87824010-Nelinearna-Analiza-Konstrukcija

UNIVERZITET U KRAGUJEVCU MAŠINSKI FAKULTET

Miroslav Živković

The publishing of this script was financed by Austrian Cooperation through WUS Austria within the CDP+ 057/2004 project

This copy is not for sale

Objavljivanje ove skripte omogucili su Austrian Cooperation i WUS Austria u okviru projekta CDP+ 057/2004

Besplatan primerak

Kragujevac, 2005

Supported by the

UVOD U NELINEARNU ANALIZU.........................................................................................................1 1. KINEMATIKA KONTINUUMA............................................................................................................3

1.1. KRETANJE, MATERIJALNI I PROSTORNI OPIS .......................................................................3 1.2. KOORDINATNI SISTEMI ..............................................................................................................4 1.3. GRADIJENT DEFORMACIJE, POLARNA DEKOMPOZICIJA, DEFORMACIONI TENZORI................................................................................................................................................................13 1.4 GLAVNI PRAVCI, INVARIJANTE, DEVIJATORSKI I SFERNI DEO TENZORA. SPEKTRALNA TEOREMA..................................................................................................................15 1.5 SAMO ROTIRANI I SAMO IZDUŽENI PRAVCI, OPERACIJE UNAPRED/UNAZAD..............19 1.6. POMERANJA, GRADIJENTI POMERANJA...............................................................................23

2. TENZORI KONAČNE DEFORMACIJE..............................................................................................25 2.1. RAZLIČITE MERE TENZORA KONAČNE DEFORMACIJE....................................................25 2.2. MULTIPLIKATIVNA DEKOMPOZICIJA ...................................................................................28 2.3. PRIRAŠTAJI TENZORA DEFORMACIJE...................................................................................30

3. TENZORI NAPONA I RAVNOTEŽA .................................................................................................33 3.1. TENZORI NAPONA ......................................................................................................................33 3.2. HELMHOLZ-OVA SLOBODNA ENERGIJA, ENERGETSKI KONJUGOVANI TENZORI NAPONA I DEFORMACIJE ................................................................................................................35 3.3. PRINCIP VIRTUALNOG RADA, INTEGRACIJA KONSTITUTIVNIH RELACIJA................44 3.4. INKREMENTALNE JEDNAČINE RAVNOTEŽE KONAČNOG ELEMENTA.........................45

4. KONSTITUTIVNE RELACIJE.............................................................................................................49 4.1 KONSTITUTIVNI TENZORI, GENERALISANI HOOKE-OV ZAKON.....................................49 4.2 IZOTROPNA HIPERELASTIČNOST............................................................................................50

4.3. IZOTROPNA PLASTIČNOST METALA .....................................................................................51 4.4 INTEGRACIJA NAPONA U SLUČAJU KONAČNIH ELASTOPLASTIČNIH DEFORMACIJA................................................................................................................................................................74

5. IZOPARAMETARSKI KONAČNI ELEMENTI SA INKOMPATIBILNIM POMERANJIMA.........77 5.1. IZOPARAMETARSKI 3-D KONAČNI ELEMENT .....................................................................77 5.2. IZOPARAMETARSKI KONAČNI ELEMENT LJUSKE.............................................................82 5.3. IZOPARAMETARSKI KONAČNI ELEMENT GREDE..............................................................89 5.4. ROTIRANJE ORTONORMIRANIH BAZNIH VEKTORA ........................................................98 5.5 POSTUPAK REŠAVANJA INKREMENTALNIH JEDNAČINA KONAČNOG ELEMENTA UZ KORIŠĆENJE INKOMPATIBILNIH POMERANJA ..........................................................................99

6. PRIMERI..............................................................................................................................................103 LITERATURA.........................................................................................................................................129

1

UVOD U NELINEARNU ANALIZU U razvoju i projektovanju složenih konstrukcija u oblasti avio i automobilske industrije, brodogradnje i građevinarstva, u dužem periodu, metoda konačnih elemenata (MKE) doživljava široku primenu što je doprinelo i njenom brzom razvoju. Na široku primenu MKE znatno je uticao razvoj kompjuterske grafike i programa za projektovanje pomoću računara (CAD), inženjersku analizu primenom računara (CAE) kao i objedinjeni pristup projektovanju, analizi i proizvodnji uz primenu računara (CIM). Idući od početnih primena u statici MKE je zatim proširena na rešavanje složenih problema konstrukcija kao što su: geometrijski i materijalno nelinearni problemi, dinamički problemi i problemi stabilnosti konstrukcija. Pored navedenih, MKE se uspešno koristi pri rešavanju problema polja fizičkih veličina kao što su provođenje toplote, prenos toplote i mase, mehanika fluida, elektrotehnika i druge oblasti. Da bi se pokrilo ovako široko polje primene bilo je neophodno razviti pouzdane metode za rešavanje pojedinih problema u oblasti MKE, kao što su efikasno rešavanje velikih sistema linearnih jednačina, rešavanje problema sopstvenih vrednosti, inkrementalno-iterativno rešavanje sistema nelinearnih jednačina u oblasti geometrijske i materijalne nelinearnosti, kao i rešavanja sistema diferencijalnih jednačina u oblasti dinamike. Pored razvijanja metoda rešavanja veliki broj radova je posvećen razvoju pouzdanih konačnih elemenata. Sa razvojem grafičkih pre i post procesora posebna pažnja je, posvećena poslednjih godina razvoju elemenata jednostavne geometrije koji daju visoku tačnost i pouzdanost u primeni. Poboljšanja su postignuta kod ponašanja 2-D i 3-D elemenata kontinuuma kao i kod strukturalnih elemenata ploča, ljuski i greda. Znatnom poboljšanju ponašanja konačnih elemenata doprinela je primena hibridnih elemenata kao i elemenata sa mešovitom interpolacijom i uz korišćenje metode inkompatibilnih pomeranja. Pregled razvoja i analiza publikovanih radova su dati uz pojedina poglavlja i pojedine oblasti.

2

3

1. KINEMATIKA KONTINUUMA Mehanika kontinuuma je deo mehanike koji izučava deformabilna tela (čvrsta tela, tečnosti i gasove). Deformabilna tela su realna tela kod kojih se, u opštem slučaju, rastojanja između čestica tela menjaju. Čestica ili materijalna tačka označava mali deo materijalnog kontinuuma elementarne zapremine koji u toku vremena može zauzimati različite tačke prostora. Tačkom prostora nazivamo određeni stalni položaj (mesto) u prostoru. Mehanika kontinuuma ne izučava realna tela neposredno već njihove modele, dodeljujući im određene osobine realnih tela. Osnovu mehanike kontinuuma (neprekidnih sredina) čini pretpostavka o neprekidnosti materije. Poznato je da je struktura materije realnih tela molekularne prirode. Mehanika kontinuuma ignoriše mikroskopsko ponašanje pojedinih molekula, već razmatra makroskopsko ponašanje materijala kao neprekidne sredine. Pod neprekidnom sredinom (telom) podrazumevamo skup čestica koje su neprekidno raspoređene u određenoj zapremini u prostoru i potpuno je ispunjuju. Pretpostavka o neprekidnosti materije čini mehaniku kontinuuma teorijom polja, gde su veličine polja neprekidne funkcije položaja i vremena. Matematički aparat mehanike kontinuuma je tenzorski račun, koji operiše sa tenzorima (veličine nezavisne od koordinatnih transformacija). Pored neprekidnosti uvode se još dve dodatne pretpostavke o prirodi materijala: homogenost i izotropnost. Materijal je homogen ako poseduje iste osobine u svim česticama. Materijal je izotropan ako poseduje iste osobine u svim pravcima. U ovom radu izučavaćemo kretanje i deformisanje čvrstih tela usled mehaničkih i termičkih opterećenja.

1.1. KRETANJE, MATERIJALNI I PROSTORNI OPIS Konfiguracija tela l B u nekom trenutku vremena l opisana je položajima koje tada zauzimaju njegove materijalne tačke u prostoru, što znači da je svaka materijalna tačka u tom trenutku pridružena jedinstvenoj tački u ograničenoj oblasti l B prostora. U buduće levi gornji indeks biće korišćen za označavanje vremenskog trenutka. Kretanje kontinuuma (tela) može se zamisliti kao neprekidan niz konfiguracija u trodimenzionalnom Euclid-ovom prostoru i vremenu, ili kao prelazak materijalnih tačaka iz jedne konfiguracije u drugu u toku vremena. Jedna materijalna tačka pri kretanju zauzima različite položaje u prostoru. Ovo kretanje može biti opisano na različite načine u zavisnosti od toga koja je konfiguracija izabrana kao referentna. Referentna konfiguracija je poznata konfiguracija u odnosu na koju pratimo dalje kretanje i deformisanje tela u toku vremena. Pri opisivanju kretanja materijalnih tačaka najčešće se koriste tri konfiguracije. Konfiguracija 0B u trenutku l=0, gde je telo u prirodnom neopterećenom i nedeformisanom stanju, najčešće se naziva početna. Konfiguracija t B u trenutku l=t naziva se tekuća, a konfiguracija t t B+∆ u trenutku l=t+∆t susedna konfiguraciji t B . Smatramo da su nam sve veličine u početnoj i tekućoj konfiguraciji poznate a njihovo određivanje treba da izvršimo u susednoj. Najopštiji načini opisa kretanja kontinuuma koji se baziraju na klasičnoj nerelativističkoj mehanici dati su od Larsen-a (1971), Malvern-a (1969): 1) Materijalni opis, 2) Referentni opis (najčešće se bira početna konfiguracija kao referentna), 3) Prostorni opis, 4) Relativi opis (tekuća konfiguracija kao referentna), 5) Konvektivni opis. Materijalni opis koristi kao nezavisno promenljive materijalnu tačku P i vreme t. Posmatrač uočava materijalnu tačku P i prati njen položaj u prostoru u toku vremena t. Ovo kretanje može biti

4

izraženo jednačinom ( )tPt ,χ=x , a predstavlja položaj t x koji zauzima materijalna tačka P u trenutku t. Referentni opis koristi kao nezavisno promenljive koordinate 0 x materijalne tačke P u referentnoj konfiguraciji i vreme t. U mehanici čvrstih tela obično se za referentnu konfiguraciju bira početna 0B . Takav referentni opis koji sledi kretanje uočenih materijalnih tačaka u početnoj konfiguraciji, u prostoru i u toku vremena naziva se Lagrange-ov. Ovo kretanje može biti izraženo

jednačinom ( )t tx x= χ 0 , , gde koordinate t x označavaju tačku prostora koju zauzima materijalna

tačka P u trenutku t a koja je u referentnoj konfiguraciji zauzimala položaj 0 x . Koordinate 0 x materijalnih tačaka koje su određene u odnosu na koordinatni sistem koji je vezan za telo zovu se materijalne i ne menjaju se tokom vremena 0 x = const . Koordinate t x tačaka prostora koje su određene u odnosu na nepokretni koordinatni sistem zovu se prostorne. Materijalni koordinatni sistem najčešće se bira tako da se u početnom trenutku vremena t=0 poklapa sa prostornim koji je obično nepokretan pravougli Descartes-ov koordinatni sistem. Prostorni opis ili Euler-ov koristi kao nezavisno promenljive koordinate t x tačke prostora i vreme t. Ovim opisom prate se promene fizičkih veličina polja (brzina, temperatura i dr.) u toku vremena u tački prostora t constx = ., kroz koji prolaze različite materijalne tačke tokom kretanja. Ovo kretanje

može biti izraženo jednačinom ( )0 1x x= −χ t t, , gde koordinate 0 x označavaju materijalnu tačku u

početnoj konfiguraciji koja u trenutku t zauzima položaj t x u prostoru. U problemima kao što je neprekidno kretanje (tečenje) fluida nema smisla određivati početni položaj pojedinih materijalnih tačaka pa se prethodna jednačina uglavnom ne koristi. Smatramo da su nam fizičke veličine polja u nekom trenutku vremena poznate a određujemo njihove vrednosti posle izvesnog vremenskog perioda u istim tačkama prostora. Relativni opis koristi kao nezavisno promenljive tekuće koordinate t x materijalne tačke P u prostoru i vreme t+∆t. Ovde je za referentnu konfiguraciju izabrana tekuća t B a vreme t+∆t odgovara susednoj konfiguraciji t t B+∆ gde materijalna tačka P ima koordinate t t+∆ x . Ovo kretanje može biti

izraženo jednačinom ( )t tt

t t t+ = +∆ ∆x xχ , , gde indeks t na funkcijskom simbolu χ t ističe da je

referentna konfiguracija t B . Ovaj opis može se smatrati specijalnim slučajem referentnog opisa. Konvektivni opis koristi krivolinijski koordinatni sistem vezan za materijalne tačke tela sa kojima se zajedno kreće i deformiše. Pri kretanju se menjaju bazni vektori dok koordinate materijalnih tačaka u svim vremenskim trenucima ostaju nepromenjene r constα = ., ( )α = 1 2 3, , . Zbog te osobine, ovakve krivolinijske koordinate zovu se konvektivne a često se koriste i nazivi materijalne ili Gauss-ove parametarske koordinate. Bathe i Kojić u svojim radovima za normirane konvektivne koordinate rα ≤ ±1 koriste naziv prirodne. Neke pogodnosti korišćenja konvektivnih koordinata su u tome što su komponente tenzora deformacija iste u odnosu na početne i tekuće bazne vektore, a komponente tenzora gradijenata deformacije čine u svakom trenutku jediničnu matricu. U mehanici čvrstog tela koriste se svi navedeni opisi osim prostornog koji je pogodniji za primenu u mehanici fluida. U ovom radu korišćen je konvektivni opis zajedno sa referentnim i relativnim.

1.2. KOORDINATNI SISTEMI

5

Ovde će biti korišćeni pravougli Descartes-ovi i konvektivni koordinatni sistemi. Položaj materijalnih tačaka tela u prostoru prati se u globalnom nepomičnom pravouglom Descartes-ovom koordinatnom sistemu. Deformisanje (promenu oblika) infinitezimalne okoline proizvoljne materijalne tačke je najjednostavnije pratiti preko promene baznih vektora konvektivnog koordinatnog sistema koji se mogu definisati u svakoj materijalnoj tački i u svakom vremenskom trenutku. Naglasimo da je u Metodi konačnih elemenata (MKE) neizbežno korišćenje Gauss-ovih parametarskih konvektivnih koordinata. Integracija konstitutivnih relacija vrši se u lokalnom pravouglom Descartes-ovom koordinatnom sistemu koji odgovara glavnim materijalnim pravcima u posmatranoj materijalnoj tački. U tekstu koji sledi biće izložene veze između koordinata i baznih vektora navedenih koordinatnih sistema, koje se koriste pri koordinatnim transformacijama tenzora. Globalne Descartes-ove koordinate. Položaj materijalnih tačaka u prostoru u bilo kom vremenskom trenutku l prati se u odnosu na globalni nepokretan Descartes-ov koordinatni sistem sa koordinatama ( )l

kl kx x k= = 1 2 3, , u ortogonalnoj bazi jediničnih vektora ( )i ik

k k= = 1 2 3, ,

i ij k jk jkj kj k

⋅ = ==≠

⎧⎨⎩

δ δ10

(1.2.1)

gde je δ jk Kronecker-ov simbol drugog reda. Bazni vektori nepokretnog Descartes-ovog koordinatnog

sistema ne menjaju se tokom vremena u odnosu na referentno telo za koje su vezani, pa je zato izostavljen gornji levi indeks. Kako se kod Descartes-ovih koordinata kovarijantni i kontravarijanti bazni vektori i koordinate poklapaju, za njihovo označavanje koristiće se spušteni desni indeksi. Indeksi Descartes-ovih koordinata pisaće se Latiničnim slovima. Vektor položaja materijalne tačke P koja može da se kreće u prostoru, u proizvoljnom trenutku vremena, u odnosu na prethodno definisan koordinatni sistem može se napisati kao

l l l lk

lkx x x xx i i i i= + + =1 1 2 2 3 3 (1.2.2)

gde, prema Einstein-ovoj konvenciji ponovljeni indeks k označava sabiranje. Vektor relativnog položaja materijalne tačke Q iz diferencijalne (infinitezimalne) okoline materijalne tačke P, u proizvoljnom trenutku vremena, je oblika

( ) ( )d Q P d xl l lk

lkx x x i= − = (1.2.3)

Kvadrat rastojanja između tačaka P i Q dobija se skalarnim proizvodom vektora (1.2.3), uz korišćenje (1.2.1), kao

d s d d d x d x d x d x d x d xl l lj k

lj

lk jk

lj

lk

lk

lk

2 = ⋅ = ⋅ = =x x i i δ (1.2.4)

Kada se u izrazima koriste krivolinijske koordinate, naznačeno je o kojim se koordinatama radi. Desni donji indeks označava kovarijantne a desni gornji indeks kontravarijantne veličine. Indeksi krivolinijskih koordinata pisaće se Grčkim slovima. Konvektivne koordinate. U okolini svake materijalne tačke može se definisati konvektivni krivolinijski koordinatni sistem sa kontravarijantnim koordinatama ( )rα α = 1 2 3, , i kovarijantnim

baznim vektorima ( )l gα α = 1 2 3, , . Kod konvektivnog krivolinijskog koordinatnog sistema, čije se koordinatne linije kreću i deformišu zajedno sa materijalnim tačkama za koje su vezane, kontravarijantne koordinate se ne menjaju pa je zato izostavljen gornji levi indeks. Uslov koji mora biti zadovoljen je da se u svakom trenutku vremena globalne Descartes-ove koordinate mogu izraziti preko neprekidnih i diferencijabilnih funkcija konvektivnih koordinata, kao i inverzno

( ) ( )lk

lk

l l lx x r r r k r r x x x= = ↔ = =( , , ) , , ( , , ) , ,1 2 31 2 31 2 3 1 2 3α α α (1.2.5)

Pošto su (1.2.5) funkcije tri nezavisna parametra, njihovi diferencijalni priraštaji koordinata (1.2.3) računaju se kao

6

d xxr

dr J dr dr rx

d x J d xlk

lk l

k lk

lk

lk

lk= = ↔ = =

∂∂

∂∂α

αα

α αα

α (1.2.6)

Sistem jednačina (1.2.6) može se napisati u matričnom obliku

[ ] [ ] d d d dl l l lx J r r J x= ↔ =−1

(1.2.7)

gde je vektor kolona 1 2 3

Tl l l ld d x d x d x=x i d dr dr drT

r = 1 2 3 . Ovde je

[ ]l J Jacobi-jeva transformaciona matrica između globalnih Descartes-ovih i kontravarijantnih

koordinata a [ ]l J−1

inverzna Jacobi-jeva transformaciona matrica

[ ] [ ]l

l l l

l l l

l l l

l

l l l

l l l

l l l

xr

xr

xr

xr

xr

xr

xr

xr

xr

rx

rx

rx

rx

rx

rx

rx

rx

rx

J J=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

11

12

13

21

22

23

31

32

33

1

1

1

1

2

1

32

1

2

2

2

33

1

3

2

3

3

(1.2.8)

U daljem tekstu mnogi izrazi biće napisani u matričnom obliku, da bi se naglasilo značajno korišćenje Jacobi-jeve transformacione matrice (1.2.8) pri koordinatnim transformacijama između krivolinijskih i globalnih Descartes-ovih koordinata, kao i između recipročnih krivolinijskih koordinata. Iz (1.2.7) dobija se

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]

l l lk

lk

l l li

lj ij

J J

J J

J J I

J J I

−

−

= =

= =

13

13

αβ

αβ

αα

δ

δ (1.2.9)

gde je [ ]I3 jedinična matrica dimenzije 3. Da bi (1-1) preslikavanje između Descartes-ovih i konvektivnih koordinata (1.2.6) bilo moguće bar u okolini posmatrane materijalne tačke, potrebno je da determinanta Jacobi-jeve transformacione matrice bude različita od nule

[ ][ ]

l l

lJ = = ≠−det

detJ

J

1 01 (1.2.10)

Veze između baznih vektora ik nepokretnog Descartes-ovog koordinatog sistema i kovarijantnih baznih

vektora l gα krivolinijskog koordinatnog sistema, mogu se dobiti zamenom (1.2.6) u (1.2.3)

d d xxr

dr dr rx

d xlk

lk k

lk l l

lk

lkx i i g g= =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∂∂

∂∂α

αα

αα

α

(1.2.11)

odakle sledi da su

ll

k

lk

kl

k kl

lk

l lk

rxr

J rx

Jg x i i i g gα α α α α

α

αα∂

∂∂∂

∂∂

= = = ↔ = = (1.2.12)

Izrazi (1.2.12) mogu se napisati u matričnom obliku

7

[ ] [ ]l l l lg i J i g J= ↔ =−1

(1.2.13)

gde su vektori vrste i i i i= 1 2 3 a l l l lg g g g= 1 2 3 . Očigledno je da su

komponente kovarijantnih baznih vektora elementi Jacobi-jeve matrice (1.2.8)1

[ ] lk

lk

kl l T lJ

xrα α α

∂∂

= = ⋅ =i g J i g (1.2.14)

Kovarijanti bazni vektori l gα su tangentni na kontravarijante koordinatne linije rα u tački P u kojoj su definisani. Koordinatne linije formiraju koordinatne površi na koje su u tački P tangentni odgovarajući bazni vektori. Na prvu koordinatnu površ r const1 = . tangentni su kovarijantni bazni vektori l g 2 i l g3 , na drugu r const2 = . tangentni su l g 3 i l g1 a na treću r const3 = . tangentni su l g1 i l g 2 . Prostor koji definišu konvektivne koordinate zove se tangentni prostor. Prethodno definisanom konvektivnom krivolinijskom koordinatnom sistemu je recipročan krivolinijski koordinatni sistem sa kovarijantnim koordinatama ( )l rα α = 1 2 3, , i kontravarijantnim

baznim vektorima ( )l gα α = 1 2 3, , . Kod ovog koordinatnog sistema tokom kretanja mogu se menjati i bazni vektori i koordinate. Funkcije veze između Descartes-ovih i kovarijantnih koordinata

( ) ( )3,2,1),,(3,2,1),,( 321321 ==↔== ααα xxxrrkrrrxx llllllllk

lk

l (1.2.15) nisu poznate, pa se diferencijalni priraštaji koordinata

d xxr

d r J d r d rrx

d x J d xlk

lk

ll l

kl l

l

lk

lk

lk

lk= = ↔ = =

∂∂

∂∂α

αα

α αα

α (1.2.16)

ne mogu odrediti direktno parcijalnim izvodima funkcija (1.2.15). Takođe, ne mogu se odrediti veze između baznih vektora, jer u izrazima koji se dobijaju zamenom (1.2.16) u (1.2.3)

[ ] [ ]

ll

l k

lk

l kl

k kl

l

lk

l lk

l l l l

rxr

Jrx

Jg x i i i g g

g i J i g J

α

α α

α α α αα

∂∂

∂∂

∂∂

= = = ↔ = =

= ↔ =−1

(1.2.17)

nepoznati su parcijalni izvodi. Ovde je vektor vrsta l l l lg g g g= 1 2 3 a [ ]l J Jacobi-jeva

transformaciona matrica između globalnih Descartes-ovih i kovarijantnih koordinata. Do veza između koordinata i baznih vektora ova dva koordinatna sistema dolazi se posredno, korišćenjem uslova da kontravarijanti bazni vektori predstavljaju recipročnu bazu u odnosu na prethodno definisane kovarijantne bazne vektore

[ ] [ ] [ ]l l l T l l T lg g g g J J Iαβ

αβδ⋅ = = = 3 (1.2.18)

Iz jednakosti izraza (1.2.18)2 i (1.2.9)1 dobija se

[ ] [ ]l T l lk

lk

lk

l lk

J Jxr

rx

J J= = =−1 α α

α

α∂∂

∂∂

(1.2.19)

Očigledno je da su komponente kontravarijantnih baznih vektora elementi inverzne Jacobi-jeve matrice (1.2.8)2

[ ] lk l

k

lk

l l TJ r

xα

αα∂

∂= = ⋅ =

−g i J g i

1 (1.2.20)

8

Konačno, diferencijalni priraštaji koordinata (1.2.16) računaju se kao

d x rx

d r J d r d rxr

d x J d xlk l

k

l lk

l ll

k lk

lk

lk= = ↔ = =

∂∂

∂∂

α

αα

α α α α (1.2.21)


[ ] [ ] d d d dl l T l l l T lx J r r J x= ↔ =−

(1.2.22)

gde je vektor kolona d d r d r d rl l l l Tr = 1 2 3 . Veze između baznih vektora i k nepokretnog

Descartes-ovog koordinatog sistema i kontravarijantnih baznih vektora l gα krivolinijskog koordinatnog sistema, mogu se dobiti zamenom (1.2.21) u (1.2.3)

d d x rx

d r d rxr

d xlk

lk k l

k

l l l ll

k lkx i i g g= =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∂∂

∂∂

α

αα

αα

α (1.2.23)

odakle sledi da su

lk l

kk

lk k

ll

k l lk

rx

Jxr

Jg i i i g gαα

α αα

αα

∂∂

∂∂

= = ↔ = = (1.2.24)


[ ] [ ]l l T l l Tg i J i g J= ↔ =

− (1.2.25)

Veze između kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata dobijaju se korišćenjem (1.2.19)

dr rr

d r rx

xr

d r rx

rx

d r J J d r

d rr

rdr

rx

xr

drxr

xr

dr J J dr

ll

lk

lk

ll

lk

lk

l lk

lk

l

ll l

lk

lk

lk

lk l

kl

k

ββ

αα

β

αα

β α

αβ α

α

ααβ

β αβ

βα β

βα β

β

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

= = = =

= = = = (1.2.26)


[ ] [ ] [ ] [ ] d d d dl l T l l l T lr J J r r J J r= ↔ =− −1

(1.2.27)

Veze između kovarijantnih i kontravarijantnih baznih vektora dobijaju se izjednačavanjem (1.2.11) 3 i (1.2.23)3 uz korišćenje (1.2.26)

d dr rx

rx

d r d rxr

xr

drl l ll

kl

k

l l l ll

kl

kx g g g g= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟β

ββ

β α

αα

αα

α ββ∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

(1.2.28)

odakle sledi da su l l

l l l l l l l l l lk kk k k kl l

k k

x x r rJ J J Jr r x x

β αα α α β α

β α β β βα β

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= = ↔ = =g g g g g g (1.2.29)


[ ] [ ] [ ] [ ]l l l T l l l l l Tg g J J g g J J= ↔ =

− −1 (1.2.30)

Kvadrat dužine vektora relativnog položaja (1.2.4), izražen preko krivolinijskih koordinata, dobija se skalarnim proizvodom (1.2.28)

βααβ

βαβαβα

αββα

βα rdrdgrdrddrdrgdrdrddsd lllllllllllll =⋅==⋅=⋅= ggggxx2 (1.2.31)

gde su

9

l l l lk

lk

l l l lk

lkg J J g J Jαβ α β α β

αβ α β α β= ⋅ = = ⋅ =g g g g (1.2.32)

kovarijantne i kontravarijantne komponente fundamentalnog metričkog tenzora. Zbog komutativnosti skalarnog proizvoda metrički tenzor je simetričan. U matričnom obliku (1.2.32) može se napisati kao

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]l l T l l T l l l T l l l Tg g g J J g g g J J= = = =

− −1 (1.2.33)

Pomoću kovarijantnih i kontravarijantnih komponenata metričkog tenzora mogu se premeštati indeksi tenzora različitog reda. Korišćenjem (1.2.32) i (1.2.33), prethodno definisane veze između kovarijantnih i kontravarijantnih koordinata i baznih vektora mogu se napisati kao

dr g d r d r g drl l l lβ βαα α αβ

β= ↔ = (1.2.34)

[ ] [ ] d d d dl l l lr g r r g r= ↔ = (1.2.35)

l l l l l lg gg g g gβα

αβα

ββα= ↔ = (1.2.36)

[ ] [ ]l l l l l lg g g g g g= ↔ = (1.2.37)

Zamenom (1.2.36)2 u (1.2.36)1 dobija se da je

[ ][ ] [ ]l l l lg gαγγβ β

αδ= =g g I3 (1.2.38)

Iz (1.2.38) može se zaključiti, da se matrica čiji su elementi komponente kontravarijantnog metričkog tenzora može dobiti inverzijom matrice čiji su elementi komponente kovarijantnog metričkog tenzora

[ ] [ ]l lg g=−1

(1.2.39)

Komponente metričkog tenzora u Descartes-ovim koordinatama (1.2.1) su elementi jedinične matrice. Lokalne Descartes-ove koordinate. Definisanje lokalnih Descartes-ovih koordinatnih sistema, u posmatranoj materijalnoj tački P, je neizbežno u dva slučaja. Prvi, ako postoji uslov da nema normalnog napona u pravcu neke kontravarijantne koordinate u svakom vremenskom trenutku, a drugi kada je materijal anizotropan. U prvom slučaju definiše se, u posmatranoj materijalnoj tački P, lokalni Descartes-ov koordinatni sistem sa koordinatama ( )l

kx k = 1 2 3, , i ortogonalnim jediničnim baznim vektorima

( )ik k = 1 2 3, , , tako da je jedna koordinatna ravan tangentna na kontravarijantnu koordinatnu površ koju definiše kontravarijantna koordinata. Praktično, takav koordinatni sistem se definiše kod tanke ljuske tako da dve ose lokalnog Descartes-ovog koordinatnog sistema leže u tangentnoj ravni na srednju površ ljuske, a treća je upravna na nju. Jedan od mogućih načina definisanja baznih vektora ik može izgledati ovako

ll

ll

l l

l ll l li

gg

ii gi g

i i i11

13

1 2

1 22 3 1= =

×

×= ×

gde označava intenzitet vektora. Diferencijalni priraštaji Descartes-ovih koordinata su

d xx

xd x T d x d x

xx

d x T d xlj

lj

lk

lk

ljk

lk

lk

lk

lj

lj

lkj

lj= = ↔ = = −∂

∂∂∂

1 (1.2.40)

a veze između baznih vektora dobijaju se zamenom (1.2.40) u (1.2.3)

i i i i x i ikl

j

lj

lk

lj

ljk

lj

l

lj

k

lk

lj

kl

kjxx

Tx

xx

T= = ↔ = = = −∂∂

∂∂

∂∂

1 (1.2.41)

10

Ako se izrazi (1.2.41) pomnože skalarno odgovarajućim baznim vektorima dobijaju se

( ) ( )ljk

lj

lk

lj k

lj k

lkj

lk

lj

kl

j kl

jTxx

T xx

= = ⋅ = = = ⋅ =−∂∂

∂∂

i i i i i i i icos , cos ,1 (1.2.42)

Koristeći komutativnost skalarnog proizvoda koja potiče od parnosti (cos) funkcije sledi da je

[ ] [ ]lkj

ljk

l l TT T− −

= =1 1T T (1.2.43)

Konačno, diferencijalni priraštaji Descartes-ovih koordinata (1.2.40) su

d xx

xd x T d x d x

x

xd x T d xl

j

lj

lk

lk

ljk

lk

lk

lj

lk

lj

ljk

lj= = ↔ = =

∂

∂

∂

∂ (1.2.44)


[ ] [ ] d d d dl l l l l T lx T x x T x= ↔ = (1.2.45)

gde je vektor kolona d d x d x d xl l l l Tx = 1 2 3 . Veze između baznih vektora dobijaju se

zamenom (1.2.44) u (1.2.3)

d d xxx

d x d xxx

d xlk

lk k

lj

lk

lj

lj

lj

lj

lj

lk

lkx i i i i= =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

∂∂

∂∂

(1.2.46)

odakle sledi da su

i i i i i ikl

j

lj

lk

lj

ljk

lj k

lj

lk

kl

jkxx

Txx

T= = ↔ = =∂∂

∂∂

(1.2.47)


[ ] [ ]i i T i i T= ↔ =l l l l T (1.2.48)

gde je vektor vrsta l l l li i i i= 1 2 3 .

U drugom slučaju definiše se, u posmatranoj materijalnoj tački P, lokalni Descartes-ov koordinatni sistem sa koordinatama ( )l

kx k , ,= 1 2 3 i ortogonalnim jediničnim baznim vektorima

( )lk k , ,i = 1 2 3 , tako da se koordinatne ose poklapaju sa tri privilegovana ortogonalna pravca. Smatra

se da je relativni položaj ovog lokalnog koordinatnog sistema u odnosu na prethodno definisani lokalni koordinatni sistem nepromenljiv u toku vremena. Prema (1.2.42)1 elementi matrice transformacije između ova dva lokalna koordinatna sistema su

( )Tx

xjk

lj

lk

lj

lk

lj

lk= = ⋅ =

∂

∂cos ,i i i i (1.2.49)

Analogno izrazima (1.2.44) do (1.2.48), veze između koordinata i baznih vektora lokalnih koordinatnih sistema su

d xx

xd x T d x d x

x

xd x T d xl

j

lj

lk

lk jk

lk

lk

lj

lk

lj jk

lj= = ↔ = =

∂

∂

∂

∂ (1.2.50)

[ ] [ ] d d d dl l l T lx T x x T x= ↔ = (1.2.51)

11

lk

lj

lj

lk

lj jk

lj

lk

lj

lk

lk jk

xx

Txx

Ti i i i i i= = ↔ = =∂∂

∂∂

(1.2.52)

[ ] [ ]l l l l Ti i T i i T= ↔ = (1.2.53)

gde je vektor kolona d d x d x d xl l l l Tx = 1 2 3 a vektor vrsta l l l li i i i= 1 2 3 .

Koristeći ranije definisane matrice transformacije (1.2.42)1 i (1.2.49) dobija se matrica transformacije između glavnih materijalnih pravaca i globalnog koordinatnog sistema

( ) [ ] [ ][ ]TTTiiii llkj

lkj

lik

lji

kl

il

il

jl

kl

jl

jkl TT

xx

xx

xx

T ==⋅==== ˆ,ˆcosˆˆˆˆ∂∂

∂∂

∂∂

(1.2.54)

a veze između koordinata i baznih vektora su

d xx

xd x T d x d x

x

xd x T d xl

j

lj

lk

lk

ljk

lk

lk

lj

lk

lj

ljk

lj= = ↔ = =

∂

∂

∂

∂ (1.2.55)


i i i i i ikl

j

lj

lk

lj

ljk

lj k

lj

lk

kl

jkxx

Txx

T= = ↔ = =∂∂

∂∂

(1.2.57)

[ ] [ ]i i T i i T= ↔ =l l l l T (1.2.58)

U Tab. 1.2.1 date su veze između globalnog Descartes-ovog i drugih koordinatnih sistema koji su u ovom poglavlju definisani. Ove veze važe u svakom vremenskom trenutku l, odnosno u svakoj konfiguraciji l B . Koristeći date izraze moguće je odrediti veze između koordinata i baznih vektora bilo koja dva navedena koordinatna sistema. Takođe, ovi izrazi koriste se pri koordinatnim transformacijama tenzora proizvoljnog reda.

12

Tabela 1.2.1 Veze između globalnog Descartes-ovog i drugih koordinatnih sistema Vektor relativnog položaja diferencijalne dužine u različitim koordinatnim sistemima

d d x dr d r d x d xlk

lk

l l l lm

lm

ln

lnx i g g i i= = = = =β

β αα

Globalne Descartes-ove koordinate Tllll xdxdxdd 321=x i vektori 321 iiii =

Kontravar. koordinate Tdrdrdrd 321=r i kovar. vektori 321 gggg llll =

d xxr

dr J dr dr rx

d x J d xlk

lk l

k lk

lk

lk

lk= = ↔ = =

∂∂

∂∂α

αα

α αα

α (1.2.6)

[ ] [ ] d d d dl l l lx J r r J x= ↔ =−1

(1.2.7)

ll

k

lk

kl

k kl

lk

l lk

rxr

J rx

Jg x i i i g gα α α α α

α

αα∂

∂∂∂

∂∂

= = = ↔ = = (1.2.12)

[ ] [ ]l l l lg i J i g J= ↔ =−1

(1.2.13)

1; ;

l TTl l l l l l l lkk k k kl

k

x rJ Jr x

αα α

α αα

∂ ∂∂ ∂

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ⋅ = = = ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦i g J i g g i J g i

Kovar. koordinate Tllll rdrdrdd 321=r i kontravar. vektori 321 gggg llll =

d x rx

d r J d r d rxr

d x J d xlk l

k

l lk

l ll

k lk

lk

lk= = ↔ = =

∂∂

∂∂

α

αα

α α α α (1.2.21)

[ ] [ ] d d d dl l T l T lx J r r J x= ↔ =−

(1.2.22)

lk l

kk

lk k

ll

k l lk

rx

Jxr

Jg i i i g gαα

α αα

αα

∂∂

∂∂

= = ↔ = = (1.2.24)

[ ] [ ]l l T l l Tg i J i g J= ↔ =

− (1.2.25)

Lokalne Descartes koordinate Tllll xdxdxdd 321 ˆˆˆˆ =x i vektori 321ˆˆˆˆ iiii llll =

d xx

xd x T d x d x

x

xd x T d xl

j

lj

lk

lk

ljk

lk

lk

lj

lk

lj

ljk

lj= = ↔ = =

∂

∂

∂

∂ (1.2.55)


i i i i i ikl

j

lj

lk

lj

ljk

lj k

lj

lk

kl

jkx

xT

x

xT= = ↔ = =

∂

∂

∂

∂ (1.2.57)

[ ] [ ]i i T i i T= ↔ =l l l l T (1.2.58)

( ) [ ] [ ][ ]TTTiiii llkj

lkj

lik

lji

kl

il

il

jl

kl

jl

jkl TT

xx

xx

xx

T ==⋅==== ˆ,ˆcosˆˆˆˆ∂∂

∂∂

∂∂

(1.2.54)

( ) ( )Txx

Txxjk

lj

lk

lj

lk

lj

lk

ljk

lj

lk

lj k

lj k= = ⋅ = = = ⋅ =

∂∂

∂∂

cos , cos ,i i i i i i i i

13

1.3. GRADIJENT DEFORMACIJE, POLARNA DEKOMPOZICIJA, DEFORMACIONI TENZORI Posmatrana materijalna tačka P , koja je u početnom trenutku l = 0 u konfiguraciji 0 B imala koordinate 0 x , pri kretanju zauzima različite tačke prostora. U tekućem vremenskom trenutku l t= materijalna tačka P u konfiguraciji t B zauzima tačku prostora sa koordinatama t x . Zbog toga što jedna materijalna tačka ne može zauzimati više tačaka prostora istovremeno, kao i zbog toga što jednu tačku prostora ne mogu zauzimati više materijalnih tačaka istovremeno, funkcije kretanja koje povezuju početne i tekuće koordinate predstavljaju (1-1) preslikavanje

( ) ( )3,2,1),,,(3,2,1),,,( 32100

30

20

10 ==↔== jtxxxxxktxxxxx ttt

jjkt

kt (1.3.1)

U određenom vremenskom trenutku t const= ., diferencijalni priraštaji koordinata (1.3.1) računaju se kao

d xxx

d x F d x d xx

xd x F d xt

k

tk

jj

tkj j j

jt

k

tk t jk

tk= = ↔ = =

∂∂

∂

∂00

00 0

00 (1.3.2)

Parcijalni izvodi 0t

kjF su komponente tenzora gradijenta deformacije 0t F . Indeksi sa leve strane

označavaju vremenske trenutke i to tako da se levi gornji odnosi na prvi desni indeks a levi donji na drugi desni indeks. Izraz (1.3.2) može se napisati u matričnom obliku

[ ] [ ] d d d dt tt

tx F x x F x= ↔ =00 0 0 (1.3.3)

Iz (1.3.3) dobija se

[ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]

tt

t ikt

kj ij

tt

tjk t ki ji

F F

F F

00 3

00

00

3 00

F F I

F F I

= =

= =

δ

δ (1.3.4)

odakle sledi da je

[ ] [ ]tt

t ijt

ijF F00

1 00

1F F= =− − (1.3.5)

Zbog (1.3.5)2, parcijalni izvodi t jkF0 (1.3.2)2 zovu se recipročni gradijenti deformacije i predstavljaju

komponente tenzora recipročnog (inverznog) gradijenta deformacije. Da bi (1-1) preslikavanje između početnih i tekućih koordinata (1.3.1) bilo moguće bar u okolini posmatrane materijalne tačke, potrebno je da determinanta matrice čiji su elementi gradijenti deformacije bude različita od nule

[ ][ ]0 0

01

1 0t t

tF = = ≠

−det

detF

F (1.3.6)

Kako su u svakom trenutku vremena globalne Descartes-ove koordinate izražene preko neprekidnih i diferencijabilnih funkcija, nepromenljivih konvektivnih koordinata (1.2.6), parcijalni izvodi u (1.3.2) računaju se posrednim diferenciranjem

kt

jk

tj

kt

jjk

tjk

t

j

kt

j

kt

kjt JJ

xr

rx

xx

FJJx

rrx

xxF α

α

α

αα

α

α

α ∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ 0

001

00

000 ====== − (1.3.7)

Pokazano je da se komponente tenzora gradijenta deformacije kao i komponente tenzora inverznog gradijenta deformacije računaju korišćenjem odgovarajućih Jacobi-jevih transformacionih matrica (1.2.8)

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]00 1

01 0 1l l l lF J J F J J= =

− − − (1.3.8)

14

Zamenom (1.3.2)1 u (1.2.3) dobija se veza između vektora relativnog položaja u početnoj i tekućoj konfiguraciji

d d xxx

d xxx

d dtk

tk k

tk

jj k

tk

jj

tx i i i i x F x= = =⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ⋅ = ⋅

∂∂

∂∂0

00

00

0 (1.3.9)

Koristeći posredno diferenciranje (1.3.7)1 kao i (1.2.12)1 i (1.2.24)1 sledi

0 0 00t

k

tk

jj k

tk

jj

txx

xr

rx

F i i i i g g= = = ⊗∂∂

∂∂

∂∂α

α

αα (1.3.10)

Veza između baznih vektora krivolinijskih koordinata u dve konfiguracije dobija se skalarnim množenjem (1.3.10) odgovarajućim recipročnim baznim vektorima (1.2.18)1

t t t t t T tg F g g g F F gα αα α α= ⋅ = ⋅ = ⋅0

0 00 0 (1.3.11)

Zamenom (1.3.2)2 u (1.2.3) dobija se veza između vektora relativnog položaja u tekućoj i početnoj konfiguraciji

d d xx

xd x

x

xd dj j j

jt

k

tk j

jt

kk

t t t0 00 0

01x i i i i x F x= = =

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ⋅ = ⋅−∂

∂

∂

∂ (1.3.12)

gde je 01t F − tenzor recipročnog (inverznog) gradijenta deformacije. Koristeći posredno diferenciranje

(1.3.7)2 sledi

01

0 00t

jj

tk

k jj

tk

ktx

x

x

rrx

F i i i i g g− = = = ⊗∂

∂

∂

∂∂∂α

α

αα (1.3.13)

Veza između baznih vektora krivolinijskih koordinata u dve konfiguracije dobija se skalarnim množenjem (1.3.13) odgovarajućim recipročnim baznim vektorima (1.2.18)1

00

1 00

10

0g F g g g F F gα αα α α= ⋅ = ⋅ = ⋅− − −t t t t t T (1.3.14)

Ako se posredno diferenciranje u (1.3.10) izvrši preko promenljivih kovarijantnih koordinata, korišćenjem (1.2.19)3 dobija se

0 0

0

0 0

0

00t

k

tk

t

t

jj k t

k

tj

jt

txr

r

r

r

xrx

r

r

x

r

r

rF i i i i g g= = =

∂∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂β

β

γ

γβ

β

γγ

β β

γγ (1.3.15)

Izjednačavanjem izraza (1.3.10)3 i (1.3.15)3 i skalarnim množenjem odgovarajućim recipročnim baznim vektorima, uz korišćenje (1.2.32) dobija se

[ ][ ] ∂

∂β

γβα

αγt

t t tr

rg g d d0

0 0 0= =r g g r (1.3.16)

Ako se posredno diferenciranje u (1.3.13) izvrši preko promenljivih kovarijantnih koordinata sledi

01

0

0

0

0

00

0t

jj

t

t

tk

k jj

t

tk

k ttx

r

r

r

r

xrx

r

rxr

r

rF i i i i g g− = = =

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂∂

∂

∂γ

γ

β

βγ

γ

ββ

γ γ

ββ (1.3.17)

Izjednačavanjem izraza (1.3.13)3 i (1.3.17)3 i skalarnim množenjem odgovarajućim recipročnim baznim vektorima (1.2.18)1, dobija se

[ ][ ] ∂

∂γ

βγα

αβ0

0 0 0r

rg g d dt

t t t= =r g g r (1.3.18)

15

Polarna dekompozicija. Tenzor gradijenata deformacije F F=0t , kao i svaki drugi regularan

tenzor drugog reda, može biti predstavljen u obliku F RU VR F U R R V= = = =− − −1 1 1T T (1.3.19)

gde su R ortogonalni tenzor rotacije, U desni simetrični tenzor izduženja a V levi simetrični tenzor izduženja

R R U U V V− = = =1 T T T (1.3.20) Moguće veze između navedenih tenzora, koje će kasnije biti primenjene, dobijene korišćenjem (1.3.19) i (1.3.20), su oblika

R FU V F R UF F V= = = =− − − −1 1 1 1T (1.3.21)

U R F F R R VR U F R R F R V R= = = = = =− − − −T T T T T T1 1 1 (1.3.22)

V FR RF RUR V RF F R RU R= = = = = =− − − −T T T T T T1 1 1 (1.3.23) Kvadrati tenzora izduženja mogu se odrediti odgovarajućim množenjem tenzora gradijenta deformacije (1.3.19), eliminisanjem tenzora rotacije

C F F U C F F U= = = =− − − −T T2 1 1 2 (1.3.24)

B FF V B F F V= = = =− − − −T T2 1 1 2 (1.3.25) Tenzor C poznat je kao Green-ov ili desni Cauchy-Green-ov deformacioni tenzor, a B kao Cauchy-jev ili levi Cauchy-Green-ov deformacioni tenzor. Deformacione tenzore C−1 i B−1 neki autori nazivaju Finger-ovim deformacionim tenzorima, Sansour (1992). Prema (1.3.20) sledi da su tenzori C i B simetrični. Tenzori izduženja dobijaju se iz (1.3.24) i (1.3.25) kao

U C U CV B V B= == =

− −

− −

1 2 1 1 2

1 2 1 1 2 (1.3.26)

Stepenovanje simetričnog tenzora proizvoljnim izložiocem, vrši se tako što se prvo odrede sopstvene vrednosti i glavni pravci tenzora, izvrši se stepenovanje glavnih vrednosti i zatim primeni spektralna teorema.

1.4 GLAVNI PRAVCI, INVARIJANTE, DEVIJATORSKI I SFERNI DEO TENZORA. SPEKTRALNA TEOREMA Glavni pravci proizvoljnog simetričnog tenzora drugog reda C , u odnosu na Descartes-ove koordinate, su pravci ortonormiranih vektora ( )p k k = 1 2 3, , koji pri unutrašnjem proizvodu sa tenzorom daju kolinearne vektore

( ) ( ) ( ) ( )C p p⋅ = =k k kc k 1 2 3, , (1.4.1)

gde su ( )c kk = 1 2 3, , skalari. Indeksi sa zagradama koriste se kada se po ponovljenim indeksima ne vrši sabiranje. Ako se (1.4.1) napiše u matričnom obliku

[ ] ( ) [ ]( ) ( ) ( )C I p 0− = =c kk k 1 2 3, , (1.4.2)

dobija se sistem od tri linearne homogene jednačine sa nepoznatim komponentama vektora p k . Ovde je

[ ]I jedinična matrica dimenzije 3. Netrivijalno rešenje jednačina (1.4.2) postoji samo ako je determinanta sistema jednaka nuli

16

[ ] [ ]( )det C I− =c 0 (1.4.3)

Ova jednačina se zove karakteristična jednačina tenzora C , a u razvijenom obliku glasi c I c I c I3

12

2 3 0− + − = (1.4.4)

Ovde su I I I1 2 3, , glavne invarijante tenzora C . Rešenja karakteristične jednačine ( )c kk = 1 2 3, ,

zovu se sopstvene (karakteristične) vrednosti, a vektori ( )p k k = 1 2 3, , koji njima odgovaraju zovu se sopstveni (karakteristični) vektori. Praktično računanje sopstvenih vrednosti vrši se preko devijatorskog dela tenzora, što je dato u tekstu koji sledi. Glavne invarijante. Glavne invarijante tenzora su veličine koje ne zavise od koordinatnih transformacija, a računaju se kao, Mićunović (1990),

I C C C1 11 22 33= = + +tr C (1.4.5)

( )( )IC CC C

C CC C

C CC C2

2 2 11 12

21 22

11 13

31 33

22 23

32 33

12

= − = + +tr trC C (1.4.6)

IC C CC C CC C C

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

= =det C (1.4.7)

Kada je tenzor simetričan C Cij ji= , druga i treća invarijanta su oblika

I C C C C C C C C C2 11 22 22 33 33 11 122

232

312= + + − − − (1.4.8)

I C C C C C C C C C C C C3 11 22 33 12 23 31 11 232

22 312

33 1222= + − − − (1.4.9)

Sferni i devijatorski deo tenzora. Simetrični tenzor drugog reda može se napisati u obliku C C C= + ~

(1.4.10) gde su sferni deo tenzora

C I I= =13 1 0I σ (1.4.11)

i devijatorski deo tenzora ~C C I= − σ 0 (1.4.12)

Ovde su I jedinični tenzor, a

( )σ 0 1 11 22 3313

13

= = + +I C C C (1.4.13)

srednja vrednost normalnih komponenti tenzora ili normalna oktaedarska veličina tenzora. Ravni koje su podjednako nagnute u odnosu na glavne pravce su oktaedarske ravni. Kada se tenzor izrazi u glavnim pravcima devijatorska ravan i oktaedarska ravan se poklapaju. Glavne invarijante devijatorskog dela tenzora su

01 =J (1.4.14)

231

223

212113333222211

2122

~~~~~~31 CCCCCCCCCIIJ −−−++=−= (1.4.15)

21233

23122

22311312312332211

312133

~~~2~~~272

31 CCCCCCCCCCCCIIIIJ −−−+=+−= (1.4.16)

Glavni pravci devijatoskog dela tenzora, analogno (1.4.2), određuju se iz sistema jednačina

17

[ ] ( ) [ ]( ) ( ) ( )~ ~ , ,C I p 0− = =c kk k 1 2 3 (1.4.17)

Zamenom (1.4.12) u (1.4.17) i upoređivanjem sa (1.4.2) može se zaključiti da tenzor i njegov devijatorski deo imaju iste glavne pravce, a sopstvene vrednosti su im povezane relacijom

( )c c kk k= + =σ 0 1 2 3~ , , (1.4.18) Karakteristična jednačina devijatorskog dela tenzora, analogno (1.4.4), dobija se kao

~ ~c J c J32 3 0+ − = (1.4.19)

Jednačina (1.4.19) rešava se smenom, Jarić (1988), Billington (1986), Ekmark (1983), ~ cosc = 2 0τ α (1.4.20)

gde su

τ σ0 02

2 22 23

23

= − = −I J (1.4.21)

devijatorska (smičuća oktaedarska) veličina tenzora i α ugao rotacije u devijatorskoj (oktaedarskoj) ravni. Zamenom (1.4.20) u (1.4.19) dobija se

4 3 3 23

03 3cos cos cosα α α

τ− = = J (1.4.22)

odakle se dobijaju tri rešenja za uglove

ατ

πα α

πα α

π1

03 3 2 1 3 1

13

23

23

23

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≤ = + = −arccos J (1.4.23)

Sopstvene vrednosti devijatorskog dela tenzora ~C , odnosno rešenja karakteristične jednačine (1.4.19),

prema (1.4.20) su

( )~ cos , ,c kk k= =2 1 2 30τ α (1.4.24) Konačno, sopstvene vrednosti tenzora C , odnosno rešenja karakteristične jednačine (1.4.4), prema (1.4.18) su

( ) ( )3,2,13

212arccos31cos2~

330

000 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= kkJcc kk

πτ

τσσ (1.4.25)

Sopstvene vrednosti simetričnih tenzora su realni brojevi i mogu se urediti po veličini c c c1 2 3≥ ≥ . Različitim sopstvenim vrednostima odgovaraju različiti međusobno ortogonalni glavni pravci. Svakoj sopstvenoj vrednosti ck treba odrediti, prema (1.4.2), odgovarajući sopstveni vektor p k

[ ] ( ) [ ]( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )C I p C p 0− = = =c kk k k k 1 2 3, , (1.4.26)

Očigledno je da će (1.4.26) biti zadovoljeno, Huntley i dr. (1983), ako se za komponente sopstvenog

vektora p k uzmu normirani kofaktori jedne bilo koje vrste matrice ( )[ ]C k , čiji kofaktori

( ) ( ) ( )C C Ck k k1 2 3, , nisu svi jednaki nuli

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )p k

k

k

k

k

k

k

T

k k k k

C

C

C

C

C

CC C C C=

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= + + >

1 2 31

22

23

2 0 (1.4.27)

18

Pravci sopstvenih vektora (1.4.27) predstavljaju glavne pravce tenzora. Zato se sopstvene vrednosti (1.4.25) zovu glavne vrednosti tenzora. U zavisnosti od toga da li su sopstvene vrednosti različite ili jednake razlikujemo tri slučaja. a) Ako su sve sopstvene vrednosti različite c c c1 2 3> > , svakoj sopstvenoj vrednosti određuje se odgovarajući sopstveni vektor korišćenjem izraza (1.4.26) i (1.4.27). Dobijeni sopstveni vektori su međusobno ortogonalni p p p p1 2 3 1⊥ ⊥ ⊥ i jedinični ( ) ( )p pk k⋅ = 1 . Ako su sve sopstvene vrednosti

istog znaka, što je uvek slučaj kod tenzora deformacija, tenzor geometrijski predstavlja površ troosnog elipsoida, čije se ose simetrije poklapaju sa glavnim pravcima a poluprečnici su jednaki sopstvenim vrednostima tenzora. b) Ako su dve sopstvene vrednosti jednake a treća različita od njih, c c c1 2 3> = ili c c c1 2 3= > , samo za sopstvenu vrednost koja je različita od druge dve, određuje se sopstveni vektor korišćenjem izraza (1.4.26) i (1.4.27). Za druga dva sopstvena vektora mogu se uzeti proizvoljna dva ortonormirana vektora koji leže u ravni koja je upravna na prethodno određen sopstveni vektor. Ako su sve sopstvene vrednosti istog znaka a dve međusobno jednake, tenzor geometrijski predstavlja površ obrtnog elipsoida, čija se ose obrtanja poklapa sa jednoznačno određenim glavnim pravcem, a poluprečnik upravan na osu obrtanja je jednak jednakim sopstvenim vrednostima tenzora. c) Ako su sve tri sopstvene vrednosti jednake c c c1 2 3= = , svaki pravac je glavni, pa se za sopstvene vektore mogu uzeti proizvoljna tri ortonormirana vektora. U ovom slučaju tenzor geometrijski predstavlja sfernu površ čiji je poluprečnik jednak sopstvenim vrednostima tenzora. Spektralna teorema. Svaki simetričan tenzor C , čije su sopstvene vrednosti ck i sopstveni vektori p k određeni, može se izraziti spektralnim opisom

C p p= ⊗=∑ ck k kk 1

3 (1.4.28)

Matrica čiji su elementi komponente tenzora (1.4.28) je dijagonalnog oblika

[ ]C =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

cc

c

1

2

3

0 00 00 0

(1.4.29)

Glavne invarijante tenzora (1.4.5) do (1.4.7), izražene u odnosu na glavne pravce su

I c c c1 1 2 3= + + (1.4.30) I c c c c c c2 1 2 2 3 3 1= + + (1.4.31) I c c c3 1 2 3= (1.4.32)

Ako je simetrični tenzor C pozitivno definitan, I 3 0> , korišćenjem spektralnog opisa (1.4.28)

jednostavno se određuju kvadratni koren tenzora C1 2 i inverzni tenzor C−1

C p p1 2 1 2

1

3= ⊗

=∑ ck k kk

(1.4.33)

C p p−

=

= ⊗∑1

1

3 1ck

k kk

(1.4.34)

Pri ovim operacijama ne dolazi do promene glavnih pravaca tenzora. Prethodno izloženim postupkom, simetrični deformacioni tenzor (1.3.24) i (1.3.25) mogu se izraziti u obliku (1.4.28), a zatim primeniti (1.4.33) i (1.4.34) za izračunavanje desnog i levog tenzora izduženja (1.3.26) i njihovih inverznih tenzora

19

U C p p U C p p= = ⊗ = = ⊗=

− −

=∑ ∑1 2

1

31 1 2

1

3 1λλk k k

k kk k

k (1.4.35)

V B q q V B q q= = ⊗ = = ⊗=

− −

=∑ ∑1 2

1

31 1 2

1

3 1λλk k k

k kk k

k (1.4.36)

gde su

( )λ k k kc b k= = =1 2 1 2 1 2 3, , (1.4.37) glavna izduženja koja predstavljaju izduženja materijalnih duži u glavnim pravcima, a kako ne zavise od rotacije imaju istu vrednost kod oba tenzora. Glavni pravci desnog i levog tenzora izduženja razlikuju se za rotaciju i to tako da p k odgovaraju nerotiranim konfiguracijama (početna i samo izdužena), a qk rotiranim konfiguracijama (tekuća i samo rotirana). Samo rotirana konfiguracija i samo izdužena konfiguracija su definisane u poglavlju 1.5. Prethodne tvrdnje su očigledne ako se deformacioni tenzori (1.3.24) i (1.3.25) izraze preko recipročnih baznih vektora krivolinijskih koordinata korišćenjem (1.3.10) ili (1.5.18)

C F F g g g g g g= = ⊗ = ⊗ = ⊗T t t t t tg g g g gβγβ γ αβ

βγ αγ αβ

βγ αγ0 0 0 0 0 0 (1.4.38)

B FF g g g g g g= = ⊗ = ⊗ = ⊗T t t t t t tg g g g g0 0 0 0 0αβα β

αββγ α

γ αββγ α

γ (1.4.39)

gde su komponente tenzora iste dok bazni vektori tenzora C odgovaraju nerotiranim a tenzora B rotiranim konfiguracijama. Tenzor rotacije i tenzor gradijenata deformacije u glavnim pravcima su oblika

R q p R p q= ⊗ = ⊗k kT

k k (1.4.40)

F q p F p q= ⊗ = ⊗=

−

=∑ ∑λ

λk k kk k

k kk1

31

1

3 1 (1.4.41)

1.5 SAMO ROTIRANI I SAMO IZDUŽENI PRAVCI, OPERACIJE UNAPRED/UNAZAD Tenzor gradijenta deformacije F vrši preslikavanje materijalnih duži iz početne u tekuću konfiguraciju. To preslikavanje može se vršiti, prema polarnoj dekompoziciji (1.3.19), na dva načina - primenom dva nezavisna tenzora, tenzora krute rotacije R i tenzora izduženja U ili V . Prvi način, podrazumeva da se prvo promeni veličina materijalne duži desnim tenzorom izduženja U a zatim kruto rotira tenzorom rotacije R . Drugi način, podrazumeva da se prvo materijalna duž kruto rotira tenzorom rotacije R a zatim promeni njena veličina levim tenzorom izduženja V . Materijalna duž koja pripada nekom glavnom pravcu ne rotira dodatno primenom tenzora izduženja, tako da samo razlikujemo njen početni i tekući glavni pravac. Proizvoljna materijalna duž rotira dodatno primenom tenzora izduženja, tako da pored početnog i tekućeg pravca razlikujemo još dva pravca i to samo rotirani i samo izduženi pravac. Bazni vektori krivolinijskih koordinata se u opštem slučaju mogu smatrati proizvoljnim orijentisanim materijalnim dužima. Veze (1.3.11) i (1.3.14), između početnih i tekućih kovarijantnih i kontravarijantnih baznih vektora, preko tenzora gradijenata deformacije su

t tg F g g F gα α α α= ↔ = −0 0 1 (1.5.1) t T T tg F g g F gα α α α= ↔ =− 0 0 (1.5.2)

Primenom polarne dekompozicije (1.3.19) u prethodnim izrazima dobijamo t T t T tg RU g VR g g U R g R V gα α α α α α= = ↔ = =− −0 0 0 1 1 (1.5.3)

t T t T tg RU g V R g g UR g R V gα α α α α α= = ↔ = =− −1 0 1 0 0 (1.5.4)

20

Radi jasnijeg predstavljanja dvooperacijskog preslikavanja baznih vektora između početne i tekuće konfiguracije (1.5.3) i (1.5.4), uvode se nazivi transformacija unapred (push-forward) za operacije preslikavanja baznih vektora od početne prema tekućoj konfiguraciji i transformacija unazad (pull-back) za operacije preslikavanja baznih vektora od tekuće prema početnoj konfiguraciji. Izvršavanjem samo prve operacije u (1.5.3) i (1.5.4), dobijaju se dve nove grupe baznih vektora i to 0 gα samo rotirani

bazni vektori i t gα samo izduženi bazni vektori, Sansour (1992). Novi bazni vektori definišu se kao t T t tg U g R g g R g V gα α α α α α= = ↔ = = −0 0 0 1 (1.5.5)

t T t tg U g R g g R g V gα α α α α α= = ↔ = =−1 0 0 0 (1.5.6)

Samo izduženi kovarijantni bazni vektori t gα (1.5.5)1, mogu se tumačiti da su dobijeni transformacijom

početnih 0 gα unapred sa U ili transformacijom tekućih t gα unazad sa R T . Samo rotirani

kovarijantni bazni vektori 0 gα (1.5.5)2, mogu se tumačiti da su dobijeni transformacijom početnih 0 gα

unapred sa R ili transformacijom tekućih t gα unazad sa V −1 . Njihovi recipročni kontravarijantni bazni vektori (1.5.6) dobijaju se istim operacijama rotiranja a inverznim operacijama izduženja. Skalarnim množenjem baznih vektora samim sobom (1.5.5) i (1.5.6), uz korišćenje (1.3.20)1, dobijaju se komponente odgovajućih metričkih tenzora

t t t t t tg g g gαβ α β α β αβ αβ α β α β αβ= ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ =g g g g g g g g0 0 0 0 0 0 (1.5.7) t t t t t tg g g gαβ α β α β αβ αβ α β α β αβ= ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ =g g g g g g g g0 0 0 0 0 0 (1.5.8)

Vidi se da su iste komponente metričkog tenzora za samo rotirane i početne bazne vektore, kao i za samo izdužene i tekuće bazne vektore. Zato se može smatrati da levi gornji indeks potpuno određuje da li se radi o početnoj ili tekućoj metrici. Korišćenjem izraza (1.5.3) do (1.5.6) mogu se početni i tekući bazni vektori izraziti preko samo rotiranih i samo izduženih kao

t t t Tg R g V g g U g R gα α α α α α= = ↔ = =−0 0 1 0 (1.5.9) t t t Tg R g V g g U g R gα α α α α α= = ↔ = =−1 0 0 0 (1.5.10)

Iz izraza (1.5.5), (1.5.6), (1.5.9) i (1.5.10) dobijaju se izrazi za ortogonalni tenzor rotacije i simetrične tenzore izduženja

R g g g g g g g g= ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗0 0 0 0α

α αα α

α αα

t t t t (1.5.11)

U g g g g U g g g g= ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗−t t t tα

α αα α

α αα

0 0 1 0 0 (1.5.12)

V g g g g V g g g g= ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗−t t t tα

α αα α

α αα

0 0 1 0 0 (1.5.13) Veze između samo rotiranih i samo izduženih baznih vektora preko tenzora gradijenata deformacije dobijaju se zamenom odgovarajućih veza iz (1.5.9) i (1.5.10) u (1.5.5) i (1.5.6)

t T T t tg UR g R V g g RU g V R gα α α α α α= = ↔ = =− −0 0 0 1 1 (1.5.14) αααααα gVRgRUggVRgRUg ˆˆˆˆˆˆ 00101 ttTTt ==↔== −− (1.5.15)

odnosno t T T tg F g g F gα α α α= ↔ = −0 0 (1.5.16) t tg F g g F gα α α α= ↔ =−1 0 0 (1.5.17)

Ranije definisan tenzor gradijenata deformacije preko početnih i tekućih baznih vektora (1.3.10) i (1.3.13), sada se može napisati preko samo rotiranih i samo izduženih baznih vektora koristeći (1.5.16) i (1.5.17) kao

21

F g g g g F g g g g= ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗−t t t tα

α αα α

α αα

0 0 1 0 0 (1.5.18) Tenzori (1.5.18) i (1.5.11) do (1.5.13) predstavljaju dvostruka tenzorska polja a imaju osobinu da im je matrica komponenata jedinična. Pomoću ovih tenzora može se definisati više operacija unapred/unazad koje primenjene nad proizvoljnim tenzorom drugog reda, definisanim u konvektivnim koordinatama, transformišu samo bazne vektore dok komponente ostaju nepromenjene. Ova osobina operacija biće pokazana nad metričkim tenzorima definisanim u odnosu na različite bazne vektore, a važi i za tenzore sa proizvoljnim komponentama. Metrički tenzori napisani u direktnoj notaciji u odnosu na kontravarijantne i kovarijantne početne, samo rotirane, samo izdužene i tekuće bazne vektore su

I g g g g g g g g= = = = = = = =0 0 0 0 t t t t (1.5.19) gde su

0 0 0 0 0 0 0 0g g g g g g= ⊗ = ⊗g gαβα β αβ

α β (1.5.20) 0 0 0 0 0 0 0 0g g g g g g= ⊗ = ⊗g gαβ

α β αβα β (1.5.21)

t t t t t t t tg gg g g g g g= ⊗ = ⊗αβα β αβ

α β (1.5.22) t t t t t t t tg gg g g g g g= ⊗ = ⊗αβ

α β αβα β (1.5.23)

Prema (1.5.7) i (1.5.8), metrički tenzori u odnosu na bazne vektore koji se razlikuju za krutu rotaciju imaju iste komponente, ali zbog jasnoće zadržaće se različito označavanje. Metrički tenzori (1.5.19) mogu se zvati jedinični tenzori jer pri unutrašnjem proizvodu sa drugim tenzorima ponašaju se neutralno, odnosno ne menjaju rezultat. Korišćenjem tenzora gradijenata deformacije (1.5.18) mogu se definisati sledeće operacije, koje primenjene nad metričkim tenzorima (1.5.20) do (1.5.23) daju

( ) ( ) βααββα

αβ ggFgFgFggFgFgF ttTttT gg ⊗==⊗== −− 000*

0100* (1.5.24)


αβ ggFgFgFggFgFgF ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 000*

0010*

ttTttT gg ⊗==⊗== −− (1.5.25)


αβ ggFgFgFggFgFgF ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ 001*00* ⊗==⊗== −− gg ttTttTtt (1.5.26)


αβ ggFgFgFggFgFgF 001*00* ⊗==⊗== −− gg tTttttTt (1.5.27)

Desni donji operacijski indeks zvezda koristi se za označavanje operacijskih transformacija unapred, a desni gornji operacijski indeks zvezda za označavanje operacijskih transformacija unazad. Korišćenjem ortogonalnog tenzora rotacije (1.5.11) mogu se definisati sledeće operacije nad metričkim tenzorima (1.5.20) do (1.5.23)


αβ ggRgRgRggRgRgR ˆˆˆˆ 00000*

00000* ⊗==⊗== gg TT (1.5.28)


αβ ggRgRgRggRgRgR 00000*00000* ˆˆˆˆˆˆ ⊗==⊗== gg TT (1.5.29)

( ) ( )* *ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆt t T t t t t t T t t tg gα β αβ

αβ α β= = ⊗ = = ⊗R g R g R g g R g R g R g g (1.5.30)


αβ ggRgRgRggRgRgR ˆˆˆˆ ** ttttTtttttTt gg ⊗==⊗== (1.5.31)

Korišćenjem simetričnih tenzora izduženja (1.5.12) i (1.5.13) mogu se definisati sledeće operacije nad metričkim tenzorima (1.5.20) do (1.5.23)


αβ ggUgUgUggUgUgU ˆˆˆˆ 000*

01010*

tttt gg ⊗==⊗== −− (1.5.32)


αβ ggVgVgVggVgVgV tttt gg ⊗==⊗== −− ˆˆˆˆˆˆ 000*

01010* (1.5.33)


αβ ggUgUgUggUgUgU 0011*00* ˆˆˆˆˆˆ ⊗==⊗== −− gg tttttt (1.5.34)

22


αβ ggVgVgVggVgVgV ˆˆˆˆ 0011*00* ⊗==⊗== −− gg tttttt (1.5.35)

Očigledno je da se operacije (1.5.24) do (1.5.35) mogu primeniti nad proizvoljnim tenzorima drugog reda tako da se transformišu samo bazni vektori tenzora dok komponente ostaju nepromenjene. To je posledica činjenice da tenzori transformacije, (1.5.18) i (1.5.11) do (1.5.13), imaju jediničnu matricu komponenata. Operacije izduženja (1.5.32) do (1.5.35), mogu se na drugi način izvršiti sukcesivnom primenom odgovarajućih operacija deformacija i rotacija (1.5.24) do (1.5.31)

U R F F R U R F F R**

* * * **

* * *= = = = (1.5.36)

V F R R F V F R R F* **

* * * **

* *= = = = (1.5.37)

U F R R F U F R R F* **

* * * **

* *= = = = (1.5.38)

V R F F R V R F F R**

* * * **

* * *= = = = (1.5.39)

Ovde je sa označena kompozicija funkcija, ( )( ) ( )( )f g x f g x= . Sve definisane operacije imaju

osobinu, ako se ista operacija primeni na neki tenzor sukcesivno unapred pa unazad ili obrnuto, da se tenzor ne menja. Koristeći ovu osobinu za operaciju rotacije u (1.5.36) do (1.5.39), operacije deformacije (1.5.24) do (1.5.27) mogu se izvršiti na drugi način preko sukcesivne primene odgovarajućih operacija izduženja i rotacija

F R U V R F R U V R* * * * * * * * * *= = = = (1.5.40)

* ** *

* * ** *

*F U R R V F U R R V= = = = (1.5.41) *

** *

**

** *

*F R U V R F R U V R= = = = (1.5.42)

F U R R V F U R R V* * * * * * * * * *= = = = (1.5.43) Kako su operacije (1.5.24) do (1.5.27) i (1.5.32) do (1.5.35) primenjene nad jediničnim tenzorima (1.5.19), dobijeni izrazi na drugi način definišu deformacione tenzore (1.3.24) i (1.3.25)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

C F g F g U g U g

C F g F g U g U g

= = = =

= = = =−

**

**

**

**

t t

t t

0 0

1 0 0 (1.5.44)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

B F g F g V g V g

B F g F g V g V g

= = = =

= = = =−

**

**

**

**

t t

t t

0 0

1 0 0 (1.5.45)

Ovakav način pisanja doprinosi jasnijem tumačenju tenzora. Na primer, jedan od načina razumevanja desnog Cauchy-Green-ovog deformacionog tenzora može biti, da je dobijen operacijom deformisanja unazad (1.5.27)1 tekućeg metričkog tenzora (1.5.23)1, tako da komponente metričkog tenzora ostaju nepromenjene C gtαβ αβ= a tekući kontravarijantni bazni vektori transformišu se u početne 0 gα .

Koristeći (1.5.7) i (1.5.8), deformacioni tenzori (1.5.44) i (1.5.45) konačno se mogu napisati u obliku C g g g g= ⊗ = ⊗t t tg gαβ

α β αβα β

0 0 0 (1.5.46)

C g g g g− = ⊗ = ⊗1 0 0 0g gt t tαβ

α β αβα β (1.5.47)

B g g g g= ⊗ = ⊗t t tg gαβα β αβ

α β0 0 0 (1.5.48)

B g g g g− = ⊗ = ⊗1 0 0 0g gt t tαβ

α β αβα β (1.5.49)

Tenzori izduženja (1.5.12) i (1.5.13), koji predstavljaju dvostruka tenzorska polja, mogu se napisati u odnosu na jedan sistem baznih vektora kao

23

U g g g g= ⊗ = ⊗00 0 0t

tt tg gαβ

α β αβα β (1.5.50)

U g g g g− = ⊗ = ⊗10

0 0 0t t ttg gαβ

α β αβα β (1.5.51)

V g g g g= ⊗ = ⊗00 0 0t

tt tg gαβ

α β αβα β (1.5.52)

V g g g g− = ⊗ = ⊗10

0 0 0t t ttg gαβ

α β αβα β (1.5.53)

gde su

00 0t t tgαβ α β α β= ⋅ = ⋅g g g g (1.5.54)

tt tg0 0 0αβ α β α β= ⋅ = ⋅g g g g (1.5.55)

1.6. POMERANJA, GRADIJENTI POMERANJA Vektor pomeranja posmatrane materijalne tačke, iz jedne u drugu konfiguraciju, jednak je razlici njoj odgovarajućih vektora položaja u tim konfiguracijama. U odnosu na globalni Descartes-ov koordinatni sistem, korišćenjem (1.2.2), definišu se sledeći vektori pomeranja

t tk

tk

t t

t t t tk

tk

t t t t

t t t tk

t tk

t t t t

uuu

u x x i x x uu x x i x x uu u u i x x u

= − = = += − = = += + = = +

+ +

+ + + +

0 0

0

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ (1.6.1)

gde su t u vektor poznatog pomeranja iz početne u tekuću konfiguraciju, ∆t u vektor priraštaja pomeranja iz tekuće u susednu konfiguraciju i t t+∆ u vektor konačnog pomeranja iz početne konfiguracije u konfiguraciju koja je susedna tekućoj. Tenzori gradijenata deformacije koji vrše preslikavanje materijalnih duži između pomenutih konfiguracija, definišu se primenom (1.3.10) i (1.3.13) kao

0 0 0

01

0

01 1

t tk

t tk

ti

ti

jj t

t t t

t tk

kt

i

ti

t tj

jt

tt t

xx

xx

xx

xx

++

+

+ −+

− + −

= =

= =

∆∆

∆

∆∆

∆

F i i F F

F i i F F

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(1.6.2)

gde je tt t+∆ F priraštaj tenzora gradijenata deformacije

( )

( )t

t t t t tk

tk

tk

tj

j tt

tt t t t t

k

t tk

tk

t tj

j t tt

x u

xx u

x

+ + −

+ − + −+

+ +

= =+

= +

= =−

= −

∆ ∆∆

∆

∆ ∆∆ ∆

∆ ∆∆

F F F i i I Y

F F F i i I Y

0 01

10 0

1

∂

∂∂

∂

(1.6.3)

Ovde je I jedinični tenzor, a lτ Y tenzor gradijenata pomeranja

l kk

lj

j kk

il iu

xu

rτ

τ τ∂∂

∂∂

Y i i i g= = (1.6.4)

gde se levi gornji indeks odnosi na pomeranja a levi donji na koordinate.

24

25

2. TENZORI KONAČNE DEFORMACIJE

2.1. RAZLIČITE MERE TENZORA KONAČNE DEFORMACIJE Pri deformaciji tela rastojanja između njegovih čestica (materijalnih tačaka) se, u opštem slučaju, menjaju. Linijski element, koji spaja dve diferencijalno bliske materijalne tačke, predstavljen vektorom relativnog položaja u početnoj, samo rotiranoj, samo deformisanoj i tekućoj konfiguraciji, može se izraziti u odnosu na ranije definisane koordinatne sisteme: globalni Descartes-ov, lokalne Descartes-ove čiji su bazni vektori glavni vektori (pravci) i konvektivne krivolinijske sa kovarijantnim i kontravarijantnim baznim vektorima, kao

d d x d x dr d rk k k k0 0 0 0 0 0x i p g g= = = =α

α αα (2.1.1)

d d x d x dr d rk k k k0 0 0 0 0 0x i q g g= = = =α

α αα (2.1.2)

d d x d x dr d rtk

tk k

tk

t t tx i p g g= = = =αα α

α (2.1.3)

d d x d x dr d rtk

tk k

tk

t t tx i q g g= = = =αα α

α (2.1.4) Metrički tenzori koji odgovaraju navedenim konfiguracijama, koristeći (1.5.19) do (1.5.23), mogu se u direktnoj notaciji napisati kao

I i p q g g g g g g g g= = = = = = = = = = =0 0 0 0 t t t t (2.1.5) gde su

i i i p p p q q q= ⊗ = ⊗ = ⊗δ δ δjk j k jk j k jk j k (2.1.6)

Vektor relativnog položaja može se transformisati iz jedne konfiguracije u drugu korišćenjem tenzora gradijenata deformacije, tenzora izduženja i tenzora rotacije, kao

d d d dt tx F x x F x= ↔ = −0 0 1 (2.1.7)

d d d dt T T tx F x x F x= ↔ = −0 0 (2.1.8)

d d d dt tx U x x U x= ↔ = −0 0 1 (2.1.9)

d d d dt tx V x x V x= ↔ = −0 0 1 (2.1.10)

d d d dT0 0 0 0x R x x R x= ↔ = (2.1.11)

d d d dt T t t tx R x x R x= ↔ = (2.1.12) Kako se pri krutoj rotaciji dužina linijskog elementa ne menja, sledi da je intezitet vektora relativnog položaja isti u konfiguracijama koje se razlikuju za rotaciju

d d d s d d d st t t0 0 0x x x x= = = = (2.1.13)

Ako vektor relativnog položaja nije proizvoljan vektor, već leži duž nekog glavnog pravca, primenom tenzora izduženja menja se samo njegov intezitet. Ranije definisani tenzori izduženja i Cauchy-Green-ovi deformacioni tenzori (1.4.35) i (1.4.36) u odnosu na glavne pravce su dijagonalni. Zato se u odnosu na glavne pravce različiti tenzori deformacije mogu jednostavno i jasno definisati. Glavna izduženja ( )λ k k = 1 2 3, , (1.4.37), predstavljaju odnos dužina u tekućem i početnom trenutku (2.1.13), linijskog elementa koji leži duž glavnog pravca

λ k

tk

k

d sd s

= 0 (2.1.14)

26

Različite mere deformacije, koje su najčešće u upotrebi, mogu se izraziti u funkciji glavnih izduženja, Hill (1968),

( ) ( )ε

λ

λkm k

m

k

mm

m=

− ≠

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 1 0

0ln (2.1.15)

Oznaka ( )m na levoj strani jednačine nije eksponent, već pokazuje koja je vrednost korišćena pri

izračunavanju izraza. Za pozitivne vrednosti eksponenta ( )m= 1 2, , deformacija predstavlja odnos izduženja linijskog elementa i njegove početne dužine, odnosno deformacija se meri u odnosu na njegovu početnu dužinu

( )ε λk k

tk k

k

d s d sd s

10

01= − =−

(2.1.16)

( ) ( )ε λk k

tk k

k

d s d sd s

2 22 0 2

0 212

12

= − =−

(2.1.17)

Za negativne vrednosti eksponenta ( )m = − −1 2, , deformacija predstavlja odnos izduženja linijskog elementa i njegove tekuće dužine, odnosno deformacija se meri u odnosu na njegovu tekuću dužinu

( )ελ

kk

tk k

tk

d s d sd s

− = − =−1

0

1 1 (2.1.18)

( )ελk

k

tk k

tk

d s d sd s

− = −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−22

2 0 2

212

1 12

(2.1.19)

Kada je vrednost eksponenta ( )m= 0 , priraštaj deformacije predstavlja odnos priraštaja izduženja linijskog elementa i njegove tekuće dužine, odnosno deformacija je jednaka prirodnom logaritmu od izduženja

( ) ( ) ( )dd d s

d sd sd sk

tk

tk

k k

tk

k

ε ε λ0 00= = =ln ln (2.1.20)

Izrazi (2.1.16) do (2.1.20) predstavljaju komponente različitih tenzora deformacije koji su definisani u glavnim pravcima. Koristeći tenzore izduženja i Cauchy-Green-ove tenzore deformacije (1.4.35) i (1.4.36), kao i metričke tenzore (2.1.6) koji odgovaraju glavnim pravcima, mogu se definisati različiti tenzori deformacije. Tenzori čije su komponente (2.1.16) i (2.1.17) definišu deformacije u odnosu na početnu metriku koju imaju početna konfiguracija

( )H U p p p= − = ⊗=∑ε k k kk

1

1

3 (2.1.21)

( ) ( )E C p p p= − = ⊗=∑1

22

1

3ε k k k

k (2.1.22)

i samo rotirana konfiguracija

( )H V q q q= − = ⊗=∑ε k k kk

1

1

3 (2.1.23)

27

( ) ( )E B q q q= − = ⊗=∑1

22

1

3ε k k k

k (2.1.24)

Tenzori čije su komponente (2.1.18) i (2.1.19) definišu deformacije u odnosu na tekuću metriku koju imaju samo deformisana konfiguracija

( )h p U p p= − = ⊗− −

=∑1 1

1

3ε k k k

k (2.1.25)

( ) ( )e p C p p= − = ⊗− −

=∑1

21 2

1

3ε k k k

k (2.1.26)

i tekuća konfiguracija

( )h q V q q= − = ⊗− −

=∑1 1

1

3ε k k k

k (2.1.27)

( ) ( )e q B q q= − = ⊗− −

=∑1

21 2

1

3ε k k k

k (2.1.28)

Takođe, spektralnim opisom mogu se definisati tenzori deformacije čije su komponente (2.1.20)

( )

( )

ln

ln

l U p p

l V q q

= = ⊗

= = ⊗

=

=

∑

∑

ε

ε

k k kk

k k kk

0

1

3

0

1

3 (2.1.29)

Kako su konvektivne (kontravarijantne) koordinate konstantne (2.1.1)3 do (2.1.4)3, deformisanje linijskih elemenata, kao vektora relativnog položaja, može se izraziti samo preko promene kovarijantnih baznih vektora. Zato je prirodno definisati tenzore deformacije (2.1.21) do (2.1.28), kao kovarijantne tenzore korišćenjem (1.5.46)1 do (1.5.53)1 kao i (2.1.5)

( ) ( )E C g g g= − = − ⊗12

12

0 0 0 0t g gαβ αβα β (2.1.30)

( ) ( )E B g g g= − = − ⊗12

12

0 0 0 0t g gαβ αβα β (2.1.31)

( ) ( )e g C g g= − = − ⊗−12

12

1 0t t t tg gαβ αβα β (2.1.32)

( ) ( )e g B g g= − = − ⊗−12

12

1 0t t t tg gαβ αβα β (2.1.33)

( )H U g g g= − = − ⊗00

0 0 0t g gαβ αβα β (2.1.34)

( )H V g g g= − = − ⊗00

0 0 0t g gαβ αβα β (2.1.35)

( )h g U g g= − = − ⊗−t t t t tg g10αβ αβ

α β (2.1.36)

( )h g V g g= − = − ⊗−t t t t tg g10αβ αβ

α β (2.1.37)

Očigledna prednost ovakvog načina izražavanja tenzora deformacije je u tome što svi tenzori koji su definisani preko kvadrata dužina linijskih elemenata (2.1.30) do (2.1.33), imaju iste kovarijantne komponente u odnosu na četiri različita kontravarijantna bazna sistema. To znači da su mere deformacije, u okolini posmatrane materijalne tačke, potpuno određene razlikom tekućeg i početnog kovarijantnog

28

metričkog tenzora u odnosu na bilo koju referentnu konfiguraciju. To je posledica činjenice da se kovarijantni bazni sistem deformiše se zajedno sa okolinom posmatrane materijalne tačke, tako da uvek ostaje vezan za iste materijalne čestice. Tenzori deformacije (2.1.30) do (2.1.37), mogu se izraziti u odnosu na kovarijantne bazne vektore korišćenjem (1.5.46)2 do (1.5.53)2 kao i (2.1.5), kao

( ) ( )E C g g g= − = − ⊗12

12

0t t t tg gαβ αβα β (2.1.38)

( ) ( )E B g g g= − = − ⊗12

12

0t t t tg gαβ αβα β (2.1.39)

( ) ( )e g C g g= − = − ⊗−12

12

0 1 0 0 0g gtαβ αβα β (2.1.40)

( ) ( )e g B g g= − = − ⊗−12

12

0 1 0 0 0g gtαβ αβα β (2.1.41)

( )H U g g g= − = − ⊗tt

t t tg g0 αβ αβα β (2.1.42)

( )H V g g g= − = − ⊗tt

t t tg g0 αβ αβα β (2.1.43)

( )h g U g g= − = − ⊗−0 1 0 0 0 0g gtαβ αβ

α β (2.1.44)

( )h g V g g= − = − ⊗−0 1 0 0 0 0g gtαβ αβ

α β (2.1.45)

Prethodno definisani tenzori deformacije u literaturi su poznati po sledećim nazivima: E - Green-Lagrange-ov tenzor deformacije, E - unapred rotirani Green-Lagrange-ov tenzor deformacije, e - unazad rotirani Almansi-jev tenzor deformacije, e - Almansi-jev tenzor deformacije. Tenzori E i e nazivaju se još i Karni-Reiner-ovi tenzori deformacije. Tenzori H , H , h i h obično se nazivaju tenzorima inženjerske deformacije. Uobičajeno je u literaturi, da se promena kvadrata dužine diferencijalne materijalne duži, pre i posle deformacije, izrazi preko tenzora deformacija (2.1.30) do (2.1.33), kao

d s d s d d d d d d d dt t t t t2 0 2 0 0 0 02 2 2 2− = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅x E x x E x x e x x e x (2.1.46)

2.2. MULTIPLIKATIVNA DEKOMPOZICIJA U slučaju neelastičnih materijala, smatramo da naponi zavise samo od elastičnih deformacija. Zbog te činjenice, pored početne i tekuće konfiguracije, smatramo da postoji neka zamišljena međukonfiguracija τ B , koja se dobija kada se tekuća konfiguracija rastereti. Dalje će se razmatrati slučaj kada je neelastično deformisanje materijala plastično, pa će se koristiti indeks p. Međukonfiguracija je posledica samo plastičnog deformisanja i u njoj nema elastičnih deformacija i napona. Praktično, takvu konfiguraciju nije uvek moguće ostvariti zbog toga što dobijeno polje deformacija je u opštem slučaju nekompatibilno. Koordinate materijalnih tačaka τ x , koje odgovaraju međukonfiguraciji, nije moguće odrediti, ali se može posredno odrediti tenzor gradijenta plastične deformacije Fp . Primenom (1.6.2) tenzor gradijenta ukupne deformacije F, može se dobiti proizvodom

tenzora gradijenta plastične deformacije Fp i tenzora gradijenta elastične deformacije Fe

29

F F F F F F

F F F F F F= == =

− − −

− − −e p p e

TpT

eT T

eT

pT

1 1 1

(2.2.1)

Ovakvo rastavljanje gradijenta deformacije najčešće se u literaturi naziva multiplikativna dekompozicija, Lee (1969), Lubarda (1995). Na svaki od tenzora F , Fp i Fe moguća je primena teoreme o polarnoj

dekompoziciji (1.3.19). Green-Lagrange-ovi tenzori deformacije (2.1.30), koji odgovaraju tenzorima gradijenta deformacija Fe i Fp , su

( ) ( )E F F I E F F Ie eT

e p pT

p= − = −12

12

(2.2.2)

gde je I jedinični tenzor drugog reda. Green-Lagrange-ov tenzor ukupne deformacije, koji odgovara tenzoru gradijenta ukupne deformacije F (2.2.1), dobija se kao

( )E F F I E F E F= − = +12

Tp p

Te p (2.2.3)

Tenzor ukupne deformacije E, nije jednak zbiru tenzora elastične Ee i tenzora plastične deformacije

E p , pošto je za tenzore E i E p referentna konfiguracija početna 0 B , dok je tenzor Ee definisan u

odnosu na međukonfiguraciju τ B . U slučaju unapred rotiranog Green-Lagrange-ovog tenzora elastične deformacije (2.1.31), tenzor ukupne deformacije (2.2.3) računa se kao

E E F R E R F= +p pT

eT

e e p (2.2.4)

Tenzori elastičnih i plastičnih deformacija mogu se sabirati samo ako su izraženi u odnosu na istu konfiguraciju, koja može biti početna, tekuća ili međukonfuguracija. To je posledica činjenice da se tenzori rotacija R , R p i R e u opštem slučaju razlikuju, pa se tenzori deformacije (2.2.2) ne mogu

direktno sabirati u konfiguracijama koje su rotirane u odnosu na prethodno navedene konfiguracije. Almansi-jevi tenzori deformacija (2.1.33), koji odgovaraju tenzorima Fe i Fp , su

( ) ( )e I F F e I F Fe eT

e p pT

p= − = −− − − −12

12

1 1 (2.2.5)

Almansi-jev tenzor ukupne deformacije može biti izražen, koristeći (2.2.1), kao

( )e I F F e F e F= − = +− − − −12

1 1Te e

Tp e (2.2.6)

U slučaju unazad rotiranog Almansi-jevog tenzora elastične deformacije (2.1.32), tenzor ukupne deformacije (2.2.6) računa se kao

e R e R F e F= + − −e e e

Te

Tp e

1 (2.2.7)

Između svakog prethodno navedenog Lagrange-ovog tenzora deformacije E∗ i njemu odgovarajućeg Almansi-jevog tenzora deformacije e∗ , postoji veza preko odgovarajućeg tenzora gradijenta deformacije F∗

E F e F e F E F∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗−

∗ ∗−= =T T 1 (2.2.8)

Koristeći (2.2.8) i (2.2.1), izraz (2.2.3) može se napisati u obliku E E F E F F e F− = =p p

Te p

Te (2.2.9)

koji pokazuje da se razlika Lagrange-ovog tenzora ukupne i plastične deformacije može izraziti preko Almansi-jevog tenzora elastične deformacije.

30

Važno je naglasiti da kod metala plastične deformacije ne izazivaju promenu zapremine, tako da je determinanta tenzora gradijenta plastične deformacije

Fpd vd v

= = =0

0 1ρρτ

τ

(2.2.10)

Zato su determinante tenzora gradijenta ukupnih i elastičnih deformacija iste

F F F F= = = =e p e

td vd v

0

0ρρτ

(2.2.11)

Činjenica (2.2.10) omogućava da se integracija po zapremini nepoznate međukonfiguracije može vršiti po zapremini poznate početne konfiguracije.

2.3. PRIRAŠTAJI TENZORA DEFORMACIJE Kada se tenzori deformacije, koji odgovaraju Hill-ovoj meri deformacije ε k

( )2 ili ε k( )−2

(2.1.15), izraze u konvektivnim koordinatama, očigledno je iz (2.1.30) do (2.1.33) da imaju iste komponente

( ) ( )00 0 01

212

t t t t t t t tg g+ + + += − = ⋅ − ⋅∆ ∆ ∆ ∆ε αβ αβ αβ α β α βg g g g (2.3.1)

Koristeći (1.2.12)1 i (1.6.1),

( )t tt t

tt

r r+

+

= = +∆∆ ∆

gx

g uα α α α

∂

∂∂∂

(2.3.2)

kovarijantne deformacije (2.3.1) mogu se napisati kao

0 0t t t+ = +∆ ε ε εαβ αβ αβ (2.3.3)

gde su 0t εαβ deformacije između početne i tekuće konfiguracije

( )00 01

2t t tε αβ α β α β= ⋅ − ⋅g g g g (2.3.4)

a εαβ priraštaj deformacije između tekuće i susedne konfiguracije.

ε ηαβ αβ αβ= +e (2.3.5)

Ovde je eαβ linearni deo priraštaja deformacije

( )er r

tt

tt t t t t

αβ α β β α α β β α∂∂

∂∂

= ⋅ + ⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ⋅ + ⋅

12

12

∆ ∆∆ ∆u g u g u g u g, , (2.3.6)

a ηαβ je nelinearni deo priraštaja deformacije (geometriska nelinearnost)

( )η ∂∂

∂∂αβ α β α β= ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⋅

12

12

∆ ∆∆ ∆

t tt t

r ru u u u, , (2.3.7)

Izrazi (2.3.6) i (2.3.7) mogu predstavljati priraštaje deformacija pri iterativnim procesima, s tim što levi gornji indeks t označava vrednost u trenutaku t t+ ∆ u iteraciji (i-1), a levi gornji indeks ∆t označava priraštaj u iteraciji (i).

31

Kada su priraštaji pomeranja mali, može se zanemariti izraz (2.3.7). Ako su i rotacije male može se smatrati da se početna konfiguracija ne menja, pa se (2.3.6) svodi na izraz za infinitezimalne deformacije

eαβ α β β α= ⋅ + ⋅12

0 0( ), ,u g u g (2.3.8)

Male deformacije (2.3.8), u odnosu na glavne Descartes-ove koordinate, dobijaju se u poznatom obliku kao

eux

uxij

i

j

j

i

= +12

( )∂∂

∂∂

(2.3.9)

32

33

3. TENZORI NAPONA I RAVNOTEŽA

3.1. TENZORI NAPONA U posmatranoj materijalnoj tački P , vektor "tačnog" napona ( )t n definiše se kao vektor tekuće

površinske sile d tf po tekućoj diferencijalnoj površini d at , gde je jedinični vektor spoljašnje normale na tekuću diferencijalnu površinu t n ,

( )t fn =

dd a

t

t (3.1.1)

Posmatrana diferencijalna površina može biti u telu ili na graničnoj površi tela. Ako je diferencijalna površina u telu površinska sila je unutrašnja sila, a ako je na graničnoj površi površinska sila je spoljašnja ili kontaktna sila. Vektor "tačnog" napona ( )t n , u tački tekuće diferencijalne površine, može se odrediti,

prema Cauchy-jevoj fundamentalnoj teoremi, unutrašnjim proizvodom "tačnog" ili Cauchy-jevog simetričnog tenzora napona σ i vektora normale na tekuću diferencijalnu površinu t n

( )t nn = σ t (3.1.2)

Zbog kasnijeg definisanja različitih tenzora napona koji odgovaraju definisanim tenzorima deformacije u glavi 2., tenzorske veličine (3.1.2) je neophodno izraziti u odnosu na ranije definisana četiri tipa baznih vektora. Vektor tekuće površinske sile i jedinični vektor normale na tekuću diferencijalnu površinu mogu se napisati u odnosu na tekuće i samo rotirane bazne vektore kao

d df df dt tf g g f= = =αα

αα

0 0 t tn nn g g n= = =αα

αα0 0 (3.1.3)

Kada se koriste nadvučeni vektori (3.1.3), smatra se da su tekući vektori izraženi u odnosu na samo rotirane bazne vektore koji imaju početnu metriku. Zamenom (3.1.3)2 u (3.1.2) dobija se

( )t t tn = =n nαα

αα (3.1.4)

tako da Cauchy-jeva fundamentala teorema u drugom obliku pokazuje da se vektor "tačnog" napona

( )t n , u tački tekuće diferencijalne površine, može predstaviti linearnom funkcijom vektora napona, čiji

su koeficijenti komponente jediničnog vektora t n n= 0 . Vektori napona (3.1.4), koji deluju na koordinatne površi kovarijantnih baznih vektora su

t ga t a= σ (3.1.5)

t ga a= σ 0 (3.1.6) Iz (3.1.5) i (3.1.6) direktno se dobija Cauchy-jev tenzor napona u obliku

σ = ⊗ = ⊗t g t gαα

αα

t 0 (3.1.7) Polazeći od ovog izraza mogu se definisati različiti tenzori napona. Cauchy-jev tenzor napona (3.1.7) može se napisati u odnosu na tekuće i samo rotirane bazne vektore na sledeće načine

σ = ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗tt t t t t

ttσ σ σ σαβ

β ααβ

β ααβ

β ααβ

β αg g g g g g g g00 0 0

00 0 0 (3.1.8)

gde indeksi sa leve strane komponenata tenzora napona pokazuju kojim baznim vektorima, odnosno kojoj metrici komponente odgovaraju, i to tako što se levi gornji indeks odnosi se na prvi desni indeks a levi donji - na drugi desni. Iz (3.1.8)2 i (3.1.8)3 očigledno je da je

00ttσ σαβ βα= (3.1.9)

34

Korišćenjem (3.1.7) do (3.1.9) dobijaju se vektori napona kao t g gα αβ

βαβ

βσ σ= =tt t t

00 (3.1.10)

t g gα βαβ

αββσ σ= =0 0

0 0t t (3.1.11)

Fizičko značenje različitih komponenata tenzora napona je jasno iz (3.1.10) i (3.1.11). Veze između različitih komponenata tenzora napona mogu se dobiti iz (3.1.8) izražavanjem tekućih baznih vektora preko samo rotiranih korišćenjem (1.5.54)2 i (1.2.36)2

00 0

0 00 0

0 0σ σ σαβ αγδγ

δηηξ

ξβ αγδγ

δβ= =g g g g g gttt t t t (3.1.12)

Cauchy-jev tenzor napona (3.1.8)2 i (3.1.8)3, koji je izražen u odnosu na različite bazne vektore, može se napisati preko proizvoda novog tenzora napona i levog simetričnog tenzora izduženja V (1.5.13)1, korišćenjem (3.1.9)

σ = =Γ ΓV V T (3.1.13) gde je

Γ = ⊗00 0tσ αβ

β αg g (3.1.14)

Ako se na (3.1.8) primeni operacija rotacije unazad (1.5.31)2 i (1.5.29)2, korišćenjem (1.5.11) i (3.1.9), dobija se izometrički Cauchy-jev tenzor napona

( )σ σ σ= =∗R R RT

σ = ⊗ = ⊗ = ⊗ = ⊗tt t t t t t tσ σ σ σαβ

β ααβ

β ααβ

α βαβ

β αg g g g g g g g00

00

00 0 0 (3.1.15)

Primenom odgovarajućih operacija unazad i unapred (1.5.24)2 do (1.5.35)2 nad kovarijantnim baznim vektorima već definisanih tenzora napona, dobijaju se novi tenzori napona. Transformacijom unazad tenzora napona (3.1.14) operacijom rotacije (1.5.29)2 dobija se

( )Γ Γ Γ Γ= =∗R R RT = ⊗00 0tσ αβ

β αg g (3.1.16)

Transformacijom unapred tenzora napona (3.1.14) operacijom deformacije (1.5.25)2 dobija se

( )γ γ= =∗F F FΓ ΓT = ⊗0t t tσ αβ

β αg g (3.1.17)

Transformacijom unapred tenzora napona (3.1.14) operacijom izduženja (1.5.33)2 dobija se

( )γ γ= =∗V V VΓ Γ = ⊗0t t tσ αβ

β αg g (3.1.18)

Transformacijom unazad Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.8)1 operacijom deformacije (1.5.27)2 ili izometričkog Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.15)1 operacijom izduženja (1.5.34)2 dobija se

( ) ( ) ΣΓ=====Σ −−−∗−−∗ 1111 ˆˆ UUUUFFF σσσσ T = ⊗ttσ αβ

β α0 0g g (3.1.19)

Transformacijom unazad izometričkog Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.15)1 operacijom deformacije (1.5.26)2 ili Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.8)1 operacijom izduženja (1.5.35)2 dobija se

( ) ( ) ΣΓ=====Σ −−−∗−−∗ ˆˆˆˆˆˆ 1111 VVVVFFF σσσσ Tαβ

αβσ gg ˆˆ 00 ⊗= tt (3.1.20)

Transformacijom unapred Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.8)4 operacijom deformacije (1.5.25)2 ili izometričkog Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.15)4 operacijom izduženja (1.5.32)2 dobija se

( ) ( )κ σ σ σ σ γ κ= = = = =∗ ∗F F F U U U UT = ⊗00σ αβ

β αt tg g (3.1.21)

Transformacijom unapred izometričkog Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.15)4 operacijom deformacije (1.5.24)2 ili Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.8)4 operacijom izduženja (1.5.33)2 dobija se

( ) ( )κ σ σ σ σ γ κ= = = = =∗ ∗F F F V V V VT = ⊗00σ αβ

β αt tg g (3.1.22)

Kontravarijantne komponente tenzora napona ttσ αβ , 0

0σ αβ i 0tσ αβ u odnosu na četiri različita

sistema baznih vektora definišu deset tenzora napona. Kako je Cauchy-jev tenzor napona σ simetričan

35

tenzor, svi tenzori napona dobijeni njegovom transformacijom σ , Σ , Σ , κ i κ su simetrični. Tenzori

napona Γ , Γ , γ i γ u opštem slučaju nisu simetrični. Lako se može pokazati, korišćenjem ranije datih izraza, da se nesimetrični tenzori napona mogu izraziti preko simetričnih tenzora napona kao

Γ Σ= =−σU U1 (3.1.23)

Γ Σ= =−σV V1 (3.1.24)

γ σ κ= = −U U 1 (3.1.25)

γ σ κ= = −V V 1 (3.1.26) Konačno, Cauchy-jev tenzor napona može se izraziti preko drugih tenzora napona kao

γγκ

κσσ111

1

ˆˆˆˆˆ

−−−−

−−

==Γ=Γ==

==Σ=Σ==

VRFVFRVV

FFVVFFRRTTT

TTT

(3.1.27)

3.2. HELMHOLZ-OVA SLOBODNA ENERGIJA, ENERGETSKI KONJUGOVANI TENZORI NAPONA I DEFORMACIJE Termodinamika kontinuuma zasniva se na kaloričnoj jednačini stanja, koja pretpostavlja da je specifična unutrašnja energija ϕ (po jedinici mase) u okolini čestice P , određena preko termodinamičkog stanja koje definišu nezavisne termodinamičke promenljive podstanja F i jedan skalarni parametar η , Malvern (1969),

( )ϕ ϕ η= F, , P (3.2.1) U slučaju deformabilnog tela termodinamičke promenljive podstanja F su devet komponenata tenzora gradijenta deformacije ili komponente ranije definisanih tenzora deformacije, a skalarni parametar η je specifična unutrašnja entropija. Specifična Helmholz-ova slobodna energija ψ je onaj deo specifične unutrašnje energije ϕ koji je slobodan da vrši rad pri konstantnoj temperaturi

ψ ϕ ηθ= − (3.2.2) Specifična Helmholz-ova slobodna energija predstavlja termodinamički potencijal za napone pri izotermičkim procesima ( )θ = const. , a u slučaju Cauchy-jevog napona dobija se, Jarić (1988),

σ = t Tρ∂ψ∂F

F (3.2.3)

gde je t ρ tekuća gustina. Rad napona, koji se mogu izvesti iz slobodne energije, je potpuno povratan u dva slučaja i to: u slučaju kada je deformacija adijabatska i izentropska i u slučaju kada je deformacija izotermička a prenošenje toplote reverzibilno. Samo disipativni deo napona, koji je ovde zanemaren, doprinosi promeni entropije. Zanemarivanjem temperaturskih promena i disipativnih procesa ne gubi se na opštosti i ne utiče se na rezultat određivanja energetski konjugovanih tenzora napona i deformacija. Pošto se svi ranije definisani tenzori deformacije mogu izraziti preko tenzora gradijenta deformacije, koristeći posredno diferenciranje može se (3.2.3) napisati u obliku, Sansour (1992),

σ = t Tρ∂ψ∂

∂∂EEF

F*

*

tt t t

ttg

E

E

FFσ ρ ∂ψ

∂

∂

∂αβ αζ

γδ

γδζη

βη= *

*

00 (3.2.4)

gde E* označava proizvoljni tenzor deformacije. Sada je potrebno odrediti izvode po tenzoru gradijenta deformacije različitih tenzora deformacija (1.5.46) do (1.5.53), odnosno (2.1.30) do (2.1.37). Pri

36

određivanju izvoda korišćena je simetrija svih tenzora deformacije i Cauchy-jevog tenzora napona σ . Tenzor rotacije R (1.5.11) tretiran je kao nezavisna promenljiva koja ne zavisi direktno od tenzora gradijenta deformacije F . Takođe, korišćeni su izrazi (1.3.19) do (1.3.25), gde komponente tenzora rotacije, tenzora izduženja i tenzora gradijenta deformacije odgovaraju baznim vektorima (1.5.11) do (1.5.13) i (1.5.18). Određivanje izvoda tenzora deformacije po tenzoru gradijenta deformacije svodi se na primenu jednog od dva naredna izraza

GRADF FFF

I I= = ⊗∂∂

∂∂

δ δγδ

αβ

γα

βδ

0

0

t

tFF

=

GRADF FFF

F F−−

− −= = − ⊗11

1 1∂∂

∂∂

γδ

αβ

γα

βδ

tt t tFF

F F0

0

0 0=−

Cauchy-jev tenzor napona može se dobiti primenom (3.2.4) kada se koriste sledeći tenzori deformacija: - desni Cauchy-Green-nov deformacioni tenzor C (1.3.24)1 i Green-Lagrange-ov tenzor deformacije E (2.1.30)

( ) ( )∂

∂

∂

∂δ δγδ

ζη

κγ κξ

ξδ

ζη

ζκκγ δ

η κδ γ

η0

0

0 0

00 0

C

F

F g F

Fg F Ft

t t t

tt t t= = +

δβ

γδ

γααβ

∂∂ψρσ FC

F ttttt 0002= σ TtTt F

EFF

CF

∂∂ψρ

∂∂ψρ == 2 (3.2.5)

- levi Cauchy-Green-nov deformacioni tenzor B (1.3.25)1 i unapred rotiran Green-Lagrange-ov tenzor deformacije E (2.1.31)

( ) ( )∂∂

∂

∂δ δ

γδ

ζη

γκ

κξ δξ

ζη

ζγ δ

κ ζδ γ

κκη

t

t

t t

tt tB

F

F g F

FF F g

0

00

0

00 0

0= = +

tt t t

ttg

BBσ ρ ∂ψ

∂αβ αγ

γδδβ= 2 σ = =2 t tρ ∂ψ

∂ρ ∂ψ∂B

BE

B ili

( ) ( )∂

∂

∂

∂γδζη

κγ κξ

ξδ

ζη

ζκκγ δ

η κδ γ

η0

0

0 0

00

00

0B

F

V g V

Fg V R V Rt

t t t

tt t t= = +

δβ

δγ

γααβ

∂∂ψρσ ˆ0

ˆˆ0ˆ02 VB

V ttttt = σ V

EVV

BV ˆ2

∂∂ψρ

∂∂ψρ tt == (3.2.6)

- inverzni desni Cauchy-Green-nov deformacioni tenzor C−1 (1.3.24)2 i unazad rotiran Almansi-jev tenzor deformacije e (2.1.32)

( ) ( )∂∂

∂

∂

γδ

ζη

γκ

κξ δξ

ζη

γζ

δκ

δζ

γκ

κξ ηξ

0

0

0 0

0

0 0 0 0 0cF

F g F

FF F F F g Ft

tt

t

t t t t tt

t= = − +

ξβξ

δγδζ

γαζαβ

∂∂ψρσ gF

cFg t

ttttt

t0

002−= σ 11

1 ˆ2 −−−

−− =−= F

eFF

CF

∂∂ψρ

∂∂ψρ TtTt (3.2.7)

- inverzni levi Cauchy-Green-nov deformacioni tenzor B−1 (1.3.25)2 i Almansi-jev tenzor deformacije e (2.1.33)

37

( ) ( )∂

∂

∂

∂γδζη

κγ κξ

ξδ

ζη

κζ κξ

ξγ

ηδ

ξδ

ηγ

t

t

t t

t t t t t tb

F

F g F

FF g F F F F

0

0 0 0

0

0 0 0 0 0 0= =− +

tt t t t

tg bb

σ ρ ∂ψ∂

αβ αζζγ

γβ

= −2 σ = − =−−

−2 11

1t tρ∂ψ∂

ρ∂ψ∂

BB

Be

ili

( ) ( )∂∂

∂

∂

γδ

ζη

γκ

κξ δξ

ζη

γζ

δκ

δζ

γκ

κξ ηξ

0

0

0 0

0

0 0 0 0 0bF

V g V

FV V V V g Ft

tt

t

t t t t tt

t= = − +

κβκ

δδγ

ζγαζαβ

∂∂ψρσ gVb

Vg ttt

tttt

ˆ0ˆˆ0

ˆ02−= σ 1111

12 −−−−

− =−= Ve

VVB

V∂∂ψρ

∂∂ψρ tt (3.2.8)

- desni tenzor izduženja U (1.3.22)1 i tenzor inženjerske deformacije H (2.1.34)

( )∂∂

∂

∂δ

γδ

ζη

βγ β

δ

ζη

ζγ

δη0

0

0

0

t

t

t t

ttU

F

R F

FR= =

δβ

δγ

γζ

αζαβ

∂∂ψρσ FU

Rg tt

ttttt 0ˆ

0

ˆ= σ TtTt FH

RFU

R∂∂ψρ

∂∂ψρ == (3.2.9)

- levi tenzor izduženja V (1.3.23)1 i tenzor inženjerske deformacije H (2.1.35)

( )∂∂

∂

∂δ

γδ

ζη

γβ δ

β

ζη

γζ δ

η0

0

00

0

0t

t

t

tVF

F R

FR= =

δβ

δγ

αγαβ

∂∂ψρσ ˆ0

ˆ0

VV

g tt

tttt = σ V

HV

V ˆ∂∂ψρ

∂∂ψρ tt == (3.2.10)

- inverzni desni tenzor izduženja U −1 (1.3.22)2 i tenzor inženjerske deformacije h (2.1.36)

( )∂∂

∂

∂

γδ

ζη

γξ

ξδ

ζη

γζ

ξδ

ηξ

tt

tt

t tt

tUF

F R

FF R F

0

0

0

0

0 0= =−

δβ

δγζ

γαζαβ

∂∂ψρσ ˆ

ˆ00 R

UFg t

tt

tttt =− σ TTtTTt R

hFR

UF ˆ1 ∂

∂ψρ∂∂ψρ −

−− ==− (3.2.11)

- inverzni levi tenzor izduženja V −1 (1.3.23)2 i tenzor inženjerske deformacije h (2.1.37)

( )∂∂

∂

∂

γδ

ζη

γκ

κδ

ζη

γζ

ηδ

tt

t

t t tVF

R F

FV F

0

0

0 0

0

0 0= =−

βγζ

γαζαβ

∂∂ψρσ ˆ0

ˆ0

VVg

tt

tttt =− σ

hV

VV

∂∂ψρ

∂∂ψρ 1

11 −

−− ==− tt (3.2.12)

Upoređivanjem (3.1.27) sa (3.2.5) do (3.2.12) dobijaju se ranije definisani tenzori napona (3.1.19) do (3.1.26)

38

Σ = =2 t tρ∂ψ∂

ρ∂ψ∂C E

(3.2.13)

Σ = =2 t tρ∂ψ∂

ρ∂ψ∂B E

(3.2.14)

κ = − =−

2 1t tρ

∂ψ∂

ρ∂ψ∂C e

(3.2.15)

κ = − =−

2 1t tρ

∂ψ∂

ρ∂ψ∂B e

(3.2.16)

Sym t tΓ= =ρ ∂ψ∂

ρ ∂ψ∂U H

(3.2.17)

Sym t tΓ= =ρ∂ψ∂

ρ∂ψ∂V H

(3.2.18)

Sym γ =− =−

t tρ∂ψ∂

ρ∂ψ∂U h1 (3.2.19)

Sym γ =− =−

t tρ∂ψ∂

ρ∂ψ∂V h1 (3.2.20)

gde Sym označava simetrični deo tenzora napona. Samo se simetrični deo tenzora napona Γ , Γ , γ i γ može izraziti preko funkcije slobodne energije. Njihov antisimetrični deo predstavlja reaktivne

napone koji se mogu odrediti iz uslova simetrije tenzora U , V , U −1 i V −1 , Sansour (1992). Izrazi (3.2.13) do (3.2.20) koriste se za definisanje energetski konjugovanih (dualnih) mera tenzora deformacije i tenzora napona. Izvod funkcije slobodne energije po tenzoru deformacije daje njegov energetski konjugovan tenzor napona. Prema tome, dualne promenljive su: Σ i C ili E , Σ i B ili E , κ i C−1 ili e , κ i B−1 ili e , Γ i U ili H , Γ i V ili H , γ i U −1 ili h , γ i V −1 ili h . Očigledno je da Cauchy-jev tenzor napona nema energetski konjugovanu meru konačne deformacije. Tenzor gradijenta deformacije F ima dualan tenzor napona T

T F= −σ T = t ρ ∂ψ∂F

(3.2.21)

Za definisanje prethodno navedenih tenzora napona korišćena je slobodna energija po jedinici tekuće zapremine t ρψ . Ako se za definisanje tenzora napona koristi slobodna energija po jedinici

početne zapremine 0 ρψ , dobijaju se takozvani "težinski" naponi. Svaki prethodno definisan tenzor

napona σ∗ pomnožen determinantom tenzora gradijenta deformacije F

F U V= = = =0

0ρρt

t vv

daje njemu odgovarajući "težinski" napon σ∗

σ σ∗ ∗= F (3.2.22)

39

Za označavanje "težinskih" napona koristiće se nadvučeni tenzori napona. Kada se (3.1.27) pomnoži sa F dobijaju se veze između različitih "težinskih" napona

1

1 1 1

ˆ ˆˆ

ˆ ˆ

T T T

T T T

σ σ κ

κ γ γ

− −

− − − −

= = Σ = Σ = =

= = Γ = Γ = =

R R F F V V F F

V V R F V F R V (3.2.23)

U literaturi se često koriste "težinski" naponi, a neki od njih su nazvani imenima poznatih autora: σ -

Kirchhoff-ov tenzor napona, σ - unazad rotirani Kirchhoff-ov tenzor napona, Σ - drugi Piola-

Kirchhoff-ov tenzor napona, Σ - unapred rotirani drugi Piola-Kirchhoff-ov tenzor napona, Γ - Biot-

Lure-ov tenzor napona, Γ - unapred rotirani Biot-Lure-ov tenzor napona. Tenzor napona Γ koristi Bell (1995) pri eksperimentalnim merenjima i naziva ga Bell-ov tenzor napona. Simetrični deo tenzora napona Γ

( )Sym TΓ Γ Γ= +12

neki autori nazivaju Jaumann-ov tenzor napona, Atluri (1984). Naponu (3.2.21) odgovara "težinski" napon T poznat po nazivu prvi Piola-Kirchhoff-ov tenzor napona. Ostalim tenzorima napona do sada nisu dodeljeni posebni nazivi. Za tenzore napona koji imaju prethodno navedene posebne nazive, u literaturi je data njihova fizička interpretacija po analogiji sa fizičkom interpretacijom Cauchy-jevog tenzora napona (3.1.1) i (3.1.2), Atluri (1984). Svaki vektor napona može se predstaviti odnosom neke diferencijalne površinske sile po nekoj orijentisanoj diferencijalnoj površini. Vektor tekuće diferencijalne površinske sile

d dtf f= 0 (3.1.3)1, izražen je u odnosu na kovarijantne bazne vektore i transformiše se primenom tenzora rotacije, izduženja i gradijenta deformacije kao

d d d dd d d dd d d dd d d d

t t

t T t T

t T t

T t t

f R f V f F ff R f U f F ff R f V f F ff R f U f F f

= = == = == = == = =

− −

− −

0 0

0 0

0 0 1

0 0 1 1

(3.2.24)

Veza između tekuće i početne orijentisane diferencijalne površine poznata je u literaturi kao Nanson-ova formula, Ekmark (1983). Tekuća diferencijalna površina d a d at = 0 čiji je jedinični vektor normale t n n= 0 izražen u odnosu na kontravarijantne bazne vektore (3.1.3)2, transformiše se kao

t t t t T

t t T t t

t t t t

T t t T t t

d a d a d a d ad a d a d a d a

d a d a d a d a

d a d a d a d a

n R n F V n F F nn R n F U n F F n

n R nF

V nF

F n

n R nF

U nF

F n

= = == = =

= = =

= = =

− −

− −

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 1

1 1

(3.2.25)

Zamenom (3.1.27) ili (3.2.23) u (3.1.2), i korišćenjem transformacija (3.2.24) i (3.2.25) dobija se

σ σt tt

tdd a

nF

n f= =

1 (3.2.26)

40

σ σt tt

tdd a

nF

n f= =

1 (3.2.27)

F n n fΣ Σ0 0

0

0= =dd a

(3.2.28)

F n n fΣ Σ0 0

0

0= =dd a

(3.2.29)

1 12F

nF

n fκ κt t

t

tdd a

= = (3.2.30)

1 12F

nF

n fκ κt t

t

tdd a

= = (3.2.31)

F n n fΓ Γ0 0

0= =dd a

t (3.2.32)

F n n fΓ Γ0 0

0= =dd a

t (3.2.33)

γ γt tt

tdd a

nF

n f= =

1 (3.2.34)

γ γt tt

tdd a

nF

n f= =

1 (3.2.35)

F T n T n f0 00= =

dd a

t (3.2.36)

Dualne tenzore napona i deformacije mnogi autori definišu u odnosu na materijalni vremenski izvod funkcije specifične slobodne energije ψ , koji predstavlja brzinu specifičnog rada ili specifičnu snagu napona. Materijalni vremenski izvod funkcije slobodne energije ne zavisi od izbora koordinatnog sistema i može se pokazati da održava dualnost odgovarajućih tenzora napona i tenzora brzina deformacija za koje je prethodno utvrđeno da su energetski konjugovani, (3.2.13) do (3.2.20),

t ρψ = =12Σ Σ: :C E (3.2.37)

= =12

: :Σ ΣB E (3.2.38)

= − =−12

1: :κ κC e (3.2.39)

= − =−12

1κ κ: :B e (3.2.40)

= =Γ Γ: :U H (3.2.41)

= =: :Γ ΓV H (3.2.42)

41

= − =−: :γ γU h1 (3.2.43)

= − =−γ γ: :V h1 (3.2.44) Specifična snaga napona za Caushy-jev napon dobija se skalarnim proizvodom tenzora napona i tenzora brzine deformacije u obliku

t ρψ = σ :d (3.2.45) Ovde je

( )d L L= +12

T (3.2.46)

tenzor brzine deformacije u odnosu na tekuću konfiguraciju, koji predstavlja simetrični deo tenzora gradijenta brzine

L xx

FF d w= = = +−∂∂

t

t1 (3.2.47)

Tenzor vrtložnosti

( )w L L= −12

T (3.2.48)

predstavlja antisimetrični deo tenzora gradijenta brzine, w w= − T . Korišćenjem (1.5.18) tenzor gradijenta brzine može se izraziti kao

L g g= ⊗t tα

α (3.2.49) Zamenom (3.2.49) u (3.2.46) dobija se

( )d g g g g g g g g g g= ⊗ = ⊗ = ⋅ + ⋅ ⊗d gt t t t t t t t t t tαβ

β ααβ

β αα β α β

β α12

12

(3.2.50)

Unutrašnjim (skalarnim) proizvodom Caushy-jevog tenzora napona (3.1.8)1 i tenzora brzine deformacije (3.2.50), konačno se dobija specifična snaga napona (3.2.45) u komponentalnom obliku

t ρψ =12 t

t t gσ αβαβ (3.2.51)

Specifična snaga napona za unazad rotiran Caushy-jev napon dobija se skalarnim proizvodom tenzora napona i unazad rotiranog tenzora brzine deformacije u obliku

t ρψ = :σ d (3.2.52) Ovde je

( ) ( )d R d R dR UU U U g g= = = + = ⊗∗ − −T t t tg12

12

1 1αβ

β α (3.2.53)

unazad rotiran tenzor brzine deformacije. Zamenom (3.1.15)1 i (3.2.53) u (3.2.52), dobija se ista specifična snaga napona kao (3.2.51). Može se pokazati da je i specifična snaga ostalih tenzora napona jednaka (3.2.51). Svaki od tenzora deformacija (1.5.46) do (1.5.53) kao i (2.1.30) do (2.1.45), moguće je izraziti u odnosu na početne ili samo rotirane kovarijantne ili kontravarijantne bazne vektore. Pošto se početni bazni vektori ne menjaju tokom vremena a povezani su sa samo rotiranim baznim vektorima tenzorom rotacije

αααα

αααα gRggRggRggRg ˆˆˆˆ 00000000 TT ==== (3.2.54)

materijalni vremenski izvod samo rotiranih baznih vektora dobija se kao ααα

ααα ggRgggRg ˆˆˆˆ 000000 Ω==Ω== (3.2.55) gde je antisimetrični tenzor

TTT Ω−=−==Ω RRRR (3.2.56)

42

Materijalni izvodi tenzora deformacija koji su izraženi u odnosu na početne bazne vektore (3.2.37), jednaki su izvodima komponenata tenzora

( )C g g

E g g g g

= ⊗

=−

⊗ = ⊗

t

tt

g

D g g

Dtg

αββ α

αβ αβ β ααβ

β α

0 0

00 0 0 01

212

(3.2.57)

Materijalni korotacioni izvodi tenzora deformacije koji su izraženi u odnosu na samo rotirane bazne vektore (3.2.38), jednaki su unapred rotiranim izvodima (3.2.57)

( ) ( )

( )

B g g g g g g B B B

RR BR

R RCR R C g g

E R E g g

∆

∆

Ω Ω= ⊗ + ⊗ + ⊗ = + +

= = = = ⊗

= = ⊗

∗

∗

t t t T

TT T t

t

g g g

D

Dtg

g

αββ α

αββ α

αββ α

αββ α

αββ α

0 0 0 0 0 0

0 0

0 012

(3.2.58)

Očigledno je da su skalarni proizvodi tenzora napona (3.1.19) i (3.1.20) sa tenzorima brzina deformacije (3.2.57) i (3.2.58), respektivno, jednaki specifičnoj naponskoj snazi (3.2.51). Za definisanje tenzora napona koji je dualan materijalnom korotacionom vremenskom izvodu logaritamske deformacije (2.1.29), koristiće se veza između tenzora brzine logaritamske deformacije i tenzora brzine deformacije, Perić i dr. (1991, 1992, 1992a), Heiduschke (1995). Tenzor brzine

logaritamske deformacije l u odnosu na početne glavne pravce ( )p k k = 1 2 3, , , glasi

( )

( ) ( )( ).

., ,

ln

'

li j

i jij

i ii

i

ij j i ijj

i

== = =

− =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≠

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

ε λλλ

ε ελλ

0

0 0

1 2 3

Ω Ω

gde je ( )ε k0 Hill-ova mera logaritamske deformacije (2.1.15), a Ω ij komponente antisimetričnog tenzora

rotacije (3.2.61). U prethodnom izrazu ne vrši se sabiranje po ponovljenom indeksu, a može se predstaviti u matričnom obliku kao

[ ]ln ln

ln ln

ln ln

l =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

1

13

1

22

3

1

31

2

2

21

2

3

23

11

2

3

3

3

Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω

(3.2.59)

Unazad rotiran tenzor brzine deformacije d (3.2.53) u odnosu na početne glavne pravce je

, ,d

i j

i jij

i

i

ij j

i

i

j

=

= =

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ≠

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

λλλλ

λλ

1 2 3

2Ω

43

ili u matričnom obliku

[ ]d =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

1

1

3 1

2

2

1

2 3

1

1

3

3 1

2

2

1

2

2

1 2

3

3

2

2 3

1

1

3

1 2

3

3

2

3

3

2 2

2 2

2 2

Ω Ω

Ω Ω

Ω Ω

(3.2.60)

Ovde su ( )λ k k = 1 2 3, , glavna izduženja (1.4.37), a ( )Ω k k = 1 2 3, , su komponente ugaone brzine

kojim rotiraju glavni pravci, gde je antisimetrični tenzor Ω u odnosu na ortonormirane bazne vektore oblika

[ ]Ω =−

−−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

00

0

3 2

3 1

2 1

Ω ΩΩ ΩΩ Ω

(3.2.61)

Veza između unazad rotiranog tenzora brzine deformacije d i tenzora brzine logaritamske deformacije

l u odnosu na početne glavne pravce, može se izraziti kao

( )

( ) ( )( ) ( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≠≠−

=′−′

−

====′

=

jiij

ji

ijjiij0

j0

i

ijji

i

iiiii

i0

iij

jil2

l2

321jill1

dλλ

λλλλλλ

εελλλλ

λλ

λε.ˆ

ln

.ˆ

,,.ˆ

.ˆ

ˆ

ili u direktnoj notaciji

d l l d= =α β (3.2.62)

gde su α i β kinematički transformacioni tenzori. Tenzori α i β su četvrtog reda, simetrični i međusobno inverzni a u odnosu na glavne pravce imaju sledeće komponente različite od nule

( )

( )

( )

ln

ln

ln

α α α β β β

α α α αβ

λ λ λ λλ λ

α α α αβ

λ λ λ λλ λ

α α α αβ

λ λ λ λλ λ

1111 2222 3333 1111 2222 3333

1212 1221 2112 21211212

1 2 2 1

1 2

2323 2332 3223 32322323

2 3 3 2

2 3

1313 1331 3113 31311313

3 1 1 3

3 1

1

2 2 2 2 12 2

2 2 2 2 12 2

2 2 2 2 12 2

= = = = = =

= = = = = =−

= = = = = =−

= = = = = =−

(3.2.63)

U slučaju jednakih glavnih izduženja λ λj k= , odgovarajuće smičuće komponente (3.2.63) jednake su

jedinici. Zamenom (3.2.62)1 u (3.2.52) dobija se unazad rotirani logaritamski tenzor napona τ koji je

dualan sa brzinom logaritamske deformacije l u odnosu na početne glavne pravce

44

( )

( ) ( )( ) ( )

, ,

ln

τε λ

σ σ

λ λ λ λ

ε εσ

λ λ λ λ

λ λσ λ λ

iji i

ii ii

i j j i

i jij

i j j i

i jij i j

i j

i j=

′= = =

−

′ − ′=

−≠ ≠

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

1 1 2 3

2 2

0

0 0

ili u direktnoj notaciji τ ασ σ βτ= = (3.2.64)

Tenzori napona i brzina deformacija u odnosu na tekuće glavne pravce ( )qk k = 1 2 3, , , dobijaju se rotacijom unapred tenzora napona i brzina deformacije u odnosu na početne glavne pravce

( ) ( )τ τ τ= = = =∗ ∗R R R l R l R lRT T∆

( ) ( )σ σ σ= = = =∗ ∗R R R d R d RdRT T (3.2.65)

α α β βijkl iM jN kO lP MNOP ijkl iM jN kO lP MNOPR R R R R R R R= =

gde su komponente tenzora rotacije RiJ iJ= δ , jer se odnose na tekuće i početne glavne pravce (1.4.40). Pri rotaciji unapred ili unazad tenzora izraženih u odnosu na glavne pravce (3.2.65), transformišu se samo bazni vektori dok komponente ostaju neizmenjene. Primenom (3.2.65) na (3.2.62) i (3.2.64) dobija se

d l l d= == =α β

τ ασ σ βτ

∆ ∆

(3.2.66)

Na osnovu (3.2.45) i (3.2.66) može se zaključiti da je logaritamski napon τ dualan sa brzinom

logaritamske deformacije l∆

u odnosu na tekuće glavne pravce. Transformacioni tenzori α , β , α i β postaju jedinični tenzori četvrtog reda kada su sva glavna izduženja jednaka, kada se početni glavni pravci ne menjaju tokom vremena ili kada se primeni teorija infinitezimalnih deformacija.

3.3. PRINCIP VIRTUALNOG RADA, INTEGRACIJA KONSTITUTIVNIH RELACIJA Varijacione metode imaju veliku ulogu pri analizi problema u mehanici kontinuuma. Osnovni varijacioni princip je princip virtualnih pomeranja, koji se često naziva princip virtualnog rada. On stvarno ne predstavlja zakon energije, jer je virtualni rad fiktivnog karaktera izračunat za skup mogućih sila i napona, za koje se pretpostavlja da su konstantni u toku rada na skupu kinematički mogućih pomeranja. Takvi naponi i pomeranja su nezavisni za razliku od napona i pomeranja pri stvarnom kretanju tela, na osnovu kojih se određuju tenzori deformacija, a koji su povezani sa tenzorom napona preko konstitutivnih relacija. Princip virtualnog rada predstavlja u mehanici deformabilnih tela alternativni način za određivanje ravnotežnih jednačina kretanja. Ovaj princip ima poseban značaj pri izvođenju ravnotežnih jednačina konačnih elemenata. Pri izvođenju ravnotežnih jednačina polazi se od principa virtualnog rada prema kome su, u vremenskom trenutku l, međusobno jednaki radovi (δ l

uA i δ lsA ) unutrašnjih i

spoljašnjih sila na mogućim virtualnim pomeranjima materijalne tačke δu

δ δlu

lsA A= (3.3.1)

45

Virtualni rad spoljašnjih sila je

δ δ δls

l v l

v

l a l

a

A d v d al l

= ⋅ + ⋅∫ ∫f u f u (3.3.2)

gde su l vf i l af vektori zapreminskih i površinskih sila, a l v i l a su zapremina i površina tela u trenutku l. Virtualni rad unutrašnjih sila jednak je, Ekmark (1983)

δ luA = ∗∫ 0

l

vl

τ :δ 0l ld vE∗ = 0

0

l

v

τ ∗∫ :δ 00l d vE∗ (3.3.3)

gde su 0l τ∗ i 0

l E∗ energetski konjugovani tenzori napona i tenzori deformacija (3.2.37) do (3.2.45), a

težinski naponi 0l τ∗ su dati izrazom (3.2.22). Skalarni proizvod 0

l τ∗ :δ 0lE∗ predstavlja virtualni rad u

trenutku l po jedinici tekuće zapremine d vl , a 0l τ∗ :δ 0

lE∗ predstavlja virtualni rad u trenutku l po

jedinici početne zapremine d v0 .

3.4. INKREMENTALNE JEDNAČINE RAVNOTEŽE KONAČNOG ELEMENTA Inkrementalni pristup u rešavanju problema podrazumeva višestepeno rešavanje koje se obično vezuje za vreme kao parametar, koje u slučaju statičke analize predstavlja kvaziparametar. To znači da se rešenje dobija na krajevima vremenskih podintervala ∆ ∆ ∆t t t t t t, , ... , , , ... ,2 + ∗ gde je t ∗ parametar koji odgovara konačnom rešenju. Suština je, da polazeći od poznatih (već određenih) veličina u trenutku t mogu se odrediti veličine u trenutku t t+ ∆ . Držeći se postavki inkrementalne formulacije, vrši se inkrementalna dekompozicija napona i deformacija u izrazu za δ t t

uA+∆ (3.3.3). Primenom inkrementalne dekompozicije tenzor napona u trenutku l t t= + ∆ može se napisati kao

0 0t t t+ ∗ ∗ ∗= +∆ τ τ τ (3.4.1)

gde je τ∗ priraštaj tenzora napona pri prelasku tela iz tekuće (l=t) u susednu konfiguraciju ( l t t= + ∆ ). Inkrementalna dekompozicija tenzora deformacija (2.1.30) do (2.1.33), data je jednačinama (2.3.3) do (2.3.7). Varijacija tenzora ukupne deformacije (2.3.3)

( )δ δ δ δ δ0 0t t t+ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= + = = +∆ E E E E e η∗ (3.4.2)

jednaka je varijaciji priraštaja tenzora deformacije δE∗ , gde su δe∗ linearni a δ η∗ nelinearni deo

priraštaja tenzora deformacije. Priraštaj tenzora napona τ∗ dobija se dvostrukim unutrašnjim

proizvodom tangentnog konstitutivnog tenzora Λ∗ i tenzora priraštaja deformacija E∗ τ τ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= =Λ Λ: :E E (3.4.3)

gde su, u slučaju inkompresibilnih neelastičnih deformacija, τ τ∗ + ∗= 0t t∆ F i Λ∗ = 0

t t+∆ F Λ∗ .

Primena inkrementalne dekompozicije na ravnotežnu jednačinu (3.3.1), svodi je na jednačinu kretanja oblika

E∗

+∫ :

t t v∆

Λ∗ :δE∗ +d vt t∆ + ∗

+∫ 0

t

vt t

τ :∆

δ η∗ +d vt t∆ = +δ t tsA∆ − ∗

+∫ 0

t

vt t

τ :∆

δe∗ +d vt t∆ (3.4.4)

ili

46

E∗∫ :0 v

Λ∗ :δE∗d vo + ∗∫ 00

t

v

τ : δ η∗d v0 = +δ t tsA∆ − ∗∫ 0

0

t

v

τ : δe∗d v0 (3.4.5)

Jednačine (3.4.4) i (3.4.5) su nelinearne po priraštajima pomeranja, a izvedene su bez ikakvih zanemarivanja. Ove jednačine se mogu linearizovati pod pretpostavkom da su priraštaji pomeranja mali, Bathe (1982), koristeći aproksimativne izraze δ δE e∗ ∗≈ i τ ∗ ∗≈ Λ : δe∗

e∗+∫ :

t t v∆

Λ∗ :δe∗ +d vt t∆ + ∗

+∫ 0

t

vt t

τ :∆

δ η∗ +d vt t∆ = +δ t tsA∆ − ∗

+∫ 0

t

vt t

τ :∆

δe∗ +d vt t∆ (3.4.6)

ili

e∗∫ :0 v

Λ∗ :δe∗d vo + ∗∫ 00

t

v

τ : δ η∗d v0 = +δ t tsA∆ − ∗∫ 0

0

t

v

τ : δe∗d v0 (3.4.7)

Jednačine (3.4.6) i (3.4.7) predstavljaju aproksimativne (linearizovane) jednačine kretanja po priraštajima pomeranja. Metoda Konačnih Elemenata (MKE), zasniva se na pretpostavci da se telo može diskretizovati na konačne elemente, koje definiše konačan broj čvorova sa konačnim brojem stepeni slobode. Veličina polja u proizvoljnoj tački konačnog elementa dobija se interpolacijom veličina polja u čvornim tačkama. Tako se priraštaj pomeranja proizvoljne tačke u konačnom elementu ∆t u može izraziti preko priraštaja pomeranja njegovih čvornih tačaka ∆t U

∆ ∆t tu H U= (3.4.8) gde je H vektor interpolacionih funkcija. Primenom (3.4.8) na jednačine kretanja (3.4.6) i (3.4.7) dobija se sistem linearnih jednačina, koji u matričnom obliku izgleda

( )tL

tNL

t t ts

tuK K U F F+ = −+∆ ∆ (3.4.9)

Jednačina (3.4.9) predstavlja inkrementalnu ravnotežnu jednačinu konačnog elementa, gde su : - linearna matrica krutosti

tL

tLT t t

Lt t

v

tLT t t

Lv

d v d vt t

K B C B B C B= =∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗

+∫ ∫∆

∆

0

0

(3.4.10)

- nelinearna matrica krutosti t

N Lt

NLT t t

NLt t

v

tNLT t t

NLv

d v d vt t

K B B B B= =∗ ∗ ∗ + ∗ ∗ ∗

+∫ ∫0 0

0

0

σ σ∆

∆

(3.4.11)

- vektor unutrašnjih sila u čvorovima t

ut

LT t t t

v

tLT t

v

d v d vt t

F B B= =∗ ∗ + ∗ ∗

+∫ ∫0 0

0

0

σ σ∆

∆

(3.4.12)

- vektor spoljašnjih (zapreminskih i površinskih) sila u čvorovima t t

sT t t v t t

v

aT t t a t t

a

d v d at t t t

+ + + + += ++ +∫ ∫∆ ∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆

F H f H f (3.4.13)

Ovde su: t C∗ konstitutivna matrica, tLB∗ matrica linearne veze pomeranja i deformacije, t

NLB∗

matrica koja povezuje izvode pomeranja i pomeranja, 0t σ∗ matrica napona, 0

t σ∗ vektor napona i Ha

vektor površinskih interpolacionih funkcija. Matrice veze tLB∗ i t

NLB∗ kao i oblik matrice napona 0t σ∗

i vektora napona 0t σ∗ dati su detaljno kod svakog opisanog konačnog elementa u glavi 5. Linearne

konstitutivne matrice za izotropne i anizotropne materijale, za različite konačne elemente, date su u Živković (1989), Bathe (1982). Tangentne elastoplastične konstitutivne matrice, za elemente iz glave 5., date su u glavi 4. kao i u knjizi Kojić (1996).

47

Pri iterativnom rešavanju izrazi (3.4.10) do (3.4.13) istog su oblika s tim što levi gornji indeks t označava vrednost u trenutaku t t+ ∆ u iteraciji (i-1), a levi gornji indeks ∆t označava priraštaj u iteraciji (i). Iterativni postupak rešavanja inkrementalne ravnotežne jednačine dat je u Tab. 3.4.1.

Tabela 3.4.1 Inkrementalne ravnotežne iteracije u metodi konačnih elemenata

A. Početni uslovi za konstrukciju za korak ∆t - pomeranja - koordinate - spoljašnja opterećenja t t t+ =∆ U U( )0 t t t+ =∆ X X( )0 t t

s+∆ F

B. Ravnotežne iteracije na nivou konstrukcije i = 0 i i= + 1 C. Petlja po integracionim tačkama računanje matrica veza t t

Li+ ∗ −∆ B ( )1 i t t

NLi+ ∗ −∆ B ( )1 (glava 5.)

računanje ukupnih deformacija 01t t i+ ∗ −∆ E ( ) (glava 2.)

(za male deformacije e B U∗ − + ∗ − + −=( ) ( ) ( )i t tL

i t t i1 1 1∆ ∆ )

integracija napona 01t t i+ ∗ −∆ σ ( ) (Tab. 2.3.1 do 2.3.3)

konstitutivna matrica )1(0

)1(0)1(

−∗∆+

−∗∆+−∗∆+ = itt

ittitt

EC

∂σ∂

(Tab. 2.3.4 do 2.3.6)

sile u čvorovima t t

ui t t

LT i t t i V+ − + ∗ − + ∗ −= ∑∆ ∆ ∆ ∆F B( ) ( ) ( )1 1

01σ

matrica krutosti t t

Li t t

LT i t t i t t

Li V+ − + ∗ − + ∗ − + ∗ −=∑∆ ∆ ∆ ∆ ∆K B C B( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1

t tNLi t t

NLT i t t i t t

NLi V+ − + ∗ − + ∗ − + ∗ −=∑∆ ∆ ∆ ∆ ∆K B B( ) ( ) ( ) ( )1 1

01 1σ

Priraštaj pomeranja, korigovanje pomeranja i koordinata ( )( ) ( ) ( ) ( )t t

Li t t

NLi i t t

st t

ui+ − + − + + −+ = −∆ ∆ ∆ ∆K K U F F1 1 1

t t i t t i i+ + −= +∆ ∆U U U( ) ( ) ( )1 t t i t t i i+ + −= +∆ ∆X X U( ) ( ) ( )1 Ako uslovi konvergencije nisu ispunjeni, računanje ponoviti u sledećoj iteraciji

48

49

4. KONSTITUTIVNE RELACIJE

4.1 KONSTITUTIVNI TENZORI, GENERALISANI HOOKE-OV ZAKON Konstitutivne relacije (funkcije odgovora materijala) predstavljaju funkcije koje opisuju ponašanje tela na zadate deformacije. Elastične deformacije dovode do pojave napona koji su njima proporcionalni. Kada vrednost napona u materijalu dostigne granicu tečenja, dolazi do klizanja kristalnih rešetki u materijalu i trajnih (plastičnih) deformacija, pri čemu se menja odnos između napona i deformacija. U konstitutivnim relacijama veza između tenzora napona i tenzora deformacija ostvarena je konstitutivnim tenzorom četvrtog reda. Konstitutivni tenzor je u osnovi određen unutrašnjim osobinama materijala, a zavisi i od izabranog energetski konjugovanog para napona i deformacija, odnosno od konfiguracije na koju se odnosi. Funkcija slobodne energije može da se približno predstavi u obliku zbira ψ ψ ψ= +e p , gde ψ e zavisi samo od elastične deformacije dok ψ p zavisi od unutrašnjih promenljivih, Mićunović (konsultacije), Lubarda (1995). Ako elastičan izotropan materijal ne menja svoje elastične osobine tokom izotermičkih neelastičnih procesa, može se smatrati da je očuvana energetska konjugovanost prethodno definisanih tenzora napona σ∗ i deformacija Ee

∗ u odnosu na specifičnu slobodnu energiju ψ e (3.2.2)

te e e e e eρψ ρψ= =∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗1

212

0E E E E: : : :Λ Λ (4.1.1)

Parcijalnim izvodima (4.1.1) po tenzoru deformacije dobija se napon

σ∗ = t e

e

ρ ∂ψ∂E∗ = Λ∗ ∗:Ee σ∗ = 0 ρ ∂ψ

∂e

eE∗ = Λ∗ ∗:Ee (4.1.2)

gde je σ σ∗ ∗= F i Λ Λ∗ ∗= F . Konstitutivni tenzori dobijaju se iz (4.1.2) parcijalnim izvodom tenzora napona po tenzoru deformacije, kao

Λ∗∗

∗=∂σ∂Ee

=⊗∗ ∗

t e

e e

ρ ∂ ψ∂ ∂

2

E E Λ∗

∗

∗=∂σ∂Ee

=⊗∗ ∗

02

ρ ∂ ψ∂ ∂

e

e eE E (4.1.3)

Dobijeni konstitutivni tenzor (4.1.3), odnosi se na konfiguraciju u kojoj su definisani odgovarajući tenzori napona i deformacija. Konstitutivni tenzor u odnosu na tekuću konfiguraciju tΛ dobija se izvodom tenzora napona κ (3.2.16) po tenzoru Almansi-jeve elastične deformacije ee (2.2.5). Konstitutivni tenzor u odnosu na međukonfiguraciju τΛ , dobija se izvodom tenzora napona Σ (3.2.28) po tenzoru Green-Lagrange-ove elastične deformacije Ee (2.2.2)1. Veza između konstitutivnih tenzora u tekućoj i međukonfiguraciji, može se napisati kao

te e e

TeTΛ Λ= ⊗ ⊗

1F

F F F Fτ 1 1 t T Te e e e

τ − − − −Λ = ⊗ Λ ⊗F F F F F (4.1.4)

50

Veza konstitutivnog tenzora u odnosu na početnu konfiguraciju 0Λ i prethodnih konstitutivnih tenzora, može se dobiti primenom sledećih relacija

t T TΛ Λ= ⊗ ⊗1 0

FF F F F 0 1 1Λ Λ= ⊗ ⊗− − − −F F F F Ft T

eT (4.1.5)

τΛ Λ= ⊗ ⊗F F F Fp p pT

pT0 0 1 1Λ Λ= ⊗ ⊗− − − −F F F Fp p p

Tp

Tτ (4.1.6)

Konstitutivnom tenzoru 0Λ odgovaraju, razlika Green-Lagrange-ovog tenzora ukupne i plastične deformacije E E− p (2.2.9) i drugi Piola-Kirchhoff-ov tenzor napona S u odnosu na početnu konfiguraciju

( )S E E F F= − = − −0 1Λ Σ: p p pT (4.1.7)

U slučaju izotropnog elastičnog čvrstog tela, vezu između ranije definisanih energetski konjugovanih tenzora elastičnih deformacija Ee

∗ i tenzora napona σ∗ daje generalisani Hooke-ov zakon

σ∗ = ( )( )2µ λE E I Ee e e∗ ∗ ∗ ∗+ =tr :Λ (4.1.8)

gde se konstitutivni tenzor elastičnih deformacija može napisati kao Λ Ι∗ = + ⊗2 4 2 2µ λI I (4.1.9)

Ovde su µ i λ Lame-ove materijalne konstante, a I4 jedinični tenzor četvrtog reda

( )A I I A A: :4 4= = i I2 jedinični tenzori drugog reda ( )v I I v v⋅ = ⋅ =2 2 , gde su v i A proizvoljni vektor i tenzor drugog reda.

4.2 IZOTROPNA HIPERELASTIČNOST Kada se koriste tenzori napona i tenzori deformacija (2.1.21) do (2.1.29), izraženi u odnosu na glavne pravce, može se funkcija slobodne energije (4.1.1) izraziti u funkciji glavnih elastičnih izduženja ( )λ k k = 1 2 3, , (1.4.37). Određivanje konstitutivnog tenzora (4.1.3) preko izvoda funkcije slobodne energije, biće dato u slučaju tenzora logaritamske deformacije (2.1.29). Funkcija slobodne energije u slučaju elastične logaritamske deformacije data je u obliku, Perić i dr. (1991, 1992, 1992a)

( ) ( )t ρψ λ λ λ µ λ λ λ λ1 2 32

12

22

321

2, , ln ln ln ln= + + + F (4.2.1)

ili kraće

( )t I Iρψ µ λ1 121

2, lnF F= + (4.2.2)

gde je I1 prva glavna invarijanta od ln 2 U ili ln 2 V . Koristeći (4.1.8), tenzori logaritamskog napona, u odnosu na početne i tekuće glavne pravce, mogu se izraziti preko odgovarajućih tenzora logaritamskih deformacija lnl U= i l V= ln (2.1.29)

τ = ( )2µ λln ln : lnU F I U+ = Λ (4.2.3)

51

τ = ( )2µ λln ln : lnV F I V+ = Λ (4.2.4) gde je

( ) ( )tr ln tr ln ln ln ln ln lnU V F= = + + = =λ λ λ λ λ λ1 2 3 1 2 3 (4.2.5)

a I i I su jedinični tenzori drugog reda u odnosu na početne i tekuće glavne pravce, respektivno. Konstitutivni tenzori Λ i Λ , prema (4.1.9), imaju iste komponente,

( )Λ ijkl ik jl il jk ij kl= + +µ δ δ δ δ λδ δ (4.2.6)

a međusobno su povezani tenzorima rotacije Λ Λ= ⊗ ⊗R R R RT T Λ Λ= ⊗ ⊗R R R RT T (4.2.7)

Koristeći (3.2.66) i (3.2.63), može se formirati konstitutivni tenzor koji direktno povezuje tenzore logaritamske deformacije sa tenzorima Caushy-jevog napona

: : : ln ~:lnσ β τ β= = =Λ ΛU U (4.2.8)

σ β τ β= = =: : : ln ~:lnΛ ΛV V (4.2.9)

Komponente konstitutivnih tenzora ~Λ i

~Λ dobijaju se, korišćenjem (4.2.6), u obliku

( )~ lnΛΛ

Λijkl

ijkl

ijkll k

l k k l

k l

k l=

=

−≠

⎧

⎨⎪

⎩⎪2 λ λ

λ λ λ λ (4.2.10)

gde se po ponovljenim indeksima ne vrši sabiranje. Koristeći simetriju po prvom i drugom paru indeksa

Λ Λ Λ Λijkl jikl ijlk klij= = = (4.2.11) broj nezavisnih komponenti u opštem slučaju svodi se na 21. Tada se konstitutivni tenzor može napisati u obliku simetrične matrice dimenzije 6x6. Detaljno izvođenje konstitutivnih matrica u slučaju izotropnih i anizotropnih materijala dato je u Živković (1989). Kod neelastičnog deformisanja materijala, veza između tenzora ukupne deformacije i tenzora napona je u opštem slučaju nelinearna. Tada je potrebno odrediti tangentni konstitutivni tenzor.

4.3. IZOTROPNA PLASTIČNOST METALA

Teorija plastičnosti koja je ovde izložena zasnovana je metodu glavnog parametra (GPM) koji je detaljno opisan u radovima Kojića (1993), (1994), (1995), (1996). Klasična teorija plastičnosti metala zasniva se na definisanju konstitutivnih relacija, površi tečenja i zakonu ojačanja (promena površi tečenja). Osnovne informacije o ponašanju metala dobijaju se eksperimentom jednoosnog zatezanja epruveta, a najbitnije je određivanje zavisnosti napona od deformacija ( )σ e i krive tečenja ( )σ y

Pe . Kada opterećenja izazovu

napone koji su iznad napona tečenja, tada dolazi do plastičnog deformisanja metala, što podrazumeva da pri rasterećenju ostaju stalne plastične deformacije e P . Osobinu materijala da pri povećanju plastičnih deformacija e P dolazi do povećanja napona tečenja σ y nazivamo ojačanjem. Poznavanje ove osobine veoma je važno za opisivanje ponašanja metala u oblasti plastičnosti.

52

Pod pretpostavkom da pri rasterećenju nema zaostalih napona, naponi lσ u nekoj materijalnoj tački u trenutku l, prema Hooke-ovom zakonu, zavise samo od elastičnih deformacija l Ee

l E l Eσ = C e (4.3.1) gde je CE dvodimenzionalna elastična konstitutivna matrica za odgovarajuće naponske uslove. Pošto se u ovom radu koriste simetrični tenzori napona, predstavljeni su u vektorskom obliku

σ = TT654321312312332211 σσσσσσσσσσσσ = (4.3.2)

U izrazu (4.3.1), vektor deformacija sadrži inženjerske smičuće deformacije γ ij ije= 2 , dok se u daljem tekstu smatra da su u svim vektorima deformacija smičuće deformacije tenzorske

e = =e e e e e e e e e e e eT T11 22 33 12 23 31 1 2 3 4 5 6 (4.3.3)

osim gde je drugačije naglašeno. Elastične deformacije mogu se izraziti preko ukupnih deformacija l e i plastičnih deformacija l Pe , kao

l E l l Pe e e= − (4.3.4) Na osnovu eksperimenata, utvrđeno je da plastične deformacije metala ne izazivaju promenu zapremine, odnosno zapreminska plastična deformacija l

vPe

lvP l P l P l Pe e e e= + + =1 2 3 0 (4.3.5)

kao i da su plastične deformacije devijatorskog tipa, ne zavise od hidrostatičkog ili srednjeg napona l

mσ

( )lm

l l lm

lmEc eσ σ σ σ= + + =

13 1 2 3 (4.3.6)

gde je lmEe srednja elastična deformacija

( ) ( )3l

2l

1lE

3lE

2lE

1lE

ml eee

31eee

31e ++=++= (4.3.7)

a cm je zapreminski modul

c Em =

−1 2ν (4.3.8)

gde su E Young-ov modul elastičnosti i ν Poisson-ov odnos. Devijatorski naponi l S definišu se kao

l l lmS= −σ σ (4.3.9)

gde je lmσ vektor srednjeg napona čije su normalne komponente jednake srednjem naponu

(4.3.6) a smičuće jednake nuli. Koristeći (4.3.1) i (4.3.6), izraz (4.3.9) svodi se na oblik l l EGS e= ′2 (4.3.10)

gde su G modul smicanja

( )G E=

+2 1 ν (4.3.11)

53

a l E′e devijatorske elastične deformacije, koje se primenom (4.3.4) dobijaju kao l E l E l

mE l l

mE l P′ = − = − −e e e e e e (4.3.12)

Ovde je lmEe vektor srednje elastične deformacije čije su normalne komponente jednake

srednjoj elastičnoj deformaciji (4.3.7) a smičuće jednake nuli.

4.3.1. Von Mises-ov model plastičnosti sa mešovitim ojačanjem

Mešovitim ojačanjem se pojednostavljeno modelira fenomen, koji je uočen pri eksperimentalnom ispitivanju plastičnog deformisanja metala. Ako se metal prvo plastično deformiše na zatezanje a zatim na pritisak, uočeno je, da je napon tečenja pri pritisku manji. Ovaj fenomen je poznat kao Bauschinger-ov efekt i može se objasniti promenama u mikrostrukturi metala, koje su prouzrokovane plastičnim deformacijama. U analizi problema sa cikličnim opterećenjem značajno je uzeti ove efekte u obzir. Za opisivanje ponašanja metala pri plastičnom deformisanju, veoma je važno kako je definisan uslov tečenja za opšte naponsko stanje. U plastičnosti metala je opšte prihvaćen von Mises-ov uslov tečenja. Von Mises-ov uslov tečenja, primenjen na izotropne metale sa mešovitim ojačanjem, zasniva se na pretpostavci da će do tečenja metala doći kada druga invarijanta radijus napona l S proizvoljnog naponskog stanja, dostigne vrednost druge invarijante devijatorskih napona jednoosnog naponskog stanja, gde je napon tečenja pri jednoosnom zatezanju l

yσ . Uslov tečenja u trenutku l definiše funkcija tečenja lyf , oblika

ly

l T l lyf = ⋅ ′ − =

12

13

02S S σ (4.3.13)

gde je l ′S vektor radijus napona sa dvostrukim smičućim komponentama. Radijus naponi se mogu izraziti iz geometrijskih uslova, Sl. 4.3.1(a), kao

l l lS S= − α (4.3.14) gde su lα položajni naponi koji određuju položaj centra površi tečenja u naponskom prostoru.

Uslov tečenja (4.3.13) može se napisati u obliku l

yl l

yf = − =σ σ 0 (4.3.15)

gde se efektivni radijus napon lσ

l l T l lσ = ⋅ ′ =32

32

S S S (4.3.16)

izjednačava sa naponom tečenja pri jednoosnom zatezanju lyσ i definiše veličinu površi

tečenja, čiji je poluprečnik l S . Von Mises-ov uslov tečenja može se predstaviti, u prostoru

glavnih napona, cilindričnom površi tečenja čija se osa nalazi pod istim uglom u odnosu na sve ose glavnih napona, a položaj ose je određen položajnim naponima lα . Ravan upravna na osu cilindrične površi je devijatorska ravan, u kojoj je uslov tečenja l

yf = 0 , predstavljen kružnicom čiji je poluprečnik

54

l l lyS = =

23

23

σ σ (4.3.17)

Slika 4.3.1 Naponska stanja i površi tečenja na početku i na kraju koraka u devijatorskoj ravni i na krivoj tečenja

(izotropna plastičnost, mešovito ojačanje) Ako materijal poseduje karakteristiku ojačanja, napon tečenja l

yσ će rasti sa povećanjem plastičnih deformacija, a istovremeno će se povećati i veličina površi tečenja. Na

55

osnovu ovoga sledi, da svakoj tački na krivoj tečenja, odgovara površ tečenja u naponskom prostoru. Glavne karakteristike modela sa mešovitim ojačanjem prikazane su na Sl. 4.3.1(a). Dve površi tečenja, koje odgovaraju početku vremenskog koraka l t= i kraju l t t= + ∆ , pokazuju da se površ tečenja translatorno kreće i menja svoju veličinu u devijatorskoj naponskoj ravni. Ovde su zanemarena moguća odstupanja površi tečenja od kružnog oblika. Na Sl. 4.3.1(b), prikazana je kriva tečenja, koja predstavlja zavisnost napona tečenja l

yσ od izotropnog dela

efektivne plastične deformacije l iPe . Efektivna plastična deformacija l Pe , vektor plastičnih deformacija l Pe i vektor položajnih napona lα , računaju se sumiranjem njihovih priraštaja po koracima

l P Pl

l P Pl

ll

e de d d= = =∫ ∫ ∫0 0 0

e e α α (4.3.18)

Pri definisanju priraštaja efektivne plastične deformacije de P , koriste se osobine Prandtl-Reuss-ovih konstitutivnih relacija za plastičnost metala. Osnovna pretpostavka konstitutivnih relacija je da su priraštaji plastičnih deformacija d pe proporcionalni radijus naponima l S

d d d dP l P le S e S= = ′λ λ' (4.3.19)

gde je dλ pozitivan skalar, a d Pe ' je vektor priraštaja plastičnih deformacija sa dvostrukim smičućim komponentama. Koristeći (4.3.16) i pretpostavku o kolinearnosti (4.3.19), elementarni plastični rad dW P može se napisati u obliku

dW d d deP l T P l P l P= ⋅ = ='S e S e σ (4.3.20)

gde je priraštaj efektivne plastične deformacije

de d d dP PT P P= ⋅ =23

23

e e e' (4.3.21)

Ako se pomnože skalarno d Pe i d Pe ' izraženi preko (4.3.19), koristeći (4.3.17) i (4.3.21), dobiće se

dd de de

P

l

P

l

P

ly

λσ σ

= = =e

S32

32

(4.3.22)

Ukupne plastične deformacije izražavamo u obliku l P l iP l kPe e e= + (4.3.23)

gde su l iPe i l kPe izotropni i kinematski deo, izraženi u odnosu na ukupne plastične deformacije kao

l iP l PMe e= (4.3.24)

( )l kP l PMe e= −1 (4.3.25) Ovde je M parametar mešovitog ojačanja ( )0 1≤ ≤M . Po analogiji sa (4.3.24) i (4.3.25), izotropni i kinematski deo efektivne plastične deformacije, mogu se napisati kao

l iP l Pe M e= (4.3.26) ( )l kP l Pe M e= −1 (4.3.27)

56

Promena veličine površi tečenja (napona tečenja) ( )l ly

l iPeσ σ= , zavisi od izotropnog dela

efektivne plastične deformacije (4.3.26). Koristeći Prager-ov zakon ojačanja, promena položaja površi tečenja (priraštaj položajnih napona) dα , izražava se preko kinematskih plastičnih deformacija (4.3.25), u obliku

d Cd CdkP Pα = = =e e Cd lλ S (4.3.28) gde su

C Ee

lP

ly

l P= =23

23

~ ∂ σ

∂ (4.3.29)

i ( )C M C= −1 (4.3.30)

Smatra se da modul C (4.3.29) zavisi od ukupne efektivne plastične deformacije l pe . U plastičnosti metala, često se krive tečenja zadaju u analitičkom obliku. Ovde će biti korišćen Ramberg-Osgood-ov opis krive tečenja, u obliku

( )ly yv y

l P nC eσ σ= + ( )l

y yv yl iP n

C eσ σ= + (4.3.31)

gde su σ yv početni napon tečenja, Cy i n materijalne konstante. Zamenom (4.3.31)1 u (4.3.29), izraz (4.3.30) dobija se kao

( ) ( )C M nC eyl P n

= −−2

31

1 (4.3.32)

Ako je kriva tečenja bilinearna, onda se zadaje n=1, i

C EE E

E Ey PT

T= =

− (4.3.33)

gde su EP plastični modul a ET tangentni modul. Izraz (4.3.33) dobija se kada se ukupna

deformacija e e eE P= + , elastična deformacija e E i plastična deformacija e P , izraze preko napona pri jednoosnom stanju napona u plastičnoj oblasti

σ σ σσ

= = + = + −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Ee E e E e

EE

yv PP

yv Tyv (4.3.34)

ili ako se priraštaji prethodno navedenih deformacija izraze preko priraštaja napona d Ede E de E deE

PP

Tσ = = = (4.3.35) Kada se modelira perfektna plastičnost zadaje se C Ey P= = 0 . Odnos (4.3.29)1 dobija se u

slučaju jednoosnog stanja napona iz uslova da je d f d dly = − =

23

0σ α , izraz (4.3.13),

korišćenjem izraza (4.3.35)2 i (4.3.28)1. Model sa mešovitim ojačanjem pokriva oblast između graničnih modela sa kinematskim M = 0 i izotropnim M = 1 ojačanjem. Kod kinematskog ojačanja ne dolazi do promene

veličine površi tečenja, l const.S = , dok se menja njen položaj u devijatorskoj naponskoj

ravni. Promena napona, do početka tečenja u suprotnom pravcu, jednaka je dvostrukoj vrednosti početnog napona tečenja, 2σ yv . Kod izotropnog ojačanja menja se veličina površi tečenja, dok

57

ne dolazi do promene njenog položaja u devijatorskoj naponskoj ravni, l α = 0 . Zanemaren je Bauschinger-ov efekt pa su krive tečenja pri zatezanju i pritisku iste.

4.3.2. Implicitna integracija napona za 3D element Pri rešavanju nelinearnih problema, u metodi konačnih elemenata (MKE), koristi se inkrementalni numerički postupak, koji podrazumeva da se na osnovu poznatog stanja na početku koraka u trenutku l=t traži novo ravnotežno stanje na kraju koraka u trenutku l=t+∆t korišćenjem odgovarajuće iterativne šeme u vremenskom koraku ∆t. Polazimo od pretpostavke da su poznate veličine

t P t P t t t ie , , , ( )e eα + −∆ 1 (4.3.36)

gde su t Pe efektivna plastična deformacija, t Pe plastične deformacije i t α položajni naponi na početku koraka, a t t i+ −∆ e( )1 ukupne deformacije iz prethodne iteracije na kraju koraka. Nepoznate veličine u tekućoj iteraciji na kraju koraka su

t t P i t t P i t t i t t ie+ + + +∆ ∆ ∆ ∆( ) ( ) ( ) ( ), , ,e α σ (4.3.37)

gde su t t P ie+∆ ( ) efektivna plastična deformacija, t t P i+∆ e ( ) plastične deformacije, t t i+∆ α ( ) položajni naponi i t t i+∆ σ ( ) naponi. U daljem tekstu radi jednostavnijeg označavanja biće izostavljen gornji desni indeks koji označava ravnotežnu iteraciju na globalnom nivou. Kada dođe do konvergencije na globalnom nivou prethodno navedene nepoznate veličine smatraju se konačnim na kraju koraka, a koriste se kao poznate na početku sledećeg koraka. U svakoj iteraciji (i) na globalnom nivou, za svaku integracionu tačku računanje nepoznatih veličina vrši se tako da bude zadovoljen uslov (4.3.15). Osnovna ideja metode glavnog parametra je da se uslov tečenja (4.3.15) izrazi u funkciji jednog skalarnog parametra, koji je u ovom slučaju priraštaj efektivne plastične deformacije ∆e P u koraku. Pošto je kriva tečenja (4.3.31), nelinearna funkcija od ∆e P

( ) ( )[ ]t ty y

Pyv y

t P P ne C M e e+ = = + +∆ ∆ ∆σ σ σ (4.3.38)

neophodno je i efektivni radijus napon t t+∆ σ (4.3.16), izraziti preko ∆e P . Koristeći izraz (4.3.18)2 za ukupne plastične deformacije i (4.3.19)1 za priraštaje plastičnih deformacija u koraku

t t P t P P t P t t+ += + = +∆ ∆∆ ∆e e e e Sλ (4.3.39) kao i izraz (4.3.12), devijatorski naponi (4.3.10) mogu se napisati kao

( )t t t t t tG+ + += ′′ −∆ ∆ ∆∆S e S2 λ (4.3.40)

gde su t t t t t t

mE t P+ + +′′= − −∆ ∆ ∆e e e e (4.3.41)

poznate veličine. Koristeći izraz (4.3.18)3 za položajne napone i (4.3.28)3 za priraštaje položajnih napona u koraku

+=∆+=∆+=∆+ ααααα tptttt eC C t t∆ ∆λ + S (4.3.42) devijatorski naponi iz (4.3.14), mogu se napisati kao

58

t t t+ = +∆ S α ( )1 + +C t t∆ ∆λ S (4.3.43)

Koristeći jednakost izraza (4.3.40) i (4.3.43), radijus naponi dobijaju se kao

( )t t

t t tGG C

++

=′′−

+ +∆

∆

∆S e2

1 2α

λ (4.3.44)

gde su pozitivan skalar ∆λ (4.3.22)2,

∆λ ∆∆=

+

32

e P

t tyσ

(4.3.45)

i modul C (4.3.32),

( ) ( ) ( )~C M E M nC e et tP y

t P P n= − = − ++ −2

31 2

31

1∆ ∆ (4.3.46)

izraženi u funkciji priraštaja efektivne plastične deformacije ∆e P u koraku. Korišćenjem (4.3.44) u (4.3.16), konačno je izražen efektivni radijus napon u zavisnosti od ∆e P

( )t t P t t T t t t te+ + + += = ⋅ ′ =∆ ∆ ∆ ∆∆σ σ 32

32

S S S (4.3.47)

gde je t t+ ′∆ S vektor radijus napona sa dvostrukim smi_čućim komponentama. Zamenom (4.3.38) i (4.3.47) u (4.3.15), funkcija tečenja postaje nelinearna funkcija jednog skalarnog parametra, odnosno priraštaja efektivne plastične deformacije ∆e P u koraku

( )t ty y

P t t t tyf f e+ + += = − =∆ ∆ ∆∆ σ σ 0 (4.3.48)

U svakoj integracionoj tački, jednačina (4.3.48) rešava se po ∆e P , primenom nekog od numeričkih iterativnih metoda za rešavanje nelinearnih jednačina, a ovde je korišćen metod bisekcije. Elastična oblast. Ako je probni efektivni radijus napon t t E+∆ σ (4.3.47), koji je izračunat za ∆e P = 0 , manji ili jednak od napona tečenja sa početka koraka t

yσ (4.3.38), t t

yE t t E t

yf+ += − ≤∆ ∆ σ σ 0 (4.3.49) u koraku postoje samo priraštaji elastičnih deformacija. Ovde je probni efektivni radijus napon

t t E t t E+ +=∆ ∆σ 32

S (4.3.50)

gde se elastični radijus naponi t t E+∆ S (4.3.44), korišćenjem ∆λ = 0 (4.3.45), računaju kao t t E t t tG+ += ′′−∆ ∆S e2 α (4.3.51)

a gde je t t+ ′′∆ e , prema (4.3.41) i (4.3.5) t t t t t t

mt P+ + +′′= − −∆ ∆ ∆e e e e (4.3.52)

Pošto u ovom slučaju ne dolazi do promene površi tečenja, ne rešava se jednačina (4.3.48), već se naponi na kraju koraka t t+∆ σ (4.3.9), računaju kao

t t t t E t tm

+ + += +∆ ∆ ∆σ σS (4.3.53)

gde se elastični devijatorski naponi t t E+∆ S (4.3.40), računaju kao

59

t t E t tG+ += ′′∆ ∆S e2 (4.3.54) a normalne komponente vektora srednjeg napona t t

m+∆ σ dobijaju se korišćenjem (4.3.6) do

(4.3.8), dok su smičuće jednake nuli. Elastično-plastična oblast. Ako je probni efektivni radijus napon t t E+∆ σ (4.3.50) do (4.3.52), veći od napona tečenja sa početka koraka t

yσ (4.3.38), t t

yE t t E t

yf+ += − >∆ ∆ σ σ 0 (4.3.55) u koraku postoji priraštaj plastične deformacije. U ovom slučaju dolazi do promene površi tečenja, pa se zbog toga iterativno rešava nelinearna jednačina (4.3.48) na nivou integracione tačke, po priraštaju efektivne plastične deformacije ∆e P . Na osnovu rešenja za ( )∆e P k−1 iz prethodne iteracije na nivou integracione tačke, korišćenjem izraza (4.3.38) za napon tečenja i (4.3.44) do (4.3.47) za efektivni radijus napon, računa se (4.3.48). Ako je vrednost funkcije tečenja (4.3.48), van zadate tolerancije t t

yf+ >∆ ε , metodom bisekcije računa se nova

vrednost ( )∆e P k i postupak se ponavlja u sledećoj iteraciji. Kada dođe do konvergencije na nivou integracione tačke t t

yf+ <∆ ε , sve vrednosti izračunate u poslednjoj iteraciji smatraju se

određenim. Tada se mogu izračunati plastične deformacije (4.3.39), položajni naponi (4.3.42) i devijatorski naponi (4.3.43), na kraju koraka. Naponi na kraju koraka t t+∆ σ (4.3.9), računaju se kao

t t t t t tm

+ + += +∆ ∆ ∆σ σS (4.3.56) a ukupna efektivna plastična deformacija

t t P t P Pe e e+ = +∆ ∆ (4.3.57) Kada dođe do konvergencije na nivou konstrukcije, prelazi se na sledeći korak, a sve prethodno određene vrednosti postaju poznate na početku koraka. U Tab. 4.3.1., prikazan je postupak implicitne integracije napona u koraku za 3-D element, primenom GPM algoritma, za slučaj izotropne plastičnosti metala sa mešovitim ojačanjem.

4.3.3. Implicitna integracija napona za element ljuske Pri integraciji napona kod elementa ljuske koristi se isti postupak koji je izložen za 3-D element u poglavlju 4.3.2. Ovde se daju samo razlike koje su prouzrokovane primenom uslova da je napon u pravcu debljine ljuske σ 3 0= .

Primenom uslova σ 3 0= u (4.3.1), sa elastičnom konstitutivnom matricom CE koja odgovara opštim 3-D uslovima, elastična deformacija u pravcu debljine ljuske izražava se preko druge dve normalne elastične deformacije

( )t t E t t E t t Ee e e+ + += −−

+∆ ∆ ∆3 1 21

νν

(4.3.58)

i dobija se elastična konstitutivna matrica za element ljuske. Zamenom (4.3.58) u (4.3.7), srednja elastična deformacija dobija se kao

( ) ( )t tmE t t E t t E t t t t P t t t t Pe c e e c e e e e+ + + + + + += + = − + −∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

2 1 2 2 1 1 2 2 (4.3.59)

60

gde je

( )c2

1 23 1

=−−νν

(4.3.60)

Zamenom (4.3.59) u (4.3.12), devijatorske elastične deformacije dobijaju se u obliku

( )

t t E t t P P

t t E t t P P

t t E t t E t t E

t ti

E t ti i

P

e e c e c ee e c e c e

e e ee e e i

+ +

+ +

+ + +

+ +

′ = ′′ − +′ = ′′ + −′ = − ′ + ′

′ = ′′− =

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆∆ ∆

∆

1 1 1 1 2 2

2 2 2 1 1 2

3 1 2

4 5 6, ,

(4.3.61)

gde su

( ) ( )( ) ( )

( )

t t t t t P t t t P

t t t t t P t t t P

t t t t t t

t ti

t ti

tiP

e c e e c e e

e c e e c e e

e e ee e e i

+ + +

+ + +

+ + +

+ +

′′ = − − −

′′ = − − + −

′′ = − ′′+ ′′

′′= − =

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆

1 1 1 1 2 2 2

2 2 1 1 1 2 2

3 1 2

4 5 6, ,

(4.3.62)

a

( )c1

23 1

=−−νν

(4.3.63)

Zamenom (4.3.61) u (4.3.10) i izjednačavanjem sa (4.3.43), dobijaju se radijus naponi u obliku

( )

( )

t tt t E t t E

t tt t E t t E

t t t t t t

t ti

t tiE

Sp S p S

p p

Sp S p S

p pS S S

SS

G Ci

++ +

++ +

+ + +

++

=+

−

=+

−= − +

=+ +

=

∆∆ ∆

∆∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆∆

∆, ,

11 1 2 2

12

22

22 1 1 2

12

22

3 1 2

1 24 5 6

λ

(4.3.64)

gde su elastični radijus naponi t t E t t tG+ += ′′−∆ ∆S e2 α (4.3.65)

a

( )p Gc C p Gc1 1 2 21 2 2= + + =∆ ∆λ λ (4.3.66)

dok su ostale veličine date izrazima (4.3.11), (4.3.45) i (4.3.46). U Tab. 4.3.2., prikazan je postupak implicitne integracije napona u koraku za element ljuske, primenom GPM algoritma, za slučaj izotropne plastičnosti metala sa mešovitim ojačanjem. Posle određivanja ukupnih plastičnih deformacija na kraju koraka (4.3.39), može se odrediti ukupna deformacija u pravcu debljine ljuske iz (4.3.58)

( )t t t t t t P t t t t P t t Pe e e e e e+ + + + + += −−

− + − +∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆3 1 1 2 2 31

νν

(4.3.67)

61

4.3.4. Implicitna integracija napona za element grede Pri integraciji napona kod elementa grede koristi se isti postupak koji je izložen za 3-D element u poglavlju 4.3.2. Ovde se daju samo razlike koje su prouzrokovane primenom uslova da su normalni naponi u preseku σ σ1 2 0= = i smičuća deformacija u preseku e4 0= .

Primenom ovih uslova u (4.3.1), sa elastičnom konstitutivnom matricom CE koja odgovara opštim 3-D uslovima, normalne elastične deformacije u ravni preseka grede izražavaju se preko normalne elastične deformacije u pravcu ose grede

t t E t t E t t Ee e e+ + += = −∆ ∆ ∆1 2 3ν (4.3.68)

i dobija se elastična konstitutivna matrica za element grede. Zamenom (4.3.68) u (4.3.7), srednja elastična deformacija dobija se kao

( )t tmE t t E t t t t Pe e e e+ + + +=

−=

−−∆ ∆ ∆ ∆1 2

31 2

33 3 3ν ν

(4.3.69)

Zamenom (4.3.69) u (4.3.12), devijatorske elastične deformacije dobijaju se u obliku t t E t t P

t t E t t E t t E

t ti

E t ti i

P

e e c e

e e e

e e e i

+ +

+ + +

+ +

′ = ′′ −

′ = ′ = − ′

′ = ′′− =

∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆

∆

3 3 3 3

1 2 312

5 6,

(4.3.70)

gde su

( )t t t t t P

t t t t t t

t ti

t ti

tiP

e c e e

e e e

e e e i

+ +

+ + +

+ +

′′ = −

′′= ′′ = − ′′

′′= − =

∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆

3 3 3 3

1 2 312

5 6,

(4.3.71)

a

( )c323

1= + ν (4.3.72)

Zamenom (4.3.70) u (4.3.10) i izjednačavanjem sa (4.3.43), dobijaju se radijus naponi u obliku

( )

( )

t tt t E

t t t t t t

t ti

t tiE

SS

Gc C

S S S

SS

G Ci

++

+ + +

++

=+ +

= = −

=+ +

=

∆∆

∆ ∆ ∆

∆∆

∆

∆,

33

3

1 2 3

1 212

1 25 6

λ

λ

(4.3.73)

gde su elastični radijus naponi t t E t t tG+ += ′′−∆ ∆S e2 α (4.3.74)

dok su ostale veličine date izrazima (4.3.11), (4.3.45) i (4.3.46). U Tab. 4.3.3., prikazan je postupak implicitne integracije napona u koraku za element grede, primenom GPM algoritma, za slučaj izotropne plastičnosti metala sa mešovitim ojačanjem. Posle određivanja ukupnih plastičnih deformacija na kraju koraka (4.3.39), mogu se odrediti ukupne deformacije u ravni preseka iz (4.3.68)

62

( )t ti

t t t t P t tiPe e e e i+ + + += − − + =∆ ∆ ∆ ∆ν 3 3 1 2, (4.3.75)

4.3.5. Elastično-plastična konstitutivna matrica 3-D elementa Računanje tangentne elastično-plastične konstitutivne matrice t t EP+∆ C vrši se izvodima napona po ukupnim deformacijama

t t EPt t

t t+

+

+=∆

∆

∆Ce

∂ σ∂

(4.3.76)

gde su

t tijEP

t ti

t tj

t tijEP

t ti

t tj

Ce

ij

Ce

ij

++

++

+

+=

= ÷= ÷

== ÷= ÷

∆∆

∆∆

∆

∆

∂ σ∂

∂ σ∂

1 61 3

12

1 64 6

(4.3.77)

Izvodi u (4.3.77) su po inženjerskim smičućim deformacijama 2 4 12e = γ , 2 5 23e = γ i 2 6 31e = γ . Ako se u izrazu za napone (4.3.56) zamene izrazi (4.3.6) do (4.3.8) i (4.3.10) do (4.3.12), dobija se da naponi zavise od ukupnih deformacija i priraštaja plastičnih deformacija

( ) ( ) ( ) 6122 321 ÷=++−+∆−−= ∆+∆+∆+ ieGceeeG iiimtt

mPi

Pi

ti

tti

tt δδδσ (4.3.78) gde je

( )t tm

t t t t t te e e e+ + + += + +∆ ∆ ∆ ∆13 1 2 3 (4.3.79)

Korišćenjem (4.3.78), komponente konstitutivne matrice (4.3.77) dobijaju se u obliku

( ) ( )( )

( )

t tijEP

ij i jP

m i i i

t tijEP

ij i jP

C G e c Gij

C G eij

+

+

= − + − + += ÷= ÷

= −= ÷= ÷

∆

∆

∆

∆

2 13

21 61 3

1 64 6

1 2 3δ δ δ δ

δ

,

,

(4.3.80)

gde se, primenom (4.3.19), izvodi priraštaja plastičnih deformacija po ukupnim deformacijama računaju kao

∆ ∆λ ∆λ∆∆ ∆e

ee

S Si jP i

P

t tj

jt t

it t

i j, , ,= = ++

+ +∂∆∂

(4.3.81)

Skalar ∆λ (4.3.45), je funkcija od glavnog parametra (priraštaja efektivne plastične deformacije) pa se izvodi po ukupnim deformacijama računaju posredno

∆λ ∆ ∆∆ ∆, ,j t tj

P

P

t tj

jP

e ee

ee= = = ′+ +

∂∆λ∂

∂∆λ∂∆

∂∆∂

λ (4.3.82)

gde je

∆ ∆λ∆′ = = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

λ ∂∆λ∂∆ σe

EP t ty

P1 3

2 (4.3.83)

a plastični modul E P se dobija korišćenjem (4.3.38) kao

63

( )Ed

d eMnC M eP

t ty

P yt t P n

= =+

+ −∆

∆

∆

σ 1 (4.3.84)

Kod radijus napona, (4.3.44) i (4.3.41), brojilac zavisi od ukupnih deformacija a imenilac od priraštaja efektivne plastične deformacije, tako da se dobija

t ti j

t ti

t tj

t ti

P

P

t tj

ij i jPS

Se

Se

ee

a b e++

+

+

+= + = +∆

∆

∆

∆

∆ ∆, ,∂∂

∂∂∆

∂∆∂

(4.3.85)

gde su

a p G i j aij

aij

a p G i j

ij ij ij

ij ij ij

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ÷ == ÷= ÷

== ÷= ÷

= = ÷

2 13

1 3 01 34 6

04 61 3

2 4 6

δ

δ

,

, (4.3.86)

( )( )b p S C G C iit t

i= − ′ + + ′ = ÷+∆ ∆ ∆λ λ2 1 6 (4.3.87)

Ovde je

( )p

G C=

+ +

11 2 ∆λ

(4.3.88)

a izvod modula C (4.3.46)2 po efektivnoj plastičnoj deformaciji dobija se kao

( ) ( ) ( )′ = = − − + −C

dCd e

M n n C eP yt t P n

∆∆2

31 1

2 (4.3.89)

U izrazima (4.3.82) i (4.3.85), izvod priraštaja efektivne plastične deformacije po ukupnim deformacijama ∆e j

P, , određuje se preko izvoda funkcije tečenja po ukupnim

deformacijama. Funkcija tečenja (4.3.13), može se napisati u obliku

t ty

t ti

i

t ti

i

t tyf S S+ +

=

+

=

+= + − =∑ ∑∆ ∆ ∆ ∆2

1

32

4

622 2

30σ (4.3.90)

Korišćenjem izvoda napona tečenja (4.3.84) i izvoda radijus napona (4.3.85) do (4.3.89), izvod funkcije tečenja po ukupnim deformacija može se napisati u obliku

∂

∂

∂

∂∆∂∆∂

t ty

t tj

t ty

P

P

t tj

t ty j

t ty j

Pf

e

f

ee

ef f e

+

+

+

++ ++ = + ′ =

∆

∆

∆

∆∆ ∆ ∆, , 0 (4.3.91)

gde su

t ty j

t ty

t tj

t ti ij

i

t ti ij

if

f

eS a S a+

+

++

=

+

=

= = +∑ ∑∆∆

∆∆ ∆

,∂

∂ 1

3

4

62 (4.3.92)

t ty

t ty

Pt t

i ii

t ti i

i

t ty Pf

f

eS b S b E+

++

=

+

=

+′ = = + −∑ ∑∆∆

∆ ∆ ∆

∆

∂

∂σ

1

3

4

62 2

3 (4.3.93)

Konačno, izvodi priraštaja efektivne plastične deformacije po ukupnim deformacijama dobijaju se iz (4.3.91) kao

64

∆ ∆

∆

∆e ee

f

fjP

P

t tj

t ty j

t ty

,,= = −′+

+

+

∂∆∂

(4.3.94)

4.3.6. Elastično-plastična konstitutivna matrica elementa ljuske Računanje tangentne elastično-plastične konstitutivne matrice t t EP+∆ C vrši se izvodima napona po ukupnim deformacijama

t t EPt t

t t

EP EP EP EP EP

EP EP EP EP EP

EP EP EP EP EP

EP EP EP EP EP

EP EP EP EP EP

C C C C CC C C C CC C C C CC C C C CC C C C C

++

+= =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

∆∆

∆Ce

∂ σ∂

11 12 14 15 16

21 22 24 25 26

41 42 44 45 46

51 52 54 55 56

61 62 64 65 66

(4.3.95)

gde su

t tijEP

t ti

t tj

t tijEP

t ti

t tj

Ce

ij

Ce

ij

++

++

+

+=

==

===

∆∆

∆∆

∆

∆

∂ σ∂

∂ σ∂

1 2 4 5 61 2

12

1 2 4 5 64 5 6

, , , ,,

, , , ,, ,

(4.3.96)

Izvodi u (4.3.96) su po inženjerskim smičućim deformacijama 2 4 12e = γ , 2 5 23e = γ i 2 6 31e = γ . Ako se u izraz za napone (4.3.56), korišćenjem (4.3.6) i (4.3.10), zamene izrazi (4.3.59) do (4.3.63), dobija se da naponi zavise od ukupnih deformacija i priraštaja plastičnih deformacija

( ) ( )( ) ( )

( )

t t E t t t P P E t t t P P

t t E t t t P P E t t t P P

t ti

t ti

tiP

iP

c e e e c e e e

c e e e c e e e

G e e e i

+ + +

+ + +

+ +

= − − + − −

= − − + − −

= − − =

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆ ∆

∆

σ

σ

σ

1 1 1 1 1 2 2 2 2

2 2 1 1 1 1 2 2 2

2 4 5 6, ,

(4.3.97)

gde su

( )c Gc c c E c c G c EEm

Em1 1 2 2 2 2 22

12

1= + =

−= − =

−ννν

(4.3.98)

Korišćenjem (4.3.97), komponente konstitutivne matrice (4.3.96) dobijaju se u obliku ( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) 6,5,4,

2,16,5,4

2

6,5,421

2,1

6,5,421

2,1

,,

,21,122

,221,1122

,22,111

,222,1111

=∆−==

=∆−=

=∆+∆−=

=∆−+∆−=

=∆+∆−=

=∆−+∆−=

∆+∆+

∆+

∆+

∆+

∆+

jieGCj

ieGC

jececC

jececC

jececC

jececC

Pjiij

EPij

ttPji

EPij

tt

Pj

EPj

EEPj

tt

Pjj

EPjj

EEPj

tt

Pj

EPj

EEPj

tt

Pjj

EPjj

EEPj

tt

δ

δδ

δδ

(4.3.99)

gde se izvodi priraštaja plastičnih deformacija po ukupnim deformacijama ∆ei jP, računaju

prema (4.3.81). Izvodi skalara ∆λ (4.3.45) po ukupnim deformacijama računaju se prema

65

(4.3.82) do (4.3.84). Izvodi radijus napona t tiS+∆ , (4.3.62) do (4.3.66), po ukupnim

deformacijama računaju se prema (4.3.85) gde su ( ) ( )a a p G p c p c a a p G p c p c

a ai

ja p G i jij ji ij ij

11 22 12 1 1 2 2 12 21 12 2 1 1 22 2

04 5 6

1 22 4 5 6

= = − = = −

= ===

= =, ,,

, , ,δ (4.3.100)

a

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

b p p S p S p S p S

b p p S p S p S p S

b p S C G C i

t t E t t t t E t t

t t E t t t t E t t

it t

i

1 12 1 1 1 1 2 2 2 1

2 12 1 2 1 2 2 1 2 2

2 2

2 2

2 4 5 6

= ′ − + ′ +

= ′ − + ′ +

= − ′ + + ′ =

+ + + +

+ + + +

+

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ , ,λ λ

(4.3.101)

Ovde su, prema (4.3.66),

( )

pp p

pdp

d eC Gc C

pdp

d eGc

P

P

1212

22

11

1

22

2

1

2

2

=−

′ = = ′ + + ′

′ = = ′

∆∆ ∆

∆∆

λ λ

λ

(4.3.102)

a izvod modula C (4.3.46)2 po efektivnoj plastičnoj deformaciji računa se kao (4.3.89). U izrazima (4.3.82) i (4.3.85), izvod priraštaja efektivne plastične deformacije po ukupnim deformacijama ∆e j


deformacijama. Funkcija tečenja (4.3.13), korišćenjem (4.3.64)3, može se napisati u obliku

t ty

t ti

i

t t t t t ti

i

t tyf S S S S+ +

=

+ + +

=

+= + + − =∑ ∑∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆2

1

2

1 22

4

621

30σ (4.3.103)

Korišćenjem izvoda napona tečenja (4.3.84) i izvoda radijus napona (4.3.85), (4.3.100) do (4.3.102), izvod funkcije tečenja po ukupnim deformacija može se napisati u obliku (4.3.91), gde su

t ty j

t ty

t tj

t ti ij

t tj

t tj

i

t ti ij

if

f

eS a S a S a S a+

+

++ + +

=

+

=

= = + + +∑ ∑∆∆

∆∆ ∆ ∆ ∆

,∂

∂2 21 2 2 1

1

2

4

6 (4.3.104)

Pytt

iii

tttttt

iii

ttPy

tt

ytt EbSbSbSbS

ef

f σ∂∂

ˆ32ˆ2ˆˆˆ2

6

41221

2

1

∆+

=

∆+∆+∆+

=

∆+∆+

∆+ −+++=∆

=′ ∑∑ (4.3.105)

Konačno, izvodi priraštaja efektivne plastične deformacije po ukupnim deformacijama ∆e jP

, računaju se iz (4.3.94).

4.3.7. Elastično-plastična konstitutivna matrica elementa grede

66

Računanje tangentne elastično-plastične konstitutivne matrice t t EP+∆ C vrši se izvodima napona po ukupnim deformacijama

t t EPt t

t t

EP EP EP

EP EP EP

EP EP EP

C C CC C CC C C

++

+= =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

∆∆

∆Ce

∂ σ∂

33 35 36

53 55 56

63 65 66

(4.3.106)

gde su

t t EPt t

t t

t tiEP

t ti

t t

t tijEP

t ti

t tj

Ce

Ce

iC

eij

++

+

++

+

++

+

=

= ==

==

∆∆

∆

∆∆

∆

∆∆

∆

333

3

33

5 6

12

3 5 65 6

∂ σ∂

∂ σ∂

∂ σ∂,

, ,,

(4.3.107)

Izvodi u (4.3.107) su po inženjerskim smičućim deformacijama 2 5 23e = γ i 2 6 31e = γ . Ako se u izraz za napone (4.3.56), korišćenjem (4.3.6) i (4.3.10), zamene izrazi (4.3.69) do (4.3.72), dobija se da naponi zavise od ukupnih deformacija i priraštaja plastičnih deformacija

( )t ti i

E t ti

tiP

iPc e e e+ += − −∆ ∆ ∆σ (4.3.108)

gde su c E c c GE E E

3 5 6 2= = = (4.3.109) Korišćenjem (4.3.108), komponente konstitutivne matrice (4.3.107) dobijaju se u obliku

( ) ( )t t EP E P

t tiEP

iE

iP

t tijEP

iE

i jPC c e

C c e iC c e

ij

+

++= −

= − == −

==

∆

∆∆∆

∆∆33 3 3 3

3 3

15 6

12

13 5 65 6

,

,,,

, ,,

(4.3.110)

gde se izvodi priraštaja plastičnih deformacija po ukupnim deformacijama ∆ei jP, računaju

prema (4.3.81). Izvodi skalara ∆λ (4.3.45) po ukupnim deformacijama računaju se prema (4.3.82) do (4.3.84). Izvodi radijus napona t t

iS+∆ , (4.3.71) do (4.3.74), po ukupnim deformacijama računaju se prema (4.3.85) gde su

( )a

c

c Cij

iE

ij

iE

=+ +

δ

λ1 ∆ (4.3.111)

( ) ( )( )bS

c CC c Ci

t ti

iE i

E= −+ +

′ + + ′+∆

∆∆ ∆

1 λλ λ (4.3.112)

Ovde su koeficijenti

c Gc E c c GE E E3 3 5 62 2

32= = = = (4.3.113)

a izvod modula C (4.3.46)2 po efektivnoj plastičnoj deformaciji računa se kao (4.3.89) U izrazima (4.3.82) i (4.3.85), izvod priraštaja efektivne plastične deformacije po ukupnim deformacijama ∆e j


deformacijama. Funkcija tečenja (4.3.13), korišćenjem (4.3.73)2, može se napisati u obliku

( )t ty

t t t t t t t tyf S S S+ + + + += + + − =∆ ∆ ∆ ∆ ∆9

43 03

252

62 2σ (4.3.114)

67

Korišćenjem izvoda napona tečenja (4.3.84) i izvoda radijus napona (4.3.85), (4.3.111) do (4.3.113), izvod funkcije tečenja po ukupnim deformacija može se napisati u obliku (4.3.91), gde su

( )t ty j

t ty

t tj

t tj

t tj

t tjf

f

eS a S a S a+

+

++ + += = + +∆

∆

∆∆ ∆ ∆

,∂

∂94

33 3 5 5 6 6 (4.3.115)

( )t ty

t ty

Pt t t t t t t t

y Pff

eS b S b S b E+

++ + + +′ = = + + −∆

∆∆ ∆ ∆ ∆∂

∂∆σ9

433 3 5 5 6 6 (4.3.116)

Konačno, izvodi priraštaja efektivne plastične deformacije po ukupnim deformacijama ∆e jP

, računaju se iz (4.3.94).

68

Tabela 4.3.1 Implicitna integracija napona za element 3-D Poznate veličine sa početka koraka i iz prethodne iteracije t P t P t t te , , ,e eα +∆

Elastične deformacije, (probna rešenja za ∆e P = 0 ): Probne elastične devijatorske deformacije i srednja ukupna deformacija

Ptm

tttttt eeee −−=′′ ∆+∆+∆+ ( )32131 eeee tttttt

mtt ∆+∆+∆+∆+ ++=

Elastični radijus naponi

t t E t t tG+ += ′′−∆ ∆S e2 α ( )

G E=

+2 1 ν

Efektivni elastični radijus napon i napon tečenja

t t E t t E+ +=∆ ∆σ 32

S ( )ty yv y

t P nC M eσ σ= +

Provera tečenja t t

yE t t E t

yf+ += − ≤∆ ∆ σ σ 0 - sa ∆λ = 0 i t t t t E+ +=∆ ∆S S idi na 2. Plastične deformacije: Određivanje granica u kojima se nalazi rešenje za ∆e P . 1. Probno rešenje za ∆e P dobijeno rešavanjem t t

yf+ =∆ 0 metodom bisekcije Efektivna plastična deformacija i napon tečenja

PPtPtt eee ∆+=∆+ ( )nPttyyvy

tt eMC ∆+∆+ +=σσ

Radijus naponi i efektivni radijus napon

y

tt

Peσ

λˆ2

3∆+

∆=∆ ( ) ( ) 11

32ˆ −∆+−=

nPtty enCMC

( )

t tt t E

G C+

+

=+ +

∆∆

∆S S

1 2 λ t t t t+ +=∆ ∆σ 3

2S

Provera rešenja nule funkcije tečenja t t

yt t t t

yf+ + += − >∆ ∆ ∆σ σ TOL - nova iteracija idi na 1.

Plastične deformacije i položajni naponi na kraju koraka t t P t P t t+ += +∆ ∆∆e e Sλ t t t+ = +∆ α α C t t∆ ∆λ + S 2. Srednja elastična deformacija i srednji napon

mttE

mtt ee ∆+∆+ = E

mtt

mmtt c e∆+∆+ =σ

ν21−=

Ecm

Devijatorski naponi i naponi na kraju koraka t t t+ = +∆ S α ( )1+ +C t t∆ ∆λ S t t t t t t

m+ + += +∆ ∆ ∆σ σS

69

Tabela 4.3.2 Implicitna integracija napona za element ljuske Poznate veličine sa početka koraka i iz prethodne iteracije, uz uslov σ 3 0=

t P t P t t te , , ,e eα +∆

Elastične deformacije, (probna rešenja za ∆e P = 0 ): Probne devijatorske deformacije

( ) ( )PtttPttttt eeceece 2221111 −−−=′′ ∆+∆+∆+ ( )νν−−

=132

1c ( )νν

−−

=13

212c

( ) ( )PtttPttttt eeceece 2211122 −+−−=′′ ∆+∆+∆+

( )213 eee tttttt ′′+′′−=′′ ∆+∆+∆+ Pi

ti

tti

tt eee −=′′ ∆+∆+ 6,5,4=i

Elastični radijus naponi t t E t t tG+ += ′′−∆ ∆S e2 α ( )ν+= 12EG Efektivni elastični radijus napon i napon tečenja

t t E t t E+ +=∆ ∆σ 32

S ( )ty yv y

t P nC M eσ σ= +

Provera tečenja t tyE t t E t

yf+ += − ≤∆ ∆ σ σ 0 - sa ∆λ = 0 i t t t t E+ +=∆ ∆S S idi na 2.

Plastične deformacije: Određivanje granica u kojima se nalazi rešenje za ∆e P

1. Probno rešenje za ∆e P dobijeno rešavanjem t tyf+ =∆ 0 metodom bisekcije

Efektivna plastična deformacija i napon tečenja


tt eMC ∆+∆+ +=σσ Radijus naponi i efektivni radijus napon

y

tt

Peσ

λˆ2

3∆+

∆=∆ ( ) ( ) 11

32ˆ −∆+−=

nPtty enCMC

( )p Gc C1 11 2= + + ∆λ p Gc2 22= ∆λ ( )t t t t t tS S S+ + += − +∆ ∆ ∆3 1 2

22

21

22111

ˆˆˆpp

SpSpSEttEtt

tt

−+

=∆+∆+

∆+ 22

21

21122

ˆˆˆpp

SpSpSEttEtt

tt

−+

=∆+∆+

∆+

( )

t ti

t tiE

SS

G C+

+

=+ +

∆∆

∆1 2 λ i = 4 5 6, , t t t t+ +=∆ ∆σ 3

2S

Provera funkcije tečenja t ty

t t t tyf+ + += − >∆ ∆ ∆σ σ TOL - nova iteracija idi na 1.


( )PttttPttttEm

tt eeeece 22112∆+∆+∆+∆+∆+ −+−= E

mtt


ν21−=

Ecm


m+ + += +∆ ∆ ∆σ σS

70

Tabela 4.3.3 Implicitna integracija napona za element grede Poznate veličine sa početka koraka i iz prethodne iteracije; uslovi σ σ1 2 0= = i e4 0=

t P t P t t te , , ,e eα +∆

Elastične deformacije, (probna rešenja za ∆e P = 0 ): Probne devijatorske deformacije

( )t t t t t Pe c e e+ +′′ = −∆ ∆3 3 3 3 ( )c3

23

1= + ν

3tt

2tt

1tt e

21ee ′′−=′′=′′ ∆+∆+∆+ P

it

itt

itt eee −=′′ ∆+∆+ 65i ,=

Elastični radijus naponi

t t E t t tG+ += ′′−∆ ∆S e2 α ( )

G E=

+2 1 ν

Efektivni elastični radijus napon i napon tečenja

t t E t t E+ +=∆ ∆σ 32

S ( )ty yv y

t P nC M eσ σ= +

Provera tečenja t t

yE t t E t

yf+ += − ≤∆ ∆ σ σ 0 - sa ∆λ = 0 i t t t t E+ +=∆ ∆S S idi na 2.

Plastične deformacije: Određivanje granica u kojima se nalazi rešenje za ∆e P 1. Probno rešenje za ∆e P dobijeno rešavanjem t t

yf+ =∆ 0 metodom bisekcije Efektivna plastična deformacija i napon tečenja


tt eMC ∆+∆+ +=σσ

Radijus naponi i efektivni radijus napon

y

tt

Pe23

σλ

ˆ∆+

∆=∆ ( ) ( ) 1nPtt

y enCM132C −∆+−=ˆ

( )

t tt t E

SS

Gc C+

+

=+ +

∆∆

∆3

3

31 2 λ t t t t t tS S S+ + += = −∆ ∆ ∆

1 2 312

( )

t ti

t tiE

SS

G C+

+

=+ +

∆∆

∆1 2 λ i = 5 6, t t t t+ +=∆ ∆σ 3

2S

Provera rešenja nule funkcije tečenja t t

yt t t t

yf+ + += − >∆ ∆ ∆σ σ TOL - nova iteracija idi na 1.


( )PttttEm

tt eee 33321 ∆+∆+∆+ −

−=

ν E

mtt


ν21−=

Ecm


m+ + += +∆ ∆ ∆σ σS

Određivanje ukupnih deformacija preseka ( )t t

it t t t P t t

iPe e e e+ + + += − − +∆ ∆ ∆ ∆ν 3 3 i = 1 2,

71

Tabela 4.3.4 Elastično-plastična konstitutivna matrica 3-D elementa Izvodi napona po ukupnim deformacijama

eC tt

ttEPtt

∆+

∆+∆+ =

∂σ∂

( )3tt

2tt

1tt

mtt eee

31e ∆+∆+∆+∆+ ++=

ν21−=

Ecm ( )ν+=12EG

( ) ( ) ( )i3i2i1mtt

mPi

Pi

ti

tti

tt eG2ceeeG2 δδδσ ++−+∆−−= ∆+∆+∆+

( ) ( )( )

( )

t tijEP

ij i jP

m i i i

t tijEP

ij i jP

C G e c Gij

C G eij

+

+

= − + − + += ÷= ÷

= −= ÷= ÷

∆

∆

∆

∆

2 13

21 61 3

1 64 6

1 2 3δ δ δ δ

δ

,

,

Izvodi priraštaja plastičnih deformacija po ukupnim deformacijama

∆ ∆λ ∆λ∆∆ ∆e

ee

S Si jP i

P

t tj

jt t

it t

i j, , ,= = ++

+ +∂∆∂

Izvodi skalara (∆λ i t ty

+∆ σ dati u Tab. 4.3.1)

∆λ ∆ ∆∆ ∆, ,j t tj

P

P

t tj

jP

e ee

ee= = = ′+ +

∂∆λ∂

∂∆λ∂∆

∂∆∂

λ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−=

∆∆

=′∆ ∆+ Py

ttP Ee

λσ∂

λ∂λ23

ˆ1

( ) 1ˆ −∆+∆+

=∆

=nPtt

yPy

tt

P eMMnCed

dE

σ

Izvodi radijus napona ( t tiS+∆ i C dati u Tab. 4.3.1)

t ti j

t ti

t tj

t ti

P

P

t tj

ij i jPS

Se

Se

ee

a b e++

+

+

+= + = +∆

∆

∆

∆

∆ ∆, ,∂∂

∂∂∆

∂∆∂

a p G i j a

ij

aij

a p G i j

ij ij ij

ij ij ij

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ÷ == ÷= ÷

== ÷= ÷

= = ÷

2 13

1 3 01 34 6

04 61 3

2 4 6

δ

δ

,

,

( )( )b p S C G C iit t

i= − ′ + + ′ = ÷+∆ ∆ ∆λ λ2 1 6

( ) λ∆++=

CGp ˆ21

1 ( ) ( ) ( ) 211

32ˆˆ −∆+−−=

∆=′

nPttyP eCnnM

edCdC

Izvodi priraštaja efektivne plastične deformacije po ukupnim deformacijama

∆ ∆

∆

∆e ee

f

fjP

P

t tj

t ty j

t ty

,,= = −′+

+

+

∂∆∂

t ty j

t ty

t tj

t ti ij

i

t ti ij

if

f

eS a S a+

+

++

=

+

=

= = +∑ ∑∆∆

∆∆ ∆

,∂

∂ 1

3

4

62

t ty

t ty

Pt t

i ii

t ti i

i

t ty Pf

f

eS b S b E+

++

=

+

=

+′ = = + −∑ ∑∆∆

∆ ∆ ∆∂

∂∆σ

1

3

4

62 2

3

72

Tabela 4.3.5 Elastično-plastična konstitutivna matrica elementa ljuske

Izvodi napona

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) 654jieGC21j654i

eG2C

654jecec21C

21jececC1

Ec

654jecec21C

1Ec

21jececC

Pjiij

EPij

ttPji

EPij

tt

Pj2

E1

Pj1

E2

EPj2

tt

Pj2j2

E1

Pj1j1

E2

EPj2

tt2

E2

Pj2

E2

Pj1

E1

EPj1

tt2

E1

Pj2j2

E2

Pj1j1

E1

EPj1

tttt

ttEPtt

,,,,,,

,,

,

,,

,

,,

,,

,,

,,

,,

=∆−==

=∆−=

=∆+∆−=

=∆−+∆−=−

=

=∆+∆−=−

=

=∆−+∆−==

∆+∆+

∆+

∆+

∆+

∆+∆+

∆+∆+

δ

δδννν

δδ∂

σ∂e

C

Izvodi priraštaja plastičnih deformacija po ukupnim deformacijama ( λ∆ i ytt σ∆+ , Tab.4.3.3)

jitt

itt

jj

tt

PiP

ji SSe

ee ,,,ˆˆ ∆+∆+

∆+ ∆+∆=∆

=∆ λλ∂∂

Pj

jtt

P

Pj ee

ee ,, ∆′∆=

∆∆∆

=∆ ∆+ λ∂∂

∂λ∂λ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−=

∆∆

=′∆ ∆+ Py

ttP E231

eλ

σ∂λ∂λ

ˆ ( ) 1nPtt

yPy

tt

P eMMnCed

dE −∆+

∆+

=∆

=σ

Izvodi radijus napona ( t tiS+∆ , t t

iES+∆ , p1 , p2 , c1 , c2 i C dati u Tab. 4.3.2)

Pjiij

jtt

P

Pi

tt

jtt

itt

jitt eba

ee

eS

eSS ,,

ˆˆˆ ∆+=∆

∆+= ∆+

∆+

∆+

∆+∆+

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( )a a p G p c p c a a p G p c p c

a ai

ja p G i jij ji ij ij

11 22 12 1 1 2 2 12 21 12 2 1 1 22 2

04 5 6

1 22 4 5 6

= = − = = −

= ===

= =, ,,

, , ,δ

( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

b p p S p S p S p S

b p p S p S p S p S

b p S C G C i

t t E t t t t E t t

t t E t t t t E t t

it t

i

1 12 1 1 1 1 2 2 2 1

2 12 1 2 1 2 2 1 2 2

2 2

2 2

2 4 5 6

= ′ − + ′ +

= ′ − + ′ +

= − ′ + + ′ =

+ + + +

+ + + +

+

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ , ,λ λ

22

21

121

ppp

−= ( ) λλ

∂∂ ′∆++∆′=∆

=′ CGcCepp P

ˆ2ˆ1

11 λ

∂∂ ′∆=∆

=′ 22

2 2Gcepp P

( ) λ∆++=

CGp ˆ21

1 ( ) ( ) ( ) 211

32ˆˆ −∆+−−=

∆=′

nPttyP eCnnM

edCdC

Izvodi priraštaja efektivne plastične deformacije ,,

t tPy jP

j t t t tj y

feee f

∂∂

+∆

+∆ +∆

∆∆ = = −

′

t ty j

t ty

t tj

t ti ij

t tj

t tj

i

t ti ij

if

f

eS a S a S a S a+

+

++ + +

=

+

=

= = + + +∑ ∑∆∆

∆∆ ∆ ∆ ∆

,∂

∂2 21 2 2 1

1

2

4

6

t ty

t ty

Pt t

i ii

t t t t t ti i

i

t ty Pf

f

eS b S b S b S b E+

++

=

+ + +

=

+′ = = + + + −∑ ∑∆∆

∆ ∆ ∆ ∆ ∆∂

∂∆σ2 2 2

31

2

1 2 2 14

6

73

Tabela 4.3.6 Elastično-plastična konstitutivna matrica elementa grede Izvodi napona po ukupnim deformacijama

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

== ∆+

∆+∆+

EPEPEP

EPEPEP

EPEPEP

tt

ttEPtt

CCCCCCCCC

666563

565553

363533

eC

∂σ∂

( )Pi

Pi

ti

ttEii

tt eeec ∆−−= ∆+∆+ σ

( ) ( )t t EP E P

t tiEP

iE

iP

t tijEP

iE

i jPC c e

C c e iC c e

ij

+

++= −

= − == −

==

∆

∆∆∆

∆∆33 3 3 3

3 3

15 6

12

13 5 65 6

,

,,,

, ,,

c E c c GE E E3 5 6 2= = =

Izvodi priraštaja plastičnih deformacija po ukupnim deformacijama

∆ ∆λ ∆λ∆∆ ∆e

ee

S Si jP i

P

t tj

jt t

it t

i j, , ,= = ++

+ +∂∆∂

Izvodi skalara (∆λ i t ty

+∆ σ dati u Tab. 4.3.3)

∆λ ∆ ∆∆ ∆, ,j t tj

P

P

t tj

jP

e ee

ee= = = ′+ +

∂∆λ∂

∂∆λ∂∆

∂∆∂

λ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆−=

∆∆

=′∆ ∆+ Py

ttP Ee

λσ∂

λ∂λ23

ˆ1

( ) 1−∆+∆+

=∆

=nPtt

yPy

tt

P eMMnCed

dE

σ

Izvodi radijus napona ( t tiS+∆ i C dati u Tab. 4.3.3)

t ti j

t ti

t tj

t ti

P

P

t tj

ij i jPS

Se

Se

ee

a b e++

+

+

+= + = +∆

∆

∆

∆

∆ ∆, ,∂∂

∂∂∆

∂∆∂

( )a

c

c Cij

iE

ij

iE

=+ +

δ

λ1 ∆

( ) ( )( )bS

c CC c Ci

t ti

iE i

E= −+ +

′ + + ′+∆

∆∆ ∆

1 λλ λ

c Gc E c c GE E E3 3 5 62 2

32= = = =

( ) ( ) ( )′ = = − − + −C

dCd e

M n n C eP yt t P n

∆∆2

31 1

2

Izvodi priraštaja efektivne plastične deformacije po ukupnim deformacijama

∆ ∆

∆

∆e ee

f

fjP

P

t tj

t ty j

t ty

,,= = −′+

+

+

∂∆∂

( )t ty j

t ty

t tj

t tj

t tj

t tjf

f

eS a S a S a+

+

++ + += = + +∆

∆

∆∆ ∆ ∆

,∂

∂94

33 3 5 5 6 6

( )t ty

t ty

Pt t t t t t t t

y Pff

eS b S b S b E+

++ + + +′ = = + + −∆

∆∆ ∆ ∆ ∆∂

∂∆σ9

433 3 5 5 6 6

74

4.4 INTEGRACIJA NAPONA U SLUČAJU KONAČNIH ELASTOPLASTIČNIH DEFORMACIJA Integracija konstitutivnih relacija konačnih elastoplastičnih deformacija se bazira na multiplikativnoj dekompoziciji gradijenta deformacije opisanog u poglavlju 2.2 i postupku integracije napona u slučaju malih deformacija datih u poglavlju 4.3. Osnovni cilj je da se iskoristi postupak razvijen za integraciju napona za male deformacije uz zadovoljenje geometrijskih relacija bitnih za konačne deformacije. Algoritam integracije napona u slučaju konačnih elastoplastičnih deformacija je prikazan u Tab. 4.4.1. Na osnovu oblika funkcije slobodne energije date jednačinom (4.2.1) ili (4.2.2) slobodna energija se razdvaja na deo koji odgovara promeni zapremine i deo koji odgovara promeni oblika.

Tabela 4.4.1 Integracija napona za konačne elastoplastične deformacije

1. Određivanje relativnog gradijenta deformacije

tt t

t

t+ = +∆

∆

F 1 ux

∂∂

2. Probno elastično rešenje

tt t

tt t

tt t+ + − +=∆ ∆ ∆F F F

13

t t Et

t t t Et

t t T+ ∗ + +=∆ ∆ ∆b F b F 3. Određivanje probnog devijatora napona t t t t EGdev+ ∗ + ∗=∆ ∆S b 4. Provera uslova tečenja t t

yEf+ ≤∆ 0 elastično rešenje idi na 6

5. Pozivanje programa za integraciju konstitutivnih relacija određuje se t t+∆ S 6. Konačno rešenje za napone σ m m mc e= t t t t+ +=∆ ∆σ S +σ m 1 7. Korigovanje elastične međukonfiguracije na kraju koraka

t t E t tmE

Gb+ += +∆ ∆b S 11

gde je b bmE t t

iiE= + ∗1

3∆

75

Promena zapremine se određuje na osnovu gradijenta deformacije kao što je pokazano u (2.2.10) i (2.2.11)

0 0t t t t

E P+ +=∆ ∆F F Fτ

τ (4.4.1)

Ukoliko je plastična deformacija devijatorska, kao kod metala, tada je 0 1τ FP = pa je

τt t

Et t+ +=∆ ∆F F0 (4.4.2)

odnosno ukupna promena zapremine je elastična a uslovi tečenja ne zavise od srednjeg napona σ m . Za materijale gde postoji zapreminska plastična deformacija kao što su materijalni modeli koje srećemo u geomehanici koristimo uslov (4.4.1) odnosno da je

τ τt t

E

t t

P

++

=∆∆

FF

F0

0

(4.4.3)

gde se 0τ FP dobija integracijom konstitutivnih relacija kao i devijatorski deo plastične

deformacije. Probna elastična deformacija t t E+ ∗∆ b i gradijent t

t t+∆ F određeni u koraku 2. algoritma 4.4.1 ispunjavaju sledeće uslove

tt t

tt t

tt t+ + − +=∆ ∆ ∆F F F

13

(4.4.4)

tt t+ =∆ F 1 , t t E+ ∗ =∆ b 1

odnosno odgovaraju deformisanju pri konstantnoj zapremini. Ukoliko se koristi logaritamska deformacija onda se primenom spektralne teoreme mogu odrediti glavna probna elastična izduženja λ i

E∗ i glavni pravci q i normiranog levog Cauchy-Green-ovog tenzora probne elastične deformacije t t E+ ∗∆ b . U odnosu na rotirane glavne pravce tenzor t t E+ ∗∆ b i tenzor logaritamske deformacije t t E+ ∗∆ e možemo da izrazimo na sledeći način

t t EA

E

AA A

+ ∗ ∗

=

= ⊗∑∆ b q q( )λ1

32 (4.4.5)

t t EA

E

AA A

+ ∗ ∗

=

= ⊗∑∆ e q qln( )λ1

3

(2.4.6)

Integracija konstitutivnih relacija za izotropnu plastičnost sa asocijativnim zakonom ojačanja (korak 5) se vrši u glavnim pravcima tenzora t t E+ ∗∆ b pod pretpostavkom da se glavni pravci ne menjaju u toku integracije u koraku ∆t , kao što je pokazano u radovima Simo (1988,1991), Anand (1991), Eterović (1990). Pri korišćenju logaritamske deformacije dobijaju se pri integraciji napona izrazi koji imaju sličan oblik kao kod malih deformacija, naime iz relacije (4.4.1) sledi da je

ln ln ln0 0t t t t E P+ += +∆ ∆F F Fτ

τ (4.4.7)

a iz (4.4.6) se dobija da je

76

( )Fe tt0

E3

E2

E1

3

1i

Ei

Eii

∆+

=

∗ ===∑ ln)ln(ln λλλλ (4.4.8)

kao što je pokazano u Kojić (1995). Iz relacija (4.4.7) i (4.4.8) dolazimo do izraza za srednju deformaciju, u slučaju da postoji zapreminska plastična deformacija, koja odgovara logaritamskoj deformaciji u sledećem obliku

e e em mE

mP= + (4.4.9)

Pri korišćenju levog Cauchy-Green-ovog tenzora deformacije srednja deformacija se određuje na osnovu izraza

emt t

E= −+13

1( )τ∆ F (4.4.10)

a u slučaju da postoji zapreminska plastična deformacija treba koristiti relaciju (4.4.3) za određivanje τ

t tE

+∆ F .

Predloženi algoritam omogućava: - korektno uključivanje geometrije konačnih deformacija, - dekompoziciju ukupne deformacije na devijatorski i zapreminski deo, - direktno korišćenje postupka integracije napona razvijenog za male deformacije. Ilustracija primene izloženog algoritma je data na primeru 6.12 I 6.13 konačnih deformacija cilindra debelih zidova i rezultati poređeni sa numeričkim i analitičkim rešenjem datim u radu Simo i dr. (1991).

77

5. IZOPARAMETARSKI KONAČNI ELEMENTI SA INKOMPATIBILNIM POMERANJIMA U ovoj glavi biće izložena teorija izoparametarskih 3-D elemenata, izoparametarskih elemenata ljuski, kao i izoparametarskih grednih elemenata. Ovi elementi za linearnu i geometrijski nelinearnu analizu, dati su integralno u knjizi Bathe-a (1982), kao i u Bathe i dr. (1979) i (1980). Matrice veze između pomeranja i linearnog i nelinearnog dela deformacija, u odnosu na globalne Descartes-ove koordinate, date su u konačnom obliku u slučaju totalne (T. L.) i korigovane (U. L.) Lagrange-ove inkrementalne formulacije. Ovde su date matrice veze, koje odgovaraju deformacijama izraženim u konvektivnim (prirodnim) koordinatama. Prednost ovog načina nad prethodnim je u tome, što ne postoji razlika u strukturi matrica veze u slučaju (T. L.) i (U. L.) formulacije. Primenu u praksi, su uglavnom imali izoparametarski konačni elementi višeg reda, dok su standardni linearni izoparametarski konačni elementi, bez međučvorova, bili neupotrebljivi zbog nerealnog povećanja savojne krutosti, locking-a. Međutim, linearni konačni elementi su pogodniji pri modeliranju i imaju znatno manje članova u matrici krutosti od elemenata sa međučvorovima. Zato su razvijeni poboljšani konačni elementi, koji se zasnivaju na selektivnoj integraciji, mešovitoj interpolaciji, primeni inkompatibilnih pomeranja, kao i hibridni konačni elementi. Ovde će biti izloženo poboljšanje linearnih izoparametarskih elemenata primenom inkompatibilnih pomeranja. Inkompatibilna pomeranja 2-D i 3-D elementa data su od Wilson-a i dr. (1973). Za materijalno nelinearne probleme kod 2-D i elemenata ploča koristili su ih Simo i dr. (1990) i Imbrahimbegović i dr. (1991), a za probleme velikih deformacija kod 2-D i 3-D elementa, kod Simoa i dr. (1992). Koristeći koncept iz Simo i dr. (1990), od strane Slavkovića i dr. (1994), data su poboljšanja za osmočvorni 3-D element, a za poboljšanje membranskog ponašanja četvoročvorne ljuske korišćena su inkompatibilna pomeranja 2-D elementa. Dvorkin i dr. (1984), su čvornu interpolaciju za transverzalno smicanje za poboljšanje savojnog ponašanja tankih ljuski. Pored inkompatibilnih pomeranja za 3-D elemente, ovde su data inkompatibilna pomeranja kod standardnih izoparametarskih elemenata ljuske i grede.

5.1. IZOPARAMETARSKI 3-D KONAČNI ELEMENT Geometrija 3-D konačnog elementa je prikazana na Sl. 5.1.1. Položaj čvornih tačaka elementa se prati u odnosu na nepokretni globalni Descartes-ov koordinatni sistem xi (i=1,2,3), koga definišu jedinični vektori ii. Vektor položaja čvora m, u odnosu na xi koordinatni sistem, je

l mi

lim

iXX i=

=∑

1

3, gde levi gornji indeks l označava konfiguraciju (vreme ili korak opterećenja).

Vektor položaja proizvoljne materijalne tačke 3-D elementa, dobija se kao

lm

l m

m

Mhx X=

=∑

1 (5.1.1)

gde su hm(r1,r2,r3) interpolacione funkcije 3-D elementa, koje zavise od prirodnih koordinata (r1=r, r2=s, r3=t), Živković (1989), a M je broj čvorova. Iako su prirodne koordinate kontravarijantne, njihove komponente označavaćemo spuštenim indeksom, jer usvajamo za

78

komponente vektora desni donji indeks, a za oznaku čvora desni gornji indeks. Koordinate materijalne tačke (5.1.1) su

li m

lim

m

Mx h X=

=∑

1 (5.1.2)

Slika 5.1.1 Geometrija 3-D konačnog elementa Priraštaji pomeranja materijalne tačke ui, između dve konfiguracije (l=t i l=t+∆ t), su

u x xit t

it

i= −+∆ (5.1.3) Zamenom (5.1.2) u (5.1.3), dobijamo

( )u h X X h Ui mt t

im t

im

m

M

m im

m

M= − =+

= =∑ ∑∆

1 1 (5.1.4)

gde je Uim komponenta i priraštaja pomeranja čvora m. Ovaj izraz može se napisati u matričnoj

formi kao ui i= H U (5.1.5)

gde su

UT m m m

m M

T

U U U=⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

1 2 3

1,

(5.1.6)

79

vektor priraštaja pomeranja čvorova 3-D elementa,

H i m i m i m im M

h h h=⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

δ δ δ1 2 31,

(5.1.7)

vektor odgovarajućih interpolacijskih funkcija, a δ ij je Kronecker-ov delta simbol. Kod 3-D elementa koriste se sledeće kovarijantne komponente tenzora deformacija ~ε = ~ ~ ~ ~ ~ ~ε ε ε γ γ γrr ss tt rs st tr

T . Ovde ~ ~γ εrs rs= 2 označava dvostruke smičuće komponente tenzora deformacije. Linearni deo priraštaja kovarijantnih deformacija računa se

kao ( )~, ,eij i

tj j

ti= ⋅ + ⋅

12

u g u g , gde su u ,i izvodi priraštaja pomeranja po prirodnim

koordinatama u u,i

ir=∂∂

, dok su tig kovarijantni bazni vektori t

i

t

irg x

=∂∂

. Zbog

jednostavnijeg označavanja pri izvođenju matrica elemenata levi gornji indeks označava trenutak ( )t t+ ∆ u ( )i − 1 iteraciji. Oznaka t u formulama i kao donji desni indeks označava prirodnu kordinatu r t3 = . Prethodni izraz može se napisati u matričnom obliku

~ ~e B U= tL (5.1.8)

Matrica linearne veze tL

tLm

m M

~ ~

,

B B=⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=1

, predstavlja vezu između priraštaja pomeranja

čvorova i priraštaja linearnog dela kovarijantnih deformacija

tLm

m rt

m rt

m rt

m st

m st

m st

m tt

m tt

m tt

m rt

m st

m rt

m st

m rt

m st

m st

m tt

m st

m tt

m st

m tt

m tt

m rt

m tt

h J h J h Jh J h J h Jh J h J h J

h J h J h J h J h J h Jh J h J h J h J h J h Jh J h J h

~

, , ,

, , ,

, , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , ,

B =+ + ++ + ++

11 12 13

21 22 23

31 32 33

21 11 22 12 23 13

31 21 32 22 33 23

11 31 J h J h J h Jm rt

m tt

m rt

12 32 13 33+ +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥, , ,

(5.1.9)

Ovde su tji

ti

jJ

xr

=∂∂

članovi Jacobi-jeve matrice

tji m j

tim

m

MJ h X=

=∑ ,

1 (5.1.10)

U ovoj glavi će biti korišćen transponovan oblik Jacobi-jeve matrice (1.2.8).

Nelinearni deo priraštaja kovarijantnih deformacija računa se kao ( )~, ,η ij i j= ⋅

12

u u .

Izvodi priraštaja pomeranja po prirodnim koordinatama, mogu se napisati u matričnom obliku u B Ur =

tNL

~ (5.1.11)

80

gde je ur = u u u u u u u u ur r r s s s t t tT

1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , , . Matrica nelinearne

veze tNL

tNLm

m M

~ ~

,

B B=⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=1

se može napisati u sledećem obliku

tNLm

m r

m r

m r

m s

m s

m s

m t

m t

m t

hh

hh

hh

hh

h

~

,

,

,

,

,

,

,

,

,

B =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 00 00 0

0 00 00 0

0 00 00 0

(5.1.12)

Kovarijantnim komponentama deformacije odgovaraju kontravarijantne komponente

napona ~σ = ~ ~ ~ ~ ~ ~σ σ σ σ σ σrr ss tt rs st tr T. Matrica kontravarijantnih komponenti

napona koja se, zajedno sa prethodno definisanom matricom nelinearne veze, koristi pri formiranju geometrijski nelinearne matrice krutosti, ima oblik

~σ =

~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~

σ σ σσ σ σσ σ σ

rr rs tr

rs ss st

tr st tt

I I II I II I I

3 3 3

3 3 3

3 3 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

(5.1.13)

gde je I3 - jedinična matrica dimenzije 3.

5.1.1. Inkompatibilne deformacije kod izoparametarskog 3-D elementa Kod izoparametarskog 3-D elementa sa osam čvorova, u slučaju transverzalnog smicanja i savijanja spregom sila, kao i kod grube i izrazito zakrivljene mreže, dolazi do pojave nerealnog povećanja krutosti elementa, locking-a. Redukovana integracija kod 3-D elementa, u opštem slučaju opterećenja, se ne može primeniti. Ovde će biti pokazano poboljšanje ponašanja osmočvornog izoparametarskog 3-D elementa uvođenjem inkompatibilnih deformacija. Polje inkompatibilnih pomeranja u se može definisati za 3-D element prema Slavković i dr. (1994), kao

u U U U= + +h h hrr

ss

tt (5.1.14)

gde su ( )h rr = −12

1 2 , ( )h ss = −12

1 2 i ( )h tt = −12

1 2 , inkompatibilne interpolacione

funkcije za pravce r1=r, r2=s i r3=t, a U r r r r TU U U= 1 2 3 , U s s s s T

U U U= 1 2 3 i

81

U t t t t TU U U= 1 2 3 su inkompatibilna pomeranja u pravcima r , s i t, u odnosu na

nepokretni Descartes-ov koordinatni sistem xi(i=1,2,3). Kod 3-D elementa se koriste sledeće kovarijantne komponente inkompatibilnih

deformacija ~ε = ~ ~ ~ ~ ~ ~ε ε ε γ γ γrr ss tt rs st tr

T. Po analogiji, kako je ranije definisan

linearni deo priraštaja kovarijantnih deformacija (5.1.8), definišu se priraštaji kovarijantnih

inkompatibilnih deformacija ( )~, ,eij i

tj j

ti= ⋅ + ⋅

12

u g u g , gde su u ,i , izvodi priraštaja

inkompatibilnih pomeranja po prirodnim koordinatama u u,i

ir=∂∂

, dok su tig , kovarijantni

bazni vektori ti

t

irg x

=∂∂

. Prethodni izraz se može napisati u matričnom obliku

~ ~e B U= t

L (5.1.15)

gde je Tu3

u2

u1

t3

t2

t1

s3

s2

s1

r3

r2

r1 UUUUUUUUUUUU=U , vektor

inkompatibilnih pomeranja. Matrica linearne veze tL

~B , predstavlja vezu između priraštaja

inkompatibilnih pomeranja elementa i priraštaja linearnog dela kovarijantnih inkompatibilnih deformacija.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−

−−−−−−

=

tJtJtJ000rJrJrJtJtJtJsJsJsJ000

000sJsJsJrJrJrJtJtJtJ000000

000sJsJsJ000000000rJrJrJ

13t

12t

11t

33t

32t

31t

23t

22t

21t

33t

32t

31t

13t

12t

11t

23t

22t

21t

33t

32t

31t

23t

22t

21t

13t

12t

11t

Lt B~

(5.1.16)

Ovde su tji

ti

jJ

xr

=∂∂

članovi Jacobi-jeve matrice, dati izrazom (5.1.10), a izračunati za broj

čvorova M=8. Nelinearni deo priraštaja kovarijantnih inkompatibilnih deformacija, računa se kao

( )~, ,η ij i j= ⋅

12

u u . Izvodi priraštaja inkompatibilnih pomeranja po prirodnim koordinatama se

mogu napisati u matričnom obliku

u B Ur =t

NL~

(5.1.17)



veze može se napisati u sledećem obliku

82

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

3

3

3

3

3

3

NLt

rsrtst

ts

r

III

I000I000I

B~

(5.1.18)

gde su I3 - jedinična, a 0 - nula kvadratna matrica dimenzije 3. Odgovarajuća matrica kontravarijantnih komponenti napona data je izrazom (5.1.13). Pri praktičnom množenju matrica, množe se samo članovi različiti od nule.

5.2. IZOPARAMETARSKI KONAČNI ELEMENT LJUSKE Geometrija konačnog elementa ljuske, prikazana je na Sl. 5.2.1. Položaj čvornih tačaka elementa se prati u odnosu na nepokretni globalni Descartes-ov koordinatni sistem xi (i=1,2,3), koga definišu jedinični vektori ii. Vektor položaja čvora m srednje površi ljuske, u odnosu na xi

koordinatni sistem je l mi

lim

iXX i=

=∑

1

3. Debljina ljuske am, odnosi se na pravac vektora

normale lnmV na srednju površ u čvoru m ljuske. Srednja površ ljuske, definisana je prirodnim

koordinatama r1=r i r2=s za r3=t=0. Vektor položaja materijalne tačke, na pravcu vektora

normale na srednju površ ljuske, u odnosu na čvor m definiše se kao l mi

li

m

iXX i* *=

=∑

1

3, gde

je li

mm

lnimX r a V* = 3 2

. Vektor položaja proizvoljne materijalne tačke elementa ljuske, dobija se

kao

lm

l m

m

Mhx X=

=∑

1 (5.2.1)

gde je, kako je prikazano na Sl. 3.2.1, l m l m l mX X X= + * vektor položaja materijalne tačke koja odgovara čvoru m ljuske, a nalazi se na rastojanju r3 od srednje površi ljuske u pravcu vektora normale, u odnosu na xi koordinatni sistem. U (5.2.1), hm(r1,r2) su interpolacione funkcije elementa ljuske, koje su iste kao i funkcije 2-D elementa, Živković (1989), a M je broj čvorova. Koordinate materijalne tačke (5.2.1), su

( )li m

lim l

im

m

Mx h X X= +

=∑ *

1 (5.2.2)

83

Slika 5.2.1 Geometrija konačnog elementa ljuske Priraštaji pomeranja materijalne tačke ui, između dve konfiguracije (l=t i l=t+∆t), su

u x xit t

it

i= −+∆ (5.2.3) Zamenom (5.2.2) u (5.2.3), dobijamo

( )u h U Ui m im

im

m

M= +

=∑ *

1 (5.2.4)

gde su U X Xi

m t tim t

im= −+∆ (5.2.5)

priraštaji pomeranja čvora m ljuske, a

U X X r a Vim t t

im t

im

m

nim* * *= − =+∆

3 2 (5.2.6)

su priraštaji relativnih pomeranja (u odnosu na čvor m ljuske) materijalne tačke koja se nalazi na pravcu vektora normale, na rastojanju r3 od čvora m. Komponente promene pravca vektora normale Vni

m , u slučaju malih rotacija, mogu se dobiti iz približnog izraza

V V Vnm t t

nm t

nm= − ≈+∆ ϕ m t

nm× =V t m m t m mV V1 2 2 1ϕ ϕ− (5.2.7)

gde su ϕ 1m i ϕ 2

m priraštaji rotacija vektora normale oko jediničnih vektora t mV1 i t mV2 .

Vektori t mV1 , t mV2 i tnmV su međusobno upravni, a definišu se u početnom trenutku vremena

t=0, dok im se novi položaji, kod geometrijski nelinearnih problema, određuju njihovom rotacijom u svakoj iteraciji. Vektor normale u čvoru m računa se kao

00

10

20

10

2

Vg gg g

nm

m m

m m=

×

× (5.2.8)

gde su 00

g xim

ir=∂∂

, pri r1=rm, r2=sm, r3=0, kovarijantni bazni vektori na srednjoj površi ljuske u

čvoru m. Definisanje vektora 01V m i 0

2V m preuzeto je iz Bathe (1982)

84

01

20

20

Vi Vi V

m nm

nm

=×

× (5.2.9)

02

0 01V V Vm

nm m= × (5.2.10)

U slučaju da je 0 Vnm paralelan sa i2, usvaja se da je 0

1 3V im = . Koristeći (5.2.6) i (5.2.7), izraz (5.2.4) može biti napisan u matričnoj formi

ui i= H U (5.2.11) gde su

U =⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

U U Um m m m m

m M1 2 3 1 2

1

ϕ ϕ,

(5.2.12)

vektor priraštaja pomeranja i rotacija čvorova elementa ljuske, a

H i m i m i m i m im

m im

m M

h h h h r R h r R=⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

δ δ δ1 2 3 3 1 3 21,

(5.2.13)

interpolacioni vektor za (5.2.12). U (5.2.13) δ ij je Kronecker-ov delta simbol, a

R a V R a Vim

mt

im

im

mt

im

1 2 2 12 2= − = (5.2.14)

Pod pretpostavkom, da je normalni napon u pravcu baznog vektora l g3 jednak nuli ~σ 33 0= , koristimo sledeće kovarijantne komponente tenzora deformacija ~ε = ~ ~ ~ ~ ~ε ε γ γ γrr ss rs st tr

T . Linearni deo priraštaja kovarijantnih deformacija računa

se kao ( )~, ,eij i

tj j

ti= ⋅ + ⋅

12

u g u g , gde su u ,i izvodi priraštaja pomeranja po prirodnim

koordinatama u u,i

ir=∂∂

, dok su tig kovarijantni bazni vektori t

i

t

irg x

=∂∂

. Prethodni izraz

može se napisati u matričnom obliku ~ ~e B U= t

L (5.2.15)


tLUm t

Lm

m M

~ ~ ~

,

B B B=⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=

ϕ

1

predstavlja vezu između priraštaja

pomeranja i rotacija čvorova sa priraštajima linearnog dela kovarijantnih deformacija. Deo matrice koji odgovara pomeranjima čvora m ljuske je sledećeg oblika

tLUm

tm r

tm r

tm r

tm s

tm s

tm s

tm s

tm r

tm s

tm r

tm s

tm r

tm s

tm s

tm s

tm r

tm r

tm r

J h J h J hJ h J h J h

J h J h J h J h J h J hJ h J h J hJ h J h J h

~

, , ,

, , ,

, , , , , ,

, , ,

, , ,

B = + + +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

11 12 13

21 22 23

11 21 12 22 13 23

31 32 33

31 32 33

(5.2.16)

85

a deo koji odgovara rotacijama je

( ) ( )

( ) ( )

tLm

ti m r i

m

i

ti m r i

m

i

ti m s i

m

i

ti m s i

m

i

ti m s

ti m r i

m

i

ti m s

ti m r i

m

i

ti m s

ti m i

m

i

ti m s

ti m i

m

i

ti

J h tR J h tR

J h tR J h tR

J h J h tR J h J h tR

J h t J h R J h t J h R

J

~

, ,

, ,

, , , ,

, ,

B ϕ = + +

+ +

= =

= =

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

1 11

3

1 21

3

2 11

3

2 21

3

1 2 11

3

1 2 21

3

3 2 11

3

3 2 21

3

3( ) ( )h t J h R J h t J h Rm rt

i m im

i

ti m r

ti m i

m

i, ,+ +

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥= =

∑ ∑1 11

3

3 1 21

3

(5.2.17)

Ovde su tji

ti

jJ

xr

=∂∂


( )

( )

ti m r

tim t

im

m

M

ti m s

tim t

im

m

M

ti m

mt

nim

m

M

J h X X

J h X X

J h a V

11

21

31 2

= +

= +

=

=

=

=

∑

∑

∑

,*

,* (5.2.18)

Nelinearni deo priraštaja kovarijantnih deformacija, računa se kao ( )~, ,ηij i j= ⋅

12

u u .

Izvodi priraštaja pomeranja po prirodnim koordinatama, mogu se napisati u matričnom obliku u B Ur =

tNL

~ (5.2.19)



veze tNL

tNLm

m M

~ ~

,

B B=⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=1

, može se napisati u sledećem obliku

86

tNLm

m r m rm

m rm

m r m rm

m rm

m r m rm

m rm

m s m sm

m sm

m s m sm

m sm

m s m sm

m sm

mm

mm

mm

mm

mm

mm

h h tR h tRh h tR h tR



h R h Rh R h Rh R h R

~

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

B =

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

0 00 00 0

0 00 00 00 0 00 0 00 0 0

11 21

12 22

13 23

11 21

12 22

13 23

11 21

12 22

13 23

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

(5.2.20)


napona ~σ = ~ ~ ~ ~ ~σ σ σ σ σrr ss rs st tr T. Matrica kontravarijantnih komponenti napona,

koja se zajedno sa prethodno definisanom matricom nelinearne veze koristi pri formiranju geometrijski nelinearne matrice krutosti, ima oblik

~σ =

~ ~ ~~ ~ ~~ ~

σ σ σσ σ σσ σ

rr rs tr

rs ss st

tr st

I I II I II I 0

3 3 3

3 3 3

3 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

(5.2.21)

gde su I3 - jedinična, a 0 - nula kvadratna matrica dimenzije 3.

5.2.1. Lokalne i globalne rotacije ljuske Kao što je prethodno rečeno, u početnom trenutku vremena t=0, kod svih elemenata i u svakom čvoru ljuske, definišu se ortogonalni jedinični vektori 0

1Vm , 02Vm i 0 Vn

m , (5.2.8) do (5.2.10). Ako K elemenata ljuski, imaju zajednički čvor m, u opštem slučaju njihovi vektori normale, koji su određeni prema (5.2.8), ne moraju biti jednaki. Ako uglovi, koje oni međusobno zaklapaju, ne prelaze unapred zadate vrednosti, formira se zajednički vektor normale 0 Vn

m za sve elemente, a samim tim su jednoznačno određena i druga dva zajednička vektora, (5.2.9) i (5.2.10). Zajednički vektor normale u čvoru m, za K elemenata ljuski računa se kao

0

0

1

0

1

VV

Vnm

nmk

k

K

nmk

k

K= =

=

∑

∑ (5.2.22)

Rotacije ϕ1m i ϕ 2

m oko zajedničkih vektora l mV1 i l mV2 zovemo lokalne rotacije, dok je

rotacija oko vektora normale 0 Vnm ograničena zbog nepostojanja krutosti.

U drugom slučaju, kada je bar jedan od uglova koje vektori normale međusobno zaklapaju, veći od unapred zadate vrednosti, formiraju se, za svaki element k u zajedničkom

87

čvoru m, posebni ortogonalni jedinični vektori 01Vmk , 0

2Vmk i 0 Vnmk , koristeći (5.2.8) do

(5.2.10). Lokalne rotacije ϕ1mk i ϕ 2

mk oko ovako definisanih vektora l mkV1 i l mkV2 , ne mogu

biti nezavisne, jer je moguće po jednom čvoru uvesti najviše tri nezavisne rotacije, θ im (i=1,2,3).

U ovakvom čvoru m smatramo da se rotiranje vrši oko ortogonalnih jediničnih vektora ( )l

im i , ,V = 1 2 3 , koji su u početnom trenutku t=0, bili paralelni sa jediničnim vektorima

nepokretnog glavnog Dekartovog koordinatnog sistema, 0 V iim

i= . Zato rotacije θ im oko

vektora limV , zovemo globalne rotacije. Relativni položaj lokalnih koordinatnih sistema, u

odnosu na globalni u istom čvoru, ne menja se pri njihovoj rotaciji. Tako se položaj lokalnih

vektora l mk l mk l mk lnmk T

V V V V= 1 2 , može odrediti u svakom trenutku preko poznatog

položaja globalnih vektora l m l m l m l m TV V V V= 1 2 3 , matričnim proizvodom

l mk mk l mV T V= 0 (5.2.23) gde je matrica koordinatne transformacije formirana u početnom trenutku

0 01

02

0

011

012

013

021

022

023

01

02

03

T V V Vmk mk mknmk T

mk mk mk

mk mk mk

nmk

nmk

nmk

V V VV V VV V V

= =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

(5.2.24)

a ( )0 0 0Vijmk

imk

jm= cos ,V V .

Kod geometrijski nelinearnih problema se vrši rotiranje čvornih vektora u svakoj iteraciji. U slučaju lokalnih rotacija, rotiraju vektori V V V V= l m l m l

nm

1 2 , sa priraštajem

rotacija θ = ϕ ϕ1 2 0m m T, a ako su rotacije u čvoru globalne, rotiraju vektori

V V V V= l m l m l m1 2 3 sa priraštajem rotacija θ = θ θ θ1 2 3

m m m T.

Pošto su matrica veze (5.3.17) i deo matrice (5.2.20) izvedene u sistemu lokalnih rotacija, za svaki čvor sa globalnim rotacijama potrebno je izvršiti njihovu transformaciju. Veza

između lokalnih rotacija ϕ mk = ϕ ϕ1 2mk mk T

i globalnih θm = θ θ θ1 2 3m m m T

, može

se napisati kao ϕ mk = 0 Tmk mθ (5.2.25)

gde je 0 01

02T V Vmk mk mk T

= podmatrica matrice (5.2.24). Prema tome, transformacija sa

lokalnih na globalne rotacije dela matrica veza koji se odnosi na rotacije, vrši se prema t

Lm t

Lm mk~ ~B B Tϕ ϕ= 0

Ovde je pokazana transformacija matrice (5.2.17), dok se deo matrice (5.2.20) transformiše na isti način.

88

5.2.2. Inkompatibilne deformacije kod izoparametarske ljuske Kod izoparametarskog elementa ljuske sa četri čvora, u slučaju transverzalnog smicanja i membranskog savijanja, kao i kod grube i izrazito zakrivljene mreže, dolazi do pojave nerealnog povećanja krutosti elementa, locking-a. Redukovana integracija se kod ljuske, u opštem slučaju opterećenja, ne može primeniti, naročito ne na sve komponente deformacija. Zato su razvijeni elementi sa selektivnom integracijom i mešovitom interpolacijom. Ovde će biti predloženo poboljšanje ponašanja elementa izoparametarske četvoročvorne ljuske, uvođenjem inkompatibilnih deformacija. Polje inkompatibilnih pomeranja u , može se definisati za ljusku prema Slavković i dr. (1994), kao

u U U= +h hrr

ss (5.2.26)

gde su ( )h rr = −12

1 2 i ( )h ss = −12

1 2 inkompatibilne interpolacione funkcije za pravce

r1=r i r2=s, a U r r r r TU U U= 1 2 3 i U s s s s T

U U U= 1 2 3 su inkompatibilna

pomeranja u pravcima r i s, u odnosu na nepokretni Descartes-ov koordinatni sistem xi(i=1,2,3). Kod elementa ljuske se koriste sledeće kovarijantne komponente inkompatibilnih

deformacija ~ε = ~ ~ ~ ~ ~ε ε γ γ γrr ss rs st tr

T. Po analogiji, kako su ranije definisani priraštaji

linearnog dela kovarijantnih deformacija (5.2.15), definišu se priraštaji kovarijantnih

inkompatibilnih deformacija ( )~, ,eij i

tj j

ti= ⋅ + ⋅

12

u g u g , gde su u ,i , izvodi priraštaja

inkompatibilnih pomeranja po prirodnim koordinatama u u,i

ir=∂∂

, dok su tig , kovarijantni

bazni vektori ti

t

irg x

=∂∂

. Prethodni izraz, može se napisati u matričnom obliku

~ ~e B U= t

L (5.2.27)

gde je U = U U U U U Ur r r s s s T1 2 3 1 2 3 , vektor inkompatibilnih pomeranja. Matrica

linearne veze tL

~B pretstavlja vezu, između priraštaja inkompatibilnih pomeranja elementa i

priraštaja linearnog dela kovarijantnih inkompatibilnih deformacija,

tL

t t t

t t t

t t t t t t

t t t

t t t

J r J r J rJ s J s J s

J r J r J r J s J s J sJ s J s J s

J r J r J r

~B =

− − −− − −

− − − − − −− − −

− − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

11 12 13

21 22 23

21 22 23 11 12 13

31 32 33

31 32 33

0 0 00 0 0

0 0 00 0 0

(5.2.28)

Ovde su tji

ti

jJ

xr

=∂∂

članovi Jacobi-jeve matrice dati izrazom (5.2.18), a izračunati za broj

čvorova M=4.

89

Nelinearni deo priraštaja kovarijantnih inkompatibilnih deformacija se računa kao

( )~, ,η ij i j= ⋅

12



u B Ur =t

NL~

(5.2.29)




tNL

rs

~B

I 00 I0 0

=−

−⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

3

3 (5.2.30)

gde su I3 - jedinična, a 0 - nula kvadratna matrica dimenzije 3. Odgovarajuća matrica kontravarijantnih komponenti napona je data izrazom (5.2.21). Pri praktičnom množenju matrica se množe samo članovi različiti od nule.

5.3. IZOPARAMETARSKI KONAČNI ELEMENT GREDE Geometrija konačnog elementa grede je prikazana na Sl. 5.3.1. Položaj čvornih tačaka elementa se prati u odnosu na nepokretni globalni Descartes-ov koordinatni sistem xi(i=1,2,3), koga definišu jedinični vektori ii. Vektor položaja čvora m grede, u odnosu na xi kordinatni

sistem je l mi

lim

iXX i=

=∑

1

3 . Dimenzije pravougaonog poprečnog preseka am i bm, u preseku

čvora m grede, definišu se u lokalnom Descartes-ovom koordinatnom sistemu; takođe uvodi se jedinični vektor l mV3 u pravcu referentne ose i druga dva l mV1 i l mV2 koji leže u ravni

poprečnog preseka. Orijentacija vektora l mV1 se vrši definisanjem orijentacione tačke P, koja mora ležati van referentne ose grede. Vektor položaja proizvoljne materijalne tačke poprečnog

preseka, u odnosu na čvor m grede na referentnoj osi, definiše se kao l mi

li

m

iXX i* *=

=∑

1

3, gde

je li

m mm

lim m

ml

imX r r a V s s b V* = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∆ ∆

2 21 2 . Ovde su ∆r m i ∆sm pomerenosti

neutralne ose u odnosu na referentnu osu, a r1=r, r2=s i r3=t su prirodne koordinate. Vektor položaja proizvoljne materijalne tačke elementa grede dobija se kao

lm

l m

m

Mhx X=

=∑

1 (5.3.1)

90

Slika 5.3.1 Geometrija konačnog elementa grede gde je, kako je prikazano na Sl. 5.3.1, l m l m l mX X X= + * vektor položaja proizvoljne materijalne tačke preseka m, u odnosu na xi koordinatni sistem. U (5.3.1) hm(r3) su interpolacione funkcije elementa grede, koje su iste kao i funkcije elementa štapa, Živković (1989), a M je broj čvorova. Koordinate materijalne tačke (5.3.1), su

( )li m

lim l

im

m

Mx h X X= +

=∑ *

1 (5.3.2)

Priraštaji pomeranja materijalne tačke ui, između dve konfiguracije (l=t i l=t+∆t), su u x xi

t ti

ti= −+∆ (5.3.3)

Zamenom (5.3.2) u (5.3.3), dobijamo

( )u h U Ui m im

im

m

M= +

=∑ *

1 (5.3.4)

gde su U X Xi

m t tim t

im= −+∆ (5.3.5)

priraštaji pomeranja čvora m grede, a

mi

tm

mmi

tm

mmi

tmi

ttmi VbssVarrXXU 21

***

22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∆+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∆=−= ∆+ (5.3.6)

91

su priraštaji relativnih pomeranja proizvoljne tačke preseka m, u odnosu na čvor m grede. Komponente promene pravca vektora Vji

m , u slučaju malih rotacija, mogu se dobiti iz približnog izraza

V V Vjm t t

jm t

jm= − ≈+∆ ϕ m t

jm× V (5.3.7)

V V V V V V V V V1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1m t m m t m m m t m m t m m m t m m t m m= − = − = −ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

gde su ϕ m priraštaji rotacija oko vektora tjmV (j=1,2,3), definisanih u čvoru m. Ovi vektori se

definišu u početnom trenutku vremena t=0, dok im se novi položaji, kod geometrijski nelinearnih problema, određuju njihovom rotacijom u svakoj iteraciji. Vektori 0 V j

k mogu biti

definisani na dva načina, a koji će način biti primenjen zavisi od međusobnog položaja poprečnih preseka na jednom elementu. Pošto se po elementu zadaje samo jedna pomoćna tačka P, njen položaj je bitan za pravilno definisanje položaja ravni poprečnog preseka. U prvom slučaju, kada se može smatrati da su poprečni preseci na jednom elementu paralelni i upravni na pravac referentne ose, dovoljno je da pomoćna tačka P bude zadata van referentne ose grede, sa kojom definiše ravan u kojoj leže vektori 0

3V m i 01V m . Tada se vektor u pravcu referentne ose

u čvoru m računa kao

03

03

03

Vgg

mm

m= (5.3.8)

gde je 03

0

3g xm

r=∂∂

, pri (r3=tm), kovarijantni bazni vektor u pravcu referentne ose u čvoru m.

Ovde je 0 0

1x X=

=∑hm

m

m

M vektor položaja proizvoljne tačke na referentnoj osi. Vektori 0

1V m i

02V m definišu se kao

02

03

03

VV pV p

mm m

m m=

×

× (5.3.9)

01

02

03V V Vm m m= × (5.3.10)

gde je pm vektor koji spaja čvor m na referentnoj osi grede i pomoćnu tačku P. U drugom slučaju, kada su poprečni preseci na jednom elementu međusobno zakrivljeni, za pomoćnu tačku P bira se centar krivine u kome se seku ravni preseka, kao i pravci vektora 0

1V m svih čvorova elementa. Prvo se definiše vektor

01V p

pm

m

m= (5.3.11)

a zatim vektori

02

03

01

03

01

Vg Vg V

mm m

m m=

×

× (5.3.12)

03

01

02V V Vm m m= × (5.3.13)

92

Ovaj način je naročito važno primeniti kada se koriste gredni elementi sa dva čvora za modeliranje kružnih struktura. Koristeći (5.3.6) i (5.3.7), izraz (5.3.4) može biti napisan u matričnoj formi

ui i= H U (5.3.14) gde su

U =⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

U U Um m m m m m

m M1 2 3 1 2 3

1

ϕ ϕ ϕ,

(5.3.15)

vektor priraštaja pomeranja i rotacija čvorova elementa grede, a

( )H i m i m i m i m ibm

m iam

m iam

ibm

m M

h h h h R h R h R R= − −⎧

⎨⎪

⎩⎪

⎫

⎬⎪

⎭⎪=

δ δ δ1 2 3 3 3 2 1

1,

(5.3.16)

gde su

R s s b V R r r a V

R r r a V R s s b V

ibm m

mt

im

iam m

mt

im

iam m

mt

im

ibm m

mt

im

1 1 2 2

3 3 3 3

2 2

2 2

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

∆ ∆

∆ ∆ (5.3.17)

Pretpostavimo da nema normalnog napona u pravcu debljine na tačkasti segment grede σ σrr ss= = 0 kao i smicanja u ravni segmenta ~γ rs = 0 . Da bi ove pretpostavke bile zadovoljene koriste se sledeće kovarijantne komponente tenzora deformacije ~ε = ~ ~ ~ε γ γtt st tr

T . Linearni deo priraštaja kovarijantih deformacija računa se kao

( )~, ,eij i

tj j

ti= ⋅ + ⋅

12

u g u g , gde su u,i izvodi priraštaja pomeranja po prirodnim koordinatama

u u,i

ir=∂∂

dok su tig kovarijantni bazni vektori t

i

t

irg x=∂∂

. Prethodni izraz može se napisati u

matričnom obliku ~ ~e B U= t

L (5.3.18)


tLUm t

Lm

m M

~ ~ ~

,

B B B=⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=

ϕ

1

predstavlja vezu između priraštaja

pomeranja i rotacija čvorova sa priraštajima linearnog dela kovarijantnih deformacija. Deo matrice koji odgovara pomeranjima čvora m grede je sledećeg oblika

tLUm

tm t

tm t

tm t

tm t

tm t

tm t

tm t

tm t

tm t

J h J h J hJ h J h J hJ h J h J h

~, , ,

, , ,

, , ,

B =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

31 32 33

21 22 23

11 12 13

(5.3.19)

a deo koji odgovara rotacijama je oblika

93

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−

−−−+

−−

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

===

===

===

3

12312,1

3

1333,1

3

13,1

3

11312,2

3

13,2

3

1333,2

3

112,3

3

13,3

3

13,3

ˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

~

i

amimi

tbmi

amitmi

t

i

amimi

tamitmi

t

i

bmitmi

t

i

bmimi

tbmi

amitmi

t

i

amitmi

t

i

bmimi

tbmitmi

t

i

bmi

amitmi

t

i

amitmi

t

i

bmitmi

t

mL

t

RhJRRhJRhJRhJRhJ

RhJRRhJRhJRhJRhJ

RRhJRhJRhJ

ϕB

(5.3.20)

Ovde su tji

ti

jJ

xr

=∂∂


( )

ti m

mt

im

m

M

ti m

mt

im

m

M

ti m s

tim t

im

m

M

J h a V

J h b V

J h X X

1 11

2 21

31

2

2

=

=

= +

=

=

=

∑

∑

∑ ,*

(5.3.21)

a

R b V R a V R a V R b Vibm

mt

im

iam

mt

im

iam

mt

im

ibm

mt

im

1 1 2 2 3 3 3 32 2 2 2= = = =

Nelineari deo priraštaja kovarijantnih deformacija se računa kao ( )~, ,ηij i j= ⋅

12

u u .

Izvodi priraštaja pomeranja po prirodnim koordinatama se mogu napisati u matričnom obliku u B Ur =

tNL

~ (5.3.22)



veze tNL

tNLm

m M

~ ~

,

B B=⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

=1

se može napisati u sledećem obliku

( )( )

tNLm

mam

mam

mam

mam

mam

mam

mbm

mbm

mbm

mbm

mbm

mbm

m t m tbm

m tam

m tam bm

m t m tbm

m tam

m tam bm

m t m t



h h R h R h R R

h h R h R h R R

h h

~

, , , ,

, , , ,

, ,

B =

−−−

−−−

− −

− −

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

0 0

0 0

0 0

31 21

32 22

33 23

31 11

32 12

33 13

31 31 21 11

32 32 22 12

( ), ,R h R h R Rbmm t

amm t

am bm33 33 23 13− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

(5.3.23)

94


napona ~σ = ~ ~ ~σ σ σtt st tr T. Matrica kontravarijantnih komponenti napona, koja se

zajedno sa prethodno definisanom matricom nelinearne veze, koristi pri formiranju geometrijski nelinearne matrice krutosti, ima oblik

~σ =0 0 I0 0 II I I

~~

~ ~ ~

σσ

σ σ σ

tr

st

tr st tt

3

3

3 3 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

(5.3.24)

gde su I3 - jedinična, a 0 - nula kvadratna matrica dimenzije 3.

5.3.1. Lokalne i globalne rotacije grede U početnom trenutku vremena t=0, u čvorovima elemenata grede se definišu ortogonalni jedinični vektori 0 Vi

m (i=1,2,3), (5.3.8) do (5.3.10) ili (5.3.11) do (5.3.13). Ako dva gredna elementa imaju zajednički čvor m, u opštem slučaju njihovi vektori u pravcu referentnih osa, koji su određeni prema (5.3.8), ne moraju biti jednaki. Ako ugao, koji oni međusobno zaklapaju, ne prelazi unapred zadatu vrednost, formira se zajednički vektor 0

3V m u pravcu referentnih osa za oba elementa, pa su jednoznačno određena i druga dva zajednička vektora, (5.3.9) i (5.3.10). Zajednički vektor u pravcu referentnih osa u čvoru m za dva elementa grede je

03

03

1

2

03

1

2V

V

V

m

mk

k

mk

k

= =

=

∑

∑ (5.3.25)

Rotacije ϕ im (i=1,2,3) oko zajedničkih vektora l

imV (i=1,2,3) zovemo lokalne rotacije.

U drugom slučaju, kada je ugao koga zaklapaju vektori u pravcu referentnih osa dva elementa u istom čvoru, veći od unapred zadate vrednosti, ili kad više od dva gredna elementa imaju zajednički čvor m, formiraju se, za svaki element, posebni ortogonalni jedinični vektori 0 Vi

mk (i=1,2,3), koristeći (5.3.8) do (5.3.10) ili (5.3.11) do (5.3.13). Lokalne rotacije

ϕ imk (i=1,2,3) oko ovako definisanih vektora l

imkV (i=1,2,3), ne mogu biti nezavisne, jer po

jednom čvoru moguće je uvesti najviše tri nezavisne rotacije, θ im (i=1,2,3). U ovakvom čvoru m

smatramo da se rotiranje vrši oko ortogonalnih jediničnih vektora ( )lim i , ,V = 1 2 3 , koji su u

početnom trenutku t=0, bili paralelni sa jediničnim vektorima nepokretnog glavnog Descartes-ov koordinatnog sistema, 0 V ii

mi= . Zato rotacije θ i

m oko vektora limV , zovemo globalne

rotacije. Relativni položaj lokalnih koordinatnih sistema, u odnosu na globalni u istom čvoru, ne menja se pri njihovoj rotaciji. Tako se položaj lokalnih vektora

95

l mk l mk l mk lnmk T

V V V V= 1 2 može odrediti u svakom trenutku, preko poznatog položaja

globalnih vektora l m l m l m l m TV V V V= 1 2 3 , matričnim proizvodom

l mk mk l mV T V= 0 (5.3.26) gde je matrica koordinatne transformacije formirana u početnom trenutku

0 01

02

03

011

012

013

021

022

023

031

032

033

T V V Vmk mk mk mk T

mk mk mk

mk mk mk

mk mk mk

V V VV V VV V V

= =

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

(5.3.27)

a ( )0 0 0Vijmk

imk

jm= cos ,V V .

Kod geometrijski nelinearnih problema se vrši rotiranje čvornih vektora u svakoj

iteraciji. U slučaju lokalnih rotacija, rotiraju se vektori V V V V= l m l m lnm T

1 2 sa

priraštajem rotacija θ = ϕ ϕ ϕ1 2 3m m m T

, a ako su rotacije u čvoru globalne, rotiraju se

vektori V V V V= l m l m l m T

1 2 3 sa priraštajem rotacija θ = θ θ θ1 2 3m m m T

.

Pošto su matrica veze (5.3.20) i deo matrice (5.3.23) izvedene u sistemu lokalnih rotacija, za svaki čvor sa globalnim rotacijama potrebno je izvršiti njihovu transformaciju. Veza

između lokalnih rotacija ϕ mk = ϕ ϕ ϕ1 2 3mk mk mk T

i globalnih θm = θ θ θ1 2 3m m m T

,

može se napisati kao ϕ mk = 0 Tmk mθ (5.3.28)

Prema tome, transformacija sa lokalnih na globalne rotacije, dela matrica veza koji se odnosi na rotacije, vrši se prema

tLm t

Lm mk~ ~B B Tϕ ϕ= 0 (5.3.29)

Ovde je pokazana transformacija matrice (5.3.20), dok se deo matrice (5.3.23) transformiše na isti način.

5.3.2. Inkompatibilne deformacije kod izoparametarske grede Kod izoparametarskog elementa grede sa dva čvora, u slučaju transverzalnog smicanja, dolazi do pojave nerealnog povećanja krutosti elementa, locking-a. Jedan od načina da se izbegne ovaj problem je korišćenje redukovane integracije, jedne integracione tačke u pravcu r3=t. Ovde će biti predloženo poboljšanje ponašanja elementa izoparametarske dvočvorne grede uvođenjem inkompatibilnih deformacija. Polje inkompatibilnih pomeranja u se može definisati za gredu, prema Slavković i dr. (1994), kao

u U= htt (5.3.30)

96

gde su ( )h tt = −12

1 2 inkompatibilna interpolaciona funkcija za pravac r3=t, a

U t t t t TU U U= 1 2 3 su inkompatibilna pomeranja u pravcu t, u odnosu na nepokretni

Descartes-ov koordinatni sistem xi(i=1,2,3). Kod grednog elementa koriste se sledeće kovarijantne komponente inkompatibilnih

deformacija ~ε = ~ ~ ~ε γ γtt st tr

T. Po analogiji, kako je ranije definisan linearni deo priraštaja

kovarijantnih deformacija (5.3.18), definišu se priraštaji kovarijantnih inkompatibilnih

deformacija ( )~, ,eij i

tj j

ti= ⋅ + ⋅

12

u g u g , gde su u ,i izvodi priraštaja inkompatibilnih

pomeranja po prirodnim koordinatama u u,i

ir=∂∂

, dok su tig kovarijantni bazni vektori

ti

t

irg x

=∂∂


UBe Lt~~

= (5.3.31)


~B predstavlja vezu između priraštaja inkompatibilnih pomeranja

elementa i priraštaja linearnog dela kovarijantnih inkompatibilnih deformacija,

tL

t t t

t t t

t t t

J t J t J tJ t J t J tJ t J t J t

~B =

− − −− − −− − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

31 32 33

21 22 23

11 12 13

(5.3.32)

Ovde su tji

ti

jJ

xr

=∂∂

, članovi Jacobi-jeve matrice dati izrazom (5.3.21), a izračunati za broj

čvorova M=2. Priraštaj nelinearnog dela kovarijantnih inkompatibilnih deformacija se računa kao

( )~, ,η ij i j= ⋅

12



u B Ur =t

NL~

(5.3.33)




tNL

t

~B

00I

=−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥3

(5.3.34)

gde su I3 - jedinična, a 0 - nula kvadratna matrica dimenzije 3. Odgovarajuća matrica kontravarijantnih komponenti napona data je izrazom (5.3.24). Pri praktičnom množenju matrica množe se samo članovi različiti od nule.

97

5.3.3. Vitoperenja pri uvijanju grede pravougaonog poprečnog preseka Pri računanju krutosti na uvijanje, kod greda pravougaonog poprečnog preseka, veoma je važno uzeti u obzir i vitoperenja upravna na poprečni presek. To ne važi za grede kružnog poprečnog preseka, kod kojih nema vitoperenja poprečnog preseka. Za gredu opšteg pravougaonog poprečnog preseka, ovde će biti korišćena funkcija vitoperenja, data u Bathe i dr. (1982a), koja se zasniva na teoriji elastičnosti

( )u x x x x x xr s r s r s= + −α α1 22 2 (5.3.35)

gde su ( )u r s, vitoperenja upravna na poprečni presek, α 1 i α 2 konstante, a x r r ar = +∆

2 i

x s s bs = +∆

2, lokalne koordinate proizvoljne tačke poprečnog preseka, u odnosu na vektore

l V1 i l V2 , koji leže u ravni poprečnog preseka, Sl. 5.3.2. Jednačina (5.3.35) sadrži izraze za vitoperenja u dva granična slučaja. Prvi deo jednačine se odnosi na veoma uske preseke a<<b, a drugi deo jednačine odgovara kvadratnom preseku a=b. Očigledno je da se vitoperenja (5.3.35) odnose na ceo element i da se smatra da je uvijanje po dužini elementa konstantno. U odnosu na globalni Descartes-ov koordinatni sistem, vitoperenja proizvoljne tačke grede mogu se napisati kao

ugg

= ul

l3

3

(5.3.36)

gde je ll

rg x

33

=∂∂

kovarijantni bazni vektor u pravcu ose grede.

Slika 5.3.2 Vitoperenja pravougaonog poprečnog preseka usled torzije

98

Kod grednog elementa se koriste sledeće kovarijantne komponente deformacija koje

odgovaraju vitoperenjima ~ε = ~ ~ ~

ε γ γtt st tr

T. Po analogiji, kako su definisani priraštaji

linearnog dela kovarijantnih deformacija (5.3.18), definišu se priraštaji kovarijantnih

deformacija koji odgovaraju vitoperenjima ( )~, ,eij i

tj j

ti= ⋅ + ⋅

12

u g u g , gde su u ,i izvodi

vitoperenja po prirodnim koordinatama u u,i

ir=∂∂

, dok su tig kovarijantni bazni vektori

ti

t

irg x

=∂∂


~ ~e B= t

Lα (5.3.37)

gde su α = α α1 2T konstante. Matrica veze između konstanti α i dela kovarijantnih

deformacija ~e , koji su posledica vitoperenja pri uvijanju, dobija se u sledećem obliku

( )( )

tr

tr r s

t

st

s r st

b x b x x x

a x a x x x

~B g g

g g

= −

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

0 0

2 23

2 23

32 2

3

32 2

3

(5.3.38)

gde su tji

ti

jJ

xr

=∂∂

članovi Jacobi-jeve matrice, dati izrazom (5.3.21).

Ovaj postupak se može koristiti za korigovanje krutosti, kako kod izoparametarske grede, koja je izložena u poglavlju 3.3, tako i kod Hermit-ove grede, Bathe i dr. (1979). Takođe, ovaj postupak može se primenjivati u linearnoj i nelinearnoj analizi. Rezultujuća matrica krutosti elementa sadrži, pored dela koji odgovara uobičajenim stepenima slobode (5.3.15) i deo koji odgovara novouvedenim α , koji mogu biti eliminisani statičkom kondenzacijom pre dodavanja matrice elementa u globalnu matricu krutosti sistema. Pošto je funkcija vitoperenja (5.3.35) četvrtog reda, za integraciju po poprečnom preseku mora se koristiti najmanje integracija 3x3, pri kojoj su interpolacioni polinomi petog reda.

5.4. ROTIRANJE ORTONORMIRANIH BAZNIH VEKTORA

U geometrijski nelinearnim problemima vrši se rotiranje u svakoj iteraciji jediničnih ortogonalnih vektora, koji su definisani u svakom čvoru elementa ljuske i grede. Korigovani jedinični vektori su takvi da zadržavaju ortogonalnost posle rotacije. Prema Stanly (1985), novi položaj jediničnog vektora ( )V i u iteraciji ( )i računa se na osnovu poslednjeg poznatog ( )V i−1 u iteraciji ( )i − 1 i matrice rotacije ( )T θ koja je data u funkciji vektora priraštaja rotacije

θ = θ θ θ1 2 3T u iteraciji ( )i

99

( ) ( ) ( )V V Ti i= −1 θ (5.4.1)

Matrica V sastoji se od komponenata jediničnih vektora u odnosu na nepokretni Descartes-ov koordinatni sistem

V V V V= =⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

1 2 3

11 21 31

12 22 32

13 23 33

V V VV V VV V V

(5.4.2)

gde je ( )Vij i j= cos ,V i .

Matrica rotacije računa se prema sledećem izrazu

( )T θ = I ++

1

14

2θΘ Θ+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

2 (5.4.3)

gde su Θ antisimetrična matrica

Θ =0

00

3 2

3 1

2 1

−−

−

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

θ θθ θθ θ

(5.4.4)

a θ intenzitet vektora rotacije

θ θ θ θ= + +12

22

32 (5.4.5)

5.5 POSTUPAK REŠAVANJA INKREMENTALNIH JEDNAČINA KONAČNOG ELEMENTA UZ KORIŠĆENJE INKOMPATIBILNIH POMERANJA Inkompatibilna pomeranja su definisana u okviru definisanja osnovnih matrica veze između pomeranja i deformacije. Ovde se prikazuje algoritam rešavanja inkrementalnih ravnotežnih jednačina koji se koristi na nivou konačnog elementa a zasniva se na statičkoj kondenzaciji (eliminisanju) inkompatibilnih pomeranja. Polazi se od ravnotežne jednačine konačnog elementa koja se u slučaju korišćenja inkompatibilnih pomeranja može napisati u sledećem obliku

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆+∆

∆

ut

ut

sttt

t

uutT

uut

uut

uut

FF

F0

UU

KKKK

(5.5.1)

100

Korišćenjem inkrementalne formulacije opisane u glavi 2.2., jednačina (5.5.1) može da se prevede u inkrementalni oblik

( ) ( )tuu

tuuT t

uut

uut t t

st

ut

uuT t

uut

uK K K K U F F K K F− = − −− + −1 1∆ ∆ (5.5.2) )(1

utt

uut

uutt FUKKU +=− ∆−∆ (5.5.3)

Matrice krutosti koje se koriste u jednačinama (5.5.2) i (5.5.3) su definisane na sledeći način

∫ ∫+=v v

tNL

tt0

TNL

ttL

ttTL

tuu

t

t t

vdvd BBBCBK σ (5.5.4)

∫ ∫+=v v

tNL

tt0

TNL

ttL

ttTL

tuu

t

t t


∫ ∫+=v v

tNL

tt0

TNL

ttL

ttTL

tuu

t

t t


Vektori unutrašnjih sila su

∫=v

tt0

TL

tu

t

t

vdσBF (5.5.7)

∫=v

tt0

TL

tu

t

t

vdσBF (5.5.8)

Ukupna inkompatibilna pomeranja se računaju na isti način (sabiranjem) kao i pomeranja u čvorovima. Matrice veze t B i t B između deformacija i pomeranja su date u ovoj glavi, za svaki konačni element. Postupak rešavanja jednačina na nivou konačnog elementa je prikazan u Tab. 5.5.1.

101

Tabela 5.5.1 Algoritam za nelinearnu analizu na nivou konačnog elementa pri korišćenju inkompatibilnih pomeranja

1. Ukupna čvorna pomeranja (u iteraciji i) t t i t t i i+ + − −= +∆ ∆U U U( ) ( ) ( )1 1 2. Ukupna inkompatibilna pomeranja U K K U F( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )i t t

uui t t

uui i t t

ui− + − − + − − + −=− +1 1 1 1 1 1∆ ∆ ∆

t t i t t i i+ + − −= +∆ ∆U U U( ) ( ) ( )1 1 3. Određivanje deformacija e e U e U= +( ) ( ) glava 5. 4. Integracija napona 0

1t t i+ −∆ σ ( ) Konstitutivna matrica t t i+ −∆ C( )1 5. Unutrašnje sile t t

ui t t T i t t i t t

v

d vt t

+ − + − + − +=+∫∆ ∆ ∆ ∆

∆

F B( ) ( ) ( )1 10

1σ

t tu

i t t T i t t i t t

v

d vt t

+ − + − + − +=+∫∆ ∆ ∆ ∆

∆

F B( ) ( ) ( )1 10

1σ

6. Računanje matrica krutosti ∫∫ +=

∆+

∆+−∆+−∆+−∆+−∆+

vNL

TNL

v

tt1iL

tt1itt1iTL

tt1iuu

tt dvvdtt

BBBCBK σ)()()()(

∫∫ +=∆+

∆+−∆+−∆+−∆+−∆+

vNLNL

v

tt1itt1itt1iTtt1iuu

tt dvvdtt

BBBCBK σ)()()()(

∫∫ +=∆+

∆+−∆+−∆+−∆+−∆+

vNLNL

v

tt1itt1itt1iTtt1iuu

tt dvvdtt

BBBCBK σ)()()()(

7. Korigovanje matrice krutosti i vektora unutrašnjih sila t t i t t

uui t t

uuT i t t

uui t t

uui+ − + − + − + − − + −= −∆ ∆ ∆ ∆ ∆K K K K K( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

t t i t tu

i t tuuT i t t

uui t t

ui+ − + − + − + − − + −= −∆ ∆ ∆ ∆ ∆F F K K F( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1

8. Računanje priraštaja čvornih pomeranja t t i i t t i+ − + −=∆ ∆K U F( ) ( ) ( )1 1

102

103

-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 1 2 3 4 5

Vreme [s]

Sila

[kN]

6. PRIMERI Primer 6.1. Elasto-plastična analiza štapova. Prvo ćemo posmatrati jednostavan primer gde je potrebno uzeti u obzir samo efekat materijalne nelinearnosti (slika 6.1.1.). Pretpostavićemo da su pomeranja i deformacije male, i da se opterećenje nanosi polako (statički), tj. zanemaruju se inercijalne sile. Geometrijaki i materijalni podaci i promena sile dati su na slici 6.1.1. Odrediti zavisnost pomeranja od sile F.

Slika 6.1.1.

Slika 6.1.1. Geometrijski i materijalni podaci Numeričko rešenje zavisnosti sila-pomeranje prikazano je na slici 6.1.2.

-300-200-100

0100200300400500600700

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004

Pomeranje

Sila

Slika 6.1.2. Dijagram sila-pomeranje

E=2E8 kN/m2

ν=0 σT=2.4E5 kN/m2

E T=2E7 kN/m2 A1=10 cm2

A2=8 cm2 l1=0.5m l2=1 m

104

Primer 6.2. Elasto-plastična analiza štapova. Struktura sastavljena od 7 perfektno plastičnih štapova analizirana je LNDR (Lučna dužina+Njutn-Rafson) metodom. Pri tome je uzeta u obzir promena geometrije. Model je prikazan na sledećoj slici. Odrediti zavisnost pomeranja od sile F.

Slika 6.2.1. Geometrijski i materijalni podaci

Numeričko rešenje zavisnosti sila-pomeranje prikazano je na slici 6.2.2.

050

100150200250300350

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06

Pomeranje

Sila


Dobijeni rezultati se dobro slažu sa rešenjima iz literature.

105

Primer 6.3. Elasto-plastična analiza štapova. Struktura sastavljena od 3 perfektno plastična štapa, čija se promena geometrije uzima u obzir, analizirana je LNDR (Lučna dužina+Njutn-Rafson) metodom. Model je prikazan na slici 6.3.1. Odrediti zavisnost pomeranja od sile P.

σ

3σ

σ


Numeričko rešenje zavisnosti sila-pomeranje prikazano je na slici 6.3.2.

0

100

200

300

400

500

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

Pomeranje

Sila


Dobijeni rezultati se dobro slažu sa rešenjima iz literature.

106

Primer 6.4. Propadanje (snap-through). Posmatraćemo jednostavan primer, jedan štap sa silom usmerenom u suprotnom smeru y ose (slika 6.4.1.). Ovaj primer služi za ilustraciju procedure za automatski izbor opterećenja u oblasti postkritičnog ponašanja. Inkrementalne metode sa monotonim povećanjem nivoa spoljašnjih opterećenja ne mogu obuhvatiti kompletno ponašanje ovakve strukture. Analitička veza sile F i pomeranja je analogno izrazu:

( )YLYLYLL

EAF o −⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+−= β

β00

2000sin

sin211

gde je Y pomeranje tačke u kojoj je zadata sila.

L


Primer je rešavan metodom konstantne lučne dužine. Numeričko rešenje zavisnosti sila-pomeranje prikazano je na slici 6.4.2., rešenje se poklapa sa analitičkim.

-10000

-5000

0

5000

10000

15000

0 1 2 3 4 5 6 7

Pomeranje

Sila


E=2.1E6 ν=0.3 A=1 L=10

107

Primer 6.5. Propadanje unazad (snap-back). Na bazi prethodnog primera je formulisan sledeći model, kod koga se uočava efekat čiji je naziv u literaturi “snap-back“. Prema slici 6.5.1. očigledno je da je zavisnost sila F - pomeranje Y istovetna kao i u prethodnom primeru.

X

Y

1

2

3

A12=0.02

A23=1


U graničnom slučaju, kada je štap 12 apsolutno krut, pomeranje X je za svaku vrednost sile F jednako pomeranju Y. U realnom slučaju, pomeranja X i Y su međusobno jednaka samo u slučaju kada je F=0. Rešenje je dobijeno korišćenjem LDNR metode, pri čemu je pomeranje u prvom koraku zadato za čvor 1 (∆U*=0.1), a ukupan broj koraka bio je 40. Odrediti zavisnost pomranja X i Y od sile F. Numerička rešenja zavisnosti sila-pomeranje prikazano je na slici 6.5.2., rešenja se poklapaju sa analitičkim.

-8000-6000-4000-2000

02000400060008000

0 1 2 3 4 5 6 7

Pomeranje

Sila

X-pomeranje Y-pomeranje


E=2.1E6 ν=0.3 L=10

108

Primer 6.6. Velika pomeranja kružnog luka. Kružni luk sa nesimetričnim osloncima opterećen je silom (slika 6.6.1.). Povećanje sile uzrokuje velika pomeranja strukture. Materijal kružnog luka je izotropan elastičan. Primer pokazuje primenu metode konstantne lučne dužine (LDNR), prati istoriju deformacije strukture sa propadanjem (snap-throught) i propadanjem-unazad (snap-back). Problem je rešavan sa 180 vremenskih koraka.


Na slici 6.6.2 prikazana je deformacija u 50 koraku zajedno sa nedeformisanim (orginalnim) modelom.

109

Slika 6.6.2. Polje efektivnog napona

Zavisnost sila - y pomeranje čvora u kome deluje sila prikazana je na slici 6.6.3. Na slici 6.6.4. prikazana je zavisnost sila – x pomeranje čvora u kome deluje sila.

Y pomeranje

-500

0

500

1000

1500

2000

0 50 100 150 200 250

Pomeranje

Sila

Slika 6.6.3. Dijagram sila-y pomeranje

110

X pomeranje

-500

0

500

1000

1500

2000

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70

Pomeranje

Sile

Slika 6.6.4. Dijagram sila-x pomeranje

111

Primer 6.7. Velika pomeranja proste grede sa lokalnim izvijanjem. Greda je opterećena silom na slobodnom kraju (slika 6.7.1). Usled vitkosti strukture, sila prouzrokuje lokalno izvijanje. Na mestu delovanja sile zadaje se pomeranje a sila se izračunava proračunom. Odrediti zavisnost sile od pomeranja, polje napona i deformacije.

Primer pokazuje da lokalno izvijanje vitke strukture može biti rešeno korišćenjem elemenata ljuske programa PAK.


Na slici 6.7.2. prikazano je polje efektivnog napona i deformisana konfiguracija.

112


Zavisnost sila - pomeranje čvora u kome je zadato pomeranje prikazana je na slici 6.7.2.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

Pomeranje

Sila


113

Primer 6.8. Propadanje i propadanje unazad ljuske. Cilindrična ljuska opterećena je silom P. Prave ivice ljuski su zglobno vezane a krive ivice su slobodne. Razmatrane su dve debljine ljuske 6.35mm i 12.7mm. U oba slučaja korišćena je procedura za automatski izbor opterećenja u oblasti postkritičnog ponašanja. Zbog simetričnosti modela i opterećenja, kreira se četvrtina modela (slika 6.8.1). Odrediti naponsko polje i deformaciju cilindra; zavisnost sila-pomeranje u tačkama A i B.

Slika 6.8.1. Grometrijski i materijalni podaci

Na slici 6.8.2 prikazano je polje efektivnog napona i deformisana konfiguracija za ljusku debljine 6.35mm.

E=3.10275 kN/mm2 ν=0.3

R=2540 mm L=254 mm h=6.35 mm θ=0.1 rad

P=1 kN B

A

θ

Zglob (u=v=w=0)

P

114


Zavisnost sila - pomeranje tačaka A i B, za ljusku debljine 6.35mm, prikazana je na slici 6.8.3. Na slici 6.8.4. prikazana je zavisnost sila – pomeranje tačaka A i B, za ljusku debljine 12.7mm.

-400-200

0200400600800

10001200

0 5 10 15 20 25 30 35

Pomeranje

Sila

A B

Slika 6.8.3. Dijagram sila-pomeranje (h=6.35mm)

115

0500

100015002000250030003500

0 5 10 15 20 25 30

Pomeranje

Sila

A B

Slika 6.8.4. Dijagram sila-pomeranje (h=12.7mm)

116

Primer 6.9. Stezanje cilindra sa slobodnim ivicama. Velika pomeranja cilindra, prikazanog na slici 6.9.1., razmatrana su u ovom primeru. Zbog simetrije, jedna osmina cilindra je modelirana konačnim elementima. Model sadrži mrežu od 12x8 elemenata ljuske. Cilindar je opterećen silom, koja linearno raste. Odrediti naponsko polje i deformaciju cilindra; zavisnost sila-pomeranje u tačkama A i B.

y

z

x

ϕ

F

B

A

F

ϕ

ϕ

Slika 6.9.1. Geometrijski i materijalni podaci Na slici 6.9.2 prikazano je polje efektivnog napona i deformisana konfiguracija.

E=10.5x103kN/m2

ν=0.3125 L=10.35m R=4.953m Debljina=0.094m F=1 kN

117


Zavisnost sila - pomeranje tačaka A i B, prikazana je na slici 6.9.3.

02468

10121416

0 1 2 3 4 5

Pomeranje

Sila

A B


118

Primer 6.10. Polovina sfere sa otvorom opterećena koncentrisanom silom. Analizira se deformisanje polovine sfere sa otvorom na vrhu koji odgovara uglu ф=18°, opterećene koncentrisanom silom. Granični uslovi, dimenzije i podaci o materijalu prikazani su na slici 6.10.1. Konstrukcija je modelirana sa mrežom 16x16 elemenata ljuske. Za datu polovinu sfere sa otvorom odrediti zavisnost sila-pomeranje u tačkama A i D.

Slika 6.10.1. Polovina sfere sa otvorom opterećena koncentrisanim silama Na slici 6.10.2 prikazano je polje efektivnog napona i deformisana konfiguracija.


R=10 cm h=0.04 cm E=6.825⋅107 N/cm2 ν=0.3 F=1.0 N

119

Dobijeni ugibi u tačkama A i D, prikazani su na slici 6.10.3.

0

50

100

150

200

250

0 2 4 6 8 10

Pomeranje

Sila

A D


120

Primer 6.11. Defleksija kvadratne epruvete pri jednoosnom dijagonalnom zatezanju (Yoshida-test). Kvadratna epruveta, stranice 90mm modelirana je elementima ljuske, debljine 0.7mm. Zbog simetrije modelirana je četvrtina epruvete (slika 6.11.1.).


Da bi se pri zatezanju epruvete pojavila defleksija neophodno je zadati inicijalnu inperfekciju geometrije u pravcu debljine lima. Kao inicijalna inperfekcija zadat je skalirani drugi mod, dobijen modalnom analizom. Prvo je urađena modalna analiza a potom elasto-plastična analiza epruvete. Sopstveni oblici oscilovanja za prvi i drugi mod su prikazani na slici 6.11.2. a) i b). a) b)

Slika 6.11.2. Sopstveni oblici oscilovanja

L=70 mm a=90 mm b=40 mm E=2.1⋅105 N/mm2 ν=0.3 ρ=7.8⋅10-9 kg/mm3

121

Slika 6.11.3. Polje pomeranja u pravcu z ose (defleksija)

Slika 6.11.4. Polje efektivne plastične deformacije (na donjoj površini)

122

Slika 6.11.5. Polje efektivnog napon (na donjoj površini)

123

Primer 6.12. Velike deformacije kružne epruvete. Kružna epruveta koja se koristi za standardne jednoosne testove je izložena jednoosnom naprezanju. Tokom zatezanja, usled velikih deformacija dolazi do smanjenja poprečnog preseka epruvete. Geometrijski i materijalni podaci su dati na sledećoj slici 6.12.1. Korišćeni su trodimenzionalni dvadesetočvorni elementi. Zbog simetrije, modelirana je jedna osmina epruvete, sa uslovima simetrije za čvorove koji leže u koordinatnim ravnima. Model se sastoji od 96 elemenata. U aksijalnom pravcu su korišćena četiri sloja elmenata manjih dimenzija i četiri sloja elemenata većih dimenzija, kao što je prikazano na slici 6.12.1. Inicijalna imperfekcija je definisana tako što se radijus epruvete linearnjo uvećava od R u sredini do 1.01R na kraju epruvete. Iskorišćene su formulacije velikih deformacija sa logaritamskom deformacijom kao merom deformacije i integracijom napona prema metodi glavnog parametra (GPM), Kojic (1997).

Rešenje je postignuto u 35 koraka pomeranjima sa inkrementima 0.2 mm i Full-Newton iterativnom metodom pomoću liniskog pretraživanja (Line Search).


Na slici 6.12.2. prikazano je polje efektivne plastične deformacije i deformisana konfiguracija, a na slici 6.12.3. pomeranja i deformisana konfiguracija.

]e1)[C(

eHPen

yvy

Pyvy

−−σ−

++σ=σ

E=210.40 kN/mm2

ν=0.3118 σyv=0.45 kN/mm2

Cy=0.715 kN/mm2

H=0.12924 kN/mm2 n=16.93

R=6.35mm

124

Slika 6.12.2. Polje efektivne plastične deformacije

Slika 6.12.4. Polje pomeranja

125

Dijagram sila – pomeranje dat je na slici 6.12.5. Pošto je modelirana četvrtinu poprečnog preseka sila na dijagramu je četiri puta veća od dobijene vrednost (u čvoru u kome je zadato pomeranje).

0102030405060708090

0 1 2 3 4 5 6 7

Pomeranje

Sila


126

Primer 6.13. Velike deformacije pravougaone epruvete. Pravougaona epruveta, sa dimenzijama prikazanim na slici 6.13.1., izložena je zatezanju do kidanja. Odrediti deformaciju modela i nacrtati dijagram sila – pomeranje.


Prilikom modeliranja epruvete, zbog geometijske simetrije, modelirana je samo jedna osmina modela uz primenu odgovarajućih graničnih uslova simetrije. Model se sastoji od 32 elementa (korišćeni su 3D parabolički elementi) podeljenih u dve zone. Prva sa jednakim aksijalnim dužinama od 2mm, i druga sa 4mm aksijalne dužine. Inicijalna imperfekcija je definisana kao centralno suženje dimenzija poprečnog preseka za 1% (slika 6.13.1.).

Deformacija epruvete je povećavana zadavanjem aksijalnog pomeranja u krajnjim tačkama modela. Pomeranje je zadato samo u jednoj tačci, ali je korišćen princip vezanih pomeranja svih tačaka na površini na kojoj deluje opterećenje i tačke u kojoj zadajemo pomeranje. Kao mera deformacije korišćen je metod: Large strain with logaritmic strain. Rešenje je dobijeno sa 40 koraka, sa jednakim inkrementom pomeranja 0.2mm; korišćen je Full Newton with line search iterativni metod. Polje efektivne plastične deformacije i deformisana konfiguracija prikazano je na slici 6.13.2.

]e1)[C(

eHPen

yvy

Pyvy

−−σ−

++σ=σ

E=210.40 kN/mm2

ν=0.3118 σyv=0.45 kN/mm2

Cy=0.715 kN/mm2

H=0.12924 kN/mm2 n=16.93 a=16 mm b=4 mm L=52 mm

127

Slika 6.13.2. Polje efektivne plastične deformacije

Dijagram sila – pomeranje dat je na slici 6.13.3. Pošto je modelirana četvrtinu poprečnog preseka sila na dijagramu je četiri puta veća od dobijene vrednost (u čvoru u kome je zadato pomeranje).

05

1015202530354045

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Pomeranje

Sila


128

129

LITERATURA ABAQUS, (1985), Examples, Applications. ADINA, (1983), System verification manual. Argyris J. H., Balmer H., Doltsinis J. St., Dunne P. C., Haase M., Kleiber M., Malejannakis G. A.,

Mlejnek H. P., Muller M. and Scharpf D. W., (1979), 'Finite element method -the natural approach', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 17/18, 1-106.

Argyris J. H., Hilpert O., Malejannakis G. A. and Scharpf D. W., (1979a), 'On the geometrical stiffness of a beam in space a consistent v. w. approach', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 20, 105-131.

Argyris J. H. and Symeonidis S., (1981), 'Nonlinear finite element analysis of elastic systems under nonconservative loading-natural formulation. Part I. quasistatic problems', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 26, 75-123.

Atkin R. J. and Fox N., (1980), An Introduction to the Theory of Elasticity, Longman Inc., New York. Atluri S. N., (1984), 'Alternate stress and conjugate strain measures, and mixed variational formulations

involving rigid rotations, for computational analyses of finitely deformed solids, with application to plates and shells', Comp. Struct., 18, 93-116.

Averill R. C. and Reddy J. N., (1990), 'Behavior of plate elements based on the first order shear deformation theory', Eng. Comput., 7, 57-74.

Balmer H. A., (1969), General beam element for ASKA, ISD, Stuttgart. Bathe K. J., Ramm E. and Wilson E. L., (1975), 'Finite element formulations for large deformation

dynamic analysis', Int. j. numer. methods eng., 9, 353-386, Bathe K. J. and Bolourchi S., (1979) 'Large displacement analysis of three-dimensional beam structures',

Int. j. numer. methods eng., 14, 961-986. Bathe K. J. and Ramaswamy S., (1979a), 'On three-dimensional nonlinear analysis of concrete

structures', Nuclear Engineering and Design, 52, 385-409. Bathe K. J. and Bolourchi S., (1980), 'A geometric and material nonlinear plate and shell element', Comp.

Struct., 11, 23-48. Bathe K. J., Snyder M. D., Cimento A. P. and Rolph W. D. III, (1980a), 'On some current procedures and

difficulties in finite element analysis of elastic-plastic response', Comp. Struct., 12, 607-624.

Bathe K. J. and Cimento A. P., (1980b), 'Some practical procedures for the solution of nonlinear finite element equations', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 22, 59-85.

Bathe K. J. and Almeida C. A., (1980c), 'A simple and effective pipe elbow element-linear analysis', J. Appl. Mech., 47, 93-100.

Bathe K. J. and Ho L., (1981), 'A simple and effective element for analysis of general shell structures', Comp. Struct., 13, 673-681.

Bathe K. J., (1982), Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J.

Bathe K. J. and Chaudhary A., (1982a), 'On the displacement formulation of torsion of shafts with rectangular cross-sections', Int. j. numer. methods eng., 18, 1565-1580.

Bathe K. J., Dvorkin E. N. and Ho L., (1983), 'Our discrete-Kirchhoff and isoparametric shell elements for nonlinear analysis-an assessment', Comp. Struct., 16, 89-98.

Bathe K. J. and Dvorkin E. N., (1985), 'Short communication a four-node plate bending element based on Mindlin-Reissner plate theory and a mixed interpolation', Int. j. numer. methods eng., 21, 367-383.

Bathe K. J. and Dvorkin E. N., (1986), 'A formulation of general shell elements-the use of mixed interpolation of tensorial components', Int. j. numer. methods eng., 22, 697-722.

Batoz J., Bathe K. J. and Ho L., (1980), 'A study of three-node triangular plate bending elements', Int. j. numer. methods eng., 15, 1771-1812.

130

Berković M. and Drašković Z., (1991), 'On the essential mechanical boundary conditions in two-field finite element approximations', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 91, 1339-1355.

Berković M. and Drašković Z., (1993), 'On the hierarchic shape functions in the mixed FEM model', 20. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Kragujevac.

Berković M. and Miljković M., (1993), 'The discrete Kirchhoff hypothesis and the Lagrangian multipliers in the finite element shell analysis', 20. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Kragujevac.

Bell J. F., (1995), 'Laboratory experiments on thin-walled tubes at large finite strain: symmetry, coaxiality, rigid body rotation, and the role of invariants, for the applied stress σ = RTR

T ,

the Cauchy stress [ ]σ∗ −= IIIV RT1FT , and the left Cauchy-Green stretch tensor

V FR= T ', Int. J. of Plasticity, 11, 119-144. Billington E. W.,(1986), Introduction to the mechanics and physics of solids, Adam Hilger Ltd, Bristol. Boisse P., Daniel J. L. and Gelin J. C., (1992), 'A simple isoparametric three-node shell finite element',

Comp. Struct., 44, 1263-1273. Boisse P., Daniel J. L. and Gelin J. C., (1994), 'A C0three-node shell element for non-linear structural

analysis', Int. j. numer. methods eng., 37, 2339-2364. Boisse P., Gelin J. C. and Daniel J. L., (1996), 'Computation of thin structures at large strains and large

rotations using a simple C0 isoparametric three-node shell element', Comp. Struct., 58, 249-261.

Bolland G. B., (1973), Flexibility and Stiffness matrices for an open-tube warping constraint finite element, Academies Press, London and New York.

Bonn R. and Haupt P., (1995), 'Exact solutions for large elastoplastic deformations of a thick-walled tube under internal pressure', Int. J. of Plasticity, 11, 99-118.

Borja R. I. and Alarcon E., (1995), 'A mathematical framework for finite strain elastoplastic consolidation Part 1: balance laws, variational formulation, and linearization', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 122, 145-171.

Bouberguig A. and Jirousek J., (1980), 'A family of special-purpose elements for analysis of ribbed and reinforced shells', Comp. Struct., 12, 253-264.

Bretl J. L. and Cook R. D., (1979), 'A new eight-node solid element', Int. j. numer. methods eng., 14, 593-615.

Brunk D. H. and Mitchell L. D., (1983), 'An analysis of an Euler-Bernoulli beam-column with arbitrary initial crookedness by transfer matrix methods', Comp. Struct., 16, 415-421.

Buechter N. and Ramm E., (1992), 'Shell theory versus degeneration a comparison in large rotation finite element analysis', Int. j. numer. methods eng., 34, 39-59.

Carnoy E., (1980), 'Postbuckling analysis of elastic structures by the finite element method', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 23, 143-174.

Cazzani A. and Atluri S. N., (1993), 'Four-noded mixed finite elements, using unsymmetric stresses, for linear analysis of membranes', Computational Mechanics, 11, 229-251.

Celentano D., Oller S. and Onate E., (1995), 'A coupled thermomechanical model for the solidification of cast metals', Int. J. Solids Structures, , 647-673.

Chadwick P., (1976), Continuum mechanics, John Wiley & Sons, New York. Chang T. Y., Saleeb A. F. and Graf W., (19 ), 'On the mixed formulation of a 9-node Lagrange shell

element', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 73, 259-2 . Chen W. and Atsuta T., (1977), Theory of Beam-Columns, Mc Graw-Hill, New York. Chen W. and Cheung Y. K., (1991), 'Improvement of three-dimensional hybrid hexahedral elements by

using orthogonal approach', Eng. Comput., 8, 257-271. Conci A. and Gattass M., (1990), 'Natural approach for thin-walled beam-columns with elastic-plasticity',

Int. j. numer. methods eng., 29, 1653-1679. Conci A., (1992), 'Large displacement analysis of thin-walled beams with generic open section', Int. j.

numer. methods eng., 33, 2109-2127.

131

Cook R. D., (1990), 'Simulating curved elements by offsets: rationale and application to shells of revolution', Eng. Comput., 7, 79-80.

Crisfield M. A., (1981), 'A fast incremental/iterative solution procedure that handles "snap-trough"', Comp. Struct., 13, 55-62.

Crisfield M. A., (1983), 'A four-noded thin-plate bending element using shear constraints-a modified version of Lyons element', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 38, 93-120.

Crisfield M. A., (1984), 'A quadratic Mindlin element using shear constraints', Comp. Struct., 18, 833-852.

Crisfield M. A., (1986), 'Snap-through and snap-back response in concrete structures and the dangers of under-integration', Int. j. numer. methods eng, 22, 751-767.

Crisfield M. A., (1991), Non-linear finite element analysis of solids and structures, John Wiley & Sons, New York.

Crivelli L. A. and Felippa C. A., (1993), 'A three-dimensional non-linear Timoshenko beam based on the core-congruential formulation', Int. j. numer. methods eng, 36, 3647-3673.

Dunica Š. and Kolundžija B., (1986), Nelinearna analiza konstrukcija, Naučna knjiga, Beograd. Dvorkin E. N. and Bathe K. J., (1984), 'A Continuum mechanics based four-node shell element for

general nonlinear analysis', Eng. Comput., 1, 77-88. Ekmark B., (1983), On Large Strain Theories in Sheet Metal Forming, Ph.D. dissertation, Division of

Metal Working, University of Lulea, Lulea. Eterovic A. L. and Bathe K. J., (1990), 'A hyperelastic-based large strain elasto-plastic constitutive

formulation with combined isotropic-kinematics hardening using the logarithmic stress and strain measures', Int. j. numer. methods eng, 30, 1099-1114.

Famiglietii C. M. and Prevost J. H., (1994), 'Solution of the slump test using a finite deformation elasto-plastic Drucker-Prager model', Int. j. numer. methods eng, 37, 3869-3903.

Fotiu P. A., (1995), 'A modified generalized midpoint rule for the integration of rate-dependent thermo-elastic-plastic constitutive equations', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 122, 105-129.

Fredrickson A. G., (1964), Principles and applications of archeology, Prentice-Hall, Canada. Fung Y. C., (1965), Foundations of Solid Mechanics, Prentice Hall, Englewood Cliffs. Garnet H. and Pifko A. B., (1983), 'An efficient triangular plate bending finite element for crash

simulation', Comp. Struct., 16, 371-379. Gelin J. C. and Boisse P., (1991), 'Finite inelastic deformations of three-dimensional shells with

applications to sheet metal forming processes', Besdo D. and Stein E. (Eds.), Finite Inelastic Deformations-Theory and Applications, 373-387.

Giavotto V., Borri M., Mantegazza P., Ghiringhelli G., Carmaschi V., Maffioli G. C. and Mussi F., (1983), 'Anisotropic beam theory and applications', Comp. Struct., 16, 403-413.

Grujović N., (1986), Anizotropne grede-osnovi teorije i primena metode konačnih elemenata, Diplomski rad, Mašinski fakultet, Univerzitet u Kragujevcu, Kragujevac.

Grujović N., (1989), Metodi inkrementalnog rešavanja nelinearnih problema u proračunu konstrukcija, Magistarski rad, Mašinski fakultet, Univerzitet u Kragujevcu, Kragujevac.

Grujović N., Kojić M., Slavković R. and Živković M., (1993), 'Contact surfaces discretization by finite element method', 20. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, 76-79, Kragujevac.

Grujović N., Kojić M., Slavković R., Živković M., Mitrović S., Filipović N. i Gojković S., (1995), 'Grafičko pre- i post-procesiranje paketa SAN za linearnu i nelinearnu analizu konstrukcija, provodjenje toplote i mehaniku fluida', CAD forum, 187-192, Novi Sad.

Grujović N., Živković M. and Kojić M., (1995a), 'Implementation of the Kotsovos and Pavlović concrete model in the FE program PAK', Report, Faculty of mechanical engineering of Kragujevac.

Grujović N., (1995), Rešavanje kontaktnih problema metodom konačnih elemenata, Doktorski rad, Mašinski fakultet, Univerzitet u Kragujevcu, Kragujevac.

Gurtin M. E., (1981), An introduction to continuum mechanics, Academic press, New York. Ha K. H., (1979), 'A multipurpose gauss routine for unbanded symmetric matrix', Int. j. numer. methods

eng., 14, 933-945.

132

Heiduschke K., (1995), 'The logarithmic strain space description', Int. J. Solids Structures, 32, 1047-1062.

Heiduschke K., (1996), 'Computational aspects of the logarithmic strain space description', Int. J. Solids Structures, 33, 747-760.

Heiduschke K., 'Axisymmetric three- and four-node finite elements for large strain elasto-plasticity', Int. j. numer. methods eng., accepted.

Hill K. J., (1968), 'On constitutive inequalities for simple materials - I', in J. Mech. Phys. Solids, 16, 229-242.

Hill K. J., (1978), 'Aspects of invariance in Solid Mechanics', in Advances in Applied Mechanics, 18, Academic Press, New York.

Hinton E. and Owen D. R. J., (1977), Finite Element Programming, Academic press, London. Hoger A., (1986), 'The material time derivative of logarithmic strain', Int. J. Solids Structures, 22, 1019-

1032. Hoger A., (1987), 'The stress conjugate to logarithmic strain', Int. J. Solids Structures, 23, 1645-1656. Huang H. C. and Hinton E., (1986), 'A new nine node degenerated shell element with enhanced

membrane and shear interpolation', Int. j. numer. methods eng., 22, 73-92. Hughes T. J. R., Taylor R. L. and Konoknukulchai W., (1977), 'A simple and efficient finite element for

plate bending', Int. j. numer. methods eng., 11, 1529-1543. Hughes T. J. R and Liu W. K., (1981), 'Nonlinear finite element analysis of shells: part I. three-

dimensional shells', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 26, 331-362. Hughes T. J. R and Liu W. K., (1981a), 'Nonlinear finite element analysis of shells-part II. Two-

dimensional shells', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 27, 167-181. Huntley I. and Johnson R. M., (1983), Linear and nonlinear differential equations, John Wiley & Sons,

New York. Ibrahimbegović A., Taylor R. L. and Wilson E. L., (1990), 'A robust quadrilateral membrane finite

element with drilling degrees of freedom', Int. j. numer. methods eng., 30, 445-457. Ibrahimbegović A. and Frey F., (1991), An efficient implementation of stress resultants plasticity in

analysis of ressner-mindlin plates, LSC Internal Report, Swiss Federal Institute of Technology at Lausanne, Lausanne.

Ibrahimbegović A. and Frey F., (1992), Finite element analysis of linear and nonlinear planar deformations of elastic initially curved beams, LSC Internal Report, Swiss Federal Institute of Technology at Lausanne, Lausanne.

Ibrahimbegović A. and Frey F., (1994), 'Stress resultant geometrically non-linear shell theory with drilling rotations part III: linearized kinematics', Int. j. numer. methods eng, 37, 3659-3683.

Ibrahimbegović A., (1995), 'On finite element implementation of geometrically nonlinear Reissner's beam theory: three-dimensional curved beam elements', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 122, 11-26.

Ibrahimbegović A. and Frey F., 'An efficient implementation of stress resultants plasticity in analysis of Reissner-Mindlin plates', submitted to Int. j. numer. methods eng.

Ishizaki T. and Bathe K. J., (1980), 'On finite element large displacement and elastic-plastic dynamic analysis of shell structures', Comp. Struct., 12, 309-318.

Jang J. and Pinsky P. M., (1987), 'An assumed covariant strain based 9-node shell element', Int. j. numer. methods eng., 24, 2389-2411.

Jang J. and Pinsky P. M., (1988), 'Convergence of curved shell elements based on assumed covariant strain interpolations', Int. j. numer. methods eng., 26, 329-347.

Jarić J., (1988), Mehanika kontinuuma, Gra|evinska knjiga, Beograd. Jeon S. M., Cho M. H. and Lee I., (1995), 'Static and dynamic analysis of composite box beams using

large deflection theory', Comp. Struct., 57, 635-642. Jing H. and Liao M., (1990), 'Partial hybrid stress element for transient analysis of thick laminated

composite plates', Int. j. numer. methods eng., 29, 1787-1796. Jiang L. and Olson M. D., (1993), 'A super element model for non-linear analysis of stiffened box

structures', Int. j. numer. methods eng., 36, 2203-2217.

133

Jiang L. and Olson M. D., (1993a), 'Applications of a super element model for non-linear analysis of stiffened box structures', Int. j. numer. methods eng., 36, 2219-2243.

Jiang L. and Chernuka M. W., (1994), 'A simple four-noded corotational shell element for arbitrarily large rotations', Comp. Struct., 53, 1123-1132.

Jiang L. and Sehitoglu H., (1995), 'Comments on the Mroz multiple surface type plasticity models', Int. J. Solids Structures, 33, 105-120.

Jutila A., Tesar A., Isoksela E. and Salokangas L., (1993), 'Space behavior of thin-walled box beams', Comp. Struct, 49, 453-465.

Kim M. Y., Chang S. P. and Kim S. B., (1994), 'Spatial stability and free vibration of shear flexible thin-walled elastic beams. II: numerical approach', Int. j. numer. methods eng., 37, 4117-4140.

Kleiber M., (1989), Incremental finite element modeling in non-linear solid mechanics, PWN, Warsaw. Kleiber M. and Wozniak C., (1991), Nonlinear mechanics of structures, PWN, Warsaw. Kojić M., Slavković R., Pavić \. i Marinković M., (1977), 'Primena metode konačnih elemenata na

tankozidne grede', MVM, 15, Kragujevac. Kojić M., (1993), 'Implicit stress integration for elastic-plastic deformation of von mises material with

mixed hardening', Teorijska i primenjena mehanika, 19, 59-71. Kojić M., Slavković R. and Živković M., (1993a), 'Large inelastic deformation of shells', 20.

Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, 64-67, Kragujevac. Kojić M., Slavković R., Grujović N. and Vukicevic M., (1993b), 'Generalization of "effective-stress

function" to the Cam clay material model', 20. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Kragujevac.

Kojić M., Grujović N., Slavković R. and Živković M., (1994), 'Yield Criterion for a General Anisotropic Plasticity Model with Mixed Hardening', EUROMECH, 2nd European Solid Mechanics Conference, H20, Genoa.

Kojić S., Grujović N. and Živković M., (1994a), 'Nonlinear analysis of joint behavior under thermal and hydrostatic loads for an arch dam', Third benchmark workshop on Numerical analysis of dams, Paris, France.

Kojić M., Slavković R., Grujović N. and Vukićević M., (1994b), 'Implicit stress integration algorithm for the modified cam-clay material', Teorijska i primenjena mehanika, 20, 95-118.

Kojić M., Živković M. and Kojić A., (1995), 'Elastic-Plastic analysis of orthotropic multilayered beam', Computers & Structures, 57, 205-211.

Kojić M., Slavković R., Grujović N. and Živković M., (1995a), 'Implicit Stress Integration Procedure for the Generalized Cap Model in Soil Plasticity', Complas 4, 1809-1820, Barcelona, Spain.

Kojić M., Živković M., Slavković R. and Grujović N., (1995b), 'Elastic-plastic analysis of multilayered orthotropic pipe as a beam superelement with deformable cross-section', Complas 4, 2129-2140, Barcelona, Spain.

Kojić M., Zloković Đ. and Živković M., (1995c), 'FE Nonlinear Analysis of Initially Symmetric Structures Under Nonsymmetric Loading by Application of the Group Theory', 4th National Congress on Mechanics, 416-423, Xanthi, Greece.

Kojić M., Slavković R., Grujović N. and Živković M., (1995d), 'A Solution Procedure for Large Strain Plasticity of the Modified Cam-Clay Material', 4th National Congress on Mechanics, 511-518, Xanthi, Greece.

Kojić M., Slavković R., Grujović N. and Živković M., (1995e), 'Proračun kompozitnih konstrukcija metodom konačnih elemenata u linearnoj i nelinearnoj oblasti', Prvo Jugoslovensko savetovanje "Vlaknima ojačani kompoziti u industriji motornih vozila", 12-19, Mašinski fakultet, Kragujevac.

Kojić M., Slavković R., Živković M., Petrović R. i Filipović N., (1995f), 'Analiza tačnosti rešenja strujanja nestišljivog viskoznog fluida sa prenosom toplote metodom konačnih elemenata', 21. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, 83-88, Niš.

Kojić M., Živković M., Slavković R. and Grujović N., (1995g), 'Elastično-plastična analiza grednog konačnog elementa deformabilnog poprečnog preseka', 21. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, 480-485, Niš.

134

Kojić M., Zloković Đ. i Živković M., (1995h), 'Elastično-plastična analiza početno simetrične konstrukcije pod dejstvom nesimetričnog opterećenja primenom teorije grupa', 21. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Niš.

Kojić M., Grujović N., Slavković R. and Živković M., (1996), 'A General Orthotropic Von Mises Plasticity Material Model with Mixed Hard. Model Def. and Implicit Stress Int. Proc.', Journal of Applaid Mechanics, ASME, 63, 376-382.

Kojić M., Begović D. and Grujović N., (1995j), 'Implicit stress integration of thermo-plastic constitutive relations for orthotropic metals', 4th National Congress on Mechanics, 502-510, Xanthi, Greece.

Kojić M., Begović D. and Grujović N., (1995k), 'A computational procedure for implicit stress integration of anisotropic thermo-plastic and/or anisotropic creep constitutive relations of metals', Complas 4, 249-259, Barcelona, Spain.

Kojić M., Slavković R., Grujović N. and Živković M., (1995l), 'Implicit stress integration procedure for the generalized cap model in soil plasticity', Complas 4, 1809-1820, Barcelona, Spain.

Kojić M., (1995m), 'On the implicit stress integration of viscoplastic constitutive relations by the governing parameter method (GPM)', Complas 4, 165-176, Barcelona, Spain.

Kojić M., (1996), Inelastic Analysis of Solids and Structures , John Wiley and Sons, Chichester, England, u štampi.

Kojić M., Slavković R., Živković M. and Grujović N., PAK-finite element program for linear and nonlinear structural analysis and heat transfer, Faculty of Mechanical Engineering, University of Kragujevac, 34000 Kragujevac, Yugoslavia.

Kollbrunner C. F., Hajdin N. and Krajčinović D., (1969), Matrix Analysis of Thinwalled structures, Zurich.

Kollbrunner C. F. and Hajdin N., (1972), Dunnwandige Stabe, Band 1,2, Springer, Berlin. Kotsovos M. and Pavlović M., (1994), Structural Concrete, working document. Larsen P. K., (1971), Large Displacement Analysis of Shells of Revolution, Including Creep, Plasticity

and Viscoelasticity, Ph.D. dissertation, Structural enginering laboratory University of California Berkeley, California.

Leu L. J. and Mukherjee S., (1994), 'Implicit objective integration for sensitivity analysis in non-linear sold mechanics', Int. j. numer. methods eng, 37, 3843-3868.

Li X., 'Large strain constitutive modeling and computation for isotropic, creep-elastoplastic-damage solids', submitted to Int. j. numer. methods eng.

Liew K. M., Hung K. C. and Lim M. K., (1995), 'Vibration of stress-free hollow cylinders of arbitrary cross section', Transactions of the ASME, 62, 718-724.

Lubarda V. A. and Krajčinović D., (1995), 'Some fundamental issues in rate theory of damage-elastoplasticity', Int. J. of Plasticity, 11, 763-797.

Lush A. M., Weber G. and Anand L., (1989), 'An implicit time-integration procedure for a set of internal variable constitutive equations for isotropic elasto-viscoplasticity', Int. J. of Plasticity, 5, 521-549.

MacNeal R. H., (1978), 'A simple quadrilateral shell element', Comp. Struct., 8, 175-183. MacNeal R. H., (1982), 'Derivation of element stiffness matrices by assumed strain distributions',

Nuclear Engineering and Design, 70, 3-12. Maksimović S., (1993), 'Konacni elementi za nelinearnu analizu ljuski zasnovani na poboljšanoj teoriji

smičućih deformacija', 20. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Kragujevac.

Maksimović S., Kojić M., Grujović N., Slavković R. and Živković M., (1995), 'Geometric and Material Initial Failure of Layered Fiber Reinforced Composite Structures: Numerical and Experimental Study', Complas 4, 1235-1244, Barcelona, Spain.

Malvern L. E., (1969), Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J.

Maniatty A. M. and Yu J. S., (1995), 'Effect of elasticity on slip system activity in face-centered cubic crystals: a numerical study', Int. J. Solids Structures, 33, 1069-10 .

135

Marsden J. E. and Hughes T. J. R., (1983), Mathematical foundations of elasticity, Prentice-Hall, New Jersey.

Martins R. A. F. and Owen D. R. J., (1981), 'Elastoplastic and geometrically nonlinear thin shell by the semiloof element', Comp. Struct., 13, 505-513.

Mase G. E., (1970), Continuum Mechanics, Schaum's outline series, Mc Graw-Hill, New York. Meredith D. and Witmer E. A., (1981), 'A nonlinear theory of general thin-walled beams', Comp. Struct.,

13, 3-9. Mićunović M., (1988), 'Viskoplastičnost - analitički, eksperimentalni i numerički aspekti', 18.

Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Vrnjačka Banja. Mićunović M., (1991), Primenjena mehanika kontinuuma, Gra|evinska knjiga, Beograd. Mićunović M., (1996), 'Multiaxial dynamic experiments and viscoplasticity of metals', Scientific Review,

16, 1-22. Moran B., Ortiz M. and Shih C. F., (1990), 'Formulation of implicit finite element methods for

multiplicative finite deformation plasticity', Int. j. numer. methods eng., 29, 483-514. Morley L. S. D., (1984), 'An assumed stress hybrid curvilinear triangular finite element for plate

bending', Int. j. numer. methods eng., 20, 529-548. Moss W. C., (1984), 'On instabilities in large deformation simple shear loading', Comput. Methods Appl.

Mech. Eng., 46, 329-338. MSC/NASTRAN, (1990), Application manual. Murazumi Y., Nei H., Yagishita N., Nakayama M. and Sugihara Y., (1981), 'Application of Adina to

nonlinear analysis of reinforced concrete shear walls with openings', Comp. Struct., 13, 727-736.

Murthy S. S. and Gallagner R. H., (1983), 'Anisotropic cylindrical shell element based on discrete kirchhoff theory', Int. j. numer. methods eng., 19, 1805-1823.

Nayak G. C. and Zienkiewicz O. C., (1972), 'Elasto-plastic stress analysis. A generalization for various constitutive relations including strain softening', Int. j. numer. methods eng., 5, 113-135.

Nikravesh P. E., Chung I. S. and Benedict R. L., (1983), 'Plastic hinge approach to vehicle crash simulation', Comp. Struct., 16, 95-400.

Noor A. K. and Knight N. F. Jr., (1980), 'Nonlinear dynamic analysis of curved beams', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 23, 225-251.

Noor A. K. and Andersen C. M., (1982), 'Mixed models and reduced/selective integration displacement models for nonlinear shell analysis' Int. j. numer. methods eng., 18, 1429-1454.

Ogden R. W., (1984), Non-linear elastic deformations, John Wiley & Sons, New York. Onate E., Oller S., Oliver J. and Lubliner J., (1988), 'A constitutive model for cracking of concrete

based on the incremental theory of plasticity', Eng. Comput., 5, 309-318. Owen D. R. J. and Figueiras J. A., (1988), 'Ultimate load analysis of reinforced concrete plates and

shells including geometric nonlinear effects', Ed. Owen, D. R. J., Shells, 327-388. Papadrakakis M. and Nomikos N., (1990), 'Automatic non-linear solution with arc length and Newton-

Lanczos methods', Eng. Comput., 7, 48-56. Parisch H., (1981), 'Large displacements of shells including material nonlinearities', Comput. Methods

Appl. Mech. Eng., 27, 183-214. Parisch H., (1991), 'An investigation of a finite rotation four node assumed strain shell element', Int. j.

numer. methods eng., 31, 127-150. Park K. C., (1986), 'Improved strain interpolation for curved C0 elements', Int. j. numer. methods eng.,

22, 281-288. Park K. C. and Stanley G. M., (1986a), 'A curved C0 shell element based on assumed natural-coordinate

strains', Transactions of the ASME, 53, 278-290. Paulun J. E. and Pecherski R. B., (1985), 'Study of corotational rates for kinematics hardening in finite

deformation plasticity', Arch. Mech, 37, 661-677. Perić Đ., Owen D. R. J. and Honnor M. E., (1992), 'A model for finite strain elasto-plasticity based on

logarithmic strains: computational issues', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 94, 35-61.

136

Perić Đ., (1992a), 'On consistent stress rates in solid mechanics: computational implications', Int. j. numer. methods eng., 33, 799-817.

Perić Đ. and Owen D. R. J., (1992b), 'A model for large deformations of elasto-viscoplastic solid at finite strain: computational issues', Besdo D. and Stein E. (Eds.), Finite Inelastic Deformations-Theory and Applications, 299-312.

Pian T. H. and Sumihara K., (1984), 'Rational approach for assumed stress finite elements', Int. j. numer. methods eng., 20, 1685-1695.

Pinsky P. M. and Kim K. O., (1986), 'A multi-director formulation for elastic-viscoelastic layered shells', Int. j. numer. methods eng., 23, 2213-2244.

Prathap G. and Naganarayana B. P., (1992), 'Stress oscillations and spurious load mechanisms in variationally inconsistent assumed strain formulations', Int. j. numer. methods eng., 33, 2181-2197.

Prathap G., Vinayak R. U. and Naganarayana B. P., (1996), 'Beam elements based on a higher order theory-II. Boundary layer sensitivity and stress oscillations', Comp. Struct., 58, 791-796.

Prokić A., (1993), 'Thin-walled beams with open and closed cross-sections', Comp. Struct., 47, 1065-1070.

Rolph W. D. III and Bathe K. J., (1984), 'On a large strain finite element formulation for elasto-plastic analysis', ASME-WAM Symposium, New Orleans.

Sansour C., (1992), 'On the geometric structure of the stress and strain tensors, dual variables and objective rates in continuum mechanics', Arch. Mech., 44, 527-556.

Sekulović M., (1981), 'Prilog nelinearnoj analizi tankozidnih konstrukcija', 15. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, Kupari.

Sekulović M. i Pujević B., (1989), 'Nonlinear analysis of reinforced concrete thin-walled beams and frames', Comp. Struct., 32, 861-870.

Sekulović M. i dr., (1992), Teorija konstrukcija - savremeni problemi nelinearne analize, Gra|evinska knjiga, Beograd.

Sekhon G. S., Shishodia K. S. and Sharma P. C., (1979), 'A numerical method for analysis of bounded metalworking processes', Int. j. numer. methods eng., 14, 1165-1182.

Simo J. C., (1985), 'A finite strain beam formulation. The three-dimensional dynamic problem. Part I', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 49, 55-70.

Simo J. C., Wriggers P., Schweizerhof K. H., and Taylor R. L., (1986), 'Finite deformation post-buckling analysis involving inelasticity and contact constraints', Int. j. numer. methods eng., 23, 779-800.

Simo J. C. and Vu-Quoc L., (1986a), 'A three-dimensional finite-strain rod model. Part II: computational aspects', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 58, 79-116.

Simo J. C. and Ju J. W., (1987), 'Strain and stress-based continuum damage models-I. formulation', Int. j. Solids Structures, 23, 821-840.

Simo J. C. and Fox D. D., (1989), 'On a stress resultant geometrically exact shell-model. Part I: formulation and optimal parametrization', Comput. Methods Appl. Mech. Eng.,

Simo J. C., Fox D. D. and Rifai M. S., (1989), 'On a stress resultant geometrically exact shell model. Part II: The linear theory; computational aspects', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 73, 53-92.

Simo J. C., Fox D. D. and Rifai M. S., (1990), 'On a stress resultant geometrically exact shell model. Part III: Computational aspects of the nonlinear theory', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 79, 21-70.

Simo J. C. and Rifai M. S., (1990a), 'A class of mixed assumed strain method of incompatible modes', Int. j. numer. methods eng., 29, 1595-1638.

Simo J. C. and Taylor R. L., (1991), 'Quasi-incompressible finite elasticity in principal stretches. Continuum basis and numerical algorithms', Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 85, 273-310.

Simo J. C. and Armero F., (1992), 'Geometrically non-linear enhanced strain mixed methods and the method of incompatible modes', Int. j. numer. methods eng., 33, 1413-1449.

137

Simo J. C. and Meschke G., (1993), 'A new class of algorithms for classical plasticity extended to finite strains. Application to geomaterials', Computational Mechanics, 11, 253-278.

Slattery J. C., (1972), Momentum, energy, and mass transfer in continua, McGraw-Hill book company, New Jork.

Slavković R., (1986), Rešavanje problema velikih deformacija kontinuuma sa primenom u metodi konačnih elemenata, Doktorska disertacija, Mašinski fakultet, Univerzitet u Kragujevcu, Kragujevac.

Slavković R., Živković M. and Kojić M., (1993), 'Enhanced 8-node three dimensional solid and 4-node shell elements with incompatible modes', 20. Jugoslovenski kongres teorijske i primenjene mehanike, 52-55, Kragujevac.

Slavković R., Živković M. and Kojić M., (1994), 'Enhanced 8-node three-dimensional solid and 4-node shell elements with incompatible generalized displacements', Communic. numer. methods eng., 10, 699-709.

Sobel L. H. and Newman S. Z., (1979), Plastic, in-plane bending and buckling of an elbow: comparison of experimental and simplified analysis results, Westinghou- se Advanced Reactors Division, Report WARD-HT-94000-2.

Sridharan S., (1982), 'A semi-analytical method for the post-local-torsional buckling analysis of prismatic plate structures', Int. j. numer. methods eng., 18, 1685-1697.

Stanley G., (1985), Continuum-based shell elements, Ph.D. dissertation, Applied Mechanics Division, Stanford University, Stanford, CA.

Surana K. S., (1979), 'Isoparametric elements for cross-sectional properties and stress analysis of beams', Int. j. numer. methods eng., 14, 475-497.

Surana K. S., (1981), 'Consistent mass matrices for three dimensional beam element due to distributed and lumped non-structural mass systems acting on its span', Comp. Struct., 13, 515-524.

Surana K. S. and Sorem R. M., (1989), 'Geometrically non-linear formulation for three dimensional curved beam elements with large rotations', Int. j. numer. methods eng., 28, 43-73.

Tang S. C., Yeung K. S. and Chon C. T., (1980), 'On the tangent stiffness matrix in a convected coordinate system', Comp. Struct., 12, 849-856.

Timoshenko S. and Goodier J. N., (1951), Theory of Elasticity, McGraw-Hill Book Co., New-York. Truesdell C. and Toupin R., (1960), The classical field theories, Handbuch der physik III/1, Springer-

Verlag, Berlin. Vinayak R. U., Prathap G. and Nagannarayana B. P., (1996), 'Beam elements based on a higher order

theory-I. Formulation and analysis of performance', Comp. Struct., 58, 775-789. Vlasov V. Z., (1959), Thin-walled Elastic Bars, Fizmatgiz, Moscow. Vukelić S. i Radenković G., (1995), Tanke elastične ljuske: Teorija i specijalna poglavlja, Gros knjiga,

Beograd. Wilson E. L., Taylor R. L., Doherty W. P. and Ghaboussi J., (1973) 'Incompatible displacement modes',

in S.J.Fenves et al.(eds.), Numerical and Computer Models in Structural Mechanics, AcademicPress, New York.

Wriggers P. and Simo J. C., (1990), 'A general procedure for the direct computation of turning and bifurcation points', Int. J. numer. methods eng., 30, 155-176.

Yuan F. and Miller R. E., (1989), 'A cubic triangular finite element for flat plates with shear', Int. j. numer. methods eng., 28, 109-126.

Zhang S. H. and Lyons L. P. R., (1984), 'The application of the thin-walled box beam element to multibox bridge analysis', Comp. Struct., 18, 795-802.

Zhang S. H. and Lyons L. P. R., (1984a), 'A thin-walled box beam finite element for curved bridge analysis', Comp. Struct., 18, 1035-1046.

Zienkiewicz O. C., Onate E. and Heinrich J. C., (1981), 'A general formulation for coupled thermal flow of metals using finite elements', Int. j. numer. methods eng., 17, 1497-1514.

Živković M., (1989), Rešavanje nelinearnih termo-mehaničkih problema konstrukcija metodom konačnih elemenata, Magistarski rad, Mašinski fakultet, Univerzitet u Kragujevcu, Kragujevac.

138

_Živković M., Kojić M., Slavković R. and Grujović N., (1995), 'A beam superelement with deformable cross-section for geometrically nonlinear analysis', 4th National Congres on Mechanics, 453-464, Xanthi, Greece.

Živković M., Kojić M., Slavković R. and Grujović N., (1995a), 'Konačni elementi grede deformabilnog preseka i opšte geometrije', Naučni skup "Mehanika, materijali i konstrukcije", 16-17, Srpska akademija nauka i umetnosti, Beograd.

Živković M. i Kojić M., (1995b), 'Tankozidni gredni konačni superelement deformabilnog poprečnog preseka', Zbornik radova Mašinskog fakulteta u Kragujevcu.

Documents

87824010-Nelinearna-Analiza-Konstrukcija