ตอนท 4อตราการสลายตวของธาตกมมนตรงส

ผลการเรยนรทคาดหวง1. บอกความหมายของธาตเสถยร ครงชวต คาคงตวการสลายและ

กมมนตรงสได2. นำากฎการสลายของธาตกมมนตรงสไปใชคำานวณหาปรมาณตางๆ

ทเกยวของเมอกำาหนดสถานการณให

แนวทางการเรยนรเพอพฒนาตนเอง ใชเอกสารประกอบการเรยน ตอนท 4 เรอง อตราการสลายตวของธาตกมมนตรงส แลวปฏบต ดงน 1. รวมกนอภปรายเกยวกบอตราการสลายตวของธาตกมมนตรงส

2. ทำาแบบฝกหดท 4 เรอง อตราการสลายตวของธาตกมมนตรงส 3. ตรวจแบบฝกหดท 4 จากชดเฉลยแบบฝกหด 4. ศกษาเอกสารประกอบการเรยน เรอง อตราการสลายตวของธาตกมมนตรงส เพมเตม 5. ปรบปรงแกไขขอผดพลาดจากการทำาแบบฝกหด

1

4.1 อตราการสลายตวของธาตกมมนตรงส รทเธอรฟอรดและซอดดไดตงสมมตฐานเพออธบายการสลายตวของธาตกมมนตรงสไว ดงน 1. ธาตกมมนตรงสจะแตกตวออกใหอนภาคแอลฟาหรอเบตาไดสารใหม และสารใหมทเกดขนนอาจจะมการแผกมมนตภาพรงสตอไปไดอก

2.ในการสลายตวของธาตกมมนตรงส เราไมสามารถจะบอกไดวานวเคลยสใดจะสลายกอนหรอหลงแตเราสามารถบอกไดเพยงวานวเคลยสทกตวมความนาจะเปนทจะสลายตวเทากนหมดและอตราการสลายจะแปรผนตรงกบจำานวนนวเคลยส (นวเคลยสทพรอมจะสลาย) ในขณะนน ถาทเวลา t1 ใหธาตกมมนตรงสมจำานวนนวเคลยสอย N1 และทเวลา t2 ใหธาตกมมนตรงสมจำานวนนวเคลยสอย N2

อตราการลดของนวเคลยส = = โดย = N2 - N1 = การเปลยนแปลงของนวเคลยส = t2

- t1 = เวลาทผานไป จากสมมตฐานขอ 2 จะไดอธบายอตราการสลายขนอยกบจำานวนนวเคลยสทมอยขณะนน - N

- = N ….. (1)

โดย = คาคงทของการสลายตว (decay constant) มหนวย s-1

N = จำานวนนวเคลยสของธาตกมมนตรงสทมอยขณะนน

2

- = อตราการสลายตวของนวเคลยส มเครองหมายเปนลบ แสดงวาเปนอตราการลด

จากสมการท 1 ถาเราให เขยนสมการใหมได = - N

= - N = - dt

= ….. (2)

จากสมการ Integrate จะได N สมการ 2 เขยนใหมได N = - t แทนคาขดจำากดบน Upper Limit และขดจำากดลาง Lower Limit จะได N - N0 = - = -t เขยนในรปเลขชกำาลงจะได e-t = N = N0e-t

….. (3)โดย N0 = จำานวนนวเคลยสของธาตกมมนตรงสท

เวลา t = 0 N = จำานวนนวเคลยสของธาตกมมนตรงสทเวลา t = t e = คาคงท = 2.71828

จากสมการ 3 เขยนกราฟความสมพนธระหวาง N กบ t ไดกราฟดงภาพท 4

3

ภาพท 4 กราฟความสมพนธระหวาง N กบ t T1/2 = เวลาทจำานวนนวเคลยสลดลงเหลอครงหนงเรยกวา “ครงชวต” (Half Life) ดงนน เมอ t = T แลวจะได N = แทนคาในสมการท 3 N = N0e-t จะได = N0e -T

= e-T

2 = e T …..(4)

เขยนในรปของ log จะได log e 2 = T log 2 = = = 0.693 = T

T = …..(5)

จากสมการท 4 2 = e T

ยกกำาลง จะได 2 = e

2- = e -

แทนคา e- ในสมการ 3 N = N0e-t

4

นนคอ N = N02 …..(6)

อตราการสลายตวของนวเคลยสตอวนาท ( ) เรยกวา กมมนตภาพ (activity) ใชสญลกษณ R มหนวยเปนนวเคลยสตอวนาท หรออนภาคตอวนาท หรอเบคเคอเรล(Bq) หรอวดเปนคร(Ci) โดย 1 คร เทากบ กมมนตภาพ 3.7 1010 นวเคลยส/ วนาท ปจจบนในหนวย SI กมมนตภาพ นยมใชหนวยเบคเคอเรล เขยนยอๆวา Bq โดย 1 Bq เทากบ กมมนตภาพ 1 นวเคลยส/ วนาท 1 คร เทากบ กมมนตภาพ 3.7 1010 Bq จากนยามสรปไดวา R = = N …..(7)

ถาเอา คณตลอดในสมการ (3) และสมการ (6) จะได M = M0e-t หรอ M = M0 . 2

เมอ M0 = M เปนมวลของธาตตอนเรมตนและ ณ เวลา t ใด ๆ ตามลำาดบ ถาเอา คณตลอดในสมการ (3) และ (6) จะได R = R0 e -t หรอ R = R0 .2

เมอ R0 และ R เปนกมมนตภาพของธาตตอนเรมตนและ ณ เวลา t ใด ๆ ตามลำาดบ สรปสตรเกยวกบกมมนตภาพรงส 1. R = = N 2. N = N0e-t หรอ N = N0

2

5

3. M = M0e-t หรอ M = M0

2 4. R = R0e-t หรอ R = R0 2 5. T = กราฟความสมพนธระหวาง ln R กบ t หรอ InN กบ t จาก R = RO e -t

In R = In ( RO e -t ) In R = In RO + In e-t

In R = In RO - t In e แต In e = 1 จะไดวา In R = In RO -t ซงเปนสมการเสนตรงมลกษณะกราฟดงรป

ตวอยางท 8 เรเดยม -226 มเวลาครงชวต 1620 ป ถาจะใหอตราการสลายตวเปน 20,000 ตอวนาท จะตองใชมวลของเรเดยมเทาไรวธทำา หาจำานวนนวเคลยสจาก R = N จากโจทย R = 20,000 ตอวนาท

= ตอวนาท

แทนคา 20,000 = 1.36 x 10-11 N จะได N = 1.47 x 1015 นวเคลยส มวลของเรเดยม = = 5.54 x 10-7 กรม

6

= 0.55 g ตอบ

ตวอยางท 9 ไอโซโทปกมมนตภาพรงส มเวลาครงชวต 15 ชวโมง ไดถกสงไปยงโรงพยาบาลจฬา ถาเสยเวลาในการขนสง 3 ชวโมง ทางโรงพยาบาลจฬาจะใชกมมนตภาพรงสไดแงรงทสดเทาใด ถาเรมบรรจมกมมนตภาพ 10 มลลคร กำาหนด 20.2 = 1.15 วธทำา หาคากมมนตภาพไดจาก R = RO2 จากโจทย RO = 10 mci , T = 15 hr , t = 3 hr , R= ? แทนคา R = 10 x 2

R = 10 x 2 = มลลคร เมอถงโรงพยาบาล จะมกมมนตภาพ = 8.7 มลลคร ตอบตวอยางท 10 อะลมเนยม - 28 แตกตวใหอนภาคเบตา ตอนแรกวดกมมนตภาพของสารนได 0.01664 คร แตเมอเวลาผานไป 9.24 ชวโมง อตราการสลายตวเหลอเพยง 0.00104 คร ดงนน เวลาครงชวตของอะลมเนยมคอ เทาไรวธทำา หาเวลาครงชวตจาก R = RO . 2

จากโจทย RO = 0.01664, R = 0.00104, t = 9.29 ชวโมง แทนคา 0.00104 = 0.01664 x 10

2-4 = 2 T = ชวโมง ครงชวตของอะลมเนยม = 2.32 ชวโมง ตอบ

7

ตวอยางท 11 สารกมมนตรงสจำานวนหนงเมอทงไว 2 ชวโมง ปรากฏวาสลายไป เทาของของเดมจงหาคานจของการสลายตวของสารน วธทำา หาครงชวตจาก N = NO . 2

จากโจทย t = 2 ช.ม , NO = NO, N = NO - NO = , T = ? = NO . 2

2-4 = 2 T =

หาคานจของการสลายตวจาก = / ชวโมง ตอบ

ตวอยางท 12 สารตวอยาง มกมมนตภาพ A ในเวลาตาง ๆ โดยกราฟของ In A กบเวลา t แสดงดงรป เวลาครงชวตของ

Cr – 55 คอเทาไร

วธทำา จาก A = AOe- t

In A = ln AO e-t

ln A = ln AO - t ( lne ) ln A = ln AO - t จากสมการและกราฟจะได ln AO = 3 และ - = slope = แต - = =

8

T = 3.465 นาท

ครงชวต Cr - 55 = 3.465 นาท ตอบ

ตวอยางท 13 เมอนวเคลยสหนงสลายตวไป พบวากมมนตภาพ A ของนวเคลยสทเหลอในเวลา t ตาง ๆ เขยนกราฟไดดงรป จงหา ก. คาคงทของการสลายตวของนวเคลยส ข. เวลาครงชวตของนวเคลยส

วธทำา จาก A = AO e -t

ln A = lnA O - t ( Ine ) ln A = ln AO - t จากสมการ และกราฟจะได ln AO = 20

และ - = slope = = 2.5 (นาท ) – 1

จาก = แทนคา 2.5 = T = 0.277 นาท เวลาครงชวต = 0.277 นาท คาคงทของการสลายตว = ตอนาท ตอบ

9

ตวอยางท 14 เศษไมโบราณเมอนำาไปวดกมมนตภาพจะได 12.5 ตอนาทตอกรม ของคารบอน - 14 แตไมชนดเดยวกน ซงมชวตและอบแหงแลวเปนปรมาณเทากนวดได 100 ตอนาท อยากทราบวาเศษไมโบราณไดตายมาแลวกป แลวกำาหนดเวลาครงชวตของ เทากบ 5,600 ปวธทำา หาอายของเศษไมโบราณจาก R = RO . 2 จากโจทย R = 12.5 ตอนาท , RO = 100 ตอนาท , T = 5,600 ป, t = ? แทนคา 12.5 = 100 2 = 2

2 – 3 = 2 t = 5600 x 3 = 16 ,

800 เศษไมโบราณไดตายมาแลว 16,800 ป

ตอบ

ตวอยางท 15 มวล 1 มลลกรมของเรดอน 222 ซงมครงชวต 3.8 วน จะมกมมนตภาพเทาใดวธทำา หาคาคงทของการสลายตวจาก = จากโจทย T = 3.8 วน = 3.8 x 24 x 3600 = 328, 300 วนาท แทนคา = ตอวนาท เรดอน 1 โมล มมวล 222 กรม มจำานวนนวเคลยส = 6.02 x 10 23 นวเคลยส เรดอนมวล 1 10-3 กรม มจำานวนนวเคลยส =

นวเคลยส จำานวนนวเคลยสของเรดอน 1 มลลกรม = 2.7 x 1018 นวเคลยส

10

หากมมนตภาพจาก R = N = 2.1 x 10- 6x 2.7 x 1018

= 5.7 x 1012 นวเคลยส / วนาท กมมนตภาพ = 5.7 x 1012 เบคเคอเรล ตอบตวอยางท 16 ครงชวตของ เทากบ 2.7 วน จงหาจำานวนของธาตทสลายไปวาเปนกเทาของจำานวนเดม เมอทงธาตทองนไว 5.4 วนวธทำา โจทยกำาหนดครงชวตมาให ดงนนจงเลอกสตรทมครงชวตมาคำานวณ จากสตร N = NO 2 จากโจทย t = 5.4 , T = 2.7 ใหเดมมธาตอย = NO เมอเวลาผานไป 5.4 วนเหลออย = N แทนคา N = NO 2

N = NO 2-2 = ธาตนสลายตวไป = NO - แสดงวาเมอทงธาตทองนไว 5.4 วน จะสลายตวไป =

เทาของของเดม ตอบ

ตวอยางท 17 ปลอยใหธาตกมมนตรงส A จำานวน 1 หนวย สลายอยเปนเวลานาน 2 เทาของครงชวตไปเปนธาต B ซงเสถยร อยากทราบวาจะมธาต B เกดขนเทาไร จากการสลายของ A ในชวงเวลานนวธทำา B เสถยรดงนนปรมาณธาต B ทเกดขนจะเทากบปรมาณ A ทสลายไป จาก N = NO2 จากโจทย NO = 1 ; t = 2T แทนคา N = 2 = ( )

11

นนคอ จะมปรมาณ A เหลออย = ปรมาณ A สลายไปเปน B = 1

หนวย ตอบ

ตวอยางท 18 สารกมมนตภาพรงสชนดหนงจะใชเวลานาน 10 ป ในการทำาใหสารกมมนตรงสสลายไป 10 % อยากทราบวาในชวงเวลาอก 10 ปถดไปสารกมมนตรงสจะสลายตวไดอกกเปอรเซนตจากปรมาณเดมวธทำา พจารณาการสลายตวใน 10 ปแรก ใหเดมมสารกมมนตรงสอย (NO ) = 100 หนวย

เมอเวลาผานไป 10 ป เหลอสารอย ( N ) = 100 – 10 = 90 หนวย

จากสต ร N = NOe-t

แทนคา 90 = 100e-10

0.9 = e-10t ….. ( 1)

พจารณาการสลายตวใน 10 ปถดไป กอนการสลายตวมสารกมมนตรงส ( NO ) = 90 หนวย เมอเวลาผานไป 10 ป เหลอสารอย = N หนวย

จากสตร N = NOe-t

แทนคา N = 90-10 ….. ( 2 )

(2) / (1) N = 81

ในชวงเวลา 10 ปหลงสารกมมนตรงสสลายตวไป = 90 – 81 = 9 หนวยแสดงวาสลายตวไปจากเดม 9

ตอบ

ตวอยางท 19 ถาเดมเรามโปโลเนยม 210 อย 1010 นวเคลยส ปรากฏวาสลายตวใหอนภาคแอลฟา 561 ตวตอวนาท จงหาวา

12

ก. ชวงเวลาครงชวตของโปโลเนยมนเทากบเทาไรข. เมอใดสารนจะสลายตวไป เทาของเดม

วธทำา เราจะหาครงชวตไดกตอเมอตองทราบคา เสยกอน จากโจทย กำาหนดใหมธาตโปโลเนยมอย 1010 นวเคลยส และมอตราการสลาย ( R ) เทากบ 561 ตว / วนาท

จากสตร R = N แทนคาจะได 561 = 1010 = 561 x 10 – 10 ตอวนาท

จากสตร T = แทนคาจะได T = วนาท

T = วน หาเวลาทธาตสลายตวไป เทาของเดม

ใหเดมธาตอย = NO หนวย เวลาผานไป t เหลอ = NO- =

หนวย จากสตร N = NO2

แทนคา = NO2 = 2 2- 5 = 2

5 = t = 143 x 5 = 715 วน

ตองใชเวลานาน = 715 วน ธาตจงสลายไป เทาของเดม ตอบ

13

ตวอยางท 20 ถาในตอนแรกมนวเคลยสของตะกว 214 อย 2.88 x 1021 ตว ตะกวนแตกตวใหรงส โดยมชวงเวลาครงชวตเทากบ 26.8 นาท จงหา

ก. เมอเวลาผานไป 1 ช.ม. กบ 33.8 นาท เรามตะกวนเหลออยกนวเคลยสข. ในตอนแรก ( t = 0 ) สารกมมนตรงสนมกมมนตภาพกคร และก Bq

วธทำา จากโจทยเดมมตะกวอย NO = 2.88 x 1021 ตว

ครงชวต T = 26.8 นาท

เวลาผานไป T = 1 ชม. 33.8 นาท

= 93.8 นาท ใหมตะกวเหลอ = N ตว

จากสตร N = N02แทนคา N = 2.88 x 1021 x 2

N = 2.88 x 1021 (2 ) N =

N = 2.55 x 1020 นวเคลยส เมอเวลาผานไป 1 ชม. 33.8 นาท มตะกวเหลอ = 2.55 x 1020 นวเคลยส ตอบในตอนแรกเรามตะกวอย N = 2.88 x 1021 ตว ตองการหา R จากสตร T =

= จากสตร R = N ตอวนาท

14

แทนคา R = 4.3 x 10-4 x 2.88 x 1021 R = 1.24 x 1018 เบคเคอเรล R = = 3.35 x 107 คร

ตอบ

ตวอยางท 21 เมอสกดเอาคารบอนออกจากตนไมชนดหนงพบวา ถาใชตนไมนปรมาณ 10 กรม คารบอนทสกดไดจะใหรงสออกมาดวยกมมนตภาพ 208 Bq ถานำาไมจากรปแกะสลกโบราณซงทำาจากไมชนดเดยวกนนมา 10 กรม จะพบวาคารบอนจากของโบราณนใหกมมนตภาพ 26 Bq จงหาอายวตถโบราณนถาคารบอนทสกดมาไดนมครงชวต 5,570 ปวธทำา จากโจทย อตราการสลายของคารบอนในตนไม = 208 Bq อตราการสลายของคารบอนในวตถโบราณ = 26 Bq เนองจากวตถโบราณทำามาจากตนไม ดงนนอตราการสลายของคารบอนในวตถเรมแรกจงมคา RO = 2.8 Bq และเมอเวลาผานไป t ป อตราการสลาย R ลดลงเหลอ = 26 Bq จาก R = RO2

แทนคา 26 = 208 2

2-3 = 2 3 = t = 16, 710 ป

อายวตถโบราณน = 16, 170 ป ตอบ

15

ตวอยางท 22 อตราสวน C14 C12 ของวตถโบราณชนหนงวดไดวามคาเปน 25 ของ C14 C12 ในพชมชวต จงคำานวณอายของวตถโบราณน ถาวตถโบราณนทำามาจากพชครงชวตของ C14 = 5568 ปวธทำา ใหอตราสวนของ C14 C12 ของวตถโบราณได = N

อตราสวนของ C14 C12 ของพชทมชวตวดได = NO

เนองจากวตถโบราณทำามาจากพชทมชวตดงนนเดมวตถโบราณ จงมคารบอนอย NO และเมอเวลาผานไป t ป เหลอคารบอนอย = N

จากสตร N = N O 2 แทนคา N = NO 2

= 2 = 2

2 = t = 2 5568 = 11, 136 ป

อายของวตถโบราณ = 11, 136 ป ตอบ

ตวอยางท 23 ถาฉด Iodine I131 1 กรม ซงมครงชวต 8.1 วนเขาไปในรางกายของผปวยภายหลงจากนน 14 วน จะม I131 เหลออยรอยละเทาใด และขณะนนจะมกมมนตภาพเหลอเทาไรวธทำา หาปรมาณไอโอดนในรางกายคนหลงจากผานไป 14 วน จากสมการ

M = MO2

16

จากโจทย M = 1g , T = 8.1 วน , t = 14 วน , M = ?

แทนคา M = 1 x 2 = 2- 1.73 = 0.301 กรม

เดมม Iodine 1 กรม ผานไป 14 วนเหลอ = 0.301 กรม

เดมม Iodine 100 กรม ผานไป 14 วนเหลอ = 0.301 x 100 = 30 g

จะเหลอ Iodine อยรอยละ = 30 ตอบ

หากมมนตภาพ จาก R = N =

จากโจทย T = 8.1 วน = 8.1 x 24 x 3600 = 699840 วนาท N = 0.3 g =

นวเคลยส แทนคา R =

R = 1.37 x 1015

ตอวนาท กมมนตภาพขณะนน 1.37 x 1015 ตอวนาท ตอบ

ตวอยางท 24 ถาใหผปวยรบประทานสารกมมนตภาพรงสทมครงชวต 15 วน ขนาด 1 คร และ 36 ชม. ตอมาวดกมมนตภาพของอจจาระได 0.25 คร จงคำานวณปรมาณรอยละของสารกมมนตภาพรงสทซมเขาสรางกายผปวย

17

วธทำา หากมมนตภาพเมอเวลาผานไป 36 ชม. จาก R = RO . 2

จากโจทย RO = 1 คร T = 15 x 24 ชม. t = 36 ชม. R = ? แทนคา R = 1 x 2 = 2

R = 0.93 คร หาจำานวนนวเคลยสของธาตกมมนตภาพรงสจาก R = N R = N = โดย R1 = กมมนตภาพของสารกมมนตรงส N1 ท t = 36 ชม. R = กมมนตภาพของสารกมมนตรงส N2 ในอจจาระท t = 36 ชม.

N1 = ….. (1)

N2 = ….. (2)

จำานวนสารทซมเขาสรางกาย = N1 - N2 = N1-N2 = ..

… (3) จากโจทย R1 = 0.93 x 3.7 x 1010 Bq, R2 = 0.25 x 3.7 x 1010 Bq T = 15 x 24 x 3600 = 1.296 x 106 S N1-N2 =

= 4.705 x 1016 นวเคลยส

18

จำานวนสารทซมเขาสรางกาย = 4.705 x 10 16 นวเคลยส หาจำานวนนวเคลยสตอนเรมแรก R = 1 คร

N = = 6.9195 x 106 นวเคลยส ปรมาณรอยละของสารซมเขารางกาย =

= 68 ตอบ

4.2 สภาพสมดลของธาตกมมนตภาพรงส ในการสลายตวตอเนองของนวเคลยสของธาตกมมนตภาพรงส เชน A สลายตวไปเปน B และ B สลายตวเปน C ไปเรอย ๆ ในบางครงจะเกดสภาพสมดลขนกลาวคอนวเคลยสของบางธาต เชน B มจำานวนคงทอยในชวงเวลาหนง เพราะจำานวนนวเคลยสทเพมขนเนองจากสลายตวจาก A เทากบจำานวนนวเคลยสของ B ทสลายตวเปน C นนเอง

สภาพสมดลสามารถเปรยบเทยบกบการปลอยนำาเขาภาชนะทมทอเปด ดงรป

การทธาต B มปรมาณคงทหมายความวา อตราการรสลายของ A = อตราการสลายของ B

แทนคาจะได ANA = BNB

19

= =

นนคอ

ตวอยางท 25 ถาเดมเราม U - 235 ลวน ๆ อย 1021 อะตอม ปลอยทงไวใหสลายตวตามธรรมชาตพบวาเมอถงเวลาหนงเราพบ Th - 231 มปรมาณคงท ถาครงชวตของ U - 235 และ Th - 231 เทากบ 7.1 108 ป และ 25.6 ชม. ตามลำาดบ จงหาจำานวนนวเคลยสของ Th - 231 ในขณะนน วธทำา จากโจทย U - 235 Th - 231 Pa- 231 ปรากฏวา Th - 231 มปรมาณคงท

แสดงวาอตราการสลายของ U - 235 เทากบอตราการสลายของ Th - 231

อตราการสลายของ U - 235 = อตราการสลายของ Th- 231

UNU = ThNTh

NTh = NU ( )จากโจทย NU = 1021 อะตอม , TTh = 25.6

ชม. TU = 7.1 x 108 x 365 x 24 ชม. แทนคา NTh = 1021 ( )

NTh = 4.11 x 10 9 อะตอม จำานวนนวเคลยสของ Th - 231 ขณะนน = 4.11 x 109 อะตอม ตอบ

20

ตวอยางท 26 ผสม (Label) Cr15 ลงไปในโลหต 5 x 10 - 6 ลกบาศกเมตร และวดกมมนตภาพได 6 x 104 ครง / นาท เมอฉดเขาไปในรางกายของผปวย และรอจนเกดภาวะสมดล แลวเจาะโลหตปรมาณเทาเดมมาวดกมมนตภาพได 82.7 ครง / นาท จงหาปรมาตรทงหมดของโลหตในรางกายผปวยวธทำา ให A เปนโลหตทผสม ( Label ) Cr15 อยแลว B เปนโลหตทอยในรางกายผปวย

N1 เปนปรมาตรโลหตรางกายผปวย เมอฉดเขาไปในรางกายผปวยจนเกดภาวะสมดลจะไดอตราการสลายของ A เทากบ B เขยนเปนภาพได

อตราการสลาย A = อตราการสลาย B แทนคา 6 x 104 = N1

…….. (1) เมอนำาโลหต B มา 5 x 10-6 m3 วด R ได = 82.7 ครง / นาท

R = N82.7 = 5 x 10- 6

…… (2) 1 / 2 =

N1 = m3

ปรมาตรโลหตในรางกายผปวย = 3.63 10 - 3

m3 ตอบ

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

21

22