4 โรงเรียนท่าชนะ ชุดที่ 7 · ตัวชี้วัด ค 4.2ม.4-6/5 ใช้กราฟของสมการ อสมการ

แบบฝกทกษะคณตศาสตร

ชดท 7 การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ

กราฟ

แบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนทาชนะ


นางวราภรณ บญเกต

ครช านาญการ โรงเรยนทาชนะ อ าเภอทาชนะ จงหวดสราษฏรธาน ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 11

y = (x - 2)2

y = (x - 1)2 y = (x + 1)2

y = (x + 2)2

y = x2

y = – x2 + 6

y = –x2 + 5

8

6

4

2

-10 -5 5 10

X

Y



กราฟ

แบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง เรอง ความสมพนธและฟงกชน ส าหรบชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนทาชนะ จดท าขนเพอเปนสอประกอบการเรยนรและพฒนาทกษะการเชอมโยงของนกเรยน โดยนกเรยนใชความรเดมเชอมโยงเพอสรางองคความรใหม ฝกฝนทกษะจนเกดความช านาญและเกดความรทคงทน ประกอบดวย 12 ชด ดงน ชดท 1 ความสมพนธ ชดท 2 โดเมนและเรนจของความสมพนธ ชดท 3 ฟงกชน ชดท 4 โดเมน เรนจ และคาของฟงกชน ชดท 5 ฟงกชนเชงเสน ชดท 6 ฟงกชนก าลงสอง ชดท 7 การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ ชดท 8 การแกอสมการก าลงสองโดยใชกราฟ ชดท 9 การแกปญหาโดยใชความรเรองฟงกชนก าลงสองและกราฟ ชดท 10 ฟงกชนเอกซโพเนนเซยล ชดท 11 ฟงกชนคาสมบรณ ชดท 12 ฟงกชนขนบนได

แบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง เรอง ความสมพนธและฟงกชน ส าหรบชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนทาชนะ ประกอบดวย ใบความร ใบกจกรรม เฉลยใบกจกรรม แบบฝกทกษะ เฉลยแบบฝกทกษะ แบบทดสอบหลงเรยน และเฉลยแบบทดสอบหลงเรยน หวงเปนอยางยงวาแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง เรอง ความสมพนธและฟงกชน ส าหรบชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนทาชนะ จะเปนประโยชนส าหรบครและนกเรยนทจะน าไปใชในการจดกจกรรมการเรยนรไดเปนอยางด

วราภรณ บญเกต

ค าน า



กราฟ

หนา

ค าแนะน าส าหรบคร 1 ค าชแจงส าหรบนกเรยน 2 ขนตอนการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง 3 มาตรฐาน/ตวชวด 4 จดประสงค/สาระการเรยนร/เวลาเรยน แบบทดสอบกอนเรยน เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

5 6 10

การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ (1) (ชวโมงท 1) 11 การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ (2) (ชวโมงท 2) 25 แบบทดสอบหลงเรยน เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

45 49

บรรณานกรม 50

สารบญ



กราฟ

แบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง

เรอง ความสมพนธและฟงกชน ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนทาชนะ


แบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง ชดท 7 การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ ใชประกอบการจดการเรยนการสอนเรองความสมพนธและฟงกชน ชนมธยมศกษาปท 4 โดยครควรปฏบตดงน 1. ครผสอนควรศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง เรอง การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ ใหชดเจนกอนน าไปใชในการจดกจกรรมการเรยนการสอน 2. ชแจงขนตอนการเรยนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง ใหนกเรยนเขาใจ 3. จดกจกรรมการเรยนการสอนโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะ การเชอมโยง ชดท 7 การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ ควบคกบ แผนการจดการเรยนรท 26 – 27 4. ขณะปฏบตกจกรรม ดแลใหนกเรยนปฏบตตามขนตอนและใหค าแนะน าเมอนกเรยนพบปญหา 5. ครสงเกตและประเมนผลการเรยนของนกเรยนอยางตอเนองและให การเสรมแรงในการปฏบตกจกรรมหรอท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรของนกเรยน 6. บนทกผลหลงการจดกจกรรมการเรยนการสอน

ค าแนะน าส าหรบคร

1



กราฟ

1. นกเรยนอานค าชแจงในการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง ใหเขาใจ 2. นกเรยนศกษามาตรฐานการเรยนร ตวชวด จดประสงค สาระการเรยนรเนอหา เวลาทใช

ในการเรยนรใหเขาใจ 3. นกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน ชดท 7 การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ

ตรวจค าตอบและบนทกคะแนน 4. นกเรยนศกษาตวอยางจากใบความร วเคราะห เกบรวมรวมขอมล เชอมโยงความร

แลวสรางความรดวยตนเอง 5. นกเรยนรวมกนอภปราย แลกเปลยนเรยนร ฝกกระบวนการคด กระบวนการกลม

การแกปญหา แลวท าใบกจกรรม ตรวจค าตอบภายในกลม สรปองคความรทไดรบ 6. ตวแทนกลมน าเสนอความรทสรปได

7. นกเรยนแตละคนท าแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยงโดยการวเคราะห ฝกหาค าตอบดวยตนเอง ประเมนตนเอง โดยการตรวจค าตอบ แกไขขอพกพรอง บนทกคะแนน

8. นกเรยนแตละคนท าแบบทดสอบหลงเรยน ชดท 7 การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ ตรวจค าตอบและบนทกคะแนน 9. ระหวางท ากจกรรมนกเรยนสามารถขอค าเสนอแนะจากครผสอนได 10. นกเรยนไมพดแทรก พดสอเสยด หรอดถกซงกนและกนระหวางท ากจกรรมกลม แตควรใหก าลงใจกนและกนในการท ากจกรรมรวมกน

ค าชแจงส าหรบนกเรยน

อยากดบทเรยน

ขางในแลวซ

2



กราฟ

ขนตอนการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง

ศกษาค าชแจงการใชแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยง

ทดสอบกอนเรยน

การจดการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร ทใชทกษะการเชอมโยง

ขนท 1 เตรยมความพรอม/ทบทวนความร ขนท 2 เชอมโยงความร ขนท 3 สรางความร ขนท 4 สรปองคความร ขนท 5 ฝกฝนทกษะ ขนท 6 ประเมนผล

ทดสอบหลงเรยน

ผานเกณฑ ไมผานเกณฑ

ศกษาแบบฝกทกษะคณตศาสตรทใชทกษะการเชอมโยงชดตอไป

3



กราฟ

มาตรฐานการเรยนร/ตวชวด

มาตรฐาน ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตร (mathematical model) อน ๆ แทนสถานการณตาง ๆ ตลอดจนแปลความหมายและน าไปใชแกปญหา ตวชวด ค 4.2ม.4-6/5 ใชกราฟของสมการ อสมการ ฟงกชน ในการแกปญหา มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอ การเชอมโยงความร ตาง ๆ ทางคณตศาสตร และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค ตวชวด ค 6.1 ม.4-6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม ตวชวด ค 6.1ม.4-6/4 ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการน าเสนอ ไดอยางถกตอง และชดเจน ตวชวด ค 6.1ม.4-6/5 เชอมโยงความรตาง ๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอน ๆ

4



กราฟ

1. แกสมการก าลงสองโดยใชกราฟได

การแกสมการก าลงสอง โดยใชกราฟ(2) การแกสมการก าลงสอง จ านวน 1 ชวโมง โดยกราฟ(1) จ านวน 1 ชวโมง

เวลาเรยน 2 ชวโมง

จดประสงคการเรยนร

สาระการเรยนร

การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ

5



กราฟ

5

-5

-10

-15

-20

-30 -20 -10 10 20 30

5

-20

-15

-10

-510-10

แบบทดสอบกอนเรยน

ค าชแจง แบบทดสอบเปนแบบทดสอบชนดเลอกค าตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน

ค ำสง ใหนกเรยนกากบาท ( × ) ทบขอ ก ข ค หรอ ง ทถกตองหรอเหมาะสมทสดเพยง ค าตอบเดยวในกระดาษค าตอบ

1. จากกราฟทก าหนดให ขอใดคอค าตอบของสมการ –16 + x2 = 0

ก. 4 ข. 0 และ 4 ค. 0 และ –4 ง. 4 และ –4

2. ขอใดคอค าตอบของสมการ y = – (x – 2)2 + 4 ก. 0 และ 4 ข. –1 และ 0 ค. 4 และ 5 ง. –1 และ 5

Y

X

6



กราฟ

-10 -5 5 10

4

2

-2

-4

-6

4321-3 -2 -1

-6

0-5 5

-4

-2

42

6

3. จากกราฟทก าหนดให ขอใดคอค าตอบของสมการ (x – 1)2– 4 = 0

ก. 1 และ –4 ข. 1 และ 4 ค. –1 และ 3 ง. 1 และ 3

4. ค าตอบของสมการ x(x – 1) – 1 = 0 เทากบขอใด ก. 1 และ –1

ข. 5-1 และ51

ค. 2

5-1 และ2

51

ง. 5

2-1 และ5

21

5. สมการในขอใดมค าตอบสองค าตอบ ก. 2(x + 2)2 = 0

ข. (x – 4)2 – 2 = 0

ค. (x – 3)2 + 9 = 0

ง. (x – 2)2 + 1 = 0 6. สมการในขอใดไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง ก. (x + 3)2 – 2 = 0

ข. (x – 3)2 – 2 = 0

ค. –(x – 3)2 + 2 = 0

ง. (x – 3)2 + 2 = 0

(1, -4)

Y

X

7



กราฟ

7. กราฟในขอใดไมมค าตอบของสมการก าลงสองทเปนจ านวนจรง

ก.

ข.

ค.

ง.

8. สมการในขอใดมค าตอบเปนจ านวนจรง ก. x2 = –8

ข. –8x2 – 24 = 0

ค. 2x2– 4x + 1 = 0

ง. (x – 4)2 = –4

Y Y

X X

Y Y

X X

0 0

0

0

8



กราฟ

9. ค าตอบของสมการ 2x2 = 10 เทากบขอใด ก. 2 และ 7 ข. 5 และ –5 ค. – 2 และ 10 ง. – 5 และ 5 10. ค าตอบของสมการ x2 – 4x – 21 = 0 เทากบขอใด ก. 3 และ 7 ข. –3 และ 7 ค. 3 และ –7 ง. –3 และ –7

คะแนนทได ………………คะแนน คดเปนรอยละ ........................................ ผานเกณฑ 50 % ไมผานเกณฑ 50%

ลองท าดกอนนะ สๆ ๆๆๆ

9



กราฟ

1. ง

2. ก

3. ค

4. ค

5. ข

6. ง

7. ก

8. ค

9. ง

10. ข

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน

ฝกคด ฝกสมอง

ฝกคณต

10



กราฟ

ชวโมงท 1

การแกสมการ

ก าลงสองโดยกราฟ

(1)

11



กราฟ

ใบความรท 1 เรอง การแกสมการก าลงสองโดยกราฟ (1)

การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ (1) การแกสมการหรอการหาค าตอบของสมการก าลงสอง โดยใชกราฟ ท าไดดงน กรณท 1 ในกรณทกราฟไมตดแกน X จะไมมค าตอบของสมการทเปนจ านวนจรง ตวอยางท 1 จงหาค าตอบของ 3x2 + 1 = 0

วธท า เขยนกราฟ y = 3x2 + 1 จากกราฟ จะเหนวากราฟของ y = 3x2 + 1 ไมตดแกน X แสดงวา สมการ 3x2 + 1 = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง ตอบ

กราฟไมตดแกน X

แสดงวาไมมค าตอบ

ของสมการจา

12

22

y = 3x2 + 1

Y

X

14

12

10

8

6

4

2

-2

-10 -5 5 10 15 20

6

4

2

0-5 5



กราฟ

ตวอยางท 2 จงหาค าตอบของ (x + 1)2 = –3

วธท า จากสมการ (x + 1)2 = –3

จะได (x + 1)2 + 3 = 0

ให y = (x + 1)2 + 3 ดงนนจะไดกราฟหงาย และมจดวกกลบทจด (–1, 3) เขยนกราฟไดดงน จากกราฟ จะเหนวากราฟของ y = (x + 1)2 + 3 ไมตดแกน X

แสดงวา สมการ (x + 1)2 = –3 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง ตอบ

(–1, 3)

13

X

Y

y = (x + 1)2 + 3

14

12

10

8

6

4

2

-2

-10 -5 5 10 15 20

8

6

4

2

0-5 5



กราฟ

กรณท 2 กราฟของ y = a(x + c)2 และ y = a(x – c)2 เมอ c > 0 จะตดแกน X

ทจด (–c, 0) และ (c, 0) ตามล าดบ ดงนนสมการทอยในรป y = a(x + c)2 และ y = a(x – c)2 จะมค าตอบทเปนจ านวนจรงเพยง 1 จ านวน ตวอยางท 3 จงหาค าตอบของ (x + 3)2 = 0

วธท า พจารณาจากกราฟของ y = (x + 3)2 จากกราฟ จะเหนวา เมอ y = 0 จะได x = –3 (x + 3)2 = 0 เมอ x = –3

แสดงวา ค าตอบของสมการ (x + 3)2 = 0 มค าตอบเดยว คอ –3 ตอบ

กราฟตดแกน X จดเดยว

แสดงวาสมการม 1 ค าตอบ

14

(–3, 0)

Y

X

14

12

10

8

6

4

2

-2

-10 -5 5 10 15 20

8

6

4

2

0-5 5



กราฟ

ใบกจกรรมท 1

เรอง การแกสมการก าลงสองโดยกราฟ (1)

ค าชแจง จงหาค าตอบของสมการ โดยใชการกราฟ

1. x2 = –16

วธท า จากสมการ x2 = –16

จะได x2 + 16 = …………………….………. ให y = …………………………….. ดงนนจะไดกราฟหงาย และมจดวกกลบทจด.....................เขยนกราฟไดดงน จากกราฟพบวา …………………………………….………………...…………… แสดงวาค าตอบของสมการ x2 = –16 ....................................................................

2. 7(x – 2)2 = 0

วธท า จากสมการ 7(x + 2)2 = 0 ให y = …………………………….. ดงนนจะไดกราฟ................ และมจดวกกลบทจด.....................เขยนกราฟไดดงน จากกราฟพบวาเมอ y = 0 คอ จะได x = ……………………….…………….. แสดงวาค าตอบของสมการ 7(x + 2)2 = 0 มค าตอบเดยว คอ ...............................

Y

X 0

Y

0 X

15



กราฟ

3. –8x2 – 24 = 0

วธท า จากสมการ –8x2 – 24 = 0 ให y = …………………………….. ดงนนจะไดกราฟ................ และมจดวกกลบทจด.....................เขยนกราฟไดดงน จากกราฟพบวา กราฟของสมการ y = –8x2 – 24 ...................................................

ดงนนสมการ –8x2 – 24 = 0 ...............................................................................

0

Y

X

หาจดวกกลบ เขยนกราฟ

แลวหาค าตอบจา

16



กราฟ

1. x2 = –16

วธท า จากสมการ x2 = –16

จะได x2 + 16 = 0

ให y = x2 + 16 ดงนนจะไดกราฟหงาย และมจดวกกลบทจด เขยนกราฟได (0, 16) ดงน

จากกราฟพบวา กราฟของ y = x2 + 16 ไมตดแกน X

แสดงวาค าตอบของสมการ x2 = –16 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

2. 7(x – 2)2 = 0

วธท า จากสมการ 7(x – 2)2 = 0

ให y = 7(x – 2)2 ดงนนจะไดกราฟหงาย และมจดวกกลบทจด (2, 0) เขยนกราฟไดดงน จากกราฟพบวาเมอ y = 0 จะได x = 2 แสดงวาค าตอบของสมการ 7(x – 2)2 = 0 มค าตอบเดยว คอ 2

เฉลยใบกจกรรมท 1 เรอง การแกสมการก าลงสองโดยกราฟ(1)

(0, 16)

(2, 0)

17

Y

X

60

50

40

30

20

10

-10

-20

-30

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 350 5-5

30

20

10

Y

X

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-10 -5 5 10 15 20

46

2

0 5



กราฟ

3. –8x2 – 24 = 0

วธท า จากสมการ –8x2 – 24 = 0

ให y = –8x2 – 24 ดงนนจะไดกราฟคว า และมจดวกกลบทจด (0, –24) เขยนกราฟไดดงน จากกราฟพบวา กราฟของสมการ y = –8x2 – 24 ไมตดแกน X

ดงนนสมการ –8x2 – 24 = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

(0, –24)

18

Y

X

20

-20

-40

-60

-80

-100

-120

-140

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 350 5-5

-60

-40

-20



กราฟ

แบบฝกทกษะท 1

เรอง การแกสมการก าลงสองโดยกราฟ (1)

ค าชแจง จงหาค าตอบของสมการตอไปน โดยใชกราฟ

1. –2x2 = 8

2. (x –7)2 = 0

19



กราฟ

3. 3x2 = 0

4. – (x – 4)2 = 4

20



กราฟ

5. – (x + 4)2 – 7 = 0

คะแนนทได ………………คะแนน คดเปนรอยละ ........................................ ผานเกณฑ 60 % ไมผานเกณฑ 60 %

ท าไดใชไหม

21



กราฟ

1. –2x2 = 8

วธท า จากสมการ –2x2 = 8

ให y = –2x2 – 8 ดงนนจะไดกราฟคว า และมจดวกกลบทจด (0, –8) เขยนกราฟไดดงน

จากกราฟพบวา กราฟของสมการ y = –2x2 – 8 ไมตดแกน X

ดงนนสมการ –2x2 = 8 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง 2. (x –7)2 = 0

วธท า จากสมการ (x –7)2 = 0

ให y = (x –7)2 ดงนนจะไดกราฟหงาย และมจดวกกลบทจด (7, 0) เขยนกราฟไดดงน

จากกราฟพบวาเมอ y = 0 จะได x = 7

แสดงวาค าตอบของสมการ (x –7)2 = 0 มค าตอบเดยว คอ 7

เฉลยแบบฝกทกษะท 1 เรอง การแกสมการก าลงสองโดยกราฟ (1)

(0, –8)

(7, 0)

22

Y

Y

X

30

20

10

-10

-20

-30

-40

-20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40

-30

-20

-10

2

0 5-5

X

50

40

30

20

10

-10

-20

-20 -10 10 20 30 40 50

20

30

10

0 10



กราฟ

3. 3x2 = 0

วธท า จากสมการ 3x2 = 0

ให y = 3x2 ดงนนจะไดกราฟหงาย และมจดวกกลบทจด (0, 0) เขยนกราฟไดดงน

จากกราฟพบวาเมอ y = 0 คอ จะได x = 0

แสดงวาค าตอบของสมการ 3x2 = 0 มค าตอบเดยว คอ 0

4. – (x – 4)2 = 4

วธท า จากสมการ – (x – 4)2 = 4 ให y = – (x – 4)2– 4 ดงนนจะไดกราฟคว า และมจดวกกลบทจด (4, 4) เขยนกราฟไดดงน

จากกราฟพบวา กราฟของสมการ y = – (x – 4)2– 4 ไมตดแกน X

ดงนนสมการ – (x – 4)2 = 4 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

(0, 0)

(4, –4)

23

Y

X

14

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-10 -5 5 10 15 20-3 3-2

46

2

0 5

Y

X

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-14

-16

-10 -5 5 10 15 20

-10-8-6-4-2

42

0 5



กราฟ

5. – (x + 4)2 – 7 = 0

วธท า จากสมการ – (x + 4)2 – 7 = 0

ให y = – (x + 4)2 – 7 = 0 ดงนนจะไดกราฟคว า และมจดวกกลบทจด (–4, –7) เขยนกราฟไดดงน

จากกราฟพบวา กราฟของสมการ y = – (x + 4)2– 7 ไมตดแกน X

ดงนนสมการ – (x + 4)2– 7 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

(–4, –7)

24

Y

X

20

10

-10

-20

-30

-40

-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35

-30

-20

-10

10

0-10 -5



กราฟ

ชวโมงท 2

การแกอสมการ

ก าลงสองโดยกราฟ

(2)

25



กราฟ

-10 -5 5 10 15 20

12

10

8

6

4

2

-2

-4

0-5 5

-4

-2

42

8

6

ใบความรท 2 เรอง การแกสมการก าลงสองโดยกราฟ (2)

การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ (2)

กรณท 3 ให y = ax2 + bx + c , a 0 เมอเขยน y ใหอยในรป y = a(x – h)2 + k หรอ

หาจดวกกลบทจด

2abf ,

2ab - จะสามารถพจารณาค าตอบจากกราฟของ y

ไดวาสมการทก าหนดใหมค าตอบทเปนจ านวนจรงสองจ านวนหรอไม ดงน ตวอยางท 1 จงหาค าตอบของ 2(x + 1)2 – 2 = 0

วธท า ให y = 2(x + 1)2 – 2 จะได a = 2 , h = –1 และ k = –2 เนองจาก a > 0 ดงนนกราฟของ y จะหงายขน และมจดวกกลบทจด (–1, –2) เขยนกราฟของ y = 2(x + 1)2 – 2 ไดดงน

x –3 –2 –1 0 1 y 6 0 –2 0 6

จากกราฟ จะพบวา กราฟของ y ตดแกน X ทจด (0, 0) และจด (–2, 0) แสดงวา 2(x + 1)2 – 2 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสองจ านวน คอ 0 และ –2

กราฟตดแกน X สองจด

แสดงวาสมการม 2 ค าตอบ

26

Y

X



กราฟ

การหาค าตอบของสมการก าลงสอง อาจหาโดยการแกสมการกไดดงน 2(x + 1)2 – 2 = 0

2(x + 1)2 = 2

(x + 1)2 = 1

x2 + 2x + 1 = 1

x2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 จะได x = 0 หรอ x = –2 ค าตอบของสมการคอ 0 และ –2 ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟของ f(x) = –x2 – 6x – 8 และจงหา

1) โดเมนและเรนจของฟงกชน f 2) จดวกกลบของกราฟ 3) จดวกกลบของกราฟเปนจดทฟงกชนมคาสงสดหรอต าสดและมคาเทาใด 4) ค าตอบของสมการ

วธท 1 จาก f(x) = –x2 – 6x – 8 เขยนใหอยในรป a(x – h)2 + k ไดดงน

f(x) = –(x2+ 6x + 8 )

= – [(x2+ 6x + 9 ) + 8 – 9]

= –[(x + 3)2 – 1]

= –(x + 3)2 + 1 จะได a = –1 , h = –3 และ k = 1 เนองจาก a < 0 ดงนน กราฟของ f จะคว าลงและมจดวกกลบทจด (–3, 1)

27



กราฟ

วธท 2 จาก f(x) = –x2 – 6x – 8

จะได y = –x2 – 6x – 8

เนองจากกราฟของ y = ax2 + bx + c, a ≠ 0 มจดวกกลบท

2abf ,

2ab -

จาก y = –x2– 6x – 8 จะได a = –1 และ b = –6

ดงนน x = 2ab

= 1)2(6

= – 3

และ y =

2abf = –(–3)2 – 6(–3) – 8 = 1

ดงนน y = –x2 – 6x – 8 มจดวกกลบท (–3, 1)

เขยนกราฟของ y = –x2 – 6x – 8 ไดดงน

1) จากกราฟ พบวา Dr = {xx R} หรอ Dr เปนเซตของจ านวนจรง Rr = {yy R และ y ≤ 1 }

2) กราฟมจดวกกลบท (–3, 1) 3) จดวกกลบของกราฟจะเปนจดท f มคาสงสด ท f(–3) = 1

28

(-3, 1) -10 -5 5 10 15 20

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-6

0-5 5

-4

-2

42

8

6 Y

X



กราฟ

4) จากกราฟ พบวา กราฟตดแกน X สองจด หาจดทกราฟตดแกน X โดยก าหนดให y = 0

ให –x2 – 6x – 8 = 0

จะได x2 + 6x + 8 = 0 (x + 2)(x + 4) = 0 x = –2 หรอ x = –4 จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (–2, 0) และ (–4, 0) ดงนนค าตอบของสมการ คอ –2 และ –4

เลอกท าวธทตวเองถนดนะจะ

29



กราฟ

ตวอยางท 3 จงเขยนกราฟของ f(x) = x2 – 6x + 3 และจงหาค าตอบของสมการ

วธท า ให y = x2 – 6x + 3


2abf ,

2ab -

จาก y = x2 – 6x + 3 จะได a = 1 และ b = –6


= 2(1)(-6)

= 3

และ y =

2abf = (3)2 – 6(3) + 3 = –6

ดงนน y = x2 – 6x + 3 มจดวกกลบท (3, –6)

เขยนกราฟของ y = x2 – 6x + 3 ไดดงน

จากกราฟพบวา จดทกราฟตดแกน X สองจด คอ จด (x1, 0) และ (x2, 0)

แสดงวาสมการมค าตอบทเปนจ านวนจรงสองค าตอบ หาค าตอบของสมการไดดงน

จาก x = 2a

4acbb 2

จะได x = 2(1)

4(1)(3)6)( 2( )6

x = 2

246 = 63

ดงนนค าตอบของสมการคอ 63 และ 63

(3, –6)

30

x1 x2

Y

X

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

-20 -15 -10 -5 5 10 15 2050

4

2

-8

-6

-4

-2



กราฟ

ตวอยางท 4 จงแกสมการ x2 = 9

วธท า จากสมการ x2 = 9

จะได x2 – 9 = 0

ให y = x2 – 9 เขยนกราฟ ไดดงน

จากกราฟพบวา จดทกราฟตดแกน X หรอจดท y = 0 คอ จด (–3, 0) และ (3, 0) แสดงวา ค าตอบของสมการ x2 = 9 คอ 3 และ –3

(0, –9)

(3, 0) (–3, 0)

Y

X

20

10

-10

-20

-30

-40

-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35

-20

-10

10

0 5-5

31



กราฟ

ใบกจกรรมท 2 เรอง การแกสมการก าลงสองโดยกราฟ(2)

1. จงหาค าตอบของสมการตอไปน โดยใชกราฟ

1.1 – (x + 1)2 + 1 = 0

วธท า จากสมการ – (x + 1) + 1 = 0 ให y = …………………………….. จะได a =…………….., h = ………….และ k = ………… เนองจาก a < 0 ดงนน กราฟของ y จะคว าลง และมจดวกกลบทจด..............

เขยนกราฟของ y = – (x + 1)2 + 1 ไดดงน

x –2 –1 0 y

จากรปพบวา จดทกราฟตดแกน X 2 จด คอ …………………………………

แสดงวาค าตอบของสมการ – (x + 1)2 + 1 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสอง จ านวน คอ ..............................................................................................................

0

Y

X

32



กราฟ

1.2 x2 = 8x – 15

วธท า จากสมการ x2 = 8x – 15

จะได สมการ x2 – 8x +15 = 0 ให y = ...........................................................................


2abf ,

2ab -

จาก y = x2 – 8x + 15 จะได a =………… และ b = …………


= …………………………………………………………….

และ y =

2abf = ……………………………………………………………

เนองจาก a > 0 ดงนน กราฟของ y จะหงายขน และมจดวกกลบทจด.............. เขยนกราฟของ y = x2 – 8x + 15 ไดดงน

จากกราฟพบวา กราฟตดแกน X 2 จด สามารถหาจดทกราฟตดแกน X ไดจาก

จาก x2 – 8x + 15 = 0 (x – 3) (x – 5) = 0 x = ……………หรอ x = …………….. จะไดวากราฟตดแกน X ทจด.................................และ.......................................

แสดงวาค าตอบของสมการ x2 = 8x – 15 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสอง จ านวน คอ ..............................................................................................................

0

Y

X

33



กราฟ

2. เขยนฟงกชนก าลงสองจ านวน 1 ขอ และจงหา 1) หาจดวกลบกราฟ 2) เขยนกราฟของฟงกชนอยางคราว ๆ3) หาค าตอบของสมการ

.................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................

Y

X 0

34



กราฟ

ขอ 1.

1.1 – (x + 1)2 + 1 = 0

วธท า จากสมการ – (x + 1) + 1 = 0 ให y = – (x + 1) + 1 จะได a = –1, h = –1 และ k = 1 เนองจาก a < 0 ดงนน กราฟของ y จะคว าลง และมจดวกกลบทจด (–1, 1)

เขยนกราฟของ y = – (x + 1)2 + 1 ไดดงน

x –2 –1 0 y 0 1 0

จากรปพบวา จดทกราฟตดแกน X 2 จด คอ จด (-2, 0) และ (0, 0) แสดงวาค าตอบของสมการ – (x + 1)2 + 1 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรงสอง

จ านวน คอ –2 และ 0

เฉลยกจกรรมท 2 เรอง การแกสมการก าลงสองโดยกราฟ(2)

(-2, 0) (0, 0)

35

Y

X

6

4

2

-2

-4

-10 -5 5 10

-2

-4

2

0



กราฟ

1.2 x2 = 8x – 15

วธท า จากสมการ x2 = 8x – 15

จะได สมการ x2 – 8x +15 = 0

ให y = x2 – 8x +15


2abf ,

2ab -

จาก y = x2 – 8x + 15 จะได a = 1 และ b = –8


= 2(1)

8)( = 4

และ y =

2abf = 42 – 8(4) + 15 = –1

เนองจาก a > 0 ดงนน กราฟของ y จะหงายขน และมจดวกกลบทจด (4, –1) เขยนกราฟของ y = x2 – 8x + 15 ไดดงน

จากกราฟพบวา กราฟตดแกน X 2 จด สามารถหาจดทกราฟตดแกน X ได จาก x2 – 8x + 15 = 0 (x – 3) (x – 5) = 0 x = 3 หรอ x = 5 จะไดวากราฟตดแกน X ทจด (3, 0) และ (5, 0)

แสดงวาค าตอบของสมการ x2 = 8x – 15 มค าตอบทเปนจ านวนจรง สองจ านวน คอ 3 และ 5

ขอ 2. อยในดลยพนจของครผสอน

(4, –1)

36

Y

X

6

4

2

-2

-10 -5 5 10

-2

4

2

0 5



กราฟ

แบบฝกทกษะท 2 เรอง การแกสมการก าลงสองโดยกราฟ(2)

ค าชแจง จงรางกราฟของฟงกชนทก าหนดใหตอไปน และจงหา

1) โดเมนและเรนจของฟงกชน 2) จดวกกลบของกราฟ 3) คาสงสดหรอต าสดของฟงกชน 4) จดทกราฟตดแกน X 5) ค าตอบของสมการ

1. y = x2 + 8x + 13

2. y = 3x2–12x + 6

37



กราฟ

3. y = 15 + 2x – x2

4. (x – 6 )(x + 4) = 0

5. x2 + 2 = 0

คะแนนทได ………………คะแนน คดเปนรอยละ ........................................ ผานเกณฑ 60 % ไมผานเกณฑ 60 %

38



กราฟ

1. y = x2 + 8x + 13

วธท า ให y = x2 + 8x + 13


2abf ,

2ab -

จาก y = x2 + 8x + 13 จะได a = 1 และ b = 8


= 2(1)

8 = – 4

และ y =

2abf = (–4)2 + 8(–4) + 13 = –3

ดงนน y = x2 + 8x + 13 มจดวกกลบท (–4, –3)

เขยนกราฟของ y = x2 + 8x + 13 ไดดงน 1) จากกราฟ พบวา

Dr = {xx R} หรอ Dr เปนเซตของจ านวนจรง Rr = {yy R และ y ≥ –3 }

2) กราฟมจดวกกลบท (–4, –3) 3) จดวกกลบของกราฟจะเปนจดท f มคาต าสด ท f(–4) = –3

เฉลยแบบฝกทกษะท 2 เรอง การแกสมการก าลงสอง

โดยกราฟ(2)

(-4, -3)

Y

X

4

2

-2

-4

-6

-10 -5 5 10

-4

-2

4

2

0-5

39



กราฟ

4) จากกราฟ พบวา กราฟตดแกน X สองจด

หาจดทกราฟตดแกน X โดยก าหนดให y = 0 ให x2 + 8x + 13 = 0

จาก x = 2a

4acbb 2

จะได x = 2(1)

4(1)(13)88 2

x = 34 จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด ( 34 , 0) และ ( 34 , 0)

5) ค าตอบของสมการ คอ 34 และ 34

2. y = 3x2–12x + 6

วธท า ให y = 3x2–12x + 6


2abf ,

2ab -

จาก y = 3x2–12x + 6 จะได a = 3 และ b = –12


= 2(3)

12)(- = 2

และ y =

2abf = 3(2)2 – 12(2) + 6 = –6

ดงนน y = 3x2–12x + 6 มจดวกกลบท (2, –6)

เขยนกราฟของ y = 3x2–12x + 6 ไดดงน

1) จากกราฟ พบวา

Dr = {xx R} หรอ Dr เปนเซตของจ านวนจรง Rr = {yy R และ y ≥ –6 }

(2, -6)

40

Y

X

2

-2

-4

-6

-8

-10 -5 5 10

-6

-4

-2

2

0-5 5



กราฟ

2) กราฟมจดวกกลบท (2, -6) 3) จดวกกลบของกราฟจะเปนจดท f มคาต าสด ท f(2) = –6 4) จากกราฟ พบวา กราฟตดแกน X สองจด หาจดทกราฟตดแกน X โดยก าหนดให y = 0 ให 3x2–12x + 6 = 0

จาก x = 2a

4acbb 2

จะได x = 2(3)

4(3)(6)1212)( 2

x = 22 จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด ( 22 , 0) และ ( 22 , 0)

4) ค าตอบของสมการ คอ 22 และ 22 3. y = 15 + 2x – x2

วธท า จาก y = 15 + 2x – x2

จะได y = – x2 + 2x + 15


2abf ,

2ab -

จาก y = – x2 + 2x + 15 จะได a = –1 และ b = 2


= 1)2(

2- = 1

และ y =

2abf = – (1)2 + 2(1) + 15 = 16

ดงนน y = – x2 + 2x + 15 มจดวกกลบท (1, 16)

เขยนกราฟของ y = – x2 + 2x + 15 ไดดงน

41



กราฟ

1) จากกราฟ พบวา Dr = {xx R} หรอ Dr เปนเซตของจ านวนจรง Rr = {yy R และ y 16 }

2) กราฟมจดวกกลบท (1, 16) 3) จดวกกลบของกราฟจะเปนจดท f มคาสงสด ท f(1) = 16 4) จากกราฟ พบวา กราฟตดแกน X สองจด

หาจดทกราฟตดแกน X โดยก าหนดให y = 0 ให – x2 + 2x + 15 = 0

จาก x = 2a

4acbb 2

จะได x = 1)2(1)(15)4(22

--2

x = –3 หรอ 5 จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (–3, 0) และ (5, 0)

5) ค าตอบของสมการ คอ –3 และ 5

(1, 16)

42

Y

X

20

10

-10

-20

-30 -20 -10 10 20 30

-20

-10

10

0 10-10



กราฟ

4. (x – 6 )(x + 4) = 0 วธท า จาก y = (x – 6 )(x + 4) จะได y = x2 – 2x – 24


2abf ,

2ab -

จาก y = x2 – 2x – 24 จะได a = 1 และ b = –2


= 2(1)

2)(- = 1

และ y =

2abf = (1)2 – 2(1) – 24 = –25

ดงนน y = x2 – 2x – 24 มจดวกกลบท (1, –25)

เขยนกราฟของ y = x2 – 2x – 24 ไดดงน

1) จากกราฟ พบวา Dr = {xx R} หรอ Dr เปนเซตของจ านวนจรง Rr = {yy R และ y –25 }

2) กราฟมจดวกกลบท (1, –25) 3) จดวกกลบของกราฟจะเปนจดท f มคาต าสด ท f(1) = –25 4) จากกราฟ พบวา กราฟตดแกน X สองจด

หาจดทกราฟตดแกน X โดยก าหนดให y = 0 ให (x – 6 )(x + 4) = 0 จะได x = 6 หรอ –4 จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (–4, 0) และ (6, 0)

5) ค าตอบของสมการ คอ –4 และ 6

(1, –25)

43

Y

X

40

20

-20

-40

-60

-50 -40 -30 -20 -10 10 20

20

0 10-10

-40

-20



กราฟ

5. x2 – 2 = 0

วธท า จาก y = x2 – 2

เนองจากกราฟของ y = x2 + 2 มจดวกกลบอยท (0, –2) เขยนกราฟไดดงน

1) จากกราฟ พบวา Dr = {xx R} หรอ Dr เปนเซตของจ านวนจรง Rr = {yy R และ y –2} 2) กราฟมจดวกกลบท (0, –2)

3) จดวกกลบของกราฟจะเปนจดท f มคาต าสด ท f(0) = –2 4) จากกราฟ พบวา กราฟตดแกน X สองจด

หาจดทกราฟตดแกน X โดยก าหนดให y = 0 ให x2 – 2 = 0

จะได x2 = 2 x = 2 จะไดวา กราฟตดแกน X ทจด (– 2 , 0) และ ( 2 , 0)

5) ค าตอบของสมการ คอ – 2 และ 2

(0, –2)

44

X

Y

6

4

2

-2

-4

-10 -5 5 10

-4

-2

4

2

0-5 5



กราฟ

5

-5

-10

-15

-20

-30 -20 -10 10 20 30

5

-20

-15

-10

-510-10

-10 -5 5 10

4

2

-2

-4

-6

4321-3 -2 -1

-6

0-5 5

-4

-2

42

6

แบบทดสอบหลงเรยน

ค าชแจง แบบทดสอบเปนแบบทดสอบชนดเลอกค าตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน

ค ำสง ใหนกเรยนกากบาท ( × ) ทบขอ ก ข ค หรอ ง ทถกตองหรอเหมาะสมทสดเพยง ค าตอบเดยวในกระดาษค าตอบ

1. จากกราฟทก าหนดให ขอใดคอค าตอบของสมการ (x – 1)2– 4 = 0

ก. 1 และ –4 ข. 1 และ 4 ค. –1 และ 3 ง. 1 และ 3

2. จากกราฟทก าหนดให ขอใดคอค าตอบของสมการ –16 + x2 = 0

ก. 4 ข. 0 และ 4 ค. 0 และ –4 ง. 4 และ –4

(1, -4)

45

Y

X

Y

X



กราฟ

3. กราฟในขอใดไมมค าตอบของสมการก าลงสองทเปนจ านวนจรง

ก.

ข.

ค.

ง.

4. ค าตอบของสมการ 2x2 = 10 เทากบขอใด ก. 2 และ 7 ข. 5 และ –5 ค. – 2 และ 10 ง. – 5 และ 5

5. ค าตอบของสมการ x(x – 1) – 1 = 0 เทากบขอใด ก. 1 และ –1

ข. 51 และ51 -

ค. 2

51 และ2

51 -

ง. 5

21 และ5

21 -

Y

X 0

Y

X 0

Y

X 0

Y

X 0

46



กราฟ

6. สมการในขอใดมค าตอบเปนจ านวนจรง

ก. x2 = –8

ข. –8x2 – 24 = 0

ค. 2x2– 4x + 1 = 0

ง. (x – 4)2 = –4 7. สมการในขอใดมค าตอบสองค าตอบ

ก. 2(x + 2)2 = 0

ข. (x – 4)2 – 2 = 0

ค. (x – 3)2 + 9 = 0

ง. (x – 2)2 + 1 = 0 8. สมการในขอใดไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

ก. (x + 3)2 – 2 = 0

ข. (x – 3)2 – 2 = 0

ค. –(x – 3)2 + 2 = 0

ง. (x – 3)2 + 2 = 0

9. ค าตอบของสมการ x2 – 4x – 21 = 0 เทากบขอใด ก. 3 และ 7 ข. –3 และ 7 ค. 3 และ –7 ง. –3 และ –7

47



กราฟ

10. ขอใดคอค าตอบของสมการ y = – (x – 2)2 + 4

ก. 0 และ 4 ข. –1 และ 0 ค. 4 และ 5 ง. –1 และ 5

คะแนนทได ………………คะแนน คดเปนรอยละ ........................................

ผานเกณฑ 50 % ไมผานเกณฑ 50 %

คดใหรอบคอบละ

48



กราฟ

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

1. ค

2. ง

3. ก

4. ง

5. ค

6. ค

7. ข

8. ง

9. ข

10. ก

เจอกนใหมชดท 8 จา

49



กราฟ

บรรณานกรรม

กนกวล อษณกรกลและคณะ.(ม.ป.ป). คณตศาสตร O-NET Pre- O-NET ม.4-6 หลกสตร 51 กรงเทพฯ : ภมบณฑต. เกรก ทวมกลาง และจนตนา ทวมกลาง.(2555). การพฒนาสอ /นวตกรรมทางการศกษาเพอเลอน วทย

ฐานะ. กรงเทพฯ : บรษทสถาพรบคส จ ากด. จกรนทร วรรณโพธกลาง.(2553). คมภรคณตศาสตร O – NET ม. 4 -5-6 กรงเทพฯ : บรษทส านกพมพ

พ.ศ. พฒนา จ ากด. จกรนทร วรรณโพธกลาง..(ม.ป.ป). คมภรสาระการเรยนรพนฐานและเพมเตมคณตศาสตร ม.4 ภาค

เรยนท 2 กรงเทพฯ : พฒนาศกษา. ยพน พพธกล และ สรพร ทพยคง.(2553). พจนานกรมคณตศาสตร(พมพครงท 5) กรงเทพฯ:

ปาเจรา. ศกษาธการ, กระทรวง (2551). หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551 กรงเทพฯ :

โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย จ ากด. สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ.(2553). ). คมอครรายวชา

พนฐานคณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กรงเทพฯ : โรงพมพสกสค.ลาดพราว. . (2553). คมอครรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กรงเทพฯ : โรงพมพสกสค.ลาดพราว.

. (2554). หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร เลม 1 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กรงเทพฯ : โรงพมพสกสค. ลาดพราว. .(2554). หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กรงเทพฯ : โรงพมพสกสค.ลาดพราว.

สจต เหมวล. (2555). ศาสตรการสรางและพฒนาแบบฝกทกษะ ขอนแกน: โรงพมพทรพยสนทร การพมพ.

อไรวรรณ ทองเฉม.(2551). การสรางแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบจ านวนเตม ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 1 โรงเรยนทาแซะรชดาภเษก. ชมพร : (ม.ป.ท)

50



กราฟ

หนงสอรบรองของผบงคบบญชา

ขาพเจา นายสรศกด อกษรสาร ต าแหนง ผอ านวยการโรงเรยนทาชนะ ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 11 ขอรบรองวา แบบฝกทกษะคณตศาสตร ทใชทกษะการเชอมโยง เรอง ความสมพนธและฟงกชน ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 โรงเรยนทาชนะ ชดท 7 การแกสมการก าลงสองโดยใชกราฟ เลมนเปนของ นางวราภรณ บญเกต จรง

(นายสรศกด อกษรสาร) ผอ านวยการโรงเรยนทาชนะ

Documents

4 โรงเรียนท่าชนะ ชุดที่ 7 · ตัวชี้วัด ค 4.2ม.4-6/5 ใช้กราฟของสมการ อสมการ