เอกสารส าหรับผู้รับการอบรม …mrcud2.com/news_file/p74002141154.pdf · สมการ 7. รูปเรขาคณิตสามมิติ

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

เอกสารส าหรบผรบการอบรม โครงการอบรมครดวยระบบทางไกล

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ระดบประถมศกษา

หลกสตรมาตรฐานการอบรมคร ปท 3 (ฉบบปรบปรง)


ค ำน ำ

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) รวมกบส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน ส านกงานคณะกรรมการการอดมศกษา และสถานวทยโทรทศนเพอการศกษา (ETV) ด าเนนการจดอบรมครดวยระบบทางไกล กลมสาระการเรยนรวทยาศาสตร คณตศาสตร ระดบประถมศกษา และมธยมศกษาตอนตน หลกสตรมาตรฐานการอบรมคร ปท 3 (ฉบบปรบปรง) ทางสถานวทยโทรทศนเพอการศกษา โดยพฒนาหลกสตรการอบรมครดวยระบบทางไกลจากหลกสตรการอบรมครโดยตรง หลกสตรกลางหลกสตรท 1 - 3 ตามโครงการพฒนาครและบคคลากรทางการศกษาเพอยกระดบคณภาพการเรยนรวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลย การอบรมครดวยระบบทางไกล กลมสาระการเรยนรวทยาศาสตร คณตศาสตร ระดบประถมศกษา และมธยมศกษาตอนตน หลกสตรมาตรฐานการอบรมคร ปท 1 - 3 น มเนอหาสาระสอดคลองกบหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ชวงชนท 1 - 3 โดยจะด าเนนการออกอากาศระหวางเดอนมถนายน - กนยายน พ.ศ. 2554 – 2556 ทกวนเสาร - อาทตย เวลา 13.30 น. – 15.00 น. ทางสถานวทยโทรทศนเพอการศกษา (ETV) เพอใหการอบรมครดวยระบบทางไกลนด าเนนตามนโยบาย เปาหมาย และวตถประสงค สสวท. จงไดจดท าชดฝกอบรมครดวยระบบทางไกล หลกสตรมาตรฐานการอบรมคร ปท 3 จ านวน 4 ชด ไดแก ชดคณตศาสตรประถมศกษา ชดคณตศาสตรมธยมศกษาตอนตน ชดวทยาศาสตรประถมศกษา ชดวทยาศาสตรมธยมศกษาตอนตน แตละชดประกอบดวย เอกสารคมอด าเนนการจดอบรมครดวยระบบทางไกล เอกสารส าหรบครผน าประจ าศนยการอบรม (ผใหการอบรม) เอกสารส าหรบผรบการอบรม และวดทศนประกอบการอบรม เพอมอบใหกบส านกงานเขตพนทการศกษา โรงเรยนทเปนศนยการอบรม และผทเกยวของกบการด าเนนการอบรมครดวยระบบทางไกล ใหมความเขาใจตรงกน และน าไปปฏบตใหเกดผลตามเจตนารมณของโครงการตอไป สสวท. ขอขอบคณคณะกรรมการพฒนาหลกสตรมาตรฐานการอบรมคร (หลกสตรกลาง) คณะกรรมการและคณะท างานพฒนาสอวดทศนเพอการอบรมครดวยระบบทางไกล ตลอดจน ผประสานงาน และครผน าประจ าศนยการอบรมทกทานทเกยวของกบการอบรมครดวยระบบทางไกลครงน และหวงเปนอยางยงวาเอกสารเลมนจะเปนประโยชนแกผเกยวของทกฝาย หากมขอเสนอแนะโปรดแจงใหคณะท างานการอบรมครทางระบบไกล สสวท. ทราบดวย จกขอบพระคณยง

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย พฤษภาคม 2556


ค ำชแจง

เอกสารการอบรมครดวยระบบทางไกลเลมน สาขาคณตศาสตรประถมศกษา (สสวท.) จดท าขนเพอใชประกอบการอบรมครดวยระบบทางไกล กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ระดบประถมศกษา หลกสตรมาตรฐานการอบรมคร ปท 3 (ฉบบปรบปรง) โดยน าเนอหาสาระจากแผนการจดการเรยนรของหลกสตร “การพฒนาครและบคลากรทางการศกษาเพอยกระดบคณภาพการเรยนรวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลย” ตามหลกสตรการศกษาขนพนฐาน หลกสตรท 1 – 3 โดยรวบรวมมาจดไวในหลกสตรการอบรมนซงมทงหมด 8 แผนการจดการเรยนร คอ 1. รอยละ 2. พนท 3. สมการ 4. รปเรขาคณตสามมต 5. ปรมาตรและความจของทรงสเหลยมมมฉาก 6. แบบรปและการแกปญหาโดยใชแบบรป 7. การแกปญหาทางคณตศาสตร 8. โครงงานคณตศาสตร โดยน าเนอหาทงหมดนนมาปรบใชใหสอดคลองกบการอบรมครดวยระบบทางไกล ซงจดเนอหาสาระเปน 14 ตอน คอ 1. รอยละ (ตอนท 1) 2. รอยละ (ตอนท 2) 3. พนทและความยาวรอบรปของรปสเหลยม 4.พนทและความยาวรอบรปของรปสามเหลยม 5. พนทและความยาวรอบรปของรปวงกลม 6. สมการ 7. รปเรขาคณตสามมต 8.ปรมาตรและความจของทรงสเหลยมมมฉาก 9. แบบรปและความสมพนธ 10. การแกปญหาโดยใช แบบรป 11. ขนตอนการแกปญหาทางคณตศาสตร 12. กลยทธในการแกปญหาทางคณตศาสตร 13. ปญหาคณต ... คดไดหลายวธ 14. โครงงานคณตศาสตร การใชเอกสารเลมน ครผน าประจ าศนยการอบรม หรอผประสานงานเขตพนทการศกษา ควรศกษาเอกสารโดยพจารณาหวขอเอกสารเปนหลก เพอเปนแนวทางในการอภปราย หรอตอบค าถามหรอเสนอแนะกจกรรมแกผเขารบการอบรม ตามความเหมาะสม

คณะท างานพฒนาหลกสตรและคณะท างานพฒนาวดทศนกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ระดบประถมศกษา หวงเปนอยางยงวาเอกสารเลมนจะเปนประโยชนแกผเกยวของทกฝายในอนทจะชวยใหการอบรมครดวยระบบทางไกลครงนบรรลเปาหมายอยางมประสทธภาพ

สาขาคณตศาสตรประถมศกษา สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

พฤษภาคม 2556


สำรบญ หนำ

กำรอบรมครดวยระบบทำงไกล กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร ระดบประถมศกษำ หลกสตรมำตรฐำนกำรอบรมคร ปท 3 (ฉบบปรบปรง) หลกการและเหตผล ก

วตถประสงคของการอบรม ข

เวลาในการอบรม ข

คณสมบตของผรบการอบรม ข

รายละเอยดของหลกสตรอบรม ข

ตารางการออกอากาศ ค

วธด าเนนการอบรม ง

การประเมนผล ง

แผนกำรจดกำรเรยนร แผนท 1 รอยละ 1

แผนท 2 พนท 17

แผนท 3 สมการ 29

แผนท 4 รปเรขาคณตสามมต 42

แผนท 5 ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก 52

แผนท 6 แบบรปและการแกปญหาโดยใชแบบรป 55

แผนท 7 การแกปญหาทางคณตศาสตร 69

แผนท 8 โครงงานคณตศาสตร 106


หลกกำรและเหตผล

จากการประเมนผลและตดตามตรวจสอบคณภาพและมาตรฐานการศกษาของสถานศกษา จากภายนอก (สมศ.) พบวาสถานศกษาของรฐบาลประมาณรอยละ 65 ยงไมไดมาตรฐาน ทงดานการเรยนรของผเรยนและคณภาพการสอนของคร และผลการทดสอบระดบชาตทกชวงชนใน วชาวทยาศาสตรและคณตศาสตรต ากวามาตรฐาน โดยเฉพาะวชาคณตศาสตรเปนวชาทนกเรยนมผลสมฤทธทางการเรยนต าทสด ซงสอดคลองกบผลการศกษารวมกบนานาชาต (TIMSS 1999, PISA 2000 & 2003) ทพบวาผลสมฤทธคณตศาสตรต ากวานานาชาต สาเหตของความออนดอยทางดานคณตศาสตรของเดกไทย มาจากการขาดแคลนทรพยากรการเรยนรและคณภาพการเรยนการสอนในหองเรยน ปจจยส าคญทจะสนบสนนและยกระดบคณภาพการเรยนรดานคณตศาสตรใหนกเรยน มผลสมฤทธทางการเรยนสงขนกคอ การพฒนาศกยภาพครผสอน ซงกลยทธส าคญในการพฒนาครประจ าการไดแกการฝกอบรมโดยตรงและการอบรมทางไกล โดยใชสถานศกษาทมความเขมแขงเปนฐานในการสรางครผน าและสงเสรมใหครผน าเหลานขยายผลไปสครผสอนสถานศกษาอน ๆ ทงนเปนการเสรมสรางชมชนแหงการเรยนรและขยายผลอยางยงยน

กระทรวงศกษาธการมนโยบายทจะยกระดบคณภาพทางการศกษา ใหผลสมฤทธทางการเรยนดานวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลยของนกเรยนสงขน จงมอบหมายใหสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) พฒนาครผสอนดานวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลย ในโรงเรยนทกสงกดใหมความรความเขาใจในเนอหาสาระตาง ๆ และสามารถ จดกระบวนการเรยนรวทยาศาสตร คณตศาสตร และเทคโนโลยไดอยางมประสทธภาพ สอดคลองกบหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 และในป พ.ศ. 2551 ถง 2553 สสวท. ไดพฒนาหลกสตรการอบรมครดวยระบบทางไกล และไดจดอบรมไปแลวนน จากการส ารวจขอมลพบวายงมครผสอนอกจ านวนมากทยงไมไดรบโอกาสการอบรมในหลกสตรดงกลาว หรอเขารบการอบรมไมครบถวนทง 3 หลกสตร สสวท. จงไดปรบปรงหลกสตรมาตรฐานการอบรมครปท 1 ถงปท 3 ขน เพอออกอากาศในปท 1 (พ.ศ. 2554) ปท 2 (พ.ศ. 2555) และ ปท 3 (พ.ศ. 2556) เพอเปดโอกาสใหครผสอนไดเขารบการอบรมในหลกสตรดงกลาวไดอยางครบถวน สมบรณ

- ก -


วตถประสงคของกำรอบรม

เพอพฒนาครผสอนคณตศาสตร ระดบประถมศกษา ใหมความรความเขาใจพนฐานเกยวกบความคดรวบยอด (Concept) ทางคณตศาสตร ควบคไปกบวธการสอนทเนนกระบวนการคด วเคราะหและการแกปญหา และสามารถน าความรทไดรบไปใชในการจดกจกรรมการเรยนการสอนใหมประสทธภาพสงขน

เวลำในกำรอบรม หลกสตรการอบรมครดวยระบบทางไกล กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ระดบประถมศกษา

หลกสตรมาตรฐานการอบรมคร ปท 3 (ออกอากาศซ าครงท 3) ใชเวลาอบรม 7 วน วนละประมาณ 2 ชวโมง รวมเวลาในการอบรม 14 ชวโมง โดยออกอากาศทางสถานวทยโทรทศนเพอการศกษา (ETV) ทกวนเสารวนละ 2 ตอน ตอนละ 45 นาท เรมออกอากาศเวลา 13.30 น. ถงเวลา 15.00 น. และท าแบบทดสอบประมาณ 30 นาท เรมออกอากาศตงแตวนเสารท 17 สงหาคม 2556 ถงวนเสารท 28 กนยายน 2556

คณสมบตของผรบกำรอบรม ครผสอนคณตศาสตร ชนประถมศกษา ปท 1 - 6

รำยละเอยดของหลกสตรอบรม

หลกสตรท เรอง เวลำ (ชวโมง)

3

1. รอยละ ตอนท 1 รอยละ (ตอนท 1) ตอนท 2 รอยละ (ตอนท 2)

2

2. พนท ตอนท 3 พนทและความยาวรอบรปของรปสเหลยม ตอนท 4 พนทและความยาวรอบรปของรปสามเหลยม ตอนท 5 พนทและความยาวรอบรปของรปวงกลม

3

3. สมกำร ตอนท 6 สมการ

1

4. รปเรขำคณตสำมมต ตอนท 7 รปเรขาคณตสามมต

1

5. ปรมำตรและควำมจของทรงสเหลยมมมฉำก

ตอนท 8 ปรมาตรและความจของทรงสเหลยมมมฉาก

1

- ข -


หลกสตรท เรอง เวลำ (ชวโมง)

3 6. แบบรปและกำรแกปญหำโดยใชแบบรป ตอนท 9 แบบรปและความสมพนธ ตอนท 10 การแกปญหาโดยใชแบบรป

2

7. กำรแกปญหำทำงคณตศำสตร ตอนท 11 ขนตอนการแกปญหาทางคณตศาสตร ตอนท 12 กลยทธในการแกปญหาทางคณตศาสตร ตอนท 13 ปญหาคณต... คดไดหลายวธ

3

8. โครงงำนคณตศำสตร ตอนท 14 โครงงานคณตศาสตร

1

รวม 14

หมำยเหต เวลาในการอบรมคดจากการรบชมรายการจากสถานวทยโทรทศนเพอการศกษา (ETV) ตอนละ 45 นาท และท าแบบทดสอบ 15 นาท รวมเปน 1 ชวโมง

- ค -


ตำรำงออกอำกำศกำรอบรมครคณตศำสตร ระดบประถมศกษำ หลกสตรมำตรฐำนกำรอบรมคร ปท 3 (ฉบบปรบปรง) ทำงสถำนวทยโทรทศนเพอกำรศกษำ (ETV)

เรมวนเสำรท 17 สงหำคม 2556 ถง วนเสำรท 28 กนยำยน 2556

วน/เดอน/ป เวลำ 13.30-14.15 น. เวลำ 14.15-15.00 น. เวลำ 15.00-

16.00 น.

17 สงหาคม 2556 ชแจงการอบรมฯ หลกสตรปท 3 รอยละ (ตอนท 1)

รอยละ (ตอนท 2)

ท าแบ

บทดส

อบตา

มทก า

หนด

(ท าแ

บบทด

สอบ

2 ตอ

น ใช

เวลา 3

0 นา

ท)

24 สงหาคม 2556 พนทและความยาวรอบรป

ของรปสเหลยม พนทและความยาวรอบรป

ของรปสามเหลยม

31 สงหาคม 2556 พนทและความยาวรอบรป

ของรปวงกลม สมการ

7 กนยายน 2556 รปเรขาคณตสามมต ปรมาตรและความจ

ของทรงสเหลยมมมฉาก 14 กนยายน 2556 แบบรปและความสมพนธ การแกปญหาโดยใชแบบรป

21 กนยายน 2556 ขนตอนการแกปญหา

ทางคณตศาสตร กลยทธในการแกปญหา

ทางคณตศาสตร 28 กนยายน 2556 ปญหาคณต ... คดไดหลายวธ โครงงานคณตศาสตร

หมำยเหต เวลา 15.00 น. – 16.00 น. ท าแบบทดสอบตามทก าหนดใชเวลา 30 นาท วธด ำเนนกำรอบรม ผเขารบการอบรมรบชมรายการจากสถานวทยโทรทศนเพอการศกษา (ETV) ตามวนท และเวลาในตารางออกอากาศ วนละ 2 ตอน แลวท าแบบทดสอบตามทก าหนดทกวนทเขารบการอบรม กำรประเมนผล การตดสนการผานการอบรมเพอรบวฒบตรจาก สสวท. (ด าเนนการออกวฒบตรโดยส านกงานเขตพนทการศกษาประถมศกษาทจดการอบรม) พจารณาจากเกณฑการประเมน ซงผเขารบการอบรมตองผานทง 2 สวน คอ

1) ตองเขารบการอบรมไมนอยกวารอยละ 80 ของเวลาการอบรม ตลอดหลกสตรกำรอบรม (เขารบการอบรมไมนอยกวา 12 ตอน)

2) ตองไดคะแนนจากการประเมนความรความเขาใจในแตละตอนและไดคะแนนเฉลย ไมนอยกวารอยละ 60 ของคะแนนรวมทงหมด ตลอดหลกสตรกำรอบรม (แตละตอน ตองไดคะแนนไมนอยกวา 6 คะแนน และไดคะแนนรวมทงหมดไมนอยกวา 84 คะแนน จากคะแนนเตม 140 คะแนน)

- ง -


คณตศาสตรประถมศกษา 1. รอยละ

1

1. รอยละ

หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐานพทธศกราช 2551 เนอหาเรองรอยละปรากฏในชวงชนท 2 ในชนประถมศกษาปท 5-6 เรองบทประยกต เนอหาสาระเกยวของกบ ความหมายของรอยละความสมพนธระหวางเศษสวน ทศนยม และรอยละ รอยละของจ านวนนบ โจทยปญหาการคณและการหาร(บญญตไตรยางศ) โจทยปญหารอยละเกยวกบการซอขาย ก าไร ขาดทน ลดราคา และดอกเบย

จดประสงคของการอบรม เพอใหผเขารบการอบรม

1. ไดรบความรความเขาใจเกยวกบ ความหมายของรอยละหรอเปอรเซนต และการใชสญลกษณ ความสมพนธระหวางเศษสวน ทศนยม และรอยละ การแกโจทยปญหารอยละ

– โจทยปญหาการคณและการหาร (บญญตไตรยางศ) – โจทยปญหารอยละ – โจทยปญหารอยละเกยวกบการซอขาย ก าไร ขาดทน ลดราคา ดอกเบย

2. ไดแนวทางในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเรองรอยละ

สาระส าคญ/ความคดรวบยอด 1. รอยละหรอเปอรเซนต (%) เปนการเทยบจ านวนตางๆ กบ 100 2. รอยละหรอเปอรเซนต สามารถเขยนแสดงไดในรปเศษสวน และทศนยม 3. การแกโจทยปญหารอยละ (ส าหรบชนประถมศกษา) ท าได 2 วธคอ (1) ใชความรเรอง การแกโจทยบญญตไตรยางศ (2) ใชความรเรองเศษสวนของจ านวนนบ 4. การบอกก าไร ขาดทนเปนรอยละหรอเปอรเซนต เปนการบอกก าไรหรอขาดทนเมอเทยบ กบตนทน 100 บาท 5. การลดราคาเปนรอยละหรอเปอรเซนต เปนการบอกสวนลดเมอเทยบกบราคาทบอกขาย 100 บาท 6. การฝากเงนและการกยมเงนมค าทเกยวของ ดงน เงนตน ดอกเบย อตราดอกเบย เงนรวม 7. อตราดอกเบย เปนขอก าหนดในการคดดอกเบยซงก าหนดเปนรอยละหรอเปอรเซนต โดยคดเทยบจากเงนตน 100 บาท ในระยะเวลา 1 ป

สาขาคณตศาสตรประถมศกษา สสวท.

การอบรมครดวยระบบทางไกล หลกสตรมาตรฐานการอบรมคร ปท 3 (ฉบบปรบปรง) กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ระดบประถมศกษา

2

ความหมายของรอยละและความสมพนธของเศษสวน ทศนยม รอยละ

รอยละหรอเปอรเซนตเปนการเทยบจ านวนตาง ๆ กบ 100 เชน รอยละ 1 เปนการเทยบ 1 กบ 100 อาจเขยนแทนดวย 1% อานวา หนงเปอรเซนต รอยละ 2 เปนการเทยบ 2 กบ 100 อาจเขยนแทนดวย 2% อานวา สองเปอรเซนต รอยละ 25 เปนการเทยบ 25 กบ 100 อาจเขยนแทนดวย 25% อานวา ยสบหาเปอรเซนต

เปอรเซนต (Percent) มาจากค าในภาษาลาตน “per centum” ซงมความหมายวา “per hundred” หรอ“for each hundred” หรอ “out of hundred” ดงนน เปอรเซนตกคอ อตราสวนของจ านวนตอ

หนงรอย เชน 70% กคอ 10070 หรออาจเขยนในรป 70 ×

1001

เปอรเซนตอาจเขยนในรปของสญลกษณ % หรอในรปเศษสวน หรอในรปทศนยม ไมวาจะพบใน รปใดตองสามารถเปลยนเปนอกรปหนงได เชน

10035 = 35%

0.35 = 10035 = 35%

0.35 = 35% = 10035 =

207

5% = 1005 =

201

5% = 0.05

โดยปกตการเขยนเปนเปอรเซนตไมนยมเขยนในรปเศษเกนจะเขยนในรปทศนยม หรอจ านวนคละ

เชน 10.5% 2110 %

โจทยปญหาการคณและการหาร (บญญตไตรยางศ) โจทยบญญตไตรยางศ เปนโจทยทแสดงความสมพนธของขอมลสองชด เชน

ผาเชดหนาชนดเดยวกน 3 ผน ราคา 24 บาท ผาเชดหนา 5 ผน ราคากบาท

1. จ านวนผาเชดหนา

2. ราคา



3

โจทยบญญตไตรยางศ สงทก าหนดใหเกยวของกบจ านวนสองจ านวน และสงทโจทยถามกเกยวของกบ จ านวนสองจ านวนเชนเดยวกน ผาเชดหนาชนดเดยวกน 3 ผน ราคา 24 บาท ผาเชดหนา 5 ผน ราคากบาท

จ านวนผาเชดหนา ราคา จ านวนผาเชดหนา ราคา 3 ผน 24 บาท 5 ผน ? บาท

การเขยนแสดงวธท าโจทยบญญตไตรยางศ โจทยถามขอมลชดไหน ใหเอาขอมลชดนนไวทางขวามอ ตวอยางท 1 ผาเชดหนาชนดเดยวกน 3 ผน ราคา 24 บาท ผาเชดหนา 5 ผน ราคากบาท

วเราะหโจทย สงทก าหนดให คอ จ านวนผาเชดหนา 3 ผน ราคา 24 บาท สงทโจทยถาม คอ จ านวนผาเชดหนา 5 ผน ราคากบาท ผาเชดหนาชนดเดยวกน 3 ผน ราคา 24 บาท ผาเชดหนา 5 ผน ราคากบาท

สงทโจทยก าหนดให สงทโจทยถาม

จ านวนผาเชดหนา ราคา จ านวนผาเชดหนา ราคา 3 ผน 24 บาท 5 ผน ? บาท

โจทยถามราคา ดงนนเอาขอมลราคาไวทางขวามอ

วธท า ผาเชดหนา 3 ผน ราคา 24 บาท

ผาเชดหนา 1 ผน ราคา 24 3 บาท

ผาเชดหนา 5 ผน ราคา 5 × (24 3) = 5 × 243 = 40 บาท

ตอบ ผาเชดหนา ๕ ผนราคา ๔๐ บาท

หมายเหต 5 × (24 3) อาจเขยน (24 3) × 5 กได เนองจากการคณมสมบตการสลบท

ตวอยางท 2 นดสอบได 550 คะแนน จากคะแนนเตม 700 คะแนน ถาคดคะแนนเตม 100 คะแนน นดสอบไดกคะแนน วเคราะหโจทย สงทก าหนดให คอ นดสอบได 550 คะแนน จากคะแนนเตม 700 คะแนน สงทโจทยถาม คอ คะแนนเตม 100 คะแนน นดสอบไดกคะแนน นดสอบได 550 คะแนน จากคะแนนเตม 700 คะแนน ถาคดคะแนนเตม 100 คะแนน นดสอบไดกคะแนน


คะแนนเตม นดสอบได คะแนนเตม นดสอบได 700 550 100 ?




4

โจทยถามคะแนนทนดสอบได ดงนนเอาคะแนนทนดสอบไดไวทางขวามอ

วธท า คะแนนเตม 700 คะแนน นดสอบได 550 คะแนน

คะแนนเตม 1 คะแนน นดสอบได 550 700 คะแนน

คะแนนเตม 100 คะแนน นดสอบได 100 × (550 700) = 100 × 700550 =

7478 คะแนน

ตอบ นดสอบได ๗๔๗๘ คะแนน

โจทยปญหารอยละ

การบอกความหมายรอยละของจ านวนสองจ านวนตองเปนหนวยเดยวกน เชน น าสมคน 1 กลอง ขนาด 200 ซซ มปรมาณน าสมแท 80 % หมายความวา น าสมคน 100 ซซ มปรมาณน าสมแท 80 ซซ น าสมคน 200 ซซ มปรมาณน าสมแท 160 ซซ

ในบางขอความจ านวนของสงทกลาวถงอาจเลอกใชหนวยทเหมาะสมไดมากกวาหนงหนวย เชน ลงใชพนทปลกขาวโพด 75% ของทดนทงหมด หมายความวา ถาทดนทงหมด 100 ตารางเมตร ลงปลกขาวโพด 75 ตารางเมตร ถาทดนทงหมด 100 ตารางวา ลงปลกขาวโพด 75 ตารางวา ถาทดนทงหมด 100 ไร ลงปลกขาวโพด 75 ไร

ในการเขยนเปนรอยละหรอเปอรเซนตไมตองใสหนวยไวขางทาย เชน รอยละ 70 หรอ 70%

การแกโจทยปญหารอยละในระดบประถมศกษาท าได 2 วธ คอ 1. ใชบญญตไตรยางศ โดยการแปลความหมายของสงทโจทยก าหนดเปนรอยละ (หรอเปอรเซนต) ใหเปนจ านวน 100 และเขยนโจทยเดมใหเปนโจทยใหมทมลกษณะเปนโจทยบญญตไตรยางศ แลวจงหาค าตอบเชนเดยวกบโจทยบญญตไตรยางศ 2. ใชความรเรองเศษสวนของจ านวนนบ โดยการเขยนรอยละในรปเศษสวน และแปลความหมาย

เศษสวนของจ านวนนบเปนการคณและหาผลคณ



5

การแกโจทยปญหารอยละเมอโจทยก าหนดรอยละ

ตวอยางท 1 โรงเรยนแหงหนงมนกเรยน 250 คน เปนนกเรยนหญงรอยละ 60 ของนกเรยนทงหมด โรงเรยนนมนกเรยนหญงกคน วธท 1 ใชบญญตไตรยางศ แนวคด (1) แปลความหมายรอยละ โรงเรยนนมนกเรยนหญงรอยละ 60 ของนกเรยนทงหมด หมายความวา นกเรยนทงหมด 100 คน เปนนกเรยนหญง 60 คน

(2) เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ นกเรยนทงหมด 100 คน เปนนกเรยนหญง 60 คน นกเรยนทงหมด 250 คน เปนนกเรยนหญงกคน


นกเรยนทงหมด 100 คน นกเรยนหญง 60 คน นกเรยนทงหมด 250 คน นกเรยนหญง ? คน

วธท า นกเรยนทงหมด 100 คน เปนนกเรยนหญง 60 คน

นกเรยนทงหมด 250 คน เปนนกเรยนหญง 250 × 60100 = 150 คน

ตอบ มนกเรยนหญง ๑๕๐ คน หมายเหต การเขยนแสดงวธท าโจทยบญญตไตรยางศ ละบรรทดกลางไวกไดโดยเขยนเพยงสองบรรทด วธท 2 ใชความรเรองเศษสวนของจ านวนนบ แนวคด (1) เขยนรอยละในรปเศษสวน

โรงเรยนนมนกเรยนหญงรอยละ60 ของนกเรยนทงหมด

โรงเรยนนมนกเรยนหญง 10060 ของนกเรยนทงหมด

(2) แปลงความหมายเศษสวนของจ านวนนบเปนการคณและหาผลคณ

มนกเรยนหญง 10060 ของนกเรยนทงหมด คอ

10060 × 250 = 150 คน

วธท า โรงเรยนนมนกเรยนหญงรอยละ 60 ของนกเรยนทงหมด หมายความวา

โรงเรยนนมนกเรยนหญง 10060 ของนกเรยนทงหมด

นกเรยนทงหมดม 250 คน

ดงนนโรงเรยนนมนกเรยนหญง 10060 × 250 = 150 คน

ตอบ มนกเรยนหญง ๑๕๐ คน



6

ตวอยางท 2 เวลาทนกเรยนอยในโรงเรยนคดเปน 30% ของเวลาในแตละวน ใน 1 สปดาหนกเรยน ใชเวลาอยในโรงเรยนกชวโมง วธท 1 ใชบญญตไตรยางศ

แนวคด (1) แปลความหมายรอยละ เวลาทอยในโรงเรยนคดเปน 30% ของเวลาในแตละวน หมายความวา เวลาทงหมด 100 ชวโมง เปนเวลาทอยในโรงเรยน 30 ชวโมง

(2) เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ

เวลา 100 ชวโมง อยในโรงเรยน 30 ชวโมง เวลา 5 วนหรอ 5 24 ชวโมง อยในโรงเรยนกชวโมง


เวลาทงหมด เวลาอยโรงเรยน เวลาทงหมด เวลาอยโรงเรยน

100 ช.ม. 30 ช.ม. 120 ช.ม. ? ช.ม. วธท า เวลาทงหมด 100 ชวโมง อยในโรงเรยน 30 ชวโมง

เวลาทงหมด 1 ชวโมง อยในโรงเรยน 10030 ชวโมง

เวลาทงหมด 120 ชวโมง อยในโรงเรยน 120 × 10030 = 36 ชวโมง

ตอบ ใน ๑ สปดาหนกเรยนใชเวลาอยในโรงเรยน ๓๖ ชวโมง

วธท 2 ใชความรเรองเศษสวนของจ านวนนบ แนวคด (1) เขยนรอยละในรปเศษสวน

เวลาทนกเรยนอยในโรงเรยนคดเปน 30% ของเวลาในแตละวน

เวลาทนกเรยนอยในโรงเรยนคดเปน 10030 ของเวลาในแตละวน

(2) แปลงความหมายเศษสวนของจ านวนนบเปนการคณและหาผลคณ

เวลาทนกเรยนอยในโรงเรยนคดเปน 10030 ของเวลาในแตละวน คอ

10030 × 24 = 7.2 ชวโมง

ดงนนใน 5 วนนกเรยนอยในโรงเรยน 5 7. 2 = 36 ชวโมง

วธท า เวลาทนกเรยนอยในโรงเรยนคดเปน 30% ของเวลาในแตละวน หมายความวา

เวลาทนกเรยนอยในโรงเรยนคดเปน 10030 ของเวลาในแตละวน

1 วนม 24 ชวโมง

ดงนน เวลาทนกเรยนอยในโรงเรยนแตละวนคดเปน 10030 24 ชวโมง

ใน 5 วน นกเรยนอยในโรงเรยน 5 10030 24 = 36 ชวโมง

ตอบ ใน ๑ สปดาหนกเรยนอยในโรงเรยน ๓๖ ชวโมง



7

การแกโจทยปญหารอยละเมอโจทยตองการใหหารอยละหรอเปอรเซนต

ครควรฝกใหนกเรยนแปลงโจทยรอยละใหเปนโจทยบญญตไตรยางศกอน แลวจงใหนกเรยนแสดงวธท า เชน ตวอยางท 1 คะแนนเตม 50 คะแนน สมศรสอบได 40 คะแนน สมศรสอบไดกเปอรเซนต แนวคด แปลงเปนโจทยบญญตไตรยางศ แลวแสดงวธท าแบบบญญตไตรยางศ “ คะแนนเตม 50 คะแนน สมศรสอบได 40 คะแนน ถาคะแนนเตม 100 คะแนน สมศรสอบไดกคะแนน ”

วธท า คะแนนเตม 50 คะแนน สมศรสอบได 40 คะแนน

คะแนนเตม 1 คะแนน สมศรสอบได 5040 คะแนน

คะแนนเตม 100 คะแนน สมศรสอบได 100 5040 = 80 คะแนน

ตอบ สมศรสอบไดรอยละ ๘๐ หรอ ๘๐%

ตวอยางท 2 ทดน 90 ไร ปลกขาว 20 ไร ปลกขาวกเปอรเซนต แนวคด แปลงเปนโจทยบญญตไตรยางศ แลวแสดงวธท าแบบบญญตไตรยางศ “ ทดน 90 ไร ปลกขาว 20 ไร ถาทดน 100 ไร ปลกขาวกไร ”

วธท า ทดน 90 ไร ปลกขาว 20 ไร

ทดน 1 ไร ปลกขาว 2090 ไร

ทดน 100 ไร ปลกขาว 100 2090 = 22 2

9 ไร

ตอบ ปลกขาวรอยละ ๒๒๒ ๙ หรอ ๒๒๒ ๙ %

ตวอยางท 3 หนงสอเลมหนงม 250 หนา อานไปแลว 40 หนา อานไปแลวกเปอรเซนต แนวคด แปลงเปนโจทยบญญตไตรยางศ แลวแสดงวธท าแบบบญญตไตรยางศ “ หนงสอเลมหนงม 250 หนา อานไปแลว 40 หนา ถาหนงสอม 100 หนา จะอานไดกหนา ”

วธท า หนงสอม 250 หนา อานไปแลว 40 หนา

หนงสอม 1 หนา อานไปแลว 25040 หนา

หนงสอม 100 หนา อานไปแลว 100 25040 = 16 หนา

ตอบ อานหนงสอไปแลวรอยละ ๑๖ หรอ ๑ %



8

โจทยปญหารอยละเกยวกบการซอขาย ค าทเกยวของในการซอขายไดแก ทน (หรอราคาทน หรอราคาซอ หรอลงทน) ราคาขาย ก าไร ขาดทน ลดราคา ราคาทตดไว (หรอราคาทบอกขาย)

ในการซอขายจะรวาไดก าไรหรอขาดทน ตองเทยบราคาขายกบทน ก าไรจะเกดขนเมอขายสงของไดเงนมากกวาเงนทลงทน (หรอราคาทซอมา)

ก าไร = ราคาขาย - ทน (หรอราคาทซอมา)

ขาดทนจะเกดขนเมอขายสงของไดเงนนอยกวาเงนทลงทน(หรอราคาทซอมา) ขาดทน = ทน (หรอราคาทซอมา) - ราคาขาย

การคดก าไรหรอขาดทนเปนเปอรเซนต ตองเทยบกบทน (หรอราคาทซอมา) 100 บาท เชน ไดก าไร 5% หมายความวา ทน 100 บาท ขายไป 105 บาท ไดก าไร 105 – 100 = 5 บาท ขาดทน 7% หมายความวา ทน 100 บาท ขายไป 93 บาท ขาดทน 100 – 93 = 7 บาท

การลดราคา ตองเทยบจากราคาทตดไว (หรอราคาทบอกขาย) ราคาขาย = ราคาทตดไว (หรอราคาทบอกขาย) - ลดราคา

หรอ ลดราคา = ราคาทตดไว (หรอราคาทบอกขาย) - ราคาขาย

การลดราคาเปนเปอรเซนต ตองเทยบจากราคาทตดไว 100 บาท เชน ลดราคา 20% หมายความวา ถาตดราคาไว 100 บาท ลดราคาให 20 บาท ขาย 100 – 20 = 80 บาท

ถาตดราคาไว 200 บาท ลดราคาให 40 บาท ขาย 200 – 40 = 160 บาท ถาตดราคาไว 250 บาท ลดราคาให 50 บาท ขาย 250 – 50 = 200 บาท

หรอ ลดราคา 20% หมายความวา ลดราคา 20100 ของราคาทตดไว

ถาตดราคาไว 100 บาท ลดให 20100 × 100 = 20 บาท



ราคาทตดไว (ราคาทบอกขาย)

ราคาขาย ลดราคา

ทน (ราคาซอ) ไดก าไรหรอขาดทน

ราคาขาย



9

หรอ ลดราคา 20% หมายความวา ราคาขาย 80% หรอ 80100 ของราคาทตดไว

ถาตดราคาไว 100 บาท ขาย 80100 × 100 = 80 บาท



การหาก าไร ขาดทน ราคาขาย เมอก าหนดก าไรหรอขาดทนเปนรอยละให

ตวอยางท 1 วระซอวทยราคา 1,250 บาท ขายไดก าไร 12% วระขายวทยราคาเทาไร

วธท 1 ไดก าไร 12% หมายความวา ซอมา 100 บาท ขายไป 100 + 12 = 112 บาท เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ ดงน

“ ถาซอวทยราคา 100 บาท ขายไปราคา 112 บาท ซอมาราคา 1,250บาท ขายไปราคาเทาไร ”

วธท า ซอวทยราคา 100 บาท ขายไปราคา 112 บาท

ซอวทยราคา 1,250 บาท ขายไปราคา 1,250 × 112100 = 1,400 บาท

ตอบ วระขายวทยราคา ๑,๔๐๐ บาท

วธท 2 ไดก าไร 12% หมายความวา ไดก าไร 12100 ของราคาทซอมา

วธท า ซอวทยราคา 1,250 บาท ไดก าไร 12100 ของราคาทซอมา

ไดก าไร 12100 × 1,250 = 150 บาท

ดงนน วระขายวทยราคา 1,250 + 150 = 1,400 บาท ตอบ วระขายวทยราคา ๑,๔๐๐ บาท

ตวอยางท 2 ปองซอรถจกรยานราคา 1,500 บาท ขายขาดทน 15% ปองขายรถจกรยานราคาเทาไร

วธท 1 ขาดทน 15% หมายความวา ซอมา 100 บาท ขายไป 100 -15 = 85 บาท เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ ดงน “ ถาซอรถจกรยานราคา 100 บาท ขายไป 85 บาท ปองซอรถจกรยานราคา 1,500 บาท ขายไปราคาเทาไร”

ราคาซอ

1,250 บาท บาท


?

ก าไร 12%

ราคาซอ

1,500 บาท


? ขาดทน 15%



10

วธท า ซอรถจกรยานราคา 100 บาท ขายไปราคา 85 บาท

ซอรถจกรยานราคา 1,500 บาท ขายไปราคา 1,500 10085 = 1,275 บาท

ตอบ ปองขายจกรยานราคา ๑,๒๗๕ บาท

วธท 2 ขาดทน 15% หมายความวา ขาดทน 10015 ของราคาทซอมา

วธท า ปองซอรถจกรยานราคา 1,500 บาท ขายขาดทน10015 ของราคาทซอมา

ขาดทน 10015 1,500 = 225 บาท

ดงนน ปองขายรถจกรยานราคา 1,500 – 225 = 1,275 บาท ตอบ ปองขายรถจกรยานราคา ๑,๒๗๕ บาท

การหาก าไร ขาดทน ราคาทน เมอก าหนดก าไรหรอขาดทนเปนรอยละให

ตวอยางท 3 ขายเสอตวหนงราคา 660 บาท ไดก าไร 10% จงหาราคาทนของเสอตวน

ไดก าไร 10% หมายความวา ทน 100 บาท ขายไปราคา 100 +10 = 110 บาท เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ ดงน “ ทน 100 บาท ขายไปราคา 110 บาท ขายไปราคา 660 บาท ราคาทนกบาท ”

วธท า ขายไปราคา 110 บาท ราคาทน 100 บาท

ขายไปราคา 660 บาท ราคาทน 660 110100 = 600 บาท

ตอบ ราคาทนของเสอตวนคอ ๖๐๐ บาท

ตวอยางท 4 สรขายเตารดใหเพอนราคา 360 บาท ขาดทน 10% สรซอเตารดมาราคาเทาไร

ขาดทน 10% หมายความวา ซอมาราคา 100 บาท ขายไปราคา 100 - 10 = 90 บาท

เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ ดงน “ สรซอเตารดราคา 100 บาท ขายไปราคา 90 บาท ถาขายไปราคา 360 บาท สรซอเตารดมาราคาเทาไร ”

ราคาทน ?

ก าไร 10% ราคาขาย 660 บาท

ราคาซอ ?

ราคาขาย 360 บาท

ขาดทน 10% 10%



11

วธท า ขายเตารดราคา 90 บาท ซอมาราคา 100 บาท

ขายเตารดราคา 360 บาท ซอมาราคา 360 90100 = 400 บาท

ตอบ สรซอเตารดมาราคา ๔๐๐ บาท

การหาจ านวนเงนทลดราคาและราคาขาย เมอก าหนดการลดราคาเปนเปอรเซนตให

ตวอยางท 5 รานคาตดราคาขายโตะไว 3,200 บาท ลดราคา 20% รานคาขายโตะราคาเทาไร

วธท 1 ลดราคา 20% หมายความวา ตดราคาขายไว 100 บาท ลดราคา 20 บาท ขายจรงราคา 100 – 20 = 80 บาท

เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ ดงน “ รานคาตดราคาขายโตะไว 100 บาท ขายจรงราคา 80 บาท ถารานคาตดราคาขาย 3,200 บาท ขายจรงราคาเทาไร ”

วธท า รานคาตดราคาขายโตะไว 100 บาท ขายจรงราคา 80 บาท

รานคาตดราคาขายโตะไว 3,200 บาท ขายจรงราคา 3,200 80100 = 2,560 บาท

ตอบ รานคาขายโตะราคา ๒,๕๖๐ บาท

วธท 2 ลดราคา 20% หมายความวา ลดราคา 20% ของราคาทตดไว นนคอ ราคาขายเทากบ 80% ของราคาทตดไว

วธท า ราคาขายเทากบ 80% ของราคาทตดไว

ตดราคาไว 3,200 บาท ราคาขาย = 80100 ของราคาทตดไว

ราคาขาย = 80100 3,200 = 2,560 บาท

ตอบ รานคาขายโตะราคา ๒,๕๖๐ บาท

การหาก าไร ขาดทน ลดราคาเปนรอยละ

ตวอยางท 6 ทนในการปลกและดแลรกษามะยงชด 240 บาทตอ 1 กโลกรม ขายมะยงชดราคา กโลกรมละ 400 บาท ขายมะยงชดไดก าไรกเปอรเซนตตอ 1 กโลกรม

ทน 240 บาท ขาย 400 บาท ไดก าไร 400 – 240 = 160 บาท

ราคาทตดไว

3,200 บาท

ราคาขายจรง

? ลดราคา 20%

ราคาทน

240 บาท ราคาขาย

400 บาท ก าไร ? %



12

วธท 1 ไดก าไรกเปอรเซนต หมายความวา ทน 100 บาท ขายไดก าไรกบาท เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ ดงน “ ทนในการปลกและดแลรกษา 240 บาท ขายไดก าไร 160 บาท ทน 100 บาท ขายไดก าไรกบาท ”

วธท า ทน 240 บาท ขายไดก าไร 160 บาท

ทน 100 บาท ขายไดก าไร 100 240160 = 66.67 บาท

ตอบ ขายมะยงชดไดก าไร ๖๖.๖๗ % หมายเหต ครใหนกเรยนสงเกตค าตอบและทบทวนวา ค าตอบทเปนรอยละไมตองบอกหนวย

วธท 2 ไดก าไรกเปอรเซนต หมายความวา ไดก าไรเปนเศษสวนเทาไรของทน 100 บาท

วธท า ทน 240 บาท ไดก าไร 160 บาท แสดงวา ไดก าไร 240160 ของทน

ถาทน 100 บาท ไดก าไร 240160 100 = 66.67 บาท

ดงนน ไดก าไร 66.67% ตอบ ขายมะยงชดไดก าไร ๖๖.๖๗ %

ตวอยางท 7 รานคาตดราคาขายโทรทศนไว 33,000 บาท ลดราคาเหลอ 30,000 บาท รานคาลดราคากเปอรเซนต

ราคาทตดไว 33,000 บาท ราคาขายจรง 30,000 บาท ลดให 33,000 – 30,000= 3,000 บาท

วธท 1 ลดราคากเปอรเซนต หมายความวา ราคาทตดไว 100 บาท ลดราคากบาท เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ ดงน

“ ตดราคาขายโทรทศนไว 33,000 บาท ลดให 3,000 บาท ถาตดราคาไว 100 บาท ลดใหกบาท”

วธท า ตดราคาขายโทรทศนไว 33,000 บาท ลดให 3,000 บาท

ตดราคาขายโทรทศนไว 100 บาท ลดให 100 330003000 =

1119 บาท

ตอบ รานคาลดราคา ๑๙ ๑๑ %

ราคาทตดไว

33,000 บาท

ราคาขายจรง

30,000 บาท

ลดราคา ? %



13

วธท 2 ลดราคากเปอรเซนต หมายความวา ลดราคาเปนเศษสวนเทาไรของราคาทตดไว 100 บาท

วธท า ราคาทตดไว 33,000 บาท ลดให 3,000 บาท หมายความวาลดให 330003000

ของราคาทตดไว

ถาราคาทตดไว 100 บาท ลดให 330003000 100 =

1119 บาท

ตอบ รานคาลดราคา ๑๙ ๑๑ %

โจทยปญหารอยละเกยวกบการซอขายมากกวา 1 ครง

การแกโจทยปญหารอยละทเกยวกบการซอขายมากกวา 1 ครง หลกการและการคดค านวณหาราคาทน ราคาขาย ก าไร ขาดทน และการลดราคายงคงเหมอนเดม ตวอยางท 8 ทนการผลตกระเปาใบละ 2,500 บาท รานทผลตขายไดก าไร 10% สมศรซอกระเปา

จากรานทผลตเพอน ามาขายตอโดยคดก าไร 20% สมศรขายกระเปาราคาใบละเทาไร แนวคด ครงท1 ทนผลต 2,500 บาท ขายไดก าไร 10% ครงท 2 สมศรขาย ? บาท ไดก าไร 20% สมศรไดก าไร 20% หมายความวา ซอมา 100 บาท ขายไดก าไร 20 บาท คอขาย 100+20 = 120 บาท จะรวาสมศรขาย ? บาท ตองรวาสมศรซอมาราคาเทาไรหรอรานทผลตขายราคาเทาไร ซงหาไดจากครงท 1

ครควรอธบายใหนกเรยนเขาใจโจทยกอน เพอใหเหนสถานการณขนตอนการซอขายของโจทย แลว

จงแบงโจทยออกเปนสองขนตอน แลวใหนกเรยนหาค าตอบทละขนตอน เชน ครงท 1 ทนการผลตกระเปาใบละ 2,500 บาท รานทผลตขายไดก าไร 10% รานขายกระเปาใบละกบาท

ก าไร 10% หมายความวา ทน 100 บาท ขาย 100 + 10 = 110 บาท

ทน 2,500 บาท ขาย 2,500 × 110100 = 2,750 บาท

รานทผลตขายกระเปาใบละ 2,750 บาท

ก าไร 10% ทน 2,500 บาท ขาย ? บาท



14

ครงท 2 สมศรซอกระเปาราคา 2,750 บาท ขายไปราคากบาท ไดก าไร 20%

ก าไร 20% หมายความวา

ซอมา 100 บาท ขายไป 100 + 20 = 120 บาท

ซอมา 2,750 บาท ขายไป 2,750 × 100120 = 3,300 บาท

ตอบ สมศรขายกระเปาราคาใบละ ๓,๓๐๐ บาท

ตวอยางท 9 ถาขายวทยราคา 2,850 บาท จะขาดทน 5% ตองการก าไร 5% ตองขายวทยราคาเทาไร แนวคด ครงท 1 ขายวทย 2,850 บาท ขาดทน 5% ทนเทาไร

ครงท 2 ขายวทยเครองเดม ตองการก าไร 5% ตองขายราคาเทาไร จะรวาขายราคาเทาไร ตองรวาราคาทนเทาไรกอน ซงหาไดจากครงท 1

วธท า ครงท 1 ขายวทย 2,850 บาท ขาดทน 5% ทนเทาไร ขาดทน 5% หมายความวา ทน 100 บาท ขาย 100 - 5 = 95 บาท ขายราคา 95 บาท จากทน 100 บาท

ขายราคา 2,850 บาท จากทน 2,850 ×95100 = 3,000 บาท

ราคาทน 3,000 บาท ครงท 2 ราคาทนวทย 3,000 บาท ตองการขายใหไดก าไร 5% ตองขายกบาท ตองการก าไร 5% หมายความวา ทน 100 บาท ตองขาย 100 + 5 = 105 บาท ทน 100 บาท ขาย 105 บาท

ทน 3,000 บาท ขาย 3,000 × 100105 = 3,150 บาท

ตอบ ตองขายวทยราคา ๓,๑๕๐ บาท

ชวนคด... ของชนหนงราคาทน 900 บาท ตดราคาขายโดยคดก าไร 10% แลวลดราคา 5% เปรยบเทยบกบ ขายโดยไมลดราคา แตคดก าไร 5% ถาคณเปนเจาของรานคา คณจะตดสนใจเลอกขายแบบไหน เพราะเหตใด

ซอ 2,750 บาท ขาย ? บาท ก าไร 20%



15

การคดดอกเบย

การฝากเงนและการกยมเงนมค าทเกยวของกน ดงน เงนตน หมายถง จ านวนเงนทน าไปฝาก หรอจ านวนเงนทขอกยม ดอกเบย หมายถง จ านวนเงนทใหเปนผลประโยชนตอบแทนแกผฝากเงนหรอเจาของเงนตน โดยจะคดดอกเบยตามจ านวนเงนตนและระยะเวลาทฝากหรอกยม อตราดอกเบย เปนขอก าหนดการคดดอกเบย โดยคดเทยบจากเงนตน 100 บาท ในระยะเวลา

1 ป ซงจะก าหนดเปนรอยละหรอเปอรเซนต เงนรวม หมายถง เงนตนรวมกบดอกเบย

ธนาคารรบฝากเงนหลายประเภท เชน ฝากประจ า 3 เดอน ฝากประจ า 6 เดอน ฝากประจ า 12 เดอน ซงธนาคารจะคดดอกเบยตามอตราและระยะเวลาของแตละประเภท นอกจากนนยงมการฝากเงนประเภท ออมทรพยหรอสะสมทรพย ธนาคารจะคดดอกเบยตามจ านวนวนทฝากจากยอดเงนทเหลออยในบญช

การคดดอกเบย การสอนการคดดอกเบยในระดบประถมศกษาจะเปนเพยงการน าเรองรอยละมาใช เปนการคดดอกเบย แบบงายๆ เนอหาแบงเปน 2 ตอนคอ การคดดอกเบยในเวลา 1 ป และการคดดอกเบยในเวลานอยกวา 1 ป

การคดดอกเบยในเวลา 1 ป การคดดอกเบยในเวลา 1 ปซงเปนระยะเวลาทเทากนกบระยะเวลาของอตราดอกเบย ดงนนเวลาจะไมมผล ในการดดค านวณ

เนองจากการก าหนดอตราดอกเบยเปนรอยละ ดงนนวธการคดค านวณจะท านองเดยวกบโจทยปญหารอยละ คอใชวธของบญญตไตรยางศ หรอใชความรเรองเศษสวนของจ านวนนบ

ตวอยาง มะลฝากเงน 60,000 บาท อตราดอกเบยธนาคารรอยละ 4 ตอป เมอครบปมะลจะไดดอกเบยกบาท

และไดรบเงนรวมกบาท วธท 1 ใชบญญตไตรยางศ แนวคด (1) อตราดอกเบยธนาคารรอยละ 4 ตอป หมายความวา ฝากเงน 100 บาท ในเวลา 1 ป ไดดอกเบย 4 บาท

(2) เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ ดงน “ ฝากเงน 100 บาท ในเวลา 1 ปไดดอกเบย 4 บาท ถาฝากเงน 60,000 บาท ในเวลา 1 ป ไดดอกเบยกบาท”



16

วธท า ฝากเงน 100 บาท ในเวลา 1 ป ไดดอกเบย 4 บาท

ฝากเงน 60,000 บาท ในเวลา 1 ป ไดดอกเบย 60,000 1004 = 2,400 บาท

ไดดอกเบย 2,400 บาท เงนรวม 60,000 + 2,400 = 62,400 บาท ตอบ มะลไดดอกเบย ๒,๔๐๐ บาท และไดรบเงนรวม ๖๒,๔๐๐ บาท

วธท 2 ใชความรเรองเศษสวนของจ านวนนบ

แนวคด อตราดอกเบยธนาคารรอยละ 4 ตอป หมายถง เมอครบ 1 ปไดดอกเบย 1004 ของเงนฝาก

วธท า ฝากเงน 60,000 บาท ครบ 1 ป ไดดอกเบย 1004 ของเงนฝาก

ดงนนไดดอกเบย 1004 60,000 = 2,400 บาท

และไดรบเงนรวม 60,000 + 2,400 = 62,400 บาท ตอบ มะลไดดอกเบย ๒,๔๐๐ บาท และไดรบเงนรวม ๖๒,๔๐๐ บาท

การคดดอกเบยในเวลานอยกวา 1 ป ระยะเวลาในการฝากเงนหรอกเงนจากธนาคารบางครงอาจไมครบ 1 ป การคดดอกเบยธนาคารจะคดตาม ระยะเวลาเปนเดอนหรอเปนวนแลวแตกรณ และขนอยกบเงอนไขหรอขอตกลงของการฝาก เชน ฝากประจ า 3 เดอน ฝากประจ า 6 เดอน ฝากแบบออมทรพยหรอสะสมทรพย ซงระยะเวลาจะไมสอดคลอง กบอตราดอกเบยทก าหนดเวลาเปนป ดงนนการคดดอกเบยจงตองคดดอกเบยทจะไดรบในเวลา 1 ปกอน แลวจงน ามาเทยบกบจ านวนวนหรอจ านวนเดอน โดยก าหนดให 1 ปเทากบ 365 วน หรอ 1 ปเทากบ 12 เดอน

ตวอยาง ฝากเงน 14,600 บาท เปนเวลา 120 วน อตราดอกเบย 0.75% ตอป จะไดเงนรวมเทาใด แนวคด (1) อตราดอกเบยธนาคาร 0.75% ตอป หมายความวา ฝากเงน 100 บาท ในเวลา 1 ป ไดดอกเบย 0.75 บาท

(2) เขยนโจทยใหเปนลกษณะโจทยบญญตไตรยางศ ดงน “ฝากเงน 100 บาท เวลา 1 ปไดดอกเบย 0.75 บาท ฝากเงน 14,600 บาท เวลา 120 วน ไดเงนรวมกบาท”

วธท า ฝากเงน 100 บาท ในเวลา 1 ป ไดดอกเบย 0.75 บาท

ฝากเงน 14,600 บาท ในเวลา 1 ป ไดดอกเบย 14,600 100

750. = 109.50 บาท

ฝากเงน 365 วน ไดดอกเบย 109.50 บาท

ฝากเงน 120 วน ไดดอกเบย 120 109.50365

109.5365 = 36 บาท

ไดเงนรวม 14,600 + 36 = 14,636 บาท ตอบ ไดรบเงนรวม ๑๔,๖๓๖ บาท


2.พนท คณตศาสตรประถมศกษา

17

2. พนท จดประสงคของการอบรม เพอใหผเขารบการอบรม

1. ไดรบความรความเขาใจเกยวกบ การหาพนทเปนตารางหนวย การหาพนทโดยประมาณ การหาพนทรปสเหลยมมมฉาก รปสเหลยม รปสามเหลยม รปวงกลม

2. ไดแนวทางในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเรอง การหาพนทรปสเหลยมมมฉาก รปสเหลยม รปสามเหลยม รปวงกลม

สาระส าคญ/ความคดรวบยอด

1. ตารางหนวยเปนหนวยในการวดพนท พนท 1 ตารางหนวยเทากบพนทของรปสเหลยมจตรสทมดานยาว 1 หนวย

2. หนวยในการวดพนท เชน ตารางหนวย ตารางเมตร ตารางเซนตเมตร 3. การหาพนทเปนตารางหนวย อาจหาโดยตตารางหนวยบนรปทตองการหาพนท

นบจ านวนชองทเตมตารางหนวย และรวมพนทสวนทไมเตมตารางหนวยใหเตม ตารางหนวย แลวนบรวมตารางหนวยทงหมด หรอน ารปทตองการหาพนทไปวางใน แผนตารางหนวย แลวนบเชนเดยวกบวธแรก

4. การหาพนทไมเตมหนวยบนตารางหนวยโดยประมาณ อาจหาโดยรวมพนทสวนทเตม ตารางหนวยกอน และรวมพนทสวนทไมเตมตารางหนวยโดยการประมาณ แลวนบรวมตารางหนวยทงหมด

5. การหาพนทของรปสเหลยม ท าไดโดยใช (1) ความยาวของดาน

พนทรปสเหลยมผนผา = ความกวาง ความยาว พนทรปสเหลยมจตรส = ความยาวของดาน ความยาวของดาน พนทรปสเหลยมดานขนาน = ความสง ความยาวของฐาน พนทรปสเหลยมขนมเปยกปน = ความสง ความยาวของฐาน

พนทรปสเหลยมคางหม = 21 ความสง ผลบวกของความยาวของดานคทขนานกน

(2) เสนทแยงมมของรปสเหลยมทตดกนเปนมมฉาก พนทรปสเหลยมจตรส รปสเหลยมขนมเปยกปน และรปสเหลยมรปวาว

= 21 ผลคณของความยาวของเสนทแยงมม



18

6. การหาพนทของรปสามเหลยม ท าไดโดยใช (1) ความยาวของดาน

พนทรปสามเหลยม = 21 ความสง ความยาวของฐาน

(2) ความสมพนธของรปสามเหลยมกบรปสเหลยม พนทรปสามเหลยมเทากบครงหนงของพนทของรปสเหลยมดานขนานทม ฐานเดยวกน และสงเทากน

7. การหาพนทของรปวงกลม

พนทรปวงกลม = r r หรอ r2 เมอ r คอความยาวของรศม

มคาประมาณ 3.14 หรอ 722

8. การคาดคะเนพนทรปสเหลยมมมฉาก เปนการบอกพนทรปสเหลยมมมฉากใหไดใกลเคยงพนทจรงโดยไมใชเครองมอ ซงอาจท าไดโดยการคาดคะเนความกวางและความยาว แลวหาผลคณ


คณตศาสตรประถมศกษา 2. พนท

19

การหาพนท

ตารางหนวยเปนหนวยในการวดพนท พนท 1 ตารางหนวย คอ พนทรปสเหลยมจตรส ซงแตละดานยาว 1 หนวย

รปทเมอน ากระดาษรปสเหลยมจตรสขนาด 1 ตารางหนวย จ านวน 4 รปมาปไดเตมพอด มพนท 4 ตารางหนวย

พนท 1 ตารางเซนตเมตร คอ พนทรปสเหลยมจตรสซงแตละดานยาว 1 เซนตเมตร

รปทเมอน ากระดาษรปสเหลยมจตรสขนาด 1 ตารางเซนตเมตร จ านวน 4 รปมาปไดเตมพอด มพนท 4 ตารางเซนตเมตร

ในการจดกจกรรมเรองการหาพนทเปนตารางหนวย ครใหนกเรยนตดกระดาษเปนรปสเหลยมจตรส ทมดานยาว 1 หนวย ตามครก าหนด แนะน านกเรยนวา กระดาษทนกเรยนตดมพนท 1 ตารางหนวย จากนนครใหนกเรยนหาพนทของรปทครก าหนดให โดยปกระดาษทมพนท 1 ตารางหนวยใหเตม และเขยนเสนขอบแสดงการปในแตละครง รปทครก าหนดควรจะเปนรปทเตมตารางหนวย เชน

ส าหรบการแนะน าพนท 1 ตารางเซนตเมตรและการหาพนทเปนตารางเซนตเมตร จดกจกรรมท านองเดยวกน

เมอนกเรยนมประสบการณกบการหาพนทของรปทเตมตารางหนวยแลว ครจงน ารปทมสวนทเปนครงตารางมาใหนกเรยนไดหาพนท โดยตดกระดาษจากกระดาษตารางเซนตเมตร เปนรปตาง ๆ เชน

1 หนวย

1 หนวย

1 ซม.

1 ซม.



20

ส าหรบสวนทเปนครงตาราง ครควรใหนกเรยนอภปรายเพอใหเหนวาจะตองน ามารวมดวย โดยรวมสวนทเปนครงตารางเขาดวยกน เพอใหได 1 ตาราง

รปเรขาคณตทมพนทเทากนอาจมรปไมเหมอนกน ครอาจสาธตใหนกเรยนเหนไดโดยใชกระดานตะป และใหนกเรยนสรางรปบนกระดานตะป หรอเขยนรปใหทกรปมพนทตามทครก าหนด เชน 6 ตารางหนวย

การสอนหาพนทของรปทไมเตมหนวยบนตาราง ครอาจจดกจกรรมโดยน ารปทมพนทไมเตมหนวย เชน

ใหนกเรยนทายวารปนมพนทเทาไร โดยครใชค าถามน า เชน มสวนเตมตารางหนวยอยกตารางหนวย มสวนทไมเตมตารางหนวยหรอไม สวนใดบางรวมกนได 1 ตารางหนวย กอนจะแนะน าวธการประมาณพนทสวนทไมเตมตารางหนวยวา ถาเกนครงตารางใหนบเปน 1 ตารางหนวย แตถาไมถง ครงตารางจะไมนบเปน 1 ตารางหนวย จากนนรวมกนสรปกบนกเรยนใหไดวา พนททงหมดของ รปไดจากการรวมพนทสวนทเตมตารางหนวยกบพนทสวนทไมเตมตารางหนวย



21

การหาพนทรปสเหลยมมมฉาก

การสอนการหาพนทรปสเหลยมมมฉาก เรมจากการใหนกเรยนหาพนทของรปสเหลยมมมฉากโดยการนบตารางกอน โดยครตดกระดาษรปสเหลยมมมฉาก หรอวาดรปสเหลยมมมฉากบนกระดาน ใหนกเรยนออกมาตตาราง แลวบอกพนทโดยการนบจ านวนตารางหนวย ใหนกเรยนสงเกตวา การนบจ านวนตารางหนวย ใชวธการนบเปนแถวจะรวดเรวขน

เมอนกเรยนหาพนทของรปสเหลยมมมฉากโดยการนบจ านวนตารางหนวยแลว ครจดกจกรรมใหนกเรยนไดเหนความสมพนธระหวางพนทกบผลคณของความยาวของดานของรปสเหลยมมมฉาก โดยแจกกระดาษแขงรปสเหลยมมมฉากทมขนาดตาง ๆ กน ใหนกเรยนแบงความยาวของดานของดานของรปสเหลยมเปนสวน สวนละ 1 เซนตเมตร ตตารางเพอหาพนทโดยการนบตาราง แลวบนทกความยาวของดานและพนทลงในแบบบนทก เชน

รปท ความยาวของดานกวาง

(ซม.)

ความยาวของดานยาว

(ซม.)

พนท

(ตร.ซม.)

1 3 4 12

2 3 5 15

3 3 6 18

4 4 5 20

5 4 6 24

ใหนกเรยนสงเกตความสมพนธระหวางพนททนบไดจากกระดาษรปสเหลยมมมฉากกบผลคณของความยาวของดานของรปสเหลยมนน ๆ ซงจะไดขอสรปวา

พนทรปสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว



22

การหาพนทรปสเหลยมดานขนาน

การสอนการหาพนทรปสเหลยมดานขนาน เรมจากการแนะน าสวนสงและฐานของรปสเหลยม ดานขนาน กอนจะแสดงใหนกเรยนเหนถงความสมพนธระหวางรปสเหลยมมมฉาก และรปสเหลยมดานขนาน ซงสามารถท าได 2 วธ ดงตอไปน

วธท 1

1. ใหแบงรปสเหลยมดานขนาน ออกเปน 2 สวน โดยม 1 สวน ตองเปนรปสามเหลยมมมฉาก 2. ตดรปสเหลยมดานขนาน ออกเปน 2 สวน ตามทแบง 3. น า 2 สวน มาประกอบใหม ใหเปนรปสเหลยมมมฉาก ตวอยาง

วธท 2 ใหแบงรปสเหลยมดานขนาน ออกเปน 2 สวน โดยไมมสวนใดเปนรปสามเหลยมมมฉาก

แตเมอน าทง 2 สวนมาประกอบใหม แลวจะตองไดรปสเหลยมมมฉาก ตวอยาง

จะเหนไดวาพนทของรปสเหลยมดานขนานเทากบพนทของรปสเหลยมมมฉาก และเมอพจารณาความสมพนธระหวางฐานและสวนสงของรปสเหลยมดานขนาน กบความกวางและความยาวของ รปสเหลยมมมฉาก จะไดวา ความกวางของรปสเหลยมมมฉากเทากบความสงของรปสเหลยม ดานขนาน และความยาวของรปสเหลยมมมฉากเทากบความยาวของฐานของรปสเหลยมดานขนาน

ดงนนจงได พนทรปสเหลยมดานขนาน = ความสง ความยาวฐาน



23

การหาพนทรปสเหลยมคางหม

การสอนการหาพนทรปสเหลยมคางหม เรมจากการใหนกเรยนรจกลกษณะของรปสเหลยมคางหม คอ รปสเหลยมคางหมมดานขนานกนหนงค โดยครตดรปสเหลยมคางหมแบบตาง ๆ ใหนกเรยนด เชน

จากนนแนะน าใหนกเรยนหาสวนสง และดานคขนานของรปสเหลยมคางหม ซงจะไดวา ดานคขนาน คอดานตรงขามทขนานกนของรปสเหลยมคางหม ความสงของรปสเหลยมคางหมคอระยะหางของดานคขนาน หรอความยาวของสวนของเสนตรงทตงฉากกบดานคขนาน

เมอนกเรยนรจกลกษณะและสวนประกอบของรปสเหลยมคางหมแลว ครแสดงใหนกเรยนเหนความสมพนธระหวางรปสเหลยมคางหม รปสเหลยมมมฉาก และรปสเหลยมดานขนาน เพอน าความสมพนธไปชวยในการหาพนทรปสเหลยมคางหม ดงน

การหาพนทรปสเหลยมคางหมแบบท 1 มดานทขนานกน 1 ค มมมฉาก 1 มม วธท 1 น ารปสเหลยมคางหมแบบเดยวกนมาประกอบเพมเปนรปสเหลยมมมฉาก วธท 2 น ารปสเหลยมคางหมแบบเดยวกนมาประกอบเพมเปนรปสเหลยมดานขนาน



24

การหาพนทรปสเหลยมคางหมแบบท 2 มดานทขนานกน 1 ค และมแกนสมมาตร 1 แกน

วธท 1 แบงรปออกเปน 2 สวน แลวประกอบใหมเปนรปสเหลยมมมฉาก วธท 2 น ารปสเหลยมคางหมแบบเดยวกนมาประกอบเพมเปนรปสเหลยมดานขนาน การหาพนทรปสเหลยมคางหมแบบท 3 มดานทขนานกน 1 ค ดานทง 4 ยาวไมเทากน

ใชวธน ารปสเหลยมคางหมแบบเดยวกนมาประกอบเพมเปนรปสเหลยมดานขนาน จะเหนวา เราสามารถเปลยนรปสเหลยมคางหมทกแบบเปนรปสเหลยมดานขนาน โดยเพมรปทเหมอนกนอก 1 รป ดงนน พนทของรปสเหลยมคางหมเปนครงหนงของพนทรปสเหลยมดานขนานทมความสงเทากน ซงจะได



25

พนทรปสเหลยมคางหม = 21 พนทรปสเหลยมดานขนาน

= 21 ความสง ความยาวของฐาน

สงเกตวาความยาวของฐานของรปสเหลยมดานขนานเทากบผลบวกของความยาวของดานคขนานของรปสเหลยมคางหม ดงนนจงได

พนทรปสเหลยมคางหม = 21 ความสง ผลบวกของความยาวของดานคทขนานกน

การหาพนทรปสามเหลยม

การสอนการหาพนทรปสามเหลยม ท าไดโดยน าแผนกระดาษรปสเหลยมมมฉากทมรปรางและขนาดตางกนมาใหนกเรยนตดตามแนวเสนทแยงมม

จะไดรปสามเหลยมสองรปทเมอน ามาวางซอนกนแลวทบกนสนท แสดงวารปสามเหลยมทงสองรป มพนทเทากน จากนนเปรยบเทยบสวนตาง ๆ ของรปสามเหลยมและรปสเหลยมมมฉาก ซงจะไดวา รปสามเหลยมและรปสเหลยมมมฉากมฐานเดยวกน และมความสงเทากน สรปเปนความสมพนธ ระหวางพนทของรปสามเหลยมและรปสเหลยมไดวา พนทของรปสามเหลยมเปนครงหนงของพนทของรปสเหลยมมมฉากทมฐานเดยวกนและสงเทากน

เมอนกเรยนทราบความสมพนธระหวางพนทของรปสเหลยมมมฉากกบพนทของรปสามเหลยมทเกดจากการตดรปสเหลยมมมฉากตามแนวเสนทแยงมมแลว ครน าแผนกระดาษรปสเหลยมมมฉากซงม รปสามเหลยมอยภายในมาใหนกเรยนตดจะไดรปสามเหลยม 3 รป

จะเหนวา พนทของรปสามเหลยมทงสามรวมกนแลวเทากบพนทรปสเหลยมมมฉาก



26

ใหนกเรยนเปรยบเทยบขนาดของรปสามเหลยมทแรเงากบรปสามเหลยมอก 2 รป โดยการน ามาวางซอนกน

จะพบวารปสามเหลยมสองรปตอกนทบกนสนทกบรปสามเหลยมทแรเงา แสดงวาพนทเทากน ดงนน พนทรปสามเหลยมทแรเงาเปนครงหนงของพนทรปสเหลยมมมฉาก สรปเปนความสมพนธระหวางพนทของรปสามเหลยมและรปสเหลยมมมฉากทมฐานเดยวกนและความสงเทากนไดวา พนทของรปสามเหลยมเปนครงหนงของพนทรปสเหลยมมมฉากทมฐานเดยวกนและความสงเทากน

จงได พนทรปสามเหลยม = 21 พนทรปสเหลยมมมฉาก

= 21 ความกวาง ความยาว

เนองจากความกวางของรปสามเหลยมคอความสงของรปสามเหลยม และความยาวของรปสเหลยมคอความยาวของฐานของรปสามเหลยม

ดงนน พนทรปสามเหลยม = 21 ความสง ความยาวของฐาน

การหาพนทรปสเหลยมรปวาว

การสอนการหาพนทรปสเหลยมรปวาว ท าไดโดยน ารปสเหลยมรปวาวมาใหนกเรยนลากเสนทแยงมม 1 เสน จะไดวาเสนทแยงมมแบงรปสเหลยมรปวาวเปนรปสามเหลยม 2 รป รปสามเหลยมทไดมขนาดเทากนหรอไมขนอยกบเสนทแยงมมทลาก เชน

จะเหนวา พนทของรปสเหลยมรปวาว ไดจากการหาพนทของรปสามเหลยมสองรปมารวมกน

แบบท 1 แบบท 2



27

หากพจารณาแบบท 2

พนทรปสามเหลยม = 21 ความสงของรปสามเหลยม ความยาวฐานรปสามเหลยม

พนทรปสามเหลยม = 21 ความสงของรปสามเหลยม ความยาวฐานรปสามเหลยม

สงเกตความสมพนธระหวางความยาวฐานของรปสามเหลยมทงสองรปกบความยาวของเสนทแยงมมของรปสเหลยมรปวาว จะไดวา ความยาวฐานของรปสามเหลยมทงสองรปเทากบความยาวของ เสนทแยงมมของรปสเหลยมรปวาว

ดงนน

พนทรปสามเหลยม = 21 ความสงของรปสามเหลยม ความยาวของเสนทแยงมม

พนทรปสามเหลยม = 21 ความสงของรปสามเหลยม ความยาวของเสนทแยงมม

พนทรปสเหลยมรปวาว = พนทรปสามเหลยม + พนทรปสามเหลยม

= (21 ความสงของรปสามเหลยม ความยาวของเสนทแยงมม) +

(21 ความสงของรปสามเหลยม ความยาวของเสนทแยงมม)

= 12 ความยาวของเสนทแยงมม ผลบวกของความสงของรปสามเหลยมทงสอง

สงเกตความสมพนธระหวางความสงของรปสามเหลยมทงสองรปกบเสนทแยงมมของรปสเหลยม รปวาว จะไดวา ผลบวกของความสงของรปสามเหลยมทงสองเทากบความยาวของเสนทแยงมมอกเสนของรปสเหลยมรปวาว

ดงนน พนทรปสเหลยมรปวาว = 21 ผลคณของความยาวของเสนทแยงมม



28

การหาพนทรปวงกลม

การสอนการหาพนทรปวงกลมท าไดการจดกจกรรมใหนกเรยนลงมอปฏบต ดงน

(1) ใชวงเวยนเขยนรปวงกลมบนกระดาษ

ถารปวงกลมมรศมยาว r หนวย

ความยาวรอบรปวงกลม เทากบ 2r หนวย

(2) แบงรปวงกลมเปน 16 สวนเทา ๆ กน แลวระบายส 8 สวนดงรป

(3) ตดรปวงกลมแตละสวนออกเปน 16 ชน แลวน ามาตดสลบกน จะไดรปทมลกษณะใกลเคยงกบ รปสเหลยมดานขนาน

จากรปจะเหนวา ฐานของรปสเหลยมดานขนานยาวใกลเคยงครงหนงของความยาวรอบรปวงกลม และความสงของรปสเหลยมดานขนานเทากบความยาวของรศมรปวงกลม

รปสเหลยมดานขนานมพนท = ความสง ความยาวของฐาน

= r r ตารางหนวย

= r r ตารางหนวย

และพนทรปวงกลมเทากบพนทของรปสเหลยมดานขนาน

ดงนน พนทรปวงกลม = r r หรอ r2


3. สมการ คณตศาสตรประถมศกษา

29

3. สมการ

จดประสงคการอบรม เพอใหผเขารบการอบรม 1. ไดรบความรความเขาใจเกยวกบ

สมการ สมการทเปนจรง สมการทเปนเทจ สมการทมตวไมทราบคา ค าตอบของสมการ สมบตของการเทากน การแกสมการโดยใชสมบตการเทากน การแกโจทยปญหาดวยสมการ

2. ไดแนวทางการจดกจกรรมการเรยนรเรอง สมการ

สาระส าคญ/ความคดรวบยอด 1. ประโยคสญลกษณทมเครองหมาย “=” เรยกวา สมการ 2. สมการทเปนจรง หมายถง สมการ ซงจ านวนทอยทางซายของเครองหมาย “=”

กบจ านวนทอยทางขวาเทากน 3. สมการทเปนเทจ หมายถง สมการ ซงจ านวนทอยทางซายของเครองหมาย “=”

กบจ านวนทอยทางขวาไมเทากน 4. สมการทมการใชตวอกษรแทนจ านวน เรยกตวอกษรหรอสญลกษณอนทใชแทนจ านวน

ในสมการวา ตวไมทราบคา หรอ ตวแปร เรยกสมการเชนนวา สมการทมตวไมทราบคา หรอ สมการทมตวแปร

5. จ านวนใด ๆ ทแทนตวไมทราบคาหรอตวแปรในสมการแลวไดสมการทเปนจรง จ านวนเหลานน เรยกวา ค าตอบของสมการ

6. การแกสมการ เปนวธการหาค าตอบของสมการ 7. การแกสมการอาจท าไดโดยหาจ านวนไปแทนตวไมทราบคา เพอใหไดสมการทเปนจรงหรอ

อาจใชสมบตของการเทากน ซงมดงน 7.1 สมบตของการเทากนเกยวกบการบวก จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวน อกจ านวนหนงมาบวกแตละจ านวนทเทากน ผลบวกยอมเทากน 7.2 สมบตของการเทากนเกยวกบการลบ จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวน อกจ านวนหนง มาลบแตละจ านวนทเทากน ผลลบยอมเทากน 7.3 สมบตของการเทากนเกยวกบการคณ จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวน อกจ านวนหนง มาคณแตละจ านวนทเทากน ผลคณยอมเทากน 7.4 สมบตของการเทากนเกยวกบการหาร จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวน อกจ านวนหนงซงไมเทากบศนยมาหารแตละจ านวนทเทากน ผลหารยอมเทากน



30

1. สมการ

เรยกประโยคสญลกษณทมเครองหมาย “ = ” วา สมการ พจารณาประโยคสญลกษณตอไปน

1. 48 + 15 60 ไมเปนสมการ

2. 19 3 50 ไมเปนสมการ 3. 52 4 = 14 เปนสมการ

4. 28 – 9 13 ไมเปนสมการ 5. 7 4 = 28 เปนสมการ

จากประโยคสญลกษณขางตน จะเหนวา ประโยคสญลกษณในขอ 3 และขอ 5 เปนสมการเพราะ เปนประโยคสญลกษณทมเครองหมาย “ = ” พจารณาประโยคสญลกษณในขอ 3. 52 4 = 14 จะเหนวา จ านวนทอยทางซายของเครองหมาย “ = ” คอ 52 4 ซงไมเทากบจ านวนทอยทางขวาของเครองหมาย “ = ” จงกลาวไดวา 52 4 = 14 เปนสมการทเปนเทจ พจารณาประโยคสญลกษณในขอ 5. 7 4 = 28 จะเหนวา จ านวนทอยทางซายของเครองหมาย “ = ” คอ 7 4 และจ านวนทอยทางขวาของเครองหมาย “ = ” เทากน จงกลาวไดวา 7 4 = 28 เปนสมการทเปนจรง

สมการทเปนจรง หมายถง สมการ ซงจ านวนทอยทางซายของ เครองหมาย “ = ” และจ านวนทอยทางขวา เทากน สมการทเปนเทจ หมายถง สมการ ซงจ านวนทอยทางซายของ เครองหมาย “ = ” และจ านวนทอยทางขวา ไมเทากน

ตวอยาง สมการทเปนจรง สมการทเปนเทจ 26 – 17 = 9 84 6 = 64 35 + 18 = 53 136 – (18 5) = 46 64 16 = 4 7 (8 + 5) = 97 986 0 = 0 3 (9 – 2) = 28



31

2. สมการทมตวไมทราบคา

ตวอกษร หรอสญลกษณอนทใชแทนจ านวนในสมการ เรยกวา ตวไมทราบคา (unknown) หรอ ตวแปร (variable) (ตวไมทราบคาในสมการจะใชสญลกษณแบบใดกได) พจารณาสมการตอไปน 1. จ + 50 = 78 4. a 3 = 27

2. – 22 = 56 5. b6 = 13

3. b 7 = 14 6. 2 (c + 5) = 7 จะเหนวา สมการในขอ 1 – ขอ 6 มตวไมทราบคา หรอ ตวแปร คอ จ , , b , a , b ,c ตามล าดบ เรยกสมการเชนนวา สมการทมตวไมทราบคา หรอ สมการทมตวแปร 3. ค าตอบของสมการ

เรยก จ านวนทแทนตวไมทราบคา หรอ ตวแปรในสมการ แลวไดสมการทเปนจรงวา ค าตอบของสมการ พจารณาสมการ จ + 6 = 9 ถาแทน จ ดวย 1 จะได 1 + 6 = 7 ซงเปนสมการทเปนเทจ ถาแทน จ ดวย 2 จะได 2 + 6 = 9 ซงเปนสมการทเปนเทจ ถาแทน จ ดวย 3 จะได 3 + 6 = 9 ซงเปนสมการทเปนจรง

ดงนน 3 เปนค าตอบของสมการ จ + 6 = 9 หรอกลาวไดวา ค าตอบของสมการ จ + 6 = 9 คอ 3

พจารณาแตละสมการตอไปน 1. 2b + 3 = 5

ถาแทน b ดวย 0 ในสมการจะได (2 0) + 3 = 5 ซงเปนสมการทเปนเทจ ถาแทน b ดวย 1 ในสมการจะได (2 1) + 3 = 5 ซงเปนสมการทเปนจรง จะเหนวาถาแทน b ดวยจ านวนใด ๆ ทไมใชหนงในสมการ 2b + 3 = 5 จะไดสมการ

ทเปนเทจเสมอ ดงนน 1 เปนค าตอบของสมการ 2b + 3 = 5



32

2. y2 = 4 ถาแทน y ดวย 0 ในสมการจะได 02 = 4 ซงเปนสมการทเปนเทจ ถาแทน y ดวย 2 ในสมการจะได 22 = 4 ซงเปนสมการทเปนจรง ถาแทน y ดวย –2 ในสมการจะได (–2)2 = 4 ซงเปนสมการทเปนจรง จะเหนวาถาแทน y ดวยจ านวนใด ๆ ทไมใช 2 หรอ –2 ในสมการ y2 = 4 จะไดสมการ

ทเปนเทจเสมอ ดงนน 2 และ –2 เปนค าตอบของสมการ y2 = 4

3. 5 + q = q

ถาแทน q ดวย 0 ในสมการจะได 5 + 0 = 0 ซงเปนสมการทเปนเทจ ถาแทน q ดวย 1 ในสมการจะได 5 + 1 = 1 ซงเปนสมการทเปนเทจ จะเหนวาถาแทน q ดวยจ านวนใด ๆ ในสมการนจะไดสมการทเปนเทจเสมอ ดงนน สมการ 5 + q = q ไมมค าตอบ

4. c + 3 = 3 + c ถาแทน c ดวย 0 ในสมการจะได 0 + 3 = 3 + 0 ซงเปนสมการทเปนจรง

ถาแทน c ดวย 12 ในสมการจะได 1

2 + 3 = 3 + 12 ซงเปนสมการทเปนจรง

ถาแทน c ดวย 5 ในสมการจะได 5 + 3 = 3 + 5 ซงเปนสมการทเปนจรง จะเหนวาถาแทน c ดวยจ านวนใด ๆ ในสมการน จะไดสมการทเปนจรงเสมอ ดงนน สมการ c + 3 = 3 + c มค าตอบมากมายไมจ ากด จากสมการ ในสมการขอ 1 – 4 จะสงเกตไดวา 1. สมการบางสมการ ม 1 ค าตอบ เชน สมการ 2b + y = 5 2. สมการบางสมการ ม 2 ค าตอบ เชน สมการ y2 = 4 3. สมการบางสมการ ไมมค าตอบ เชน สมการ 5 + q = q 4. สมการบางสมการ มค าตอบมากมาย ไมจ ากด เชน สมการ c + 3 = 3 + c



33

4. สมบตของการเทากน

4.1 สมบตของการเทากนเกยวกบการบวก จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวนอกจ านวนหนงมาบวกแตละจ านวนทเทากน

ผลบวกยอมเทากน เชน 3 + 5 = 8 เมอน า 6 มาบวกกบจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ

จะได (3 + 5) + 6 = 8 + 6 (สมบตการเทากนเกยวกบการบวก) 8 + 6 = 14 14 = 14 ดงนน จากสมการ 3 + 5 = 8 จะได (3 + 5) + 6 = 8 + 6 เปนสมการทเปนจรง

4.2 สมบตของการเทากนเกยวกบการลบ จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวนอกจ านวนหนงมาลบออกจากแตละจ านวน

ทเทากน ผลลบยอมเทากน เชน 3 + 5 = 8 เมอน า 4 มาลบออกจากจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ จะได (3 + 5) – 4 = 8 – 4 (สมบตการเทากนเกยวกบการลบ) 8 – 4 = 4 4 = 4 ดงนน จากสมการ 3 + 5 = 8 จะได (3 + 5) – 4 = 8 – 4 เปนสมการทเปนจรง

4.3 สมบตของการเทากนเกยวกบการคณ จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวนอกจ านวนหนงมาคณแตละจ านวนทเทากน

ผลคณยอมเทากน เชน 2 + 9 = 11 เมอน า 3 มาคณจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ จะได (2 + 9) 3 = 11 3 (สมบตการเทากนเกยวกบการคณ) 11 3 = 33 33 = 33 ดงนน จากสมการ 2 + 9 = 11 จะได (2 + 9) 3 = 11 3 เปนสมการทเปนจรง



34

4.4 สมบตของการเทากนเกยวกบการหาร จ านวนทเทากนสองจ านวน เมอน าจ านวนอกจ านวนหนง ซงไมเทากบศนยมาหาร

แตละจ านวนทเทากน ผลหารยอมเทากน เชน 5 + 4 = 9 เมอน า 3 มาหารจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ จะได (5 + 4) 3 = 9 3 (สมบตการเทากนเกยวกบการหาร) 9 3 = 3 3 = 3 ดงนน จากสมการ 5 + 4 = 9 จะได (5 + 4) 3 = 9 3 เปนสมการทเปนจรง 5. การแกสมการ

การแกสมการ เปนวธหาค าตอบของสมการ เชน การแกสมการ ข + 5 = 12 คอ การหาคาของ ข ทท าใหสมการเปนจรง

การแกสมการ 2b 9 = 5 คอ การหาคาของ b ทท าใหสมการเปนจรง 5.1 การแกสมการโดยใชสมบตของการเทากนเกยวกบการบวกหรอการลบ

5.1.1 การแกสมการทมตวไมทราบคาบวกดวยจ านวนใด ๆ พจารณาการแกสมการ ค + 8 = 13 น า 8 มาลบออกจากจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “=” ของสมการ เพอใหขางซายของเครองหมาย “ = ” เหลอตวไมทราบคาเพยงตวเดยวเทานน จะได ค + 8 – 8 = 13 – 8 ค + (8 – 8) = 5 ค + 0 = 5 ค = 5 และเมอน า 5 ไปแทน ค ในสมการ ค + 8 = 13 จะได 5 + 8 = 13 ซงเปนสมการทเปนจรง ดงนน ค าตอบของสมการ ค + 8 = 13 คอ 5

การแกสมการทมตวไมทราบคาบวกดวยจ านวนใด ๆ อาจใชสมบตของการเทากน เกยวกบการลบ โดยการน าจ านวนทเทากบจ านวนทบวกกบตวไมทราบคาลบออกจากจ านวน ทงสองขางของเครองหมาย “=” ของสมการ



35

5.1.2 การแกสมการทมตวไมทราบคาลบดวยจ านวนใด ๆ พจารณาการแกสมการ 19 = b – 16 น า 16 มาบวกกบจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ เพอใหขางขวาของเครองหมาย “ = ” เหลอตวไมทราบคาเพยงตวเดยวเทานน จะได 19 + 16 = b – 16 + 16 35 = b + (16 - 16) 35 = b + 0 35 = b และเมอน า 35 ไปแทน b ในสมการ 19 = b – 16 จะได 19 = 35 – 16 ซงเปนสมการทเปนจรง ดงนน ค าตอบของสมการ 19 = b – 16 คอ 35

การแกสมการทมตวไมทราบคาลบดวยจ านวนใด ๆ อาจใชสมบตของการเทากนดวยการน าจ านวนทเทากบจ านวนทลบออกจากตวไมทราบคา ไปบวกกบจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ

ถาน าจ านวนทหาไดจากการแกสมการไปแทนตวไมทราบคาในสมการ แลวไดสมการทเปนเทจ แสดงวา จ านวนนนไมใชค าตอบของสมการ

ตวอยางท 1 จงแกสมการ b + 9 = 21 วธท า b + 9 = 21 น า 9 มาลบออกจากจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ จะได b + 9 – 9 = 21 – 9 (สมบตการเทากนเกยวกบการลบ) b + (9 – 9) = 12 b + 0 = 12 b = 12 ตรวจค าตอบ น า 12 ไปแทนตวไมทราบคาในสมการ b + 9 = 21 จะได 12 + 9 = 21 ซงเปนสมการทเปนจรง ดงนน ค าตอบของสมการ b + 9 = 21 คอ 12 ตอบ ๑๒

b – 16 + 16 = b + 16 – 16 = b + (16 - 16) = b + 0 = b



36

ตวอยางท 2 จงแกสมการ ข – 8 = 29 วธท า ข – 8 = 29 น า 8 มาบวกกบจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ จะได ข – 8 + 8 = 29 + 8 (สมบตการเทากนเกยวกบการบวก) ข + 8 – 8 = 37 ข + (8 – 8) = 37 ข + 0 = 37 ข = 37 ตรวจค าตอบ แทน ข ดวย 37 ในสมการ ข – 8 = 29 จะได 37 – 8 = 29 ซงเปนสมการทเปนจรง ดงนน ค าตอบของสมการ ข – 8 = 29 คอ 37 ตอบ ๓๗

5.2 การแกสมการโดยใชสมบตของการเทากนเกยวกบการคณ หรอ การหาร 5.2.1 การแกสมการทมตวไมทราบคาหารดวยจ านวนใด ๆ ทไมใชศนย

พจารณาการแกสมการ ก 3 = 18 อาจเขยนไดเปน

3ก = 18

น า 3 มาคณจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ เพอใหขางซายของเครองหมาย “ = ” เหลอตวไมทราบคาเพยงตวเดยวเทานน

3ก 3 = 18 3

ก = 54

เมอแทน ก ดวย 54 ในสมการ ก 3 = 18

จะได 54 3 = 18 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน ค าตอบของสมการ ก 3 = 18 คอ 54

การแกสมการทมตวไมทราบคาหารดวยจ านวนใด ๆ ทไมใชศนย อาจใชสมบตของการเทากนเกยวกบการคณ ดวยการน าจ านวนทเทากบจ านวนทหารตวไมทราบคาไปคณจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ

ข – 8 + 8 = ข + 8 – 8 = ข + (8 – 8) = ข + 0 = ข

1

1



37

5.2.2 การแกสมการทมตวไมทราบคาคณดวยจ านวนใด ๆ พจารณาการแกสมการ y 6 = 54 น า 6 มาหารจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ เพอใหขางซายของเครองหมาย “ = ” เหลอตวไมทราบคาเพยงตวเดยวเทานน

×y 66 = 54

6

y = 9 เมอแทน y ดวย 9 ในสมการ y 6 = 54

จะได 9 6 = 54 เปนสมการทเปนจรง ดงนน ค าตอบของสมการ y 6 = 54 คอ 9

การแกสมการทมตวไมทราบคาคณดวยจ านวนใด ๆ อาจใชสมบตของการเทากน เกยวกบการหาร ดวยการน าจ านวนทเทากบจ านวนทคณตวไมทราบคาหารจ านวนทงสองขาง ของเครองหมาย “ = ” ของสมการ

ตวอยางท 1 จงแกสมการ 5ฉ = 18

วธท า 5ฉ = 18

น า 5 มาคณจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ

จะได ฉ5 5 = 18 5 (สมบตการเทากนเกยวกบการคณ)

ฉ = 90

ตรวจค าตอบ แทน ฉ ดวย 90 ในสมการ 5ฉ = 18

จะได 905 = 18 เปนสมการทเปนจรง

ดงนน ค าตอบของสมการ ฉ 5 = 18 คอ 90 ตอบ ๙๐ ตวอยางท 2 จงแกสมการ ข 9 = 108 วธท า ข 9 = 108 น า 9 มาหารจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ

จะได ×ข 99 = 108

9 (สมบตการเทากนเกยวกบการหาร)

ข = 12

9

1

1

1

1

1

1

1

12

1

y 6 อาจเขยนไดเปน 6y

และ y 6 = 54 อาจเขยนไดเปน 6y = 54



38

ตรวจค าตอบ น า 12 ไปแทน ข ในสมการ ข 9 = 108 จะได 12 9 = 108 เปนสมการทเปนจรง ดงนน ค าตอบของสมการ ข 9 = 108 คอ 12 ตอบ ๑๒ 6. การแกโจทยปญหาดวยสมการ

6.1 การเขยนสมการจากขอความทโจทยก าหนด พจารณาขอความท 1 – 4 ตอไปน ขอความท 1 “ นายรกชาตมทดน ก ไร แบงขายไป 36 ไร นายรกชาตเหลอทดน 54 ไร” เขยนสมการได ก – 36 = 54 ขอความท 2 “ ชาวสวนเกบมะมวงได 72 กโลกรม วนตอมาเกบไดอก ข กโลกรม รวม 2 วน เกบมะมวงได 128 กโลกรม ” เขยนสมการได 72 + ข = 128 ขอความท 3 “ ฉนมเงนจ านวนหนง แปดเทาของจ านวนเงนของฉน เทากบ 480 บาท ”

เขยนสมการได 8 ค = 480 ขอความท 4 “ แมไปท าธระทจงหวดสงขลา และซอลองกองจ านวนหนงมาฝากญาตพนอง

ครอบครวละเทา ๆ กน แมมพชาย 2 คน นองสาว 1 คน และแตละครอบครว ไดรบลองกอง ครอบครวละ 4 กโลกรม”

เขยนสมการได จ 3 = 4

จะเหนวา ขอความท 1 และ 2 โจทยก าหนดตวไมทราบคา จงเขยนสมการไดจากความสมพนธของจ านวนตาง ๆ ทโจทยก าหนด สวนขอความท 3 และ 4 โจทยไมไดก าหนดตวไมทราบคา ในการเขยนสมการจงตองก าหนดตวไมทราบคาเอง แลวจงเขยนสมการ

6.2 การแกโจทยปญหาดวยสมการ การแกโจทยปญหาดวยสมการ ควรอานและวเคราะหโจทยใหทราบวา โจทยใหหาอะไรแลว

ด าเนนการแกโจทยปญหาดงน 1) โจทยใหหาอะไร 2) โจทยก าหนดอะไรมาใหบาง 3) เขยนสมการไดอยางไร 4) แกสมการหาตวไมทราบคาไดอยางไร 5) ตรวจสอบความสมเหตสมผลของค าตอบทได



39

ตวอยางท 1 นายรกชาตมทดน ก ไร แบงขายไป 36 ไร นายรกชาตเหลอทดน 54 ไร อยากทราบวาเดม นายรกชาตมทดนทงหมดกไร

วเคราะหโจทย 1. โจทยใหหาอะไร – นายรกชาตมทดนทงหมดกไร ซงโจทยก าหนดวาม ก ไร 2. โจทยก าหนดอะไร ก ไร

– นายรกชาตมทดน ก ไร – แบงขายไป 36 ไร – หลงจากขายไปเหลอทดน 54 ไร มทดน ก ไร แบงขายไป 36 ไร เหลอทดน ก – 36 ไร 3. เขยนสมการได ก – 36 = 54 4. แกสมการหาคาของตวไมทราบคาไดดงน

ก – 36 = 54 ก – 36 + 36 = 54 + 36 ก = 90 ค าตอบของสมการ คอ 90 ค าตอบของโจทยปญหาน คอ นายรกชาตมทดน 90 ไร ตอบ ๙๐ ไร

ก – 36 ไร

36 ไร

ก – 36 + 36 = ก + 36 - 36 = ก + (36 - 36) = ก + 0 = ก



40

เขยนแสดงวธท าไดดงน วธท า นายรกชาตมทดน ก ไร แบงขายไป 36 ไร เหลอทดน 54 ไร เขยนสมการได ก – 36 = 54 น า 36 มาบวกจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ ก – 36 + 36 = 54 + 3 (สมบตการเทากนเกยวกบการบวก) ก = 90 ค าตอบของสมการ ก – 36 = 54 คอ 90 ดงนน นายรกชาตมทดน 90 ไร ตอบ ๙๐ ไร

5. ตรวจสอบความสมเหตสมผลของค าตอบทได นายรกชาตขายทดนไป 36 ไร (ประมาณ 40 ไร )

เหลอทดนอก 54 ไร (ประมาณ 50 ไร) ดงนนเดมนายรกชาตมทดน 90 ไร จงเปนค าตอบทสมเหตสมผล

ตวอยางท 2 ฉนมเงนจ านวนหนง แปดเทาของจ านวนเงนของฉน เทากบ 480 บาท คณทราบไหมวา ฉนมเงนเทาใด วเคราะหโจทย วธท า สมมตฉนมเงน a บาท แปดเทาของจ านวนเงนของฉน เทากบ 480 บาท เขยนสมการได a 8 = 480 บาท น า 8 มาหารจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ

×a 88 = 480

8 (สมบตการเทากนเกยวกบการหาร)

a = 60 ค าตอบของสมการ a 8 = 480 คอ 60 ดงนน ฉนมเงน 60 บาท ตอบ ๖๐ บาท

1

1

60

1

+ + + + + + + + = 8×a

a a a a a a a a



41

ตวอยางท 3 เศษสองสวนสามของจ านวนจ านวนหนงบวกดวย 5 ไดผลลพธเปน 37 จงหาจ านวนน วธท า สมมตจ านวนจ านวนหนง คอ b เศษสองสวนสามของจ านวนจ านวนนบวกดวย 5 ไดผลลพธเปน 37

เขยนสมการได ×2 b3 + 5 = 37

น า 5 มาลบออกจากจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ

×2 b3 + 5 – 5 = 37 – 5

×2 b3 = 32

น า 32 มาคณจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ

32 ×2 b3 = 3

2 32

b = 16 3 b = 48

ค าตอบของสมการ ×2 b3 + 5 = 37 คอ 48

ดงนน จ านวนน คอ 48 ตอบ ๔๘ ตวอยางท 4 สองเทาของผลบวกของจ านวน จ านวนหนงกบ 5 หารดวย 7 ไดผลลพธเปน 8 จงหาจ านวนน วธท า สมมตจ านวนน คอ ก ผลบวกของจ านวน จ านวนนกบ 5 คอ ก + 5 สองเทาของผลบวกของจ านวน จ านวนหนงกบ 5 หารดวย 7 ไดผลลพธเปน 8

เขยนสมการได +2(ก 5)7 = 8

น า 72 มาคณจ านวนทงสองขางของเครองหมาย = ของสมการ

72

+2(ก 5)7 = 72 8

ก + 5 = 4 7 ก + 5 = 28

น า 5 มาลบออกจากจ านวนทงสองขางของเครองหมาย “ = ” ของสมการ ก + 5 – 5 = 28 – 5 ก = 23

ค าตอบของสมการ +2(ก 5)7 = 8 คอ 23

ดงนน จ านวนน คอ 23

1 16

1 4

1

เนองจาก = 1

และ 1b = 1

เนองจาก = 1

และ 1(ก + 5) = ก + 5

1

1

1 1

1

1 1

ตอบ ๒๓



42

4. รปเรขาคณตสามมต จดประสงคของการอบรม เพอใหผรบการอบรม 1. ไดรบความรความเขาใจเกยวกบ เรขาคณตระดบประถมศกษาและความรสกเชงปรภม

รปเรขาคณตสามมตและรปคลของรปเรขาคณตสามมต 2. ไดแนวทางในการจดกจกรรมการเรยนรเรองรปเรขาคณตสามมต ในชวงชนท 1 – 2

สาระส าคญ / ความคดรวบยอด

1. รปเรขาคณตสามมตทมหนาตด (ฐาน) ทงสองเปนรปหลายเหลยมทเทากนทกประการและอยในระนาบทขนานกน มหนาขางเปนรปสเหลยมดานขนาน เรยกวา ปรซม การเรยกปรซมเรยกตามลกษณะของรปหลายเหลยมทเปนหนาตดหรอฐาน

2. ปรซมทมหนาทกหนาเปนรปสเหลยมมมฉาก เรยกวา ปรซมสเหลยม หรอ ทรงสเหลยมมมฉาก 3. ปรซมสเหลยม หรอทรงสเหลยมมมฉาก ทมหนาทกหนาเปนรปสเหลยมจตรส

เรยกวา ลกบาศก 4. รปเรขาคณตสามมตทมหนาตด (ฐาน) ทงสองเปนรปวงกลมทเทากนทกประการ และ

อยในระนาบทขนานกน มผวโคง เรยกวา ทรงกระบอก 5. รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนรปหลายเหลยม มยอดแหลมซงไมอยในระนาบเดยวกบฐาน

และมหนาขางเปนรปสามเหลยม เรยกวา พระมด การเรยกชอพระมดเรยก ตามลกษณะของรปหลายเหลยมทเปนฐาน

6. รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนรปวงกลม มยอดแหลมซงไมอยในระนาบเดยวกบฐาน และมผวโคง เรยกวา กรวย

7. รปเรขาคณตสามมตทมผวโคงเรยบ ทก ๆ จดบนผวหางจากจดศนยกลางเทากน เรยกวา ทรงกลม

8. รปเรขาคณตสามมต เมอคลออกจะไดรปทประกอบดวย รปเรขาคณตสองมต ทสามารถประกอบเปนรปเรขาคณตสามมตนนได

ความรพนฐาน 1. รปเรขาคณตสองมตชนดตาง ๆ


คณตศาสตรประถมศกษา 4. รปเรขาคณตสามมต

43

ความเขาใจคลาดเคลอน / ยาก 1. นกเรยนไมเขาใจวาความรสกเชงปรภมคออะไร มประโยชนหรอมความจ าเปนตอการจด

การเรยนรอยางไร 2. นกเรยนเขาใจคลาดเคลอนเกยวกบการใชภาษา เชน รปทรงเรขาคณต กบทรงเรขาคณต 3. นกเรยนจ าแนกไมไดวารปเรขาคณตสองมต กบ รปเรขาคณตสามมตเหมอนหรอตางกน

อยางไร 4. ใหค านยามศพททางเรขาคณตคลาดเคลอน

1. เรขาคณตระดบประถมศกษาและความรสกเชงปรภม

เรขาคณตเกดขนในอยปตโบราณเมอประมาณ 700 ป กอนครสตศกราช ชาวอยปตและชาวบาบโลนตางสนใจเรขาคณตในแงการน าไปใชใหเปนประโยชน แกการด ารงชวต เชน การวดพนท การสรางทอยอาศย เปนตน ซงเปนความรทไดเฉพาะจากการใชสญชาตญาณ การทดลอง และการคาดคะเน เทานน จงท าใหความรเกยวกบเรขาคณตจ ากดอยในวงแคบ ๆ ตอมาราว 600 ถง 200 ป กอนครสตศกราช ชาวกรกไดใหความสนใจเรขาคณต แตกตางไปจากชาวอยปตและชาวบาบโลน โดยชาวกรกสนใจศกษาเรองราวปรากฏการณธรรมชาตตองการทจะคนควาหารปแบบตาง ๆ ของธรรมชาต เพราะเชอวาเรขาคณตเปนแกนกลางของรปแบบของธรรมชาต วธการแสวงหาความจรงเหลานนจงอยในรปของการใหเหตผล นกคณตศาสตรชาวกรกผมชอเสยง และมบทบาทส าคญในการพฒนาเรขาคณตทานหนงคอ ยคลด (Euclid) ไดรวบรวมเขยนต าราคณตศาสตรขนตนขนมา 13 เลม รจกกนในชอ เอลเลเมนทส ( Elements) ในจ านวนนมถง 7 เลม เปนต าราทวางพนฐานการเรยนเรขาคณตท ใช ในการพสจนอยางม เหตผลจากสจพจน (axiom หรอ postulate) จากนนเรขาคณตจงมววฒนาการตอมาเรอย ๆ ปจจบนความรเกยวกบเรขาคณตมสวนเกยวของสมพนธกบชวตประจ าวนของมนษยเรา อยางมาก เราใชเรขาคณตเพอท าความเขาใจหรออธบายสงตาง ๆ รอบตว เชน ใชเรขาคณตในการส ารวจพนท สรางผงเมอง สรางถนนหนทาง สงกอสรางตาง ๆ การส ารวจโลกและอวกาศ เรขาคณตชวยพฒนาทกษะทส าคญหลายประการ เชน การคด การใหเหตผล การคดสรางสรรค ทกษะเชงมตสมพนธ หรอความรสกเชงปรภม (Spatial sense) ซงทกษะเหลานเปนพนฐานการเรยนรคณตศาสตรเรองอน ๆ เชน จ านวน การวด ตลอดจนเนอหาคณตศาสตรชนสงตอไป นอกจากนยงเปนพนฐานในการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรกบความรแขนงอน ๆ อกดวย

ในระดบประถมศกษา ผเรยนจะไดเรยนรเรขาคณตทเกยวของกบชวตจรง และเปนพนฐานในการเรยนรในระดบสงขน โดยเรมจากเนอหาท ผเรยนสามารถเรยนรหลกการทางเรขาคณตไดจากประสบการณ หรอจากการทดลองกบสงทเปนรปธรรมหลาย ๆ กรณ



44

เพอน าไปสการสรปหลกการทส าคญ มการบอกหรออธบายเหตผล แตยงไมถงขนการพสจน ลกษณะเนอหาดงกลาวอาจเรยกวา Informal Geometry หากพจารณาเนอหาสาระของเรขาคณตในระดบประถมศกษาพบวา สามารถจ าแนกออกไดเปน 3 สวน คอ

สวนท 1 ระนาบ จด เสนตรง สวนของเสนตรง รงส มม เสนขนาน สวนท 2 รปเรขาคณตสองมต สวนท 3 รปเรขาคณตสามมต

เพอใหผเรยนมความรความเขาใจเรขาคณต สามารถใชความรและเชอมโยงความรเรขาคณตกบความรแขนงอน ๆ ได ผเรยนจะตองลงมอปฏบตกจกรรมการเรยนรตาง ๆ โดยเรมจากกจกรรมงาย ๆ ไปสสถานการณททาทาย ผเรยนจะตองท าการสบคน ทดลอง และส ารวจสงทอยรอบตว เชน ฝกการมองภาพ วาดภาพ เปรยบเทยบรปรางในต าแหนงตาง ๆ กนกจกรรมดงกลาวนจะชวยพฒนาความสามารถทางมตสมพนธ หรอความรสกเชงปรภม (Spatial sense) ความรสกเชงปรภม มาจากค าวา Spatial sense ในภาษาองกฤษ spatial มาจากค าวา space ในภาษาไทยใชค าวา “ ปรภม ” ในทนหมายถงสงตาง ๆ รวมทงอาณาบรเวณซงทกสงทกอยางด ารงอย เคลอนไหว และเคลอนท หรออกนยหนงคอมตทเราอาศยอยนนเอง sense เปนความรสกทเรารบรผานทางประสาททงหา ซงไดแก การมองเหน การไดยน การรบรกลน การรบรรส และการสมผส ประกอบกบความรความเขาใจอยางลกซงเกยวกบสงใดสงหนง อนจะน าไปสการตดสนใจทสมเหตสมผล

สรป ความรสกเชงปรภม หรอ Spatial sense จงเปนความสามารถของบคคลในการรบรและเขาใจอยางลกซงเกยวกบสงตาง ๆ รอบตว รวมทงอาณาบรเวณซงทกสงทกอยางด ารงอย เคลอนไหว และเคลอนทรวมถงความสามารถในการนกภาพ หรอจนตนาการ การเคลอนยาย การหมน การพบ หรอการใชสอ หรอแบบจ าลอง

เดกเรยนรดวยตนเองเกยวกบธรรมชาตของการเคลอนไหว จบตองและการปฏสมพนธกบสงตาง ๆ รอบตวเปนสวนหนงของความรสกเชงปรภม ในการพฒนาความรสกเชงปรภมเดกจ าเปนจะตองไดรบประสบการณทหลากหลาย อาจกลาวไดวา ความรสกเชงปรภม เปนความสามารถในการรบรและเขาใจเกยวกบ ขนาด รปราง ต าแหนง ทศทาง ระยะทาง และความสมพนธของรปและสงตาง ๆ ความรสกเชงปรภมเปนทกษะทมอยในทกคน ตางกนทระดบความมากนอย ทงนขนอยกบปจจยหลายดาน เชน สภาพแวดลอม ลกษณะการอบรมเลยงดของครอบครว กจกรรมการสอนในโรงเรยน



45

2. รปเรขาคณตสามมตและรปคลของรปเรขาคณตสามมต

การเรยกชอ ปรซม เรยกตามลกษณะของรปหลายเหลยมทเปนหนาตดหรอฐาน เชน ปรซมหกเหลยม จะมหนาตดหรอฐานเปนรปหกเหลยม ปรซมแปดเหลยม จะมหนาตดหรอฐานเปนรปแปดเหลยม

รปเรขาคณตสามมตทมหนาตด (ฐาน) ทงสองดานเปน รปหลายเหลยมทเทากนทกประการ และอยในระนาบท ขนานกน มหนาขางเปนรปสเหลยมดานขนาน เรยกวา ปรซม

ปรซม ทมหนาทกหนาเปนรปสเหลยมมมฉาก เรยกวา ปรซมสเหลยมมมฉาก หรอ ทรงสเหลยมมมฉาก

ปรซมทมหนาตด (ฐาน) เปนรปสามเหลยม เรยกวา ปรซมสามเหลยม

ปรซมทมหนาตด (ฐาน) เปนรปหาเหลยม เรยกวา ปรซมหาเหลยม

รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนรปหลายเหลยม มยอดแหลมซงไมอยบนระนาบเดยวกบฐาน และมหนาขางเปนรปสามเหลยม เรยกวา พระมด

พระมดทมฐานเปนรปสเหลยม เรยกวา พระมดฐานสเหลยม

พระมดทมฐานเปนรปสามเหลยม เรยกวา พระมดฐานสามเหลยม



46

7.4 วทยากรน ากลองทรงสเหลยมมมฉากมาคลใหผรบการอบรมด ( อธบายเพมเตมเกยวกบสวนเกนทเปนลนใชส าหรบทากาวเพอประดษฐเปนกลอง) ผรบการอบรมควรสรปไดวา รปคลของ ทรงสเหลยมมมฉาก ประกอบดวย รปสเหลยมมมฉากทเปนดานขาง 4 รป หนาตดเปนรปสเหลยม มมฉาก 2 รป และรปคลของทรงสเหลยมมมฉากสามารถเขยนไดหลายแบบ เชน

การเรยกชอพระมด เรยกตามลกษณะของรปหลายเหลยมทเปนฐาน เชน พระมดฐานหาเหลยม จะมฐานเปนรปหาเหลยม

รปเรขาคณตสามมตทมหนาตดหรอฐานทงสองขาง เปนรปวงกลมทเทากนทกประการและอยบนระนาบ ทขนานกน มผวขางเรยบโคง เรยกวา ทรงกระบอก

รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนรปวงกลม มยอดแหลม ซงไมอยบนระนาบเดยวกบฐาน มผวขางโคงเรยบ เรยกวา กรวย

รปเรขาคณตสามมตทมผวโคงเรยบ ทก ๆ จดบนผว อยหางจากจดศนยกลาง เทากน เรยกวา ทรงกลม

ปรซม หรอทรงสเหลยมมมฉากทมทกดานเปน รปสเหลยมจตรส เรยกวา ลกบาศก

พระมดทมฐานเปนรปหกเหลยม เรยกวา พระมดฐานหกเหลยม



47

รปคลของรปเรขาคณตสามมต



48



49

ปรบรปสเหลยมซายสดเปนลนส าหรบตดกาว



50



51


5. ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก คณตศาสตรประถมศกษา

52

5. ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก จดประสงคของการอบรม เพอใหผเขารบการอบรม

1. ไดรบความรความเขาใจเกยวกบการหาปรมาตรหรอความจของทรงสเหลยมมมฉาก 2. ไดแนวทางในการจดกจกรรมการเรยนการสอนเรองการหาปรมาตรหรอความจของทรงสเหลยมมมฉาก

สาระส าคญ/ความคดรวบยอด 1. การคาดคะเนปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก เปนการบอกปรมาตรทรงสเหลยมมมฉาก

ใหไดใกลเคยงปรมาตรจรงโดยไมใชเครองมอ ซงอาจท าไดโดยการคาดคะเนความกวาง ความยาว และความสง แลวหาผลคณ

2. ลกบาศกทมปรมาตร 1 ลกบาศกหนวย จะเรยกวา ลกบาศกหนวย 3. ปรมาตร 1 ลกบาศกหนวยเทากบปรมาตรของลกบาศกทมความกวาง ความยาว และ

ความสง ยาว 1 หนวยเทากน 4. ลกบาศกหนวยเปนหนวยในการวดปรมาตร ปรมาตร 1 ลกบาศกหนวยเทากบปรมาตรของ

ทรงสเหลยมมมฉากทกวาง 1 หนวย ยาว 1 หนวย สง 1 หนวย 5. หนวยในการวดปรมาตร เชน ลกบาศกหนวย ลกบาศกเมตร ลกบาศกเซนตเมตร 6. การหาความจของทรงสเหลยมมมฉากเปนการหาปรมาตรภายในของทรงสเหลยมมมฉาก

ทกลวง 7. การหาปรมาตรหรอความจของทรงสเหลยมมมฉากหาไดจาก

ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว ความสง หรอปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = พนทฐาน ความสง

การหาปรมาตรหรอความจของทรงสเหลยมมมฉาก

การสอนการหาปรมาตรหรอความจของทรงสเหลยมมมฉาก ครอาจจดกจกรรมโดยน าแทงไมลกบาศกขนาด 1 ลกบาศกหนวยมาใหนกเรยนพจารณาและอภปราย เพอใหนกเรยนเหนวา แทงไมเปนทรงสเหลยมมมฉากทมความกวาง ความยาว และความสงเทากน ซงทรงสเหลยมมมฉากทมความกวาง ความยาว และความสงเทากน เรยกวา ลกบาศก จากนน ครแนะน าวา ลกบาศกทม ความกวาง 1 หนวย ความยาว 1 หนวย และความสง 1 หนวย นนกลาวไดวาม ปรมาตร 1 ลกบาศกหนวย

ลกบาศกทมความกวาง 1 หนวย ความยาว 1 หนวย ความสง 1 หนวย มปรมาตร 1 ลกบาศกหนวย

1 หนวย 1 หนวย

1 หนวย


คณตศาสตรประถมศกษา 5. ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก

53

เมอนกเรยนรจกลกบาศกหนวยวาหนวยทใชวดปรมาตรแลว ครน าลกบาศกหนวยหลาย ๆ ลกมาวางเรยงกนเปนทรงสเหลยมมมฉากขนาดตาง ๆ ใหนกเรยนหาปรมาตรโดยการนบจ านวนลกบาศกหนวย จนนกเรยนไดขอสรปวา จ านวนลกบาศกทนกเรยนนบไดแตละครง เรยกวา ปรมาตรของทรงสเหลยม มมฉาก

ทรงสเหลยมมมฉากนมปรมาตรเทากบลกบาศกหนวย 4 ลก

ดงนน ทรงสเหลยมมมฉากนมปรมาตร 4 ลกบาศกหนวย

การแนะน าลกบาศกเซนตเมตร ท าไดโดยน าลกบาศกขนาด 1 ลกบาศกเซนตเมตรมาใหนกเรยนวดความกวาง ความยาว และความสง กอนจะสรปวาลกบาศกทมความกวาง 1 เซนตเมตร ความยาว 1 เซนตเมตร และความสง 1 เซนตเมตร กลาวไดวา มปรมาตร 1 ลกบาศกเซนตเมตร

ปรมาตร 1 ลกบาศกเซนตเมตร คอปรมาตรของลกบาศกทม ความยาว 1 เซนตเมตร ความกวาง 1 เซนตเมตร

และ ความสง 1 เซนตเมตร

ในท านองเดยวกนถาลกบาศกมความกวาง ความยาว และความสงดานละ 1 เมตร จะมปรมาตร 1 ลกบาศกเมตร

การแนะน าใหนกเรยนรจกสตรการหาปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉากท าไดโดยใหนกเรยนวางเรยงลกบาศกใหเปนทรงสเหลยมมมฉากทมความกวาง ความยาว และความสงตาง ๆ กน นบลกบาศกเพอหาปรมาตร แลวบนทกความกวาง ความยาว ความสง และปรมาตรทไดลงในตารางบนทกผล จากนนน าผลทไดมาอภปรายหาความสมพนธของความกวาง ความยาว และความสงกบปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉากจนไดขอสรปวา

ปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว ความสง

เมอนกเรยนทราบสตรการหาปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉากแลว ครจดกจกรรมเพอใหนกเรยนแทนคาความกวาง ความยาว และความสงของทรงสเหลยมมมฉากในสตรไดถกตอง โดยน าภาพทรงสเหลยมมมฉากในลกษณะตาง ๆ มาใหนกเรยนวด และบอกความกวาง ความยาว และความสง พรอมทงหาปรมาตรของแตละรป

1 ซม. 1 ซม.

1 ซม.



54

การแนะน าเพอใหนกเรยนใชค าวา “ปรมาตร” และ “ความจ” ไดอยางถกตอง ท าไดโดยน าสงของทเปนทรงสเหลยมมมฉากทมลกษณะตน (เชน แทงไม) และทรงสเหลยมมมฉากทมลกษณะกลวง (เชน กลองชอลก) มาใหนกเรยนสงเกตวาเหมอนกนหรอตางกนอยางไร โดยใหพจารณาสงของหลาย ๆ ชนด นกเรยนควรจะบอกไดวาแทงไมกบกลองชอลก มลกษณะเปนทรงสเหลยมมมฉากเหมอนกนแตแทงไมมลกษณะตน กลองชอลกมลกษณะกลวง ซงสามารถบรรจสงของลงไปได จากนนใหน าแทงไมลกบาศกขนาด 1 ลกบาศกหนวยบรรจในกลองกระดาษขนาดตาง ๆ ใหเตม แลวนบจ านวนลกบาศก จ านวนลกบาศกทใสลงในกลองแลวเตมกลองพอดบอกความจของกลอง เชน

การหาความจของทรงสเหลยมมมฉากเปนการหาปรมาตรภายในของทรงสเหลยมมมฉากทกลวง ดงนนจะหาความจของทรงสเหลยมมมฉากไดจงตองรความกวาง ความยาว และความสงภายใน และใชสตร

ความจของทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว ความสง ซงครควรก าหนดขอตกลงกบนกเรยนวา ถาทรงสเหลยมมมฉากท าจากวสดทไมหนา เชน กระดาษ หรอพลาสตก จะถอวาขนาด (ความกวาง ความยาว และความสง) ภายในและขนาดภายนอกมคาเทากนหรอใกลเคยงกน

1 หนวย


1 หนวย


น าลกบาศกหนวยใสลงในกลองได 9 ลก จงเตมกลองพอด กลองใบนมความจ 9 ลกบาศกหนวย


คณตศาสตรประถมศกษา 5. แบบรป และการแกปญหาโดยใชแบบรป

55

6. แบบรป และการแกปญหาโดยใชแบบรป


ความหมายของแบบรป แบบรปของจ านวน แบบรปของรปเรขาคณต และแบบรปของรปอน ๆ การแกปญหาโดยใชแบบรป

2. ไดแนวทางการจดกจกรรมการเรยนรเรอง แบบรป การแกปญหาโดยใชแบบรป สาระส าคญ/ความคดรวบยอด

1. ชดของสงของ รปเรขาคณตและรปอน ๆ ทมความสมพนธกนอยางใดอยางหนงในลกษณะของรปราง ขนาด หรอ สเปนแบบรป

2. แบบรปของจ านวน เปนชดของจ านวนทมความสมพนธกนอยางใดอยางหนง 3. แบบรปของรปเรขาคณต และแบบรปของรปอน ๆ เปนชดของรปเรขาคณตหรอรปอน ๆท

มความสมพนธกนอยางใดอยางหนง 4. เมอก าหนดแบบรปของจ านวน แบบรปของรปเรขาคณต หรอรปอน ๆ ทมความสมพนธกน

อยางใดอยางหนง หรอมความสมพนธกนในลกษณะของรปราง ขนาด หรอสให สามารถบอกจ านวนหรอบอกรปตอไปทอยในแบบรปนน และบอกความสมพนธได

5. สถานการณบางสถานการณหรอปญหาบางปญหา สามารถแกไดโดยใชความรเรองแบบรป



56

สาระการเรยนร เรองแบบรปและความสมพนธในระดบประถมศกษา

ประถมศกษาปท 1 แบบรปของจ านวนทเพมขนทละ 1 และทละ 2 แบบรปของจ านวนทละลงทละ 1 แบบรปของรปเรขาคณต และรปอน ๆ ทสมพนธกนในลกษณะของรปรางหรอขนาด หรอส

ประถมศกษาปท 2 แบบรปของจ านวนทเพมขนทละ 5 ทละ 10 และทละ 100 แบบรปของจ านวนทลดลงทละ 2 ทละ 10 และทละ 100 แบบรปของรปเรขาคณต และรปอน ๆ ทสมพนธกนในลกษณะของรปรางหรอขนาด หรอส

ประถมศกษาปท 3 แบบรปของจ านวนทเพมขนทละ 3 ทละ 4 ทละ 25 ทละ 50 แบบรปของจ านวนทลดลงทละ 3 ทละ 4 ทละ 5 ทละ 25 ทละ 50 แบบรปของจ านวนทเปนแบบรปซ า แบบรปของรปเรขาคณต และรปอน ๆ

ประถมศกษาปท 4 แบบรปของจ านวนนบทเพมขนทละเทา ๆ กน แบบรปของจ านวนทลดลงทละเทา ๆ กน แบบรปของรปเรขาคณตและแบบรปอน ๆ

ประถมศกษาปท 5 แบบรปของจ านวน การเขยนประโยคสญลกษณแสดงความสมพนธของสถานการณหรอปญหา

ประถมศกษาปท 6 การแกปญหาโดยใชแบบรป

1. ความหมายของแบบรป

“แบบรปเปนการแสดงความสมพนธของสงตาง ๆ รปเรขาคณต รปอน ๆ หรอจ านวน ดวยการน าสงเหลานมาเรยงล าดบกนตามกฎเกณฑทก าหนด เมอทราบกฎเกณฑหรอความสมพนธทก าหนดในแตละแบบรป เรากจะสามารถบอก คาดเดาหรอคาดการณไดวา สงตาง ๆ รปเรขาคณต รปอน ๆ หรอจ านวนในล าดบตอไปคออะไร”

การสอนเรอง แบบรป การแกปญหาแบบรปในชนประถมศกษานน มจดประสงคเพอฝกใหนกเรยนไดศกษา สงเกต จ านวน รปอน ๆ และพจารณาวเคราะหหาความสมพนธของจ านวนรปเรขาคณต หรอ รปอน ๆ ในแบบรปวามความสมพนธกนอยางไร ฝกการคาดเดา และการตรวจสอบวา จ านวน รปเรขาคณต



57

หรอรปอน ๆ ทตนเองคาดเดานนถกตองหรอไม พรอมทงบอกแนวคดในการคาดเดาและแสดงการตรวจสอบวาค าตอบทตนเองเดานน ถกตองหรอไม ไดอยางเปนระบบ มเหตผลทสมเหตสมผล ฝกการเชอมโยงความร ฝกคด และวางแผนการท าความรคณตศาสตรทกสาระ ไปประยกตใช แกปญหาอยางเปนระบบ สอสารไดชดเจนและสมเหตสมผล ซงเปนคณลกษณะอนพงประสงคทควรปลกฝงใหเกดขนกบนกเรยน 2. แบบรปของจ านวน 2.1 แบบรปของจ านวนนบ

แบบรปท 1 5, 13, 21, 29, . . .

พจารณา จ านวนในล าดบท 1 คอ 5 ไดจาก 5 + [(1 – 1) 8]

จ านวนในล าดบท 2 คอ 13 ไดจาก 5 + [(2 – 1) 8]

จ านวนในล าดบท 3 คอ 21 ไดจาก 5 + [(3 – 1) 8]

จ านวนในล าดบท 4 คอ 29 ไดจาก 5 + [(4 – 1) 8] แบบรปนมความสมพนธคอ เพมขนทละ 8 เทา ๆ กน โดยเรมตนท 5 จ านวนในล าดบท 5 คอ 37 จ านวนในล าดบท 6 คอ 45 จ านวนในล าดบท 7 คอ 53 แบบรปท 2 200, 180, 160, 140, . . . , 20 พจารณาพบวา 200, 180, 160, 140, ... , 20 แบบรปนมความสมพนธ คอ ลดลงทละ 20 เทา ๆ กน โดยเรมตนจาก 200 และสนสดท 20 แบบรปนมจ านวนทงหมด 10 จ านวน จ านวนในล าดบสดทายในแบบรปนคอ 20 จ านวนในล าดบท 8 แบบรปนคอ 60 แบบรปท 3 1, 3, 5, 7, . . . , 99 พจารณา 1, 3, 5, 7, 9, ... , 99

ลดลง 20 ลดลง 20 ลดลง 20

เพมขน 2 เพมขน 2 เพมขน 2 เพมขน 2



58

จ านวนในล าดบท n เมอ n เปนจ านวนนบทเรมตงแต 1, 2, 3, ... จ านวนในล าดบท 1 คอ 1 ไดจาก (2 1) – 1 จ านวนในล าดบท 2 คอ 3 ไดจาก (2 2) – 1 จ านวนในล าดบท 3 คอ 5 ไดจาก (2 3) – 1 จ านวนในล าดบท 4 คอ 7 ไดจาก (2 4) – 1 จ านวนในล าดบท n คอ 2n –1 ไดจาก (2 n) – 1 ; n = 1, 2, 3, …

จ านวนในล าดบท 10 (n = 10) ไดจาก (2 10) – 1 = 19 จ านวนในล าดบท 35 (n = 35) ไดจาก (2 35) – 1 = 69

ถาตองการหาวาแบบรปนมกจ านวน อาจหาไดโดยใหจ านวนในล าดบท n = 99 ดงนน 99 = (2 n) – 1

99 + 1 = (2 n) – 1 + 1 (สมบตการเทากนของการบวก) 100 = (2 n)

1002 = 2×n

2 (สมบตการเทากนของการหาร)

50 = n จะไดวา แบบรปนมทงหมด 50 จ านวน (เนองจาก จ านวนนบตงแต 1 – 100 ม 100 จ านวน

จ านวนค 50 จ านวน และจ านวนค 50 จ านวน) สรป แบบรปนมความสมพนธแบบ เพมขนทละ 2 เทา ๆ กน โดยเรมตนจาก 1 ถง 99 แบบรปนมทงหมด 50 จ านวน จ านวนในล าดบท 10 คอ 19

จ านวนในล าดบท 35 คอ 69

แบบรปท 4 2 , 4, 6, 8, . . . พจารณา 2, 4, 6, 8, . . .

จาก จ านวนในล าดบท 1 คอ 2 ไดจาก 2 1

จ านวนในล าดบท 2 คอ 4 ไดจาก 2 2 จ านวนในล าดบท 3 คอ 6 ไดจาก 2 3 จ านวนในล าดบท 4 คอ 8 ไดจาก 2 4

จ านวนในล าดบท n คอ 2n ไดจาก 2 n ; n = 1, 2, 3, …

1

1

เพมขน 2 เพมขน 2 เพมขน 2



59

ดงนน จ านวนในล าดบท 10 (n = 10) ไดจาก 2 10 = 20 จ านวนในล าดบท 100 (n = 100) ไดจาก 2 100 = 200 จ านวนในล าดบท 350 (n = 350) ไดจาก 2 350 = 700 แบบรปนมความสมพนธแบบเพมขนทละ 2 เทา ๆ กน โดยเรมตนท 2

จากแบบรปของจ านวนนบขางตน อาจกลาวไดวา ชดของจ านวนนบทเรยงล าดบจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย โดยทผลตางของสองจ านวนทอยตดกนเทากนเสมอ เปนแบบรปอยางหนงของ จ านวนนบ กลาวไดวาเปนแบบรปของจ านวนนบทเพมขนหรอลดลงทละเทา ๆ กน ขอควรระวง ถาแบบรปใดมจ านวนสดทาย ตองเขยนจ านวนสดทายดวยเสมอ แตถาแบบรปใด ไมมจ านวนสดทาย หรอมจ านวนตอไปเรอย ๆ ไมสนสดใหเขยนสญลกษณ “. . .” เชน 5, 10, 15, 20, 25, . . . (เปนแบบรปทไมมจ านวนสดทาย) 54, 50, 46, 42, 38, . . . , 2 (เปนแบบรปทมจ านวนสดทายคอ 2)

แบบรปท 5 2, 5, 9, 14, 20, 27, เปนแบบรปของจ านวนนบทมความสมพนธแบบเพมขน แตการเพมขนในแตละครง

ไมเทากน พจารณาความสมพนธระหวางจ านวนนบสองจ านวนทอยในล าดบตดกนในแบบรปน ดงน 2 5 9 14 20 27

เพมขน 3 เพมขน 4 เพมขน 5 เพมขน 6 เพมขน 7 เพมขน 8

เขยนแสดงความสมพนธของจ านวนในแบบรปไดดงน จ านวนในล าดบท 1 คอ 2 จ านวนในล าดบท 2 คอ 5 ไดจาก 2 + 3 = 2 + (2 + 1) จ านวนในล าดบท 3 คอ 9 ไดจาก 5 + 4 = 5 + (3 + 1) จ านวนในล าดบท 4 คอ 14 ไดจาก 9 + 5 = 9 + (4 + 1) จ านวนในล าดบท 5 คอ 20 ไดจาก 14 + 6 = 14 + (5 + 1) จ านวนในล าดบท 6 คอ 27 ไดจาก 20 + 7 = 20 + (6 + 1) จ านวนในล าดบท 7 แทนดวย ไดจาก 27 + (7 + 1) = 35 ดงนน แบบรปน คอ 2, 5, 9, 14, 27, 35



60

แบบรปท 6 300, 290, 270, 240, 200, , , พจารณาความสมพนธระหวางจ านวนนบสองจ านวนทตดกน ดงน

300 290 270 240 200

ลดลง 10 ลดลง 20 ลดลง 30 ลดลง 40 ลดลง 50 ลดลง 60 ลดลง 70

จ านวนในล าดบท 1 คอ 300 จ านวนในล าดบท 2 คอ 290 ไดจาก 300 – 10 จ านวนในล าดบท 3 คอ 270 ไดจาก 290 – 20 จ านวนในล าดบท 4 คอ 240 ไดจาก 270 – 30 จ านวนในล าดบท 5 คอ 200 ไดจาก 240 – 40 จ านวนในล าดบท 6 แทนดวย ไดจาก 200 – 50 = 150

จ านวนในล าดบท 7 แทนดวย ไดจาก 150 – 60 = 90 จ านวนในล าดบท 8 แทนดวย ไดจาก 90 – 70 = 20 ดงนน แบบรปน คอ 300, 290, 270, 240, 200, 150, 90, 20

แบบรปท 7 20, 12, 30, 13, 40, 14, 50, 15, . . . เปนแบบรปทมความสมพนธ คอ จ านวนในล าดบท 1 จ านวนในล าดบท 3 จ านวนใน

ล าดบท 5 และจ านวนในล าดบท 7 มความสมพนธแบบเพมขนทละ 10 เทา ๆ กน โดยเรมจาก 20 จ านวนในล าดบท 2 จ านวนในล าดบท 4 จ านวนในล าดบท 6 และจ านวนในล าดบท 8

มความสมพนธแบบเพมขนทละ 1 เทา ๆ กน โดยเรมจาก 12 จากแบบรปน จ านวนในล าดบท 9 จ านวนในล าดบท 11 และจ านวนในล าดบท 13

คอ 60, 70, 80 ตามล าดบ จ านวนในล าดบท 10 จ านวนในล าดบท 12 และจ านวนในล าดบ ท 14 คอ 16, 17, 18

2.2 แบบรปของเศษสวน

แบบรปท 8 1 2 3 4, , , , . . .5 5 5 5

แบบรปนมความสมพนธ คอ ตวเศษเพมขนทละ 1 เทา ๆ กน โดยเรมจาก 1 ตวสวนคงเดม

คอ 5 ทกจ านวน หรออาจกลาวไดวา แบบรปนมความสมพนธแบบเพมขนทละ 15 เทา ๆ กน โดย

เรมตนจาก 15

จ านวนในล าดบท 50 ของแบบรปน คอ 505 = 10



61

แบบรปท 9 1 1 1 1 1 1, , , , , , . . .2 4 6 8 10 12

แบบรปนมความสมพนธ คอ ตวเศษคงท คอ 1 ตวสวนเปน 2 เทาของตวสวนของ จ านวนกอนหนาทอยตดกน อาจพจารณาความสมพนธของจ านวนในแบบรปนไดดงน

จากจ านวนในล าดบท 1 คอ 12 ไดจาก 1

2×1

จ านวนในล าดบท 2 คอ 14 ไดจาก 1

2×2


2×3


2×4

จ านวนในล าดบท k ไดจาก 12×k = 1

2k ; k แทนล าดบทของจ านวน

จ านวนท 500 คอ 12×500 = 1

1000

แบบรปท 10 3 , 4 3 2 12 , 2 , 2 , 2 , ...5 5 5 5

ถาทกจ านวนในแบบรปนเปนจ านวนมากกวาศนย 1) แบบรปนมจ านวนทงหมด 15 จ านวน

2) จ านวนในล าดบสดทายในแบบรปนคอ 15

3) จ านวนในล าดบท 9 คอ 125

4) จ านวนในแบบรปนมความสมพนธคอ ลดลงทละ 15 เทา ๆ กน โดยเรมตน

จาก 3 และจ านวนสดทายคอ 15

2.3 แบบรปของทศนยม แบบรปท 11 3 , 3.25 , 3.50 , 3.75 , 4 , 4.25 ,

แบบรปนมความสมพนธคอ เพมขนทละ 0.25 เทา ๆ กน โดยเรมตนท 3 และจ านวนทแทนดวย คอ 450 แบบรปท 12 10.25 , 8.75 , 7.25 , 5.75 , 4.25 , 2.75 , แบบรปนมความสมพนธคอ ลดลงทละ 1.5 เทา ๆ กน โดยเรมตนท 10.25 และจ านวนทแทนดวย คอ 1.25



62

3. แบบรปของรปเรขาคณตและแบบรปของรปอน ๆ

3.1 แบบรปของรปเรขาคณต แบบรปท 13 แบบรปน เปนแบบรปของรปสามเหลยมทมขนาดเทากนแตสตางกน คอรปสามเหลยม สเขยวและรปสามเหลยมสแดงสลบกน แบบรปท 14 แบบรปน เปนแบบรปของรปเรขาคณตสองมต โดยมรปสามเหลยมสฟา และรปสเหลยมจตรสสสมวางสลบกน รปเรขาคณตในแบบรปนมความสมพนธกน คอ ตางรปราง และตางส แบบรปท 15 แบบรปน เปนแบบรปของรปเรขาคณตสามมต มความสมพนธคอตางส ตางรปราง ซ ากนเปนชด ชดละสามรป คอ รปทรงกระบอกสเหลอง รปกรวยสสม และรปทรงสเหลยม มมฉากสเขยว

3.2 แบบรปของรปอน ๆ เชน ภาพลวดลายผา ลายเหลกดด เปนแบบรปทมความสมพนธแบบตางส ตางรปราง ตางขนาด ซงสามารถบอกความสมพนธ บอกภาพหรอบอกจ านวนภาพในล าดบท ก าหนดได ตวอยางเชน

แบบรปท 16



เขยว แดง เขยว เขยว แดง

ฟา สม ฟา ฟา สม สม

เหลอง สม เขยว เหลอง สม เขยว เหลอง สม เขยว



63

4. การแกปญหาโดยใชแบบรป ตวอยางท 1 1) พจารณาแบบรปตอไปน แถวท 1 1 แถวท 2 1 2 1 แถวท 3 1 2 3 2 1 แถวท 4 1 2 3 4 3 2 1 แถวท 5 1 2 3 4 5 4 3 2 1 แถวท 6 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 2) แถวท 10 มจ านวนเตม 19 จ านวน 3) แถวท n มจ านวนเตม 2n – 1 จ านวน เมอ n เปนจ านวนนบเรมตงแต 1, 2, 3, ... 4) เขยนแสดงแนวคดในการหาจ านวนในแถวท n ไดดงน แนวคด แถวท 1 ม 1 จ านวน เขยนไดเปน 1 = (2 1) – 1 จ านวน แถวท 2 ม 3 จ านวน เขยนไดเปน 3 = (2 2) – 1 จ านวน แถวท 3 ม 5 จ านวน เขยนไดเปน 5 = (2 3) – 1 จ านวน แถวท 4 ม 7 จ านวน เขยนไดเปน 7 = (2 4) – 1 จ านวน แถวท 5 ม 9 จ านวน เขยนไดเปน 9 = (2 5) – 1 จ านวน แถวท 6 ม 11 จ านวน เขยนไดเปน 11 = (2 6) – 1 จ านวน แถวท n ม (2 n) – 1 จ านวน = 2n – 1 จ านวน 5) ถาให n แทนล าดบทของแถว r แทนจ านวนในแถวท n สามารถเขยนประโยคสญลกษณแสดงความสมพนธระหวาง r กบ n โดยพจารณา จากขอ 4 แถวท n มจ านวนทงหมด (2 n) – 1 จ านวน เขยนประโยคสญลกษณได r = (2 n) – 1 6) แถวท 100 ม 199 จ านวน 7) เขยนแสดงแนวคดในการหาค าตอบของขอ 6 ไดดงน แนวคด จากขอ 5 r = 2n – 1 แทน n ดวย 100 จะได r = (2 100) – 1 = 199 จ านวน



64

8) เขยนแสดงแนวคดในการหาค าตอบวา 265 พบครงแรกอยในแถวทเทาใด ไดดงน แนวคด แถวท 1 1

แถวท 2 1 2 1 แถวท 3 1 2 3 2 1 แถวท 4 1 2 3 4 3 2 1 แถวท 5 1 2 3 4 5 4 3 2 1 แถวท 6 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

จากแถวท 1 – 5 จ านวนทอยตรงกลางของแตละแถว เหมอนกบจ านวนทแทนล าดบทของแถวนน และเปนจ านวนทมากทสดของแถว เชน 2 เปนจ านวนทอยตรงกลางของแถวท 2 3 เปนจ านวนทอยตรงกลางของแถวท 3 3 เปนจ านวนทอยตรงกลางของแถวท 4 ดงนน 265 เปนจ านวนทอยตรงกลางของแถวท 265 ตอบ 265 พบครงแรกอยในแถวท 265 9) ถาน าตวเลขจากแถวท 1, 2, 3 เรยงตอกนตามล าดบเชนนเรอยไป อยากทราบวา ตวเลขตวท 2009 1 1 2 1 1 2 3 2 1 คอตวเลขใด สมมตจะหาวาตวท 108 คอ ตวเลขใด ใหพจารณาตวเลข 1 ในแตละแถวจะพบวา 1

1 2 1 ตวท 4 = 22 (ไดจากแถวท 2) 1 2 3 2 1 ตวท 9 = 32 (ไดจากแถวท 3)

1 2 3 4 3 2 1 ตวท 16 = 42 (ไดจากแถวท 4) 1 2 3 4 5 4 3 2 1 ตวท 25 = 52 (ไดจากแถวท 5)

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 ตวท 36 = 62 (ไดจากแถวท 6) 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 ตวท 49 = 72 (ไดจากแถวท 7) 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1 ตวท 64 = 82 (ไดจากแถวท 8)

1 ตวท 100 = 102 (ไดจากแถวท 10)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ตวท 121 = 112 (ไดจากแถวท 11)

จากแถวท 1 จากแถวท 2 จากแถวท 3



65

แสดงวา ตวท 108 อยแถวท 11 ซงกคอ ตวเลข 8 จากแนวคดขางตนนจะได ตวเลขตวท 2009 คอ 17 ตวอยางท 2 จงหาจ านวนจดตดทมากทสด ทเกดจากสวนของเสนตรง 100 เสน ตดกน

หาจ านวนจดตดทมากทสด ไดดงน

จากตารางจ านวนสวนของเสนตรง 100 เสน จะมจ านวนจดตดกนมากทสด = 100× (100 -1)2

= 4,950 จด

รปท 1 รปท 2 รปท 3

จ านวนสวนของเสนตรง (N) จ านวนจดตดทมากทสด (P) 1 0 2 1 = 2×1

2 = 2 (2 - 1)2

3 3 = 3 22 = 3× (3 -1)

2

4 6 = 4×32 = 4 (4 1)

2

5 10 = 5×42 = 5 (5 - 1)

2

6 15 = 6×52 = 6× (6 -1)

2

7 21 = 7×62 = 7× (7 -1)

2

n

n (n 1)2



66

ตวอยางท 3 จงหาผลบวกของจ านวนคทงหมด ตงแต 1 ถง 999 แนวคดท 1 จากโจทยเขยนไดเปน 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 999 =

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 993 + 995 + 997 + 999 7 + 993 = 1000 5 + 995 = 1000 3 + 997 = 1000 1 + 999 = 1000 พจารณาจ านวนนบตงแต 1 ถง 1000 ม 1000 จ านวน เปนจ านวนค 500 จ านวน และจ านวนค 500 จ านวน มจ านวนนบสองจ านวนบวกกนไดผลบวกเทากบ 1000 ทงหมด 250 ค

ดงนน 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 993 + 995 + 997 + 999 = 250 1000 = 250,000 จะได ผลบวกของจ านวนคทงหมดตงแต 1 ถง 999 เทากบ 250,000

แนวคดท 2 จาก 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 999 มจ านวนคบวกกนทงหมด 500 จ านวน ผลบวกของจ านวนค 1 จ านวนแรก คอ 1 = 1 = 12 ผลบวกของจ านวนค 2 จ านวนแรก คอ 1 + 3 = 4 = 22 ผลบวกของจ านวนค 3 จ านวนแรก คอ 1 + 3 + 5 = 9 = 32 ผลบวกของจ านวนค 4 จ านวนแรก คอ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 ผลบวกของจ านวนค 5 จ านวนแรก คอ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52

ผลบวกของจ านวนค 500 จ านวนแรก คอ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 999 = 5002 = 250,000 ขอสงเกต ผลบวกของจ านวนค n จ านวนแรก คอ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n – 1) = n2 แนวคดท 3 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 993 + 995 + 997 + 999 999 + 997 + 995 + 993 + ... + 7 + 5 + 3 + 1 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000 + 1000 + 1000

มผลบวกเทากบ 1000 ทงหมด 500 จ านวน ไดผลบวกทงหมด = 500 1000

ดงนน 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 999 = 500×10002 = 250,000



67

ตวอยางท 4 หาผลลพธของ 1 – 12 – 1

4 – 18 – 1

16 – 132 – ... – 1

512 =

แนวคด จาก 1 – 12 – 1

4 – 18 – 1

16 – 132 – 1

64 – 1128 – 1

256 – 1512 =

( 12 – 1

4 ) – 18 – 1

16 – 132 – 1

64 – 1128 – 1

256 – 1512 =

( 14 – 1

8 ) – 116 – 1

32 – 164 – 1

128 – 1256 – 1

512 =

( 18 – 1

16 ) – 132 – 1

64 – 1128 – 1

256 – 1512 =

1256 – 1

512 =

ดงนน 1 – 12 – 1

4 – 18 – 1

16 – 132 – ... – 1

512 = 1512

ตวอยางท 5 ในงานเลยงสงสรรคครงหนง คนทมารวมงานจะจบมอทกทายกนทกคน ดงตารางตอไปน

จ านวนคนทมารวมงาน (N)

จ านวนครงท จบมอกน (H)

แผนภาพแทนการจบมอของผทมารวมงาน

จ านวนจด (D)

จ านวนสวนของเสนตรง (E)

1

0 1 0

2

1 2 1

3

3 3 3

4

6 4 6

5

10 5 10

6

15 6 15

7

21 7 21



68

(1) หาความสมพนธระหวาง จ านวนคนทมารวมงาน (N) กบจ านวนจด (D) จะได D = N (2) หาความสมพนธระหวางจ านวนครงทมการจบมอ (H) และจ านวนสวนของเสนตรง (E) จะได H = E ตวอยางท 6 พจารณาในแตละแถวตอไปน

แถวท 1 : 1 12 = 1 – 1

2 = 12

แถวท 2 : 2 23 = 2 – 2

3 = 43

แถวท 3 : 3 34 = 3 – 3

4 = 94

แถวท 4 : 4 45 = 4 – 4

5 = 165

แถวท 7 : 7 7z = y – 7

z = 49z

จากจ านวนในแถวท 7 จะได y = 7 และ z = 8

จ านวนในแถวท n คอ n +n

n 1 = n –+n

n 1 = 2

+n

n 1


คณตศาสตรประถมศกษา 7. การแกปญหาทางคณตศาสตร

69

7. การแกปญหาทางคณตศาสตร


ความหมายของปญหาคณตศาสตรและการแกปญหาคณตศาสตร กระบวนการแกปญหาและกลยทธการแกปญหา การแกปญหาโดยใชวธการทหลากหลาย

2. ไดแนวทางการจดกจกรรมการเรยนรเกยวกบการแกปญหาทางคณตศาสตร สาระส าคญ/ความคดรวบยอด

1. ปญหาคณตศาสตร หมายถง สถานการณปญหาทเกยวกบคณตศาสตรซงเผชญอยและตองการหาค าตอบ โดยทยงไมรวธการหรอขนตอนทจะไดค าตอบของสถานการณนนในทนท 2. การแกปญหาคณตศาสตร หมายถง กระบวนการในการประยกตขนตอน/กระบวนการแกปญหา กลยทธแกปญหา และประสบการณทมอยไปใชในการคนหาค าตอบของปญหาคณตศาสตร 3. กระบวนการแกปญหาตามแนวคดของโพลยา (polya: 1957) ประกอบดวย 4 ขนตอนดงน ขนท 1 ขนท าความเขาใจปญหา ขนท 2 ขนวางแผนแกปญหา ขนท 3 ขนด าเนนการตามแผน ขนท 4 ขนตรวจสอบ 4. กลยทธทจะน ามาใชในการแกปญหา มหลายวธ เชน (1) การเดาและตรวจสอบ (2) การแจกแจงรายการหรอสรางตาราง (3) การเขยนแบบรป (4) การวาดรปหรอสรางแบบจ าลอง สอตาง ๆ (5) การตดออก (6) การท าใหอยในรปอยางงาย (7) การเลอกด าเนนการ และ/หรอเขยนสมการ (8) การหาเหตผลทสมเหตสมผล (9) การท ายอนกลบ 5. แนวทางการจดกจกรรมการเรยนรการแกปญหาคณตศาสตรเปนการจดกจกรรมการเรยน การสอนโดยผานกจกรรมปญหาหรอสถานการณปญหาทเหมาะสมกบวยและพฒนาการของนกเรยน ใหนกเรยนไดมประสบการณในการแกปญหาดวยตนเอง โดยแนวทางการจดกจกรรมการเรยนร การแกปญหาคณตศาสตร ตองค านงถงลกษณะของปญหาทด



70

ความหมายของปญหาคณตศาสตรและการแกปญหาคณตศาสตร

ปญหาคณตศาสตร หมายถง สถานการณปญหาทเกยวกบคณตศาสตรซงเผชญอยและตองการคนหา ค าตอบ โดยทยงไมรวธการหรอขนตอนทจะไดค าตอบของสถานการณนนในทนท การแกปญหาคณตศาสตร หมายถง กระบวนการในการประยกตความรทางคณตศาสตร ขนตอน/

กระบวนการแกปญหา กลยทธแกปญหา และประสบการณทมอยไปใชในการคนหาค าตอบของปญหาคณตศาสตร

กระบวนการแกปญหา

เนองจากการแกปญหาทางคณตศาสตรเปนทกษะ/กระบวนการอยางหนง ดงนนครควรปลกฝงใหนกเรยนเขาใจถงขนตอนหรอกระบวนการในการแกปญหา แมวาจะมนกเรยนบางสวนทสามารถด าเนนการแกปญหาดวยตนเองได แตมนกเรยนจ านวนไมนอยทไมรวาควรจะเรมตนแกปญหานนอยางไร และจะด าเนนการแกปญหาอยางไรตอไป ทงนอาจเนองมาจากนกเรยนไมมความรเกยวกบขนตอนหรอกระบวนการแกปญหาทถกตอง

กระบวนการแกปญหาทยอมรบและน ามาใชกนอยางแพรหลาย คอ กระบวนการแกปญหาตามแนวคดของโพลยา (Polya:1957) ซงประกอบดวยขนตอนส าคญ 4 ขนตอน ดงน ขนท 1 ขนท าความเขาใจปญหา

เปนขนเรมตนของการแกปญหา ผทตองการแกปญหาหรอนกเรยนตองวเคราะหใหไดวาปญหานนก าหนดสงใดใหบาง และตองการใหหาอะไร สงทก าหนดใหจากปญหากบสงทโจทยถามเกยวของหรอมความสมพนธกนอยางไร ถาเปนการแกโจทยปญหาในหนงสอแบบเรยนในขนนครผสอนควรน าสนทนาวา โจทยก าหนดอะไรให แลวใหนกเรยนชวยกนอภปรายสงทโจทยก าหนดใหและโจทย ถามอะไร ส าหรบในขนท าความเขาใจปญหา ผทตองการแกปญหาหรอนกเรยนควรด าเนนการ ดวยตนเองใหได ขนท 2 ขนวางแผนแกปญหา ผทตองการแกปญหาหรอนกเรยนตองเชอมโยงความสมพนธระหวางสงทก าหนดใหกบสงทตองการหา จะด าเนนการหาค าตอบของปญหานนไดอยางไร โดยเลอกกลยทธ ทจะน ามาใชแกปญหา

ขนท 3 ขนด าเนนการตามแผน นลงมอปฏบตการแกปญหา ตามแนวทางหรอกลยทธทไดเลอกไวจนกระทงหาค าตอบของปญหานนได อาจใหผทตองการแกปญหาหรอนกเรยนหากลยทธแกปญหาใหมทแตกตางจากวธนอกหลาย ๆ วธ เพอเปนการพฒนาแนวคดในการแกปญหาดวยวธการทหลากหลายตอไป

ขนท 4 ขนตรวจสอบ น าค าตอบทหาไดไปตรวจสอบความถกตอง โดยการท ายอนกลบจากค าตอบไปสสงทก าหนดให วามความสมเหตสมผลหรอไม



71

ตวอยางสถานการณปญหาทใชกระบวนการแกปญหาตามแนวคดของโพลยา (Polya: 1957)

ซออยางไร ... จงจะประหยดเงน

รานขายสงน าตาลทราย มน าตาลทรายใสถง 2 ชนด คอ น าตาลทรายชนดท 1 ขนาดถงละ 3 กโลกรม ขายราคาถงละ 36 บาท และน าตาลทรายชนดท 2 ขนาดถงละ 4 กโลกรม ขายราคา ถงละ 42 บาท แมตองการน าตาลทรายทงสองชนดรวม 48 กโลกรม เพอมาผสมท าขนมขาย แมควรจะซอน าตาลทงสองชนด อยางละกถง จงจะพอดและประหยดเงนทสด ขนท 1 ขนท าความเขาใจปญหา สถานการณก าหนดอะไรให

- มน าตาลทราย 2 ชนด - บรรจน าตาลทรายชนดท 1 ขนาดถงละ 3 กโลกรม ขายถงละ 36 บาท - บรรจน าตาลทรายชนดท 2 ขนาดถงละ 4 กโลกรม ขายถงละ 42 บาท - แมตองการน าตาลทรายทงสองชนดรวม 48 กโลกรม

สถานการณถามอะไร แมตองซอน าตาลทรายทงสองชนด อยางละกถง จงจะพอดและประหยดทสด

ขนท 2 ขนวางแผนแกปญหา จากสถานการณดงกลาว อาจใชกลยทธแจกแจงรายการและสรางตาราง

ขนท 3 ขนด าเนนการตามแผน จากการวเคราะหค าถามของสถานการณทวา แมตองซอน าตาลทรายทงสองชนดอยางละกถง

จงจะพอดและประหยดทสด แสดงวาตองซอน าตาลทรายชนดท 2 มากกวาน าตาลทรายชนดท 1 เพราะน าตาลทรายชนดท 2 ราคาตอกโลกรมถกกวา โดยมเงอนไขของสถานการณ คอ ตองซอ น าตาลทรายทงสองชนดรวม 48 กโลกรม อาจแจกแจงรายการในตารางไดดงน น าตาลทราย

ชนดท 2 ถงละ 4 กก.

น าตาลทราย ชนดท 1

ถงละ 3 กก.

รวมน าหนกน าตาลทราย 2 ชนด (กก.)

รวมเงนทงหมด (บาท) หมายเหต

11 ถง (44 กก.)

1 ถง (3 กก.) 44 + 3 = 47 ไมเปนไปตาม เงอนไขของโจทย

11 ถง (44 กก.)




72







10 ถง (40 กก.)


10 ถง (40 กก.) 3 ถง (9 กก.) 40 + 9 = 49 ไมเปนไปตาม เงอนไขของโจทย

9 ถง (36 กก.) 4 ถง (12 กก.) 36 + 12 = 48 (9 42) + (4 36) = 522

เปนไปตาม เงอนไขของโจทย




6 ถง (24 กก.) 8 ถง (24 กก.) 24 + 24 = 48 (6 42) + (8 36) = 540






3 ถง (12 กก.) 12 ถง (36 กก.) 12 + 36 = 48 (3 42) +(1236) = 558



2 ถง (8 กก.) 14 ถง (42 กก.) 8 + 42 = 50 เปนไปตาม เงอนไขของโจทย



73









สรปวา (1) แมควรซอน าตาลทรายชนดท 1 ถงละ 3 กโลกรม จ านวน 4 ถง

ราคาถงละ 36 บาท เปนเงน 144 บาท (2) แมควรซอน าตาลทรายชนดท 2 ถงละ 4 กโลกรม จ านวน 9 ถง ราคาถงละ 42 บาท เปนเงน 378 บาท แมตองจายเงน 522 บาท จงจะพอดและประหยดเงนทสด ขนท 4 ขนตรวจสอบ พจารณารายละเอยดจากตาราง ดงน

น าตาลทรายชนดท 2 ถงละ 4 กก.

น าตาลทรายชนดท 1 ถงละ 3 กก.


รวมเงนทงหมด

9 ถง (36 กก.) 4 ถง (12 กก.) 36 + 12 = 48 (9 42) + (4 36) = 522 6 ถง (24 กก.) 8 ถง (24 กก.) 24 + 24 = 48 (6 42) + (8 36) = 540 3 ถง (12 กก.) 12 ถง (36 กก.) 12 + 36 = 48 (3 42) + (12 36) = 558

ถาแมตองการซอน าตาลทรายทง 2 ชนด ใหพอดและประหยดเงนทสด ตองซอน าตาลทรายชนดท 1 ขนาดถงละ 3 กโลกรม ราคาถงละ 36 บาท จ านวน 4 ถง และซอน าตาลทรายชนดท 2 ขนาดถงละ 4 กโลกรม ราคาถงละ 42 บาท จ านวน 9 ถง



74

กลยทธแกปญหา

ในการแกปญหาหนง ๆ นอกจากตวนกเรยนจะตองมความร พนฐานท เพยงพอและเขาใจกระบวนการแกปญหาดแลว การเลอกใชกลยทธแกปญหาทเหมาะสมและมประสทธภาพสงสด กเปนอกปจจยหนงทชวยในการแกปญหา ถานกเรยนมความคนเคยกบกลยทธแกปญหาตาง ๆ ทเหมาะสมและหลากหลายแลว นกเรยนสามารถเลอกกลยทธเหลานนมาใชไดทนท กลยทธทจะน ามาใชในการแกปญหา เชน

1. การเดาและตรวจสอบ 2. การแจกแจงรายการหรอสรางตาราง 3. การเขยนแบบรป 4. การวาดรปหรอสรางแบบจ าลอง สอตาง ๆ 5. การตดออก 6. การท าใหอยในรปอยางงาย 7. การเลอกด าเนนการ และ /หรอเขยนสมการ 8. การหาเหตผลทสมเหตสมผล 9. การท ายอนกลบ

ค าวา กลยทธ (Strategy) หรอ ยทธวธ น Webster ไดใหความหมายวา หมายถง การวางแผนอยางระมดระวง ศลปะการวางแผนไปสเปาหมาย

กลยทธในการแกปญหา จงอาจหมายถง การวางแผนอยางระมดระวงในการท างานแกปญหา หรอศลปะของการวางแผนแกปญหา การท างานสถานการณตางๆทอาจตองใชความมงมนในการท างานเนองจากยงมองไมเหนแนวทางหรอวธการทเดนชดทจะไปสเปาหมายหรอค าตอบ

ในการแกปญหา มกลยทธทใชแกปญหาอยหลายวธ เชน

(1) การเดาและตรวจสอบ (2) การแจกแจงรายการหรอสรางตาราง (3) การเขยนแบบรป (4) การวาดรปหรอสรางแบบจ าลอง ใชสอ หรอวตถตาง ๆ (5) การตดออก (6) การท าใหอยในรปอยางงาย (7) เลอกการด าเนนการและ/หรอเขยนสมการ (8) ใชการหาเหตผลทสมเหตสมผล (9) ท ายอนกลบ



75

1. กลยทธการแกปญหาโดยการเดาและตรวจสอบ การเดาและตรวจสอบเปนกลยทธการแกปญหาทงายทสด การเดาโดยมพนฐานจากความร และประสบการณ การคด แลวตรวจสอบ เมอพบวาค าตอบไมถกตองกน าผลจากการเดาในครงแรกมาวเคราะหเพอเปนกรอบในการปรบการเดาในครงตอไปอยางใชเหตผล ซงจะท าใหไดค าตอบเรวขน การใชกลยทธการเดาและตรวจสอบในลกษณะดงกลาว จะเปนการเดาและตรวจสอบทมคณคา ซงตางจากการเดาแบบทไมไดอาศยการคดแตอยางใด กลยทธการสอนอาจด าเนนการดงน

1) ใหนกเรยนคาดเดาค าตอบ 2) ตรวจสอบการเดากบเงอนไขตางๆของปญหา 3) ใชขอมลทไดรบจากการตรวจสอบเพอท าใหการเดามประสทธภาพขน 4) ด าเนนกระบวนการตอไปจนกระทงไดค าตอบทถกตอง

ตวอยางปญหาทแกปญหาโดยอาศยการเดาและตรวจสอบ

1.1 คะเนค าตอบของค าถามในแตละขอตอไปน …………. 1. ความยาวของหองเรยน …………..2. ความสงของหองเรยน …………..3. หวใจของนกเรยนเตนกครงในเวลาหนงชวโมง …………..4. หนงสอเรยนคณตศาสตรหนกเทาไร …………..5. นกเรยนเดนระยะทางหนงกโลเมตรจะใชเวลานานเทาใด

1.2 ฉนคดถงจ านวนสองจ านวน ถาน าจ านวนทงสองนนบวกกนจะได 136 แตถาน าจ านวนมาก ลบ

ดวยจ านวนนอยจะได 36 จงหาจ านวนสองจ านวนนน

แนวคด : เดาและตรวจสอบ

1) เดาวาจ านวนสองจ านวนนนคอ 100 และ 36 (ซงมผลบวก เปน 136) 100 + 36 = 136 เปนจรงตามโจทย 100 – 36 = 64 ไมเปนจรงตามโจทย

2) ผลลบตองมคานอยลง จงควรลดตวตง และเพมตวลบ เดาวาจ านวนสองจ านวนคอ 90 และ 46 (ซงผลบวกเปน 136 ) 90 + 46 = 136 เปนจรงตามโจทย 90 – 46 = 44 ไมเปนจรงตามโจทย

3) ผลลบตองมคานอยลง จงควรลดตวตง และเพมตวลบ เดาวาจ านวนสองจ านวนคอ 80 และ 56 (ซงผลบวกเปน 136 )



76

80 + 56 = 136 เปนจรงตามโจทย 80 – 56 = 24 ไมเปนจรงตามโจทย

4) ผลลบนอยเกนไป จงควรเพมตวตง และลดตวลบ ตวตงควรอยระหวาง 80 และ 90 เดาวาจ านวนทงสอง เปน 85 และ 51 85 + 51 = 136 เปนจรงตามโจทย 85 – 51 = 34 ไมเปนจรงตามโจทย

5) ผลลบนอยเกนไปเลกนอย จงควรเพมตวตงอกเลกนอย และลดตวลบ เดาวาจ านวนทงสอง เปน 86 และ 50 86 + 50 = 136 เปนจรงตามโจทย 86 – 50 = 36 เปนจรงตามโจทย

จะเหนไดวา การเดาและตรวจสอบนจะตองเดา ตรวจสอบ และปรบปรงการเดาไปตามล าดบ จนกระทงไดค าตอบทถกตอง 2. กลยทธการแกปญหาโดยการแจกแจงรายการหรอสรางตาราง

การแจกแจงรายการ เปนการเขยนรายการทเกดขนบางกรณ หรอกรณทเกดขนทงหมด

และเพอใหครอบคลมครบถวนทกกรณ การแจกแจงรายการจงควรท าอยางเปนระบบ อาจใชตาราง ชวยในการแจกแจงรายการ ในบางปญหา การใชตารางชวยในการบนทกขอมลจะชวยใหหาแบบรป และกรณทวไปไดงายขน เหนความสมพนธของขอมล หาค าตอบไดงายขน หรอจดขอมลได อยางเปนระบบ ในการใชกลยทธการสรางตาราง ผใชจ าเปนจะตองตดสนใจวาจะเลอกใชตารางแบบใด แนวนอนควรใชแสดงอะไร และแนวตงควรใชแสดงอะไร

นกเรยนสวนมากมความยงยากในการหาค าตอบของปญหาทไมสามารถแปลงโจทยปญหาเปนประโยคสญลกษณจงไมสามารถหาค าตอบได ถาเขาไดรบการชแนะกลยทธทเหมาะสมกจะชวยใหมแนวทางทจะหาค าตอบไดงายขน กลยทธการแกปญหาโดยแจกแจงรายการหรอสรางตารางเปน วธการหนงทใชกนอยบอย ๆ

ตวอยางปญหาทแกปญหาโดยใชการแจกแจงรายการหรอสรางตาราง

2.1 มจ านวนทมสามหลกทสรางจากเลขโดด 4 , 6 และ 7 อยกจ านวน โดยไมใชเลขโดดใดซ ากน

แนวคด

จากทโจทยระบ จะตความไดวาแตละจ านวนจะตองใชเลขโดดทงสามตว หลกรอยเปน 4 ไดแก 467 476 หลกรอยเปน 6 ไดแก 647 674



77

หลกรอยเปน 7 ไดแก 746 764 ดงนนจงมจ านวนทมสามหลกทสรางจากเลขโดด 4 , 6 และ 7 อยหกจ านวน คอ 467 , 476 , 647 , 674 , 746 และ 764

หรออาจจะสรางตาราง ดงน

หลกรอย หลกสบ หลกหนวย

4 6 7 4 7 6 6 4 7 6 7 4 7 4 6 7 6 4

2.2 บรษทขายรถยนตเสนอของแถม 3 รายการจากของแถม 5 รายการ ตอไปน

1. แมแรง 2. กระเปาเครองมอ 3. เครองดดฝน 4. เครองฟอกอากาศ 5.วทยเทป มวธทจะเลอกของแถมสามสงไดทงหมดกวธ (อาจเขยนแสดงโดยใชตวเลข เชน 1,2,3 หมายถง แมแรง กระเปาเครองมอ และ เครองดดฝน )

แนวคด

เพอใหงายในการพจารณา จะใชตวเลขแทนของแถมแตละรายการดงน

1 แทน แมแรง 2 แทน กระเปาเครองมอ 3 แทน เครองดดฝน 4 แทน เครองฟอกอากาศ 5 แทน วทย

ในการแจกแจงรายการอาจพจารณาเปนกรณตาง ๆ ไดดงน

1) ถาเลอกของแถมโดยเลอกชนทหนงอาจเลอกไดเปนแบบตาง ๆ ดงน 123 124 125 134 135 หรอ 145

2) ถาเลอกของแถมทแตกตางจากขอ 1) โดยเลอกชนทสองอาจเลอกไดเปนแบบตาง ๆ ดงน 234 235 หรอ 245

3) ถาเลอกของแถมทแตกตางจากขอ 1) และ 2) โดยเลอกชนทสาม จะเลอกไดแบบเดยวคอ 345



78

ดงนนอาจเลอกของแถมได 10 วธคอ 123 124 125 134 135 145 234 235 245 หรอ 345 หรออาจจะสรางตาราง ดงน 2.3 นกเรยนกลมหนงตองการซอไมบรรทดอนละ 8 บาท และดนสอแทงละ 4 บาท เปนเงน 100 บาท ถาตองการไมบรรทดอยางนอย 5 อน และ ดนสออยางนอย 4 แทง จะมวธการซอไดเปนแบบตาง ๆ ไดอยางไรบาง

แนวคด อาจทดลองแจกแจงรายการโดยเรมจาก

ไมบรรทด 5 อน เปนเงน 5 8 = 40 บาท

ดงนนเงนอก 60 บาท จงซอดนสอได 60 4 = 15 แทง

แลวเขยนตาราง โดยสงเกตวาเมอซอไมบรรทดเพมขน หนงอน จะตองลดจ านวนดนสอลงสองแทง ดงน

ไมบรรทด ดนสอ รวมเงน

จ านวน (อน) ราคา (บาท) จ านวน (แทง) ราคา (บาท) (บาท) 5 5 8 = 40 15 15 4 = 60 100

6 6 8 = 48 13 13 4 = 52 100

7 7 8 = 56 11 11 4 = 44 100

8 8 8 = 64 9 9 4 = 36 100

ของแถมชนทหนง ของแถมชนทสอง ของแถมชนทสาม

1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 3 4 1 3 5 1 4 5 2 3 4 2 3 5 2 4 5 3 4 5



79

ไมบรรทด ดนสอ รวมเงน

จ านวน (อน) ราคา (บาท) จ านวน (แทง) ราคา (บาท) (บาท) 9 9 8 = 72 7 7 4 = 28 100

10 10 8 = 80 5 5 4 = 20 100

2.3 ผลบวกของจ านวนนบสองจ านวนเปน 49 ถาน าจ านวนทนอยลบออกจากจ านวนทมาก

จะไดผลลบเปน 17 จงหาจ านวนสองจ านวนนน แนวคด อาจใชแจกแจงรายการเพอหาค าตอบทถกตอง โดยใชการเดาและตรวจสอบ โดยเรมจาก จ านวนสองจ านวนคอ 48 และ 1 เนองจาก 48+1 = 49 แต 48 –1 = 47 ดงนนตองลดตวตงและ เพมตวลบ ไปตามล าดบ เชนตารางตอไปน

จ านวนทมาก 48 44 40 36 32

จ านวนทนอย 1 5 9 13 17

ผลบวก 49 49 49 49 49

ผลลบ 47 39 31 23 15

เนองจากเมอลดตวตงจาก 36 เปน 32 และเพมตวลบจาก 13 เปน 17 ท าใหผลลบเปน 15

ซงนอยกวา 17 เลกนอย ดงนนตวตงจงอยระหวาง 36 และ 32 โดย ตวตงจะมากกวา 32 เลกนอย และตวลบจะนอยกวา 17 เลกนอย จงตรวจสอบโดยใหจ านวนทมากคอ 33 และจ านวนทนอยคอ 16 ซงจะได 33 + 16 = 49 และ 33 – 16 = 17 เปนค าตอบทถกตอง

2.4 ผลคณของจ านวนนบสองจ านวนเปน 720 ถาน าจ านวนทมากหารดวยจ านวนทนอย

จะไดผลหารเปน 5 จงหาจ านวนสองจ านวนนน

แนวคด อาจใชแจกแจงรายการเพอหาค าตอบทถกตอง โดยใชการเดาและตรวจสอบ โดยเรมจาก

จ านวนสองจ านวนคอ 720 และ 1 เนองจาก 720 1 = 720 แต 720 1 = 720 ดงนนตองลดจ านวนทมากและเพมจ านวนทนอยไปตามล าดบ ซงจะเขยนแสดงเฉพาะจ านวนสองจ านวนคณกนได 720

จ านวนทนอย 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12

จ านวนทมาก 720 360 240 180 144 120 90 80 72 60

ผลคณ 720 720 720 720 720 720 720 720 720 720 ผลหาร 720 180 80 45 20

เนองจาก 60 12 = 720 และ 60 12 = 5 ดงนน จ านวนนบสองจ านวน คอ 60 และ 12



80

3. กลยทธการแกปญหาโดยการใชแบบรป

ในระดบประถมศกษามกมกจกรรมทก าหนดภาพหรอจ านวนใหอยางมระบบ ใหนกเรยนบอกวาภาพตอไปจะเปนอะไร หรอจ านวนตอไปเปนจ านวนใด นกเรยนอาจใชตารางชวยในการหาจ านวนรปหรอความสมพนธของจ านวนจากแบบรป ใชการวเคราะห และ การสงเกตเพอสรางเปนกรณทวไป แบบรปมความส าคญตอการพฒนาความเขาใจมโนมตทางคณตศาสตรในหลายเรอง เชน การนบ การนบเพม การนบลด ตารางการคณ แนวการแกปญหาบางปญหาจะอาศยการสงเกตแบบรป ซงจะท าใหหาค าตอบของปญหาไดโดยงาย แตจะตองตระหนกวาการก าหนดแบบรปโดยบอกจ านวนมาใหสามถงสจ านวน แลวใหหาจ านวนตอ ๆ ไปน ในทางคณตศาสตรการใหเหตผลจากการสงเกตขอมล แลวสรปการใหเหตผลเชนน เปนการใหเหตผลแบบอปนย ขอสรป ทไดอาจจะถกตองหรอผดกได แบบรปทสรปจากจ านวนทก าหนดใหเชนนอาจมไดหลากหลายดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง ก าหนดแบบรป 1 , 2 , 4 , … จงหาสามจ านวนถดไป

กรณท 1 ถาพจารณาวาจ านวนทสองเพมขน 1 จ านวนทสามเพมขน 2 จ านวนท ส หา หก … นาจะเพมขน 3 4 5 … ตามล าดบ ดงนน สามจ านวนถดไปคอ 7 , 11 และ 16 ตามล าดบ กรณท 2 ถาพจารณาวา จ านวนทหนงคอ 1 = 2 0 จ านวนทสองคอ 2 = 2 1 จ านวนทสามคอ 4 = 2 2 ดงนนสามจ านวนถดไปคอ 2 3 , 2 4 , 2 5 หรอ 8 , 16 , 32 ตามล าดบ นอกจากนอาจพจารณาเปนแบบอนๆไดอก ดงนนขอสรปของแตละคนทได จงเปนขอสรป ตามขอมลทแตละคนสงเกตเหนความเกยวของเชอมโยง จงอาจเหนตางกนไปได อยางไรกตาม ในเรองแบบรปของจ านวน หากก าหนดเงอนไขทแนนอนชดเจนกจะสามารถหารปทวไปของแบบรป นน ๆ ได ในการสอนนกเรยนจงควรใหนกเรยนไดเรยนร

1) การวเคราะหแบบรปและหารปทวไปจากการสงเกต 2) การตรวจสอบรปทวไปจากขอมลทมอย 3) การสรางแบบแผนการพสจนเพอตรวจสอบรปทวไป



81

ตวอยางการแกปญหาโดยใชแบบรป

3.1 จงหา 3 จ านวนถดไปของแบบรปตอไปน 1, 4, 7, 10, 13, 16, …

วเคราะห วาผลตางของจ านวนสองจ านวนทอยตดกนเปน 3 1, 4, 7, 10, 13, 16 , … ผลตาง 3 3 3 3 3 เปนแบบรปทเพมขนทละ 3 โดยเรมจาก 1 ดงนน 3 จ านวนถดไปนาจะเปน 19 , 22 , 25 3.2 จงหาจ านวนท 20 และจ านวนท n เมอ n เปนจ านวนนบใดๆ ของ 1, 4, 7, 10, 13, 16, … วเคราะห จ านวนท 1 คอ 1 = 1

จ านวนท 2 คอ 4 = 1 + (1 3)

จ านวนท 3 คอ 7 = 1 + (2 3)

จ านวนท 4 คอ 10 = 1 + (3 3)

จ านวนท 5 คอ 13 = 1 + (4 3)

จ านวนท 6 คอ 16 = 1 + (5 3)

ดงนนจ านวนท 20 คอ 1 + (19 3) = 58 ลองคดด คณท าได จงหาจ านวนท 20 ของแบบรป 7, 11, 15, 19, 23, 27, … 3.3 จงหา 3 จ านวนถดไปของแบบรป 2, 5, 10, 17, 26, 37, … วเคราะห 2, 5, 1, 17, 26, 37, … ผลตางขนท 1 3 5 7 9 11 ผลตางขนท 2 2 2 2 2 ผลตางขนท 2 คงตวเทากบ 2 ดงนนผลตางขนทหนงสามจ านวนถดไปนาจะเปน 13, 15, 17 ตามล าดบ



82

และแบบรป 2, 5, 10 ,17 ,26, 37 ,… สามจ านวนถดไปหาไดจาก 37+13 = 50, 50+15 = 65 และ 65+17 = 82 นนคอสามจ านวนถดไปคอ 50, 65, 82 3.4 ถาจะวางกระดาษเปนกอง โดย กองทหนง มกระดาษ 2 แผน กองทสอง มกระดาษ 2 เทาของกองทหนง กองทสาม มกระดาษ 2 เทาของกองทสอง กองทส มกระดาษ 2 เทาของกองทสาม เปนเชนนไปเรอยๆ กองทสบ จะมกระดาษกแผน สงประมาณกเซนตเมตร

แนวคด

กองทหนง มกระดาษ 2 แผน

กองทสอง มกระดาษ 2 2 = 4 แผน

กองทสาม มกระดาษ 2 2 2 = 8 แผน

กองทส มกระดาษ 2 2 2 2 = 16 แผน

กองทสบ จะมกระดาษ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 หรอ 2 10 = 1,024 แผน ในการหาวากระดาษกองทสบสงประมาณกเซนตเมตรอาจเทยบกบกระดาษเปนรม ปญหาอาจขยายตอไปไดอก เชน กองท 50 จะสงขนาดไหน สงไปถงดวงจนทรหรอไม ทานจะใชการประมาณมาชวยหาความสงไดอยางไร



83

4. กลยทธการแกปญหาโดยการวาดรปหรอสรางแบบจ าลอง ใชสอ หรอวตถตาง ๆ

ในทางคณตศาสตร แบบจ าลองเปนเครองมอทมประสทธภาพส าหรบใชอธบายมโนมต ทางคณตศาสตร ในตอนนจะไดกลาวถงการสรางแบบจ าลองเพอชวยในการแกปญหา แตจะเปน แบบจ าลองงาย ๆ เชนการวาดรป ซงจะชวยใหเกดความเขาใจปญหาคณตศาสตรไดงายขน กลยทธในการสรางแบบจ าลองโดยใชสอของจรง หรอการวาดรปเพอชวยในการแกปญหา อาจพจารณาไดเปนสองขนตอน

1) สรางแบบจ าลองใหเหมาะกบปญหา 2) ใชแบบจ าลองทเลอกสรรเปนเครองมอในการแกปญหา

แบบจ าลองทเหมาะสมส าหรบปญหาทก าหนดใหอาจมมากกวาหนงแบบ การจะเลอกแบบจ าลองใด ขนอยกบความสามารถในการรบรวาอะไรเปนสงส าคญในปญหา ใชแบบจ าลองทเลอกสรรแลวเปน เครองมอในการแกปญหา ในบางครงตวแบบจ าลองเองคอปญหาทตองแก หรอบางครงอาจใชแบบจ าลองเพอชวยจดระบบขอมลในการแกปญหา หรอชวยใหเขาใจเพมขน แบบจ าลองอาจชวยใหเหนกระบวนการซงสามารถน ามาประยกตใชแกปญหา

ตวอยางการแกปญหาโดยใชแบบจ าลอง

4.1 ลกเสอเดนทางไกลโดยออกเดนทางจากโรงเรยนไปทางทศตะวนออก เปนระยะทาง 5 กโลเมตร แลวเดนทางไปทางใตเปนระยะทาง 3 กโลเมตร จากนนเดนทางไปทางทศตะวนออกเฉยงใตเปนระยะทาง 5 กโลเมตรและเดนทางไปทางทศตะวนตกเปนระยะทาง 3.5 กโลเมตร แลวตงคายพกแรม คายพกแรม อยหางจากโรงเรยนประมาณกกโลเมตร

แนวคด : จากโจทยอาจใชการวาดรปและหาค าตอบโดยการวดไดดงน

จากจด ก ลาก กข ไปทางทศตะวนออก ยาว 5 หนวย จากจด ข ลาก ขค ไปทางทศใต

(ตงฉากกบ กข ) และ ขค ยาว 3 หนวย จากจด ค ลาก คง ไปทางทศตะวนออกเฉยงใต (ท ามม 135 องศา

กบ คข และ คง ยาว 5 หนวย ) จากจด ง ลาก งจ ไปทางทศตะวนตก ยาว 3.5 หนวย (ถาสรางไดถกตอง

จะพบวาจด จ อยในแนวกบ ขค) วดระยะ กจ ไดประมาณ 8.2 หนวย ดงนน คายพกแรมอยหางจากโรงเรยนประมาณ 8 กโลเมตร

ก น

ข

ค

จ ง



84

4.2 บานของอน บานของเอ บานของจบ และบานของจอย อยบนดานขวาของถนนทอยในแนวเหนอ – ใต และมขอมลตางๆดงน

(1) บานของเอไมไดอยเหนอสด (2) บานของจอยอยระหวางบานของเอและบานของอน (3) ดานเหนอของบานจอยยงมบานของจบ (4) บานอนอยทางดานใตบานของเอ จงเขยนแผนภาพแสดงทตงของบาน และถามสวนสนกมาตงอยระหวางบานของจบและ

บานของอน โดยอยตดกบบานของเอ แตไมตดกบบานของจอย จงเขยนทตงของสวนสนก แนวคด : ทดลองสรางแผนภาพ และปรบเปลยน จนสอดคลองกบสงทโจทยก าหนดในทกๆขอ กจะไดค าตอบทถกตอง โดยเขยนแผนภาพตามล าดบ ดงทวงเลบไว ดงน เขยนขอ(3) กอน ตาม ดวยขอมลในขอ (2) และ (4)

จบ เขยนเปนล าดบท 1) เอ (เขยนเปนล าดบท 2) จอย (เขยนเปนล าดบท 1) อน (เขยนเปนล าดบท 2)

ตรวจสอบ พบวาแผนภาพสอดคลองกบขอก าหนดทกขอ ดงนน จงเปนแผนภาพทถกตอง

จากค าถามทวามสวนสนกมาตงอยระหวางบานของจบและบานอน โดยอยตดกบบานของเอ แตไมตดกบบานของจอย ดงนน สวนสนกจงตองตงอยระหวางบานของจบและบานของเอ มปญหาทางคณตศาสตรมากมายแกไดโดยการใชสอวสดหรออปกรณ ทเหมาะสม เชน กจกรรมศกษาคนควาเพอหาปรมาตรของกรวย หรอของทรงกลม นกเรยนอาจใชแนววธทหลากหลาย ตามความคดของนกเรยน และหากไมสามารถคนพบแนวทางในการหาค าตอบ ครอาจแนะน าหรอ ชแนะใหนกเรยนใชสอหรออปกรณทเหมาะสมมาชวยในการศกษาคนควา และหาค าตอบของ ปญหานน ๆ 5. กลยทธการแกปญหาโดยการตดออก การตดออกเปนกลยทธหนงทนยมใชแกปญหาในชวตประจ าวน บางคนอาจใชกลยทธนควบค กบการเดาและตรวจสอบ หรอบางคนอาจใชในเรองของการตดสนใจเลอกซอสนคาหรอเลอกใชบรการ

เหนอ

ใต



85

ตาง ๆ เชนการตดสนใจเลอกยหอสงของโดยพจารณาตดบางยหอออกไปโดยพจารณาจากองคประกอบตาง ๆ เชน ขนาด ราคา คณภาพของสนคา บรการหลงการขาย หรออน ๆ กระบวนการของการตดออกอาจด าเนนการไดเปนลกษณะตาง ๆ เชน

1) เลอกใชรองรอยหรอเงอนไขของปญหาอยางระมดระวง ตดสวนทไมเกยวของสวนใหญออกไป 2) ใชการใหเหตผลทางตรงในกระบวนการของการตดออก 3) ใชวธอนๆ เชนโดยตรวจค าตอบทเปนไปได และค าตอบทมขอขดแยงกบเงอนไขตาง ๆ

ตวอยางการแกปญหาโดยการตดออก

5.1 ก าหนดจ านวนตอไปนให 4356 9084 5471 9346 4782 7623 2420 3474 1267 12678 2094 6540 4350 4140 5330 3215 4456 9989 จงหาจ านวนทหารดวย 6 และ 5 ไดลงตว แนวคด : 1. มเงอนไขอย 2 เงอนไข เราอาจพจารณาเงอนไขทสอง กอนกได เนองจากงายตอการ ตดออก ส าหรบจ านวนทสอดคลองกบเงอนไขขอ 2) คอจ านวนทลงทายดวย 5 หรอ 0 ( จงตดจ านวนทหลกหนวยไมเปน 5 หรอ 0 ออก ) จ านวนทเหลอไดแก 2420 6540 4350 4140 5330 และ 3215

2. จ านวนทหารดวย 6 ไดลงตวไดแก 6540 4350 4140 5.2 มกลองอย 3 ใบ ตดปายทกลองไวดงน “ กลอง ก ตดปายวา ลกแกวสเขยว ” “ กลอง ข ตดปายวาลกแกวสเหลอง ” “ กลอง ค ตดปายวาลกแกวสเขยว และ สเหลอง ” ขอความตอไปนเปนขอเทจจรง 1) มอยกลองหนงทบรรจลกแกวสเขยว 2 ลก 2) มอยกลองหนงทบรรจลกแกวสเหลอง 2 ลก 3) มอยกลองหนงทบรรจลกแกวสเขยว 1 ลก และลกแกวสเหลอง 1 ลก 4) ไมมกลองใดตดปายไวถกตอง 5) สมศรหยบลกแกวจากกลอง ค ทตดปายวา ลกแกวสเขยวและสเหลอง และหยบได ลกแกวสเหลอง



86

ค าถาม “ แสดงวาลกแกวทเหลอเปนสเขยวใชหรอไม จงอธบาย” ค าตอบ ไมใช เนองจากขอ 4) ทวาไมมกลองใดตดปายไวถกตอง ดงนน กลอง ค จะตองม ลกแกวสเขยวทงสองลก หรอสเหลองทงสองลก แตหยบ 1 ลกไดสเหลอง จงตด กรณมสเขยว 2 ลกออก กลอง ค จะตองบรรจลกแกวสเหลองสองลก ลกแกวท เหลออยตองเปนลกแกวสเหลอง ค าถาม “กลอง ข บรรจลกแกวสเขยวและสเหลองใชหรอไม” ค าตอบ ไมใช เนองจากบรรจลกแกวสเขยวและสเหลองจะท าใหกลอง ก บรรจลกแกวสเขยว ซงขดแยงกบขอก าหนด ทวาไมมกลองใดตดปายไวถกตอง ดงนนกลอง ก ตองบรรจ ลกแกวสเขยว และสเหลอง และกลอง ข ตองบรรจลกแกวสเขยว

6. กลยทธการแกปญหาโดยการท าใหอยในรปอยางงาย

การท าปญหาใหอยในรปอยางงาย ท าใหสามารถเขาใจปญหาและมองเหนวธหาค าตอบได งายขน เชน การลดขนาดของจ านวนใหนอยลง การแบงปญหาทซบซอนเปนสวนยอยหรอการปรบปญหาใหอยในรปสถานการณทคนเคย

ตวอยางการแกปญหาทท าใหอยในรปอยางงาย

6.1 การเปลยนสถานการณโดยลดขนาดของจ านวนใหนอยลง หรอปรบปญหาใหอยในสถานการณ ทคนเคย เพอใหนกเรยนสามารถแกปญหางาย ๆ ไดกอน แลวจงปรบไปสปญหาทตองการหาค าตอบ มจ านวนมากขน

ตวอยาง โลกอยหางจากดวงอาทตย 1.55 10 8 กโลเมตร ถาแสงเดนทางดวยความเรว 3.1 108 เมตร ตอวนาท แสงจะเดนทางจากดวงอาทตยถงโลกในเวลากนาท ถาไมสามารถแกปญหาขางตน อาจใชกลยทธในการเปลยนสถานการณปญหาเปนแบบ เดยวกนทงายขนเชน ระยะทางจากบานสมพรไปเชยงใหมเปน 480 กโลเมตร ถาสมพรขบรถดวยความเรวเฉลย 80 กโลเมตรตอชวโมง สมพรจะใชเวลาขบรถจากบานไปเชยงใหม กชวโมง

แนวคด : ใชเวลาในการขบรถ 48080 = 6 ชวโมง

อาศยแนวคดนไปปรบใชในการแกปญหาเดม ซงจะใชวธการเดยวกน จะไดวา

เนองจาก ดวงอาทตยอยหางจากโลก 1.55 10 8 กโลเมตร = 1.55 10 8 1000 เมตร



87

แสงเดนทางจากดวงอาทตยถงโลกเปนเวลา 8

8× ×

×

1.55 1000103.1 10

= 15503.1 = 500

วนาท หรอ 8 นาท 20 วนาท 6.2 แบงปญหาเปนปญหายอยทอาจแกไดในแตละสวน หรอแกจากสวนยอยหนง เพอน า

ไปสอกสวนยอยหนงตามล าดบ หรอเรมตนดวยกรณของปญหาทงายกวาและท ากรณตอ ๆ ไป ตวอยาง ผน าประเทศจากสบประเทศมาประชมรวมกน เมอผน าแตละคนตองจบมอกบผน าอก เกาประเทศ จะมการจบมอกนทงหมดกครง แนวคด

คน 2 คน จบมอกน 1 ครง เมอมผน าเพมอก 1 คน จะจบมอเพมอก 2 ครง นนคอ คน 3 คน จบมอกน 1 +2 = 3 ครง เมอมผน าเพมอก 1 คน จะจบมอเพมอก 3 ครง นนคอ คน 4 คน จบมอกน 1 +2+3 = 6 ครง เมอมผน าเพมอก 1 คน จะจบมอเพมอก 4 ครง นนคอ คน 5 คน จบมอกน 1 +2 +3+4 = 10 ครง จ านวนผน า จ านวนครงของการจบมอ 2 1 3 1 + 2 = 3 4 1 + 2 + 3 = 6

5 1 + 2 + 3 + 4 = 10 6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 7 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 8 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 9 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36

10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 ถามผน าของประเทศ มาประชม 15 คน ผน าทงหมดตองจบมอกบผน าคนอน ๆ ทกคน จะม การจบมอทงหมดกครง



88

7. กลยทธการแกปญหาโดยใชการเลอกการด าเนนการหรอการเขยนสมการ

ตวอยางการแกปญหาโดยใชการเลอกการด าเนนการ หรอการเขยนสมการ 7.1 ถาน าลกเตามาวางซอนกน 8 ลก โดยใหเหนแตดานขางเพยงหนาเดยวและดานบน

ดงรป จงหาวาผลบวกของจ านวนจดจากหนาทมองไมเหนเปนเทาไร

แนวคด : อาจหาค าตอบไดจาก 8 คณดวย 21 แลวลบดวยผลบวกของจ านวนจดจากหนาทมองเหน เนองจากผลบวกของจ านวนจดบนหนาลกเตาแตละลกเทากบ1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

และลกเตาม 8 ลก ดงนน ผลบวกของจ านวนจดจากหนาทมองไมเหนจงเทากบ (8 21 ) ลบดวย ผลบวกของจ านวนจดจากหนาทมองเหน ในกรณน ผลรวมของจ านวนจดจากหนาทมองเหน เทากบ 6+3+5+1+4+2+3+5+1 = 30

จะไดผลบวกของจ านวนจากหนาทมองไมเหน คอ (8 21 ) – 30 = 168 – 30 = 138 ถามลกเตา n ลก และผลรวมของจ านวนจดจากหนาลกเตาทมองเหนเปน a ให b เปนผลรวมของจ านวนจดจากหนาลกเตาทมองไมเหน จะเขยนสมการเพอหาผลรวมของจ านวนจดจากหนา

ลกเตาทมองไมเหนไดเปน b = (n 21) – a 7.2 ฉนและนองมเงนรวมกน 142 บาท ฉนมเงนมากกวานองอย 46 บาท ฉนมเงนเทาไร และนองมเงนเทาไร แนวคด : โจทยขอนอาจใชกลยทธการเดาและตรวจสอบ หรอกลยทธการแจกแจงรายการหรอการสรางตารางดงทกลาวมาแลว แตอาจใชวธแกปญหาโดยเขยนสมการไดเชน ใหฉนมเงน b บาท นองจะมเงน 142 – b บาท แตฉนมเงนมากกวานอง 46 บาท จะไดสมการ b – (142 – b) = 46



89

2b –142 = 46 2b = 46 + 142 2b = 188 b = 94 ดงนนฉนมเงน 94 บาท นองมเงน 142 – 94 = 48 บาท ส าหรบค าตอบทได เมอตรวจสอบจะพบวา 94 + 48 = 142 และ 94 – 48 = 46 สอดคลองกบโจทย

8. กลยทธการแกปญหาโดยใชการหาเหตผลทสมเหตสมผล การแกปญหาตาง ๆ โดยปกตมกตองอาศยการหาเหตผลทสมเหตสมผล

ตวอยางการแกปญหาทใชการใหเหตผลทสมเหตสมผล บรษทโคเนอเกษตรกรรมไทย จงหวดขอนแกน มโคเนออย 10,000 ตว ตองการขนสงโคเนอ ทงหมดไปกรงเทพมหานคร จงตอบค าถามตอไปนพรอมทงใหเหตผล

1) ถาบรษทมรถส าหรบบรรทกโคเนออย 4 คน มคนขบรถอย 4 คน คาดวาจะตองใชเวลา ในการขนสงกวน เพราะเหตใด

2) ถาใชคนขบรถ 100 คน และรถบรรทก 100 คน จะใชเวลาในการขนสงประมาณกวน 3) ถาตองการขนสงโคเนอใหเสรจสนภายใน 10 วน จะมทางเปนไปไดหรอไม อยางไร

ในการตอบค าถามขอน นกเรยนจะตองศกษาขอมลอกหลายประการ เชน จ านวนโคเนอ ทจะบรรทกไดในแตละเทยว ระยะทางจากบรษทโคเนอขอนแกนถงปลายทางกรงเทพมหานคร หรอ เวลาทใชในการเดนทางในแตละเทยว หรอเวลาทคนขบรถท างานในแตละวน เปนตน

9. กลยทธการแกปญหาโดยการท ายอนกลบ ตวอยางการแกปญหาทใชกลยทธการท ายอนกลบ ในการเลนเกมผลรวม เปน 60 มกตกาวา ใหนกเรยนสองคนสลบกนเลอกจ านวนครงละหนงจ านวนจาก 1,2,3,4 หรอ 5 และชวยกนหาผลบวกจากจ านวนทเลอกมาทกครง สลบกนเลอกจ านวนไปเรอย ๆ จนกระทงใครเลอกจ านวนแลวมผลบวกเปน 60 จะเปนผชนะ จงตอบค าถามตอไปน จะเลนเกมอยางไรจงจะเปนผชนะอยางแนนอน แนวคด : สมมต A และ B เลนเกม โดย A เปนผเลนกอน ดงนน B จะเปนผชนะโดยผลบวกของ จ านวนท A และ B หยบครงสดทายรวมเปน 60 แบบแผนการเลนเมอพจารณายอนกลบเปนดงน



90

ผลบวกกอนหนา + (ผลบวกจ านวนของ A และ B) = 60 + 6 = 60 + 6 = 54 + 6 = 48 + 6 = 42 + 6 = 12 + 6 = 6 เมอพจารณายอนกลบ จากผลบวกครงกอน รวมกบผลบวกของจ านวนของ A และ B ไดผลลพธเปน 60 และผลลพธในครงกอนหนาเปน 54, 48, 42, 36, 30, 24, 18, 12 และ 6 ตามล าดบ ดงนน B จะตองเลอกจ านวนทเมอรวมกบจ านวนท A เลอกแลวจะได 6 เสมอ ซงจะไดผลรวมตามล าดบดงน 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 ปญหาการพสจนทางเรขาคณต บางครงอาจใชแนวทางการพสจนโดยเรมจากผลไปหาเหต แลวจงมาเขยนล าดบการพสจนใหมจากเหตไปหาผล การหาเอกลกษณในตรโกณมต บางครงอาจตองหา แนวทางการพสจนทงจากซายไปขวา และจากขวาไปซาย เมอพสจนมาจนเทากนแลว จงน าไปเขยนเรยงล าดบจากซายไปขวา หรอจากขวาไปซายอยางใดอยางหนง ส าหรบในทนจะไมยกตวอยาง เนองจากการพสจนทางเรขาคณต และการพสจนเอกลกษณในตรโกณมตจะปรากฏในหลกสตรการศกษาขนพนฐาน ชวงชนท 3 และ 4

บทบาทของครในการสอนการแกปญหา

ครตองตดสนใจวาจะใหนกเรยนมโอกาสทจะเรยนรการแกปญหาในระดบความยากงายแคไหน หากเปนนกเรยนทมความสามารถสงอาจใชปญหาทมความยากและซบซอนไดตามสมควร แตถาเปนนกเรยนทมความสามารถไมมากนกครอาจเรมจากปญหางายๆ เพอใหนกเรยนสามารถแกปญหาไดและมก าลงใจทจะแกปญหาทแตกตางออกไปอก อยางไรกตามในการสอนการแกปญหาของนกเรยนกลมทวๆไป ครควรเรมจากปญหางาย ๆ กอน ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนการแกปญหา เมอนกเรยนยงไมมทกษะในการแกปญหา ครอาจใชค าถามกระตนใหนกเรยนสามารถคดและแกปญหาไปตามล าดบ เมอนกเรยนเรมคนเคยกบการ แกปญหาบางแลวครอาจใชค าถามเพอชแนะใหนอยลง และใหนกเรยนหาแนวทางแกปญหาดวยตนเอง



91

มากขน ในการจดกจกรรมการเรยนการสอนการแกปญหาครจะตองตดสนใจวาเมอใดจะใชค าถาม อยางไร เมอใดจะเสรมแรงเพอใหแนใจวานกเรยนไปไดถกทาง และแยกแยะไดวาสงใดไมถกตอง หรอ เมอใดควรจะมองหาแนวทางอนทเหมาะสมกวา และเมอใดจงจะใชการอภปรายรวมกนทงชน เพอให นกเรยนชวยกนคดแกปญหา โดยครและนกเรยนจะตองรบฟงขอคดเหนของนกเรยนแตละคนอยางตงใจ และในบางโอกาสครอาจตองใชค าถามกระตนอยางเหมาะสมเพอชวยใหนกเรยนสามารถคนหาแนวทาง ในการแกปญหาไดอยางมประสทธภาพตอไป ครอาจสอนการแกปญหาโดยสอดแทรกกบสาระเนอหาทนกเรยนก าลงเรยนอย หรอใชพนฐานความรทไดเรยนไปแลวมาแกปญหาแปลกใหม แตตองค านงวาไมควรเปนปญหาทยากเกนไปจนนกเรยนไมสมารถจะแกได หรองายจนเกนไปเปนเพยงแบบฝกหดธรรมดาไป นอกจากนน ในการสอนการแกปญหา ครตองตดสนใจดวยวา ตองการใหนกเรยนเขยนแสดงแนวคดหรอตองการใหแสดงขนตอนวธ ในกรณของการแกปญหาในเบองตน ถาครเพยงตองการดกระบวนการคด ของนกเรยนวาคดอยางไร ครอาจยงไมตองเนนขนตอนการเขยนใหเปนแบบแผนมากนก ซงจะชวยใหนกเรยนกลาแสดงออกทางความคดมากกวาทครจะเรมจากการเขมงวดการเขยนตามแบบแผน จนนกเรยนอาจไมกลาเขยนแสดงความคดของตน ในกรณทนกเรยนยงขาดทกษะการเขยน ครอาจใชการซกถามนกเรยนวาคดอยางไร และครอาจชวยเขยนแสดงความคดของนกเรยนกจะชวยใหนกเรยนกลาแสด’ความคดเหนซงน าไปสความสามารถในการสอสารและสอความหมายไดอกทางหนง

เนองจากการฝกฝนท าสงหนงสงใดอยบอย ๆ เชน ท าแบบฝกหดบอย ๆ คดหาแนวทางแกปญหาอยอยางสม าเสมอ จะชวยใหเกดทกษะหรอความช านาญ การเขยนแสดงวธท า การแสดงขนตอนการคดอยางมแบบแผน การแสดงกระบวนการแกปญหา กอใหเกดวนยในการท างาน และพฒนา ความสามารถในการแกปญหา รวมทงสามารถน าไปประยกตใชในชวตประจ าวนตางๆ ครควรใหความส าคญและเอาใจใส ในการพฒนาศกยภาพของนกเรยนในดานการแกปญหา ควรเนนย าใหนกเรยนไดฝกการเขยนแสดงขนตอนการท าใหมากขน โดยอาจชวยเหลอสนบสนน ชแนะอยางถกตองเหมาะสม ในการแกปญหาตาง ๆ และ ครไมควรมงเนนเฉพาะปญหาแปลกใหม ทผเรยนไมเคยเผชญมากอนเทานน เพราะจะท าใหผเรยนสวนใหญตองเผชญกบปญหาทยงยากเกนความสามารถของตน ในขณะทผเรยนอาจมพนฐานความร และ ประสบการณไมมากพอทจะแกปญหาได ซงจะกอใหเกดเจตคตทไมดตอการเรยนคณตศาสตร เกดการเบอหนาย และไมอยากเรยน ดงนนการสอนการแกปญหาควรมงใหผเรยนสามารถคดเปน และท าไดไปตามล าดบพฒนาการของเขา ชวยใหผเรยนมเจตคตทดตอการเรยนคณตศาสตร และพฒนาความสามารถทจะแกปญหาท ยงยากซบซอนตอไปในอนาคต

การประเมนความกาวหนาในการแกปญหา

การประเมนความกาวหนาในการแกปญหาของนกเรยนอาจประเมนผลสมฤทธในการใช ทกษะและกลยทธตาง ๆ ในการแกปญหา ในขณะเดยวกนอาจประเมนเจตคตและความเชอทเกยวกบการ



92

แกปญหาซงสงผลตอความมงมนในการแกปญหา การประเมนดงกลาวนจะเกยวของกบการใชเทคนคตอไปน

1) การสงเกตและการถามค าถาม 2) การประเมนตนเองของนกเรยน 3) การประเมนความสามารถโดยใชมาตรประมาณคา 4) การใชแบบทดสอบแบบเลอกตอบ แบบเตมค าตอบ หรอปญหาปลายเปด

เนองจากวธการประเมนความกาวหนาการแกปญหามอยหลากหลายเทคนค ในการจะเลอกใชเทคนคการประเมนแบบใดขนอยกบองคประกอบหลายอยาง เชน (1) จดประสงคของการประเมน หรอตองการใชผลการประเมนอยางไร (2) จ านวนนกเรยนทจะประเมน (3) เวลาทมอยส าหรบ การประเมน (4) ประสบการณในการประเมนการแกปญหาของผประเมน (5) เครองมอหรอสอวสดการประเมนทจะน ามาใชประโยชนได ครจงตองเลอกใชเทคนคตางๆ ใหสอดคลองกบจดประสงคของการประเมน แนวทางการจดกจกรรมการเรยนรการแกปญหาคณตศาสตร

การจดกจกรรมการเรยนรการแกปญหาคณตศาสตร เปนการจดกจกรรมการเรยนการสอน โดยผานกจกรรมปญหาหรอสถานการณปญหาทเหมาะสมกบวยและพฒนาการของนกเรยน ใหนกเรยนไดมประสบการณในการแกปญหาโดยใชขนตอนส ารวจ สบสวน สรางขอความคาดการณ อธบายและตดสนขอสรปของตนเอง ซงเปนการสงเสรมใหนกเรยนไดพฒนาทกษะ/กระบวนการทางคณตศาสตร มแนวคดทหลากหลาย มนสยกระตอรอรนไมยอทอ และมความมนใจในการแกปญหาทเผชญอยทงภายในและภายนอกหองเรยน ซงเปนทกษะพนฐานทนกเรยนสามารถน าตดตวไปใชแกปญหาในชวตประจ าวนได โดยแนวทางการจดกจกรรมการเรยนรการแกปญหาคณตศาสตรตองค านงถงลกษณะของปญหาทด เชน

1. ปญหาทดงดดความสนใจและทาทายความสามารถของนกเรยน 2. ปญหาทแปลกใหม 3. ปญหาทเปนสถานการณทางคณตศาสตรและปญหาในชวตประจ าวน 4. ปญหาในสถานการณจรง 5. ปญหาทสงเสรมกระบวนการแกปญหาทางคณตศาสตร 6. ปญหาทใชกลยทธแกปญหาไดมากกวาหนงกลยทธ 7. ปญหาทสงเสรมการส ารวจ สบสวน สรางขอความคาดการณ อธบาย และตดสนขอสรป ในกรณทวไป 8. ปญหาทสงเสรมขนตอนการพฒนาความคดของนกเรยนเพอน าไปสความคดรเรมสรางสรรค

9. ปญหาทเปดโอกาสใหนกเรยนไดคด อธบายในสงทตนคดและน าเสนอแนวคดของตนอยางอสระ



93

10. ปญหาทใชภาษาทเหมาะกบวยและระดบพฒนาการของนกเรยน 11. ปญหาทมขอมลขาดหาย มขอมลเกน มขอมลทขดแยงกนบาง หรออาจมค าตอบมากกวา หนงค าตอบหรอไมมค าตอบเลย

ลกษณะของปญหาทดดงทกลาวไวขางตน ครอาจยดเปนแนวทางในการพจารณาเลอกปญหา มาใชในการจดกจกรรมการเรยนรได

ตวอยางสถานการณทสอดคลองกบลกษณะของปญหาทดทสามารถน าไปเปนแนวทาง ในการสรางปญหาคณตศาสตรเพอใชในการจดกจกรรมการเรยนรการแกปญหาคณตศาสตรได เชน

เกบหอมรอมรบ

(แผนผงแสดงทตงบานของ ด.ช.มานะ รกเรยน) ด.ช.มานะ พรอมกบพอ ตองการไปฝากเงน ณ ธนาคารทอยอกฝงหนง ซงเปนเวลาทกระแสน าจะไหลจากทศตะวนตกไปทางทศตะวนออก โดยทบานของมานะมเรอพายและรถยนต ถาทานเปนพอของ ด.ช.มานะ ทานจะไปฝากเงนทธนาคารใด เพราะเหตใด ค าตอบของสถานการณนมหลากหลายขนอยกบเหตผลของแตละคน เชน - อาจไปฝากเงนทธนาคาร A เพราะตองการเดนไปเพอเปนการออกก าลงกายและพบปะกบ เพอนบานในชมชน - อาจไปฝากเงนทธนาคาร B เพราะตองการพายเรอขามตรงไปซงเปนระยะทางทใกลทสด - อาจไปฝากเงนทธนาคาร C เพราะพายเรอตามกระแสน าไหลไมตองออกแรงมาก และ คาดวาคงมคนไปฝากเงนกนนอย เนองจากอยไกลจากชมชน

ชมชนใฝด บานของ ด.ช.มานะ

1.5 กม.

ธนาคาร A ธนาคาร B ธนาคาร C 1 กม. 1.2 กม.

แมน า สะพาน

น.



94

ตวอยางการจดกจกรรมการเรยนรการแกปญหา คดสนกกบการบวกและการลบ ก าหนดตวอกษรแตละตวแทนเลขโดดทแตกตางกน จงหาเลขโดดทแทนตวอกษรเหลานน

ABCB BDCB CEAA

ขนท 1 ขนท าความเขาใจปญหา - โจทยก าหนดอะไรให A, B, C, D, E เปนเลขโดดทแตกตางกนและ ABCB + BDCB = CEAA - โจทยถามอะไร ใหหา A, B, C, D และ E ขนท 2 ขนวางแผนแกปญหา - ใชกลยทธการเดาและตรวจสอบ ขนท 3 ขนด าเนนการตามปญหา วทยากรอาจจะถามเพอใหเกดการคดวเคราะหและความสมเหตสมผลของค าตอบทได ดงน - A เปนจ านวนค หรอ จ านวนค เพราะเหตใด - ถา A เปนจ านวนค A จะเปนจ านวนนบทมากกวา 6 ไดหรอไม

เพราะเหตใด ฯลฯ ครอาจใชการถาม – ตอบ เพอสรปผลของปญหาดงน จากการพจารณาปญหา พบวา A อาจจะแทน 0, 2, 4, 6 หรอ 8 กรณท 1 ถา A แทน 0 อาจวเคราะหสรปปญหาไดดงน - ถา A แทน 0 เปนไปไมได เพราะจะท าให ABCB เปนจ านวนทมสามหลก ขดแยงกบโจทย กรณท 2 ถา A แทน 2 B เปนไปได 2 กรณ คอ B แทน 1 หรอ 6 พจารณาสรปไดวา - B แทน 1 แสดงวา C ตองแทน 6 เทานน ท าใหผลบวกในหลกพน ไมเปนจรง คอ 2 + 1 จะไมเทากบ 6 หรอ 2 + 1 รวมทดอก 1

กไมเทากบ 6

+



95

- B แทน 6 ไมได เพราะ ในหลกหนวย 6 บวกกบ 6 ได 12 ใส 2 ในหลกหนวย ทดหนงในหลกสบ ในหลกสบ C บวกกบ C รวมทดอกหนง ผลรวมทไดจะไมเปนจ านวนคแนนอน

ดงนน A แทน 2 ไมได กรณท 3 ถา A แทน 4 B เปนไปได 2 กรณ คอ B แทนดวย 2 หรอ 7 - B แทน 2 ท าใหสามารถแกปญหาได เพราะจะท าให C ตองแทน 7 มผลตอการแกปญหาดงน A B C B 4 2 7 2 B D C B 2 8 7 2 C E A A 7 1 4 4 ดงนน A แทน 4 B แทน 2 C แทน 7 D แทน 8 E แทน 1 ขนท 4 ขนตรวจสอบ

จากการด าเนนการแกปญหา พบวา A แทน 4 B แทน 2 C แทน 7 D แทน 8 และ E แทน 1 น าคาทไดไปแทนคาเพอตรวจสอบความถกตอง ดงน

A B C B 4 2 7 2 B D C B 2 8 7 2 C E A A 7 1 4 4 - B แทน 7 ไมได เพราะในหลกหนวย 7 บวกกบ 7 ได 14 ใส 4 ในหลกหนวย ทดหนงในหลกสบ ในหลกสบ C บวกกบ C รวมทดอกหนง ผลรวมทจะไดจะไมเปนจ านวนคแนนอน กรณท 4 ถา A แทน 6 B เปนไปได 2 กรณ คอ B แทน 3 หรอ 8 พจารณาสรปไดวา - B แทน 3 แสดงวา C ตองแทนดวย 8 เทานน ท าใหผลบวกในหลกพน ไมเปนจรง คอ 6 + 3 จะไมเทากบ 8 หรอ 6 + 3 รวมทดอก 1 กไม เทากบ 8

+ +

+ +



96

- B แทน 8 ไมได เพราะท าใหผลบวกในหลกพน 6 + 8 = 14 เปนจ านวนทมสองหลก ขดแยงกบปญหาทผลบวกในหลกพนตองเปนเลขโดด

ดงนน A แทน 6 ไมได กรณท 5 ถา A แทน 8 B เปนไปได 2 กรณ คอ B แทน 4 หรอ 9 พจารณาสรปไดวา - B แทน 4 ไมได เพราะท าใหผลบวกในหลกพน 8 + 4 = 12 เปนจ านวนทมสองหลก ขดแยงกบปญหาทผลบวกในหลกพนตองเปนเลขโดด - B แทน 9 ไมได เพราะท าใหผลบวกในหลกพน 8 + 9 = 17 เปนจ านวนทมสองหลก ขดแยงกบปญหาทผลบวกในหลกพนตองเปนเลขโดด ดงนน A แทน 8 ไมได



97

ตวอยางสถานการณปญหาคณตศาสตรส าหรบนกเรยน

ตวอยางท 1 ก าหนดตวอกษรแตละตว แทนเลขโดดทแตกตางกน จงหาเลขโดดทแทนตวอกษรเหลานน 1. A B C A แทน ................... B แทน ....................... C แทน ..................

2. A B GH A แทน ................... B แทน ....................... G แทน .................. H แทน .......................

3. AB C BA A แทน ................... B แทน ....................... C แทน ..................

4. M N M M แทน ................... N แทน .......................

5. EA FB AE A แทน ................... B แทน ....................... E แทน .................. F แทน .......................

6. XY YX X X แทน ................... Y แทน .......................

+ +

+ –

– –



98

แนวตอบสถานการณปญหาตวอยางท 1 แนวตอบขอ 1 ครอาจจะถามเพอใหเกดการคดวเคราะหดงน

- A แทน 3 และ B แทน 3 ไดหรอไม เพราะเหตใด

- A แทน 7 และ B แทนจ านวนทมากกวา 2 ไดหรอไม เพราะเหตใด

- B แทน 0 ไดหรอไม เพราะเหตใด ฯลฯ ดงนน ผลของปญหาขอท 1 มไดหลายค าตอบ เชน A แทน 2 B แทน 3 และ C แทน 5 หรอ A แทน 3 B แทน 4 และ C แทน 7 ฯลฯ แนวตอบขอ 2 ครอาจจะถามเพอใหเกดการคดวเคราะหดงน

- A แทน 1 ไดหรอไม เพราะเหตใด

- A แทน 2 และ B แทน 9 ไดหรอไม เพราะเหตใด ฯลฯ ดงนน ผลของปญหาขอท 2 มไดหลายค าตอบ เชน A แทน 2 B แทน 8 H แทน 0 และ G แทน 1 ฯลฯ แนวตอบขอ 3 ครอาจจะถามเพอใหเกดการคดวเคราะหดงน

- C แทน 0 ไดหรอไม เพราะเหตใด

- C แทน 1 ไดหรอไม เพราะเหตใด ฯลฯ ดงนน ผลของปญหาขอท 3 มไดหลายค าตอบ เชน A แทน 6 B แทน 7 และ C แทน 9 ฯลฯ แนวตอบขอ 4 ครอาจจะถามเพอใหเกดการคดวเคราะหดงน

- N แทน 6 ไดหรอไม เพราะเหตใด

- M แทน 2 และ N แทน 4 ไดหรอไม เพราะเหตใด ฯลฯ ดงนน ผลของปญหาขอท 4 มไดหลายค าตอบ เชน M แทน 2 N แทน 0 หรอ M แทน 5 และ N แทน 0 ฯลฯ แนวตอบขอ 5 ผลของปญหาขอท 5 มไดหลายค าตอบ เชน A แทน 1 B แทน 7 E แทน 4 และ F แทน 2 ฯลฯ แนวตอบขอ 5 ผลของปญหาขอท 6 X แทน 9 Y แทน 8



99

ครอาจใชค าถามนอกเหนอจากตวอยางและกระบวนการกลมในการแกปญหา ควรใหนกเรยนไดหาค าตอบของปญหาแตละขอทกค าตอบ โดยใหนกเรยนอธบายเหตผลของแตละค าตอบ ครอาจชวยแนะน าและสรปความถกตองของเหตผลในการหาค าตอบของนกเรยนอกครง ตวอยางท 2 จงน าจ านวน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 เตมลงใน ...................... โดยใหผลรวมในแตละวงกลม มคาเทากน

............

........

............ ............

............

........

........ ........



100

แนวตอบสถานการณปญหาตวอยางท 2 แนวคดของการแกปญหา 1. ในแตละวงกลมตองใชจ านวน 3 จ านวน

2. ให A, B, C, D, E, F, G และ H แทนบรเวณ ในแตละวงกลมโดย

H + A + B = B + C + D = D + E+ F = F + G + H 3. ตองน าจ านวน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 มาบวกกนชดละ 3 จ านวน จ านวน 4 ชด โดย ใหผลรวมแตละชดเทากน 4. ผลของการแกปญหาน มค าตอบไดหลายค าตอบ ซงค าตอบอาจเปนดงน

ถาตองการผลรวมในแตละวงกลมใหเทากนมคาเทากบ 13 - อาจจะสรางชดการบวกของจ านวน 3 จ านวน ใหมคาเทากบ 13 ไดดงน 1 + 4 + 8 1 + 5 + 7 2 + 3 + 8 2 + 4 + 7 2 + 5 + 6 3 + 4 + 6 - พจารณาใชชดการบวกทสรางขน จ านวน 4 ชด โดยมแนวการเลอก ดงน

A

H B C G

F D

E

4 + 8 + 1

5 + 7 + 1

6 + 3 + 4

6 + 2 + 5


คณตศาสตรประถมศกษา 7.การแกปญหาโดยใชแบบรป

101

ดงนน อาจเตมจ านวน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 และ 8 ลงในวงกลมแตละวงไดดงน ฯลฯ ตวอยางท 3 ก าหนดให A, B และ X เปนเลขโดดทแตกตางกน A B X A X X B X A A แทน .................................. B แทน ..................................

X แทน ..................................

8

1 4 3 7

5 6

2

+



102

แนวตอบสถานการณปญหาตวอยางท 3

ครอาจใชค าถามเพอใหเกดการคดวเคราะหดงน - A เปนจ านวนคไดหรอไม เพราะเหตใด

- B เปนจ านวนนบทมากกวา 4 ไดหรอไม เพราะเหตใด ฯลฯ

จากการคดวเคราะหสรปไดวา “A ตองเปนจ านวนคทไมเกน 4 ดงนน A อาจจะเปน 2

หรอ 4” กรณท 1 ถา A แทน 2 x เปนไปได 2 กรณ คอ x แทน 1 หรอ 6 พจารณาสรปไดวา - ถา A แทน 2 และ x แทน 1 จะได 2 0 1 2 1 1 4 1 2 แสดงวา B = 0 และ B = 4 ขดแยงกบโจทย เพราะ B ตองเปน จ านวนเดยวกน ดงนน A แทน 2 และ x แทน 1 เปนไปไมได

- ถา A แทน 2 และ x แทน 6 จะได 2 9 6 2 6 6 5 6 2 แสดงวา B = 9 และ B = 5 ขดแยงกบโจทย เพราะ B ตองเปน จ านวนเดยวกน ดงนน A แทน 2 และ x แทน 6 เปนไปไมได

+

+



103

กรณท 2 ถา A แทน 4 x เปนไปได 2 กรณ คอ x แทน 2 หรอ 7 พจารณาสรปไดวา - ถา A แทน 4 และ x แทน 2 จะได 4 0 2 4 2 2 8 2 4 แสดงวา B = 8 และ B = 0 ขดแยงกบโจทย เพราะ B ตองเปน จ านวนเดยวกน ดงนน A แทน 4 และ x แทน 2 เปนไปไมได

- ถา A แทน 4 และ x แทน 7 จะได 4 9 7 4 7 7 9 7 4 แสดงวา A = 4 x = 7 และ B = 9 เปนไปตามเงอนไขของโจทย ดงนน A แทน 4 B แทน 9

x แทน 6 ตวอยางท 4 ในการสรางจ านวนสามหลกโดยใชเลขโดด 1, 2, 3 และ 4 ทไมซ ากน จะสรางไดกจ านวนและเปนจ านวนใดบาง

+

+



104

แนวตอบสถานการณปญหาตวอยางท 4 แนวตอบสถานการณปญหาน อาจท าได 2 วธ ดงน วธท 1 ใชการแจกแจงรายการจากตาราง

หลก จ านวนท

รอย สบ หนวย

1 1 2 3 2 1 2 4 3 1 3 2 4 1 3 4 5 1 4 3 6 1 4 2 7 2 1 3 8 2 1 4 9 2 3 1 10 2 3 4 11 2 4 1 12 2 4 3 13 3 1 2 14 3 1 4 15 3 2 1 16 3 2 4 17 3 4 1 18 3 4 2 19 4 1 2 20 4 1 3 21 4 2 1 22 4 2 3 23 4 3 1 24 4 3 2



105

ดงนน จะมจ านวนสามหลกทงหมด 24 จ านวน ดงน 123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432 วธท 2 อาจใชแผนภาพตนไมเขยนแจกแจงรายการไดดงน ดงนน จะมจ านวนสามหลกทงหมด 24 จ านวน ดงน 123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432 หมายเหต อาจมแนวตอบนอกเหนอจากทกลาวมา ในการสรางสถานการณปญหาคณตศาสตร ครตองค านงถงพนฐานความรและระดบความสามารถของนกเรยน โดยสอดคลองกบลกษณะของปญหาทด เพอเปนการกระตนและเสรมแรงในการแกปญหาของนกเรยนตอไป

3 4 2 4 2 3

2

3

4

1

3 4 1 4 1 3

1

3

4

2

2 4 1 4 1 2

1

2

4

3

2 3 1 3 1 2

1

2

3

4



106

8. โครงงานคณตศาสตร

จดประสงคการอบรม เพอใหผเขารบการอบรม

1. ไดรบความรความเขาใจเกยวกบ ความส าคญของโครงงานคณตศาสตร ความหมายและประเภทของโครงงานคณตศาสตร กระบวนการท าโครงงานคณตศาสตร ตวอยางโครงงานคณตศาสตร การประเมนโครงงานคณตศาสตร

2. ไดแนวทางการจดกจกรรมการเรยนรดวยโครงงานคณตศาสตร สาระส าคญ/ความคดรวบยอด

1. โครงงานคณตศาสตรเปนกระบวนการในการฝกปฏบตใหผเรยนหาค าตอบของปญหา ทเกยวของกบคณตศาสตร โดยการตงสมมตฐาน ทดลองและสบสวน รวบรวมขอมลเพอหาขอสรปหรอขอคนพบดวยตนเอง แลวน าเสนอสงทคนพบ 2. โครงงานคณตศาสตร ม 4 ประเภท ไดแก ประเภททดลอง ประเภทส ารวจ ประเภทพฒนาหรอประดษฐ และประเภทการสรางทฤษฎหรอการอธบาย 3. โครงงานคณตศาสตร ชวยใหผเรยนไดพฒนาความคดอยางเปนระบบ พฒนาความเชอมนตอการน าคณตศาสตรไปใชใหเกดประโยชนในสถานการณตาง ๆ ในชวตจรง และเปนการสงเสรมการพฒนาความคดรเรมสรางสรรค พฒนาการคดยดหยน และกระตนใหเกดความคดในการสบสวนไตถาม 4. การท าโครงงานคณตศาสตร มกระบวนการดงน เลอกหวขอ ก าหนดจดประสงค วางแผนด าเนนการ รวบรวมขอมล วเคราะหขอมล สรปผลการด าเนนงาน และน าเสนอผลงาน ความส าคญและความจ าเปนทตองสอนโครงงานคณตศาสตร

พระราชบญญตการศกษาแหงชาต พทธศกราช 2542 มาตรา 22 ก าหนดวา ผเรยนทกคนมความสามารถเรยนรและพฒนาตนเองได กระบวนการจดการศกษาตองสงเสรมใหผเรยนสามารถพฒนาตามธรรมชาตและเตมตามศกยภาพ การจดกระบวนการเรยนร เนอหาสาระและกจกรรม ตองสอดคลองกบความสนใจและความถนดของผเรยน เรยนรจากประสบการณจรง เรยนรไดทกเวลาทกสถานท

หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ไดเสนอแนวการจดการเรยนรในชวงชนท 2 ชนประถมศกษาปท 4 – 6 ใหจดการเรยนรทเปดโอกาสใหผเรยนไดเลอกเรยนในสงทตนเองสนใจ มงเนนทกษะการท างานเปนกลม การสอนโครงงาน เพอมงใหผเรยนเกดทกษะในการคด


8. โครงงานคณตศาสตร คณตศาสตรประถมศกษา

107

การคนควา แสวงหาความร สรางความรดวยตนเอง สามารถสรางสรรคผลงานแลวน าไปแลกเปลยนเรยนรกบผอน

โครงงานคณตศาสตรเปนกระบวนการทฝกใหผเรยนไดเรยนรเรองใดเรองหนงอยางลมลกดวยตนเอง ไดลงมอปฏบตจรง โดยใชวธการเรยนรจากการคดวางแผนไวลวงหนา ใชแหลงการเรยนรอยางหลากหลาย น าผลการเรยนรไปใชในชวตจรง โดยมครเปนผคอยกระตน แนะน าและใหค าปรกษาอยางใกลชด หลกการจดกจกรรมโครงงานคณตศาสตร

หลกการจดกจกรรมโครงงานคณตศาสตรมลกษณะดงน 1. เปนเรองเกยวกบคณตศาสตร และเทคโนโลย ทน าไปใชประโยชนได 2. เปนการเสาะแสวงหาความรดวยตนเอง เพอฝกการคดเปน ท าเปน และแกปญหาเปน

ดวยกระบวนการทางวทยาศาสตร 3. ใหอสระแกผท าโครงงานในการก าหนดเรองทจะท าตามความสนใจ

ประเภทของโครงงานคณตศาสตร

โครงงานคณตศาสตรมหลายรปแบบดงน 1. โครงงานคณตศาสตรประเภททดลอง (Experimental Research Project) โครงงานน เปนการศกษาหาค าตอบของปญหาโดยการออกแบบการทดลองและด าเนนการทดลองเพอตรวจสอบสมมตฐานทตงไว ขนตอนการท างานประกอบไปดวยการก าหนดปญหา การตงสมมตฐาน การออกแบบการทดลอง ซงจะตองมการควบคมตวแปรตาง ๆ การแปลผลและการสรปผลการทดลอง 2. โครงงานคณตศาสตรประเภทส ารวจ (Survey Research Project) โครงงานประเภทน เปนการศกษาและรวบรวมขอมลจากสงแวดลอม ธรรมชาต โดยมวตถประสงคเพอศกษาหาความร จากธรรมชาต โดยการส ารวจและรวบรวมขอมลตาง ๆ น าขอมลมาจดและน าเสนอในรปแบบตาง ๆ ตามความเหมาะสม 3. โครงงานคณตศาสตรประเภทพฒนาหรอประดษฐ (Development Research Project) โครงงานประเภทนเปนการพฒนาหรอประดษฐเครองมอหรออปกรณตาง ๆ โดยการประยกตทฤษฎหรอหลกการตาง ๆ ทางคณตศาสตรจะเปนการปรบปรงอปกรณเครองมอทมอยแลวใหมประสทธภาพ ดกวาเดมหรอเปนการประดษฐสงใหมทไมเคยมมากอน รวมทงเปนการเสนอหรอปรบแบบจ าลอง ทางความคดเพอแกปญหาหนง 4. โครงงานคณตศาสตรประเภทการสรางทฤษฎหรอการอธบาย (Theortied Research Project) โครงงานประเภทนเปนโครงงานทผท าจะตองเสนอความคดใหม ๆ ในการอธบายเรองใด เรองหนง อยางมเหตผล มหลกการทางคณตศาสตรหรอทฤษฎสนบสนน หรอเปนการอธบาย



108

ปรากฏการณในแนวใหม เสนอในรปค าอธบาย สตร สมการ โดยมทฤษฎขอมลอนสนบสนน การท าโครงงานประเภทนผท าจะตองมพนฐานความรทางคณตศาสตรเปนอยางด จงจะสามารถสรางค าอธบายหรอทฤษฎได

บทบาทของครในการเรมตนสอนโครงงานคณตศาสตร

ครตองทบทวนวตถประสงค/จดมงหมายของการใหผเรยนท าโครงงาน จดมงหมายของการท าโครงงาน 1. ใชความรประสบการณ ปฏบตงานตามความสามารถ ความสนใจ และความถนด ของตนเอง 2. ไดศกษาคนควาหาความร หาขอมลจากแหลงเรยนรตาง ๆ 3. ไดแสดงออกซงความคดสรางสรรค 4. มเจตคตทดตอการปฏบตงานและเหนคณคาของการใชกระบวนการทางวทยาศาสตร การแกปญหา ฝกการใชเหตผลเชงคณตศาสตร 5. ฝกความรบผดชอบ ด าเนนงานตามความมงหมายทตงไว ท าใหสามารถสรางผลงาน และน าไปใชประโยชนได

ครควรศกษาเอกสารทเกยวกบโครงงานคณตศาสตรตาง ๆ เชน อานหนงสอ 101 โครงงานคณตศาสตร ซงแปลโดย ศ.ยพน พพธกล และรศ.ดร.สรพร ทพยคง

บทบาทของครในระยะเรมตน - กระตนความสนใจ สรางแรงบนดาลใจ เสรมก าลงใจใหผเรยนอยากท าโครงงาน - คดรายการ ประเดนค าถาม สถานการณทนาสนใจเตรยมไว เพอสรางความสงสยใหกบ

ผเรยน ควรจดใหผเรยนคดปญหากนเองตามล าพง เพอสงเสรมลกษณะนสยใฝรใฝเรยน ซงอาจดตวอยางจากหนงสอ 101 โครงงานคณตศาสตร

- ท าความเขาใจในกระบวนการท าโครงงานคณตศาสตรอยางถกตอง โดยอาจท าโครงงาน เรองใดเรองหนงไปพรอมกบผเรยน

- กระตนใหผเรยนถามตวเองวามปญหาใดบางทตองการหาค าตอบและยงไมสามารถหาค าตอบได เมอผเรยนเกดปญหาและตองการทจะหาค าตอบ เขายอมเกดความกระตอรอรนทจะศกษาดวยการท าโครงงาน

บทบาทของคร ระยะทผเรยนท าโครงงาน - ตดตามการท างาน ตามปฏทน/แผนงาน - จดเวลาใหผเรยนไดพบ เพอรายงานความกาวหนาหรอใหค าแนะน า - อานงานทผเรยนเขยน - ตดตาม ประเมนและใหค าแนะน าอยางตอเนอง บทบาทของคร ระยะสนสดการท าโครงงาน - จดเวทใหผเรยนไดเสนอผลงานในรปแบบตาง ๆ



109

- กอนเขยนรายงาน ใหผเรยนรายงานใหฟงคราว ๆ - สงเสรมใหขยายงาน หรอตอยอดจากผลงาน - รวบรวมงานของผเรยนไวเปนหมวดหม

แนวทางการจดท าโครงงานคณตศาสตร มขนตอนดงน

1. การเลอกหวขอเรองหรอปญหาทจะศกษา ผเรยนเปนผเลอกเรองทสนใจ หลงจากจบบทเรยน เนองจากการท าโครงงานไมใชเปนการเพมเนอหาใหมใหผเรยน แตเปนการฝกปฏบตดวยกจกรรมตาง ๆโดยค านงถงระดบความรพนฐาน ในระยะเรมแรกครอาจเปนผตงค าถามใหผเรยนเกดขอสงสย หรอครเตรยมรายการประเดนปญหาหรอหวขอเรองมาใหผเรยนเลอก

2. การก าหนดจดประสงคของการท าโครงงาน กอนท าโครงงานตองรวาตองการไดอะไร จากการท าโครงงานน ตงจดประสงคเพยง 1 – 3 ขอ และเมอท าเสรจตองตอบจดประสงคทตงไว

3. การวางแผนด าเนนการหรอวางเคาโครงเพอก าหนดขอบเขตของงาน ครตองชวยพจารณาไมใหขอบเขตของงานกวางไป ตองใหเหมาะสมกบเวลา งบประมาณ เทคนควธการ และวสด/อปกรณทใชในการท าโครงงาน จงจ าเปนตองเขยนเคาโครงของงาน

3.1 ชอโครงงาน 3.2 ชอผท า 3.3 ชอทปรกษา 3.4 ความเปนมา 3.5 วตถประสงค 3.6 เนอหา สาระส าคญทางคณตศาสตรทน ามาใช

3.7 แผนการด าเนนงาน 4. รวบรวมขอมล ผเรยนตองทราบวธการเกบรวบรวมขอมลตาง ๆ เครองมอทใช และแหลงขอมล 5. วเคราะหขอมล น าขอมลทไดจากการเกบรวบรวมมาวเคราะหโดยใชวธการทเหมาะสมกบลกษณะของขอมลนน ๆ 6. สรปผลการด าเนนงาน เปนการเสนอผลการศกษา โดยการเขยนรายงาน - การเขยนรายงาน ประกอบดวย - ความเปนมาของปญหา - วตถประสงค - เนอหาคณตศาสตรทเกยวของ - สมมตฐาน (ถาม) - การด าเนนงาน - ผลการด าเนนงาน



110

- สรป อภปราย และเสนอแนะ - เอกสารอางอง

7. น าเสนอผลงาน เพอใหผอนไดรบรและเขาถงโครงงานซงอาจน าเสนอเปนตาราง การสาธตประกอบการบรรยาย แผนภมรปภาพ แผนภมแทง กราฟ การสรางแบบจ าลอง การจดนทรรศการ เปนตน การประเมนโครงงานคณตศาสตร

การประเมนโครงงานคณตศาสตรสามารถประเมนโดยคนหลาย ๆ กลม เชน ประเมนดวยตนเอง ประเมนดวยเพอน ประเมนดวยคร-อาจารย หรอผปกครอง แตตองมการตกลงประเดนส าคญทจะประเมนและก าหนดเกณฑการประเมนรวมกน ซงประเมนได 2 แบบ คอ การประเมนในภาพรวม (Holistic Scoring Rubrics) และการประเมนแบบแยกสวน (Analytic Scoring Rubrics) การประเมนโครงงานคณตศาสตรควรประเมนประเดนส าคญ 3 ประเดน

1. ความส าคญของการจดท าโครงงาน 2. เนอหาของโครงงาน 3. การน าเสนอโครงงาน ส าหรบการประเมนอาจท าการประเมนโครงงานโดยภาพรวม เครองมอทใชประเมน

ตอนท 1 เปนแบบตรวจค าตอบ ตอนท 2 และตอนท 3 เปนแบบมาตราสวนประมาณคา

ตวอยางการประเมนโครงงานคณตศาสตร ตอนท 1 ความส าคญของการจดท าโครงงาน

1. โครงงานทจดท าเปน งานเดยว งานกลม

2. การรเรมโครงงาน นกเรยนรเรมกนเอง ครชวยแนะแนวทาง

3. การพฒนาตนเอง ม ไมม

4. การพฒนางาน ม ไมม

5. ความสอดคลองกบเนอหาในบทเรยน สอดคลอง ไมสอดคลอง

6. ประโยชนในชวตจรง ม ไมม



111

ตอนท 2 เนอหาของโครงงาน และการน าเสนอโครงงาน จงท าเครองหมาย ลงในชองระดบความคดเหนทตรงกบความเหนของทานทสด

รายการ ระดบความคดเหน

มากทสด

มาก ปานกลาง

นอย นอยทสด

เนอหาของโครงงาน 1. ความถกตองทางวชากร

2. ความเหมาะสมในการใชแนวคด ทางวชาการ

3. เลอกใชขอมลขาวสารเหมาะสม 4. มการสรปทชดเจน 5. มความคดรเรมสรางสรรค กระบวนการท างาน 6. มการวางแผนอยางเปนระบบ

7. มการด าเนนงานตามแผน 8. มการประเมนและปรบปรง การด าเนนงาน

การน าเสนอโครงงาน 9. การรายงานสามารถสอความหมาย

10. ความสมบรณของขอมล 11. ความเหมาะสมของรปแบบทใช น าเสนอ

12. ขอสรปของโครงงานบรรล จดประสงค

ประโยชนทไดจากการท าโครงงานคณตศาสตร การท าโครงงานคณตศาสตร จะชวยใหผเรยนน าความรในชนเรยนมาบรณาการกบกจกรรมทจะกระท า เพอน าไปสความรใหม ๆ ดวยการสรางความหมาย การแกปญหา และการคนพบองคความรดวยตนเอง เปนการสอนใหผเรยนไดรจกวธท าโครงการวจยเลก ๆ (Mini Research) ทผเรยนไดลงมอปฏบตเพอพฒนาความร ทกษะ และสรางผลผลตทมคณภาพ จดประสงคหลกของการท าโครงงาน เพอตองการกระตนใหผเรยนรจกสงเกต รจกตงค าถาม รจกตงสมมตฐาน รจกวธแสวงหาความรดวยตนเอง เพอตอบค าถามทตนอยากร รจกสรปและท าความเขาใจเกยวกบสงทคนพบ อาจสรปยอ ๆ เปนแผนผงดงน



112

ตวอยางโครงงานคณตศาสตร

โครงงานคณตศาสตรตามความเปนจรงทเกดขนในโรงเรยนระดบประถมศกษาทเกยวของ กบประเดนทางคณตศาสตร ทแสดงความสมพนธเชอมโยงคณตศาสตรกบสงแวดลอมรอบตว เปนโครงงานลกษณะการน าคณตศาสตรไปใชและการใชวธทหลากหลายในการท าโครงงาน ดงตวอยางตอไปน

โครงงาน

รจกแกปญหา เกดความร มบทบาทและ

มสวนรวมในกระบวนการเรยนร

รจกวธแสวงหาขอมล

ไดนสยทด ในการท างาน

น าความรไปใชประโยชน

การใชเวลาวางใหเปนประโยชน

รจกประเมน ผลงานตนเอง

ความคดรเรมสรางสรรค

การท างานรวมกน สงเสรมศกยภาพ

ของนกเรยน

ท างานอยางมแบบแผน

นกเรยนสนใจเพราะไดปฏบตจรง



113

ตวอยางท 1 ชอโครงงาน คณตคดพอเพยง.....สชวตทมนคง ระดบการศกษา ชนประถมศกษาปท 6 ความเปนมาของโครงงาน สภาพภมศาสตรของจงหวดอางทอง อาชพของประชาชนเนนสนคาหนงต าบลหนงผลตภณฑ และสงทผเรยนสนใจ ไดแก

(1) ผลตภณฑของทองถนตนเอง คอการท ากลองของอ าเภอปาโมก และท ากระเปาจกสาน อ าเภอโพธทอง

(2) การด ารงชวตของพอคาแมคาในทองถนทประหยด มความสข และสงเกตสนคาทมผนยมซอไปเปนของขวญในโอกาสตาง ๆ

(3) วธเลอกชอวสด – อปกรณ เพอลดตนทนวธการขายใหไดก าไร วตถประสงค

(1) เพอคนหาวธการเลอกซอวสด – อปกรณ คณภาพดราคาถกเพอลดตนทน (2) เพอรเทคนคการขายกลองและกระเปาจกสานใหไดก าไร (3) วธการสะสมก าไรในการคาขาย

เนอหาคณตศาสตรทเกยวของ

1. การคดค านวณ การคดตนทน ราคาขาย ก าไร 2. การแกโจทยปญหา (บญญตไตรยางศ) เพอเปรยบเทยบราคา สนคาใดราคาถกกวากน 3. ทศ 4. รปวงกลม รศม เสนผานศนยกลาง พนท 5. รปเรขาคณตสามมต ทรงกลม ทรงกระบอก กรวย ปรซม ทรงสเหลยมมมฉาก

การด าเนนงาน 1. เลอกประธาน กรรมการ เลขานการ 2. ประชมวางแผน ก าหนดปฏทนการปฏบตศกษาหาขอมล

รายการปฏบต วธการ ระยะเวลา ผรบผดชอบ

1. ศกษาความเปนมาของการท าการขายกลองและกระเปาจกสาน

1. สมภาษณผผลต 18 – 20 พ.ค. 55 ด.ญ.ไอรน วระชนประเสรฐ ด.ญ.พรญาณ โอโถง ด.ช.กฤตนน ตนประสงครตน

2. ศกษาเทคนคการท าสนคาใหตนทนต า คณภาพด

2. สมภาษณผผลต 21 – 23 พ.ค. 55

3. ศกษาเทคนคการขาย 3. สอบถามลกคา สงเกต 24 – 30 พ.ค. 55



114

รายการปฏบต วธการ ระยะเวลา ผรบผดชอบ สนคาคณภาพดราคาไมแพง วธการขายสนคา 4. ศกษาตนทน รายรบ รายจายของการขายสนคา

4. คดค านวณตนทน รายรบ รายจาย

30 – 31 พ.ค. 55

5. รวบรวมขอมลและวเคราะห

5. จดพมพ ขอค าแนะน า จากคร

3 – 4 ม.ย. 55

6. ปรบปรงแกไข 6. พมพรายงาน 5 – 8 ม.ย. 55 7. น าเสนอผลงาน 7. จดรปเลม 9 ม.ย. 55

ผลการด าเนนงาน ผลจากการสมภาษณผผลตสนคา แสดงตารางท 1 ตารางท 1 แสดงตวอยาง ราคาทน ราคาขาย ก าไรตอหนงหนวย

รายการสนคา ราคาทน (บาท)

ราคาขาย (บาท)

ก าไร (บาท)

1. กลองยาว 1 ใบ 2. กระเปาจกสาน 1 ใบ 3. ตะกราจกสาน 1 ใบ

250 400 300

300 470 360

50 70 60

สรปขอมล คดก าไรจากตนทนเปนรอยละ สรปสาเหตทไดก าไร ซอวสดจ านวนมากจากรานขายสง คดก าไรของสนคาตอ 1 หนวย สามารถลดราคาใหอกถาพอคาแมคาทงในชมชนและ ตางอ าเภอซอไปขายตอ โดยซอเปนจ านวนมาก ตารางท 2 แสดงรายการสนคา ขนาด และราคา

ชอกลอง เสนผานศนยกลาง

(เซนตเมตร) ความสง

(เซนตเมตร) ราคา

(บาท) 1. กลองยาว 2. กลองแจมเป 3. กลองแดง 4. กลองแดงหนา 5. กลองตะโพน 6. กลองตก ฯลฯ

30 25 23 20 32 22

65 57 12 10 54 22

1,600 1,000 160 140 1,500 200



115

สรปขอมล กลองทเสนผานศนยกลางไมยาวมาก ราคาถก เพราะใชหนงนอย ในการท า พนทหนากลอง สวนความสงถาสงมากกราคาแพง เพราะใชไมมากขน สวนใหญใชไมกามป หรอ ไมมะมวง ตารางท 3 แสดงราคาขายเครองจกสานและวตถดบทใช

เครองจกสาน ขายปลก ขายสง วสด 1. กระเปาจกสานทรงคอมดอกพกลฝาเทน 2. กระเปาถอ 3. กระเปาจกสานทรงกระทอมจว 4. กระเปาจกสานไมไผ

900 700 400

1,000

800 650 350 800

ไมไผ ไมไผ ไมไผ ไมไผ

บญชแสดงรายรบ – รายจายการขายกลอง ตงแตวนท 1 มถนายน – 30 มถนายน 2555 วน/เดอน/ป รายรบ (ราคาขาย) รายจาย (ตนทน) คงเหลอ (ก าไร)

1 ม.ย. 55

30 ม.ย. 55

1,550

1,300

1,300

1,000

250

300 รวม 51,490 44,280 7,210

จากการท าบญชรายรบ – รายจาย การขายกลอง ท าใหทราบรายรบ – รายจาย เมอค านวณแลวมก าไรเดอนละ 7,210 บาท จงมทนหมนเวยนอยทกวน

บญชแสดงรายรบ – รายจาย การขายเครองจกสาน ตงแตวนท 1 มถนายน – 30 มถนายน 2555 วน/เดอน/ป รายรบ (ราคาขาย) รายจาย (ตนทน) คงเหลอ (ก าไร)

1 ม.ย. 55

30 ม.ย. 55

3,900

1,600

3,300

1,350

600

250 รวม 89,660 76,780 12,880

จากการท าบญชรายรบ – รายจาย การขายเครองจกสาน ท าใหทราบรายรบ – รายจาย เมอค านวณแลวมก าไรเดอนละ 12,880 บาท จงมทนหมนเวยนอยทกวน



116

การเปรยบเทยบราคาสนคาจากรานขายปลกและรานขายสงในการท ากลอง

รายการวสด – อปกรณ ราคาขาย

ราคาถกกวา รานขายปลก รานขายสง

หนงวว – ควาย 1 กโลกรม สโอค 1 ขวด แลคเกอร 1 ขวด

1,000 250 50

800 200 30

200 50 20

จากการเปรยบเทยบราคาสนคา 3 รายการ ผผลตสามารถซอวสดอปกรณจากรานขายสง ถกกวาซอจากรานขายปลก จ านวน 270 บาท ถาซอวสดอปกรณจ านวนมากราคาจะยงถกลงไปอก

การเปรยบเทยบราคาสนคาจากรานขายปลกและขายสงในการท าเครองจกสาน

รายการวสด – อปกรณ ราคาขาย

ราคาถกกวา รานขายปลก รานขายสง

ไมไผ 1 ตง (35 – 50) หวาย 1 ตง สยอมไม 1 ขวด แลคเกอร 1 ขวด

80 300 300 250

50 200 200 200

30 100 100 50

จากการเปรยบเทยบราคาสนคา 4 รายการ ผผลตสามารถซอวสดอปกรณจากรานขายสง ถกกวาซอจากรานขายปลก จ านวน 280 บาท ถาซอวสดอปกรณจ านวนมากราคาจะยงถกลงไปอก สรปผลจากการท าโครงงาน 1. ไดรจกวธซอวสดอปกรณ การผลตสนคาในราคาตนทนต า สนคาคณภาพสง ขายไดก าไรมาก ตองซอวสดอปกรณจากรานขายสงหรอรานทซอประจ า 2. จากการสมภาษณผผลต ทราบวามพอคาแมคาจากกรงเทพมหานครและตางจงหวดมารบไปขายตอเปนจ านวนมาก และเครองจกสานมการสงไปขายประเทศญปน การผลตสนคาทง 2 ชนด ผผลตสนคาพฒนาปรบปรงสนคาตามขอเสนอแนะของลกคา ท ากนมาเปนเวลายาวนานเปนทยอมรบของ คนไทย จงหวดอางทองไดรบการขนานนามวา “โดงดงจกสาน ถนฐานท ากลอง” 3. จากการสมภาษณลกคาจ านวน 50 คน บอกวาราคาไมแพง สนคามคณภาพ ทนทาน ตอการใชงาน มรปแบบสวยงามและมใหเลอกตามใจชอบ 4. จากการสงเกตผเรยนพบวา ผขายซงเปนผผลตเองท าการคาขายดวยความซอสตยตอลกคาไมเอาเปรยบลกคา คดก าไรไมมากขอเพยงใหอยไดและน ารายไดมาเลยงครอบครว ใชจายอยางประหยด มเหตผลในการใชจาย มความขยนตอการประกอบอาชพ สงลกเรยนหนงสอ เกบออมเงนฝากธนาคาร



117

ขอเสนอแนะ 1. โครงงานนเปนการศกษาตวอยางเพยง 2 อ าเภอ ควรศกษาทง 7 อ าเภอของจงหวดอางทอง 2. โครงงานนควรไดรบการเผยแพรเพอเปนตวอยางในการท าธรกจตามแนวคดเศรษฐกจพอเพยง ประโยชนของโครงงาน 1. ท าใหรเทคนคการลดตนทน ซอวสดอปกรณราคาถกแตมคณภาพ จากรานขายสง 2. ท าใหรจกเทคนคการขาย ตองปรบปรงสนคาตามค าแนะน าของลกคา 3. เปนตวอยางในการคาขาย ไมคดก าไรมากตอหนงหนวย ท าใหมลกคาประจ ามารบไปขายและขายไดจ านวนมาก ท าใหไดก าไรมากโดยรวมก าไรจากหลาย ๆ ชน และมความเปนอยอยางพอเพยง รจกใชจายอยางมเหตผล รวมถงการรจกเกบออม

ตวอยางท 2 ชอโครงงาน บรรณารกษนอย ระดบการศกษา ชนประถมศกษาปท 5 – 6 ความเปนมา โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยขอนแกน ระดบประถมศกษา มนกเรยนประมาณ 1,000 คน คร 50 คน มครทท าหนาทบรหารหองสมดเพยง 1 คน กลมผเรยนสนใจเขารวมโครงการสานฝน สบรรณารกษนอย อาสาสมครชวยงานตอนพกกลางวนและหลงเลกเรยน จากการชวยงานหองสมดพบวาหนงสอในหองสมดมการจดหมวดหมหลายประเภท และบางเลมมไมเพยงพอตอความตองการของ ผยม ผเรยนสนใจอยากทราบวาหนงสอประเภทใดเลมใดทนกเรยนใหความสนใจยมบอย ขอมลเหลานจะเปนประโยชนตอโรงเรยนในการจดซอหนงสอเขาหองสมดในแตละป วตถประสงค 1. เพอส ารวจหนงสอทนกเรยนสนใจตามหมวดหม 2. เพอส ารวจหนงสอทนกเรยนสนใจตามระดบชนของนกเรยน 3. เพอหาคาเฉลยของจ านวนหนงสอทนกเรยนยมในแตละวน 4. เพอเปนขอมลเสนอโรงเรยนในการจดซอหนงสอเขาหองสมด คณตศาสตรทเกยวของ 1. จ านวน การบวก การลบ การคณ การหาร 2. การหาคาเฉลย การปดเศษ 3. การแจกแจงความถ 4. การน าเสนอขอมลโดยใช ตาราง แผนภมแทง



118

ระยะเวลาด าเนนการ วนท 1 กรกฎาคม – 4 สงหาคม 2555 วธด าเนนงาน 1. จดบนทกสถตการยมหนงสอ – สอในแตละวน แยกตามหมวดหมและตามระดบชนเรยน 2. แจกแจงความถ หาคาเฉลย แยกตามระดบชนเรยน 3. ส ารวจรายการหนงสอทนกเรยนใหความสนใจ 10 อนดบแรกจากบตรยม 4. ตรวจสอบความถกตองของขอมล 5. น าเสนอขอมลในรปตาราง แผนภมแทง ผลการด าเนนงาน 1. หมวดหมหนงสอทนกเรยนยมมากทสด 3 อนดบแรก คอ (1) หนงสอภาพส าหรบเดก (2) นวนยาย เรองสน หนงสอส าหรบเยาวชน (3) หมวด 800 วรรณคด 2. ระดบชนทมการยมหนงสอมากทสด 3 อนดบแรก คอ (1) ชนประถมศกษาปท 5 (2) ชนประถมศกษาปท 4 (3) ชนประถมศกษาปท 6 3. รายการหนงสอ 10 อนดบแรกจากบตรยม ไดแก ความฝนของฉน กฬาไดโนเสาร รวมนทานธรรมชาตแสนรก ลกหมกบฤดหนาว ดอกไมแสนรก รวมนทานดเดน หยดน าผจญภย ปลายสรอยชอบพสจน หมาปานอยไมอยากหอน และของใชของเดกด ตารางท 1 บนทกสถตการยมหนงสอ – สอ หองสมดระดบประถมศกษา ประจ าเดอนกรกฎาคม – สงหาคม 2555

หมวดหม ชน

หนงสอภาพ

นวนยาย ฯลฯ

วารสาร สอ CD VCD

หมวดหนงสอ 000 100 200 300 400 500 600 700 800 900 รวม

ป.1 488 1 0 0 1 0 0 0 0 6 0 1 2 0 499 ป.2 365 3 0 0 0 0 1 1 4 6 0 3 3 0 386 ป.3 272 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 16 0 290 ป.4 495 106 0 20 0 2 4 0 10 26 8 1 51 5 728 ป.5 543 114 0 17 1 1 0 3 10 37 8 2 62 6 804 ป.6 413 106 0 21 0 2 2 0 12 14 2 3 55 4 634 รวม 2,507 330 0 58 2 5 7 4 37 90 18 10 189 15 3,341



119

ตารางท 2 สรปสถตการยมหนงสอ แยกตามระดบชนเรยน ตงแตวนท 1 กรกฎาคม – 4 สงหาคม 2555 (รวม 23 วน)

ชน จ านวนหนงสอทยม (เลม) เฉลยตอวน (เลม) อนดบท ป.1 ป.2 ป.3 ป.4 ป.5 ป.6

499 386 290 728 804 634

21.69 – 22 16.78 – 17 12.80 – 13 31.65 – 32 34.95 – 35 27.56 – 28

4 5 6 2 1 3

รวม 3,341 147 แผนภมแทง แสดงจ านวนหนงสอทนกเรยนยม แยกตามระดบชนเรยน

ตงแตวนท 1 กรกฎาคม – 4 สงหาคม 2555 ก าหนดให แทนจ านวนหนงสอ 100 เลม สรป

1. หมวดหมหนงสอทนกเรยนยมมากทสด 3 อนดบแรก คอ (1) หนงสอภาพส าหรบเดก (2) นวนยาย เรองสน หนงสอส าหรบเยาวชน (3) หมวด 800 วรรณคด

900 – 800 – 700 – 600 – 500 – 400 – 300 – 200 – 100 – 0

ป.1 ป.2 ป.3 ป.4 ป.5 ป.6

499

386 290

728 804

634

ระดบชน

จ านวนเลม



120

2. ระดบชนเรยนทมการยมหนงสอมากทสด 3 อนดบแรก คอ (1) ชนประถมศกษาปท 5 (2) ชนประถมศกษาปท 4 (3) ชนประถมศกษาปท 6

3. ขอมลทเปนประโยชนตอโรงเรยนในการจดหนงสอเขาหองสมด 3.1 หมวดหมหนงสอทควรซอเพม คอ

(1) หนงสอภาพส าหรบเดก (2) นวนยาย เรองสน หนงสอส าหรบเยาวชน (3) หมวด 800 วรรณคด

3.2 ระดบชนเรยนทควรจดกจกรรมสงเสรมการอาน 3 อนดบแรก คอ (1) ชนประถมศกษาปท 3 (2) ชนประถมศกษาปท 2 (3) ชนประถมศกษาปท 1

ขอเสนอแนะ 1. ควรเกบรวบรวมขอมลตลอดปการศกษา เพอใหไดขอมลทเชอถอไดมากยงขน 2. ระบบการจดหมวดหมหนงสอ ระบบทศนยมดวอเปนการจดแบบใชตวเลขทมรายละเอยด ทมากกวาน ควรมการศกษาตอไปในหมวดหมยอย เพอเปนประโยชนในการจดซอหนงสอ เขาหองสมด

ตวอยางท 3 ชอโครงงาน กลองวเศษ ระดบการศกษา ชนประถมศกษาปท 6 ความเปนมา ปจจบนรฐบาลมการสงเสรมการผลตสนคาจากภมปญญาไทย สนคาหนงต าบลหนงผลตภณฑ ซงมสนคาหลายประเภท แตกลองหรอบรรจภณฑยงไมสวยงาม ไมสะดดตา ไมจงใจใหชวนซอ จงท าใหยอดจ าหนายไมสง ดงนนผจดท าโครงงานจงมความคดวาจะท า “กลองวเศษ” โดยน าความรเรองรปเรขาคณตสามมตมาใชในการออกแบบบรรจภณฑใหสวยงาม นอกจากนยงค านวณความจของกลอง ใหเหมาะสมกบการใชงานจรง โดยใชความรเรองปรมาตร ซงแนวคดนนาจะมสวนชวยแกปญหาใหกบผผลตและเพมยอดจ าหนายสนคาใหมากขนกวาเดม จดประสงค 1. เพอออกแบบกลองบรรจสงของทมรปแบบสวยงามและเหมาะสมกบการใชงาน 2. เพอส ารวจความสนใจของนกเรยนทมตอกลองบรรจภณฑทจดท าขน



121

3. เพอน าความรดานคณตศาสตรเรองรปเรขาคณตสามมต การค านวณหาปรมาตร มาออกแบบกลองวเศษ สมมตฐานของการคนควา ผเขารวมงานน าความรทางคณตศาสตรมาออกแบบกลองเพอบรรจสงของทเหมาะสม กบการใชงานไดมากกวาหนงแบบ ขอบเขตของการศกษาคนควา 1. ศกษารปเรขาคณตสามมต 2. ศกษาเรองการหาปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต 3. ศกษาบทบาทของบรรจภณฑในปจจบน 4. ศกษาบรรจภณฑทท าจากกระดาษ (กลอง) ประโยชนทคาดวาจะไดรบ 1. ไดรบความรทางคณตศาสตรเพมขน 2. ไดบรรจภณฑ (กลองวเศษ) ทสามารถน าไปใชงานไดจรง เนอหาทางคณตศาสตรและขอมลทเกยวของ 1. รปเรขาคณตสามมต (ปรซม พระมด ทรงกระบอก ทรงกลม ทรงสเหลยมมมฉาก) 2. การหาปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต 3. บทบาทของบรรจภณฑในปจจบน การบรรจหบหอและบรรจภณฑ หนาทพนฐาน ของบรรจภณฑ ประเภทของบรรจภณฑ และการพจารณาเลอกใชวสด 4. ชนดของวสดทน ามาท าบรรจภณฑ บรรจภณฑทหลากหลายชนด ผลตดวยวสดตาง ๆ เชน กระดาษ พลาสตก หรอวสดทได จากธรรมชาต เชน หวาย ไม การออกแบบบรรจภณฑตองค านงถงปจจยหลายดานทจะตองเกยวของ กบการผลต เชน 1. ตวสนคาทบรรจ พจารณาถงขนาด ประเภทสนคา 2. วสดทรองรบตวสนคากอนบรรจ เชน โฟมรอง ถงพลาสตก 3. รปทรงของบรรจภณฑ เชน ถาเปนกลองกระดาษ จะตองมองคประกอบอะไรบาง ถาเปนกลองชนดอนจะเปนแบบไหน เปนตน 4. การประกอบกราฟกส าหรบกลอง 5. ระบบพมพ การออกแบบตองค านงถงระบบทจะน าไปพมพ เชน ถาเปนระบบออฟเซทสามารถใสกราฟกทละเอยด กราฟกลายเสน เปนตน บรรจภณฑทท าจากกระดาษมประโยชนในการบรรจสนคาเหมาะส าหรบจดเกบ เพอปองกนความเสยหายของสนคา นอกจากนยงแสดงคณสมบต โฆษณา สรางความนาสนใจ และทส าคญท าใหสนคานนดมราคา มคณภาพ



122

วธด าเนนการ 1. ประชมวางแผนการปฏบตงาน แบงหนาทกนไปศกษา ทดลองออกแบบกลองวเศษ 2. ก าหนดผลตภณฑทจะบรรจภายในกลอง คอ แชมพและครมนวดพฤกษาสมนไพร 3. ค านวณหาปรมาตรของผลตภณฑ โดยวดความกวาง ความยาว และความสงของขวด ความกวาง = 6.5 ซม. ความยาว = 12 ซม.

ความสง = 20 ซม

สตรการหาปรมาตร = ความกวาง ความยาว ความสง

= 6.5 12 20 = 1,560 ซม.3 4. ท าแบบรางกลองวเศษ ชวยกนออกแบบกลองวเศษได 3 แบบ กลองวเศษแบบท 1 ไดแนวคดมาจากกลองใสรองเทา ตามแบบราง ค านวณหาปรมาตร ไดดงน

สตรการหาปรมาตรทรงสเหลยมมมฉาก = ความกวาง ความยาว ความสง

= 6.5 12 20 = 1,560 ซม.3 กลองวเศษแบบท 2 ไดแนวคดมาจากกลองใสของเลน ตามแบบราง ค านวณหาปรมาตร ไดดงน


= 6.5 12 20 = 1,560 ซม.3 กลองวเศษแบบท 3 ไดแนวคดมาจากกลองใสซด ตามแบบราง ค านวณหาปรมาตร ไดดงน


= 11 11 20 = 2,420 ซม.3 ชนสวนภายในกลองเปนทรงสามเหลยม ค านวณหาปรมาตร ไดดงน

สตรการหาปรมาตรของปรซมสามเหลยม = พนทฐาน สง

= 6 20 = 120 ซม.3

มทงหมด 4 สวน = 120 4 = 480 ซม.3



123

น าปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก – ปรมาตรของปรซมสามเหลยม (4 สวน) = 2,420 – 480 ซม.3 = 1,940 ซม.3 5. ก าหนดวสดอปกรณทใชท ากลองวเศษ - กระดาษชนดตาง ๆ ไดแก กระดาษเทา – ขาว กระดาษโปสเตอรแขง กระดาษอารต กระดาษลกฟก 3 ชน เปนตน - กรรไกร ทตดกระดาษ แผนรองตด ไมบรรทด ดนสอ เทปกาวสองหนาอยางบาง พลาสตก เชอกส 6. ประดษฐกลองวเศษ 6.1 รางแบบบนกระดาษ 6.2 ตดตามแบบ 6.3 กรดเบา ๆ ตรงรอยพบ 6.4 พบกลอง 6.5 ประกอบเปนตวกลอง 6.6 ไดกลองวเศษทง 3 แบบทประดษฐส าเรจแลว วธการรวบรวมขอมล น าแบบส ารวจความคดเหนไปสอบถามอาสาสมครจากนกเรยนชนประถมศกษาปท 6 โรงเรยนราชวนต จ านวน 100 คน ใหแสดงความคดเหนทมตอกลองวเศษทง 3 แบบ และไดรบแบบส ารวจกลบคนมา 100 ฉบบ วธการวเคราะหขอมล วเคราะหขอมล โดยน าแบบส ารวจทเกบมาไดจากอาสาสมคร จ านวน 100 คน มาหาคาความถ แลวเสนอผลวเคราะหในรปตาราง ดงตารางท 1 และตารางท 2 ตารางท 1 สรปแสดงความคดเหนเกยวกบกลองวเศษทง 3 แบบของอาสาสมครนกเรยน ชนประถมศกษาปท 6 โรงเรยนราชวนต ปการศกษา 2555 จ านวน 100 คน

แบบ กลองวเศษ

ความคดสรางสรรค

ประณต สวยงาม

แขงแรง ประโยชน การใชงาน

รปแบบ

มาก นอย มาก นอย มาก นอย มาก นอย ด ไมด แบบท 1 3 97 18 82 20 80 18 82 24 76 แบบท 2 71 29 77 23 60 40 22 78 88 12 แบบท 3 100 0 100 0 100 0 96 4 97 3



124

จากความคดเหนของอาสาสมครนกเรยนชนประถมศกษาปท 6 โรงเรยนราชวนต ปการศกษา 2555 จ านวน 100 คน แสดงความคดเหนดงน กลองวเศษแบบท 1 มความคดสรางสรรคนอย ความประณตสวยงามนอย แขงแรงนอย ประโยชนใชงานนอย รปแบบไมด กลองวเศษแบบท 2 มความคดสรางสรรคมาก ความประณตสวยงามมาก แขงแรงมาก ประโยชนใชงานนอย รปแบบด

กลองวเศษแบบท 3 มความคดสรางสรรคมาก ความประณตสวยงามมาก แขงแรงมาก ประโยชนใชงานมาก รปแบบด ตารางท 2 แสดงความคดเหนขอเสนอแนะของอาสาสมคร

แบบท 1 แบบท 2 แบบท 3 1. ควรท าใหมทถอและแขงแรงแลวมฝาปดแบบแนน ๆ 2. ความลกด แตสสนไมสวย ควรมลวดลาย และสสนใหสวยกวาน 3. ควรมความคดรเรมสรางสรรค มากกวาน ดแลวความประณตนอยมาก และรปแบบดธรรมดา เกนไป 4. กลองแบบนมทวไปพบเหนไดตามรานรองเทา 5.ควรใชกระดาษทแขงกวาน

1. ควรท าใหมหหว 2. มความคดสรางสรรคทด 3. เรมมประสบการณ เรมมการดดแปลง 4. นาจะมสสนมากกวาน ควรใชกระดาษสอนแทนกระดาษสด า 5. ไมคอยแขงแรง เพราะมพลาสตกใส อาจท าใหเกดการยบลงได 6. บางเกนไป ไมคอยมความลกเทาไร ควรใชอปกรณทแขงแรง

1. แขงแรงทนทานด 2. เปนความคดทด ใสของ ได 2 ชน 3. มรปแบบทด 4. ควรตกแตงใหมากกวาน 5. มความคดสรางสรรค รจกคด รปแบบสวย เกไก ใชประโยชนไดด 6. นาจะพบรอยตอใหเรยบ ไมใหเหนกระดาษสน าตาล 7. ควรมสสนตกแตงมากกวาน

6. ควรท าใหหนากวาน 7. ควรใชรอยตอของกระดาษ ในการท าใหตดกน แทนการใชเครองเยบกระดาษ 8. มประโยชน แตรปแบบดธรรมดาเรยบเกนไป ไมสะดดตา ควรออกแบบใหสวยกวาน 9. เปนการลอกเลยนคนอน ซ าไมนาสนใจ ควรมลกเลนมากกวาน

7. ท าไดสวย ประณต ควรมหลายรปแบบ 8. เหมอนกลองใสตกตา ไมคอยสวย 9. ควรมลกเลนมากกวาน 10. มการเปลยนรปแบบกลอง มแผนใน ท าใหมองเหนผลตภณฑขางในชดเจน 11. มการน าเสนอสนคาดขน แตกยงธรรมดาเกนไป

8. ดทนสมยด 9. นาสนใจ โดดเดน 10. มลกเลนเยอะด 11. ใชความร 2 วชาในผลงานเดยว 12. ประดษฐงายไมตองใชกาว 13. อยากใหมผลตขาย



125

สรปผลการด าเนนงาน จากการท าโครงงานกลองวเศษ ไดกลองวเศษ 3 แบบ กลองวเศษแบบท 3 เปนแบบทไดรบความคดเหนวาดทสด ซงสามารถใชบรรจแชมพและครมนวดพฤกษาสมนไพรไดเหมาะสม สวยงาม แขงแรง ทนสมย รปแบบด สามารถใชประโยชนไดจรง เปนการเพมมลคาใหกบสนคาได ขอเสนอแนะ 1. พฒนากลองวเศษใหมความประณต สสนสวยงามยงขน 2. ควรใชวสดอนทดแทนกระดาษ เพอใหบรรจภณฑมความคงทน ใชงานไดนานขน 3. คดหารปแบบกลองบรรจภณฑทหลากหลาย โดยใชความรทางคณตศาสตร

ตวอยางท 4 ชอโครงงาน รปสเหลยมมมฉากมหศจรรย ระดบการศกษา ชนประถมศกษาปท 5 – 6 ความเปนมา พนฐานการเรยนการสอนคณตศาสตรในระดบประถมศกษา เรอง ความยาวรอบรปของ รปสเหลยมมมฉาก โจทยโดยทวไปจะก าหนดความยาวของแตละดานและวาดรปมาให แลวใหหา ความยาวรอบรปของรปสเหลยมมมฉากนน ๆ ทางกลมจงสนใจทจะศกษาเพมเตม กลาวคอ เมอก าหนดความยาวของเสนรอบรปมาให จะสามารถสรางจ านวนรปแบบของสเหลยมมมฉากทแตกตางกนได กแบบ โดยก าหนดใหความยาวของดานเปนจ านวนเตมบวก และศกษาความสมพนธระหวางพนท ของรปสเหลยมมมฉากแตละรปแบบทแตกตางกน จดประสงค 1. เพอศกษาและค านวณวธหาจ านวนรปแบบทสรางรปสเหลยมมมฉากทแตกตางกน เมอก าหนดความยาวรอบรป และความยาวของดานเปนจ านวนเตมบวก 2. เพอศกษาความสมพนธระหวางความยาวรอบรปกบพนทของรปสเหลยมมมฉากแตละรปแบบทแตกตางกน เนอหาทางคณตศาสตร 1. ความยาวรอบรปของรปสเหลยมมมฉาก 2. พนทของรปสเหลยมมมฉาก การด าเนนงาน 1. ก าหนดความยาวรอบรปของรปสเหลยมมมฉากเปนจ านวนเตมบวก 2. วาดรปสเหลยมมมฉากทมรปแบบแตกตางกนตามความยาวรอบรปทก าหนดใหโดยให ความยาวของดานเปนจ านวนเตมบวก



126

1. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 1 หนวย หรอ 2 หนวย หรอ 3 หนวย ไมสามารถสรางรปสเหลยม มมฉากได เพราะความยาวของดานนอยกวา 4 หนวย

2. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 4 หนวย สรางรปสเหลยมมมฉาก 1 รปแบบ มขนาดกวาง 1 หนวย ยาว 1 หนวย

3. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 5 หนวย ไมสามารถสรางรปสเหลยมมมฉากได เพราะความยาวของดานไมเปนจ านวนค

4. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 6 หนวย สรางรปสเหลยมมมฉาก 1 รปแบบ มขนาดกวาง 1 หนวย ยาว 2 หนวย

5. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 7 หนวย ไมสามารถสรางรปสเหลยมมมฉากได เพราะความยาวของ ดานไมเปนจ านวนค

6. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 8 หนวย สรางรปสเหลยมมมฉาก 2 รปแบบ มขนาดกวาง 1 หนวย ยาว 3 หนวย และขนาดกวาง 2 หนวย ยาว 2 หนวย

7. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 10 หนวย สรางรปสเหลยมมมฉาก 2 รปแบบ มขนาดกวาง 1 หนวย ยาว 4 หนวย และขนาดกวาง 2 หนวย ยาว 2 หนวย

1 หนวย

1 หนวย

1 หนวย

2 หนวย

1 หนวย

3 หนวย

2 หนวย

2 หนวย

1 หนวย

4 หนวย

2 หนวย

3 หนวย



127

8. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 12 หนวย สรางรปสเหลยมมมฉาก 3 รปแบบ มขนาดกวาง 1 หนวย ยาว 5 หนวย ขนาดกวาง 2 หนวย ยาว 4 หนวย และขนาดกวาง 3 หนวย ยาว 3 หนวย

9. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 14 หนวย สรางรปสเหลยมมมฉาก 3 รปแบบ มขนาดกวาง 1 หนวย ยาว 6 หนวย ขนาดกวาง 2 หนวย ยาว 5 หนวย และขนาดกวาง 3 หนวย ยาว 4 หนวย

10. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 16 หนวย สรางรปสเหลยมมมฉาก 4 รปแบบ มขนาดกวาง 1 หนวย ยาว 7 หนวย ขนาดกวาง 2 หนวย ยาว 6 หนวย ขนาดกวาง 3 หนวย ยาว 5 หนวยและขนาดกวาง 4 หนวย ยาว 4 หนวย

1 หนวย

5 หนวย

2 หนวย


3 หนวย

1 หนวย

6 หนวย

2 หนวย

5 หนวย

3 หนวย

4 หนวย

1 หนวย

7 หนวย

2 หนวย

6 หนวย

3 หนวย

5 หนวย

4 หนวย

4 หนวย



128

11. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 18 หนวย สรางรปสเหลยมมมฉาก 4 รปแบบ มขนาดกวาง 1 หนวย ยาว 8 หนวย ขนาดกวาง 2 หนวย ยาว 7 หนวย ขนาดกวาง 3 หนวย ยาว 6 หนวยและขนาดกวาง 4 หนวย ยาว 5 หนวย 12. ก าหนดใหความยาวรอบรปยาว 20 หนวย สรางรปสเหลยมมมฉาก 5 รปแบบ มขนาดกวาง 1 หนวย ยาว 9 หนวย ขนาดกวาง 2 หนวย ยาว 8 หนวย ขนาดกวาง 3 หนวย ยาว 7 หนวย ขนาดกวาง 4 หนวย ยาว 6 หนวยและขนาดกวาง 5 หนวย ยาว 5 หนวย


2 หนวย

7 หนวย

4 หนวย

5 หนวย

3 หนวย

6 หนวย

1 หนวย

9 หนวย

2 หนวย

8 หนวย

3 หนวย

7 หนวย

4 หนวย

6 หนวย

5 หนวย

5 หนวย



129

3. จากขอ 1 และ 2 ก าหนดใหความยาวรอบรปและความยาวดานของรปสเหลยมมมฉาก เปนจ านวนเตมบวก น าเสนอขอมลเปนตาราง

จากตาราง สงเกตความสมพนธระหวางความยาวรอบรปกบจ านวนรปแบบของรปสเหลยม มมฉากทสรางแตกตางกน พบวา

3.1 ความยาวรอบรปทสรางรปสเหลยมมมฉากไดเปนจ านวนค 3.2 ความยาวรอบรปทสรางรปสเหลยมมมฉากไดตองมความยาวอยางนอย 4 หนวย

ความยาวรอบรป (หนวย)

จ านวนรปทสรางได (รปแบบ)

1 สรางไมได 2 สรางไมได 3 สรางไมได 4 1 5 สรางไมได 6 1 7 สรางไมได 8 2 9 สรางไมได 10 2 11 สรางไมได 12 3 13 สรางไมได 14 3

ความยาวรอบรป (หนวย)

จ านวนรปทสรางได (รปแบบ)

15 สรางไมได 16 4 17 สรางไมได 18 4 19 สรางไมได 20 5 21 สรางไมได 22 5 23 สรางไมได 24 6 25 สรางไมได 26 6 27 สรางไมได 28 7

…………….. …………………..



130

4. ความยาวรอบรปทสามารถสรางรปสเหลยมมมฉากทแตกตางกนได น าเสนอแบบตารางเพอศกษาและ ค านวณวธหาจ านวนรปแบบ และศกษาความสมพนธระหวางความยาวรอบรปกบพนท ความยาวรอบรป (หนวย)

จ านวนรปแบบ ทสรางได

กวาง ยาว พนท (ตารางหนวย)

4 1 1 1 1

6 1 1 2 2

8 2 1 3, 2 2 3, 4

10 2 1 4, 2 3 4, 6

12 3 1 5, 2 4, 3 3 5, 8, 9

14 3 1 6, 2 5, 3 4 6, 10, 12

16 4 1 7, 2 6, 3 5, 4 4 7, 12, 15, 16

18 4 1 8, 2 7, 3 6, 4 5 8, 14, 18, 20

20 5 1 9, 2 8, 3 7, 4 6, 5 5 9, 16, 21, 24, 25

22 5 1 10, 2 9, 3 8, 4 7, 5 6 10, 18, 24, 28, 30

24 6 1 11, 2 10, 3 9, 4 8, 5 7, 6 6 11, 20, 27, 32, 35, 36

26 6 1 12, 2 11, 3 10, 4 9, 5 8, 6 7 12, 22, 30, 36, 40, 42

28 7 1 13, 2 12, 3 11, 4 10, 5 9,

6 8, 7 7

13, 24, 33, 40, 45, 48, 49

30 7 1 14, 2 13, 3 12, 4 11, 5 10,

6 9, 7 8

14, 26, 36, 44, 50, 54, 56

32 8 1 15, 2 14, 3 13, 4 12, 5 11,

6 10, 7 9, 8 8

15, 28, 39, 48, 55, 60, 63, 64

......... ............ ...................................................... .................................

จากตารางพบวา 1. จ านวนรปแบบทแตกตางกนทสรางได ค านวณไดจาก ความยาวรอบรปหารดวย 4 โดย

ตดเศษทง เชน 4 4 = 1 สรางได 1 รป

6 4 = 1 เศษ 2 สรางได 1 รป

24 4 = 6 สรางได 6 รป

26 4 = 6 เศษ 2 สรางได 6 รป

ดงนน ถาความยาวรอบรปเทากบ 100 หนวย จะสรางไดจ านวนรป 100 4 = 25 รป



131

2. ความสมพนธระหวางความยาวรอบรปและพนท พบวา ความกวางเทากบ n หนวย พนทจะเพมขน n ตารางหนวย ตามความยาวรอบรปทเพมขนตามล าดบ เชน ความกวาง เทากบ 1 หนวย พนทเพมขนทละ 1 ตารางหนวย คอ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... ถาความกวางเทากบ 2 หนวย พนทเพมขนทละ 2 ตารางหนวย คอ 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ... เปนตน

สรปผล

1. ความยาวรอบรปตองมความยาวอยางนอย 4 หนวยและเปนจ านวนค 2. จ านวนรปแบบทแตกตางกน ค านวณไดจาก ความยาวรอบรปหารดวย 4 โดยตดเศษทง 3. ความสมพนธระหวางความยาวรอบรปทเพมขนกบพนท พบวา ความกวางเทากบ n หนวย

พนทจะเพมขน n ตารางหนวย ตามล าดบ

การน าเสนอผลงาน 1. น าเสนอขอมลโดยการใชตาราง 2. อาจน าเสนอขอมลโดยใชคอมพวเตอร

ขอเสนอแนะ อาจจะหาความสมพนธแบบอน ๆ

ตวอยางท 5 ชอโครงงาน สมการไขกระทะ ระดบการศกษา ชนประถมศกษาปท 6 ความเปนมา สมาชกกลมชอบรบประทานไขกระทะบอย ๆ เพราะไขมคณคาทางอาหารสง และมประโยชนมากกวาอาหารอน ๆ ทขายบรเวณหนาโรงเรยน อกทงไขยงเปนอาหารส าคญทมคาการตลาดขนลงตลอดเวลา การหาตนทนและก าไรในวชาคณตศาสตรเปนสงทนาสนใจ สมาชกกลมจงสนใจทจะท าโครงงานคณตศาสตรสมการไขกระทะ จดประสงค

1. เพอศกษาสตรของไขกระทะ 2. เพอหาสมการการลงทนไขกระทะ 3. เพอหาสมการการขายไขกระทะ 4. เพอหาสมการก าไรไขกระทะ 5. เพอประมาณก าไรจากการขายไขกระทะ



132

เนอหาทางคณตศาสตรทเกยวของ การบวก การลบ การคณ การหาร การประมาณคา สมการ ก าไร ขาดทน การด าเนนงาน สมาชกในกลมทงสามคน คอ ด.ช.อภวฒน จรญผล ด.ช.จลจรพนธ ชนะวรรณ และ ด.ญ.ปญณศา ตาลกจกล ประชมปรกษาหารอและปฏบตตามขนตอนดงน ขนตอนท 1 สมาชกกลมทกคน ชวยกนสอบถามขอมลเกยวกบการท าไขกระทะ จากรานคา หนาโรงเรยน และบนทกขอมลเกยวของกบการท าไขกระทะลงในตาราง ไดดงน ตารางท 1 วสดอปกรณและสวนผสมของไขกระทะ

รายการ จ านวน ราคา ราคารวม 1. ไขไกเบอร 0 90 ฟอง 3 บาท/ฟอง 270 บาท 2. เนยเทยม 1 กโลกรม 60 บาท/1 กโลกรม 60 บาท 3. ปอด 0.5 กโลกรม 120 บาท/ 1 กโลกรม 60 บาท 4. ไสกรอก 0.5 กโลกรม 120 บาท/ 1 กโลกรม 60 บาท 5. หมยอ 250 กรม 40 บาท 40 บาท 6. แครอท 0.5 กโลกรม 40 บาท/ 1 กโลกรม 20 บาท 7. ซอสมะเขอเทศ 0.5 กโลกรม 40 บาท/ 1 กโลกรม 20 บาท 8. พรกไทย 50 กรม (1 ขวด) 10 บาท/ 1 ขวด 10 บาท 9. แกส 15 กโลกรม 260 บาท 260 บาท 10. ถาดโฟม 45 ใบ 1 บาท/ 1 ใบ 45 บาท 11. ถงรอน 100 กรม 15 บาท/100 กรม 15 บาท 12. ชอนพลาสตก 1 หอ(100 คน) 40 บาท 40 บาท 13. กระทะ 2 ใบ 29 บาท/ 1 ใบ 58 บาท 14. เตาแกส 2 หวเตา 1 เตา 1,400 บาท 1,400 บาท 15. โตะ 1 ตว 190 บาท 190 บาท 16. ไมพาย 2 อน 20 บาท/ 1 อน 40 บาท

ราคาขายไขกระทะ จานละ 10 บาท หมายเหต

1. แกส 15 กโลกรม ใชเปนเวลาประมาณ 4 – 5 เดอน 2. ขอมลทไดมาจากการสมภาษณ ปาออยและลงอวน และสงเกตการณขายในแตละวน

ระหวางวนท 11 – 15 กรกฎาคม 2555 ขนตอนท 2 สมาชกกลม ชวยกนคดค านวณและหาสมการราคาทน ราคาขาย และตรวจสอบสมการทได



133

ขนตอนท 3 สมาชกกลม ชวยกนคดค านวณและหาสมการก าไร ประมาณก าไรทไดจากการขายไขกระทะ และตรวจสอบอกครง ขนตอนท 4 สมาชกกลมทกคนชวยกนสรปและจดท ารปเลมรายงาน ผลการด าเนนงาน จากการด าเนนงาน ไดผลการด าเนนงานดงน 1. จากการศกษาขอมลเกยวกบไขกระทะ ปรากฏวา ไขกระทะ 1 จาน ประกอบดวยสวนผสมดงน ตารางท 2 สวนผสมในการท าไขกระทะ 1 กระทะ 2. จากขอมลทได สามารถน ามาหาราคาทนตอกระทะดงน 2.1 ขอมลทไดน ามาแยกเปนสวนทเปนสวนผสมซงตองใชเสมอและขนอยกบการท าไขกระทะ ไดแก ไขไก เนยเทยม ปอด หมยอ ไสกรอก แครอท ซอสมะเขอเทศ พรกไทย ถาดโฟม ชอนพลาสตก ถงรอน แกส 2.2 อปกรณทตองใช และน ามาลงทนเพยงครงเดยว ไดแก เตาแกส กระทะ โตะ ไมพาย ดงนนจงตองค านวณราคาทนไดดงน ตารางท 3 สวนประกอบทใชท าไขกระทะตอวนโดยประมาณ

รายการ จ านวน ราคา ราคารวม 1. ไขไกเบอร 0 90 ฟอง 3 บาท/ฟอง 270 บาท 2. เนยเทยม 1 กโลกรม 60 บาท/1 กโลกรม 60 บาท 3. ปอด 0.5 กโลกรม 120 บาท/ 1 กโลกรม 60 บาท 4. ไสกรอก 0.5 กโลกรม 120 บาท/ 1 กโลกรม 60 บาท 5. หมยอ 250 กรม 40 บาท 40 บาท 6. แครอท 0.5 กโลกรม 40 บาท/ 1 กโลกรม 20 บาท 7. ซอสมะเขอเทศ 0.5 กโลกรม 40 บาท/ 1 กโลกรม 20 บาท 8. พรกไทย 50 กรม (1 ขวด) 10 บาท/ 1 ขวด 10 บาท 9. ถาดโฟม 45 ใบ 1 บาท/ 1 ใบ 45 บาท 10. ถงรอน 100 กรม 15 บาท/100 กรม 15 บาท 11. ชอนพลาสตก 1 หอ (100 คน) 40 บาท 40 บาท

รวม 640 บาท

รายการ ปรมาณ 1. ไขไกเบอร 0 1 ฟอง 2. เนยเทยม 11.11 กรม 3. ปอด 5.55 กรม 4. ไสกรอก 5.55 กรม

รายการ ปรมาณ 5. หมยอ 2.77 กรม 6. แครอท 5.55 กรม 7. ซอสมะเขอเทศ 2.77 กรม 8. พรกไทย 0.55 กรม



134

แกสทใชส าหรบท าไขกระทะ 90 ฟอง ประมาณ 3 บาท ดงนน รวมราคาทนส าหรบไขกระทะ 90 ฟอง 640 + 3 = 643 บาท

สามารถค านวณราคาทนไขกระทะ ไดจานละ 643 90 = 7.14 บาท ตารางท 4 วสด อปกรณทลงทนซอครงเดยว

วสด/อปกรณ จ านวน ราคา ราคารวม 1. กระทะ 2 ใบ 29 บาท/ 1 ใบ 58 บาท 2. เตาแกส 2 หวเตา 1 เตา 1,400 บาท 1,400 บาท 3. โตะ 1 ตว 190 บาท 190 บาท 4. ไมพาย 2 อน 20 บาท/ 1 อน 40 บาท

รวม 1,688 บาท

ดงนน การลงทนคาวสดอปกรณในการท าไขกระทะ เปนเงน 1,688 บาท ตารางท 5 การหาสมการตนทน

จ านวนไขกระทะ (จาน) ราคาทน (บาท) 1 1 7.14 = 7.14 2 2 7.14 = 14.28 3 3 7.14 = 21.42 4 4 7.14 = 28.56 5 5 7.14 = 35.70 6 6 7.14 = 42.84 n n 7.14 = 7.14n

ดงนน จะไดสมการราคาทนดงน

ราคาทน n จาน = ราคาทนตอจาน n = 7.14n ราคาทนทงหมด เทากบ คาวสดอปกรณ + ราคาทน n จาน ดงนน ไขกระทะ n คดเปนเงนลงทน 1,688 + 7.14n บาท สมการการลงทนท าไขกระทะ n จาน เทากบ 1,688 + 7.14n บาท



135

3. จากขอมลทได สามารถน ามาหาราคาขายตอกระทะ ไดดงน เนองจากก าหนดราคาขายจานละ 10 บาท ดงนน ขายไขกระทะไดเงนดงตาราง ตารางท 6 ราคาขายไขกระทะ

จ านวนไขกระทะ (จาน) ราคาทน (บาท) 1 1 10 = 10 2 2 10 = 20 3 3 10 = 30 4 4 10 = 40 5 5 10 = 50 6 6 10 = 60 n n 10 = 10n

ดงนน จะไดสมการราคาขายดงน

ราคาขาย n จาน = ราคาขายตอจาน n = 10n สมการขายไขกระทะ n จาน เทากบ 10n บาท 4. น าขอมลทไดมาหาสมการก าไรไขกระทะ ไดดงน ก าไร = ราคาขาย – ราคาทน ดงนน ก าไรไขกระทะ n จาน = 10n – 7.14n – 1,688 = 2.86n – 1,688 ตองขายใหไดมากกวา 591 จาน จงจะไดก าไร 5. การประมาณก าไรจากการขายไขกระทะ เนองจากการขายในแตละวนขายไดประมาณ 90 จาน

ในเดอนแรกจงจะขายไดประมาณ 90 20 = 1,800 บาท จากสมการก าไร ก าไรไขกระทะ n จาน = 2.86n – 1,688

แทนคา n = 1,800 จะไดก าไร เทากบ 2.86 1,800 – 1,688 = 3,460 บาท ดงนน ก าไรในเดอนแรกประมาณ 3,460 บาท



136

สรปผล จากการศกษาขอมลการท าไขกระทะ ปรากฏวา ไดผลดงน 1. สวนผสมส าหรบไขกระทะ 1 จาน คอ ไขไกเบอร 0 1 ฟอง หมยอ 2.77 กรม เนยเทยม 11.11 กรม แครอท 5.55 กรม ปอด 5.55 กรม ซอสมะเขอเทศ 2.77 กรม ไสกรอก 5.55 กรม พรกไทย 0.55 กรม 2. การลงทนท าไขกระทะ ประกอบดวยการลงทน 2 สวน คอ - สวนผสมของไขกระทะ และวสดทตองใชตอการท าไขกระทะ 1 จาน เปนเงน 7.14 บาท - คาอปกรณทตองใชและลงทนเพยงครงเดยวคอ เตาแกส กระทะ ไมพาย เปนเงน 1,688 บาท 3. สมการการลงทนไขกระทะ n จาน คอ ไขกระทะ n จาน คดเปนเงนลงทน 1,688 + 7.14n บาท 4. สมการการขายไขกระทะ n จาน คอ 10n บาท 5. ก าไรไขกระทะ n จาน คอ 2.86n – 1688 บาท 6. ตองขายใหไดมากกวา 591 จาน จงจะไดก าไร 7. ก าไรในแตละเดอนประมาณ 3,460 บาท

ประโยชน ประโยชนทไดรบจากการท าโครงงานสมการไขกระทะ มดงน

1. ใชเปนแนวทางในการท าธรกจ ส าหรบผมเงนลงทนต า 2. สมารถน าความรทไดไปใชคดราคาทน ราคาขาย และก าไร 3. น าความรไปใชในการประมาณการซอขายในชวตประจ าวน 4. สามารถน าหลกการไปใชในการท าโครงงานคณตศาสตรอนไดดวย 5. สามารถน าความรในวชาคณตศาสตรไปเชอมโยงสงทตนเองสนใจได

ขอเสนอแนะ 1. การท าไขกระทะควรจะเพมสวนผสมทเปนผกใบสเขยว เชน ผกช เปนตน เพอเสรมคณคา

ทางอาหาร 2. น าขอมลเกยวกบผลตภณฑ OTOP มาหาสมการการขาย สมการการลงทน และสมการก าไร

คณะกรรมการและคณะท างานโครงการพฒนาสอวดทศนเพอการอบรมครดวยระบบทางไกล หลกสตรมาตรฐานการอบรมคร ปท 3 (ฉบบปรบปรง)

วชาคณตศาสตร ระดบประถมศกษา ประจ าปงบประมาณ 2556

คณะทปรกษา ดร.พรพรรณ ไวทยางกร ผอ านวยการ

นายณรงคศลป ธปพนม รองผอ านวยการ

คณะกรรมการ นางกญณฏฐ สวสดสวาง ประธานกรรมการ นางสาวทพยวรรณ สดปฐม รองประธานกรรมการ นายดสต สงขรวมใจ กรรมการ นายประสงค เมธพนตกล กรรมการ นางเบญจวรรณ ศรเจรญ กรรมการ นางชมยพร ตงตน กรรมการ นายราม ตวาร กรรมการ นางสาวกศลน มสกล กรรมการ นายยทธนนท หาญณรงค กรรมการ นายกนกศกด ทองตง กรรมการ นางรตนา นอยญาโณ กรรมการ นายพงศพพฒน หมสรโรจน กรรมการ นายวจตร ทงทอง กรรมการ นายสมเกยรต เพญทอง กรรมการ นางศจ ค าภ กรรมการ นางสาวอลงกรณ ตงสงวนธรรม กรรมการ นายภมวจน ธรรมใจ กรรมการ นางสาวนนทนภส ลมสนตธรรม กรรมการ นายกวน เชอมกลาง กรรมการ

คณะท างานยกรางหลกสตร นายสมเกยรต เพญทอง รก.หน.สาขาคณตศาสตรประถมศกษา นางสาวโศจวจน เสรฐศร ผช านาญ นางศจ ค าภ นกวชาการ นายภมวจน ธรรมใจ นกวชาการ นางสาวภทรวด หาดแกว นกวชาการ นางนงลกษณ ศรสวรรณ ผเชยวชาญ สสวท. คณะท างานพจารณาหลกสตร

นางเชอร อยด ผเชยวชาญ สสวท. นางนงลกษณ ศรสวรรณ ผเชยวชาญ สสวท. นางสาวโศจวจน เสรฐศร ผช านาญ นางศจ ค าภ นกวชาการ นางสาวภทรวด หาดแกว นกวชาการ นายภมวจน ธรรมใจ นกวชาการ นางเหมอนฝน เยาวววฒน นกวชาการ

นางดวงสมร คลองสารา รองผอ านวยการ

นางพจนา ข าวงษ กรรมการ นางสาวศานกานต เสนวงศ กรรมการ นางสาวจฑามาส สรปราษฎร กรรมการ นายวโรจน ลวคงสถาพร กรรมการ นายเตชทต เรองธรรม กรรมการ นางสาวเปยทพย พวพนธ กรรมการ นางสาวสรวรรณ จนทรกล กรรมการ นายศรพล วนพนธ กรรมการ นางสาวกญญารตน เพชรตะกว กรรมการ นางสาวฐตรตน มากล กรรมการ นายเกษมสนต เดชม กรรมการ นางฐตาภา ข าเลศ กรรมการ นางสาวมณมณฑ ใจชน กรรมการ นางสาวนรนนท ปยะวทยาธรรม กรรมการ นางรตนา ไชยดวงศร กรรมการ นางสาวนอร ภรตน กรรมการและเลขานการ นางพชรวณ ขนตธรรมวงศ กรรมการและผชวยเเลขานการ นางสาววไล ศศธราดล กรรมการและผชวยเลขานการ เชอร อยด ผเชยวชาญ สสวท. รศ.ประพนธ จายเจรญ โรงเรยนสาธต มศว.ประสานมตร นายคณต เพชรปญญา ขาราชการบ านาญ สพฐ. นายนรนดร ตณฑยย ขาราชการบ านาญ สพฐ. นายณฐ จนแยม โรงเรยนไชยฉมพลวทยาคม นางสาวจนดา พอคาช านาญ โรงเรยนสตรศรสรโยทย

รศ.ดร.นพพร แหยมแสง มหาวทยาลยรามค าแหง รศ.ประพนธ จายเจรญ โรงเรยนสาธต มศว.ประสานมตร นายนรนดร ตณฑยย ขาราชการบ านาญ สพฐ. นายคณต เพชรปญญา ขาราชการบ านาญ สพฐ. นางสาวจนดา พอคาช านาญ โรงเรยนสตรศรสรโยทย นางชลกร เรองศร โรงเรยนศรอยธยาฯ นายณฐ จนแยม โรงเรยนไชยฉมพลวทยาคม

ผออกแบบปก ผจดท าตนฉบบเอกสาร นายมนญ ไชยสมบรณ ขาราชการบ านาญ มรภ.พระนคร นางศจ ค าภ นายภมวจน ธรรมใจ

Documents

เอกสารส าหรับผู้รับการอบรม …mrcud2.com/news_file/p74002141154.pdf · สมการ 7. รูปเรขาคณิตสามมิติ