ชื่อ - STREE-KMkm.streesp.ac.th/files/140514099443085_1411250885622.pdf · วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 2 เรื่อง

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202)

เรอง เมตรกซ

สอนโดย ครมานตา หมดภย

รวบรวมโดย ชอ............................................................................

ชน.......................เลขท....................

ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2557 โรงเรยนสตรสมทรปราการ

วชา ค 31202 คณตศาสตรเพมเตม 2 2 เรอง เมทรกซ

แถวท 1 แถวท 2

แถวท m

หลกท 1 หลกท 2 หลกท n

เมทรกซและดเทอรมนนต (Matrix and Determinant)

ใบความรท 1 ความหมายและสญลกษณของเมทรกซ

ความหมายและสญลกษณของเมทรกซ

บทนยาม เมทรกซ (Martix) คอ กลมของจ านวนทเรยงเปนรปสเหลยมมมฉาก โดยทแตละแถวมจ านวนเทาๆ กน และอยภายในเครองหมาย [ ] หรอ ( ) กได

A =

nmmnn2m1

2n2221

1n1211

aaa

aaa

aaa

แตละจ านวนในเครองหมาย [ ] วา สมาชกของเมทรกซ ตวเลขทเรยงกนในแนวนอน เรยกวา แถว (Row)

ตวเลขทเรยงกนในแนวตง เรยกวา หลก (Column) เรยกเมทรกซทม m แถว n หลก วา เมทรกซมมต m n หรอ m n เมทรกซ ija คอ สมาชกของเมทรกซ A ซงอยในแถวท i หลกท j ตวอยางท 1 จากเมทรกซทก าหนดให จงหา มตของเมทรกซและบอกสมาชกแตละตว

1) A =

642

531

วธท า มตของเมทรกซ A เทากบ 2 3 มสมาชก คอ 1a11 , 3a12 , 5a13 ,

2a 21 , 4a 22 , 6a 23

2) B =

70

93

42

……………………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………. …………………………………………….


ตวอยางท 2 ก าหนด A = 954 , B =

8

7

6

และ C =

43

21 จงหา

1) 221111 3cb2a = ………………………………………………………………. 2) 21131111 b2aca = ………………………………………………………………. การเทากนของเมทรกซ

บทนยาม ถา A = [ ija ] nm และ B = [ ijb ] nm A = B กตอเมอ ija = ijb หมายความวา A = B กตอเมอ A และ B มมตเทากน และสมาชกของ A และ B ในต าแหนงเดยวกนมคาเทากน

ตวอยางท 3 จงพจารณาวาเมทรกซทก าหนดใหตอไปนเทากนหรอไม

1)

31

02 =

31

02

2)

64

53 …..…..

3213

1521

3)

924

716

305

…..….

924

716

305

ตวอยางท 4 ถาเมทรกซทก าหนดใหเปนเมทรกซทเทากน จงหาคา x และ y

1)

03

1x =

y3

14

x = – 4 , y = 0

2)

52

31x =

52

26 y

……………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………….


3)

8612

510

1212

x

x

=

865

510

123

x

……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………

4)

605

x41x3

=

61x5

140

……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………


ใบกจกรรมท 1 ความหมายและสญลกษณของเมทรกซ

จงตอบค าถามตอไปน

1. ถา A =

9261

0345 และ B =

79

82

46

1) มตของ A = …….……….. มตของ B = ………………… 2) จ านวนสมาชกของ A เทากบ ................. จ านวนสมาชกของ B เทากบ ................. 3) 11a = …….…. 14a = …………. 22a = ……..….. 23a = ……..…... 21b = …….…. 22b = ……...…. 12b = ….….…. 32b = …….….. 2. จงพจารณาวาเมทรกซทก าหนดใหตอไปนเทากนหรอไม เพราะเหตใด

1)

00

00 กบ

000

000

000

....................................................................................

2)

40

30 กบ

4

3 ....................................................................................

3. ถาเมทรกซทก าหนดใหเปนเมทรกซทเทากน จงหาคา x และ y

1)

65x

13y =

64

19 ....................................................................................

....................................................................................

2)

2y2

3x =

2x2

3y ....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................

3)

2xy

yx =

8

1 ....................................................................................

....................................................................................

....................................................................................


แบบฝกทกษะท 1

1. ให A =

5726

4765

2143

1.1 จงบอกมตของเมทรกซ A 1.2 จงเขยนสมาชกในแถวทสอง 1.3 จงเขยนสมาชกในหลกทสาม 1.4 จงหาคาของ 13a , 23a และ 34a

2. ให B =

100

010

001

จงหาสงตางๆ ตอไปนของเมทรกซ

2.1 มต 2.2 สมาชกในแถวทสอง 2.3 สมาชกในหลกทสอง 2.4 12b 2.5 ส าหรบ 0bij , i และ j มความสมพนธกนอยางไร 2.6 ส าหรบ 0bij , i และ j มความสมพนธกนอยางไร 3. จงบอกจ านวนสมาชกของเมทรกซทมมตตามทก าหนดใหในแตละขอตอไปน 3.1 2 2 เมทรกซ 3.2 3 5 เมทรกซ 3.3 m n เมทรกซ 3.4 n n เมทรกซ 4. จงหาคาของตวแปรทท าใหสมการเมทรกซทก าหนดใหในแตละขอเปนจรง 4.1 13yx = y30

4.2

x41

32y1x =

34y

334

4.3

142x

201x

y13

=

146

104

x13

y

4.4

22y2x

3yx =

21

32

5. ถา x2 – x + 1 = 0 แลวเมทรกซตอไปนเทากนหรอไม

x0

xxx 22

,

1x0

01x

2


เมทรกซบางชนดทควรร

1. เมทรกซจตรส (Square matrix) เมทรกซ A = [aij] mn จะเปนเมทรกซจตรส กตอเมอ m = n แสดงวา เมทรกซจตรส คอ เมทรกซทมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก

ถา A = [aij] mn เปนเมทรกซจตรสแลว เสนทแยงมมทลากจากมมบนซายมอมายงมมลาขวามอ จะผานสมาชก a11 , a22 , a33 , … , amn เสนทแยงมมน เรยกวา เสนทแยงมมหลก (main diagonal)

ตวอยาง เมทรกซจตรส

8925

1513

2354

7120

2. เมทรกซศนย (Zero matrix)

ถา A = [aij] mn เราจะเรยก A วาเปนเมทรกซศนย กตอเมอ aij = 0 เมอ i = 1, 2, 3, … , m และ j = 1, 2, 3, … , n กลาวอยางงายๆ วา เมทรกซศนยเปนเมทรกซทมสมาชกทกตวเทากบศนย ถา A เปนเมทรกซศนยทมมต nm เราจะใชสญลกษณแทน A ดงน A = 0

nm หรอ A = 0

ตวอยาง เมทรกซศนยทมมต 22 คอ

00

00 , เมทรกซศนยทมมต 33 คอ

000

000

000

3. เมทรกซเอกลกษณ (Identity matrix)

ถา A = [aij] mn เปนเมทรกซจตรสแลว เราจะเรยก A วาเปน เมทรกซเอกลกษณ มต nn

กตอเมอ aij =

ji เมอj iมอเ

0

1

ใชสญลกษณ In แทนเมทรกซเอกลกษณทมมต nn

ตวอยาง I2 =

10

01 , I3 =

100

010

001

เสนทแยงมมหลก


ใบความรท 2 การบวกและการลบเมทรกซ

การบวกและการลบเมทรกซ บทนยาม ถาเมทรกซ A = [ ija ] nm และ B = [ ijb ] nm 1. A + B = [ ija + ijb ] nm 2. A – B = [ ija – ijb ] nm ขอสงเกต

เมทรกซ A และ B จะบวกและลบกนได กตอเมอ 1. A และ B ตองมมตเทากน 2. ใหน าสมาชกในต าแหนงเดยวกนมาบวกกน 3. ผลลพธจะมมตเทาเดม ในกรณท A – A จะไดเมทรกซใหมทมสมาชกทกตวเปนศนย และใชสญลกษณ 0 แทน เมทรกซศนย

สมบตการบวกเมทรกซ

ให A , B , C เปน mn เมทรกซ 1. สมบตปดการบวก (A + B เปน mn เมทรกซ) 2. สมบตการสลบทการบวก (A + B = B + A) 3. สมบตการเปลยนกลมการบวก ((A + B) + C = A + (B + C)) 4. สมบตการมเอกลกษณการบวก (A + 0 = A = 0 + A)

เรยก 0 วาเปน เอกลกษณการบวก 5. สมบตการมอนเวอรสการบวกของ A คอ –A (A + (–A) = 0 = (–A) + A)

ตวอยาง จงหาผลลพธของเมทรกซทก าหนดใหตอไปน

1)

530

421 –

451

311 =

)4(5)5(310

341211 =

121

110

2)

10

52 +

65

03 = ……………………………………….……………………


ใบกจกรรมท 2 การบวกและการลบเมทรกซ

1. ก าหนด A =

34

12 , B =

44

44 และ C =

10

01 จงหาค าตอบในแตละขอ

1) (A + B) + C = ……………………………………………………………………………….…………..…. ………………………………………………………………………………….…..………. ………………………………………………………………………………….…..………. 2) A – (B – C) = ……………………………………………………………………………….…………..…. ………………………………………………………………………………….…..………. ………………………………………………………………………………….…..………. 3) A – (B + C) = ……………………………………………………………………………….…………..…. ………………………………………………………………………………….…..………. ………………………………………………………………………………….…..………. 4) A + (B – C) = ……………………………………………………………………………….…………..…. ………………………………………………………………………………….…..………. ………………………………………………………………………………….…..……….

2. จงหาเมทรกซ X ในแตละขอตอไปน

1)

28

34 +

31

42 + X =

52

41

…………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….…………………….

2)

011

220

312

+ X =

113

158

302

…………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….……………………. …………………………………………………………………………………………….…………………….



64

53 จงหาเมทรกซ X ในแตละขอตอไปน

1) A + X = A …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. 2) A – X = A …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. 3) A + X = 0 …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..……………………………………………………………………………….

4) A – X =

50

42

…………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..……………………………………………………………………………….

5) A + X =

10

01

…………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..………………………………………………………………………………. …………………………………..……………………………………………………………………………….



1. จงพจารณาวาเมทรกซทก าหนดใหในแตละขอตอไปนบวกกนไดหรอไม ถาบวกกนไดจงหาผลบวก

1.1

25

31 ,

43

52

1.2

213

570 ,

21

32

1.3

5

6

1

, 872

1.4

031

972

351

,

341

012

462


53

41 , B =

23

10 และ C =

50

12

2.1 จงหา (A + B) + C 2.2 จงหา A + (B + C) 2.3 จงพจารณาวา (A + B) + C และ A + (B + C) เทากนหรอไม 3. ถา A เปน 34 เมทรกซ และ B เปน 43 เมทรกซ จะหา A + B ไดหรอไม

4. ถา A =

34

22 จงหาเมทรกซทบวกกบ A แลวได

4.1 A 4.2 0

4.3

10

01

4.4

51

2

12


ใบความรท 3 การคณเมทรกซ

การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง บทนยาม ถา A = [ ija ] nm และ c เปนจ านวนจรง แลว cA = [ ijca ] nm หลกการ เมอเอาจ านวนจรง c คณสมาชกทกตว ผลลพธจะมมตเทาเดม สมบตการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง ถา c , d เปนจ านวนจรงใด ๆ A และ B เปน mn เมทรกซ

1. (cd)A = c(dA) 2. c(A + B) = cA + cB 3. (c + d)A = cA + dA 4. (1)A = A 5. (–1)A = –A 6. 0A = 0 7. c0 = 0

ตวอยางท 1 จงหาผลลพธของเมทรกซตอไปน 1) –4 3125 = )3()4()1()4()2()4(5)4( = 124820

2)

41210

864

2

1 = ………………………………………………………………………….…

……………………………………………………………………………

ตวอยางท 2 ก าหนดให A =

21

43 , B =

37

85 จงหา

1) 2A = ………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………... 2) 3A – 2B = ………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………...


การคณเมทรกซดวยเมทรกซ บทนยาม ถา A = [ ija ] nm และ B = [ ijb ] pn ผลคณ AB = C โดยท C = [ ijc ] pm เมอ ijc = 1ji1ba + 2ji2ba + … + njinba หลกการ เมทรกซคณกนได เมอจ านวนหลกของตวตงเทากบแถวของตวคณ สมบตการคณเมทรกซดวยเมทรกซ ถา A , B , C เปน nn เมทรกซ c เปนจ านวนจรงใด ๆ

1. สมบตการเปลยนกลมการคณ (AB)C = A(BC) 2. สมบตการแจกแจง A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC 3. สมบตการมเอกลกษณการคณ AIn = A = InA

เรยก In วาเปนเอกลกษณการคณ 4. c(AB) = (cA)B = A(cB)

ตวอยางการคณเมทรกซดวยเมทรกซ

ก าหนด A =

2221

1211

aa

aa , B =

2221

1211

bb

bb

AB =

2222122121221121

2212121121121111

babababa

babababa


21

43 , B =

37

85 จงหา AB

วธท า AB =

)32()81()72())5(1(

)34()83()74())5(3(

=

68145

)12()24()28(15

=

219

1243


ตวอยางท 4 ก าหนดให A = 43 , B =

1

2 จงหา AB

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................


513

101

012

, B =

14

22

10

จงหา AB และ BA

AB = ………………………………………………. BA = ……………………………………………… ……………………………………………..… ……………………………………………… ……………………………………………..… ……………………………………………… ……………………………………………..… ……………………………………………… ……………………………………………..… ……………………………………………… ตวอยางท 6 จงหาจ านวนจรง x ทสอดคลองกบสมการในแตละขอตอไปน

1) x21

3

1

2x

= 4x 2) xx 263

x

x

1

1

= 0

วธท า xx 322 = 4x ……………………………………………………. 2x + 2 + 3x = x – 4 ……………………………………………………. 5x + 2 = x – 4 ……………………………………………………. 4x = – 6 …………………………………………………….

x = 4

6 …………………………………………………….

x = 2

3 …………………………………………………….

ดงนน x = 2

3 …………………………………………………….


ใบกจกรรมท 3 การคณเมทรกซ

1. ก าหนดให A =

21

12 , B =

02

10 และ C =

21

21 จงหา

1) A + 2B – 3C ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

2) 2[5(A – B) + 3C] ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

3) A2 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

2. ให A =

401

152 , B =

501

023 และ C =

042

521

จงหาเมทรกซ X จากสมการ 4C}3BX2{2X2AX2

5

……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….


3. จงหาผลคณของเมทรกซทก าหนดใหตอไปน

1) 52

6

1

…………………………………………………….……………………………………………………. …………………………………………………….…………………………………………………….

2) 625

4

2

1

……………………………………………….…………………………………………………………. …………………………………………….…………………………………………………………….

3)

43

21

23

12

………………………………………………….………………………………………………………. ………………………………………………….……………………………………………….……… …………………………………………….………

4)

201

012

23

02

11

…………………………………………….……………………………………………………………. ……………………………………………….…………………………………………………………. …………………………………………………..…


32

40 , I =

10

01 จงหา

1) AI = ……………………………………...………………………………………….……………. ……………………………………...…………………………………………………….…. 2) I2 = ……………………………………...………………………………………………………. ……………………………………...……………………………………………….………. 3) IA = …………………………..……...……………………………………………………...……. ……………………………………...……………………………………………………….. 5. จงหาคา x และ y ในแตละขอตอไปน

1)

y

x

21

11 =

4

2 ………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………..

2)

10

01

y

x =

12

3 ………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………..




22

65 , B =

03

11 และ C =

31

21 จงหา

1.1 A + 3B – 4C 1.2 - 4 [5(A – B) + 2C]

1.3 3

2 A + 2

1 (C + B)


410

152 , B =

501

723 และ C =

042

831

จงหาเมทรกซ X จากสมการเมทรกซตอไปน

2.1 2

1 (X + A) = 2(X + B) – 3C 2.2 2X + A = 3{X + (2X + B)} + C

3. จงหาผลคณตอไปน

3.1 134

4

3

1

3.2

6

4

2

215

3.3

2323

2432

3451

4

3

2

1

3.4

750

123

0

5

4


53

10 , B =

30

12 , I2 =

10

01 , 0 =

00

00 จงหา

4.1 BA 4.2 AB 4.3 A2 4.4 IB 4.5 0B 4.6 I2

2 5. จงพจารณาวาเมทรกซทก าหนดใหตอไปนคณกนไดหรอไม ถาคณไดจงหาผลคณ

5.1

01

12 45 5.2 754 2

4 3

3 4

4 4

0 1


ใบความรท 4 ทรานสโพสของเมทรกซ (Transpose of a matrix)

ทรานสโพสของเมทรกซ บทนยาม ถา A = [ ija ] nm แลว เมทรกซสลบเปลยนของ A จะเขยนแทนดวยสญลกษณ At At หมายถง เมทรกซ [ ijb ] mn โดยท ijb = jia เมอ i = 1, 2, 3, …, n และ j = 1, 2, 3, …, m สมบตของทรานสโพส

1. ถา A เปนเมทรกซใด ๆ แลว tt )(A = A 2. ถา A เปนเมทรกซใด ๆ แลว t(kA) = k tA 3. ถา A และ B เปนเมทรกซทมมต mn แลว (A B) t = tA tB 4. ถา A เปนเมทรกซทมมต mn และ B เปนเมทรกซทมมต np แลว t(AB) = tB tA 5. tA)( = - tA 6. tn )(A = ( tA ) n , n I

ตวอยางท 1 จงหาทรานสโพสของเมทรกซทก าหนดใหตอไปน

1) A =

37

85

จะได tA =

38

75

2) B =

604

743

512

จะได tB = ……………………………………….. ……………………………………………………. …………………………………………………….

ตวอยางท 2 ก าหนด A =

yx

36 จงหาคาตวแปรในแตละขอทท าให A = tA

.................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................


932

521 , B =

2 3

1 2

0 1

จงหา (Bt)t + 2At

………………………………….…………..……………………………………………………………………. ………………………………….…………..……………………………………………………………………. ………………………………….…………..……………………………………………………………………. ………………………………….…………..…………………………………………………………………….


ใบกจกรรมท 4 ทรานสโพสของเมทรกซ (Transpose of a matrix)

1. จงหาทรานสโพสของเมทรกซของเมทรกซทก าหนดใหแตละขอ

1) A =

403

162

051

, A t =

2) B =

54

23 , 2B t =


34

12 , B =

25

01 และ C =

52

13 จงหา

1) (A + B) t …………………………………………………………………………………….………………………………. …………………………………………………………………………………….…………………………….…………………………………………………………………………………….…………………………….…………………………………………………………………………………….……………………………………. 2) A t + B t …………………………………………………………………………………….………………………………. …………………………………………………………………………………….…………………………….…………………………………………………………………………………….…………………………….…………………………………………………………………………………….……………………………………. 3) AB + 2C t …………………………………………………………………………………….………………………………. …………………………………………………………………………………….…………………………….…………………………………………………………………………………….…………………………….…………………………………………………………………………………….……………………………………. ………………………………………………………………………………….…………………………….…………………………………………………………………………………….…………………………………….

………………………………..…………………………….......….. ………………………………..…………………………….......….. ………………………………..…………………………….......…..

………………………………..…………………………….......….. ………………………………..………………………………......... ………………………………..……………………………….........



1. ก าหนดเมทรกซ A , B , C , D และ E ดงน

A =

4 1 2

0 2 1 , B =

2 3

1 2

0 1

, C =

3 1 2

0 1 4

3 1- 3

, D =

0 2

2- 3 และ E =

0 2 2

1- 1 1

5 4- 2

จงหา 1.1 AB และ BA 1.2 AB + Dt

1.3 BA – 2C2 1.4 AtBt + 2E 1.5 BA(C + E) 2. ก าหนดเมทรกซ A , B และ C ดงน

A =

1- 2

3 1 , B =

0 3 1

2 3 1 และ C =

2- 3

1 0

2 1

จงหา 2.1 ABC 2.2 AB + ACt 2.3 A2 – 2BC


3 1 1-

2 1 1

จงหาเมทรกซ X ทท าใหขอความตอไปนเปนจรง 3.1 A + X = 2A – X 3.2 AAt = 2I2 + X 3.3 2AtA = X – I3


ใบความรท 5 ดเทอรมนนต (Determinant)

ดเทอรมนนต (Determinant) บทนยาม ดเทอรมนนต (Determinant) คอ คาตวเลขจ านวนใดจ านวนหนง และมเพยงจ านวนเดยวเทานน

ทสอดคลองกบเมทรกซจตรส ถา A เปนเมทรกซจตรส จะเขยนแทนดเทอรมนนตของ A ดวย det(A) หรอ A

การหาคาดเอรมนนต

1. ถา A = a เปนเมทรกซทมมต 11 แลว det(A) = a ตวอยางท 1 จงหาดเทอรมนนตของเมทรกซทก าหนดใหตอไปน 1) A = [5] det (A) = 5 2) B = [-10] det (B) = ………………………………………………. 3) C = [0] det (C) = ……………………………………………….

4) D = [5

3 ] det (D) = ……………………………………………….

2. ถา A =

dc

ba เปนเมทรกซทมมต 22 แลว det(A) = ad – bc

ตวอยางท 2 จงหาดเทอรมนนตของเมทรกซทก าหนดใหตอไปน

1) A =

53

42 det (A) = 2(5) – 3(4) = 10 – 12 = – 2

2) B =

2-5-

6 3 det (B) = ……………………………………………….

3) C =

0 2-

0 3 det (C) = ……………………………………………….

4) D =

2-0

0 3 det (D) = ……………………………………………….

5) E =

2 2

1 1 det (E) = ……………………………………………….


3. ถา A =

ihg

fed

cba

เปนเมทรกซทมมต 33 แลว

det(A) =

ihg

fed

cba

h g

e d

b a

= (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb)

ตวอยางท 3 จงหาดเทอรมนนตของเมทรกซทก าหนดใหตอไปน

1) A =

751

223

614

5 1-

2- 3

1- 4

det (A) = (– 56 + 2 + 90) – (12 + 40 + (– 21))

= 36 – 31 = 5

2) B =

96 3

8 5 2

7 41

det (B) =…………………………………………..……

=…………………………………………..……

3) C =

650

20 1

432

det (C) =…………………………………………..……

=…………………………………………..……

4) D =

321

10 2

321

det (D) = …………………………………………..……

=…………………………………………..……


x

x

4

4 ถา det (A) = 0 จงหา x

…………………………………………………………………………………….……………………………. ……………………………………………………………………………………………………….…………. ……………………………………………………………………………………………………….…………. ……………………………………………………………………………………………………….………….


การค านวณหาดเทอรมนนตโดยการกระจายโคแฟคเตอร วธนใชไดส าหรบเมทรกซจตรส nn , n 2 บทนยาม ก าหนดให A = [ ija ] nm สญลกษณ M ij (A) แทนเมทรกซทเกดจากการตดแถวท i หลกท j ของ A ออกไป คาดเทอรมนนตของ M ij (A) เรยกวา ไมเนอร (minor) ของ ija


051

123

014

จงหาไมเนอรของสมาชกทกตวในเมทรกซน

1) M 11 (A) = 0 5

1 2 = 0 – 5 = – 5 2) M 12 (A) = ……………………………………

3) M 13 (A) = …………………………………… 4) M 21 (A) = 0 5

0 1 = 0 – 0 = 0

5) M 22 (A) = …………………………………… 6) M 23 (A) = …………………………………… 7) M 31(A) = …………………………………… 8) M 32 (A) = …………………………………… 9) M 33 (A) = …………………………………… บทนยาม ก าหนดให A = [ ija ] nm โคแฟกเตอร (cofactor) ของสมาชก ija หรอตวประกอบรวมเกยวของ ija ของ A จะเขยนแทนดวย C ij (A) หมายถงผลคณของ M ij (A) และ (-1) ji

C ij (A) = (-1) ji M ij (A)


1 3 0

2 1 1

22 1

จงหา C12(A) , C21(A) , C23(A) , C33(A)

C12(A) = (-1)1+2M12(A) = (-1) 1 0

2 1 = (-1)(-1 – 0) = (-1)(-1) = 1

C21(A) = …………………………………………………………………………………………………

C23(A) = …………………………………………………………………………………………………

C33(A) = …………………………………………………………………………………………………


การหาดเทอรมนนต อาจใชแถวใดแถวหนง (หลกใดหลกหนง) เปนหลก เชน ใชแถวท 1 เปนหลก จะได det (A) = 1111Ca (A) + 1212Ca (A) + 1313Ca (A) + … + 1n1nCa (A) ใชแถวท 2 เปนหลก จะได

det (A) = 1212Ca (A) + 2222Ca (A) + 3232Ca (A) + … + m2m2Ca (A)


051

123

014

จงหาดเทอรมนนตของเมทรกซ A (โดยการกระจายโคแฟคเตอร)

วธท า det (A) = 1111Ca (A) + 1212Ca (A) + 1313Ca (A)

= 4(-1)1+1 0 5

1 2 + (-1)(-1)1+2 0 1

1 3

+ 0

= 4(0 – 5) + 1(0 – (– 1)) = – 20 + 1 = – 19 det (A) = – 19


1 0 5 6

2 4 1 3

0 1 2 0

1 1 0 1

จงหา det (A)

……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….



1. จงหาจ านวนจรง x ทสอดคลองกบสมการตอไปน

1.1 11 3

14 x = 2 1.2 2 4 3

1 0 1

1 x 2

= 0

2. จงหาดเทอรมนนตของเมทรกซตอไปน

2.1 A =

1 2 4

1 2 4

0 1 2

2.2 B =

4 1 0

0 1 1

3 2 2

2.3 C =

6 6 3

2 4 1

4 1 2

2.4 D =

2 2 0 1

0 3 5 4

0 0 3 2

0 3 8 3

2.5 E =

1 0 1 2

2 1 0 1

3 2 1 0

2 2 1 1


ใบความรท 6 สมบตของดเทอรมนนต

ก าหนดให A = [ ija ] nn และ B = [ ijb ] nn โดยท ija และ ijb R และ n > 2 แลว

1. det(A) = det(A t )

ตวอยางท 1 จงหา det (A) และ det (At) ของเมทรกซ A ตอไปน

1.1 A =

3 2

0 0 1.2 B =

2 4 6

2 1 0

1 2 3

วธท า det (A) = 0 – 0 = 0 ……………………………………………………… จาก det (A) = det (At) ……………………………………………………… det (At) = 0 ……………………………………………………… ………………………………………………………

2. det(AB) = det(A) det(B)


1- 3

2- 1 , B =

1 1

4 2 และ C =

1- 1

4 3 จงหา

2.1 det(AB) 2.2 det(BC) วธท า det(A) = –1 – (– 6) = 5 ……………………………………………………… det(B) = 2 – 4 = – 2 ……………………………………………………… จาก det(AB) = det(A) det(B) ……………………………………………………… det(AB) = 5(– 2) = – 10 ………………………………………………………

3. det(A n ) = [det(A)] n


5 3

1 2 , B =

4 1

2 3 จงหา

3.1 det(A2) 3.2 det(B3) วธท า det(A) = 10 – (– 3) = 13 ……………………………………………………… จาก det(A n ) = [det(A)] n ……………………………………………………… det(A2) = 132 = 169 ………………………………………………………


4. det(A 1 ) = det(A)

1


4 3

2 1 , B =

5 3

6 2 จงหา

4.1 det(A-1) 4.2 det(B-1) วธท า det(A) = – 4 – (– 6) = 2 ………………………………………………………

จาก det(A-1) = det(A)

1 ………………………………………………………

det(A-1) = 2

1 ………………………………………………………

5. เมทรกซเอกฐาน (singular matrix) และเมทรกซไมเอกฐาน (non - singular matrix) ถา det(A) = 0 เรยก A วา เมทรกซเอกฐาน หรอ ซงกลารเมทรกซ ถา det(A) 0 เรยก A วา เมทรกซไมเอกฐาน หรอ นอนซงกลารเมทรกซ

ตวอยางท 5 จงตรวจสอบวาเมทรกซในแตละขอตอไปน เปนเมทรกซเอกฐาน หรอเมทรกซไมเอกฐาน

5.1 A =

3 1

6 2 5.2 B =

2

1 0

0 4

วธท า det(A) = 6 – 6 = 0 ……………………………………………………… เปนเมทรกซเอกฐาน ………………………………………………………

5.3 C =

3 3

1 2 5.4 D =

0 1 3

0 1 2

0 4 1

………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………


6. ถา A เปนเมทรกซจตรสทมสมาชกแถวใดแถวหนง (หลกใดหลกหนง) เปนศนยทกตวแลว det(A) = 0

ตวอยางท 6 จงหาดเทอรมนนตของเมทรกซตอไปน

6.1 A =

2 3

0 0 6.2 B =

0 1 3

0 1 2

0 4 1

วธท า เนองจากแถวท 1 มสมาชกทกตวเทากบ 0 ……………………………………………………… det(A) = 0 ………………………………………………………

7. ถา A มสมาชกสองแถว (หรอ 2 หลก) ใดๆ เหมอนกนแลว det(A) = 0


7.1 A =

2 2

1 1 7.2 B =

0 1 1

4 1 3

0 1 1

วธท า เนองจากหลกท 1 และหลกท 2 ……………………………………………………… มสมาชกซ ากน ……………………………………………………… det (A) = 0 ………………………………………………………

8. ให A เปนเมทรกซจตรส และ B เปนเมทรกซทเกดจากการสลบแถว (หลก) คใดคหนงของ A แลว det (B) = – det (A)


8.1 A =

0 1 1

1 1 2

1 2 1

8.2 B =

1 1 0

2 1 1

121

………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ……………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………………


จากสมบตในขอท 8 ระบเพยงวาใหสลบระหวางแถว หรอสลบระหวางหลกเพยงคเดยว แตในบางครงจะพบวา B เปนเมทรกซทเกดจากเมทรกซ A โดยการสลบกนระหวางแถว หรอสลบกนระหวางหลก มากกวา 1 ค เชน

A =

ihg

fed

cba

, B =

cba

ihg

fed

จะพบวา B เกดจากการสลบทระหวางแถวท 1 และแถวท 3 และน าผลทไดมาสลบกน ระหวางแถวท 1 และแถวท 2 อกครงหนง ลกษณะเชนนเรากลาววา B เกดจาก A โดยการสลบกนระหวางแถวสองค การกระท าดงกลาว ถาเราทราบคาดเทอรมนนตของเมทรกซ A เราจะทราบคาดเทอรมนนตของ B ดวย ดงน

A =

ihg

fed

cba

C =

cba

fed

ihg

B =

cba

ihg

fed

det(A) = k det(C) = - k det(B) = - (- k) = k ดงนน เราสามารถสรปเปนสมบตของดเทอรมนนตไดอก 1 ประการ ดงสมบตขอท 9

9. ให A เปนเมทรกซจตรส และ B เปนเมทรกซทเกดจาก A โดยการสลบกนระหวางแถว หรอสลบกนระหวางหลกจ านวน k ค แลว det(B) = (-1) k det(A)


ihg

fed

cba

และ det(A) = 2 จงหาคาดเทอรมนนทของเมทรกซตอไปน

9.1 B =

hg i

ed f

ba c

9.2 C =

igh

ca b

fd e

วธท า หลกท 1 สลบกบหลกท 3 ……………………………………………………… และหลกท 2 สลบกบหลกท 3 ……………………………………………………… จะเหนวา มการสลบกน 2 ค ……………………………………………………… จาก det(B) = (-1) k det(A) ……………………………………………………… = (-1) 2 2 ……………………………………………………… = 1 2 ……………………………………………………… = 2 ……………………………………………………… det(A) = 2 ………………………………………………………


10. ให A เปนเมทรกซจตรส และ B เปนเมทรกซ เกดจากการคณสมาชกในแถวใดแถวหนง (หรอคณหลกใดหลกหนง) ของเมทรกซ A ดวยคาคงตว k 0 แลว det(B) = k det(A) ประโยชนของสมบตขอท 10 คอ ชวยท าใหสมาชกของเมทรกซทตองการหาดเทอรมนนตมขนาดเลกลง

เพอสะดวกในการกระจาย ตวอยางท 10.1 จงหาดเทอรมนนตของเมทรกซตอไปน

10.1.1 611

644

936

= 611

322

936

2

= 611

322

312

32

= 211

122

112

332

= 211

122

112

18

11

22

12

= 18(5 – 0) = 90

10.1.2 335

2610

135

= ……………………………………………………………………………….

= ……………………………………………………………………………….

10.1.3 3315

4610

135

= ……………………………………………………………………………….

= ……………………………………………………………………………….

ตวอยางท 10.2 ก าหนดให ihg

fed

cba

= 3 จงหาคาของ

10.2.1 i4h32g

f4e32d

c4b32a

……………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………….……………………………………

10.2.2 ihg

3c3b3a

fe d

……………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………….…………………………………… ……………………………………………………………………….……………………………………


11. ให A เปนเมทรกซจตรสมต nn และ k เปนคาคงตว จะไดวา det(kA) = k n det(A) ตวอยางท 11 ก าหนดให A , B และ C เปนเมทรกซทมมต 22 , 33 และ 44 ตามล าดบ

และถา det(A) = 10 , det(B) = - 15 และ det(C) = 8 แลว จงหา 11.1 det(5A) = …………………………………………………………….…………………………………

11.2 det(- 4B) = …………………………………………………………….…………………………………

11.3 det( C2

1 )

= …………………………………………………………….………………………………… ขอสงเกต ถา A เปนเมทรกซทมมต nn จะไดวา

det(-A) = det((-1)A) = (-1)ndet(A) =

เปนจ านวนค n เมอเปนจ านวนค n เมอ

det(A)-

det(A)

12. ถา A เปนเมทรกซสามเหลยมหรอเมทรกซทแยงมม det(A) เทากบ ผลคณของสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก หรอ det(A) = nn332211 a...aaa

ตวอยางท 12 จงหาดเทอรมนนตตอไปน

12.1

1000

0200

1120

4013

12.2 300

030

003

วธท า เนองจากเปนเมทรกซสามเหลยมดานบน ……………………………………………………… det(A) = (-3)2 (-2) 1 = 12 ………………………………………………………

13. det(In) = 1 14. det(0) = 0 เมอ In เปนเมทรกซเอกลกษณ

ตวอยางท 13 100

010

001

= 111 ตวอยางท 14 000

000

000

= 0


ใบกจกรรมท 6 ดเทอรมนนต (Determinant)

1. จงหาดเทอรมนนตของเมทรกซทก าหนดใหตอไปน 1) A = [9] det(A) = ……………………………………………………………..……….

2) B =

94

53 det(B) = ……………………………………………………………..……….

3) C =

87

10 det(C) = ……………………………………………………………..……….

4) D =

561

750

432

det(D) = ……………………………………………………………..……….

……………………………………………………………..……….

5) E =

324

613

152

det(E) = ……………………………………………………………..……….

……………………………………………………………..……….


42

31 , B =

31

63 จงหา

1) det(AB) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 2) det(A t ) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….


3) det(B 1 ) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 4) det(A + B) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 5) det(A 2 ) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 6) det(3B) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….


1

42

x

x , B =

12

43 ถา det(A) = det(B) จงหา x

……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….



2431

0060

5304

0213

M 32 (A) และ C 32 (A)

……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 5. จงหาดเทอรมนนตของเมทรกซในแตละขอตอไปน (โดยการกระจายโคแฟคเตอร)

1) A =

602

435

201

……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

2) B =

3120

0213

3021

3102

……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….


3) C =

1102

2101

1102

1201

……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….

4) D =

1211

0831

2102

2511

……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….



1. ถา u t s

r q p

z y x

= -1

1.1 zy x

r q p

u t s

1.2 zy x

3u3t 3s

r q p

2. ให A = zy x

r q p

c b a

และ det(A) = 3

จงหา det(3B-1) เมอ B =

r q p

2c 2b 2a

4z4y 4x

3. ให A , B และ C เปน nn เมทรกซ เมอ n เปนจ านวนเตมทมากกวา 2 และ det(A) = 1 , det(B) = 2 , det(C) = -3 แลว จงหา 3.1 det(A2BC-1B-1) 3.2 det(BC-1AB-1Ct)


ใบความรท 7 อนเวอรสของการคณเมทรกซ

อนเวอรสของการคณเมทรกซ

บทนยาม ให A เปน nn เมทรกซ อนเวอรสของเมทรกซ A เขยนแทนดวย A 1 มสมบตวา A A 1 = A 1 A = I n

*** อนเวอรสของการคณเมทรกซ อาจเรยกวา ตวผกผนการคณของเมทรกซ

1. อนเวอรสของการคณของ 2 2 เมทรกซ

เมอ A =

dc

ba โดยท ad – bc 0 (det A 0)

A 1 =

ac

bd

bcad

1 =

ac

bd

det(A)

1

ตวอยางท 1 จงหาอนเวอรสของเมทรกซทก าหนดใหตอไปน

1) A =

83

52 2) B =

42

21

วธท า det(A) = 16 – 15 = 1 ……………………………………………………..

A-1 =

23

58

1

1 ……………………………………………………..

=

23

58 ……………………………………………………..


13

12 จงหา A 2

วธท า A-2 = (A2)-1

A2 =

13

12

13

12 =

1336

1234 =

49

37

det(A2) = 28 – 27 = 1

(A2)-1 =

79

34

1

1 =

79

34

A 2 =

79

34


2. อนเวอรสการคณของ nn เมทรกซ เมอ n > 2

บทนยาม ให A = [ ija ] nn เมอ ija และ n เปนจ านวนเตมทมากกวา 1 1. เมทรกซผกพน (Adjoint Matrix) ของ A เขยนแทนดวย adj(A) คอ ทรานโพสของ

เมทรกซ [C ij (A)] nn adj(A) = [C ij (A)] t

nn 2. A(adj A) = adj(A)A = det(A) I n

3. ถา det(A) 0 แลว A 1 = det(A)

1 adj(A)

สมบตของอนเวอรสการคณของเมทรกซ ก าหนด A , B เปนเมทรกซมต nn ทสามารถหา A 1 และ B 1 ได 1. (A 1 ) 1 = A 2. (AB) 1 = B 1 A 1 3. (A t ) 1 = (A 1 ) t 4. (A n ) 1 = (A 1 ) n

5. (kA) 1 = k

1 A 1 , kR , k 0

6. det(A 1 ) = )det(

1

A


852

213

101

จงหา

3.1 det(A) ………………………………………………………………………………………….………………….

………………………………………………………………………………………….………………….………………………………………………………………………………………….………………….………………………………………………………………………………………….………………….………………………………………………………………………………………….………………….………………………………………………………………………………………….………………….


3.2 adj(A)

วธท า adj(A) =

t

(A)c (A)c (A)c

(A)c (A)c (A)c

(A)c (A)c (A)c

333231

232221

131211

=

t

13

01

23

11

21

10

52

01

82

11

85

10

52

13

82

23

85

21

=

t

111

5105

17282

=

t

1517

11028

152

3.3 A-1 ………………………………………………………………………………………….………………….

………………………………………………………………………………………….………………….………………………………………………………………………………………….………………….………………………………………………………………………………………….………………….………………………………………………………………………………………….………………….………………………………………………………………………………………….………………….

ชวตตองสๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ


ใบกจกรรมท 7 อนเวอรสของการคณเมทรกซ 1. จงหาอนเวอรสการคณของเมทรกซตอไปน (ถาม)

1.1)

21

34

…………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………

1.2)

34

10

…………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………

1.3)

26

13

…………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………

1.4)

2

1

2

132

…………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………



23

35 จงหา A 1 , A 2

…………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………


861

523

312

A มอนเวอรสการคณหรอไม ถามจงหา A 1

…………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………



134

212

103

A มอนเวอรสการคณหรอไม ถามจงหา A 1

…………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….………… …………………………………………………………..……………………………………………….…………



1. จงหาตวผกผนการคณของเมทรกซในแตละขอตอไปน

1.1 A =

32

43 1.2 B =

21

42

1.3 C =

132

654

123

1.4 D =

874

136

243

1.5 E =

361

4121

315

2. ก าหนดให

A =

321

121

211

, B =

350

210

111

จงหา

2.1 det(2A-1B) 2.2 det(Atadj(B)) 2.3 det(BAtadj(A)) 2.4 det(2adj(A2)B)


A X B

ใบความรท 8 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ

การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ

บทนยาม ระบบสมการเชงเสน หมายถง ชดสมการททกสมการเปนสมการเชงเสน และจ านวน สมการในระบบเทากบจ านวนตวแปร

ระบบสมการเชงเสน 111xa + 212xa + … + nn xa1 = 1b 121xa + 222xa + … + nn xa2 = 2b

11xan + 22 xan + … + nnnxa = nb

สามารถเขยนเปนเมทรกซไดดงน

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nx

x

x

2

1

=

3

2

1

b

b

b

เรยก A วา เมทรกซสมประสทธ (coefficient matrix)

เรยก [A : B] =

3333231

2232221

1131211

baaa

baaa

baaa

วา เมทรกซแตงเตม (augmented matrix)

การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ สามารถท าได 3 วธ คอ

1. ใชอนเวอรสการคณของเมทรกซ 2. ใชกฎของคราเมอร


1. ใชอนเวอรสการคณของเมทรกซ

จาก AX = B และ det(A) 0 จะได X = A 1 B ตวอยางท 1 จงแกระบบสมการเชงเสน 2x – 3y = -1 ………… (1) -3x + 5y = 2 ………… (2) วธท า จาก AX = B

จะได

53

32

y

x =

2

1

A 1 =

ac

bd

det(A)

1 =

23

35

1

1

จะได X = A 1 B

y

x =

23

35

2

1 =

43

65 =

1

1

x = 1 และ y = 1

ตวอยางท 2 จงแกระบบสมการเชงเสน 2x + y + 2z = 3 ………… (1)

x + y – z = 2

1 ………… (2)

3x + 2y – 2z = – 2 ………… (3) ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….


2. ใชกฎของคราเมอร บทนยาม ถา A เปนเมทรกซ nn โดยท det(A) 0 แลวระบบสมการเชงเสนทเขยนในรป

สมการเมทรกซ AX = B เมอ 1x , 2x , ... , nx คอตวไมทราบคา และ 1b , 2b , ... , nb เปนตวคงท

โดยท X =

n

2

1

x

x

x

, B =

3

2

1

b

b

b

จะมค าตอบคอ 1x = det(A)

)det(A1 , 2x = det(A)

)det(A2 , ... , nx = det(A)

)det(An

เมอ A i คอเมทรกซทไดจากการแทนหลกท i ของ A ดวยหลกของ B ตวอยางท 2 จงแกระบบสมการเชงเสนทก าหนดใหโดยใชกฎของคราเมอร 2x + y + z = 1 x – 2y – 3z = 1

3x + 2y + 4z = 5 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….


ใบกจกรรมท 8 การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ

จงแกระบบสมการเชงเสนตอไปนโดยใชเมทรกซ 1. 2x + 2y = 7 x + 2y = 4 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 2. x + y + z = 6 x – y + z = 2 x + y – z = 0 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….


3. x + 3y = 0 y – 5z = 3 2x + z = -1 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. 4. 2x – 3y + z = 8 -x + 4y + 2z = -4 3x – y + 2z = 9 ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………….



1. จงแกระบบสมการตอไปนโดยใชอนเวอรสการคณของเมทรกซ 1.1 y – x = 4 1.2 x + 2y – z = 3 2x + 3y = 22 3x + y = 6 2x + y = 1 2. จงแกระบบสมการตอไปนโดยใชกฎของคราเมอร 2.1 3x + 4y = -2 2.2 3x + 6y = 5 5x + 3y = 4 6x + 14y = 11

2.3 2x + y – z = 5 2.4 x – 2y + 3z = 9 3x – 2y + 2z = -3 - x + 3y = - 14 x – y – 3z = -2 2x – 5y + 5z = 17

Documents

ชื่อ - STREE-KMkm.streesp.ac.th/files/140514099443085_1411250885622.pdf · วิชา ค 31202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 2 เรื่อง