If you can't read please download the document
Upload
lymien
View
292
Download
40
Embed Size (px)
Citation preview
1
ALGEBRA IR SKAII TEORIJA
VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS
Rimantas Skrabutnas
ALGEBRA IR SKAII TEORIJA
(Paskait konspektas I)
I . Logikos ir aibi teorijos elementai.
Algebrins struktros ir skaii sistemos
II . Tiesins algebros pagrindai
Vilnius, 2004
2
ALGEBRA IR SKAII TEORIJA
Vilniaus pedagoginis universitetas, 2004 Rimantas Skrabutnas, 2004
Leidinys apsvarstytas ir rekomenduotas spaudai VPU Matematikos ir informatikos
fakulteto algebros ir statistikos katedros posdyje 2003 gegus 23 d., protokolo Nr. 5.
Katedros nutarimas patvirtintas VPU Matematikos ir informatikos fakulteto tarybos
posdyje 2003 birelio 21., protokolo Nr. 29.
Recenzavo: doc. dr. Liucija Griniuvien,
doc. dr. Gintautas Bareikis
3
ALGEBRA IR SKAII TEORIJA
O D I S S K A I T Y T O J U I O D I S S K A I T Y T O J U I O D I S S K A I T Y T O J U I O D I S S K A I T Y T O J U I O D I S S K A I T Y T O J U I
Algebros ir skaii teorijos kursas bsimiesiems matematikos ir informatikos moky-
tojams skaitomas jau kelis deimtmeius. i diciplina yra vienas i bazini auktosios
matematikos dalyk, suteikiani Matematikos ir informatikos fakulteto studentams
profesinio isilavinimo pagrindus. Metams bgant, kurso programa keitsi: tai siaurjo,
tai vl pltsi, taiau j dst katedros dstytojai visada stengdavosi irykinti itin tam-
pr algebros bei skaii teorijos dalyko ry su mokykliniu matematikos kursu.
io leidinio autorius algebros ir skaii teorijos paskaitas studentams - matemati-
kams skaito bema tris deimtis met. Atsivelgdamas ms Universiteto tikslus ir ia
stojanij realias galimybes, stengiausi nesusiavti dabar madingu moderniuoju ds-
tymo stiliumi, kai auktas abstrakcijos laipsnis, savok ir termin gausa jaunam mo-
gui (danai, ms poiriu, turiniam nepakankam pasiruoim studijoms auktojoje
mokykloje) ugoia dalyko esm, jau nekalbant apie mintas ssajas su mokykline
matematika.
Pateikiamas paskait konspektas negali pakeisti vadovli ir udavinyn, skirt i-
samioms algebros ir skaii teorijos studijoms. is konspektas laikytinas pagalbine,
studij darb sisteminania priemone. Taiau tikiuosi, kad leidinys bus naudingas ne
tik studentams, bet ir matematikos - informatikos mokytojams. Konspektai, pagal at-
skiruose semestruose dstom tematik, slyginai padalyti keturias dalis, kuri kiek-
viena sudaryta i atskir, atitinkamai sunumeruot paskait. Jose, savo ruotu, iskirti
potemiai.
Pagal atnaujint studij program, algebr numatoma dstyti II ir IV semestruose,
skaii teorij III semestre, pirmajame semestre pateikiant angin diskreiosios
matematikos (matematins logikos elementai, aibi teorijos ir kombinatorikos pagrin-
dai) modul.
Be to, pirmuosiuose semestruose dar supaindiname su svarbiausiomis algebrin-
mis struktromis bei j bendrosiomis savybmis. Tuo pagrindu vliau aksiomatikai
aptariamos skaii sistemos, ypating dmes skiriant realij skaii lauko pltiniui,
kompleksiniams skaiiams.
Antrame semestre studijuojami tiesins algebros pagrindai (tiesini lygi sistemos,
matricos ir determinantai, vektorins erdvs ir tiesiniai operatoriai), supaindinama su
paprasiausiais optimizavimo udaviniais.
Treiame semestre studijuojame skaii teorij.
4
ALGEBRA IR SKAII TEORIJA
Ketvirtas semestras skiriamas polinom teorijai. rodoma pagrindin algebros te-
orema, vl grtant prie pirmame semestre pradtos algebrini lygi tematikos.
Vis, per keturis semestrus dstom mediag, apjungiame bendru pavadinimu al-
gebra ir skaii teorija.
Nuoirdiai dkoju recenzentams docentams Liucijai Griniuvienei ir Gintautui Ba-
reikiui, kuri geranorikos kritins pastabos man buvo labai naudingos.
Autorius
5
ALGEBRA IR SKAII TEORIJA
Paskaita 1 01
Pirmoji uduotis: pakartoti mokyklins matematikos kurs. Nemanykite, kadmokyklins matematikos inios toliau bus nereikalingos. Kaip tik atvirkiai: tie, kas darmokykloje gerai sisavino matematikos pagrindus, ymiai tviriau jausis ir studijuodamimatematik - informatik Universitete. Maa to, bsimasis mokytojas turi neblogai imanyti irdaugel kit dalyk, o ypa savo gimtj kalb.
Jei gerai ilaikte valstybin matematikos egzamin, tai labai tiktina, jog matematikosstudijoms pasiruota normaliai. Bet pakartoti mokyklines matematikos inias patariau visiems.
Santrumpos. Taupant laik ir viet, konspekte danai naudojamos santrumpos. Norstekste dauguma i j paaikinamos, bet svarbiausias ivardijame jau dabar:
Ap apibrimas;r rodymas;LF login formul (forma);KNF konjunkcin normalioji forma;DNF disjunkcin normalioji forma;PF predikatin formul (forma);BS binaris sryis;ES ekvivalentumo binaris sryis;FS funkcinis binaris sryis (funkcija);AO algebrin operacija;AS algebrin struktra;KAD komutatyvumas, asociatyvumas ir distributyvumas;MIP matematins indukcijos principai;AA Archimedo aksioma;MSP maiausiojo skaiiaus principas;DSP didiausiojo skaiiaus principas;DP Dedekindo pjvis;KS kompleksinis skaiius;TF kompleksinio skaiiaus trigonometrin forma;P primityvioji (vieneto) aknis;TLS tiesini lygi sistema;THLS tiesini homogenini lygi sistema;EP elementarieji pertvarkiai;TN tiesikai nepriklausomas (vektori rinkinys);TP tiesikai priklausomas (vektori rinkinys);VE vektorin erdv;EE Euklido erdv;TO tiesinis operatorius.
1 01
6
ALGEBRA IR SKAII TEORIJA
Matematins kalbos pagrindaiMatematins kalbos pagrindaiMatematins kalbos pagrindaiMatematins kalbos pagrindaiMatematins kalbos pagrindai
Matematins logikos elementai. Paprasti ir sudtiniai teiginiaiMatematikoje plaiai naudojama tam tikra ymen sistema bei formaliosios logikos
samprotavimo taisykls. Tai sutrumpina uraus, sistemina matematini fakt (teorem)
rodymus. Matematikoje samprotaujama teiginiais.
Ap. Teiginiu vadinamas teigiamojo pobdio sakinys, kuris ireikia ties arba
neties.
Teiginius ymsime raidmis p, q, r,. Kartais naudosime ir indeksus.
Jei teiginys p yra teisingas, sutrumpintai raysime ( ) 1=p , jei klaidingas, - ( ) 0=p .(Danai raoma dar trumpiau: 1=p ir, atitinkamai, 0=p ).
Yra paprasti ir sudtiniai teiginiai. Paprastais (elementariaisiais) vadinami teiginiai, kuri
negalima suskaidyti sudtines dalis, kurios vl bt teiginiai. Pavyzdiui, teiginys lauke dabar
sninga yra paprastas (vasar, klaidingas) teiginys. Tuo tarpu teiginys Lietuva yra
nepriklausoma valstyb ir Paryius yra jos sostin yra jau sudtinis, nes j sudaro paprasti
teiginiai Lietuva yra nepriklausoma valstyb ir Paryius yra jos sostin sujungti odeliu
ir. Toki sudtini teigini teisingum tiria matematin logika. Gi paprast teigini teisingumo
reikm nustatome remdamiesi mokslo iniomis, savo patirtimi ar stebjimo bdu. Pastarajame
pavyzdyje pirmasis i sudtin teigin sudarani teigini yra teisingas, antrasis, klaidingas, o
viso sudtinio teiginio teisingumo reikm kol kas neaiki.
Matematinje logikoje atsiribojama nuo teigini turinio ir domimasi tik j teisingumu. Tad
sudtinis teiginys gali skambti ir neprastai. Pavyzdiui, dukart du yra penki arba Paryius
nra Lietuvos sostin.
Logins jungtys ir operacijosSudtiniai teiginiai gaunami i paprastj, panaudojant logines jungtis. Yra penkios logins
jungtys ireikiamos odiais: arba, ir, jei, tai, tada ir tik tada, netiesa, kad . Jas
atitinka penkios pagrindins logins operacijos: disjunkcija, konjunkcija, implikacija,
ekvivalencija, neiginys. Tam, kad samprotavimuose galtume nustatyti sudtini teigini
teisingumo reikmes, rodyti vairius neakivaizdius faktus, naudojame logini operacij
apibrimus, logikos dsnius ir ivedimo taisykles.
Ap. Jei p , q - bet kokie teiginiai, tai j disjunkcija yra vadinamas naujas teiginys
p arba q, kuris laikomas klaidingu tik kai abu disjunkcijos nariai p, q yra klaidingi.ymima p q. Panaiai apibriamos ir kitos keturios logins operacijos. J apibrimus
suformuluokite patys. Naudojami logini operacij ymjimai ir (atitinkamu apibrimu
nustatomos) j teisingumo reikms, pateikiamos ioje lentelje:
1 01
7
ALGEBRA IR SKAII TEORIJA
Dabar jau aiku, kad ms sudarytas sudtinis teiginys Lietuva yra nepriklausoma
valstyb ir Paryius yra jos sostin, pagal teigini konjunkcijos apibrim, yra klaidingas,
o teiginys dukart du yra penki arba Paryius nra Lietuvos sostin, pagal teigini
disjunkcijos apibrim, yra teisingas, nors abiem atvejais tik vienas i sudtin teigin sudarani
paprast teigini yra teisingas.
Logins formuls. I lentelje ivardint pagrindini formuli, panaudojant, kaip irpaprastoje algebroje, skliaustus, galima sudaryti kitas, sudtines logines formules (sutrumpintai:
LF), kuri teisingumas nustatomas remiantis pateiktais lentelje apibrimais. LF sudarymas
grindiamas tam tikrais reikalavimais, kuri visuma gali bti laikoma formaliu LF apibrimu.
Ap. Baigtin simboli seka i aibs ) ({ },,,,,,,...,,, rqp sudaryta laikantisreikalavim:
a) p, q, r, laikomi LF (paprasiausiomis);
b) kai P ir Q yra LF, tai ( ) ( ) PQPQPQPQP ,,(),(), irgi yra LF;c) kitoki LF nra,
vadinama LF.
Be to, susitarsime nerayti iorini skliaust.
Pavyzdiui, iraika ))(( rwpq yra LF, o seka ))(( rwpq nra LF,nes, pagal apibrim, enklai ir negali stovti greta .
Teiginius yminios raids p, q, r, vadinamos propozicinmis raidmis. Kai formulje
yra k toki raidi, tai, sudarant jos teisingumo lentel, i viso reikia inagrinti k2 atvej.
Pavyzdiui, kadangi formulje ))(( rwpq yra keturios propozicins raids