ฟຂสิกสຏทัไวเปportal5.udru.ac.th/ebook/pdf/upload/18he3561ssq64Xa6wq60.pdf · (1) ค้าน้า อกสารประกอบการสอนลมนีๅเดຌจัดท้าขึๅนพืไอ฿ชຌประกอบการสอน฿นรายวิชาฟຂสิกสຏทัไวเป༛

เอกสารประกอบการสอน

ฟสกสทวไป General Physics

ดร.สทธชย หนประทบ

ปร.ด. (วสดศาสตรและนาโนเทคโนโลย) วท.ม. (ฟสกส)

คณะวทยาศาสตร

มหาวทยาลยราชภฏอดรธาน

2560

(1)

ค าน า

เอกสารประกอบการสอนเลมนไดจดท าขนเพอใชประกอบการสอนในรายวชาฟสกสทวไป รหส PY01105 ส าหรบนกศกษาชนปท 1 ในหลกสตรวทยาศาสตรบณฑต ส าหรบสาขาวชาวทยาศาสตรสงแวดลอม สาขาวชาวทยาศาสตรการกฬา สาขาวชาเคม สาขาวชาชววทยา สาขาวชาเทคโนโลยการผลตสตว สาขาวชาเทคโนโลยเครองกล ซงครอบคลมเนอหาและความรพนฐานทสามารถท าความเขาใจไดงาย โดยอาศยหลกการพนฐานทส าคญทางดานฟสกส โดยแตละบทประกอบดวยเนอหา รปภาพประกอบ ตวอยาง บทสรป และแบบฝกหดทบทวน เพอท าใหเกดความรความเขาใจในเนอหามากยงขน ซงเนอหาในเอกสารประกอบการสอนเลมนแบงเปน 11 บท ประกอบไปดวยเวกเตอรและการเคลอนท แรงและกฎการเคลอนท งานและพลงงาน โมเมนตมและการชน กลศาสตรของไหล การเคลอนทแบบสน ความรอนและอณหพลศาสตร คลนกล แสง ไฟฟาสถตและแมเหลกไฟฟา และฟสกสยคใหม

ผจดท าหวงเปนอยางยงวาเอกสารประกอบการสอนเลมน จะเปนประโยชนแกนกศกษาและผสนใจทวไปใหมความรความเขาใจในเนอหาฟสกสมากยงขน และเอกสารประกอบการสอนเลมนไดจดท าขนเปนครงแรกหากมขอผดพลาดประการใด ผจดท ายนดรบฟงขอเสนอแนะ และน ามาปรบปรงแกไขในโอกาสตอไป

สทธชย หนประทบ มกราคม 2560

(3)

สารบญ

หนา

ค าน า (1) สารบญ (3) สารบญรป (9)

สารบญตาราง (17) แผนบรหารการสอนประจ ารายวชา (19) แผนบรหารการสอนประจ าบทท 1 1

บทท 1 เวกเตอรและการเคลอนท 3

1.1 เวกเตอร 3

1.2 สมบตของเวกเตอร 4

1.3 ผลคณสเกลารและผลคณเวกเตอร 12

1.4 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรงใน 1 มต 15

1.5 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรงใน 2 มต 18

1.6 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรงใน 3 มต 20 1.7 หนวยเอสไอ และการแปลงหนวย 22 1.8 เลขนยส าคญและความไมแนนอนของผลลพธ 25

บทสรป 27

แบบฝกหดทบทวน 28

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 2 29

บทท 2 แรงและกฎการเคลอนท 31

2.1 มวลและแรง 31

2.2 แรงกรยา แรงปฏกรยา และแรงตรงเชอก 31

2.3 น าหนก 33

2.4 แรงเสยดทาน 34

2.5 กฎการเคลอนทขอท 1 ของนวตน 35

2.6 กฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน 36

(4)

สารบญ (ตอ)

หนา

2.7 กฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตน ............................................................................. 37

2.8 กฎความโนมถวงของนวตน ........................................................................................ 47

บทสรป ............................................................................................................................ 49

แบบฝกหดทบทวน ............................................................................................................. 50

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 3 ............................................................................................... 53

บทท 3 งานและพลงงาน ............................................................................................................... 55

3.1 งานเนองจากแรงคงท ................................................................................................ 55

3.2 งานเนองจากแรงไมคงท ............................................................................................ 58

3.3 พลงงานจลน ............................................................................................................. 60

3.4 พลงงานศกย ............................................................................................................. 62

3.5 การอนรกษพลงงาน .................................................................................................. 66

3.6 ก าลง ......................................................................................................................... 69

บทสรป ............................................................................................................................ 71

แบบฝกหดทบทวน ............................................................................................................. 72


บทท 4 โมเมนตมและการชน ........................................................................................................ 75

4.1 โมเมนตม ................................................................................................................... 75

4.2 การดลของแรง .......................................................................................................... 76

4.3 การอนรกษโมเมนตม ................................................................................................ 79

4.4 การชนกนแบบ 1 มต ................................................................................................ 80

4.5 การชนกนแบบ 2 มต ................................................................................................ 85

บทสรป ........................................................................................................................... 91

แบบฝกหดทบทวน ........................................................................................................... 92

(5)

สารบญ (ตอ) หนา


บทท 5 กลศาสตรของไหล ............................................................................................................. 95

5.1 ความดนในของเหลว ................................................................................................. 95

5.2 กฎของปาสคาล ...................................................................................................... 101

5.3 แรงลอยตวและหลกของอารคมดส ........................................................................ 102 5.4 ความตงผวและความหนด ...................................................................................... 104

5.5 อตราการไหลและสมการของแบรนลล .................................................................. 106

บทสรป ......................................................................................................................... 113

แบบฝกหดทบทวน .......................................................................................................... 114

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 6 ............................................................................................ 115

บทท 6 การเคลอนทแบบสน ...................................................................................................... 117

6.1 กฎของฮค ............................................................................................................... 117

6.2 สมการการเคลอนทแบบฮารมอนกแบบงาย .......................................................... 118

6.3 พลงงานของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ................................................ 125

6.4 ลกตมนาฬกาอยางงาย ........................................................................................... 128

บทสรป ......................................................................................................................... 131

แบบฝกหดทบทวน .......................................................................................................... 132


บทท 7 ความรอนและอณหพลศาสตร ...................................................................................... 135

7.1 ความรอน อณหภม และ กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร ................................... 135

7.2 การขยายตวดวยความรอน .................................................................................... 137

7.3 ความจความรอน ………………………………………………………………………..……………….138

7.4 การถายโอนความรอน………………………………………………………………..…………………143

7.5 กฎของกาซอดมคตและทฤษฎจลนของกาช………………………………………………….…145

7.6 งานในการเปลยนแปลงปรมาตร ………………………………….…………………………….…147

(6)


7.7 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร 150

7.8 การประยกตใชกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรกบกระบวนการตางๆ .................... 150

บทสรป ......................................................................................................................... 154

แบบฝกหดทบทวน .......................................................................................................... 155


บทท 8 คลนกล ........................................................................................................................... 159

8.1 นยามของคลน ....................................................................................................... 159

8.2 ชนดของคลน ......................................................................................................... 159

8.3 สวนประกอบของคลน............................................................................................ 161

8.4 อตราเรวของคลนในตวกลางชนดตางๆ .................................................................. 164

8.5 สมบตของคลน ....................................................................................................... 169

8.6 ปรากฏการณดอปเพลอร ........................................................................... 184

8.7 คลนกระแทก ......................................................................................................... 190

บทสรป ......................................................................................................................... 192

แบบฝกหดทบทวน .......................................................................................................... 193


บทท 9 แสง ................................................................................................................................. 197

9.1 บทน า ..................................................................................................................... 197

9.2 การสะทอน ............................................................................................................ 197

9.3 การเกดภาพ ........................................................................................................... 199

9.4 การหกเห ................................................................................................................ 207

9.5 หลกของฮอยเกนส .................................................................................................. 216

9.6 การแทรกสอด ......................................................................................................... 217

9.7 การเลยวเบน ........................................................................................................... 223

9.8 การโพลาไรเซชน ..................................................................................................... 225

(7)


บทสรป ......................................................................................................................... 228

แบบฝกหดทบทวน .......................................................................................................... 229

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 10 .......................................................................................... 231

บทท 10 ไฟฟาสถตและแมเหลกไฟฟา ...................................................................................... 233

10.1 ประจไฟฟาและการเหนยวน าทางไฟฟา .............................................................. 233

10.2 กฎของคลอมบ ..................................................................................................... 236

10.3 สนามไฟฟา ......................................................................................................... 239

10.4 ฟลกซไฟฟาและกฎของเกาส ............................................................................... 243

10.5 ศกยไฟฟา ............................................................................................................ 247

10.6 แมเหลกและสนามแมเหลก ................................................................................. 251

10.7 แรงทสนามแมเหลกกระท าตออนภาคทมประจ ................................................... 253

10.8 แรงทสนามแมเหลกกระท าตอเสนลวดตวน า ...................................................... 258

10.9 แรงทสนามไฟฟาและสนามแมเหลกกระท าตอประจ .......................................... 260

บทสรป ......................................................................................................................... 262

แบบฝกหดทบทวน .......................................................................................................... 263

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 11 .......................................................................................... 265

บทท 11 ฟสกสยคใหม ............................................................................................................... 267

11.1 ทฤษฎการแผรงสของวตถด า ............................................................................... 267

11.2 ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก ................................................................................ 272

11.3 รงสเอกซ .............................................................................................................. 277

11.4 ปรากฏการณคอมปตน ....................................................................................... 281

บทสรป ......................................................................................................................... 285

แบบฝกหดทบทวน .......................................................................................................... 286

บรรณานกรม ............................................................................................................................... 287

(9)

สารบญรป

หนา

รปท 1.1 แสดงปรมาณสเกลาร ....................................................................................................... 3

รปท 1.2 แสดงปรมาณเวกเตอร ..................................................................................................... 3

รปท 1.3 แสดงแผนภาพทางเรขาคณตของเวกเตอรในแบบตางๆ .................................................. 4

รปท 1.4 แสดงการรวมกนของเวกเตอรโดยใชวธการเขยนแผนภาพทางเรขาคณต ....................... 5

รปท 1.5 แสดงการบวกและลบเวกเตอร ........................................................................................ 6

รปท 1.6 แสดงทศทางการวงโดยใชเวกเตอร .................................................................................. 7

รปท 1.7 แสดงเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอร A ......................................................................... 8

รปท 1.8 แสดงเวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกนในระบบพกดฉาก .............................................. 8

รปท 1.9 แสดงเวกเตอรบนระนาบ xy ............................................................................................ 9

รปท 1.10 แสดงเวกเตอรบนระนาบ xyz ........................................................................................ 10

รปท 1.11 แสดงทศทางการเดนโดยใชเวกเตอร ............................................................................. 11

รปท 1.12 แสดงผลคณเวกเตอรแบบสเกลาร ................................................................................. 12

รปท 1.13 แสดงผลคณเวกเตอรแบบเวกเตอร ................................................................................ 13

รปท 1.14 แสดงการเคลอนทตามแนวเสนตรงของวตถตามแนวแกน x และกราฟความสมพนธ

ระยะการกระจดและความเรวกบเวลา ………………………………………………………………….15

รปท 1.15 แสดงกราฟความสมพนธระยะการกระจดและความเรวกบเวลา ................................... 16

รปท 1.16 แสดงการเคลอนทของวตถบนระบาน xy ...................................................................... 18

รปท 1.17 แสดงการเคลอนทของวตถบนระบาน xyz .................................................................... 20

รปท 2.1 แสดงตวอยางของแรงแบบตางๆทกระท าบนวตถ 32

รปท 2.2 แสดงต าแหนงการวางและทศของแรงดงดดของโลกกระท าตอวตถ 33

รปท 2.3 แสดงการออกแรงดงวตถและกราฟความสมพนธแรงเสยดทานระหวางวตถและพน 35

รปท 2.4 แสดงการเคลอนทตามกฎขอท 1 ของนวตน 35

รปท 2.5 แสดงการเคลอนทตามกฎขอท 2 ของนวตน 36

รปท 2.6 แสดงแรงปฏกรยาเกดขนระหวางวตถ 37

รปท 2.7 แสดงทศทาง 1F และ 2F ทกระท ากบลกบอล 38

(10)

สารบญรป (ตอ) หนา

รปท 2.8 (a) แสดงระบบ Atwood’s Machine

(b) แสดงแรงตางๆ ทกระท าตอ 1m และ 2

m ................................................................. 39

รปท 2.9 (a) แสดงการชงกลองขณะลฟทเคลอนทขน

(b) แสดงการชงกลองขณะลฟทเคลอนทลง ................................................................... 41

รปท 2.10 แสดงการเคลอนของรถยนตบนพนถนนเปยกลนทเอยงท ามม 15o .............................. 42

รปท 2.11 แสดงชายคนหนงดงกลองไวนงๆอยบนพนเอยงโดยไมคดแรงเสยดทาน ....................... 44

รปท 2.12 แสดงการออกแรงดงกลอง ............................................................................................ 45

รปท 2.13 แสดงการเคลอนทของกลองบนพนเอยง ....................................................................... 46

รปท 2.14 แสดงแรงโนมถวงระหวางอนภาคสองกอนดงดดกน ...................................................... 47

รปท 2.15 แสดงการแรงดงดดโนมถวงทกระท าบนลก B ............................................................... 48

รปท 2.16 แสดงแรงยอย 3 แรงกระท ากบวตถชนเดยวกน ............................................................ 50

รปท 2.17 แสดงมวลทผกดวยเชอก 2 เสน ..................................................................................... 50

รปท 2.18 แสดงแรง F1 F2 และ F3 กระท ากบกลองชนเดยวกน ................................................... 51

รปท 2.19 แสดงเรอลากสมภาระ ................................................................................................... 51

รปท 2.20 แสดงกลอง 2 กลองทผกดวยเชอกตดกบเพดานของลฟท ............................................. 51

รปท 2.21 แสดงกลอง 2 กลองทผกดวยเชอกตดกน ...................................................................... 52

รปท 2.22 แสดงกลอง 2 กลองทผกดวยเชอกตดกนบนกลองสามเหลยม ...................................... 52

รปท 3.1 แสดงแรงทกระท าตอวตถในทศทางเดยวกนกบระยะการกระจดและกราฟแสดง ความสมพนธระหวางแรงและระยะการกระจด ............................................................. 55

รปท 3.2 แสดงการพจารณาแรงทกระท าตอวตถ ......................................................................... 56

รปท 3.3 การพจารณาแรงทกระท าตอวตถ .................................................................................. 57

รปท 3.4 แสดงแรงไมคงทกระท าตอวตถและกราฟความสมพนธระหวางแรงและการกระจด ..... 58

รปท 3.5 กราฟความสมพนธระหวางแรงกระท าตอวตถและการกระจด ...................................... 59

รปท 3.6 แรงกระท าตอวตถท าใหวตถเปลยนแปลงความเรว u ไปเปน v .................................... 60

รปท 3.7 แสดงการเปลยนแปลงต าแหนงของวตถ ....................................................................... 62

รปท 3.8 แสดเคลอนทจากจด A ไป B ......................................................................................... 63

รปท 3.9 แสดงการเปลยนแปลงระยะยดของมวลตดสปรงโดยแรงภายนอกและกราฟแสดง ความสมพนธระหวางแรงภายนอกและกราฟ ................................................................ 64

(11)


รปท 3.10 แสดงการเปลยนแปลงระยะยดของมวลตดสปรง ............................................................ 65

รปท 3.11 แสดงการเปลยนแปลงต าแหนงของวตถ ......................................................................... 66

รปท 3.12 แสดงการเคลอนทของกลองตามพนเอยง ....................................................................... 67

รปท 3.13 แสดงตกลงบนฐานตดสปรง ............................................................................................ 68

รปท 4.1 แสดงการเคลอนทของวตถมทศทางเดยวกบความเรว ..................................................... 75

รปท 4.2 แสดงกราฟของแรง F กระท าตอวตถทเวลา t ตางๆ.......................................................76

รปท 4.3 แสดงทศทางการชนของลกบอล ...................................................................................... 77

รปท 4.4 แสดงทศทางการเคลอนทของรถยนต .............................................................................. 77

รปท 4.5 แสดงทศการเคลอนทของลกบอลกอนและหลงการชนผนง ............................................. 78

รปท 4.6 แสดงทศการเคลอนทของลกบอลกอนและหลงการชนกน .............................................. 79

รปท 4.7 แสดงการชนกนแบบยดหยนของวตถ mA และ mB ......................................................... 80

รปท 4.8 แสดงการชนกนแบบไมยดหยนของวตถ mA และ mB ..................................................... 81

รปท 4.9 แสดงการชนกนแบบยดหยนของวตถ A และ B .............................................................. 82

รปท 4.10 แสดงการชนกนแบบไมยดหยนของวตถ A และ B.......................................................... 83

รปท 4.11 แสดงการยงของกระสนปนเขากอนไมแบบ ballistic pendulum ................................ 84

รปท 4.12 แสดงการชนกนแบบยดหยนของวตถ A และ B.............................................................. 85

รปท 4.13 แสดงการชนกนแบบไมยดหยนของวตถ A และ B.......................................................... 87

รปท 4.14 แสดงการชนแบบ 2 มตของวตถ A และ B ..................................................................... 88

รปท 4.15 แสดงการชนกนแบบไมยดหยนของรถยนตสองคน ......................................................... 90

รปท 5.1 แสดงความดนและแรงดนทกทศทางในแนวตงฉากกบพนทนน

(a) กระท าตอภาชนะทบรรจ (b) กระท าตอวตถในของเหลว ........................................... 96

รปท 5.2 แสดงความดนเทากนของของเหลวชนดเดยวกนทระดบความสงเทากน ......................... 97

รปท 5.3 แสดงเครองมอวดความดน (a) มานอมเตอร (b) บารอมเตอร ........................................ 98

รปท 5.4 แสดงหลอดแกวรปตวยภายในบรรจปรอทและน า ........................................................... 99

รปท 5.5 แสดงเครองอดไฮโดรลกโดยใชกฎของปาสคาล ............................................................ 101

รปท 5.6 แสดงแรงลอยตวของวตถ เมอ B คอแรงลอยตว Fg คอน าหนกวตถ ............................. 102

รปท 5.7 แสดงสวนจมลงในของเหลวทไมทราบความหนาแนน U และในน า W ........................ 103

(12)


รปท 5.8 แสดงการเกดจากแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของเหลว

และแรงตรงผวเนองจากแรง F .................................................................................. 104

รปท 5.9 แสดงการเคลอนทของวตถในของเหลว ........................................................................ 105

รปท 5.10 แสดงการไหลของของไหลผานทอไมสม าเสมอ ............................................................ 106

รปท 5.11 แสดงการไหลของน าจากถงไปยงสายฉด………………….…………………………………………...107

รปท 5.12 แรงดนบนของไหลในทอไมสม าเสมอทระดบตางกน .................................................... 109

รปท 5.13 แสดงการไหลของของไหลผานเวนทร .......................................................................... 110

รปท 5.14 การไหลน าในถงปดไปยงทอทขางถง……………..……………………………………………………..111

รปท 5.15 การไหลของน าผานทอไมสม าเสมอ ............................................................................. .111

รปท 6.1 แสดงการทดลองการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของมวลตดสปรง……………….…..117

รปท 6.2 แสดงการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของมวลตดสปรง…………………………………...118

รปท 6.3 แสดงกราฟการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย……………………………………………………120

รปท 6.4 แสดงการความสมพนธระหวาง การกระจด ความเรว ความเรง กบเวลา…………………..121

รปท 6.5 การพจารณาการกระจด ความเรว และความเรง ในการเคลอนทแบบวงกลมของวตถ 121

รปท 6.6 แสดงพลงงานจลน (Ek) และพลงงานศกย (Eps) ระหวางต าแหนง x = ±A .................. 126

รปท 6.7 แสดงการเคลอนทของลกตมนาฬกาอยางงาย .............................................................. 128

รปท 7.1 แสดงหลกการของกฎขอทศนยของอณหพลศาสตร ……………………………………………….135

รปท 7.2 แสดงความสมพนธกราฟระหวางความดนและอณหภม ............................................... 136

รปท 7.3 แสดงกราฟระหวางอณหภมและพลงงานทใชในการเปลยนน าแขงมวล 1 g

จากอณหภม -30 oC ใหกลายเปนไอทอณหภม 120 oC …………………………………………139

รปท 7.4 แสดงการน าความรอนของวตถ ..................................................................................... 143

รปท 7.5 (a) แสดงกอนการออกแรง F ตอแกสในกระบอกสบ

(b) แสดงหลงการออกแรง F ตอแกสในกระบอกสบ ..................................................... 147

รปท 7.6 แสดงไดอะแกรม PV ของงานทท าตอแกสในแบบตางๆ (a) ความดนคงท ตามดวยปรมาตรคงท (b) ปรมาตรคงทตามดวยความดนคงท (c) อณหภมคงท ......... 148

รปท 7.7 แสดงกราฟความสมพนธระหวางความดนและปรมาตรของกาชอดมคต ...................... 148

รปท 7.8 แสดงกราฟความสมพนธระหวางความดนและปรมาตรของกาชอดมคต ...................... 149

(13)


รปท 7.9 แสดงไดอะแกรม PV ของการขยายตวของของกาช ..................................................... 151

รปท 8.1 แสดงการก าเนดคลนบนผวน า ...................................................................................... 159

รปท 8.2 แสดงคลนบนผวน าและคลนแมเหลกไฟฟา .................................................................. 160

รปท 8.3 แสดงทศทางของการเคลอนทของคลนแบบคลนตามขวางและตามยาว ...................... 160

รปท 8.4 แสดงความยาวคลน แอมพลจด และคาบการเคลอนทของคลน .................................. 161

รปท 8.5 แสดงหนาคลนแบบวงกลมและแบบระนาบ ................................................................. 162

รปท 8.6 แสดงการเคลอนทของคลนดลตามขวางในเชอกขงตง .................................................. 165

รปท 8.7 แสดงเชอกปลายหนงผกกบผนงและอกขางหนงคลองผานลกรอก ............................... 166

รปท 8.8 แสดงการอดกาชในทอ .................................................................................................. 168

รปท 8.9 แสดงการสะทอนของคลนบนแผนผวเรยบ ................................................................ 169

รปท 8.10 แสดงลกษณะของคลนตกกระทบและสะทอนบนแผนผวเรยบและกลม ...................... 170

รปท 8.11 แสดงการกลบเฟสของคลนสะทอนบนเสนเชอกแบบตรงและหลวม ........................... 170

รปท 8.12 แสดงการสะทอนของคลนบนวตถ…………………….…………………….……………………………171

รปท 8.13 แสดงการหกเหของคลนในบรเวณน าลกไปตนและตนไปลก ........................................ 172

รปท 8.14 แสดงการหกเหของคลนในบรเวณน าลกและตน .......................................................... 173

รปท 8.15 (a) แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศเดยวกน

(b) แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศตรงขาม ....................................... 174

รปท 8.16 แสดงการเคลอนทของคลนพสเขาหากน ...................................................................... 175

รปท 8.17 แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศเดยวกน ............................................. 176

รปท 8.18 แสดงการแทรกสอดของคลนทมเฟสตรงกน ................................................................ 177

รปท 8.19 แสดงการแทรกสอดของคลนทมเฟสตรงกนขาม ......................................................... 178

รปท 8.20 แสดงการสะทอนของคลนน า ....................................................................................... 179

รปท 8.21 แสดงคลนนงในเสนเชอก ............................................................................................. 181

รปท 8.22 แสดงคลนนงในเสนเชอก..............................................................................................181

รปท 8.23 แสดงคลนนงในทอ ....................................................................................................... 182

รปท 8.24 แสดงจดบนหนาคลน เสมอนเปนแหลงก าเนดคลนใหม ............................................... 183

รปท 8.25 แสดงการเลยวเบนของคลนผานชองของสงกดขวาง .................................................... 183

รปท 8.26 แสดงความยาวคลน ความเรวคลนในกรณทแหลงก าเนดคลนอยนงและผฟงเคลอนท 185

(14)


รปท 8.27 แสดงความยาวคลน ความเรวคลนในกรณทแหลงก าเนดคลนและผฟงเคลอนท ......... 188

รปท 8.28 แสดงแหลงก าเนดคลนและผฟงเคลอนท ..................................................................... 189

รปท 8.29 แสดงหนาคลนและทศทางการเคลอนทของแหลงก าเนดคลนของคลนกระแทก ......... 191

รปท 9.1 แสดงการสะทอนของแสงบนผววตถผวเรยบและผวขรขระ ....................................... 198

รปท 9.2 แสดงการสะทอนของแสงบนกระจก ............................................................................. 198

รปท 9.3 แสดงการตกของแสงเลเซอรบนกระจกราบสองบานท ามมกน 90o .............................. 199

รปท 9.4 แสดงการมองเหนวตถ .................................................................................................. 199

รปท 9.5 แสดงการสะทอนของแสงจากกระจกเงาราบ ................................................................ 201

รปท 9.6 แสดงชายคนหนงยนอยหนากระจกราบ ....................................................................... 201

รปท 9.7 แสดงสวนประกอบตางๆ บนกระจกเวาและการสะทอนของแสงบนกระจกเวา ........... 202

รปท 9.8 แสดงสวนประกอบตางๆ บนกระจกนนและการสะทอนของแสงบนกระจกนน ........... 204

รปท 9.9 แสดงการเกดภาพบนกระจกเวา ................................................................................... 205

รปท 9.10 แสดงการหกเหของแสงบนวตถโปรงใส ........................................................................ 207

รปท 9.11 แสดงการหกเหของล าแสงระหวางแกวกบน า .............................................................. 208

รปท 9.12 แสดงการหกเหของล าแสงระหวางอากาศ น ามน และน า ............................................ 208

รปท 9.13 แสดงการหกเหจากตวกลาง 1 ไป 2 ............................................................................ 209

รปท 9.14 แสดงการสะทอนภายในกลบหมด ............................................................................... 210

รปท 9.15 แสดงการเกดภาพของเลนสบาง ................................................................................... 212

รปท 9.16 แสดงการเกดภาพของเลนสบาง ................................................................................... 213

รปท 9.17 แสดงการเกดภาพของเลนสนนและเลนสเวา ............................................................... 214

รปท 9.18 แสดงการใชหลกของฮอยเกนสสรางหนาคลนใหม ....................................................... 216

รปท 9.19 แสดงรวการแทรกสอดของยง ...................................................................................... 218

รปท 9.20 แสดงการทดลองของยง ............................................................................................... 218

รปท 9.21 แสดงการเกดการแทรกสอดเนองจากการสะทอนทฟลมบาง ....................................... 221

รปท 9.22 แสดงการเลยวเบนของแสงผานสลตเดยวทแคบ .......................................................... 223

รปท 9.23 แสดงรปถายรวการเลยวเบนจากชองเดยวกลม ........................................................... 225

รปท 9.24 แสดงการโพลาไรเชชนของแสง .................................................................................... 226

รปท 9.25 แสดงการทะลผานของแสงเมอวางแผนโพลารอยดมมตางๆ ........................................ 226

(15)


รปท 10.1 แสดงองคประกอบของอะตอม ................................................................................... 233

รปท 10.2 แสดงการเหนยวน าทางไฟฟาของหวและกระดาษ ..................................................... 234

รปท 10.3 แสดงอเลกโทรสโคปแบบลกพธ .................................................................................. 235

รปท 10.4 แสดงอเลกโทรสโคปแผนโลหะบาง ............................................................................. 235

รปท 10.5 แสดงทศของแรงไฟฟาของจดประจบวกและลบ ........................................................ 236

รปท 10.6 แสดงแรงไฟฟาทกระท าบนจดประจ q2 ตามแนวแกน x ........................................... 237

รปท 10.7 แสดงแรงไฟฟาจากจดประจ q3 ประจตามแนวแกน x และ y ................................... 238

รปท 10.8 แสดงทศทางของสนามไฟฟา (a) มทศออกจากประจบวก (b) มทศเขาหาประจลบ .. 239

รปท 10.9 แสดงทศทางของสนามไฟฟามทศเดยวกบทศแรงทกระท าตอประจ +q

และมทศตรงกนขามกบทศแรงทกระท าตอประจ –q ................................................. 240

รปท 10.10 แสดงแรงไฟฟาทกระท าบนจดประจ q2 ตามแนวแกน x .......................................... 240

รปท 10.11 แสดงสนามไฟฟาทจด p ............................................................................................ 241

รปท 10.12 แสดงทศของสนามแมเหลก ....................................................................................... 243

รปท 10.13 แสดงกลองลกบาศก วางบนปรภม x, y และ z ทมสนามไฟฟาสม าเสมอ………………244

รปท 10.14 แสดงประจบวก q ไวจดกงกลางวงกลมรศม r........................................................... 245

รปท 10.15 แสดงประจในและนอกผวปดใดๆ .............................................................................. 246

รปท 10.16 แสดงการเคลอนยายประจจากต าแหนง B มายงต าแหนง A ..................................... 248

รปท 10.17 แสดงการเคลอนยายประจจากต าแหนง B มายงต าแหนง A

ในสนามไฟฟาสม าเสมอ ............................................................................................. 249

รปท 10.18 แสดงสนามไฟฟาทจด p ............................................................................................ 250

รปท 10.19 แสดงแทงแมเหลกทถกตดออกจะมสองขวเสมอ ....................................................... 251

รปท 10.20 แสดงทศของสนามแมเหลก ....................................................................................... 252

รปท 10.21 แสดงจดแทนสนามแมเหลกทพงออก และกากบาทแทนสนามแมเหลกทพงเขา ...... 253

รปท 10.22 (a) แสดงทศทางตงฉากของ FB B และ v

(b) แสดงกฎมอขวาตามทศทางของ FB B และ v .................................................. 254

รปท 10.23 แสดงทศของแรงทกระท าตอประจลบและประจบวกในทศตรงกนขาม ..................... 255

รปท 10.24 แสดงการเคลอนทของประจอเลกตรอนเขาไปบรเวณสนามแมเหลก ........................ 257

รปท 10.25 แสดงทศของแรงทกระท าตอเสนลวดทมกระแสไฟฟาไหลผาน ................................. 258

(16)


รปท 10.26 แสดงแรงทกระท าตอเสนลวดทมกระแสไฟฟาไหลผาน ............................................. 259

รปท 10.27 แสดงแรงลอเรนซ เมอประจอยบรเวณทมทง E และ B ............................................. 260

รปท 11.1 แสดงการสมมตระบบเปนวตถด า เมอแสงผานเขาไปแลวจะมการสะทอนของรงส ภายในโพรง (Cavity radiation) และถกดดกลนในทสด .......................................... 268

รปท 11.2 แสดงการแผรงสของวตถด า ทคลนแมเหลกไฟฟาทแผออกมาจากวตถ ทอณหภมตางๆ .......................................................................................................... 269

รปท 11.3 แสดงการเปรยบเทยบสเปกตรมการแผรงสทค านวณโดยกฎของพลงค .................... 271

รปท 11.4 แสดงวงจรการศกษาปรากฏการณโฟโตอเลกตรก .................................................... 272

รปท 11.5 แสดงกระแสโฟโตอเลกตรกเมอใหความถแสงคงท แตเปลยนความเขมแสง ............. 273

รปท 11.6 แสดงกราฟเมอฉายแสงทความถตางๆ ไปทโลหะ ..................................................... 276

รปท 11.7 แสดงการผลตรงสเอกซจากหลอดรงสเอกซ .............................................................. 278

รปท 11.8 แสดงการเกดรงสเอกซ .............................................................................................. 279

รปท 11.9 แสดงการชนกนระหวางโฟตอนกบอเลกตรอน .......................................................... 282

(17)

สารบญตาราง

หนา

ตารางท 1.1 หนวยรากฐานในระบบเอสไอ…………………………………………………………………………….22

ตารางท 1.2 ค าอปสรรคมาใชแทนตวพหคณ….……………………………………………………………………...23

ตารางท 5.1 ความหนาแนนของสารตางๆทอณหภม 0 องศาเซลเซยส

และความดน 1 บรรยากาศ........................................................................................95

ตารางท 6.1 แสดงความเรวสงสด ความเรงสงสด พลงงานจลน และพลงงานศกย ของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายทต าแหนง x = 0 และ x = A ซงสอดคลองกบรปท 6.6………………………………………………………………………………..126

ตารางท 7.1 แสดงความรอนแฝงของการหลอมเหลวและการกลายเปนไอของสารตางๆ….………..139

ตารางท 7.2 แสดงเครองหมายของปรมาณตางๆในกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร …………….…150

ตารางท 10.1 แสดงสมบตของอนภาคมลฐาน …………………………………………………………..……….…233

(19)

แผนบรหารการสอนประจ าวชา

รหสวชา PY01105

รายวชา ฟสกสทวไป (General Physics) 3(3-0-6)

ค าอธบายรายวชา

ศกษาคณตศาสตรส าหรบฟสกสทวไป กลศาสตร กลศาสตรของไหล การแกวงกวด คลนกล เสยง อณหพลศาสตร สนามไฟฟา สนามแมเหลก แสง ฟสกสยคใหม วตถประสงคทวไป

เพอใหนกศกษา 1. มความรความเขาใจในเรองของฟสกส 2. สามารถน าความรทางฟสกสมาใชใหเกดประโยชนได 3. สามารถปรบตวเขากบสงคมยคปจจบนทวทยาศาสตรและเทคโนโลยไดเขามามบทบาท

อยางมากในชวตประจ าวน

4. สามารถใชวทยาศาสตรและเทคโนโลยใหเกดประโยชนสงสด

เนอหา สปดาหท เนอหา เวลา (ชวโมง)

1-2 แนะน ารายวชา บทท 1 เวกเตอรและการเคลอนท 1.1 เวกเตอร 1.2 สมบตของเวกเตอร 1.3 ผลคณสเกลารและผลคณเวกเตอร 1.4 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และ

ความเรงใน 1 มต 1.5 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และ

ความเรงใน 2 มต 1.6 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และ

ความเรงใน 3 มต 1.7 หนวยเอสไอ และการแปลงหนวย 1.8 เลขนยส าคญและความไมแนนอนของผลลพธ

6

(20)

สปดาหท เนอหา เวลา (ชวโมง) 3 บทท 2 แรงและกฎการเคลอนท

2.1 มวลและแรง 2.2 แรงกรยา แรงปฏกรยา และ แรงตรงเชอก

2.3 น าหนก

2.4 แรงเสยดทาน

2.5 กฎการเคลอนทขอท 1 ของนวตน 2.6 กฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน

2.7 กฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตน

2.8 กฎความโนมถวงของนวตน

3

4 บทท 3 งานและพลงงาน

3.1 งานเนองจากแรงคงท 3.2 งานเนองจากแรงไมคงท 3.3 พลงงานจลน 3.4 พลงงานศกย

3.5 กฎการอนรกษพลงงาน

3.6 ก าลง

3

5 บทท 4 โมเมนตมและการชน

4.1 โมเมนตม

4.2 การดลของแรง 4.3 การอนรกษโมเมนตม

4.4 การชนกนแบบ 1 มต 4.5 การชนกนแบบ 2 มต

3

6 บทท 5 กลศาสตรของไหล

5.1 ความดนในของเหลว

5.2 กฎของปาสคาล

5.3 แรงลอยตวและหลกของอารคมดส

5.4 ความตงผวและความหนด

5.5 อตราการไหลและสมการของแบรนลล

3

(21)

สปดาหท เนอหา เวลา (ชวโมง) 7 บทท 6 การเคลอนทแบบสน

6.1 กฎของฮค

6.2 สมการการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

6.3 พลงงานของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

6.4 ลกตมนาฬกาอยางงาย

3

8 บทท 7 ความรอนและอณหพลศาสตร 7.1 ความรอน อณหภม และ กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร 7.2 การขยายตวดวยความรอน

7.3 ความจความรอน

7.4 การถายโอนความรอน

7.5 กฎของกาซอดมคตและทฤษฎจลนของกาช

7.6 งานในการเปลยนแปลงปรมาตร 7.7 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร 7.8 การประยกตใชกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรกบ กระบวนการตางๆ

3

สอบกลางภาค

9-10 บทท 8 คลนกล

8.1 นยามของคลน

8.2 ชนดของคลน

8.3 สวนประกอบของคลน

8.4 อตราเรวของคลนในตวกลางชนดตางๆ

8.5 สมบตของคลน

8.6 ปรากฏการณดอปเพลอร 8.7 คลนกระแทก

6

11-12 บทท 9 แสง 9.1 บทน า 9.2 การสะทอน

9.3 การเกดภาพ

9.4 การหกเห

9.5 หลกของฮอยเกนส

6

(22)

สปดาหท เนอหา เวลา (ชวโมง) 9.6 การแทรกสอด 9.7 การเลยวเบน

9.8 การโพลาไรเซชน

13-14 บทท 10 ไฟฟาสถตและแมเหลกไฟฟา

10.1 ประจไฟฟาและการเหนยวน าทางไฟฟา 10.2 กฎของคลอมบ 10.3 สนามไฟฟา 10.4 ฟลกซไฟฟาและกฎของเกาส 10.5 ศกยไฟฟา 10.6 แมเหลกและสนามแมเหลก

10.7 แรงทสนามแมเหลกกระท าตออนภาคทมประจ 10.8 แรงทสนามแมเหลกกระท าตอเสนลวดตวน า 10.9 แรงทสนามไฟฟาและสนามแมเหลกกระท าตอประจ

6

15-16 บทท 11 ฟสกสยคใหม 11.1 ทฤษฎการแผรงสของวตถด า 11.2 ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก 11.3 รงสเอกซ 11.4 ปรากฏการณคอมปตน

6

สอบปลายภาค

วธสอนและกจกรรม

สอนทฤษฎจ านวน 48 ชวโมง 1. บรรยายเนอหาในแตละหวขอ พรอมยกตวอยางประกอบ

2. ศกษาจากเอกสารประกอบการสอน และภาพเลอน (slide) 3. รวมอภปรายเนอหา และท าแบบฝกหดในชนเรยน

4. ผสอนสรปเนอหา 5. ผสอนท าการซกถาม

6. นกศกษาถามขอสงสย

(23)

สอการเรยนการสอน

1. เอกสารประกอบการสอนวชาฟสกสทวไป

2. บทความจากหนงสอ หรอเวบไซตตางๆ

3. ภาพเลอน (slide)

4. คอมพวเตอรพรอมเครองฉาย LCD projector

การวดผลและการประเมนผล

การวดผล

1. คะแนนระหวางภาค รอยละ 70

1.1 เขาชนเรยน การมสวนรวม และอภปรายในชนเรยน รอยละ 10

1.2 แบบฝกหด รอยละ 10

1.3 งานทไดรบมอบหมาย รอยละ 10

1.4 ทดสอบยอย รอยละ 15

1.5 สอบกลางภาค รอยละ 25

2. คะแนนสอบปลายภาค รอยละ 30

การประเมนผล ใชแบบองเกณฑดงน คะแนน ระดบคะแนน หมายถง คาระดบคะแนน

80-100 A ดเยยม 4.0

75-79 B+ ดมาก 3.5

70-74 B ด 3.0

65-69 C+ ดพอใช 2.5

60-64 C พอใช 2.0

55-59 D+ ออน 1.5

50-54 D ออนมาก 1.0

0-49 F ตก 0.0

แผนบรหารการสอนประจ าบทท 1

รายวชา ฟสกสทวไป General Physics

หวขอเนอหา

1.1 เวกเตอร 1.2 สมบตของเวกเตอร 1.3 ผลคณสเกลารและผลคณเวกเตอร 1.4 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรงใน 1 มต 1.5 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรงใน 2 มต 1.6 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรงใน 3 มต 1.7 หนวยเอสไอ และการแปลงหนวย 1.8 เลขนยส าคญและความไมแนนอนของผลลพธ

วตถประสงคเชงพฤตกรรม

เมอสนสดการเรยนการสอน ผเรยนสามารถ

1. แยกปรมาณใดๆระหวางปรมาณเวกเตอรและปรมาณสเกลารได

2. ค านวณหาผลลพธของเวกเตอรจากเวกเตอรทก าหนดใหได

3. ใชความรเรองอนพนธและอนทกรลในการหาความเรวและความเรงได 4. ใชค าอปสรรคในการแปลงหนวยไดอยางถกตอง 5. ระบเลขนยส าคญและค านวณตามหลกพชคณตไดอยางถกตอง

วธสอนและกจกรรมการเรยนการสอนประจ าบท 1. บรรยายเนอหาในแตละหวขอ พรอมยกตวอยางประกอบ

2. ศกษาจากเอกสารประกอบการสอนและภาพเลอน (slide)

3. รวมอภปรายเนอหา และท าแบบฝกหดในชนเรยน



2







1. ประเมนจากการซกถามในชนเรยน

2. ประเมนจากความรวมมอหนาชนเรยน 3. ประเมนจากการท าแบบฝกหดทบทวนทายบทเรยน

3

บทท 1

เวกเตอรและการเคลอนท

1.1 เวกเตอร ในชวตประจ าวน มกจะพบปรมาณตางๆ มากมาย เชน ขนาดหรอจ านวนของวตถ ระยะทางระหวางวตถหรอสถานท ต าแหนงหรอทศทางของวตถหรอสถานท ความเรวในการวงหรอขบรถ อณหภมของน ารอน ความสวางของหลอดไฟ เปนตน ซงใชตามความเคยชนไมมการแยกแยะปรมาณเหลานนออกเปนสวนๆอยางชดเจน แตในการศกษาทางฟสกสไดจ าแนกปรมาณเหลานนเปน 2 ชนด คอ ปรมาณสเกลาร (Scalar quantity) และปรมาณเวกเตอร (Vector quantity) ซงใหความส าคญกบขนาดและต าแหนงของปรมาณตางๆเหลานนอยางชดเจน

ปรมาณสเกลาร คอ ปรมาณทบอกถงเพยงขนาด (Magnitude) อยางเดยวกสามารถเขาใจ ได เชน มวล ปรมาตร ความยาว ระยะทาง อณหภม พลงงาน ความดน ความหนาแน น เปนตน ตวอยางเชน มวล 2 กโลกรม อณหภมบนเทอรโมมเตอร 80 องศาเซลเซยล ตามรปท 1.1

ปรมาณเวกเตอร คอ ปรมาณทตองบอกทงขนาดและทศทาง (Direction) จงจะสามารถเขาใจไดอยางชดเจน เชน การกระจด ความเรว ความเรง แรง น าหนก โมเมนตม สนามไฟฟา สนามแมเหลก เปนตน ตวอยางเชน ปายบอกทางทองเทยวใหไปทางขวามออก 51 กโลเมตร ถงหนองคาย ตามรปท 1.2

รปท 1.1 แสดงปรมาณสเกลาร รปท 1.2 แสดงปรมาณเวกเตอร

312

96

100

010

40

20

30

5060

90

7080

oC

2 kg

เวลา มวล

อณหภมปายบอกทาง

หนองคาย 51 กโลเมตร

ขอนแกน 115 กโลเมตร

4

ในทางฟสกสหรอคณตศาสตรจะใชตวอกษรกรก หรอตวอกษรภาษาองกฤษ ใชแทนปรมาณ สเกลารและปรมาณเวกเตอร เชน ใชตวอกษร A B หรอ C แทนปรมาณสเกลารและใชโดยมหวลกศรก ากบขางบนตวอกษร A B หรอ C หรอใชตวอกษรตวหนา A B หรอ C แทนปรมาณเวกเตอร เปนตน นอกจากนปรมาณเวกเตอรยงสามารถใช เสนตรงยาวมหวลกศรอยปลายขางใดขางหนง โดยความยาวของเสนแทนขนาดและใหหวลกศรแทนทศทาง และมจดเรมตนเปนดานทไมมหวลกศรและจดสนสดอยดานทมหวลกศร เชน เวกเตอร A มขนาด 3 หนวย ชไปในทศทางดานขวามอ สวนเวกเตอร B มขนาด 4 หนวย ชไปในทศทางดานซายมอ ในขณะทเวกเตอร C มขนาด 4 หนวย ชไปในทศทางดานขวามอท ามม θ กบแนวแกน x เปนตน แสดงดงรปท 1.3

รปท 1.3 แสดงแผนภาพทางเรขาคณตของเวกเตอรในแบบตางๆ

1.2 สมบตของปรมาณเวกเตอร 1.2.1 การเทากนของเวกเตอร เวกเตอร 2 เวกเตอรจะเทากน จะตองมขนาดเทากนและทศทางเดยวกน จากรปท 1.3 จะเหนวาเวกเตอรแตละเวกเตอรไมไดอยทต าแหนงเดยวกนบนแกน แตเราสามารถเลอนเวกเตอรเหลานนมาเทยบกนได ซงจะพบวาเวกเตอร A และ E มขนาดเทากนและชไปในทศทางเดยวกน สามารถเขยนแทนดวย A = E (เชนเดยวกนกบเวกเตอร C และG ) สวนเวกเตอร A และ F ม

A

B

C

F

E

G

y

θ

θ

x

5

ขนาดเทากนและแตชไปในทศทางตรงกนขามกนนนคอ A = F ในขณะเวกเตอร B และ F ชไปในทศทางเดยวกนแตมขนาดไมเทากนสามารถเขยนแทนดวย B F

1.2.2 การรวมเวกเตอร เวกเตอร 2 เวกเตอร หรอมากกวา สามารถรวมกนไดโดยใชวธการเขยนแผนภาพทางเรขาคณต ซงสามารถท าไดสองวธ วธแรกคอ น าจดเรมตนเวกเตอรตวทสองไปตอกบจดสนสดของเวกเตอรตวแรก เชน เวกเตอร A และ B สามารถรวมกนไดโดยน าจดเรมตนของเวกเตอร B ตอกบจดสนสดของเวกเตอร A จากนนจะไดเวกเตอรลพธ R ทเกดจากการลากเสนตรงจากจดเรมตนของ A ไปยงจดสนสดของ B ดงรปท 1.4(a) ซงทงสองเวกเตอรสามารถสลบกนได และจากสมบตการสลบทไดของการบวกเวกเตอรท าใหได R= A B =B A ดงรปท 1.4(b)

รปท 1.4 แสดงการรวมกนของเวกเตอรโดยใชวธการเขยนแผนภาพทางเรขาคณต

B

AB

B

A

R A B θ

θ

A

R A B

R A B

B

A

θ

θ

(a)

(b)

(c)

6

วธทสอง สามารถรวมกนไดโดยน าจดเรมตนของเวกเตอร A และ B ตอกบจดสนสดของเวกเตอร A การสรางสเหลยมดานขนาน ดงรปท 1.4 (c) จากเวกเตอรลพธ A สามารถค านวณหาขนาดของ R ไดจาก 2 2R = A B 2ABcosθ (1.1)

เมอ R คอ ขนาดของ R

A คอ ขนาดของ A B คอ ขนาดของ B

คอ มมระหวาง A และ B นอกจากนยงสามารถค านวณหามมของเวกเตอรลพธ R ทกระท ากบเวกเตอร A และ B โดยการใชกฎโคไซน (Cosine law) ดงรปท 1.4 (ข) คอ

R A B = = sin sin sin (1.2)

1.2.3 การลบเวกเตอร

สามารถท าไดเชนเดยวกนกบการบวกเวกเตอร โดยใชหลกการบวกเวกเตอรแรก เวกเตอรลบอกเวกเตอรหนง (ทศตรงขาม) ดงสมการและรปท 1.5

A ( B) A B (1.3)

สามารถค านวณหาขนาดและทศทางเวกเตอรไดเชนเดยวกบการบวกเวกเตอร คอ 2 2R = A B 2ABcosθ (1.4)

รปท 1.5 แสดงการบวกและลบเวกเตอร

B

A

B

R A B

R A B

θ

7

ตวอยางท 1.1 พตนวงไปทางทศเหนอไดระยะการกระจด 10 กโลเมตร แลววงไปทางทศตะวนออก

เฉยงเหนอท ามม 30 องศา กบแนวตะวนออก ดวยระยะการขจด 15 กโลเมตร จงหาขนาดการกระจดและทศทางลพธของการกระจดท ามมกบแนวตะวนออก

รปท 1.6 แสดงทศทางการวงโดยใชเวกเตอร

วธท า โจทยก าหนดให A = 10 กโลเมตร B = 15 กโลเมตร

= 70 องศา จาก 2 2R = A B 2ABcosθ

2 2= (10) (15) 2(10)(15)cos70

= 100 225 2(10)(15)cos70

R = 20.67 กโลเมตร

และ R B = sin sin

0.02067 0.015 = sin110 sin

0.02067 0.015 = 0.939 sin

sin = 0.684 = 43.15 องศา θ 90 = 46.85 องศา

ดงนน การกระจดลพธในการวงของพตนมขนาดเทากบ 20.67 กโลเมตร และมทศท ามมกบแนวตะวนออกเทากบ 46.85 องศา

RA

B30

N

E

110

70

A

B

R

θ

N

E

γ

8

1.2.4 เวกเตอรหนงหนวย

เวกเตอรหนงหนวย (Unit vector) คอ เวกเตอรทมขนาดหนงหนวยและมทศทางเดยวกนกบเวกเตอรนน เชน เวกเตอร A มขนาดของ A หนวย มทศทางท ามมกบแนวระดบ θ ดงนนเวกเตอรหนงหนวยของ A ใชสญลกษณ Ae ดงรปท 1.7 สามารถหาไดจากเวกเตอร A หารดวยขนาดของเวกเตอร A เขยนไดเปน

AAeA

(1.5)

รปท 1.7 แสดงเวกเตอรหนงหนวยของเวกเตอร A

นอกจากการก าหนดทศทางเวกเตอรหนงหนวย (Unit vector) สามารถก าหนดตามแนวแกนในระบบพกดฉาก เชน สามารถเขยนเวกเตอรหนงหนวยตามทศทางแนวแกน x, y และ z ในทศทางบวก โดยใชสญลกษณ i , j และ k ดงรปท 1.8

รปท 1.8 แสดงเวกเตอรหนงหนวยตามแนวแกนในระบบพกดฉาก

θ θ

A Ae

x

y

z

ijk

9

1.2.5 องคประกอบของเวกเตอร นอกจากการรวมของเวกเตอรโดยอาศยแผนภาพทางเลขาคณต เรายงสามารถรวมของเวกเตอรโดยการแยกองคประกอบของเวกเตอร (Component of vector) ตามแนวแกนในระบบพกดฉาก จากดงรปท 1.9 จะเหนวา เวกเตอร A เปนเวกเตอรลพธซงเกดจากผลบวกของเวกเตอรยอยในระบบพกดฉาก 2 มต xA และ yA หรออาจกลาวไดวา เวกเตอร A สามารถเขยนผลบวกของเวกเตอรยอยในระบบพกดฉากใดๆ (2 มต) จะไดวา

A (A ,A )x y x yA A A (1.6)

x yA A i A j (1.7)

โดยท xA และ yA เปนขนาดของ xA และ yA อาศยหลกตรโกณมตจะไดวา xA A cosθ และ A A sinθ

y สวน i และ j เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศตรงแกน x และ y ตามล าดบ สามารถ

เขยนสมการใหมไดเปน

A A cosθ i A sinθj (1.8)

และสามารถหาขนาดเวกเตอร A โดยอาศยหลกพทากอลส จะได

2 2 2x(A) (A i) (A j)

y

2 2xA (A ) (A )y (1.9)

และทศทางของเวกเตอร A ทท ามมกบแนวแกน x

1

x

Aθ tan

Ay

(1.10)

รปท 1.9 แสดงเวกเตอรบนระนาบ xy

A

y

xθ

xA

A y

x y(A , A )

10

ในท านองเดยวกนสามารถเขยนองคประกอบของเวกเตอรในระบบโคออรดเนตตงฉาก 3 มต ไดดงรปท 1.10

x y zA = (A ,A ,A ) x yA A A Az (1.11)

x yA A i A j A k z (1.12)

โดยท xA Acos

A A cosβy และ A A cosθz และสามารถหาขนาด โดยอาศยหลกพทากอลส จะได

2 2 2 2x(A) (A i) (A j) (A k)

y z

2 2 2xA (A ) (A ) (A )y z (1.13)

และทศทางของเวกเตอร A ทท ามมกบแนวแกน x, y, z

A

cosA

y

Acosβ

A y

(1.14)

และ

AcosθA

z

รปท 1.10 แสดงเวกเตอรบนระนาบ xyz

i

jθ

x y z(A ,A ,A )

x

y

z

k

A β

11

ตวอยางท 1.2 นกศกษาคนหนงเดนขนตกเพอเขาหองเรยน โดยเรมเดนจากชนลางสดของตกไปทางทศตะวนออก 7 m จากนนเดนขนบนไดมทศท ามม 30º กบทศใตเปนระยะทาง 3 m สดทายเดนไปทศตะวนตกเปนระยะทาง 2 m จงถงหองเรยน จงหาขนาดและทศทางของการกระจด ดงรปท 1.11

รปท 1.11 แสดงทศทางการเดนโดยใชเวกเตอร

วธท า แยกองคประกอบเวกเตอร A, B, C ตามแนว x, y, z จะไดวา

เวกเตอร A ตามแนว x, y, z

ˆ ˆ Â = 0i+7j+0k = 7j เวกเตอร B ตามแนว x, y, z

o oˆ ˆ ˆB = 3cos30 i + 0j + 3sin30 k = 2.6i + 1.5k เวกเตอร C ตามแนว x, y, z

ˆ ˆ ˆC = 0i 2j + 0k = 2j และสามารถเขยนองคประกอบเวกเตอร R ไดคอ

ˆ ˆR = A+B+C = 7j + (2.6i + 1.5k) 2j = 2.6i + 5j + 1.5k

ดงนนสามารถขนาดเวกเตอร R ไดเปน

2 2 2 2 2 2xR = (R ) + (R ) + (R ) = (2.6) + (5) + (1.5) = 5.83 my z

ทศทางของการกระจด

oR 2.6cos 0.448 63.36R 5.8

x

oR 5cosβ 0.862 β 30.45R 5.8

y

oR 1.5cosθ 0.258 θ 75.01R 5.8

z

E

N

z

x

y

R

A

BC

12

1.3 ผลคณสเกลารและผลคณเวกเตอร ผลคณสเกลาร (Scalar product หรอ Dot product) ของเวกเตอร A และ B เขยนดวยสญลกษณ A.B อานวา A ดอต B หมายความวา เวกเตอร A คณ B จะมคาเทากบขนาดของเวกเตอรทงสองคณกบโคไซนของมมระหวางเวกเตอรทงสอง ดงรปท 1.12 ผลคณทไดจะเปนปรมาณ สเกลาร คอ

A.B = ABcosθ เมอ o0 θ 180 (1.15)

สมบตของผลคณสเกลาร 1. A . B A . B (สมบตการสลบท) 2. A . (B C) A. B A. C (สมบตการกระจาย) 3. m(A.B) (mA).B (A).(mB) (A.B)m เมอ m เปนปรมาณสเกลาร 4. i . i j . j k . k 1 และ i . j i . k j . k 0

5. ถา x y zA A i A j A k และ x y zB B i B j B k

จะไดวา 2 2 2x y zA . A A A A

x x y y z zA . B A B A B A B

2 2 2x y zB . B B B B

6. ถา A . B 0 โดยท A และ B ไมเปนเวกเตอรศนย แลว A ตงฉากกบ B

รปท 1.12 แสดงผลคณเวกเตอรแบบสเกลาร

B

θAcosθ

B

θA

A

13

ผลคณเวกเตอร (vector product หรอ cross product) ของเวกเตอร A และ B เขยนแทนสญลกษณ A B อานวา “ A ครอส B ” หมายความวา เวกเตอร A คณ B จะมคาเทากบขนาดของเวกเตอรทงสองคณกบไซนของมมระหวางเวกเตอรทงสอง ผลคณทไดจะเปนปรมาณเวกเตอร คอ

A B ABsin เมอ o0 θ 180 (1.16)

สวนทศทาง จะตงฉากกบระนาบของเวกเตอร โดยมทศทางตามกฎมอขวา ดงรปท 1.13

รปท 1.13 แสดงผลคณเวกเตอรแบบเวกเตอร

สมบตของผลคณเวกเตอร 1. A B B A (ไมเปนไปตามสมบตของการสลบท) 2. A (B C) A B A C (สมบตการกระจายตว) 3. m(A B) (mA) B A (mB) (A B)m เมอ m เปนปรมาณสเกลาร 4. i i j j k k 0 และ i j k, i k k, j k i

5. ถา x y zA A i A j A k และ x y zB B i B j B k

x x y y z zA . B A B A B A B

y z z y z x x z x y y x) (A B (A B A B i A B A B ) j (A B A B ) k

หรอเขยนในรปของดเทอรแนนต (determinant)

y z x yz x

x y zy z z x x y

x y z

ˆ ˆ î j k A A A AA AA B A A A i j k

B B B B B BB B B

C A×B

θ

A B

θ

C B × A

A B

14

ตวอยางท 1.3 ถา A 5i 2j k และ B 3i j 7k

จงหา ก) A B ข) A B ค) A . B ง) A B จ) B A

วธท า ก) A B (5i 2j k)+( 3i j 7k)

(5 3)i + ( 2 1)j (1 7)k

2i j 6k

ข) A B (5i 2j k) ( 3i j 7k)

(5 3)i + ( 2 1)j (1 7)k

8i 3j 8k

ค) A . B (5i 2j k) . ( 3i j 7k)

(5 ( 3))+ (( 2) 1) (1 ( 7))

15 2 7

24

ง) ˆ ˆ î j k

A B 5 2 13 1 7

( 2)( 7) (1)(1) i (1)( 3) ( 7)(5) j (5)(1) ( 2)( 3) k

14 1 i 3 35 j 5 6 k

13i 32j 1k

จ) ˆ ˆ î j k

B A 3 1 75 2 1

(1)(1) ( 2)( 7) i ( 7)(5) (1)( 3) j ( 3)( 2) (5)(1) k

1 14 i 35 3 j 6 5 k

13i 32j k

(13i 32j k)

15

1.4 เวกเตอรบอกต าแหนง การกระจด ความเรว และความเรง ใน 1 มต

รปท 1.14 แสดงการเคลอนทตามแนวเสนตรงของวตถตามแนวแกน x และกราฟความสมพนธ

ระยะการกระจดและความเรวกบเวลา

เมอพจารณาวตถเคลอนทตามแนวเสนตรงตามแนวแกน x มจดเรมตนท O ดงแสดงในรปท 1.14 ทต าแหนง A เวลา tA วตถเคลอนทดวยความเรวตอนตน Av ไปยงต าแหนง D ทเวลา tD วตถเคลอนทดวยความเรวตอนปลาย Dv จากการเคลอนทของวตถจากต าแหนง A ไปยง D วตถนจะมระยะการกระจด (Displacement) เปนผลตางของเวกเตอร Ax และ Dx ดงรป D Ax x x มหนวยเปน เมตร (m) (1.17)

ดงนนสามารถนยามความเรวเฉลย (average velocity) ของวตถทเคลอนทในชวงเวลา At ไป Bt หรอ t ไดจากอตราสวนของการกระจดตอหนงหนวยเวลาไดเปน

D A

D Aav

x x xv t t t

มหนวยเปน เมตร/วนาท (m/s) (1.18)

Av

A

At

Bv Cv Dv

Ax

0

B

Bt

Dx

D Ax x x

C

Ct D

Dt

x

t

avv

t

x

v

t

ava

t

vv a

x

dtdx

dtdv

16

ถาวตถเคลอนทเปลยนต าแหนงเวลาในชวงเวลาทสนมากๆ จนความเรวไมเปลยนทศทาง ดงนน ความเรวเฉลยจงถอวาเปนความเรวทขณะใดขณะหนง (instantaneous velocity)

t 0

dxxv lim t dt

มหนวยเปน เมตร/วนาท (m/s) (1.19)

และสามารถนยามความเรงเฉลยของวตถทเคลอนทในชวง t ไดจากอตราสวนของความเรวทเปลยนไป v ตอ t ไดเปนความเรงเฉลย (average velocity)

D A

avD A

v v va t t t

มหนวยเปน เมตร/วนาท2 (m/s2) (1.20)

และความเรงทขณะใดขณะหนง (instantaneous acceleration)

t 0

dvva lim t dt

มหนวยเปน เมตร/วนาท2 (m/s2) (1.21)

รปท 1.15 แสดงกราฟความสมพนธระยะการกระจดและความเรวกบเวลา

ava

v

tt

v

a

dtdv

17

เมอพจารณาการเคลอนทของอนภาคไปตามแนว x (1 มต) ดวยความเรงคงท ถาทเวลาเรมตนเทากบศนย (t0 = 0) เมอใหการกระจดเรมตน 0(x ) , การกระจดสดทาย (x) ,ความเรวเรมตน 0(v ) การกระจดสดทาย (v) , และความเรง (a) สมการ (1.15) และ (1.17) สามารถเขยนไดเปน

B Aav

x xvt

หรอ 0 avx x v t (1.22)

0v v at

หรอ 0v v a t (1.23)

เมอวตถดวยความเรงคงท ความเรวเฉลย ณ ชวงเวลาใดๆ จะมคาเทากบคาเฉลยทางคณตศาสตรของความเรวเรมตนและความเรวปลาย จะไดวา

0av

v vv2

(1.24) แทนในสมการท 1.19 จะได

0

0v vx x t

2

(1.25)

แทนในสมการท 1.19 จะได

0 0 0

1x x (v at v )t2

20 0

1x x v t a t2

(1.26)

แทนในสมการท 1.19 จะได

0 00

(v v )(v v )x xa

2 2

00v v 2a (x x )

(1.27)

ในท านองเดยวกน การตกอยางอสระสามารถจดรปองคประกอบในแนวแกน x เปน y และเปลยนคาความเรงเปนคาจะมทศสวนทางกบการเคลอนทของวตถ โดยมทศทางเขาสศนยกลางของโลกสารารถเขยนสมการใหมไดเปน

0v v gt (1.28)

20

1y y v t g t2

(1.29)

2 20 0v v 2g (y y ) (1.30)

18


รปท 1.16 แสดงการเคลอนทของวตถบนระบาน x y

เมอวตถเคลอนทตามแนวเสนโคงทเปนฟงกชนของเวลา t ดงแสดงในรปท 1.16 วตถนเรมเคลอนทจากต าแหนง A ทเวลา tA โดยมเวกเตอรบอกต าแหนงเปน Ar ในเวลาตอมา วตถเคลอนทไปยงต าแหนง B ทเวลา tB โดยมเวกเตอรบอกต าแหนงเปน Br จากการเคลอนทของวตถจากต าแหนง A ไปยง B วตถนจะมระยะการกระจดเปนผลตางของเวกเตอร Ar และ Br ดงรปเปน

การกระจด (Displacement)

A BΔr r r (1.31)

เมอ A A Ar x i y j

B B Br x i y j

จะไดวา B B A Ar (x i y j) ( x i y j) B A B A(x x )i (y y ) j (1.32)

ความเรวเฉลย (Velocity)

B A

B A

r r rvt t t

(1.33)

Ar

BtA A A(x , y )

x

y

A

B

x

y AV

BV ABV

BV

AV

ArBr

A

B

x

y

ABr

At

19

ความเรวทขณะใดขณะหนง (Velocity)

t 0

r drv limt dt

x ydr dx dyv i j v i v jdt dt dt

(1.34)

ความเรงทขณะใดขณะหนง (Acceleration)

t 0

v dva limt dt

yxx y

dvdvdva i j a i a jdt dt dt

(1.35)

ตวอยางท 1.4 อนภาคเคลอนทได 2 ˆr (t) (4.9t 2t)i (3t 2) j เปนเวกเตอรบอกต าแหนง โดยท r มหนวยเปนเมตรและ t มหนวยเปนวนาท

จงหา ก) ความเรวและความเรงของอนภาคทเวลาใดๆ

ข) ความเรวของอนภาคท t = 2 วนาท

วธท า ก) จาก drvdt

2d ˆ(4.9t 2t)i (3t 2) jdt

2d d ˆ(4.9t 2t)i (3t 2) j

dt dt

(9.8t 2)i 3j

และจาก dvadt

d (9.8t 2)i 3jdt

d d(9.8t 2)i (3) jdt dt

9.8i

ข) v(t) (9.8t 2)i 3j

v(2) (9.8(2) 2)i 3j

21.6i 3j

20


รปท 1.17 แสดงการเคลอนทของวตถบนระบาน xyz

เชนเดยวกนกบการเคลอนทของอนภาคบนระนาบ xy สามารถเขยนไดเปน

A BΔr r r (1.36)

เมอ A A A Ar x i y j z k

B B B Br x i y j z k

B A B B B A A Ar r (x i y j z k ) (x i y j z k )

B A B A B A(x x )i (y y )j (z z )k (1.37)

ความเรวทขณะใดขณะหนง (Velocity)

t 0

r drv limt dt

x y zdr dx dy dzv i j k v i v j v kdt dt dt dt

(1.38)

ความเรงทขณะใดขณะหนง (Acceleration)

t 0

v dva limt dt

yx zx y z

dvdv dvdva i j k a i a j a kdt dt dt dt

(1.39)

Ar

A

x

z

y

A A A(x , y , z )

x

z

y

A B

ArBr

21

ตวอยางท 1.4 อนภาคหนงเคลอนทได 22 2r (t) ti t j (4.9t 3t)k2 2

เปนเวกเตอรบอก

ต าแหนง เมอ r (t) มหนวยเปนเมตร t มหนวยเปนวนาท จงหา ก) ความเรวและความเรงของอนภาคทเวลาใดๆ

ข) ความเรวของอนภาคท t = 1 วนาท

วธท า ก) จาก drvdt

2d 2 d 2 dt i t j 4.9t 3t kdt 2 dt 2 dt

2 2i j 9.8t 3 k2 2

และ dvadt

d 2 d 2 di j 9.8t 3 kdt 2 dt 2 dt

9.8 k

ข) 2 2v(t) i j 9.8t 3 k2 2

2 2v(2) i j 9.8(2) 3 k2 2

2 2i j 19.6 3 k2 2

22

1.7 หนวยเอสไอ และการแปลงหนวย

หนวยทเปนทยอมรบของนานาชาต เรยกวา หนวยระหวางชาต (International system of

units) หรอเรยกยอวา หนวยเอสไอ ( SI units) ประกอบดวยหนวยรากฐาน (base units) หนวยอนพนธ (derived units) หนวยเสรม (supplementary units) โดยหนวยรากฐาน คอ หนวยขนตนทจ าเปนตอการอธบายปรากฏการณทางฟสกส ม 7 หนวย และหนวยอนพนธ คอ หนวยทเกดขนจากการน าหนวยรากฐานมาประกอบเขาดวยกน เชน อตราเรว มหนวยเปน m/s เปนตน หนวยเสรม คอ หนวยทนอกเหนอจากหนวยทงสองขางตน เชน การวดมมเปนองศาหรอเรเดยน

ตารางท 1.1 หนวยรากฐานในระบบเอสไอ ปรมาณ หนวย สญลกษณ

ความยาว (length)

มวล (Mass)

เวลา (Time)

กระแสไฟฟา (Electric current)

อณหภมอณหพลวต (Thermodynamic temperature)

ความเขมของการสองสวาง (luminous intensity)

ปรมาณของสาร (Amount of substance)

เมตร กโลกรม

วนาท แอมแปร เคลวน

แคนเดลลา

โมล

m

kg

s

A

K

cd

mol

23

ค าอปสรรค คอ เกดจากหนวยรากฐานและหนวยอนพนธขางตน มปรมาณมากหรอนอยเกนไป ท าใหไมสะดวกตอการอานและเขยน จงน าค าอปสรรคมาใชแทนตวพหคณ ดงน

ตารางท 1.2 ค าอปสรรคมาใชแทนตวพหคณ

ชอ สญลกษณ คาพหคณ

เอกชะ (exa)

เพตะ (peta)

เทระ (tera)

จกะ (giga)

เมกะ (mega)

กโล (kilo)

เฮกโต (hecto)

เดคา (deca)

เดซ (deci)

เซนต (centi)

มลล(milli)

ไมโคร(micro)

นาโน (nano)

พโค (pico)

เฟมโต (femto)

อตโต (atto)

E

P

T

G

M

K

h

da

d

c

m µ

n

p

f

a

1018

1015

1012

109

106

103

102

101

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

24

การแปลงหนวย

สามารถท าไดโดยการค านวณแบบพชคณตธรรมดา แตตองคณดวยตวพหคณ ซงมก าลงทมเครองหมาย บวกและลบ ตรงกนขามดวย

ตวอยางท 1.5 แผนสเหลยมพนผากวาง 75.0 ฟต (ft) และยาว 75.0 ฟต (ft) จงหาพนทของสเหลยมพนผาในหนวย ตารางเมตร (m2)

วธท า จาก 1 m 3.281 ft

จะไดวา

พนทของสเหลยมพนผา กวาง x ยาว

75.0 125 ft

22 1 m75.0 125 ft

3.281 ft

22,857 m

ตวอยางท 1.6 วตถกลองใบหนงมมวล 23.94 กรม (g) และแตดานยาว 0.7 เซนตเมตร (cm) จงหาความหนาแนนของวตถในหนวย กโลกรมตอลกบาศกเมตร (kg/m3)

วธท า จาก mV

จะไดวา

23.94g(0.7cm 0.7cm 0.7cm)

3

23.94 g2.1 cm

3

2 3 323.94 10 kg2.1 (10 ) m

311,400 kg / m

ตวอยางท 1.7 รถยนตคนหนงวงดวยอตราความเรว 80 กโลเมตรตอชวโมง (kg/h) จงหาวารถยนตคนนวงดวยอตราความเรว ในหนวย เมตรตอวนาท (m/s)

วธท า จาก 1 h 60min, 1 min 60 s

จะไดวา

kmv 80 h

3 m 1h 1min80 10h 60min 60s

67 m / s

25

1.8 เลขนยส าคญและความไมแนนอนของผลลพธ

การวดปรมาณตางๆ ในการทดลองทางวทยาศาสตร โดยเฉพาะสาขาวชาฟสกส ตองอาศยตวเลขทออกมาจากการวด ซงจะละเอยดมากหรอนอยขนอยกบเครองมอทใชวด และเลขทไดจากการอานคาในการวด เรยกวา เลขนยส าคญ ประกอบดวย เลขทแนนอน (เลขทอยบนสากล) และเลขทไมแนนอน (เลขทไดจากการคาดเดา 1 ตว)

หลกในการนบเลขนยส าคญ

1. เลขทไมใช 0 เปนเลขนยส าคญ เชน 1.32, 26.5, 191, 18 มเลขนยส าคญ 3, 3, 3, และ 2 ตว ตามล าดบ

2. เลข 0 ทอยระหวางจ านวน เปนเลขนยส าคญ เชน 5.001, 105, 1202 มเลขนยส าคญ 4, 3

และ 4 ตว ตามล าดบ

3. เลข 0 ทอยหลงทศนยม เปนเลขนยส าคญ เชน 2.000, 11.30, 1.081 มเลขนยส าคญ 4, 4,

4 ตว ตามล าดบ

4. เลข 0 ทอยหนาจ านวนทงหมด ไมเปนเลขนยส าคญ เชน 0.0070, 0321 มเลขนยส าคญ 2,

3 ตว ตามล าดบ

5. เลข 0 ทอยหลงจ านวนไมมทศนยม ไมเปนเลขนยส าคญ เชน 1100 มเลขนยส าคญ 2 ตว

6. จ านวนในรป Cx10N นบ C เปนเลขนยส าคญเทานน เชน 1.30 x 10 5 มเลขนยส าคญ 3 ตว คอ 1, 5 และ 0

การบวกและลบเลขนยส าคญ

ผลลพธทไดจากการบวกและลบตามปกต จะตองเทากบจ านวนทศนยมทนอยทสด

เชน 4.36 + 2.1 – 0.002 จะมผลลพธเทากบ 6.458

ดงนน ตองตอบเทากบทศนยม 1 ต าแหนง (นอยทสด) คอ เทากบ 6.5

การคณและการหาร ผลลพธทไดจากการคณและหารตามปกต จะตองเทากบจ านวนเลขนยส าคญทนอยทสด

เชน 3.24 x 3.0 จะมผลลพธเทากบ 9.72

ดงนน ตองตอบเทากบจ านวนเลขนยส าคญ 2 ตว (นอยทสด) คอ เทากบ 9.7

26

ความไมแนนอนของผลลพธ

ในการบนทกคาทไดจากการวด จะมตวเลขทไดจากการคาดเดาอยดวย จงตองเขยนคาความคลาดเคลอนลงไปดวย เชน 15.5 0.3 เปนตน

การบวกและลบคาทไมแนนอน

ผลลพธทไดจากการบวกและลบตามปกต จะตองมคาเทากบจ านวนทศนยมทนอยทสด ตามหลกการบวกและลบเลขนยส าคญ

เชน (20.00 0.10) (5.0 0.50) 25.00 0.60 25 0.60

การคณและหารคาทไมแนนอน

ผลลพธทไดจากการคณและการหาร จะตองคดความไมแนนอนเปนเปอรเซนต

เชน 2.5 0.1

4.2 0.1

คอ คดความไมแนนอนของ 0.1 เปนเปอรเซนต เทยบกบ 2.5

จะได 0.1 100

4%2.5

และ

0.1 1002%

4.2

จะได 2.5

(4 2)% 0.60 6%4.2

จากนน แปลง 6% ของ 0.6 ใหเปนจ านวนเตม

จะได 6x

0.60 0.04100

ดงนน 2.5 0.1

4.2 0.1

= 0.60 0.04

27

บทสรป

ปรมาณสเกลาร คอ ปรมาณทบอกถงเพยงขนาด (Magnitude) อยางเดยว ปรมาณเวกเตอร คอ ปรมาณทตองบอกทงขนาดและทศทาง (Direction)

การรวมกนของเวกเตอร A และ B สามารถค านวณหาขนาดของเวกเตอรลพธ ไดจาก 2 2R = A B 2ABcosθ

การค านวณหามมของเวกเตอรลพธ R ทกระท ากบเวกเตอร A และ B โดยการใชกฎโคไซน (Cosine law)

R A B = = sin sin sin

เวกเตอรหนงหนวย คอ เวกเตอรทมขนาดหนงหนวยและมทศทางเดยวกนกบเวกเตอรนน

AAeA

เวกเตอรยอย เวกเตอร A เปนเวกเตอรลพธซงเกดจากผลบวกของเวกเตอรยอยในระบบพกดฉาก 2

มต xA และ yA จะไดวา

x yA A A และ x yA A i A j

ผลคณสเกลาร ของเวกเตอร A และ B

A.B = ABcosθ ระยะการกระจด

D Ax x x ความเรวเฉลย

D A

D Aav

x x xv t t t

ความเรวทขณะใดขณะหนง

t 0

dxxv lim t dt

ความเรงเฉลยของวตถ

D Aav

D A

v v va t t t

ความเรงทขณะใดขณะหนง

t 0

dvva lim t dt

28

แบบฝกหดทบทวน

1. ชายคนหนงขบรถทองเทยวจากบานพกไปทางทศตะวนออกเฉยงเหนอท ามม 30 ดวยระยะทาง 175 km ไปยงเมอง A แลวขบรถตอไปทางทศตะวนตกเฉยงเหนอท ามม 20 ดวยระยะทาง 150

km ไปยงเมอง B จากนนขบตอไปทางทศตะวนตกดวยระยะทาง 190 km ไปยงเมอง c

จงหาขนาดและทศทางของการกระจดน 2. ให A 3i 4 j 5k และ B i 2 j 6k จงหา

2.1 ขนาด A และ B

2.2 A • B

2.3 A B

2.4 มมระหวาง A และ B

3. อนภาคเคลอนทบนระนาบ xy ดวยความเรงคงท โดยมความเรวทจดก าเนดเปน iv 3i 2 j m/s

หลงจากเวลาผานไป 3 วนาท อนภาคนเคลอนทไปดวยความเรว v 9i 7 j m/s จงหาความเรงของอนภาคน

4. ในหนงปม 365 วน จะมกวนาท

5. วตถหนงมความหนาแนน 0.004 kg/m3วตถนจะมความหนาแนนก g/cm3

6. วตถหนงมมวลเทากบ 181.86 g และมปรมาตรเทากบ 21.69 cm3 จงค านวณหา ความหนาแนนของวตถน

7. ให A 6i 8 j หนวย, B 8i 3j หนวย และ C 26i 19j หนวย จงหาคา a และ b ทอยในรปสมการ aA bB C 0

8. ชายคนหนงวายน าดวยความเรวเปนฟงกชนของเวลา 2 5v (4.00t 5.00t) i t j m/s จงหาความเรงของชายคนนทเวลา 4 วนาท

29




2.1 มวลและแรง 2.2 แรงกรยา แรงปฏกรยา และแรงตรงเชอก 2.3 นาหนก

2.4 แรงเสยดทาน 2.5 กฎการเคลอนทขอท 1 ของนวตน


2.7 กฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตน 2.8 กฎความโนมถวงของนวตน



1. คานวณหาแรงลพธจากหลายๆแรงยอยไดอยางถกตอง 2. ยกตวอยางเหตการณหรอสถานการณทเปนไปตามกฎการเคลอนทขอท 1, 2 และ 3 ของนวตนได 3. ใชความรเรองกฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตนในการหาความเรงได 4. คานวณหาแรงโนมถวงตามสถานการณตางๆไดอยางถกตอง 5. จาแนกชนดของแรงเสยดทานและคานวณหาแรงเสยดทานตามสถานการณตางๆไดอยางถกตอง



3. รวมอภปรายเนอหา และทาแบบฝกหดในชนเรยน

4. ผสอนสรปเนอหา 5. ผสอนทาการซกถาม


30








2. ประเมนจากความรวมมอหนาชนเรยน 3. ประเมนจากการทาแบบฝกหดทบทวนทายบทเรยน

31

บทท 2

แรงและกฎการเคลอนท

2.1 มวลและแรง มวล (Mass) เปนปรมาณทบงบอกถงคาความเฉอยหรอคาความตานทานตอการเคลอนท ซงเปนปรมาณสเกลาร มคาคงทเสมอไมวาจะอยทตาแหนงใดๆ มสญลกษณเปน m มหนวยเปนกโลกรม

(kg) เชน วตถทมมวล 10 kg จะตานการเคลอนทไดมากวตถมวล 5 kg กอนหนงอยบนโลกมมวล 12 kg เมอนาไปไวทดวงจนทรมวลของกอนนยงคงมมวลเทากบ 12 kg เชนเดม เปนตน แรง (Force) เปนปรมาณชนดหนงทสามารถเปลยนสภาพการเคลอนทหรอรปรางของวตถ ซงเปนปรมาณเวกเตอร เชน แรงผลกประต กดหรอยดสปรง ลากรถ ขวางกอนหน หรอเตะลกบอล เปนตน ซงเปนแรงทพบเหนไดในกจวตรประจาวน แตโดยทวไปแลวในธรรมชาตจะมแรงมลฐาน ประเภท 4

ไดแก แรงโนมถวงระหวางวตถ (Gravitational force) แรงแมเหลกไฟฟา (Electromagnetic force) ประจไฟฟา แรงนวเคลยรอยางเขม (Strong nuclear) แรงนวเคลยรอยางออน (Weak nuclear) นอกจากนถาพจารณาชนดของแรงจากการสมผสหรอไมสมผสกนของวตถสองชน คอ แรงสมผส คอแรงทเกดจากการสมผสทางกายภาพระหวางวตถสองชน (แรงทเทากระทากบลกบอล แรงผลกประต) และสนามของแรง คอ แรงทไมไดเกดจากการสมผสระหวางวตถสองชนโดยตรง แรงจะสงผานทวางวตถสองวตถจะดงดดกนดวยแรงโนมถวง เชน แรงโนมถวงระหวางโลกและดวงจนทร แรงดงดดหรอผลกระหวางประจไฟฟา เปนตน เมอพจารณาแรงในระบบจะพบวาประกอบไปดวยแรงตางๆ เชน แรงกรยา (Action force, F ) แรงปฏกรยา (Reaction force, F ) แรงดงดดของโลกทกระทาตอวตถหรอแรงเนองจากนาหนกของวตถ (weight, w ) แรงเสยดทาน (Frictional force, f ) และแรงตรงเชอก (Tension, T) เปนตน

2.2 แรงกรยา แรงปฏกรยา และ แรงตรงเชอก

แรงกรยา (Action force, F ) คอแรงทกระทาตอวตถทกาลงพจารณา ในขณะทแรงปฏกรยา (Reaction force, F ) คอ แรงทวตถกระทาตอตานแรงทมากระทา มขนาดคาเทากนกบแรงทมากระทาแตมทศทางตรงขาม และแรงปฏกรยาในทศทางตงฉากกบผวสมผสเรยกวา (Normal force, N ) แรงตรงเชอก (Tension, T ) คอ แรงทสงผานไปตามเสนเชอกทตรง ขนาดของแรงมคาเทากนตลอดทกจดเสนเชอก มทศพงออกจากวตถทกาลงพจารณา ในการคานวณแรงตรงเชอกจะไมคดผลของมวลของเสนเชอกหรอมวลเบามาก

32

การพจารณาแรงลพธทมากระทาตอวตถเหลานนไดโดยการใชการเขยนแผนภาพวตถอสระ

(Free body diagram) ซงสามารถเขยนแผนภาพของแรงตางๆทกระทาบนวตถหรอเรยกแรงเหลานนวา แรงยอย ไดโดย (1) เขยนขอบเขตของวตถทพจารณา (2) หาแรงรอบตววตถทพจารณา (3) หนงผวสมผสกบวตถอนๆจะประกอบไปดวยสองแรง คอ แรงทตงฉากกบผวสมผสมทศเขาพงเขาหาวตถทพจารณา และแรงตานการเคลอนของวตถทพจารณา (4) เขยนแรงเนองจากนาหนกของวตถมทศพงเขาสโลกเสมอ เมอรวมแรงยอยเหลานนเขาดวยกนจะไดแรงสทธ เรยกวา แรงลพธ การรวมกนของแรงยอยตางๆใชหลกการเดยวกนกบการรวมแบบเวกเตอร จากรปท 2.1(a และ b) วตถกอนหนงวางอยนงบนพน สามารถเขยนแผนภาพของแรงตางๆได สองแรงเนองจากนาหนกของวตถและแรงทพนกระทาตอวตถ (normal force)

รปท 2.1 แสดงตวอยางของแรงแบบตางๆทกระทาบนวตถ

A

B

AFBF

mg

N

mg

N T

μf

θ

(a)

(b)

33

2.3 น าหนก

วตถทกชนดจะถกดงดดโดยโลก เรยกแรงทโลกกระทากบวตถวา แรงโนมถวง ( gF ) มทศพงเขาหาจดศนยกลางของโลก และเรยกขนาดของแรงโนมถวงนนวา นาหนก (Weight) ของวตถ จากเรอง

การตกอยางอสระพบวาวตถจะขนกบหรอความเรง g ดงนนขนาดของแรงโนมถวงหรอนาหนกของวตถจะเทากบ

w mg (2.1)

เมอ w คอ นาหนก (N)

m คอ มวล (kg) g คอ ความเรงเนองจากแรงโนมถวง (m/s2)

แตเนองจากคา g จะเปลยนตามตาแหนงทางภมศาสตร ดงนนนาหนกของวตถจงไมคงทจะขนโดยตรงกบคา g ทวดได ณ ตาแหนงนนๆซงจะมคานอยลงเมอวตถอยหางจากจดศนยกลางโลกมากขน เชน วตถมวล 5 kg เมอวางไวทตาแหนงผวโลกจะมนาหนกเทากบ 49.15 N เนองจากคา g ทวดไดมคาประมาณ 9.83 m/s2 ในขณะทเมอนาวตถน ไปวางไวบนตกสงมากๆจากผวโลก นาหนกทชงไดเทากบ 48.85 N เนองจากคา g ทวดไดมคานอยลงประมาณ 9.77 m/s2 ดงรปท 2.2 เปนตน

รปท 2.2 แสดงตาแหนงการวางและทศของแรงดงดดของโลกกระทาตอวตถ

w mg

โลก

ตก

34

2.4 แรงเสยดทาน แรงเสยดทาน (Friction force) คอ แรงทตานการเคลอนทของวตถ เกดขนระหวางผวสมผสของวตถ โดยมทศทางตรงกนขามกบการเคลอนท ดงรปท 2.3 แรงเสยดทานจะเกดขนเมอผวสมผสของวตถแตละคนนมความหยาบหรอขรขระและจะไมเกดแรงเสยดทานเมอผวสมผสของวตถแตละคนนเรยบหรอลน เชน รถยนตทวงบนถนน ลอของรถจะเกาะยดตดกบผวถนนไดอยางดเนองจากลอรถมดอกยางซงมความขรขระเชนเดยวกนกบพนถนนทาใหไมเกดการลนไถของรถยนต ในขณะเดยวถาลอของรถไมมดอกยางหรอมนาบนพนถนน ลอของรถจะไมสามารถเกาะยดตดกบถนนทาใหเกดการลนไถของรถยนตซงอาจทาใหเกดอบตเหตขนได ในทางตรงกนขาม แรงเสยดทานทาใหสนเปลองพลงงานตองใชแรงทมากขนเนองจากวตถเคลอนทชา โดยแรงเสยดทานสามารถแบงออกได 2 ชนด คอ

1. แรงเสยดทานสถต (static friction) แทนดวย คอ แรงเสยดทานทเกดในสภาวะ วตถอยนง แรงเสยดทานสถตจะมคาไมคงท จะมคาเพมขนหรอลดลงตามแรงทกระทาตอวตถ ตามความสมพนธ ดงน

s sf N (2.2)

เมอ sf คอ แรงเสยดทานสถต (N)

s คอ สมประสทธของแรงเสยดทานสถต N

N คอ แรงปฏกรยาทพนกระทากบวตถ (N)

2. แรงเสยดทานจลน (kinetic friction) แทนดวย คอ แรงเสยดทานทเกดในสภาวะวตถกาลงเคลอนทตามความสมพนธ ดงน

k kf N (2.3)

เมอ kf คอ แรงเสยดทานสถต (N)

kμ คอ สมประสทธของแรงเสยดทานสถต N

N คอ แรงปฏกรยาทพนกระทากบวตถ (N)

ถาออกแรงดงวตถบนพนในแนวระดบ เรมตนวตถจะยงคงอยกบท เพราะพนมแรงเสยดทานมากกวาแรงทดง แตถาออกแรงเพมขน แรงเสยดทานจะเพมขนเทากบแรงทผลก จนกระทงเพมแรงขนไปถงคาหนงวตถจะเรมเคลอนททาใหแรงเสยดทานลดลง กลายเปนแรงเสยดทานจลนและจะคงทตลอดการเคลอนท ดงรปท 2.3

35

รปท 2.3 แสดงการออกแรงดงวตถและกราฟความสมพนธแรงเสยดทานระหวางวตถและพน


กฎการเคลอนทขอท 1 ของนวตน (Newton’s first law of motion) หรอกฎของความเฉอย (law of inertia) กลาววา “วตถจะรกษาสภาวะอยนงหรอสภาวะเคลอนทอยางสมาเสมอในแนวเสนตรง นอกจากมแรงลพธ ซงมคาไมเปนศนยมากระทา” หมายความวา ถาวตถอยนงกยงคงอยนงเหมอนเดม และถาวตถเกดการเคลอนทเปนเสนตรงดวยความเรวคงท หรอความเรงเปนศนย ถาไมมแรงลพธภายนอกมากระทาตอวตถ ดงรปท 2.4 สามารถนยามสมการไดเปน

F 0 (2.4) เมอ F คอ แรงลพธทงหมดทกระทากบวตถ

รปท 2.4 แสดงการเคลอนทตามกฎขอท 1 ของนวตน

v 0v = constant

f

F

s(max)f

sf kf

v 0 v 0

sf kf F

36

2.6 กฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน สาหรบกฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน (Newton’s second law of motion) หรอกฎของแรง (Low of force) กลาววา “เมอมแรงลพธมคาไมเทาศนยมากระทาตอวตถ จะทาใหวตถเกดความเรงในทศเดยวกบแรงลพธทมากระทา” โดยทขนาดของความเรงจะแปรผนตรงกบขนาดของแรงลพธ ตามความสมพนธ

a F

ซงหมายความวา เมอผลกวตถใหแรงขน ความเรงของวตถกจะมากขนตามไปดวย และขนาดของความเรงจะแปรผกผนกบมวลของวตถ ตามความสมพนธ

1a m

ซงหมายความวา เมอออกแรงเทาๆ กน ผลกวตถสองชนดซงมมวลไมเทากน วตถทมมวลมากจะเคลอนทดวยความเรงนอยกวาวตถทมมวลนอย จากกฎขอน สามารถนยามสมการไดเปน

F ma (2.5) เมอ F คอ แรงลพธทงหมดทกระทากบวตถ มหนวยเปน N

m คอ มวลของวตถ มหนวยเปน kg a คอ ความเรงของวตถ มหนวยเปน m/s 2

ทาใหสามารถพจารณาแรงลพธนในรปของเวกเตอรลพธ ยอยตามแกน x, y และ z ไดเปน x xF ma

y yF ma และ z zF ma

รปท 2.5 แสดงการเคลอนทตามกฎขอท 2 ของนวตน

F

initial v

F

final va a

final v

37

2.7 กฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตน สาหรบกฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตน (Newton’s third law of motion) หรอกฎของกรยาและปฏกรยา (Law of action and reaction) กลาววา “ทกแรงกรยา (Action force) ตองมแรงปฏกรยา (Reaction force) ทมขนาดเทากนและทศตรงกนขามเสมอ” สามารถนยามสมการไดเปน

action reactionF F (2.6)

เราจะพบวา เมอใดทมแรงกรยา จะมแรงปฏกรยาเกดขนเสมอ ซงเปนแรงทกระทาตอมวลทตางกนและเกดขนพรอมกนเปนคเสมอ แสดงดงรปท 2.6 จะเหนวาแรงทกระทาตอวตถทวางบนพนจะม 2 ค โดยคท 1 เปนแรงทเกดจากพนกระทาตอวตถและเปนแรงทเกดจากวตถกระทาตอพน และคท 2 เปนแรงทเกดจากโลกกระทาตอวตถ (นาหนก) และวตถ 3 กอนแรงทเกดจากวตถกระทาตอโลก (ดงดด) และคท 2 เปนแรงทวตถกระทาระหวางวตถ

รปท 2.6 แสดงแรงปฏกรยาเกดขนระหวางวตถ

A

B C

A

BAF

BF

gF

N

38

ตวอยางท 2.1 ลกบอลลกหนงมวล 0.4 kg กลงมาตามพนราบถกแตะสกดโดยนกบอลสองคนในทศทางดงรปท 2.7 โดยหนกบอลคนแรกออกแรง 2 N ทามม 1

เทากบ 30o กบแนวแกน –x และหนกบอลคนแรกออกแรง 5 N ทามม 2 เทากบ 60o กบแนวแกน x จงหาขนาดและทศทางของความเรงของลกบอลลกนเมอไมคดแรงตานใดๆ

รปท 2.7 แสดงทศทาง 1F และ 2F ทกระทากบลกบอล

วธท า จากกฎขอท 2 ของนวตน F ma

โดยท x y x yF + F ma ma

และ x 1x 2xF F i+F i

y 1y 2yF F j+F j

แรงบนแกน x o1x 1 1F F cos 2 cos30 2 0.866 1.732 N

o

2x 2 2F F cos 2 cos60 4 0.5 2 N

แรงบนแกน y o1y 1 1F F sin 2 sin30 2 0.5 1.0 N

o2y 2 2F F sin 5 sin 60 5 0.866 4.33 N

แทนคาจะได

xF 1.732i+2i 0.268 N i

yF 1.0j+4.33j 3.33 N j

แทนคาจะได x xF ma

x0.268 N i (0.4 kg) a

x0.268 N i a

0.4 kg

2

x a 0.67 i m/s

2θx

y

1F

2F

1θ

39

แทนคาจะได y yF ma

y3.33 N j (0.4 kg) a

y3.33 N i a 0.4 kg

2y a 8.325 m/s j

จะได 2x y a a + a 0.67 i + 8.325 j m/s

ขนาดความเรง 2 2x ya (a ) + (a )

2 (0.67) + (8.325) m/s

2 8.35 m/s

และทศทางของควาเรง y

x

atan a

0.67 8.325

1 tan (0.08)

o 5

ตวอยางท 2.2 วตถสองกอน m1 และ m2 ซง m2 >m1 ผกตดปลายเชอกเบาคลองผานรอกเบาและลน ดงรปท 2.8 (ระบบ Atwood’s Machine) จงหาความเรงของมวลทงสองและแรงตรงเชอก

(a) (b)

รปท 2.8 (a) แสดงระบบ Atwood’s Machine

(b) แสดงแรงตางๆ ทกระทาตอ 1m และ 2

m

2m

1m

a a2m

2m g

T

1m

T

1m g

40

วธท า เนองจาก m2 >m1 ดงนนมวล m1 จะเคลอนทขน และมวล m2 เคลอนทลงดวยความเรงเทากน นนคอ ความเรงของมวลทงสองจะเทากบความเรงของระบบน จะได

จากกฎขอท 2 ของนวตน F ma

โดยท x y x yF + F ma ma

และ x yx yF F i , F F j

x yx ya a i , a a j

พจารณาแรงบน m1

แรงบนแกน x 1m xF 0 N

แรงบนแกน y 1m y 1F T m g N

แทนคาใน 1 1 yT m g j m a j

1 y 1Tj m a m g j

พจารณาแรงบน m2

แรงบนแกน x 2m xF 0 N

แรงบนแกน y 2m y 2F m g T N

แทนคาใน 2 2 ym g T j m a j

2 2 yTj m g m a j

นา (3) = (4)

1 y 1 2 2 ym a m g j m g m a j

2 1y

2 1

m ma g j

m m

m/s2

และเนองจากเชอกเสนเดยวกน จงมขนาดของแรงตรงเชอกเทากน สาหรบ m1 และ m2 แทนคา a

และ (3) ใน (1) จะได 1 y 1T m a m g

2 11 1

2 1

m mT m g m g

m m

1 2 1 1 2 1

2 1

m g m m m g m mT

m m

1 2

2 1

2m m gTm m

41

ตวอยางท 2.3 ชงกลองในลฟทดวยตาชงสปรงทแขวนหอยจากเพดานลฟท ดงรปท 2.9 ขณะทลฟทหยดนง สามารถชงนาหนกกลองได 40 N

จงหา (a) ถาลฟทเคลอนทขนดวยความเรง 2 m/s2 ตาชงสปรงจะอานนาหนกไดเทาใด (b) ถาลฟทเคลอนทลงดวยความเรง 2 m/s2

ตาชงสปรงจะอานนาหนกไดเทาใด

รปท 2.9 (a) แสดงการชงกลองขณะลฟทเคลอนทขน

(b) แสดงการชงกลองขณะลฟทเคลอนทลง

วธท า (a) เมอลฟตหยดนง จากกฎขอท 1 ของนวตนจะไดวา

F 0 T mg 0

T mg

40m9.8

m 4.08 kg เมอลฟตเคลอนทขน จากกฎขอท 2 ของนวตนจะไดวา

F ma T mg ma

T ma mg

50

96

a

50

96

a

42

T (4.08 2) (4.08 9.8)

T 48.1 N ตาชงสปรงจะอานนาหนกได 48.1 N

(b) เมอลฟตเคลอนทลง จากกฎขอท 2 ของนวตนจะไดวา

F ma mg T ma

T mg ma

T (4.08 9.8) (4.08 2)

T 31.8 N ตาชงสปรงจะอานนาหนกได 31.8 N

ตวอยางท 2.4 รถยนตมวล m เคลอนทอยบนพนถนนเปยกลนทเอยงทามม 15o ดงรปท 2.10

จงหา (a) ความเรงของรถยนตคนน โดยไมคดแรงเสยดทานใดๆ (b) ถาถนนยาว 25 m จะใชเวลานานเทาใด ถาเรมเคลอนทจากจดสงสดไปยงจดตาสด

(c) ความเรวของรถยนตคนน ณ จดตาสด

รปท 2.10 แสดงการเคลอนของรถยนตบนพนถนนเปยกลนทเอยงทามม 15o

y

N

θmg

mg cosθ

mg sinθθ

a

43

วธท า (a) เมอรถเคลอนทแนวแกน x จากกฎขอท 2 ของนวตนจะไดวา

F ma mgsin ma

a gsin

a 9.8 sin 20

2a 3.35 m/s

ความเรงของรถยนตคนนเทากบ 23.35 m/s

(b) เมอถนนยาว 25 m จะใชเวลานานเทาใด ถาเรมเคลอนทจากจดสงสดไปยงจดตาสด

21s ut at2

2125 0 (3.35)t2

2125 0 (3.35)t2

t 3.86 s ใชเวลาเคลอนทจากจดสงสดไปยงจดตาสดเทากบ 3.86 s

(c) ความเรวของรถยนตคนน ณ จดตาสด

v u at v 0 (3.35 3.86) 2v 12.93 m/s ความเรวของรถยนตคนน ณ จดตาสดเทากบ 212.93 m/s

44

ตวอยางท 2.5 ชายคนหนงพยายามดงกลองไวนงๆอยบนพนเอยงท ามม 30o กบแนวราบ โดยไมคด

ความเสยดทาน ดงรปท 2.11 ถากลองมน าหนก 70 N จงหาแรงดงเชอกทผกตดกบกลองและแรงทเกดจากพนกระท าตอกลองใบน

รปท 2.11 แสดงชายคนหนงดงกลองไวนงๆอยบนพนเอยงโดยไมคดแรงเสยดทาน

วธท า เนองจากกลองอยนงบนพนเอยง ดงนนความเรงเปนศนย แรงทางซายเทากบแรงทางขวา จะไดวา

F 0 T mgsin 0

T mgsin

T 70 sin30

T 70 0.5

T 35 N เนองจากกลองอยนงบนพนเอยง ดงนนความเรงเปนศนย แรงขนเทากบแรงลง จะไดวา

F 0 N mgcos 0

N mgcos

N 70cos30

N 70 0.866

N 60.62 N

mgmg cosθ

mg sinθθ

θ

TN

45

ตวอยางท 2.8 กลอง A มนาหนก 70 N อยบนกลอง B ทมนาหนก 60 N ถกดงใหเคลอนทดวยแรง ถาสมประสทธแรงเสยดทานจลนเทากบ 0.1 และสมประสทธแรงเสยดทานสถตเทากบ 0.7 จงหาแรงทมากทสดทตองใชดงลากเลอนใหเรมเคลอนทออกไปได ดงรปท 2.12

รปท 2.12 แสดงการออกแรงดงกลอง วธท า เนองจากเปนแรงทใชดงเพอใหเรมเคลอนท ดงนน สมประสทธแรงเสยดทาน สถตจงถกนามาพจารณา นนคอ S 0.7 และความเรงเปนศนย

F 0

SF f 0

SF N 0

SF N

F 0.7(70 60)

F 91 N

แรงทมากทสดทตองใชดงลากเลอนใหเรมเคลอนท 91 N

mg

N

Ff

A

B

46

ตวอยางท 2.9 กลองมวล 2.50 kg วางอยบนพนเอยง ถาสมประสทธแรงเสยดทานระหวางกลองไมและพนเอยงเทากบ 0.35 พนเอยงตองทามมเทาไร กลองไมจงจะเรมเคลอนทลง ดงรปท 2.13

รปท 2.13 แสดงการเคลอนทของกลองบนพนเอยง

วธท า เนองจากกลองอยนงบนพนเอยง ดงนนความเรงเปนศนย จากกฎขอท 1 ของนวตนจะไดวา

F 0 แรงทางซายเทากบแรงทางขวา f mgsin 0

S N mgsin

และแรงขนเทากบแรงลง

N mgcos 0

N mgcos นาสมการ (2) หารดวยสมการ (3) จะไดวา

S N mgsinmg cosN

S tan

1Stan

1tan 0.35

o19.29 ดงนนพนเอยงตองทามมมากกวา o19.29 กลองถงถงจะเคลอนทลง

θ

θ

mgmg cosθ

mg sinθ

Nsf

y

47

2.8 กฎความโนมถวงของนวตน กฎความโนมถวงของนวตน กลาวไววา อนภาคทกๆอนภาคในเอกภพสามารถดงดดกนและกนดวยแรงทแปรผนตรงกนผลคณของมวลและแปรผกผนกบกาลงสองของระยะหางระหวางอนภาคเหลานน ถาอนภาคมมวล m1 และ m2 อยหางกนเปนระยะทาง r จะไดขนาดของแรงโนมถวงเปน

1 2F m m

และ 21F r

จะไดเปน 1 2g 2

m mF = Gr

(2.7)

เมอ G เปนคาคงทเรยกวา คาคงตวโนมถวง (universal gravitational constant) ซงมคาเทากบ 11 2 26.674 10 N.m / kg ในหนวย SI แรงโนมถวงเปนคปฏกรยาสามารถเขยนในรปเวกเตอรไดเปน

21 12F = F

1 2

12 122m mF = G r

r (2.8)

1 2

21 212m mF = G r

r (2.9)

เมอ 12F คอ แรงทอนภาคมวล m1 ดงดดอนภาคมวล m2

21F คอ แรงทอนภาคมวล m2 ดงดดอนภาคมวล m1

12r คอ เวกเตอรหนงหนวยของแรง มทศทางชจาก m1 ไปยง m2

21r คอ เวกเตอรหนงหนวยของแรง มทศทางชจาก m2 ไปยง m1

รปท 2.14 แสดงแรงโนมถวงระหวางอนภาคสองกอนดงดดกน

r

12F1m 2m

21F

12r

48

ตวอยางท 2.9 ลกบลเลยด A B และ C แตละลกมมวล 0.30 kg วางอยบนพนโตะบลเลยด ดงรปท 2.15 เอยง จงหาขนาดและทศทางลพธของแรงดงดดโนมถวงทกระทาบนลก B

รปท 2.15 แสดงการแรงดงดดโนมถวงทกระทาบนลก B

วธท า จากกฎการแรงดงดดโนมถวงของนวตน จะไดวา พจารณาแรงทอนภาคมวล A ดงดดอนภาคมวล B

1 2BA 2

m mF = G jr

(1)

11 2 2

BA 2(6.674 10 N.m / kg 0.3kg 0.3kg)F = j

0.4 m

11BAF = 3.75 10 j N

พจารณาแรงทอนภาคมวล A ดงดดอนภาคมวล B

11 2 2

BC 2(6.674 10 N.m / kg 0.3kg 0.3kg)F = i

0.3 m

11BAF 6.67 10 i N

ขนาดของแรงลพธทดงดดอนภาคมวล B

2 2BA BCF F F

2 2F 3.75 6.67

11F 7.66 10 N ทศทางลพธของแรงดงดดโนมถวงทกระทาบนลก B

1 BA

BC

FtanF

ทาใหได

111 o

113.75 10 Ntan 29.46.67 10 N

c 0.5 m

b 0.3 m

a 0.4 m

A

B C

ji

BAF

BCF

F

49

บทสรป

มวล (m) เปนปรมาณทบงบอกถงคาความเฉอยหรอคาความตานทานตอการเคลอนท แรงกรยา ( F ) คอแรงทกระทาตอวตถทกาลงพจารณา แรงปฏกรยา ( F ) คอ แรงทวตถกระทาตอตานแรงทมากระทา มขนาดคาเทากนกบแรงทมากระทาแตมทศทางตรงขาม แรงปกต ( N ) คอ แรงปฏกรยาในทศทางตงฉากกบผวสมผส

แรงตรงเชอก ( T ) คอ แรงทสงผานไปตามเสนเชอกทตรง ขนาดของแรงมคาเทากนตลอดทกจดเสนเชอก มทศพงออกจากวตถทกาลงพจารณา น าหนก ( w ) คอ ขนาดของแรงทโลกกระทากบวตถ มทศพงเขาหาจดศนยกลางของโลก

w mg

แรงเสยดทาน ( f ) คอ แรงทตานการเคลอนทของวตถ 2 ม ชนด f N

แรงเสยดทานสถตย ( Sf ) แรงทตานการเคลอนทของวตถขณะอยนง แรงเสยดทานจลน ( kf ) คอ แรงทตานการเคลอนทของวตถขณะเคลอนท กฎการเคลอนทขอท 1 ของนวตน วตถจะรกษาสภาวะอยนงหรอสภาวะเคลอนทอยางสมาเสมอในแนวเสนตรง นอกจากมแรงลพธ ซงมคาไมเปนศนยมากระทา

F 0

กฎการเคลอนทขอท 2 ของนวตน เมอมแรงลพธมคาไมเทาศนยมากระทาตอวตถ จะทาใหวตถเกดความเรงในทศเดยวกบแรงลพธทมากระทา

F ma กฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตน ทกแรงกรยาตองมแรงปฏกรยาทมขนาดเทากนและทศตรงกนขามเสมอ

action reactionF F กฎความโนมถวงของนวตน อนภาคทกๆอนภาคในเอกภพสามารถดงดดกนและกน

1 2g 2

m mF = Gr

50


1. จงหาแรงลพธทเกดจากแรงยอยทง 3 แรง กระทากบวตถชนเดยวกน ดงรปท 2.16

รปท 2.16 แสดงแรงยอย 3 แรงกระทากบวตถชนเดยวกน

2. กลองมวล 100 kg ผกดวยเชอก 2 เสน ดงรปท 2.17 จงหาแรงตรงเชอกทง 2 เสน

รปท 2.17 แสดงมวลทผกดวยเชอก 2 เสน

1F 986 N

3θ

2F 788 N

3F 411 N

1θx

y

2θ

m 100 kg

o40 o40

51

3. แรง F1 F2 และ F3 กระทากบกลองมวล 7 kg ดงรปท 2.18 จงหาขนาดและทศทางความเรงของ กลอง

รปท 2.18 แสดงแรง F1 F2 และ F3 กระทากบกลองชนเดยวกน

4. มกลอง 3 ใบผกตดกนดวยเชอก ดงรปท 2.19 ถกดงใหเคลอนทดวยความเรง 0.12 m/s2 ไมคดแรงตานใดๆ และไมคดนาหนกของเชอก จงหาวาตองใชแรงตรงเชอกแตละเสน และแรงดงเทาไร

รปท 2.19 แสดงเรอลากสมภาระ

5. กลอง 2 กลอง ผกตดกนดวยเชอกและผกไวกบเพดานของลฟท ดงรปท 2.20 ถาลฟทเคลอนทขน ดวยความเรง 2 m/s2 จงหาแรงตรงเชอกแตละเสน

รปท 2.20 แสดงกลอง 2 กลองทผกดวยเชอกตดกบเพดานของลฟท

1F 200 N

o60

2F 120 N

3F 100 N

o30x

y

o30

B40 kg 20 kg 10 kg AC

B

A

10 kg

10 kg

52

6. วตถ m 1 = 5 kg ผกตดกบวตถ m 2 = 10 kg ดงรปท 2.21 จงหาความเรงของวตถแตละกอนและ

แรงตรงเชอกแตละเสน

รปท 2.21 แสดงกลอง 2 กลองทผกดวยเชอกตดกน

7. จงหาอตราสวนของแรงโนมถวงทกระทาตอยานอวกาศ เมออยบนผวโลกตอแรงโนมถวงทกระทาตอ

ยานอวกาศ เมออยทระดบเหนอผวโลกเปนระยะทางเทากบครงหนงของรศมของโลก

8. กลองมวล 25 kg วางอยนงๆ ถาออกแรงดงดวย = 54 N ในทศดงขนทามม 55o กบแกน X จน

กลองเรมเคลอนท ถาสมประสทธแรงเสยดทานระหวางกลองและพนมคาเทากบ 0.35 จงหาขนาด และทศทางความเรงของกลองในแนวแกน X

9. จงหาความเรงของวตถทงสองและแรงตรงเชอก ถาสมประสทธแรงเสยดทานจลนระหวางมวล7 kg กบพนเทากบ 0.25 ดงรปท 2.22

รปท 2.22 แสดงกลอง 2 กลองทผกดวยเชอกตดกนบนกลองสามเหลยม

1m

2m

12 kg

7 kg

o37

53



หวขอเนอหา 3.1 งานเนองจากแรงคงท 3.2 งานเนองจากแรงไมคงท 3.3 พลงงานจลน

3.4 พลงงานศกย

3.5 การอนรกษพลงงาน 3.6 ก าลง



1. ค านวณหางานและก าลงไดอยางถกตอง 2. ยกตวอยางเหตการณหรอสถานการณทเปนการท างานหรอใชก าลงได 3. จ าแนกชนดของพลงงานจลนและพลงงานศกยตามสถานการณตางๆไดอยางถกตอง 4. ค านวณหาพลงงานจลนและพลงงานศกยตามสถานการณตางๆไดอยางถกตอง 5. ใชความรเรองงานและพลงงานส าหรบการหาคาตางๆในกฎการอนรกษพลงงานได






54









55

บทท 3

งานและพลงงาน

3.1 งานเนองจากแรงคงท งาน (Work) ในทางฟสกส หมายถง แรงกระท าตอวตถในแนวเดยวกนกบการเคลอนทของวตถคณกบระยะการกระจดทวตถเคลอนทได ผลคณทไดจะเปนปรมาณสเกลาร แสดงดงรปท 3.1 ดงนนสามารถนยามสมการไดเปน

W = F.S (3.1)

เมอ W คอ งานทท า มหนวยเปน จล (J) หรอ นวตน.เมตร (N.m)

F คอ แรงทกระท ากบวตถ มหนวยเปน นวตน (N)

S คอ การกระจดทวตถเคลอนทไปตามแรงทกระท า มหนวยเปน เมตร (m)

และสามารถเขยนกราฟความสมพนธระหวางแรงกระท าตอวตถและการกระจด แสดงดงรปท 3.1

รปท 3.1 แสดงแรงทกระท าตอวตถในทศทางเดยวกนกบระยะการกระจดและกราฟแสดง ความสมพนธระหวางแรงและระยะการกระจด

FF

S

F

S

56

รปท 3.2 แสดงการพจารณาแรงทกระท าตอวตถ

ถามแรงทมากระท ากบวตถไมไดอยในแนวเดยวกนกบวตถการเคลอนทของวตถ จากรปท 3.2

สามารถค านวณหางานได โดยวธการแยกเวกเตอรของแรงออกเปนเวกเตอรยอยตามแนวแกน x และ y แสดงดงรปท 3.2 เมอท าการแยกองคประกอบของเวกเตอรตามแนวแกน x และ y แลวจะเหนวาแรงอยในแนวเดยวกนกบการเคลอนทของวตถ คอ 1xF 2xF และ f และเมอพจารณาทศทางของแรงทกระท ากบวตถ โดยพจารณาจากมมโคไชน (cosθ ) ของเวกเตอรทกระท ากบแกน +x พบวาเวกเตอร

1xF ท ามม 0o กบแกน +x ท าให cos0o มคาเทากบ +1 ดงนนงานทท าไดจะมคาเปนบวก สวนเวกเตอร 2xF และ f มทศท ามม 180o กบแกน +x ท าให cos180o มคาเทากบ –1 ดงนนงานทท าไดจะมคาเปน

ลบ ในขณะท แรงทไมไดอยในแนวเดยวกนกบการเคลอนทของวตถ คอ 1yF 2yF N และ W และเมอพจารณาทศทางของแรงกระท ากบวตถกบแกน +x พบวาเวกเตอร 1yF 2yF และ N ท ามม 90o กบแกน +x ท าให cos90o มคาเทากบ 0 ดงนนงานทท าไดจะมคาเปนศนย สวนเวกเตอร W มทศท ามม270o กบแกน +x ท าให cos270o หรอ cos(360 o -90 o) = cos90o มคาเทากบ 0 ดงนนงานทท าไดจะมคาเปนศนย เชนเดยวกน จะเหนวาแรงทท าใหเกดงานมเพยง 3 แรงคอ 1xF 2xF และ f เพราะอยในแนวเดยวกนกบการการเคลอนทของวตถ สวนแรงอนๆไมท าใหเกดงาน ดงนนสมการท (3.1) สามารถเขยนสมการในรปแบบใหม ไดเปน W = (Fcosθ)S (3.2)

เมอ θ คอ มมระหวางทศทางของแรงทกระท ากบแนวการเคลอนทของวตถ

1x 1F = Fcosθ

f

2x 2F = F cosα

1FN

SW = mg

2F

f

βα

1x 1F = Fcosβ

1x 1F = Fsinβ2y 2F = F sinα

N

2x 2F = F cosα

f

W mg

θ

57

ตวอยางท 3.1 กลองใบหนงถกลากขนบนพนเอยงขรขระดวยแรงขนาด 1.2 x 103 N เปนระยะการกระจด 5 m อยากทราบวางานทเกดขนจากการลากกลองมคาเทากบเทาไร เมอพนกลองมมวล 50 kg

และสมประสทธของแรงเสยดทานระหวางกลองและพนมคาเทากบ 0.2

รปท 3.3 การพจารณาแรงทกระท าตอวตถ

วธท า จาก W = F . S

จากการพจารณาแรงทกระท ากบกลอง จะได

แรงทท าในแนวแกน y ไมท าใหเกดงาน

แรงทท าใหเกดงานในแนวแกน x o 3

FW = F.S = (Fcos0 )S = (1.2×10 N×1)(5 m) = 6000 J

ff

o o

2

W = (F ).S

= (μN).S = (μ×mg×cos25 ×cos180 )(S) = (0.2×50 kg×9.8 m/s ×0.906×( 1))(5 m) = 443.94 J

mgmg

o o

2

W = (F ).S

= (mg sin25 cos180 )(5 m) = (50 kg×9.8 m/s 0.422 ( 1))(5 m) = 1033.9 J

xx

ดงนน งานสทธทไดจะมคาเทากบผลรวมของงานทเกดจากแรงทกระท ากบกลองทงหมด จะไดวา

T F mgx f mgy NW = W + W + W + W + W

= (6000 443.94 1033.9 + 0 + 0) J = 4522.16 J

S

F

F

65

y

f

xN

mgcosθmgsinθmg

F

θ

58

3.2 งานเนองจากแรงไมคงท เมอมการเปลยนแปลงขนาดแรงหรอทศทางในการเคลอนทของวตถแสดงดงรปท 3.4 สงผลใหเกดการเปลยนแปลงงานในแตละชวงของการเคลอนทของวตถ เพอทจะหางานรวมทเกดขนสามารถหาไดจากผลรวมของงานยอยๆ ซงเกดจากผลคณของแรงยอย ( 1F 2F 2F n.... F ) กบระยะการกระจดของวตถในชวงสนๆ ( 12r 23r 34r n.... r ) ดงนนงานทงหมดทเกดจากแรงทท าใหวตถเคลอนทจากต าแหนง A ไปยง B สามารถนยามสมการไดเปน

AB 1 2 3 nW = W W W ... W

1 12 2 23 3 34 n n(n+1)ABW = F . r F . r F . r ... F .Δr

B

ABA

W = F.dr

B

ABA

W = (Fcosθ)dr (3.3)

และสามารถเขยนกราฟความสมพนธระหวางแรงกระท าตอวตถและการกระจด แสดงดงรปท 3.4

รปท 3.4 แสดงแรงไมคงทกระท าตอวตถและกราฟความสมพนธระหวางแรงและการกระจด

2F1F

y

nF2r

1r12r

x

B

AA B

Fcosθ

12 23 n(n+1)r r ... r x

θ3F

59

ตวอยางท 3.2 วตถอนหนงถกแรงไมคงทกระท าใหเกดการเคลอนทไดกราฟการเปลยนแปลงดงรป 3.5 จงหางานรวมทเกดขน

รปท 3.5 กราฟความสมพนธระหวางแรงกระท าตอวตถและการกระจด

วธท า จากโจทยจะไดวางานเทากบพนทใตกราฟซงสามารถแบงออกไดเปน 5 ชวงคอ

งานชวงท 1 ระยะการกระจด x = 0 ถง x = 2

x= 0 21 1W = F.S = 6 2 = 6 J2 2


x= 2 6W = F.S = 6 4 = 24 J งานชวงท 3 ระยะการกระจด x = 6 ถง x = 10

x= 6 101 1W = F.S = 6 4 = 12 J2 2


x= 10 121 1W = F.S = ( 2.5) 2 = 2.5 J2 2


x= 12 141 1W = F.S = ( 2.5) 2 = 2.5 J2 2

ดงนน งานรวมทไดตงแตระยะการกระจด x = 0 ถง x = 12

x= 0 14W = 6+24+12 2.5 2.5 = 37 J

F(N)

x(m)

8642

-2-4-6-8

2 4 6 8 10 12

60

3.3 พลงงานจลน พลงงาน (Energy) เปนปรมาณคลายกนกบงาน แตจะกลาวถงความสามารถในการท างานของวตถจากต าแหนงอางอง ไปยง ต าแหนงทวตถอย พลงงานมหลายรปแบบ เชน พลงงานเคม พลงงานความรอน พลงงานไฟฟา พลงงานแสง พลงงานเสยง พลงงานจลน พลงงานศกย เปนตน แตในทางกลศาสตรจะกลาวศกษาเฉพาะพลงงานจลน และ พลงงานศกย ซงเรยกวา พลงงานกล

เมอมแรงมากระท ากบวตถใหวตถเคลอนทจากต าแหนง A ไปยง B ดวยความเรว u ไปเปลยนเปน v เปนระยะทางการกระจด S แสดงดงรป เราสามารถหางานทงหมดทเกดขนไดโดยจากกฎขอทสองของนวตน คอ

จาก F = m.a และ 2 2

v = u + 2a.s หรอ 2 2

(v u ) a =2s

แทนคา a ในสมการจะได 2 2

m(v u )F = 2s

2 2

mv muF.s = 2

2 2mv muW =

2 2 (3.4)

สามารถนยามผลตางทไดวาเปน ทฤษฏงาน-พลงงาน และเรยกปรมาณของ มวลคณกบความเรวก าลงสองหารดวยสองวา พลงงานจลน (Kinetic energy) สามารถสมการไดเปน

2

K1E = mv2

(3.5)

เมอ EK คอ พลงงานจลน มหนวยเปน จล (J) m คอ มวลของวตถ มหนวยเปน กโลกรม (kg) v คอ ความเรวของวตถ มหนวยเปน เมตรตอวนาท (m/s)

รปท 3.6 แรงกระท าตอวตถท าใหวตถเปลยนแปลงความเรว u ไปเปน v

SA B

u v

F F

61

ตวอยางท 3.3 ออกแรงเขนรถมวล 2.5x103 kg จากสภาพหยดนงใหเรมเคลอนทดวยความเรว v และการกระจด 25 m ดวยพลงงานเทากบ 5000 J ถาไมคดแรงเสยดทานใดๆ จงหา (a) ความเรว v (b)

แรงทกระท ากบรถคนน

วธท า (a) จาก 2

K1E = mv2

จะได

K2E v = m

32×500J v =

2.5×10 kg

v = 2 m/s

(b) จาก 2 2 v = u + 2as

2 2 (2) = (0) + 2a(25)

2 a = 0.08 m/s

และจาก F = ma

3 2F = 2.5x10 kg 0.08 m/s

F = N200

62

3.4 พลงงานศกย พลงงานศกย คอ พลงงานทสะสมอยภายในตวของวตถทต าแหนงใดๆในระบบ แบงได 2 แบบ คอ พลงงานศกยโนมถวง (Gravitational potential energy) และ พลงงานศกยยดหยน (Elastic

potential energy)

พลงงานศกยโนมถวง คอ พลงงานทเกดจากการเคลอนยายต าแหนงของวตถจากทหนงไปอกทหนงจากต าแหนงอางองภายในระบบนน ในทนเราจะกลาวถงระบบทโลกกระท ากบวตถใดๆแสดงดงรปท 3.7 เมอมแรงภายนอกกระท ากบวตถท าใหวตถเคลอนยายต าแหนงวตถจาก A ไปยง B เปนระยะทางการกระจด y จากพนผวโลก เราสามารถหางานไดโดยจากกฎขอทสองของนวตน คอ

จาก extextW = F .y

และ extF = m.g

แทนคา extF ในสมการจะได extW = mg. y

ext B AW = mg(y y )

(3.6)

ขณะเดยวกนเมอพจารณาแรงทโลกกระท ากบวตถจะไดงานมคาเปนลบ เนองจากคา g มทศสวนทางกบการเคลอนยายต าแหนงของวตถจะไดวา

g B AW = mg(y y )

(3.7)

ซงเรยกปรมาณ mgy นวาเปน พลงงานศกยโนมถวง (Gravitational potential energy) สามารถสมการไดเปน

PGE = mgy (3.8)

เมอ EPG คอ พลงงานศกยโนมถวง มหนวยเปน จล (J) m คอ มวลของวตถ มหนวยเปน กโลกรม (kg) g คอ ความเรงเนองจากแรงโนมถวง มหนวยเปน เมตรตอวนาทก าลงสอง (m/s

2)

y คอ ความสงจากต าแหนงอางองของระบบ มหนวยเปน เมตร (m)

รปท 3.7 แสดงการเปลยนแปลงต าแหนงของวตถ

F

ต าแหนงอางอง

B

A2 1y y y

mg

2y

1y

63

ตวอยางท 3.4 นาย A ยกกอนหนมวล 2 kg ไปใหนาย B ซงอยสงจากนาย A เปนระยะทาง 1.4 m แสดงในรปท 3.8 ขณะทจะสงถงนาย B นาย A ไดท ากอนหนลนตกลงมาทบกลองทมความ 0.05 m จงหา (a) พลงงานศกยโนมถวงทจด B และ จดทกอนหนสมผสโดนกลอง เมอใหจด A เปนต าแหนงอางอง และการเปลยนแปลงของพลงงานศกยโนมถวง (b) เมอเปลยนใหจด B เปนต าแหนงอางอง

รปท 3.8 แสดเคลอนทจากจด A ไป B

วธท า (b) จาก PGE = mgy

จะไดวา 2PG(i)E = 2kg 9.8 m/s 1.4 m = 27.4 J

2

PG(f)E = 2 kg 9.8 m/s 0.05 m = 9.8 J

และจาก PG PG (f) PG (i)E = E E

= 9.8 27.4 J = 17.6 J

(b) จะไดวา

2PG(i)E = 2kg 9.8 m/s 0 m = 0 J

2

PG(f)E = 2 kg 9.8 m/s 0.5 m = 17.6 J

และจาก PG PG (f) PG (i)E = E E

= 17.6 0 J = 17.6 J

1.4 mA

B

(1)

(2)

0.5 m

64

พลงงานศกยยดหยน คอ พลงงานทเกดจากการยดหรออดวตถท าใหเกดการเปลยนแปลงไปจากเดมหรอจากสภาวะสมดล ซงในทนเราจะกลาวถงการยดหรออดสปรง เมอออกแรงยดวตถตดสปงจากต าแหนงสมดล x = 0 ไปยง x = x ดวยแรง F หรอออกแรงอดจากต าแหนง x = 0 ไปยง x = -x

ดวยแรง F จะเกดแรงดงกลบกระท าในทศทางตรงกนขามกบการเคลอนทของวตถ FS = kx แสดงดงรป

ถาหางานเกดจากการเคลอนทของวตถจาก B ไปยง C ของแรงดงกลบ FS จะไดเปน

จาก dW = F.dx และ SF = kx

แทนคา F ในสมการจะได dW = Fx.dx

C C

B B

dW = F xdx

2 2BC C B

1 1W = ( Fx Fx )2 2

2BC C

1 W = Fx2

(3.9)

ถาคดแรงกระท าภายนอก (F) ซงมคาเทากบแรง FS แตทศทางตรงกนขาม จะสามารถงานไดเปน

2 2BC C B

1 1W = ( Fx Fx )2 2

2PS

1 E = Fx2

(3.10)

เมอ EPS คอ พลงงานศกยยอหยน มหนวยเปน จล (J) F คอ แรงในการเคลอนยายของวตถ มหนวยเปน นวตน (N)

x คอ ระยะทางจากต าแหนงสมดล มหนวยเปน เมตร (m)

รปท 3.9 แสดงการเปลยนแปลงระยะยดของมวลตดสปรงโดยแรงภายนอกและกราฟแสดง ความสมพนธระหวางแรงภายนอกและกราฟ

F

x 0x x

SFF

FSF

65

ตวอยางท 3.5 กลองใบหนงมวล 4 kg ผกตดกบสปรงเบาในแนวดงท าใหสปรงยดออก 2.5 cm ซงมพฤตกรรมตามกฎของฮก (a) ถาน ามวล 4 kg ออกแลวน ามวลมวล 1.5 kg แขวนแทนสปรงจะยดออกเปนระยะเทาใด (b) ถามแรงภายนอกท าใหสปรงยดออกเปนระยะ 4 cm งานทเกดขนควรมคาเปนเทาใด

รปท 3.10 แสดงการเปลยนแปลงระยะยดของมวลตดสปรง

วธท า (a) จาก Fk = x

เมอมวลเทา 4 kg จะไดวา mgk = x

24 kg 9.8 m/s=

0.025 m

= 1568 N/m

เมอเปลยนมวลเปน 1.5 kg

2(1.5 kg 9.8 m/s )x = 1568 N/m

3= 9.38 10 m

(b) จาก 2 2f i

1 1W = kx kx2 2

2f

1 = (1568 N/m)(0.04 m) 02

= 1.25 J

4 kg

1.5 kg2.5 cm

x cm

66

3.5 กฎการอนรกษพลงงาน พลงงานไมสามารถท าใหสญหายและไมสามารถสรางขนมาใหมได แตพลงงานสามารถเปลยนรปจากรปแบบหนงไปเปนอกรปแบบหนงได หรอผลรวมของพลงงานจะมคาคงทเสมอ ซงสามารถนยามเปน กฎการอนรกษพลงงาน (Law of energy conservation) สามารถเขยนสมการไดเปน

E = คาคงท (3.11)

i f E = E

K P K Pi f E +E = E +E

(3.12)

เมอ i E คอ ผลรวมของพลงงานทเรมตน

f E คอ ผลรวมของพลงงานสดทาย

ถามงานภายนอกมากระท ารวมอยดวย สามารถเขยนสมการไดเปน

i ex f E + W = E (3.13)

เมอ f E คอ ผลรวมของงานเนองแรงไมอนรกษ

เชน เมอปลอยวตถลงในแนวดงจากความสง y2 ไมคดแรงตานของอากาศดงรปท พจารณาทต าแหนง A พลงศกยทไดจะมคาเทากบ mgy2 และความเรวเรมตนเปนศนยพลงงานจลนจะเปนศนย พจารณาทต าแหนง B พลงศกยทไดจะมคาเทากบ mgy1 ความเรวทต าแหนงใดๆจาก v2 = u2+2gy

ดงนนพลงงานจลนจะมคาเทากบ mg(y2-y1) พจารณาทต าแหนง C พลงศกยทไดจะมคาเปนศนย พลงงานจลนจะมคาเทากบ mgy2 ดงนนจะพบวาขณะทปลอยวตถลง พลงงานจลนจะคอยๆ เพมขน ในทางกลบกนพลงงานศกยจะคอยๆ ลดลง และผลรวมของพลงงานทต าแหนงใดๆมคาคงทเสมอ

รปท 3.11 แสดงการเปลยนแปลงต าแหนงของวตถ

ต าแหนงวตถ K E P E E

A 2mgy 0 2mgy

B 1mgy 2 1mg(y y ) 2mgy

C 0 2mgy 2mgy

ต าแหนงอางอง

B

A

2y

1y

C

67

ตวอยางท 3.6 กลองมวล 3 kg ปลอยใหเคลอนทลงตามพนเอยงยาว 1 m และพนเอยงท ามม 30o กบแนวระดบ ตามรปท 3.12 ถาแรงเสยดทานระหวางพนเอยงกบกลองเทากบ 0.5 N จงหาความเรวสดทายทต าแหนงปลายพนเอยง

รปท 3.12 แสดงการเคลอนทของกลองตามพนเอยง

วธท า จากกฎการอนรกษพลงงาน 2 21 1 ex 2 2

1 1mv + mgy + W = mv + mgy2 2

พลงงานรวมเรมตน 2 2k1 1

1 1E = mv = 3 (0) 0 J2 2

P1 1E = mgy 3 9.8 0.5 14.7 J

extW = F.s 0.5 1 0.5 J

พลงงานรวมสดทาย 2 2k2 2 2

1 1E = mv = 3 v2 2

P2 2E = mgy 3 9.8 0 0 J

แทนคาใน 22

10 + 14.7 0.5 = 3 v + 02

2214.2 = 1.5v

2v = 9.466

2v = 3.07 m/s

0.5 mB

A

o30

68

ตวอยางท 3.8 กลองใบหนงมมวล 50 kg ตกจากระยะความสง 2 m ลงบนฐานทตดดวยสปรงเบาดงรปท 3.13 ท าใหสปรงหดตวเปนระยะ d กอนดดตวกลบ เมอสปรงมคาคงทสปรงเทากบ 8 x 103 N/m

จงหาระยะหดตวของสปรง

รปท 3.13 แสดงตกลงบนฐานตดสปรง

วธท า จากระบบพลงงานรวมทต าแหนง A เทากบ B และพลงงานรวมทต าแหนง B เทากบ C ดงนนจะไดวาพลงงานรวมทต าแหนง A เทากบ C จากกฎการอนรกษพลงงานไดวา

2 2 2 2A A A C C C

1 1 1 1mv + kx + mgy = mv + kx +mgy2 2 2 2

พลงงานรวมทต าแหนง A

2 2kA A A

PS(A) A

2 3 2PG(A) A A

1 1E mv 50 (0) = 0 J2 2

E mgy 50 9.8 (2 d) 490(2 d)1 1E kx 8 10 (0) 0 J2 2

พลงงานรวมทต าแหนง C

2 2kC C

PS(C) C

2 3 2 2PG(C) C

1 1E mv 50 (0) = 0 J2 2

E mgy 50 9.8 (0) 0 J1 1E kx 8 10 d 4000d J2 2

แทนในสมการจะไดวา

2 0 + 0 + 490 (2+d) = 0 + 4000d + 0

2

2

4000d 490d 980 = 0 d 0.123d 0.245 = 0 d = 0.56 m

d

2 m

A

B

C

69

3.6 ก าลง เมอมแรงทกระท าใหวตถเคลอนเปนระยะการกระจดหนงๆ ยอมท าใหเกดงาน ซงไมวาเราจะใชเวลาเรวหรอชาพบวางานทไดกมคาเทากน ดงนนเพอทจะก าหนดความเรวในการท างานจงไดน าเอาเวลาเขามาเปนตวก าหนดในการท างาน ซงสามารถนยามศพทขนใหมคอ ก าลง หมายถง งานทท าไดในหนวยเวลา สามารถเขยนเปนสมการไดเปน

WP = t

(3.14)

เมอ P คอ ก าลง มหนวยเปน วตต (W)

W คอ งานทงหมด มหนวยเปน จล (J) t คอ เวลา มหนวยเปน วนาท (s) ก าลงเนองจากงานทไดจากแรงไมคงท จะเปนก าลงเฉลย สามารถหาไดโดย งานทท าไดทงหมดหารดวยเวลาทใชในการท างาน คอ

WP = t (3.15)

สามารถเขยนก าลงในรปความสมพนธระหวางแรงทกระท ากบวตถและความเรวในการเคลอนทของวตถไดเปน

F.SP = = F.V t (3.16)

เมอ F คอ แรงทกระท ากบวตถ มหนวยเปน นวตน (N)

V คอ ความเรวของวตถ มหนวยเปน เมตรตอวนาท (m/s)

พจารณาหนวย วตต ของก าลง จะได 2 31 w = 1 J/s = kg.m /s และก าลงมา (horse

power, hp) คอ อตราการท างานของมา 1 ตว ภายใน 1 วนาท จะได 1 hp = 746 W

70

ตวอยางท 3.8 รถยนตมวล 1300 kg เรงความเรวจากอยนงจนกระทงมความเรวเปน 24.6 m/sภายในเวลา 15 s จงหาก าลงในหนวย ก าลงมา

วธท า จาก 2 2k f i

1 1W = E = mv mv 2 2

จะไดวา 21W = (1300kg)(24.6) 02

= 393,354 J

จาก WP = t

จะไดวา 393,354 JP = 15 s

= 26,223 W

= 35.15 hp

ตวอยางท 3.9 ลฟตหนงมมวล 1600 kg บรรทกผโยสารมวลรวม 200 kg ก าลงเคลอนทขนดวยความเรวคงท โดยมแรงตานการเคลอนทของลฟตเทากบ 4000 N จงหา (a) ก าลงทมอเตอรใชยกลฟตและผโดยสารทงหมด เมอลฟตเคลอนทขนดวยความเรวคงท 3 m/s (b) ถามอเตอรใชยกลฟตและผโดยสารทงหมด ดวยความเรง 1 m/s2 ก าลงทใชยกลฟต ณ ความเรวขณะใดขณะหนงเทากบ 3 m/s มคาเทากบเทาไร วธท า จาก ΣF = 0

จะไดวา T f mg = 0

2T = (1800kg 9.8m/s )+4000N

จาก P = F.v

จะไดวา 2P = (1800kg 9.8m/s )+4000N 3m/s

4= 6.49 10 W

วธท า จาก ΣF = ma

จะไดวา T f mg = ma

2 2T = (1800kg 9.8m/s )+4000N (1800kg 1m/s )

จาก P = F.v

จะไดวา 2 2P = (1800kg 9.8m/s )+4000N (1800kg 1m/s ) 3m/s

4= 7.02 10 W

71

บทสรป

งาน คอ แรงกระท าตอวตถในแนวเดยวกนกบการเคลอนทของวตถคณกบระยะการกระจดทวตถเคลอนทได ผลคณทไดจะเปนปรมาณสเกลาร

W F.S งานเนองจากแรงไมคงท

B

ABA

W = (Fcosθ)dr

พลงงานจลน คอ มวลคณกบความเรวก าลงสองหารดวยสองวา

2

K1E = mv2

พลงงานศกยโนมถวง คอ พลงงานทเกดจากการเคลอนยายต าแหนงของวตถจากทหนงไปอกทหนงจากต าแหนงอางองภายในระบบนน

GE = mgh

พลงงานศกยยดหยน คอ พลงงานทเกดจากการยดหรออดวตถท าใหเกดการเปลยนแปลงไปจากเดมหรอจากสภาวะสมดล

2PS

1E = kx2

กฎการอนรกษพลงงาน ผลรวมของพลงงานจะมคาคงทเสมอ

K P K Pi f E +E = E +E

ก าลง หมายถง งานทท าไดในหนวยเวลา สามารถเขยนเปนสมการไดเปน

WP = t

72


1. ลฟตหนงตวบรรทกน าหนก 350 N เคลอนทขนจากชนลางไปยงชนอนๆ ไดระยะ 2 m จงหางานทลฟตตวนท า ถาสมมตใหความเรวคงท

2. รถเขนในซปเปอรมารเกตถกกดลงเพอใหสามารถเขนไปขางหนาได โดยการใชแรง 35 N ในทศท ามม 25o จากแนวราบ จงหางานทตองท ากบรถเขนนถาเคลอนทไปไดระยะ 50 m

3. ออกแรง 150 N ผลกกลองมวล 40 kg ใหไดระยะ 6 m ไปตามแนวราบ ถากลองเคลอนทดวยความเรวคงท จงหา (a) งานทท า (b) สมประสทธความเสยดทานระหวางกลองกบพน

4. รถยนตมวล 1.5x103 kg เรมเคลอนทจากสภาพหยดนงจนมความเรวเทากบ 18 m/s โดยใชเวลา 12 s สมมตวาขณะนนมความเสยดทานเนองจากอากาศ 400 N จงหา (a) ก าลงเฉลยของเครองยนต (b) ก าลงภายนอกทกระท ากบรถยนตในเวลา 12 s กอนทรถยนตจะหยดเคลอนท

5. ลกปงปองมวล 2.45 g จะตองเคลอนทดวยความเรวเทาใดจงจะมพลงงานจลนเทากบลกโบวลงมวล 7 kg เคลอนทดวยความเรว 3 m/s

6. นกเบสบอลขวางลกเบสบอลมวล 0.15 kg ออกไปดวยความเรว 40 m/s ท ามม 30o กบแนวราบ จงหาพลงงานจลนของลกเบสบอลทต าแหนงสงสดของการเคลอนท

7. อนภาคมวล 0.6 kg มความเรวทจด A เปน 2 m/s และพลงงานจลนทจด B เปน 7.5 J จงหา (a)

พลงงานจลนทจด A (b) ความเรวทจด B (c) พลงงานทงหมดทอนภาคเคลอนทจากจด A ไปยง B

8. ลกปนมวล 2 g เคลอนทออกจากกระบอกปนดวยความเรว 300 m/s จงหา (a) พลงงานจลน (b)

แรงเฉลยทท าใหลกปนเคลอนทไดระยะ 50 cm

9. เดกคนหนงมน าหนก 400 N อยในชงชาทผกดวยเชอกยาว 2 m จงหาพลงงานศกยโนมถวงของระบบทต าแหนงต าสดของการแกวงชงชาน เมอ (a) เชอกถกกางขนไปในแนวระดบ (b) เชอกถกกางขนไปในทศท ามม 30o กบแนวดง

10. ลกตมยาว 2 m ถกกางขนในทศท ามม 25o กบแนวดง เมอปลอยใหเคลอนทลงตามแนวการแกวงจากจดหยดนง จงหาความเรวทจดต าสดของการแกวง

11. วตถ 2 กอน ผกตดกนดวยเชอกเสนเดยวกน ตามรปท 3.12 ถาวตถกอน 5 kg ถกปลอยใหตกลงมาจากความสง 4 m จากนน จงหา (a) ความเรวของวตถทง 2 กอน เมอวตถทง 2 อยระดบเดยวกน (b) ความเรวของวตถทง 2 กอน เมอวตถ 5 kg อยทพน (c) ความสงของวตถ 3 kg เมอวตถ 5 kg

อยทพน

73




4.1 โมเมนตม

4.2 การดลของแรง 4.3 การอนรกษโมเมนตม

4.4 การชนกนแบบ 1 มต

4.5 การชนกนแบบ 2 มต



1. ยกตวอยางเหตการณหรอสถานการณของโมเมนตมได 2. ค านวณหาแรงดลและการดลทกระท าตอวตถ จากสถานการณทก าหนดใหได

3. ใชความรเรองกฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตนในการแสดงการอนรกษโมเมนตมได 4. จ าแนกชนดของการชน จากสถานการณทก าหนดใหได

5. ค านวณหาปรมาณทเกยวของกบการเคลอนทของวตถทชนกนหรอออกจากกนไดจากสถานการณทก าหนดใหไดอยางถกตอง






74









75

บทท 4

โมเมนตมและการชน

4.1 โมเมนตม จากความสมพนธตามกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน จะไดวาเมอมแรงมากระท าตอวตถจะท าใหเกดความเรงได เมอเขยนความเรงในรปอนพนธของความเรวเทยบกบเวลาแลวน ามวล m เขาไปในสวนอนพนธดวย พบวาจะไดปรมาณบางอยางมการเปลยนแปลงเวลา ซงเกดจากผลคณระหวางมวลและความเรว เมอท าการอนพนธปรมาณนพบวาผลทไดมคาเทาเดมแสดงวาเราสามารถเขยนกฎการเคลอนทขอทสองของนวตนอยในรปแบบสมการนได

F = m a

mdv d(mv)F = = dt dt

mdv vdmF = dt dt

d(mv) dPF = = dt dt

ดงนนสามารถนยามปรมาณท เกดจากผลคณระหวางมวลและความเรววา โมเมนตม (Momentum) เปนปรมาณบอกความสามารถในการเคลอนทของวตถ สามารถเขยนสมการไดเปน

P = m.v (4.1)

เมอ P คอโมเมนตม มหนวยเปน kg.m/s

m คอ มวลของวตถ มหนวยเปน kg v คอ ความเรวของวตถ มหนวยเปน m/s

รปท 4.1 แสดงการเคลอนทของวตถมทศทางเดยวกบความเรว

(อนพนธคาคงทมคาเปนศนย)

v m

76

4.2 การดลของแรง จากความสมพนธขางตนแสดงใหเหนวา เราสามารถเขยนสมการการเคลอนทขอท 2 ของ นวตนไดเปน

dPF = dt

(4.2)

จากสมการแสดงวาแรงสทธ F จะท าใหเกดการเปลยนแปลงโมเมนตมในชวงเวลาสนๆ สามารถเขยนสมการไดเปน

2 1

2 1

P PF = t t

(4.3)

2 1

2 1

mv mvF = t t

เมอ F คอ แรงดล มหนวยเปน N

m คอ มวลของวตถ มหนวยเปน kg 1v คอ ความเรวเรมตนของวตถ มหนวยเปน m/s

2v คอ ความเรวสดทายของวตถ มหนวยเปน m/s

2 1t t คอ ชวงเวลาสนๆ มหนวยเปน s เมอพจารณาแรงสทธทกระท าในชวงเวลาสนๆ จะไดปรมาณใหมซงเปนผลของการเปลยนโมเมนตมนวา การดล (Impulse) จะได

2 12 1F(t t ) = mv mv

2 1I = P P (4.4)

เมอ I คอ การดล มหนวยเปน N/S

ถาวาดกราฟระหวางแรงสทธ (F) กบเวลา (t) ดงรปท 4.2 พนทใตกราฟมคาเทากบขนาดของการดลหรอการเปลยนโมเมนตม จะสามารถค านวณหาแรงเฉลยไดจากพนทใตกราฟระหวางและเวลา ซงการดลทไดจากค านวณภายใตแรงเฉลยจะเทากบการดลทเกดขนจรง

รปท 4.2 แสดงกราฟของแรง Fกระท าตอวตถทเวลา t ตางๆ

t

F

1 2t t

avF

77

ตวอยางท 4.1 ลกบอลมวล 0.4 kg เคลอนทไปทางซายกระทบผนงดวยความเรว 30 m/s และกระดอนกลบไปทางขวาดวยความเรว 20 m/s ในแนวเสนตรง จงหา (a) การดลของลกบอล (b) ถาลกบอลกระทบผนงในชวงเวลา 0.01 s แรงดลจะมคาเทาใด ดงรปท 4.3

รปท 4.3 แสดงทศทางการชนของลกบอล

วธท า (a) เนองจากเปนการเคลอนทตามแนวแกน x เทานน จะได

1 1P mv 0.3 kg ( 30 m/s) = 9 kg.m/s

2 2P mv 0.3 kg 20 m/s = 6 kg.m/s

ดงนน การดลในแนวแกน x จะได

2 1I P P (6) ( 9) = 15 kg.m/s

(b) จาก 2 12 1F(t t ) = mv mv 15 kg.m/sF =

0.01 s

F = 1500 N ตวอยางท 4.2 รถยนต A มมวล 2000 kg เคลอนทไปดวยความเรว VA m/s และรถยนต B มมวล 1500 kg เคลอนทไปดวยความเรว ในแนวเสนตรง 30 m/s จงหารถยนต A ตองวงดวยความเรวเทาใดถงสามารถแซงรถยนต B ได ดงรปท 4.4

รปท 4.4 แสดงทศทางการเคลอนทของรถยนต

วธท า เพอหาความเรวทรถคน A จะใหโมเมนตมทงสองเทากน

A A A AP m v 2000 kg v

B B BP m v 1500 kg 30 m/s 45000 kg.m/s

A2000 kg v 45000 kg.m/s

Av 22.5 m/s

ดงนน ความเรวทรถคน A ตองมากกวา 22.5 m/s ถงสามารถแซงรถยนต B ได

1v

A

2v

B

1v

2v

78

ตวอยางท 4.3 ลกบอลมวล 0.4 kg ทก าลงเคลอนทไปทางซายในแนวเสนตรงดวยความเรว 20 m/s

หลงจากถกเตะไดกระดอนกลบท ามม 25o ไปทางขวาดวยความเรว 15 m/s จงหาแรงเฉลยถาลกบอลสมผสเทานกเตะเปนเวลา 0.01 s ดงรปท 4.5

รปท 4.5 แสดงทศการเคลอนทของลกบอลกอนและหลงการชนผนง

วธท า พจารณาการเคลอนทของลกบอลในแนวแกน x และแกน y ไดเปน

แกน x

o

v1x v1xP mv mvcosθ 0.4 kg ( 20 m/s) cos25 7.25 kg.m/s

o

v2x v2xP mv mvcosθ 0.4 kg (15 m/s) cos25 5.44 kg.m/s แกน y

o

v1y v1yP mv mvsinθ 0.4 kg ( 20 m/s) sin25 3.38 kg.m/s

o

v2y v2yP mv mvsinθ 0.4 kg (15 m/s) sin25 2.54 kg.m/s ท าใหไดการดลในแนวแกน x และแกน y คอ

แกน x x v2x v1xI P P

x v2x v1xF t P P

x(5.44 ( 7.25))kg.m/sF 1269 N

0.01 s

แกน y

v2y v1yI P P 2.54 ( 3.38) 5.92 kg.m/s y

x v2x v1xF t P P

x(2.54 ( 3.38))kg.m/sF 592 N

0.01 s

ดงนน แรงเฉลยทง 2 แกน จงไดเปน

2 2xF F F y

2 2F (1269) (592)

F 1400.3 N

1v

2v

θ

79

4.3 การอนรกษโมเมนตม วตถจ านวนสองกอนขนไปเกดปฏกรยาตอกน (ชนกนหรอสมผสกน) จะเกดแรงสองแรงทมขนาดเทากนและทศทางตรงขามกน ซงเปนกฎการเคลอนทขอท 3 ของนวตนเสมอ สามารถนยามสมการไดเปน จากสมการ (4.5) จะเหนวาผลรวมโมเมนตมของวตถทงสองกอนมคาเปนศนย จงไดวาผลรวมโมเมนตมของระบบจะมคาคงท ดงนน การอนรกษโมเมนตม (conservation of Momentum)

จงนยามวา “ผลรวมโมเมนตมกอนชนเทากบผลรวมโมเมนตมของวตถหลงชน” ในกรณทไมมแรงภายนอกมากระท าตอระบบกระท าเปนศนย

AB BAF = F

AB BAdP dP =

dt dt

2A 1A 2B 1B

2 1 2 1

P P P P = t t t t

2A 1A 2B 1B

2 1 2 1

mv mv mv mv = t t t t

1A 1B 2A 2Bmv mv = mv mv

i fP = P (4.5)

เมอ iP คอ ผลรวมโมเมนตมกอนชน

fP คอ ผลรวมโมเมนตมของวตถหลงชน

รปท 4.6 แสดงทศการเคลอนทของลกบอลกอนและหลงการชนกน

A B

A B

A B

BAF ABF

1Av 1Bv

2Av 2Bv

80

4.4 การชนกนแบบ 1 มต ถาไมมแรงภายนอกกระท าตอระบบ การชนกนของระบบจะมการอนรกษโมเมนตมเสมอ ซงพลงงานจลนจะมคาคงเดมหรอไมคงเดมกได โดยทวไปการชนกนของวตถม 2 แบบ คอ

4.4.1 การชนกนแบบยดหยน (Elastic collision)

เปนการชนทวตถจะแยกออกจากกนเมอชนกนแลว ซงเปนไปตามกฎการอนรกษโมเมนตม และกฎอนรกษพลงงานจลน โดยผลรวมกอนชนจะเทากบผลรวมหลงชน ดงแสดงในรปท 4.7

รปท 4.7 แสดงการชนกนแบบยดหยนของวตถ mA และ mB

จากกฎการอนรกษโมเมนตนจะไดวา

i fP = P

A1 B1 A2 B2P +P = P +P

A1 B1 A2 B2A B A Bm v +m v = m v +m v

A1 A2 B2 B1A Bm v v = m v v (4.6) จากกฎการอนรกษพลงงานจลนจะไดวา ki kfE = E

kA1 kB1 kA2 kB2E +E = E +E

2 2 2 2A1 B1 A2 B2A B A B

1 1 1 1m (v ) + m (v ) m (v ) + m (v )2 2 2 2

A1 A2 B2 B1

2 2 2 2A Bm v v = m v v (4.7)

น าสมการท 4.7 หารดวย 4.6 จะไดวา

A1 A2 B2 B1

2 2 2 2A B

A1 A2 B2 B1A B

m v v m v v =

m v v m v v

A1 A2 A1 A2 B2 B1 B2 B1A B

A1 A2 B2 B1A B

m v v v v m v v v v =

m v v m v v

A1 A2 B2 B1v v = v v A1 B1 B2 A2v v = v v (4.8)

A1 B1 A2 B2v v = v v

กอนชน

หลงชน

A1v B1v A B

A B

A2v B2v

81

4.4.2 การชนกนแบบไมยดหยน (Inelastic collision)

เปนการชนทวตถจะตดกนไปเมอชนกนแลว ซงเปนไปตามกฎการอนรกษโมเมนตม แตไมเปนไปตามกฎพลงงานจลน เนองจากพลงจลนบางสวนสญเสยไปเปนพลงงานความรอนหรอเสยงจากการชน ดงแสดงในรปท 4.8

รปท 4.8 แสดงการชนกนแบบไมยดหยนของวตถ mA และ mB


i fP = P

A1 B1 ABP +P = P

A1 B1 ABA B A Bm v + m v = (m + m )v

จากกฎการอนรกษพลงงานจลนจะไดวา

ki kfE E

ki kf k(loss)E E E ki kfkE = E E เมอพลงงานจลนกอนและหลงชนมคาเปน

2 2

ki A1 B1A B1 1E = m v + m V2 2

(4.9)

2kf ABA B

1E = m +m v2

(4.10)

ถา B1V = 0 น าสมการท 4.22 หารดวย 4.22 จะไดวา

2ABA Bkf

2kiA1A

1 m +m vE 2 = 1E m (v )2

2ABkf A B

2ki A1A

m +m vE = E m (v )

2 2A1kf A B A

22ki A1A A B

m +m m (v )E = E m (v ) m +m

A

kf ki

A B

mE = Em +m

(4.11)

ดงนน จะไดวา kf kiE < E

กอนชน

หลงชน

A B

ABv

A1v B1v A B

82

ตวอยางท 4.4 วตถ A มวล 0.3 kg และ B มวล 0.5 kg เคลอนทเขาหากนดวยความเรว 30 m/s และ 20 m/s ตามล าดบ ดงแสดงในรปท 4.9 จงหาความเรวหลงการชนของวตถทงสองกอน

รปท 4.9 แสดงการชนกนแบบยดหยนของวตถ A และ B

วธท า จากการอนรกษโมเมนตมจะไดวา A1 B1 A2 B2A B A Bm v +m v = m v +m v

A1 B1 A2 B2A B A Bm v m ( v ) = m v + m v

A2 B2(0.3 kg × 30 m/s) (0.5 kg × 20 m/s) = 0.3kgv + 0.5 kgv

A2 B21kg .m/s = 0.3kgv + 0.5 kgv

และสมการ

A1 B1 A2 B2v v = v v

A1 B1 A2 B2v ( v ) = v v

A2 B230 m/s 20 m/s = v v

A2 B2v = v 50 m/s

แทนในสมการท จะไดวา

B2 B21kg .m/s = 0.3kg( v 50 m/s) + 0.5 kgv

B2 B21kg .m/s = 0.3kg v 15 m/s + 0.5 kgv

B214 kg .m/s = 0.8kgV

B2 v = 17.5 m/s

แทนในสมการท จะไดวา

A2v = 17.5 m/s 50 m/s

A2v = 32.5 m/s

A1v B1v A B

A BA2v B2v

กอนชน

หลงชน

83

ตวอยางท 4.5 วตถ A มวล 0.3 kg และ B มวล 0.5 kg เคลอนทเขาหากนดวยความเรว 30 m/s และ 20 m/s ตามล าดบ หลงชนวตถตดกนไป ดงแสดงในรปท 4.10 จงหาความเรวหลงการชนของวตถทงสองกอนและพลงงานจลนทสญเสยไป

รปท 4.10 แสดงการชนกนแบบไมยดหยนของวตถ A และ B

วธท า จากการอนรกษโมเมนตม

A1 B1 ABA B A Bm v +m v = (m +m )v

A1 B1 ABA B A Bm v m v = (m +m )v

AB(0.3 kg × 30 m/s) (0.5 kg × 20 m/s) = (0.3 kg + 0.5 kg)v

AB1 kg.m/s = 0.8 kgv

ABv = 1.25 m/s

และพลงงานจลนทเกดขน

2 2

ki V1 B1A B1 1E = m v + m v2 2

2 2ki

1 1E = (0.3 kg (30 m/s) ) (0.5 kg ( 20 m/s) )2 2

kiE = 135 J 100 J

kiE = 35 J

และ 2

kf ABA B1E = (m m )v2

2

kf1E = (0.3 kg 0.5 kg)(1.25 m/s)2

kfE = 0.625 J

และ ki kfkE = E E

kE = 35J 0.626J

kE = 35J 0.626J

A1v B1v A B กอนชน

หลงชน

A BABv

84

ตวอยางท 4.6 จากรปท 4.11 แสดงการยงกระสนปนมวล (mB) 5 g ดวยความเรว VB เขาไปยงในกลองไมมวล (mw) 2 kg ทแขวนไวในแนวดง เมอกระสนปนเขาไปยงในกลองไมท าใหกลองไมแกวงขนไปไดเปนระยะสงสด (h) 3 cm จงหาความเรว VB ของลกปน

รปท 4.11 แสดงการยงของกระสนปนเขากอนไมแบบ ballistic pendulum

วธท า จากกฎการอนรกษโมเมนตม

B W BWB W B Wm v +m v = (m +m )v

B BW(0.005 kg × v ) (0.5 kg × 0 m/s) = (0.005 kg + 2 kg)v

B BW0.005 kgv = 2.005 kgv

และจากกฎการอนรกษพลงงาน จะไดวา

2 2

BW1 BW2BW BW 1 BW BW 21 1 m v + m gh = m v + m gh 2 2

2

BW1BW BW 21 m v + 0 = 0 + m gh 2

BW1 2v = 2gh

2

BW1v = 2 9.8 m/s 0.03 m

BW1v = 0.77 m/s

แทนสมการท 4.22 ใน 4.22 จะไดวา B0.005 kgv = 2.005 kg 0.77 m/s

Bv = 307 m/s

BV ?

WV 0

Bm

BWV

Wm h 3 cm

85

4.5 การชนกนแบบ 2 มต การชนแบบ 2 มต (Two dimensional collisions) คอ การชนกนของวตถทหลงชนวตถทงสองจะไมอยในระนาบเดยวกน ซงเปนการชนทไมผานจดศนยกลางมวล ดงแสดงในรปท 4.12

4.5.1 การชนกนแบบยดหยน (Elastic collision)

การชนกนของวตถทหลงชนวตถทงสองจะไมอยในระนาบเดยวกน ซงเปนการชนทไมผานจดศนยกลางมวล หลงชนวตถทงสองจะแยกจากกน ดงแสดงในรปท 4.12

รปท 4.12 แสดงการชนกนแบบยดหยนของวตถ A และ B


i fP = P

A1 B1 A2 B2P +P = P +P

A1 B1 A2 B2A B A Bm v +m v = m v +m v ถา B1v = 0 และ A Bm = m จะไดวา

A1 A2 B2A A B m v = m v +m v

A1 A2 B2v = v +v (4.12)

และสามารถหาขนาดไดโดยใชหลกการรวมเวกเตอร 2 2 2

A1 A2 B2 A2 B2v = v + v 2v v cos(θ ) (4.13)

2 2A1 A2 B2 A2 B2v = v + v 2v v cos(θ ) (4.14)

θ

B1V

A1V

B2V

A1V

BA

A

B

86

จากกฎการอนรกษพลงงานจลนจะไดวา ki kfE = E

kA1 kB1 kA2 kB2E +E = E +E

2 2 2 2A1 B1 A2 B2A B A B

1 1 1 1m (v ) + m (v ) m (v ) + m (v )2 2 2 2

ถา B1v = 0 และ A Bm = m จะไดวา 2 2 2

A1 A2 B2A A B1 1 1m (v ) m (v ) + m (v )2 2 2

2 2 2A1 A2 B2(v ) = (v ) +(v )

แทนคาใน 4.14 จะไดวา 2 22 2

A2 B2 A2 B2 A2 B2(v ) +(v ) v + v 2v v cos(θ )

2 22 2A2 B2 A2 B2 A2 B2(v ) +(v ) v + v 2v v cos(θ )

A2 B2

0cos(θ ) 2v v

cos(θ ) 0 ดงนนถา B1v = 0 และ A Bm = m จะไดวา oθ 90 ในท านองเดยวกน ดงนนถา B1v = 0 และ A Bm m จะไดวา oθ < 90 เมอ A Bm m

oθ 90 เมอ A Bm m

87

4.5.2 การชนกนแบบไมยดหยน (Elastic collision)

การชนกนของวตถทหลงชนวตถทงสองจะไมอยในระนาบเดยวกน ซงเปนการชนทไมผานจดศนยกลางมวล หลงชนวตถทงสองจะตดกนไป ดงแสดงในรปท 4.13

รปท 4.13 แสดงการชนกนแบบไมยดหยนของวตถ A และ B


i fP = P

A1 B1P +P = P

A1 B1A B A Bm v +m v = m +m v ถา A Bm m จะไดวา A1 B1A B A Bm v +m v = m +m v (4.15)

และสามารถหาขนาดไดโดยใชหลกการรวมเวกเตอร

2 2 2A1 B1 A1 B1P = P + P 2P P cos( )

2 2A1 B1 A1 B1P = P + P 2P P cos( ) (4.16)

A1V

A

BV

B

B1V

A

88

ตวอยางท 4.8 วตถ A มวล 0.5 kg วงดวยความเรว 4 m/s เขาชนกนวตถ B มวล 0.3 kg ทหยดนงอยกบทหลงชนวตถ A มความเรว 2 m/s จงหาความเรวหลงการชนของวตถ B และทศทางของวตถ A และวตถ B ทเบยงเบนไปจากแนวเดม แสดงรปท 4.14

รปท 4.14 แสดงการชนแบบ 2 มตของวตถ A และ B

วธท า เนองจากพลงงานจลนเปนปรมาณสเกลาร ดงนนเราสามารถหาความเรว จากกฎการอนรกษพลงงานจลน จะไดวา 2 2 2 2

A1 B1 A2 B2A B A B1 1 1 1m (v ) + m (v ) m (v ) + m (v )2 2 2 2

2 2 2 2B2

1 1 1 1(0.5 kg)(4m/ s) + (0.3 kg)(0) (0.5 kg)(2m/ s) + (0.3 kg)(v )2 2 2 2

2

B28 kg.m/s 2 kg.m/s + 0.3 kg(v )

B2v 4.47 m/s

จากการอนรกษโมเมนตม

A1 B1 A2 B2A B A Bm v +m v = m v + m v

แนวแกน x กอนชน = (0.5 kg 4 m/s) 0 = 2 kg.m/s

แนวแกน y กอนชน

= 0

แนวแกน x หลงชน A2x B2xA B= m v + m v

A2 B2A B= m v cosθ+ m v cos

= (0.5 kg 2 m/s cosθ)+ (0.3 kg 4.47 m/s cos )

= (1 kg.m/s cosθ)+ (1.34 kg.m/s cos )

แนวแกน y หลงชน

B1V

A1V

B2V

A1V

BA

A

B

θ

Am Am

89

A2y B2yA B= m v + m v

A2 B2A B= m v sinθ+ m v sin

= (0.5 kg 2 m/s sinθ)+ (0.3 kg 4.47 m/s sin )

= (1 kg.m/s sinθ)+ (1.34 kg.m/s sin )

รวมสมการแตละแนวเขาดวยกนจะไดวา แนวแกน x

2 kg.m/s = (1 kg.m/s cosθ)+ (1.34 kg.m/s cos )

2 = cosθ + 1.34cos

2 2(2 cosθ) = (1.34cos )

2 24 4cosθ+(cosθ) = 1.79(cos )

แนวแกน y

0 = (1 kg.m/s cosθ)+ (1.34 kg.m/s cos )

2 2(sinθ) = 1.79(sin )

น าสมการ และ มาบวกกน

2 2 2 24 4cosθ + (cosθ) (sinθ) = 1.79(cos ) +1.79(sin )

4 4cosθ + 1 = 1.79

cosθ = 0.8

oθ = 36.86

แทนคาในสมการ

2 = 0.8 + 1.34cos

cos = 0.895

oθ = 26.49

90

ตวอยางท 4.7 รถยนตคนท 1 มมวล 1500 kg และคนท 2 มมวล 2500 kg ดงแสดงในรปท 4.15 เกดชนกนตรงทางแยก และตดกนไป จงหาความเรวหลงการชนของรถยนตทงสอง และทศทางหลงการชนของรถยนตทงสองตามแนวรถ A

รปท 4.15 แสดงการชนกนแบบไมยดหยนของรถยนตสองคน

วธท า พจารณาโมเมนตมในแนวแกน x และแกน y กอนชน

แกน x Ax A AxP m v 1500 kg 25 m/s 37500 kg.m/s

Bx B BxP m v 0 แกน y Ay A AyP m v 0

By B ByP m v 2500 kg 20 m/s 50000 kg.m/s และโมเมนตมในแนวแกน x และแกน y หลงชน

2 2xP P P y

2 2P (37500) (50000)

P 62500 N

และโมเมนตมในแนวแกน x และแกน y หลงชน

50000 tanθ37500

oθ 53.06

และความเรวหลงการชน

ABA B

P 62500 kg.m/sv(m +m ) 4000 kg

ABv 15.63 m/s

BV 20 m/s

AV 25 m/s

ABV

θ

91

บทสรป

โมเมนตม (Momentum) เปนปรมาณบอกความสามารถในการเคลอนทของวตถ

P = m.v การดล (Impulse) ปรมาณทเปนผลของการเปลยนโมเมนตม

2 12 1F(t t ) = mv mv

2 1I = P P กฎอนรกษโมเมนตม ผลรวมโมเมนตมกอนชนเทากบผลรวมโมเมนตมของวตถหลงชนในกรณทไมมแรงภายนอกมากระท าตอระบบกระท าเปนศนย

i fP = P

การชนกนแบบยดหยน

i fP = P

i fP P การชนกนแบบไมยดหยน

i fP = P

i fP P

92


1. (a) จงหาขนาดโมเมนตมของรถบรรทกมวล 10000 kg เคลอนทดวยความเรว 12 m/s

(b) จงหาความเรวของรถอเนกประสงค suv มวล 2000 kg ถามขนาดโมเมนตมและพลงงานจลน เทากบรถบรรทก

2. นกเทนนสเดาะลกบอลมวล 57 g ขนสง 5.5 m จงหาการดลทไมกระท าตอลกบอล

3. ปลอยลกบอลมวล 0.15 kg ใหตกจากทสง 1.25 m จากนนลกบอลกระดอนจากพนสง 0.96

mจงหาการดลทพนกระท าตอลกบอล

4. ลกเหลกมวล 3 kg ถกปาเขาก าแพงดวยความเรว 10 m/s ท ามม 60 กบแนวก าแพง ถาลกเหลกกระดอนกลบดวยความเรวและมมเทาเดม จงหาแรงเฉลยทก าแพงกระท าตอลกเหลก ถาลกเหลกสมผสก าแพงเปนเวลา 0.2 s

5. ตลกกอลฟมวล 0.045 kg ทอยนงเคลอนทดวยความเรว 25 m/s ถาไมสมผสกบลกกอลฟเปนเวลา 2 ms จงหาแรงเฉลยทไมกระท าตอลกกอลฟ

6. เหวยงไมกอลฟมวล 200 g ดวยความเรว 55 m/s ตลกกอลฟมวล 46 g ไปตดตนไม หลงจากตไมกอลฟยงมทศทางเดมและมความเรว 40 m/s จงหาความเรวของลกกอลฟหลงจากการต

7. นกเลนสเกตชนกนแบบไมยดหยน เกดจากคนทหนงมมวล 70 kg ก าลงเคลอนทไปทางขวาดวยความเรว 2 m/s และคนทสองมมวล 65 kg ก าลงเคลอนทไปทางซายดวยความเรว 2.5 m/s จงหาขนาดและทศทางของความเรวหลงจากการชนแลวตดกนไป

8. กอนหนมวล 3 kg เคลอนทดวยความเรว 8 m/s ไปทางขวาเขาชนกลองมวล 15 kg ทผกตดกบสปรงเบา ซงมคาคงทสปรงเทากบ 500 N/m อยนงกบท หลงจากการชนแลวกอนหนกระดอนกลบไปทางซายดวยความเรว 2 m/s จงหาระยะทางทมากทสดทกลองเคลอนทไปไดหลงการชนกน

9. ยงกระสนปนมวล 5 g เขาไปฝงในกลองไมมวล 1.2 kg วางนงอยบนพน ถาสมประสทธความเสยดทานระหวางกลองกบพนเทากบ 0.2 หลงจากยงแลวกลองไมเคลอนทไดระยะทาง 0.23

mจงหาความเรวเรมตนของกระสนปน

10. ยานพาหนะคนแรกมวล 2500 kg เคลอนทจากทศตะวนออกไปทศตะวนตก (-x) ดวยความเรว 14 m/s และคนทสองมวล 1500 kg เคลอนทจากทศใตไปทศเหนอ (+y) ดวยความเรว 23

m/s จงหา (a) โมเมนตมสทธของระบบในองคประกอบ x และ y (b) ขนาดและทศทางของโมเมนตมสทธ

93





5.2 กฎของปาสคาล

5.3 แรงลอยตวและหลกของอารคมดส

5.4 ความตงผวและความหนด

5.5 อตราการไหลและสมการของแบรนลล



1. ค านวณหาความดนในรปแบบตางๆไดอยางถกตอง 2. ใชความรเรองความดนและแรงดนในการอธบายกฎของปาสคาลได 3. ยกตวอยางเหตการณทเปนไปตามหลกของอารคมดสได

4. อธบายความตงผวและความหนดไดอยางถกตอง 5. ค านวณหาปรมาณทเกยวของกบอตราการไหลและสมการของแบรนลลจากสถานการณทก าหนดให

ไดอยางถกตอง






94









95

บทท 5

กลศาสตรของไหล


สสารสามารถจ าแนกได 3 สถานะ ไดแก ของแขง (Solid) ของเหลว (Liquid) และกาซ (Gas)

โดยของแขง จะมรปรางและสถานะปรมาตรคงท ซงอนภาคภายในจะอยชดกนมาก เชน ทอง สวนสถานะทเปนของเหลว จะมรปรางตามภาชนะทบรรจและมปรมาตรคงท ซงอนภาคภายในจะอยชดกนนอยลง และมสมบตเปนของไหล (Fluid) ได เชน น า ปรอท และสถานะทเปนกาซ จะมรปรางและปรมาตรทไมคงท ขงอยกบภาชนะทบรรจ ซงอนภาคภายในจะอยหางกนมากทสด และมสมบตเปนของไหลได เชน อากาศ กาซตางๆ โดยทของไหล (ของเหลวและกาซ) สามารถไหลจากจากทหนงไปยงอกทหนงได ซงสมบตของไหล ไดแก ความหนาแนน ความดน ความตงผว และความหนด เปนตน

ความหนาแนน (Density) เปนคณสมบตเฉพาะของวตถหนง โดยหากเปนวตถ (สาร) เดยวกนจะมความหนาแนนเทากน และวตถตางชนดกนจะมความหนาแนนทตางกน ดงแสดงในตารางท 5.1

โดยความหนาแนนเปนปรมาณทบอกคามวลของวตถในหนงปรมาตร สามารถนยามสมการไดเปน

m = V

(5.1)

เมอ คอ ความหนาแนนของวตถ มหนวยเปน kg/m3

m คอ มวลของวตถ มหนวยเปน kg

v คอ ปรมาตรของวตถ มหนวยเปน m3

ตารางท 5.1 ความหนาแนนของสารตางๆทอณหภม 0 องศาเซลเซยสและความดน 1 บรรยากาศ

สาร ความหนาแนน

(kg/m3)

สาร ความหนาแนน

(kg/m3)

อากาศ 1.29 น าแขง 0.917 x 103

อลมเนยม 2.70 x 103 เหลก 7.86 x 103

ทองแดง 8.92 x 103 น าแขง 0.917 x 103

ทอง 19.3 x 103 น า 1.00 x 103

เงน 10.5 x 103 ทะเล 1.03 x 103

96

ความดน (Pressure) คอ ปรมาณของแรงกระท าในแนวตงฉากตอหนงหนวยพนท ดงแสดงใน

รปท 5.1 และสมการท 5.2

FP = A

(5.2)

เมอ P คอ ความดน มหนวยเปน N/m2 หรอ Pa

F คอ แรงกระท า มหนวยเปน N

A คอ พนท มหนวยเปน m2

โดยท

1 Passcal (Pa) = 1 N/m2

1 atm = 1.013 x 105 Pa

1 bar = 105 N/m2

1 Torr = 1mmHg

รปท 5.1 แสดงความดนและแรงดนทกทศทางในแนวตงฉากกบพนทนน

(a) กระท าตอภาชนะทบรรจ

(b) กระท าตอวตถในของเหลว

97

เมอพจารณาสวนตดของน านงดงรป ซงผลรวมของแรงทกระท าสวนตดของน านงมคาเปนศนยเนองจากน าในสภาวะสมดล เกดจากแรงกระท าจากน าหนกของของเหลวตอหนงหนวยพนท สงเกตไดจากเมอด าน าลกลงไปจากผวน ามากเทาไหร จะรสกเจบแกวหมากเทานน แสดงวาแรงกดของน ากระท าตอแกวห ยงลกมากยงมแรงกดมาก จากสมการ 5.2 จะได

F = 0

P1 P2 dwF F F = 0

1 1PA (P +dP)A mg = 0

1 1PA PA dPA ρdyAg = 0

dPA ρdyAg = 0

dP = ρgdy

2 1 2 1P P = ρg(y y )

(5.3)

เมอเลอนต าแหนง P2 มายงบรเวณผวน า ความดนทไดจะมคาเทากบความดนทผวคอความดน

บรรยากาศ (Pa) และต าแหนง P1 เปนความดนใดๆในของเหลวมคาเทากบ P น าส าหรบของเหลวชนดเดยวกน จะมความหนาแนนทเทากน (คงท) และคา g คงท ดงนน แสดงดงรปท 5.2

a 2 1P P = ρg(y y )

a 2 1P = P ρg(y y ) (5.4)

เมอ P คอ ความดนสมบรณ Pa คอ ความดนบรรยากาศ

รปท 5.2 แสดงความดนเทากนของของเหลวชนดเดยวกนทระดบความสงเทากน

P2F

dy

2y1y

dP

P1Fdw

aP

98

บารอมเตอร (Barometer) เปนเครองมอวดความดนบรรยากาศ ประกอบดวยหลอดแกวทรงกระบอกยาวเลกยาวปลายเปดหนงขาง เมอบรรจปรอทใหเตมแลวคว าหลอดลงในอางปรอทพบวาปรอทยงคงคางอยในหลอดซงมความสงเหนอผวปรอท 76 cm และเกดชองวางภายในหลอดซงถอวามความดนต ามากเทากบศนย ดงรปท 5.3(a) สามารถค านวณหาความดนบรรยากาศไดดงน

2 1 2 1P P = ρg(y y )

a 2 10 P = ρg(y y )

3 3 2 2

aP = 13.6 10 kg/m 9.8 m/s 76 10 m

5

aP = 1.013 10 Pa

มานอมเตอร (Manometer) เปนเครองมอวนความดนของของไหลแบบงายทสด ประกอบดวยหลอดแกวรปตวยภายในบรรจของเหลว ปลายขางหนงตอกบความดนทตองการวด และปลายอกดานหนงเปดสอากาศ ดงรปท 5.3(b) สามารถค านวณหาความดนจากผลตางระดบของเหลวในขาหลอดทงสองขางไดดงน

2 1 2 1P P = ρg(y y )

a 2 1P P = ρg(y y )

a 2 1P P = ρg(y y )

g 2 1P = ρg(y y ) (5.5)

เมอ Pg คอ ความดนเกจ

รปท 5.3 แสดงเครองมอวดความดน

(a) มานอมเตอร (b) บารอมเตอร

aP

2P 0

1 aP P

1y

2y

aP

P 2 aP P

1P P

1y 2y

dy

(a) (b)

99

ตวอยางท 5.1 หลอดแกวรปตวยบรรจปรอทอยภายใน เตมน าลงไปในขาขางหนงสง 15 cm ดงรปท 5.4 จงหา

(a) ความดนเกจทรอยตอน า-ปรอท

(b) ระดบปรอทในขาอกขาง (h) อยต ากวาระดบน าเทาใด

รปท 5.4 แสดงหลอดแกวรปตวยภายในบรรจปรอทและน า

วธท า (a) g 2 1P = ρg(y y )

2( 10 9.8 m / s 15 10 m)

1 470N/ m (b) ลากเสนประผานหลอดทเตมน าและปรอท ใหมระดบความสงเทากน จะได ความสงใหมทขาของปรอท คอ x ดงนนความดนสมบรณ จะได

w P P

w Pa gh Pa gh

3 3 2 2 3 2 (10 kg/ m )(9.8m/ s )(15 10 m) (13.6 10 kg/ m)(9.8m/ s ) 0.011 x

x 0.11m

x 1.1cm

ความสง (h) อยต ากวาระดบน า h 15 1.1cm

13.9 cm

aP

P 2 aP P

1P P

1y 2y

dy

100

ตวอยางท 5.2 ขาขางหนงของมานอมเตอรทมปรอทบรรจอยตอเขากบถงแกสชนดหนงท าใหระดบปรอทในขาทงสองขางสงดงรปท 5.6 จงหาความดนของแกสถาความดนของอากาศขณะนนเปน 105Pa

วธท า ทระดบความสงเทากน จะได

g 2 1P = ρg(y y )

gP + ρgh = Pa

3 3 2 5

gP + (13.6 10 kg/m )(9.8m/s )(0.05m) = 10

3 5

gP + 6.6 10 = 10 4

gP =9.34 10 Pa

ตวอยางท 5.3 กลองลกบาศกมความยาวดานละ 1 m ดานบนมฝาปดสนทและตรงกลางฝาดานบนเสยบทอทมรขนาด 200 cm2 ยาว 40 cm เตมน าลงไปจนกระทงเตมพอดแลวปดฝาใหสนท จงหา (a) ความดนของน าทกนกลองลกบาศก

(b) ความดนของน าทดานขางแตละดานของกลอง

วธท า (a) P = ρgh

3 3 2(10 kg/ m )(9.8m/ s )(1.4m)

3P = 13.7 10 Pa

(b) 1P = ρgh2

3 3 21 = (10 kg/ m )(9.8m/ s )(0.5 0.4m)

2

3P = 4.4 10 Pa

101

5.2 กฎของปาสคาล จากสมการ จะเหนวาความดนขนกบความดนบรรยากาศและต าแหนงความลกจากผวของของเหลว ถาเพมความดนบรรยากาศโดยการอดแรงดนใหกบของเหลวทอยนงในภาชนะปดความดนทเพมจะสงผานไปยงทกๆจดในของเหลวและผนงของภาชนะ เรยกวา กฎของปาสคาล (Pascal’s law) ซงไดคนพบเปนครงแรกและถกน ามาประยกตใชเปนเครองอดไฮโดรลก ดงแสดงในรปท 5.5 เมอใหแรงอด F1 กระท ากบพนทของกระบอกสบเลก A1 ความดนจะสงไปยงของเหลวและสงไปยงกระบอกสบใหญ A2 ดวยแรงดน F2 เนองจากความดนทงสองดานเทากน ดงนนสามารถเขยนสมการไดเปน

1 2

1 2

F F=A A

(5.6)

เมอ F1 คอ แรงทใชกด มหนวยเปนN

F2 คอ แรงทถกยก มหนวยเปน N

A1 คอ พนทหนาตดกระบอกสบเลก มหนวยเปน m2

A2 คอ พนทหนาตดกระบอกสบใหญ มหนวยเปน m2

เนองจากของเหลวไมสามารถบบอดได ดงนนปรมาตรของไหลทางดานกระบอกสบเลกทถกอดลงจะมคาเทากบปรมาตรของไหลทางดานกระบอกสบใหญทถกเพมขน ดงแสดงในรปท 5.5 ดงนนสามารถเขยนสมการไดเปน

A1 A2V = V

1 1 2 2A y = A y (5.7)

หรอ 1 1

2 2

y F = y F

(5.8)

รปท 5.5 แสดงเครองอดไฮโดรลกโดยใชกฎของปาสคาล

1F

2F

2A

1A

1y

2y1F

2F

2A

1A

102

5.3 แรงลอยตวและหลกของอารคมดส แรงลอยตว (Buoyant Forces) คอ แรงเนองจากของเหลวกระท าตอวตถในทศขน แรงดงกลาวมคาเทากบน าหนกของของเหลวทถกแทนทวตถนน ซงเรยกค ากลาวนวา หลกของอารคมดส (Archimedes’s Principle) ดงแสดงในรปท 5.6 เมอพจารณาวตถจมอยในของเหลว ต าแหนงความดนมคาท าใหวตถลอยตวอยได แรงลอยตวมคามากหรอนอยขนอยกบความหนาแนนของของเหลวและ

แรงดงดานลาง 1 1 a 1F = PA = (P + gy )A แรงดงดานบน 2 2 a 2F = P A = (P + gy )A

1 2 a 1 a 2F F = (P + gy )A (P + gy )A

B 2 1F = gA (y y )

BF = gV (5.9)

เมอ BF คอ แรงลอยตว มหนวยเปน N

ρ คอ ความหนาแนนของของเหลว มหนวยเปน kg/m3 V คอ ปรมาตรของวตถสวนทจม มหนวยเปน m

แรงลอยตวมคามากหรอนอยขนอยกบความหนาแนนของของเหลวและวตถ ถาวตถมความหนาแนน (น าหนก) นอยกวาของเหลว แรงลอยตวทกระท าตอวตถนนจะมคามากกวาทจะตานน าหนกของวตถ สงเกตไดจากขนาดลกศรทมความยาวและสนทตางกนและส าหรบวตถทมความหนาแนน (น าหนก) มากกวาของเหลว แสดงวาแรงลอยตวทกระท าตอวตถจะมคานอยกวาน าหนกของวตถ ดงรปท 5.6

รปท 5.6 แสดงแรงลอยตวของวตถ เมอ B คอแรงลอยตว Fg คอน าหนกวตถ

P2F

2y

1yP1F

103

ตวอยางท 5.4 วตถ A มปรมาตร VA และพนท A เมอน าไปใสไวในของเหลว U ทไมทราบความหนาแนนพบวามสวนจมลงในของเหลวนนเทากบ 4.6 cm แตเมอน าไปใสไวในน าพบวามสวนจมลงในน านนมคาเทากบ 5.8 cm จงหาวาความหนาแนนของเหลว U มคาเทาไร

รปท 5.7 แสดงสวนจมลงในของเหลวทไมทราบความหนาแนน U และในน า W

วธท า จาก BF ρgV (1)

และ BF w (2)

จะไดวา BU U UF ρ gV (3) และ BW W WF ρ gV (4) เมอ A A Aw ρ gV (5)

จะไดสมการ (3) เทากบ (5)

U U A Aρ V ρ V (6)

จะไดสมการ (4) เทากบ (5)

W W A Aρ V ρ V (7)

น าสมการ (6) เทากบ (7)

U U A A

W W A A

ρ V ρ Vρ V ρ V

W WU

U

ρ VρV

W WU

U

ρ AyρAy

3

U1000kg/m 5.8 cmρ

4.6 cm

3Uρ 26,680 kg/m

U W

1y 1y

104

5.4 ความตงผวและความหนด ความตงผว (Surface tension) เกดจากแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของเหลวเพอคง

สภาพเดมไวเมอมแรงภายนอกมากระท าดงรปท 5.8 ซงสามารถนยามไดวาเปน ปรมาณของงานทใชในการเพมพนทผวของของเหลว สามารถเขยนสมการไดวา

w = A

(5.10)

เมอ คอ ความตงผว มหนวยเปน N/m

w คอ ปรมาณของงาน มหนวยเปน N.m

A คอ พนทผวของของเหลวทเพมขน มหนวยเปน m2

เชน จากดงรปท 5.8 เมอน าขดลวดสเหลยมพนผาจมลงในของเหลวหนด ไดพนทผวขนาด b x

l1 เมอออกแรงยดจนไดพนทผวใหมขนาด b x l2 และเนองจากของเหลวมผวสองดานดงนนจากนยามสามารถเขยนไดเปน

2 1 2 1

2 1 2 1 2 1

F.(l l ) F.(l l ) F = = = (l .b l .b)+(l .b l .b) 2b(l l ) 2b

(5.11)

หรอสามารถนยามไดวาเปน อตราสวนระหวางแรงกระท าตอความยาวของของเหลวในแนวตงฉากกบแรงทมากระท า

รปท 5.8 แสดงการเกดจากแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของเหลว

และแรงตรงผวเนองจากแรง F

F

F

b

1l2l

105

ความหนด (Viscosity) เปนสมบตการตานการเคลอนทของของเหลว (แรงหนด) นน มสมบตดงนแรงหนดทกระท าตอวตถทรงกลม ดงรปท 5.9 สามารถหาไดจากกฎของสโตกส (Stokes’s law) คอ

F = 6πηrv (5.12)

เมอ F คอ แรงหนดของของไหล มหนวยเปน N

η คอ ความหนดของของไหล มหนวยเปน Pa.s

r คอ รศมของวตถทรงกลม มหนวยเปน m

v คอ ความเรวของวตถทรงกลม มหนวยเปน m/s

รปท 5.9 แสดงการเคลอนทของวตถในของเหลว

mg

BF F

106

5.5 อตราการไหลและสมการของแบรนลล เมอพจารณาการไหลของของไหลผานทอไมสม าเสมอดงรปท 5.10 ของไหลไหลเขา

พนทหนาตด A1 ดวยความเรว v1 และของไหลไหลออกพนทหนาตด A1 ดวยความเรว v1 เมอของไหลเปนของไหลในอดมคต 4 ขอ คอ ไมมความหนด ไมสามารถบบอดได ความหนาแนนสม าเสมอ ไหลอยางสม าเสมอ ไมมการหมน แสดงวามวลของของไหลทไหลผานพนทหนาตด A1 ในชวงเวลา t จะมคาเทากบมวลของไหลไหลผานพนทหนาตด A2 ในชวงเวลาเดยวกน สามารถเขยนสมการไดเปน

A1 A2m = m

A1 A2ρV = ρV

1 1 2 2ρA x = ρA x

1 1 2 2ρA v t = ρA v t

1 1 2 2A v = A v (5.13)

1 1A v = คาคงท (5.14)

สมการ 5.11 คอ สมการของความตอเนอง และ Av คอ อตราการไหล (Flow rate, R) คอ อตราเรวของไหลผานทอหรอชองการไหลทกต าแหนงมคาคงทเสมอ หรอ ปรมาตร (V) ตอหนงหนวยเวลา (t)

VR = Av =t

(5.15)

รปท 5.10 แสดงการไหลของของไหลผานทอไมสม าเสมอ

2 A

1 x , t

2 x , t

2 A

1 A 1 v

2 v

107

ตวอยางท 5.5 น าไหลดวยอตราเรว 10 cm/s ในทอทมเสนผานศนยกลาง 0.3 cm ไปสเสนทอขนาดเลกลงศนยกลาง 0.2 cm จงหาอตราเรวของน าไหลในทอเลก

วธท า จาก 1 1 2 2A v = A v

2 2

1 1 2 2πr v = πr v

2 2

2(0.15cm) (10cm/ s) (0.1cm) v 2v = 22.5 cm/s

ตวอยางท 5.6 เปดน าใสถงขนาด 30 L พบวาน าเตมภายใน 1 นาท จากนนตอสายฉดเขาบรเวณกบทอทขางถงซงมพนทหนาตดเทากบ 0.5 cm2 และยกสายฉดขนเหนอทอทขางถง 1 m ดงรปท 5.11 จงหาวาน าจะพงออกจากหวฉดเปนระยะทางเทาไร

รปท 5.11 แสดงการไหลของน าจากถงไปยงสายฉด

วธท า จาก xR = Av

xRv = A

และจาก 2f i y

1y = y +v gt2

2f

1y = (0) + (0) gt2

f2y t = g

และจาก f i xx = x +v t

แทนคาตางๆจะไดวา f

f2yRx = (0) +

A g

ff

2yRx = 30 L + A g

fx = 4.52 m

xyv

xv

108

เมอพจารณาของไหลในทอไมสม าเสมอดงรปท 5.12 ถกท าใหไหลดวยแรงดน F1 ของไหลไหลเขาพนทหนาตด A1 ดวยความเรว v1 เปนระยะทาง

1x และของไหลไหลออกจากพนทหนาตด A1

ดวยความเรว v1 เปนระยะทาง 2x ซงถกตานการไหลดวยแรงดน F2 ขณะเดยวกนกมแรงโนมถวง

กระท ากบของไหลเนองจากมการเปลยนต าแหนงจากระดบอางอง ดงนนเราสามารถน ากฎการอนรกษพลงงานมาพจารณาระบบทเกดขน ไดเปน

พจารณางานทต าแหนงท 1 F1 1 1 1 1 1 1 1W = F x = PA x = PV

พจารณางานทต าแหนงท 2 F2 2 2 2 2 2 2 2W = F x = P A x = P V

งานรวมของระบบ 1 2 1 1 2 2 1 2W = W W = PV P V = (P P )V

พจารณาพลงงานจลนทต าแหนงท 1 2 2 2

k1 1 1 1 1 1 11 1 1E = mv = ρA x v = ρV v2 2 2

พจารณาพลงงานจลนทต าแหนงท 2 2 2 2

k2 2 2 2 2 2 21 1 1E = mv = ρA x v = ρV v2 2 2

พลงงานจลนรวมของระบบ 2 2 2 2

k2 k1 2 2 1 1 2 11 1 1E E = ρV v ρV v = ρV(v v )2 2 2

พจารณาพลงงานจลนทต าแหนงท 1 p1 1 1 1 1E = mgy = ρA x gy

พจารณาพลงงานจลนทต าแหนงท 2 p2 2 2 2 2E = mgy = ρA x gy

พลงงานจลนรวมของระบบ p2 p1 2 1 2 1 2 1E E = mgy mgy = mg(y y ) = Vg(y y )

แทนคาในกฎการอนรกษพลงงานลงงานจลนรวมของระบบจะไดวา

พลงงานจลนรวมของระบบ 2 2 2 2

k2 k1 2 2 1 1 2 11 1 1E E = ρV v ρV v = ρV(v v )2 2 2

พลงงานจลนรวมของระบบ p2 p1 2 1 2 1 2 1E E = mgy mgy = mg(y y ) = Vg(y y )

109

รปท 5.12 แรงดนบนของไหลในทอไมสม าเสมอทระดบตางกน

ทกๆ จดภายในทอทของไหลไหลผานจะมผลรวมของความดน พลงงานจลนตอปรมาตรและพลงงานศกยตอปรมาตรคงทเสมอ เรยกวา สมการของแบรนลล (Bernoulli’s Eruation) จะได

2 21 1 1 2 2 2

1 1P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh2 2

(5.16)

เมอ 1 2P , P คอ ความดนของของเหลวในทอ ทจด 1 และ 2

1 2v , v คอ อตราเรวของไหล ทจด 1 และ 2

1 2h , h คอ ความสงจากพนดงจดศนยกลางทอ ทจด 1 และ 2

ρ คอ ความหนาแนนของของเหลว

1 1 1 F =P A 2 x

2 v 2 2 2 F =P A

1 y 2 y1 x

1 v

1 v

2 v 2 2 2 F =P A

1 1 1 F =P A2 y

2 y

110

ตวอยางท 5.7 ทอเวนทรลกษณดงรป 5.13 ใชส าหรบหาอตราเรวของการไหลของน าในทอ ถาความแตกตางของความดนทต าแหนงท 1 และ 2 มคาเทากบ P1-P2 จงหาอตราเรวของการไหลของน าในทอต าแหนงท 2

รปท 5.13 แสดงการไหลของของไหลผานเวนทร

วธท า

2 21 1 1 2 2 2

1 1P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh2 2

2 2

1 1 2 21 1P + ρv +(0) = P + ρv + (0)2 2

222 2

1 2 21

A v1 1P + ρ = P ρv2 A 2

222

1 2 221

A 1P P = 1 ρvA 2

2 222 2

1 2 221

A A 1P P = ρvA 2

1 22 1 2 2

1 2

2 P Pv = A

ρ(A A )

2A1A

09 3

6

09 3

6

1P2P

1v 2v

1 2

111

ตวอยางท 5.8 ถงระบบปดใสของเหลวความหนาแนน ρ มทอทขางถงหางจากผวของเหลวและกนถงเทากบ h และ y1 ตามล าดบ และมพนทหนาตดของทอและถงเทากบ A1 และ A2 ความดนภายในถงและนอกถงเทากบ P และ P0 (ความดนบรรยากาศ) ตามล าดบ ถาระดบเหลวในถงเทากบ y2 จงหาความเรวของของเหลวทพงออกจากทอ

รปท 5.14 การไหลน าในถงปดไปยงทอทขางถง

วธท า

จาก 2 2

1 1 1 2 2 21 1P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh2 2

เนองจาก 2 1A A จะถอวาของไหลดานบนอยในสภาพนง ดงนนจะไดวา

2 20 1 1 2 2 2

1 1P + ρv +ρgy = P + ρ(0) +ρgy2 2

2 2

12(P P )v = +2gh

ρ

ตวอยางท 5.9 น าไหลผานจากทอปลายใหญไปยงปลายเลก ดงรป 5.15 พบวาทต าแหนงทอปลายใหญซงมเสนผานศนยกลาง 6 cm มความดน P1 = 1.75x104 Pa สวนทต าแหนงทอปลายเลกซงอยสงจากทอปลายใหญ y = 0.25 m มเสนผานศนยกลาง 3 cm และความดน P2 = 1.20 x104 Pa จงหาความเรวของการไหลทต าแหนงทอปลายใหญและปลายเลก และอตราการไหลเชงปรมาตร

รปท 5.15 การไหลของน าผานทอไมสม าเสมอ

P

2yh

1y1v

2A

1A

0P

1Py

2P

112

วธท า จาก 2 21 1 1 2 2 2

1 1P + ρv +ρgy = P + ρv + ρgy2 2

และ 1 1 2 2A v = A v

1 12

2

A vv = A

แทนคาจะไดวา

22 1 1

1 1 1 2 22

A v1 1P + ρv +ρgy = P + ρ + ρgy2 2 A

221 1

1 2 1 2 12

A v1 1P P +ρgy ρgy = ρ ρv2 A 2

2 221 2

1 2 2 122

A A 1P P +(0) ρgy = ρvA 2

222 1 2 212 2

1 2

2A (P P ρgy ) = vρ(A A )

1 2 21 2 2 2

1 2

2(P P ρgy )v = Aρ(A A )

1v = 2.64 m/s

แทนสมการ 1v จะไดวา

2v = 10.58 m/s

จาก 1 1R = A v

แทนสมการ 1v จะไดวา

3 3R = 7.48 10 m /s

113

บทสรป

ความหนาแนน เปนคณสมบตเฉพาะของวตถหนง โดยหากเปนวตถ (สาร) เดยวกนจะมความหนาแนนเทากน และวตถตางชนดกนจะมความหนาแนนทตางกน

m = V

ความดน คอ ปรมาณของแรงกระท าในแนวตงฉากตอหนงหนวยพนท FP = A

ความดนสมบรณ

a 2 1P = P ρg(y y )

ความดนสมบรณเกจ

5aP = 1.013 10 Pa

กฎของปาสคาล แรงอด F1 กระท ากบพนทของกระบอกสบเลก A1 ความดนจะสงไปยงของเหลวและสงไปยงกระบอกสบใหญ A2 ดวยแรงดน F2 เนองจากความดนทงสองดานเทากน

1 2

1 2

F F=A A

แรงลอยตว คอ แรงเนองจากของเหลวกระท าตอวตถในทศขน แรงดงกลาวมคาเทากบน าหนกของของเหลวทถกแทนทวตถนน

BF = gV ความตงผว เกดจากแรงยดเหนยวระหวางโมเลกลของของเหลวเพอคงสภาพเดมไวเมอมแรงภายนอกมากระท า

w = A

ความหนด เปนสมบตการตานการเคลอนทของของเหลว นน(แรงหนด) แรงหนดทกระท าตอวตถทรงกลม กฎของสโตกส (Stokes’s law)

F = 6πηrv สมการของความตอเนอง

1 1 2 2A v = A v

1 1A v = คาคงท สมการของแบรนลล ทกๆจดภายในทอทของไหลไหลผานจะมผลรวมของความดน พลงงานจลนตอปรมาตรและพลงงานศกยตอปรมาตรคงทเสมอ 2 2

1 1 1 2 2 21 1P + ρv +ρgh = P + ρv +ρgh2 2

114


1. ทรงกระบอกโลหะมวล 80 kg ยาว 2 m มพนทฐาน 25 cm2 จงหาความดนททรงกระบอกท าตอพน ถาวางทรงกระบอกในแนวตงฉาก

2. ถาความดนบรรยากาศขณะนนมคา 1.0 x 105 Paจงหาแรงดนทยงคงท าใหอากาศอยในภายหองไดโดยหนาตางมขนาด 40 cm x 80 cm

3. จงหาความดนของของไหลทความลก 76 cm เมอของไหล คอ (a) น า ( = 1g/cm3 (b) ปรอท = 13.6g/cm3

4. เรอด าน าอยใตทะเลลก 120 m จงหาความดนสมบรณทกระท าตอเรอด าน า ถาความหนาแนนของน าทะเลเทากบ 1.03 g/cm3

5. เขอนแหงหนงลก 12 m จงหาความดนของน าท (a) จดต าสดของเขอน (b) ระยะ 3 m จากผวน า 6. เขอนกนน าจดมน าอยลก 20 m ทฐานเขอนเจาะเปนรโตขนาดเสนผานศนยกลาง 1.4 m จงหา

แรงดนน าทไหลออกจากร 7. หลอดแกวรปตวยดานซายบรรจน าสง 40 cm และดานขวาบรรจของไหลชนดหนงสง 31 cm จง

หาความหนาแนนของของไหลชนดน

8. รปท 5.12 แสดงระบบเครองไฮโดรลก ประกอบดวยกระบอกสบใหญ A1 = 200 cm2และกระบอกสบเลก A2 = 5 cm2 ถาออกแรง F2 = 250 N จงหาแรง F1ทกระท าตอลกสบใหญ

9. ระบบเครองไฮโดรลก แสดงดงรปท 5.13 ประกอบดวยกระบอกสบใหญมพนท 800 cm2 บรรจทรงกระบอกมวล 600 kg และกระบอกสบเลกพนท 25 cm2ถาภายในระบบเครองบรรจน ามนทมความหนาแนนเทากบ 0.78 g/cm3 จงหาแรง F ทตองท าใหระบบอยในสภาพสมดล

10. กลองอลมเนยม 25 g ผกดวยเชอกเบาแลวหยอนลงไปในน าใหจมกลองพอด จงหา (a) ปรมาตรของกลองอลมเนยม (b) แรงตงเชอกทกระท าตอกลองอลมเนยม ก าหนดใหความหนาแนนของกลองอลมเนยมเทากบ 2700 kg/m3

11. โลหะผสมชนหนง เมอชงในอากาศมมวล 86 g และชงในน ามมวล 73 g จงหาปรมาตรและความหนาแนนของโลหะผสมชนน

12. ปลอยลกกลมเหลกรศม 1 mm ตกลงในน าเชอม จงหาความเรวปลายของลกเหลกน ก าหนดให ความหนาแนนเหลก 7.8 x 103 kg/m3ความหนาแนนน า 103 kg/m3 ความหนดของน า10-3

N·s/m2

115

115




6.1 กฎของฮค

6.2 สมการการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

6.3 พลงงานของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย




1. อธบายและค านวณหาปรมาณตางๆส าหรบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายได 2. ยกตวอยางเหตการณหรอสถานการณทเปนการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายได

3. หาค าตอบของสมการและพลงงานของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายได 4. เขาใจและค านวณหาปรมาณตางๆของลกตมนาฬกาไดอยางถกตอง











116




117

บทท 6

การเคลอนทแบบสน

6.1 กฎของฮค วตถทมการเคลอนทกลบไปกลบมาซ ารอยเดม จะเรยกการเคลอนทแบบนวา การเคลอนทแบบ

สน หรอการเคลอนทแบบมคาบ หรอการแกวงกวด ในชวตประจ าวนเราไมทนไดสงเกตพฤตกรรมตวเองเกยวกบการเคลอนทแบบน เนองจากไดกลายเปนกจวตรประจ าวนทท าใหเกดความเคยชน เชน ขบรถกลบบานโดยใชเสนทางเดมทกวน นงทานอาหารเยนทโตะอาหารโตะเดมทกเยน การแกวงโคมไฟระยาเลน แมกระทงใน 1 ปม 4 ฤด ซงเกดจากโลกโคจรรอบดวงอาทตยครบ 1 รอบใชเวลาประมาณ 365 วน ดวงจนทรโคจรรอบโลกใชเวลา 27.3 วนตอ 1 รอบ ท าใหเกดพระจนทรเตมดวง

วตถทถกท าใหเคลอนทออกจากต าแหนงสมดลแลวมแรงดงกลบสต าแหนงสมดลคนมา แตระหวางเคลอนทกลบนนจะไดรบพลงงานจลนมาดวย ท าใหวตถเคลอนทเลยจดสมดลไปอกฝงจากนนวตถจะถกดงกลบสต าแหนงสมดลอกครง การเคลอนทแบบนเรยกวา การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย (Simple Harmonic motion) แสดงดงรปท 6.1 เปนการทดลองการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย โดยผกมวลทมปากกาอยตดไวกบสปรง เมอวตถเคลอนทขนและลง ปากกาทตดไวจะลากเสนทางบนกระดาษทก าลงเคลอนทไปในแนวนอน ซงมลกษณะแบบเสนโคงรปไซน (cosine curve) เมอน ามาพลอตคาระหวางการกระจดกบเวลา จะพบวา ระยะการกระจดสงสดคอแอมปลจด A ซงการกระจดอยระหวาง –A กบ +A ผานจดสมดลคอ x = 0 ดงรปท 6.1

รปท 6.1 แสดงการทดลองการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของมวลตดสปรง

+A

A

v

118

รปท 6.2 แสดงการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของมวลตดสปรง

จากทกลาวมาขางตน แรงดงกลบสต าแหนงสมดลจะเปนสดสวนโดยตรงกบระยะการกระจดหรอระยะยดของสปรง (x) และมทศตรงขามกบ x เรยกวา กฎของฮค (Hook’s law) ดงแสดงในรปท 6.2 สามารถนยามสมการตามกฎของฮคเปน

SF kx (6.1) เมอ SF คอ แรงดงกลบ หรอแรงคนตว มหนวยเปน N

k คอ คาคงตวสปรง มหนวยเปน N/m

x คอ การกระจดจากสมดล มหนวยเปน m

6.2 สมการการเคลอนทแบบฮารมอนกแบบงาย จากกฎการเคลอนทของขอท 2 ของนวตนสามารถเขยนในรปของอนพนธไดวา

2

2dxF mdt

(6.2)

แทนกฎของฮคในสมการท (6.2) จะไดวา

2

2dxm kxdt

2

2dx k x 0dt m

เมอ 2 km

จะไดวา

2

22

dx x 0dt

(6.3)

หรอ

22

2dx xdt

(6.4)

FSF

0x

x

x

119

สมการการทไดคอสมการเชงอนพนธล าดบทสอง และสามารถหาค าตอบของสมการไดเปน

maxx(t) x sin( t ) Asin( t )

maxx(t) x cos( t ) Acos( t )

เมอ x(t) คอ การกระจด ณ ชวงเวลาใดๆ

maxx คอ การกระจดสงสด หรอ แอมปลจด (A)

( t ) คอ มมเฟส

คอ มมเฟสเรมตน ท

เมอพจารณาฟงกชนไชนของจากการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ดงรปท 6.3 พบวาเมอชวงเวลาท t เพมขนเปน 2 เรเดยน จะไดกราฟทมจดเรมตนเหมอนกนกบกราฟในตอนแรก และจะซ าเดมไปเรอยๆ ซงเรยกการซ าเชนนวา คาบ (period, T) คอ เวลาทใชในการเคลอนทครบ 1 รอบ มหนวยเปน วนาท (s) คาบหาไดจากการพจาณาความตางเฟสของการกระจด (x) ณ เวลา t และ การกระจด ณ เวลา t T มคาเทากบ 2 จะไดวา

(t T) t 2

2T

(6.6)

สวนกลบของคาบ เรยกวา ความถ (frequency, f) คอ จ านวนรอบทอนภาคเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา มหนวยเปน รอบตอวนาท หรอ เฮรช (hertz, Hz) สามารถเขยนสมการไดเปน

1fT 2

(6.7)

หรอ 22 fT

(6.8)

จากสมการ 6.7 และ 6.8 สามารถเขยนความสมพนธการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของอนภาคมวล m ผกตดกบสปรงซงมคาคงทสปรง k ไดเปน

2 mT 2

k

(6.9)

1 1 kfT 2 m

(6.10)

เมอ T คอ คาบของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

f คอ ความถของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

m คอ มวลตดสปรง k คอ คาคงตวสปรง

(6.5)

120

รปท 6.3 แสดงกราฟการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

เมออนพนธฟงกชนโคไชนของสมการการกระจดจะไดความเรว ณ ชวงเวลาใดๆเปน

dx(t)v(t)

dt

d Acos( t )

dt

A sin( t ) (6.11) เมออนพนธฟงกชนไชนของสมการความเรวจะไดความเรง ณ ชวงเวลาใดๆเปน

dv(t)a(t)dtd A sin( t )dt

2 Asin( t ) (6.12)

สามารถเขยนกราฟความไดดงรปท 6.4 และเนองจากฟงกชนไชนและโคไชนมคาอยระหวาง 1 ดงนนคาต าสดและสงสของความเรวและความเรง จะไดเปน

maxv A หรอ maxv A (6.13)

2

maxa A หรอ maxa A (6.14)

x T π4 2

T π2

3T 3π4 2

T = 2π

t

t

t

t

t

121

รปท 6.4 แสดงการความสมพนธระหวาง การกระจด ความเรว ความเรง กบเวลา

รปท 6.5 การพจารณาการกระจด ความเรว และความเรง ในการเคลอนทแบบวงกลมของวตถ

A

y

x

y

x x

y

xv

v ωA

xv vcos( t )

( t )

xa2a ω A

xa a cos( t ) x Acos( t )

x

x T π4 2

T π2

3T 3π4 2

T = 2π

ωt

ωt

ωt

a

v

122

อาศยความสมพนธระหวางการแบบฮารมอนกอยางงายและการเคลอนทแบบวงกลมดงรปท 6.5 จะสามารถจดรปจากสมการ 6.14 ไดเปน

x Acos( t ) (6.15)

คาความเรว จงเปน

xv vsin( t )

A sin( t ) (6.16)

คาความเรง จงเปน

xa a cos( t )

2A cos( t ) (6.17)

จากสมการท 6.15 เราสามารถหาคาคงเฟสเรมตน , A ซงเปนปรมาณทบอกต าแหนงเรมของวตถไดจากเงอนไขเรมตนทก าหนดมาให คอ

เมอ 0t 0, x(t) = x

0x Acos( (0) )

0x Acos (6.18)

จากสมการท เราสามารถหาคาคงทเฟส ไดจากเงอนไขเรมตนทก าหนดมาใหคอ

เมอ 0t 0, v(t) = v

0v A sin( (0) )

0v A sin (6.19)

เมอน าสมการท (6.13) หารดวยสมการท (6.13) จะสามารถหามมเฟสเรมตน ไดเปน

0

0

v A sinx Acos

0

0

v tanx

1 0

0

vtanx

(6.20)

และเมอยกก าลงสองสมการท (6.13) และสมการท (6.13) และน าสมการทงสองงบวกกน จะสามารถหาคาคงทเฟสเรมตน A ไดเปน

22 2 2 2 200 2

vx A cos A sin

2

2 00 2

vA x

(6.21)

123

ตวอยางท 6.1 กลองมวล 500 g ผกตดกบสปรงเบาทมคาคงตวสปรง 200 N/m ไมคดแรงเสยดทานใดๆ ในการเคลอนท โดยท าใหสปรงยดออกเปนระยะ 1.5 cm จากจดสมดล แลวปลอยใหมวลเรมเคลอนทดวยความเรว 4 m/s จงหา

(a) คาบ แอมปลจด และมมเฟส

(b) การกระจด ความเรว และความเรง ทเวลา t ใดๆ

วธท า (a) จาก mT 2k

0.5 kg2200 N / m

0.314 s

จาก 2 2T 0.314s

20 rad / s

จาก 2

2 00 2

vA x

22

2(0.4 m / s)(0.015 m)(20 rad / s)

0.025 m

และจาก 1 0

0

vtanx

1 0.4 m/stan20 rad/s 0.015 m

o53

0.93 rad

(b) จาก x(t) Acos( t ) แทนคา A, , จะไดวา

x(t) (0.025m)cos (20 rad/s) t 0.93 rad

จาก v(t) A cos( t ) แทนคา A, , จะไดวา

v(t) (0.5 m/s)cos (20 rad/s) t 0.93 rad

และ จาก 2a(t) A sin( t ) แทนคา A, , จะไดวา

2a(t) (10 m/s )sin (20 rad/s) t 0.93 rad

124

ตวอยางท 6.2 วตถเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ไดสมการแสดงต าแหนงของมวลทเวลาใดๆ คอ x(t) 4cos(3 t ) เมอ x(t) มหนวยเปนเมตร และ t มหนวยเปนวนาท จงหา (a) แอมพลจด ความถ คาบและมมเฟส ของการเคลอนท

(b) ความเรว และความเรงของวตถทเวลาใดๆ

(c) การกระจด ความเรว และความเรงทเวลา t = 0.25 s

วธท า (a) จาก 2T

23

2 s3

จาก 1fT

3 Hz2

A 4 m และ rad

(b) จาก dv(t) x(t)dt

d 4cos(3 t )dt

12 cos(3 t )

จาก da(t) v(t)dt

d 12 sin(3 t )dt

236 cos(3 t )

(b) จาก v(0.25) 12 cos(3 (0.25) )

37.50 m/s จาก

2a(0.25) 36 cos(3 t )

37.50 m/s

125

6.3 พลงงานของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย เมอวตถมวล m ผกตดกบสปรงถกแรงดงกลบสต าแหนงสมดล ดงรปท 6.6 ท าใหระบบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายมทงพลงงานจลน และพลงงานศกย เนองจากศกยยดหยนของสปรง ท าใหนยามสมการไดเปน

จากพลงงานจลน 2k

1E mv2

และจาก v = Aωsin(ωt+ ) จะไดวา

2 k

1E = m Aωsin(ωt+ )2

2 2 21= mA ω sin (ωt+ )2

2 21= kA sin (ωt+ )2

(6.22)

จากพลงงานศกยยดหยนของสปรง 2PS

1E = kx2

และจาก x(t) Acos( t ) จะไดวา

2 k

1E = k Acos( t )2

2 21= kA cos ( t )2

(6.23)

ดงนน พลงงานรวมทงหมดของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย คอ

k PSE E E (6.24)

2 2 2 21 1= kA sin ( t ) kA cos ( t )2 2

2 2 21= kA sin ( t ) cos ( t )2

เมอ 2 2sin cos 1 จะไดวาพลงงานรวมทงหมดของการเคลอนท

21E kA2

(6.25)

จะเหนวา พลงงานรวมทงหมดของการเคลอนท เปนคาคงท

จะไดวา 2 2 21 1 1kA mv kx2 2 2

2 2 2 2 2 2k kv (A x ) A x A x

m m (6.26)

126

รปท 6.6 แสดงพลงงานจลน (Ek) และพลงงานศกย (Eps) ระหวางต าแหนง x = ±A

เมอพจารณาท x =±A จะพบวา v = 0 ซงแสดงวาไมมพลงงานจลน ณ จด x = ±A ดงนนจงมพลงงานศกยเพยงพลงงานเดยว และท x = 0 จะพบวา v = vmax = A แสดงวาไมมพลงงานศกย ณ จด x = 0 ดงนนจงมพลงงานเพยงพลงงานเดยว จากต าแหนง x = ± A และ x = 0 ท าใหสามารถเขยนความสมพนธระหวางพลงงานจลนและพลงงานศกยกบต าแหนง ดงรปท 6.6 และท าใหสรปไดวา พลงงานรวมทงหมดของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายมการเปลยนรปจากพลงงานศกย (ท x =

± A) ไปเปนพลงงานจลน (ทจดสมดล x = 0) ดงตารางท 6.1

ตารางท 6.1 แสดงความเรวสงสด ความเรงสงสด พลงงานจลน และพลงงานศกยของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายทต าแหนง x = 0 และ x = A ซงสอดคลองกบรปท 6.6

เวลา (t)

ต าแหนง (x)

ความเรวสงสด (vmax)

ความเรงสงสด

(amax)

พลงงานจลน (Ek)

พลงงานศกย (Ep)

0 A 0 -2A 0 21 kA2

T/4 0 -A 0 1/2kA2 0

T/2 -A 0 2A 0 1/2kA2

3T/4 0 A 0 1/2kA2 0

T A 0 -2A 0 1/2kA2

E

A +A

2ps

1E = kx2

2k

1E = mv2

x

E

127

ตวอยางท 6.3 วตถมวล 0.5 kg ผกตดกบสปรงมวลเบาทมคาคงทสปรง 20 N/m ปลอยใหเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายตามแนวแกน x โดยไมมแรงเสยดทาน จงหา

(a) ความเรวสงสด (vmax) ถามแอมปลจลเทากบ 3 cm

(b) ความเรวของวตถทต าแหนง x เทากบ 2 cm

(c) พลงงานจลนและพลงงานศกยของวตถทต าแหนง x เทากบ 2 cm

วธท า จาก 2 2kv (A x )m

(a) ความเรวสงสดเมอ x = 0

จะไดวา max

kv Am

20N / m (0.03m)0.5kg

0.189 m / s

(b) ความเรวของวตถทต าแหนง x เทากบ 0.02 m

จะไดวา

2 220N / mv (0.03m) (0.02m)0.5kg

0.141 m / s (c) ความเรวของวตถทต าแหนง x เทากบ 0.02 m

จะไดวา 2

k1E mv2

21 (0.5kg)(0.141m / s)

2

34.97 10 J

จะไดวา 2PS

1E kx2

21 (20N / m)(0.02m)

2

34.0 10 J

128


รปท 6.7 แสดงการเคลอนทของลกตมนาฬกาอยางงาย

ลกตมนาฬกาอยางงาย (Simple Pendulum) เปนอกหนงระบบทมการเคลอนทแบบสน หรอแบบมคาบ ระบบนประกอบดวยมวลผกดวยเชอกเบา เมอดงมวลใหขนมาจากต าแหนงสมดลแลวปลอยใหเคลอนท จะมแรงดงกลบตามเสนโคง การเคลอนทไปและกลบผานจดสมดลทจดต าสดของสวนโคงวงกลม ดงรปท 6.7 ซงแรงคนตวนเปนแรงเนองจากแรงโนมถวง คอ

F mgsin (6.27) จากกฎการเคลอนทของขอท 2 ของนวตนสามารถเขยนในรปของอนพนธไดวา

2

2dxF mdt

(6.28)

แทนแรงคนตวในสมการท (6.27) จะไดวา

2

2dxm mgsindt

จากความสมพนธ x L โดยท L เปนคาคงท แทนในสมการจะไดวา

2

2dmL mgsindt

2

2d g sin 0dt L

T

θ

mx

θ

mg

mgcosθ

mgsinθ

L

129

เมอมม มคานอยมากๆ (นอยกวา 10o) จะไดวาsin ท าใหไดสมการใหม คอ

2

2d g 0dt L

(6.29)

เมอ 2 gL

จะไดวา

2

22

d 0dt

(6.30)

หรอ

22

2ddt

(6.31)

สมการการทไดคอสมการเชงอนพนธล าดบทสอง และสามารถหาค าตอบของสมการไดเปน

max(t) cos( t ) (6.32) เมอ (t) คอ การกระจดเชงมม ณ ชวงเวลาใดๆ

max คอ การกระจดเชงมมสงสด

( t ) คอ มมเฟส

คอ มมเฟสเรมตน จากสมการ 6.6 และ 6.7 สามารถเขยนความสมพนธการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของอนภาคมวล m ผกตดกบสปรงซงมคาคงทสปรง k ไดเปน

2 LT 2

g

(6.33)

1 1 gfT 2 L

(6.34)

เมอ T คอ คาบของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

f คอ ความถของการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

L คอ ความยาวของเสนเชอก

130

ตวอยางท 6.4 นกศกษาไดท าการทดลองแกวงลกตมนาฬกา โดยนบการแกวงของลกตมนาฬกาได 120 รอบ ภายใน 3 นาท จงหา (a) คาบของการแกวงของลกตมนาฬกา และ (b) ความยาวเสนเชอกของลกตมนาฬกา (ก าหนดให g = 9.8 m/s2) วธท า (a) จาก T วนาท เทากบ 1 รอบ

ถา 180 วนาท เทากบ 120 รอบ

จะไดวา 1s 180T120

1.5 s

(b) จาก LT 2g

จะไดวา

2

2gTL4

2 2

2(9.8m / s )(1.5s)

4(3.14)

0.559 m

ตวอยางท 6.5 เมอต าแหนงเชงมมของลกตมนาฬกาคอ (t) (0.032 rad)cos (4.43rad/s)t จงหา (a) ความยาวเสนเชอกของลกตมนาฬกา และ (b) คาบของการแกวงของลกตมนาฬกา (ก าหนดให g = 9.8 m/s2)

วธท า (a) จาก gL

จะไดวา 2gL

2

29.8 m/s

(4.43rad/s)

0.499 m

(b) จาก LT 2g

จะไดวา 20.499m29.8m/s

1.42 s

131

บทสรป

กฎของฮค คอ แรงดงกลบสต าแหนงสมดลจะเปนสดสวนโดยตรงกบระยะการกระจดหรอระยะยดของสปรง (x) และมทศตรงขามกบ x

SF kx

ความถ คอ จ านวนรอบทอนภาคเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา ส าหรบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของอนภาคมวล m ผกตดกบสปรงซงมคาคงทสปรง k มหนวยเปน รอบตอวนาท หรอ เฮรช

1 1 kfT 2 m

คาบ คอ เวลาทใชในการเคลอนทครบหนงรอบ ส าหรบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายของอนภาคมวล m ผกตดกบสปรงซงมคาคงทสปรง k มหนวยเปน วนาท

2 mT 2k

สมการการกระจด ส าหรบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

x Acos( t ) ความเรว

ส าหรบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

v A sin( t ) ความเรง ส าหรบการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

2a A cos( t ) พลงงานรวม ทงหมดของการเคลอนท

21E kA2

สมการการกระจด การเคลอนทของลกตมนาฬกาอยางงาย

max(t) cos( t )

ความถ คอ จ านวนรอบทอนภาคเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา การเคลอนทของลกตมนาฬกาอยางงาย

1 1 gfT 2 L

คาบ คอ เวลาทใชในการเคลอนทครบหนงการเคลอนทของลกตมนาฬกาอยางงาย

2 LT 2g

132


1. ผกวตถตดกบสปรงทมคาคงตว 120 N/m ถาระบบสนดวยความถ 6 Hz จงหา (a) คาบ (b) ความถเชงมม (c) มวลของวตถ

2. ผกวตถตดกบสปรง ปลอยใหเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย ขณะทวตถอยทต าแหนง x = 0.28 m พบวามความเรงเปน –5.30 m/s2 จงหาความถของการเคลอนท

3. แขวนมวล 50 g ไวกบสปรง เมอเพมมวลอก 20 g สปรงจะยดออกอก 7.0 cm จงหา (a) คาคงตวสปรง (b) ถาเพมมวลอก 20 g คาบของการเคลอนทจะเปนเทาใด

4. สปรง 2 ตว มคาคงตวเทากนคอ 20 N/m น าวตถมวล 0.3 kg มาผกตดกบสปรงดงกลาว ดงรปท 6.9 จงหาคาบของการเคลอนท

5. วตถมวล 20 kg ผกตดกบสปรง 4 ตว ในแนวดง เมอคาคงตวแตละตวเปน 30 N/s จงหาคาบของการเคลอนท

6. จากรปท 6.8 จงหา (a) ความเรวสงสด (b) ความเรงสงสด

7. วตถมวล 0.5 kg ผกตดกบสปรงทเคลอนทดวยสมการความเรวทเปนฟงกชนของเวลา คอ

v = 3.6sin(4.71t+ ) 2

จงหา (a) คาบ (b) แอมปลจด (c) ความเรงสงสด (d) แรงของสปรง

8. ผกวตถ 1.5 kg กบสปรงทมสมการเปนฟงกชนของเวลา คอ

x(t) = 7.40cos(4.16t 2.42) จงหา (a) เวลาของการสน 1 รอบ (b) แรงของสปรง (c) ความเรวสงสด

(d) แรงสงสด (e) ต าแหนง ความเรว และความเรง ท t = 1 s

(f) แรงของมวลทเวลาใดๆ

9. ผกของเลนมวล 0.15 kg กบสปรง ปลอยใหเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงายดวยคาคงตวสปรง 300 N/m เมอของเลนเคลอนทไดระยะ x = 0.012 m จากต าแหนงสมดลมความเรวเปน 0.3 m/s จงหา (a) พลงงานรวมทงหมดของการเคลอนท (b) แอมปลจด (c) ความเรวสงสด

10. ผลกมวล 200 g เขาอดกบสปรงใหหดเขาไป 15 cm จากต าแหนงสมดล ดงรปท 6.10 แลวปลอยใหวตถเคลอนทกลบ ถาไมคดแรงเสยดทานระหวางพนและไมคดมวลของสปรง จงหาความเรวของวตถนทใชในการเคลอนทกลบ

133




7.1 ความรอน อณหภม และ กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร 7.2 การขยายตวดวยความรอน

7.3 ความจความรอน



7.6 งานในการเปลยนแปลงปรมาตร 7.7 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร 7.8 การประยกตใชกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรกบกระบวนการตางๆ



1. อธบายความสมพนธระหวางอณหภมและความรอนได

2. ค านวณหาคาปรมาณตางๆทเกยวของกบความรอนไดอยางถกตอง 3. ค านวณหาคาพลงงานภายในระบบและงานทางอณหพลศาสตรในระบบตางๆทก าหนดได 4. เขาใจและค านวณหาปรมาณตางๆของกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรไดอยางถกตอง 5. อธบายกระบวนการตางๆทประยกตใชในกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรไดอยางถกตอง






134









135

บทท 7

ความรอนและอณหพลศาสตร

7.1 ความรอน อณหภม และ กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร ความรอน (Heat) คอ การถายโอนพลงงานจากสสารหนงไปยงสสารหนงหรอระบบหนงไปส

ระบบอนๆเนองจากอณหภมทแตกตางกน โดยม อณหภม (Temperature) เปนตวปรมาณบอกสภาวะทางความรอนหรอระดบความรอนและมเครองมอในการวดปรมาณน เรยกวา เทอรโมมเตอร (Thermometer) เปนอปกรณทอาศยการเปลยนแปลงทางกายภาพของสสารเมอมการเปลยนแปลงอณหภม เชน การขยายตวในกาชเมอไดรบความรอนซงจะขยายตวมากกวาเมอเทยบกบของเหลว และของแขงตามล าดบ โดยความรอนจะเคลอนทจากบรเวณทมอณหภมสงไปยงอณหภมต า เรยกวา การถายโอนพลงงานความรอน เมอบรเวณทงสองจะมอณหภมทเทากนจะไมมการถายโอนพลงงานใหกนอก เรยกวา สมดลทางความรอน (Thermal equilibrium) เชน ถามวตถ A และ B วางแยกจากกน เมอน าเทอรโมมเตอรซงใหเปนวตถ C ไปวดอณหภมของวตถทงสองพบวามคาเทากน แสดงวาวตถสองชนอยในสภาวะสมดลความรอนตอกนได ดงนนวตถสองยอมอยในสภาวะสมดลความรอนกบวตถ C ดวยเชนเดยวกน ซงเรยกสภาวะสมดลความรอนของวตถเหลานวา กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร (The

Zeroth law of thermodynamics) ดงรปท 7.1

รปท 7.1 แสดงหลกการของกฎขอทศนยของอณหพลศาสตร

เทอรโมมเตอร มากมายหลายหลายประเภทขนกบชนดของวตถทน ามาท า เชน ปรอทหรอแอลกอฮอล ซงมการขยายตวไดดเมอไดรบความรอน ซงถกประจอยในหลอดแกวและมหนวยบอกระดบเปน องศาเซลเซยส (Degree Celsius, oC) โดยท 0 oC คอ จดเยอกแขงของน า และ100 oC คอ จดเดอดของน า ตงชอนตาม Anders Celsius นกวทยาศาสตรชาวสวเดน และองศาฟาเรนไฮต (Degree Fahrenheit, oF) ซงตงชอตามผกอตงคอ Gabriel Daniel Fahrenheit นกฟสกสชาวเยอรมน โดยท 0 oF เปนอณหภมทเยนทสด และ 100 oF เปนอณหภมทรอนทสด

B C

o25 CA o25 C

C

136

นอกจากนยงมการน ากาชมาใชเปนเทอรโมมเตอร ซงเปนระบบทมความปรมาตรคงท อณหภมและความดนเปลยนแปลง และจากการทดลองพบวาเมออณหภมลดลง กราฟระหวางความดนและอณหภมจะไปตดกนทอณหภม o273.15 C ดงรปท 7.2 ถงแมวากาซจะตางชนดกนกตาม จงไดมการก าหนดใหอณหภมทจดนเปนศนยองศาสมบรณ (Absolute zero) มคาเทากบศนยเคลวน (Kenvin, K)

รปท 7.2 แสดงความสมพนธกราฟระหวางความดนและอณหภม

แสดงความสมพนธของการเปลยนหนวยวดอณหภม องศาเซลเซยส องศาฟาเรนไฮต และ เคลวนสามารถนยามตามสมการดงน

oT (K) = T( C) 273.15 (7.1)

และ

o o5 T ( F) = T ( C) 329

(7.2)

ตวอยางท 7.1 ถาในตอนนอณหภมในหองทคณอยเทากบ 32 องศาเซลเซยส จงเปลยนหนวยของอณหภมองศาฟาเรนไฮตและเคลวน วธท า จาก o o5 T ( F) = T ( C) 32

9 (1)

5 = (33) 329

o = 50.33 F จาก oT (K) = T( C) 273.15 (2)

= 33 273.15

= 306.15 K

oT ( C)

P

0 100 200 300 400-400 -300 -200 -100

-273.15

Gas 1

Gas 2

Gas 3

137

7.2 การขยายตวดวยความรอน การขยายตวทางความรอน คอ การเปลยนแปลงรปรางของวตถเมอไดรบความรอน ซงขนอย

กบสมประสทธการขยายตว โดยวตถใดมสมประสทธของการขยายตวมากจะขยายตวไดมากกวา เชน ยาง สงกะส เหลกกลา ไม จะมการขยายตวไดมากไปนอย ตามล าดบ ณ อณหภมและความดนบรรยากาศเดยวกน และไดมการน าความรนไปใชประโยชนกบชวตประจ าวน เชน การเวนชองวางของหวสะพาน การเวนรอยตอของรางรถไฟ เปนตน โดยทวไปการขยายตวม 3 แบบ คอ

1. การขยายตวตามเสน คอ วตถจะมความยาวทยดออกไป (L) จากความยาวเดม (L0) ทเปนสดสวนโดยตรงกบความยาวเดมและอณหภมทเปลยนไป ดงสมการ

0L = L (1 T) (7.3)

เมอ L คอ ความยาวทยดออก

0L คอ ความยาวเดม

คอ สมประสทธการขยายตวตามเสน

T คอ อณหภมทเปลยนไป

2. การขยายตวตามพนท คอ วตถจะมความยาว (b) และความกวาง (a) ทยดออกไปจากความยาวเดมท าใหมพนทใหมทเกดจากการขยายตว เปน

0A = A (1 T) (7.4)

เมอ A

คอ พนททยดออก

0A คอ พนทเดม

คอ สมประสทธการขยายตวตามพนท มคาเทากบ 2 T คอ อณหภมทเปลยนไป

3. การขยายตวตามปรมาตร คอ วตถมการขยายตวทกทศทกทาง ตามสมการ 0V = V (1 T) (7.5)

เมอ V คอ ปรมาตรทยดออก

0V คอ ปรมาตรเดม

คอ สมประสทธการขยายตวตามปรมาตร มคาเทากบ 3

T คอ อณหภมทเปลยนไป

138

7.3 ความจความรอน เนองจากความรอน (Heat) คอ พลงงาน ดงนนจงมหนวยเหมอนกบพลงงานทวไปคอ จล

(Joule) หรอมหนวยวดปรมาณความรอนเปนแคลอร (Calorie) โดย 1 แคลอร คอ ปรมาณความรอนทท าใหน า 1 กรม มอณหภมเพมขน 1 องศา และ 1 cal จะเทากบ 4.186 J โดยทไมเปลยนสถานะ หาคาไดจากสมการ

Q = CΔT (7.6)

เมอ Q คอ ความรอน มหนวยเปน J

m คอ มวล มหนวยเปน kg C คอ คาความจความรอน มหนวยเปน J/K

T คอ อณหภมทเปลยนไป มหนวยเปน K หรอ oC

แตอยางไรกตามพบวา พลงงานทใหกบทองแดง 1 กรม มอณหภมเพมขน 1 องศา จะใชเพยง 4.186 J ดงนนปรมาณของความรอนทใชในการเปลยนอณหภมของสสาร ใหมอณหภมเพมขน 1 องศา

Qc = m

(7.7)

หรอ Q = cmΔT (7.8)

เมอ c คอ คาความรอนจ าเพาะ มหนวยเปน J/kg.K

และความรอนทใชในการเปลยนสถานะของสาร โดยทไมเปลยนอณหภม เรยกวา ความรอนแฝง (Latent Heat) หาคาไดจาก

Q = mL (7.9)

เมอ Q คอ ความรอนแฝง มหนวยเปน J m คอ มวล มหนวยเปน kg L คอ คาความรอนแฝงจ าเพาะ มหนวยเปน J

ซงความรอนแฝงม 2 แบบ คอ ความรอนแฝงของการหลอมเหลว ใชในการเปลยนสถานะจากของแขงไปเปนของเหลว และความรอนแฝงของการกลายเปนไอ ทใชในการเปลยนสถานะจากของเหลวกลายเปนไอสารแตละชนดจะมความสามารถในการเพมหรอลดอณหภม และมคาความรอนแฝงทแตกตางกนไป ดงแสดงในตาราง 7.1

139

ตารางท 7.1 แสดงความรอนแฝงของการหลอมเหลวและการกลายเปนไอของสารตางๆ

สาร จดหลอมเหลว (oC)

ความรอนแฝงของการหลอมเหลว

(J/kg)

จดเดอด (oC)

ความรอนแฝงของการกลายเปนไอ

(J/kg)

ฮเลยม -269.65 5.23 x 103 -268.93 2.09 x 104

ไนโตรเจน -209.97 2.55 x 104 -195.81 2.01 x 105

ออกซเจน -218.79 1.38 x 104 -182.97 2.13 x 105

แอลกอฮอล -114 1.04 x 105 78 8.54 x 105

น า 0 3.33 x 105 100 2.26 x 106

ซลเฟอร 119 3.81 x 104 444.60 3.26 x 105

ตะกว 327.3 2.45 x 104 1750 8.70 x 105

อลมเนยม 660 3.97 x 105 2450 1.14 x 107

เงน 960.8 8.82 x 104 2193 2.33 x 106

ทอง 1063 6.44 x 104 2660 1.58 x 106

ทองแดง 1083 1.34 x 105 1187 5.06 x 106

รปท 7.3 แสดงกราฟระหวางอณหภมและพลงงานทใชในการเปลยนน าแขงมวล 1 g

จากอณหภม -30 oC ใหกลายเปนไอทอณหภม 120 oC

Energy (J)

oT ( C)

water + steamsteam

water

ice + water

ice

62.7

500 1000 1500 2000 2500 3000

120

90

60

30

0

30

396 396 30703110

140

จากรปในชวงท 1 เปนชวงของการเปลยนอณหภมของกอนน าแขง จาก -30 oC ไปเปน 0 oC และจากคาความรอนจ าเพาะของน าแขง เทากบ 2090 J/kg ท าใหสามารถหาคาปรมาณความรอนทใชในการเปลยนอณหภม คอ

Q = CΔT

o o o2090 J/kg. C 0.001kg )(0 C– (– 30)= ( )( C)

62.= 7 J (1)

ในชวงท 2 เปนชวงของการเปลยนสถานะจากของแขงเปนของเหลว โดยทอณหภมคงทท 0 oC สามารถหาคาปรมาณความรอนแฝงไดเปน

Q = mL

5= (0.001 kg)(3 .33 10 J/kg)

= 333 J (2) ในชวงท 3 เปนชวงทเปลยนอณหภมจาก 0 oC เปน 100 oC โดยทสถานะยงคงทสามารถหาคา

ปรมาณความรอน ไดเปน

Q = cmΔT

5 o o o4.19 10 J/kg. C)(0.001 kg)(100 C – 0= ( ) C

= 419 J (3) ในชวงท 4 เปนชวงของการเปลยนสถานะจากของเหลวกลายเปนไอ และสามารถหาคาปรมาณ

ความรอนแฝง เปน

Q = mL

6= 0.001 kg)(2( .26 10 J/kg)

2.2= 6 J (4)

และในชวงท 5 เปนชวงของการเปลยนอณหภมจาก 100 oC เปน 120 oC ท าใหสามารถหาคาปรมาณความรอน ไดเปน

Q = cmΔT

3 o o o2.10 10 J/kg. C 0.001kg) 120 C – 1= ( )( ( 00 C)

= 40.2 J (5)

ดงนน ปรมาณความรอนทงหมดทใชในการเปลยนกอนน าแขงจาก –30 oC ไปเปน 120 oC คอ

62.7 J + 333 J + 419 J + 2.26x103 J + 40.2 J เทากบ 3,114 J

141

สมดลความรอน (Thermal equilibrium) เมอวตถตงแตสองชนดขนไปทมอณหภมตางกนมาสมผสหรอผสมกน จะเกดการถายโอนความรอนจากอณหภมสงกวาไปยงอณหภมต ากวาจนมอณหภมเทากน จงหยดการถายโอนความรอน เชน น าอนเกดจากการน าเอาน าเยนเทผสมกบน ารอน เปนตน โดยทปรมาณของวตถทมอณหภมสงคายออกมาท าใหมความรอนลดลง เทากบปรมาณความรอนของวตถทมอณหภมต าไดรบเขาไปท าใหมความรอนเพมขน ดงสมการ

increase decreaseQ = Q (7.10)

ตวอยางท 7.2 โลหะมวล 0.05 kg ท าใหมอณหภมสงถง 200 oC แลวหยอนลงไปในบกเกอรทมน ามวล 0.4 kg อณหภม 20 oC จนกระทงพบอณหภมผสมสดทายเทากบ 22.4 oC จงหาคาความรอนจ าเพาะของโลหะน วธท า จาก decrease increaseQ = Q

metal watermc T = mc T

o o o o o(0.05 kg)(200 C 22.4 C)c = (0.4 kg)(4186 J/kg. C)(22.4 C 20 C)

8.88c = 4,018.56 J/kg

oc = 453 J/kg. C

ตวอยางท 7.3 จงหามวลของไอน า (ms) ทมอณหภม 130 oC ท าใหน ามวล (mw) 200 g อยในภาชนะทท าดวยแกวมวล (mg) 100 g เปลยนอณหภมจาก 20 oC ไปเปน 50 oC

วธท า

stream

o130 C

1Q

o100 C

stream

o100 C

water

glassglass

2Q

o50 C

o50 C o20 Cwater

3Q

5Q

o50 C o20 C

waterwater

4Q

142

ส าหรบไอน า ขนท 1 ไอน าเปลยนอณหภมจาก 130 oC ไปเปน 100 oC จะได

1Q = cmΔT

o o om kg) 2010 J/kg= ( . C 100 C –13( ( 0) C)

60,30= 0m J (1)

ขนท 2 ไอน าเปลยนสถานะไปเปนน า จะได

2Q = mL

6m kg) 2.2= 6 10 ( ( )J/kg

6= .26 1 J2 0 m (2)

ขนท 3 น าเปลยนอณหภมจาก 100 oC เปน 50oC จะได

3Q = cmΔT

o o om kg) 4186 J/kg= ( . C 50 C –( ( 100) C)

9,300m= 20 J (3)

6

decrease 60,300m J 2.26 10 m J +209,30Q 0 J= m

= 2,529,600m J ส าหรบน า

น าเปลยนอณหภมจาก 20oC ไปเปน 50oC จะได

4Q = cmΔT

o o o0.2 kg) J/= ( (4186 )(kg. C 50 C – 20 C)

25,11= 6 J (4)

ส าหรบภาชนะแกว แกวเปลยนอณหภมจาก 20oC ไปเปน 50oC จะได

5Q = cmΔT

o o o0.1 kg) 837 J/kg. C 50 C – 2= ( ( ) 0( C)

2,51= 1 J (5)

increase 25,116 J 251Q = J 1

= 27,627 J จาก decrease increaseQ = Q

2,529,600m J 2,51= 1 J

10m 9 = 0.0 kg

143


การถายโอนความรอน เปนการสงถายพลงงานความรอนจากบรเวณทมความรอนสงไปสบรเวณทมความรอนต ากวา ซงจะรจกในชออนๆ เชน การสงผานความรอน หรอการถายโอนความรอน โดยทวไปม 3 กรณ คอ

การน าความรอน (Conduction) เปนการสงผานพลงงานความรอนไปในเนอวสด โดยเนอวตถหรอตวกลางไมมการเคลอนท เมออณหภมดานหนงของปลายวตถสงกวาอกดานหนง ความรอนจะไหลจากดานทรอนไปเยน อตราการสงผานพลงงานความรอน Q ในชวงเวลา t

พบวาแปรผนตรงกบ

พนทหนาตด (A) และความแตกตางของอณหภม h c( T = T T ) และแปรผกผนกบความหนาของวตถ

QP =

t (7.11)

A TP α

x

TP = kAx

(7.12)

เมอ P คอ อตราการถายโอนพลงงาน

k คอ คาคงทขนกบชดของวตถ เรยกวา สภาพน าความรอนของวตถ (thermal

conductivity)

รปท 7.4 แสดงการน าความรอนของวตถ

พนทหนาตด (A) และความแตกตางของอณหภม h c( T = T T ) และแปรผกผนกบความหนาของวตถ

LP = R

(7.13)

เมอ R คอ ความตานทานความรอน

hotT coldTA

x

144

การพาความรอน (Convection) เปนการสงผานพลงงานความรอนไปโดยอาศยโมเลกลของ ตวกลางเปนตวเคลอนทพาไป ซงพบในตวกลางทเปนของไหล ประกอบดวยการพาความรอนอยางอสระ เชน การเกดลมพด เกดเนองจากการขยายตวของอากาศทแตงกน และการพาความรอนแบบไมอสระเชน การระบายความรอนของหมอน ารถ เปนตน

การแผรงสความรอน (Thermal radiation) เปนการสงผานพลงงานความรอนไปโดยไมอาศย

ตวกลาง อยในรปของคลนแมเหลกไฟฟา อนเนองมาจากการสนสะเทอนของโมเลกล เชน แสงสเหลองของใสหลอดไฟ เปนตน อตราการแผรงสทผวของวตถปลอยออกมาแปผนตรงพนและอณหภมก าลงสในหนวยเคลวน

4P = σAeT (7.14)

เมอ P คอ ก าลงของการแผรงส

คอ คาคงท มคาเทากบ 8 2 45.6996 10 W/m K

e คอ คาการแผรงส (emissivity) มคาอยระหวาง 0 ถง 1 ขนกบสมบตของผววตถ

โดยคาการเปลงรงสผวของวตถจะเทากบการดดกลน (absorptivity) เชน กระจกเงา จะดดกลนแสงไดนอย เนองจากสะทอนแสงกลบหมด ดงนนคาการเปลงรงสจงต า ถาเปนผวของวตถด าจะดดกลนแสงดดกลนไดสงดงนนคาการเปลงรงสจงสงดวย วตถทสามารถดดกลนพลงงานทตกกระทบมนทงหมด เรยกวาวตถด า (black body) มคาการแผรงส เทากบ 1

ในขณะทมการแผหรอดดกลนรงสของวตถ สงแวดลอมกมการแผหรอดดกลนรงสดวยเชนกน ถาอณหภมของวตถเทากบ 1T และอณหภมของสงแวดลอมเทากบ 2T จะไดอตราการแผรงสเปน

4 4

1 2P = σAe(T T ) (7.15)

145


กฎของกาซอดมคต จากการทดลองของบอยล (Robert Boyle) ไดหาความสมพนธระหวางความดนและปรมาตร พบวา เมอใหอณหภมคงท ความดนของกาซ (P) จะแปรผกผนกบปรมาตรของกาซ (V)

1P α V

1 1 2 2P V = P V (7.16)

และจากการทดลองของชารล (Jacques Charles) ไดหาความสมพนธระหวางความดนและปรมาตร พบวา เมอใหความดนของกาซคงท ปรมาตรของกาซ (V) จะแปรผนตรงกบอณหภม (T)

V α T

1 1

2 2

V T = V T

(7.17)

เมอรวมสมการของบอยลและชารล และเมอใหมวลของกาซ (m) คงท จะไดวา

TV α P

TV = CP

หรอ PV = CT (7.18)

1 1

2 2

V T = V T

(7.19)

จากการทดลองหาคาคงท (C) จะไดวา

C α n

C = nR (7.20)

เมอ R คอ คาคงทของกาซ มคาเทากบ 8.314 J/mol.K และ n คอ จ านวนโมลของกาซ จะไดวา

PV = nRT

A

N = RTN

B = Nk T (7.21)

เมอ N คอ จ านวนโมเลกล

NA คอ จ านวนอาโวกาโดร มคาเทากบ 6.022x1023 อนภาค (อะตอมหรอ โมเลกล) kB คอ คาคงทโบลทมนน มคาเทากบ 1.38x10-23 J/K

146

ทฤษฎจลนของกาช เมอพจารณาใหกาชเปนโมเลกลขนาดเลกๆๆ มวล m บรรจอยในกลองลกบาศก L ถาอนภาคของกาชวงจากผนงดานหนงไปเขาชนผนงกลองทางดานหนงในแนวแกน x ดวยความเรว vx และกระดอนกลบในทศทางเดม จะไดผลการเปลยนแปลงโมเมนตมเปน

x2 x1ΔP = ( mv ) (v )

x xF t = 2mv

2 2x x

x2mv mvF = = 2L L

ถากาชมโมเลกลทงหมด N ตว จะไดแรงทกระท าทงหมดเปน

N

x 1x 2x 3x Nx ixi =1

F = F + F + F +...+ F = F

N

2ix

i =1

m vL

เนองจากความเรวของแตละโมเลกลในทศทาง x ไมเทากนดงนนจะไดความเรวเฉลย คอ

2 2 2 22 1x 2x 3x Nxx

v + v + v +...+ vv = N

ดงนนจะไดวา

2

x xmF = v

LN (7.22)

แรงตดลบ คอแรงปฏกรยาทผนงกลองกระท ากบโมเลกลของกาซ ดงนนแรงทโมเลกลกระท าเปนบวก

ในกรณ โมเลกลเคลอนทในทศทาง x y และ z จะไดความเรวเฉลย คอ

2 2 2 2xv = v + v + v

y z เมอความเรวในทศทาง x y และ z มคาเทากนวา ดงนน

2 2

xv = 3 v

2

2x

vv =

3 ดงนน แรงทงหมดในทศทาง x y และ z

2mF = v

3LN

2mPA = v

3LN

2 2mPL = v

3LN

22 1PV = m v

3N 2

2k

2= E3N

(7.23)

จากกฎของกาซอดมคตจะได พลงงานจลนเฉลย เปน

k3E = nRT2

(7.24)

147

7.6 งานในการเปลยนแปลงปรมาตร เมอบรรจกาซในทอทรงกระบอกมพนทหนาตด A มความดนและปรมาตรเรมตนเปน Pi และ Vi

ตามล าดบ เมอออกแรงดนจากภายนอก F ท าใหลกสบเลอนเปนระยะทางเลกๆ dy ท าใหความดนและปรมาตรเปลยนไปเปน Pf และ Vf ซงแรงทกระท ามคากบกาซกออกแรงกระท ากบลกสบคอ –F ดงแสดงในรปท 7.5 จะสามารถหางานเนองแรงจากภายนอกกระท ากบลกสบไดเปน

จาก W = F.r

เมอท างานในชวงสนๆๆ dW = Fj.dyj

= PAdy

= PdV จะไดงานรวมเปน

f

i

V

V

W = PdV (7.25)

จากสมการท 7.25 จะสามารถหางานเนองแรงจากภายนอกกระท ากบลกสบจะมคาเปนบวก เนองจากปรมาตรเรมมากกวาปรมาตรสดทาย และเมอความดนคงทท าการอนทเกรต จะไดเปน

f iW = P(V V ) (7.26)

รปท 7.5 (a) แสดงกอนการออกแรง F ตอแกสในกระบอกสบ

(b) แสดงหลงการออกแรง F ตอแกสในกระบอกสบ

F

dy

1 1P , V

2 2P , VA A

148

โดยสามารถเขยนไดอะแกรมส าหรบงานทท าบนแกสทเรยกวาไดอะแกรม PV ได 3 แบบ ดงรปท 7.6 คอ 7.6(a) แบบความดนคงทตามดวยปรมาตรคงท 7.6(b) แบบปรมาตรคงทตามดวยความดนคงท และ 7.6(c) แบบอณหภมคงท

รปท 7.6 แสดงไดอะแกรม PV ของงานทท าตอแกสในแบบตางๆ (a) ความดนคงทตามดวยปรมาตร

คงท (b) ปรมาตรคงทตามดวยความดนคงท (c) อณหภมคงท

ตวอยางท 7.4 จงหางานทกระท าตอกาซ ตามเสนทางจากจด i ไปทจด f และจากจด f ไปทจด i

รปท 7.7 แสดงกราฟความสมพนธระหวางความดนและปรมาตรของกาชอดมคต

6

6

6

6

8 10

6 10

4 10

2 10

0

3V (m )1 2 3 4 5

P(Pa)

i

f

V

P

fV iV

fP

iP

f

i

V

P

fV iV

fP

iP

f

i

V

P

fV iV

fP

iP

f

i

(b) (c) (a)

149

วธท า จาก f

i

W = PdV

6 3 6 3

6 3

6 2= (6 10 Pa)(2 1)m (( ) 10 Pa)(3 3)m +2

...+(2 10 Pa)(4 3)m

= 12 MJ

จาก i

f

W = PdV

= 12 MJ

ตวอยางท 7.5 กาชอดมคตเกดการขยายตวแบบกงเสถยร สอดคลองกบสมการ 2P = αV เมอ 6α = 5 atm/m ดงรปท ถากาชขยายตวเปนสองเทาจากเดม 31 m จงหางานทกระท าตอกาช

รปท 7.8 แสดงกราฟความสมพนธระหวางความดนและปรมาตรของกาชอดมคต

วธท า จาก f

i

W = PdV

f

2

i

= αV dV

f3i

1= α V3

6 5 3 3 3 31= (5 atm/m )(1.013 10 Pa/atm) (2 m ) (1 m )

3

= 1.18 MJ

P(Pa)

3V (m )1 2

f2P = V

i

150

7.7 กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร (The first law of thermodynamics) กลาววา “เมอให

พลงงานความรอนกบระบบ ระบบมการเปลยนแปลงสถานะจากสถานะหนงไปยงสถานะหนงท าใหเกดการเปลยนแปลงพลงงานภายในระบบรวมกบงานทกระท าโดยระบบสามารถนยามสมการไดเปน

Q = ΔU+W (7.27)

จากสมการ 7.27 เปนกรณทเฉพาะการใหพลงงานความรอนกบระบบแตยงมกรณอนๆ จ าเปนตองพจารณาทศของการถายเทของระบบกบสงแวดลอม โดยค านงถงเครองหมายบวกหรอลบกบปรมาณความรอน ( Q ) พลงงานภายใน ( U ) และงาน ( W ) ดงตารางท 7.2

ตารางท 7.2 แสดงเครองหมายของปรมาณตางๆในกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร ทศทาง เครองหมาย

ส าหรบ Q

1. ความรอนเขาสระบบ (ดดความรอน) 2. ความรอนออกจากระบบ (คายความรอน) 3. ความรอนไมเขาหรอออกระบบ

+

-

0

ส าหรบ ΔU

1. พลงงานภายในเพม (อณหภมเพม) 2. พลงงานภายในลด (อณหภมลด) 3. พลงงานภายในไมเปลยน (อณหภมคงท)

+

-

0

ส าหรบ W

1. ปรมาตรแกสเพม

2. ปรมาตรแกสลด

3. ปรมาตรแกสคงท

+

-

0

151

ตวอยางท 7.6 กาชฮเลยมจ านวน N โมเลกลในปรมาตร V มอณหภม T เคลวน ถาตองการลดอณหภมใหเหลอครงหนง จะตองเอาพลงงานความรอนออกจากกาชจ านวนเทาไหร เมอปรมาตรคงท วธท า จาก Q = ΔU+W

B3= Nk T + 02

B 2 13= Nk (T T )2

B3 1= Nk ( T T)2 2

B3= Nk T4

ตวอยางท 7.7 กาซในกระบวนการผนกลบได ดงรปท 7.9 จงหาพลงงานความรอนทถายโอนใหกบระบบจนครบวงจรตามเสนทาง ABCA และเสนทาง ACBA

รปท 7.9 แสดงไดอะแกรม PV ของการขยายตวของของกาช

วธท า จากเสนทาง ABCA

Q = W

31= (4 m )(6 kPa)2

= 12 kJ จากเสนทาง ACBA

= 12 kJ

P(Pa)

3V (m )6 8 10

B

A C

8

6

4

2

152

7.8 การประยกตใชกฎขอทหนงของอณหพลศาสตรกบกระบวนการตางๆ กระบวนการแอเดยแบตก (Adibatic process) เปนกระบวนการทเกดขนโดยไมมความรอน

ไหลเขาหรอไหลออกจากระบบ ทท าดวยฉนวนกนระบบออกจากสงแวดลอม ท าใหความรอนไมสามารถไหลเขาหรอออกจากระบบได ซงกระบวนการแอเดยแบตกท าใหปรมาณความรอนเปนศนย ( Q = 0 )

ดงนนจากกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร จะได

E = W (7.28)

จากสมการจะเหนวาพลงงานภายในระบบ จะเทากบขนาดของงานของระบบ โดยทพลงงานภายในของระบบจะเพมขนเมองานทระบบท า เชน การขยายตวของไอน า การอดตวของอากาศในเครองยนตดเซล เปนตน

กระบวนการไอโซบารก (Isobaric process) เปนกระบวนการทเกดขนเมอความดนของระบบคงตว เชน เมอน าในหองเครองจกรไอน าถกตมจนเดอดกลายเปนไอแลวไอน าถกเพมความรอนตอไปอก แตจะเกดขนภายใตสภาวะความดนคงตวลกษณะนความดนและอณหภมจะคงตว โดยทงานทกระท าในการขยายตวปรมาตร จะได

f iW = P(V V ) (7.29)

เมอ P คอ ความดนคงตว

iV คอ ปรมาตรของของเหลว

fV คอ ปรมาตรของไอ

กระบวนการไอโซวอลมเมตรก (Isovolumetric process) เปนกระบวนการทเกดขนโดยปรมาตรของระบบคงตว เมอใหความรอนแกระบบทมปรมาตรคงตว จะท าใหความดนและอณหภมของระบบเพมขน ซงกระบวนการนท าใหงานของระบบเปนศนย ( W= 0 ) ดงนนกฎขอทหนงของ อณหพลศาสตร จะได

Q = U (7.30)

กระบวนการไอโซเทอรมอล (Isothermal process) เปนกระบวนการทเกดขนโดยระบบของระบบคงตว ซงการเปลยนแปลงของตวแปลงอนในระบบจะตองเปนไปอยางชาๆ กระบวนการน าใหพลงงานภายในระบบเปนศนย ( E = 0 ) ดงนนกฎขอทหนงของอณหพลศาสตร จะได

Q = W

f

i

V

V

W = PdV

f

i

V

V

nRT= dVV

153

f

i

V

V = nRT ln(V)

f

i

VW = nRT lnV

(7.31)

ตวอยางท 7.8 กาซอดมคตจ านวน 1 mol ถกเกบไวทอณหภม 0 oC ในขณะทมการขยายตวจากปรมาตร 3 ลตร เปน 10 ลตร จงหา

(a) งานทกระท าตอกาซท าในขณะทมการขยายตว

(b) พลงงานความรอนเกดขน

(c) ถากาซนกลบไปสปรมาตรเรมตนดวยกระบวนการไอโซบารก งานทกระท าตอกาซมคาเทาใด

วธท า (a) จาก f

i

VW = nRTlnV

10 L(1mol)(8.31J/mol×K)(273K)ln3 L

32.7 10 J

(b) จาก Q = ΔU+W

= 0 +W

3Q = 2.7 10 J

(c) จาก Q = ΔU+W

1 22

nRT (V V )V

(1mol)(8.31J/mol.K)(273K)(3L 10L)10L

31.6 10 J

154

บทสรป

ความรอน คอ การถายโอนพลงงานจากสสารหนงไปยงสสารหนงหรอระบบหนงไปสระบบอนๆเนองจากอณหภมทแตกตางกน อณหภม คอ ตวปรมาณบอกสภาวะทางความรอนหรอระดบความรอน

กฎขอทศนยของอณหพลศาสตร คอ วตถมสภาวะสมดลความรอนกนและกนยอมมอณหภมเทากน พลงงานความรอน คอ ปรมาณความรอนทใชในการเพมอณหภมของสสาร 1 องศา มคาเทากบ

Q = cm∆T

พลงงานความรอนทท าใหสสารเปลยนสถานะ มคาเทากบ

Q = mL

การถายโอนความรอน ม 3 แบบคอ การน าความรอน การพาความรอน และการแผรงสความรอน

งานทกระท าตอกาช ท าใหปรมาตรของกาซเปลยนแปลง มคาเทากบ f

i

V

V

W = PdV

กฎขอทหนงของอณหพลศาสตร คอ การถายโอนพลงงานระหวางระบบกบสงแวดลอมจะมพลงงานรวมมคาคงทเสมอ

∆Q = ∆E + ∆W

กระบวนการทางอณหพลศาสตร ประกอบดวย กระบวนการแอเดยแบตก กระบวนการไอโซบารก กระบวนการไอโซวอลมเมตรก กระบวนการไอโซเทอรมอล

155


1. การออกก าลงกายแบบวงมาราธอนจะมอณหภมสงขน 98.6 oF ไปเปน 107 oF จงหา (a) อณหภมในหนวยองศาเซลเซยสและผลตางของอณหภม (b) อณหภมในหนวยเคลวนและผลตางของอณหภม

2. แทงเงนมวล 525 g ไดรบพลงงานความรอน 1.23 kJ ท าใหมอณหภมสงขน 10 oC จงหาความรอนจ าเพาะของแทงเงนน

3. ทองแดงมวล 50 g ทอณหภม 25 oC ถาไดรบพลงงานความรอน 1200 J จะท าใหมอณหภมสดทายเทาไหร

4. จงหาอณหภมสดทายของระบบเมอแทงเหลกมวล 1.5 kg มอณหภม 600 oC วางไวในน ามวล 25

kg ทอณหภม 25 oC (ไมคดคาความจความรอนของภาชนะ)

5. จงหาปรมาณพลงงานทตองใชในการเปลยนน าแขงมวล 40 g จากอณหภม -10◦C ไปเปนไอน าทอณหภม 110 oC

6. กลองทองแดงมวล 1 kg อณหภม 20 oC วางในถงไนโตรเจนเหลวท 77.3 K จะตองใชไนโตรเจนกกโลกรม ในการตมทองแดงใหมอณหภม 77.3 K ก าหนดใหความรอนจ าเพาะของทองแดงเทากบ 0.092 cal/g· oC และความรอนแฝงของไนโตรเจนเทากบ 48 cal/g

7. ผสมน ามวล 0.25 kg อณหภม 20 oC กบอลมเนยมมวล 0.4 kg อณหภม 26 oC และทองแดงมวล 0.1 kg อณหภม 100 oC ในภาชนะทเปนฉนวนและไมคดการถายโอนพลงงานจากภาชนะ จงหาอณหภมผสมสดทายของระบบ

8. ทอณหภม 0 oC รางรถไฟทท าดวยเหลกมความยาว 30 m ถาอณหภมเพมเปน 40 oC รางรถไฟนจะมความยาวเปนเทาใด

9. วดกาซทความดนคงท 8 atm ใหปรมาตรลดลงจาก 9 ลตร เหลอ 2 ลตร ดวยพลงงานความรอน 400 J จงหา (a) งานทท าตอกาซ (b) การเปลยนแปลงพลงงานภายใน

10. ในกระบวนการของอณหพลศาสตรตองลดพลงงานภายในระบบเปน 500 J และงานทท าตอระบบเปน 220 J จงหาพลงงานจากการถายโอนหรอพลงงานความรอนจากระบบน

11. น ามวล 1 g ท าใหเกดกระบวนการไอโซบารกทความดนบรรยากาศ 1.013 x 105 Pa ทสถานะของไหลมปรมาตรเปน Vi = 1 cm3และสถานะไอน าปรมาตร Vf = 1671 cm3 จงหางานทท าในขณะทมการขยายตว และการเปลยนแปลงพลงงานภายใน

157









8.6 ปรากฏการณดอปเพลอร 8.7 คลนกระแทก



1. จ าแนกชนดของคลนตางๆทก าหนดใหไดอยางถกตอง 2. ค านวณหาคาปรมาณตางๆทเกยวของกบสวนประกอบของคลนกลไดอยางถกตอง 3. เขาใจและอธบายสมบตของคลนกลไดอยางถกตอง 4. ยกตวอยางเหตการณหรอสถานการณทเปนปรากฏการณดอปเพลอรได

5. อธบายและค านวณหาปรมาณตางๆส าหรบคลนกระแทกได






158









159

บทท 8

คลนกล

พลงงานสามารถถายเทจากแหลงหนงไปสอกแหลงหนงไดโดยการสงผานพลงงาน ซงอาจมตวกลางในการสงผานหรอไมกได และตวกลางอาจจะเคลอนไปพรอมกบพลงงานหรอไมกได โดยถาพลงงานถกสงผานไปโดยทตวกลางไมไดเคลอนทไปดวย แตตวกลางเกดการสน เราเรยกการเคลอนทแบบนวา การเคลอนทของคลนกล ในบทนจะกลาวถงกฎเกณฑตางๆ ของคลนในทางฟสกสและสมบตตางๆ ของคลน


คลน (Wave) เกดจากการรบกวนตวกลาง พลงงานจากการรบกวนจะถกถายโอนใหกบอนภาคตวกลางอยางตอเนองท าใหเกดคลนแผออกไป โดยอนภาคตวกลางไมไดเคลอนทไปกบคลนแตมการสนรอบต าแหนงสมดล

รปท 8.1 แสดงการก าเนดคลนบนผวน า


การแบงชนดของคลนแบงออกเปนชนดตาง ๆ ดงน 1. แบงชนดของคลนโดยพจารณาการอาศยตวกลางในการเคลอนทสามารถแบงคลนไดเปน 2 ชนด คอ

1.1 คลนกลหรอคลนยดหยน (Mechanical Wave หรอ Elastic Wave) คอ คลนทอาศยตวกลางในการเคลอนท โดยตวกลางจะเกดการสนท าใหเกดการสงผานพลงงานจากทต าแหนงหนงไปยงต าแหนงหนง เชน คลนเสยง คลนน า คลนในเสนเชอก เปนตน

1.2 คลนแมเหลกไฟฟา (Electromagnetic Wave) คอ คลนทไมตองอาศยตวกลางในการเคลอนท เชน คลนแสง คลนวทย เปนตน

การเกดคลนรอบจดรบกวนสมดล

ตวกลางอยในสภาวะสมดล

160

รปท 8.2 แสดงคลนบนผวน าและคลนแมเหลกไฟฟา

2. แบงชนดของคลนโดยพจารณาทศทางของการเคลอนทของอนภาคของตวกลางทถกรบกวน

2.1 คลนตามขวาง (Transverse Wave) คอคลนทมทศทางการเคลอนทของอนภาคของตวกลางทถกรบกวนตงฉากกบทศการเคลอนทของคลน เชน คลนน า คลนในเสนเชอก เปนตน

2.2 คลนตามยาว (Longitudinal Wave) คอคลนททศทางการเคลอนทของอนภาคของตวกลางมทศทางเดยวกบทศทางการเคลอนทของคลน เชน คลนเสยง คลนในสปรง เปนตน

รปท 8.3 แสดงทศทางของการเคลอนทของคลนแบบคลนตามขวางและตามยาว


มดล

ทศทางการเคลอนทของอนภาคของตวกลาง

ทศทางการเคลอนทของคลน



คลนผวน า

คลนแมเหลกไฟฟา

B

E c

161


โดยทวไปคลนมองคประกอบพนฐานดงน 1. ความยาวคลน (Wavelength, ) คอ ระยะทางทคลนเคลอนทได ในขณะทอนภาคสนครบ 1 รอบ มหนวยเปนเมตร (m)

2. แอมพลจด (Amplitude, A) คอ การกระจดสงสดของการสนของอนภาค มหนวยเปนเมตร

(m)

3. ความถ (Frequency, f) คอ จ านวนรอบทคลนเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา มหนวยเปน หนงตอวนาท (1/s) หรอ เฮรตซ (Hz)

4. อตราเรวคลน (Velocity, v) คอ ระยะทางทคลนเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา มหนวยเปน

เมตรตอวนาท (m/s) 5. คาบการเคลอนท (Period, T) คอ เวลาทคลนเคลอนทไดครบ 1 รอบ มหนวยเปนวนาท (s) ความสมพนธของอตราเรว ความยาวคลน ความถ และคาบของคลน หาไดจากสมการตอไปน

xv = = = ft T

(8.1)

รปท 8.4 แสดงความยาวคลน แอมพลจด และคาบการเคลอนทของคลน

, T

Ax, t

y

t = 0

vy t = t

2x1x

x,

2 1x = x x

2 1 =

12

162

5. มมเฟส (Phases Angle; θ ) หมายถง มมทใชก าหนดต าแหนงของคลนขณะทเคลอนทในจดตางๆ บนคลนมหนวยเปนเรเดยน (rad)

5.1 เฟสตรงกน คอ จดตางๆ ทอยหางกน 1 ลกคลน

5.2 เฟสตรงขามกนคอ จดตางๆ ทอยหางกน ครงลกคลน

สมการการหาความตางเฟสคอ

2πΔxθ =

หรอ 2πΔtθ =

T (8.2)

เมอ θ คอ การเปลยนเฟส

Δx คอ ระยะหางบนมมเฟส

6. แอมพลจด (A) หมายถง การกระจดสงสดของการสนของอนภาค ในระบบ SI มหนวยเปนเมตร (m)

7. อตราเรวคลน(v) คอ ระยะทางทคลนเคลอนทไดในหนงหนวยเวลา ความสมพนธของอตราเรว ความยาวคลน ความถ และคาบของคลน หาไดจากสมการตอไปน 8. หนาคลน (Wave fronts) คอ เสนทลากเปนแนวบนสนคลนหรอทองคลนเมอโยนกอนหนหรอกอนดนลงในน า เราจะพบวาจะเกดคลนน ามลกษณะเปนวงกลมแผกระจายออกรอบ ๆ จดทวตถตก คลนในลกษณะอยางนเปนคลนสองมต สนคลนหรอทองคลนวงกลมนเราเรยกวา หนาคลน โดยทศทางการเคลอนทของคลนจะตงฉากกบหนาคลนเสมอดงรปท 8.5

รปท 8.5 แสดงหนาคลนแบบวงกลมและแบบระนาบ


หนาคลน

163

ตวอยางท 8.1 คลนขบวนหนงเคลอนทไดระยะทาง 24 m ในเวลา 4 s ถาพบวาจด 2 จดบนคลน

หางกน 0.2 m มเฟสตางกน 120o จงหาความถของคลนน

วธท า จาก 2π xθ =

λ

จะไดวา o

o (360 )(0.6 m)120 = λ

λ = 0.6 m

จาก vf = λ

x = λt

จะไดวา (24 m) =

(0.6 m 4 s)

= 10 Hz

ตวอยางท 8.2 ถาคลนเสยงความถ 100 Hz เคลอนทดวยอตราเรว 343 m/s (a) ความตางเฟสเทากบเทาใดเมอผลตางทางเดนมคาเทากบ 0.6 m และ (b) ถาความตางเฟสเทากบ 90o ผลตางทางเดนมคาเทากบเทาใด

วธท า จาก vλ = f

จะไดวา

343 m/s = 100 Hz

= 3.43 m

และจาก 2π xθ =

λ

จะไดวา (2π rad 0.6 m)=

3.43 m

o62.97

และจาก θ λx = 2π


o90 3.43 m=

360

0.85 m

164


การเคลอนทของคลนในตวกลางทตางกน จะเคลอนทดวยความเรวตางกนขนอยกบความยดหยนของตวกลางนน ๆ สามารถพจารณาความเรวของคลนชนดตาง ๆ ดงตอไปน

อตราเรวของคลนในเสนเชอก

พจารณารปท 8.6(a) เชอกมมวลตอหนวยความยาว (linear mass density, μ ) ถกดงดวยแรง T ถากระตกปลายเชอกดวยแรงคงท F ท าใหเกดคลนในเสนเชอกเคลอนทไปทางขวาดวยความเรวv ขน เมอคลนเคลอนทผานจดใดๆบนเชอกท าใหสวนยอย ๆ ของเชอกจะเคลอนทขนดวยความเรวคงท

yv ดงรปท 8.6(b และ c) เมอเวลาผานไป t ท าใหเชอกบางสวนเคลอนทขนเปนระยะทาง y และ

สวนของคลนกเคลอนทดวยความเรวคงท xv เปนระยะทาง x ดงนนสามารถหาความสมพนธระหวาง

สวนทเคลอนทขนและสวนเคลอนทไปยงบรเวณทหยดนง

จากการดล จะไดวา f iI = P P

yf yi Ft = mv mv

yf Ft = mv (1) และจากความสมพนธระหวางสามเหลยมคลาย จะไดวา

Ftan θ = T (2)

y= x

จะไดวา y

x

vtan θ =

v (3)

น าสมการท (2) รวมกบ (3) จะไดวา

y

x

vF = T v

y

x

TvF =

v (4)

แทนคา F สมการท (1) จะไดวา

yy

x

Tv t = mv

v

xmvT = t

165

เมอ m = μl จะไดวา

xμlvT = t

เมอ θ นอยมากๆ จะไดวา

x xT = μv v

2x= μv

xTv = μ

หรอ Tv = μ

(8.3)

นนคอ ความเรวของคลนตามขวางในเสนเชอกขงตงขนกบแรงดงและความหนาแนนเชงเสนของเชอกนน ๆ

รปท 8.6 แสดงการเคลอนทของคลนดลตามขวางในเชอกขงตง

(c)

T

l

F

T

v

l

(b)

(a)

yy = v t

xx = v t

yv

xv

166

ตวอยางท 8.3 เชอกเสนหนงมมวลตอความยาวสม าเสมอทงเสน โดยมมวล 0.3 kg และมความยาว 6

m ใหปลายหนงผกกบผนงและอกขางหนงคลองผานลกรอกและแขวนกอนน าหนก 2 กโลกรม จงหาอตราเรวของคลนพลสในเสนน

รปท 8.7 แสดงเชอกปลายหนงผกกบผนงและอกขางหนงคลองผานลกรอก

วธท า จาก yF = 0

จะไดวา T mg = 0

T = mg

และจาก Tv = μ

จะไดวา b

l

m gl= m

2(2 kg 9.8 m/s 6 m)= 0.3 kg

= 19.8 m/s

T

mg

167

อตราเรวของคลนในของไหล

พจารณารปท 8.8(a) ลกสบและของไหลความหนาแนน อยในสภาวะสมดลในทอยาว แรงทกระท าระหวางวตถทงสองจะมคาเทากนแตมทศทางสวนทางกนซงมคาเทากบ PA เมอ P คอ ความดนของของไหล และ A คอ พนทหนาตดของของไหลในทอ เมอท าการดนลกลบใหเคลอนทดวยความเรว u เปนระยะทาง s ในขณะเดยวกน กท าใหสวนยอยของไหลดวยความเรว v เปนระยะทาง x ทเวลาผานไป t ดงรปท 8.8(b) ดงนนสามารถหาความสมพนธระหวางสวนทเคลอนทขนและสวนเคลอนทไปยงบรเวณทหยดนง

จากการดล จะไดวา f iI = P P

f i Ft = mu mu

f Ft = mu f(P+ P)A+( PA) t = mu

fPAt = mu

และจากความสมพนธระหวางความดนกบปรมาตร B คอ มอรดลสเชงปรมาตร จะไดวา

0

P = V/V

B

P=

Aut/Avt

uP =

vB

แทนในสมการท P และ m = ρ(vtA) จะไดวา ความเรวของคลนตามยาวในของไหลเปน

u At = ρ(vtA)u

vB

v = ρB

(8.4)

ในท านองเดยวกน จะไดวา ความเรวของคลนตามยาวในของแขง เปน

v = ρY

(8.5)

เมอ Y

คอ ยงมอรดลส นอกจากนยงพบวา ความเรวของคลนเสยงในอากาศยงขนกบอณหภม ของ

อากาศ จะไดวา

oT( C)v = 331 1

273 (8.6)

เมอ v คอ ความเรวของคลนเสยง (331 m/s คอ ความเรวของคลนเสยง 0oC) และ T

คอ อณหภม

ของอากาศ

168

รปท 8.8 แสดงการอดกาชในทอ

ตวอยางท 8.4 รางเหลกอนหนงมความยาว 8.5 m เมอใชคอนทบปลายรางขางหนงใหเกดเสยงซงจะเคลอนททงในอากาศและในรางเหลก เมอน าไมโครโฟนไปวางไวทปลายอกขางหนงรางเหลก จงหาผลตางของเวลาเสยงเดนทางในอากาศและรางเหลก เมออตราเรวของคลนในอากาศและเหลก คอ 346

และ 5950 m/s ตามล าดบ

วธท า จาก Sv = t

จะไดเวลาเสยงเดนทางในอากาศ

Air8.5 mt =

346 m/s

= 24.56 ms

จะไดเวลาเสยงเดนทางในอากาศ

Iron8.5 mt =

5960 m/s

= 1.42 ms

จะไดวา Air Iront = t t

= 24.56 1.42ms

23.14 ms

(a) PA PA

(P+ P)A

x = ut

PA

s = vt

vu

PAPA(b)

169


สงทเราสงเกตมคณสมบตเปนคลนหรอไมนน ตองสามารถแสดงคณสมบตความเปนคลนอยางนอย 4 ประการ คอ การสะทอน การเลยวเบน การหกเห และการแทรกสอด

8.5.1 การสะทอนของคลน

เกดขนเมอคลนเคลอนทจากตวกลางหนงผานไปยงอกตวกลางหนง เมอถงบรเวณรอยตอระหวางตวกลาง คลนไมสามารถผานไปไดคลนจะเปลยนทศทางการเคลอนทกลบสตวกลางเดม ซงเรยกปรากฏการณนวา การสะทอน โดยในการสะทอนของคลนจะเปนไปตามกฎการสะทอนของคลนคอ

1. รงสตกกระทบและรงสสะทอนอยบนระนาบเดยวกน

2. มมตกกระทบเทากบมมสะทอน

รปท 8.9 แสดงการสะทอนของคลนบนแผนผวเรยบ

8.5.1.1 การสะทอนของคลนน า

คลนน าเปนคลนกลชนดหนงทอาศยตวกลางในการเคลอนท อนภาคของน าจะเคลอนทขนลงจากระดบสมดลในสภาวะปกตและมทศทางตงฉากกบทศทางการเคลอนทของคลนหรอเรยกวาคลนตามขวาง การเกดการสะทอนของคลนเกดขนเมอคลนเคลอนทจากตวกลางหนงผานไปยงอกตวกลางหนงทมความหนาแนนมากกวา (สงกดขวาง) เชน เมอน าถกรบกวนทผวท าใหเกดเคลอนทจด S ท าใหเกดคลนหนาวงกลม (เสนทบ) เคลอนทไปกระทบกบสงกดขวาง เกดคลนสะทอนทมลกษณะเปนวงกลมเหมอนเดม (เสนประ) โดยมต าแหนง S เปนเสมอนแหงก าเนดคลนสะทอน ถงปลายสดของตวกลางเดมตามกฎการสะทอนของคลนแสดงดงรปท 8.10


หนาคลน

1 2

เสนแนวปกต

170

รปท 8.10 แสดงลกษณะของคลนตกกระทบและสะทอนบนแผนผวเรยบและกลม

8.5.1.2 การสะทอนของคลนในเสนเชอก

เมอคลนเกดการสะทอนจะท าใหมมตกกระทบเทากบมมสะทอนเสมอพจารณาการสะทอนของคลนในเสนเชอก แยกพจารณา 2 กรณ คอ 1. ถาปลายเชอกมดไวแนน(จดสะทอนคงท) คลนทออกมาจะมลกษณะตรงขามกบคลนทเขาไปเฟสของคลนตกกระทบและคลนสะทอนจะตรงขามกนคลนทสะทอนออกมาจะมเฟสเปลยนไป 180o ดงรปท 8.11(a)

2. ถาปลายเชอกมดไวหลวมๆ (จดสะทอนไมคงท) คลนทสะทอนออกมามเฟสเทาเดม คลนทออกมาจะมลกษณะเหมอนเดมดงรปท 8.11(b)

รปท 8.11 แสดงการกลบเฟสของคลนสะทอนบนเสนเชอกแบบตรงและหลวม

(a) (b)

คลนตกกระทบ คลนตกกระทบ

คลนสะทอน


หนาคลนตกกระทบ

หนาคลนสะทอน

171

8.5.1.3 การสะทอนของคลนเสยง คลนเสยงเปนคลนทอาศยตวกลางในการเคลอนท เชน อากาศ น า และ เหลก เปนตน อนภาคของตวกลางจะเคลอนทในทศทางเดยวกนกบการเคลอนทของคลนหรอการเคลอนทตามยาว ซงความเรวทใชในการเคลอนทกขนกบความหนาแนนของตวกลาง คลนเสยงสามารถแสดงสมบตการสะทอนไดเชนเดยวกนกบคลนน าและคลนในเสนเชอก เชน ถาเราตะโกนออกไปผานตวกลางทเปนอากาศ เมอคลนเสยงเดนทางไปกระทบกบก าแพงกจะเกดการสะทอนกลบในทศทางเดม ท าใหเราสามารถไดยนเสยงตวเองอกครง

รปท 8.12 แสดงการสะทอนของคลนบนวตถ

ตวอยางท 8.5 ชาวประมงสงคลนโซนารไปยงฝงปลา พบวา ชวงเวลาทคลนออกไปจากเครองสงจนกลบมาถงเครองรบเปน 5 s พอด จงหาวาฝงปลาอยหางจากเรอเทาใด (ก าหนดใหความเรวของคลนเสยงในน าเปน 1,540 m/s)

วธท า จาก Sv = t

จะไดวา S = 1540 m/s 2.5 s

= 3850 m

ดงนนฝงปลาอยหางจากเรอประมงเทากบ 3850 m

คลนตกกระทบ

คลนตกสะทอน

172

8.5.2 การหกเหของคลน คลนแสดงสมบตการหกเห โดยเมอเคลอนทจากตวกลางหนงไปยงอกตวกลางหนง โดยมทศทางการเคลอนท อตราเรวของคลนและความยาวคลนเปลยนไปจากเดม แตความถยงมคาเทาเดม

รปท 8.13 แสดงการหกเหของคลนในบรเวณน าลกไปตนและตนไปลก

พจารณาคลนผวน าหนาตรง เคลอนทจากบรเวณน าลกไปยงน าตน โดยทศทางการเคลอนทของคลนตกกระทบไมตงฉากกบรอยตอของตวกลาง จะพบวาความยาวคลนเปลยนไปและทศทางการเคลอนทกเปลยนไปดวย ดงรปท 8.14 คลนตกกระทบมความยาวคลนเปน BC และคลนหกเหมความยาวคลนเปน AD ซงหาความสมพนธจะไดวา จากสามเหลยม ABC 1

1BCsin θ = AC AC

(1)

จากสามเหลยม ADC 22

ADsin θ = AC AC

(2)

สมการ (1) หารดวย (2) จะได

1 1 1

2 2 2

sin θ ACsin θ AC

1 1 1 2

2 2 2 1

sin θ λ v nsin θ λ v n

(8.7)

จากสมการท 8.7 อตราสวนระหวางความเรวคลนในตวกลางท 1 ตอตวกลางท 2 สามารถเขยนไดในรปของดชนหกเห (Refraction Index) ของตวกลางท 2 เทยบกบตวกลางท 1 ถกเรยกวา กฎของสเนล (Snell ’s law)


หนาคลน

1

2

เสนปกต

2

1

2v

1

2

1v

น าลก

น าตน

น าตน

น าลก

173

รปท 8.14 แสดงการหกเหของคลนในบรเวณน าลกและตน

ตวอยางท 8.6 คลนน าแบบตอเนองหนาตรงเคลอนทจากบรเวณน าลกไปยงน าตน ถาแนวทางเดนคลนตกกระทบท ามมกบผวรอยตอ 30o จงหามมหกเหทท ากบผวรอยตอ ถาความยาวคลนในน าตนลดลงเปน12

ของความยาวคลนในน าลก

วธท า จาก 1 1

2 2

sinθ λ = sinθ λ

จะไดวา

o1

12

λsin30 = λsinθ2

2sinθ = 0.25

o2θ = 14.47

ทศทางการเคลอนทของคลน หนาคลน

1

2 เสนปกต

A

B

C

D

1

2

1v

2v

น าลก

น าตน

1

2

n

n

1

174

8.5.3 หลกการซอนทบของคลน

คลนตงแตสองคลนหรอมากกวาสองคลนขนไปสามารถเคลอนทผานทแหงเดยวกนไดโดยไมขนตอกน เหมอนกบวาคลนอกขบวนไมไดอยทนน ตวอยางเชน การฟงเสยงดนตรจากเครองดนตรแตละชนดจากวงดนตร สามารถทจะแยกเสยงจากเครองดนตรแตละชนดไดอยางชดเจน ในทางคณตศาสตรอาจพจารณาไดวาทเวลาใด ๆ ผลลพธของการกระจดของคลนนน ๆ ทจดใด จะเปนผลบวกทางเวกเตอรของปรมาณกระจดของแตละคลน เมอคลนตงแต 2 คลนเคลอนทมาพบกน ณ ต าแหนงหนง ขณะชวเวลาทพบกนจะเกดการรวมกนตามหลกพชคณตของเวคเตอร และการรวมกนของคลนจะไมรวมตวอยางถาวรหลงจากนนคลนจะเคลอนทผานกนไป หลกการซอนทบของคลน มใจความวา เมอคลนเคลอนทมาพบกนแลวเกดการรวมกน โดยการกระจดของแตละต าแหนงของคลนรวมมคาเทากบผลบวกของการกระจดของแตละคลน และหลงจากทคลนผานพนกนแลว คลนยงคงรปราง ขนาด และทศทางเดม เหมอนเดมการซอนทบของคลนมสองแบบ คอ

1. เมอสนคลนรวมกบสนคลน หรอทองคลนรวมกบทองคลนจะท าใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดเพมขน เรยกวาการรวมกนของคลนแบบเสรม ดงรปท 8.15(a)

2. เมอสนคลนรวมกบทองคลน คลนจะท าใหการกระจดลพธทเกดจากการรวมกนของคลนมขนาดลดลง เรยกวาการรวมกนของคลนแบบหกลาง ดงรปท 8.15(b)

รปท 8.15 (a) แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศเดยวกน

(b) แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศตรงขาม


คลนรวม

A BA

B

AB

A

B

A+B

A B

(a) (b)

175

ตวอยางท 8.7 คลนดลลกษณะเดยวกนสองลก A และ B ดงรป มการกระจด 4 cm วงเขาหากนดวยความเรว 2 cm/s จงหาวาเมอเวลาผานไป 3 วนาท การกระจดลพธทจด O มคากบเทาไหร ถาคลนทงสองอยหางจากจด O เปนระยะทาง 5 cm

รปท 8.16 แสดงการเคลอนทของคลนพสเขาหากน

วธท า จาก sv = t

จะไดวา x = 2 cm/s 3 s

= 6 cm ดงนนเมอเวลาผานไป 3 วนาท คลนเคลอนทไดเปนระยะทางเทากบ 6 cm

จาก ytan θ = x


Ay = 1 cm tan53

4= cm3

และ oBy = 2 cm tan53

8= cm3

จะไดวา A Ay = y +y

4 8= cm+ cm3 3

= 4 cm

ดงนนเมอเวลาผานไป 3 วนาท จะไดการกระจดลพธทจด O เทากบ 4 cm

Ov =2 m/s v =2 m/s

1 cm

1 cm

t = 0

t = 3 s

o53o53

2 cm

A B

176

8.5.3 การแทรกสอดของคลน

เมอคลนตงแต 2 คลน เคลอนทมาพบกนจะเกดการรวมกนแบบเสรมและแบบหกลาง ซงสงเกตไดจากการเกดแนวสวางและแนวมดของถาดคลน เราเรยกสมบตการรวมกนของคลนนวา “การแทรกสอด” (interference) และเรยกแนวสวางและแนวมดทเกดวา “ลวดลายการแทรกสอดหรอรวของการแทรกสอด” (interference pattern) ดงรปท 8.17 ซงเปนการแทรกสอดของคลนวงกลมตอเนองสองขบวนทเหมอนกนทกประการหรอเรยกวาแหลงก าเนดคลนอาพนธ ซงหมายถง แหลงก าเนดคลนตงแต 2 อนขนไป ใหคลนออกมาทม ลกษณะเหมอนกนทกประการคอ ความถเทากน มเฟสตางกนคงท จากรปท 8.17 เมอคลนจากแหลงก าเนดทงสองเคลอนทมาพบกนจะเกดการซอนทบ (superposition) ซงม 2 ลกษณะ

1. การแทรกสอดแบบเสรม (constructive interference) เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบสวนทเปนสนคลน หรอสวนทเปนทองคลนพบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะเสรมกน ท าใหผวน า ณ ต าแหนงนนมระดบสงขนมากทสดและลดต ามากทสดตามล าดบ เราเรยกต าแหนงนวา “ปฏบพ” (antinode, A)

2. การแทรกสอดแบบหกลาง (destructive interference) เกดขนเมอสวนทเปนสนคลนพบกบสวนทเปนทองคลน แอมพลจดของคลนทงสองจะหกลางกนท าใหผวน า ณ ต าแหนงนนไมกระเพอม เราเรยกต าแหนงนวา “บพ” (node, N)

รปท 8.17 แสดงการรวมคลนเมอคลนยอยมการกระจดทศเดยวกน

การแทรกสอดกนของคลนสะทอน

เสนแนวการแทรกสอด

177

รปท 8.18 แสดงการแทรกสอดของคลนทมเฟสตรงกน

ดงรปท 8.18 ซงเปนการแทรกสอดของคลนวงกลมตอเนองสองขบวนทเหมอนกนทกประการหรอเรยกวาแหลงก าเนดคลนอาพนธ ซงหมายถง แหลงก าเนดคลนตงแต 2 อนขนไป ใหคลนออกมาทม ลกษณะเหมอนกนทกประการคอ ความถเทากน มเฟสตางกนคงท เมอใหคลนตอเนองสองขบวนเคลอนทมาพบกนตลอดเวลา จะเกดบพและปฏบพอยางตอเนอง และพบวาเมอลากเสนเชอมตอปฏบพทอยถดกนไปจะไดแนวเสนทเรยกวา เสนปฏบพ (antinode line) สวนเสนทเชอมตอบพทอยถดกนไป จะไดแนวเสนทเรยกวา เสนบพ (node line) ท าใหเหนลวดลายการแทรกสอดดงรปท 8.18 จากรปท 8.18 แสดงต าแหนงบพและปฏบพเมอคลนวงกลม 2 คลนเกดการแทรกสอดกน ก าหนดให S1 เปนแหลงก าเนดคลนท 1 และ S2 เปนแหลงก าเนดคลนท 2 ถาให P เปนจดทอยบนเสนปฏบพและให P เปนจดทอยบนเสนบพ เราจะสงเกตเหนวาแนวกลางจะเปนแนวปฏบพเสมอ ถาแหลงก าเนดคลนทงสองแหลงเปนแหลงก าเนดอาพนธทมเฟสตรงกน ฉะนนแนว ปฏบพจะเรมจากแนวท 0, 1, 2, 3, …สวนแนวบพจะไมมแนวกลางจะเรมท 1, 2, 3, … จะไดความสมพนธวา

1 2S P S P = nλ

เมอ n = 0, 1, 2, 3, ... (8.8)

หรอ

dsin θ = nλ

(8.9)

และถาใหต าแหนง P เปนต าแหนงบพใด ๆ บนเสนบพ เราจะไดความสมพนธวา

1 21S P S P = (n + )λ2

เมอ n = 0, 1, 2, 3, ... (8.10)

หรอ

1dsin θ = (n )λ2

(8.11)

การแทรกสอดกนของคลนสะทอน

0A 1A1A2A

1S 2S

2A3A

1N2N

3N3A 1N2N3N

0P1P

2P

3P

2S1S

เสนแนวการแทรกสอด

PQ

178

รปท 8.19 แสดงการแทรกสอดของคลนทมเฟสตรงกนขาม

จากรปท 8.19 เปนแหลงก าเนดอาพนธทมเฟสตางกน 180 องศา แสดงต าแหนงบพและปฏบพเมอคลนวงกลม 2 คลนเกดการแทรกสอดกน ก าหนดให S1 เปนแหลงก าเนดคลนท 1 และ S2 เปนแหลงก าเนดคลนท 2 ถาให P เปนจดทอยบนเสนปฏบพและให Q เปนจดทอยบนเสนบพ เราจะสงเกตเหนวาแนวกลางจะเปนแนวปฏบพเสมอ ถาแหลงก าเนดคลนทงสองแหลงเปนแหลงก าเนดอาพนธทมเฟสตรงกน ฉะนนแนว ปฏบพจะเรมจากแนวท 0,1,2,3…สวนแนวบพจะไมมแนวกลางจะเรมท 1,2,3,… แตถาเปนแหลงก าเนดอาพนธทมเฟสตางกน 180 องศา แนวตรงกลางจะเปนแนวบพ จากรปท 8.19 ทกลาวมาทงหมด เราจะเหนวาถาเราใหต าแหนง P เปนต าแหนงปฏบพใด ๆบนเสนปฏบพ เราจะไดความสมพนธวา

1 2

1S P S P = (n )λ2

เมอ n = 0, 1, 2, 3, ... (8.12)

หรอ

1dsin θ = (n )λ2

(8.13)

และถาใหต าแหนง Q เปนต าแหนงบพใด ๆ บนเสนบพ เราจะไดความสมพนธวา

1 2S P S P = nλ

เมอ n = 1, 2, 3, ... (8.14)

หรอ

dsin θ = nλ

(8.15)

หนาคลนตกกระทบ หนาคลนสะทอน

0N1A

2A3A

1N2N

3N1A

2A3A 1N2N

3N

1S 2S

0P

1S 2S

0P

179

ตวอยางท 8.8 แหลงก าเนดคลนน าอาพนธ 2 แหลง ทมเฟสตรงกนมความยาวคลน 3 cm ทต าแหนง Pซงหางจากแหลงก าเนดทงสอง 18 cm และ 21 cm ตามล าดบ จงหาวาจด P เกดการแทรกสอดบพ หรอปฏบพทเทาใด

วธท า จาก 1 2S P S P = nλ

จะไดวา 18 cm 21 cm = n(3 cm)

3 cm = n(3 cm)

n = 1

ดงนน จด P เปนต าแหนงปฏบพท 1

ตวอยางท 8.9 แหลงก าเนดคลนน า 1 แหลง สรางคลนตอเนองดวยความถคงทคาหนง วงเขาชนผนงเรยบท าใหเกดคลนสะทอนกลบในทศทางตรงกนขามดงรป 8.20 ถาผนงอยหางจากแหลงก าเนดคลนน าเปนระยะทาง 3 เทาของความยาวคลนและมเฟสเรมตนเปนแนวปฏบพ จงหาวาจะเกดแนวปฏบพกแนว

รปท 8.20 แสดงการสะทอนของคลนน า

วธท า จาก 1 2S P S P = nλ

จะไดวา

3λ 0 = nλ

3λ = nλ

n = 3

เนองจากมแนวกลาง 1 แนวและดานบวกและลบดานละ 3 แนว ดงนนจะไดแนวปฏบพจ านวนทงหมด 7 แนว

หรอสามารถหาโดยการวาดรป ซงไดแนวปฏบพจ านวนทงหมด 7 แนวดงรป 8.20(b)

S

x = 3

S

(a) (b)

180

8.5.3.1 คลนนง การแทรกสอด เปนสมบตของคลนซงเปนผลจากการซอนทบของคลนสองขบวนหรอมากกวา เกดขนเมอ เมอคลนหลายขบวนเคลอนทมาพบกนจะเกดการรวมกนของคลนคลนนงเปนปรากฏการณทเกดขนจากการแทรกสอดของคลนสองขบวนทมความถ และแอมพลจดเทากน เคลอนทในทศตรงกนขาม

คลนนงในเสนเชอก

1. คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายทง 2 ขาง กรณทปลายเชอกถกตรงทงสองดาน ความยาวของเชอกทจะท าใหเกดคลนนงได จะมคา

nλL = 2

เมอ n = 1, 2, 3, ... (8.16)

เมอ v = fλ จะไดวา

nvL = 2f

(8.17)

หรอ nvf = 2L (8.18)

หรอ n Tf =

2L μ (8.19)

2. คลนนงในเสนเชอกทตรงปลายขางเดยว

กรณทปลายเชอกถกตรงขางเดยว ความยาวของเชอกทจะท าใหเกดคลนนงได จะมคา

nλL = 4

เมอ n = 1, 3, 5, ... (8.20)

เมอ v = fλ จะไดวา

nvL = 4f

(8.21)

หรอ nvf = 4L (8.22)

หรอ n Tf =

4L μ (8.23)

181

รปท 8.21 แสดงคลนนงในเสนเชอก

ตวอยางท 8.10 เชอกเบายาว 0.3 เมตร ใหปลายหนงผกกบซอมเสยงสนดวยความถ 50 Hz และปลายอกขางหนงคลองผานลกรอกลนทมมวลถวง จงหาอตราเรวของคลนในเสนเชอก

วธท า จาก nvL = 2f

จะไดวา 2Lfv =

n

2 0.3 m 50Hzv =

3

= 10 m/s ดงนน อตราเรวของคลนในเสนเชอกเทากบ 10 m/s

1H

L=4

L L

3L=4

5L=4

7L=4

3H

5H

7H

L=2

2L=2

3L=2

4L=2

1H

2H

3H

4H

เชอกปลายตรง 2 ดาน เชอกปลายตรง 1 ดาน

0.3 m

m

รปท 8.22 แสดงคลนนงในเสนเชอก

สะทอน

182

คลนนงในทอ

1. คลนนงในทอปลายปด 2 ขาง หรอคลนนงในทอปลายเปดสองขาง จะใชสตรค านวณเหมอนกบกรณทปลายเชอกถกตรงทงสองดาน

2. คลนนงในทอปลายปดขางเดยว จะใชสตรค านวณเหมอนกบกรณทปลายเชอกถกตรงขางเดยว

รปท 8.23 แสดงคลนนงในทอ

ตวอยางท 8.11 จากการทดลองสนพองของคลนเสยงในทอปลายปดหนงขาง พบวาเกดเสยงดงครงแรกทระยะ 0.15 m และครงทสองทระยะ 0.5 m ถาความเรวคลนเสยงเปน 343 m/s จงหาความถของคลนเสยง

วธท า จะไดวา 2 1λ λL L = 0.5 m 0.15 m = λ = 0.7 m2 2

และจาก 343 m/sv = fλ f = f = 490 m0.7 m

ดงนนความถของคลนเสยงในทอเทากบ 490 Hz

L L

1H

L=4

3L=4

5L=4

3H

5H

2L=2

4L=2

6L=2

1H

2H

3H

183

8.5.4 การเลยวเบนของคลน

การเลยวเบนของคลน คอ ความสามารถของคลนในการออมไปทางดานหลงสงกดขวาง โดยอาศยหลกการของฮอยเกนส ทวา ทกๆ จดบนหนาคลน เสมอนเปนแหลงก าเนดคลนใหม เมอคลนมการเลยวเบนพบวา ความถและความยาวคลนจะคงเดมแตทศทางจะเปลยนไป ขณะเดยวกน แอมพลจดและพลงงานจะลดลงดงรปท 8.24 ในกรณทคลนตรงเคลอนทผานชองแคบ ถาความยาวคลนนอยกวาชองแคบมากๆคลนยงคงมลกษณะเหมอนเดม แตเมอความยาวคลนมขนาดใกลเคยงกบชองแคบจะสงเกตเหนคลนหนาตรงเปลยนไปเปนหนาคลนวงกลมและชดเจนมากยงขนเมอความยาวคลนมากกวาชองแคบมาก แสดงดงรปท 8.25

รปท 8.24 แสดงจดบนหนาคลน เสมอนเปนแหลงก าเนดคลนใหม

รปท 8.25 แสดงการเลยวเบนของคลนผานชองของสงกดขวาง

d d d

(a) (b)

หนาคลนใหม

สะทอน

หนาคลนเดม

สะทอน

184

8.6 ปรากฏการณดอปเพลอร ปรากฏการณดอปเพลอร (Doppler’s effect) เปนปรากฏการณทเกยวกบการรบรและรสกไดเมอมการเคลอนทสมพทธระหวางแหลงก าเนดคลนกบผสงเกต ท าใหผสงเกตรบรและรสกวาคลนมความถเปลยนไปเมอมการเคลอนทของแหลงก าเนดคลนและผสงเกต โดยความเรวของแหลงก าเนดเสยงและผสงเกตจะชากวาความเรวของคลนในตวกลาง สามารถพจารณาความสมพนธตาง ๆ ไดดงน กรณท 1 เปนกรณทแหลงก าเนดคลนอยนง และ ผฟงเคลอนทหรออยนง จากรปท 8.26(a) เมอแหลงก าเนดคลนเสยง S อยนง ( Sv 0 ) ปลอยคลนเสยงใหเคลอนทไปในอากาศดวยความถ Sf

และความเรว Mv จะไดความยาวคลนเทากบ M M Sλ v /f เมอมผฟง

ยนอยนงทางดานหลง ( LBv 0 ) จะไดยนเสยงทมความถเปน LBf ซงมคาเทากบความถของแหลงก าเนดคลนเสยงปลอยออกมา ขณะเดยวกนเมอมผฟงยนอยนงทางดานหนา ( LFv 0 ) ไดยนเสยงทมความถเปน LFf ซงมคาเทากบความถของแหลงก าเนดคลนเสยงปลอยออกมาเชนเดยวกน

แตเมอมผฟงทางดานหลงเคลอนเขาหาแหลงก าเนดเสยงดวยความเรว LBv จะไดยนเสยงทมความถ เรวขน เปน LBf เนองจากการเปลยนแปลงความเรวตางไปจากเดมท ผฟ งไดยนคอ

M LBv' = v +v และความยาวคลนดานหลงเทากบ Bλ ซงยงมคาเทากบความยาวคลนของแหลงก าเนดเสยงในตวกลางเทากบ Mλ ดงดงรปท 8.26(b) สามารถเขยนความสมพนธไดเปน

ความถผฟงทางดานหลงไดยนมคาเทากบ LB

B

v'f = λ

M LB

M

v +v= λ

M LBS

M

v +v= fv

(8.24)

แตเมอมผฟงทางดานหนาเคลอนออกจากแหลงก าเนดเสยงดวยความเรว LBv จะไดยนเสยงทมความถ เรวชาลงเปน LFf เนองจากการเปลยนแปลงความเรวตางไปจากเดมทผฟงไดยนคอ

M LBv' = v v และความยาวคลนดานหนาเทากบ Fλ ซ งยงมคาเทากบความยาวคลนของแหลงก าเนดเสยงในตวกลางเทากบ Mλ ดงดงรปท 8.26(b) สามารถเขยนความสมพนธไดเปน

ความถผฟงทางดานหนาไดยนมคาเทากบ LF

F

v'f = λ

M LF

M

v v= λ

M LF

SM

v v= fv

(8.25)

185

รปท 8.26 แสดงความยาวคลน ความเรวคลนในกรณทแหลงก าเนดคลนอยนงและผฟงเคลอนท

SMv

M M

Mv

Sv 0

BL FL

BL FL

Fv 0Bv 0

SMv

B M F M

Mv

Sv 0FvBv

(a)

(b)

186

กรณท 2 เปนกรณทแหลงก าเนดคลนเคลอนท และผฟงอยนงหรอเคลอนท จากรปท 8.27(a) เมอแหลงก าเนดคลนเสยง S เคลอนทดวยความเรว Sv ผฟงทางดานหลงหยดนงอยกบท ( LBv 0 ) ผฟงจะไดยนเสยงทมความถเรวชาลงเปน LBf เนองจากความยาวคลนดานหลงเปลยนแปลงไป

ดงดงรปท 8.27(b) สามารถเขยนความสมพนธไดเปน

ความถผฟงทางดานหลงไดยนมคาเทากบ

MLB

B

vf = λ

สามารถหาความยาวคลนดานหลงเปน B M Snλ = x + x

M S= v t + v t

M S= (v + v )t

เมอ Bλ T

BB

B

nλ Tnλ t = nTλ

แทนคา t ในสมการท 8.17 จะไดวา

B M Snλ = (v + v )nT

B M Sλ = (v + v )T

M SB

S

(v + v )λ = f (8.26)

แทนคา Bλ ในสมการท 8.17 จะไดวา

MLB S

M S

vf = fv + v

(8.27)

จากรปท 8.27(a) เมอแหลงก าเนดคลนเสยง S เคลอนทดวยความเรว Sv ผฟงทางดานหลงหยดนงอยกบท ( LFv 0 ) ผฟงจะไดยนเสยงทมความถเรวชาลงเปน LFf เนองจากความยาวคลนดานหลงเปลยนแปลงไป

ดงดงรปท 8.27(b) สามารถเขยนความสมพนธไดเปน

ความถผฟงทางดานหลงไดยนมคาเทากบ

MLF

F

vf = λ

สามารถหาความยาวคลนดานหนาเปน F M Snλ = x x

M S= v t v t

M S= (v v )t

เมอ Fλ T

FF

F

nλ Tnλ t = nTλ

187

แทนคา t ในสมการท 8.17 จะไดวา

F M Snλ = (v v )nT

F M Sλ = (v v )T

M SF

S

(v v )λ = f

(8.28)

แทนคา Fλ ในสมการท 8.17 จะไดวา

MLF S

M S

vf = fv v

(8.29)

จากรปท 8.27(b) เมอแหลงก าเนดคลนเสยง S เคลอนทดวยความเรว Sv ผฟงทางดานหลงเคลอนทดวยความเรว LBv ผฟงจะไดยนเสยงทมความถเรวชาลงเปน LBf เนองจากความยาวคลนดานหลงเปลยนแปลงไปสามารถเขยนความสมพนธได ในท านองเดยวกน

ความถทผฟงทางดานหลงไดยนมคาเทากบ

M LB

LB SM S

v vf = fv v

(8.30)

จากรปท 8.27(b) เมอแหลงก าเนดคลนเสยง S เคลอนทดวยความเรว Sv ผฟงทางดานหลงเคลอนทดวยความเรว LFv ผฟงจะไดยนเสยงทมความถเรวขนเปน LFf เนองจากความเรวและความยาวคลนดานหลงเปลยนแปลงไป

สามารถเขยนความสมพนธไดเปน

ความถทผฟงทางดานหนาไดยนมคาเทากบ M SLF S

M S

v vf = fv v

(8.31)

เมอรวมสมการท 8.30 และ 8.31 จะไดสมการทวไปเปน

M LL S

M S

v vf = fv v

(8.32)

โดยท

Lv

เปน บวก เมอเคลอนทเขาหา S และเปน ลบ เมอเคลอนทเขาออกจาก S

Sv

เปน บวก เมอเคลอนทออกจาก L และเปน ลบ เมอเคลอนทเขาหา L

188

รปท 8.27 แสดงความยาวคลน ความเรวคลนในกรณทแหลงก าเนดคลนและผฟงเคลอนท

BL FL

6S1S Sv

Fv 0Bv 0

Mv

S Sx = v t

M Mx = v t

FF

BL FL

6S1S Sv

Mv

S Sx = v t

M Mx = v t

FF

FvBv

(a)

(b)

189

ตวอยางท 8.12 รถฉกเฉนวงดวยความเรว 50 เมตร/วนาท เปดไซเรนความถดวยความถ 500 Hz ถาอากาศนงอตราเรวเสยงในอากาศเทา 350 เมตร/วนาท จงหาความถเสยงทคนในรถยนต A และ B ไดยน

รปท 8.28 แสดงแหลงก าเนดคลนและผฟงเคลอนท

วธท า จาก M LL S

M S

v vf fv v

ความถเสยงทคนในรถยนต A

LA350 m/s 20 m/sf 500 Hz350 m/s 50 m/s

462.5 Hz

ความถเสยงทคนในรถยนต B

LA350 m/s 0f 500 Hz

350 m/s 50 m/s

583.3 Hz

Av = 20 m/s

A

Av = 0

B

Av = 50 m/s

190

8.7 คลนกระแทก ในหวขอทผานมาเราไดทราบมาแลววาปรากฏการณดอปเพลอรเกดจากการเคลอนทสมพทธระหวางแหลงก าเนดคลนและผสงเกตท าใหความถของคลนทผสงเกตรบรไดเพมขนหรอลดลงแตถาแหลงก าเนดคลนเคลอนทเรวกวาความเรวของคลนในตวกลางแลว จะเกดคลนกระแทก (shock

waves)ขน กลาวคอเมอลากเสนสมผสระหวางหนาคลนทถกสงออกมา โดยแหลงก าเนดจะอยตรงปลายแหลมหนาคลน จะมลกษณะเปนรปตว v (ใน 2 มต) หรอรปกรวยกลม (ใน 3 มต) ซงบรเวณนจะเกดการรวมตวกนของหนาคลนท าใหมพลงงานสง สามารถท าลายสงตางๆเมอหนาคลนนเคลอนทผาน แสดงดงรปท 8.29 พจารณารปท 8.29 จะไดวา

M

S

xsinθ = x

(8.33)

M

S

v t= v t

M

S

vsinθ = v

(8.34)

หรอ 1sinθ = M (8.35)

เมอ θ คอ มมระหวางหนาคลนกระแทกกบแนวการเคลอนท Mv คอ ความเรวของคลนเสยงในตวกลาง

Sv คอ ความเรวของแหลงก าเนดคลนเสยง

M คอ เลขมค (mach number) หรออตราสวนระหวางความเรวของแหลงก าเนดคลนกบความเรวของคลน

ในกรณทแหลงก าเนดคลนเคลอนทดวยความเรวมากกวาความเรวของคลนมาก ๆ เชน เครองบนเจต ซงเคลอนทดวยความเรวเหนอเสยง (supersonic speed) คลนกระแทกจะท าใหเกดการเปลยนแปลงความดนอยางรวดเรวท าใหเกดเสยงดงมาก เรยกวา โซนกบม (sonic boom)

191

รปท 8.29 แสดงหนาคลนและทศทางการเคลอนทของแหลงก าเนดคลนของคลนกระแทก

ตวอยางท 8.13 ชายคนสงเกตเหนเครองบนอยบนศรษะ แตไมไดยนเสยงใดๆ ถาเครองบนบนดวยอตราเรว 3 Mach เหนอระดบศรษะชายคนสงเกต 20,000 m จงหา (a) เครองบนบนอยหางจากคนเทาใดในแนวระดบพนดนและ (b) นานเทาใดคนจะไดยนเสยงเครองบน เมอ อตราเรวเสยงในอากาศเทากบ 335 m/s

วธท า (a) จาก M

S

v1 ysinθ = M v S

จะไดวา

1 y = M S

S = 20,000 m 3

= 60,000 m และจาก 2 2 2

S S = x + y

จะไดวา 2 2

Sx = (60000) (20000)

= 56.56 km

(b) จาก M

S

v1M v

จะไดวา Sv = 335 m/s 3

= 1,005 m/s

จาก S Sx = v t

จะไดวา

56.56 kmt = 1005 m/s

= 56.27 s

6S1S

SvMv

S Sx = v t

M Mx = v tyS

192

บทสรป

คลน คอ คลนทอาศยตวกลางในการเคลอนท เชน คลนน า คลนเสยง และคลนในเสนเชอก เปนตน การสะทอน เกดจากการเปลยนทศทางของคลนตกกระทบบรเวณรอยตอ โดยมกฎการสะทอนคอ 1. รงสตกกระทบและรงสสะทอนอยบนระนาบเดยวกน 2. มมตกกระทบเทากบมมสะทอน การหกเห เกดจากการเคลอนทผานตวกลางทมดชนหกเหตางหน ท าใหคลนเคลอนทผานไปอกตวกลางหนงโดยมอตราเรว ความยาว มมหกเห เปลยนไปจากเดม แตยงมความถเทาเดม คาการเปลยนไปนสามารถค านวณหาไดจากกฎของสเนลคอ

1 1 1 2

2 2 2 1

sin θ λ v nsin θ λ v n

การแทรกสอด เกดจากการรวมกนของคลนตงแต 2 ขบวนขนไปแบบเสรมกนเรยกวา ปฏบพ (Antinode) หรอหกลางเรยกวา บพ (Node) ซงสามารถค านวณหาปรมาณตางๆจากการแทรกสอดได ส าหรบต าแหนงปฏบพ 1 2S P S P = nλ

หรอ

dsin θ = nλ

ส าหรบต าแหนงบพ 1 21S P S P = (n + )λ2

หรอ

1dsin θ = (n )λ2

คลนนง การแทรกสอดทเกดในเสนเชอกและในทอ

ส าหรบปลายเปดดานเดยว nλL = 2

ส าหรบปลายเปดหรอปดสองดาน nλL = 4

การเลยวเบน เกดจากการเคลอนทผานชองแคบหรอชองวางของสงกดขวาง โดยทจะเกดการเลยวเบนไดดนนชองวางจะตองมคานอยกวาหรอเทากบความยาวคลน ปรากฏการณดอปเพลอร เปนการรบรความถทเปลยนไปเมอมการเคลอนทของแหลงก าเนดเสยงและผสงเกต

M LL S

M S

v vf fv v

คลนกระแทก เกดจากแหลงก าเนดเคลอนทเรวกวาความเรวของคลนในตวกลางท าใหมพลงงานสง M

S

v 1sinθ = = v M

193

แบบฝกหดทายบท

1. เมอเรากระทมน าเปนจงหวะสม าเสมอ 3 ครง/วนาทแลวจบเวลาทคลนลกแรกเคลอนทไปกระทบขอบสระอกดานหนงซงอยหางออกไป 45 เมตรพบวาใชเวลา 3 วนาทความยาวคลนผวน ามคากเมตร

2. คลนผวน ามอตราเรว 20 เซนตเมตร/วนาท กระจายออกจากแหลงก าเนดคลนซงมความถ 5 เฮรตซ การกระเพอมของผวน าทอยหางจากแหลงก าเนด 30 เซนตเมตรและ 48 เซนตเมตรจะมเฟสตางกนกองศา

3. ลกบอลลกหนงตกลงน าและสนขนลงหลายรอบ ท าใหเกดคลนผวน าแผออกไปเปนรปวงกลม เมอเวลาผานไป 10 วนาทคลนน าแผออกไปไดรศมสงสดประมาณ 20 เมตรโดยมระยะหางระหวางสนคลนทตดกนเทากบ 2 m จากขอมลดงกลาว ลกบอลสนขนลงดวยความถประมาณเทาใด

4. ชายคนหนงตะโกนเสยงมความถ 1,000 ครง/วนาท ออกไปยงหนาผาซงอยหางออกไป 300 เมตร ปรากฏวาเขาไดยนเสยงสะทอนกลบหลงจากตะโกนแลว 4 วนาท จงหาความเรวเสยงและความยาว

คลนเสยง 5. น าลกมดรรชนหกเห 0.5 เมอเทยบกบน าตน จด A อยในน าตนหางจากบรเวณน าลก 9

เซนตเมตร จด B อยในน าลกหางจากบรเวณน าตน 18 เซนตเมตร โดยแนว AB ตงฉากกบแนวแบงเขตน าลกและน าตนเมอคลนในน าตนมความยาวคลน 3 เซนตเมตร จงหาวา

(a) จ านวนลกคลนจาก A ดง B เปนเทาไร (b) ถาจด C อยบนแนวแบงเขตทหางจาก A 15 เซนตเมตร คลนจากน าตน A จะผานไปยงน า ลก

ในแนว AC ไดหรอไม เพราะเหตใด

6. คลนน าเคลอนทจากน าตนไปยงน าลกถามมตกกระทบและมมหกเหเทากบ 30 ๐ และ 45๐ ตามล าดบ และความยาวคลนในน าตนเทากบ 2 เซนตเมตร ความยาวคลนในน าลกเปนกเซนตเมตร

7. ถาคลนน าเคลอนทผานจากน าลกไปยงเขตน าตน แลวท าใหความยาวคลนลดลงครง จงหาอตราสวนความเรวของคลนในน าลกกบความเรวของคลนในน าตน

8. แหลงก าเนดคลนอาพนธสองแหลงหางกน 6 เซนตเมตรท าใหเกดคลนผวน าทมความถเทากนและ ความยาวคลน 2 เซนตเมตรจงหาวาเสนตรงทเชอมระหวางแหลงก าเนดทงสองคลนรวมทเกดจากการแทรกสอดมปฏบพกต าแหนง

9. S1 และ S2 เปนแหลงก าเนดอาพนธสองแหลงมระยะ S1P = 12 เซนตเมตร S2P = 18 เซนตเมตรโดยจด P อยบนเสนบพเสนท 2 ถาความถของคลนเทากบ 10 เฮรตซจงหาความเรวของคลน

10. ถาเสนเชอกยาว 90 เซนตเมตรเกดเปนคลนนงในเสนเชอกทมปลายทงสองยดแนนไว และความเรวคลนในเสนเชอก ขณะนนเทากบ 2.4 x 102 เมตร/วนาท จงหาความถของคลน

194

11. ในการทดลองของคลนนงบนเสนเชอก ถาคลนในเสนเชอกมความถ 720 เฮรตซและอตราเรว 360 เมตร/วนาทต าแหนงทบพทอยตดกนหางกนกเมตร

12. ถาใหคลนน าเคลอนทผานชองเปดทมความกวาง 2.2 เซนตเมตร คลนทแสดงการเลยวเบนไดชดเจนทสดจะตองมความยาวคลนเทาใด

13. วางล าโพงชดกบปลายขางหนงของหลอดเรโซแนนซ เลอนลกสบออกชา ๆจนกระทงไดยนเสยงดงเพมขนมากทสดครงแรกทระยะหางจากปลายหลอด 3.3 เมตรความเรวเสยงในอากาศมคา 330 เมตร/วนาท จงหาความถของเสยงจากล าโพง

14. เสนลวดยาว 2 m แขวนดวยมวล 5 kg ดงรปท 8.23จงหา (a) มวลตอหนวยความยาว (b) เมอเสนเชอกสนดวยความถ 150 Hz และเกดคลนนง 6 ลป (c) จ านวนลป ถาเปลยนมวลเปน 45 kg

(d) จ านวนลป ถาเปลยนมวลเปน 10 kg

15. จงหาความยาวคลนเสยงของผฟง เมอ (a) จากรปท 8.24(a) ผฟงอยบนรถวงดวยอตราเรว 30 m/s เขาหาแหลงก าเนดเสยงทอยนงและสงเสยงดวยความถ 400 Hz ถาอตราเรวเสยงในอากาศเปน 350 m/s (b)จากรปท 8.24(b) รถวงดวยอตราเรว 30 m/s ออกจากผฟงทอยนง ถารถสงเสยงดวยความถ 400 Hz และอตราเรวเสยงในอากาศเปน 350 m/s

16. เครองบนความเรวเหนอเสยงบนในแนวระดบผานเหนอศรษะชายผหนง เมอเขาไดยนเสยงของคลนกระแทก เขาจะมองเหนตวเครองบนมมมเงยจากพนดน 30o เครองบนมความเรวเทาใดในหนวยเมตร/วนาท ถาอตราเรวเสยงในอากาศเปน 345 เมตร/วนาท

195




9.1 บทน า 9.2 การสะทอน



9.5 หลกของฮอยเกนส 9.6 การแทรกสอด 9.7 การเลยวเบน




1. เขาใจและอธบายเกยวกบสมบตของแสงไดอยางถกตอง 2. ค านวณหาคาปรมาณตางๆทเกดภาพจากกระจกและเลนสไดอยางถกตอง 3. อธบายและค านวณหาคาตางๆจากการแทรกสอดและการเลยวเบนไดอยางถกตอง 4. เขาใจและอธบายเกยวกบการโพลาไรเซชนไดอยางถกตอง





196









197

บทท 9

แสง

9.1 บทน า ในอดตนกวทยาศาสตรเชอและยอมรบกนวา แสงเปนล าอนภาคซงเคลอนทเปนเสนตรงสามารถทะลหรอหกเหผานวตถโปรงใส และสะทอนทผวทบได จนกระทงประมาณป ค.ศ. 1677 ไดเกดมแนวความคดทวาแสงอาจจะเปนคลนได โดย ครสเตยน ฮอยเกนส (Christian Huygens) ไดใชทฤษฎทวาแสงเปนคลนอธบายกฎเกณฑการสะทอนและการหกเหได แนวความคดนยง ไมเปนทยอมรบในทนทดวยเหตผลทวา ถาหากแสงเปนคลนแลวเหตใดจงไมพบวาแสงแสดงสมบตของคลนอยางหนง ไดแก การเบยงเบนจากแนวทางเดนไดเมอพบสงกดขวาง เชน ขอบหรอมม แตตอมาเมอ ทอมส ยง (Thomas Young) และ โอกสแตง-ชอง เฟรเนล (Augustin-Jean Fresnel) ไดทดลองพบปรากฏการณการแทรกสอดและการเลยวเบนของแสงจงท าใหทราบวา เหตทเราไมพบวาแสงแสดงสมบตเหลานในสถานการณทวๆ ไปเนองจากปรากฏการณดงกลาวจะเกดขนกตอเมอสงกดขวางมขนาดใกลเคยงกบความยาวคลนของแสงซงสนมาก นอกจากนทฤษฎทวาแสงเปนคลนยงอธบายปรากฏการณตาง ๆ เชน การหกเหสองแนวไดอกดวย

อยางไรกดในเวลาตอมาอกไมนานนก ทฤษฎทวาแสงเปนคลนกยงไมสามารถอธบายปรากฏการณอกหลายอยางได เปนตนวาปรากฏการณโฟโตอเลกตรก (photoelectric effect) หรอ ปรากฏการณทอเลกตรอนสามารถหลดออกจากตวน าทถกแสงได แอลเบรต ไอนสไตน (Albert

Einstein) จงไดเสนอทฤษฎใหมทอธบายวาแสงอาจเปนหอหรอกอนของพลงงานทเรยกวา โฟตอน (photon) ทฤษฎนสามารถอธบายปรากฏการณอน ๆ อกหลายอยางได แตทงนไมไดหมายความวาทฤษฎทวาแสงเปนคลนไดลมเหลวไป เพราะปจจบนไดเปนทยอมรบวาแสงบางครงกแสดงสมบตเปนคลนและบางครงกแสดงสมบตเปนอนภาคได

9.2 การสะทอน การสะทอน (Reflection) ของแสงจะเกดขนเมอแสงเคลอนทไปกระทบกบสงกดขวาง แลวเปลยนทศทางกลบสตวกลางเดม ถาสงกดขวางทบแสงผวเรยบแสงทตกกระทบพนผวสะทอนกลบในทศทางเดยวกนหมด ดงรปท 9.1(a) เชน กระจกเงา และแสงจะเกดการกระจาย (Diffusion of light)

เมอตกกระทบบนผวขรขระ ดงรปท 9.2(b) ถาวตถทตกกระทบนนโปรงแสงแสงบางสวนจะทะลผานตวกลางและเกดการหกเหของแสงขน ซงจะกลาวในหวขอถดไป หลกการสะทอนของแสงมลกษณะเชนเดยวกนกบการสะทอนในคลนกล คอ รงสตกกระทบ รงสสะทอน และ เสนแนวฉากอยบนระนาบเดยวกน มมตกกระทบเทากบมมสะทอน

198

รปท 9.1 แสดงการสะทอนของแสงบนผววตถผวเรยบและผวขรขระ

ตวอยางท 9.1 กระจกเงาสองบานท ามมกน 120o ถารงสตกกระทบท ามม 65o กบเสนแนวฉากของกระจกบานแรก 1 จงหาทศทางของรงสหลงจากทแสงสะทอนกบกระจกเงาบานท 2

รปท 9.2 แสดงการสะทอนของแสงบนกระจก

วธท า จากหลกเรขาคณตจะไดวา o o oθ = 90 65 = 25

มมภายในสามเหลยม o o180 = θ 120 α

o o o oα = 180 120 25 = 35 o o oβ = 90 35 = 55 ดงนน ทศทางของรงสหลงจากทแสงสะทอนกบกระจกเงาบานท 2 ท ามมกบเสนปกต o55


หนาคลน 1 2

เสนปกต

ผวเรยบ

ผวขรขระ

(a)

(b)

o120o65

กระจกบานท 1


199

ตวอยางท 9.2 กระจกเงาสองบานท ามมกน 90o เมอฉายแสงเลเซอรตกกระทบกบกระจกบานแรกทต าแหนงหางจากกระเงาทงสองบานท ามมกนเปนระยะทาง 11.5 cm ดงรป และสะทอนไปตกกระทบทต าแหนงกงกลางของกระจกบานทสองซงมความยาว 28.0 cm จงหามมตกกระทบของรงสบน กระจกบานแรก

วธท า จากตรโกณมตจะไดวา BCtan α =

AB

14tan α = 11.5

1 14α = tan11.5

oα = 50.50

o o oθ = 90 50.59 = 39.41


การมองเหนเกดจากการทแสงตกกระทบวตถแลวสะทอนมายงตาของเรา เชนเดยวกบการเกดภาพ จงเกดจากแสงทวตถตกกระทบกระจกหรอวตถผวเรยบมน สะทอนมายงตาของเราท าใหสามารถเหนภาพของวตถบนกระจกหรอวตถผวเรยบมนนน แสงทออกมาจากวตถมาหลายทศทางดงรปท 9.4 ซงแทนดวยเสนลกศรชแสดงทศทางของแสงเรยกวา เสนรงส ซงจดทเกดการตดกนของเสนสจะท าใหเกดเปนภาพขน ถาภาพเกดขนจากการตดกนของเสนสจรงเรยกวา ภาพจรง และถาภาพเกดขนจากการตดกนของเสนสไมจรงเรยกวา ภาพเสมอนดง ภาพทเกดจากการลากเสนตอจากเสนรงสสะทอนหรอเสนรงสหกเหไปตดกนทจด P เปนภาพเสมอน

รปท 9.4 แสดงการมองเหนวตถ

การมองเหนของวตถ การเหนภาพของวตถในกระจกราบ

การเหนภาพของวตถในวตถโปรงแสง



28.0 cm

11.5 cm

C

BA

รปท 9.3 แสดงการตกของแสงเลเซอรบน กระจกราบสองบานท ามมกน 90o

200

9.3.1 การเกดภาพบนกระจกราบ

เพอหาต าแหนงและขนากของภาพจะใชเสนรงสทตกกระทบกบกระจกราบเพยงสองเสนดงรปท 9.5(a) จากรปทจด P และ P เปนต าแหนงของวตถและภาพของวตถ (วตถเปนจด)

S และS เปนระยะของวตถและระยะภาพของวตถตามแนวระดบ ( PP ) เสน PV และ PB เปนเสนรงสตกกระทบทขนานกบเสนแนวระดบและตกกระทบท ามม θ กบเสนตามแนวระดบ เสน VP

และ BP เปนเสนลากตอจากแนวเสนรงสสะทอนทงสองเสนมาตดกนทจด P เมอพจารณาจากรปจะไดสามเหลยม Δ(BPV) และΔ(BP V) ทใชดานตรงขามมมรวมกน จะไดความสมพนธดงสมการ

ท Δ(BPV) BVtanθ = S

ท Δ(BP V) BVtanθ = S

จะไดวา BV BV = S S

S = S (9.1)

แสดงวาระยะทางระหวางวตถกบกระจกราบและระยะทางระหวางภาพวตถเทากน โดยก าหนดใหระยะภาพของวตถมคาเปนลบ S' เชนเดยวกนจากรปท 9.5(b) เสน QV เปนเสนรงสทลากจากยอดของวตถขนานกบเสนตามแนวระดบไปตกกระทบยงกระจกราบ และเสน QV เปนเสนรงสทลากจากยอดของวตถตกกระทบท ามม กบเสนตามแนวระดบเสน VQ และ V Q เปนเสนลากตอจากแนวเสนรงสสะทอนทงสองเสนมาตดกนทจด Q ซงจากรปจะไดความสมพนธระหวางเสนขนาน QQ และ PPดงสมการ

ระยะทาง QP = Q P

ดงนน y = y (9.2)

โดยท y คอ ขนาดของวตถและ y คอ ขนาดภาพของวตถ แสดงวาขนาดของวตถจะเทากบขนาดภาพของวตถบนกระจกราบและเรยกอตราสวนระหวาง y y คอ ก าลงขยายของภาพ (m)

201

รปท 9.5 แสดงการสะทอนของแสงจากกระจกเงาราบ

ตวอยางท 9.3 ชายคนหนงสง 180 cm ยนอยหนากระจกราบดงรปท 9.6 จงหาความยาวนอยทสดของกระจกราบทจะสามารถมองเหนภาพชายคนนไดเตมตว วธท า จากรปท จะไดวา 1 2y = y +y (1)

1 2y yL = +2 2

(2)

1 2y y2 (2) 2L = 2 +22 2

1 22L = y + y (3) 1 2 1 2(1) (3) y 2L = (y +y ) (y +y )

y 2L = 0

yL = 2

180 cmL = 90 cm2

ภาพจดวตถ

V' Q'

s s'

y'y

V

Q

จดวตถ

กระจกเงาราบ

P P'

ระยะวตถ

ระยะภาพ

วตถ

ภาพ

(a)

(b)

y1y

2y

L

รปท 9.6 แสดงชายคนหนงยนอยหนา กระจกราบ

202

9.3.2 การเกดภาพบนกระจกโคง (กระจกเวาและกระจกนน) กระจกโคงประกอบดวยสวนตางๆ ดงน C คอจดศนยกลางความโคงของกระจก R

คอรศมความโคงของกระจก V คอจดยอดของกระจกโคง เรยกเสนทลากผานจด C F และ V เรยกวาเสนแกนมขส าคญ (Principle axis) แสดงดงรปท 9.7

รปท 9.7 แสดงสวนประกอบตางๆ บนกระจกเวาและการสะทอนของแสงบนกระจกเวา

R

FC V

fs'

Rs

IC V

I'

O'

O

y

y'

203

จากรปท 9.7 สามารถหาต าแหนงของการเกดภาพไดโดยการลากเสนรงสของแสง ถามวตถขนาด y วางไวหนากระจกเวาทต าแหนง O เปนระยะทาง s เมอลากเสนรงสตกกระทบจากยอดของวตถไปตกกระทบยงจด V ท ามม θ กบเสนแกนมขส าคญและสะทอนออกมาดวยมมทเทากน และลากเสนรงสตกกระทบจากยอดของวตถอกเสนหนงผานจด C ไปตกกระทบตงฉากบนกระจกแลวสะทอนมายงมาในทศทางเดม จดทรงสสะทอนทงสองตดกนหางจากกระจกเปนระยะทาง s' เปนบรเวณทเกดภาพของวตถขนาด y' เมอพจารณาจากกฎการสะทอนจะไดวา

ท Δ(OVQ) OQ ytanθ = = OV s R

ท Δ(IVQ ) IQ y'tanθ = = IV R s'

ดงนน y y' = s R R s'

R s' y' = = ms R y

(9.3)

และเมอพจารณาจากรปจะไดสามเหลยม Δ(BPV) และ Δ(BP V) ทมมมแยงเทากบ จะไดความสมพนธดงสมการ

ท Δ(BPV) htanα =s R

ท Δ(BP V) y'tanα = R s'

จะไดวา h h = s R R s'

y' R s' = s Ry

(9.4)

จากสมการ (9.3) และ (9.4) จะไดวา

2 1 1 = +R s' s

(9.5)

เมอวตถอยไกลจากกระจกเวาเปนระยะอนนตรงสทสะทอนจะตดกนทจดหนงบนเสนแกนมขส าคญภาพทเกดขนจะมลกษณะเปนจด ซงจะไดระยะภาพ f เทากบ R/2 เรยกจดนวา จดโฟกส (F) ซงเปนจดกงกลางระหวาง C และ V จะไดความสมพนธใหมคอ

1 1 1 = +f s s'

(9.6)

204

นอกจากน ยงสามารถหาต าแหนงของการเกดภาพไดโดยการลากเสนรงสของแสง อยางนอยสองถงสามเสนดงรปท 9.8 ถามวตถขนาดแทนดวยลกศรวางไวหนากระจกเวาทต าแหนง O เมอลากเสนรงสตกกระทบเสนท 1 จากยอดของวตถขนานเสนแกนมขส าคญตกกระทบกบกระจกแลวสะทอนผานจดโฟกส F ไปตดกบเสนรงสตกกระทบเสนท 2 ทลากจากยอดของวตถผานจดโฟกสตกกระทบกบกระจกแลวสะทอนกลบออกมา เมอลากเสนจากจดตดไปตงฉากกบเสนแกนมขส าคญจะไดต าแหนงและลกษณะของภาพทเกดขน หรอลากเสนรงสตกกระทบเสนท 3 จากยอดของวตถผานจดศนยกลางความโคงของกระจกแลวสะทอนกลบออกมาตดกบเสนท 1 หรอ 2 กสามารถหาต าแหนงของการเกดภาพไดเชนเดยวกน ในกรณกระจกนนจด C และ F จะอยดานหลงของกระจกแสดงดงรปท 9.8

ในการพจารณาเครองหมาย ถา p q f R y และ y เกดหนากระจก มคาเปนบวกภาพทเกดจะเปนภาพจรงหวกลบ และถาเกดหลงกระจกจะไดภาพเสมอนหวตง p q f R y และ yมคาเปนลบ

รปท 9.8 แสดงสวนประกอบตางๆ บนกระจกนนและการสะทอนของแสงบนกระจกนน

F

C

O'

O

12

3

VFC

F CF

C

205

รปท 9.9 แสดงการเกดภาพบนกระจกเวา

FC V

O

12

3

O'

FC V

FC V

FC V

206

ตวอยางท 9.4 กระจกเวามความยาวโฟกส 10 cm จงหาต าแหนงและลกษณะของการเกดภาพ เมอวางวตถไวหนากระจกเปนระยะทาง 25 cm, 10 cm และ 5 cm จงหาต าแหนงและลกษณะของภาพ

วธท า จาก 1 1 1= +f p q

1. เมอวางวตถไวหนากระจกเปนระยะทาง 25 cm จะไดวา

1 1 1=q 10 cm 25 cm

q = 16.7 cm

ดงนน ระยะวตถมากกวาความยาวโฟกส แสดงวาภาพทเกดเปนภาพจรง


1 1 1 = q 10 cm 10 cm

q =

ดงนน ระยะวตถเทากบความยาวโฟกส แสดงวาจะไมเกดภาพ


1 1 1 = q 10cm 5cm

q = 10 cm

ดงนน ระยะวตถนอยวาความยาวโฟกส แสดงวาภาพทเกดเปนภาพเสมอน

207


การหกเห (Refraction) ของแสง คอการเปลยนแนวการเดนของแสง เมอแสงเดนผานระหวางสองตวกลางทไมทบแสง และแสงทเคลอนทผานนนไมตงฉากกบรอยตอของตวกลาง ส าหรบกฎการหกเหของแสงจะเหมอนกบในกรณของคลนกล คอ ตกกระทบ รงสสะทอน และเสนแนวฉากอยบนระนาบเดยวกนเสมอ ส าหรบตวกลางคหนงอตราสวนระหวางไซนของมมตกกระทบในตวกลาทหนงกบไซนของมมหกเหในอกตวกลางหนงมคาคงทเสมอ ซงไดแสดงใหเหนแลวในบททผานมา ดงสมการ

1 2

2 1

sinθ n = sinθ n

(9.7)

n คอดชนเหของแสง มคาเทากบอตราสวนระหวางอตราเรวของแสงในสญญากาศ (c=3x108 m/s ตออตราเรวของแสงในวสด (v)

cn = v

(9.8)

ดชนเหของแสงของแสงในอากาศมคา n=1 และวสดทมคาดชนหกเหสงจะมอตราเรวแสงในวสดจะต า ดงนนถาแสงเดนทางจากตวกลางทคาดชนหกเหสงไปยงตวกลางทมคาดชนหกเหต า มมตกกระทบจะมากกวามมหกเห ในทางตรงกนขามถาแสงเดนทางจากตวกลางทคาดชนหกเหต าไปยงตวกลางทมคาดชนหกเหสงมมตกกระทบจะมากกวามมหกเห แสดงดงรปท 9.10

รปท 9.10 แสดงการหกเหของแสงบนวตถโปรงใส


1

2

เสนปกต

2

1

1 2

อากาศ

แกว

แกว

อากาศ

1 2v v2 1

2 1v v1 2n n

2 1n n

208

ตวอยางท 9.5 จากรปท น ามดชนหกเหเทากบ 1.33 และแกวมดชนหกเหเทากบ 1.52 เมอแสงเดนทางจากน าท ามมตกกระทบกบผวแกว 60o ท าใหเกดการหกเหของรงส จงหาทศทางการสะทอนและหกเหของรงส


2 1

sinθ n=sinθ n

b

sin60 1.52=sinθ 1.33

obθ =49.3

ตวอยางท 9.6 จากรปท 9.12 แสดงมมตกกระทบของล าแสง 1θ และล าแสงหกเหท ามม o2θ 20

ในน ามนทมดชนหกเหเทากบ 1.48 และล าแสงเกดการหกเหอกครงท ามม 3θ ในน า จงหามมตกกระทบของล าแสง 1θ และมมหกเห 3θ


2 1

sinθ n=sinθ n

จะไดวา 1o

sinθ 1.48=sin20 1

o1θ = 30.41

และจาก 32

3 2

nsinθ =sinθ n


3

sin20 1.33=sinθ 1.48

o2θ = 22.37

28.0 cmo1 60

2

รปท 9.11 แสดงการหกเหของล าแสง ระหวางแกวกบน า

2

1

3

อากาศ

น ามน

น า รปท 9.12 แสดงการหกเหของล าแสงระหวาง

อากาศ น ามน และน า

209

ตวอยางท 9.7 จากรปแสงเดนทางจากตวกลางท 1 ทมดชนหกเหเทากบ n1 ตกกระทบท ามม 1θ

กบตวกลางท 2 ทมความหนาเทากบ t เทากนทงแผนและมดชนหกเหเทากบ n2 แสงเดนทางผานตวกลางท 2 แลวเกดการหกเหท ามม 2θ และทะลผานไปยงตวกลางท 1 อกครงและการหกเหท ามม

3θ จงแสดงใหเหนวารงสทตกกระทบตวกลางท 2 และทะลผานไปยงตวกลางท 1 ขนานกน และหางกนเปนระยะทางเทาไร (เมอ n2 มากกวา n1)

รปท 9.13 แสดงการหกเหจากตวกลาง 1 ไป 2

วธท า จากกฎของสเนลส 1 2

2 1

sinθ n = sinθ n

22 1

1

nsinθ = sinθn

23 2

1

nsinθ = sinθn

จะไดวา 2 13 1

1 2

n nsinθ = sinθn n

3 1sinθ = sinθ ดงนนรงสทตกกระทบตวกลางท 2 และทะลผานไปยงตวกลางท 1 ขนานกนเมอ 3 1θ =θ และระยะหางระหวางรงสทงสอง

2

ta = cosθ

1 2d = asinγ = asin(θ θ )

ดงนน 1 22

td = sin(θ θ )cosθ

2

1

3

t

d

1n

2n

a

210

9.4.1 การสะทอนภายในกลบหมด

เกดขนเมอคลนตกกระทบเคลอนทจากตวกลางทมดชนหกเหสงไปยงอกหนงตวกลางทมดชนหกเหต ากวา โอกาสทจะสะทอนกลบมาอยในตวกลางเดมโดยไมไดหกเหผานไปอกตวกลางหนง จะขนอยกบคามมตกกระทบ แสดงดงรปท 9.14 จากรปจะเหนวาเสนรงสแทนหนาคลนทเกดจากแหงก าเนด S ในตวกลางท 1 เมอเสนรงสตกกระทบมม 2θ เทากบศนยทจด a และมคาสงขนเรอยๆ (ความเขมของคลนสะทอนจะเพมขน) ในขณะเดยวกนมมหกเหโตขนเรอยๆเชนเดยวกน (ความเขมของคลนหกเหจะลดลง)จนกระทงมมตกกระทบคาหนง (ทจด d ) ทท าใหมมหกเห 1θ มคาเทากบ 90o(ความเขมของคลนหกเหอยบนเสนรอยตอ) นนคอ คลนไมสามารถเคลอนทผานไปในตวกลาง 2 ได เรยกมมตกนวา มมวกฤต Cθ ถามมตกใหญกวามมวกฤตจะไมเกดคลนหกเห รงสจะไมสามารถทะลไปในตวกลาง 2 ไดจะสะทอนกลบอยในตวกลาง 1 ซงเรากลาววา มการสะทอนภายในกลบหมด

รปท 8.14 แสดงการสะทอนภายในกลบหมด

จากกฎของสเนล

1 2

2 1

sin θ nsin θ n

เนองจาก 1 2n > n ถา o

2θ 90 และ 1θ มคานอยกวา 90o มม 1θ คอ มมวกฤต Cθ จะไดสมการเปน

C 2o

1

sin θ nsin 90 n

2C

1

nsin θn

(9.9)

S

1

23

4

51

2

1(n )

2(n )อากาศ

แกว

211

9.4.1 การเกดภาพจากเลนส (เลนสนนและเลนสเวา) เลนสมหลากหลายรปแบบแสดงดงรปท 9.15 ซงในบทนจะสนใจเพยงเลนสนนแบบ

Biconvex และเลนสเวาแบบ Biconcave เพอศกษาการเกดภาพจากเลนสจ าเปนตองทราบสวนประกอบตางๆของเลนสแสดงดงรปท 9.16 จากรป O เปนจดศนยกลางของเลนส C เปนจดศนยกลางความโคงของกระจกม 2 ดาน ดานหนากระจก คอดานทรงสมาตกกระทบ C1 ดานหลงกระจก คอดานทรงสมาทะลผานแลวเกดการหกเหเสนรงส C2 F คอจดโฟกส (F, F ) เสนทลากผานจด C1O และ C2 เรยกวา เสนแกนมขส าคญ (Principle axis) การหาต าแหนงของการเกดภาพสามารถท าไดโดยการลากเสนรงสของแสง อยางนอยสองเสนดงรปท 9.17 ถาวตถมขนาด (แทนดวยลกศร) วางไวหนาเลนสทต าแหนง M เมอลากเสนรงสตกกระทบเสนท 1 จากยอดของวตถขนานกบเสนแกนมขส าคญตกกระทบบนเลนสแลวหกเหไปผานจดโฟกส F2 ไปตดกบเสนรงสตกกระทบเสนท 2 ทลากจากยอดของวตถผานจดโฟกสตกกระทบกบบนเลนสแลวทะลผานออกมา เมอลากเสนจากจดตดไปตงฉากกบเสนแกนมขส าคญจะไดต าแหนงและลกษณะของภาพท เกดขน จากรปสามารถหาสมการการเกดภาพจากความสมพนธของสามเหลยมมมคลาย 2Δ(OF O ) และ 2Δ(IF O ) ทมมมแยงเทากบ θ จะไดความสมพนธของ tanθ ของสามเหลยมมมคลายทงสองดงสมการ

h h'=f s f

h' s' f = h f (9.10)

และจากรปจะไดวา h' s'= h s (9.11)

จากสมการ 9.10 และ 9.11 จะไดวา

1 1 1= +f s s'

(9.12)

ในการพจารณาเครองหมาย s, s' และ f มคาเปนบวก ถาเกดจากการตดกนจรงของเสนรงสและมคาเปนลบ ถาเกดจากการตดกนของเสนลากตอจากเสนรงส h' มคาเปนลบ จะเปนภาพจรงหวกลบและมคาเปนบวกจะไดภาพเสมอนหวตง

212

รปท 9.15 แสดงการเกดภาพของเลนสบาง

C

O'

OF'

V'

V y'y I

I'

f s'

R

s

f

s' f

FVF CC

F

213

รปท 9.16 แสดงการเกดภาพของเลนสบาง

12 3

1

23

12 3

FV CFC

FV CFC

FV CFC

FV CFC

1

2 3

I

I

I

O

O

O

O

214

รปท 9.17 แสดงการเกดภาพของเลนสนนและเลนสเวา

ตวอยางท 9.8 เลนสนนมความยาวโฟกส 10 cm ถาวางวตถไวหนาเลนสเปนระยะทาง 30 cm และ 10 cm จงหาวาภาพทเกดหางจากเลนสเปนระยะทางเทาไร และลกษณะของภาพทเกดขนเปนอยางไร

วธท า จากสตร 1 1 1 = +f s s'

เมอวางวตถไวทระยะทาง 30 cm 1 1 1= +10 30 s'

s' = 15 cm ภาพทเกดขนมขนาดเลกกวาวตถ เปนภาพจรงหวกลบ


s' = cm

ภาพทเกดขนทระยะอนนต

O

CC F FV

FV CFC

1

2

3I

215

ตวอยางท 9.9 เลนสเวามความยาวโฟกส 10 cm ถาวางวตถไวหนาเลนสเปนระยะทาง 30 cm และ 10 cm จงหาวาภาพทเกดหางจากเลนสเปนระยะทางเทาไร และลกษณะของภาพทเกดขนเปนอยางไร



s' = 15 cm

ภาพทเกดขนมขนาดเลกกวาวตถ เปนภาพจรงหวกลบ


s' = cm ภาพทเกดขนทระยะอนนต

ตวอยางท 9.10 ถาวางวตถไวหนาเลนสนนทมความยาวโฟกส 5 cm เปนระยะทาง 10 cm และหางจากเลนสเวาทมความยาวโฟกส 10 cm เปนระยะทางถดจากเลนสนน 5 cm จงหาวาภาพทเกดหางจากเลนสเวาเปนระยะทางเทาไร


เมอวางวตถไวหนาเลนสนน 1 1 1= +5 10 s'

s' = 10 cm

ภาพทเกดขนจะกลายเปนวตถ เปนภาพส าหรบเลนสเวา ดงนนจะไดวา s = 5 cm

เมอวางวตถไวหนาเลนสนน 1 1 1= +10 5 s'

s' = 10 cm

216

9.5 หลกของฮอยเกนส คลนอาจจะมหนาคลนในลกษณะทเปนระนาบ เปนทรงกลม หรอเปนลกษณะใดขนอยกบลกษณะของตนแหลงคลน และคลนอาจเคลอนทไปไดเรอยๆ ตราบใดทคลนยงไมพบสงกดขวาง แตในสถานการณจรงคลนจะพบกบสงกดขวางเสมอ เชน กรณทแสงผานรเลก ๆ บนฉาก หนาคลนเกอบทงหมดจะถกดดกลนไปบนฉาก จะมเพยงสวนนอยเทานนทผานรเลกออกไปได ในการหาแอมพลจด ความเขมของแสง เฟส และโพลาไรเซชนของแสง ณ จดใดจดหนงเมอแสงไดผานรเลกนนแลวคอนขางจะเปนเรองทยงยาก ตอมาในราวป ค.ศ. 1680 นกฟสกสชาวฮอลแลนดชอ ครสเตยน ฮอยเกนส ไดเสนอวธทจะหาความเขมและเฟสของคลนทจดใดจดหนงโดยอาศยหลกทเรยกวา หลกของฮอยเกนส (Huygens’ principle) ซงมใจความส าคญวา “ทกๆ จดบนหนาคลนใดๆ อาจถอไดวาเปนแหลงก าเนดคลนใหม ซงจะปลอยคลนเลกๆ ออกไปรอบๆ และคลนเลกๆ ดงกลาวจะมอตราเรวเทากบอตราเรวของการเคลอนทของคลนเดม”

รปท 9.18 แสดงการใชหลกของฮอยเกนสสรางหนาคลนใหม

ดงนนถาเราทราบรปรางของหนาคลนทเวลาหนง เราอาจใชวธการของเรขาคณตโดยอาศยหลกของฮอยเกนสหาหนาคลนทเวลาตอไปไดโดยการสรางผวซงสมผสกบหนาคลนเลกๆ เหลานน ดงรป 9.18 ซงก าหนดใหหนาคลนระนาบ AA’ เคลอนทดวยอตราเรว v จดใดๆ บนหนาคลน ถอวาเปนจดก าเนดคลนเลกๆ ซงเคลอนทดวยอตราเรว v ตามหลกของฮอยเกนส การหาต าแหนงของหนาคลนเมอเวลาผานไป t ท าโดยสรางวงกลมเลกๆ รศม r = vt โดยมจดศนยกลางอยทจดใดๆบนหนาคลนเดม หนาคลนใหมทได กคอเสนทลากสมผสกบวงกลมทมรศม vt เหลาน ซงเสนนกคอซอง (Envelope) ของคลนเลกๆ นนเอง

(a) (b)

217

9.6 การแทรกสอด

การแทรกสอด (Interference) เกดขนเมอคลนสองขบวนหรอมากกวามารวมกนทจดๆหนง ซงผลการรวมกนของคลนไมสามารถอธบายไดดวยการเขยนเสนรงสเหมอนกบการสะทอนและการหกเห การรวมกนของคลนจะขนอยกบเฟสและแอมพลจดของคลนเหลานน การศกษาการแทรกสอดในตอนตนจะเรมจากการพจารณาแหลงก าเนดทเปน แหลงก าเนดอาพนธ (Coherent sources) ซงคลนหลาย ๆ คลนทกลาววาเปนคลนอาพนธหมายความวาคลนเหลานมความถเทากนและมผลตางของเฟสคงตวตลอดเวลา

9.6.1 การทดลองของยง ทอมส ยง (Thomas Young, ค.ศ. 1773-1829) นกวทยาศาสตรชาวองกฤษไดท าการทดลองใหเหนวาคลนแสงสามารถแทรกสอดกนได โดยใชเครองมอทแสดงไวในรปท 9.19 เมอ So

เปนแหลงก าเนดแสงอาพนธ สองผานเปนชองแคบเลกมากๆ สองชอง S1 และ S2 ทอยใกลกนซงถอไดวา S1 และ S2 เปนจดก าเนดคลนใหมทมความถและเฟสตรงกน เนองจากอยบนหนาคลนอนเดยวกนตามหลกของฮอยเกนส ดงรปท 9.19

ถาก าหนดให d เปนระยะหางระหวาง S1 และS2 คลนแสงจากแหลงก าเนดทงสองจะเกดการแทรกสอดกนเกดแถบมดและแถบสวางบนฉาก ตามหลกการการแทรกสอด ซงเงอนไขทท าใหเกด การแทรกสอดแบบเสรมกน (Constructive interference) หรอ การแทรกสอดแบบหกลางกน (Destructive interference) ของคลนทต าแหนงตางๆ บนฉากได ซงต าแหนงทเกดการเสรมกนจะสวาง สวนต าแหนงทเกดการหกลางจะมดดงรปท 9.19 จะเหนเปนบนฉากรบแสงทอยหางจากแหลงก าเนดทงสองเปนระยะทาง L ซงคามากกวา d มากๆ

เมอพจารณาจด P ซงท ามม θ กบแกนทลากจากกงกลางของ S1 และS2 ถงฉาก แมวาแสงจาก S1 และ S2 จะมเฟสตรงกน แตเมอไปพบกนทจด P แสงจากทงสองแหลงก าเนดดงกลาวไมจ าเปนตองมเฟสตรงกนเสมอไป ทงนขนกบผลตางของทางเดนแสง 2 1δ = r r จาก S1

และS2 ไปถงฉาก ดงรป 9.20(a) และเนองจากระยะ L มากกวา d มาก ๆ จะไดวา 2 1δ = r r มคาเทากบ dsinθ ดงรป 9.20(b)

218

รปท 9.19 แสดงรวการแทรกสอดของยง

รปท 9.20 แสดงการทดลองของยง

m = 0

m = 1

m = 2

m = 1

1S

2S

d

m = 2

0S

(a) (b) P

y

θ

1S

2S

dθ

δ

L

2r

1r

1S

2S 2 1δ= r r

θd

dsinθ

219

จากการอาศยหลกการรวมกนไดของคลน (Superposition principle) จด P จะเปนจดสวาง คอ เกดการแทรกสอดแบบเสรมกนเมอ dsinθ เทากบจ านวนเทาของความยาวคลน และ P จะเปนจดมด คอ เกดการแทรกสอดแบบหกลางเมอ dsinθ เทากบจ านวนครงของความยาวคลน นนคอ

แถบสวาง : dsinθ = mλ (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...) (9.13)

แถบมด : 1dsinθ = (m+ )λ2

(m = 0, ±1, ±2, ±3, ...) (9.14)

ทจด O ซงเปนจดบนแกนทลากจากกงกลางของ S1 และ S2 ถงฉากจะเปนต าแหนงสวางหรอต าแหนงท m = 0 ซงตรงกบมม θ = 0 เครองหมาย ของคา m แสดงวา เกดการแทรกสอดแบบเสรมและแบบหกลางไปทงสองดานของจด O ทต าแหนงสมมาตรกน รปท 9.20 เปนรปถายของรวการแทรกสอดทไดจากการตงเครองมอทดลองตามการทดลองของยง ซงจะเหนเปนรวสวางสลบกบรวมด รวสวางตรงกลางเรยกรวสวางล าดบทศนย โดยจะตรงกบต าแหนงท m=0 รวสวางถดไปคอต าแหนงท m = ±1 เรยกรวสวางล าดบทหนง เปนตน ต าแหนงของจดทค านวณไดจากสมการ 9.12 คอ จดกงกลางของรวมดหรอสวางนนๆ

ระยะหางจากรวสวางตรงกลางถงรวสวางล าดบท m ทางดานใดดานหนงของรวกลาง y

สามารถหาไดโดยพจารณา รปท 9.20 ซงพบวา y = d tan θ แตเนองจาก θ เปนมมเลกๆ ดงนน tanθ sinθ จะไดวา y = d sin θ (9.15)

Ly = mλd

(9.16)

หรอ ydλ = mL

(9.17)

220

ตวอยางท 9.11 ฉากรบภาพอยหางสลตค 4.8 m ระยะหางระยะหวางสลตทงสองคอ 0.03 mm ถาแสงมความยาวคลนเดยวถกสองผานสลตคและเกดรปแบบการแทรกสอดบนฉากเปนรวมดอนดบทหนง ซงอยหางจากเสนแนวกลางฉาก 4.5 cm จงหาความยาวคลนของแสงและระยะหางระหวางรวสวางทอยตดกน

วธท า จาก ydλ = (m+1)L

2 5(4.5 10 m)(3 10 m)= 1(1+ )(4.8 m)2

7= 5.62 10 m

λ = 562 nm

และจาก m+1 m(m+1)λ mλy y = L L

d d

λ= Ld

7

5(5.62 10 m)= (4.8 m)

(3 10 m)

= 9 cm

221

9.6.2 การแทรกสอดโดยการสะทอนจากฟลมบาง แถบสตางๆ ทเหนบนผวของฟองสบ หรอฟลมบางของน ามนทลอยน า เปนตวอยางของปรากฏการณทเกดจากการแทรกสอดของแสงจากฟลมบาง การสะทอนการหกเหทผวฟลมหรอภายในแผนฟลมเปนไปตามกฎทกลาวมาในตอนตน จากการทดลองการแทรกสอดโดยใชเครองมอทชอวา กระจกลอยด (Lloyd’s mirror) แสดงใหเหนวา ถาคลนแสงสะทอนทผวรอยตอของตวกลางทหนาแนนกวาหรอมดชนหกเหสงกวา เชน คลนแสงในอากาศสะทอนทผวแกว คลนสะทอนจะเปลยนแปลงไป 180o ( π เรเดยน) แตถาไปกระทบทผวรอยตอทโปรงกวาหรอมดชนหกเหต ากวาคลนจะสะทอนโดยไมเปลยนเฟส สวนการสงผาน (Transmission) จะไมท าใหเฟสของคลนสงผานเปลยนแปลง ไมวากรณใดดงรปท 9.21

รปท 9.21 แสดงการเกดการแทรกสอดเนองจากการสะทอนทฟลมบาง

1θ

2θ

2θ

2θ

1θ

d

A

B

C

D

1 20



คลนสงผาน

อากาศ แกว แกว อากาศ คลนสะทอน


คลนสงผาน

222

พจารณารปท 9.21 ก าหนดให 0 เปนรงสตกกระทบของแสงสเดยว สวนหนงของรงสตกกระทบจะสะทอนเปนรงส 1 อกสวนหนงของรงส 2 จะผานเขาไปในแผนฟลมและสะทอนทผวลาง จากนนจะทะลออกสอากาศเปนรงส 3 และถาใหแผนฟลมมความหนาสม าเสมอ t โดยอาศยหลกการแทรกสอด ผลตางของระยะทางเดนของแสง และการเปลยนเฟสเนองจากการสะทอน และเพอความงายใหแสงตกกระทบตงฉาก จะเหนวารงส 1 และ 2 จะรวมกนไดความเขมสงสด เมอ

12d = m + λ2

(m = 0, 1, 2, 3,...) (9.18)

และ nλλn

เมอ nλ คอ ความยาวคลนของแสงในแผนฟลม และ λ คอ ความยาวคลนของแสงใน

อากาศ ดงนน สมการขางบนจะเขยนไดวา กรณของ

การเสรมกน : 12dn = m+ λ2

(m = 0, 1, 2, 3,...) (9.19)

การหกลางกน : 2dn = mλ (m = 0, 1, 2, 3,...) (9.20)

ตวอยางท 9.12 จงหาความหนาแนนทนอยทสดของฟลมบางฟองสบ ซงท าใหเกดการแทรกสอดแบบเสรมกนของแสงสะทอน เมอฟลมมดชนหกเหเทากบ 1.33 และมความยาวคลนของแสงทใชสองเทากบ 600 nm

วธท า จาก 12dn = m + λ2

1 λd = m +2 2n

การแทรกสอดแบบเสรมกนของแสงสะทอนนอยทสดท m = 0

91 (600 10 m)d 0 +

2 2 1.33

9= 133 10 m = 133 nm

223

9.7 การเลยวเบน

ปรากฏการณการเลยวเบนของคลนเกดขนเมอคลนกระทบสงกดขวาง และจะเหนไดชดเจนเมอสงกดขวางมขนาดใกลเคยงกบความยาวคลนของคลนนน โดยสงกดขวางทวานอาจจะเปนชองเลกซงปลอยใหหนาคลนสวนหนงผานไปไดหรออาจจะเปนเสนลวดหรอแผนกลมซงกนสวนหนงของหนาคลน การเลยวเบนทเกดขนเมอแหลงก าเนดคลนและฉากทรบอยหางจากสงกดขวางเปนระยะหางพอสมควร

1. การเลยวเบนของแสงผานสลตเดยวแคบ

รปท 9.22 แสดงการเลยวเบนของแสงผานสลตเดยวทแคบ

พจารณาชองเลกเดยวทแคบและยาวมากๆ จนไมคดถงผลทเกดจากทงสองขาง โดยชองแคบดงกลาวกวาง d ดงรปท 9.22 ถาใหแสงขนานตงฉากกบระนาบของชองแคบ ตามหลกของฮอยเกนส ถอไดวาทกๆ จดบนหนาคลน ทมาเจอชองเลกจะเปนแหลงก าเนดคลนเลกๆ ใหมได คลนเลกๆ ใหมนจะเกดการแทรกสอดกน ถาเราพจารณาต าแหนงบนฉากซงท ามมθ ตางๆ กบทศการเคลอนทของคลนพบวา บางต าแหนงความเขมเปนศนยซงต าแหนงเหลานหาไดจากสมการ ใชเฉพาะในกรณแถบมดเทานน

d sin θ = mλ (m = ±1, ±2, ±3,...) (9.21)

เมอ m 0 และ m อาจเปนคาบวกหรอลบกได ในกรณทคา m = 0 จะใหต าแหนงทอยในแนวแสงตกกระทบ ซงเปนต าแหนงทมความสวางมากทสด ซงจะเหนรวกลางทสวางและกวาง สวนสองขางของรวกลางจะมรวสวางและรวมอสลบกนดงรปท 9.22

d2

d

d2

d sinθ2

θ θ

L

d

มด

สวาง

สวาง

สวาง

สวาง

มด

มด

มด dsinθ

y

224

ตวอยางท 9.13 แสงมความยาวคลน 633 nm ตกตงฉากสลตเดยวแหลงก าเนดแสงความยาวคลนเดยว แสงเกดการแทรกสอดบนฉากซงวางหากจากสลตเปนระยะทาง 2 m เมอแถบมด ล าดบท 1

หางจากแถบสวางกลางเปนระยะทาง 1.2 cm อยากทราบวาสลตมความกวางเทาไร

วธท า จาก ydλ = mL

mLλd = y

9

2(1)(2.0m)(633 10 m)d =

(1.20 10 m)

d = 0.11 nm

ตวอยางท 9.14 แสงสเหลองมความยาวคลน 590 nm ตกตงฉากสลตเดยวกวาง 250μm แสงเกดการแทรกสอดบนฉากซงวางหากจากสลตเปนระยะทาง 2.5 m เมอระยะหางของแถบมดล าดบท 1

ทงสองขางมคาเทาไร

วธท า จาก ydλ = mL

mLλy = d

9

6(1)(2.5m)(590 10 m)=

(2.5 10 m)

y = 0.59 m

ดงนนจะได ระยะหางของแถบมดล าดบท 1 ทงสองดานเทากบ 1.18 m

225

2. การเลยวเบนของแสงผานชองเดยวกลม

รวการเลยวเบนทเกดจากชองกลมจะไมเปนรวตรงๆ เหมอนกรณของการเลยวเบนผาน

ชองเลกยาว แตจะเปนรววงกลมสวางตรงกลางและลอมรอบดวยวงมด และสวางสลบกนดงแสดงในรปท 9.23 ถาก าหนดใหชองกลมมรศม R และ เสนผานศนยกลาง D (D = 2R) ดงรปท 9.23 เราสามารถค านวณหามมทใหวงมดวงแรกไดจากสมการ

1.22λ 1.22λθ sinθ = = 2R D

(9.22)

เมอ θ มหนวยเปนเรเดยน

รปท 9.23 แสดงรปถายรวการเลยวเบนจากชองเดยวกลม


การโพลาไรเชชน (Polarization) จะเปนลกษณะเฉพาะของคลนตามขวาง ซงแสงเปนคลนตามขวางชนดหนงเกดจากการแผออกของสนามแมเหลกและสนามไฟฟาในแนวตงฉากซงกนและกนจากแหลงก าเนด ซงในการศกษาเรองจะสนใจเฉพาะระนาบของสนามไฟฟาเทานน และเนองจากในธรรมชาตมการแผในหลายทศทางดงนนเวกเตอรของสนามไฟฟาจงแผตามแนวรศมของตวกลางดงรปท 9.24 เปนแสงทยงไมโพลาไรซ (Unpolarized light) เมอแสงเดนทางผานตวโพลาไรซ (Polarizer)

หรอแผนโพลารอยด (Polaroid) แผนท 1 แสงทมระนาบเดยวกนกบแผนโพลารอยดจะสามารถผานออกมาได เรยกแสงทผานออกมานวา แสงโพลาไรซ (Polarized light) สวนแสงทไมผานออกมาจะถกแผนโพลารอยดนนดดกลน ขณะเดยวกนเมอน าแผนโพลารอยดแผนท 2 หรอเรยกวาตวแอนนาไรซ (Analyzer) มาวางท ามมขนานระนาบของแผนโพลารอยดแผนท 1 ความเขมของแสงจะมคาสงสด ถาวางท ามม θ ความเขมของแสงจะลดลงและเปนศนยเมอวางท ามม 180o ดงรปท 9.25

D yθ

226

รปท 9.24 แสดงการโพลาไรเชชนของแสง

รปท 9.25 แสดงการทะลผานของแสงเมอวางแผนโพลารอยดมมตางๆ

ถาใหแสงทผานแผนโพลารอยดแผนท 1 มแอมพลจด E0 และมความเขมแสงเปน I0 เมอหมนแผนโพลารอยดแผนท 2 ท ามม θ กบระนาบของแผนโพลารอยดแผนท 1 แสงทออกมามแอมพลจด E และมความเขมแสงเปน I เมอแตกแอมพลจดตามแนวแกนจะได

0E = E cos θ (9.23) เมอความเขมแสง 2

0 0I α E ดงนนจะไดวา 2

0I = (E cos θ)

2 20I = E cos θ

20I = I cos θ (9.24)

สมการนเรยกวา กฏของมาลส (Malus’s law) ซงใชส าหรบการค านวณหาความเขมแสงทผานออกมาได

AAA

θ

แผนโพลารอยดแผนท 1

แผนโพลารอยดแผนท 2

แสงไมโพลาไรซ แสงโพลาไรซ

227

ตวอยางท 9.15 เมอจดท าแสงโพลาไรซกบแผนโพลารอยดใหแสงผานไดมากขน แลวหมนแผนโพลารอยดตอไปอก 30o, 45o, 60o และ 90o จงหาความเขมของแสงทผานไปวาเปนอตราสวนเทาไรของความเขมสงสด

วธท า จาก 20I = I cos θ

เมอหมนแผนโพลารอยดท o30

จะได 2 o0I = I cos 30

0= 0.75I



0= 0.5I



0= 0.25I



= 0

228

บทสรป

กฎการสะทอน คอ มมตกกระทบเทากบมมสะทอน รงสตกกระทบ รงสสะทอน และ เสนแนวฉากอยบนระนาบเดยวกน

ภาพของวตถบนกระจกราบ ขนาดของวตถเทากบขนาดภาพของวตถและระยะหางของวตถเทากบระยะหางภาพของวตถ อตราสวนระหวางขนาดของวตถจะเทากบขนาดและเรยก y y คอ ก าลงขยายของภาพ (m)

ภาพของวตถหนากระจกและเลนส วตถอยหางจากกระจกและเลนส จะไดความสมพนธระหวางระยะภาพ ระยะวตถ ความยาวโฟกส

1 1 1 = +f s s'

การหกเห คอ การเปลยนแนวการเดนของแสง เมอแสงเดนผานระหวางสองตวกลางทไมทบแสง และแสงทเคลอนทผานนนไมตงฉากกบรอยตอของตวกลาง

1 2

2 1

sinθ n = sinθ n

หลกของฮอยเกนส ทกๆ จดบนหนาคลนใดๆ เปนแหลงก าเนดคลนใหม ซงจะปลอยคลนออกไป

การเลยวเบนผานชองแคบ

dsinθ = mλ 1dsinθ = (m + )λ2

ydλ=mL

โพลาไรเชชน เปนแสงทสะทอนจากการตกกระทบผวตวกลาง อาจจะเปนแสงทไมโพลาไรช หรอ โพลาไรชกได และแสงทผานออกมาจงมเพยงระนาบเดยว จะเรยกวาเปนแสงโพลาไรช กฏของมาลส ใชส าหรบการค านวณหาความเขมแสงทผานออกมาได

20I = I cos θ

229

แบบฝกหดทายบท

1. เทยนไขสง 4.85 cm วางไวหนากระจกเงาเปนระยะทาง 39.2 จงหาขนาดและระยะทางของภาพ

ทเกดขน

3. วตถสง L วางไวหนากระจกเวาซงมความยาวโฟกส f เปนระยะทาง s จงหาวาภาพทเกดขนาด เทาไร 4. ถาวางวตถทมความสง 10 cm วางไวหนากระจกนนซงมความยาวโฟกส 50 cm เปนระยะทาง

100 และ 10 cm จงหาความสงของภาพทเกดขนมขนาดเปนเทาไร 5. กระจกโคงทรงกลมอนหนง เมอวางวตถหางจากกระจกเปนระยะทาง 30 cm ปรากกฎภาพทม ลกษณะหวตงมขนาดใหญกวาขนาดของวตถ 1.5 เทา อยากทราบวากระจกทใชเปนกระจกชนดใด และมความยาวโฟกสเทาไร 6. ดนสอแทงหนงยาว 30 cm วางราบตามแนวแกนมขส าคญของกระเวามรศมความโคง 60 cm โดยใหปลายดนสอยทต าแหนงจดศนยกลางความโคงของกระจก จงหาวาภาพทเกดขนมความ ยาวเทาไร 7. เลนสนนมความยาวโฟกส 10 cm ถาวางวตถไวหนาเลนสเปนระยะทาง 30 cm และ 10 cm จงหาวาภาพทเกดหางจากเลนสเปนระยะทางเทาไร และลกษณะของภาพทเกดขนเปนอยางไร 8. แสงสแดงมความยาวคลน 633 nm ตกตงฉากกบสลตเดยวทมความกวางของสลต 0.75 mm แสงเกดการแทรกสอดบนฉากซงวางหากจากสลตเปนระยะทาง 3.5 m ระยะหางระหวางแถบ มด ล าดบท 1 ทงสองขาง หางกนเปนระยะทางเทาไร 9. เมอน าแผนโฟลารอยด 3 แผนมาวางซอนกนตามแนวแกนดงรป เมอหมนแผนโฟลารอยดทงสาม ท ามมกบระนาบโพลาไรเซชนเดมเปน o

1θ = 20 , o2θ = 40 และ o

3θ = 60 เมอความเขมแสง ทโพลาไรช เรมตนมคาเปน 0I =10 อยากทราบวาความเขมแสงสดทาย I คาเทากบเทาไร

231




10.1 ประจไฟฟาและการเหนยวน าทางไฟฟา 10.2 กฎของคลอมบ 10.3 สนามไฟฟา 10.4 ฟลกซไฟฟาและกฎของเกาส 10.5 ศกยไฟฟา 10.6 แมเหลกและสนามแมเหลก

10.7 แรงทสนามแมเหลกกระท าตออนภาคทมประจ 10.8 แรงทสนามแมเหลกกระท าตอเสนลวดตวน า 10.9 แรงทสนามไฟฟาและสนามแมเหลกกระท าตอประจ



1. อธบายการเหนยวน าทางไฟฟาได 2. ค านวณหาคาปรมาณตางๆ ทเกยวของกบกฎของคลอมบไดอยางถกตอง 3. เขาใจและอธบายความแตกตางระหวางตวเกบประจและไดอเลกตรกไดอยางถกตอง 4. ค านวณหาคาสนามแมเหลกและแรงกระท าในสนามแมเหลกไดอยางถกตอง 5. เขาใจและค านวณหาปรมาณตางๆ ของปรากฎการณฮอลลไดอยางถกตอง





232









233

บทท 10

ไฟฟาสถตและแมเหลกไฟฟา

10.1 ประจไฟฟาและการเหนยวน าทางไฟฟา

ประจไฟฟา (electric charge) คอปรมาณทางไฟฟาทมอยในธรรมชาตของสสาร ทประกอบดวยหนวยยอย ๆ ทมลกษณะและมสมบตเหมอนกน ทเรยกวา อะตอม (atom) ภายใน อะตอมจะประกอบดวยอนภาคมลฐาน 3 ชนดไดแก โปรตอน (proton) นวตรอน (neutron) และ อเลกตรอน (electron) โดยทโปรตอนมประจไฟฟาบวกกบนวตรอนทเปนกลางทางไฟฟารวมกนอยเปนแกนกลางเรยกวานวเคลยส (nucleus) สวนอเลกตรอนมประจไฟฟาลบโคจรอยรอบๆ นวเคลยส ดงรปท 10.1 ซงมสมบตพนฐานคอประจทเหมอนกนจะผลกกน และประจทตางกนจะดงดดกน วตถสวนใหญจะมสภาพเปนกลางทางไฟฟาคอประจไฟฟาสทธของวตถเปนศนย ท าใหวตถนนไมน าไฟฟา (ปรมาณอเลกตรอนเทากบปรมาณโปรตอน) เรยกวา ฉนวน เชน ไม กระดาษ พลาสตก ยาง และแกว ส าหรบวตถทมประจไฟฟาสทธไมเปนศนย เรยกวา ตวน า เชน ถาวตถมสถานะเปนประจลบจะเกดจากวตถนนมอเลกตรอนมากกวาโปรตอน โดยทประจไฟฟาของวตถใดๆจะมคาเปนจ านวนเตมของอเลกตรอน เชน -1e หรอ -5e และมหนวยเปนคลอมบ (C) สมบตของอนภาคมลฐาน 3 ชนดแสดงดงตารางท 10.1

รปท 10.1 แสดงองคประกอบของอะตอม

ตารางท 10.1 แสดงสมบตของอนภาคมลฐาน

อนภาคมลฐาน ประจ (C) มวล (kg)

อเลกตรอน (e)

โปรตอน (p)

นวตรอน (n)

- 1.6 x 10-19

+ 1.6 x 10-19

0

9.1 x 10-31

1.67 x 10-27

1.67 x 10-27

อเลกตรอน

นวเคลยส

234

ไฟฟาสถต (Static electricity) เปนปรากฏการณทปรมาณประจบวกและประจลบบนผววตถมไมเทากน จะแสดงในรปของการดงดดกน การผลกกน และเกดประกายไฟ ปรากฏการณนเกดกบวตถประเภททไมน าไฟฟาท าใหมโอกาสน าไฟฟาได โดยใชวธการขดสหรอการถ เมอน าวตถ 2 ชนดมาขดสหรอถกน จะท าใหมการถายเทของประจไฟฟา (อเลกตรอน) ระหวางวตถทงสอง หากวตถใดไดรบอเลกตรอนมากกวาทเสยไป จะท าใหมประจไฟฟาสะสมเปนลบ สวนวตถทสญเสยอเลกตรอนไปมากกวาวตถนนจะมประจไฟฟาสะสมเปนบวก ประจทสะสมตรงนเรยกวา ไฟฟาสถต โดยทจ านวนประจไฟฟารวมทเกดขนบนวตถทงสองมขนาดเทากน แตมประจไฟฟาเปนชนดตรงขามกน เชน แทงพลาสตกและผาสกหลาด เดมจะเปนกลางทางไฟฟา แตเมอน ามาถกนปรากฏวาหลงจากถแทงพลาสตกไดรบอเลกตรอนมากกวาทเสยไปท าใหแทงพลาสตกมประจสะสมเปนลบ แสดงวาแทงพลาสตกมประจไฟฟา -1.6 x 10-19 คลอมบ และผาสกหลาดจะมประจไฟฟา +1.6 x 10-19 คลอมบ

การเหนยวน าทางไฟฟา (Electrical Induction) เปนการน าวตถทเปนไฟฟาสถตเขาใกลกบวตถทเปนกลางทางไฟฟา ท าใหประจไฟฟาทอยในวตถทเปนกลางเกดการจดเรยงตวใหม โดยประจไฟฟาทเกดขนตรงดานใกลกบวตถทน ามาวางใกลๆจะเปนชนดตรงกนขามกน และดานไกลจะเกดประจชนดเดยวกน ตวอยางเชน เมอน าหวไปถกบเสนผมแลวเกดไฟฟาสถตทมประจลบทตวหว และหากน าหวนไปไวใกลๆกระดาษ ประจลบบนหวจะดดประจบวกในกระดาษใหเคลอนเขามาอยฝงใกลหว เหลอประจลบในฝงตรงกนขาม และจะท าใหเกดแรงดงดดระหวางประจลบบนหวกบบวกบนกระดาษ ท าใหกระดาษเคลอนทเขามาหาหวใหเหนไดดงรปท 10.2 หรอเครองก าเนดไฟฟาสถต (เรยกวา Van de graaff generator) ใชหลกการคอน าสายพานไปขดถกบทรงกลม ท าใหทรงกลมมประจไฟฟาเปนบวก เมอคนไปแตะทรงกลมจะท าใหคนเกดประจบวกทเสนผม กจะเกดแรงผลกกนทางไฟฟาสถต ท าใหเสนผมชขน

รปท 10.2 แสดงการเหนยวน าทางไฟฟาของหวและกระดาษ

235

อเลกโทรสโคป (Electroscope) เปนเครองมอส าหรบตรวจหาไฟฟาสถต ม 2 ชนด คอ

1. อเลกโทรสโคปแบบลกพธ เปนอเลกโทรสโคปซงท าจากเมดโฟมฉาบผวเอาไวดวย

อลมเนยมแขวนดวยเชอกดาย หรอไหมเสนเลกๆ จากปลายเสาทตงบนแทนฉนวนไฟฟา เรมจากการท าใหทรงกลมมไฟฟาสถตททราบชนดประจเสยกอน จากนนน าวตถทมประจไฟฟาซงตองการตรวจชนดประจนนเขามาใกลทรงกลม จะเกดการเหนยวน าทางไฟฟาท าใหอเลกโทรสโคปเอยง หากปรากฏวาเกดแรงผลกโดยทรงกลมเคลอนทหนหางวตถ แสดงวาประจไฟฟาบนวตถนนเปนชนดเดยวกนกบประจไฟฟาบนทรงกลม แตถาปรากฏวาเกดแรงดด คอทรงกลมเคลอนทเขาหาวตถนน กแสดงวาประจไฟฟาบนวตถนนเปนประจตางชนดกนกบประจไฟฟาบนทรงกลม ดงรปท 10.3

รปท 10.3 แสดงอเลกโทรสโคปแบบลกพธ

2. อเลกโทรสโคปแบบแผนโลหะบาง เปนการตรวจประจไฟฟาโดยสงเกตการกางของ แผนโลหะบาง ๆ ของอเลกโทรสโคป โดยเมอน าวตถทมประจมาใกลจานโลหะของอเลกโทรสโคป จะเกดการเหนยวน าท าใหทจานโลหะจะมประจชนดตรงกนขามกบประจบนวตถ ท าใหแผนขนานขางลางเปนประจชนดเดยวกนทงสองแผน แผนโลหะบางของอเลกโทรสโคปจะกางออก เปนผลมาจากการผลกกนของประจชนดเดยวกนของแผนโลหะบาง ดงรปท 10.4

รปท 10.4 แสดงอเลกโทรสโคปแผนโลหะบาง

236

10.2 กฎของคลอมบ

เมอประจไฟฟา 2 ประจอยหางกนขนาดหนง จะมแรงกระท าซงกนและกนเสมอ หากเปนประจชนดเดยวจะมแรงผลกกน หากเปนประจตางชนดกนจะมแรงดงดดกน ดงรปท 10.5 โดยทแรงเปนไปตามกฎของคลอมบ (Coulomb’s Law) ซง ชารล ออกสตน เดอ คลอมบ เปนผคดคนกฎของคลอมบนขนมา โดยกลาววา แรงระหวางประจไฟฟาสองจดประจจะเปนสดสวนโดยตรงกบขนาดของประจไฟฟาทงสองและเปนสดสวนผกผนกบก าลงสองของระยะหางระหวางประจทงสองนน สามารถนยามสมการไดเปน

1 22

kq q ˆF = rr

(10.1)

เมอ F คอ แรงกระท าระหวางประจ มหนวยเปน N

1 2q , q คอ ขนาดของประจตวท 1 และ 2 มหนวยเปน C

r คอ ระยะหางระหวางประจทงสอง มหนวยเปน m

k คอ คาคงทของคลอมบ มหนวยเปน N.m2/C2

มคาเทากบ 0

14πε

หรอ 9 2 29 10 N.m /C

เมอ 0ε คอ คาสภาพยอยทางไฟฟาของอากาศมคาเทากบ 12 2 28.8542 10 C N.m

รปท 10.5 แสดงทศของแรงไฟฟาของจดประจบวกและลบ

12F

1q 2q21F

r

12F

1q 2q21F

r

12F

1q 2q21F

r

237

ตวอยางท 10.1 วางจดประจ 3 ตามแนวแกน x ดงรปท 10.6 ก าหนดให q1 = 15 µC และ q3 = 6

µC ถาใหแรงลพธทกระท าบนจดประจ q2 มคาเปนศนย จงหาระยะหางระหวาง q2 และ q3 เมอระยะหางระหวาง q1 และ q3 เทากบ 2 m

รปท 10.6 แสดงแรงไฟฟาทกระท าบนจดประจ q2 ตามแนวแกน x

วธท า จากรปจะได 2 12 32F = F +F

12 32ˆ ˆ0 = F i + F i

12 32ˆ ˆF i = F i

2 31 22 2

kq qkq q = (2 r) r

6 6

2 215 10 C 6 10 C = 4 4r+r r

2 2 15r = 6(4 4x+r )

2 2 15r = 24 24r + 6r

2 9r + 24r 24 = 0

2 3r +8r 8 = 0

จาก 2b b 4ac x =

2a

จะได 28 8 (4 3 ( 8))

r = 2 3

r = 0.775 m

1q

2q 3q

12F32F

2 m

r

238

ตวอยางท 10.2 ก าหนดให q1 = q3 = 2 µC และ q3 = 4 µC โดยทมระยะหางระหวางประจดงรปท 10.7 จงหาแรงลพธทกระท าบนจดประจ q3

รปท 10.7 แสดงแรงไฟฟาจากจดประจ q3 ประจตามแนวแกน x และ y

วธท า จากรปจะไดผลรวมตามแนวแกน y

3y 13y 23yF = F + F

32 12ˆ ˆ= F sinθ j F sinθj

= 0 N

จากรปจะไดผลรวมตามแนวแกน x

3x 13x 23xF = F + F

32 12ˆ ˆ= F cosθ i F cosθ i

32ˆ= 2F cosθ i

1 32

kq q ˆ= 2 cosθ ir

9 2 2 6 6

2(9 10 N.m /C ) (2 10 C) (4 10 C) (0.4 m) ˆ= 2 i

(0.5 m) (0.5 m)

ˆ= 0.46 N i

1q

2q

3q

13F

23F5 m

4 m0.3 m

0.3 m

y

x

239

10.3 สนามไฟฟา

สนามไฟฟา (Electric field) คอ บรเวณโดยรอบประจไฟฟาสงแรงไปถง หรอ แรงกระท าบนประจไฟฟาทดสอบ สนามไฟฟาเปนปรมาณเวกเตอร โดยทศทางของสนามไฟฟาจะมทศออกจากประจบวก และมทศเขาหาประจลบ ดงรปท 10.8 สามารถนยามสมการไดเปน

qQ 2kQq ˆF = rr

2F kQ ˆ = rq r

(10.2)

เมอนยามให E คอ อตราสวนระหวางแรงกระท าตอหนงหนวยประจทดสอบ จะไดวา

2kQ Ê = rr

(10.3)

เมอ E คอ สนามไฟฟา มหนวยเปน N/C หรอ V/m


q คอ ขนาดของประจทดสอบ มหนวยเปน C

r คอ ระยะหางระหวางประจ มหนวยเปน m

F คอ แรงทกระท าตอประจทดสอบ มหนวยเปน N

รปท 10.8 แสดงทศทางของสนามไฟฟา (a) มทศออกจากประจบวก (b) มทศเขาหาประจลบ

พงออก

E

E

พงเขา

240

รปท 10.9 แสดงทศทางของสนามไฟฟามทศเดยวกบทศแรงทกระท าตอประจ +q และมทศตรงกน

ขามกบทศแรงทกระท าตอประจ –q

ตวอยางท 10.3 ก าหนดใหจด A อยหางจากประจ 5 nC เปนระยะ 3 m จงหาสนามไฟฟา ณ จด A

รปท 10.10 แสดงแรงไฟฟาทกระท าบนจดประจ q2 ตามแนวแกน x วธท า จากรปจะได 2 12 32F = F +F

12 32ˆ ˆ0 = F i + F i

12 32ˆ ˆF i = F i

2 31 22 2

kq qkq q = (2 r) r

6 6

2 215 10 C 6 10 C = 4 4r+r r

2 2 15r = 6(4 4x+r )

2 2 15r = 24 24r + 6r

2 9r + 24r 24 = 0

2 3r +8r 8 = 0

Q

E++

++

++

++

EQ

F

Fq

q

r

r

1q

3q

12F 32F

2 m

r

P

241

จาก 2b b 4ac x =

2a

จะได 28 8 (4 3 ( 8))

r = 2 3

r = 0.775 m

ตวอยางท 10.4 จากรปท 10.11 ก าหนดให q1 = 7 µC และ q2 = -5 µC จงหาสนามไฟฟาทจด p

รปท 10.11 แสดงสนามไฟฟาทจด p

วธท า จากรปจะไดผลรวมตามแนวแกน y

y 1y 2yE = E + E

1 2ˆ ˆ= E j E sinθj

1 22 2

kq kqˆ ˆ= j sinθjr r

9 2 2 9

2

9 2 2 9

2

(9 10 N.m /C )(7 10 C) ˆ= j(0.4 m)

(9 10 N.m /C )(5 10 C) (0.4 m) ˆ ... j(0.5 m) (0.5 m)

ˆ ˆ= 393.75j 144j

ˆ= 249.75j

1q

P

2q

1E

2E

0.4 m 0.5 m

0.3 m

E

y

x

242

จากรปจะไดผลรวมตามแนวแกน x

x 2xE = E 1 2

ˆ ˆ= E j E sinθj

1 22 2

kq kqˆ ˆ= j sinθjr r

9 2 2 9

2

9 2 2 9

2

(9 10 N.m /C )(7 10 C) ˆ= j(0.4 m)

(9 10 N.m /C )(5 10 C) (0.4 m) ˆ ... j(0.5 m) (0.5 m)

ˆ ˆ= 393.75j 144j

ˆ= 249.75j

243

10.4 ฟลกซไฟฟาและกฎของเกาส ฟลกซไฟฟา (Electrical flux, E ) คอ จ านวนเสนแรงไฟฟาทพงผานพนทผวใดๆ โดยเสนแรงไฟฟามทศตงฉากกบพนทผว ดงรปท 10.12 สามารถเขยนสมการไดเปน

E = E.A (10.4)

หรอ E = EAcos (10.5)

เมอ E คอ ฟลกซแมเหลก มหนวยเปน N.m2/C

E คอ ความเขมสนามแมเหลก มหนวยเปน w/m2 หรอ เทสลา (T) A คอ พนท มหนวยเปน m2 คอ มมระหวางสนามแมเหลกกบพนทรองรบ

รปท 10.12 แสดงทศของสนามแมเหลก

เมอมเสนแรงไฟฟาทพงผานพนทผวไมสม าเสมอใดๆสามารถหาฟลกซไฟฟา ไดโดยแบงพนผวออกเปนสวนยอย dA จะไดปรมาณเสนแรงไฟฟาทพงผานพนยอยๆนนเปน d ดงรปท 10.12 สามารถเขยนสมการไดเปน

Ed = E.dA (10.6)

จะไดฟลกซไฟฟารวมเปน

E = E.dA E

S

= E.dA (10.7)

เมอท าการอนทรเกรตรอบผวปดจะไดฟลกซไฟฟารวมเปน

E = E.dA (10.8)

E

A AdA

AeAe

Ae

E E

244

ตวอยางท 10.5 กลองลกบาศกใบหนงยาว L วางบนปรภม x, y และ z ทมสนามไฟฟาสม าเสมอในทศทางแนวแกน z ดงรปท 10.13 จงหาฟลกซไฟฟาสทธทพงผานผวของกลองลกบาศก

รปท 10.13 แสดงกลองลกบาศก วางบนปรภม x, y และ z ทมสนามไฟฟาสม าเสมอ

วธท า จากรปจะไดฟลกซไฟฟาทพงผานผวของกลองลกบาศก A1, A4, A5 และ A6 เปน

1, 4, 5, 6

1, 4, 5, 6

1,4,5,6E(A )A

= E.dA

1,4,5,6

1,4,5,6A

= Ecos dA

1,4,5,6

o1,4,5,6

A

= Ecos90 dA

= 0

2

oE(A ) 2

A2

= E(cos180 )dA

22= EA = EL

3

oE(A ) 3

A3

= E(cos0 )dA

23= EA = EL

จะไดฟลกซไฟฟาสทธทพงผานผวของกลองลกบาศก เปน

1, 2, 3, 4, 5, 6

2 2E(A ) = +0+0+0 EL +EL

= 0

4A

E

z

x2A 3A

1A

y

6A

5A

245

เมอวางประจบวก q ไวจดกงกลางวงกลมรศม r ดงรปท 10.14 จะไดสนามไฟฟาทผวใดๆของทรงกลม เทากบ 2kq/r และฟลกซไฟฟาทเสนแรงไฟฟาทพงผานพนทผวยอยใดๆ สามารถเขยนสมการไดเปน

Ed = E.d A

และจะไดฟลกซไฟฟาสทธทพงผานผวของทรงกลมเปน o

EA

= E(cos0 )dA

= EA

22

kq = 4πrr

22

0

q = 4πr4π r

E0

q =

(10.9)

จะไดวาฟลกซไฟฟาทพงผานพนทผวปดทรงกลม เรยกผวปดนวา ผวเกาสเซยน (Gaussian surface)

มคาเทากบอตราสวนของประจตอคาสภาพยอยทางไฟฟาของอากาศ ซงเรยกวา กฎของเกาส (Gauss’s low)

รปท 10.14 แสดงประจบวก q ไวจดกงกลางวงกลมรศม r

y

r

E

x

A

+q

246

นอกจากนยงพบวา คาเทากบอตราสวนของประจตอคาสภาพยอยทางไฟฟาของอากาศ ไมขนกบรปรางของผว ดงรปท 10.15 จะเหนวาจ านวนเสนแรงไฟฟาพงผานผว S1 ซงเปนผวปดทรงกลมยอมเทากบจ านวนเสนแรงไฟฟาพงผานผว S2 ทไมเปนทรงกลม ดงนนฟลกซไฟฟาสทธมเทากบ 0q/ และเมอประจอยนอกผวปด จ านวนเสนแรงไฟฟาพงเขาผวปด S ใดๆ ยอมเทากบจ านวนเสนแรงไฟฟาพงออกจากผวปดนน ดงนนฟลกซไฟฟาสทธมคาเปนศนย ดงรปท 10.15 และพบวาถามมากกวาหนงผวปดอยใกลกนฟลกซไฟฟาสทธจะขนกบผวปดทรอบลอมจดประจนนเอาไว ไมขนกบผวปดอนๆ ดงรปท 10.15 เชน ผวปด S2 ฟลกซไฟฟาสทธมเทากบ 0q/ สวนผวปด S2 และ S3 ฟลกซไฟฟาสทธมเทากบศนย

รปท 10.15 แสดงประจในและนอกผวปดใดๆ

1S

E

+q

2S

E

+q

1S

3S

q

q

+q

+q

2S

1S

247

10.5 ศกยไฟฟา ศกยไฟฟา (Electric potential) ณ จดใดๆ คอ งานทใชในการเคลอนยายประจจากระยะ

อนนตมายงต าแหนงใดๆ (A) ในสนามไฟฟา ซงงานทไดเกดจากแรง extF เปนแรงภายนอกทใชในการเคลอนยายประจทดสอบ q (1 คลอมบ) จะมคาเทากบแรงภายในคอแรงเนองจากแรงประจ Qกระท าตอประจ q คอ qQF เนองจากแรงภายนอกไมคงทขนกบระยะทางระหวางประจ Q และq สามารถเขยนสมการไดเปน

extW = F .r

Q= F .r o

Q= F r cos180

Q= F r ถางานในชวงระยะทางสนๆ

QdW = F dr

2kQqdW = drr

A

21W = kQq drr

ArW 1 = kQ

q r

A

1 1= kQr

A

W kQ = q r

(10.10)

เมอนยามให V คอ อตราสวนระหวางงานในการเคลอนยายตอประจทดสอบจะไดวา

kQV = r

(10.11)

เมอ V คอ ศกยไฟฟาต าแหนงใดๆ มหนวยเปน J/C หรอ โวลต (V)


Q คอ ขนาดของประจ มหนวยเปน C

r คอ ระยะหางระหวางประจ มหนวยเปน m

248

รปท 10.16 แสดงการเคลอนยายประจจากต าแหนง B มายงต าแหนง A

ความตางศกยไฟฟา (electric potential) คอ ผลตางของศกยไฟฟาระหวางต าแหนงสองต าแหนงในสนามไฟฟา หรอ งานทใชในการเคลอนยายประจจากต าแหนง B มายงต าแหนง A ในสนามไฟฟา ดงรปท 10.16 จะไดวา

A B

W kQ kQ = q r r

A BW = V V = Vq

(10.12)

จากสมการท (10.11) และ (10.12) สามารถเขยนความสมพนธระหวาง สนามไฟฟา และศกยไฟฟา เมอประจทดสอบอยภายในสนามไฟฟาสม าเสมอ ดงรปท 10.16 ไดเปน

WV = q

(10.13)

ถางานในชวงระยะทางสนๆ

F.drdV = q

A 0

B d

V = E.dr

(10.14)

A 0

o

B d

= Ecos(180 )dr

A 0

B d= E r

V = Ed (10.15)

Ar

BQ

E

++

++

QqF

q

A

Br

r

extFr

dr

249

พลงงานศกยไฟฟา (Electric potential energy) สามารถพจารณาไดจากงานทใชในการเคลอนยายประจจากต าแหนง B มายงต าแหนง A ในสนามไฟฟา ดงรปท 10.17 จะไดวา

W = F.r o= qErcos180

= qE r

B A= qE(r r )

B A= (qEr qEr ) (10.16)

B AW = (U U ) (10.17)

เมอนยามให U = qEr คอ พลงงานศกยไฟฟา ทต าแหนงใดๆ

รปท 10.17 แสดงการเคลอนยายประจจากต าแหนง B มายงต าแหนง A ในสนามไฟฟาสม าเสมอ

d

E

+++++++

B

QqF

q

A

extF

250

ตวอยางท 10.6 ใหประจ q1 = 2 µC และ q2 = -6 µC ดงรปท 10.18 จงหา (a) ศกยไฟฟารวมทจด p

(b) งานเมอยายประจ q3 = 3 µC จากระยะอนนตมาทจด p

รปท 10.18 แสดงสนามไฟฟาทจด p

วธท า (a) 1 2P

1 2

kq kqV = + r r

6 6

9 2 2 2 10 C 6 10 C = 9 10 N.m C +4 m 5 m

3 = 6.3 10 N.m C

(b) PW = (V V )q

P= q(V V )

6 3 = (3 10 C)( 6.3 10 0) N.m C

= 0.0189 J

1q 2 C

x2q 6 C

3 m

4 m

y

P

251

10.6 แมเหลกและสนามแมเหลก

แมเหลก (Magnetic) คอสารทสามารถดดเหลกหรอสารทมออกไซดของเหลกเปนสวนประกอบได เชน ครปหนบกระดาษ หรอตะป แมเหลกมรปรางหลายรปแบบ ส าหรบแบบทพบบอยๆ ไดแก แมเหลกรปแทง (Bar) และแมเหลกรปเกอกมา (Horseshoe) แมเหลกทกๆ รปแบบมขวอยสองขวเสมอ คอขวเหนอ (North pole, N) และขวใต (South pole, S) โดยทขวชนดเดยวกนจะผลกกน และขวตางกนจะดดกน เมอน าแมเหลกมาผกหอยในแนวดง แลวปลอยใหหมนไดอยางอสระ จะพบวาแมเหลกจะหยดนงและวางตวในแนวทศเหนอใตเสมอ จงเรยกดานทชไปทางทศเหนอวาขวเหนอ และดานทชไปทางทศใตวาขวใต โดยทขวแมเหลกแตกตางจากประจไฟฟา คอประจไฟฟาสามารถแยกออกจากกนไดระหวางประจบวกและประจลบ แตขวแมเหลกจะไมสามารถอยอยางโดดเดยวได ถาเราตดแทงแมเหลกออกเปนสองชน ชนแมเหลกทถกตดออกจะมสองขวเสมอ ซงยงไมเคยพบแมเหลกทมขวเดยวได ดงรปท 10.19 ในปจจบนแมเหลกมบทบาทอยางมาก เชน ล าโพง หนวยความจ าของคอมพวเตอร หรอเครองก าเนดไฟฟา แมกระทงสามารถถายภาพอวยวะภายในรางกายคน เพอเปนประโยชนทางการแพทย หรอสามารถวดคาสภาพความเปนแมเหลก (Magnetism) ของโลกและดาวเคราะหอนๆ เพอศกษาโครงสรางภายในของโลกและดาวเคราะหนนๆได นอกจากนอ านาจแมเหลกโลกยงสรางเกาะปองกนไมใหอนภาคทมประจไฟฟาทมาจากดวงอาทตยซงเรยกวาพายสรยะ (Solar wind) ลงมาท าอนตรายตอสงมชวตบนพนโลก โดยโลกจะสรางสนามแมเหลกเปนชนหรอแถบรอบโลกเปนกบดกไวเรยกวา แถบเขมขดแวนอลเลน (Van Allen

belts) เปนตน

รปท 10.19 แสดงแทงแมเหลกทถกตดออกจะมสองขวเสมอ

N S

N S N S

N S

252

สนามแมเหลก (Magnetic field, B ) คอ อ านาจทแสดงออกมาบรเวณรอบๆแทงแมเหลก ซงจะมอ านาจไมเทากน บรเวณขว (Pole) แมเหลกจะมอ านาจแมเหลกรนแรงมากทสด ซงการบอกความรนแรงของอ านาจแมเหลก จะใชเสนสนามแมเหลก (Magnetic field line) ซงพงออกจากขวเหนอไปยงขวใตส าหรบภายนอกแทงแมเหลก และมทศจากขวใตไปยงขวเหนอส าหรบภายในแทงแมเหลก ดงรปท 10.20 บรเวณทมเสนสนามแมเหลกหนาแนนบรเวณนนจะมอ านาจแมเหลกรนแรง สามารถทดลองหาสนามแมเหลกไดจากการน าผงเหลกมาโรยรอบบรเวณแมเหลก แลวพบวาผงเหลกจดเรยงกนเปนแนวเสนโคง จากปลายหนงของแทงแมเหลกไปอกปลายหนง ดงรปท 10.20

สนามแมเหลกเปนปรมาณเวกเตอร ใชสญลกษณเปน B และจ านวนเสนแรงแมเหลกเรยกวา ฟลกซแมเหลก ( ) ซงมหนวยเปน เวเบอร (w) โดยสามารถค านวณหาฟลกซแมเหลก ซงตกบนพนทรองรบหนงไดจากสมการ B = B.A (10.18)

หรอ B = BAcosθ (10.19)

เมอ B คอ ฟลกซแมเหลก มหนวยเปน w

B คอ ความเขมสนามแมเหลก มหนวยเปน w/m2 หรอ เทสลา (T) A คอ พนท มหนวยเปน m2 คอ มมระหวางสนามแมเหลกกบเวกเตอรหนงหนวยพนท

รปท 10.20 แสดงทศของสนามแมเหลก

B

A

B

AdA

AeAe

Ae

B

253

10.7 แรงทสนามแมเหลกกระท าตออนภาคทมประจ ถาอนภาคทมประจ q วงเคลอนทเขาไปในบรเวณทมสนามแมเหลก B ดวยความเรว v โดยเวกเตอรของความเรว v ท ามม กบสนามแมเหลก B จะท าใหเกดแรงกระท าตออนภาคนน ซงมขนาดเทากบ

BF = q(v B) (10.20)

หรอ BF = qvBsinθ (10.21)

เมอ BF คอ แรงกระท าบนประจ มหนวยเปน N

q คอ ประจ มหนวยเปน C

v คอ ความเรวของประจ มหนวยเปน m/s

B คอ สนามแมเหลก มหนวยเปน T คอ มมระหวางทศของความเรวและสนามแมเหลก

จากการทดลองพบวา แรงกระท าบนประจ (FB) จะมทศตงฉากกบสนามแมเหลก (B) เสมอ ดงรปท 10.21 ส าหรบการหาทศทางของแรงทกระท าตออนภาค หาโดยใช “กฎมอขวา” ซงใชส าหรบอนภาคทมประจบวกเทานน โดยกางมอขวาออก ใหนวทงสเรยงชดตดกน นวหวแมมอ (แทนทศของแรง F) ชขนตงฉากกบนวทงส แลวใหนวทงสชไปในทศของความเรว v และฝามอ (แทนทศของ สนามแมเหลก B) หนเขาหรอออกตามทศทางของสนามแมเหลก ดงรปท 10.21 ซงก าหนดใหทศทางของสนามแมเหลกทเปนจดแทนสนามแมเหลกทพงออก และกากบาทแทนสนามแมเหลกทพงเขา ดงรปท 10.21 ถาเปนประจลบจะใชกฎมอซายและแรงทกระท าตอประจลบจะมทศตรงกนขาม ดงรปท 10.21

รปท 10.21 แสดงจดแทนสนามแมเหลกทพงออก และกากบาทแทนสนามแมเหลกทพงเขา

v

BBF

BF

v

254

รปท 10.22 (a) แสดงทศทางตงฉากของ FB B และ v (b) แสดงกฎมอขวาตามทศทางของ FB B และ v

จากสมการ 10.21 พบวา แรงกระท าบนประจ ( BF ) จะมคาเปนศนย กตอเมอ

1. เปนอนภาคนวตรอน (q = 0) เคลอนทผานเขาไปในบรเวณสนามแมเหลก 2. ความเรวของอนภาค ( v ) มคาเปนศนย 3. อนภาคทมประจเคลอนทขนานกบทศสนามแมเหลก ( o0 จะได osin 0 0 ท าใหแรง

กระท ามคาเปนศนย)

v

BFB

v

BF

B

B B

v

B

BF

BF

v

B

255

รปท 10.23 แสดงทศของแรงทกระท าตอประจลบและประจบวกในทศตรงกนขาม

เมออนภาคทมประจวงเขาไปในสนามแมเหลก B โดยความเรว v มทศตงฉากกบสนามแมเหลก B จะมแรงกระท าตงฉากตลอดเวลาจะท าใหอนภาคเคลอนทเปนวงกลม ดงรปท 10.23 ซงจะไดแรงกระท าตอประจจากสนามแมเหลก มคาเทากบแรงเขาสศนยกลาง แตถาอนภาคทมประจวงเขาไปในสนามแมเหลก B โดยความเรว v มทศท ามมนอยกวา 90 o กบสนามแมเหลก B

ประจนนจะเคลอนเปนเกลยวสปรง ดงแสดงในรปท 10.23 ท าใหสามารถหารศมวงกลมไดจากสมการ จาก F = ma

2

CmvF =

r (10.22)

2

BmvF =

r

แทนคา BF จากสมการท 10.22 จะไดวา

2mvqvBsinθ =

r

v+q

B

+q v

r

r

v

BF

q

v

BF

P

zv

xv

z

y

x

B

256

mvqBsinθ = r

mvr = qBsinθ

(10.23)

เมอความเรว v มทศตงฉากกบสนามแมเหลก B จะได osin90 ไดสมการเปน

mvr = qB

(10.24)

และเมอ vω =r

, 2πT = ω

และ 1f =T

จะได

v qBsinθ = r m

qBsinθ =

m

2 mT = qBsinθ

(10.25)

qBsinθf = 2 m

(10.26)

เมอความเรว v มทศไมตงฉากกบสนามแมเหลก B จะได o90 ไดสามารถหาระยะหางของเกลยว (Pitch, P) เปน

จาก s = vt

2 mP = vcosθ qBsinθ

(10.27)

จากสมการท 10.26 จะเหนวาคาความถไมขนกบขนาดของความเรวและขนาดของวงกลม (รศม) ดงนนอนภาคทมประจชนดเดยวกนเคลอนทเขาไปในสนามแมเหลก B ทมคาเทากนแตมขนาดของวงกลมไมเทากน (เลกและใหญ) จะไดการเคลอนทครบรอบทมความถทเทากนเสมอ เรยกความถทเทากนนวา ความถไซโคลตรอน (Cyclotron frequency)

257

ตวอยางท 10.7 ประจโปรตอนเคลอนทดวยความเรว 3.2x105 m/s ในแนวตงฉากกบสนามแมเหลกทมคา 1.00 mT ดงรปท 10.24 จงหา (a) ขนาดของแรงและทศทางทกระท าตอประจโปรตอนตวน (b) รศมของวงโคจร (c) ความถในการเคลอนท

รปท 10.24 แสดงการเคลอนทของประจอเลกตรอนเขาไปบรเวณสนามแมเหลก

วธท า (a) จาก BF = qvBsinθ

19 5 3 o= (1.6 10 C)(3.2 10 m / s)(1.0 10 T)(sin 90 )

17BF = 5.12 10 N

และเคลอนทเปนวงกลมโดยมทศทางทวนเขมนาฬกา

(b) จาก mvr = qB

31 5

19 3(9.1 10 kg)(3.2 10 m / s)=

(1.6 10 C)(1.0 10 T)

4 r = 18.2 10 m

(c) จาก qBf = 2 m

19 3

31(1.6 10 C)(1.0 10 T)=

2π(9.1 10 kg)

7f = 3 10 Hz

B

+q

258

10.8 แรงทสนามแมเหลกกระท าตอเสนลวดตวน า

ถามเสนลวดวางอยในสนามแมเหลก และมกระแสไฟฟาไหลผาน จะท าใหเกดแรงกระท าตอเสนลวดนนไดโดยใชกฎมอขวาในการหาทศทางของแรง ซงใหนวหวแมมอแทนทศของแรง F นวทงสแทนทศของกระแส I และฝามอแทนทศของสนามแมเหลก B ดงรปท 10.25 และหาขนาดของแรงกระท านนไดจากสมการ BF = IL B (10.28)

หรอ BF = ILBsinθ (10.29)

เมอ BF คอ แรงกระท าบนเสนลวด มหนวยเปน N

I คอ กระแสไฟฟา มหนวยเปน A

L คอ ความยาวของเสนลวด มหนวยเปน m

B คอ สนามแมเหลก มหนวยเปน T คอ มมระหวางสนามแมเหลกกบกระแสไฟฟา

รปท 10.25 แสดงทศของแรงทกระท าตอเสนลวดทมกระแสไฟฟาไหลผาน

I = 0

B

I

I

259

ตวอยางท 10.8 ลวดทองแดงมวล 0.02 kg และยาว 0.5 m แขวนไวในแนวระดบดวยลวดตวน าเบาตงฉากกบสนามแมเหลกสม าเสมอ 3.6 T ดงรปท 10.26 เมอจายกระแสไฟฟาใหเสนลวดท าใหเกดแรงยกทมขนาดเทากบน าหนกของเสนลวด จงหาปรมาณของกระแสไฟฟาจายใหกบเสนลวด

รปท 10.26 แสดงแรงทกระท าตอเสนลวดทมกระแสไฟฟาไหลผาน

วธท า จาก BF = ILBsinθ

mg = ILBsinθ

mgI = L Bsin θ

2

o0.02 kg 9.8 m/s=

0.5 m 3.6 T sin90

= 0.108 A

B

I

BF

mg

260

10.9 แรงทสนามไฟฟาและสนามแมเหลกกระท าตอประจ ส าหรบบรเวณทมทงสนามไฟฟา E และสนามแมเหลก B เมออนภาคทมประจเคลอนท

เขาไปในบรเวณน อนภาคนนจะถกกระท าดวยแรงทเกดจากสนามทงสองน เรยกแรงนวา แรงลอเรนซ (Lorentz force) มคาเทากบ

F = qE + q(v B) (10.30)

ซงเมออยในสภาพสมดลจะไดแรงเนองจากสนามไฟฟา (FE) มคาเทากบแรงเนองจากสนามแมเหลก (FB) ดงรปท 10.27 คอ

E BF = F (10.31)

qE = q(v B) (10.32)

จะไดสมการท าใหได

Ev = B

(10.33)

เมอ v คอ ความเรวของอนภาค มหนวยเปน m/s E คอ สนามไฟฟา มหนวยเปน N/C

B คอ สนามแมเหลก มหนวยเปน T

ส าหรบเครองมอทมการน าไปใชประโยชนจากบรเวณทมทงสนามไฟฟา E และสนามแมเหลก

B คอ เคร องแยกอออนในอนภาคทมมวลตางกน ท เรยกวาสเปกโทรม เตอรมวล ( Mass

spectrometer)

รปท 10.27 แสดงแรงลอเรนซ เมอประจอยบรเวณทมทง E และ B

B

+q

E

+ + + + + +

+q

BF

EF

261

ตวอยางท 10.9 ใหอนภาคทมประจชนดโปรตอน (q = 1.6x10-19 C, m = 1.67x10-27 kg) เคลอนทอยภายใตสนามแมเหลก 0.5 T ทมทศทางตามแกน +x ท t = 0 โปรตอนนมองคประกอบของความเรวคอ vx = 1.5x105 m/s, vy = 0 และ vz = 2x105 m/s จงหาวาท t = 0 มแรงทกระท าบนประจโปรตอนและความเรงของโปรตอนเทาไร วธท า ก าหนดให ˆB = Bi และ x z

ˆ ˆv = v i+v k จาก BF = q(v B)

x zˆ ˆ ˆ= q (v i+v k) Bi

zˆ= qv Bj

19 5 ˆ= (1.6 10 C)(2 10 m s)(0.5T) j

-14B F = 1.6x10 j N

และ BFa = m

14

271.6 10 N ˆ = j

1.67 10 kg

12 2ˆ a = 9.58 10 j m s

262

บทสรป

กฎของคลอมบ เมอประจไฟฟา 2 ประจอยหางกนขนาดหนงจะมแรงผลกกนถาเปนประจชนดเดยวกน และจะมแรงดงดดกนหากเปนประจตางชนดกน

1 22

kq qF=r

สนามไฟฟา คอ บรเวณโดยรอบประจไฟฟาสงแรงไปถง

2kQF=r

กฎของเกาส คอ ฟลกซไฟฟาทพงผานพนทผวปดทรงกลม มคาเทากบอตราสวนของประจตอคาสภาพยอยทางไฟฟาของอากาศ

E0

q =

ศกยไฟฟา คอ งานทใชในการเคลอนยายประจจากระยะอนนตมายงต าแหนงใดๆ (A) ในสนามไฟฟา kQV =r

ความตางศกยไฟฟา คอ ผลตางของศกยไฟฟาระหวางต าแหนงสองต าแหนงในสนามไฟฟา WV = q

แมเหลก คอ สสารมขวอยสองขวคอขวเหนอและขวใต โดยทขวชนดเดยวกนจะผลกกน และขวตางกนจะดดกน

สนามแมเหลก คอ อ านาจทแสดงออกมาบรเวณรอบๆ แทงแมเหลกจะเรยกวาซงมทศพงออกจากขวเหนอไปยงขวใต แรงกระท าตออนภาค เมออนภาคทมประจและมความเรวเคลอนทเขาไปในบรเวณทมสนามแมเหลก

จะท าใหเกดแรงขนาดเทากบ

BF =qvBsinθ

แรงกระท าตอเสนลวด เมอวางเสนลวดทมกระแสไหลผานบรเวณสนามแมเหลก จะเกดเสนนดวยขนาด

F=ILBsinθ แรงลอเรนซ ส าหรบบรเวณทมทงสนามไฟฟาและสนามแมเหลกเมออนภาคทมประจเคลอนทเขาไปในบรเวณน อนภาคนนจะถกกระท าดวยแรงทเกดจากสนามทงสองน มคาเทากบ

F = qE + q(v B)

263


1. อเลกตรอนและโปรตอนของไฮโดรเจนอยหางกนดวยระยะทางประมาณ 5.3x10-11 m จงหา ขนาดของแรงไฟฟาระหวางสองประจน 2. จดประจ 3 จดวางอยบนแกน x โดยท q1 = +1 nC ต าแหนง x = +2 cm, q2 = -3 nC ต าแหนง x = +4 cm และ q3 = +5 nC ต าแหนง x = 0 จงหาแรงไฟฟาทงหมดทกระท าตอประจ q3 3. ทรงกลมมประจ 2 อน แตละอนมมวล 3x10-2 kg ผกดวยเชอกยาว 0.15 m และแรงทางไฟฟาท า ใหทรงกลมกางออกเปนมม 5 องศา ดงรปท 10.34 จงหาขนาดประจของแตละทรงกลม

4. จดประจ q = -8 nC วางทจด x = 0, y = 0 จงหาสนามไฟฟาทจด P (x = 1.2 m, y = -1.6 m)

5. จากรปท 10.35 ใหอเลกตรอนเคลอนทเขาไปในบรเวณสนามไฟฟาขนาด 200 N/C ดวยความเรว 3 x 106 m/s และ l = 0.1 m จงหา (a) ความเรงของอเลกตรอนเมออยในสนามไฟฟา (b) เวลา ในการเคลอนทเมออยในสนามไฟฟา ถาใหเรมท t = 0

6. วางจดประจ q1 = +12 nC และ q2 = -12 nC ดงรปท 10.36 จงหาสนามไฟฟาจากจดประจ q1, q2 และทง 2 ประจท (a) จด a (b) จด b (c) จด c 7. จากรปท 10.37 วางประจ 3 จดตามยอดของสามเหลยม จงหาศกยไฟฟาทจดกงกลางของ สามเหลยม ก าหนดให q = 7 µC 8. ตวเกบประจแบบแผนตวน าคนกลางดวยอากาศมพนท A = 2 x 10-4 m2 และมระยะหางระหวาง แผน 1 mm จงหาความจไฟฟาของแผนตวน าน 9. โปรตอนเคลอทดวยความเรว ˆ ˆ ˆv = 2i 4j + k m/s เขาไปบรเวณสนามแมเหลก ˆ ˆB = i + 2j 3k T จงหาขนาดของแรงแมเหลกทกระท าตอโปรตอนน

265




11.1 ทฤษฎการแผรงสของวตถด า 11.2 ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก 11.3 รงสเอกซ 11.4 ปรากฏการณคอมปตน



1. อธบายการการแผรงสของวตถด าได 2. เขาใจและค านวณหาคาปรมาณตางๆของปรากฏการณโฟโตอเลกตรกไดอยางถกตอง 3. เขาใจและอธบายรงสเอกซไดอยางถกตอง 4. เขาใจและค านวณหาปรมาณตางๆของปรากฏการณคอมปตนไดอยางถกตอง











266




267

บทท 11

ฟสกสยคใหม

เนองจากการใชทฤษฎฟสกสแผนเดมและทฤษฏสมพทธภาพไมสามารถใชอธบายการเปลงแสงและการกระจดกระจายของแสงจากอะตอมของกาซตางๆทอณหภมสงได นกฟสกสหลายคนพยายามหาแนวทางใหมๆเพออธบาย จนในชวงป 1900-1930 ไดเกดเปนทฤษฎควอนตม (Quantum

theory) ซงใชอธบายพฤตกรรมของอนภาคไดดเชนเดยวกนกบการใชทฤษฏสมพทธภาพพเศษ ซงอธบายครงแรก โดย มกซ พลง (Max Planck) และนกวทยาศาสตรทมชอเสยงอยาง อลเบรต ไอนสไตน (Albert Einstein) นลส บอร ( Niels Bohr) เดอ เบรย (de Broglie) ชเรอดงเงอร (Schrödinger) และ ไฮเซนเบก (Heisenberg) ในบทนจะไดกลาวถงปรากฏการณทมผลการทดลองยนยนอนน าไปสแนวคดพนฐานบางประการของทฤษฎควอนตม

11.1 ทฤษฎการแผรงสของวตถด า วตถทมอณหภมสงกวาศนยองศาสมบรณ (Absolute zero) จะแผคลนแมเหลกไฟฟาออกมา ตามทฤษฎคลนแมเหลกไฟฟาของแมกซเวลล (Max well) โดยความรอนจะเปนผลใหเกดความเรงของประจภายในวตถ และเกดการแผรงสออกมา วตถอาจจะดดกลนรงสความรอนจากสงแวดลอม ถาขณะนนวตถมอณหภมสงกวาสงแวดลอม อตราการแผรงสจะมากกวาอตราการดดกลนรงส และถาวตถมอณหภมต ากวาสงแวดลอม อตราการดดกลนรงสจะมากกวาอตราการแผรงส และเมอวตถมอณหภมเทากบสงแวดลอม อตราการแผรงสและอตราการดดกลนรงสจะเทากน วตถจะมอณหภมคงทเรยกวา การเกดสมดลความรอน (Thermal equilibrium)

ในการทดลองเผาแทงเหลกใหรอนเพอวดรงสความรอนทแผออกมา พบวาทอณหภมต าๆจะสงเกตไมเหนการเปลยนแปลงใดๆ แตเมอเหลกรอนถง 1500 K จะเรมสงเกตเหนเหลกเปลยนเปนสแดง และเมอเหลกรอนขนไปอก จะสงเกตเหนเหลกเปลยนเปนสสม สเหลอง ลกสวาง และกลายเปนสขาวในทสด หรอถาใหแสงขาวผานไปในเครองวดสเปคตรมปรซม หรอเกรตง เครองวดสเปคตรมจะแยกแสงขาวออกเปนแถบสตาง ๆ จากแถบแดงไปจนถงแถบสมวงตดตอกนเปนสเปคตรมแบบตอเนอง (Continuous spectrum) ในกรณของสสารทอยในสถานะกาซ เมอถกกระตนดวยความรอนหรอกระตนดวยไฟฟาจะใหสเปคตรมทไมตอเนอง เปนเฉพาะความยาวคลนแนนอนเฉพาะตวของสสารนน

ในการศกษาการแผรงสความรอนของของแขงหลายชนดพบวาอตราการแผพลงงานรงสความรอนขนอยกบอณหภมและชนดของผววตถวตถตางชนดกนจะมความสามารถในการแผรงสและ

268

การดดกลนรงสไดตางกน และพบวาวตถใดแผรงสไดดกจะดดกลนรงสไดดดวยเชนกน ส าหรบวตถทเปนตวแผและดดกลนรงสไดอยางสมบรณและดทสดเรยกวาวตถด า (Black body)

รปท 11.1 แสดงการสมมตระบบเปนวตถด า เมอแสงผานเขาไปแลวจะมการสะทอนของรงสภายใน

โพรง (Cavity radiation) และถกดดกลนในทสด

จากรปท 11.1 เมอใหรงสผานรเขาไปในชองวาง รงสจะสะทอนกลบไปกลบมาทผนงดานในและถกดดกลนในทสดตามทฤษฎคลนแมเหลกไฟฟาของแมกซเวลล ทกลาววา อะตอมซงประกอบดวยอนภาคไฟฟาเมอมอณหภมสงขนอนภาคไฟฟาจะสนและแผคลนแมเหลกไฟฟาออกมาโดยพลงงานทแผออกมาจะแปรผนตรงกบก าลงสของความถของการสน ซงอนภาคไฟฟาใดสนดวยความถสง (ความยาวคลนสน) จะมพลงงานมาก วตถด าสามารถดดกลนและแผรงสไดทกความยาวคลน ท าใหเขยนคาความเขมของการแผรงสทความยาวคลนตาง ๆ ได ในการทดดลองเพอศกษาการแผรงสของวตถด า พบวาคาพลงงานคลนแมเหลกไฟฟาทแผออกมาจากวตถทอณหภมตางๆ แสดงดงรปท 11.2

269

รปท 11.2 แสดงการแผรงสของวตถด า ทคลนแมเหลกไฟฟาทแผออกมาจากวตถทอณหภมตางๆ

จากการทดลองการแผรงสของวตถด าพบวา 1. สเปคตรมของการแผรงสของวตถด า ไมขนอยกบชนดของสารทใชท าวตถด า 2. ทอณหภมคงทคาหนง ในชวงความถเพมขน คา P จะเพมขนจนถงจดสงสดแลวลดลง 3. ทความยาวคลนใดๆ P จะมคาเพมขน เมออณหภมสงขน ถาพลงงานทงหมดเปน P โดย

4P = σAeT (11.1)

เมอ P คอ ก าลงของการแผรงส

คอ คาคงท มคาเทากบ 8 2 45.6996 10 W/m K

e คอ คาการแผรงส (emissivity) มคาเทากบ 1

เรยกสมการท 11.1 วากฎของสเตฟาน-โบลตซมานน (Stefan-Boltzmann’s law) ซงกลาววา พลงงานทแผออกมาจากวตถด า จากพนท 1 ตารางเมตร แปรผนตรงกบก าลงสของอณหภมสมบรณของวตถด า

4. เมออณหภมของวตถด าสงขน การแผรงสสวนใหญจะอยในชวงความยาวคลนต าลง ความยาวคลนทตรงกบจดสงสดของสเปคตรมของการแผรงสของวตถด าจะแปรผกผนกบอณหภมสมบรณของวตถด าคอ

4000 K

3000 K

2000 K

Wavelengh ( m)

Intensity

270

maxλ T = คาคงท 2

max λ T = 0.2898 10 m.K (11.2)

เมอ maxλ คอความยาวคลนทตรงกบจดสงสดของสเปคตรมของการแผรงสของวตถด า

จากสมการท 11.2 เรยกวากฎการขจดของวน (Wien’s displacement law) เมอน ากฎของสเตฟาน-โบลตซมานน และการกระจดของวนมาใชอธบายการแผรงสของวตถด าไดถกตองตรงกบผลการทดลองแตเฉพาะทความยาวคลนทมคามากแตไมสามารถอธบายการแผรงสทความยาวคลนของวตถด ามคานอยได

ตอมา พลงค (Planck) ไดแกไขโดยพจารณาอะตอมทกวดแกวงสามารถดดกลน หรอปลอยพลงงานออกมาอยางไมตอเนอง หรอมพลงงานในการสนเปนขนๆ เรยกวา ควอนตม (Quantum)

การทพลงงานมคาตางกนเปนขนๆ เรยกวา ควอนไตเซชน (Quantization) และคาพลงงานทตวแผรงสปลอยหรอดดกลน เรยกวา โฟตอน (photon) โดยไดอธบายวา ผนงกลวงทเจาะรเลกๆ บนผนงดานหนงประกอบดวยอะตอมทท าหนาทเปนออสซลเลเตอรของคลนแมเหลกไฟฟา โดยแตละออสซลเลเตอรสามารถปลอยหรอดดกลน ซงเมอปลดปลอยพลงงานออกมาระดบพลงงานจะลดลง และในทางกลบกนเมอดดกลนพลงงานเขาไประดบพลงงานจะสงขน โดยพลงงานคลนแมเหลกไฟฟาของอะตอมขนกบความถ f ถาความถสงพลงงานจะสงดวย เปนปรมาณจ านวนเตมบวกกบปรมาณมลฐานของพลงงาน hf ดงสมการ

n E = nhf (11.3)

เมอ n E คอ พลงงานทสถานะตางๆ มหนวยเปน J n คอ เลขควอนตม (quantum number) มคาเทากบ 1, 2, 3, …. h คอ คาคงทพลงค (Planck , s constant) มคาเทากบ 6.626x10-34 มหนวยเปน J.s f คอ ความถ มหนวยเปน Hz

จากการแจกแจงเชงเสนสเปคตรมของการแผรงสของวตถด า ซงเปรยบเทยบระหวางทฤษฎการแผรงสของพลงคกบผลการทดลอง ซงสอดคลองกบขอมลการทดลองเปนอยางด ดงรปท 11.3

271

รปท 11.3 แสดงการเปรยบเทยบสเปกตรมการแผรงสทค านวณโดยกฎของพลงค

ตวอยางท 11.2 มวล 2 kg ถกอดใหเขาชนกบสปรงทมคาคงทสปรงเทากบ 25 N/m โดยสปรงหดไป 0.4 m จากต าแหนงสมดล จงหา (a) พลงงานทงหมดและความถทเกดจากการสนของสปรง โดยใชฟสกสยคเกาในการค านวณ (b) เลขควอนตมของระบบน โดยใชพลงงานจากฟสกสยคเกา (c)

พลงงานทใชในการเปลยนหนงสถานะ

วธท า (a) จาก 21E = kx2

21= (N/ m)(0.4m)

2

E = 2 J

และ 1 kf = 2π m

1 25N/m = 2π 2kg

f = 0.563 Hz

(b) จาก n E = nhf

nE n = hf

34

2(6.63 10 J.s)(0.563Hz)

33 n = 5.36 10

(c) จาก n E = nhf

34nE = (1)(6.63 10 J.s)(0.563Hz)

34

n E = 3.73 10 J

Wavelengh ( m)

Intensity

Classical theory

Experimental data

272

11.2 ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก (Photoelectric effect) คนพบโดยเฮรตซ (Heinrich Hertz)

ในปค.ศ. 1887 ระหวางท าการทดลองเพอสนบสนนทฤษฎคลนแมเหลกไฟฟาของแมกซเวลล ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก คอ ปรากฎการณทมอเลกตรอนหลดออกมาจากผวโลหะเมอมแสงตกกระทบ ซงอเลกตรอนทหลดออกมาจะมพลงงานขนอยกบความถของแสงทตกกระทบ เรยกอเลกตรอนทหลดออกมาวา โฟโตอเลกตรอน (Photo electrons) จากรปท 11.4 หลอดโฟโตอเลกตรกเปนหลอดสญญากาศ E เปนแผนโลหะ เมอใหแสงตกกระทบ จะท าใหอเลกตรอนหลดออกมา และเคลอนทไปยงแผนโลหะ C ทมศกยเปนบวกเมอเทยบกบ E ท าใหเกดกระแสอเลกตรอนไหลผานแอมมเตอร A เมอมการเพมศกยไฟฟา กระแสอเลกตรอนจะคอยๆ เพมขนจนถงคาคงทเรยกวากระแสอมตว (Saturation current) การทอเลกตรอนเคลอนทไปถงคอลเลกเตอรได จะตองมพลงงานจลนเทากบหรอมากกวาพลงงานศกยไฟฟาทไดรบในการเคลอนทจาก E ถง C คอ

รปท 11.4 แสดงวงจรการศกษาปรากฏการณโฟโตอเลกตรก

21 mv = eV2

(11.4)

เมอ mคอ มวลของอเลกตรอนมหนวยเปน kg v คอ ความเรวอเลกตรอนมหนวยเปน m/s e คอ ขนาดประจของอเลกตรอนมหนวยเปน C

V คอ ความตางศกยไฟฟามหนวยเปน V

power supply

Light

Photoelectrons

VA

C E

273

ถาใหศกยไฟฟาท C เปนลบเมอเทยบกบ E อเลกตรอนจะถกผลกใหไปถง C ไดยากขน และถาเทยบศกยไฟฟาท C เปนลบมากพอ จะท าใหไมมอเลกตรอนมาถง C ท าใหไมมกระแสอเลกตรอนผานแอมมเตอร เรยกศกยทท าใหกระแสเปนศนยวา ศกยหยดยง (Stopping potential) ท าใหโฟโตอเลกตรอนทมพลงงานจลนมากทสดไมสามารถเคลอนทผานสนามไฟฟาไปตานการเคลอนทของอเลกตรอนได นนแสดงวาพลงงานอนเนองมาจากความตางศกยหยดยงเทากบพลงงานจลนมากทสดของโฟโตอเลกตรอน

E(max) 0K = eV (11.5)

เมอ E(max)K คอ พลงงานจลน มหนวยเปน J e คอ ขนาดประจของอเลกตรอน มหนวยเปน C

0V คอ ความตางศกยไฟฟา มหนวยเปน V

ในการทดลองเมอเพมความเขมแสงแตใชความถเดม พบวากระแสอเลกตรอนจะเพมตามไปดวยแตความตางศกยยงคงเทากบ V0 แสดงวาความเขมของแสงไมท าใหพลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนเพมขน แตจะเพมเฉพาะจ านวนโฟโตอเลกตรอนทหลดออกมาตอวนาทเทานน

ในการทดลองเมอใชแสงความถเดมแตเปลยนความเขมของแสง แลวบนทกคาความตางศกยไฟฟาทเกดขนทความตางศกยต าๆ กระแสอเลกตรอนจะไมมากนก เนองจากกระแสอเลกตรอนบางตวยงไปไมถงจด C ไดหมด สามารถเขยนเปนกราฟแสดงไดดงรปท 11.5

รปท 11.5 แสดงกระแสโฟโตอเลกตรกเมอใหความถแสงคงท แตเปลยนความเขมแสง

Current

VApplied voltage

low intensity

high intensity

274

เมอฉายแสงทมความถตางๆ กนไปท E และน าขอมลความตางศกยหยดยง และความถ (f) ของแสง จะเหนวาถาความถของแสงต ากวาความถต าสด (f0) จะไมมโฟโตอเลกตรอนหลดออกมา เรยกความถต าสดนวา ความถ (Threshold frequency) ถาเปลยนชนดของโลหะE กจะท าใหความถขดเรมเปลยนไปและเมอฉายแสงความถสงไปยงโลหะโฟโตอเลกตรอนทหลดจะมพลงงานจลนสงไปดวย

จากการทดลอง สรปไดวา 1. พลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนไมขนกบความเขมของแสงแตขนอยกบความถของแสง และเปนปฏภาคตรงกบความถแสง และจะมโฟโตอเลกตรอนเกดขนเมอแสงมความถตกกระทบมากกวาความถขดเรมของโลหะ

2. ถาแสงมความถสงกวาความถขดเรม จ านวนอเลกตรอนทหลดจะเปนปฏภาคตรงกบความเขมของแสง ในฟสกสแผนเดม จะอธบายปรากฏการณโฟโตอเลกตรกไดเฉพาะกรณของแสงทมความเขมมาก จะสงผานพลงงานใหแกพนผวไดมาก ท าใหจ านวนโฟโตอเลกตรอนหลดออกมาจากพนผวมากตามคาความเขมแสง สวนกรณอนๆไมสามารถอธบายได

ในปค.ศ. 1905 ไอนสไตน (Albert Einstein) ไดเสนอทฤษฎโฟตอนทอธบายปรากฏการณโฟโตอเลกตรกไดส าเรจและไดรบรางวลโนเบล (Nobel Prize) เปนครงแรก โดยใชทฤษฏควอนตมของรงสทพลงคในการใชอธบายการแผรงสของวตถด า ซงไอนสไตน เสนอวา แสงประกอบดวยกลมกอนของพลงงานเรยกวาโฟตอน (Photon) โดยโฟตอนทมความถ (f) จะมพลงงานของโฟตอน (E) ดงสมการ

hc E = hf =λ

(11.6)

เมอ E คอ พลงงาน มหนวยเปน J h คอ คาคงทของพลงค (Planck ,s constant) มคาเทากบ 6.625 x 10-34 J.s

f คอ ความถ มหนวยเปน Hz

c คอ ความเรวแสง มหนวยเปน m/s λ คอ ความยาวคลน มหนวยเปน m

โฟตอนซงมลกษณะเปนอนภาคทประกอบดวยกอนพลงงานเมอตกกระทบโลหะ พลงงานของโฟตอนจะถายทอดใหกบอเลกตรอนในโลหะตวตอตว ท าใหอเลกตรอนหลดออกมาจากอะตอม โดยพลงงานสวนหนงจะจายพลงงานใหกบอะตอม เทากบพลงงานยดเหนยวหรอฟงกชนงาน (Work

function) ทยดอะตอมไวสวนพลงงานทเหลอจะกลายเปนพลงงานจลน ตามสมการ

275

E(max) hf = K + (11.7)

เมอ คอ พลงงานยดเหนยวของโลหะ

จากสมการท 11.7 แสดงใหเหนวา แสงทมความถสงโฟตอนกจะมพลงงานสง และใหกรณทฉายแสงทมความถเทากบความถขดเรม (f0) อเลกตรอนกจะมพลงงานจลนเปนศนย ดงความสมพนธ

0 hf (11.8)

จากสมการท 11.8 จะเหนวา ถาพลงงานของโฟตอนนอยกวา แสงจะไมสามารถท าใหอเลกตรอนหลดจากผวโลหะไดไมวาจะมความเขมมากเพยงใดกตาม

เรยกสมการท 11.7 วาสมการโฟโตอเลกตรกของไอนสไตน (Einstein ,s photoelectric

equation) และไอนสไตนใชกฎอนรกษพลงงานหาไดวา พลงงานจลนสงสดของอเลกตรอนทถกปลอยออกมามคาเทากบพลงงาน hf ทไดรบจากโฟตอนลบออกดวยฟงกชนของงาน คอ

E(max)K hf (11.9)

เมอแทนคา E(max) 0K eV ลงในสมการท 11.9 จะไดวา

0 eV hf (11.10)

เรยกสมการท 11.10 วาปรากฎการณโฟโตอเลกตรก

ในป ค.ศ. 1914 มลลแกน (R.A. Milikan) นกฟสกสชาวอเมรกนไดท าการทดลองและพสจนสมการโฟโตอเลกตรกของไอนสไตนและหาคา h จากการทดลองไดเปนครงแรก โดยฉายแสงความถตาง ๆ ไปทโลหะและน าปรมาณทเกยวของมาเขยนกราฟ ดงรปท 11.6

276

รปท 11.6 แสดงกราฟเมอฉายแสงทความถตางๆ ไปทโลหะ

จากสมการท 11.6 จะไดวา

0

hf V e e

(11.11)

เมอน ามาเขยนกราฟของ V0ในรปของฟงกชน f เปนเสนตรง ในรปท 11.6 จะไดความชน

(Slope) เปนคาของ he

เมอแกน y เปนแกนของความตางศกยหยดยง และแกน x เปนคาของ

ความถของแสงและท าใหมลลแกนวดประจ e ไดและเมอแทนคา e จะได h มคาเทากบ 346.626 10 J.s พลงงานงานของอเลกตรอนและฟงกชนงาน มกเขยนในหนวยของ eV ซงม

ความสมพนธคอ

19 1 eV = 1.603 10 J

และ 34 15h = 6.626 10 J.s = 4.136 10 eV.s

Cf

K(max)E

Cf

f

277

ตวอยางท 11.3 ถาวดคาพลงงานจลนของโฟโตอเลกตรอนจากโลหะซเซยมได 2 eV จงหาคาความยาวคลนมากทสดของแสงทท าใหเกดปรากฏการณโฟโตอเลกตรก (ใหพลงงานยดเหนยวของซเซยมเทากบ 1.8 eV)

วธท า จาก E(max) hf = K +

= 2eV 1.8eV = 3.8eV

hcE = hf = λ

hc λ = E

แทนคา -19E = 3.8eV = 3.8 1.6 10 J

-34 8

-19(6.626×10 J.s×3×10 m s) λ =

(3.8×1.6×10 J)

-10λ = 3,240×10 m

o

λ = 3,240A m

11.3 รงสเอกซ ในปรากฏการณโฟโตอเลกตรก โฟตอนของแสงสามารถถายเทพลงงานใหกบอเลกตรอน ท า

ใหอเลกตรอนมพลงงานจลน และหลดออกมาจากโลหะได ปญหาตอไปนทนาสนใจคอ จะมกระบวนการกลบกนจะเกดขนไดหรอไม กลาวคอพลงงานจลนของอเลกตรอนทก าลงเคลอนทนน สามารถเปลยนกลบเปนโฟตอนไดหรอไม ท าใหมการทดลองและยนยนวามกระบวนการดงกลาวนนคอ การคนพบรงสเอกซ (X–rays) ในปค.ศ. 1895 โดยเรนทเกน (Wilhelm Roentgen)

นกวทยาศาสตรชาวเยอรมน พบวาถายงอเลกตรอนความเรวสงไปยงโลหะ จะเกดคลนแมเหลกไฟฟาชนดหนงทมอ านาจทะลทะลวงสงแผออกมาและเรนทเกน เรยกรงสนวา รงสเอกซ ในการศกษาธรรมชาตของรงสเอกซพบวารงสเอกซเดนทางเปนเสนตรงไมเบยงเบนในสนามไฟฟาและสนามแมเหลก ไมสามารถทะลผานวตถทมเลขอะตอมสงๆ เชน กระดก ตะกว ท าใหเกดภายบนแผนฟลมถายรปได รงสเอกซท าใหสารบางอยางเรองแสงไดในทมด ท าใหแกสทบรรจในหลอดแกวสามารถน าไฟฟาไดหลงการคนพบรงสเอกซไดไมนานกเชอกนวารงสเอกซเปนคลนแมเหลกไฟฟา แตการทดลองเพอยนยนวารงสเอกซเปนคลนไมประสบความส าเรจ เนองจากรงสเอกซไมหกเหหรอเลยวเบนเมอผานเกรตตงชนดธรรมดา ทใชในการทดลองเรองแสง จนกระทงปค.ศ. 1907 บารลา (Barkla) สามารถพสจนไดวารงสเอกซเปนคลนตามขวาง จากการทดลองโฟลาไรเซซน และในป ค.ศ. 1913 เลาอ (Max Von Laue) ไดเสนอใหฉายรงสเอกซไปยงผลกของสารโดยท าใหอะตอมของผลกในสารท าหนาทเปนเกรตตง จากลกษณะการเลยวเบนของเกรตตง (x – rays

278

diffraction pattern) แสดงวารงสเอกซเปนคลนแมเหลกไฟฟาทมความยาวคลนสนมากอยระหวาง 0.1 องสตรอมถง 100 องสตรอมกลาวคอมความยาวคลนสนกวารงสอลตราไวโอเลต แตมความยาวคลนยาวกวารงสแกมมา

รปท 11.7 แสดงการผลตรงสเอกซจากหลอดรงสเอกซ

จากรปท 11.7 แสดงอเลกตรอนทหลดจากแคโทดในหลอดสญญากาศ จะถกเรงผานความตางศกยสงระหวางแคโทดและแอโนด อเลกตรอนจะมพลงงานจลน E กอนจะชนเปนแอโนด ตามความสมพนธ

E = eV (11.12)

เมออเลกตรอนชนเปา ความเรวจะลดลงจนเปนศนยเสยพลงงานจลนไปทงหมดประมาณ 98

% ของพลงงานกลายเปนความรอน จงจ าเปนตองมระบบระบายความรอน พลงงานสวนนอยจะกลายเปนรงสเอกซ ปกตแคโทดและแอโนดจะท ามาจากโลหะทมเลขอะตอมมากๆ เชน ทงสแตน หรอโมลบดนม รงสเอกซทเกดจากประจเชน อเลกตรอนความเรวสง เคลอนทในสนามไฟฟาของนวเคลยสของอะตอมทเปนเปา อเลกตรอนจะเปลยนแนวการเคลอนทเนองจากมแรงกระท าหรอมความเรงจงแผรงสออกมาเปนคลนแมเหลกไฟฟาเรยกวารงสเบรมสตราหลง (Bremsstrahlung

radiation) ดงรปท 11.8

High voltage

Vacuum tube

Filament voltage

Cupper rod

Tungsten targat

X-ray

279

รปท 11.8 แสดงการเกดรงสเอกซ

จากรปท 11.8 ตามทฤษฎคลนแมเหลกไฟฟาทอเลกตรอนแผคลนแมเหลกไฟฟาออกมาในรปของโฟตอน 1 ตว พลงงานของอเลกตรอนจะลดลงและความแตกตางพลงงานจลนของอเลกตรอนกคอพลงงานของโฟตอนในทนคอรงสเอกซจากหลกการคงทของพลงงาน

2 21 1 mv mv = hf2 2

(11.13)

เมอ m คอ มวลของอเลกตรอน (คดวาเปนมวลนงเพราะความเรวต ากวาแสงมาก) v คอ ความเรวของอเลกตรอนกอนชนกบนวเคลยส

v คอ ความเรวของอเลกตรอนหลงชนกบนวเคลยส

การชนแบบนลกษณะเดยวกบการชนแบบอนๆแมวาวตถทงสองจะไมชนกนจรงๆ แตจะมแรงกระท าระหวางวตถ และอเลกตรอนเมอชนกบนวเคลยสแลวจะชาลงและจะสงรงสเอกซออกมา โดยรงสเอกซทเกดขนจะมหลายความถขนอยกบ

1. ระยะทางใกลทสดระหวางอเลกตรอนกบนวเคลยสนน

2. ขนาดความเรวของอเลกตรอนทเปลยนไป

ในการหาคาความถสงสดของรงสเอกซ จะเกดขนเมอ v = 0 หรอกรณทอเลกตรอนถกนวเคลยสดงไวจนหยดนงในการชนเพยงครงเดยวเทานนนนคอ

2max

1 hf = E = mv2

(11.14)

แทนคา E จากสมการ (12.12) จะได

Emitted Photronhigh energy electron

Nucleus of Tungsten atom

low energy electron

Deflection

280

max hf = eV

หรอ

min

hc = eVλ

minhcλ = eV

(11.15)

เมอ h คอ คาคงทพลงค

c คอ ความเรวแสง

e

คอ ขนาดประจของอเลกตรอน

V คอ ความตางศกยระหวางขวแอโนดและแคโทด

จากการวเคราะหผลการทดลองพบวา รงสเอกซมความถตาง ๆ กนจนถงความถสงสด fmax หรอมความยาวคลนตางๆกนจนมคาต าสด minλ และเปนสเปคตรมแบบตอเนอง(Continuous x-ray)

คาความถสงสดขนอยกบคาความตางศกยระหวางแอโนดกบแคโทด ไมขนอยกบชนดของโลหะทเปนเปาซงในการเกด Vmax นน ไมสามารถอธบายดวยทฤษฎคลนแมเหลกไฟฟาดงเดม แตสามารถอธบายไดดวยสมมตฐานควอนตม เพราะตามทฤษฎคลนแมเหลกไฟฟาดงเดม อเลกตรอนทถกหนวยใหหยดจะแผรงสความยาวคลนเทาใดกได

ตวอยางท 11.4 จงค านวณความยาวคลนทสนทสดของรงสเอกซทเกดขนจากหลอดทมความตางศกย15x104V

วธท า จาก minhcλ = eV

-34 8

-19 4(6.626×10 J.s)(3×10 m s)=

(1.6×10 C)(1.5×10 V)

-11= 8.28×10 m

o

minλ = 0.83 A m

281

11.4 ปรากฏการณคอมปตน คอมปตน (A.H. Compton) นกฟสกสชาวอเมรกนไดท าการทดลองโดยการฉายรงสเอกซ (X-ray) ความยาวคลนเดยวลงบนแทงของแกรไฟต (Graphite) แลววดความยาวคลนของรงสเอกซทกระเจงออกมาทมมตางๆกบแนวเดม คอมปตน กลาววา รงสเอกซทกระเจงออกมาจากแทงแกรไฟตสวนหนงจะมความยาวคลนเทาเดม และอกสวนหนงจะมความยาวคลนยาวเทาเดมทขนอยกบมมของการกระเจง (Scattering angle) ยงกระเจงมากจะยงมความยาวคลนมาก

การกระเจงของรงสเอกซแลวท าใหความยาวคลนยาวกวาเดม (ความถต ากวาเดม)ไมสามารถอธบายดวยทฤษฎคลนแมเหลกไฟฟา เพราะดวยตามทฤษฎคลนแมเหลกไฟฟาเมอรงสเอกซ ตกกระทบแทงแกรไฟต อเลกตรอนจะถกบงคบใหสนดวยความถเดยวกนกบรงสเอกซ และอเลกตรอนทสนจะแผคลนแมเหลกไฟฟาดวยความถเดยวกน

เพออธบายผลการทดลอง คอมปตนไดอธบายการกระเจงของรงสเอกซโดยใชสมมตฐานของทฤษฎควอนตน โดยคดวารงสเอกซเปนโฟตอนทมลกษณะเปนอนภาค และมโมเมนตม โดยคดวารงสเอกซเปนโฟตอนทมลกษณะเปนอนภาค และมโมเมนตมตามทฤษฎสมพทธภาพของไอนสไตนเพราะความเรวของโฟตอนคอความเรวของแสง ตามความสมพนธ

2 2 20 E = (m c ) (pc) (11.16)

เมอ E คอ พลงงานของโฟตอนมหนวยเปน J 0 m คอ มวลของโฟตอน (โฟตอนเปนอนภาคทปราศจากมวล) ท าใหมคาเทากบศนย

c คอ ความเรวแสงมหนวยเปน m/s p คอ โมเมนตมของโฟตอนมหนวยเปน kg.m/s

จากสมการ (12.16) จะได E = pc (11.17)

2E = mc (11.18)

E = hf (11.19)

แทนสมการท 11.18 ในสมการท 11.19 จะได

2mc = hf

2 hcmc = λ

hp = λ

(11.20)

282

เมอโฟตอน รงสเอกซกระทบกบอเลกตรอนในแทงแกรไฟตสามารถน าหลกการของกลศาสตรของอนภาคมาใชอธบาย โดยใชหลกการคงทของโมนตมและหลกการอนรกษของพลงงาน เนองจากโฟตอนของรงสเอกซมพลงงานสง เมอตกกระทบอเลกตรอนในแกรไฟต อเลกตรอนทถกยดเหนยวไวกบอะตอมจงเสมอนเปนอนภาคเปนอนภาคอสระ เนองจากโฟตอนมพลงงานสง จงตองใชทฤษฎสมพทธภาพ

รปท 11.9 แสดงการชนกนระหวางโฟตอนกบอเลกตรอน

0

hλ λ (1 cosθ)m c

(11.21)

เมอ λ คอ ความยาวคลนของรงสเอกซหลงตกกระทบแกรไฟต

λ คอ ความยาวคลนของรงสเอกซหลงการกระเจงแกรไฟต

f ,

Recoiling electron

0 0f ,

283

ตวอยางท 11.5 ถาฉายรงสเอกซความยาวคลน 0.0024 nm ชนกบอเลกตรอนในอะตอมของธาตชนดหนงเกดการกระเจงไปจากแนวเดมเปนมม 60o จงหา

(a) ความยาวคลนทเปลยนไป (b) พลงงานจลนของอเลกตรอนทถกชน

วธท า (a) จาก0

h λ λ = (1 cosθ)m c

0

h λ = λ + (1 cosθ)m c

34

931 8

(6.63 10 J.s) = (0.0024 10 m) + (1 cos60)(9.1 10 kg)(3 10 m/s)

10 9= 0.024 10 m + 0.012 10 m 10 λ = 0.036 10 m

(b) c cE = hf hf = hλ λ

8 8

3410 10

3 10 m/s 3 10 m/s= (6.63 10 J.s) 0.024 10 m 0.036 10 m

34 20 20= (6.63 10 J.s) 1.25 10 1/s 0.83 10 1/s

17 E = 2.8 10 J

284

บทสรป

กฎของสเตฟาน-โบลตซมานน พลงงานทแผออกมาจากวตถด า จากพนท 1 ตารางเมตร แปรผนตรงกบก าลงสของอณหภมสมบรณของวตถด า

4P = σAeT

ควอนตม อะตอมทกวดแกวงสามารถดดกลนหรอปลอยพลงงานออกมาอยางไมตอเนอง หรอมพลงงานในการสนเปนขนๆ การทพลงงานมคาตางกนเปนขนๆ เรยกวา ควอนไตเซชน และคาพลงงานทตวแผรงสปลอยหรอดดกลน เรยกวา โฟตอน พลงงานคลนแมเหลกไฟฟา ของอะตอมขนกบความถ f ถาความถสงพลงงานจะสงดวย เปนปรมาณจ านวนเตมบวกกบปรมาณมลฐานของพลงงาน hf ดงสมการ

n E = nhf

ปรากฏการณโฟโตอเลกตรก คอ ปรากฎการณทมอเลกตรอนหลดออกมาจากผวโลหะเมอมแสงตกกระทบ ซงอเลกตรอนทหลดออกมาจะมพลงงานขนอยกบความถของแสงทตกกระทบ เรยกอเลกตรอนทหลดออกมาวา โฟโตอเลกตรอน

0 eV hf

รงสเอกซ เกดจากอเลกตรอนความเรวสงเคลอนทในสนามไฟฟาของนวเคลยสของอะตอมทเปนเปา อเลกตรอนจะเปลยนแนวการเคลอนทเนองจากมแรงกระท าหรอมความเรงจงแผรงสออกมาเปนคลนแมเหลกไฟฟา

minhcλ = eV

การกระเจงของคอมปตน การกระเจงรงสเอกซของอเลกตรอนในอะตอม ความยาวคลนของรงสเอกซหลงการกระเจงจะเปลยนไปขนกบมมของการกระเจง

0

hλ λ (1 cosθ)m c

285


1. ล าแสงสน าเงนและแสงสแดงใหพลงงานแตละล าแสงทงหมดเทากบ 2500 eV ถาความยาวคลนของสแดงเทากบ 690 nm สน าเงนเทากบ 420 nm จงหาจ านวนโฟตอนของแตละล าแสง

2. ในขณะทท าการทดลองปรากฏการณโฟโตอเลกตรกดวยแสงความถหนง พบวาตองใชความตางศกยยอนกลบ 1.25 V เพอลดกระแสเปนศนย จงหา (a) พลงงานจลนสงสด (b) อตราเรวสงสดของโฟโต อเลกตรอนทถกปลอยออกมา

3. ความยาวคลนของรงสเอกซเทากบ 0.2 nm กระเจงจากวตถด าเปนมมเทากบ 45o กบแนวเดม จงหา (a) ความยาวคลนของรงสเอกซทมมน (b) พลงงานทเปลยนแปลงของโฟตอนทชน

4. เมอโลหะถกฉายแสงดวยความถ 3x1015 Hz มศกยหยดยงเทากบ 7 eV จงหาฟงกชนงานของโลหะน

5. แถบพลงงานของรงสเอกซในสเปกตรมคลนแมเหลกไฟฟาจาก 1x108 m ไปยง 1x1013 m จงหาความเรว ทนอยทสดในการขามระหวางสองแถบพลงงาน

6. รงสเอกซกระเจงจากอเลกตรอนในเปาคารบอนและวดความยาวคลนทเลอนไปเทากบ 1.5x103

nm จงหามมของการกระเจง 7. จงหาพลงงานและโมเมนตมของโฟตอนทมความยาวคลนเทากบ 700 nm

บรรณานกรม

ภาควชาฟสกส จฬาลงกรณมหาวทยาลย. (2558). ฟสกส 1. กรงเทพฯ: โรงพมพแหงจฬาลงกรณ มหาวทยาลย.

ภาควชาฟสกส จฬาลงกรณมหาวทยาลย. (2555). ฟสกส 2. กรงเทพฯ: โรงพมพแหงจฬาลงกรณ มหาวทยาลย.

Bueche, F.J., & Hecht, E. (1997). Theory and problems of college physics. 9th ed.

U.S.A.: McGraw-Hill.

Serway, R.A., & Jewett, J.W. (2004). Physics for scientistic and engineers. 6th ed.

California: Thomson Brooks/Cole.

Serway, R.A., & Faughn, J.S. (2006). College physics. 7th ed. Belmont, CA: Thomson

Brooks/Cole.

Serway, R.A., & Jewett, J.W. (2014). Physics for scientistic and engineers with

modern physics. 9th ed. U.S.A.: Brooks/Cole.

Wolfson, R. (2007). Essential university physics. 2nd ed. U.S.A.: Addison-Wesley.

Young, H.D., Freedman, R.A., & Ford, A.L. (2012). University physics with modern

physics. 13th ed. U.S.A.: Addison-Wesley.

Documents