1 - 1

หนวยท 1 ลมตและความตอเนอง

จดประสงคการเรยนร

เมอนกศกษาเรยนจบบทเรยนนแลวจะสามารถ 1. อธบายความหมายของลมตไดอยางถกตอง 2. หาคาลมตของฟงกชนทก าหนดใหไดอยางถกตอง 3. บอกไดวาฟงกชนทก าหนดใหตอเนองทจดทก าหนดใหหรอไม 4. บอกไดวาฟงกชนทก าหนดใหตอเนองบนชวงทก าหนดใหหรอไม

สาระส าคญ

1. สญลกษณ ax ; Lxf หมายความวา เมอ x มคาใกล a ท าให xf มคาเขาใกล L เขยนแทนดวย Lxf

ax

lim อานวาลมตของ xf เมอ x เขาใกล

a มคาเทากบ L 2. การหาลมตของฟงกชน คอ การหาวาฟงกชนนนมคาเขาใกลจ านวนใด เมอตวแปร

อสระมคาเขาใกลหรอเกอบเทาจ านวนจรงทก าหนดให 3. คาของ xflim เมอ ax ไมจ าเปนตองมคาเทากบ af 4. ในการค านวณหาคาของลมต xf

axlim ถาไดผลออกมาอยในรปแบบทยงไมได

ก าหนด ตองจดฟงกชนเสยใหมใหเหมาะสมกอนทจะค านวณคาลมต 5. ฟงกชน xf ตอเนองท x กตอเมอ xfaf

ax lim

6. ฟงกชนมความตอเนองบนชวงใดชวงหนง กตอเมอฟงกชนนนมความตอเนองทแตละจดบนชวงนน

เนอหาสาระ 1.1 ความหมายของลมต การศกษาเรองลมตมความส าคญเปนอยางมากในทางวชาคณตศาสตร โดยเฉพาะ

อยางยงในวชาแคลคลส (Calculus) การศกษาลมตของฟงกชนจะเปนพนฐานของแนวคดไปส การศกษาเรองอน ๆ เชน อนพนธ และอนทกรล เปนตน

2 - 1

กอนทจะกลาวถงลมต จะเรมตนพจารณาฟงกชนตอไปน ก าหนด xf 32 x เปนฟงกชนซงม x เปนตวแปรอสระ และ xf หรอ y เปนตว

แปรตาม จะเหนวาถาให x มคาเขาใกลคาใดคาหนง เชน 1 เขยนแทนดวย 1x หมายความวา x มคาเขาใกล 1 ทางขวาและ x มคาเขาใกล 1 ทางซาย แตไมเทากบ 1 เขยนแทนดวย 1x และ 1x จะไดคา xf ดงตาราง ตาราง 1 คาของ xf เมอ x เขาใกล 1 ทางซายมอ 1x

x 0.99999 0.9999 0.999 0.99 0.9

xf 4.99998 4.9998 4.998 4.98 4.8 จากตาราง 1 จะเหนวาคาของ x เขาใกล 1 ทางนอยกวาคาของ xf จะเขาใกล 5 ทางนอยกวา เรยก 5 วาเปนลมตของ xf เมอ x เขาใกล 1 ทางซายมอเขยนเปนสญญลกษณ

5lim1

xfx

อานวา ลมตของฟงกชน x เมอ x มคาเขาใกล 1 ทางซาย มคาเทากบ 5 ตาราง 2 คาของ xf เมอ x เขาใกล 1 ทางขวามอ 1x

x 1.00001 1.0001 1.001 1.01 1.1

xf 5.00002 5.0002 5.002 5.02 5.2 จากตาราง 1 จะเหนวาคาของ x เขาใกล 1 ทางมากกวาคาของ xf จะเขาใกล 5 ทางมากกวา เรยก 5 วาเปนลมตของ xf เมอ x เขาใกล 1 ทางขวามอเขยนเปนสญญลกษณ

5lim1

xfx

อานวา ลมตของฟงกชน x เมอ x มคาเขาใกล 1 ทางขวา มคาเทากบ 5

3 - 1

จากตาราง 1 และ 2 จะเหนวา เมอ x เขาใกล 1 ไมวาทางซายหรอทางขวากตาม คา ของ xf จะมคาเขาใกล 5 เรยก 5 วาเปนลมตของ xf เมอ x มคาเขาใกล 1 เขยนเปน สญญลกษณ คอ

5lim1

xfx

เขยนในรปของสญญลกษณทวไป ไดดงน

Lxfax

lim

อานวา ลมตของฟงกชน x เมอ x เขาใกล a มคาเทากบ L หมายความวา เมอ x มคาใกล a (แตไมเทากบ a ) คาของ xf จะยงเขาใกล L นนคอลมต คอคาของจ านวนคงตวจ านวนหนง ซงคาของฟงกชนมคาเขาใกลตวเลขใดตวเลขหนงแนนอน คาของฟงกชน 32 xxf สามารถน ามาเขยนกราฟเพอเปรยบเทยบคาของ x และคาของ xf เมอ x มคาเขาใกล 1 ทงทางซายมอและทางขวามอไดดงน

รปท 1.1

4 - 1

จากกราฟจะเหนวาเมอ x มคาเขาใกล 1 ไมวาจะทางซายมอหรอขวามอมากเพยงใด คาของ xf กจะยงเขาใกล 5 มากเทานน

1.2 การหาคาลมตของฟงกชน การหาลมตของฟงกชน คอ การหาวาฟงกชนนนมคาเขาใกลจ านวนใด เมอ x มคาเขา

ใกลหรอเกอบเทาจ านวนเลขใดจ านวนเลขหนง จากตวอยางขางตนทกลาวมาแลว จะเหนวาการหาลมตของฟงกชนสามารถท าได 2 วธ คอ

(1) สรางตารางหาคาของ xf แลวพจารณาวา xf มคาเขาหาจ านวนใด เมอ x ม คาเขาใกล a

(2) เขยนกราฟของ xfy แลวพจารณาคาของ xf จากกราฟวา xf จะมคาเขาใกลจ านวนอะไร เมอ x เขาใกล a

ซงทง 2 วธนจะสามารถหาลมตของฟงกชนได แตในกรณทฟงกชนมความซบซอน การหาคาของลมตของฟงกชน โดยวธการดงกลาวขางตนคอนขางยงยากและเสยเวลา การศกษาเกยวกบทฤษฎตาง ๆ ของลมตจะชวยใหสามารถหาคาของลมตไดงายขน ในทนจะกลาวเฉพาะทฤษฎทจะน าไปใชเทานนดงตอไปน

1.2.1 ทฤษฎของลมต ให Lka ,, และ m เปนจ านวนจรงใด ๆ ถา f และ g เปนฟงกชนทมโดเมนและเรนส เปนสบเซตของจ านวนจรง

ทฤษฎ 1 ถา Lxfax

lim และ mxfax

lim แลวจะได mL

นนคอ ถาลมตของ xf เมอ x เขาใกล a หาคาได จะไดวาคาของลมต xf มเพยงคาเดยวเทานน

ทฤษฎ 2 kkax

lim

5 - 1

เชน 55lim3

x

ทฤษฎ 3

ax

ax

lim

เชน

2lim

2

x

x

ทฤษฎ 4

k

axlim kxf xf

axlim

เชน = x

x7lim

2 = x

x 2lim7

= 27 = 14

ทฤษฎ 5

xgxfxgxf

axaxax limlimlim

เชน 5lim

1

x

x = 5

1lim

1lim

xX

x

= 51 = 6 )7(

3lim xx

= xxx 33lim7lim

= 37 = 4

6 - 1

ทฤษฎ 6

xgxfxgxfaxaxax

limlimlim

เชน 5lim

2

xx

x = 5limlim

22

xx

xx

= 5limlim222

xx

x

= 522 = 14

ทฤษฎ 7

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

lim

limlim เมอ 0lim

xg

ax

เชน x

x

x 3

4lim

1

=

x

x

x

x

3lim

4lim

1

1

= 3

41

= 1 ทฤษฎ 8

ถา Lxfax

lim และ n เปนจ านวนนบ ; 0L

จะไดวา ax

lim n xf = nax

xf

lim = n L

เชน 3 2

443lim

xx

x = 3

2

443lim

xx

x

= 3 2 4434 = 3 41216 = 3 8 = 2 หมายเหต ทฤษฎของลมตสามารถพสจนได ในทนจะไมแสดงวธพสจน แตจะแสดงวธการ

น าทฤษฎไปใชในการหาคาของลมตเทานน

7 - 1

ตวอยางท 1.1 จงหา )9523(2

lim

xxx

วธท า )952

3(2

lim

xxx

= 9lim5lim3lim22

2

2

xxxxx

= 9limlim5lim322

2

2

xxxxx

= 925232

= 91012 = 11 ตอบ ในการหา

axlim xf ถา xf เปนฟงกชนพหนามจะสามารถหาคาของลมตไดงายขน

โดยการแทนคา x ใน xf ดวย a ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1.2 จงหา )722(3

lim

xxx

วธท า )722(3

lim

xxx

= 73232

= 769 = 8 ตอบ ในกรณทฟงกชนอยในรปของเศษสวน ถาลมตของสวนเทากบศนย จะไมสามารถใชทฤษฎท 7 ได ตองจดฟงกชนใหม โดยอาจใชวธใดวธหนงดงตอไปน

1. แยกตวประกอบของตวเศษและตวสวนแลวตดทอนกน 2. ถาไมสามารถแยกตวประกอบ ใหน าจ านวนทเหมาะสมคณทงตวเศษและตวสวน

แลวสามารถแยกตวประกอบไดและตดทอนกนได

เมอตดทอนกนแลว จะเหนวา lim ของตวสวนไมเปน 0 แลวสามารถใชทฤษฎ 7 ได ดงตวอยางตอไปน

8 - 1

ตวอยางท 1.3 จงหา 1

32lim

2

1

x

xx

x

วธท า 1

32lim

2

1

x

xx

x =

131

lim1

x

xx

x

= 3lim1

xx

= 31

= 4 ตอบ

ตวอยางท 1.4 จงหา 4

103lim

2

2

2

x

xx

x

วธท า 4

103lim

2

2

2

x

xx

x =

22

52lim

2

xx

xx

x

= 2

5lim

2

x

x

x

= 22

52

= 4

7

= 4

7 ตอบ

ตวอยางท 1.5 จงหา 3

limx

3

36

x

x

วธท า เมอ 3x จะได 3

36lim

x

x = 0

0 และไมสามารถแยกตวประกอบของ

3

36

x

x ได ดงนนจงตองหาจ านวนทเหมาะสมมาคณทงเศษและ

สวน เพอหาลมตของฟงกชนดงน

3

36lim

x

x

xx =

36

36

3

36lim

3 x

x

x

x

x

= 363

36lim

22

3

xx

x

x

9 - 1

= 363

96lim

3

xx

x

x

=

363

3lim

3

xx

x

x

= 36

1lim

3 xx

= 363

1

=

33

1

= 6

1 ตอบ

ตวอยางท 1.6 จงหา

3

47lim

2

3

x

x

x

วธท า เมอ 3x จะได

3

47lim

2

3

x

x

x =

0

0 ซงอยในรปแบบทยงไม

ก าหนดและโจทยขอนไมสามารถแยกตวประกอบได จงตองหาจ านวนทเหมาะสม มาคณทงเศษและสวน ท าใหสามารถหาลมตไดดงน

3

47lim

2

3

x

x

x =

3

47lim

2

3

x

x

x

=

473

47lim

2

22

2

3

xx

x

x

= 473

167lim

2

2

3

xx

x

x

= 473

9lim

2

2

3

xx

x

x

=

473

33lim

23

xx

xx

x

=

47

3lim

23

x

x

x

= 473

33

2

= 416

6

10 - 1

= 8

6

= 4

3 ตอบ

ขอสงเกต จากตวอยางท 1.5 และ 1.6 จะเหนวาจ านวนทจะน าไปคณทงเศษและสวน จะ

เปนจ านวนทมเครองหมายตรงขามกบตวเศษหรอตวสวน นนคอ ท าตวสวนไมให มคาเทากบศนย (0) นนเอง

1.2.2 ลมตเกยวกบอนนต

พจารณาฟงกชน x

xf1

x 1 2 5 10 100 1,000 10,000 100,000

910

xf

1 0.5 0.2 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001

910

1

จากตารางจะเหนวาถา x มคาเพมขนเรอย ๆ อยางไมมขอบเขต คาของ xf กจะมคาลดลงและเขาใกล 0 มากยงขน นนคอ

01

lim xax

หมายเหต เครองหมาย และ (อานวาอนฟนต (infinity) และลบอนฟนต) เปน

สญลกษณทใชแทนค าวา “มากอยางไมมขอบเขต และนอยมากอยางไมม ขอบเขต” ตามล าดบ

ดงนน ลมตของฟงกชน x

xf1

เมอ x มคาเพมขนอยางไมมขอบเขต เขยนแทนดวย

x อานวา เอกซมคาเขาใกลอนนต หรอเมอ x มคาลดลงอยางไมมขอบเขต เขยนแทนดวย x อานวา เอกซมคาเขาใกลลบอนนต

11 - 1

ทฤษฎ 9 ถา xf = px

c เมอ 0, xc และ 0p จะได

x

lim Px

c = 0

เชน x

lim 3

7

x = 0

ทฤษฎ 10 xclim = c เมอ c เปนคาคงตว

และ xx lim =

เชน 9lim

x = 9

y

ylim =

หมายเหต ทฤษฎบท 9 และ 10 กลาวเฉพาะท x เทานนกรณท x ทฤษฎบททงสองนยงคงเปนจรงอย นอกจากนทฤษฎของลมตทกลาวไวขางตนสามารถใชไดส าหรบลมตเกยวกบอนนต

เชนเดยวกน การหาลมตของฟงกชนตรรกยะทอยในรป xQ

xP โดยท xP และ xQ เปนฟงกชน

พหนาม เมอ x หรอ ท าไดโดยหารทงเศษและสวนดวย nx เมอ n เปนเลขชก าลงสงสดของตวเศษและตวสวน แลวใชทฤษฎเกยวกบลมตดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1.7 จงหา xx

xx

x

2

2 543lim

วธท า เมอ x จะไดวา xx

xx

x

2

2 543lim =

ซงอยในรปแบบยงไมก าหนด

ดงนนในขอนจงจดรปใหม โดยเอา 2x หารตลอดจะได

xx

xx

x

2

2 543lim =

22

2

222

2

2

543

lim

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

12 - 1

=

x

xxx 1

1

543

lim2

= 01

003

= 3 ตอบ

ตวอยางท 1.8 จงหา 2

57lim

2

x

xx

x

วธท า ในขอนจะเหนวา 2

572

x

xx เปนเศษเกน ท าเปนเศษคละไดคอ

2

155

xx

2

57lim

2

x

xx

x =

2

155lim

xx

x

= 2

15lim5lim

xx

xx

= 0 = ตอบ

จากตวอยางท 1.8 ถาไมท าใหเปนเศษสวนจ านวนคละ อาจท าไดอกวธ โดยเอา x หารตลอด นนคอ ท าสวนไมใหเทากบ 0 ไดดงน

2

57lim

2

x

xx

x =

xx

xxx

x

x

x

x 2

57

lim

2

=

x

xx

x 21

57

lim

= 01

07

= ตอบ

ตวอยางท 1.9 จงหา xx

xx

x 52

93lim

3

2

13 - 1

วธท า เมอ x จะได xx

xx

x 52

93lim

3

2

เทากบ

ดงนนในขอนควรหารดวย 3x

ตลอด ดงน

xx

xx

x 52

93lim

3

2

=

33

3

333

2

52

93

lim

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

= 2

32

52

931

lim

x

xxxx

= 02

000

= 2

0

= 0 ตอบ

14 - 1

แบบฝกหดท 1.1

จงหาคาของลมตของฟงกชนตอไปน

1. 5lim2

xx

11. 3

3lim

1

x

x

x

2. 53lim 2

0

xx

x 12.

1

23lim

1

x

x

x

3. 32lim0

xxx

13. x

x

x

13lim

2

4. 932lim 2

2

xx

x 14.

36

953lim

3

2

xx

xx

x

5. 3

3lim

2

3

x

xx

x 15.

13

5lim

2 xxx

6. 2

1lim

2

1

x

xx

x 16.

192

752lim

3

23

xx

xxx

x

7. 2

6lim

2

2

x

xx

x 17. 758lim

6

yy

y

8. 4

16lim

2

4

x

x

x 18.

57

32lim

x

x

x

9. x

x

x

42lim

2

0

19.

xx

x

x

2

5 32lim

10. 3

262lim

x

x 20.

1lim

3

4

x

x

x

15 - 1

เฉลยแบบฝกหดท 1.1

ขอ 1. 3 ขอ 11. 2 ขอ 2. 5 ขอ 12.

4

1

ขอ 3. 6 ขอ 13. ขอ 4. 5 ขอ 14. 0 ขอ 5. 3 ขอ 15. 0 ขอ 6.

3

4 ขอ 16. 2

1

ขอ 7. 5 ขอ 17. 8 ขอ 8. 8 ขอ 18.

7

2

ขอ 9. 4 ขอ 19. ขอ 10. 4 ขอ 20.

16 - 1

1.3 ความตอเนองของฟงกชน ความตอเนอง (Continuous) เปนคณสมบตทส าคญอยางหนงของฟงกชน ในคณตศาสตรชนสง จะม

ทฤษฎตาง ๆ เปนจ านวนมากทเกยวของกบความตอเนองของฟงกชน การพจารณาความตอเนองของฟงกชนโดยทวไป เราอาจตรวจสอบโดยพจารณาจากกราฟของฟงกชน ถากราฟของฟงกชนขาดตอนอยางนอย 1 จด แสดงวาฟงกชนไมตอเนองบนจดนน

รปท 1.2 จากรปท 1.2 ก จะไดวาฟงกชนตอเนองบนชวง ba, และ ข ฟงกชนตอเนองบนจ านวนจรงใด ๆ และจากรป ค, ง จะไดวาฟงกชนไมตอเนองบนจ านวนจรง และหากจะพจารณาจากการแทนคาของฟงกชน เชน xxf 2 จะสามารถหาคา xf ไดจากทก ๆ คาของ x เรยกวาฟงกชน xf มความตอเนอง

และ xf x

1 จะเหนวาถาแทนคา 0x จะไมสามารถหา xf ได นนคอฟงกชนไมตอเนอง

ท 0x นนคอ ถาฟงกชนมคาทจดใด ฟงกชนจะตอเนองทจดนน และถาฟงกชนไมมคาทจดใด ฟงกชนนนยอมไมตอเนองทจดนน ความตอเนองของฟงกชนแบงออกเปน 2 ลกษณะคอ ความตอเนองบนจดและความตอเนองบนชวง 1.3.1 ความตอเนองทจด นอกจากจะอาศยกราฟในการพจารณาวาฟงกชนมความตอเนองหรอไมแลว เราอาจใชความรเกยวกบลมตใหนยามความตอเนองของฟงกชน ณ จดใดจดหนงดงตอไปน

ก ข

ค ง

17 - 1

นยาม ฟงกชน xf ตอเนองท ax หมายความวา

xfax

lim = af

จากนยามจะไดวาฟงกชน xf จะตอเนองท ax จะตองสอดคลองกบ เงอนไขตอไปน (1) af หาคาได (2) xf

axlim หาคาได

(3) xfax

lim = af

ถาฟงกชน xf ไมสอดคลองกบคณสมบตขอใดขอหนงขางตน เรากลาว ไดวาฟงกชน xf ไมตอเนองท ax

ตวอยางท 1.10 จงพจารณาวาฟงกชน xf 123 2 xx ตอเนองท 2x หรอไม วธท า xf = 123 2 xx

2f = 122232

= 9

xfx 2lim

= 123lim 2

2

xx

x

= 122232

= 9 จะไดวา 2f = xf

x 2lim

ฟงกชน 123 2 xx ตอเนองท 2x

ตวอยางท 1.11 จงพจารณาวาฟงกชน 3

92

x

xxf ตอเนองท 1x และ 3x หรอไม

วธท า xf = 3

92

x

x

1f = 31

91

= 4

และ 3

9lim

2

1

x

x

x =

31

91

18 - 1

= 4 ดงนน 1f = xf

x 1lim

จะไดวาฟงกชน 3

92

x

xxf ตอเนองท 1x ตอบ

พจารณาท 3x จะไดวา 3f หาคาไมได ดงนน ฟงกชน xf ไมตอเนองท 3x ตอบ หมายเหต จากตวอยาง 1.11 จะเหนลมตของฟงกชน xf สามารถหาคาได

3

9lim

2

3

x

x

x =

3

33lim

3

x

xx

x

แตไมสามารถหาคา 3f ได ดงนนฟงกชนจงไมตอเนองท 3x

ตวอยางท 1.12 ก าหนด xf =

5

12x เมอ

2

21

x

x

จงพจารณาวาฟงกชนตอเนองท 2x หรอไม วธท า 2f = 5 xf

x 2lim

= xfx 2lim = 5

xfx 2lim

= xfx 2lim = 5

xfx 2lim

= 2f

ดงนน ฟงกชนตอเนองท 2x ตอบ

ตวอยางท 1.13 ก าหนด xf = 2

1

x เมอ 2x

1 เมอ 2x จงพจารณาคาฟงกชนตอเนองท 2x หรอไม วธท า xf = 1 2f = 1

แต xfx 2lim =

2

1lim

2 xx หาคาไมได

ดงนน ฟงกชนไมตอเนองท 2x ตอบ

1.3.2 ความตอเนองบนชวง

19 - 1

ถาชวงเปด ba, และชวงปด ba, เปนซบเซตของโดเมนของฟงกชน xf ความตอเนองบนชวง สามารถพจารณาไดจากนยามตอไปน

นยาม ฟงกชน xf ตอเนองบน ba, หมายความวา xf ตอเนองททก bax , นยาม ฟงกชน xf ตอเนองบน ba, หมายความวา

1. xf ตอเนองบน ba, 2. xf ตอเนองทางขวาท ax นนคอ afxf

ax

lim

3. xf ตอเนองทางซายท bx นนคอ afxfax

lim

นยาม ฟงกชน xf ตอเนองบน ba, หรอ ba, หมายความวา 1. xf ตอเนองบน ba, 2. xf ตอเนองทางซายท bx (หรอทางขวาท ax )

ตวอยางท 1.14 ก าหนด 24 xxf จงพจารณาวา f เปนฟงกชนตอเนองบน 2,2 หรอไม วธท า ให a เปนจดใด ๆ ใน 2,2

af = 24 a ซงหาคาได

xfax

lim = 24lim xax

= 24 a xf

axlim = af

จะไดวา xf ตอเนองท ax เมอ a เปนจดใด ๆ ใน 2,2 ดงนน xf ตอเนองบน 2,2 เนองจาก 2f = 0 2f = 0

xfx 2lim

= 2

24lim x

x

= 0

xfx 2lim = 2

24lim x

x

= 0

2f = 2f = xfx 2lim = xf

x 2lim

ดงนน xf ตอเนองบน 2,2

ตวอยางท 1.15 ก าหนดให xf =

x

x 12

40;

03;

x

x

20 - 1

จงพจารณาความตอเนองของ xf บนชวงปด 4,3 วธท า เนองจากเราก าหนดคาของฟงกชนตางกน คอ 0x และ 0x ดงนนจงตองพจารณา

วา xflim หาคาไดหรอไม xf

x 0lim = 1lim 2

0

x

x = 1

xfx 0lim = x

x 0lim = 0

จะได xfx 0lim xf

x 0lim

ดงนน xfx 0lim

หาคาไมได

xf ไมตอเนองท 0x แต 4,30 xf ไมตอเนองบนชวง 4,3 ตอบ

21 - 1

ตวอยางท 1.16 ก าหนดให xf = 13 x จงพจารณาวาฟงกชนตอเนองบนชวงเปด 4,1 หรอไม วธท า ให c เปนจดใด ๆ ทอยในชวงเปด 4,1 xf = 13 x cf = 13 c และ xf

cxlim = 13lim

x

cx

= 13 c เนองจาก xf

cxlim = cf

ดงนนฟงกชน 13 xxf ตอเนองบนชวงเปด 4,1 ตอบ

22 - 1

แบบฝกหดท 1.2

1. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองบนชวงทก าหนดใหหรอไม

(1) 52 xxf ท 1x (2) xxf 5 ท 0x

(3) 3

92

x

xxf ท 3x

(4)

4

4xxf เมอ

0

0

x

x ท 0x

(5)

5

3

x

xxf เมอ

0

0

x

x ท 0x

2. จงพจารณาวาฟงกชนตอไปนตอเนองบนชวงทก าหนดใหหรอไม

(1) xf = 7x บนชวง 5,1 (2) xf = 132 xx บนชวง 3,1 (3) xf = 62 x บนชวง 5,2

(4) xf =

1

3x เมอ

4

4

x

x บนชวง 5,2

(5) xf = 3

62

x

xx เมอ 3x บนชวง 4,2

4 เมอ 3x

23 - 1

เฉลยแบบฝกหดท 1.2 ขอ 1 (1) ตอเนองท 1x (2) ตอเนองท 0x (3) ไมตอเนองท 3x (4) ตอเนองท 0x (5) ไมตอเนองท 0x ขอ 2 (1) ตอเนองบนชวง 5,1 (2) ตอเนองบนชวง 3,1 (3) ตอเนองบนชวง 5,2 (4) ไมตอเนองบนชวง 5,2 (5) ตอเนองบนชวง 4,2