o más polinomios son primeros entre sí, si su M.C.D.

es ± 1.

Obtiene factorizando los polinomios.

Obtiene factorizando los polinomios.

Únicamente para dos polinomios A(x), B(x) se cumple:

MCD(A; B).MCM(A; B)=A(x).B(x)

Viene expresado por la

multiplicación de los factores

primos comunes afectados

de sus menores exponentes.

Viene expresado por la multiplicación de los factores

primos comunes y no comunes afectados de sus mayores

exponentes.

A(x) y B(x) son polinomios no primos entre si. Entonces:

1ra posibilidad:

A(x) – B(x) = MCD

2da posibilidad:

A(x) -B(x) = contiene al MCD

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3. Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 4)3(x - 7)2(x + 6)8(x + 7)3 F(x) = (x + 6)2(x - 7)3(x + 7)4(x - 6)2 S(x) = (x + 2)3(x + 6)4(x + 4)8(x + 7)2 a) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8 b) (x + 7)4(x + 6)8 c) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3 d) (x + 7)4(x + 6)8(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2 e) (x + 7)4(x + 4)8(x - 7)3(x - 6)2(x + 2)3

4. Dados los polinomios:

A(x; y; z) = x4y3z6 B(x; y; z) = x5y4z10 C(x; y; z) = x6y2z5 Indicar:

a) x2y4z6 b) x2y4z3 c) x2y2z5 d) xyz4 e) xyz

5. Señale el MCD de los polinomios: A(x) = x4 – 1 B(x) = x2 – 3x + 2 a) x – 2 b) x – 1 c) x + 1 d) x2 – 1 e) x2 + 1

6. Hallar el MCM de: P(x; y) = x2 – y2 F(x; y) = x2 – 2xy + y2 S(x; y) = x2 + 2xy + y2 a) x – y b) (x + y)3

c) (x2 – y2)2 d) (x2 – y2)3

e) (x - y)3

7. Indique el MCD de: P(x; y) = x3 + x2y + xy2 + y3 Q(x; y) = x3 – x2y + xy2 – y3 R(x; y) = x4 – y4 a) x2 + y2 b) x2 – y2 c) x2 + 1

d) y2 + 1 e) x + y

8. Indique el MCD de: P(x) = 3x3 + x2 – 8x + 4 Q(x) = 3x3 + 7x2 - 4 a) 3x2 + 4x – 4 b) 3x2 – 4x + 4 c) 3x2 + x – 4 d) x2 – 4x + 4 e) x + 2

9. Hallar el MCD de los polinomios: P(x; y) = x3 – xy2 + x2y – y3 F(x; y) = x3 – xy2 – x2y + y3 C(x; y) = x4 – 2x2y2 + y4 a) x + y b) x – y c) x2 – y2 d) (x + y)(x – 3y) e) x2 – y4

10. Se tienen dos polinomios cuyo

MCD es: x2 + 2x - 3

si uno de los polinomios es: P(x) = 2x4 + 3x3 – 2x2 + Ax + B

entonces “A + B” es: a) 33 b) -3 c) 12 d) -6 e) 1

11. El cociente de los polinomios es “2x” y el producto de su MCM por su MCD es: 2x3(x + y)2

entonces uno de los polinomios es: a) x2 + xy b) xy + y2

c) (x + y)2 d) x + y e) 2x + 2y

12. El producto de dos polinomios

es (x2 - 1)2 y el cociente de su MCM y MCD es (x - 1)2.

Calcular el MCD.

)C;B;A(MCD)C;B;A(MCM

S =

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a) x + 1 b) x2 + 1 c) (x + 1)2 d) (x - 1)2 e) x - 1

13. Si el MCM de los polinomios: x2 + x – 2 x4 + 5x2 + 4 x2 – x - 2 es equivalente a: x8 + Ax6 + Bx4 + Cx2 + D Determinar: “A + B + C + D” a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

14. Hallar el MCD de los polinomios:

P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6) a) (x + 2) d) (x + 1)(x - 3) b) (x + 2)(x - 3) e) N.A. c) (x + 2)2(x - 3)4

15. Hallar el MCM de los polinomios:

P(x) = (x + 2)2(x - 3)4(x + 1) Q(x) = (x + 2)5(x - 3)5(x + 6) a) (x + 2)5(x - 3)5(x + 1)(x + 6) b) (x + 2)4(x - 3)4(x - 2) c) (x + 1)6(x - 1)6 d) (x + 2)2(x - 3)4 e) (x + 1)(x - 2)

TAREA DOMICILIARIA 1. Hallar el MCD de los polinomios:

P(x) = (x + 3)4(x2 + 1)6(x - 2)2(x + 7)6 Q(x) = (x + 7)2(x2 + 1)3(x - 2)4(x + 5)6 R(x) = (x + 5)4(x2 + 1)2(x - 2)3(x + 3)3 a) (x2 + 1)(x - 2) d) (x2 + 1)4(x - 2)3

b) (x2 + 1)2(x - 2)2 e) N.A. c) (x + 1)(x + 3)

2. Hallar el MCM de los polinomios: P(x) = (x + 3)4(x2 + 1)6(x - 2)2(x + 7)6 Q(x) = (x + 7)2(x2 + 1)3(x - 2)4(x + 5)6 R(x) = (x + 5)4(x2 + 1)2(x - 2)3(x + 3)3 a) (x2 + 1)6(x - 2)4(x + 3)4(x + 7)6(x + 5)6 b) (x2 + 1)3(x - 2)2(x + 3)8(x + 7)5 c) (x + 1)(x - 2)(x + 5) d) (x2 + 1)(x - 2)(x + 3) e) N.A.

3. Hallar el MCD de los polinomios: P(x, y) = x3 – xy2 + x2y – y3 F(x, y) = x3 – xy2 – x2y + y3 C(x, y) = x4 – 2x2y2 + y4 a) x + y b) x – y c) x2 – y2 d) (x + y)(x – 3y) e) N.A.

4. Determinar el grado del MCM de los polinomios: A(x) = x2 – 15x + 36 B(x) = x2 – 9 C(x) = x3 + 6x2 – 63x + 108 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

IBIMESTRE

14

SESION 04: FRACCIONES ALGEBRAICAS

Frac

ción

Alg

ebra

ica

15

ÀLGEBRA–5AÑO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Simplificar:

a) b) c) d) 1 e) a + x

2. Efectuar:

a) b) c) d) b e) a

3. Efectuar:

a) b) c)

d) e)

4. Simplificar:

a) b) c) d) x e) 1

5. Reducir:

a) b) c) d) 3 e) 2

6. Efectuar:

a) 0 b) 1 c) 2 d) x e)

7. Reducir:

a) x2 + 1 b) x2 + 2 c) x2 + 3 d) x2 + 4 e) x2 + 5

8. Simplificar:

a) a – b b) a c) ab d) a + b e) a2 + b

9. Efectuar:

a) –a b) –b c) a d) b e) 1

10. Si:

Hallar: A + B a) 8 b) 4 c) -6 d) 12 e) N.A.

11. Si la fracción:

es independiente de “x” e “y”, hallar “m” a) 6 b) c)

22

2

xaaxa

-

-

xa1 +

xa1 -

xaa+

ababab

aabbab

2

2

2

2

-

-+

+

+

ab2

a2b

ab

62x

42x +-

-

62x +

1210x -

24x5 +

26x +

1,0x2

-

8x2x6x5x

2

2

-+

+-

1x1x

-+

3x2x

-+

4x3x

+-

4a3a20aa

2aa6a5a

2

2

2

2

--

-++

--

+-

1a2+ 3a

2- 1a

2a++

1xx

1xx2

1xxM

2

2

32

-+

--

+=

2x

x11

1xx

x11

1xx 23

++

+-

-+

-

úúû

ù

êêë

é-úû

ùêëé

-+ 2

2

ab1

baaba

22

33

2

23

baba

)ba(baa

-

+-

-

-

4xB

5xA

20xx2x3

2 ++

-=

--

+

y3x4myx2

++

61

23

IBIMESTRE

16

d) 4 e) 1

12. Si:

Hallar: “MN”

a) b) c)

d) e)

13. Muestre el producto resultante:

a) b) c)

d) e) N.A.

14. Reducir:

a) b) c) y

d) 1 – x e)

15. Calcular la suma de la serie de

Stirling mostrada:

a) b) c)

d) e) N.A.

TAREA DOMICILIARIA 1. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 0 d) 3 e) -1

2. Reducir:

a) b) c) d) b e) N.A.

3. Reducir:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) N.A.

4. Efectuar:

a) b) 2 c) x d) 1 e) 0

5. Reducir:

a) b) c) d) x e) N.A.

6. Simplificar:

a) b) c) a

d) 1 e)

111

122

)ba()ba(M---

---

+

-=

122

111

)ba()ba(N---

---

-

-=

22 ab1- 22 ba

ab+ ab

ba 22 -

baba

-+

ababa

-+

÷øö

çèæ

++÷

øö

çèæ

++÷

øö

çèæ

++÷

øö

çèæ +

nx11...

2x11

1x11

x11

nnx +

x1nx ++

nnx -

x1nx +-

yx1

11

11

--

-

yx

xy

yyx -

nn1...

121

61

21

2 +++++

1nn- 1n

n+ 2n

1n--

2n1n

++

nbmba

nbmbbab

2

2

+--

++

+

ababab

aabbabM 2

2

2

2

-

--

-

-=

ab2

a2b

ab

5x6x15x16x

25xx10x2

2

2

2

2

++

+++

-

-

2x5x24x

1xx23x2x

2

2

2

2

++

-+

--

-+

1xx2-

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

++

++÷

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-+

-+

9x6x12x7x

3x2x2xx

2

2

2

2

3x5x

-+

1x2x

+-

x3x -

÷øö

çèæ +÷

øö

çèæ

+-=

ax1

axx1E

a1

x1

a2

17

ÀLGEBRA–5AÑO