ความหมายของลําดับ ความหมา ยและ เ ล่ ม ที 1 รูปแบบการกํา หน ... · เฉลยใบงานที่

เ ล ม ท� 1

ความหมายและรปแบบการกาหนดลาดบ

รายวชาคณตศาสตรเพ�มเตม 6 ( ค33202 )

นายเอกพนธ จนมา

โรงเรยนเพชรพทยาคมสานกงานเขตพ�นท�การศกษามธยมศกษา เขต 40

สานกงานคณะกรรมการการศกษาข�นพ�นฐาน

ชดกจกรรมการเรยนร

สาหรบนกเรยนช�นมธยมศกษาป�ท� 6เร�อง ลาดบอนนตและอนกรมอนนต

ความหมายของลาดบ

รปแบบการเขยนลาดบ

การหาพจนท�วไปของลาดบ

ตาแหนงคร วทยฐานะครชานาญการ

( ตดตอสอบถามคณคร )

ชดกจกรรมคณตศาสตร ชดท 1 ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ จดท าขนตามตวชวดและมาตรฐานการเรยนรคณตศาสตร หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551 เพอใชประกอบการจดกจกรรมการสอน รายวชาคณตศาสตรเพมเตม ระดบชนมธยมศกษาปท 6 หนวยการเรยนท 1 ล าดบอนนตและอนกรมอนนต ท าใหผเรยนมความรในเนอหา เกดทกษะในการคดค านวณ ชวยในการตดสนใจและแกปญหา การท างานเปนกลมอยางมระบบ มวนย มความรบผดชอบ ความซอสตย ความเชอมนในตนเอง กระตนใหนกเรยนมเจตคตทดตอการเรยนคณตศาสตร ตระหนกและเหนคณคาของการเรยน อนจะน าไปสการบรรลผลตามหลกสตรคณตศาสตร

หวงเปนอยางยงวาชดกจกรรมนจะเปนประโยชนตอการจดการเรยนการสอนคณตศาสตร การศกษาคนควาหาความรของนกเรยนและบคคลทสนใจเปนอยางด

ขอขอบคณผทเกยวของทกทานทชวยใหค าแนะน า ค าปรกษา จนแบบฝกทกษะนเสรจสมบรณ คณคาและประโยชนของแบบฝกทกษะชดน ผจดท าขอมอบเปนเครองบชาพระคณแดบดา มารดาและบรพาจารย ตลอดจนผมพระคณทกทาน

เอกพนธ จนมา

ค ำน ำ

หนา

ค าชแจงเกยวกบชดกจกรรม 1

ค าแนะน าการใชชดกจกรรมส าหรบคร 2

ค าแนะน าการใชชดกจกรรมส าหรบนกเรยน 3

ขนตอนการเรยนโดยใชชดกจกรรมการเรยนร เลมท 1 4

ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ

แบบทดสอบกอนเรยน 5

กระดาษค าตอบทดสอบกอนเรยน 7

สาระส าคญ 9

จดประสงคการเรยนร 10

ใบกจกรรม “ปรบเกนไปไหม” 11 ใบความรท 1.1 ความหมายของล าดบ 12 ใบงานท 1.1 16 ใบกจกรรม “PKS Member” 17

ใบความรท 1.2 รปแบบการก าหนดล าดบ 18 ใบงานท 1.2 21 ใบความรท 1.3 การหาพจนทวไป 21 ใบงานท 1.3 23

แบบทดสอบหลงเรยน 26

กระดาษค าตอบทดสอบหลงเรยน 28

บรรณานกรม 29

ภาคผนวก

เฉลยใบกจกรรม “ปรบเกนไปไหม” ก

เฉลยใบงานท 1.1 ข

เฉลยใบกจกรรม “PKS Member” ค เฉลยใบงานท 1.2 ข

เฉลยใบงานท 1.3 ค

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน ง

สำรบญ

เลม 1 | ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ หนา 1

ค ำชแจง

1. เอกสารฉบบนเปนชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตร คณตศาสตรเพมเตม6 รหสวชา ค33202 เรองล าดบอนนตและอนกรมอนนต ส าหรบนกเรยนระดบชนมธยมศกษาปท 6 มทงหมด 5 ชด ดงน

เลมท 1 ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ จ านวน 3 ชวโมง

เลมท 2 ล าดบเลขคณตและล าดบเรขาคณต จ านวน 4 ชวโมง

เลมท 3 ลมตของล าดบ จ านวน 2 ชวโมง เลมท 4 สญลกษณแทนการบวก จ านวน 2 ชวโมง

เลมท 5 ผลบวกของอนกรมอนนต จ านวน 5 ชวโมง

2. ชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตรฉบบนเปน ชดท 1 ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ จดท าขนเพอใชเปนสอการจดกจกรรมการเรยนร ใหผเรยนไดศกษาท าความเขาใจ ส าหรบนกเรยนระดบชนมธยมศกษาปท 6

3. ชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตร ประกอบดวย

3.1 ค าชแจงเกยวกบชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตร 3.2 ค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนรส าหรบคร 3.3 ค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนรส าหรบนกเรยน

3.4 ขนตอนการเรยนโดยใชชดกจกรรมการเรยนร 3.5 แบบทดสอบกอนเรยน

3.6 เนอหา

3.7 ชดกจกรรมการเรยนร 3.8 แบบทดสอบหลงเรยน

4. ชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตรฉบบนใชเวลาเรยน 3 ชวโมง


ค ำแนะน ำในกำรใชชดกจกรรมกำรเรยนรส ำหรบคร

การใชชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตร รหสวชา ค33202 คณตศาสตรเพมเตม6 เรองล าดบอนนตและอนกรมอนนต ส าหรบนกเรยนระดบชนมธยมศกษาปท 6 ครผสอนเปนผทมบทบาทส าคญทจะชวยใหการด าเนนการเรยนรของนกเรยนบรรลตามวตถประสงค ครผสอนจงควรศกษารายละเอยดเกยวกบการปฏบตตนกอนทจะใชชดกจกรรมการเรยนร ดงน 1. ครตองศกษาชดกจกรรมการเรยนรและอานเนอหาสาระอยางละเอยดรอบคอบ พรอมทงท าความเขาใจกบเนอหาทกชดกอนน าชดกจกรรมไปใชงาน

2. ครเตรยมชดกจกรรมการเรยนรใหครบถวนและเพยงพอกบจ านวนนกเรยน

3. ในบางกจกรรมมสอจากโปรแกรม GeoGebra และเวบไซดออนไลน ครควรเตรยมอปกรณใหพรอม เชน คอมพวเตอร เครองฉาย เปนตน และควรตรวจสอบไฟลในโปรแกรม การเชอมตอสญญาณอนเทอรเนต ใหพรอมตอการใชงาน

4. ครเตรยมเครองมอวดผลและประเมนผล เพอใหทราบความกาวหนาของนกเรยน

5. ครชแจงใหนกเรยนทราบล าดบขนตอนและวธการสอนโดยใชชดกจกรรมการเรยนร อยางชดเจนและประโยชนทไดรบจากการสอนโดยใชชดกจกรรมการเรยนร 6. ครชแจงใหนกเรยนทราบเกยวกบบทบาทของนกเรยน ในการเรยนโดยใชชดกจกรรมการเรยนรใหเขาใจอยางชดเจนและเนนย าเรองความซอสตยท าดวยตนเอง หรอไมดเฉลยกอนลงมอท า

7. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบยอยกอนเรยนเพอประเมนความรเดมของนกเรยน

7. แจงจดประสงคการเรยนใหนกเรยนทราบกอนเรยน

8. ด าเนนการสอนตามกจกรรมการเรยนรทก าหนดไวในแผนการจดการเรยนรท 1-2

9. ใหนกเรยนศกษาเนอหา และท าชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตร ชดท 1 แลวเปลยนกนตรวจตามเฉลย

10. ครสงเกตความตงใจของนกเรยน ความสนใจในการเรยน การท างานรวมกนเปนกลมของนกเรยนทกกลมอยางใกลชด 11. เวลาในการจดกจกรรมการเรยนโดยใชชดกจกรรมการเรยนรของนกเรยนแตละคน แตละกลมอาจจะไมเทากน ครควรยดหยนตามความเหมาะสมและสถานการณ

12. ใหนกเรยนท าแบบทดสอบยอยหลงเรยน เพอประเมนความกาวหนาของนกเรยน

13. การสรปบทเรยนควรเปนกจกรรมรวมกนของนกเรยนทกกลม หรอแตละกลมสงตวแทนมารวมอภปรายเรองทเรยนมา

14. ในกรณทนกเรยนคนใดขาดเรยน ใหนกเรยนศกษาเปนรายบคคลดวยตนเองนอกเวลาเรยนจากชดกจกรรมการเรยนร 15. การจดชนเรยนอาจจดใหนกเรยนศกษาเปนรายบคคลหรอรายกลมกได


ค ำแนะน ำกำรใชชดกจกรรมกำรเรยนรส ำหรบนกเรยน ในการศกษาชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตร รหสวชา ค 33202 คณตศาสตรเพมเตม6 เรองล าดบ-อนนตและอนกรมอนนต ส าหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 นกเรยนควรปฏบตตามค าแนะน าดงน 1. อานค าชแจงเกยวกบชดกจกรรมการเรยนร และค าแนะน าการใชชดกจกรรมการเรยนรส าหรบนกเรยนใหเขาใจกอนลงมอศกษา

2. ท าแบบทดสอบกอนเรยนเพอประเมนความรเดมของนกเรยน

3. ศกษาเนอหาและท าชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตร ชดท 1 ถาท าชดกจกรรมการเรยนรไมไดให ศกษาเนอหาใหมอกครง ศกษาตวอยางประกอบเนอหา หรอปรกษาครผสอน

4. เปลยนกนตรวจชดกจกรรมการเรยนรตามเฉลย และบนทกคะแนนทได 5. นกเรยนรวมกนสรปองคความรเพอใหเกดความคดรวบยอด โดยนกเรยนสามารถขอค าชแนะแนวทางหรออธบายเพมเตมจากครผสอน เมอนกเรยนมขอสงสย

6. ท าแบบทดสอบหลงเรยนเพอประเมนความกาวหนาของตนเองหลงจากศกษา ชดกจกรรมการเรยนรคณตศาสตร ชดท 1 จบแลว

7. ในการท าชดกจกรรมการเรยนร แบบทดสอบกอนเรยน-หลงเรยน ใหนกเรยนพยายาม ท าดวยความตงใจและมความซอสตยตอตนเองใหมากทสด โดยไมดเฉลยกอน


ขนตอนกำรเรยน ส ำหรบชดกจกรรมกำรเรยนรคณตศำสตร

อำนค ำแนะน ำส ำหรบนกเรยน

ท ำแบบทดสอบกอนเรยน

ปฏบตกจกรรมจำกชดกจกรรม

- เชอมโยงความรเดมกอนศกษาชดกจกรรมผานใบกจกรรม - ศกษาเนอหาเพมเตมจากใบความร - ปฏบตใบงาน - ตรวจความถกตองของใบงานโดยใชกระบวนการกลม

- สรปความคดรวบยอดรวมกน

ท ำแบบทดสอบหลงเรยน

ประเมนผล

ศกษำชดกจกรรมตอไป

ไมผำนเกณฑ

ผำน


1. ขอใดตอไปนกลาวถกตอง

ก. ล าดบเปนการเรยงตวเลขจากนอยไปหามาก

ข. ล าดบเปนฟงกชนจากจ านวนนบไปยงจ านวนจรง

ค. ล าดบเปนความสมพนธจากจ านวนจรงไปยงจ านวนจรงบวก

ง. ล าดบเปนความสมพนธทยงไมสามารถสรปกฎเกณฑการเขยนพจนตอๆไปไดแนนอน 2. ล าดบในขอใดเปนล าดบอนนต

ก. 1, 3, 5, 7, 9 ข. 1, 4, 9, 16, ... ,100 ค. -1, 1, -1, 1, -1, ... ,1 ง. 22, 20, 18, 16, ...

3. สองพจนถดไปของล าดบ 1, 3, 7, 13, 21,...ตรงกบขอใด

ก. 30, 43 ข. 31, 43

ค. 30, 42 ง. 31, 42

4. จงหาวา 8 เปนพจนท 11 ของล าดบในขอใด

ก. 2, 3, 4, 3, 6, 3, ... ข. 1, 2, 4, 7, ... ค. -2, -1, 0, 1, 2, ... ง. 22, 20, 18, 16, ...

5. ล าดบ 2 3na n เขยนในรปแจงพจนไดตรงกบขอใด

ก. 1, 3, 6, 9,... ข. 0, 3, 5, 7, ... ค. -1, 1, 3, 5, ... ง. -1 , 2, 5, 8, ...

ค ำชแจง

1. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบเลอกตอบ 4 ตวเลอก ขอค าถามมทงหมด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน 2. เวลาในการท าแบบทดสอบ จ านวน 15 นาท 3. ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท ( )ในชองค าตอบ ทเหนวาค าตอบถกตองทสดเพยงขอเดยวในกระดาษค าตอบ

แบบทดสอบ

กอนเรยน


6. ถา

2 ( 1)

2 3

n

n

na

n แลวขอใดถกตอง

ก. 1

1

5a ข. 2

4

7a

ค. 4

2

11a ง. 5

7

13a

7. ล าดบ 2, 6, 10 , 14, ... เขยนในรปพจนทวไปไดตรงกบขอใด

ก. 4 3na n ข. 4 2na n

ค 4 3na n ง. 4 2na n

8. ล าดบในขอใดมบางพจนเทากบ 29

ก. 2 5na n ข. 50 7na n

ค. 22 12 na n ง. 150 12na n

9. พจนสดทายทมคานอยกวา 100 ของ ล าดบ 5 7 na n คอพจนทเทาใด

ก. พจนท 12 ข. พจนท 18

ค. พจนท 19 ง. พจนท 20

10. ใน 40 พจนแรกของล าดบ 3 ( 1)nna มกพจนทมคาเทากบพจนท 40

ก. 5 พจน ข. 15 พจน ค. 20 พจน ง. 40 พจน

ท ำถกกนกขอนะ

ไปดกนคะแนนส เปนไงกนบางครบ


กระดำษค ำตอบแบบทดสอบกอนเรยน

ชดท 1 เรองควำมหมำยและรปแบบกำรก ำหนดล ำดบ

ชอ..................................................................เลขท...................ชน...................... ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท () ในชองค าตอบทเหนวาค าตอบถกตองทสด

ขอ ก ข ค ง

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

คะแนน กอนเรยน

เตม 10

ได

วนท..........เดอน......................พ.ศ..............


ควำมหมำย

และ

รปแบบกำรก ำหนดล ำดบ

ชดท

๑


ชดท 1

ควำมหมำยและ


สำระส ำคญ

1. ล าดบ (sequence) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซต 1, 2, 3, , n หรอมโดเมนเปนเซตของจ านวนนบ

2. ล าดบจ ากด (finite sequence) คอ ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนนบ n ตวแรก 1, 2, 3, , n

3. ล าดบอนนต (infinite sequence) คอ ล าดบทมโดเมนเปนเซตของจ านวนนบ (N) 4. การเขยนล าดบ จะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกนไป กลาวคอ ถา a เปน ล าดบจ ากด จะเขยนแทนดวย a1, a2, a3, …, an ถา a เปน ล าดบอนนต จะเขยนแทนดวย a1, a2, a3, …, an, … เรยก a1 วา พจนท 1 ของล าดบ เรยก a2 วา พจนท 2 ของล าดบ เรยก a3 วา พจนท 3 ของล าดบ และเรยก an วา พจนท n ของล าดบหรอพจนทวไป (general term) ของล าดบ 5. การเขยนแสดงล าดบเขยนไดหลายรปแบบ ดงตอไปน

1. เขยนแจกแจงพจนทงหมดของล าดบ เหมาะส าหรบล าดบจ ากดทมจ านวนพจนไมมาก เชน 1, 5, 9, 13, 18

2. เขยนพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมกบสตรพจนทวไปของล าดบ เหมาะส าหรบล าดบจ ากดทมจ านวนมากและล าดบอนนต เชน 4, 1,2, ,3 7,n

3. เขยนพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมกบสตรการหาพจนถดไปจากพจนกอนหนา เปนการก าหนดโดยใหความสมพนธเวยนเกด (recurrence relation) เชน 31a ,

1 2n na a 4. เขยนล าดบโดยการบอกเงอนไขหรอสมบตของพจนของล าดบ เมอไมทราบสตรพจนทวไป

ของล าดบและไมทราบความสมพนธเวยนเกด เชน an เปนทศนยมต าแหนงท n ของ 2


ผลกำรเรยนร

น ำควำมรเรองล ำดบและอนกรมไปใชแกปญหำได

จดประสงคกำรเรยนร

1. นกเรยนอธบายแนวคดและความหมายของล าดบได

2. นกเรยนสามารถจ าแนกล าดบจ ากดและล าดบอนนตได

3. นกเรยนเขยนพจนในรปแบบตางๆได

4. นกเรยนหาพจนทวไปของล าดบได

สำระกำรเรยนร

ความหมายของล าดบ

ล าดบจ ากด

ล าดบอนนต รปแบบการก าหนดล าดบ

การหาพจนทวไปของล าดบ

[ลกสน] ทมา :


ใบกจกรรม

“ปรบเกนไปไหม”

นกเรยนคดวาสถานการณดงกลาว เจาของโรงงานปรบ หรอ

วนท

คำปรบ

วนท

คำปรบ

วธคด

การกอสรางโรงงานแหงหนงผรบเหมาตกลงไววาจะสรางเสรจในเวลา 100 วน หลงจากครบสญญาจะตองจายคาปรบ 1,000 บาทในวนแรก จายคาปรบ 1,500 บาทในวนท 2 จายคาปรบ 2,000 บาทในวนท 3 เชนนไปเรอยๆจนกวาจะแลวเสรจ ถาโรงงานนสรางเสรจเกนก าหนดไป 10 วน เจาของโรงงานเรยกเกบคาปรบไป 10,000 บาท นกเรยนคดวาเจาของโรงงานคดคาปรบถกตองหรอไม

เจาของโรงงานตองปรบผรบเหมาเปนเงน............................................บาท


ล ำดบ บอยครงทเรากลาวถงกลมจองสงของในการจดอนดบ เชน มของชนท 1, ของชนท 2 , ... , ของชนท n , ... โดยจะแทนของชนท 1 ดวย a1,ของชนท 2 ดวย a2, ..., ของชนท n ดวย an, ... ดงนนล าดบของ a1 , a2, …, an, …

ต ว อ ย า ง ข อ ง ล า ด บ ท ม ช อ เ ส ย ง ม า ก ท ส ดห น ง ใ นประวตศาสตร คอ ล าดบฟโกนกช (Fibonacci Sequences) เปนล าดบซงคดคนโดยนกคณตศาสตรชาวอตาเลยนชอ เลโดนารโด ฟโบนกช (Leonardo Fibonacci)แหงเมองปซาในศตวรรษท 13 และเหตผลทล าดบฟโกนกชเปนล าดบทมชอเสยง กเพราะปรากฏการณของจ านวนฟโบนชชนนสามารถสรางความ สวยงาม ประทบใจใหกบผทรจกและคลกคลกบมนไดตลอดเวลา แตจะประหลาดใจยงกวาถาไดพบวาดอกไมมากมายหลายสายพนธมจ านวน กลบดอกเปนจ านวนฟโบนชชเชนกน ทงดอกลลล 3 กลบ ดอกบตเตอรคพ 5 กลบ ดอก

เดซ ทสวนใหญม 34, 55 หรอ 89 กลบ หรอแมกระทงดอกทานตะวนทมกม 55, 89, 144 กลบ และทนาสนใจไปกวานนเมลดของดอกทานตะวนในวงทมเกลยวการหมนตามเขมนาฬกา มจ านวนทงสน 55 หนา 3 ของ 3 หรอแมแตในสบปะรดพชทมตาอยโดยรอบ แตถาสงเกตดๆ ตาของสบปะรดจะเรยงตวเปนแนว เดยวกนในแนวตง ทงจากซายไปขวา และจากขวาไปซาย ซงพบวาจ านวน เ สนแนว ดง ก ลาว ในสองทศทาง มกจะเปน 5 กบ 8 หรอ 8 กบ 13 และตวเลขเหลานกอย ในล าดบฟโบนกชเ ชนกน หรอถาหากลองสงเกตการ แตกกงกานสาขาของตนไมดๆแลว จะพบวาผลลพธของตวเลขทไดมาลวนเทากบล าดบฟโบนกชคอ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,.. แ ทบทงสน แตใชวาล าดบฟโบนชชจะพบอยแตในพชเทานน


แคทกคนลองดทนวของตวเอง ความยาวของกระดกนวมอแตละขอกมอตราสวนเรยงตามล าดบเลขฟโบนกชเชนกนทมความเกยวของกบธรรมชาตเปนอยางมาก เชน เมลดของดอกทานตะวนจะมการเรยงตวของเมลดตรงสวนกลางดอกเรยงตวเปนเสนขดและมจ านวนแถวเปนล าดบฟโบนกชหรอจ านวนการเรยงของตาสบปะรดกเปนล าดบฟโกนกชเชนกน และไดรบการพสจนแลววาเปนจรง

ล าดบฟโกนกช หมายถง ล าดบทมพจนท n คอ ก าหนดโดย

1 2n n na a a เมอ 2n ซงมคาเรมตน 0 0a และ 1 1a

ควำมหมำยของล ำดบ

พจารณาความสมพนธในรปแบบตอไปน สถานวทยแหงหนง ใหผฟงรายการสงขอความสนๆ (SMS) มาทรายการเพอตอบค าถามในแตละวน ทานแรกทตอบถกจะไดรบรางวลเปนเงนรางวล 100 บาท ถาไมมใครตอบถกเงนรางวลจะเพมขนในทกๆวนถดไปอก 100 บาท ถาให an แทนจ านวนเงนรางวลทตอบถกในวนท n แลวจะไดวา

100na n ตวอยางเชน เงนรางวลทตอบถกในวนท 3 คอ

3 100(3) 300a

จ านวนตอไปนแทนจ านวนเงนรางวลทตอบถกในวนท 1, 2, 3, ... เปนเชนนเรอยๆ 100, 200, 300, 400, 500, ...

จะสงเกตเหนวาในตวอยางขางบนน จะพบวาจ านวนเงนรางวลจะเพมขนตามจ านวนวนทเพมขนและ na หาคาไดเฉพาะ n ทเปนจ านวนเตมบวก นนคอ 2.5a และ 3a ไมมความหมาย

จากแนวคดดงกลาวน เราจะน ามานยามล าดบได ดงบทนยามตอไปน

บทนนำม

ล าดบ (sequence) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซต 1, 2, 3, , n หรอมโดเมนเปนเซตของจ านวนนบ ไปยงเซตของจ านวนจรง

ตวอยำง ถาให S เปนเซตของจ านวนจรง

ถาให : 1,2,3,...,10f S นยามโดย ( ) 5f n n

จะได (1) 5, (2) 10, (3) 15,..., f(10) 50f f f เปนล าดบจ ากด

นนคอ (1,5), (2,10), (3,15),..., (10,50)f


แตถาให : 1,2,3,...,n,...f S นยามโดย ( ) 5f n n

จะได (1) 5, (2) 10, (3) 15,..., f(n) 5 ,...f f f n เปนล าดบอนนต

นนคอ ( ,5 )f n n n I

โดยทวไปการเขยนล าดบจะเขยนเฉพาะสมาชกของเรนจเรยงกน ถา a เปนล าดบซง a(1) = a1 , a(2) = a2 ,

a(3) = a3 ,…, a(n) = an แลว

ถา a เปนล าดบจ ากด(finite sequence) จะเขยนแทนดวย 1 2 3, , ,..., na a a a a เปนล าดบอนนต(infinite sequence) จะเขยนแทนดวย 1 2 3, , ,..., ,...na a a a

เรยก a1 วา พจนท 1 ของล าดบ a2 วา พจนท 2 ของล าดบ a3 วา พจนท 3 ของล าดบ . an วำ พจนท n ของล ำดบ หรอพจนทวไป (general term) ของล าดบ

ตวอยำงของล ำดบ 1) 4,7,10,13 เปน ล ำดบจ ำกด ทม

a1 = 4 a2 = 7 a3 = 10 a4 = 13 และ an = 3n + 1 2) –2,1,6,13,… เปน ล ำดบอนนต ทม a1 = –2 a2 = 1 a3 = 6 a4 = 13 และ an = n2 – 3 การเขยนล าดบนอกจากเขยนแบบแจงพจนแลว อาจจะเขยนเฉพาะพจนทวไปพรอมระบสมาชกในโดเมน เชน

ล าดบ 1 2 3 4 5

, , , , 2 3 4 5 6

อาจเขยนแทนดวย 1n

na

n

เมอ 1,2,3,4,5n

ล าดบ 2 3 4 5 6

- , , - , , - , ...3 9 27 81 243

อาจจะเขยนแทนดวย ( 1)

( 1)3

nn n

na

เมอ n เปน

จ านวนเตมบวก หมายเหต ในกรณทก าหนดล าดบโดยพจนท n หรอพจนทวไป ถาไมไดระบสมาชกในโดเมน ใหถอวาล าดบนนเปนล าดบอนนต


ตวยางของล าดบทมการเขยนแจกแจงพจน และเขยนพจนท n

1) 6, 12, 18, 24, 30

2) 5,15,25,35,...,555

3) 2, 4, 8, 16, ,2 , n

4) 5 2 na n เมอ 1, 2, 3, , 20n

5) 2 3 na n

Thinking


ใบงำนท 1.1

ล ำดบจ ำกดและล ำดบอนนต

ค าชแจง ใหนกเรยนพจารณาชนดของล าดบตอไปนวาเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต

ขอท ล ำดบทก ำหนดให โดเมน ค ำตอบ

1 4,7,10,13,16,...

2 2,5,8,11,14

3 1,4,9,16,25,...,900

4 6,10,14,18,22,...,402,...

5 1, 3, 5, 7,...

6 8na n เมอ 1,2,3,4n

7 3 7na n เมอ n I

8 22 1na n เมอ 1,2,3,4,..,100n

9 3na n เมอ n I และมคาไมเกน 100

10 2 10na n เมอ 1,2,3,...n


ใบกจกรรม

“PKS Member”

รำคำปำกกำแบบไมเปนสมำชก แทงละ ……….. บำท

รำคำปำกกำแบบเปนสมำชกลด 20% เหลอแทงละ .......... บำท

ซงเตมขอมลไดดงตำรำงตอไปน

จ ำนวนปำกกำทซอ 1 2 3 4 5 ... 10 50 n

เงนทจำย

แบบไมเปนสมำชก

แบบเปนสมำชก

กำรซอปำกกำของนกเรยนคนหนงจำกรำนคำสหกรณโรงเรยน โดยสหกรณก ำหนดรำคำ

ไวแทงละ 10 บำท แตหำกเปนสมำชกของสหกรณจะลดให 20% ของรำคำทตดไว


ใบควำมรท 1.2

Draw next Apple. รปแบบกำรก ำหนดล ำดบ

การเขยนแสดงล าดบเขยนไดหลายรปแบบ ดงตอไปน

ก ำหนดโดยกำรเขยนแจกแจงพจนทงหมดของล ำดบ เหมาะส าหรบล าดบจ ากดทมจ านวนพจน ไมมาก เชน 1, 5, 9, 13, 18 2, 4, 8, 16 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

ก ำหนดล ำดบโดยเขยนพจนเรมตนจ ำนวนหนงพรอมกบสตรพจนทวไปของล ำดบ เหมาะส าหรบล าดบจ ากดทมจ านวนมากและล าดบอนนต

เชน 4, 1,2, ,3 7,n

11,3,9, ,3 ,...n

1 1 1 1, , ,..., , ...

3 15 35 (2n 1)(2n 1)

ก ำหนดพจนเรมตนจ ำนวนหนงพรอมกบสตรกำรหำพจนถดไปจำกพจนกอนหนำ เปนการก าหนดโดยใหความสมพนธเวยนเกด (recurrence relation) เชน 31a , 1 2n na a

2 1 2 3 2 1a a

3 2 2 1 2 1a a

4 3 2 1 2 3a a

ล าดบคอ 3,1,-1,-3,...

ก าหนดโดยการบอกเงอนไขหรอสมบตของพจนของล าดบ เมอไมทราบสตรพจนทวไปของล าดบและไมทราบความสมพนธเวยนเกด เชน 4, 1, 4, 2, 1, 3, 5, 6, 2, … คอ ล าดบ ak เมอ ak คอทศนยมต าแหนงท k ของ 2 ซงมคาประมาณ 1.414213562...


ตวอยำงท 1 จงหาสพจนแรกของล าดบ 4 5na n วธท ำ 1 4(1) 5 9a 2 4(2) 5 13a 3 4(3) 5 17a 4 4(4) 5 21a ดงนน สพจนแรกของล าดบนคอ 9, 13, 17, 21

ตวอยำงท 2 จงหาสพจนแรกของล าดบ ( 1)

2

n

nan

วธท ำ 1

1

1 1

1 2 3a

2

2

1 1

2 2 4a

3

3

1 1

3 2 5a

4

4

1 1

4 2 6a

ดงนน สพจนแรกของล าดบนคอ 1 1 1 1

, , ,3 4 5 6

ตวอยำงท 3 จงหาสพจนแรกของล าดบ 2 1n

nan

แลวเขยนล าดบนโดยการแจงพจน

วธท ำ 1

1

2 11

1a

2

2

2 1 3

2 2a

3

3

2 1 7

3 3a

4

4

2 1 15

4 4a

ดงนน สพจนแรกของล าดบนคอ 3 7 15 2 1

1, , , , ..., , ...2 3 4

n

n

หมำยเหต ในกรณทเปนล าดบอนนตการเขยนล าดบแจกแจง มขอตกลงในการเขยนใหเขยนอยางนอย 3-4 พจน แลวใชสญลกษณ “…” แลวตามดวยพจนทวไปของล าดบและจบลงดวย “…”

การสลบกนของเครองหมาย +,- ในแตละพจนเปนผลจาก

การน า


ตวอยำงท 4 ก าหนดล าดบ ซง a1=2 และ 1 3n na a เมอ 2n

จงหาหาพจนแรกของล าดบน วธท ำ จาก 1 3nna a และ 1 1b จาก 12 3 2 3 5a a 23 3 5 3 8a a 4 3 3 8 3 11a a 45 3 11 3 14a a ดงนนหาพจนแรกของล าดบนคอ 2, 5, 8, 11, 14 ตวอยำงท 5 ก าหนดล าดบ b ซง 1 1b และ 1n nb nb เมอ 2n จงหาหกพจนแรกของล าดบน วธท ำ จาก 1nnb nb และ 1 1b

จาก 2 12 2(1) 2b b

3 23 3(2) 6b b

4 34 4(6) 24b b

5 45 5(24) 120b b

6 56 6(120) 720b b

ดงนนหกพจนแรกของล าดบนคอ 1, 2, 6, 24, 120, 720

ตวอยำงท 6 ก าหนดล าดบ na ซง 1 1a , 2 2a และ 1 23n n na a a เมอ 3n จงหาหกพจนแรกของล าดบน วธท ำ จาก 1 1a

2 2a

3n 3 3 1 3 2 2 13 3 3(2) 1 7a a a a a

4n 4 4 1 4 2 3 23 3 3(7) 2 23a a a a a

5n 5 5 1 5 2 4 33 3 3(23) 7 76a a a a a

6n 6 6 1 6 2 5 43 3 3(76) 23 251a a a a a

ดงนนหกพจนแรกของล าดบนคอ 1, 2, 7, 23, 76, 251

Top up!

ก ำหนดพจนเรมตนจ ำนวน

หนงพรอมกบสตรกำรหำ

พจนถดไปจำกพจนกอน

หนำ เปนกำรก ำหนดโดยให

ควำมสมพนธเวยนเกด

(recurrence relation)


ใบงำนท 1.2


ตอนท ค าชแจง ใหนกเรยนเขยนล าดบตอไปนโดยการเตมค าตอบลงในชองวางใหสมบรณ

1. ก าหนด an = 2n – 1 แลว a1 = 2(1) – 1 = 1

a2 = 2(2) – 1 =……………………. a3 = ……………………………………. a4 = ……………………………………. a5 = …………………………………….

เขยนล าดบในรปแจกแจงพจนจะไดล าดบคอ

.....................................................................................

2. ก าหนด an = 3n + 2 แลว a1 = 3(1) + 2 = 5

a2 = = ………………………………… a3 = ……………………………………. a4 = ……………………………………. a5 = …………………………………….

เขยนล าดบในรปแจกแจงพจนจะไดล าดบคอ

.....................................................................................

3. ก าหนด an = 2n2 – 2 แลว a1 = 2(1)2 – 2 = 0

a2 = 2(2)2 – 2 =……………………. a3 = ……………………………………. a4 = ……………………………………. a5 = …………………………………….

เขยนล าดบในรปแจกแจงพจนจะไดล าดบคอ .....................................................................................

4. ก าหนด an = n2 + 2n – 2 แลว a1 = (1)2 + 2(1) – 2 = 1

a2 = ……………………………………. a3 = ……………………………………. a4 = ……………………………………. a5 = …………………………………….


5. ก าหนด an = (-1)n+1 แลว a1 = …………………………………….

a2 = ……………………………………. a3 = ……………………………………. a4 = ……………………………………. a5 = …………………………………….


6. ก าหนด an = 2n+(-1)nn แลว a1 = …………………………………….

a2 = ……………………………………. a3 = ……………………………………. a4 = ……………………………………. a5 = …………………………………….


7. ก าหนด an = n(n+1) แลว a1 = …………………………………….

a2 = ……………………………………. a3 = ……………………………………. a4 = ……………………………………. a5 = …………………………………….

เขยนล าดบในรปแจกแจงพจนจะไดล าดบคอ ................................................................... ..................

8. ก าหนด an = n2- n(n+1) แลว a1 = …………………………………….

a2 = ……………………………………. a3 = ……………………………………. a4 = ……………………………………. a5 = …………………………………….



ตอนท 2 เตมค าตอบลงในชองวางใหสมบรณ 1. ให an เปนล าดบของจ านวนจรง โดยท ก าหนด a1 = 1, a2 = 3 และ an+1 = an + an-1 เมอ n = 2, 3, 4, …

วธท า จาก n = 2 จะได a2+1 = a2 + a1 นนคอ a3 = ............................... n = 3 จะได .......................... นนคอ a4 = ...............................

n = 4 จะได .......................... นนคอ a5 = ............................... n = 5 จะได .......................... นนคอ a6 = ...............................

2. ให bn เปนล าดบของจ านวนจรง โดยท ก าหนด b1 = 1, b2 = -2 และ bn+1 = 2bn – bn-1 เมอ n = 2, 3, 4, …

วธท า จาก n = 2 จะได b2+1 = 2b2 – b1 นนคอ b3 = ............................... n = 3 จะได .......................... นนคอ b4 = ............................... n = 4 จะได .......................... นนคอ b5 = ............................... n = 5 จะได .......................... นนคอ b6 = ...............................

3. ให cn เปนล าดบของจ านวนจรง โดยท ก าหนด c1 = 11, และ cn = 2cn-1 + 1 เมอ n = 2, 3, 4, … จงหา c4

4. ก าหนด {an} เปนล าดบโดยท a1 = 5 และ an = 1na

1

เมอ n 2 จงหาคาของ a300


ขอสงเกตครบ

แตละพจนมอะไรท

คลำยๆกนเหนไหม

ใบควำมรท 1.3

กำรหำพจนทวไป (General Term)

การหาพจนทวไปหรอพจนท n ของล าดบ เปนการเขยนล าดบโดยแสดงพจนทวไป ( )na ทม n

เปนตวแปรและเมอแทน n ดวยจ านวนเตมบวก 1,2,3, ... แลวจะไดพจนตางๆ ตรงกบพจนของล าดบทก าหนดให การหาพจนทวไปของล าดบดงกลาวแลว ท าไดโดยหาความสมพนธของพจน ( na ) กบต าแหนงท

หรอล าดบท (n) ของพจนนนๆ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยำงท 1 จงหาพจนทวไปของล าดบ 4, 8, 12, 16, 20

วธท ำ จากล าดบทก าหนดให จะพบวา

จะได 1 4 4(1)a : 1n

2 8 4(2)a : 2n

3 12 4(3)a : 3n

4 16 4(4)a : 4n

5 20 4(5)a : 5n

4na n

ดงนน พจนทวไปของล าดบนคอ 4n เมอ 1,2,3,4,5n


ขอสงเกตครบ

เรำตองระบใหชดเจนกบ

โดเมนของล ำดบวำเรมจำก 1 ไป

จนถงจ ำนวนนบตวใด

ถำไมก ำหนดจะถอวำเปนเซต

ของจ ำนวนนบทงหมด

ตวอยำงท 2 จงหาพจนทวไปของล าดบ 3, 5, 7, 9, 11

วธท ำ จากล าดบจ ากด 3, 5, 7, 9, 11

จะได 1 3 2= (1) 1a : 1n

2 2=5 (2) 1a : 2n

3=7 2 ) 1(3a : 3n

4=9 2 ) 1(4a : 4n

5=11 2 ) 1(5a : 5n

2 1na n

ดงนน พจนทวไปของล าดบนคอ 2 1n เมอ 1,2,3,4,5n

ตวอยำงท 3 จงหาพจนทวไปของล าดบ 1, 4 ,9, 16, 25, 36

วธท ำ จากล าดบจ ากด 1, 4, 9, 16, 25, 36

จะได 21=1 1a : 1n

22 2=4a : 2n

23 3=9a : 3n

24 4=16a : 4n

25 5=25a : 5n

26 6=36a : 6n

2na n

ดงนน พจนทวไปของล าดบนคอ 2n เมอ เมอ 1,2,3,4,5,6n


ตวอยำงท 4 จงหาพจนทวไปของล าดบ 1 3,3 5,5 7,7 9,9 11,...

วธท ำ จากล าดบจ ากดทก าหนดให 1 3,3 5,5 7,7 9,9 11,...

จะได 1 1 3 [2(1) 1][2(1) 1]a : 1n

2 3 5 [2(2) 1][2(2) 1]a : 2n

3 5 7 [2(3) 1][2(3) 1]a : 3n

4 7 9 [2(4) 1][2(4) 1]a : 4n

5 9 11 [2(5) 1][2(5) 1]a : 5n

a (2 1)(2 1)n n n

ดงนน พจนทวไปของล าดบนคอ (2 1)(2 1)n n เมอ 1,2,3,4,5,...n

2=2(1)

4=2(2)

6=2(3)

8=2(4)

2=2(1)


ตวอยำงท 5 จงหาพจนทวไปของล าดบ 1 1 1 1 1

- , , - , , -2 3 4 5 6

วธท ำ จากล าดบทก าหนดให 1 1 1 1 1

- , , - , , -2 3 4 5 6

จะได 1a 11 1( 1)

2 1 1

: 1n

2a 21 1( 1)

3 2 1

: 2n

3a 31 1( 1)

4 3 1

: 3n

4a 41 1( 1)

5 4 1

: 4n

55

1 1( 1)

6 5 1a

: 5n

1

( 1)1

nna

n

ดงนน พจนทวไปของล าดบน คอ 1

( 1)1

n

n

เมอ 1,2,3,4,5n

กำรหำพจนทวไปหรอ พจนท ) ( nn a

หำโดยกำรพจำรณำควำมสมพนธระหวำง

na กบ n แลวจงสรปเปนกฎเกณฑ


ใบงำนท 1.3 กำรหำพจนทวไป

ค ำชแจง จงเตมตารางตอไปนใหสมบรณ

น าค าทก าหนดใหเตมเพอแสดงขนตอนการหาพจนทวไป “พจนทวไป, เขยนควำมสมพนธ, ล ำดบ”

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 … a10 a100 an 1 2 3 4 …

8 9 10 11 …

2 4 6 8 …

14 16 18 20 …

2 4 8 16 …

1 3 9 27 …

7 17 27 37 …

100 90 80 70 …

9 99 999 9999 …

2

1

5

1

8

1

11

1 …

2

1

4

3

8

5

16

7 …

10

9

11

10

12

11

13

12 …

2 6 18 54 …

1 9 25 49 …

5 5 5 5 …


1. ขอใดตอไปนกลาวถกตอง

ก. ล าดบเปนความสมพนธทยงไมสามารถสรปกฎเกณฑการเขยนพจนตอๆไปไดแนนอน

ข. ล าดบเปนความสมพนธจากจ านวนจรงไปยงจ านวนจรงบวก

ค. ล าดบเปนฟงกชนจากจ านวนนบไปยงจ านวนจรง

ง. ล าดบเปนการเรยงตวเลขจากนอยไปหามาก 2. ล าดบในขอใดเปนล าดบอนนต

ก. 1, 3, 5, 7, 9 ข. 1, 4, 9, 16, ... ,100 ค. 22, 20, 18, 16, ... ง. -1, 1, -1, 1, -1, ... ,1

3. สองพจนถดไปของล าดบ 1, 3, 7, 13, 21,...ตรงกบขอใด

ก. 31, 43 ข. 30, 42

ค. 30, 43 ง. 31, 42

4. จงหาวา 8 เปนพจนท 11 ของล าดบในขอใด

ก. -2, -1, 0, 1, 2, ... ข. 1, 2, 4, 7, ... ค. 2, 3, 4, 3, 6, 3, ... ง. 22, 20, 18, 16, ...

5. ล าดบ 2 3na n เขยนในรปแจงพจนไดตรงกบขอใด

ก. 1, 3, 6, 9,... ข. -1, 1, 3, 5, ... ค. 0, 3, 5, 7, ... ง. -1 , 2, 5, 8, ...

ค ำชแจง

1. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบเลอกตอบ 4 ตวเลอก ขอค าถามมทงหมด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน 2. เวลาในการท าแบบทดสอบ จ านวน 15 นาท 3. ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท ( )ในชองค าตอบ ทเหนวาค าตอบถกตองทสดเพยงขอเดยวในกระดาษค าตอบ

แบบทดสอบ

หลงเรยน


6. ถา

( 12

3

)

2n

n na

n แลวขอใดถกตอง

ก. 5

7

13a ข. 4

2

11a

ค. 2

4

7a ง. 1

1

5a

7. ล าดบ 2, 6, 10 , 14, ... เขยนในรปพจนทวไปไดตรงกบขอใด

ก. 4 3na n ข. 4 2na n

ค 4 3na n ง. 4 2na n

8. ล าดบในขอใดมบางพจนเทากบ 29

ก. 50 7na n ข. 2 5na n

ค. 150 12na n ง. 22 12 na n

9. พจนสดทายทมคานอยกวา 100 ของ ล าดบ 5 7 na n คอพจนทเทาใด

ก. พจนท 20 ข. พจนท 19

ค. พจนท 18 ง. พจนท 12

10. ใน 40 พจนแรกของล าดบ 3 ( 1)nna มกพจนทมคาเทากบพจนท 40

ก. 40 พจน ข. 20 พจน ค. 15 พจน ง. 5 พจน

ท ำถกกนกขอนะ

ไปดกนคะแนนส เปนไงกนบางครบ


กระดำษค ำตอบแบบทดสอบหลงเรยน

ชดท 1 เรองควำมหมำยและรปแบบกำรก ำหนดล ำดบ

ชอ..................................................................เลขท...................ชน...................... ค าชแจง ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท ()ในชองค าตอบทเหนวาค าตอบถกตองทสด เพยงขอเดยวใน

ขอ ก ข ค ง

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

คะแนน กอนเรยน

เตม 10

ได

วนท..........เดอน......................พ.ศ..............


กรยา เนาวประทป.(2547). เทคนคกำรเรยนคณตศำสตร ล ำดบและอนกรม. กรงเทพฯ: ฟสกสเซนเตอร

โครงการพฒนาครวทยาศาสตร คณตศาสตร คอมพวเตอร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย. คมออบรมคร

วทยำศำสตร คณตศำสตร คอมพวเตอร โลก ดำรำศำสตร อวกำศ ระดบมธยมศกษำตอนปลำย คณตศำสตร. กรงเทพฯ: องคการคาครสภา.

จกรนทร วรรณโพธกลาง. ตวเขมตะลยโจทยคณตศำสตรเพมเตม ม.6 ภำคเรยนท 1-2. กรงเทพฯ: พฒนาศกษา.

ทรงวทย สวรรณธาดา. คณตศำสตรเพมเตม ชนมธยมศกษำปท 6 ภำคเรยนท 2. กรงเทพฯ: แมค.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ. (2559). คมอวดผลประเมนผล

คณตศำสตร. กรงเทพฯ: องคการคาครสภา.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ. (2559). คมอครรำยวชำ

เพมเตม คณตศำสตร เลม 6 ชนมธยมศกษำปท 4-6. กรงเทพฯ: องคการคาครสภา.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย กระทรวงศกษาธการ. (2559). หนงสอเรยนรำยวชำ

เพมเตม คณตศำสตร เลม 6 ชนมธยมศกษำปท 4-6. กรงเทพฯ: องคการคาครสภา.

สมย เหลาวานชย และพวพรรณ เหลาวานชย. (2555). คณตศำสตร ม.6 เลม 6. กรงเทพฯ: ไฮเอดพบลชชง.

ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา. (2551) ตวชวดและสำระกำรเรยนรแกนกลำงกลมสำระกำรเรยนร

คณตศำสตร ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551. กรงเทพฯ:

องคการคาครสภา.

บรรณานกรม


ภาคผนวก

ชดท 1 | ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ หนา ก

เฉลยใบกจกรรม

“ปรบเกนไปไหม”

นกเรยนคดวาสถานการณดงกลาว เจาของโรงงานปรบ หรอ

(นกเรยนคาดเดาค าตอบทเกดขนจากสถานการณดงกลาว ซงจะตองอธบายแนวคดหรอเหตผลประกอบการคาดเคา ซงนกเรยนจะสามารถแสดงไดจากตารางทก าหนดให)

วนท 1 2 3 4 5 6

คาปรบ 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 4,500

วนท 7 8 9 10 11 12

คาปรบ 5,000 5,500 6,000 6,500 7,000 7,500

วธคด

เนองจากผรบเหมาท างานเสรจชากวาก าหนด 10 วน จงตองช าระคาปรบคดเปนมลคา =1,000+1,500+2,000+2,500+3,000+3,500+4,000+4,500+5,000+5,500+6,000+6,500

=37,500 บาท

การกอสรางโรงงานแหงหนงผรบเหมาตกลงไววาจะสรางเสรจในเวลา 100 วน หลงจากครบสญญาจะตองจายคาปรบ 1,000 บาทในวนแรก จายคาปรบ 1,500 บาทในวนท 2 จายคาปรบ 2,000 บาทในวนท 3 เชนนไปเรอยๆจนกวาจะแลวเสรจ ถาโรงงานนสรางเสรจเกนก าหนดไป 10 วน เจาของโรงงานเรยกเกบคาปรบไป 10,000 บาท นกเรยนคดวาเจาของโรงงานคดคาปรบถกตองหรอไม

เจาของโรงงานตองปรบผรบเหมาเปนเงน.............37,500..................บาท

ชดท 1 | ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ หนา ข

เฉลยใบงานท 1.1

ล าดบจ ากดและล าดบอนนต

ค าชแจง ใหนกเรยนแยกชนดของล าดบตอไปนวาเปนล าดบจ ากดหรอล าดบอนนต (ขอละ 2 คะแนน)

ขอท ล าดบทก าหนดให โดเมน ค าตอบ

1 4,7,10,13,16,… 1,2,3,4,5,... ล าดบอนนต

2 2,5,8,11,14 1,2,3,4,5 ล าดบจ ากด

3 1,4,9,16,25,…,900 1,2,3,4,...,30 ล าดบจ ากด

4 6,10,14,18,22,…,402,… 1,2,3,4,5,... ล าดบอนนต

5 1, 3, 5, 7,... 1,2,3,4,5,... ล าดบอนนต

6 8na n เมอ 1,2,3,4n 1,2,3,4 ล าดบจ ากด

7 3 7na n เมอ n I 1,2,3,4,5,... ล าดบอนนต

8 22 1na n เมอ

1,2,3,4,..,100n 1,2,3,4,...,10 ล าดบจ ากด

9 3na n เมอ n I และมคาไมเกน 25 1,2,3,4,...,25 ล าดบจ ากด

10 2 10na n เมอ 1,2,3,...n 1,2,3,4,5,... ล าดบอนนต

ชดท 1 | ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ หนา ค

เฉลยใบกจกรรม

“PKS Member”

ราคาปากกาแบบไมเปนสมาชก แทงละ …10... บาท

ราคาปากกาแบบเปนสมาชกลด 20% เหลอแทงละ ....8.... บาท

ซงเตมขอมลไดดงตารางตอไปน

จ านวนปากกาทซอ 1 2 3 4 5 ... 10 50 n

เงนทจาย

แบบไมเปน

สมาชก

10 20 30 40 50 ... 100 500 10n

แบบเปนสมาชก 8 16 24 32 40 ... 80 400 8n

การซอปากกาของนกเรยนคนหนงจากรานคาสหกรณโรงเรยน โดยสหกรณก าหนดราคา

ไวแทงละ 10 บาท แตหากเปนสมาชกของสหกรณจะลดให 20%ของราคาทตดไว

ชดท 1 | ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ หนา ง

เฉลยใบงานท 1.2

รปแบบการก าหนดล าดบ

ตอนท ค าชแจง ใหนกเรยนเขยนล าดบตอไปนโดยการเตมค าตอบลงในชองวางใหสมบรณ

1. ก าหนด an = 2n – 1

แลว a1 = 2(1) – 1 = 1 a2 = 2(2) – 1 = 3 a3 = 2(3) – 1 = 5 a4 = 2(4) – 1 = 7 a5 = 2(5) – 1 = 9

เขยนล าดบในรปแจกแจงพจนจะไดล าดบคอ 1, 3, 5, 7, 9

2. ก าหนด an = 3n + 2

แลว a1 = 3(1) + 2 = 5 a2 = 3(2) + 2 = 8 a3 = 3(3) + 2 = 11 a4 = 3(4) + 2 = 14

a5 = 3(5) + 2 = 17


2. ก าหนด an = 2n2 – 2

แลว a1 = 2(1)2 – 2 = 0 a2 = 2(2)2 – 2 = 6 a3 = 2(3)2 – 2 = 16 a4 = 2(4)2 – 2 = 30 a5 = 2(5)2 – 2 = 48


4. ก าหนด an = n2 + 2n – 2

แลว a1 = (1)2 + 2(1) – 2 = 1 a2 = (2)2 + 2(2) – 2 = 6 a3 = (3)2 + 2(3) – 2 = 13 a4 = (4)2 + 2(4) – 2 = 22 a5 = (5)2 + 2(5) – 2 = 33


5. ก าหนด an = (-1)n+1

แลว a1 = (-1)1+1 = 1 a2 = (-1)2+1 = -1 a3 = (-1)3+1 = 1 a4 = (-1)4+1 = -1 a5 = (-1)5+1 = 1

เขยนล าดบในรปแจกแจงพจนจะไดล าดบคอ 1, -1, 1, -1, 1

6. ก าหนด an = 2n+(-1)nn

แลว a1 = 2(1)+(-1)11=1 a2 = 2(2)+(-1)22=6 a3 = 2(3)+(-1)33=3 a4 = 2(4)+(-1)44=12 a5 = 2(5)+(-1)55=5


7. ก าหนด an = n(n+1)

แลว a1 = 1(1+1) = 2 a2 = 2(2+1) = 6 a3 = 3(3+1) = 12 a4 = 4(4+1) = 20 a5 = 5(5+1) = 30


8. ก าหนด an = n2- n(n+1) ***จดรปใหมได an = - n

แลว a1 = -1 a2 = -2. a3 = -3 a4 = -4 a5 = -5

เขยนล าดบในรปแจกแจงพจนจะไดล าดบคอ -1, -2, -3, -4, -5

ชดท 1 | ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ หนา จ

ตอนท 2 เตมชองวางใหถกตองสมบรณ

ให an เปนล าดบของจ านวนจรง โดยท ก าหนด a1 = 1, a2 = 3 และ an+1 = an + an-1 เมอ n = 2, 3, 4, …

วธท า จาก n = 2 จะได a2+1 = a2 + a1 นนคอ a3 = 3+1 = 4 n = 3 จะได a3+1 = a3 + a2 นนคอ a4 = 4+3 = 7

n = 4 จะได a4+1 = a4 + a3 นนคอ a5 = 7+4 = 11 n = 5 จะได a5+1 = a5 + a4 นนคอ a6 = 11+7 = 18

ให bn เปนล าดบของจ านวนจรง โดยท ก าหนด b1 = 1, b2 = -2 และ bn+1 = 2bn – bn-1 เมอ n = 2, 3, 4, …

วธท า จาก n = 2 จะได b2+1 = 2b2 – b1 นนคอ b3 = 2(-2) – 1 = -5 n = 3 จะได b3+1 = 2b3 – b2 นนคอ b4 = 2(-5) – (-2) = -6 n = 4 จะได b4+1 = 2b4 – b3 นนคอ b4 = 2(-6) – (-5) = -7 n = 5 จะได b5+1 = 2b5 – b4 นนคอ b5 = 2(-7) – (-6) = -8

ให cn เปนล าดบของจ านวนจรง โดยท ก าหนด c1 = 11, และ cn = 2cn-1 + 1 เมอ n = 2, 3, 4, … จงหา c4

วธท า จาก n = 2 จะได c2 = 2c1 + 1 นนคอ c3 = 2(11) + 1 = 21 n = 3 จะได c3 = 2c2 + 1 นนคอ c3 = 2(21) + 1 = 43 n = 4 จะได c4 = 2c3 + 1 นนคอ c4 = 2(43) + 1 = 87 n = 5 จะได c5 = 2c4 + 1 นนคอ c5 = 2(87) + 1 = 175

ก าหนด {an} เปนล าดบโดยท a1 = 5 และ an = 1na

1

เมอ n 2 จงหาคาของ a300

วธท า จาก n = 2 จะได a2 = 1

1

a นนคอ a2 =

1

5

n = 3 จะได a3 = 2

1

a นนคอ a3 =

11

( )5

= 5

n = 4 จะได a4 = 3

1

a นนคอ a4 =

1

5

n = 5 จะได a5 = 2

1

a นนคอ a5 =

11

( )5

= 5

ชดท 1 | ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ หนา ฉ

เฉลยใบงานท 1.3 การหาพจนทวไป

ค าชแจง จงเตมตารางตอไปนใหสมบรณ

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 … a10 a100 an 1 2 3 4 5 6 7 … 10 100 n

8 9 10 11 12 13 14 … 10+7=17 100+7=107 n + 7

2 4 6 8 10 12 14 … 2(10)=20 2(100)=200 2n

14 16 18 20 22 24 26 … 2(10)+12=32 2(100)+12=212 2n+12

2 4 8 16 32=25 64=26 128=27 … 210 2100 2n

1 3 9 27 81=34 243=35 729=36 … 39 399 3n-1

7 17 27 37 47 57 67 … 10(10)-3=97 10(100)-3=997 10n-3

100 90 80 70 60 50 40 … 110-10(10)=10 110-10(100)=-890 110-10n

9 99 999 9999 99999 999999 9999999 … 1010-1 10100-1 10n-1

2

1

5

1

8

1

11

1

1

14

1

17

1

20 … 1

2 3(10)

1

2 3(100)

1

2 3n

2

1

4

3

8

5

16

7

9

32

11

64

13

128 …

10

2(10) 1

2

100

2(100) 1

2

2 1

2nn

10

9

11

10

12

11

13

12

13

14

14

15

15

16 … 10 10 8

( 1)10 9

100 100 8( 1)

100 9

8( 1)

9n n

n

30 40 50 60 70 80 90 … 10(9)+30=120 10(99)+30=1020 10n+20

2 6 18 54 162 486 1458 … 92 3 992 3 12 3n

1 9 25 49 81 121 169 … 192 1992 (2n-1)2

5 5 5 5 5 5 5 … 5 5 5

ชดท 1 | ความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ หนา ช

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน ชดท 1 เรองความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ

ขอ ค าตอบ ขอ ค าตอบ

1 ข 6 ก

2 ง 7 ง

3 ข 8 ข

4 ค 9 ข

5 ค 10 ค

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน

ชดท 1 เรองความหมายและรปแบบการก าหนดล าดบ

ขอ ค าตอบ ขอ ค าตอบ

1 ค 6 ง

2 ค 7 ข

3 ก 8 ก

4 ก 9 ค

5 ข 10 ข

ดาวนโหลดเอกสาร

Documents

ความหมายของลําดับ ความหมา ยและ เ ล่ ม ที 1 รูปแบบการกํา หน ... · เฉลยใบงานที่