ค่าเจาะจงและเวกเตอร์เจาะจง · บทที่ 3 การประมาณค่าเจาะจงของเมตริกซ์

บทที่ 3 การประมาณค่าเจาะจงของเมตริกซ์ ~ 1 ~

บทที่ 3 การประมาณค่าเจาะจงของเมตริกซ์

ค่าเจาะจงและเวกเตอร์เจาะจง

ก าหนดให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด nn

สมมติว่ามีเวกเตอร์X ใน nR และจ านวนจริง ที่ท าให ้

XXA --------(*)

จะเรียกค่า ว่าค่าเจาะจงของ A (Eigenvalue of A) และเรียกเวกเตอร์ X ว่าเวกเตอร์เจาะจงของ A ที่สมนัยกับ (Eigenvector of A corresponding to )

สมการ (*) สามารถเขียนใหม่ได้คือ 0XIA ดังนั้นสมการ 0IA จะเป็นพหุนามดีกรี n ในตัวแปร ซึ่งเราเรียก

สมการนี้ว่า สมการพหุนามลักษณะเฉพาะ (Characteristic equation) และเรียกพหุนาม IAP ว่า พหุนามลักษณะเฉพาะ (Characteristic polynomial)

พหุนาม P เป็นพหุนามดีกรี n ดังนั้นจะมรีากทั้งหมด n ราก ซึ่งบางรากอาจจะเป็นรากเชิงซ้อน แม้ว่าค่าสมาชิกของ A จะมีค่าเป็นจ านวนจริงทั้งหมด

รากของ P เรียกว่า คา่เจาะจงของเมตริกซ์ A


เมื่อทราบค่า ที่เป็นค่าเจาะจงแล้วจะสามารถหาเวกเตอร์เจาะจงที่สมนัยกับค่าเจาะจงนั้นๆได้จากการแก้ระบบสมการ

0XIA โดยทั่วไปแล้ว ถ้า 4n เราจะไม่หาค่าเจาะจงด้วยการแก้สมการ 0P เพราะต้องใช้เวลาในการค านวณมาก หรือไม่ก็ท าไม่ได้เลย

นิยาม ก าหนดให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด nn

นิยามค่าประจ า(Norm) 2 ของเมตริกซ์ A โดย 2X

XAmaxA2

นิยาม ให้ n21 ,...,, เป็นค่าเจาะจงของเมตริกซ์ A เป็นเมตริกซ์ขนาด nn

แล้วเซต },...,,{ n21 จะเรียกว่าสเปกตรัมของ A (Spectrum of A)

และเรียก }{maxA ini1

ว่ารัศมีสเปกตรัมของ A (Spectral radius of A)

สมบัติบางประการของค่าประจ า

1. )AA(A T

2

โดยที ่ }max{A i เมื่อ i คือค่าเจาะจงของ A

2. AA ส าหรับทุกค่าประจ าธรรมชาติของเมตริกซ์


ตัวอย่าง ก าหนดให้

211

121

011

A จงหาค่าของ 2

A

วิธีท า ในที่นี้

541

462

123

211

121

011

210

121

111

AAT

หาค่าเจาะจงของ AA T

4214

541

462

123

IAAdet0 2T

ดังนั้น 77,0

106.377}77,77,0max{)AA(A T

2


นิยาม เรากล่าวว่า เมตริกซ์ A มิติ nn “ลู่เข้า” เมื่อ 0Alim ij

k

k

n,...,2,1i ; n,...,2,1j

ตัวอย่าง ให้

2/14/1

2/1A

0 ค านวณก าลังของ A ได้

4/14/1

04/1A2 ,

8/116/3

08/1A3 ,

16/18/1

016/1A4

ในกรณีทั่วไป

k1k

kk

2/12/k

02/1A

เนื่องจาก 0)2/1(lim k

k

และ 0)2/k(lim 1k

k

ดังนั้นเมตริกซ์ A ลู่เข้า

สังเกตว่า 2

1A และเมตริกซ์ A ลู่เข้า

รัศมีสเปกตรัมสามารถบอกว่าเมตริกซ์ลู่เข้าได้หรือไม ่


ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดงความสัมพันธร์ะหว่างรัศมีสเปกตรัมของเมตริกซ์กับการลู่เข้าของเมตริกซ ์

ทฤษฎีบทที่ 1 (ความสมมูลทางเมตริกซ์ลู่เข้า)

ในแต่ละข้อต่อไปนี้สมมูลกัน

1. A เป็น เมตริกซ์ลู่เข้า

2. 0Alim n

n

ส าหรับบางค่าประจ าธรรมชาติของเมตริกซ์

3. 0Alim n

n

ส าหรับทุกค่าประจ าธรรมชาติของเมตริกซ์

4. 1A 5. 0XAlim n

n

(ส าหรับทุกเวกเตอร์ X)


ทฤษฎีบทท่ี2 (ทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าเจาะจงและเวกเตอร์เจาะจง)

1. ถ้า A เป็นเมตริกซ์จัตุรัสมีค่าเจาะจงไม่ซ้ ากัน n21 ,...,, และมีเวกเตอร์เจาะจงที่สมนัยกับค่าเจาะจงเป็น n21 X,...,X,X ตามล าดับแล้วเซต n21 X,...,X,X เป็นเซตของเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน (Linearly independent)

หมายเหต ุถ้า n21 X,...,X,X เป็นเซตของเวกเตอร์ที่อสิระเชิงเส้นต่อกันใน nR แล้ว เวกเตอร์ใดๆ nX R สามารถเขียนได้ในรูป

nn2211 Xc...XcXcX เมื่อ n21 c,...,c,c เป็นค่าคงตัว

2. ถ้า n21 ,...,, เป็นค่าเจาะจงของAแล้ว kn

k2

k1 ,...,, จะเป็นค่าเจาะจงของ

เมตริกซ์ kA ด้วย

3. ถ้าA เป็นเมตริกซ์สมมาตรแล้วเวกเตอร์เจาะจงที่สมนัยกับคา่เจาะจงที่ต่างกันจะตั้งฉากกัน (Orthogonal) นั่นคือ ถ้า iX และ jX เป็นเวกเตอร์เจาะจงที่สมนัยกับค่าเจาะจง i และ j ตามล าดับแล้ว 0XX j

Ti เมื่อ ji


ทฤษฎีวงกลมเกิร์ชโกริน (Gorschgorin)

ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด nn และ iR เป็นวงกลมในระนาบเชิงซ้อน (Complex Plane) ซึ่งมี iia เป็นจุดศูนย์กลาง และ

n

ij1j

ija เป็นรัศมี นั่นคือ

n

ij1j

ijiii aaz|CzR

ดังนั้นค่าเจาะจงทุกตัวของ Aจะอยู่ภายใน n

1iiRR

นอกจากนี้ ในวงกลม k วงซึ่งไม่ได้ตัดกับวงกลมอีก kn วง จะมีค่าเจาะจง k ตัว (นับจ านวนครั้งที่ซ้ าของค่าซ้ าด้วย) ภายในวงกลม k วงนี้

ตัวอย่าง ส าหรับเมตริกซ์

902

120

114

A

วงกลม 3 วงจากทฤษฎีของเกิร์ชโกริน คือ

24z|CzR1

12z|CzR 2

29z|CzR 3

เพราะว่า 321 RRR เพราะฉะนั้นจะมีค่าเจาะจง 2 ค่าใน 21 RR และค่าเจาะจงหนึ่งค่าใน 3R ยิ่งไปกว่านั้น i

3i1maxA

จึงได้ว่า 11A7


2 4 9 x

y


ระเบียบวิธีก าลัง (Power Method)

ใช้ในการหาค่าเจาะจงที่มีค่ามากสุด (Dominant Eigenvalue) และเวกเตอร์เจาะจงที่สมนัยกับค่าเจาะจงนั้น

แนวคิด ต้องการสร้างล าดับ ,....,, )k()2()1( ที่ลู่เข้าสู่ค่าเจาะจง และสร้างล าดับ ,....X,,X,X

)k()1()0( ที่ลู่เข้าสู่เวกเตอร์เจาะจง X ที่สมนัยกับ

วิธีการ

ให้ A เป็นเมตริกซ์ขนาด nn ที่มีค่าเจาะจง n ค่าคือ

0n321

ให้ n21 Z,,Z,Z เป็นเวกเตอร์เจาะจงที่สมนัยกับค่าเจาะจง n21 ,,, ตามล าดับนั่นคือ jjj ZZA ทุก n,,2,1j

ดังนั้นส าหรับเวกเตอร์ X ใดๆใน nR สามารถเขียนได้ในรูป

nn2211 Zc...ZcZcX เมื่อ n21 c,,c,c เป็นค่าคงตัว

)Zc...ZcZc(AXA nn2211

)ZA(c...)ZA(c)ZA(c nn2211

nnn222111 Zc...ZcZc

n1

nn2

1

22111 Zc...ZcZc ----- (*)

จาก jjj ZZA

ทฤษฎีบทท่ี 2 (1)


ท าเช่นนี้อีกโดยการคูณ X ด้วยเมตริกซ ์ 1k2 A,...,A,A จะได ้

n

2

1

nn2

2

1

2211

21

2 Zc...ZcZcXA

n

k

1

nn2

k

1

2211

k1

k Zc...ZcZcXA

เนื่องจาก j1 ส าหรับทุกๆ n,...,2,1j

ดังนั้น 0lim

k

k1

j

ทุก n,...,3,2j

และ 1k11

k

k

kZclimXAlim

ถ้า 11 แล้วล าดับ XAk ลู่เข้าสู่ศูนย์ ถ้า 11 แล้วล าดับ XAk ลู่ออก (เมื่อ 0c1 )

ดังนั้นเพื่อให้ค่าลิมติเป็นค่าจ ากัดและไม่เป็นศูนย์ ควรเลอืกค่าเริ่มต้น )0(X

ให้เป็นเวกเตอร์หนึง่หน่วย เทียบกับค่าประจ าธรรมชาติ

ขั้นตอนที่ 0 : เลือกค่าเริ่มต้น )0(X ที่

1X0

(โดยทั่วไปมักจะเลอืกค่าเริ่มต้น )0(X เป็น T)0(

)1,...,1,1(X ยกเว้นในกรณีที่ 0XA

)0( จะเลือกเป็นค่าอื่น)

ทฤษฎบีทท่ี 2 (ข้อ 2)

------(**)

------(***)


ขั้นตอนที่ 1 :

ให้ 01XAY

ถ้า )y,...,y,y(Y )1(n

)1(2

)1(1

)1( แล้วจะก าหนดให้

)1(

i

)1(

1y ส าหรับบาง ni1 1 ที่

11

i Yy1

ก าหนด 1X โดย

1XY

X1

)1(

11

สังเกตว่าจาก (*) จะได ้

n

2jjij1i1

n

2jjijj1i11

0

i

1

i1

i

1

11

11

1

1

1

zczc

zczc

x

yy

n

2jjij1i1

n

2jji

1

j

j1i1

1

11

11

zczc

zczc

เมื่อ )z...,,z,z(Z njj2j1j

ขั้นตอนที่ 2 :

ให้ 12XAY

ถ้า )y,...,y,y(Y )2(n

)2(2

)2(1

)2( แล้วจะก าหนดให้

)2(

i

)2(

2y ส าหรับบาง ni1 2 ที่

2)2(

i Yy2

ก าหนด 2X โดย

1XY

X2

)2(

22

ท าซ้ าเช่นนี้ไปเรื่อยๆ


ขั้นตอนที่ k:

ให้ 1kkXAY

ถ้า )y,...,y,y(Y )k(n

)k(2

)k(1

)k( แล้วจะก าหนดให้

)k(

i

)k(

ky ส าหรับบาง ni1 k ที่

kk

i Yyk

ก าหนด kX โดย

1XY

Xk

)k(

kk

สังเกตว่าจาก (***) จะได้

n

2jji

1m

1

j

j1i1

n

2jji

k

1

j

j1i1

1k

i

k

ik

kk

kk

k

k

zczc

zczc

x

y

จะได้ล าดับของเวกเตอร์ 0k

kX และ 1k

kY และล าดับของค่าคงตัว

1kk จากการประมาณค่า k ตามนิยามข้างต้น เนื่องจาก 1

1

j

ส าหรับ n...,,3,2j เมื่อ 0X เป็นเวกเตอรเ์ริ่มต้นและ 0c1 แล้วจะได้

1

k

klim

นอกจากนี้จะได้ว่า

XXlimk

k

เป็นเวกเตอร์เจาะจงที่สมนัย

กับ 1 ที่ 1X



201

0135

0144

A จงใชร้ะเบียบวิธีก าลัง (Power Method)

หาค่าเจาะจง ที่มากสุดพร้อมทั้งหาเวกเตอร์เจาะจงที่สมนัยกับ นั้น

(ในที่นี้เมตริกซ์ Aมีค่าเจาะจงคือ 61 , 32 , 23 ) วิธีท า ก าหนดให้ค่าเริ่มต้นคือ T0

1,1,1X

ขั้นที่ 1: ให้

1

8

10

201

0135

0144

1

1

1

201

0135

0144

XAY01

ดังนั้น 101 และ

1.0

8.0

1Y

X1

11

ขั้นที่ 2: ให้

1.0

8.0

1

201

0135

0144

XAY12

8.0

4.5

2.7

)1.0(2)1(1

)8.0(13)1(5

)8.0(14)1(4

ดังนั้น 2.71 และ

111111.0

75.0

1Y

X1

11

และท าซ้ าเช่นนี้ไปเร่ือยๆ สรุปค่าได้ดังตาราง


k

kY

k

kX

1y 2y 3y 1x 2x 3x

0

1 1 1 1 10 8 1 10 1 0.8 0.1

2 7.2 5.4 -0.8 7.2 1 0.75 -0.111111

3 6.5 4.75 -1.22222 6.5 1 0.730769 -0.188034

4 6.230769 4.5 -1.37607 6.230769 1 0.722222 -0.22085

5 6.111111 4.388889 -1.4417 6.111111 1 0.718182 -0.235915

6 6.054545 4.336364 -1.47183 6.054545 1 0.716216 -0.243095

7 6.027027 4.310811 -1.48619 6.027027 1 0.715247 -0.246588

8 6.013453 4.298206 -1.49318 6.013453 1 0.714765 -0.248306

9 6.006711 4.291946 -1.49661 6.006711 1 0.714525 -0.249157

10 6.003352 4.288827 -1.49831 6.003352 1 0.714405 -0.249579

11 6.001675 4.28727 -1.49916 6.001675 1 0.714346 -0.24979

12 6.000837 4.286492 -1.49958 6.000837 1 0.714316 -0.249895

13 6.000419 4.286103 -1.49979 6.000419 1 0.714301 -0.249948

14 6.000209 4.285909 -1.4999 6.000209 1 0.714293 -0.249974

15 6.000105 4.285811 -1.49995 6.000105 1 0.714289 -0.249987


ในการท าซ้ ารอบที่ 15 จะได้ว่า 3415 10104.0 จะได้ค่าเจาะจงมากสุดคือ 6

พิจารณาเวกเตอร์เจาะจง kX ที่สมนัยกับ 6

เนื่องจาก }249974.0249987.0,714293.0714289.0,11{maxXX

)14()15(

445 101309.0}101309.0,103737.0,0{max ดังนั้น T15

)25.0,7143.0,1(X เป็นเวกเตอรเ์จาะจงที่สมนัยกับ 6

ข้อสังเกต ในกรณีที่ A เป็นเมตริกซ์เอกฐาน สามารถใช้ระเบียบวิธีก าลังหาค่าเจาะจง

น้อยสุดของ A ได ้

ใช้สมบัติว่า เป็นคา่เจาะจงของ Aก็ต่อเมื่อ

1 เป็นค่าเจาะจงของ 1A

ถ้า เป็นค่าเจาะจงมากสุดของ Aแล้ว

1 เป็นค่าเจาะจงน้อยสุดของ 1A

ถ้า เป็นค่าเจาะจงมากสุดของ 1A แล้ว

1 เป็นค่าเจาะจงน้อยสุดของ A


กรณีที่ A เป็นเมตริกซ์สมมาตร

ปรับปรุงการลู่เข้าของล าดับ k ไปยังค่าเจาะจงที่มีค่ามากสดุ 1 ให้ดีขึ้น โดยการเลือกค่าเริ่มต้น 0

X ที่มีสมบัต ิ

1X2

0

ก าหนดให้

)1k()k(XAY

)k(Tk1kT1kk Y)X(XA)X(

และ

2

k

k

2

1k

1kk

Y

Y

XA

XAX

ระเบียบวิธีนี้เรียกวา่ ระเบียบวิธกี าลังส าหรับเมตริกซ์สมมาตร (Power Method for Symmetric Matrices)



321

231

114

A เป็นเมตริกซ์สมมาตร ใช้ระเบียบวิธี

ก าลังส าหรับเมตริกซ์สมมาตร จ านวน 10 รอบเพื่อหาค่าประมาณของค่าเจาะจงมากสุด (ในที่นี้Aมีค่าเจาะจงคือ 61 , 32 , 13 ) วิธีท า โดยระเบียบวิธีก าลัง

k kY

k k

X 1y 2y 3y 1x 2x 3x

0 1 0 0 1 4 -1 1 4 1 -0.25 0.25 2 4.5 -2.25 2.25 4.5 1 -0.5 0.5 3 5 -3.5 3.5 5 1 -0.7 0.7 4 5.4 -4.5 4.5 5.4 1 -0.833333333 0.833333333 5 5.666666667 -5.166666667 5.166666667 5.666666667 1 -0.911764706 0.911764706 6 5.823529412 -5.558823529 5.558823529 5.823529412 1 -0.954545455 0.954545455 7 5.909090909 -5.772727273 5.772727273 5.909090909 1 -0.976923077 0.976923077 8 5.953846154 -5.884615385 5.884615385 5.953846154 1 -0.988372093 0.988372093 9 5.976744186 -5.941860465 5.941860465 5.976744186 1 -0.994163424 0.994163424

10 5.988326848 -5.970817121 5.970817121 5.988326848 1 -0.997076023 0.997076023


ระเบียบวิธีก าลังส าหรับเมตริกซ์สมมาตร

จะสังเกตว่าส าหรับระเบียบวิธีก าลัง เวกเตอร์เจาะจงจะลู่เข้า T1,1,1 เนื่องจากเราใช้

โดยที่ 11,1,1

T

แต่ระเบียบวิธีก าลังส าหรับเมตริกซ์สมมาตรลู่

เข้าสู่ T

3

1,

3

1,

3

1

ทั้งนี้ 13

1,

3

1,

3

1

2

T

k kY

k k

X

1y 2y 3y 1x 2x 3x

0 1 0 0

1 4 -1 1 4 0.942809042 -0.23570226 0.23570226

2 4.242640687 -2.121320344 2.121320344 5 0.816496581 -0.40824829 0.40824829

3 4.082482905 -2.857738033 2.857738033 5.666666667 0.710669055 -0.497468338 0.497468338

4 3.837612894 -3.198010745 3.198010745 5.909090909 0.646996639 -0.539163866 0.539163866

5 3.666314289 -3.342815969 3.342815969 5.976744186 0.61283648 -0.558762673 0.558762673

6 3.568871265 -3.406649844 3.406649844 5.994152047 0.595247159 -0.56819047 0.56819047

7 3.517369575 -3.436199508 3.436199508 5.998535871 0.586335581 -0.57280476 0.57280476

8 3.490951845 -3.450359381 3.450359381 5.999633834 0.58185194 -0.57508622 0.57508622

9 3.477580199 -3.457283038 3.457283038 5.99990845 0.579603333 -0.576220434 0.576220434

10 3.470854198 -3.460705502 3.460705502 5.999977112 0.578477355 -0.576785901 0.576785901

Documents

ค่าเจาะจงและเวกเตอร์เจาะจง · บทที่ 3 การประมาณค่าเจาะจงของเมตริกซ์