15
: XA J B@ 1 : : ¨A» l QjJ . ˚K . : : : ØK XY“¸@ HAJ ¸A J Jˇ@ : . ØK XY« ØJ ¸A J J Q K LAm . @ œ˛ « ‹Q“ J¸@ - : Øm ’@ Q - ( ) : X 5 X 10 . ØJ Aˇ@ Ø J¸@ HAJ . ”K . Q » Y J¸@ : : : u(n) XY“¸@ n > n 0 ø “J J . £ XY« K . flQ K ظ@X ø º u ØK XY« ØJ ¸A J J . ø¢“ ø “J J . £ XY« n 0 : IJ k : ØJ ¸A J J˚¸ —A“¸@ Ym ’@ ø u(n) Æ BYK . u n : QQ¸AK . u ØJ ¸A J JˇAK . n LPæ¸ QQ K : . ø¢“ ø “J J . £ XY« n 0 : ' ØK XY« ØJ ¸A J J (u n ) n>n 0 Ø flQ“ ظ@X f IJ k u n = f (n) ¸@ Æ LPAJ . « IJ ¢« @@ X@ . [0; +[ ¨Aj . ˇ@ œ˛ « n ظBYK . —A“¸@ AºYm . Ø flQ“ (u n ) n>n 0 @ ¨æ K ظ@X f IJ k u n 0 ØJ u n+1 = f (u n ) ¸@ Æ LPAJ . « IJ ¢« @@ X@ . u n 0 D D œ fl AŒJ Y g A K D ¨Am . œ˛ « Ø flQ“ . ØJ “k . @Q K Ø flC“K . Ø flQ“ (u n ) n>n 0 @ ¨æ K : u n =2n +1 : —A“¸@ AºYm . N œ˛ « Ø flQ“ ØJ ¸A J J (u n ) ˚K ØJ “k . @Q K Ø flC“K . Ø flQ“ ØJ ¸A J J (u n ) u n+1 = 2 3 u n - 1 2 : n ø “J J . £ XY« ¿ g . @ Æ u 0 =5 ¨ B@ AºYg :

¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

  • Upload
    others

  • View
    5

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 1 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éKXYªË@

�HAJËA

�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��

.�éKXY«

�éJËA

�J�JÓ Q�

ª

�K èAm.

��' @ úΫ

¬Qª

�JË @ − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

X 5

X 10

.�éJ

�AÖÏ @

�éJ�Ë@

�HAJ.�

��ºÒ�K.

Q�»Y

�JË @ :Tysfn�� T·yht�� ?

: T§ d`�� �Ay�Attm�� �w� ry�@�

:�§r`�

u(n) XYªË@ n > n0 ùªJJ.£ XY« ɾK.

��

Q̄�K

�éË @X ù

ë u

�éKXY«

�éJËA

�J�JÓ

. ù¢ªÓ ùªJJ.£ XY« n0 :

�IJk

:T\�®��éJËA

�J�JÒÊË ÐAªË@ YmÌ'@ ùÒ�� ð u(n) áÓ BYK. un : QÓQËAK. u

�éJËA

�J�JÖÏ AK. n

�èPñ�Ë QÓQ

K ?

: T§ d� Ty�Att� dy�w� �rV

. ù¢ªÓ ùªJJ.£ XY« n0 : ©Ó

�éKXY«

�éJËA

�J�JÓ (un)n>n0

�éQ̄ªÓ

�éË @X f �

IJk un = f(n) ɾ�

�Ë@ áÓ�èPAJ.«

�IJ¢«

@ @

X @ •

. [0; +∞[ ÈAj. ÖÏ @ úΫ

n�éËBYK. ÐAªË@ AëYm�'

.�éQ̄ªÓ (un)n>n0

à@

Èñ

�®

K

�éË @X f �

IJk un0�éÒJ

�¯ ð un+1 = f(un) ɾ

��Ë@ áÓ

�èPAJ.«

�IJ¢«

@ @

X @ •

. un0 ∈ D ð D ú

¯ AêÒJ

�¯

Y

g

A�K ð D ÈAm.

× úΫ�éQ̄ªÓ

.�éJªk. @Q

�K

�é�¯CªK.

�éQ̄ªÓ (un)n>n0

à@

Èñ

�®

K

: Tl���

un = 2n + 1 : ÐAªË @ AëYm�'. N úΫ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) ?

: ù�ÊK AÒ»

�éJªk. @Q

�K

�é�¯CªK.

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) ?

un+1 = 23un −

12 : n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = 5 Èð

B@ AëYg

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 2: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 1 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

X 10

X 35

: T§ d� Ty�Att� ry�� £A���

. (un) �éKXYªË@

�éJËA

�J�JÖÏ @ Q�.

�Jª

K n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ

: N áÓ n É¿ Ég.

@ áÓ ú

æªK ( I. �

�KQ

��Ë @ úΫ

�èYK@

Q��Ó ) AÓAÖ

�ß

�èYK@

Q��Ó (un) ?

( I. ��KQ

��Ë @ úΫ un+1 − un ≥ 0 ) , un+1 − un > 0

N áÓ n É¿ Ég.

@ áÓ ú

æªK ( I. �

�KQ

��Ë @ úΫ

�é�

�¯A

J�JÓ ) AÓAÖ

�ß

�é�

�¯A

J�JÓ (un) ?

( I. ��KQ

��Ë @ úΫ un+1 − un ≤ 0 ) , un+1 − un < 0

: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ú

æªK N úΫ

�é�JK. A

�K

�éJËA

�J�JÓ (un) ?

un+1 − un = 0

: áºÖß (un)n∈N�éJËA

�J�JÓ Q�

ª

�K èAm.

��' @

�é�@PYË :Tq§rV

un+1 − un�

�Q®Ë @

�èPA

��@

�é�@PX •

1 XYªËAK.un+1

un

àPA

�®

K AÓAÖ

�ß

�éJ.k. ñÓ

�éJËA

�J�JÖÏ @ XðYg

�I

KA¿ @

X @ •

un = f(n) �éËAg ú

¯ [0; +∞[ úΫ f

�éË @YË@ Q�

ª

�K èAm.

��' @

�é�@PX •

:�éJËA

�JË @

�HAJËA

�J�JÖÏ @ Q�

ª

�K èAm.

��' @ �PX@ : ¨qybW� �§rm�

un = n2 − n : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ¬

un+1 = un −1

(un)2 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) ­

un = 5× 3n: �K. n ∈ N∗ ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) ®

un =√

n− 1 : n ∈ N∗ ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ¯

:�y¡Afm�� ºAn�

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 3: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 2 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éKXYªË@

�HAJËA

�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��

.�éJËA

�J�JÓ

�éKAî

E ð ¼ñÊ�

á�Ò

j�JË ú

GAJJ. Ë @ ÉJ

�JÒ

�JË @ ÈAÒª

�J�@ − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

X 15

:Tysfn�� T·yht�� ?

: T§ d� Ty�Attm� ¨�Ayb�� �y�mt��

: �A`�� d��� T�A� ¶

:�§r`�

. n ≥ n0 ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ

�éQ̄ªÓ

�éKXY«

�éJËA

�J�JÓ (un)

ð YÓAª�JÖÏ @ ÕΪÖÏ @ úÍ@

H. ñ�

�ÖÏ @ ø

ñ

�J�ÖÏ @ ú

¯ (un) �

éJËA�J�JÒÊË ú

GAJJ. Ë @ ÉJ

�JÒ

�JË @

n ≥ n0 :�

IJk M(n; un) ¡�®

JË @

�é«ñÒm.

× ñë (O;−→i ,−→j ) �

�Aj.

�JÖÏ @

( �A`�� d��A� T�r`� Ty�Att� �y�m� ) :�A��

un = 12 n2 + 1 : �K. N úΫ

�é

Q̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) ?

úΫ�éQ̄ªÖÏ @ ð (un) �

éJËA�J�JÖÏ AK.

��

Q̄ÖÏ @

�éË @YË @ f

f(x) = 12 x2 + 1 : �K. [0; +∞[

ð YÓAª�JÖÏ @ Ñ�ʪÖÏ @ ù

�¯ ú

GAJJ. Ë @ AêÊJ

�JÒ�

�K (Cf ) ð

(O;−→i ,−→j ) �

�Aj.

�JÖÏ @

: Ty`��r� T�®� T�A� ·

:�§r`�

�éJªk. @Q

��Ë @

�é�¯CªË@ ð u0 Èð

B@ AëYm�'

.�éQ̄ªÖÏ @ (un) �

éJËA�J�JÖÏ @ áº

�JË

R úΫ�éQ̄ªÓ

�éË @X f :

�IJk un+1 = f(un)

úÍ@

H. ñ��ÖÏ @ ø

ñ

�J�ÖÏ @ ú

¯ ú

GAJJ. Ë @ ÉJ

�JÒ

�JË @ ù

ë M(un; un+1) ¡

�®

JË @

�é«ñÒm.

×

.�éJËA

�J�JÒÊË ÕΪÓ

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 4: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 2 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

X 20

X 25

: AJK AJK. (un) �

éJËA�J�JÖÏ @ ÉJ

�JÒ

�JË � :Tq§rV

Zúæ��JK Õç

�' (un) �

éJËA�J�JÖÏ AK.

��

Q̄ÖÏ @ f

�éË @YÊË ú

GAJJ. Ë @ ÉJ

�JÒ

�JË @ (Cf ) Zú

æ��JK •

y = x�éËXAªÖÏ @ ð

X (∆) Õæ

�®�J�ÖÏ @

M(un; un+1) ¡�®

JË @

�é«ñÒm.

× ñë ú

GAJJ. Ë @ ÉJ

�JÒ

�JË @ •

. AîDÊ« É�m�' �

é¢�®

K Èð

@ ù

ë M0(u0; u1) �

é¢�®

JË @ •

úΫ AîDÊ« É�jÖÏ@�é¢

�®

JË @ ¡

�®�

� Õç

�' (ox) �

�¯ð (∆) úΫ M0 ¡

�®�

� •

M1(u1; u2) �é¢

�®

JË @ úΫ É�m�

' @

YîE. ð (oy) �

�¯ð (Cf )

. èQ

k�@ úÍ@

M3 , M2 úΫ Èñ�jÊË

�éJÊÒªË@ PQº

K •

( Ty`��r� T�®`� T�r`� Ty�Att� �y�m� ) :�A��un+1 = 2un + 1 : n ∈ N É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = 0 : �K.

�éQ̄ªÖÏ @ (un) �

éJËA�J�JÖÏ @ áº

�JË ?

(O;−→i ,−→j ) �

�Aj.

�JÖÏ @ ð YÓAª

�JÖÏ @ ÕΪÖÏ @ úÍ@

H. ñ�

�ÖÏ @ ø

ñ

�J�ÖÏ @ ú

¯ (un) �

éJËA�J�JÖÏ @ AJ

K AJK. É

�JÖ

ß ?

:

R úΫ�éQ̄ªÖÏ @ (un) �

éJËA�J�JÖÏ AK.

��

Q̄ÖÏ @ f

�éË @YÊË ú

GAJJ. Ë @ ÉJ

�JÒ�

�JË @ ñë (Cf ) áºJË

. y = x�éËXAªÖÏ @ ð

X Õæ

�®

�J�ÖÏ @ (∆) áºJË ð , f(x) = 2x + 1 : �K.

M0(0; 1) �é¢

�®

K Èð

@ É

�JÖ

ß •

(ox) ��

¯ð (∆) úΫ M0 ¡

�®�

� •

(Cf ) úΫ AîDÊ« É�jÖÏ@�é¢

�®

JË @ ¡

�®�

� Õç

�'

�é¢

�®

JË @ úΫ É�m�

' @

YîE. ð (oy) �

�¯ð

M1(1; 3) : ø

@ M1(u1; u2)

M3 , M2 úΫ Èñ�jÊË�éJÊÒªË@ PQº

K •

. èQ

k�@ ù�Ë @

H. ñ��ÖÏ @ ø

ñ

�J�ÖÏ @ ú

¯ (un) �

éJËA�J�JÖÏ @ AJ

K AJK. É

�JÓ

�éËAg É¿ ú

¯ : ¨qybW� �§rm�

: (O;−→i ,−→j ) �

�Aj.

�JÖÏ @ ð YÓAª

�JÖÏ @ ÕΪÖÏ @ úÍ@

: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = 1 : �K.

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) ¬

un+1 = 2 + un

un

: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = −1 : �K.

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) ­

un+1 =√

1 + un

:�y¡Afm�� ºAn�

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 5: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 3 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éKXYªË@

�HAJËA

�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��

.�éJ�Y

Jë ð

�éJK. A�k

�HAJËA

�J�JÓ

�é�@PX − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

X 15

X 10

:Tysfn�� T·yht�� ?

: ( ry�@� ) TyFdnh��¤ Ty�As��� �Ay�Attm��

: «¬» ¨qybW� �§rm�

u7 = 20 ð u3 = 8 :�

IJk r AîD�A� @ ð u0 Èð

B@ AëYg

�éJK. A�k

�éJËA

�J�JÓ (un) ¬

. n�éËBYK. un

�èPAJ.« I.

�J»

@ -

r = 2 AîD�A� @ ð u1 = −4 Èð

B@ AëYg

�éJK. A�k

�éJËA

�J�JÓ (un) ­

. n�éËBYK. un

�èPAJ.« I.

�J»

@ -

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 6: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 3 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

X 35

: «­» ¨qybW� �§rm�

vn+1 = vn

vn + 1 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð v0 = 1 �K.

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (vn)

un = 1vn

: �K. n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) ð

. Èð B@ AëYg ð AîD�A�

@

á�Jª�K I. Ê¢�

�éJK. A�k

�éJËA

�J�JÓ (un)

à @

á�K. ¬

. n�éËBYK. vn i.

�JJ���@ Õç

�' n

�éËBYK. un

�èPAJ.« I.

�J»

@ ­

Sn = u0 + u1 + u2 + ... + un : ¨ñÒj. ÖÏ @ n�éËBYK. I. �k@ ®

: «®» ¨qybW� �§rm�

v5 = 32 ð v2 = 4 :�

IJk q AîD�A� @ ð v0 Èð

B@ AëYg

�éJ�Y

�éJËA

�J�JÓ (vn) ¬

. n�éËBYK. vn

�èPAJ.« I.

�J»

@ -

r = 13 AîD�A�

@ ð v1 = 3 Èð

B@ AëYg

�éJ�Y

�éJËA

�J�JÓ (vn) ­

. n�éËBYK. vn

�èPAJ.« I.

�J»

@ -

: «¯» ¨qybW� �§rm�

un+1 = 4un + 3 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = 14 �K.

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

vn = un + 1 : �K. n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (vn) ð

. Èð B@ AëYg ð AîD�A�

@

á�Jª�K I. Ê¢�

�éJ�Y

�éJËA

�J�JÓ (vn)

à @

á�K. ¬

. n�éËBYK. un i.

�JJ���@ Õç

�' n

�éËBYK. vn

�èPAJ.« I.

�J»

@ ­

:á�«ñÒj. ÖÏ @ n

�éËBYK. I. �k@ ®

S′n = u2

0 + u21 + u2

2 + ... + u2n ð Sn = v0 + v1 + v2 + ... + vn

24T�f} 11¤05�§rmt�� ��27T�f} 51¤49�§rmt�� ��

:�y¡Afm�� ºAn�

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 7: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 4 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éKXYªË@

�HAJËA

�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��

. ©k. @Q��ËAK.

�éJ�A

g

�HAJ.

�K @ − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

�é

��

�¯A

áÓ  A�

��Ë @

¬Q£YJÓC

�JË @

X 20

X 20

:Tysfn�� T·yht�� ?

: ���rt�A� �¯dtF¯�

:ªAK�

( úÍñ

KQK.

�éJKAJ.

�JÓ ) (1 + x)n ≥ 1 + nx :

�éJËA

�JË @

�éJKAJ.

�JÖÏ @ úΫ

àAëQ�. Ë @ YKQ

K

. ÐðYªÓ Q�« ù

ªJJ.£ XY« n ð AÓAÖ

�ß I. k. ñÓ ù

�®J

�®k XY« x :

�IJk

n = 1 Ég.

@ áÓ

��

�®m×

�éJKAJ.

�JÖÏ @

à

@

á�K. ¶

(1 + x)n+1 ≥ 1 + (1 + n)x :à

@ áëQK. ,

�éjJm

�� �é�®K. A�Ë@

�éJKAJ.

�JÖÏ @

à

@

�Q

®

K ·

? i.�JJ���

�� @

XAÓ ¸

: ���rt�A� �¯dtF¯� ­rk�

AJÒÊ« @

X @

ð úÍð B@

�ék. PYË@ Yª�

­J» A

JÒÊ« @

X @

, ÕÎ� AJKYË é

K @ ÉJ

j

��JË ?

AJJºÖß é

K AK. AJîEYK. ÉJ.

�®�JK

�éJË @ñÖÏ @

�ék. PYË@ úÍ@

�ék. PX ø

@ áÓ Xñª�Ë@

�éJ

®J»

. AëAKYª� ú

�æË@ úÍð

B@

�ék. PYË@ YªK.

�èXñk. ñÓ

�ék. PX ø

@ úÍ@

Èñ�ñË@

:���rt�A� �¯dtF¯� �db�

XY« n0 , n ùªJJ.¢Ë@ XYªËAK.

��ʪ

�JÓ ( . . .

�éʾ

��Ó ,

�éJ

�¯ ) �

éJ�A

g p(n)

. ùªJJ.£

ð @ áÓ Q�.»

@ n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ P (n) �

éJ�AmÌ'@

�ém��

úΫ

àAëQ�. ÊË

: úÎK AÓ ©J.

��K n0 ø

ðA��

n0 ùªJJ.¢Ë@ XYªË@ Ég.

@ áÓ p(n) �

éJ�AmÌ'@

�ém�� áÓ

��

�®j

�JK ¶

n0 ø

ðA�� ð @ áÓ Q�.»

@ n Ég.

@ áÓ

�éjJm

�� p(n) �éJ�A

mÌ'@

à

@

�Q

®

K ·

p(n + 1) ø

@ n + 1 Ég.

@ áÓ

�éJ�A

mÌ'@

�ém�� áëQ�.

K ð

: T\�®��éJ�A

g úΫ

�éJëQ�. Ë @ ú

¯ ÉÒª

�J��

àAëQ�. Ë @  AÖ

ß @ áÓ ¡Ö

ß ñë ©k. @Q

��ËAK.

àAëQ�. Ë @ ?

n ùªJJ.£ XYªK.

��ʪ

�J�K

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 8: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 4 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

X 30

X 40

:1 �A��: n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = 6 : �K. N úΫ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

un+1 = 12un + 1

3

un ≥23 : n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ é

K @ ©k. @Q

��ËAK.

áëQK. -

:2 �A��7 XYªÊË

­«A

�Ó 23n − 1 : n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ é

K @

�I�.

�K @

:3 �A��

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)2 : n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ é

K @

�I�.

�K @

: ¨qybW� �§rm�

: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = 0 : �K. N úΫ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

un+1 =√

12 + un

[0; 4[ ÈAj. ÖÏ @ úÍ@

ùÒ�J��K u3 ð u2 , u1 XðYmÌ'@

à

@

��

�®m�

�' ¬

0 ≤ un < 4 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ é

K @ áëQK. ­

(un) �éJËA

�J�JÖÏ @ Q�

ª

�K èAm.

��' @ �PX

@ ®

25T�f} 19¤15�§rmt�� ��31T�f} 91¤89�§rmt�� ��

:�y¡Afm�� ºAn�

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 9: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 5 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éKXYªË@

�HAJËA

�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��

.�éKXY«

�éJËA

�J�JÓ

�éKAî

E ð ¼ñÊ�

�é�@PX − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

X 20

X 15

:Tysfn�� T·yht�� ?

: ­ ¤d�m�� Ty�Attm��

: ­ ¤d�� Ty�Att� - �fF±� �� ­ ¤d�� - Yl�±� �� ­ ¤d�� Ty�Att�

. N úΫ�éQ̄ªÓ

�éKXY«

�éJËA

�J�JÓ (un) :�§r`�

M ù

�®J

�®k XY« Xñk. ð èA

JªÓ úΫ

B@ áÓ

�èXðYm× (un) �

éJËA�J�JÖÏ @

à@

Èñ

�®

K ?

. úΫ B@ áÓ @XAg @Qå�

J« : M ùÒ�� ð un ≤M :

�IJk

m ù

�®J

�®k XY« Xñk. ð èA

JªÓ É

®�

B@ áÓ

�èXðYm× (un) �

éJËA�J�JÖÏ @

à@

Èñ

�®

K ?

. ɮ�

B@ áÓ @XAg @Qå�

J« : m ùÒ�� ð un ≥ m :

�IJk

ɮ�

B@ áÓ

�èXðYm× ð úΫ

B@ áÓ

�èXðYm× Aî

E @ ú

æªK

�èXðYm× (un) �

éJËA�J�JÖÏ @

à@

Èñ

�®

K ?

. N úΫ�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) :Tq§rV

M ù

�®J

�®k XYªK. úΫ

B@ áÓ

�èXðYm×

�éJËA

�J�JÓ (un)

à @

�HAJ.

�KB

:�éJËA

�JË @

��Q¢Ë@ øYg@

©J.

��K ( m ù

�®J

�®k XYªK. É

®�

B@ áÓ

�èXðYm× ð

@ )

: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ é

K @

�HAJ.

�KB

©k. @Q��ËAK. ÈBY

�J�B@ ÈAÒª

�J�@ •

( un ≥ m �HAJ.

�KB

ð @ ) un ≤M

( un −m ð @ ) un −M

�èPA

��@

�é�@PYK. ( m ð un ð

@ ) M ð un

á�K.�éKPA

�®ÖÏ @ •

[0; +∞[ úΫ f�éË @YË@

�H@Q�

ª

�K �PY

K un = f(n) �

IKA¿ @

X @ •

: «¬» ¨qybW� �§rm�

: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = 1 Èð

B@ AëYm�'

.�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

un+1 =√

2 + un

0 ≤ un ≤ 2 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ é

K @

á�K. -

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 10: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 5 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

X 25

: «­» ¨qybW� �§rm�

un = 2n2 + 1n2 + 4 : �K. N úΫ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

. úΫ B@ áÓ

�èXðYm× (un) �

éJËA�J�JÖÏ @

à

@ i.

�JJ���@ Õç

�' un − 2 �

�Q®Ë @ I. �k@ -

: «®» ¨qybW� �§rm�

un = n2 + 1n

: �K. N∗úΫ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

. ɮ�

B@ áÓ

�èXðYm× (un) �

éJËA�J�JÖÏ @

à

@

�I�.

�K @ -

26 T�f}36¤33 �§rmt�� ��36 T�f}130¤129 �§rmt�� ��

:�y¡Afm�� ºAn�

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 11: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 6 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éKXYªË@

�HAJËA

�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��

.�éKXY«

�éJËA

�J�JÓ

�éKAî

E ð ¼ñÊ�

�é�@PX − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

X 20

:Tysfn�� T·yht�� ?

: T§ d� Ty�Att� CAq�

: T§ d� Ty�Att� T§Ah�

. ù

�®J

�®k XY« l ð

�éKXY«

�éJËA

�J�JÓ (un) :�§r`�

AêË�éKAî

E l ÉJ.

�®�K Aî

E @

ð @ l ù

�®J

�®mÌ'@ XYªË@ ñm�

' �

éK. PA�®�JÓ (un) �

éJËA�J�JÖÏ @

à@

Èñ

�®

K

ÉÒ�

�� l ÉÒ�

�� hñ�J®Ó ÈAm.

× É¿àA¿ @

X @

¡�®

¯ ð @

X @

+∞ úÍ@ n Èð

AK AÓY

.�éJJªÓ

�éJ.

�KP áÓ Z@Y

�JK. @ (un) �

éJËA�J�JÖÏ @ XðYg É¿ A

��

@

limn→+∞

un = l : I.�Jº

K ð

:�A\�®��éKXY«

�éJËA

�J�JÓ

�éKAî

E H. A�mÌ

�éjJj��

�éKXY«

�éË @X

�éKAî

E H. A�mÌ

�éJËð

B@

�HA

JëQ�. ÖÏ @ ù

�®J.

�K ?

+∞ YJ«

.�èYJkð Aî

�DKAî

E

àA

¯

�éK. PA

�®�JÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) �

IKA¿ @

X @ ?

( �èXñk. ñÓ Q�

« ð

@

�éJî

�DJÓ Q�

« Aî

�DKAî

E ) �

èY«AJ.�JÓ ú

æê

¯

�éK. PA

�®�JÓ Q�

«

�éJËA

�J�JÓ (un) �

IKA¿ @

X @ ?

:ry�@�

áÓ ÈAm.× úΫ

�éQ̄ªÓ

�éË @X f :

�IJk un = f(n) : �K.

�éQ̄ªÓ

�éKXY«

�éJËA

�J�JÓ (un)

. ù

�®J

�®k XY« α : ©Ó [α; +∞[ ɾ

��Ë@

limn→+∞

un = l :

àA

¯ lim

x→+∞f(x) = l �

IKA¿ @

X @ •

limn→+∞

un = −∞ :àA

¯ lim

x→+∞f(x) = −∞ �

IKA¿ @

X @ •

limn→+∞

un = +∞ :àA

¯ lim

x→+∞f(x) = +∞ �

IKA¿ @

X @ •

: �A��

un = 2nn+ 1 : �K. N úΫ

�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) ?

[0; +∞[ úΫ�éQ̄ªÓ

�éË @X f �

IJk un = f(n) ɾ�

�Ë@ áÓ (un) �éJËA

�J�JÖÏ @

f(x) = 2xx+ 1 : ù

�ÊK AÒ»

limn→+∞

un = 2 :à

X@

limx→+∞

f(x) = 2 : AJKYË

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 12: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 6 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

X 20

X 20

 A¡r�  ¤d� �bq� :Tn¡rb�

.�éK. PA

�®�JÓ Aî

EA

¯ úΫ

B@ áÓ

�èXðYm× ð

�èYK@

Q��Ó

�éJËA

�J�JÓ (un) �

IKA¿ @

X @ ?

.�éK. PA

�®�JÓ Aî

EA

¯ É

®�

B@ áÓ

�èXðYm× ð

�é�

�¯A

J�JÓ

�éJËA

�J�JÓ (un) �

IKA¿ @

X @ ?

: ¨qybW� �§rm�

: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = 1 Èð

B@ AëYm�'

.�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

un+1 = un

2 + u2n

un > 0 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ é

K @ ©k. @Q

��ËAK.

áëQK. ¬

. (un) �éJËA

�J�JÖÏ @ Q�

ª

�K èAm.

��' @ i.

�JJ���@ ­

. PQK. ?�éK. PA

�®�JÓ (un) �

éJËA�J�JÖÏ @ Éë ®

: Ty`��r� T�®`� T�r`� Ty�Att� T§Ah�

un+1 = f(un) ð un0 Èð B@ AëYm�'

.�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ

. un0 ∈ I ð I ú

¯ AêÒJ

�¯

Y

g

A�K ð I ÈAm.

× úΫ�éQ̄ªÓ

�éË @X f �

IJk

�èQÒ

�J�Ó

�éË @X f �

IKA¿ ð l ù

�®J

�®mÌ'@ XYªË@ ñm�

' �

éK. PA�®�JÓ (un) �

IKA¿ @

X @ •

f(l) = l�

��®m�

�' l Aî

�DKAî

E :

àA

¯

: ¨qybW� �§rm�

: n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ð u0 = 1

2 Èð B@ AëYm�'

.�éQ̄ªÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

un+1 = 12(u2

n + 1)

un ≤ 1 : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ é

K @

á�K. ¬

.�èYK@

Q��Ó (un) �

éJËA�J�JÖÏ @

à

@

�I�.

�K @ ­

. Aî�DKAî

E I. �k@ Õç

�' ,

�éK. PA

�®�JÓ

�éJËA

�J�JÓ (un)

à @ i.

�JJ���@ ®

25 T�f}29¤28 �§rmt�� ��35 T�f}124¤123 �§rmt�� ��

:�y¡Afm�� ºAn�

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2

Page 13: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 7 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éKXYªË@

�HAJËA

�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��

.á�

�KPðAj.

�JÓ

á��JJËA

�J�JÓ Ðñê

®Ó ÈAÒª

�J�@ ð

�éQ̄ªÓ − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

X 20

X 40

:Tysfn�� T·yht�� ?

:  A�C¤A�tm��  Aty�Attm��

:�§r`�

ð�èYK@

Q��Ó AÒë@Yg@

IKA¿ @

X @

¡�®

¯ ð @

X @

á��KPðAj.

�JÓ

àA

�JKXY«

àA

�JJËA

�J�JÓ

àñº

�K

. Q®�Ë@ úÍ@

Èð

AK AÒî

DJK.

��Q

®Ë @ ð ,

�é�

�¯A

J�JÓ øQ

k

B@

:Ty}A�

.�éKAî

DË @ �

®

K AÒêË ð

àA

�JK. PA

�®�JÓ AÒî

EA

¯

á��KPðAj.

�JÓ

àA

�JJËA

�J�JÓ

�I

KA¿ @

X @

: �A��

: �K. N úΫàA

�JQ̄ªÓ

àA

�JJËA

�J�JÓ (vn) ð (un)

vn = 1n + 1 ð un = −1

2n + 4.

�é»Q�

��

�ÖÏ @ AÒî�DKAî

E I. �k@ Õç

�'

àA

�KPðAj.

�JÓ (vn) ð (un) á�

�JJËA

�J�JÖÏ @

à

@

�I�.

�K @ -

: ¨qybW� �§rm�

: úÎK AÒ»

á��JQ̄ªÓ

á��JJËA

�J�JÓ (vn) ð (un) áº

�JË

v0 = 1

vn+1 = un + 3vn

4''' ð '''

u0 = 12

un+1 = un + 2vn

3tn = 3un + 8vn ð wn = un − vn : n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ ©

. Èð B@ AëYg ð AîD�A�

@

á�Jª�K I. Ê¢�

�éJ�Y

Jë (wn) �

éJËA�J�JÖÏ @

à

@

�I�.

�K @ ¬

? Aî�DKAî

E ù

ëAÓ . n

�éËBYK. wn I.

�J»

@ -

? Aî�DKAî

E ù

ë AÓ .

�é�JK. A

�K

�éJËA

�J�JÓ (tn) �

éJËA�J�JÖÏ @

à

@

�I�.

�K @ ­

.àA

�KPðAj.

�JÓ (vn) ð (un) á�

�JJËA

�J�JÖÏ @

à

@

�I�.

�K @ ®

vn�éKAî

E ð un

�éKAî

E i.

�JJ���@ ¯

26 T�f}40¤39 �§rmt�� ��37 T�f}137¤135 �§rmt�� ��

:�y¡Afm�� ºAn�

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

1

Page 14: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 8 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�AyRA§C : ­ Am�� ÈAÒ» ø

QjJ. ÊK. :ÐAtF±� �wl� ¨�AmylF:TsF¥m��

Tyb§r�� �wl� T��A��� : Tb`K��¤ «wtsm��

�éKXYªË@

�HAJËA

�J�JÖÏ @ : ¨�r`m�� «wt�m��

.�éKXYªË@

�HAJËA

�J�JÖÏ @ ú

¯ É

KA�Ó Ég − :T�dhtsm�� ��ºAfk��

�é�mÌ'@ Q�� −

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

:�®W�³�

X 60

:Tysfn�� T·yht�� ?

: �AqybW�

(�� 2015 A§Cw�Ak� ): ¨qybW� �§rm�

f(x) = 4x+1x+1 : �K. [0; +∞[ úΫ

�éQ̄ªÖÏ @

�éË @YË @ f I

. (o;~i,~j) ��Aj.

�JÓ ð YÓAª

�JÓ ÕÎªÓ úÍ@

H. ñ�

�ÖÏ @ ø

ñ

�J�ÖÏ @ ú

¯ ú

GAJJ. Ë @ AêÊJ

�JÖ

�ß (Cf )

[0; +∞[ úΫ f�éË @YË@ Q�

ª

�K èAm.

��' @

� 1y = x

�éËXAªÖÏ @ ø

X (D) Õæ

�®

�J�ÖÏ @ úÍ@

�éJ.�

�ËAK. (Cf ) �

éJª

�ð �PX@ 2[0; 6] ÈAj. ÖÏ @ úΫ (D) ð (Cf ) É

�JÓ 3

: �K. N úΫá�

�JQ̄ªÖÏ @ (Vn) ð (un) á�

�JJËA

�J�JÖÏ @ Q�.

�Jª

K II{

u0 = 2un+1 = f(un) ð

{V0 = 5Vn+1 = f(Vn)

u3 ð u2 , u1 , u0 : XðYmÌ'@ É�@ñ®Ë @ Pñm× ÉÓAg úΫ Zú

�� @ a.1

AîE. A�kàðX V3 ð V2 , V1 , V0 XðYmÌ'@ ð

(Vn) ð (un) á��JJËA

�J�JÖÏ @ áÓ É¿ H. PA

�®

�K ð Q�

ª

�K èAm.

��' @ áÔ

g b

α = 3+√

132 :

�IJk α < Vn ≤ 5 ð 2 ≤ un < α : N áÓ n É¿ Ég.

@ áÓ é

K @

�I�.

�K @ a.2

(Vn) ð (un) á��JJËA

�J�JÖÏ @ áÓ É¿ Q�

ª

�K èAm.

��' @ i.

�JJ���@ b

: N áÓ n É¿ Ég.

@ áÓ é

K @

�I�.

�K @ a.3

Vn+1 − un+1 ≤13(Vn − un)

0 < Vn − un ≤ ( 13 )n−1

: N áÓ n É¿ Ég.

@ áÓ é

K @

á�K. b

(Vn) ð (un) áÓ É¿�éKAî

E XYg Õç

�' , lim

n→+∞(Vn − un) = 0 :

à

@ i.

�JJ���@ c

:�y¡Afm�� ºAn�

1

Page 15: ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF– ıwl ¤žAmylF:TsF¥mŸ…ذكرات...ıAmŁ'r˘bl:XA J… B@ 1 œ™C›rŁ@ł ıwl ¤žAmylFT§wžA :TsF¥mŸ AyRA§C:› AmŸ ¨AÒ» ł QjJ .˚K:—AtF–

�Am� ©r�bl� :XA

�J�

B@ 8 ��C ­r�@� �wl� ¨�AmylFT§w�A� :TsF¥m��

�A\�®� ­dm�� (Tl�r� �k� Tq��rm�� TWK�±�)ryst�� ���rm��

X 60

: rOt�� ��

I

: f Q�ª

�K èAm.

��' @

á�Jª�K ¬

f ′(x) = 3(x+ 1)2 : [0; +∞[ úΫ

��A

�®�J

��CË

�éÊK. A

�¯ f

. [0; +∞[ úΫ AÓAÖ�ß

�èYK@

Q��Ó f : é

JÓ ð

: (D) ð (Cf ) �éJª

�ð ­

. ¡��. Ë @�èPA

��@

�PY

K ð f(x)− x = −x

2 + 3x+ 1(x+ 1)2

II

. É�@ñ®Ë @ Pñm× úΫ XðYmÌ'@ ZA

��

� @

¬

( AÓAÖ�ß

�èYK@

Q��Ó f

àñ» ÉÒª�J�

� ) ©k. @Q

��ËAK.

àAëQ�. Ë @ ­

: (vn) ð (un) Q�ª

�K èAm.

��' @ h. A

�JJ���@ ®

Ég.

@ áÓ é

K @ AÖß. ð f(x)− x > 0 : [0;α[ áÓ x ù

�®J

�®k XY« É¿ Ég.

@ áÓ A

JKYË ?

. un+1 − un > 0 ø

@ f(un)− un > 0 :

àA

¯ 2 ≤ un < α : n ù

ªJJ.£ XY« É¿

.�èYK@

Q��Ó (un) �

éJËA�J�JÖÏ @ : éJÊ« ð

áÓ éK @ AÖß. ð f(x)− x < 0 : ]α; +∞[ áÓ x ù

�®J

�®k XY« É¿ Ég.

@ áÓ A

JKYË ?

vn+1 − vn < 0 ø

@ f(vn)− vn < 0 :

àA

¯ α < vn ≤ 5 : n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@

.�é�

�¯A

J�JÓ (vn) �

éJËA�J�JÖÏ @ : éJÊ« ð

¯

vn+1 − un+1 ≤ 13(vn − un) :

à

@

àAJ�.

�K - a

vn+1 − un+1 = 3(vn − un)(vn + 1)(un + 1)

un + 1 ≥ 3 : éJÓ ð un ≥ 2 : n ù

ªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ A

JKYË

vn + 1 ≥ 3 : éJÓ ð ( α < vn ≤ 5 ) vn ≥ 2 ð

3(vn + 1)(un + 1) ≤

13 : é

JÓ ð (vn + 1)(un + 1) ≥ 9 :

à

X@

vn > un : n ùªJJ.£ XY« É¿ Ég.

@ áÓ

à

@ A�Üß.

.3(vn − un)

(vn + 1)(un + 1) ≤13(vn − un) :

àA

¯

: 0 < vn − un ≤ (13)n−1

à @

àAJ�.

�K - b

( ��K. A�Ë@ È@

ñ�Ë@

­

£ñ

K ) ©k. @Q

��ËAK.

àAëQ�. Ë @ ÉÒª

�J�

limn→+∞

(vn − un) = 0 : Qå�mÌ'@�éJëQ�.Ó I. �k lim

n→+∞(1

3)n−1 = 0 :à

@ AÖß. - c

ùë ð

�éKAî

DË @ �

®

K AÒêË ð

àA

�JK. PA

�®�JÓ AÒê

¯

à

X@

àA

�KPðAj.

�JÓ (vn) ð (un)

àA�JJËA

�J�JÖÏ @ •

limn→+∞

un = limn→+∞

vn = α : ø

@ f(x) = x

�éËXAªÖÏ @ Ég

¨�A��� �wRwm�� � � 2016 A§Cw�Ak� ��As�� �§rmt�� ��

:�y¡Afm�� ºAn�

�§wq�

......................................................... :TO��� �w� T�A� �A\�®�

2