P a g e | 1

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

สมบัติการไม่เท่ากัน ประโยคคณิตศาสตร์จะใช้สัญลักษณ์ > , < , ≥ , ≤ , ≠

แทนการไม่เท่ากัน เรียกการไม่เท่ากันว่า “อสมการ” (Inequalities) เช่น 3x - 2 < 5 , 2x - 1 ≠ 8 - 5

บทนิยาม a < b หมายถึง a น้อยกว่า b

a > b หมายถึง a มากกว่า b กําหนดให้ a, b, c เป็นจํานวนจริงใดๆ 1. สมบัติการถ่ายทอด

ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c

2. สมบัติการบวกด้วยจํานวนท่ีเท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b+ c 3. จํานวนจริงบวกและจํานวนจริงลบ a เป็นจํานวนจริงบวก ก็ต่อเม่ือ a > 0 a เป็นจํานวนจริงลบ ก็ต่อเม่ือ a < 0 4. สมบัติการคูณด้วยจํานวนเท่ากันท่ีไม่เท่ากับศูนย์ ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc 5. สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b 6. สมบัติการตัดออกสําหรับการคูณ ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

บทนิยาม a ≤ b หมายถึง a น้อยกว่าหรือเท่ากับ b a ≥ b หมายถึง a มากกว่าหรือเท่ากับ b a < b < c หมายถึง a < b และ b < c a ≤ b ≤ c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c

ระบบจํานวนจริง Part 2

P a g e | 2

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

ช่วง (Interval) ช่วง หมายถึง เซตของจํานวนจริงท่ีเป็นส่วนใดส่วนหนึ่งของเส้นจํานวน ช่วงของจํานวนจริง กําหนดให้ a, b เป็นจํานวนจริง และ a < b 1. ช่วงเปิด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b }

2. ช่วงปิด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }

3. ช่วงครึ่งเปิด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b }

4. ช่วงครึ่งเปิด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b}

5. ช่วง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}

6. ช่วง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a}

7. ช่วง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a}

8. ช่วง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}

P a g e | 3

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

แบบฝึกหัดท่ี 1 ให้ผู้เรียนบอกสมบัติการไม่เท่ากัน (เม่ือตัวแปรเป็นจํานวนจริงใดๆ)

1. ถ้า x < 3 แล้ว 2x < 6 ………………………………………………………………….. 2. ถ้า y > 7 แล้ว -2y < - 14 ……………………………………………………………….. 3. ถ้า x + 1 > 6 แล้ว x+2 > 7 …………………………………………………………….. 4. ถ้า y + 3 < 5 แล้ว y < 2 ……………………………………………….………………… 5. ถ้า x < 7 และ 7 < y แล้ว x < y ………………………………………………………. 6. ถ้า x < 0 แล้ว –x > 0 ………………………………………………..……………………. 7. ถ้า x > 0 แล้ว –x < 0 ……………………………………………………………………. 8. ถ้า a > 0 แล้ว a+1 > 0+1 ………………………………………………………………. 9. ถ้า b < 0 แล้ว b + (-2) < 0+(-2) …………………………………………..………… 10. ถ้า c > -2 แล้ว (-1)c < (-1)(-2) …………………………………………………..…….

จงใช้เส้นจํานวนแสดงลักษณะของช่วงของจํานวนจริงต่อไปนี้ 1. (2,7)

2. [3,6]

3. [-1,5)

4. (-1,4]

5. (2,∞ )

P a g e | 4

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

6. (-∞ ,4)

7. (0,8)

8. [-5,4)

ขอบเขตบนและขอบเขตล่าง นิยาม ให้ S เป็นเซตย่อยของ R เรากล่าวว่า S เป็นเซตท่ีมีขอบเขตบนถ้ามีจํานวนจริง b ซ่ึง s ≤ b สําหรับทุกจํานวน s∈ S และเรียก b ว่าเป็นขอบเขตบน(Upper bound)ของ S ถ้า b เป็นขอบเขตบนของ S และ b≤u สําหรับทุกจํานวน u ท่ีเป็นขอบเขตบนของ S เราเรียก b ว่าเป็น ขอบเขตบนท่ีน้อยท่ีสุดของ S นิยาม ให้ S เป็นเซตย่อยของ R เรากล่าวว่า S เป็นเซตท่ีมีขอบเขตล่างถ้ามีจํานวนจริง a ซ่ึง s ≥ a สําหรับทุกจํานวน s∈ S และเรียก a ว่าเป็นขอบเขตล่าง(Lower bound)ของ S

ถ้า a เป็นขอบเขตล่างของ S และ a≥v สําหรับทุกจํานวน v ท่ีเป็นขอบเขตล่างของ S เราเรียก b ว่าเป็น ขอบเขตล่างท่ีมากท่ีสุดของ S ตัวอย่าง เช่น

เซต {1, 2, 3, 4} มี 1 เป็นขอบเขตล่าง และ 4 เป็นขอบเขตบน จํานวนท่ีเป็นขอบเขตล่างมีอีกมากมาย เช่น 0, -0.5, 0.3, ... เป็นขอบเขตล่าง แต่ 2 ไม่เป็นขอบเขตล่าง สังเกตว่า 1 เป็นขอบเขตล่างท่ีมากท่ีสุด และจํานวนท่ีมากกว่า 4 ทุกจํานวนเป็นขอบเขตบน และ 4 เป็นขอบเขตบนท่ีมีค่าน้อยท่ีสุด

เซต ,...}4

1,

3

1,

2

1,1{ มี 0 และจํานวนท่ีน้อยกว่า 0 เป็นขอบเขตล่าง และมี 1 และจํานวนท่ี

มากกว่า 1 เป็นขอบเขตบน สังเกตว่า 0 เป็นขอบเขตล่างท่ีมากท่ีสุด และ 1 เป็นขอบเขตบนท่ีมีค่าน้อยท่ีสุด

P a g e | 5

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

เซต }3

1|{ >xx มี

3

1 และจํานวนท่ีน้อยกว่า 3

1 เป็นขอบเขตล่าง โดยมี 3

1 เป็นขอบเขต

ล่างท่ีมากท่ีสุด เซตนี้ไม่มีขอบเขตบน

แบบฝึกหัดท่ี 2 1. ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่

1) 3 เป็นขอบเขตบนของเซต ,...}3

2,

2

1,0{

2) 1 เป็นขอบเขตล่างของ {x | 2 < x < 3} 2. จงหาขอบเขตบนท่ีน้อยท่ีสุด และขอบเขตล่างท่ีมากท่ีสุดของเซตต่อไปนี้(ถ้ามี)

1) {1, 2, 3, 4,…}……………………………………………………………………………

2) ...}4

3,

3

2,

2

1{ …………………………………………………………………………….

3) {x | -1 < x < 2}…………………………………………………………………………. 4) {0} ∪ {x | 1< x ≤5}………………………………………………………………….. 5) {x | x > -1}………………………………………………………………………………….

การแก้อสมการ

อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ท่ีกล่าวถึงความสัมพันธ์ของตัวแปร กับจํานวนใดๆ โดยใช้เครื่องหมาย ≠ , ≤ ,≥ , < , > , เป็นตัวระบุความสัมพันธ์ของตัวแปร และจํานวนดังกล่าว

คําตอบของอสมการ คือ ค่าของตัวแปรท่ีทําให้อสมการเป็นจริง เซตคําตอบของอสมการ คือ เซตของค่าตัวแปรท้ังหมดท่ีทําให้อสมการเป็นจริง หลักในการแก้อสมการเชิงเส้น “ตัวแปรเดียว” เราอาศัยสมบัติของการไม่เท่ากันในการแก้อสมการ เช่น

1. กฎไตรวิภาค ถ้า a และ b เป็นจํานวนจริงใดๆ ข้อต่อไปนี้จะเป็นจริงข้อหนึ่งและเพียงข้อเดียว คือ ก. a < b ข. a = b ค. a > b

2. กฎการถ่ายทอด ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริงใดๆ ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c

3. ให้ a, b, c และ d เป็นจํานวนจริงใดๆ ถ้า a < b และ c < d แล้ว a+c < b+d

4. สมบัติการบวกด้วยจํานวนท่ีเท่ากัน ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริงใดๆ ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c 5. สมบัติการคูณด้วยจํานวนท่ีเท่ากัน ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริงใดๆ ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc

P a g e | 6

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาเซตคําตอบของ x + 3 > 12 *** พยายามจัดให้ตัวแปร x อยู่ทางซ้ายมือ (หรือขวามือ) ของเครื่องหมายอสมการ และจํานวนอ่ืน ๆ อยู่อีกข้างหนึ่ง วิธีทํา x + 3 > 12

∴ x + 3 + (-3) > 12 + (-3)

x > 9

∴ เซตคําตอบของอสมการนี้คือ (9, ∞)

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาเซตคําตอบของ 2x + 1 < 9 วิธีทํา 2x + 1 < 9

∴ 2x + 1 + (-1) < 9 + (-1)

2x < 8

(2x) <

(8)

x < 4

∴ เซตคําตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 4)

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาเซตคําตอบของ 4x - 5 ≤ 2x + 5 วิธีทํา 4x - 5 ≤ 2x + 5 4x - 5 + 5 ≤ 2x + 5 + 5 4x ≤ 2x + 10 4x - 2x ≤ 2x + 10 - 2x 2x ≤ 10

(2x) ≤

(10)

x ≤ 5

∴ เซตคําตอบของอสมการนี้คือ (-∞, 5]

P a g e | 7

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาเซตคําตอบของ -1≤ 2x+3 <2 วิธีทํา -1 ≤ 2x+3 และ 2x+3 < 2 -1-3 ≤ 2x+3-3 และ 2x+3-3 < 2-3 -4 ≤ 2x และ 2x < -1

�42 ≤ 2�2 และ x <

�12

-2 ≤ x และ ดังนั้นเซตคําตอบคือ -2≤ x และ x <�� หรือ -2≤ x <�� หรือ [-2,�� ) ข้อควรระวัง !!! เม่ือนําจํานวนลบคูณตลอดอสมการ ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย “ < ” เป็น “ > ” หรือเปลี่ยนเครื่องหมาย “ > ” เป็น “ < ” เช่น 3x - 8 < 1 + 5x 3x - 5x < 1 + 8 -2x < 9

นํา 2

1− คูณตลอดอสมการ จะได้

2

9>x

หลักในการแก้อสมการตัวแปรเดียว “กําลังสอง”

กําหนดให้ a และ b เป็นจํานวนจริงใดๆ 1. ถ้า ab = 0 แล้ว จะได้ a = 0 หรือ b = 0

2. ถ้า = 0 แล้ว จะได้ a = 0

3. ถ้า ab > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0 4. ถ้า ab < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0 5. ถ้า ab ≥ 0 แล้ว จะได้ ab > 0 หรือ ab = 0 6. ถ้า ab ≤ 0 แล้ว จะได้ ab < 0 หรือ ab = 0

7. ถ้า > 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b > 0 หรือ a < 0 และ b < 0

8. ถ้า < 0 แล้ว จะได้ a > 0 และ b < 0 หรือ a < 0 และ b > 0

9. ถ้า ≥ 0 แล้ว จะได้

> 0 หรือ = 0

10. ถ้า ≤ 0 แล้ว จะได้

< 0 หรือ = 0

-------------------------------------------------------------------

P a g e | 8

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

ตัวอย่างท่ี 5 จงหาเซตคําตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 วิธีทํา ถ้า (x - 3)(x - 4) > 0 แล้วจะได้ (จากกฎข้อท่ี 3 จะเห็นว่าเป็นไปได้ 2 กรณี) (1) x - 3 > 0 และ x - 4 > 0 x > 3 และ x > 4

∴ เม่ือ x - 3 > 0 และ x - 4 > 0 แล้วจะได้ x > 4

หรือ (2) x - 3 < 0 และ x - 4 < 0 x < 3 และ x < 4

∴ x - 3 < 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ x < 3

นั่นคือ เซตคําตอบของ (x - 3)(x - 4) > 0 คือ { x | x < 3 หรือ x > 4 } = (-∞, 3 ) ∪ (4, ∞ )

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาเซตคําตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 วิธีทํา ถ้า (x - 3)(x - 4) < 0 แล้วจะได้ (จากกฎข้อท่ี 4 จะเห็นว่าเป็นไปได้ 2 กรณี) (1) x - 3 > 0 และ x - 4 < 0 x > 3 และ x < 4

∴ เม่ือ x - 3 > 0 และ x - 4 < 0 แล้วจะได้ 3 < x < 4

หรือ (2) x - 3 < 0 และ x - 4 > 0 x < 3 และ x > 4 ซ่ึงเป็นไปไม่ได้

∴ ไม่มีจํานวนจริง x ท่ีสอดคล้องกับ x - 3 < 0 และ x - 4 > 0

นั่นคือ เซตคําตอบของ (x - 3)(x - 4) < 0 คือ { x | 3 < x < 4 } = (3, 4)

P a g e | 9

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

จากตัวอย่างท่ีได้กล่าวมาแล้วข้างต้น สรุปเป็นหลักในการแก้อสมการได้ดังนี้ กําหนดให้ x, a, b เป็นจํานวนจริง และ a < b แล้ว 1. ถ้า (x - a)(x - b) > 0 จะได้ x < a หรือ x > b 2. ถ้า (x - a)(x - b) < 0 จะได้ a < x < b 3. ถ้า (x - a)(x - b) ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x ≥ b 4. ถ้า (x - a)(x - b) ≤ 0 จะได้ a ≤ x ≤ b

5. ถ้า > 0 จะได้ x < a หรือ x > b

6. ถ้า < 0 จะได้ a < x < b

7. ถ้า ≥ 0 จะได้ x ≤ a หรือ x > b

8. ถ้า ≤ 0 จะได้ a ≤ x < b

9. ให้ a และ x เป็นจํานวนจริง โดยท่ี a > 0 จะได้ 9.1 x2 < a ก็ต่อเม่ือ �√� < x < √� 9.2 x2 > a ก็ต่อเม่ือ x < �√� หรือ x > √� หรือ สามารถสรุปได้ดังตารางต่อไปนี้

หลักในการแก้อสมการง่าย ๆ ดังนี้

1. คําตอบท่ีได้จากอสมการจะอยู่ในรูปช่วง 2. ถ้าคูณหรือหารด้วยค่าลบ(จํานวนจริงลบ) เครื่องหมายของอสมการต้องเปลี่ยนเป็นตรง

ข้าม 3. การแก้อสมการกําลังสูงสุดแค่หนึ่งให้ใช้หลักการแก้เหมือนการแก้สมการคือย้ายข้างได้

สําหรับการบวกและลบนิยมย้ายตัวแปรไว้ด้านหนึ่ง 4. การแก้อสมการท่ีมีกําลังมากกว่าหนึ่ง

4.1 ทําทางขวามือของอสมการให้มีค่าเป็นศูนย์ 4.2 แยกตัวประกอบของอสมการให้อยู่ในรูปผลคูณหรือผลหารของฟังก์ชัน 4.3 พิจารณาดูว่าค่าใดบ้างท่ีทําให้ตัวประกอบแต่ละตัวเท่ากับศูนย์ 4.4 นําค่าท่ีได้ใส่ลงในเส้นจํานวน โดยเรียงจากน้อยไปมาก

P a g e | 10

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

น้อย + - + - + มาก กําหนดให้ช่วงทางขวามือสุดเป็นค่าบวก และถัดมาเป็นค่าลบ บวก ลบ …… สลับไปเรื่อย ๆ ตามจํานวนของช่วงท่ีมีอยู่

4.5 พิจารณาหาคําตอบ โดยใช้หลัก (1) ถ้าอสมการเครื่องหมาย >>>> , ≥≥≥≥ เลือกช่วงท่ีมีค่าบวก(+) ถ้ามี

หลายค่าเช่ือมด้วย "หรือ" (2) ถ้าอสมการเครื่องหมาย <<<< , ≤≤≤≤ เลือกช่วงท่ีมีค่าลบ(-) ถ้ามี

หลายค่าเช่ือมด้วย "หรือ" ตัวอย่างท่ี 7 จงแก้อสมการ 2x2-8x+5 ≤ 0 วิธีทํา นิพจน์ทางซ้ายมืออยู่ในรูปท่ีแยกตัวประกอบได้ยาก เราทําให้เป็นกําลังสองสมบูรณ์จะดีกว่า 2x2-8x+5 ≤ 0 2(x2-4x+4)+5-8 ≤ 0 2(x-2)2-3 ≤ 0 (x-2)2 ≤ � จากกฎข้อท่ี 9.1 จะได้ว่า

- � ≤ x-2 ≤ �

- � +2 ≤ x ≤ �

+2 หรือ 2 - � ≤ x ≤ �

+2

ดังนั้นเซตคําตอบคือ 2 - � ≤ x ≤ �

+2 หรือ [2 - �, �

+2 ]

ตัวอย่างท่ี 8 จงแก้อสมการ (x-5)(x+2) > 0 (x-3) วิธีทํา วงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเท่ากับ 0 หาค่า x ออกมาได้ x = 5 ,-2 ,3 เขียนบนเส้นจํานวน - + - + -2 3 5 ∴ คําตอบ คือ -2 < x < 3 หรือ x > 5

P a g e | 11

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

ตัวอย่างท่ี 9 จงแก้อสมการ ����� � 4

วิธีท่ี 1 คูณด้วย (3x-1)2 ท้ังสองข้างได้ �

���� (3x-1)2 ≤ 4(3x-1)2

3x-1 ≤ 4(9x2-6x+1) 3x-1 ≤ 36x2-24x+4 3x-1-3x+1 ≤ 36x2-24x+4-3x+1 0 ≤ 36x2-27x+5 0 ≤ (3x-1)(12x-5) (3x-1)(12x-5) ≥ 0

วงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเท่ากับ 0 หาค่า x ออกมาได้ x = �� ,

��

สามารถเขียนบนเส้นจํานวนดังนี้ + - +

��

��

∴ คําตอบ คือ x ≤ �� หรือ x ≥

��

แต่ x ไม่สามารถเท่ากับ �� (เพราะเหตุใด?) ดังนั้นเซตคําตอบคือ x <

�� หรือ x ≥

��

วิธีท่ี 2 จัดให้ข้างหนึ่งของสมการเป็นศูนย์ �

���� ≤ 4

����� - 4 ≤ 0

1 � 4�3� � 1�3� � 1 ≤ 0

�12� � 53� � 1 ≤ 0

��12� � 5�3� � 1 ≤ 0

นํา -1 คูณท้ังสองข้างของอสมการ จะได้ (ควรระวังให้ดี!!! เครื่องหมายจะเปลี่ยน) �12� � 5�

3� � 1 ≥ 0

วงเล็บใดวงเล็บหนึ่งเท่ากับ 0 หาค่า x ออกมาได้ x = �� ,

��

สามารถเขียนบนเส้นจํานวนดังนี้ + - +

��

��

∴ คําตอบ คือ x ≤ �� หรือ x ≥

��

P a g e | 12

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

คําถาม ในวิธีการท่ี 1 เหตุใดจึงไม่สามารถคูณด้วย 3x-1 ท้ังสองข้างได้ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ตัวอย่างท่ี 10 จงแก้อสมการ � �

� ���� � 3

วิธีทํา � � � �

��� � 0 หรือ 0 � ���� � 3

-2 > 1-2x หรือ 1-2x > ��

2x > 3 หรือ 2x < �

x > � หรือ x < �� เซตคําตอบคือ x > � หรือ x < ��

แบบฝึกหัดท่ี 3 จงหาเซตคําตอบของอสมการท่ีกําหนดให้ 1. 4x-8 < 2x-6 2. 2-8x > x+1 3. -2 < 1-5x < 3 4. 2 ≤ x+1 < 7-2x 5. 2 < x+1 < 2x-1 6. 3x+6 < x+4 < 2x-1 7. 1+x < 2 ≤ 7-2x 8. 3 < 2x < 1-3x 9. (x+1)(x-2) ≥ 0 10. (x+2)(2x-3) < 0 11. 3x2-11x-4 < 0 12. 2x2+7x-15 > 0 13 x2-4x+2 ≤ 0 14. 5x2+5x+1 ≥ 0

P a g e | 13

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

ค่าสัมบูรณ์(Absolute value)

บทนิยาม กําหนดให้ a เป็นจํานวนจริง

นั่นคือ ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริงใดๆ ต้องมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอ สมบัติของค่าสัมบูรณ์ 1. |x| = |-x| 2. |xy| = |x||y|

3. y

x = y

x

4. | x - y | = | y - x | 5. |x|2 = x2 6. | x + y | ≤ |x| +|y| 7. เม่ือ a เป็นจํานวนจริงบวก |x| < a หมายถึง -a < x < a |x| ≤ a หมายถึง -a ≤ x ≤ a 8. เม่ือ a เป็นจํานวนจริงบวก |x| > a หมายถึง x < -a หรือ x > a |x| ≥ a หมายถึง x ≤ -a หรือ x ≥ a

แบบฝึกหัดท่ี 4 1�. |�| � 2 � � �2����� � 2 เซตคําตอบของอสมการ คือ................................................................................................................... 2�. |�| � 3 �3 � � � �3 เซตคําตอบของอสมการ คือ................................................................................................................... 3�. |� � 4| � 3 จะได้ � 3 � � � 4 � 3 �3 � 4 � � � 3 � 4 1 � � � 7 เซตคําตอบของอสมการ คือ...................................................................................................................

P a g e | 14

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล

4�. |2 � �| � 3 จะได้2 � X � �3หรือ2 � � � 3 2 � 3 � �����2 � 3 � � 5 � ����� � 1 � � เซตคําตอบของอสมการ คือ ................................................................................................................... 5�. |5 � �| � 0 6�. |5 � �| � 0 7�. |2� � 9| � 1

8�. |3� � 4| � 8 9�. |6 � 3�| � 0

10�. |12 � 4�| � 0

P a g e | 15

อ.อุรีรัฐ สุขสวัสดิ์ชน & อ.เบญจภรณ์ จันทรกองกุล