เอกสารประกอบการเรยนวชาฟสกส หนวยการเรยนรท 4 เรอง การเคลอนทแบบตางๆ : การเคลอนทแบบ SHM

3. การเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนก 3.1 ลกษณะการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค คอ การเคลอนทของอนภาคแบบกลบไป

กลบมาผานแนวสมดลของระบบ ดงปรากฏในรปท 14.17 ไดแก การแกวงของลกตมนาฬกา การแกวงของมวลผกปลายสปรงและการสนของสายไวโอลน เปนตน

รปท 14.17 ลกษณะการสนของระบบตาง ๆ

การเคลอนทของระบบตางๆ ในรปท 14.17 ท าใหเราสรปไดวา วตถจะเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนคไดเมอวตถนนเคลอนทจากแนวสมดลท าใหเดแรงยอนกลบสะสมอย เมอปลอยใหเคลอนทไปกลบมนจะเกดการเคลอนทไปกลลบรอบแนวสมดลนนดงรปท 14.17

พจารณาการเคลอนทของเงาของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงท ก าหนดไหอนภาค Q เคลอนทเปนวงกลมดวยรศม A และอตราเรวเชงมม และเมอเวลา t = 0

อนภาคเคลอนทผานแกน +X พอด ขณะทอนภาค Q เคลอนทเปนวงกลม สมมตให QX และ QY เปนเงาของ Q บนแกน X และแกน Y ตามล าดบ เมอเวลาผานไป t เสนตรง OQ จะท ามม t กบกน +X และเงา QX กบ QY จะมการขจดเทยบกบจด O เปน X และ Y ตามล าดบ

รปท 14.18 เงาของอนภาค Q บนแกน Y รปท 14.19 เงาของอนภาค Q บนแกน X ( เคลอนทแบบ SHM โดยมแกน (เคลอนทแบบ SHM โดยมแกน X เปนแนวสมดล Y เปนแนวสมดล)

3.2 สมการการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค ก าหนดใหอนภาค Q เคลอนทเปนวงกลลมดวยรศม A ดวยอตราเรวคงท

เรมแรกอนภาค Q อยบนแกน X เมอเคลอนทได t วนาท มมทจดศนยกลางเปน t ดงรป

รปท 14.20 การเคลอนทของอนภาค Q เปนวงกลม 3.2.1 การขจดของอนภาค Q ทเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค พจารณาเงาของอนภาค Q บนแกน X จะไดการขจดมคาเทากบ A (X = A เมอ t = 0)

จาก QOQX ในรป b จะไดการขจดบนแกน X ณ เวลาใดๆ ดงน cosA

X t

X = A cos t

พจารณาเงาของอนภาค Q บนแกน Y จะไดการขจดเรมแรกมคาเทากบศนย(Y = 0

t = 0 )จาก QOQX ในรป b จะไดการขจดบนแกน Y ณ เวลาใดๆ ดงน sinA

Y t

Y = A sin t โดย X และ Y = การขจดของอนภาค Q บนแกน X และ Y ตามล าดบ โดยวด จากจด origin A = ชวงกวาง คอ การขจดมากทสดของการเคลอนท t = มมเฟส

3.2.2 ความเรวของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค

ถาเรมแรกอนภาค Q มการขจดและมมเฟสเปนศนย จะไดการขจดของอนภาคอยในแกน Y จากสมการการขจด Y = Asin t - - - - - (1)

แต V = dt

dy

t

Ylim

0t

หา v จาก 1 จะได V = dt

tsindA

dt

dy

V = (Acos t)dt

td

V = Acos t - - - - - - - -(2)

V = Acooos t - - - - - - - -(3)

สมการ 3 ยกก าลง 2 จะได

2V = A2cos2 t - - - - - - - (4)

สมการ 1 ยกก าลง 2 จะได Y2 = A2sin2 t - - - - - - - (5)

สมการ 4 +สมการ 5 จะได )tsint(cosAYv 2222

2

2

22

2

2

AYV

V2 = )( 222 YA V = + 22 YA - - - - - - - - (6)

เครองหมาย + เปนตวแสดงทศทางของความเรว โดย V เปนบวก (+) แสดงวามทศตาม Y และ V เปนลบ (-) แสดงวามทศตรงขามกบ Y นนคอ ณ การขจด Y หนงคาจะมความเรวได 2 คา คอมทเดยวกบ Y และตรงขามกบ Y หมายเหต กรณทวตถเคลอนท SHM โดยการขจดไมไดอยในแกน X หรอแกน Y จะได Y เปน

การขจดในแกนใดๆกได

3.2.3 ความเรงของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค จากสมการอตราเรว V = Acos t - - - - - - - (2)

แต a = dt

dv

t

vlim

0t

หา a จากสมการ 2 จะได a = dt

tcosdA

dt

dv

a = - tsinA2 - - - - - - - - (8) แต y = Asin t จาก 8 เขยนใหมได a = - 2y - - - - - - - - (9) โดย Y เปนการขจดในแนวใดๆกได เครองหมายลบ (-) แสดงวาความเรงมทศทางตรงขามกบการขจด Y นนคอ ความเรงของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนคจจะตองมทศสแนวสมดลเสมอ 3.2.4 สรปสมการการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค 1.สมการการขจดจะได Y = Asin t เมอการขจดเรมแรกเปนศนย หรอ X = Acos t เมอการขจดเรมแรกเทากบ A 2. สมการอตราเรว V = Acos t เมอการขจดเรมแรกเปนศนย หรอ V = 22 SA S เปนการขจดในแนวใดๆ 3.สมการอตราเรง a = เมอการขจดเรมแรกเปนศนย หรอ a = - S S เปนการขจดในแนวใดๆ กราฟความสมพนธของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค ถาสมการการขจดเปน S = Asin t ถาสมการการขจดเปน S = Acos t สมการอตราเรว V = cosA t สมการอตราเรว V = - sinA t สมการอตราเรง a = - sin2 A t สมการอตราเรง a = - cos2 A t

ขอสงเกตจากกราฟ กราฟความสมพนธ s-t , v-t และ a-t ของการเคลอนทของอนภาคตางๆ สรปไดดงน 1. ถาอนภาคเคลอนทในแนวเสนตรงจะไดกราฟความสมพนธเปนเสนตรงหรอเสนโคงการ การพจารณาลกษณะกราฟตางๆ ใหดท slope หรอคาของความเรว , ความเรง 2.ถาอนภาคเคลอนทแบบ SHMจะไดกราฟความสมพนธเปน sine หรอcosine curve ดงรปท 14.21 การพจารณาลกษณะกราฟใหใชวธการหาคาอนพนธ

4.2.5 การเคลอนทของเงาของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลมดวยอตราเรวคงทโดยมมมเรมตนไมเปนศนย

รปท 14.22 (a) ต าแหนงของ Q และ QY รปท 14.22 (b) ต าแหนงของ Q ขณะเวลา t = 0 และ QY ขณะเวลา t

ตอไปนเราจะพจารณาการเคลอนทของเงา Qy ในกรณทวๆไx นนคอขณะเวลา t = 0

ก าหนดใหอนภาค Q ก าลงอยในต าแหนงทแขน OQ ท ามม O ใดๆกบแกน +X ดงรป14.22(a) ตอมา เมอเวลา t แขน OQ จะกวาดมมเพมขนอก t ดงนนการขจดของ Qy จากจด O จะหาไดจาก Y = Asin( 0 t) - - - - - - - - -(10)

ดวยการหาอนพนธเทยบกบเวลา เราสามารถหาความเรวและความเรงได ดงน

V = t(dt

d)tcos(A)tsin(A

dt

d

dt

dy )

V = cos(A 0 t) - - - - - - --- (11)

a = [dt

d

dt

dv = cos(A 0 t)] = - Asin( 0 t)

dt

d ( 0 t)

V = - 2 Asin( 0 t) - - - - - - - - (12) นอกจากน เราสามารถพสจนไดเชนเดยวกนวา

V = 22 YA - - - - - - - -(13) a = - 2 y - - - - -- - - (14)

รปท 14.23 การเคลอนทแบบ SHM ของเงา QY รปท 14.24 การเคลอนทแบบ SHM ของ

เมอมมเรมตน 2

เรเดยน เงาQ เมอมมเรมตน 2

เรเดยน

ถาเราก าหนดให 2

(เรเดยนหรอ 90o เราจะได

y = Asin( 2

+ t)

y = Acos t) - - - - - - - - - (15)

V = A(2

+ t)

V =- Asin t - - - - - - - - - (16)

a = - 2 Asin(2

+ t)

a = - 2 Acos t) - - - - - - - - -(17)

ซงรปสมการจะเหมอนกบสมการทเงาของแขน OQ อยบนแกน X(QX) ทกประการ หรอ

กลาวอกนยหนง การเคลอนทของ QY เมอ 2

เรเดยน(รป14.23) กบการเคลอนทของ QX เมอ =

0 เรเดยน(รป14.24) จะรปสมการการขจด ความเรวและความเรงเหมอนกนทกประการนนคอ เราอาจสรปไดวา QX และ QY มลกษณะการเคลอนทเหมอนกนทกอยาง จะตางกนกเพยงแตวาเปนการเคลอนทคนละแกนเทานน ดงนนเราจะใชสมการหวขอ 4.2.4 ซงเปนสมการของ เปนสมการของ QY เปนสมการมาตรฐานในการหาการขจด ความเรว และความเรงของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค

สรป ถาเราก าหนดใหเวลา t = 0 อนภาค Q ท ามม กบแกน +X เราจะหาการขจด ความเรว และคามเรงของอนภาค P ไดจาก

รปท 14.25 ต าแหนงของ Q, QY และ P เมอเวลา t = 0 1)การขจด S = Asin( 0 t) 2)ความเรว V = cos(A 0 t)

V = 22 YA 3)ความเรง a = - 2 Asin( 0

a = 2 S โดย S คอ การขจดทวดจากแนวสมดลไปยงต าแหนงทอนภาคอย การเรยนในระดบน ราจะสนใจสภาวะเรมตน (t=0) ของอนภาค P เพยง 2 กรณใหญๆคอ 1) t=0 , s=0 และ

2) t=0 ,s=A เทานน (ดงทสรปในหวขอ 3.2.4)

3.3 แรงทท าใหวตถเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค เนองจากการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนคเปนการเคลอนทชนดมความเรง แสดงวา

จะตองมแรงกระท าตอวตถและการเคลอนทจะตองเปนไปตามกฎขอท 2 ของนวตน 3.3.1 การหาเงอนไขของแรงทท าใหวตถเคลอนทแบบ SHM

จาก maF แตความเรงของ SHM จะได a = - 2 S แทนคา จะได F = -m 2 S - - - - - - - - - (18) จากสมการ m 2 = คาคงท = k สมการ 18 ขยนใหมได F = -ks โดย k = m 2 - - - - - - - - -(19) * นนคอ วตถจะเคลอนทแบบ SHM ไดตอเมอ

1. แรงลพธเกดกบวตถตองมทศเขาสแนวดล 2. ขนาดของแรงลพธแปรผนตามการขจด F S

3.3.2 คาบและความถของการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค

จาก k = m 2 เราทราบวาอตราเรวเชงมมของการเคลอนทเปนวงกลมสมพนธกบคาบ ดวยสมการ

2

เนองจากเราสงเกตเหนวาการเคลอนทของเงาแบบ SHM มคาบของการเคลอนทครบรอบเทากนคาบของการเคลอนทเปนวงกลมทเกดเงานน ดงนน T จงเปนคาบของ SHM ดวย

ดงนน K = m(

2 )2

คาบของ SHM T = 2k

m - - - - - - - - (20)

ความถของ SHM f =

1 =m

k

2

1 - - -- - - - - -(21)

3.4 การเคลอนทแบบ SHM ของระบบตาง ๆ ในการทเราจะพจารณาการเคลอนทของระบบเพยง 2 ระบบเทานนคอ การแกวงของลกตมนาฬกาและการสนของมวลปลายสปรง

3.4.1 การเคลอนทแบบ SHM ของลกตมนาฬกา ก าหนดใหลกตมมวล mผกเชอกยาว เมอลกตมอยในต าแหนงทเชอกท ามม กบแนวดงมอตราเรวเทากบ v และสวนโคงรองรบมม เทากบ s

รปท 14.26 การแกวงของลกตม พจารณาแรงทมวล m ดงรปจะได

F รศม = r

mv 2

แทนคา T - mgcos = r

mv 2

T = mgcos =

2mv - - - - - - - - - -*

ความตงเชอก ณ ต าแหนงใดๆ จะได T= mgcos =

2mv

พจารณาในแนวเสนสมผส จากรปจะได F= -mgsin [FตรงขามกบSเปนลบ] - - - - - - - -- -(22) จากสมการแสดงวา F sin จงไมไดแกวงแบบSHM

ถาก าหนดใหมม เลกมากๆจะได sin

S

สมการ 22 เขยนใหมได F= -mgsin =

mgs - -- - - - - - -(23)

แต

mg = คาคงท (k)

สมการ 23 เขยนใหมได F = -ks แสดงวาแรงทเกดขนกบวตถมทศสแนวสมดลและแปรผนตามแนวขจด จงเปนการเคลอนทแบบ

ซมเปลฮารโมนค

หาคาบเวลาของการเคลอนท

จาก k

m2 - - - - - - - -(24)

แต k =

mg

แทนคา k ใน 24จะได

g

m

2

g

2 - - - - - - -(25)

เมอ g = ความเรงทเกดขนกบวตถ ในกรณทลกตมแขวนอยในระบบทก าลงเคลอนทแบบมความเรง a และแกวงเปนมม

นอยๆรอบจดสมดล เราสามารถพสจนไดวาการเคลอนทของลกตมนนยงคงประมาณไดวาเปนแบบ SHM และเราสามารถหาคาบ T ไดจากสมการ

ag

2

- - - - -- - - - - 26

โดยท g = เปนความเรงทเกดจากความโนมถวง a = เปนความเรงของระบบทลกตมแขวนอย

ag

= คอขนาดของเวคเตอร g – a ซงเปนความเรงลพธของลกตมเมอเทยบกบผ สงเกตทอยในระบบนน

3.4.2 การแกวงของมวลผกปลายสปรง ก าหนดใหมวล m แขวนสปรงในแนวดงดงรป (a) แลวคอยๆ ปลอยใหสปรงยดออก

จนกระทงมวล m อยนง ดงรป (b) จากนนดงมวล m ใหยดออกจากรป(b) เทากบ X2 เเลวปลอยใหมนสนขนลงเเบบ SHM

รปท 14.27 การแกวงมวลผกสปรง

พจารณารป (b) มวล m อยในภาวะ จะได kx1 = mg พจารณารป (c) จะได F -k(x1+x2)+mg( แรงมทศตรงขามกบ x เปน-1 ) F -k x1-k x2+mg แทนคา mg จะได F - k x1-k x2+ k x1 F - k x

นนคอ F มทศสแนวสมดลและมคาแปรผนตามการขจดX5ดงนนการแกวงของการผก

ปลายสปรงจงเปนการแกวงแบบ SHM คาบเวลาการแกวงของมวลผกปลายสปรงมคาดงสมการ

k

m2 โดย k = คานจของสปรง - - - - - - - -- (28)

เนองจากการหาคาบเวลาการสนของมวลจากผกสปรงจากสตรขางบน จะตองเปนสปรงเสนเดยวเทานน ดงนนถามสปรงหลายเสนจะตองท าการยบใหเปนสปรงเสนเดยวเสยกอน จงมสตรการยบคานจของสปรงทมการตอในแบบตางๆไดดงน

1. การตอสปรงแบบอนกรม เมอน าสปรงมาตอตามกนแลวตอกบมวล เราสามารถยบสปรงใหเปนเสนเดยวแลวหาคานจใหมจะไดตามสมการ

21

111

kkke

2.การตอสปรงแบบขนาน เมอน าสปรงมาตอขนานกนและตอกบมวล เราสามารถยบสปรงใหเปนเสนเดยวเละหาคานจไดจากสมการ

Ke = k1+k2

3.5 สรปสตรการค านวณ SHM 1. สมการการขจด S = Asin( 0 t)

2. สมการความเรว V = cos(A 0 t) หรอ V = 22 SA 3. สมการความเรง a = - 2 Asin( 0 t) หรอ a = -w2s 4. เงอนไขการเคลอนทแบบ SHMจะได F

= -kS

5. ความถมาตรฐานของการเคลอนทแบบ SHM

T = 2k

m หรอ f =

m

k

2

1

6. ความถของการแกวงลกตมนาฬกา คาบของ SHM

T = 2 g

หรอ f =

g

2

1

กรณระบบมความเรง ag

2

หรอ f =

2

1

ag

7.ความถของการสนผกปลายสปรง T = 2k

m หรอ f =

m

k

2

1

3.6 ตวอยางการค านวณการเคลอนทแบบซมเปลฮารโมนค ตวอยางท 81 อนภาคหนงเคลอนทซมเปลฮารโมนคบนพนระดบทมแอมพลจด 10 ซม ทจดซงหางจาก

จดสมดล 6 ซม4มความเรว24 ซม/วนาท จงหาคาบเวลา

วธท า หา จาก v = 22 SA จากโจทย A = 10x10-2 m , S = 6x10-2m , V =24x10-2m/s

แทนคา 24x10-2 = 2222 )106()0110( xx = 3

แต = 21

44

3

22

คาบเวลาการเคลอนท = 2.1 วนาท/รอบ ตอบ ตวอยางท 82 ขอมลตอไปนใชตอบค าถามขอ 1 ถงขอ 3 อนภาคหนงเคลอนทไดกราฟการขจดกบเวลา ดงกราฟ

1. กราฟระหวางความเรวกบเวลาของอนภาคนคอ ก. ข. ค. ง. 2. กราฟระหวางความเรงกบเวลาของอนภาคนคอ ก. ข. ค. ง. 3. กราฟระหวางพลงงานจลนกบเวลาของอนภาคคอ ก. ข. ค. ง. วธท า โจทยก าหนดกราฟการขจดกบเวลามาใหเปนกราฟรป cosin curve

1.หาลกษณะกราฟระหวาง v กบ t จาก V=dt

d

dt

ds ( cosin curve)

= -sine curve กราฟ v กบ t เปน -sine curve ตอบขอ ค.

2. หาลกษณะกราฟระหวาง a กบ t จาก V=dt

d

dt

ds (-sine curve)

=- cosin curve กราฟ a กบ t เปน cosin curve ตอบขอ ข.

3. หาพลงงานจลนของอนภาคจาก EK= 2

2

1mv

แต v มคาแปรเปลยนไปตามกราฟ sine curve เมอยกก าลงสองจะท าใหคาของ v2 เปนบวกเพยงอยางเดยวแตรปยงคงเปนกราฟรป sine curve อย ตอบขอ ก.

กราฟความสมพนธทไดจากการวเคราะห ตวอยางท 83 อนภาคหนงไดรบแรงเปลยนแปลงตามเวลาดงกราฟรป กราฟรปใดแทนกราฟความเรวกบเวลาของอนภาคน วธท า จากสมการ amF

มวลมคาคงท ดงนนคาของแรงจะแปรผนตามความเรง เมอขนาด

ของแรงเปลยนแปลงดงกราฟรป -sine curve จะไดความเรงแปรตามเวลาเปน -sine curveดวย

จาก a =dt

dv

a =dt

d ( cosin curve)

a =- sine curve กราฟ v กบ t จะเปนรป cosin curve ตอบขอ ข

ตวอยางท 84 มวลใดๆ ก าลงเคลอนทแบบ ดวยแอมพลจดและมความถเชงมม จงหาวา ก. ความเรวมากทสดและนอยทสดมใด และเกดขนทต าแหนงใดขนาดเทา ข. ความเรงมากทสดและนอยทสดมใด และเกดขนทต าแหนงใดขนาดเทา

วธท า ก. พจารณาสมการ v = 22 SA ความเรว v จะมากทสด เมอ A2-S2 มคามากทสด แสดงวา S=0

Vmax = AA 02 นนคอ ความเรวมขนาดมากทสด A ณ ต าแหนงสมดล(การขจด S=0) และ อาจมทศ + หรอทศ – กได ตอบ ความเรว V จะนอยทสด เมอA2-S2 มคานอยทสด แสดงวา S=A หรอS=-A

Vmin= 22 AA = 0 นนคอ ความเรวมขนาดนอยทสดเทากบ 0 ณ ต าแหนงปลายสดของการสน (S= A ) ตอบ ข.พจารณาสมการ a = -w2s

. ความเรง a จะมากทสด เมอ S มคามากทสด นนคอ S= A amax =

2A นนคอ ความเรงมขนาดมากทสด A2 ณ ต าแหนงปลายสดของการสน (s = A ) และอาจมทศ + หรอทศ – กได ความเรง a จะนอยทสด เมอSมคานอยทสด นนคอ S=0 ตอบ amin = -w2(0) = 0

นนคอ ความเรวมขนาดนอยทสดเทากบ 0 ณ ต าแหนงสมดล(S=0) ตอบ ตวอยางท 85 วตถมวล 0.1 กโลกรม เคลอนทแบบ SHM โดยมแอมพลจด 1 เมตร และคาบ 0.2

วนาท ก. จงหาคาสงสดของแรงทกระท าตอมวลกอนน ข. จงหาคาคงทของแรง(k) ค. ถาเรมจบเวลาเมอวตถก าลงอยทจดปลายสดของการสนพอด จงหาการขจด

ความเรว และความเรง เมอเวลาผานไป t วนาท ง. จากขอ(ค) จงหาเฟสเรมตน 0 ของวตถ เมอเรมจบเวลา จ. จากขอ(ค) จงหาความตางเฟสเเละเปรยบเทยบสภาวะการเคลอนทของวตถเมอ

เวลา t1=0.725 วนาท t2=1.525 วนาท และ t3=1.825 วนาท

วธท า จากโจทย m =0.1 kg A = 1 m T=0.2 วนาท ก. แรงมคาสงสดเมอความเรงมคาสงสด

จาก amax = - A)2

(A 22

amax = ( 2)2.0

2 (1) = 986.96 m/s2

จาก F =ma จะได Fmax= mamax = 0.1x986.96N Fmax= 98.7 N ตอบ

ข. จาก F = -ks และ a = -w2s คาคงทของแรง k หาไดจาก k = mw2

แต w =

102.0

22

เรเดยน/วนาท

แทนคาจะได k = 0.1x (10 )2 = 98.7 N/m ตอบ ค.เมอ t = 0วตถมการขจดสงสดคอ S= A ดงนนเราทราบไดทนทวารปแบบของ

สมการการขจด ความเรวและความเรงจะเปนดงน S = Acoswt V = -wAsinwt A = -w2Acoswt แทนคา A =1m และ 10 เรเดยน / วนาท จะได S = cos10 t - - - -- - - -(1) V = -10 sin10 t - - - - - - - -(2) A = -100 2cos10 t - - - - - - - -(3) ตอบ

ง. เนองจากการก าหนดเฟสของ SHM ในทนเราใชการเคลอนทของเงาบนแกน Y ของอนภาคทเคลอนทเปนวงกลมเปนหลกในการก าหนด ท าใหเราไดสมการมาตรฐานของการขจดเปน S=Asin โดยท = 0+ t

ดงนนเพอหาเฟสเรมตนเราควรเปลยนสมการ เปนรปของฟงกชน sin

จาก S = cos10 t และ cos = sin (2

+ )

S = sin (2

+10 t)- - -- - - -- - --(4)

เทยบกบสมการ S = sin( 0+ t)

จะไดเฟสเรมตน 0 = 2

เรเดยน ตอบ

จ. เมอเวลา t1= 0.725 วนาท เฟส 1 = 0+ t)

= 2

+10 (10.725)

1 = 4

31 เรดยน

จาก(1) การขจด S = cos10 t = cos10 (0.725) = -0.71m จาก(2) ความเรว V = -10 sin10 t = -10 sin10 (0.725) = 22.2m/s จาก(3)ความเรง a = -100 2cos10 t

= -100 2cos10 (0.725) = 698m/s2 *เครองหมาย หนาตวเลข จะบอกทศของเวคเตอรการขจด ความเรว และความเรง

เมอเวลา t2=1.525 วนาท เฟส 2 = 0+ t

2 = 2

+10 (1.525)

2 = 4

63 เรเดยน

เมอเวลา t3 =1.825 วนาท เฟส 3 = 0+ t3

3 = 2

+10 (1.825)

3 = 4

75 เรเดยน

2- 1 = 4

63 - 4

31 = 8 เรเดยน ตอบ

ความตางเฟส 3- 1 = 4

75 - 4

31 = 11 เรเดยน ตอบ

3- 2 = 4

75 - 4

63 = 3 เรเดยน ตอบ

ทเวลา t1 กบ t2 เฟสตางกนเปนจ านวนคของ (คอยในรป2n ) ดงนนเวลา t1 กบ t2 วตถจะมเฟสตรงกนและจะมสภาวะการเคลอนทเหมอนกนทกประการคอ การขจด S = -0. 71m ตอบ ทเวลา t1และ t2 ความเรว V = 22.2m/s ตอบ ความเรง a = 698m/s2 ตอบ

เฟสทเวลา t3 จะตางเฟสทเวลา t1 และ t2 เปนจ านวนคของ คออยในรป (2n+1) ดงนนทเวลา t3 วตถจะมเฟสตรงขามกบเวลา t1 และ t2 นนคอมขนาดของ s,v และ a เทากน แตทศตรงขามกนทงหมด ดงนนเราสรปไดทนทวา การขจด S = 0. 71m ตอบ ทเวลา t3 ความเรว V = -22.2m/s ตอบ ความเรง a = -698m/s2 ตอบ เราสามารถตรวจค าตอบโดยการแทนคา t2 และ t3ในสมการ (1),(2),และ(3)

ตวอยางท 86 ยงลกปนมวล 10 กรม พงเขาชนแทงไมมวล 90 กรม ซงวางอยบนพนเกลยง ถาเดมเเทงไมหยดนงและตดกบสปรงซงมคานจสปรง 100 นวตน/ม. และหลงจากกระทบ ลกปนฝงในแทงไม

ก. จงหาคาบและแอมพลจดของการแกวง ข. ในระหวางการสน จงหาความเรวและความเรงขณะทมการกระจด –0.02 เมตร จาก จดสมดล

ค. ถาขณะทแทงไมก าลงผานจดสมดลไปในทศ + เปนเวลา t = 0 จงหาการกระจด , ความเรวความเรงและแรงทกระท า ณ เวลา t ใด ๆ และเมอ t = 0.32 วนาท วธท า

ก.หาความเรวของแทงไม P

กอนชน = P

หลงชน

แทนคา mv+0 = (m+M)V 10x10-3x10 = (10x10-3+90x10-3)v ความเรวหลงชน V = 1m/s

หาแอมพลจดจากพลงงาน E1 = E2

แทนคา 2

1 (m+M)V2 = 2

1 kA2

(10+90)x10-3x1 = 100 A2:A2=10-3 แอมพลจดการสน A = 0.032m

หาคาบจาก k

m2

แทนคา 100

10)1090(2

3

x

คาบของการสน = 0.199 วนาท ตอบ ข.เราสามารถก าหนดเอาเองไดวาทศใดเปนทศบวกหรอทศลบ ในทนเราจะใหบวกไปทางขวา

มอและลบไปทางซายมอ เมอมวลมการขจด X = -0.02m หมายถงอยหางจากจดสมดลไปทางซายมอ0.02m

หาความเรวไดจาก V = 22 XA - - - - - - - - -

ความถเชงมม =199.0

22

t

= 31.6 เรเดยน/วนาท

แทนคาในสมการท จะได V = 22 )02.0()032.0(6.31 V = 77.0 m/s ความเรว V ขณะทมการขจด -0.02m มขนาด0.77m/s และอาจมทศบวกหรอลบ ตอบ หาความเรงไดจาก a = - 2x a = (31.6)2-(-0.02) = 20m/s2 ความเรง a ขณะทมการขจด -0.02m มขนาด20m/s2 และมทศบวก ตอบ

ค.ขณะเวลาn t=0 มมวลการขจดเรมตนเปน 0 และมความเรวในทศบวก ดงนนในรปแบบ

สมการการขจด ความเรวและความเรง คอ การขจด X = Asin t

ความเรว V = Acos t ความเรง a = - 2A sin t แทนคา A = 0.032m = 31.6 เรเดยน/วนาท จะได X = 0.032sin31.6t - - - - - - - - - ตอบ V = 31.6(0.032)cos31.6t V = 1.01cos31.6t - - - - - - - - - ตอบ

a = -(31.6)2(0.032)sin31.6t a = -32sin31.6t - - - - - - - - ตอบ

แรงลพธทกระท าตอวตถ F = (m+M)a = 100x10-3(-32sin31.6t) F = -3.2sin31.6t - - - - - - - - - - ตอบ เมอเวลา t = 0.32 วนาท X = 0.032sin( 31.6x 0.32) = -0.02 m ตอบ V = 1.01cos(31.6x0.32) = -0.77 m/s ตอบ a = -32sin(31.6x 0.32) = 20 m/s2 ตอบ F = -3.2sin (31.6x0.32) = 2 N ตอบ ตวอยางท 87 น ามวล m มาผกตดกบสปรงซงมคานจสปรง K และแขวนในแนวดงจดสมดลปกตของ

สปรงแลวปลอยมอ มวล m จะเรมเคลอนทโดยมความเรวตนเปน 0 และสนแบบ SHM ถาก าหนดให m = 4kg , K = 16 2 N/m และ g = 9.87 m/s2 2 m/s2 จงหา

ก . ต าแหนงของแนวสมดลของการสน ข . คาบ, คามถเชงมมของกการสน ค . แอมปลจดของการสน ง . การขจด ความเรว ความเรงและแรงลพธ ณ เวลา t ใดๆ ถาเรมจบเวลาเมอปลอยมอ วธท า ก . ใหแนว P เปนแนวสมดลปกตของสปรงและแนว Q เปนแนวสมดลของกกการสนแนวทง

สองหางกน ขณะมวล m อยทแนว Q จะมแรลพธเปน 0 k = mg

= 2

2

16

x4

k

mg

= 0.25 m

แนวสมดลของการสนอยต ากวาแนวสมดลปกตของสปรงเปนระยะ = 0.25 m ตอบ

ข . คาบ k

m2

แทนคา 216

42

= 1 ตอบ

ความถ f = 11

11

รอบ/วนาท

ความถเชงมม

21

22

เรเดยน/วนาท ตอบ

ค. เนองจากมวล m เคลอนทภายใตแรงโนมถวงและแรงสปรง ดงนนพลงงานรวม ณ ต าแหนงใดๆมคาคงทถาใหต าแหนง R เปนต าแหนงต าสดของการเคลอนทระยะระหวางแนว Q กบแนวR คอแอมพลจด A นนเอง ดงนนระยะระหวางแนว P กบแนว R คอ A =0.25+Aเมตร

จาก Eรวมทจด P = Eรวมทจด R

EKP+EPP(โนมถวง)+EPP(สปรง) = EKR+EPR(โนมถวง)+EPR(สปรง)2

1 k(0.25+A)2

แทนคา 0+mg(0.25+A)+0 = 0+0+2

1 k(0.25+A)2

2

1 k(0.25+A)2-mg(0.25A) = 0

(0.25A)[ 2

1 k(0.25+A)-mg] = 0 ; 0.25 0

2

1 k(0.25+A)-mg = 0

0.25+A =k

mg2

A =k

mg2 - 0.25 = 2

2

16

)4(2

- 0.25

A = 0.25m ตอบ ง. เมอเวลา t มวล m มการขจดเรมตน +A และมความเรวเปน 0 ดงนนรปของสมการการขจด

ความเรวและความเรงทเวลา t คอ การขจด y = Acos t ความเรว v = - Asin t ความเรง a = - 2Acos t แทนคา A และ จะได y = 0.25cos 2 t ตอบ v = -2 (0.25)sin2 t v = -0.5 sin2 t ตอบ a = -(2 )2(0.25)cos2 t a = - 2cos2 t ตอบ

ตวอยางท 88 ลกตมแขวนดวยเชอกยาว 1 เมตร แกวงไปมาดวยคาบ 2.009 วนาท ถาลกตมแขวนดวยเชอกยาว 16.00 เมตร จะแกวงดวยคาบเทาไร

วธท า คาบการแกวง g

2 - - - - - - - - -

ถา 1=1 m T1= 2.009 s จะได T1 = g12 - - - - - - - - - ถา 2=16 m T2= ? จะได g2T 22 - - - - - - - -

/ ; 1

2

1

2

แทนคาจะได 1

16

009.2

2

2 = 8.036 วนาท ตอบ

ตวอยางท89 ลกตมนาฬกาอยางงายมความยาว มวล m แขวนอยในรถทก าลงเคลอนทดวยอตรา เรวคงท รอบวงกลมทรศม ถาลกตมแกวงรอบต าแหนงสมดลเลกนอยในแนวรศม ความถ

ของการแกวงจะเปนเทาไร

วธท า ลกตมแกวงในระบบทมความเรง ca ซงเปนความเรงสศนยกลาง ดงนนเราหาความถ ได

จาก

f =

cag

2

11 - - - - - -- -

22 gaag c = 2

22

gR

V

= (v4/R2+g2)1/2

แทนคาใน จะได f =

2/1224 )/(

2

1 gRv

ตอบ

ตวอยางท 90 ลกตมนาฬกาแขวนดวยเชอกยาว 2 เมตร จงหาความถของลกตมในกรณตอไปน ก. แกวงบนพนโลก ข. แกวงในลฟทขนดวยความเรง 2 m/s2 ค. แกวงในลฟทลงดวยความเรง 2 m/s2

วธท า ก. แกวงบนพนโลกจะได f =

g

2

1

แทนคาจะได f = 2

5

2

10

2

1

= 0.356 รอบ/วนาท ตอบ ข.เมอแกวงในลฟททเคลอนทขนดวยความเรง 2 m/s2

ขนาดของความเรงลพธของลกตมเมอเทยบกบคนในลฟท ag

= 10 + 2 = 12 m/s2

ความถของการแกวง f =

ag

2

1

แทนคา f = 2

12

2

1

= 0.39 รอบ/วนาท ตอบ ค. เมอแกวงในลฟททเคลอนทลงดวยความเรง 2 ขนาดของความเรงลพทของลกตมเทยบกบคนในลฟท

ag

= 10-2 = 8 m/s2

ความถของการแกวง f =

ag

2

1

แทนคา f =2

8

2

1

= 0.318 รอบ/วนาท ตอบ

ตวอยางท 91 จากรปตอไปน จงหาคาบเวลาการแกวงของมวล m วธท า ในแตละรปทโจทยก าหนดใหมา ท าการยบเปนสปรงเสนเดยวเสยกอน จงหาคาบเวลา

จาก m

k2

จากรปสปรง 3ตวตออยางอนกรมกน ยบใหเหลอสปรง 1 ตว ดงรป

321e k

1

k

1

k

1

k

1

321

211332

e kkk

kkkkkk

k

1

จากสตร ek

m2

แทนคาจะได 321

211332

kkk

)kkkkkk(m2

ตอบ

จากรป สปรง k1 และ k2 ตอขนานกนยบเปน 1 ตว แลละตออนกรมกบ k3 ดงรป

321e k

1

kk

1

k

1

321

213

e k)kk(

kkk

k

1

จาก ek

m2 จะได

321

321

k)kk(

)kkk(m2

ตอบ

จากรป ถาท าใหวตถเสยสมดลไปเปนการขจด = x สปรง k1 เกดระยะหด x เกดแรง F1 = k1x สปรง k2 เกดระยะหด x เกดแรง F2 = k2x = -k1x-k2x = -(k1+k2)x จากสมการ XF แสดงวามวล m สนแบบ SHM โดยมคาคงทเทากบ (k1+k2)

จาก k

m2

21 kk

m2

ตอบ

หมายเหต แสดงวาการตอสปรงดงรปขางตนมผลเหมอนกบการตอสปรงแบบขนาน ตวอยางท 92 รถยนตคนหนงมมวล 1000 กโลกรม ชาย 4 คน มมวลรวมกน 200 กโลกรม เขา

ไปนงในรถ รถจะยบลงไป 5 เซนตเมตร จงแสดงวาความถของการสนของรถมคา

3.02

1 g

วธท า ก. ใหหาคานจของสปรงเสยกอนจากระยะยบ

ข. หาความถจาก m

k

2

1

t

1f

หาคาบเวลาของมวลผกปลายสปรง

เดมมวลของรถ 1000 กโลกรม ท าใหยบตวลงดงรปท (1) เมอมมวลคนเพมอก 200 กโลกรม ท าใหสปรงยบตวจากเดม 5 เซนตเมตร ดงรปท (2) จาก F = k x 200g = k(0.05)

จาก m

k2

g

mM

400

)(

g4000

12002 =

g

3.02

แต f =3.02

11 g

ตอบ

ตวอยางท 93 มวล m ผกไวดวยเชอกทยาวเทากน 2 เสน ซงขงไวกบก าแพงดงรป สมมตให

เชอกมคามาก จนกระทงการเปลยนแปลงของแรงดง เนองจากการขจดเลกๆละทงไดเชนเดยวกบแรงเนองจากความโนมถวง จงพสจนวา ส าหรบการขจด x เลกๆ การเคลอนทจะเปนแบบ SHM และจงหาคาบของการสน

วธท า ก. ใหหาแรงเขาสแนวสมดลในรปของ F = -k x เพอหาคาน

ข. หาคาบเวลาจาก k

m2

แรงดง T ในเชอกมคามากกวา mg มากๆ ดงนนจงไมคดแรง mg จากรป แรงสแนวสมดลคอ 2Tcos cos2F - - - - - - - วตถเคลอนทแบบ SHM ไดเมอ F x

จากรป cos = 22)

2(

แต X มคานอยมากเมอเทยบกบ ดงนน x2 กยงมคานอยมาก

ดงนนคา 22

2)( x = 2

2)( =

2

แทนคา cos ; cos =

2

2

แทนคา cos ใน ;

)4

()2

(2F

แต

4 มคาคงท F

นนคอมวล m สนแบบ SHM โดยม k =

4

จาก k

m2 คาบการสน =

4

m2

ตอบ

ตวอยางท 94 กรอกปรอท 9 กโลกรมในหลอดแกวรปตวย ซงมเสนผาศนยกลาง 1.2 ซม. จะกระเพอมขนลงรอบต าแหนงสมดล คาบเวลาของการกระเพอมขนลงเปนเทาใด ก าหนดความหนาแนนสมพทธปรอท = 13.6

สมมตวาปรอทในขาขางซายกระเพอมขนสงจากแนวสมดลเปนระยะ h พจารณาในชวงความสง h ซงเคลอนทแบบชมเปลฮารโมนค

qAhgqvgmgF

= - q )4

(2d hg

= - X2

)gdq(

2

= -q )X2)(4

d(

2 g

F โดยท k = 2

gdq 2

แทนคา k = 13.6x10-3 x2

10)102.1(

7

22 22 xx

= 30.76

จาก k

m2

76.30

9

7

222x = 3.4 S ตอบ

ตวอยางท 95 จากรปปลอยมวล m เลกมากลงมาบนสปรง มผลท าใหสปรงยบลงไป x และ มวล m ตดปลาย เคลอนทสนขนลงแบบ SHM จงหาคาบของการสน วธท า หาคานจของสปรงจาก E1 = E2

แทนคา mg(X+Y) =2

1 k x2

k = 2

)(2

X

YXmg

หาคาบการแกวงของมวล m จาก k

m2

แทนคา YX(mg2

mX2

2

)YX(g2

X2

2

ตอบ

*********************************************************************************