86304183 Milivoj Smoljak SKRIPTA Visa Razina 1

@ Milivoj Smoljak, prof. mat. rujan 2010. – studeni 2011. godine

MATEMATIKA VIŠA RAZINA SKRIPTA ZA DRŽAVNU MATURU

K A K O D O U S P J E H A ?Radom i samo radom tako da:– Naučite formule iz knjižice formula čitati riječima: Dane su vam odmah iza uvoda. – NAUČITI PRIMJENITI FORMULE, najlakše je napraviti tako da uzmete svoje bilježnice ili knjige i dobro naučite početak svakog poglavlja, odnosno nastavne jedinice, pa si ispišete korištene formule i probate ih izreći riječima. (KARATE KID 1 i g – din Myage (Mijađi). V A Ž N O Državna matura nije pusto rješavanje zadataka već uspješna primjena stečenih trajnih znanja iz matematike. Stoga nemojte pripreme shvatiti kao dostatne, jer kad bi se matematika mogla naučiti u ovih nekoliko sati što će nam onda gimnazija. Obratite pažnju na točnost rješavanja, ono što se zna ne smije se fulati, uredno pišite i točno prenosite podatke. Čitav rad se mora pokazati, skica, račun, ako se nešto riješilo napamet mora se pismeno obrazložiti, objasniti (zato ne radite napamet već pišite pa ne morate objašnjavati )Boduje se postavljanje zadatka, postupak i odgovor. Važno je izabrati redosljed rješavanja zadataka, pročitajte upute, zadatke, pa odlučite od kojeg ćete početi. Dobar start znači puno.

2) Skinite s interneta sažetke dosadašnjih nac. ispita (moja matura skripte), provedene državne mature 2010. godine (ljeto, jesen, zima ...). Bilo osnovna bilo viša razina, pa ih rješavajte. Također imate i stranicu MOJA MATURA na kojoj ima također zanimljivih sadržaja. (Pokažem ih). Ono što vam zadaje glavobolju markirajte pa ćemo ovdje zajednički riješiti uz sva potrebna uputstva. K tome riješiti ćemo i sve moguće inačice tog zadatka (koje ću ja u tom trenutku probati smisliti).– Nemate li brzi internet javite se meni, navedeno imam spremljeno u posebnom direktoriju, pa ćemo dogovoriti način prijenosa.

– Rješavanjem NIŽE RAZINE dobivate neprocjenjivu korist, jer nitko ne garantira da se takav tip zadatka neće pojaviti i u VIŠOJ RAZINI .

5) JOŠ JEDNOM PONAVLJAM DA SE MATEMATIKA NE UČI ZA DVA VEĆ ZA PET, PA ŠTO BUDE.

Matematika – formule – viša razina (moje obrazloženja formula)

Kompleksni broj:

i2 = –1. i je imaginarna (zamišljena, izmaštana) jedinica za koju vrijedi 1− = i

z = a + bi, ovo je algabarski ili standardni zapis kompleksmog broja.

a – realni dio(a=Rez), +b imaginarni dio (+b=Imz), i – imaginarna jedinica__

z = a – bi, ovo je konjugirano kompleksni broj kompleksnog broja z = a + bi.

a – realni dio (a=Re__

z ), –b – imaginarni dio (–b=Im__

z ) , i – imaginarna jedinica

Konjugirano komp. broj dobivamo tako da imaginarnom dijelu promjenimo predznak.

1

22 baz += , a, b ∈ R. Modul kompleksnog broja z = a + bi jednak je drugom korijenu

iz zbroja kvadrata realnog i imaginarnog dijela (pazi uvijek je +). Tako je 22__

baz +=

z = r(cosϕ + i sinϕ ). Trigonometrijski prikaz kompleksnog broja. r = 22 baz += ,

a

btg =ϕ , s tim da pomoću predznaka od a i b odredimo kvadrant u kojem se nalazi z.

z1 ⋅ z2 = r1r2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2)). Kompleksne brojeve prikazane u trig. obliku

množimo tako da pomnožimo module, a argumente zbrojimo.

2

1

z

z =

2

1

r

r (cos(ϕ 1 – ϕ 2) + i sin(ϕ 1 – ϕ 2)). Kompleksne brojeve prikazane u trig. obliku

dijelimo tako da podijelimo module, a argumente oduzmemo.

zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ ). Kompleksni broj prikazan u trig. obliku potenciramo tako da

potenciramo modul, a argument pomnožimo eksponentom.

n z = n r (cos n

kπϕ 2+ + i sin

n

kπϕ 2+), k = 0, 1, . . . , n – 1. Kompleksne brojeve

prikazane u trig. obliku korjenujemo tako da . . .( gledaj formulu pa zaključi)

am ⋅ an = am+n : Potencije jednakih baza množimo tako da bazu prepišemo, a eksponente

zbrojimo.

am : an = am – n , (a ≠ 0): Potencije jednakih baza dijelimo tako da bazu prepišemo, a

eksponente oduzmemo.

a–m = ma

1, (a ≠ 0): Negativni eksponent nam govori da je to 1 kroz potencija s

pozitivnim eksponentom.

m na = n

m

a . Pisanje korijena u obliku potencije s razlomljenim eksponentom

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 : Kvadriranje binoma (I ± II)2 = I2 ± 2 ⋅ I ⋅ II + II2

(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 : Kubiranje binoma = I3 ± 3 ⋅ I2 ⋅ II + 3 ⋅ I ⋅ II2 ± II3

a2 – b2 = (a – b)(a + b) : Razlika kvadrata I2 – II2 = (I – II) ⋅ (I + II)

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2) : Zbroj i razlika kubova. Pazi na ± prelazi u

(a + b)n = an +

1

nan –1 b + . . . +

k

nan –k bk + . . . +

−1n

nabn –1 + bn : Binomna formula

Kvadratna jednadžba ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0: a, b i c su koeficijenti kv. jednadžbe.

2

a je vodeći koeficijent, +b linearni koef. i +c slobodni koeficijent.

a

acbbx

2

42

2,1

−±−= : Formula za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Vieteove formule: x1 + x2 = a

b− , x1 ⋅ x2 = a

c, Zbroj i umnožak rješenja kvadratne

jednadžbe možemo odrediti ne rješavajući jednadžbu.

Tjeme parabole:

−−=a

bac

a

bT

4

4,

2

2

. xoa

b

2−= i yo

a

bac

4

4 2−= su koordinete tjemena ∪.

bx = a ⇔ x = logba. Riješenje eksponencijalne jedn. izraženo pomoću logaritma

logbbx = x = xbb log Ovdje su dvije formule logbbx = x i xbb log = x .

Ako su baza log i baza eksponencijelne fje jednaki onda je rješenje eksponent x.

Ako se za x uzme 1 onda je ovdje napisana i formula logbb = 1, dok je za x =0,, logb1 = 0

logb(xy) = logbx + logby. Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama

logby

x

= logbx – logby. Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama

logbxy = y logbx. Logaritam potencije jednak je umnošku eksponenta i logaritma baze

logax = a

x

b

b

log

log. Prijelaz iz logaritma jedne u po volji odabranu drugu bazu

Površina trokuta: 2

avaP

⋅= : Formula za P∆ kad nam je poznat stranica i njezina visina

P = ))()(( csbsass −−− Heronova formula za površinu trokuta. Koristimo je kada su

nam poznate sve tri stranice trokuta.

2

cbas

++= poluopseg trokuta.

P = 2

sin γab. Formula za P∆ kad su poznate dvije stranice i kut među njima.

P = 04r

abc. Formula za P∆ kad su nam poznate sve tri stranice i polumjer opisane kružnice.

P = rus. Formula za P∆ kad su nam poznate sve tri stranice i polumjer upisane kružnice.

Jednakostraničan trokut: P = 4

32a v = 2

3a ro = v3

2 ru = v

3

1.

Za računanje nepoznatih elemenata jednakostr. ∆ dosta nam je poznavanje stranice ∆.

Površina paralelograma: P = a ⋅ v: Formula za Pkad nam je poznata str. i njezina visina

3

Istom ovom formulom se računa površina pravokutnika, kvadrata, romba i romboida.

Površina trapeza: P = vca ⋅+

2. P = poluzbroju osnovica pomnoženom sa visinom trapeza

Površina kruga: P = r2π: Površina kruga jednaka je polumjer2 ⋅ konstanta π.

Opseg kruga: O = 2rπ: opseg kruga jednak je dvostruki polumjer ⋅ konstanta π.

Površina kružnog isječka: P = 360

2παr, gdje je α pripadni središnji kut

Duljina kružnog luka: l = 180

παr, gdje je α pripadni središnji kut

B – površina osnovke (baze)

P – povr š ina pobo č ja

h – duljina visine

r – polumjer kugle

Obujam (volumen) prizme i valjka: V = B ⋅ h. Volumen svih prizmi i svih valjaka

računa se po formuli V = baza ⋅ visina

Oplošje prizme: O = 2B + P. Oplošje svih prizmi i svih valjaka računa se po formuli

O = dvije baza + pobočje

Obujam (volumen) piramide i stošca: V = 3

1B ⋅ h. Volumen svih piramida i svih stožaca

računa se po formuli V = 3

1baza ⋅ visina

Oplošje piramide: O = B + P. Oplošje svih piramida i svih stožaca računa se po formuli

O = baza + pobočje

Oplošje stošca: O = r2π + rπs, gdje je r polumjer baze, a s izvodnica stošca

Obujam (volumen) kugle: V = 3

4r3 π, r – polumjer kugle

Oplošje kugle: O = 4r2π , gdje je r polumjer kugle

U pravokutnom trokutu:

4

Ovo su osnovni elementi

geometrijskih tijela, kocke,

kvadra, valjka, piramide. . .

sinus kuta = hipotenuza

katetarotnana −sup

kosinus kuta = hipotenuza

katetapriležeca −

sinus kuta = katetapriležeca

katetarotnana

−−sup

Poučak o sinusima: γβα sinsinsin

cba == . Kombinirati se mogu bilo koje dvije jednakosti.

Primjenjujemo ga ako su nam zadane dvije stranice i kut nasuprot jednoj od njih ili kad je

zadana stranica i dva kuta.

Poučak o kosinusima: c2 = a2 + b2 – 2ab cosγ . Riječima: Kvadrat stranice jednak je zbroju

kvadrata ostalih dviju stranica umanjenom za dvostruki umnožak tih dviju stranica s

kosinusom kuta između njih. Primjenjujemo ga kad su zadane dvije stranice i kut među

njima ili kad su zadane sve tri stranice (onda iz kosinusa kuta izračunamo kut)

sin2x + cos2x = 1

tgx = x

x

cos

sin

sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = cos2x – sin2x

sin(x ± y) = sinx cosy ± siny cosx

cos(x ± y) = cosx cosy sinx siny

tg(x ± y) = tgxtgy

tgytgx

1

±

sinx + siny = 2sin2

yx +cos

2

yx −

sinx – siny = 2cos2

yx +sin

2

yx −

cosx + cosy = 2cos2

yx +cos

2

yx −

cosx – cosy = –2sin2

yx +sin

2

yx −

5

Ovdje ne treba dodatnih obješnjenja , treba samo uočiti ili si nacrtati pravokutni trokut. Sve je definirano u formulama

Ovo su fomule dvostrukog kuta, treba ih znati primjeniti i na sin 4x ...

Ovo su adicijske formule. Pazi u kosinusu i tangensu± prelazi u

Ovo su osnovni trigonometrijski identiteti. Treba znati i sve jednakosti koje iz njih proizlaze, kao npr. sin2x = 1 – cos2xili iz druge sinx = tgx ⋅ cosx

Transformacija zbroja u umnožak vrijedi za svaki x i y ∈ R

Ostala objašnjenja nisu potrebna

sinx siny = 2

1[cos(x – y) – cos(x + y)]

cosx cosy = 2

1[cos(x – y) + cos(x + y)]

sinx cosy = 2

1[sin(x – y) – sin(x + y)]

sin2

1

6=π

, sin2

2

4=π , sin

2

3

3=π ; Iz ovih treba znati odrediti kosinuse. Kako fja

sin u I. kvadrantu raste, a kosinus pada to je: cos2

3

6=π ; cos

2

2

4=π ; cos

2

1

3=π

S ove tri jednakosti dane su vrijednosti trig. fja svih višekratnika ovih kutova.

Udaljenost točaka T1, T2: d(T1, T2) = 212

212 )()( yyxx −+− . Ovo je formula za udaljenost

dviju različitih točaka T1(x1,y1) i T2(x2,y2) u ravnini. Istom ovom formulom računa se i

modul, odnosno duljina vektora kome je početak u T1 i kraj u T2; 21TT→−−−

Polovište dužine: P

++

2,

22121 yyxx

. Usko vezano s ovim je i dijeljenje dužine____

AB točkom

C u zadanom omjeru λ: xC = λλ

++

1BA xx

, yC = λλ

++

1BA yy

koje nema u formulama.

Vektor 21TT

→−−−

: 21TT

→−−−

= →a = (x2 – x1)

→i + (y2 – y1)

→i = a1

→i + a2

→j

Skalarni umnožak vektora: →a ⋅ →

b = | →a | ⋅ | →

b | ⋅ cosα, gdje je α kut između vektora. Ako su

vektori okomiti skalarni umnožak je jednak nuli. Obrnuto: Ako je skalarni umnožak

vektora jednak nuli onda su oni okomiti.

Jednadžba pravca: y – y1 = k(x – x1). Ovo je jednadžba pravca kroz jednu točku

T1(x1,y1) sa zadanim koeficijentom smjera k.

12

12

xx

yyk

−−

= . Ovo koeficijent smjera pravca kroz dvije točke T1(x1,y1) i T2(x2,y2), x1 ≠ x2

Da bismo odredili jednadžbu pravca kroz dvije točke T1 i T2 odredimo k pa ga uvrstimo u

danu nam formulu, y – y1 = k(x – x1) u kojoj su x1 i y1 koordinate prve točke.

6

Transformacija umnoška u zbroj, vrijedi za svaki

x i y ∈ R

Kut α između dvaju pravaca: (je manji kut što ga oni određuju zato uzimamo | |

21

12

1 kk

kktg

+−

=α ,

Udaljenost točke T(x1,y1) i pravca: p . . . Ax + By + C = 0

d(T, p) = 22

11

BA

CByAx

+

++. Ova formula se koristi samo ako je jednadžba pravca dana u

implicitnom obliku. Znači da prije njezine upotrebe moraš prevesti u implicitni oblik.

Kužnica: (x – p)2 + (y – q)2 = r2

• središte S(p, q) , za centralnu kružnicu središte S(0, 0) ⇒ jedn. x2 + y2 = r2

• tangenta u točki krivulje (x1,y1):

(x1 – p)(x – p) + (y1 – q)(y – q) = r2, za centralnu kružnicu x1x + y1y = r2

• uvjet dodira pravca y = kx + l i kružnice:

r2(1 + k2) = (kp – q + l)2, za centralnu kružnicu uvjet dodira je r2(1 + k2) = l2

Elipsa: 12

2

2

2

=+b

y

a

x, gdje je a velika poluos, b mala poluos

• Fokusi F1,2 (± e, 0) , e2 = a2 – b2

• tangenta u točki krivulje (x1,y1): 12

12

1 =+b

yy

a

xx

Hiperbola: 12

2

2

2

=−b

y

a

x, gdje je a velika poluos, b mala poluos

• Fokusi F1,2 (± e, 0) , e2 = a2 + b2

• asimptote y = ± xa

b, asimptota je pravac kojoj se krivulja približava ali ne dira ju.

• tangenta u točki krivulje (x1,y1): 12

12

1 =−b

yy

a

xx

Parabola: y2 = 2px, u ishodištu je tjeme, os x je os ove parabole, a otvor joj je u desno ako je p > 0, dok je otvor u lijevo za p < 0.

• Fokus F(2

p, 0)

• tangenta u točki krivulje (x1,y1): y1y = p(x + x1)

Aritmetički niz: an = a1 + (n – 1) ⋅ d

Sn = 2

n(a1 + an)

7

Ovo su formule za n – ti član i zbroj prvih n članova AN. Tri podatka moraju biti zadana da bismo izračunali ostala dva

gdje su k1i k2 koeficijenti smjera danih pravaca. Ako dobiješ

tgα = broj / 0, ne očajavaj jer je tada α = 90o

Geometrijski niz: an = a1 ⋅ qn – 1

Sn = a1 1

1

−−

q

q n

Geometrijski niz: S = q

a

−11 , | q| < 1

Derivacija umnoška: (f ⋅ g)' = f ' ⋅ g + f ⋅ g', određujemo tako da derivaciju prvog

faktora pomnožimo ga s drugim, pa dodamo umnožak prvog faktora i derivacije drugog.

Derivacija kvocijenta: '

g

f = 2

''

g

gfgf ⋅−⋅ Riječima bi bilo preopširno zato gledaj i ...

Derivacija kompozicije: (f o g)'(x) = f '(g(x)) ⋅ g'(x) (derivacija složene fje). Složena fja se

derivira tako da derivaciju vanjske fje pomnožimo derivacijom unutarnje fje.

Tangenta na graf fje f u T(x1,y1):

y – y1 = f '(x1) ⋅ (x – x1); f '(x1) je broj koji dobiješ tako da x1 uvrstiš u prvu derivaciju.

Derivacije: c' = 0; derivacija konstante jednaka je nuli

(xn)' = n ⋅ xn –1 , n ≠ 0

(sin x)' = cos x

(cos x)' = – sin x

(tg x)' = x2cos

1

I. Brojevi i algebra1.1. Skupovi brojeva N, Z, Q, l i R {U 1. razredu smo ih definirali, ponovite si ih}Učenici mogu naučiti

- razlikovati skupove brojeva N, Z, Q, l i R - termine: prirodan (n), cijeli (n), paran (2n), neparan (2n± 1), racionalan, iracion. i realan br.- konačan i ∞ broj [def. –∞ i +∞]. Npr.–∞ je zamišljen br. koji je < od bilo kojeg real. br.- razlikovati navedene brojeve , uspoređivati navedene brojeve- brojevni pravac i prikaz podskupova (⊂) prirodnih i cijelih brojeva na brojevnom pravcu- prepoznati i koristiti oznake ∩, ∪, ⊂ , ∈, \, Ø i intervala ⟨–∞,a⟩ , [b,c], ⟨p,q], [r, +∞ ⟩- prikazivati podskupove realnih brojeva na brojevnom pravcu i zapisivati ih intervalima

Pitanje: Kako prepoznati iracionalni broj?

8

Ovo su formule za n – ti član i zbroj prvih n članova GN. Tri podatka moraju biti zadana da bismo izračunali ostala dva

Ovo su formule za zbroj BKGR. Moraju biti zadani prvi broj i kvocijent GR.

Polinom se derivira tako da se svaki član

derivira za sebe. Npr. f(x) = x4 + 5x2 – x + 4

f '(x) = 4x3 + 10x – 1

Stoga umnoške pretvaraj u polinom.

I. kvadratanepotpunog − : 2 , 3 , 5 , 17 ...

3 kubanepotpunog − : 3 2 , 3 4 , 3 7 , 3 22 i brojevni izrazi s njima

II. Transcedentni brojevi π , e i algebarski izrazi s njima III. Beskonačni decimalni brojevi koji se ne mogu pretvoriti u razlomak npr: 2.020020002... ; 3.11011101111... ; 0.123234345456...

IV. logab uz uvjet a ≠ b tj. a i b nisu potencije iste baze: log23, log32, log2, log3, ln10

Zadaci: U svezi sa skupovima brojeva. 1. Zaokružite netočnu tvrdnju: Količnik dvaju Razlika dvaju A. Najveći prirodan B. Nula je C. cijelih br. nije | D. | cijelih br. nije broj ne postoji cijeli br. uvijek cijeli br. uvijek cijeli br.2. Zaokružite netočnu tvrdnju: A . N ⊂ Q ; B. Q ∩ Z ≠ ∅ ; C. I ⊂ R ; | D. | Q ∩ I ≠ ∅

3. Broj 3 n bit će racionalan za A. n = 3; B. n = 9; C. n = 17; | D. | n = 27

4. Ako je zbroj tri uzastopna cijela broja jednak 333, najmanji od njih je? | 110 | ; 111; 112; 113 Rj. (n – 1) + n + (n + 1) = 333 ⇔ 3n = 333 ⇔ n = 111

5. Koliko iracional. brojeva sadrži skup:

16

2;

3

2...;3333.0;

3;

2

1;

31.0

13.0 πe: A. 1; B. 2; | C. | . 3; D. 4

6. Svaki iracionalni broj možemo zapisati kao: Beskonačan Beskonačan A. Kvocijent dvaju B. Korijen nekog C. periodski | D. | neperiodski racional. brojeva cijelog broja dec. br. dec. br.7. Koji je broj manji: – 3 ili –1.73? Odgovor 3− ≈ –3.1732...

8. Koji je broj veći: – π ili – 3.14 ? Odgovor –3.14 , jer je – π ≈ – 3.14159

9. Za n > 4 koji je od sljedećih brojeva najveći: | A. | ;4

1+n B. ;

4

n C.

n

4; D.

1

4

−n

10. Koji se od navedenih brojeva nalazi između 7

3 i

10

7? A .

17

5; B.

14

13; | C. |

20

13; D.

13

15

11. Koja je tvrdnja istinita ako znamo da je b cijeli broj? A . b > 0 ⇒ – b > 0 ; B. b < 0 ⇒ 1/b > 0; | C. | b < 0 ⇒ – b > 0 ; D. b < 0 ⇒ b n < 0

12. Koji od sljedećih izraza ne daje racionalan broj A . ;4

33 − | B. | ;

55

1

− C.

2

4−; D.

3

12.0

13. Za koji je prirodni broj k razlomak 2

2

+−

k

k cijeli broj. (Uvrštavaj) A. 1; | B. | 2; C. 3; D. 4

14. Koji od sljedećih skupova sadrži samo racionalne brojeve?

A .

43

16

0,

2

8,16 ; | B. |

41.1,2

8,25

3

; C.

5 16

0,,36 π ; D.

−

6

3,

3

3,

3

273

15. Koju vrijednost ima razlomak 575

299? A . ;

30

29 | B. | ;

25

13 C.

26

15; D.

20

9

16. Koji je od navedenih brojeva najbliži broju 6? (KALKUL.) A.2π B. 1.83 C.4

78 − ; | D. | 35

17. Među navedenim brojevima jedan je uljez. Koji? A. 1.73; B. 3.14; | C. | 3 3 ; D. 64.0

9

18. Poredaj po veličini: 3

2,

6

5,

30

23,

10

7,

3

2,

6

5,

15

14,

5

4 −− KALKULATOR « 15

14,

6

5,

5

4,

30

23,

10

7,

3

2,

3

2,

6

5 −−

»

19. Zaokruži netočnu tvrdnju: A . ∈4

3Q; B.0 ∉ N | C. | ∉3 R; D. ∈5 I

20. Presjek intervala ⟨–∞, –3⟩ i ⟨–∞, – 3 ⟩ je: (Uputa: Presjek intervala je zajednički dio tih

intervala) A.⟨–∞, – 3 ⟩ ; | B. | ⟨–∞ , –3⟩ ; C. ⟨–3, – 3 ⟩ ; D. ∅

21. Koliko prirodnih brojeva ima u skupu ⟨–5,5⟩ ∩ [–1,8⟩ ? A. 2; B. 3; | C. | 4; D.| 522. Unija intervala ⟨–2,3] i [0,7⟩ je. (Uputa: Unija intervala je sve unutar oba intervala)

A.⟨–2, 0]; B. [3, 7⟩ ; | C. | ⟨–2, 7⟩ ; D.[0,3] 23. Koliko se cijelih brojeva nalazi u intervalu ⟨–4,3] ∪ ⟨0,4]? | A. | 8 ; B. 7; C. 6; D. 524. Iz A = {-1,0,1,2,3,4}; B = {2,3,4,5,6,7}. Odredi A∪B, A∩B, A\B (tj.A–B) i B\A. (Uputa: Razlika skupova je skup elemenata iz prvog koji nisu u drugom)25. Iz C = [–5, 3⟩ ; D = ⟨–2, 6⟩ . Odredi C∪D, C∩D, C\D i D\C26. Iz C = [–5, 0⟩ ; D = ⟨2, 4⟩ . Odredi C∪D, C∩D, C\D i D\C27. Koliko se cijelih brojeva nalazi u intervalu koji određuje nejednakost –5 ≤ x ≤ 0? Rj 7, | 6 | , 5, 4

28. Koliko je prirodnih brojeva u intervalu

3

16,3 ? A. 1; | B. | 3; C. 5; D. 7

29. Skup svih cijelih brojeva koji se nalaze između brojeva n – 2 i n + 2 (n je cijeli broj) jest: | A. | {n–1, 0, n+1}; B.{n–2,n–1, n, n+1,n+2}; C.{n–1,n,n+1}; D.{–1, 0, 1}

30. Kojem od navedenih intervala pripadaju brojevi –0.75 i 1

A.⟨–0.75, 2⟩ ; B. [–1, 0]; C. ⟨–1, –0.75]; | D. | [–1 ,2⟩ 31. Rabeći džepno računalo po potrebi odredite koji je od navedenih brojeva najmanji:

A. 28 − ; B. 14.1⋅ 10–1; | C. | 5

7− ; D. 12

1

2

3 −

32. Koji od navedenih brojeva zaokruživanjem na dvije decimale, daje broj 3.78 A. 3.7699; B . 3.7739; | C. | 3.7791 D. 3.786633. Između 3/5 i 5/8 umetnite tri broja (Najlakše kalkulatorom)

3/5 = 0.6 = 0.600 0.61; 0.62; 0.622 5/8 = 0.625

34. Odredi nejednadžbu kojoj je rješenje [1.5 , +∞ ⟩ .

Rj. Iz x ≥ 1.5 ⇔ x ≥ 2

3/⋅ 2 ⇔ 2x ≥ 3 ⇔ 2x – 3 ≥ 0

Redoslijed računskih operacija: Zbrajanje i oduzimanje su rač. operacije I. stupnja,

množenje i dijeljenje II. stupnja, a potenciranje i korjenovanje III. stupnja.

Ako u zadatku imamo rač. operacije istog stupnja, računamo ih po redosljedu kako su

naznačene. Ako imamo rač. operacije različitih stupnjeva, prvo potenciramo

(korjenujemo), zatim množimo i dijelimo i na kraju zbrajamo i oduzimamo. Ako u

zadatku imamo samo okrugle zagrade najprije izračunamo u njima. Ako u zadatku imamo

10

zagrade u zagradi {[( )]}. Najprije računamo ono što je unutar ( ), zatim unutar [ ] i na

kraju unutar { } zagrade.

Elementarno računanje: (+a)n = an ; (–a)n =

− nneparnizaa

nparnizaan

n

......

........; a∞ =

>∞<<

1..........

10..........0

ajeako

ajeako

Uz navedeno, treba znati određivati apsolutne vrijedn. :

=−−=−<−

=>=

5)5(5;;;;0..,

55;;;;0...,,

xzax

xzaxx

Zadaci: Izračunaj : 1. – 15 + 27 – 3 – 11 + 2 + 7 – 7 + 6 – 3 – 1 = ... = [2]2. 7 ⋅ (– 2) – 5 ⋅ (– 3) – (–1) = ... = [2]3. (3 ⋅ 81 – 23) ⋅ 4 – 2 ⋅ (34 ⋅ 5 – 8 ⋅ 5) = ... = [620]4. [(8 – 5) ⋅ (2 – 7) – (6 – 7) ⋅ (4 – 3)] ⋅ (5 – 9) = ... = [56]5. 4 – {4 – [– 10 – (8 – 11) – (1 – 12)]} = ... = [4]6. 3 + 2{ 3[ 8 (19 ⋅ 21 – 36 ⋅ 11) –23]}= ... = [9] 7. 3 ⋅ 82 – 2 ⋅ 34 + 73 = ... = [373]8. (–1)2006 – (–1)2007 – (–1)2008 – (–1)2009 – (–1)2010 – (–1)2011 = ... = [2]

9.

++

−

3

2

2

342

7

32 = ... =

21

116 10.

+

−+

3

55:

4

1

2

3:

11

3

7

11:

5

7

4

5:

2

1 = ...=

21

224

11. Kolika je razlika između 5 – (–7) + (–1) i 20 – (8 – 4) + 1 ? = ... = [–6]12. Zaokružite izraz čija je vrijednost pozitivan broj. a) 10 – (–100) –1000 + 1 b) (–1) ⋅ (–10) ⋅ (– 1000) ; c) (–10) : (–2) – (–5) : (–1); | d) | (–1) ⋅ (–10) ⋅ (– 100) ⋅ (– 1000)

RAČUN DIOBE 1. Ako se kutovi ∆ odnose kao 8 : 13 : 15 tada su kutovi ∆ ?Rj. α : β : γ = 8 : 13 : 15 α + β + γ = 180o Iz razmjera čitamo α = 8k = 8 ⋅ 5 = 40 β = 13k = 13 ⋅ 5 = 65 zbrojimo ove tri jednakosti γ = 15k = 15 ⋅ 5 = 75 Provjera obavezna! 180 = 36k ⇒ k = 5 ↑2. Ako su a, b i c duljine stranica ∆ i ako je a : b = 5 : 4, a : c = 3 : 5, a opseg ∆ iznosi 156 cm, kolike su stranice ∆? Rj. Postavimo zadatak:

==

5:3:

4:5:

ca

ba Ovo nije dobar postav mora biti

==

5:3:

5:4:

ca

ab i desna strana želi jednke brojeve na sporednoj dijagonali

⋅=⋅=5/5:3:

3/5:4:

ca

ab množimo samo desnu stranu

==

25:15:

15:12:

ca

ab sada napišemo produženi razmjer

b : a : c = 1 : 15 : 25 i b + a + c = 156 pa riješimo kao i 1. zadatak. Rješenja su a = 45, b= = 36 i c = 75 cm.3. Brojevi a, b i c su u omjeru 3:4:5.Ako je njihova aritmetička sredina jednaka 12 onda su to br.?4. Stranice pravokutnika su u omjeru 3 : 1. Opseg prav. je 104 cm. Kolika je površina pravokut.?5. Dva broja odnose se kao 2 : 5. Drugi broj za 18 je veći od prvog broja. Koliko iznose ti br.?

11

6. Broj 3 300 podijeli na tri dijela koji su u omjeru 0.2:0.4:0.5. (Između redova u omjeru 2:4:5, jer samo desnu stranu smijemo pomnožiti sa 10)

RAČUN SMJESE1. Koliki je % alkohola u smjesi koja se dobije mješanjem 5 l 80% –og alkohola i 15 l 84%? (Količina alkohola prije i poslije mješanja je jednaka, pa imamo jednakost)

100

)155(100

8415

100

805

p⋅+=⋅+⋅ ili 5 ⋅ 80 + 15 ⋅ 84 = (5 + 15) ⋅ p ⇒ p = 83%

2. Koliko litara 60% –og alkohola treba mješati s 5l 82% –og alkohola da bi se dobila smjesa 73.75% ? Rj. x ⋅ 60 + 5 ⋅ 82 = (x + 5) ⋅ 73.75 ⇒ x = 3 l3. Pomješamo li 75 % alkohol s 90% dobit ćemo 90 l 80% alkohol u smjesi. Koliko je pritom uzeto 75% alkohola? Rj. Neka je x količina 75% alkohola, onda je 90 – x količina 90%, pa imamo jednadžbu: x ⋅ 75 + (90 – x) ⋅ 90 = 90 ⋅ 80 ⇒ x = 60 l4. Od mlijeka s 3.8% masnoće i mlijeka s 0.9% masnoće treba napraviti 100 litara smjese s 2.6% masnoće. Koliko litara mlijeka s 0.9% masnoće treba uzeti? Rj. Neka je x tražena količina mlijeka ⇒ x ⋅ 0.9 + (100 – x) ⋅ 3.8 = 100 ⋅ 2.6 ⇒ x = 41.28 l5. Morska voda sadrži 5% soli. Koliko litara slatke vode treba doliti količini od 100 litara morske da se dobije voda s 2% soli? (PAZI, slatka voda ima 0% soli) 100 ⋅ 5 + x ⋅ 0 = (100 + x) ⋅ 2 ⇒ x = 150 l6. Zemlja tek kupljena u cvjećanici sadrži 10% vode. Koliko vode treba uliti u 5 kg te zemlje da se dobije 20% vode u zemlji? Rj. 5 ⋅ 10 +x ⋅ 100 = (5 + x) ⋅ 20 ⇒ x = 0.625 kg = 625g = 6.25 dl7. Koliko tijesta vlažnosti 20% treba staviti u pećnicu da bi se dobilo 700g kruha vlažnosti 4%? PAZI! Količina smjese (kruha) se na mjenja, isparava voda, pa imamo jednadžbu. (700 + x) ⋅ 20 – x ⋅ 100 = 700 ⋅ 4 ⇒ x = 140 g. U pećnicu treba staviti 840g tijesta.8. Cijena jedne vrste alkohola je 80 kn, a druge 50 kn za litru. U kojem omjeru treba miješati te dvije vrste, ako se želi dobiti smjesa čija je cijena 60 kn za litru? x ⋅ 80 + y ⋅ 50 = (x + y) ⋅ 60 /:10y Zašto? Jer tražimo omjer

6158 ⋅

+=+⋅

y

x

y

x ⇔ 12 =⋅

y

x/:2 ⇒

2

1=y

x Traženi omjer je 1 : 2.

1.2.1. POSTOTNI RAČUN za DRŽ. MATURU

S ukupni 100% –tni iznos (ukupna vrijednost);

P postotni iznos; p postotak (npr. 7% = 7/100 = 0.07)

Vrijedi razmjer P : S = p : 100. Iz zadane dvije veličine izračunavamo treću

Npr. 100

pSP

⋅= ili p

PS

⋅= 100 ili

S

Pp

⋅= 100

1. Tenisač ( M. Čilić) je 2008. god. odigrao 120 mečeva i pobjedio u njih 70%

a) Koliki postotak mečeva je izgubio? Odgovor: Izgubio je 30% mečeva b) Koliki je broj mečeva u kojima je pobijedio? S = 120, p = 70%, P = ? P = Sp/100 = 84 meča u kojima je pobjedio. Kraće 70% od 120 = 0.7 ⋅ 120 = 84c) U 2009. god. je također odigrao 120 mečeva. Pobjedio je u 5% više mečeva nego 2008. Koliko

je puta pobjedio u 2009. godine? Rj. S = 120, p' = 75% , P' = ?P' = S ⋅ 75/100 = 120 ⋅ 0.75 = 90 puta je pobjedio 2009. god. Kraće: 0.75 ⋅ 120 = 90

1'. Učenik je na testu od mogućih 70 bodova dobio 56 bodova. Koliko je to izraženo u postocima? Rj. S = 70, P = 56, p = ? p = 100P/S = 100 ⋅ 56/70 = 80%. Kraće: 56 : 70 ⋅ 100 = 80%

12

1''. Učenik je na testu od mogućih 80 bodova dobio 80% bodova. Koliko je bodova dobio? Rj. S = 80, p = 80, P = ? P = Sp/100 = (80 ⋅ 80)/100 = 64 boda. Kraće: 0.8 ⋅ 80 = 64.

1'''. a) 75% od 120 iznosi? Rj. 0.75 ⋅ 120 = 90

b) Od kojeg broja 5% iznosi )35(2

762

3:61

7:710

−⋅−⋅+

+−

?

P = )35(2

762

3:61

7:710

−⋅−⋅+

+−

= 22

712

21

110

⋅−+

+−

= 4

17

4

5

3

9 =+ i p = 5

S = 100P/p = (100 ⋅ 4.25)/5 = 85 1 4' . Zbroj 25% od 2.8 ⋅ 109 i 20% od 3.5 ⋅ 1010 iznosi? Rj. 0.25 ⋅ 2.8 ⋅ 109 + 0.20 ⋅ 3.5 ⋅ 1010 = 0.7 ⋅ 109 + 0.7 ⋅ 1010 = 0.7 ⋅ 109 + 7 ⋅ 109 = 7.7 ⋅ 109 1 5' . Ispit ima 60 bodova. Za ocjenu odličan treba dobiti najmanje 90% bodova. Anti nedostaje jedan bod za ocjenu odličan. Koliko je bodova postigao na ispitu? S = 60, p = 90, P = ? Rj. P = Sp/100 = 6 ⋅ 9 = 54. Odgovor: Ante je osvojio 53 boda.1 6' . CD kapaciteta 650 MB popunjen je 12%. Na CD je snimljeno još 260MB novih podataka. Koliki je % CD–a sada popunjen? P = 650 ⋅ 0.12 = 78 P1 = 78 + 260 = 338 ⇒ p1 = (338 : 650) ⋅ 100 = 52%

3. Ako se polumjer kruga poveća za 25% za koliko se % poveća opseg, a za koliko površina? Iz o = 2rπ i P = r2π r1 = 1.25r ⇒ o1 = 2r1π = 2 ⋅ 1.25rπ =[ne množi već komutiraj] =1.25 ⋅ 2rπ = 1.25 o ⇒ p = 25% r1 = 1.25r ⇒ P1 = 2

1r π = (1.25r)2 π = 1.5625 r2 π = 1.5625 P ⇒ p = 56.25%3'. Za koliko se % treba povećati polumjer da se površina kruga poveća za 23.21% ? P1 = 1.2321 P ⇒ 2

1r = 1.2321 r2 / ⇒ r1 = 1.11 r ⇒ p = 11%Napomena: Slično bi bilo s opsegom i površinom KVADRATA, JEDNAKOSTRANIČNOG ∆ i njegovom stranicom, jer su u fji od a.

3''. Ako se brid kocke uveća za 20% za koliko će se % uvećati O, a V? a1 = 1.2a ⇒ O1 = 6 2

1a = 6⋅ (1.2a)2 = 6 ⋅ 1.44a2 = 1.44 O ⇒ p = 44%

a1 = 1.2a ⇒V1 = 31a = (1.2a)3 = 1.728a3 = 1.728 V ⇒ p = 72.8%.

3'''. Ako se brid kocke smanji za 30% za koliko će se % smanjiti O, a V? a1 = (1– 0.3)a ⇒ O1 = 6 2

1a = 6⋅ (0.7a)2 = 6 ⋅ 0.49a2 = 0.49 O ⇒ p = 51%

a1 = 0.7a ⇒ V1 = 31a = (0.7a)3 = 0.343a3 = 0.343V ⇒ p = 65.7%.

3 4' . Za koliko % treba uvećati brid kocke da bi se njeno oplošje povećalo za 156%? O1 = (1 + 1.56) O 6 2

1a = 2.56 ⋅ 6a2 /:6

21a = 2.56 a2 / ⇒ a1 = 1.6a ⇒ p = 60%

3 5' . Za koliko % treba smanjiti brid kocke da bi se njeno oplošje smanjilo za 60.9375%? O1 = (1 – 0.609375) O 6 2

1a = 0.390625 ⋅ 6a2 /:6

21a = 0.390625a2 / ⇒ a1 = 0.625a ⇒ p = (1 – 0.625)⋅ 100 = 37.5%

13

3 6' . Za koliko % treba uvećati brid kocke da bi se njen obujam uvećao za 81.5848%? V1 = (1 + 0.815848) V 3

1a = 1.815848 ⋅ a3 3

/ a1 = 1.22a ⇒ p = 22%

3 7' . Za koliko % treba smanjiti brid kocke da bi se njen obujam smanjio za 71.2504%? V1 = (1 – 0.712504) V 3

1a = 0.287496 ⋅ a3 3

/ a1 = 0.66a ⇒ p = (1 – 0.66)⋅ 100 = 34%Napomena: Slično bi bilo s polumjerom i oplošjem (obujmom) kugle. 7. Za koliko će se % povećati V pravilne uspravne trostrane prizme, ako se brid osnovke uveća za 20%?

a1 = 1.2a ⇒ V = B ⋅ h = ha ⋅

4

32

V1 = ha

ha

⋅=⋅4

3)2.1(

4

3 221 = h

a ⋅4

344.1 2

= 1.44 V ⇒ p = 44%

Napomena: Slično bi bilo sa svakom prizmom, piramidom, valjkom i stošcem.

4. Za koliko % će se povećati V kvadratske prizme ako se brid osnovke a = 4 cm poveća za 2 cm, a visina v = 6 cm poveća za 1 cm? a = 4 cm a1 = 6 cm v = 6 cm v1 = 7 cm V = a2 ⋅ v V1 = 2

1a ⋅ v1 V1 = x ⋅ V ⇒ x = 2.625 V = 16 ⋅ 6 V1 = 36 ⋅ 7 p = (x – 1) ⋅ 100 = 162.5%

4'. Za koliko % će se povećati obujam kvadratske piramide ako se brid osnovke a = 5 cm poveća za 1 cm, a visina v = 3 cm poveća za 2 cm?Napomena: Zadatak je sličan prethodnom. Rj. p = 140%

5. Prodajna cijena proizvoda A dva puta se povećavala po petinu [između redova piše po 20% ] prethodne cijene. Koliko je ukupno povećanje? Prvo povećanje od 20% daje cijenu: 100 + 100 ⋅ 0.20 = 100 + 20 = 120 Drugo povećanje od 20% daje cijenu: 120 + 120 ⋅ 0.20 = 120 + 24 = 144. p =144 – 100 = 44%5'. Povećanje troškova života u travnju u odnosu na ožujak je 4.2%, a u svibnju u odnosu na travanj je 3.5%. Koliki je % povećanja troškova života u svibnju u odnosu na ožujak? 100 + 4.2 = 104.2 104.2 + 104.2 ⋅ 0.035 = 107.847. p = 107.847 – 100 = 7.847% je povećanje troškova života5''. a) Prodajna cijena proizvoda B povećala se za 25% a zatim se nova smanjila za 10%. Koliko je ukupno povećanje? 100 + 25 = 125 125 – 125 ⋅ 0.10 = 112.5: p = 112.5 – 100 = 12.5% ukupno povećanje. b) Prodajna cijena proizvoda C povećala se za 20% a zatim se nova smanjila za 25%. Koliko je ukupno smanjenje? 100 + 20 = 120 120 – 120 ⋅ 0.25 = 120 –30 = 90: p = 100 – 90 = 10% ukupno smanjenje5'''. Cijena robe povišena je za 25%. Za koliko se % mora smanjiti nova cijena da bi se dobila stara cijena? Neka je stara cijena 100, onda je nova 125, pa imamo jednadžbu: 125 ⋅ x = 100 ⇔ x = 0.8 ⇒ p = (1 – x) ⋅ 100 = 20% za koji se mora smanjiti nova cijena Kraće: 1.25x – (1.25x ⋅ p/100) = x ⇔ 1.25x(1 – p/100) = x ⇒ p = 20%

14

5 4' . Povećanje troškova života u listopadu u odnosu na rujan je 3.8%. Za koliko bi se % morali smanjiti troškovi života u studenome da bi se vratili na stanje u rujnu? Iz 103.8 ⋅ x = 100 ⇔ x = 0.963391 ⇒ NOVO p = (1 – x) ⋅ 100 = 3.66%5 5' . Cijena nekog proizvoda prvo se povećala za 5%, a zatim smanjila za 10%. Što treba napraviti sa cijenom da da bi bila jednaka početnoj? 100 + 5 = 105 105 – 0.1 ⋅ 105 = 105 – 10.5 = 94.5 94.5 ⋅ x = 100 ⇔ x = 1.0582 ⇒ p = (x – 1) ⋅ 100 = 5.82% za koji se mora povećati nova cij.5 6' . Plin je poskupio 15%. Za koliko % treba smanjiti cijenu da bi konačna bila bila 5.5 % veća od cijene prije poskupljenja? Neka je stara cijena 100. Poskupljenje od 15% daje cijenu 115 Poskupljenje od 5.5% daje cijenu 105.5. Pa imamo jednadžbu 115 ⋅ x = 105.5 ⇒ x = 0.91739 ⇒ p = (1 – x) ⋅ 100 = 8.26 %6. U školi je 600 učenika. Za vrijeme epidemije gripe u jednom tjednu 4 % učenika se razboljelo, a od razboljelih je 5/6 imalo gripu. 1) Koliko je uč. imalo gripu: Razboljelih je bilo 600 ⋅ 0.04 = 24, gripu je imalo 5/6 ⋅ 24 = 20.2) Polovina učenika koja se razboljela, a nije imala gripu i četvrtina učenika koja je imala gripu nije došla u školu zadnji dan tog tjedna. Koliko % učenika nije došlo u školu taj dan?1/2 ⋅ 4 + 1/4 ⋅ 20 = 2 + 5 = 7. (7 : 600) ⋅ 100 = 1.167%7. Ako bismo cijenu proizvoda A povećali za 25%, a proizvoda B za 20%, tada bi one bile jednake. Za koliko je % cijena proizvoda A manja od cijene proizvoda B?

Rj. 1.25A = 1.20B ⇔ 25.1

20.1=B

A= 0.96 ⇒ p = (1 – 0.96) ⋅ 100 = 4%

- postotni račun više ili niže 100. Ako je zadana uvećana ili umanjena početna vrijednost tj. ako je zadano S+P ili S–P tada imamo razmjer (S± P):S=(100± p) : 100 Također vrijedi:

S + P =

+

1001

p⋅ S gdje je

+

1001

p faktor povećanja. Npr. za 24% on iznosi 1.24

S – P =

−

1001

p⋅ S gdje je

−

1001

p faktor smanjenja. Npr. za 24% on iznosi 0.76

2. a) Ana je visoka a cm, a Branka b cm. Izrazom a = b + 0.09b je opisano? Rj. a=1.09b što znači da je faktor povećanja 1.09. Točan odgov. Ana je viša od Branke za 9% b) Kolika je nova cijena, ako je stara 150 kn i poskupljenje je 24%? Rj. Staru cijenu pomnožimo s faktorom povećanja pa imamo S+P = 150 ⋅ 1.24 = 186 kn

c) Kolika je nova cijena, ako je stara 250 kn i sniženje je 22% ? Rj. Staru cijenu pomnožimo s faktorom umanjenja pa imamo S–P = 250 ⋅ 0.78 = 195 kn

2'. a) Marija je na sniženju od 25% kupila vestu za 240 kn. Koliko je vesta stajala prije sniženja? S –P = 240 i p = 25 možemo koristeći faktor umanjenja pisati kao 240 = S ⋅ 0.75 ⇒ S = 320 kn b) Kolika je stara cijena ako je nakon poskupljenja od 10% ona 220kn? 220 = S⋅ 1.1 ⇒S =200 kn

2''. U posudici u kojoj se smrzava voda nastaje led oblika kvadra dimenzija 3.5cm × 3 cm × 2 cm. Pri smrzavanju obujam vode se poveća za 5%. 1) Koliko je vode potrebno za jedan takav led? S + P = V = 3.5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 21 cm3

tj. S ⋅ 1.05 = 21 ⇒ S = 21 : 1.05 = 20 cm3

2) Koliko se takvih oblika leda može napraviti od 1 litre vode? (Napomena 1 litra = 1 dm3). Moje između redova 1 litra = 1 000cm3. Rj. 1 000 : 20 = 50

15

2''. Cijena udžbenika poskupila je sa 60 kn na 72 kn. Izraženo u %, to je poskupljenje za:

Iz S + P = S ⋅

+

1001

p ⇒ 72 = 60 ⋅

+

1001

p / ⋅ 60 ⇒

+

1001

p = 1.2 ⇒

100

p = 0.2 ⇒ p = 20%

2'''. U Republici Hrvatskoj 2004. god. rođeno je 20 875 dječaka. Godine 2005. rođeno je 4.19% više dječaka u odnosu na 2004. Koliko ih je rođeno 2005. god.? Rj. S+P = S ⋅ 1.0419 = 20 875 ⋅ 1.0419 = 21 750.

6. Torba od 200 kn poskupljuje za 20%, a zatim pojeftinjuje za 15%. Kolika je najnovija cijena? TRIK: Krenimo od cijene 100 kako bismo našli ukupno poskupljenje. 100 + 20 = 120 120 – 120 ⋅ 0.15 = 102 ⇒ p = 102 – 100 = 2% je ukupno poskupljenje Sada tražimo novu cijenu: S + P = S ⋅ 1.02 = 200 ⋅ 1.02 = 204 kn

6'. Cijena je smanjena za 25%, a zatim povišena za 20%. Kolika je bila početna cijena ako je sadašnja 450 kn? 100 – 25 = 75 75 + 75 ⋅ 0.2 = 90 ⇒ p = 100 – 90 = 10% ukupno pojeftinjenje S – P = 450 tj. S ⋅ 0.9 = 450 ⇒ S = 500 kn

8. Više jednakih poskupljenja (pojeftinjenja) npr. 4 daju faktor poskupljenja (pojeftinjenja) (1 ± p/100)4

Zadatak: Ako je godišnji porast BND 1.1% koliki će porast biti za pet godina? x = (1 + 0.011)5 = 1.0115 = 1.05622 ⇒ p = (x – 1)⋅ 100 = 5.62%

8'. U jezeru je otkriveno 10 grama algi. Njihova naseobina povećava se 15% tjedno. 1) Koliko će grama algi biti u jezeru nakon tjedan dana? 10 ⋅ 1.15 = 11.5g 2) Koliko će grama algi biti u jezeru nakon 3 tjedna? 10 ⋅ 1.153 = 15.20875g 3) U kojem će tjednu u jezeru biti 10 000 grama algi? 10 ⋅ 1.15t = 10 000/10 ⇒ 1.15t = 1 000/log t ⋅ log 1.15 = log 1000 = log 103 = 3

t = 15.1log

3 = 49.425 = 50–tom tjednu

1.2.2. Apsolutna vrijednost (modul) realnog broja

=−−=−<−

=>=

3.2)3.2(3.2;;;;0..,

4.34.3;;;;0...,,

rzar

rzarr

1. Izračunaj 1 – | –3| = A. –1 ; | B. –2| ; C. – 3 ; D. – 4 2. Broj | 3 – | –2| | bez aps. zagrada je: A. 3 +2; B. 3 –2 ; | C. 2 – 3 | D. –2 – 3

3. Broj | –1– 2 | bez aps. zagrade je: A. 2 –1; B. 1 – 2 ; C. –1 – 2 ; | D. 2 + 1|

4. Pojednostavni: 3824

83184

−−−

−+− A. 2 2 –1; | B. 3 –2 2 | ; C. 2 – 2 ; D. 1 + 2 2

5. Vrijednost izraza 3222 −−− je: A. – 3 ; | B. 1| ; C. – 1; D. 3

6. Odredite vrijednost izraza | 3 – 0.75x| –| 0.75x – 2| , za x = 4 A. – 2 ; | B. – 1| ; C. 1; D. 2

7. Za x ∈⟨–2, 1⟩ odredite vrijednost izraza | x – 1| + | 2 + x.| . A. 2x +1; B. x + 2; | C. 3| ; D. –3

16

1.2.3. Rastavljanje na faktore: Dijelimo na nekoliko dijelova.1. Svi članovi imaju zajednički faktor Početak su lagani zadaci zato sami: a) 6a2 – 9ab + 15a = b) 4a2(b + 2) + 4a(b + 2) + (b + 2) = ; c) (a + 1)3 + (a + 1) = Ovi su škakljivi zato ih ja rješavam: d) 5x+1 – 4⋅ 5x–1 = 5x–1(52 – 4) = 5x–1 ⋅ 21 = 21 ⋅ 5x–1

e) 32x–3 – 9x–2 = 32x–3 –32x–4 = 32x–4 (3 – 1) = 32x– 4 ⋅ 2 = 2 ⋅ 32x–4

2. Svi članovi nemaju zajednički faktor, ali se grupiranjem članova može svesti na 1.

Samo vj. a) a2b – 2a2 – 3ab + 6a + 5b – 10 = ; b) 9x3 – 18x2 – x + 2 = ; c) x 4 – 2x3 + 2x – 1=

2'. Riješi jednadžbu: x3 – 3x2 – 4x + 12 = 0

Rastavljamo na faktore: x2(x – 3) – 4(x – 3) = 0 ⇔ (x – 3)(x2 – 4) = 0 ⇔

(x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0 ⇒ x1 = –2, x2 = 2 x3 = 3

2''. Kvadratnih trinoma (primjenom formule za rješavanje kvadratne jednadžbe i ispitujući

D = b2 – 4ac ; PRIČA: Ako je D potpuni kvadrat slijedi ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Ako diskriminanta D nije potpuni kvadrat nena rastavljanja.

a) x2 – 5x + 6 = [D = 1; 32

15;2

2

15

2

15

2 21 =+==−=⇒±=±−= xxa

Dbx ]

1(x – 2)(x – 3) = (x – 2)(x – 3) GOTOVO

b) 2x2 – 5x – 3 = [D = 49; 34

75;

2

1

4

75

4

49521 =+=−=−=⇒±= xxx ]

2(x + 1/2)(x – 3) = [s 2 množimo samo prvu zagradu] = (2x + 1)(x – 3) GOTOVO

c) 6x2 – x – 1 = [D = 25; 2

1

12

51;

3

1

12

51

12

25121 =+=−=−=⇒±= xxx ]

6(x + 1/3)(x – 1/2) = [svaku zagradu njezinim brojem] = (3x + 1)(2x – 1) GOTOVO

d) –3x2 + 7x – 2 = [D = 25; 26

57

6

2572 =

−−−=⇒

−±−= xx i

3

1

6

571 =

−+−=x ]

–3(x – 1/3)(x – 2) = [minus ostavljamo ispred] = –(3x – 1)(x – 2) GOTOVO

3. Primjenom već spomenutih 7 važnih formula (treba ih znati uočiti u zadatku)

a) 4a2 – b2 – 4a + 1 = 4a2 – 4a + 1 – b2 = (2a – 1)2 – b2 = (2a – 1 – b)(2a – 1 + b).

b) 1 – 8xy – x2 – 16y2 = 1 – (x2 + 8xy + 16y2) = 1 – (x + 4y)2 = . . .

c) 4x + 16x4 – 16x3 – 1 = (16x4 – 1) – (16x3 – 4x) = (4x2 – 1)(4x2 + 1) – 4x(4x2 – 1)=

d) 16x4 – 8x3 – 2x + 1 = 8x3(2x – 1) – (2x – 1) = (2x – 1)(8x3 – 1) = . . .

= (2x –1)(2x – 1)(4x2 + 2x + 1) [Diskriminanta kvadratnog trinoma D = –12, STOP]

e) a3 – b3 + a2b – ab2 = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = . . . = (a – b)(a + b)2

17

f) 22x – 32x = (2x – 3x)(2x + 3x).

i) a–1b – b–1a = a–1 b–1 (b2 – a2) = 1/ab (b – a)(b + a).

1.2.4. Algebarski razlomci: I. Skraćivanje razlomaka

1. =+−−

−++−=−−−−=

−−+−−

)3(

)3)(3(

3

)3(

3

69 2222

xa

xaxa

ax

xa

ax

xxa–(a + x – 3) = 3 – a – x.

2. ( )( )

( ) 22

22

222

2222

4224

44

2 yx

yx

yx

yxyx

yyxx

yx

−+=

−

+−=+−

−.

3. ( ) ( )binomakubUoč

kvadratarazlikuUoč

xxx

xxxx

−−−−=

+++++−++

.

.

133

2335223

2222

= ... = 3x + 5

4. xxxx

xxx

xx

xx

xx

xxx

xx

xxx −=−−=−+−

+−−=−+−−−=

−−−−−−=

−++−−

2)2()5)(2(

)2)(2)(5(

)5)(2(

)4)(5(

)103(

)5(4)5(

310

2045 2

2

2

2

23

.

5. ( )( )

ab

ab

abbaba

bababa

baba

ba 111

1

11

1

11122

221111

1122

33 −=−=++++−=

++−

−−−−

−−−−−−

−−−−

−−

.

II. RAČUNSKE OPERACIJE S ALGEBARSKIM RAZLOMCIMA

1. =+−−−+=

+−−

−+=

+−−−−

−−+−=

−−+−−

+−−−

)1)(1(

)1()1(

1

1

1

1

)1)(2(

)2)(1(

)2)(1(

)1)(2(

2

23

23

2 22

2

2

2

2

xx

xx

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

[Uoči u brojniku razliku kvadrata]1

22

)1)(1(

)11)(11(2 −⋅=

+−−+++−+=

x

x

xx

xxxx =

1

42 −x

x.

2. x

x

x

x

x

xxx

xx

xx

xx

−=

−=

−=⋅

+−+=

−+

−−

−−

−

−−

111

11

1

)1)(1(

)1(1:

12

11

12

22

23

.

3. =−

+−−

++−−=

−+−

−+−

)3(2

5)3(2:

3

15362

62

53:

3

1512

22

x

xx

x

xxx

x

xx

xx

21872

)3(2

3

1872

518122

)3(2

3

18722

2

2

2

=+−

−⋅−

+−=++−

−⋅−

+−=xx

x

x

xx

xxx

x

x

xx

4. =−

−−⋅−−=

−

−−

⋅−

+−=

+−−

−⋅

−+

2

2

2

2

22 )3(

)3(

6

)3(

)3()3(6

96

6936

9

a

aa

a

a

a

a

aa

a

a

aa

aa

a

aa

a

aa

aa

aa

a −=

−−=−−⋅

− 6

3

6

3

1

)3(

6

1.

5. 1.....)32(

9

)(9

)3(4

)3(4

)32(22

22

22

22

22

22

==−+

−+−

−−++−

−−xyx

xy

yx

xyx

yxx

xyx [PAZI svaki razlomak se da skratiti]

6. abba

ab

ba

baba

ba

ab

baba

baba

ab

ba

baab

baba =−

⋅+

+−=−

⋅+−=

−⋅+−

−−

−−−

−−

−−

2222

2222

222211

4411122

11

3113 ))((

)(

)(.

7.332

3

3

3

9

2

22 ++

−−⋅

+−−

− v

v

v

vv

vv

v

v

v=

332

)3(

)3)(3(

)3( 22

++

−−⋅

+−−−

v

v

v

vv

vvv

vv=

332

1

3

96

++

−⋅

+−

v

v

vv

v=...= [1]

JEDNAKOSTI 1. Ako je a = 3333 i b = 5555 onda je =−++−

abba

abba

4)(

4)(2

2

? = ( )( ) 2

2

ba

ba

−+

= ... = 42 = 16

2. Ako je a – b = 3 te a2 + ab + b2 = 9, koliko je a3 – b3 ? | 3 ⋅ 9 = 27 |

3. Umnožak (2x +3y)(4x2 + axy + 9y2) je zbroj kubova ako je a = ( | –6 | ; 6; 12; 3)

4. Ako je (x + 1)(x – 1) = 3, koliko je (x2 – x)(x2 + x) ? ⇒ x2 (x – 1)(x + 1) = 4 ⋅ 3 = 12

18

x2 – 1 = 3 daje x2 = 4

5. Ako je (x – 1)(x + 3) = 7, koliko je (x + 1)2 ? ⇒ x2 + 2x – 3 = 7 ⇒ x2 + 2x +1 = 11

6. Polinom x3 – ax2 + 12x + 8 je kub binoma samo ako je a = (–2; –4; | –6| ; –8)

7. Ako je (2 – 4a)3 = 24, koliko je (2a – 1)3 ? ⇒ –23 (2a – 1)3 = 24 ⇒ (2a – 1)3 = –3

8. Ako je x + y = 5 koliko je 4x + 4y + 4 ? ⇒ 4(x + y) + 4 = 4 ⋅ 5 + 4 = 24

Linearne jednadžbe: Dobro je znati: Opći oblik linearne jedn. je ax = b;

1) za a ≠ 0 i b ∈ R bit će x = b/a jedno rj. (npr. 2x = 3/:2⇒ x = 3/2)

2) za a = 0 i b ≠ 0 ⇒ 0⋅ x = b, nema rj. (npr. 0⋅ x = 5 ne postoji broj koji pomnožen s 0 daje 5).

3) za a = 0 i b = 0 ⇒ 0⋅ x = 0, jedn. ima ∞ rj. (jednakost je ispunjena za svaki x R).

Zadaci: 1. Za koji k jedn. kx – 2k + x + 3 = 0 ima: a) jedno rj. b) nema rj.

(k + 1)x = 2k – 3 ⇒ a) za k + 1 ≠ 0 tj. za k ≠ –1 jedn. ima jedno rj. i ono je x = (2k – 3)/(k+1)

b) za k + 1 = 0 tj. za k = –1 ⇒ 0⋅ x = –5 jedn. nema rj.

2. Za koji m jednadžba (m2 – 2m – 3)x = m2 – 9 ima: a) jedno, b) nijedno i c) ∞ rješenja

(m + 1)(m – 3)x = (m +3)(m–3). Gledamo samo kritične točke lijeve starane m1 = –1 i m2 = 3

a) za m ≠ –1 i m ≠ 3, jedn. ima jedno rješenje i ono je x = (m+3) /(m + 1)

b) za m = – 1 ⇒ 0 ⋅ x = – 8 jedn. nema rješenja

c) za m = 3 ⇒ 0 ⋅ x = 0 jedn. ima ∞ rješenja Vj. a2(x – 1) = 2ax – 4

3. Za koji m linearna jednadžba (2 + m)(1 + m)x = m2 – 1 ima jedno rješenje?

A. m ≠ –1 i m ≠ 1; B. m ≠ –2 | C | m ≠ –2 i m ≠ –1 D. m = 2

4. Rješenje jedn. (x +1) : (x +3) = (x+4) : (x+5) je: A. –9; | B. –7 | ; C. –5; D. –3

5. Koliko iznosi zbroj rješenja jednadžbe 2(x – 4)3 – 7(x – 4)2 + 7(x – 4) – 2 = 0

Rj. Neka je x – 4 = t pa imamo jednadžbu 2t3 – 7 t2 + 7t – 2 = 0. Ovu jedn. možemo riješiti

rastavljanjem na faktore što iziskuje dodatni napor

2(t3 –1) –7t(t –1) = 2(t –1)(t2 + t +1) – 7t(t –1) = (t –1)(2t2 + 2t + 2 –7t) = 0

(t – 1)(2t2 – 5t + 2) = 0 ⇒ t = 1 i 2t2 – 5t + 2 = 0 čija su rj. t = ½ i t = 2.

Želimo li dobivenu jednadžbu riješiti bez napora, onda u pomoć zovemo HORNERA.

HA 2 – 7 7 – 2 Kandidati za rj. su divizori slobodnog koeficijenta: 1, – 1, 2, – 2

1 2 – 5 2 0 ⇒ t = 1 je jedno rješenje, provjerimo je li on dvostruko rješnje

1 2 – 3 –1 ≠ 0 znači 1 više nije rj. U igru ulazi drugi kandidat

2 2 – 1 0 ⇒ t = 2 je drugo rj. Više nam ne treba Horner, već iz zadnjeg reda čitamo

2t – 1 = 0 što daje t = 1/2 treće rj.

Sada odredimo nepoznanicu x. Iz x – 4 = t ⇒ x1 = 5; x2 = 9/2 i x3 = 6. Pa je x1 + x2 + x3 = 31/2

19

SUSTAVI DVIJU LINEARNIH JEDNADŽBI Prvih devet zadataka su samo za vježbu

1. Riješi sustav x + 2y = 1 i –2x + 3y = 5

2. Riješi sustav 3x + 4y = 5 i 3x + 4y = 6

3. Riješi sustav x + 2y = 3 i 2x + 4y = 6

4. Riješi sustav 2x – y = 9 i x + 3y = 1

5. Riješi sustav 2x + y + 1 = 0 i 4x +3y – 1 = 0

6. Riješi sustav 14

1

3

1 =+ yx i 1.4x – 0.3y = 1.8

7. Riješi sustav 4x + 5y = 20 i x – 2y = 4

8. Riješi sustav 4x + y = 5 i 2x + 3y = 3

9. Riješi sustav 3x + 4y = –5 i 7x – 8y = –16

10. Neka je a zadani realni broj. U sustavu jednadžbi x – 2y = a i 3x – 4y = 5 odredi x?

Rj. x – 2y = a /⋅ (– 2) pa zbrojimo dobivamo x = 5 – a

3x – 4y = 5

10'. Neka je b zadani realni br.. U sustavu jedn. 3x + 2y = b i 2x + y = 1 odredi y? Rj. y = 2b-3

11. Koliko mora biti parametar a da sustav (a + 3)x – 3y = –1 i 8x + 12y = 4 ima ∞ rj.?

(a + 3)x –3y = – 1 /⋅ 4 pa zbrojimo ⇒ (4a + 12 + 8)x = 0 ⇒ (4a + 20)x = 0.

8x + 12y = 4 Komentar: Jedn. ima ∞ rj. za 4a + 20 = 0, tj. za a = –5

12. Koliko mora biti parametar p da sustav 2x + 4y = 3 i 3x + py = 5 nema rj.?

2x + 4y = 3/⋅ 3 pa zbrojimo ⇒ (12 – 2p)y = –1

3x + py = 5/⋅ (–2) jedn. nema rj. za 12 – 2p = 0, tj. za p = 6

13. Koliki je parametar p ako je uređeni par (2,1) rješenje sustava: px+qy =7 i qx+y =3?

Uvrstimo x = 2 i y = 1 u dani sustav pa imamo:

4. Problemski zadaci (modeliranje) UPUTE: Dobro proučiti zadatak. Ako je potrebno, pročitaj ga i nekoliko puta sve dok ti ne postane kristalno jasan. Nepoznanicu standardno označi sa x. Napiši problem u obliku jednadžbe s jednom ili dvije nepoznanice. Riješi jednadžbu. Pazi da se ne zabuniš u računskim operacijama. Kritički se odnosi prema rješenju. Razmisli ima li ono smisla.

20

Provjeri zadovoljava li dobiveno rješenje sve uvjete zadatka.

1. Određenu količinu brašna treba spremiti u pripremljene pakete. Stavi li se u svaki paket 18 kg brašna, ostat će 10 praznih paketa. Ako se u svaki paket stavi 14 kg brašna, ostat će 180 kg brašna koje nije spakirano. 1) Koliko paketa imamo na raspolaganju? x kg = x kg 18P – 10 ⋅ 18 = 14P + 180 4P = 360 ⇒ P = 90. Odgovor: Na raspolaganju imamo 90 paketa. 2) Kolika je ukupna količina brašna? 18 ⋅ 90 – 180 = 1440 kg

1'.Dvije otopine, jedna 50%–tna i druga 5%–tna, mješaju se u omjeru 4:5.(Miriše na rčn. diobe) Koliko je postotna mješavina? Rj. A : B = 4 : 5 ⇒ A = 4k i B = 5k (Ovo je račun smjese) 4k ⋅ 50 + 5k ⋅ 5 = 9k ⋅ p / : k ⇒ 225 = 9p ⇒ p = 25%

1''. Mjere kutova trokuta su u omjeru 1 : 10 : 4. Najdulja stranica ima duljinu 10 cm. Kolika je duljina najkraće stranice? (Čisti račun diobe za izračunavanje kutova)

a) α : β : γ = 1 : 10 : 4 ⇒α = k; β = 10k i γ = 4k α + β + γ = 180o ⇒ 15k = 180 ⇒ k = 12 ⇒ α = 12o ; β = 120o i γ = 48o

b) Poučak o sinusima a/sinα = b/sinβ ⇒ a = b sinα/sinβ = 2.4 cm2. Cijena jedne ulaznice je za 10 kn viša na dan koncerta, nego u pretprodaji. Na dan koncerta za 600 kn može se kupiti 5 ulaznica manje nego u pretprodaji. Kolika je cijena ulaznice na dan koncerta? Neka je x cijena ulaznice u pretpr.

xx

6005

10

600 =++

/ ⋅ x(x + 10)

600x + 5x2 + 50x = 600x + 6000 / : 5 x2 + 10x – 1200 = 0

3552

7010

2

480010010 ±−=±−=+±−=x ⇒ x1 = – 40

x2 = 30 ⇒ x2 + 10 = 40 kn 2'. Marin je išao kupiti školski pribor. Trećinu novca potrošio je za bilježnice, onda je četvrtinu ostatka potrošio za olovke i na kraju je polovicu onoga što je ostalo potrošio za pernicu. Preostalo mu je 18 kn. Koliko je novaca Marin ponio sa sobom? B ... 1/3 ⋅ x ostalo je (1 – 1/3)x = 2/3 x O ... ¼ ⋅ 2/3 x = 1/6 x ostalo je (2/3 – 1/6)x = ½ x P ... ½ ⋅ ½ x ostalo je 18 kn x = 1/3 x + 1/6x + ¼ x + 18 /⋅ 1212x = 4x + 2x + 3x + 216 3x = 216 / : 3 x = 72 kn Odgovor: Marin je ponio 72 kn.2''. U dječjoj kasici bile su ukupno 132 kn u kovanicama od 5 kn, 2 kn i 50 lipa. Kovanica od 2 kn bilo je dvostruko više nego kovan. od 5 kn, a kovan. od 50 lipa bilo je tri puta više nego kov. od 2 kn. Koliko je u toj kasici bilo kovanica od 2 kune? 5x + 2y + 0.5z = 132 y = 2x z = 3y = 6x ⇒ 5x + 4x + 3x = 132 ⇒ 12x = 132 ⇒ x = 11 ⇒ y = 22 komada2'''. U trima paketima različitih masa stiglo je 64.2kg naranči. Masa drugog paketa jednaka je 4/5 mase prvog paketa, a masa trećeg paketa je 17/40 mase drugog paketa.1) Kolika je masa svakog pojedinog paketa? A + B + C = 64.2

21

B = 5

4 A

C = 40

17 B =

40

17⋅

5

4 A =

50

17A ⇒ A +

5

4A +

50

17A = 64.2 / ⋅ 50

50A + 40A + 17A = 3210 107A = 3210 / : 107 ⇒ A = 30kg ⇒ B = 24kg ⇒ C = 10.2kg2) Koliki je postotak naranči u trećem paketu u odnosu na prvi? Rj. (10.2 : 30) ⋅ 100 = 34% 3. Cijena c iznajmljivanja bungalova na n tjedana dana je formulom c = t ⋅ n + d (t je iznos tjednog najma, d je sigurnosni depozit). Marina je za 3 tjedna platila 2 092 kn, a Maja za 5 tjedana 3 412 kn. Koliki je sigurnosni depozit? c(3) = 3t + d = 2 092 \ c (5) = 5 t + d = 3 412 / oduzmemo od 1. ; 2. – 2t = –1320

t = 660 ⇒ d = 2 092 – 3t ⇒ d = 112 kn3'. Mliječni proizvod dolazi u pakiranju od 330g ili 500g. Trgovac je dobio količinu od 55 550g tog mliječnog proizvoda u ukupno 140 pakiranja. Koliko je dobio manjih pakiranja? x + y = 140 i 330x + 500y = 55 550 y = 140 – x 33x + 7000 – 50x = 5 555 –17x = –1445 ⇔ x = 853''. Škola je za odlazak svojih 708 uč. na izlet osigurala 15 autobusa. Neki su autobusi imali 52, a neki 43 sjedala. U svim autobusima sva su sjedala bila popunjena i na svakom je sjedio samo jedan učenik. 1) Koliko je bilo autobusa s 52 sjedala? x + y = 15 i 52x + 43y = 708 y = 15 – x 52x + 645 – 43x = 708 9x = 63 ⇒ x = 7 Odgovor: S 52 sjedala bilo je 7 autobusa 2) Koliko je ukupno učenika prevezeno autobusima s 43 sjedala? Odgovor: S 43 sjedala bilo je 8 autobusa ⇒ 43 ⋅ 8 = 344 učenika. 3'''. Marija je za 17 rođendan dobila na dar 17 ruža, bijelih i crvenih. Cijena bijele ruže je 8 kn, a crvene 9 kn. Koliko je u buketu bilo crvenih, a koliko bijelih ruža ako je buket plaćen 142 kn? B + C = 17 i 8B + 9C = 142 C = 17 – B 8B + 153 – 9B = 142 –B = –11 ⇒ B = 11 kom ⇒ C = 6 kom3 4' . U košari je 89 kuglica – neke su male, a neke velike. Svaka mala kuglica teži 2g, a svaka velika 5g. Ukupna težina kuglica u košari je 256g. Koliko ima malih kuglica? M + V = 89 i 2M + 5V = 256 V = 89 – M 2M + 445 – 5M = 256 –3M = – 189 ⇒ M = 63 kom ⇒ V = 26 kom4*. Za 120 kn mogle su se kupiti dvije čokolade više nego nakon njihova poskupljenja od 25%. 1) Koliko se čokolada moglo kupiti prije poskupljenja? Neka je x cijena jedne čok., a y broj čokolada prije poskupljenja: Prije 120 = xy poslije 120 = 1.25x ⋅ (y – 2) / :1.25 120 = xy 96 = xy – 2x 96 =120 –2x ⇒ x =12 kn ⇒ y =120/12 =10 Odgovor. Prije poskupljenja se moglo kupiti 10 čokolada. 2) Kolika je cijena čokolade nakon poskupljenja? x1 = 1.25x = 1.25 ⋅ 12 = 15 kn5. Napiši u obliku jednadžbe s dvije nepoznanice. Broj a pri dijeljenju sa 7 daje količnik b i ostatak 5. Rj. a = 7b + 56. Zbroj duljina kateta pravokutnog trokuta je 170 cm, a površina 2208cm2

Odredite duljine stranica trokuta. a + b = 170 i ab/2 = 2208 /⋅ 2

22

b = 170 – a a(170 – a) = 4416 170a – a2 – 4416 = 0 ⇒ a2 – 170a + 4416 = 0

53852

106170

2

1766428900170 ±=±=−±=a

a1 = 32; a2 = 138 ⇒ c = 22 13832 + = 141.66cm b1 = 138 b2 = 32 7. Dnevna potreba učenice 2. raz. iznosi 5g ugljikohidrata i 0.9g bjelančevina po kilogramu njezine težine. Kilogram hrane A ima 10g ugljikohidrata i 160g bjelančevina, dok kg hrane B ima 220g ugljikohidrata i 20g bjelančevina. Koliko kg hrane A i B treba konzumirati da se zadovolje njene dnevne potrebe, ako je teška 50kg? [Njene dnevne potrebe su 50 ⋅ 5 = 250 uglj. i 50 ⋅ 0.9 = 45 bjelan.] Pa imamo sustav 10A + 220B = 250 160A + 20B = 45 čija su rj. A = 0.14kg i B = 1.13kgJEDNADŽBE S | | | x| = 4 ⇔ x = ± 4 Napomena: Jedn. | ax + b| = – 5 nema rješenja

1. Riješi jednadžbe: a) | 2x + 3| = 5 ⇔ 2x + 3 = ± 5 ⇒ x1 = – 4 i x2 = 1

Vj. b) | 1 – 3x| = 2 NE Rj. već ⇔ | 3x – 1| = 2; c) | 5x + 4| = 7; d) | 5 – 2x| = ¾ ⇔ | 2x – 5| = ¾

Vj. 2. Rij. jedn. a) 2

1

32

1 =−x ; b) xx 23

58

32

1

−=+

− ; c) ( ) 532 2 =+x ; d) 3442 =+− xx

3. Riješi jedn. a) | x + 2| = | 3x + 1|

x + 2 = ± (3x + 1) ⇒ x + 2 = –(3x + 1) ili x + 2 = 3x + 1

x = –3 /4 ili x = ½

Vj. b) | 2 – x| = | 3x – 1| ; c) | 2x – 1| = | 3 – 2x| ; d) 2| x – 1| = | x – 2| ; d) 2| x| = 6| 3x +5|

4. Riješi jednadžbu | x – 1| = x + 1. P.u. x + 1 ≥ 0 tj. x ≥ –1 ⇒ x – 1 = ± (x + 1)⇒ x1 = 1 i nema rj.

5. Riješi jednadžbu | 3 – x| = 2x – 1. P.u. 2x – 1 ≥ 0 tj. x ≥ ½

| x – 3| = 2x – 1 ⇒ x – 3 = ± (2x – 1) . . .

ZADACI S | | ZA KRITIČNU TOČKU:

1. Riješi jedn. a) | x +3| + 2 = | 2x – 1| ⇒ k.t. su x1 = –3 i x2 = ½ dobivaju se tako da se . . .

Kako imamo dvije kritične točke zadatak se raspada na tri podzadatka

I. za x < –3 ⇒ –(x + 3) + 2 = –(2x – 1) ⇒ x = 2 nije rj. jer ne zadovoljava uvijet x < –3

II. za –3 ≤ x < 1/2 ⇒ x + 3 + 2 = –(2x – 1) ⇒ x = –4/3 je rj. jer zadovoljava uvijet –3 ≤ x < 1/2

III. za x ≥ 1/2 ⇒ x + 3 + 2 = 2x – 1 ⇒ x = 6 je rj. jer zadovoljava uvijet x ≥ 1/2

Vj. b) | 3x +2| = 3 + | 3 – 4x| ; c) | 3x – 1| = 3 – | 3x – 2| ; d) | 2x – 1| + | x – 3| = 1

Kvadratna jedn. ax 2 + bx + c = 0 a

acbbx

2

42 −±−= dobro nam poznata formula ⇒

23

⇒ a

acbbx

2

42

1

−−−= manje rj i a

acbbx

2

42

2

−+−= veće rj. Zadaci su samo za vježbu

1. Riješite jednadžbu: a) x2 – 5x + 4 = 0; b) 2x2 – 5x + 2 = 0; c) x2 – 6x + 13 = 0

2. Riješite jednadžbu : a) x2 – 5 x + 1 = 0; b) x2 – 2 3 x + 2 = 0 c) a2 – 2a + 4 = 0

SUSTAVI LINEARNE I KVADRATNE JEDNADŽBE Rješava se tako da se iz linearne jedn.

izrazi jedna nepoznanica pomoću druge pa se uvrsti u kvadratnu koja itd.

1. Riješite sustav y = x + 1 i y = x2 – 6x + 7 Rj. y iz prve uvrstimo u drugu pa imamo

x + 1 = x2 – 6x + 7 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 6 ⇒ y1 = 2, y2 = 7.

Diskriminanta kvadratne jednadžbe ax 2 + bx + c = 0 je broj D = b 2 – 4ac

Diskriminanta i priroda rješenja kvadratne jednadžbe:

1) Ako je D > 0, jednadžba ima dva realna i različita rješenja

2) Ako je D = 0, jednadžba ima jedno dvostruko realno rješenje

2') Ako je D ≥ 0, jednadžba ima dva realna rješenja

3) Ako je D < 0, jednadžba ima konjugirano kompleksna rješenja ili jedn. nema realnih rješenja

Zadaci: 1. Za koji realni m jedn. x2 + 4x + m = 0 ima jednaka rješenja?

Jednaka rješenja su za D = 0 tj. b2 – 4ac = 0 ⇒ 16 – 4m = 0 ⇒ 4m = 16 ⇒ m = 4

2. Za koji realni n jedn. 2x2 – x + n = 0 ima različita realna rješenja?

Različita realna rješenja su za D > 0 tj. b2 – 4ac > 0 ⇒ 1 – 8n > 0 ⇒ 8n < 1 ⇒ n < 1/8

2'. Za koji realni p jedn. (p – 2)x2 – 2px + p – 2 = 0 ima realna rješenja?

Realna rješenja su za D ≥ 0 tj. b2 – 4ac ≥ 0 ⇒ 4p2 – 4(p – 2)2 ≥ 0 ⇒ p2 – p2 + 4p – 4 ≥ 0 ⇒ p ≥ 1

3. Za koji realni q jedn. x2 – 2x + q –1 = 0 nema realna rješenja?

Rješenja nisu realna za D < 0 tj. b2 – 4ac < 0 ⇒ 4 – 4(q – 1) < 0 ⇒ 1 – q + 1 < 0 ⇒ q > 2

4. Zbroj vrijednosti parametra m za koje jedn. 2x2 – (m – 5)x + 8 = 0 ima jednaka rješenja iznosi?

x1 = x2 ⇒ D = 0 tj. b2 – 4ac = 0 ⇒ (m – 5)2 – 64 = 0 ⇒ m – 5 = ± 8 ⇒ m1 = –3 i m2 = 13

⇒ m1 + m2 = 10

Vieteove formule za kvadratnu jednadžbu ax 2 + bx + c = 0

Glase: x1 + x2 = a

b− i x1 ⋅ x2 = a

c daju vezu između rješenja i koeficijenata kv. jedn.

Zadaci: 1. Za koji k jednadžba kx2 + (k2 + k)x – 7 = 0 ima dva međusobno suprotna rješenja?

Iz x2 = – x1 ⇒ x1 + x2 = 0 ⇒ a

b− = 0 ⇒ k

kk )1( +− = 0 ⇒ k + 1 = 0 ⇒ k = –1

1'. Ne rješavajući kvadratnu jedn. 5x2 – 3x + 7 = 0. Izračunaj:

1) 12

11

−− + xx = 21

11

xx+ =

21

12

xx

xx + =

7

3

/

/ =−=−c

b

ac

ab

24

2) 22

21 xx + = dopuna do . . . (x1 + x2)2 – 2x1x2 =

2

−

a

b

a

c2− =

2

5

3

5

72 ⋅− =

25

61

5

14

25

9 −=−

2') 22

21

−− + xx = 22

21

11

xx+ = 2

221

21

22

xx

xx + = 2

21

212

12

)(

2)(

xx

xxxx −+=

49

61

25/49

25/61

)5/7(

5/14)5/3(2

2

−=−=−

3) ( ) 321

32

31 xxxx +=+ –3 2

21221 3 xxxx − = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) =

3

5

3

–3⋅

5

7⋅

5

3 = ... =

125

288−

4. Odredi m u jedn. mx2 + x + 4m = 0, ako je zbroj korijena (rješenja kv. jedn.) jednak

dvostrukom umnošku tih korijena. Rj. x1 + x2 = 2x1x2 ⇒ .... ⇒ m = –1/8

5. Zbroj aritmetičke i geometrijske sredine korijena jednadžbe 2x2 – 20x + 32 = 0 iznosi?

2121

2xx

xx+

+ = 16

2

10 + = 5 + 4 = 9

Kvadratna jednadžba sa zadanim rješenjima: Znamo li rješenja kvadratne jedn. onda tu jedn.

možemo naći na dva načina: I. a(x – x1)(x – x2) = 0 za 'LIJEPA' rješenja

II. x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 za 'RUŽNA' rješenja

1. Napiši kvadratnu jednadžbu ako su zadana njezina rješenja.

1) x1 = –3 i x2 = 2 [Jesu li 'lijepa'?] Jesu, onda a(x – x1)(x – x2) = 0 ⇒

a(x +3)(x – 2) = 0 [Kako a može biti bilo koji realni broj najbolje je da je 1]

(x +3)(x – 2) = 0 ⇔ x2 + x – 6 = 0

2) x1 = –2/3 i x2 = 1 [Jesu li 'lijepa'? Jesu.] a(x – x1)(x – x2) = 0 ⇒

a(x + 2/3)(x – 1) = 0 [Kako a može biti bilo koji realni broj neka bude 3]

3(x + 2/3)(x – 1) = 0 ⇔ (3x + 2)(x – 1) ⇔ 3x2 – x – 2 = 0

3) x1 = 2 – 3i i x2 = 2 + 3i [Jesu li 'lijepa'?] Nisu onda x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ⇒

x2 – 4x + 1 + 9 = 0 ⇒ x2 – 4x + 13 = 0

2. Napiši kvadratnu jednadžbu čije je jedno rješenje 1 – i . Između redova piše

Iz x1 = 1 – i ⇒ x2 = 1 + i; x2 – (x1 +x2)x + x1x2 = 0 ⇒ x2 – 2x +1 + 1 = 0⇒ x2 – 2x + 2 = 0

3. Što je od navedenog točno za broj a = 1 + 5 ? A . a2 + 2a + 4 = 0; B. a2 + 2a – 4 = 0;

C. a2 – 2a + 4 = 0; D. a2 –2a – 4 = 0: Između redova piše a2 = 1 – 5

a2 – (1 + 5 + 1 – 5 )a + (1 + 5 )(1 – 5 ) = 0 ⇒ a2 – 2a + 1 – 5 = 0 ⇒ a2 – 2a – 4 = 0

4. Odredi p tako da je jedno rješenje jedn. (2px – 1)2 = p(p – 2x) jednako nuli.

Dobro je znati: Kad imamo konkretno rješenje onda ga uvrstimo u danu jednadžbu ...

x1 = 0 ⇒ (0 – 1)2 = p(p – 0) ⇒ 1 = p2 ⇒ p = ± 1

ZADACI S | | ZA KRITIČNU TOČKU :

25

1. Riješi jedn. a) x2 + | x – 3| –3 = 0 k. t. x = 3 govori da se zadatak raspada na dva podzad.

I. za x < 3 ⇒ x2 – x + 3 – 3 = 0 ⇒ x(x – 1) = 0 ⇒ x = 0 i x = 1 oba zadovoljavaju uvjet x < 3

II. za x ≥ 3 ⇒ x2 + x – 3 – 3 = 0⇒ x2 + x – 6 = 0 ⇒ x = –3 i x = 2 ne zadovoljavaju uvjet x > 3.

Vj. b) 2x2 – | x + 1| = 4; c) x2 + | x – 2| = 3, d) x2 – | 5x – 3| = 2 + x; e) 2)12( −x = 2x – 1– x2

f) xx

65 =− /⋅ | x| ⇔ x2 –5| x| – 6 = 0

2. x| 4 – x| = 3 ⇔ x| x – 4| = 3 ⇒ k. t. x = 4

I. za x < 4 ⇒ – x(x – 4) = 3/⋅ (–1) ⇒ x2 – 4x + 3 = 0 ⇒ x = 1 i x = 3 oba su rj.

II. za x ≥ 4 ⇒ x(x – 4) = 3 ⇒ x2 – 4x – 3 = 0 ⇒ x = 2 – 7 očito je < 4 znači nije rj.

x = 2 + 7 očito je > 4 znači je rj.

NEJEDNAKOSTI Za uspješno rješavanje potrebno je dobro poznavanje intervala (1. razred)

Nejednadžbe koje se rješavaju napamet.

1. Nejednakost 02

3 ≥+

−x

vrijedi za sve x za koje je: x<2 i x≠ –2; x>2; x<–2; x≥ –2

2. Rješenje nejedn. (x +2)2(x – 3) ≥ 0 je interval _________________

3. Rješenje nejedn. 0)2(

12

<+−

x

x je interval ______________________

4. Rješenje nejedn. 02

)1( 2

≤−+

x

x je interval ______________________

5. Rješenje nejedn. 0)3(

22

>−+

x

x je interval ______________________

6. Rješenje nejednadžbe (x +3)(x – 2) ≤ 0 je interval ? kritične točke x1 = –3 i x2 = 2 ; manja dobiva indeks 1 veća 2. Sastavimo tablicu. Prva zagrada je uvijek ona koja daje manju kritičnu točku. –∞ –3 2 +∞

x + 3 – + + x – 2 – – +(x+3)(x–2) + – +

x ∈[–3 , 2]

Koristeći se gornjom tablicom odredi rješenja sljedećih nejedn.

7. Rješenje nejedn. (x +4)(x – 1) ≥ 0 je interval _______________________


1 <+−

x

x je interval _____________________________


3 ≥−+

x

x je interval _____________________________

10. Za koji realni m jedn. (x – m)2 = 3 – mx ima različita realna rješenja?

26

Gledamo treći red, zadovoljava nas –Rj. x∈[–3 , 2]

1) Sredimo kv. jedn. x2 – 2mx + m2 + mx – 3 = 0 ⇔ x2 – mx + m2 – 3 = 0. PAZI! c = m2–3

2) Različita realna rješenja su za D>0 tj.b2 – 4ac > 0 ⇒ m2 – 4(m2 – 3) > 0 ⇒ –3m2 + 12 > 0/:(–3)

⇒ m2 – 4 < 0 [Pazi! Zbog m2 ne prebacuj već rastav na faktore] ⇒ (m + 2)(m – 2) < 0.

Opet tablica, sada moje izlagnje, a kasnije kad ju naučimo iz glave: m ∈ ⟨–2 , 2⟩

11. Odredi domenu fje f(x) = logx

x 3− – log(x + 2) = [pojednostavni] = log

)2(

3

+−

xx

x

Df = {x∈R: 0)2(

3 >+−

xx

x} kritične točke su x1= –2, x2 = 0 i x3 = 3 [Sastavimo tablicu]

–∞ –2 0 3 +∞ x + 2 – + + + x – – + + x – 3 – – – + kvocijent – + – +

x ∈ ⟨–2, 0⟩ ∪ ⟨3, +∞ ⟩ što je ujedno i Df

Napomena: Navedenu tablicu koristimo i za rješavanje najednadžbi oblika (2 + x)(3 – x) < 0,

02

2 <+−

x

x, 0

5

3 <−−

x

x, ali ih prije upotrebe tablice moramo prevesti u oblik.: –(x +2)(x – 3) < 0,

02

)2( <+−−

x

x, 0

)5(

)3( <−−−−

x

x odnosno (eliminiramo minuse) (x + 2)(x – 3) >0, 0

2

2 >+−

x

x, 0

5

3 <−−

x

x

NEJEDNADŽBE S | | | x| < a ⇔ – a < x < a; | x| > a ⇔ x < – a ili x > a (ili znači rj. je ∪)

1. Riješi nejednadžbe: a) | 2x + 3| < 1 ⇔ –1 < 2x + 3 < 1 ⇔ – 4 < 2x < –2 ⇔ – 2 < x < –1

Vj. b) –| 3x – 2| > – 4; c) 21

1 ≥−x

; d) | 3 – x| ≤ 2; e) –| 3 – 2x| ≥ – 5

2. Odredi skup cjelobrojnih rj. nejedn. | 3 – x| < 2 ⇔ | x – 3| < 2 ⇔ –2 < x – 3 < 2

1 < x < 5 ⇒ x∈{2,3,4}

3. Riješi nejednadžbe: a) | 4x + 1| ≥ 3 ⇔ 4x + 1 ≤ –3 ili 4x + 1 ≥ 3

4x ≤ – 4 ili 4x ≥ 2

x ≤ –1 ili x ≥ 1/2 tj. x ∈ ⟨–∞ , 1] ∪ [1/2, +∞ ⟩

b) –| x – 3| < – 2; c) | 3 – 2x| ≥ 7; d) –| 2 – 3x| < – 5

4. Riješi sustav: a) 2 < | x – 3| < 4

2 < | x – 3| ⇔ | x – 3| > 2 i tj. ∩ | x – 3| < 4

x – 3 < –2 ili x – 3 > 2 i – 4 < x – 3 < 4

x < 1 ili x > 5 i –1 < x < 7 Za konačno rj. crtaj kućice

________o__________o_____________o_____________o_____________

–1 1 5 7

Konačno rj. je presjek tj. x ∈ ⟨–1, 1 ⟩ ∪ ⟨5, 7⟩

27

b) 3 < | x + 1| < 5; c) 1/2 ≤ | 3x + 2| < ¾; d) 1 < | 2x – 1| ≤ 2

Kvadratna nejednadžba ax 2 + bx + c < 0, ax 2 + bx + c > 0, ax 2 + bx + c ≤ 0 ili ≥ 0

Najlakše ju je riješiti pomoću već viđene tablice.

Primjer 1. 3x2 – 7x + 2 < 0. Najprije riješimo jedn. 3x2 – 7x + 2 = 0, čija su rj. x1 = 1/3 i x2 = 2

pa imamo 3(x – 1/3)(x –2) < 0 /:3

(x – 1/3)(x – 2) < 0 sada složimo tablicu

–∞ 1/3 2 +∞ x –1/3 – + + x – 2 – – +(x–1/3)(x–2) + – +

Za 3x2 – 7x + 2 ≤ 0 rješenje bi bilo x∈[1/3, 2]

Za 3x2 – 7x + 2 > 0 rješenje bi bilo x∈⟨ –∞ , 1/3⟩ ∪ ⟨2, +∞ ⟩

Za 3x2 – 7x + 2 ≥ 0 rješenje bi bilo x∈⟨–∞ , 1/3] ∪ [2, +∞ ⟩

2.Odredite vrijednost realnog param. p za koji fja 1

1)(

2

2

+++−=

xx

pxxxf ima vrijednosti manje od 5.

f(x) < 5 ⇔ 51

12

2

<+++−

xx

pxx / (x2 +x +1) [smijemo množiti jer je to pozitivan broj ∀x ∈ R]

x2 – px + 1 < 5x2 + 5x + 5 Sve na desnu stranu 4x2 + (p + 5)x + 4 > 0 Ovo će biti istina za D < 0, tj. b2 – 4ac < 0 ⇒ (p + 5)2 – 64 < 0 ne množi već uoči razliku kvadrata (p + 5 + 8)(p + 5 – 8) < 0 ⇔ (p + 13)(p – 3) < 0 ⇒ p ∈ ⟨–13, 3⟩Vj. 2x2 – 5x + 2 ≥ 0; 2x2 + 5x + 2 < 0; 5x2 – 17x + 6 > 0; 5x2 – 13x – 6 ≤ 0Napomena: Navedenu tablicu koristimo i za rješavanje najednadžbi oblika 3 + 2x – x2 > 0, tako

da ih množenjem sa –1 prevedemo u oblik x2 – 2x – 3 < 0

Kvadratna nejednadžba ax 2 + bx + c < > 0 s | | 1. Riješi nejednadžbu: a) | x2 + 5x| < 6 ⇒ –6 < x2 + 5x < 6 Raspada se na dvije nejednadžbe x2 + 5x > – 6 i tj.∩ x2 + 5x < 6 x2 + 5x + 6 > 0 i x2 + 5x – 6 < 0 (x + 3)(x + 2) > 0 i (x + 6)(x – 1) < 0 Iako bi nam tablica trebala biti u glavi, nacrtajmo jednu pa ju koristimo za obje nejed. –∞ –3 –2 +∞

x + 3 – + + x + 2 – – +(x+3)(x+2) + – +

Rj. prve x ∈ ⟨–∞, –3 ⟩ ∪ ⟨–2, +∞ ⟩ i rj. druge x ∈ ⟨–6, 1⟩ Za konačno rj. opet kućice

Konačno rj. je presjek I. i II. tj. x ∈ ⟨–6, –3 ⟩ ∪ ⟨–2, 1⟩

Vj. b) | x2 – 5x| < 6; c) | x2 – 5| < 1; d) | x2 –3| < 22. Riješi nejednadžbu: a) | x2 – 5x| > 6 ⇒ x2 – 5x < –6 ili x2 – 5x > 6 x2 – 5x +6 < 0 ili x2 – 5x – 6 > 0 (x – 2)(x – 3) < 0 ili (x + 1)(x – 6) > 0

28

Zadovoljava nas treći red iz kojeg čitamo rješenje i prve i druge nejednadžbe

Zadovoljava nas treći red iz kojeg čitamo rješenje x ∈ ⟨1/3, 2⟩

x ∈ ⟨2, 3⟩ ili x ∈ ⟨–∞, –1 ⟩ ∪ ⟨6, +∞ ⟩ Konačno rj. je unija I. i II. x ∈ ⟨–∞ , –1 ⟩ ∪ ⟨2, 3⟩ ∪ ⟨6, +∞ ⟩ Vj. b) | x2 + 5x| > 6; c) | x2 – 5| > 2; d) | x2 – 5| > 1

Korijeni I. Kvadratni (drugi) korijen pozitivnog broja a je a za koji vrijedi ( ) aa =2

,

dok za bilo koji realni broj r vrijedi rr =2 ; ( ) 33 2 −=− = – (–3) = 3

( ) ( ) 12212121212

−=+−=−−=−=− .

Također je 10 =a , 00 = , ( ) kkaa = Osnovna računanje s –ima morate znati, jer ova

skripta nije predviđena za osnovna računanja, ali ipak će se nešto od toga u njoj i naći.

120 = , 2 = [za najčešću upotrebu] = 2 = 2

1

2 ≈ 1.41; 130 = , 2

1

333 == ≈ 1.73

Korijeni II. Pisanje korijena u obliku potencije s razlomljenim eksponentom

2

1

aa = , 2

1.1 −

= aa

; 3

13 aa = , 3

1.

3

1 −= a

a; nn aa

1

= , nn

aa

1.1 −

= ;

n

mn m aa = ; n

m

n ma

a

−=1

; pn np aa = ; p

pn npa

aa

−== 11

Djelomično korjenovanje baba =2 za pozitivan realni broj a. (Za više vidi I. razred)

aa =2 , 2

33 aaaa == , 24 aa = , 2

525 aaaa == , 36 aa = , . . . , 510 aa =

Ova razmatranja morate znati primjeniti i za 02 do 102 kao i 03 do 103

33

113

43 4 aaaaaa ⋅=⋅== ; 3 23

53 5 aaaa ⋅== ; 44

54 5 aaaa ⋅== ; 4 34

74 7 aaaa ⋅==

Korjenovanje korijena mnmnm n aaa1

== , 6

1

2

12

1

3

1

2

13 bababa ⋅=

⋅=⋅

qpnpnnn p q cbacba111111 ⋅⋅⋅

⋅⋅=⋅⋅ ili n p q cba ⋅⋅ = npq qpq cba

a je uhvatio 'virus' p i 'virus' q. . .

Zadaci: Izračunaj: 0. ( ) +−2

21 ( ) +−2

32 ( )223 − = 21− + 32 − + 23 − =

gledaj izraz u zagradi = – (1 – )23()32()2 −−−− = –1 + 23322 +−+− = 1

1. 62323834431643 3 3333 =⋅=⋅=⋅=+⋅=+⋅ ; 1'. 2264 6 63 ==

2. 21

2

1.0

2.0

01.0

008.03

=== ; 3. 4

3

2

3

2

39

8

12

612

6

6 34

===⋅ ; 3'. 93327

1 29 189

6

===

−

−

29

3''. 20516

45

204 2016

10 405

45

54

45

54−−−− ⋅

⋅=⋅

⋅= 20 1020 45 ⋅ = 5 4⋅ = 5 ⋅ 2 = 10

3'''. 5 32 xxx ⋅⋅ = 5 3 6 xxx ⋅⋅ = 5 3 7 xx ⋅ =15 14 xx ⋅ = 30 15x = x

3 4' . 63

25 abba :

3

4

2

1

3

2 −−−

ba = 12

1

12

1

9

1

6

5

baba : 3

2

9

8

ba = 3

2

12

1

9

1

9

8

12

1

6

5 −+−+ba = . . .

4. 333 333 565325321080 ⋅=⋅⋅=⋅⋅= ; 5. 44 54 324 33333273 ⋅==⋅=⋅

6. =⋅⋅ 43 2793 ; 7. =⋅⋅ 1243 512525

8. ( ) 72632

−+ = ... = 9 8'. ( ) 2510200 +− = ... = –15

9. ( ) ( )324132

⋅+⋅− = ... = 4; 9'. ( ) ( )35212572

⋅+⋅− = ... = 4

10. 2

3232

−++ = ... = 6 10'.

2

2

53

2

53

−−+ = ... = 1

11. 4 152853 −⋅+ = ( ) ( )4 2152853 −+ = ( )( )4 15281528 −+ = 4 15464 ⋅− = 4 4 = 2

12. 75.033

2

81454 ⋅⋅− = ( ) ( ) 4

343

2

3

2_3 3232 ⋅⋅⋅ = 33

223

2_

3232 ⋅⋅⋅ − = 20 ⋅ 31 = 3

13*. Ako je 33 1212 −−+=t , onda je: A. t3 + 2t – 3 = 0; B. t3 – 2t + 3 = 0;

C. t3 – 3t + 2 = 0; D. t3 + 3t – 2 = 0

Rj. Iz t3 = ( ) 32

3 1212312 −⋅

+⋅−+ + ( )12121232

33 −−

−+⋅ (sredimo)

t 3 = 2 – ( )( )

−−+−+⋅ 333 121212123 = 2 – 3t ⇔ t3 + 3t – 2 = 0 Znači je odgovor D.

Heronova formula za površinu trokuta P∆ = ))()(( csbsass −−− s = )(2

1cba ++

1. Izračunaj P∆ sa stranicama a = 9 cm, b = 10 cm i c = 17 cm. ⇒ s = 18 cm

P∆ = ))()(( csbsass −−− = )1718)(1018)(918(18 −−− = 18918 ⋅⋅⋅ = 44 32 ⋅ = 22⋅ 32 = 36cm2

2. Odredi najmanju i najveću visinu ∆ sa stranicama a = 25, b = 29 i c = 36 ⇒ s = 45.

Iz P∆ = ))()(( csbsass −−− = ... = 360 i P∆ = 2

ava ⋅ ⇒

a

Pva

∆=2

= ... = 28.8

ili P∆ = 2

cvc ⋅ ⇒

c

Pvc

∆= 2 = ... = 20

3. Odredi polumjere r i ρ u ∆ sa stranicama a = 25, b = 52 i c = 63 ⇒ s = 70.

Iz P∆ = ))()(( csbsass −−− = 630 i P∆ =r

abc

4⇒

∆

=P

abcr

4 = ... =32.5 ili P∆=s⋅ρ⇒s

P∆=ρ = ... = 9

30

Racionalizacija nazivnika (vidi bilježnicu, tablice i uči se) Klasični zadaci:

1. 22

22

2

2

2

2 ==⋅ ; 1'. 4

4

4 3 5

5

5

1 ⋅ = 5

54

; 1''. 7 2

7 2

7 57 2

2

2

2

32

2 ⋅= = 77

42

42 =⋅

2. 3

3

3

3

33

3

3

33

=⋅= 2'. 3 32

4 = 3 52

4 = =⋅

⋅ 3

3

3 2 2

2

22

4 =⋅

2

22 33 2

3. 17

17

17

6

++⋅

−=

( )17

176

−+ =

( )6

176 + = 17 + ; 3'. 32

1

23

1

23

7

−+

−−

− = . . . = 5

3''. 6

6

56

1

56

31 +−

−−

=...= 6; 3'''. 67

1

78

1

83

1

−+

−−

− 25

1

56

1

−+

−− = ...= 5

4. 26

22

−= [u nazivniku izluči 2 ] = ( )132

22

− =

13

13

13

2

++⋅

− =

( )13

132

−+⋅

= 13 +

5. ⋅2

1

x3 4 83 xxx ⋅⋅ +

3

24

835

311 −−

= ['KOKTEL' zadatak] =.... = 1+15 = 16

IRACIONALNE JEDNADŽBE su jednadžbe u kojima se nepoznanica nalazi pod korijenom.

Rješavamo ih tako da ih svodimo na algebarske, rješavajući se korijena. Zadaci:

1. 2/21 =+x 2. 22 /12 +=− xx

x + 1 = 4 x2 – 2 = (x + 1)2

x = 3 (Provjera obavezna) x2 – 2 = x2 + 2x + 1

2413 ==+ istina 2x = –3/:2 ⇒ x = –3/2 (Provjera obavezna)

znači x = 3 je rj. 2

1

2

1 −= nije istina pa x = –3/2 nije rj.

2.' Odredi sve vrijednosti x za koje su xxx 36,..4,..5− uzastopni članovi geom. niza.

Niz je geometrijski akko =22a a1 ⋅ a3 ⇒( ) xxx 3654

2⋅−= dalje sami . . . rj. x = 9

3. 3712 =+− x /2 i tako 3 puta 4. 2/423 +=− xx Provjera

x = 4 → Provjera kaže je rj. x – 3 = 2x + 4 41437 +−=−−

3'. 2113 =−+ x x = –7 1010 −=− Na

3''. 2133 3 =−+ x prvi pogled ovo je istina, ali pod

mora biti nenegativan broj. To znači

da x = –7 nije rješenje

Vj. 321 =−++ xx Razdvoji korijene pa kvadriraj (sredi i ponovi kvadriranje) ... rj. x = 3

31

5. Odredi sve vrijednosti x za koje su 120,..16,..3 ++− xxx uzastopni članovi aritmet. niza. Niz je aritmetički akko je 2a2 = a1 + a3, uvrsti korijene pa riješi iracionalnu jedn.

SLIČNOST: Za slične likove vrijedi: Odgovarajući kutovi su jednaki i ove tri jednakosti:

1) Omjer duljina dužina jednak je k koef. sličnosti. Tj. a/a' = k = v/v' = o/o' = (a–b)/(a'–b') = ...

2) Omjer površina jednak je k2. Tj. P/P' = k2 = a2/a'2 = v2/v'2 = o2/o'2 = ...

3) Omjer obujmova (volumena) jednak je k3. Tj. V/V' = k3 = a3/a'3 = v3/v'3 = o3/o'3 = ...

Zadaci: 1. Duljine stranica trokuta iznose 15.5 cm, 11 cm i 9.5 cm. Duljina najkraće stranice

njemu sličnog trokuta iznosi 16 cm. Koliki je omjer: a) opsega, b) površina zadanog i sličnog

∆?

a) Rj. o1 : o2 = 9.5 : 16 = 0.59375 b) P1 : P2 = 9.52 : 162 = 0.35254

1'. Površina ∆ za 10% je manja od površine sličnog ∆. Nađi omjer duljina visina povučenih iz

vrhova C1 i C2. Rj. 10% manja znači da je faktor umanjenja 1 – 0.1 = 0.9

Iz P1 = 0.9P2 ⇒ P1/P2 = 0.9, a iz P1 : P2 = 22

21 : vv ⇒ 2

221 : vv = 0.9/ ⇒ v1 : v2 = 9.0

Krug r, d, o i P. Kružni prsten (vijenac) o i P

1. Opseg kruga o = 2rπ = dπ

2. Površina kruga P = r2 π = (d2/4) π

3. Opseg vijenca o = o1 + o2 = 2π(R + r)

4. Površina vijenca P = P1 – P2 = π(R2 – r2)

Zadaci: 1. Ako je opseg kruga jednak 22π cm. Kolika je njegova površina?

Iz o = 2rπ = 22π ⇒ r = 11cm ⇒ P = r2π = 121π cm2

2. Ako je površina kruga jednaka 56.25π cm2. Koliki je njegov opseg?

Iz P = r2π = 56.25π cm2 ⇒ r = 7.5 cm ⇒ o = 2rπ = 15π cm.

2'.Trkači trče kružnim stazama koje su od središta udaljene 100 odnosno 110 m. Koliko je dulji put

pretrčao trkač u vanjskoj stazi? (Slika) Rj. Razlika je 2 ⋅ 110π – 2 ⋅ 100π = 20π ≈ 62.8 m

3. Kvadratu opsega 32 cm upisan je i opisan krug. Kolika je razlika površina tih krugova? [SLIKA]

o = 32 = 4a ⇒ a = 8 cm ⇒ r = a/2 = 4 cm R = d/2 = a 2 /2 = 4 2 cm

PR – Pr = π(R2 – r2) = π(16 ⋅ 2 – 16) = 16π cm2

32

3'. Površina kružnog prstena jednaka je 16π m2. Kolika je duljina tetive većeg kruga ako ta tetiva

dira manji krug. Nacrtaj si skicu ... Rj. 1) Ppr = π(R2 – r2) = 16π ⇒ R2 – r2 = 16. 2) Traži se druga

jedn. s istim nepoznanicama, tu je Pitagora (t/2)2 = R2 – r2 /⋅ 4 ⇒ t2 =16 ⋅ 4 ⇒ t = 8 m

4. Jednakostraničnom ∆ opsega 36 cm upisan je i opisan krug. Kolika je razlika površina tih

krugova? [SLIKA] o = 36 = 3a ⇒ a = 12 cm ⇒ r = a 3 /6 = 2 3 cm i R = a 3 /3 = 4 3 cm

PR – Pr = π(R2 – r2) = π(16 ⋅ 3 – 4 ⋅ 3) = 36π cm2

5. Povećanjem radijusa kruga za 8 njegova se površina uveća 9 puta. Radijus početnog Ο je?

Iz r1 = r + 8 i P1 = 9P ⇒ π21r = 9r2π ⇒ (r + 8)2 = 9r2/ ⇒ r + 8 = ± 3r. U obzir dolazi samo +

pa imamo r + 8 = 3r ⇒ r = 4

Dijelovi kružnice i kruga:

1) Kružni luk 180360

παα rol == 2. Kružni isječak

2360360

20 rlrP

Pi === παα oi = 2r + l

3. Kružni odsječak: Pko = Pi – P∆ Nacrtaj si sliku i u njoj ove djelove.

Zadaci: 1. Luku duljine 3.5π cm pripada središnji kut od 225o. Kolika je duljina cijele kružnice?

Iz 360

αol = ⇒ ππ

α6.5

225

5.3360360 =⋅=⋅= lo cm

2. Ako luk kružnice pridružen središnjem kutu α = 45o iznosi 24 cm, koliki luk iste kružnice

pripada središnjem kutu β = 75o? Iz l : 24 = 75 : 45 ⇒ l = 40 cm

3. Odredite površinu kružnog isječka, ako je r = 5 i l = 2 rad. Rj. 52

25

2=⋅== rl

Pi

4. Kružni isječak ima površinu 45 i duljinu pripadnog luka 9. Odredite polumjer kružnice.

Iz 109

452245

2=⋅==⇒==

l

Pr

rlP i

i

5. Kružni isječak ima površinu Pi = 64 i opseg oi = 32. Odredite duljinu luka.

Iz 642

== rlPi i oi = 2r + l = 32 (Opet sustav linearne i kvadratne jedn.)

rl = 128 l = 32 – 2r

32r – 2r2 = 128/:2 l = 32 – 16

r2 – 16r + 64 = 0 l = 16

(r – 8)2 = 0/ ⇒ r = 8

Obodni i središnji kut kružnice (Uzmi bilježnicu iz I. raz. i prouči bit će dovoljno)

33

Tetivni i tangencijalni četverokuti (Uzmi bilježnicu iz I. raz. i prouči bit će dovoljno)

Pravilni mnogokuti (Uzmi bilježnicu iz I. raz. i prouči sliku i zapamti osnovne formule)

α = n

360 ; β =

n

n 180)2( ⋅−= 180–

n

360 = 180–α; β' =180–β = α, Kn = (n – 2) ⋅ 180, Dn =

2

)3( −nn

Zadaci: 1. Unutarnji kut pravilnog mnogokuta iznosi 160o. Koliki je broj stranica?

Rj. Iz β = 180o – α = 180o – n

360 ⇒

n

360 = 180o – β = 20o ⇒ n = 18

Može se tražiti broj dijagonala, zbroj unutarnjih kutova i sl.

2. Odredi onaj pravilni mnogokut čiji je jedan unutarnji kut tri puta veći od vanjskog.

Iz β = 3β' i β' = α = n

360 ⇔

nn

3603

360180 ⋅=− ⇒ 180 =

n

3604 ⋅ ⇒ n = 8

2'. Vanjski kut pravilnog mnogokuta jednak je 2/13 unutarnjeg. Nađite broj stranica.

Rj. β' = ( 2/13) β tj. α = (2/13) β

n

n

nn

)2(180

13

2360180

13

2360 −⋅=

−⋅= /⋅

2180

13

⋅n

⇒ 13 = n – 2 ⇒ n = 15

3. Pravilni mnogokut ima 6 puta više dijagonala nego stranica. Ako je stranica tog mnogokuta

4 cm, opseg = ? Rj. o = n ⋅ a i Dn = 6n ⇒ n(n – 3) = 2 ⋅ 6n ⇒ n2 – 15n = 0 ⇒ n = 15

o = 15 ⋅ 4 = 60 cm.

4. Zbroj unutarnjih kutova konveksnog mnogokuta (zamisli da je pravilni) jednak je 2340o. Koliko

dijagonala ima taj mnogokut? rj. Iz Kn = 2340 ⇒ (n – 2) ⋅ 180o = 2340o ⇒ n – 2 = 3⇒

n = 15 pa je Dn = n(n – 3)/2 = 15 ⋅ 12/2 = 90

5. Pravilnom šesterokutu površine 9.375 3 opisana je kružnica polumjera r = ?

Rj. Iz Pn = (n/2) ⋅ r2 sinα ⇒ r2 = (2P) / (n sinα) = (2 ⋅ 9.375 3 )/ (6 ⋅ 3 /2) ⇒ r = 2.5

6. Površina kruga upisanog u pravilni šesterokut iznosi 100π. Kolika je površina šesterokuta ?

Rj. Iz 100π = ρ2 π ⇒ ρ = 10. Kako je n = 6 i α = 360/n = 360/6 = 60o to je

34

Rj. 1) Jednakost obodnih kutova

nad istim lukom daje

α = 98o. 2) Tetivni četverokut:

Zbroj nasuprotnih kutova

α + β=180o daje β = 82o.

3) α – β = 16o

Pn= n ⋅ ρ2 tg(α/2) ⇒ P6 = 6 ⋅ 100 ⋅ 3 /3 = 200 3

7. Kružnici je upisan pravilni osmerokut i opisan pravilni šesterkout. Nađite omjer površina.

Nacrtaj dvije jednake kružnice, u jednu upiši pravilan osmerokut, a drugoj opiši pravilan šesterokut.

Iz r8 = ρ6 = r ⇒ P8 = 8 (r2 sin α)/2 i P6 = 6 r2 tg (α1/2)

3

2

3

33

2

22

306

45sin402

02

6

8 =⋅

⋅==

tgr

r

P

P ⇒ P8 : P6 = 3:2

Pravilo trojno (Proporcionalnost)

A. Proporcionalnost: Zadaci: 1. Auto na 100 km troši 6.5 litara benzina. Koliko će litara potrošiti

na putu od 492 km? Rj. ↑ 100 km ↑ 6.5 l

| 492 km | x l Prva strelica ide od x

x : 6.5 = 492 : 100 ⇒ x = (6.5 ⋅ 492) / 100 = 31.98 = 32 l

2. U 100 ml sirupa sadržano je 2.4 g paracetamola. Koliko miligrama paracetamola ima u 10

ml sirupa? Rj. ↑ 100 ml ↑ 2.4 g

| 10 ml | x g Prva strelica ide od x

x : 2.4 = 10 : 100 ⇒ x = (2.4 ⋅ 10) / 100 = 0.24 g = 240 mg [Napomena: 1 g = 1000 mg]

3. Za koliko se vremena pri rotaciji oko svoje osi Zemlja okrene za 60o?

Rj. ↑ 360o ↑ 24 sata

| 60o | x sati Prva strelica ide od x

x : 24 = 60 : 360 ⇒ x = (24 ⋅ 60) / 360 = 24/6 = 4 sata

4. Kolika je brzina 60 km/h u m/s? Rj. ↑ 60 000m ↑ 3600 s

| x m | 1 s Strelica uvjek ide od x

x : 60 000 = 1 : 3600 ⇒ x = 60 000 / 3600 = 100/6 = 16.67 m

4'. Kolika je brzina 20 m/s u km/h? Rj. ↑ 20 m ↑ 1 s

| x m | 3600 Prva strelica ide od x

x : 20 = 3600 : 1 ⇒ x = 3600 ⋅ 20 = 72 000 m ⇒ 20 m/s = 72 km/h

5. Na karti koja ima omjer 1 000 000 Zagreb i Split udaljeni su približno 26 cm.

Kolika je stvarna udaljenost Zagreba i Splita?

Rj. 1 : 1 000 000 = 26 : x ⇒ x = 26 ⋅ 1 000 000 = 26 000 000 cm = 260km

6. Ako 100 ml kave sadrži 66 mg kalija, koliko ćemo grama kalija unijeti u organizam oko

popijemo 0.5 dl kave? Rj. 100 ml = 1 dl ↑ 100 ml ↑ 66 mg

| 50 ml | x mg Strelica uvjek ide od x

35

x : 66 = 50 : 100 ⇒ x = (66 ⋅ 50) / 100 = 33 mg = 0.033 g (1 g = 1000 mg)

B. Obrnuta proporcionalnost Zadaci:

1. 8 radnika može obaviti neki posao za 10 dana. Za koliko će dana isti posao obaviti

5 radnika? Rj. | 8 radnika ↑ 10 dana

↓ 5 radnika | x dana Strelica uvjek ide od x

x : 10 = 8 : 5 ⇒ x = (8 ⋅ 10) / 5 = 16

1'. Zalihe hrane za 32 zeca dostatne su za 12 dana. Koliko će dana zalihe hrane dostajati za

12 zečeva? Rj. | 32 zeca ↑ 6 dana

↓ 8 zečeva | x dana Strelica uvjek ide od x

x : 6 = 32 : 8 ⇒ x = (6 ⋅ 32) / 8 = 24 dana

2. Automobilu je za put od Zg do St potrebno 5 sati ako vozi prosječnom brzinom 92 km/h.

a) Kojom prosječnom brzinom mora voziti ako uvu udaljenost želi prijeći za 4 sata?

Rj. | 5 sati ↑ 92 km/h

↓ 4 sata | x km/h Prva strelica ide od x

x : 92 = 5 : 4 ⇒ x = (92 ⋅ 5) / 4 = 115 km/h

b) Za koliko sati će stići ako vozi prosječnom brzinom 130 km/h?

Rj. ↑ 5 sati | 92 km/h

| x sati ↓ 130 km/h Prva strelica ide od x

x : 5 = 92 : 130 ⇒ x = (92 ⋅ 5) /130 = 3.54 h = 3 sata i 32 min

2'. Svježe gljive imaju 20% suhe tvari. Kolliko svježih gljiva treba sušiti da bi se dobilo 1kg

suhih u kojima ima 86% suhe tvari? Rj. | x kg ↑ 20 %

↓ 1 kg | 86 % Prva strelica ide od x

x : 1 = 86 : 20 ⇒ x = (86 ⋅ 1) / 20 = 4.3 kg

3. Svježe gljive sadrže 90 % vode, a sušene 12%. Koliko se sušenih gljiva dobije sušenjem

22 kg svježih? (Probleme ovog tipa rješavamo promatranjem onog što je nepromjenjivo,

a ovdje je to sve osim vode.) Rj. | x kg suhih glj. ↑ 88 % suhe tvari

↓ 22 kg svježih glj. | 10 % suhe tvari

x : 22 = 10 : 88 ⇒ x = (22 ⋅ 10) / 88 = 2.5 kg

Složeno pravilo trojno:

36

1. Ako 25 rudara radeći 20 dana po 8 sati dnevno iskopa 1500 tona ugljena, za koliko će dana 20

radnika iskopati 3000 tona ugljena radeći po 5 sati dnevno?

. | 25 radnika ↑ 20 dana | 8 sati ↑ 1500 t

↓ 20 radnika | x dana ↓ 5 sati | 3000 t Prva strelica uvjek ide od x

x : 20 = 25 : 20 = 8 : 5 = 3000 : 1500 ⇒ x = 1500520

300082520

⋅⋅⋅⋅⋅

= 80 dana

2. Učenici šumarske škole u praktičnoj nastavi imaju pošumljavanje. Na pošumljavanju 20 uč. iskopa 2000 rupa dubine 40 cm i širine 20 cm, radeći 20 dana po 8 sati dnevno. Koliko uč. bi trebalo da se iskopa 2500 rupa, dubine 50 cm i širine 15 cm radeći 30 dana po 5 sati dnevno?. ↑ 20 uč. ↑ 2000 rupa ↑ 40 cm ↑ 20 cm | 20 dana | 8 sati

| x uč. | 2500 rupa | 50 cm | 15 cm ↓ 30 dana ↓ 5 sati Prva strelica ide od x

x : 20 = 2500: 2000 = 50 : 40 = 15 : 20 = 20 : 30 = 8 : 5⇒ x = 53020402000

8201550250020

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= 25 uč.

Vj. 3. Zgradu visoku 10 m, široku 16 m, dugačku 50 m, izgradi 50 zidara radeći 20 dana 8 sati dnevno. Za koliko će dana 60 zidara izgraditi zgradu visoku 20 m, široku 12 m, dugačku 60 m, radeći 10 sati dnevno. [Rj. 24 dana]Vj. 4. Da bi se napravio kazališni zastor dugačak 25 m i visok 360 cm treba 30 kg pamuka. Koliko kg pamuka treba za zastor dugačak 40 m i visok 525 cm? [Rj. 70 kg]

JEDNOSTAVNI KAMATNI RAČUN K – ukupne kamate; C – glavnica ; p – postotak i n – broj godina

100

npCK

⋅⋅= ; np

KC

⋅= 100

; nC

Kp

⋅= 100

; pC

Kn

⋅= 100

Kamatni račun više ili niže 100, C + K ili C – KC + K = C(1+pn/100) kamatni fakt. povećanja, C – K = C(1–pn/100) kam. fak. smanjenja

1. Uložimo li danas 10 000 kn, koliko ćemo imati nakon dvije godine uz dekurzivnu

kamatnu stopu od 6.5% ? 100

npCK

⋅⋅= = 100

25.610000 ⋅⋅ = 1300 ⇒ C + K = 11 300kn

2. Za koliko godina neka glavnica donese jednostvenih kamata u iznosu od 36% te

glavnice ako je godišnji dekurzivni kamatnjak 9? K = 0.36C ⇒ CnC

36.0100

9 =⋅⋅/⋅ 100

9n = 36 ⇒ n = 4 godine 3. Dužnik je nakon dvije godine vratio dug zajedno s jednostavnim kamatama u iznosu od 11 136kn. Kolika je bila glavnica ako je godišnji dekurzivni kamatnjak 8? Iz C(1 + 16/100) = 11 136 kn ⇒ C = 11 136 : 1.16 = 9 600kn 4. Uz koji se godišnji dekurzivni kamatnjak neka glavnica uz jednostavni kamatni račun, za 8 godina poveća 100% ? Iz C(1 + 8p/100) = 2C ⇒ 1 + 8p/100 = 2 ⇒ 8p/100 = 1 ⇒ p = 12.5%5. Dužnik je nakon tri godine vratio dug zajedno s jednostavnim kamatama od 43 070 kn. Kolike su bile jednostavne kamate, ako je dekur. god.kamatnjak 6?

37

Iz C + K = 43 070 ⇒ KK +

18

100= 43 070 ⇒ K(100/18 + 1) = 43 070 ⇒ K = 6 570 kn

SLOŽENI KAMATNI RAČUN Glavnica C0 oročena na n godina uz kamatnu stopu (interes)

p% porast će na svotu n

n

pCC

+=

10010 . Ovdje je

1001

p+ kamatni faktor povećanja

Zad. 1. Netko je oročio 50 000 kn uz kamatnu stopu od 5.5%. Kolikom će glavnicom raspolagati

za 3 god? Rj. Iz n

n

pCC

+=

10010 ⇒ ( ) 3

3 055.150000=C = 58 712 kn

2. Koliko novaca treba uložiti da bi nakon 5 godina imali 80000 kn, ako je kamatna stopa 6%?

Rj. Iz n

n

pCC

+=

10010 ⇒ 80 000 = C0 ⋅ 1.0575 = C0 ⋅ 1.338225578 ⇒ C0 = 59 781 kn

3. Nakon koliko godina će se novac uložen uz kamatnu stopu od 6.1% udvostručiti?

Iz n

n

pCC

+=

10010 ⇒ 2C0 = C0 ⋅ 1.061n ⇒ 1.061n = 2 ⇒ n =

061.1log

2log= 11. 70 = 12 godina

4. Uz koju kamatnu stopu je posuđeno 10 000 kn ako se nakon 5 godina mora vratiti 15 000 kn?

Iz n

n

pCC

+=

10010 ⇒ 15 000 =

5

100110000

+ p ⇒

5

1001

+ p

= 1.5 ⇒ 08447.1100

1 =+ p

p = 8.447%

Funkcije: Fja f : A → B je pridruživanje koje svakom x ∈A pridružuje jedan element y ∈ B za koji

vrijedi y = f(x). Svaka fja je određena svojim područjem definicije (domenom) D, područjem

vrijednosti (kodomenom) K i zakonom pridruživanja f.

Zadaci: 1. Ako je f(x) = 1

1:

1

132 −++

+xxx

x, koliko je f( 2 ) ? (Najprije sredimo izraz)

f(x) = 1

)1)(1(

1

1 2

2

++−⋅++

+ xxx

xx

x = (x + 1)(x – 1) = x2 – 1 ⇒ f( 2 ) = 2 – 1 = 1

2. Pokažite da fja f(x) = x3 – 5x2 + 8x – 4 zadovoljava jednakost: f(2) = f(1)

3. Ako je f(x) = x2 – x + 1, koliko je (a – 1)f( –a) – (a +1)f(a)? Rj. –2

3'. Ako je f(x) = 3 sin(x – π/2) – 2 cos x, koliko je f(π – x) ? Rj. f(π–x) = – 6cos2x

4. Koliko je f( 12 + ), ako je f(x) = x2 – 2x + 1 (Uoči kvadrat binoma) Rj. 2

5. Koliko je f( 123 + ), ako je f(x) = x3 – 3x2 + 3x – 1 (Uoči kub binoma) Rj. 2

ODREĐIVANJE DOMENE fje (Učimo u IV. razredu, stoga samo uvod i zadaci za Vj.)

38

Domena realne fje je skup svih realnih brojeva x za koje fja ima smisla.

I. Racionalna fja: Df = {x∈R: nazivnik ≠ 0} = R\ {nultočka nazivnika} Vj. 1. f(x) = x

1;

2. g(x) = 1

3

−+

x

x; 3. h(x) =

32

32 −− xx

x; 4. k(x) =

)3)(1)(2(

2

−+++

xxx

x; 5. p(x) =

xxx

x

32

31223 −+

−

II. Iracionalna fja: Df = {x∈R: radikand ≥ 0} Vj. 1. f(x) = 1+x ; 2. g(x) = 42 −x ;

3. p(x) = 245 xx −+ ; 4. h(x) = 2

1

−−

x

x; 5. k(x) =

x

x

−1; 6. q(x) =

1−x

x

III. Logaritamska fja: Df = {x∈R: logaritmand >0} Vj. 1. f(x) = log(x – 3); 2. g(x) = log(3 –2x)

3. h(x) = log(3 – 2x – x2); 4. k(x) = )2(log1

2 +⋅ xx

; 5. q(x) = ln(x + 4); 6. f(x) = xln

1;

7. g(x) = x2

1log ; 8.* p(x) = logx+2(x+3) NOVO! Dp={x ∈R : x+2>0, x+2 ≠ 1 i x+3>0}

IV. Linearna kombinacija fja pod I. , II. ili III.: 1. h(x) = )1(log54 22 ++−− xxx

Df = {x∈R: x2 – 4x – 5 >0 i x + 1 > 0} = Presjek ovih rješenja.

2. p(x) = xx 2

42 −

+ 3+x . Dp = {x∈R: x2 – 2x ≠ 0 i x + 3≥ 0} = [–3, +∞ ⟩ \ {0, 2}

Dobro je znati : Domena polinomske i eksponencijalne fje uvjek je cijeli skup R.

Npr. f(x) = ax + b Df = R; g(x) = ax2 + bx + c Dg = R

k(x) = 10x Dk = R; p(x) = 3⋅ 2x–1 Dp = R

Određivanje fje f(x): 1. Iz f(x +1) = 3x–2, odredi f(x). Neka je x +1 = t onda je

x = t –1 pa je f(t) = 3(t –1) – 2 = 3t – 5. TRIK tj. f(x) = 3x – 5 GOTOVO.

2. Iz 1

2

1

1

−=

+−

xx

xf , odredi f(x) . Neka je t

x

x =+−

1

1 ⇒ x – 1 = tx + t ⇒

t

tx

−+=

1

1 pa je

( )

t

t

t

t

t

tt

t

ttf

−=−=

−+−+

=−

−+

= 1

2

)1(2

1

112

11

12

. TRIK tj. ( )x

xxf

−= 1

2'. Neka je xx

xf 2

13 =

+

, odredi f(2). Rj. f(2) = – 1

3. Iz f(2x + 4) = 18 ⋅ 3x –1, odredi f(x). Neka je 2x + 4 = t ⇒2x = t – 4 ⇒ x = 0.5t –2

pa je f(t) = 18 ⋅ 30.5t ⋅ 3–2 –1 = 2 ⋅ 30.5t – 1. TRIK tj. f(x) = 2 ⋅ 30.5x – 1

Vj. Iz f(2x – 1) = – 4x2 + 24 x – 10 odredi f(x); Iz f( 1−x ) = 16x –2 x – 15 odredi f(x2).

Iz f(x+π) = sinx – 2cosx, odredi f(x). Rj. f(x) = – sinx + 2cosx

39

4. Ako je g o f(x) = x

x

−+

1

1 i f(x) = x + 2 odredi g(x).

Rj. g o f(x) = g(f(x)) = g(x+2) = x

x

−+

1

1 ; x + 2 = t ⇒ x = t – 2 pa je

g(t) = t

t

t

t

−−=

+−−+

3

1

21

21 ⇒ g(x) =

x

x

−−=

3

1

M J E R N E J E D I N I C E

1. Metarske mjere – za dužine 2. Mjere za površine 1 km = 1 000 m = 10 000 dm 1 km2 = 100 ha = 10 000 a = 1 000 000 m2

1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm 1 ha = 100 a = 10 000 m2

1 dm = 10 cm = 100 mm 1 a = 100 m2 1 cm = 10 mm 1 čhv = 3.6 m2 (stara mjera) 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2

1 dm2 = 100 cm2 = 10 000 mm2

1 cm2 = 100 mm2 3. Mjere za obujme (volumene) 1 km3 = 1 000 000 000 m3

1 m3 = 10 hl = 1 000 l (dm3) 1 hl = 100 l = 1 000 dl 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml (cm3) = 1 000 000 mm3

1 dl = 10 cl = 100 ml (cm3) 1 cl = 10 ml (cm3) 1 ml = 1 000 mm3

4. Mjere za masu 1 t = 10 metričkih centi (q) = 100 kg 1 q = 100 kg 1 kg = 100 dkg = 1000 g 1 g = 10 decigrama (dcg) = 100 centigrama (cg) = 1 000 miligrama (mg) 1 dcg = 10 cg = 100 mg 1 cg = 10 mg 1 (metarski) karat = 200 mg

5. Mjere za vrijeme 6. Predmeci za tvorbu decimalnih jedinica: 1 godina = 365 dana peta (P) 1015 deci (d) 10–1

1 dan = 24 sata tera (T) 1012 centi (c) 10–2

1 sat = 60 minuta giga (G) 109 mili (m) 10–3

1 minuta = 60 sekundi mega (M) 106 mikro (µ) 10–6

kilo (k) 103 nano (n) 10–9

hekto (h) 102 piko (p) 10–12

deka (da) 10 femto (f) 10–15

40

GRAFOVI FUNKCIJA : Elementarne fje, koje smo do sada upoznali

a) Lin. fja f: R → R, f(x) = x b) Kvadratna fja f: R → R, f(x) = x 2

c) Kubna fja f: R → R, f(x) = x3 d) Fja apsolutne vrijednosti f: R→ R, f(x)=| x|

e) Racionalna fja f: R\{0}→R, f(x) = x

1 f) Fje korjenovanja f: +

0R → R, f(x) = x

Fja je definirana za sve realne br. osim 0 Fja je def. za sve pozitivne realne br. i 0

g) Eksponencijalne fje f: R→R, f(x) = ex h) Log fja f: R+→ R, f(x) = lnx

Asimptota je negativni dio x osi Fja je def. za sve pozitivne realne br.

i) Fja sin f: R → R, f(x) = sinx j) fje kosinus f: R → R, f(x) = cosx

A. Linearna funkcija: f(x) = ax + b. Definirana je za sve realne brojeve. Graf je pravac

41

y = ax + b. Jedn. pravca y = ax + b dana je u eksplicitnom obliku. Iz tog oblika pravac crtamo

tako da na osi y nađemo broj b, tj. označimo točku (0,b), pa od nje krenemo obavezno u desno za

vrijednost nazivnika od broja a zatim gore za njegov brojnik, ako je a pozitivan broj, odnosno dolje,

ako je a negativan broj. Ako nam je pak jedn. pravca dana u eksplicitnom obliku

Ax + By + C = 0. Da bismo ga nacrtali prevedimo jedn. pravca u eksplicitni oblik

y = B

Cx

B

A −− pa ga nacrtajmo na opisani način.

Prikažimo grafički: 1. y = 2x – 1; 2. 2x + 3y – 6 = 0

y = 11

2 −x y = 23

2 +− x

Ako nam je pak jednadžba pravca dana u segmentnom obliku x/m + y/n = 1. Crtamo ga tako da

nađemo na osi x broj m i na osi y broj n pa kroz točke (m,0) i (0,n) povučemo pravac.

3. 123

=+ yx; 4. 1

32=+

−yx

5. Određivanje lin. fje f(x) = ax + b iz poznatog grafa. Odaberemo na grafu dvije točke sa lijepim

koordinatama npr. T1(x1,y1) i T(x2,y2), pa riješimo sustav ax1 + b = y1 i ax2 + b = y2

42

Primjer: T1( 2, 0) ⇒ 2a + b = 0

T2 (0, 3) ⇒ 0 ⋅ a + b = 3 ⇒ b = 3 ⇒

2a = –3 ⇒ a = –3/2

pa je f(x) = –3/2 x + 3 tražena lin. fja

Vj.6. U istom koordinatnom sustavu nacrtaj grafove fja f(x) = 2

1x + 3 i g(x) = –x.

Interval [–2, +∞ ⟩ je rješenje koje nejednadžbe? (riješi ponuđene nejadnadžbe pa odluči)

½x–3 ≤ –x; ½x+3 ≥ –x; ½x–3 ≥ –x; 2x + 3 ≥ –x

7. U istom koordinatnom sustavu nacrtaj grafove fja f(x) = 2x–1 i g(x) = –2x+1.

a) Rješenje nejednadžbe f(x) ≥ g(x) je interval: _______________ Rj. je tamo gdje je f iznad g

b) Rješenje nejednadžbe f(x) ≤ g(x) je interval: _______________ Rj. je tamo gdje je f ispod g

PREUZETO IZ MOJA MATURA

43

44

Kvadratna fja f(x) = ax2 + bx + c . Definirana je za sve realne brojeve. Graf je parabola

y = ax2 + bx + c. Kojoj je tjeme u točki T(xo,yo) pri čemu je xo = a

b

2− i yo =

a

bac

4

4 2−.

Za a > 0 otvor prema gore ( ∪ ), dok je za a < 0 otvor prema dolje ( ∩ )

Nultočke nalazimo rješavanjem jednadžbe f(x) = 0, tj. jedn. ax2+bx+c = 0.

Broj nultočaka ovisi o diskriminanti (D).

Za različite realne nultočke je: xo = 2

21 xx + i yo = f(xo)

Za jednake realne nultočke je: xo = x1 = x2 i yo = 0

Ako nultočke nisu realne onda je xo = a

b

2− i yo =

a

bac

4

4 2−.

Osnovni oblici kvadratne fje

Za bilo koju kv. fju: f(x) = ax2 + bx + c

Za kv. fje u kojima je istaknuto tjeme: f(x) = a(x – xo)2 + yo

Za kv. fje u kojima su istaknute 'lijepe' nultočke: f(x) = a(x – x1)(x – x2)

Za kv. fje s dvostrukom nultočkom: f(x) = a(x – xo)2

Za kv. fje s 'ružnim' nultočkama: f(x) = a[x2 – (x1 + x2)x +x1x2]

Dobro ih upamtite (igrajte se i spavajte s njima)

45

1) D > 0 fja ima dvije različite realne

nultočke

2) D = 0 fja ima jednu dvostruku realnu

nultočku

3) D < 0 fja nema realnih nultočki

Primjer 1. Odredi nultočke, ekstremnu vrijednost, intervale pada i rasta i nacrtajte graf fje

f(x) = – 3x2 + 6x + 9

1) Vodeći koeficijent a = – 3 < 0 znači otvor parabole je prema dolje

2) Nultočke – 3x2 + 6x + 9 = 0 /: (– 3)

x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x1 = –1, x2 = 3

3) Tjeme xo = 2

21 xx + = 1 i yo = f(xo) = f(1) = – 3 + 6 + 9 = 12 ⇒ T(1, 12)

4) Fja raste na intervalu ⟨– ∞, xo⟩ = ⟨– ∞, 1⟩ , pada na intervalu ⟨xo, +∞ ⟩ = ⟨1, +∞ ⟩

Primjer 2. Odredi kvadratnu fju f(x) = ax2 +bx+c za koju vrijedi: f(–1) =2, f(0) = 2 i f(2) = – 4

f(–1) = 2 ⇒ a – b + c = 2

f(0) = 2 ⇒ c = 2

f(2) = – 4 ⇒ 4a +2b + c = – 4 Uvrstimo c = 2 u 1. i u 2. jednakost pa nakon sređivanja

dobivamo sustav a – b = 0 i 2a + b = –3 čija su rješenja a = –1 i b = –1 ⇒ f(x) = – x2 – x + 2

Vj. 2'. Odredi kvadratnu fju f(x) = ax2 +bx+c za koju vrijedi: f(–2) = f(3) = 0 i f(1) = – 12

Primjer 3. Najveću vrijednost yo =4 kv. fja prima za xo = –1. Ako je k tome f(0) =6, odredi tu fju.

1) Kad znamo koordinate tjemena, onda f(x) = a(x – xo)2 + yo, koja nakon uvrštavanja koordinata

tjemena dobiva oblik f(x) = a(x +1)2 + 4

2) f(0) = 6 ⇒ a(0 + 1)2 + 4 = 6 ⇒ a = 2 uvrstimo u 1)

3) f(x) = 2(x +1)2 + 4 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2x2 + 4x + 6

Vj. 3'. Fja f(x) = ax2 + bx + c ima za x = 1 najveću vrijednost 3, a za x = –1 ima vrijednost 0.

Izračunaj f(5). (Uputa: Poznati su podaci: xo = 1, yo = 3 i f(–1) = 0)

3''. Fja f(x) = ax2 + bx + c ima za x = 1 najveću vrijednost –8 a za x = 3 ima vrijednost 0.

Odredi f(x+1). (Uputa: Poznati su podaci: xo = 1, yo = –8 i f(3) = 0)

Primjer 4. Ako su – 1 i 3 nultočke kv. fje čija najveća vrijednost iznosi 8. Odredi tu fju.

1) Kad znamo 'lijepe' nultočke onda f(x) = a(x – x1)(x – x2) i xo = 2

21 xx +

f(x) = a(x + 1)(x – 3) i xo = 1

2) f(xo) = 8 ⇒ a(1 + 1)(1 – 3) = 8 ⇒ a = – 2 uvrstimo u 1)

3) f(x) = – 2(x +1)(x – 3) = – 2(x2 – 2x – 3) = – 2x2 + 4x + 6

46

5) Nacrtajmo graf fje

Primjer 5. Odredi kv. fju čiji graf dira os apscisa u točki s apscisom 3, a prolazi točkom (5, 12).

1) Graf dira os apscisa znači da fja ima dvostruku nul točku x1 = x2 = xo = 3, onda

f(x) = a(x – xo)2 = a(x – 3)2

2) T(5, 12) znači f(5) = 12 ⇒ a(5 – 3)2 = 12 ⇒ a = 3 uvrstimo u 1)

3) f(x) = 3(x – 3)2 = 3(x2 – 6x + 9) = 3x2 – 18x + 27

Primjer 6. Odredi kv. fju čija je jedna nultočka 1 – 5 , a graf prolazi točkom T(1, 15).

1) Neka je x1 = 1 – 5 onda je x2 = 1 + 5 'ružne' su pa je f(x) = a[x2 – (x1 + x2)x +x1x2]

2) Uvrstimo nultočke f(x) = a[x2 – 2x + 1 – 5] = a(x2 – 2x – 4)

3) T(1, 15) znači f(1) = 15 ⇒ a(1 – 2 – 4) = 15 ⇒ a = –3 uvrstimo u 2)

4) f(x) = – 3(x2 – 2x – 4) = – 3x2 + 6x + 12

Vj. 7. Odredi kv. fju čija je jedna nultočka 1 – i, a graf prolazi točkom T(1, 2).

8. Odredi kv. fju čija je jedna nultočka 3 –1, a najveća vrijednost fje je 3/2.

Kvadratna fja f(x) = ax2 + bx + c graf je parabola y = ax2 + bx + c.

I. Koju crtamo pomoću tjemena i jedne istaknute točke, ako je oblika:

y = ax2, T(0,0); y = ax2 + c, T(0,c); y = a(x – xo)2, T(xo,0) i y = a(x – xo)2 + yo, T(xo,yo)

Prikažimo grafički: 1. f(x) = x2 – 4 2. f(x) = – x2 + 4 , je elementarna Tjeme T(0,– 4). Odredimo još Tjeme T(0, 4). Odredimo jošjednu njezinu točku npr. f(2) = 0 jednu njezinu točku npr.f(2) = 0pa odredimo njoj simetričnu s pa odredimo njoj simetričnu s obzirom na os parabole tj. s obzirom obzirom na os parabole tj. s obziromna pravac x = xo. Konkretno x = 0 na pravac x = xo. Konkretno x = 0a = 1 > 0 znači otvor parabole prema gore a = –1 < 0 znači otvor prema dolje

3. f(x) = 2x2 – 4, a = 2 > 0, ∪ 4. f(x) = –2x2 + 4, a = –2 < 0, ∩ T(0, –4), f(2)=0 i os par. x = 0 T(0, 4), f(2)=0 i os par. x = 0

47

5. f(x) = (x – 1)2; a = 1 > 0, ∪ 6. f(x) = (x + 1)2, a = 1 > 0, ∪ T(1,0) ; f(0) = 1 i os par. x = 1 T(–1,0) ; f(0) = 1 i os par. x = –1

7. f(x) = –(x – 1)2; a = –1 < 0, ∩ 8. f(x) = –(x + 1)2; a = –1 < 0, ∩; T(1,0); f(0) = –1 i os par. x = 1 T(–1,0); f(0) = –1 i os par. x = –1

9. f(x) = 2(x – 1)2 – 3, 10. f(x) = –2(x +1)2 + 3, a = 2 > 0, ∪, T(1, –3) a = –2 < 0, ∩; T(–1,3) f(0) = 2(0 – 1)2 – 3 = –1 f(0) = –2(0 + 1)2 + 3 = 1 i os par. x = 1 (Vidi sliku) i os par. x = –1 (Vidi sliku)


II. Koju crtamo pomoću nultočki i tjemena, ako je oblika: f(x) = a(x – x1)(x – x2), gdje su

x1 i x2 nultočke fje f i tjeme T(xo,yo). Koord. tjemana računamo iz 2

210

xxx

+= i yo = f(xo)

11. f(x) = (x – 1)(x – 3), to je 12. f(x) = –3(x + 1)(x – 3), to je a = 1 > 0, ∪ ; nultočke x1=1, x2 = 3, a = –2 < 0, ∩; x1= –1 i x2 = 3 apscisa tjemena xo=1/2(x1+x2) = 2 xo=1/2(–1 + 3) = 1 ordinata tjemena yo=f(xo)=f(2)= –1 yo=f(xo)=f(1)= 1, T(1,12) T(2,–1)

48


III. Koju crtamo pomoću nultočki i tjemena, gdje su x1 i x2 nultočke fje, koje dobivamo

rješavanjem jednadžbe f(x) = 0 odnosno ax2 + bx + c = 0 i T(xo,yo), gdje je

221 xx

xo

+= ili

a

bxo 2

−= odnosno yo = f(xo) ili a

bacyo 4

4 2−=

13. f(x) = 2x2 + 4x – 6 14. f(x) = –3x2 + 6x + 9

a = 2 > 0, ∪ ; nultočke x1= –3, x2 = 1, a = –2 < 0, ∩; x1= –1 i x2 = 3 apscisa tjemena xo=1/2(x1+x2) = –1 xo=1/2(–1 + 3) = 1 ordinata tjemena yo=f(xo)=f(–1)= –8 yo=f(xo)=f(1)= 12, T(1,12) T(–1, –8)

15. Na slici je graf kvadratne fje

f(x) = ax2 + bx + c

Odredite koef. a, b i c


f(x) = a(x – xo)2 + yo


49

Zadatak rješavamo tako da na grafu odabetemo tri točke s poznatim koordinatama pa ih uvrstimo u zadanu fju.T(2, –1) ⇒ –1 = 4a + 2b + cA(0, –5) ⇒ –5 = 0⋅ a + 0⋅ b + c ⇒ c = –5 B(4, –5) ⇒ –5 = 16a + 4b + c. Uvrstimo c u prvu i treću jednadžbu, dobivamo sustav 4a + 2b = 4 /⋅ (–2) 16a + 4b = 0 pa zbrojimo ⇒ 8a = –8odnosno a = –1 ⇒ b = 4 Dakle a = –1, b = 4 i c = –5 su traženi koef.

S grafa očitamo koordinate tjemena T(–2, 3) uz njega nam je potrebna još samo jedna točka.Rj. T(–2, 3) ⇒ f(x) = a(x + 2)2 + 3A(0, –1) ⇒ –1 = a(0 + 2)2 + 3 – 4 = 4a, pa je a = –1 Dobiveni a = –1 uvrstimo u f(x) = –(x + 2)2 + 3 ; kvadriramof(x) = –( x2 + 4x + 4) + 3 sredimof(x) = –x2 – 4x – 1. Dakle a = –1, b = – 4 i c = –1 su traženi koef.


f(x) = a(x – x1)(x – x1)


Vj. 17. Na slici je graf kvadratne fje

f(x) = a(x – x1)(x – x1)


Vj. 18. Na slici je graf kvadratne fje Ovdje provedi računanje. f(x) = a(x – xo)2 + yo Odredite koef. a, b i c

Vj. 19. Na slici je graf kvadratne fje f(x) = ax2 + bx + c Odredite koef. a, b i c

50

Kako su ovdje u igri nultočke x1 = –1 i x2 = 3, dovoljno je uz njih uzeti još jednu istaknutu točku grafa. Neka je to tjeme T(1, – 4).1. Uvrstimo nultočke u zadanu fju pa imamof(x) = a(x + 1)(x – 3) T(1, –4) ⇒ – 4 = a(1 + 1)(1 – 3) – 4 = – 4a ⇒ a = 1 Dobiveni a uvrstimo u f(x) = (x + 1)(x – 3) = x2 – 2x – 3 Dakle a = 1, b = – 2 i c = –3 su traženi koef.

20. Na slici je graf kvadratne fje Ovdje provedi računanje.f(x) = a(x – xo)2 – 3Odredite koef. a, b i c

21. Na slici je graf kvadratne fje f(x) = a(x – xo)2 + yo



51

52

GRAFOVI FJA S | | Definirane su za sve realne brojeve. 1. Prikažimo grafički fje :

a) f(x) = | x| ; b) f(x) = –| x|

2. Prikažimo grafičkmo fje: a) f(x) =| 2x–4| =2| x–2| b) g(x) = –| 2 – x| =PAZI! = –| x – 2|

[2| x| pomaknut za 2 u desno] [ –| x| pomaknut za 2 u desno]

3. Prikažimo grafički fje: a) h(x) = 2| x| + 3; b) g(x) = –2| x| + 3

[2| x| pomaknut za 3 gore] [ –2| x| pomaknut za 3 gore]

Napomena: f(x) = | 2 – 3x| ne crtaj već okreći = | 3x – 2| sad crtaj. Isto vrijedi i za

g(x) = | –2x – 3| ne crtaj već = | 2x + 3| ili h(x) = –2| – x – 3| = –2| x+ 3|

4. Prikažimo grafički fje: a) f(x) = | x + 1| – 2; b) g(x) = –| x + 2| –1

[| x| pomaknut za 1 u lijevo, pa 2 dolje] [ –| x| pomaknut za 2 u lijevo, pa 1 dolje]

53

Crtamo ga ovako1. Točka loma je za x = 02. Izračunamo f(0) = 0 f(–1) = 1 lijevo od loma f(1) = 1 desno od loma3. Nacrtamo sliku

1. Točka loma je za 2x – 4 = 0 x = 22. Izračunamo f(2) = 0 f(1) = 2 f(3) = 2 3. Nacrtamo sliku

1. Točka loma to je x = 02. Izračunamo f(0) = 3 f(– 1) =5 f(1) = 53. Nacrtamo sliku

1. Točka loma je za x = –1 2. Izračunamo f(–1) = – 2 f(–2) = – 1 f(0) = –1 3. Nacrtamo sliku

5. Na slikama su grafovi fja: f(x) = –3/2| x| + 3; g(x) = –2| x + 1| + 2; h(x) = | x – 2| ;

k(x) = 2

1| x| – 1. Pridruži fju grafu.

6. Nacrtajmo graf fje f(x) = | x2 – 1| 6'. Nacrtajmo graf fje f(x) = –| x2 –1|

Dio parabole y = x2–1 koji se nalazi ispod x osi zbog apsolutne vrijednosti se preslikava iznad.

7. Koristeći se grafičkim postupkom riješimo jednadžbu: | 3x + 2| = x

54

Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = | 3x+2| = 3| x+2/3| i g(x) = xRješenja su apscise točaka u kojima se grafovi sijeku. Vidimo da se grafovi ne sijeku, znači jednadžba nema rješenja.

Nacrtamo paraboluy = x2 – 1 pa samo ono što je ispod osi x prebacimo iznad.

Eksponencijalna funkcija:

Def. Eksponencijalna fja je fja f(x) = ax, gdje je a pozitivan realni broj različit od 1.

Naziv E fja stoga što se varijabla pojavljuje u eksponentu

Napomena: Najvažnije baze E fje su brojevi 10, 2 i e.

10 zbog toga što računamo u dekadskom sustavu

2 zbog toga što računala računaju u binarnom sustavu

e = 2.718281828 . . . zato što se u prirodi sve stvara po exp. fji f(x) = aebx,

koju stoga zovemo i prirodna exp. fja

Exp. fja je definirana za svaki realni broj x, odnosno: Domena (područje definicije)

exp. fje je skup realnih brojeva R.

Kodomena (skup vrijednosti, slika) exp. fje je skup pozitivnih realnih br.

GRAF EXP. fje f(x) = ax

Os apscisa je asimptota grafa exp. fje f(x) = ax [dobro upamti ove grafove]

za a > 1 fja je rastuća. (lijeva slika) Iz x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

za 0 < a < 1 fja je padajuća.(desna slika) Iz x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Grafovi s bazama a i 1/a simetrični su s obzirom na os y. Svi prolaze točkom (0,1)

Koristeći se gore navedenim grafovima primjetimo da su za sve baze, vrijednosti exp. fje pozitivni

brojevi. Krako exp. fja f(x) = ax prima samo pozitivne vrijednosti.

55

a >10 < a <1

ax Graf fje g(x) = a –x

simetričan je grafu fjef(x) = ax s obzirom na y os. Fja g(x) = a –x

padajuća je fje. Pozitivan dio x osi njezina je asimptota.

x

a

1

Prikažmo grafički neke važnije eksponencijalne fje.

1. f(x) = 2x 1'. f(x) = 2x – 1 1''. f(x) = 2x – 1 1'''. f(x) = 2x+1 – 1

2. f(x) =(1/2)x =2–x; 2'. f(x) = 2–x – 3; 2''. f(x) = 2–x+1=(1/2)x–1; 2'''. f(x) =2–x – 1 –1=(1/2)x+1–1

3. f(x) = –2x 3'. f(x) = –2x – 1 3''. f(x) = –2x – 1 3'''. f(x) = –2x – 1 – 1

4. f(x) = –2–x = –(1/2)x 4'. f(x) = –2–x + 1 = –(1/2)x – 1

5. Na slikama su grafovi eksponencijalnih fja

f(x) = –2–x g(x) = 2x – 1 p(x) = 2x Pridružite fju grafu.

h(x) = 2x – 1 k(x) = –2x q(x) = 2–x Jedna nema para. Koja?

56

Vj. 7. Nacrtaj graf fje a) f(x) = 2x – 3 b) g(x) = | 2x – 3|

Logaritamska fja je inverzna eksponencijalnoj fji. Ako je f(x) = ax onda je f–1(x) = logax

Log fja je definirana za svaki realni broj x > 0, odnosno: Domena (područje definicije) log fje je

skup pozitivnih realnih brojeva R. Kratko Dlog = R+

Kodomena (skup vrijednosti, slika) log fje je skup realnih brojeva.

Skicirajte si grafove log fje f(x) = logax

za a > 1 i za 0 < a < 1

Os ordinata je asimptota grafa log fje f(x) = logax [dobro upamti ove grafove]

57

Na slici je prikazan graf fje f(x) = ax + b. Za tu fju je1) 0 < a < 1 , b > 02) a > 1 , b > 03) a < 0 , b < 04) a > 1 , b < 0 Sliči 2x – 3

Na slici je prikazan graf fje g(x) = ax+b. Za tu fju je1) 0 < a < 1 , b < 02) a > 1 , b ≥ 03) 0 < a < 1, b > 04) a > 1 , b < 0 Sliči 2–x +1 = (1/2)x +1

Na slici je prikazan graf fje1) f(x) = 2–x – 1

2) f(x) = –2–x + 1

3) f(x) = –2–x – 1

4) f(x) = 2–x + 1

6.

6'.

6''.

Ovisno o bazi za log fju f(x) = logax vrijedi:

1) Za a > 1 fja je rastuća. (lijeva slika) Iz x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

Za 0 < a < 1 fja je padajuća. (desna slika) Iz x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

2) Zajednička nultočka ovih fja je xo = 1. (Što je nultočka fje?)

Nultočka fje je apscisa točke u kojoj graf fje siječe os x.

Grafovi s bazama a i 1/a simetrični su s obzirom na os x. Svi prolaze točkom (1,0)

U jednom koordinatnom sustavu nacrtajmo oba grafa

Prikažmo grafički neke važnije logaritamske funkcije

1. f(x) = log x 1'. g(x) = lnx = logex 1''. h(x) = log2x

Koristeći se gore navedenim grafovima primjetimo da su za baze > 1, logaritmi brojeva većih od

jedinice pozitivni, a manjih od jedinice negativni brojevi.

Dobro je znati: loga0 = – ∞, jer je a – ∞ = 0, loga(+∞) = +∞, jer je a+∞ = +∞. Vidi grafove.

2. log2(x – 1) 2'. g(x) = log2(x + 1) 2''. h(x) = log2x – 1

58

Graf fje g(x) = xa

1log

simetričan je grafu fjef(x) = logax s obzirom na x os.

Fja g(x) = xa

1log padajuća je fja.

Pozitivan dio y osi njezina je asimptota.

a > 1

0<a<1 <1<

Za baze između 0 i 1 log fja pada.

3. f(x) = – log2x = x2

1log 3'. g(x) = )1(log2

1 −x 3''. h(x) = x2

1log + 1

Koristeći se gore navedenim grafovima primjetimo da su za baze između 0 i 1, logaritmi brojeva

većih od jedinice negativni, a manjih od jedinice pozitivni. Za te baze log fja pada.

Dobro je znati: +∞=0log 1

a, jer je 0

1 =

+∞

a, −∞=∞+

a

1log , jer je +∞=

−∞

a

1. Vidi grafove

loga0 = + ∞, jer je a +∞ = 0 , loga(+∞) = –∞, jer je a+∞ = +∞. Vidi grafove.

4. f(x) = log2(–x) 4'. g(x) = log2(–x) + 1 Vj. 4''. h(x) = log2(–x) – 1

Uočimo da ove log fje padaju

Vj. 5. f(x) = )(log2

1 x− Vj. 5'. g(x) = 2)(log2

1 −−x Vj. 5''. h(x) = )(log2

1 x− + 1

6. f(x) = log2| x| f(x) = log2| x – 1| 6'. g(x) = x2

1log

59

7. f(x) = | log2 x| Dobro je znati: 7'. g(x) = xxx 22

2

1 logloglog =−= = f(x)

Graf fje (korjenovanja) Definirana je za sve nenegativne realne brojeve. Prikažimo graf.

1. f(x) = x 1'. f(x) = 1−x 1''. f(x) = 1+x 1'''. f(x) = x – 1

Odaberemo tri točke: (0,0); (1,1); (4,2) pa nacrtamo glatku krivulju. Ostali njegovim pomakom

2. g(x) = x− 2'. g(x) = x−1 2''. g(x) = x− + 1 2'''. g(x) = x− – 1

Odaberemo tri točke: (0,0); (–1,1); (– 4,2) pa nacrtamo glatku krivulju. Ostali njegovim pomakom

3. h(x) = – x 3'. h(x) = – 1−x 3''. h(x) = – x− 3'''. h(x) = – x− + 1

60

Vj. h(x) = | log2 x| ± 1

8. Na slici je graf fje f(x) = logax.

Odredite a.

Odaberimo točku grafa kojia nije na x osi, a ima lijepe koordinate. Npr. (4,2) pa je uvrstimo u danu fju.2 = loga4 = loga22 = 2 loga2 ⇒ a = 2

4. f(x) = x 4'. f(x) = – x

Graf racionalne fje f(x) = x

1 Definirana je za sve realne brojeve x ≠ 0.

Da bismo je nacrtali najbolja je tablica x | –3 | –2 | –1 | –1/2 | –1/3 | 1/3 | 1/2 | 1 | 2 | 3 f(x)| –1/3 | –1/2 | –1 | – 2 | –3 | 3 | 2 | 1 | 1/2 | 1/3

1. g(x) = 2

1

−x 1'. h(x) =

2

1

+x [1/x pomaknut za 2 u desno] [1/x pomaknut za 2 u lijevo]

2. f(x) = –x

1 2'. g(x) = –

2

1

−x 2''. h(x) = –

2

1

+x [1/x zrcaljen preko x osi] [1/x zrcaljen preko x osi, [1/x zrcaljen preko x osi, pa pomaknut za 2 u desno] pa pomaknut za 2 u lijevo]

61

Dobro dobro upamti ovaj graf, jer se pomoću njega crtaju svi dalje navedeni. Primjećujemo da su obje koordinate osi asimptote grafa ove fje.

3. f(x) = x

1 + 2 3. f(x) =

x

1 – 2 3. f(x) = –

x

1 – 2

[1/x pomaknut za 2 u gore] [1/x pomaknut za 2 u dolje]

4. f(x) = 1

1

−x + 2 3. f(x) =

2

1

+x – 2

4. f(x) = –2

1

−x + 1 4'. f(x) = –

2

1

−x – 1

62

Graf fje sinx: Definirana je za sve realne brojeve. Periodična je s periodom 2π. Zato je dovoljno

poznavati i skicirati njezin graf na intervalu [0, 2π], pa ga translatirati po x osi.

Omeđena je tj. smještena je unutar pruge –1 ≤ y ≤ 1 tj. amplituda je 1.

1) f(x) = sinx; 2) g(x) = 2 sinx; [–2 ≤ y ≤ 2] 3) h(x) = ½ sinx; [–1/2 <y

<1/2]

1') f(x) = sin2x; 2') g(x) = 3/2sin2x; Period za obje je P = 2π/2 = π. Znači dovoljno je nacrtati grafove na intervalu [0, π]

3') f(x) = 3/4sin(x/2); P = 2π/(1/2) = 4π 4'.) g(x) = 2sin(πx/6); P = 2π/(π/6) =12 Dobro gledaj i uoči razlike u grafovima: I.širina pruge. II. nultočke fje

5) f(x) = – sinx; Što bi gori sad je doli. 6) g(x) = | sinx| sve iznad osi x

7) f(x) = – | sinx| ; sve ispod osi x 8) g(x) = | sinπx|

63

9) f(x) = – | sinπx| ; 10) g(x) = sin2 x

1) f(x) = cosx Period 2π 2) g(x) = – cosx

Vj. 3) f(x) = | cosx| , 4) g(x) = –| cosx|

5) Na slici su prikazani grafovi trigonometrijskih fja f (plava) i g (crvena).

Rj. a) Obje prolaze kroz ishodište i tu rastu, znači sinusoide su oblika c⋅ sin ωxZa fju f ... c = 2, P = 4π ⇒ 2π/ ω = 4π ⇒ ω = ½ pa je f(x) = 2 sin (1/2)x

Za fju g ... c = 2, P = 2π ⇒ 2π/ ω = 2π ⇒ ω = 1 pa je g(x) = 2 sin xb) Rješenja su sjecišta grafova u danom intervalu (Ima ih 5)

6. Koliko riješenja ima jednadžba 2sinx – 1 = 0 na intervalu [–2π, 2π] ?Rj. Napišimo jedn. u obliku sinx = ½, pa je zadatak najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sinx i g(x) = ½.

64

a) Odredite fje b) Očitajte s grafa koliko rješenja ima jednadžba f(x) = g(x) na intervalu [–2π, 2π] [–2π, 2π]

7. Koliko riješenja ima jednadžba 4sinx – 1 = 0 na intervalu [–2π, 2π] ?

8. Koliko riješenja ima jednadžba sin2x = cos3x na intervalu [–π, π] ?

9. Koliko riješenja ima jednadžba | sin2x| = (1/4)⋅ x2 ?

10. Koliko riješenja ima jednadžba sin2x = log3x ?

11. Koliko riješenja ima jednadžba sinπx = x/10 ?

65

Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sinx i g(x) = ½ . Rješenja su apscise točaka u kojima se grafovi sijeku. Ne pitaju nas koje su već koliko ih ima.Sa slike čitamo: Jedn. ima 4 rješenja

Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sin2x i g(x) = cos3xPrikažimo ih na istoj slici, pa pogledajmo u koliko se točaka sijeku na danom intervalu. Rj. Ukupno 6 točaka

Treba dobro gledati Sa slike čitamo 8 rj.

Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = | sin2x| i g(x) = (¼)x2

Sa slike čitamo 3 rj.

Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sin2x i g(x) = log3xSa slike čitamo samo jedno rj.

12. Koliko riješenja ima jednadžba 2sinπx = 2x na intervalu [–2π, 0] ?

NULTOČKE FJE: su realni brojevi za koje je vrijednost fje jednaka 0.

Dobivamo ih rješavanjem jednadžbe f(x) = 0

1. Odredimo nultočke fje: f(x) = x4 + 3x3 + x + 3. Rj. x4 + 3x3 + x + 3 = 0 rastavimo na faktore

lijevu stranu: x3(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x3 + 1) = (x + 3)(x + 1)(x2 – x + 1) = 0

Nultočke su samo x1 = –3 i x2 = –1, jer ova kv. jedn. nema realnih rješenje

1'. Odredi nultočke fje g(x) = x3 – 2x2 – x + 2 Rastavljanjem na faktore. Rj. su [–1, 1 i 2]

Vj. '' '' '' : f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, [–1, 1 i 3] ; g(x) = x3 + 3x2 – x – 3, [–1,1 i –3]

Vj. 2. Odredi nultočke fje f(x) = 2x2 – 5x + 2. Kvadratna jedn. čija su rj. [1/2 i 2]

2'. Odredi nultočke fje f(x) = x4 – 13x2 + 36 Bikvadratna jedn. čija su rj. [–3, –2, 2 i 3]

3. Fja f(x) = –x2 + bx + c ima nultočke 1 i 7. Max vrijednost fje je [–9; 4; | 9| ; 23]

Rj. f(1) = – 1 + b + c = 0

f(7) = – 49 + 7b + c = 0; Oduzmemo od prve jedn. drugu

48 – 6b = 0 ⇒ b = 8 ⇒ c = –7. Sada formula: yo = 94

6428

4

4 2

=−−=−

a

bac

66

Zadatak je najlakše riješiti koristeći se grafovima dviju fja f(x) = sin2x i g(x) = x /10Sa slike čitamo 19 rj.

Zadatak je najlakše riješiti

koristeći se grafovima dviju fja

f(x) = sinπx i

g(x) = 2x

Sa slike čitamo 6 rj.

4. Odredimo nultočke fje f(x) = 1

322

2

+−−

x

xx, Nultočke su nultočke brojnika tj. rješenja

jednadžbe x2 – 2x – 3 = 0 , a to su x1 = –1 i x2 = 3

Vj. Odredite nultočke fje f(x) = 1

325

2

+−+

x

xx, g(x) =

2

652

2

+++

x

xx , h(x) =

32

652

2

++−

x

xx

Vj. Odredite nult. fje f(x) =3

12433

23

++−−

x

xxx...[–2, 2 i 3]; g(x) =

4

12432

23

+−−+

x

xxx [–2,2 i –3]


67

Komplesni brojevi: z = x + yi algebarski ili opći prikaz kompleksnog broja

Rez Imz ; Kako je i=−1 ⇒ aia =−

Potencije imaginarne jedinice: i4k = i0 =1; i4k+1 = i1 =i; i4k+2 = i2 = –1; i4k+3 = i3 = –i;

i23457 = [Gledaj dvoznamenkasti završetak. Def. Broj je djeljiv s 4 ako je . ..] = i57 = i4⋅ 14 + 1 = i1 = i

__

z = x – yi kompleksno konjugirani broj broja z = x + yi

68

Modul kompleksnog broja | z| = | x+yi| = 22 yx + = | x–yi| = | __

z | pozitivan je realni broj

Dobro je znati: 1) | z| = __

z = 22 yx + . Npr. | 5+12i| = 5 –12i = 22 125 + = 169 = 13

2) z ⋅ __

z = | z| 2 = x2 ⋅ y2 ; | z1⋅ z2| = | z1| ⋅ | z2| , slično umnošku kvocijent (napiši si ga); | zn| = | z| n

3) (1+ i)2 =2i; (1– i)2 = –2i; ( 3 + i)3 =8i; ( 3 – i)3 = –8i; (1+i 3 )3 = –8; (1–i 3 )3 = –8

Gaussova ravnina: je koordinatni sustav u kojem na osi x prikazujemo realni dio, a na osi y

imaginarni dio kompleksnog broja z = x + yi.

1. Što je u geometrijskoj ravnini: | z + 2i| = | z – 1| ?

Neka je z = x + yi, tada danu jednakost možemo zapisati

| x + yi + 2i| = | x + yi – 1| ⇔ | x + (y + 2)i| = | x – 1 + yi|

2222 )1()2( yxyx +−=++ /2 ⇒ x2 + y2 + 4x + 4 = x2 – 2x + 1 + y2 ⇒

2x + 4y + 3 = 0 što je jednadžba pravca.

2. Što je u geometrijskoj ravnini: | z + i| = 3? | x + yi + i| = 3⇔ | x + (y + 1)i| = 3

3)1( 22 =++ yx /2 ⇒ x2 + (y + 1)2 = 9. Jednadžba kružnice S(0, –1 ) i r = 3

Dva kompleksna broja su jednaka ako je realni dio jednak realnom, a imaginarni imaginarnom

Zadaci: 1. Odredimo realne brojeve x, y ako vrijedi 2(yi + x) + 4y = 4i + 3.

Oslobodimo i, množenjem 2x + 4y + 2y i = 3 + 4 i

Realni dio jednak realnom 2x + 4y = 3, a imag. imag. 2y = 4 ⇒ y = 2 uvrstimo ga u prvu …

2x + 8 = 3 ⇒ 2x = – 5 ⇒ x = – 5/2

Vj. 1. Odredite realne brojeve x, y ako vrijedi 3y + 2(x + yi = 3 + 6i.

1'. Odredite realne brojeve x, y ako je (2 – 3i)x –(1 + 4i)y = i + 3

2. Odredimo x,y∈R iz jednakosti ii

yi

i

xi −=+

+− 11

⇒ iiyiixi −=

+−++

11

)1()1(⇒ y – x + (x+y)i = 2i

3. Odredimo kompleksan broj z ako je: 3iz = 4 – 2i. Neka je z = x + yi

3i(x+yi) = 4 – 2i

–3y + 3xi = 4 – 2i ⇒ x = – 2/3, y = – 4/3 ⇒ z = –2/3 – (4/3)i

4. Odredimo kompleksan broj z ako je: (2 + 3i)z = 2i. Neka je z = x + yi

(2 + 3i)(x+yi) = 2i

2x + 2yi + 3xi – 3y = 2i

2x – 3y +(3x + 2y)i = 2i ⇒ 2x – 3y = 0 /⋅ 2 \

3x + 2y = 2/ ⋅ 3 ⁄ +

x = 6/13 , y = 4/13 ⇒ z = 6/13 + (4/13)i

69

5. Riješimo jednadžbu | z| – z = 1 – 2i Neka je z = x + yi

| x + yi| – (x – yi) = 1 – 2i ⇒ 22 yx + – x + yi = 1 – 2i

Odmah vidimo da je y = –2, pa ga uvrstimo u 22 yx + – x = 1 ⇒ 42 +x = x+1 /2 ⇒

⇒ x2 + 4 = x2 + 2x + 1 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = 3/2 ⇒ z = 3/2 – 2i

6. Podijelimo 34

32

++i

i =

i

i

i

i

43

43

43

32

−−⋅

++

= 169

)98(126

++−++ i

= 5

18 i+

6'. Podijelimo i

i

25

23

+−

= i

i

i

i

25

25

25

32

−−⋅

++−

= 425

)154(610

+++−− i

= 29

1916 i+−

7. Odredite imaginarni dio kompleksnog broja i+−

−5

4.

Rj. i

i

i −−−−⋅

+−−

5

5

5

4=

125

420

++ i

= i13

2

13

10 + . Dakle 13

2

13

2

13

10Im +=

+ i

8. Koliko je i3 + i6 + i9 + i12 + i15 + i18 + i21 + i24 + i27 + i30 ? Najbolje pješke, svaki

eksponent veći od 4 dijelimo s 4 i zapisujemo iostatak dijeljenja .

i3 + i2 + i1 + io + i3 + i2 + i1 + io + i3 + i2 =

–i – 1 + i + 1 – i – 1 + i + 1 – i – 1 = –1 – i

9. Koliko je i2 ⋅ i5 ⋅ i8 ⋅ i11 ⋅ i14 ⋅ i17 ⋅ i20 ⋅ i23 ⋅ i26 ⋅ i29 ? Najbolje pješke . . .

–1 ⋅ i ⋅ io ⋅ i3 ⋅ i2 ⋅ i1 ⋅ io ⋅ i3 ⋅ i2 ⋅ i1

–1 ⋅ i ⋅ 1 ⋅ (–i)⋅ (–1)⋅ i ⋅ 1 ⋅ (–i)⋅ (–1) ⋅ i = – i5 = – i1 = –i

10. Izrač. 555

444333

222111

+−

ii

ii=

55523

1

+−

i

ii=

555

1

1

+−

i

i=

555

1

1

1

1

−−⋅

+−

i

i

i

i=

555

11

2

+− i

= (–i)555 = –i3 = i

1. Koliko je )1(2)1(2 +−⋅++ zzzz , ako je z = 1 – i ?

Rj. Uoči množenje dva modula koji napisani kao jedan modul daju razliku kvadrata

22 )1(2 +− zz = 22 )11()1(2 +−−− ii = )44()2(2 2iii +−−−⋅ = 1444 ++−− ii = 3− = 3

1. Koliko je ( )

i

i

+−1

312

= i

i

+

−

1

)31( 2

i

i

+

−

1

312 ( )

11

312

++ 22

2

24

2

2

2

4 ==⋅=

2. Izračunaj | z| , ako je ( ) ( )

( ) 3

33

31

121

i

iiz

−−⋅−= . Rj. | z| =

( ) ( )( )3

33

91

1141

+

+⋅+ = 3

3

110

25 =

⋅ = 1

4. Izračunaj | z| , ako je ( )( )( ) ( ) ( )( ) )43(32112131 iiiiiiiz −−−+−+−=

Rj. | z| = 169131211112131 +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+ = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 120

70

4'. Izračunaj | z| ako je z = ( )55

3

2125

−⋅+ ii

Rj. | z| =

55

3

2125

−⋅+

ii =

55

3

2145

+⋅+ = 3 ⋅ 155 = 3

5. Izračunaj | z33| ako je z = ( )i335

1 − ; | z33| = | z| 33 =33

)34(5

1i−⋅ =5–33 ⋅ ( )33

916 + = 5–33 ⋅ 533= 1

6. Izračunaj | z44| ako je z = ( )i374

1 − ; | z44| = . . . = 1

Preuzeto iz Moja matura

7. Broj (1 + i2011)2 zapišite u obliku a + bi. Rj. (1 + i2011)2 = (1 + i3)2 = (1– i)2 = –2i = 0 – 2i

8. Broj ( )2201131 i⋅+− zapišite u obliku a + bi. Rj. = –2 + 2i 3

9. Broj (–1 + 2i)3 zapišite u obliku a + bi. Rj. (–1 + 2i)3 = (–1 + 6i – 6i2 + 8i3) = 5 – 2i

10. Odredi =

+⋅

−−+

++

10

43

3

43

13

34Re

i

i

i

i

i. . . =

+ i

2

1

2

3Re =

2

3

11. Izračunaj 2

__

524__

2Im

zzz

izz

−⋅

−+ ako je z = 13 +− i . Pazi! z = 1 – i 3 Rj.

12

3

12. Ako je z = a + bi kompleksan broj koji nije 0, a __

z njemu konjugiran broj, tada je z ⋅ __

z :

A . imaginaran broj; B. pozitivan realan broj; C. nenegativan realan broj; D. 0

13. Odredite a, b ∈ R tako da brojevi z = a – 2 + (b + 3)i i w = 0.5a + 3bi budu

konjugirano kompleksni brojevi. Rj. a – 2 = 0.5a & b + 3 = –3b ⇒ a = 4 & b = - ¾

14. Svi brojevi koji imaju isti modul kao i broj z = 1 + i 3 u koordinatnom sustavu nalaze se:

A . u I. kvadrantu; B. na imaginarnoj osi; C. na realnoj osi; D. na kružnici

15. Broj ( )300931 i+− zapišite u obliku a + bi.

Rj. ( )300931 i+− = Sjeti se da je kub ovog kompleksnog broja lijep = ( ) 10033

31

+− i = 81003

71

Logaritmi: U službenim formulama nedostaju ove, a u zadacima ih ima: bk

b aa k log1

log = ,

bnbb aa

an

n logloglog 1 ⋅== , bb a

a

loglog 1 −= , bk

b aa k log1

log −=−

Zadaci s čistim računanjem 0. logax + log1/ax = logax – logax = 0

0'. Odredi vrijednost brojevnog izraza log 1.7 – log 0.17 = log(1.7 : 0.17) = log 10 = 1

1. 36log2log15log 92 3104 −+ − = 5.02

312

2 )6(log2log5log 310102 −⋅+−

= 52 + 10 ⋅ 2–1 – 6 = 25 + 5 – 6 = 24

Vj. 1. 9log3log 428− = ... = [27] 1'. 100– log2 ⋅ log2(0.25) = ... = [–0.5]

2. ( ) 3log22log5

125−−

= ... = [3/5] 3. ( ) 3log2log242 38

2+−− = ... = [1/4]

4. ( ) 3log3log27log 7377⋅+ = ... = [21]; 4'. Riješi jedn. log3 272x+7 = –9 [x = –5]

5. 3log5 – 2 + log8 = [grupirajmo logaritme] = log53 + log8 –2 = [primjenimo formulu] =

log(125 ⋅ 8) – 2 = log 1000 – 2 = log103 – 2 = 3 – 2 = 1

5'. Broj log1/4(–16) iznosi: 2; 4; –2 ; – 4; ne postoji. [log fja nije definirana za negativne br.]

Vj. 1. 5log3

2240log

3

1 +− = ... = [–1] 2. 3log2

15log48log

4

1 −+ = ... = [1]

5''. 5log1/28 – 2log3(1/9) = –5 ⋅ (3/2)log22 + 4log33 = –15/2 + 4 = –7/2

6. log2(log3(log5125)) jednako je [10, 3, 2, 5, 0]

Rj. log2(log3(log553)) = log2(log33) = log21 = 0

6'. log8 log42 – log8 log24 = (1/3)log2[(1/2)(1/2)log22] – (1/3)log2(2log22)

= (1/3)log2(1/4) – (1/3)log22 = (–2/3) – (1/3) = –1

6''. 33/17

49log27log ⋅ = 2 ⋅ (3/2) log73 ⋅ (–2/3)log37 = –2 log73 ⋅ log37 = –2

7. Napiši kao jedan logaritam )1(log1

log1

log 2 −−−

++x

x

x

x

xaaa .

Rj. )1(log1

log1

log 2 −−−

++x

x

x

x

xaaa =

)1)(1(

)1(log

2 −−+

xxx

xxa = 2)1(

1log

−xa = ili = – 2 loga(x – 1)

8. Ako je a = log5, b = log7, onda log2450 iznosi ?

log2450 = log(10⋅ 5⋅ 72) = log10 + log5 + 2log7 = 1 + a + 2b

Vj. 8'. Ako je a = log2, b = log3, onda log 3 12 iznosi ?

Rj. log 3 12 = (1/3)log(22⋅ 3) = 1/3(2log2 + log3) = 1/3(2a + b)

9. Ako je log3A = s, log3B = t i log3C = u. Tada je 2

5

3logB

CA jednako ?

Iz 2

5

3logB

CA= 5log3A + (½) log3C – 2log3B = 5s + ½ u – 2t

72

9'. Ako je 4log4x = 0, onda je izraz 3x + log22

4jednak: 1; | 2 | ; 3; 4; 5

Rj. log4x = 0 = log41 ⇒ x = 1. Pa je 3x + log2

2

4 = 3 + log2 2–1 = 3 – 1 = 2

10. 84 2log2 <+ xx ⇔ 82 2log2 2 <+ xx ⇔ 82 2log 22 <+ xx ⇔ x2 + x2 < 8 ⇔ 2x2 < 8 ⇔ x2 < 4 ⇔

x2 – 4 < 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) < 0 ⇒ –2 < x < 2 ili x ∈ ⟨–2, 2⟩

11. Broj log72 ⋅ log949 napiši pomoću log2.

Rj. log72 ⋅ log949 = =⋅9log

49log

7log

1

22

2

3log

1

3log2

7log2

7log

1

222

2 =⋅

Broj znamenaka velikih potencija:

1. Koliko znamenki ima broj a) 2100? Neka je x = 2100/ log

logx = 100log2 [kalkulator] ⇒ logx = 100 ⋅ 0.301 = 30.1

Traženi broj će imati točno 30 + 1 = 31 znamenku

b) 5200? Neka je x = 5200 / log ⇒ logx = 200log5 = 200⋅ 0.6989 = 139.79 Odgovor 140 znam.

Vj. c) 35000? [2386]

2. Koliko znamenki ima broj log2 log2 log2 x = 2?

log2 log2 log2 x = 2 = log2 22

log2 log2 x = 4 = log2 24

log2 x = 16 = log2 216 ⇒ x = 216 = 65536 znamenki

Eksponencijalne jednadžbe: I. skupina 21 xx aa = ⇒ x1 = x2

1. 10⋅ 52x+1⋅ 0.042x–1 = 0.4 ⋅ 5– 3x+6 2. 6 ⋅ 2–x = 3/4 /:6

10⋅ 52x+1⋅ 5–2(2x–1) = 2 ⋅ 5–1 ⋅ 5– 3x+6 /:2 2–x = 2–3

51+2x +1– 4x+2 = 5–1 – 3x + 6 ⇒ 4 – 2x = 5 – 3x ⇒ x = 1 –x = –3 /⋅ (–1) ⇒ x = 3

Vj. a) ( ) xx 233 422 −− =⋅ ....[x = 4] b) 0927 362

=−−+ xxx ⇔ xxx 36 9272

=−+ ....[x1= –2, x2 = 3]

c) 2x ⋅ 3x+1 ⋅ 5x–3 = 21.6 ....[x = 2]

2. 7x – 1 + 7x = 8x ⇒ 7x (7–1 + 1) = 8x ⇒ 7x (8/7) = 8x /⋅ (7/8)⋅ 8–x ⇒ (7/8)x = 7/8 ⇒ x = 1

Vj. a) 10x – 5x–1 ⋅ 2x–2 = 950 ....[x = 3]

c) 2x ⋅ 3x–1 + 3x ⋅ 2x–1 = 5 ....[x = 1]

II. skupina 9x – 4 ⋅ 3x + 3 = 0 ⇔ 32x – 4 ⋅ 3x + 3 = 0 Neka je 3x = u pa imamo kvadratnu

jednadžbu u2 – 4u + 3 = 0 ⇒ u1 = 1, u2 = 3 ⇒ 3x = u1 = 1 = 30 ⇒ x1 = 0

73

⇒ 3x = u2 = 3 = 31 ⇒ x2 = 1

Vj. a) 4x – 12 ⋅ 2x + 32 = 0 b) 2x + 2 ⋅ 2–x = 3 /⋅ 2x

4. 4x + 6x = 2 ⋅ 9x /: 9x

023

2

3

22

=−

+

xx

ux

=

3

2 ⇒ u2 + u – 2 = 0 ⇒ u1 = –2 otpada jer mora biti pozitivan

u2 = 1 ⇒ 0

2 3

21

3

2

===

ux

⇒ x = 0

III. skupina ax = b / loga ⇒ loga ax = loga b ⇒ x ⋅ loga a = loga b ⇒ x = loga b

Vj. a) 3x + 3x+1 + 3x+2 = 70 ....[x≈ 1.53]

Trik zadatak 3x = 0 / log3 ⇒ log3 3x = log3 0 ⇒ x ⋅ log3 3 = –∞ ⇒ x = –∞

Eksponencijalne nejednadžbe: Osnovne A. S bazom većom od 1: 21 xx aa < ⇒ x1 < x2

1. 28 ⋅ 3x – 5 > 84 / : 28 ⇒ 3x – 5 > 3⇒ x – 5 > 1 ⇒ x > 6

1'. 4 ⋅ 0.4x – 2 < 25 / : 4⇒4

25

5

22

<

−x

. Neka bude baza >1 ⇒22

2

5

2

5

<

−x

⇒ 2–x < 2 ⇒ x >0

1''. 4x – 1 + 4x > 5x – 5x – 1 ⇔ 4x – 1(1 + 4) > 5x – 1(5 – 1) ⇔ 1

4

5

4

5−

>

x

⇒ 1 > x – 1 ⇒ x < 2

Osnovne B. S bazom između 0 i 1: 21 xx aa < ⇒ x1 > x2

2. 0.75x – 1 > 0.750. 5 ⇒ x – 1 < 0.5 ⇒ x < 1.5 Pazi! Skidanjem baza mjenja se smisao nejedn.

Kvadratne:1. 8 ⋅ 0.5x(x+1) > 0.251.5x ⇔ 23 ⋅ 2–x(x+1) > 2–3x ⇔ 23 – x(x+1) > 2–3x ⇔ 3– x2 – x > –3x

x2 – 2x – 3 < 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) < 0 ⇒ x ∈ ⟨–1, 3⟩

Logaritamske jednadžbe: I. Skupina logax1 = logax2 ⇒ x1 = x2 uz P.u. x1 > 0 i x2 > 0

1. log3x = 1 [P.U. x > 0 i zamjenimo 1 s log33] ⇒ log3x = log33 ⇒ x = 3 je rj.

1'. log5(x + 2) = –1. [P.u. x + 2 > 0 odnosno x > –2]

log5(x + 2) = log55–1 ⇒ x + 2 = 5–1 ⇒ x = 1/5 – 2 = –9/5 Zadovoljava P.u. pa je rješenje

1''. 16loglog22

−=− x [P.u. x > 0 i prebaci negativne na suprotne strane]

6loglog122

+= x ⇒ x6log12

= ⇒ x6log2log22

= ⇒ x62 = ⇒ x = 6/2

1'''. Rješenje jednadžbe log(x – 3) = – 2 zadovoljava uvjet

A . x ≤ 0 , B. 0 < x ≤ 2, C. 2 < x ≤ 4 , D. 4< x ≤ 6, E. x > 6

Rj. P.u. x – 3 > 0 ⇒ x > 3 i log(x – 3) = log10–2 ⇒ x – 3 = 0.01⇒ x = 3.01 (Pod C)

14'. Skup svih rješenja jednadžbe log2(x – 1) + log2x = 1 je:

{ 2 } ; {–1 ,2}; { x ∈ R: x>1 }; {1}; {1,2}

74

Rj. P.u. x > 1 i log2(x – 1)x = log22 ⇒ x2 – x = 2 ⇒ x2 – x – 2 = 0 ⇒ x1 = –1 ne zadovoljva

x2 = 2 zadovoljava

15'. Skup rješenja jedn. log(152 + x3) – 3log(x + 2) = 0 je:

{4,–6}; {4}; {–6}; {– 4,4}; ∅

Rj. P.u. x3 > –152 i x > –2 zajedno daju jedinstveni P.u. x > –2

log(152 + x3) = log(x + 2)3 ⇒ 152 + x 3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 ⇒ 6x2 + 12x – 144 = 0/:6

x2 + 2x – 24 = 0 ⇒ x1 = – 6 ne zadovoljava P.u. i x2 = 4 zadovoljava pa je on rj.

15'. Umnožak rješenja jedn. log3x2 = log312 – 1 Ne treba P.u. Zašto? Jer je x2 uvijek > 0

log3x2 = log312 – log33 ⇒ log3x2 = log3 (12/3) ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ± 2, pa je x1⋅ x2 = – 4

2. logx512 = 3 [P.u. x > 0 i x ≠ 1, jer baza logaritma ne smije biti 1]

logx512 = logxx3 ⇒ 512 = x3 ⇒ x 3 = 83 ⇒ x = 8

Vj. Riješi jedn. 3log2log227log3

2log 5555 −+=x =

3

49log 5

⋅ ⇒ x = 12

Vj. Riješi jedn. 03log2)5(log 33 =−+− xx P.u. 5 – x > 0 tj. x < 5 i 3 – x > 0 tj. x < 3

Rj. 1log)3)(5(log 33 =−− xx ⇒ 15 – 8x + x2 = 1 ⇔ x2 – 8x + 14 = 0

Rješenja ove kvadratne jedn su x = 4 ± 2 . P. u. zadovoljava x = 4 – 2

3. log4x + log8x = 5 [P.u. x > 0]

(1/2)log2x + (1/3)log2x = 5 /⋅ 2⋅ 3 ⇒ 3log2x + 2log2x = 30 ⇒ 5log2x = 30 /:5

log2x = 6 = log226 ⇒ x = 26 = 64 Vj. 8loglog 23

4 =+ xx

3'. log3x ⋅ log9x ⋅ log27x = 4/3 ⇒ log3x ⋅ (1/2)log3x ⋅ (1/3)log3x = 4/3 /⋅ 2⋅ 3

3

/28log 333 ==x ⇒ log3x = 2 = log332 ⇒ x = 32 = 9

4. log3(3x – 8) = 2 – x desnu stranu napišemo pomoću log3

log3(3x – 8) = log332 – x ⇒ 3x – 8 = 32 – x ⇒ 3x – 8 = 32 ⋅ 3– x /⋅ 3x

32x – 8 ⋅ 3x = 9 ⇒ 32x – 8 ⋅ 3x – 9 = 0 3x = u

u2 – 8u – 9 = 0 ⇒ u1 = –1 Otpada, jer eksp. fja 3x ne prima negativne vrijednosti.

Ostaje samo u2 = 9 ⇒ 3x = 9 = 32 ⇒ x = 2

Vj. log2(2x – 7) = 3 – x Rj. [3]; log5(5x – 4) = 1 – x Rj. [1]

5. Riješite sustav jednadžbi: log5(8x) = 1 + log54 i xy = 2/5

log58x = log5(5 ⋅ 4) (2/5)y = (2/5)–1

8x = 20 ⇒ x = 5/2 y = –1

Logaritamske jednadžbe: II. skupina log2x + 2logx – 3 = 0 P.u. x > 0 i zamjena logx = u

75

u2 + 2u – 3 = 0 ⇒ u1 = –3 ; u2 = 1

logx = u1 = –3 = log10–3 ili logx = u2 = 1 = log10

x1 = 10–3 x2 = 10

Transformacija formula: Iz n = no ⋅ e–kt odredi t. [Dobro gledaj oblik ponuđenih rj.]

e–kt = 0n

n/ ln (napadamo s ln zbog baze e, jer je lne = 1 )

ln e–kt = ln0n

n ⇒ –kt = ln

0n

n / : (–k) ⇒ t =

1

00

ln1

ln1

−

=−

n

n

kn

n

k=

n

n

k0ln

1

Logaritamske nejednadžbe: Osnovne:

1. log5(x + 3) > 1 = log55 i P.u. x + 3 > 0 ⇔ x > –3

x + 3 > 5 ⇒ x > 2 Što presječeno s P.u. daje konačno rj. x > 2

1'. Sva rješenja nejedn. log2(x–1)3≤ –6 čine interval: ⟨1,∞ ⟩ ; ⟨–∞ ,1.25]; ⟨1, 1.25]; ⟨0, 0.75]

Rj. P.u. x – 1 > 0 ⇒ x > 1

3log2(x – 1) ≤ – 6 / : 3 ⇒ log2(x – 1) ≤ –2 = log2 2– 2 ⇒ x – 1 ≤ ¼ ⇒ x ≤ 1.25

1''. Jedn. ax2 – x + loga

a = 0 , gdje je a > 0, ima realne korijene, ako je:

a ≤ 104 ; a = 10; a > 104 ; a ≥ 10 ; a ≥ 2 Uoči da se radi o kvadratnoj jedn.

Rj. D ≥ 0 ⇒ b2 – 4ac ≥ 0 ⇒ 1 – 4log a ≥ 0 ⇒ 1 ≥ 4log a ⇒ log a ≤ 1/4 = log 101/4

a ≤ 101/4 = 4 10

1'''. Rješenje nejedn. 2log(2x –3) > 1

2 je : P.u. 2x – 3 > 0 ⇒ x > 3/2

x > 1,35; x > 1,45; x > 1,75; x > 1,55; x > 1,65

Rj. 2log(2x – 3) > 2–1 ⇒ log(2x – 3) > –1 = log10 –1⇒ 2x – 3 > 0.1 ⇒ 2x > 3.1 ⇒ x > 1.55

14'. Rješenje nejedn. log1/2 | x + 3| > –2 je : P.u. x ≠ – 3

(–∞, –7)U(1, +∞); (–7, 1) / { }3− ; (–∞, 1); (7, +∞); (7/2, +∞).

Rj. Pređimo na bazu 2: – log2 | x + 3| > –2 / ⋅ (–1) ⇒ log2 | x + 3| < 2 = log222 ⇒ | x + 3| < 4

– 4 < x + 3 < 4 ⇔ –7 < x < 1

15'. Skup svih rješenja nejednadžbe log(2x – 3) < 0 je:

{ x ∈R: x>2}; { x ∈R: x>3/2}; { x ∈R: x>3}; [2,3]; { x ∈R: 3/2<x< 2}

Rj. P.u. x > 3/2 i log(2x – 3) < 0 = log1 ⇒ 2x – 3 < 1 ⇒ 2x < 4 ⇒ x < 2 ∩ P.u.

76

2. 1log0)13(log2

1

2

1 =>−x i P.u. 3x –1 > 0

Rj. 3x – 1 < 1 i 3x > 1

x < 2/3 i x > 1/3 ⇒ x ∈⟨ 1/3 , 2/3⟩

Vektori: Iz A(xA, yA) i B(xB, yB) ⇒ →→→

−+−= jyyixxAB ABAB )()(

Vektori: Bilo koji vektor →v dan svojim koordinatama

→→→+= jvivv yx

.

U formulama nema duljine vektora, ali je dana udaljenost dviju točaka koju možemo upotrijebiti za

određivanje duljine vektora. 22212

212 )()( yx vvyyxxv +=−+−=

→

Jedinični vektor vektora →→→

+= jyivv yx dan je formulom

220

yx

yx

vv

jvivv

+

+=

→→→

Skalarni umnožak dvaju vektora dan je izrazom ⋅⋅=⋅→→→→baba cosϕ

Skalarni umnožak vektora →a i

→b danih koordinatama:

yyxx bababa +=⋅→→

Kut među vektorima →a i

→b danih svojim koordinatama cosϕ = 2222

yyyx

yyxx

bbaa

baba

+⋅+

+

Okomitost vektora: →→

⊥ ba akko je yyxx bababa +=⋅

→→= 0

ZADATAK 1. Zadane su točke A(1, 2); B(3,5). Odredimo vektor →−→

= ABa

Rj. →−→

= ABa = (xB – xA)→i + (yB – yA)

→j = (3 – 1)

→i + (5 – 2)

→j = 2

→i + 3

→j

Vj. 1'. Zadane su točke A(5, 1); B(6,3). a) Prikažimo vektor →−AB kao linearnu kombinaciju

jediničnih okomitih vektora →i i

→j , te odredite duljine vektora

→−OA i →−

AB

→−AB = (6– 5)

→i + (3 – 1)

→j =

→i + 2

→j ;

→−OA = (5 – 0)

→i + (1 – 0)

→j = 5

→i +

→j

541 =+=→−

AB ; 26125 =+=→−

OA

b) Odredimo točku C tako da je →−→−

= ABOC .

Neka je C(x, y) tada iz →−→−

= ABOC ⇒ (x– 0)→i + (y – 0)

→j =

→i + 2

→j ⇒ x = 1 i y = 2 Tj. C(1,2)

c) Odredimo mjeru kuta ∠ OAC. (Zaokružite rezultat na cijeli stupanj).

To je kut između vektora →−

AO = –5→i –

→j i

→−AC = (1 – 5)

→i + (2 – 1)

→j = –4

→i +

→j

77

Rj. cosϕ = 116125

1145

+⋅+⋅−⋅

= 442

19

1726

19 =⋅ ⇒ ϕ = 25.35o = 25o

d) Odredimo površinu četverokuta OABC .

Rj. POABC = ⋅→−

AO ϕsin⋅→−

AC = 26 ⋅ 17 ⋅ sin 25o = 442 ⋅ 0.4225 = 8.89

2. Odredimo (2→i + 3

→j ) ⋅ (

→i – 4

→j ). Ovo je skalarni umnožak vek.: Rj. 2 ⋅ 1–3 ⋅ 4 = 2 –12 = –10

3. Vektori →→→

+= jia 3 i →→→

+= jib 2 zatvaraju kut?

Rj. cosϕ = 4119

1213

+⋅+⋅+⋅

= 2

2

25

5 = ⇒ ϕ = 4

π


78

Dovedi vektor →−

AB u točku

E pa na njega nadoveži

vektor →−

CD . Spoji početek

i kraj dobio si vektor →−

EF

Skalarni umnožak okomitih vektora jednak je 0. Pa imamo jednadžbu6 ⋅ 2 + (– 4) ⋅ (2k + 5) = 012 – 8k – 20 = 0 – 8k = 8 k = –1

23.3.

TRIGONOMETRIJA U formulama – viša razina, ima više nego dovoljno podataka

79

Vrijednosti trig. fja za neke kutove iz I. kvadranta

06

π4

π3

π2

π

sin ∠ 0 2

1

2

2

2

3 1

cos ∠

1

2

3

2

2 2

1 0

tg ∠ 0

3

3 1 3 +∞

Sinus je neparna fja tj. sin(– α) = – sinα, kosinus je parna fja tj. cos(– α) = cosα

Ostalo ćete dobiti u knjižici formula.

Zadaci: 1. U pravokutnom trokutu jedna kateta je dva puta dulja od druge. Koliki je manji šiljasti

kut tog trokuta? Rj. Neka je a = 2b, onda je 2

1

2===

b

b

a

btgβ ⇒ β = 26o 33' 54''

2. U pravokutnom trokutu hipotenuza je tri puta dulja od jedne katete. Koliki je šiljasti kut nasuprot

te katete tog trokuta? Rj. Neka je c = 3a, onda je 3

1

3sin ===

a

a

c

aα ⇒ α =19o 28' 16''

3. U pravokutnom trokutu hipotenuza je 2.5 puta dulja od jedne katete. Koliki je šiljasti uz tu katetu

tog trokuta? Rj. Neka je c = 2,5b, onda je 5.2

1

5.2cos ===

b

b

c

bα ⇒ α = 66o 25' 19''

4. Čašu oblika valjka s promjerom osnovice 6 cm i visine h = 10 cm punu vode stavimo na kosinu s

kutom od 30o. Kolika će količina vode pritom iscuriti iz čaše? Nacrtaj sliku.

Rj. Uočimo da je količina iscurene vode jednaka polovini obujma valjka visine h1.

Iz pravokutnog ∆ h1 = 6 ⋅ tg 30o = 2 3 . == 12

2

1hrV π 329

2

1 ⋅⋅ π = 39 ⋅π cm3 vode iscuri.

Vj. 4'. Čašu oblika valjka s polumjerom osnovice 4 cm i visine h = 10 cm punu vode stavimo na

kosinu s kutom od 45o. Kolika će količina vode pritom iscuriti iz čaše?

80

Koristeći se ovom tablicom lako je odrediti

vrijednosti svih kutova koji su višekratnici ovih.

To su ,...6

11,

6

7,

6

5 πππ Ako je napamet

,...4

7,

4

5,

4

3 πππ teško, onda si nacrtaj

,...3

5,

3

4,

3

2 πππ trigonom. kružnicu.

5. Najkraća izvodnica kosog stošca ima duljinu 10 cm, a najdulja 20 cm. Izračunajmo obujam

stošca, ako je kut među izvodicama 60o. Sl. Rj. 3

hBV

⋅= = hr ⋅π2

3

1. Nepoznato i r i h.

Po poučku o cos: (2r)2 = 102 + 202 – 2∙10∙ 20 cos60o⇒ 4r2 = 300 /:4 ⇒ r2 = 75 ⇒ r = 5 3

Iz pravokutnog ∆ h = 20 ⋅ sinα , a iz poučka o sinusima 060sin

2

sin

10 r=α ⇒ sinα =

2

1 ⇒ h = 10

V = 3

1 ⋅ 75π ⋅ 10 = 250π cm3

6. Pojednostavni sin(4680o + α) = sin(13 ⋅ 360 + α) = sinα

7. Odredimo temeljni period fje g(x) = 3cos

−

53

ππx. P =

3/

2

ππ

= 6

Trigonometrijske jednadžbe: U trećem razredu smo ih učili. Za maturu ponovite i dobro naučite

rješavati osnovne na intervalu [0, 2π] i sve one koje se svode na osnovne.

Vidi: Dakić, Elezović: Matematika 3 zad.5.1./1. i 2.

1. Odredimo sva rješenja jednadžbe sin x = 2

1. Sl. ⇒ Rj. x1 =

6

π+2kπ ili x2 =

−

6

xπ + 2kπ.

1'. Riješimo jednadžbu sin x = 2

2 na intervalu [0, 2π]. Sl. ⇒ Rj. x1 =

4

π ili x2 =

4

3π.

1''. Riješimo jednadžbu 2sin

−

3

πx = 3 na intervalu [0, 2π]

Rj. sin

−

3

πx =

2

3. Sl. ⇒ za x1 ... x –

3

π =

3

π + 2kπ ⇒ x1 =

3

2π + 2kπ

ili za x2 ... x – 3

π =

3

2π+ 2kπ ⇒ x2 = π + 2kπ = (2k + 1)π

81

U zadatku treba dva puta primjeniti poučak o kosinusu.1) U ∆ABD su nam poznate dvije stranice i jedan kut. Zbog jednostavnosti računanja označimo a/2 = x12.122=10.802+x2 –21.6xcosϕ

2) Kad izračunamo x onda iz ∆ABC opet poučak o cosb2=10.802+a2 – 21.6acos122o

za k = 0 ⇒ x1 = 3

2π ili x2 = π oba zadovoljavaju P. u. tj. oba su rj.

za k = 1 ⇒ x3 = 3

8π ili x4 = 3π oba nisu iz zadanog intervala tj. nisu rješenja GOTOVO

1'''. Riješimo jednadžbu sin

−

42

πx = sinx na intervalu [0, 2π]

Rj. za x1 ... 2x – 4

π = x + 2kπ ⇒ x1 =

4

π + 2kπ , k ∈ Z

ili za x2 ... 2x – 4

π = (π – x) + 2kπ ⇒ 3x = π +

4

π + 2kπ ⇒ x2 =

12

5π +

3

2 πk, k ∈ Z

za k = 0 ⇒ x1 = 4

π ili x2 =

12

5π oba su iz zadanog intervala, tj. oba su rj.

za k = 1 ⇒ x3 = 4

9π nije iz zadanog intervala tj. nije rj. ili x4 =

12

5π+

3

2π=

12

13π je rj.

za k = 2 ⇒ x5 je veći od x3 nije rj. ili x6 = 12

5π+

3

4π=

12

21π je rj. GOTOVO traženje.

Vj. 2. Odredite sva riješenja jednadžbe cos x = 2

2. Sl.

Rj. x = ± 4

π + 2kπ, k ∈ Z

2'. Riješimo jednadžbu 3 + 2cos

− x3

4

π = 0 na intervalu [0, π]

Rj. 2cos(4

π – 3x) = – 3 /:2 ⇒ cos(

4

π – 3x) =

2

3− . Sl.

za x1 … 4

π – 3x =

6

5π + 2kπ ⇒ 3x =

−

6

5

4

ππ + 2kπ /:3 ⇒ x1 =

36

7π− + 3

2 πk, k ∈ Z

za x2 … 4

π – 3x =

6

7π + 2kπ ⇒ 3x =

−

6

7

4

ππ + 2kπ /:3 ⇒ x =

36

11π− + 3

2 πk, k ∈ Z

za k = 0 ... x1 = 36

7π− nije rj. x2 = 36

11π− nije rj.

za k = 1 ... x1 = 36

7π− + 3

2π=

36

17πje rj. x2 =

36

11π− + 3

2π=

36

13π je rj.

za k = 2 ... x1 = 36

7π− + 3

4π=

36

41πnije rj. x2 =

36

11π− + 3

4π=

36

37π nije rj.

2''. Riješimo jednadžbu cos3x = cosx ⇒ 3x = ± x + 2kπ, k ∈ Z

za x1 ... 3x = – x + 2kπ ⇒ 4x = 2kπ /:4 ⇒ x1 = kπ/2

za x2 ... 3x = x + 2kπ ⇒ 2x = 2kπ /:2 ⇒ x2 = kπ

2'''. Riješimo jednadžbu sin(x –π)sin(x +2π) = 3 cos(x + 3π) cos(x – 4π) na intervalu [π/2, π].

Rj. Prijeđimo iz umnoška u zbroj:

1/2[cos(x – π – x – 2π) – (cos(x – π + x + 2π] = 3/2[cos7π + cos(2x – π)] /⋅ 2

cos(–3π) + cos(2x + π) = 3 cos7π – 3 cos(2x + π); Kako je cos(π+2x)= –cos2x

82

imamo jedn. –1 – cos2x = 3 ⋅ (–1) + 3 cox2x

– 4 cos 2x = –2 /: (– 4) dobivamo osnovnu

cos2x = 2

1. Sl. ⇒ 2x = ±

3

π + 2kπ /: 2⇒ x = ±

6

π + kπ, k ∈ Z

za k = 0 x = ± 6

π nisu iz zadanog intervala

za k = 1 x = ± 6

π + π Iz zadanog intervala je samo x =

6

5π što je ujedno i jedino rješenje

3. Riješimo jednadžbu tg

−

42

πx = tg

4

π na intervalu [0, π] .

Pazi TRIK jednadžba mi smo učili jedn. tg(2x – 4

π) = 1, koja je baš ova zadana. (Nacrt. sl.)

Rj. 2x – 4

π =

4

π + kπ ⇔ x =

4

π +

2

πk, k ∈ Z x1 =

4

π ili x2 =

4

3π

3'. Riješimo jednadžbu 3 tg

−

34

xπ = – 1 na intervalu [0, π]. Sl.

Rj. tg(4

π –

3

x) =

3

1− = 3

3−

4

π –

3

x =

6

π + kπ ⇒

3

x =

4

π –

6

π + kπ /⋅ 3 ⇒ x =

4

3π –

2

π + 3kπ =

4

π + 3kπ, k ∈ Z

4. Maturalna: Odredite sva rješenja jedn. 2cos2x = sin2x na intervalu ⟨0, π/2].

Rj. 2cos2x = 2sinxcosx /:2 pa rastavimo na faktore

cosx(cosx – sinx) = 0 ⇒ cosx = 0 ili cosx – sinx = 0 /:cosx

x = π/2 1 – tgx = 0 ⇔ tgx = 1 ⇒ x = π/4

Rezervni: 5. Duljina visine uspravne kvadratske piramide je 10 cm. Bočni brid s ravninom

osnovke zatvara kut od 52o. Odredimo O i V te piramide. (Nacrtajte si sliku ...)

O = B + Po = a2 + 4⋅2

1ah = a2 + 2ah1 = STOP = 269.3 cm2

Iz tg 52o = 2

dh

= d

h2 ⇒ d = 052

2

tg

h, a iz d = a 2 ⇒ a =

2

d= 8.8

522

160

=⋅ tg

cm

Po Pitagori 2

221 2

+= a

hh ⇒ h1 = 10.9 cm Vraćamo se u STOP

V = haBh 2

3

1

3

1 = = 258.1 cm3

83

5. Duljina visine pobočke uspravne kvadratske piramide je 12 cm. Bočna strana s ravninom

osnovke zatvara kut od 66o. Odredimo O i V te piramide. (Nacrtajte si sliku ...)

O = B + Po = a2 + 4⋅2

1ah = a2 + 2ah1 = STOP = 329.50 cm2

Iz cos 66o = 1

2h

a

= 12h

a ⇒ a = 2h1 ⋅ cos 66o = 24 ⋅ cos 66o = 9.76 cm Vraćamo se u STOP

Po Pitagori 2

21

2

2

−= a

hh ⇒ h1 = 10.96 cm Vraćamo se u STOP

V = haBh 2

3

1

3

1 = = 348 cm3

6. Baza uspravne piramide je pravilni 6–terokut stranice a = 6 cm. Pobočke s bazom zatvaraju kut

60o. Odredimo obujam piramide. Nacrtaj sliku Rj. 3

hBV

⋅= , B = 34

62a⋅ = 3

2

3 2a Uočimo

veliki jednakostraničan ∆ stranice 2r.

= 3

2

ar pa je a

ar

rh

2

33

233

2

2 =⋅===

34

3

2

33

32

3 32

aaa

V =⋅⋅

= = 32164

3 ⋅⋅ = 162 3 cm3


84

85

KOORDINATNI SUSTAV U RAVNINI:

Ono što je osnovno odnosno ima u tablicama neću navoditi, ali u ispitima se može spominjati ovo tj.

djelišni omjer λ pa ću riješiti zadatak u vezi s njim.

1. Na dužini ___

AB , A(1, –3) i B(4, 3) zadana je točka C tako da je | AC| : | CB| = 1 : 2. Koje su

koordinate točke C? Dobro je znati: λλ

++

=1

BAC

xxx ,

λλ

++

=1

BAC

yyy i

2

1=λ .

λλ

++

=1

BAC

xxx =

2

11

42

11

+

⋅+ =

2

33

= 2; λλ

++

=1

BAC

yyy =

2

32

33 +−

=

2

32

3− = –1 ⇒ C(2, –1)

Vj. 1'. Na dužini ___

AB , A(1, –3) i B(4, 3) zadana je točka C tako da je | AC| : | CB| = 2 : 1.

Koje su koordinate točke C? [Rj. C(3, 1)]

PRAVAC, KUT DVAJU PRAVACA: ono što je u formulama pokriva cijeli ispit.

ELIPSA, HIPERBOLA i PARABOLA: formule pokrivaju osnove što je i najvažnije, jer u ispitu

se pojavljuju samo osnovni zadaci: određivanje njihovih jednadžbi uz neke poznate uvjete. Sve to

imate u bilježnici od III. raz.

MEĐUSOBNI POLOŽAJ PRAVCA I PARABOLE (∪, ∩) određujemo na dva načina.

1. Grafički, tako da u istom koordinatnom sustavu nacrtamo i pravac i parabolu, pa . . .

2. Računski, tako da riješimo sustav linearne (jedn. pravca) i kvadratne (jedn. parabole). Taj sustav

rješava se tako da se iz linearne jednadžbe izrazi jedna nepoznanica pomoću druge, pa se uvrsti u

kvadratnu. Koja tada postaje kvadratna s jednom nepoznanicom. Ako tako dobivena kvadratna

jednadžba nema realnih rješenja, tj. njezina diskriminanta D = b2 – 4ac je < 0, pravac i parabola

nemaju zajedničkih točaka. Ako pak kvadratna jedn. ima jedno realno rješenje, tj. D = b2 – 4ac je =

0, pravac i parabola imaju jednu točku zajedničku, tj. pravac dodiruje parabolu u tom slučaju pravac

je tangenta parabole. Ako pak kvadratna jedn. ima dva različita realna rješenja, tj. D = b2 – 4ac je >

0, pravac i parabola imaju dvije zajedničke točke, tj. pravac siječe parabolu u dvije točke u to

slučaju pravac je sekanta parabole. Vidi slike.

86

Zadaci: 1. Odredimo međusobni položaj pravca x + y – 5 = 0 i parabole y = –x2 + 2x + 1

I. Grafički: Vidi sliku. Pravac i parabola

nemaju zajedničkih točaka. Vidi sl.

2. Odredimo međusobni položaj pravca 2x – y – 4 i parabole y = x2 – 4x + 5

I. Grafički: Vidi sl. Pravac dodiruje parabolu

3. Odredimo međusobni položaj pravca x + y = 1 i parabole y = x2 – 2x – 1

I. Grafički: Vidi sl. Pravac siječe parabolu

u dvije točke

87

II. Računski: Riješimo sustavx + y – 5 = 0 i y = –x2 + 2x + 1y = 5 – x 5 – x = –x2 + 2x + 1 x2 –3x + 6 = 0 ispitujemo diskriminantu D = b2 – 4ac D = 9 – 24 = –15 < 0 znači pravac i parabola nemaju zajedničkih točaka

II. Računski: Riješimo sustav2x – y – 4 = 0 i y = x2 – 4x + 5y = 2x – 4 2x – 4 = x2 – 4x + 5uvrstimo x2 –6x + 9 = 0 dobiveni ispitujemo diskriminantu x = 3 ⇒ D=b2 –4ac = 36–36 = 0 y = 2 (x – 3)2 = 0 ⇒ x = 3 Znači pravac i parabola se dodiruju u točki T(3, 2)

II. Računski: Riješimo sustavx + y = 1 i y = x2 – 2x – 1 y = 1 – x 1 – x = x2 – 2x – 1uvrstimo x2 + x – 2 = 0 dobivene ispitujemo diskriminantu x = –1⇒ y = 2 D=b2 –4ac = 1+8 = 9 > 0 x = 2⇒ y = –1 Rj. ove jedn. su x1= –1, x2=2 Znači pravac i parabola se sijeku u točkama T1(–1, 2) i T2(2, –1)

MEĐUSOBNI POLOŽAJ PRAVCA I KRUŽNICE, ELIPSE, HIPERBOLE i PARAB.

određuje se na isti način kao i međusobni položaj pravca i parabole.

88

II. Računski: Riješimo sustav

Ax + By + C = 0 i x2 + y2 = r2

Npr. 2x + 3y – 5 = 0 i x2 + y2 = 9

ili 3x – 2y + 4 = 0 i (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4


Ax + By + C = 0 i b2x2 + a2y2 = a2b2

Npr. x – 2y + 3 = 0 i 4x2 + 9y2 = 36

ili 2x + y – 4 = 0 i 1610

22

=+ yx


Ax + By + C = 0 i b2x2 – a2y2 = a2b2

Npr. 4x – 3y – 5 = 0 i 9x2 – 16y2 = 144

ili 5x + 2y + 5 = 0 i 139

22

=− yx

ODREĐIVANJE JEDNADŽBE KRUŽNICE IZ ZADANIH ELEMENATA I OBRNUTO

1. Odredimo jednadžbu kružnice kojoj je dužina ____

AB promjer ako je A(–2, –3) i B(1, 1).

Rj. Iz 2r = | AB| = 543)()( 2222 =+=−+− ABAB yyxx ⇒ r = 2.5

Središte je u polovištu dužine ____

AB (Vidi formule) ⇒ S( –0.5, –1)

Tražena jedn. (x + 0.5)2 + (y + 1)2 = 6.25

2. Zadana je kružnica (x +1)2 + (y –3)2 = 25. Odredimo točku T(2, y) zadane kružnice za koju

je y > 0. Rj. Danu točku uvrstimo u jedn. kružnice: (2 + 1)2 + (y – 3)2 = 25 ⇒ (y – 3)2 = 16

y – 3 = ± 4 ⇒ y = 3 ± 4, pa iz uvjeta y > 0 ⇒ y = 7. Tražena točka je T(2, 7)

Zadatak: 3. Odredimo opću jednadžbu kružnice sa slike.

Zadatak: 4. Odredimo opću jednadžbu kružnice sa slike.

89

Rj. Središte krožnice je točka S(3, 2), i polumjer

r = 3, pa imamo jednadžbu

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 9.

Ako je u riješenju ponuđen opći oblik, kvadriramo

dobivenu jednadžbu i sredimo

x2 + y2 – 6x – 4y + 4 = 0

•


Ax + By + C = 0 i y2 = 2px

Npr. 2x – 3y – 4 = 0 i y2 = 8x

ili 5x + 3y + 2 = 0 i y2 = –6x

Vj. 5. Odredi opću jednadžbu kružnice sa slike.

Rj. ___________________________ ______________________________

90

•

• •

Rj. Središte krožnice je točka S(–2, 1), i polumjer

r = 3, pa imamo jednadžbu

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 9.

Ako je u riješenju ponuđen opći oblik, kvadriramo

dobivenu jednadžbu i sredimo

x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0

6. Odredimo jednadžbu kružnice

koja dira obje koordinatne osi i prolazi točkom T(2, – 4).

Skiciraj zadatak. Sa skice čitamo S(2, –2) i r = 2 pa je tražena jedn. (x–2)2 +(y+2)2 = 4.

Vj. 6'. Odredi jednadžbu kružnice koja dira obje koordinatne osi i prolazi točkom T(–3, 6).

6''. Odredi jednadžbu kružnice koja dira obje koordinatne osi i prolazi točkom T(– 4, –8).

7. Odredimo polumjer kružnice koja je koncentrična kružnici x2 + y2 – 4x + 8y + 4 = 0 i prolazi

točkom A(4, –3). Rj. Dopunom do potpunog kvadrata odredimo središte kružnica

(x – 2)2 – 4 + (y + 4)2 – 16 + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 16 ⇒ S(2, – 4)

Polumjer tražene jednak je udaljenosti točke A od S tj. r = | AS| = 514 =+

Vj. 7'. Odredi polumjer kružnice koja je koncentrična kružnici x2 + y2 + 6x – 10y + 9 = 0 i prolazi

točkom A(–2, –4).

7''. Odredi polumjer kružnice koja je koncentrična kružnici x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 i prolazi

točkom A(2, 3).

Zahtjevniji zadaci

1. Nogometni golman ispucava loptu sa zemlje. Putanja lopte opisana je funkcijom

91

h(x) = – 0.005x2 + 0.4x , gdje je h visina lopte iznad zemlje , a x horizontalna udaljenos od

mjesta ispucavanja. Veličine h i x izražene su u metrima.

a) Na kojoj je visini lopta kada je njezina horizontalna udaljenost od mjesta ispucavanja 25 m?

b) Odredimo najveću visinu lopte.

c) Na kojoj će udaljenosti od gola lopta pasti na zemlju? Nacrtajmo skicu.

2. Projektil je koso ispaljen iz točke na nadmorskoj visini od 50 m i kreće se po paraboli. Nakon 2

km postiže nadmorsku visinu od 610 m. Nakon sljedeća dva kilometra nalazi se na nadmorskoj

visini od 530m. U trenutku kada projektil dostiže svoju maksimalnu visinu, 500m iznad njega leti

helikopter. Na kojoj se nadmorskoj visini u tom trenutku nalazi helikopter.

Rj. Nacrtajmo sliku tako da zanemarimo nadmorsku visinu (nju ćemo dodati krajnjem rezultatu).

Prvu nultočku smjestimo u ishodište koordinatnog sustava vidi sliku. Uz navedene uvjete fja bi

imala oblik f(x) = ax2 + bx

Pa imamo jednakosti f(2000) = 4 000 000a + 2000b = 560 /⋅ (–2)

f(4000) = 16 000 000a + 4000b = 480 ZBROJIMO

92

Dobivamo a = – 0.00008i b = 0.44

Maksimum ove fje je

yo = a

b

a

bac

44

4 22

−=−

yo = 605 m

Helikopter leti na visini605 + 50 + 500 = 1155 m

Rj. a) h(25) = –0.0050 ⋅ 252 + 0.4 ⋅ 25 = 6.87m

b) yo = 8020.0

16.00

4

4 2

=−

−=−a

bac

c) To je druga nultoč. fje h =–0.005x2+0.4xTj. drugo rješenje jednadžbe –0.005x2 + 0.4x = 0 x(–0.005x + 0.4) = 0 ⇒ x2 = 80 m

Tijek fje. Iz državne mature ljeto 2010: Riješimo po njihovim uputama.

Zadana je fja f(x) = –1/4(x2 – 16)(x + 1)

2.1. Odredi koordinate sjecišta grafa s osi apscisa. (Moje: treba naći nultočke)

(x2 – 16)(x + 1) = 0 ⇒ (x+4)(x – 4) (x+1) = 0 ⇒ x1 = – 4, x2 = –1 i x3 = 4

Tražena sjecišta su točke (– 4, 0), (–1, 0) i (4, 0)

2.2. Derivirajte fju f. (Moje: izmnožimo zagrade pa onda derivirajmo)

f(x) = –1/4(x3 + x2 – 16x – 16)

f '(x) = –1/4(3x2 + 2x – 16)

2.3. Odredite intervale rasta fje f. (Treba odrediti nultočke f ' tj. stacionarne točke)

3x2 + 2x – 16 = 0 ⇒ 3

71

6

142

6

19242 ±−=

±−=

+±−=x ⇒ x1 3

8−= i x2 = 2

________________o____________________o_______________________

–8/3 2

Znači imamo tri intervala. Da bismo odredili pad ili rast moramo izračunati vrijednost

f ' u nekoj točki tog intervala. Npr. iz prvog uzmemo –3.

f '(–3) = –1/4(27 – 6 – 16) = –5/4 < 0 ⇒ Na intrevalu ⟨–∞, –8/3⟩ fja f pada.

f '(0) = –1/4(0 + 0 –16) =4>0⇒Na intrevalu ⟨–8/3, 2⟩ fja f raste. Što je traženi int.

f ' (3) = –1/4(27 + 6 – 16) = –17/4 < 0 ⇒ Na intrevalu ⟨2, ∞ ⟩ fja f pada.

2.4. Odredite lokalne ekstrema fje f. (Najprije treba odrediti kandidate za ekstreme)

f(–8/3) = –1/4(64/9 – 16)(–8/3 + 1) = –100/3 ⇒ T1 (–8/3, –100/3) (1. kandidat)

f(2) = –1/4(4 – 16)(2 + 1) = 9 ⇒ T2(2, 9) (2. kandidat za ekstrem)

Da bismo odredili što ti kandidati su moramo izračunati f ''

f '' = –1/4(6x + 2)

f ''(–8/3) = –1/4(– 16 + 2) = 14/4 > 0 ⇒ T1 (–8/3, –100/27) je min

f ''(2) = –1/4(12 + 2) = –14/4 < 0 ⇒ T2(2, 9) je Max

2.5. Nacrtajte graf fje rabeći rezultate prethodnih podzadataka.

(Napomena: Točke koje nemaju cjelobrojne koordinate ucrtajte približno) Moje:

–∞ – 4 –8/3 1 2 4 ∞f ' – – 0 + + 0 – –f 0 –100/27 0 9 0

min Max

93

Tijek fje. Iz državne mature, jesen 2010: Riješimo po njihovim uputama.

Zadana je fja f(x) = (x2 – 5x + 4)(x – 1)

3.1. Odredi koordinate sjecišta grafa s koordinatnim osima. (Moje: treba naći nultočke i

vrijednost fje za x = 0 tj. f(0) = 4 ⋅ (–1) = – 4 ⇒ sjecište s osi y je točka (0, – 4)

(x2 – 5x + 4)(x – 1) = 0 ⇒ (x – 1)(x – 4)(x – 1) = 0 ⇒ x1 = 1, x2 = 1 i x3 = 4

Tražena sjecišta su točke (1, 0), (4, 0) i (0, – 4)


f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 4

f '(x) = 3x2 – 12x + 9

3.3. Odredite intervale rasta fje f. (Treba odrediti nultočke f ' tj. stacionarne točke)

3x2 – 12x + 9 = 0 / : 3 ⇒ x2 – 4x + 3 = 0 ⇒ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇒ x1 = 1 i x2 = 3

________________o____________________o_______________________

1 3

Znači imamo tri intervala. Da bismo odredili pad ili rast moramo izračunati vrijednost

f ' u nekoj točki tog intervala. Npr. iz prvog intervala uzmemo 0.

f '(0) = 9 > 0 ⇒ Na intrevalu ⟨–∞, 1⟩ fja f raste.

f '(2) = 12 – 24 + 9 = –3 < 0 ⇒ Na intrevalu ⟨1, 3⟩ fja f pada.

94

f ' (4) = = 48 – 48 + 9 = 9 > 0 ⇒ Na intrevalu ⟨3, ∞ ⟩ fja f raste.

3.4. Odredite lokalne ekstrema fje f. (Treba odrediti kandidate za ekstreme)

f(1) = 0 ⇒ T1 (1, 0)

f(3) = (9 – 15 + 4)(3 – 1) = – 4 ⇒ T2(3, – 4)

Da bismo odredili što su moramo izračunati f ''

f '' = 6x – 12 f ''(1) = –6 < 0 ⇒ T1 (1, 0) je Max

f ''(3) = 6 > 0 ⇒ T2(3, – 4) je min

3.5. Nacrtajte graf fje rabeći rezultate prethodnih podzadataka.

(Napomena: Točke koje nemaju cjelobrojne koordinate ucrtajte približno) Moje:

Tablica tijeka

–∞ 1 3 4 ∞f ' + 0 – 0 + +f 0 – 4 0

Max min

Tijek fje. Iz državne mature, zima 2010: Riješimo po njihovim uputama.

Zadana je fja f(x) = 1/8(x – 3)(x2 – 24)

4.1. Odredi koordinate sjecišta grafa s osi apscisa. (Moje: treba naći nultočke)

95

(x – 3)(x2 – 24) = 0 ⇒ (x – 3)(x + 24 )(x – 24 ) = 0 ⇒ x1= – 24 , x2 =3 i x3 = 24

Tražena sjecišta su točke T1(– 24 ,0), T2(3, 0) i T3( 24 , 0)


f(x) = 1/8(x3 – 3x2 – 24x + 72)

f '(x) = 1/8(3x2 – 6x – 24)

4.3. Odredite lokalne ekstreme fje f. (Treba odrediti nultočke f ' tj. stacionarne točke)

3x2 – 6x – 24 = 0 /:3 ⇒ x2 – 2x – 8 = 0 ⇒ x1 = –2, x2 = 4 uvrstim ih u fju

T1(–2, 12.5) ; T2(4, –1) da bih odredio što je koja treba mi f ''

f ''(x) = 1/8(6x – 6)

f ''(–2) = 1/8(–18) < 0 ⇒ T1(–2, 12.5) je Max

f ''(4) = 1/8(18) > 0 ⇒ T2(4, –1) je min

4.4. Odredite jedn. tang. na graf u točki kojoj je apscisa jednaka x = – 4

T(– 4, f(– 4)) = (– 4, 7) izračunam koeficijent smjera tangente tj.

f '(– 4) = 1/8(48 + 24 – 24) = 6 sada odredim jednadžbu tangente

t . . . y – 7 = 6(x + 4) ⇒ y = 6x + 31

4.5. Nacrtajte graf te fje rabeći rezultate prethodnih zadataka.

(Napomena: Točke koje nemaju cjelobrojne koordinate ucrtajte približno)

96

VAŽNO! Rješavajući zadatke iz do sada provedenih matura došao sam do zaključka. Kod rješavanja zahtjevnijih zadataka međurezultate ne zaokružujte, jer ćete samo tako dobiti točna rješenja, odnosno rješenja koja će biti službeno objavljena.Molim korisnike ove skripte, da mi dojave svaku primjedbu, bilo da je načelne prirode, bilo da je riječ o pogrešci u tisku, ili je pak pogreška u samom zadatku ili rješenju.

Napomena: Iako je ovo moje intelektualno vlasništvo, koje je poput svakog drugog vlasništva, neotuđivo, zakonom zaštićeno i mora se poštivati. Dozvoljavam da se ova skripta umnožava bez mog dopuštenja.

Za sada od mene toliko.

Puno uspjeha na maturi želi Vam autor skripte,

Milivoj Smoljak, prof. matematike.

97

Documents

86304183 Milivoj Smoljak SKRIPTA Visa Razina 1