83 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่10_คะแนนมาตรฐาน

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 10) คะแนนมาตรฐาน

โดย

อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจ านวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การน าเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต


3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชก าลง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (คะแนนมาตรฐาน) หมวด เนอหา ตอนท 10 (10/14) หวขอยอย 1. คะแนนมาตรฐาน 2. การแจกแจงปกต

จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยน

1. เขาใจความหมาย และสตรในการค านวณคะแนนมาตรฐานของขอมลทก าหนดมาให 2. เขาใจสมบตของคะแนนมาตรฐาน 3. เขาใจสมบตของขอมลทมการแจกแจงปกต 4. เหนความเชอมโยงระหวางขอมลทมการแจกแจงปกต คะแนนมาตรฐาน พนทใตเสนโคงปกต

มาตรฐาน และต าแหนงของขอมล ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมาย และค านวณคะแนนมาตรฐานของขอมลทก าหนดมาใหได 2. ระบสมบตของคะแนนมาตรฐานและน าไปใชในการแกปญหาได 3. อธบายสมบตของขอมลทมการแจกแจงปกตได 4. ระบความเชอมโยงระหวางขอมลทมการแจกแจงปกต คะแนนมาตรฐาน พนทใตเสนโคง

ปกตมาตรฐาน และต าแหนงของขอมล และน าไปใชในการแกปญหาได


5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


6

1. คะแนนมาตรฐาน


7

1. คะแนนมาตรฐาน

ในชวงแรกสอไดแสดงใหเหนถงความส าคญของการเปลยนขอมล หรอทเรยกวาขอมลดบ ใหเปนคะแนนมาตรฐาน หรอคามาตรฐาน เนองจากสตรของคะแนนมาตรฐานนนเกยวของกบคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐานทงส าหรบประชากรและตวอยาง ครจงควรใหนกเรยนทบทวนสตรการค านวณของคาทงสองทเกยวของ โดยไมลมเนนย าเรองความแตกตางของสตรในการค านวณสวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากรกบของตวอยาง

จากนนไดยกตวอยางเกยวกบการใชสตรในการหาคะแนนมาตรฐาน ตลอดจนตงขอสงเกตเกยวกบคะแนนมาตรฐาน

ในทนจะแสดงการพสจนขอสงเกต 3 ทไดกลาวถงในสอตอนน นนคอเมอแปลงคา หรอคะแนนดบในขอมลระดบประชากรชดหนงทกๆ คาใหเปนคามาตรฐาน แลวน าคามาตรฐานเหลานนมาค านวณคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบน จะไดเปน 0 และ 1 ตามล าดบ


8

พสจน สมมตวาขอมลชดหนงประกอบดวย 1 2 3, , , ...,

Nx x x x มคาเฉลยเลขคณต และสวนเบยงเบนมาตรฐาน

เปน และ ตามล าดบ จะไดวา ii

xz ทก {1, 2, 3, ..., }i N

ดงนน 1 1 1 1 1

1 10

N N N N Ni

i i ii i i i i

xz x x N

ท าใหคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงหมดทถกท าใหเปนคามาตรฐานมคาเทากบ 1 0

N

ii

z

z

N

ตอมาเนองจาก 2 2

1

( )N

ii

x N ท าใหไดวา

22

212

1 1

( )1 1

( ) 1

N

N Ni zi i

ii i

zx

xN N N

นนคอสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลทงหมดทถกท าใหเปนคามาตรฐานมคาเทากบ 1

จากบทพสจนนจะไดขอสงเกตเพมเตมคอ 1

0N

ii

z

เมอมาถงตอนนครอาจยกตวอยางเหลานประกอบ ตวอยาง 1 ในการสอบวชาภาษาไทยครงหนง คาเฉลยเลขคณตเทากบ 50 และความแปรปรวนเทากบ 2.25 คามาตรฐานของผทสอบได 59 คะแนนจะมากกวาคามาตรฐานของผทสอบได 44 คะแนนอยเทาใด

วธท า เนองจากความแปรปรวนเทากบ 2.25 ดงนนสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2.25 1.5


9

คามาตรฐานของผทสอบได 59 คะแนน คอ 59 506

1.5 และ

คามาตรฐานของผทสอบได 44 คะแนนคอ 44 504

1.5

ดงนนทงคนมคามาตรฐานตางกนอย 6 ( 4) 10 ชวนคด หากค านวณผลตางของคะแนนดบกอนกลาวคอ 59 44 15 แลวจงน าผลตางนไปหาคามาตรฐาน จะไดผลลพธทเหมอนหรอตางจากตวอยาง 1 นหรอไมอยางไร จงใหเหตผลประกอบ ตวอยาง 2 นาย ก สอบวชาชววทยาไดคะแนน 86 คะแนน คดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.8 ถาสมประสทธความแปรผนของคะแนนสอบครงนเปน 0.4 จงหาความแปรปรวนของคะแนนสอบครงน

วธท า จากโจทยจะไดวา 861.8 และ 0.4 นนคอ 86 1.8 และ 0.4 จะได

วา 1.72 86 นนคอ 50 และ 20


10

แบบฝกหดเพมเตมเรองคะแนนมาตรฐาน 1. ในการสอบวชาเคมของนกเรยนหองหนง มคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนเปน 55 และ 100 ตามล าดบ โดยนาย ก ไดคะแนนคดเปนคะแนนมาตรฐานเทากบ 1.7 คะแนน เมอรวมคะแนนจตพสยทนกเรยนทกคนไดคนละ 5 คะแนนแลว นาย ข ไดคะแนนรวมมากกวานาย ก อย 7 คะแนน จงหาคะแนนรวมและคามาตรฐานของคะแนนรวมของนาย ข 2. ให

1 2 3, , , ...,

Nx x x x เปนความสงในหนวยเซนตเมตรของเดกกลมหนง และ

1 2 3, , , ...,

Ny y y y เปน

ความสงในหนวยเซนตเมตรของพอของเดกแตละคนในกลมนน โดยทแตละ {1, 2, 3, ..., }i N พบวา

0.9 54.8i iy x ถาความสงเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานของความสงของเดกกลมนเทากบ 120 และ 8 แลวพอของเดกคนหนงในกลมนทมความสงคดเปนคะแนนมาตรฐานเทากบ 1.4 จะมความสงเปนกเซนตเมตร 3. ถาคะแนนสอบวชาภาษาจนของนกเรยน 60 คน มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 60 และความแปรปรวนเทากบ 100 โดยทผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนกเรยนกลมนเพยง 59 คนเทากบ 2.1 แลวนกเรยนอกคนหนงไดคะแนนสอบเปนเทาใด 4. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงซงมคะแนนเตม 80 คะแนน และสมประสทธของการ

แปรผนของคะแนนเทากบ 25 ถานาย ก สอบได 63 คะแนน คดเปนคะแนนมาตรฐานคอ 2 และนาย ข

สอบไดคะแนนซงคดเปนคะแนนมาตรฐานเทากบ 0.9 จงหาคะแนนสอบของนาย ข 5. สมาคมลบแหงหนงคดเลอกสมาชกโดยมเงอนไขวา สมาชกตองมคามาตรฐานของอายไมนอยกวา 1.5 และไมเกน 3 ถาคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนของผมาสมครเปนสมาชกสมาคมทงหมดเปน 18 และ 2 ตามล าดบ และเมอน าคามาตรฐานของอายของผสมครทงหมดมาหาสวนเบยงเบนมาตรฐานแลวได

เทากบ 2 จงหาอายทใชเปนเกณฑในการเลอกสมาชกของสมาคมลบน


11

2. การแจกแจงปกต


12

2. การแจกแจงปกต

ในชวงนไดทบทวนเกยวกบการแจกแจงปกต และเสนโคงของการแจกแจงปกต หรอเรยกสนๆ วาเสนโคงปกต พรอมทงบอกสมการของเสนโคงปกต อยางไรกดสมการเสนโคงปกตนเปนเนอหาทเกนหลกสตรระดบมธยมศกษาตอนปลาย ซงสมการนเปนรปแบบหนงของฟงกชนเกาสเซยน (Gaussian function) ซงมความส าคญทงในคณตศาสตรบรสทธและคณตศาสตรประยกต รวมถงสถตชนสงตอไป


13

ตอมาไดแสดงลกษณะตางๆ ของเสนโคงปกตของขอมลชดตางๆ ทเปนไปได เพอน าไปสเสนโคงปกตมาตรฐานทไดมาจากการเปลยนคะแนนดบของขอมลชดใดๆ กตามทมการแจกแจงปกต ใหเปนคะแนนมาตรฐานของคะแนนดบนน เพอจะท าใหไดเสนโคงการแจกแจงปกตมาตรฐานเสนเดยวกนทม 0 และ 1


14

ในชวงนไดกลาวถงสมบตของเสนโคงการแจงแจกปกต ซงอยาลมวาสมบตเหลานยงคงเปนจรงส าหรบเสนโคงการแจกแจงปกตมาตรฐานเชนกน


15

ตอมาไดอธบายการใชตารางเพอหาพนทระหวางเสนโคงปกตมาตรฐานกบแกนนอน ซงมกจะเรยกวาพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานนนเอง ทงนครควรเนนย าอกครงวา การใชตารางตองดหวของตารางใหแนใจกอนวาพนททแสดงไวในตารางนน เปนพนทในชวง [0, ]z หรอ ในชวง ( , ]z อกทงยงตองใชสมบตตางๆ ของเสนโคงปกตทไดกลาวไวกอนหนา เชน ความสมมาตรของเสนโคงปกต เปนตน


16

ตวอยางตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตในชวง [0, ]z ทมา:http://krupom.files.wordpress.com/2010/12/e0b895e0b8b2e0b8a3e0b8b2e0b887e0b981e0b8aae0b894e0b887e0b89ee0b8b7e0b989e0b899e0b897e0b8b5e0b988e0b983e0b895e0b989e0b980e0b8aae0b989.pdf

http://krupom.files.wordpress.com/2010/12/e0b895e0b8b2e0b8a3e0b8b2e0b887e0b981e0b8aae0b894e0b887e0b89ee0b8b7e0b989e0b899e0b897e0b8b5e0b988e0b983e0b895e0b989e0b980e0b8aae0b989.pdf

http://krupom.files.wordpress.com/2010/12/e0b895e0b8b2e0b8a3e0b8b2e0b887e0b981e0b8aae0b894e0b887e0b89ee0b8b7e0b989e0b899e0b897e0b8b5e0b988e0b983e0b895e0b989e0b980e0b8aae0b989.pdf


17

ตวอยางตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตในชวง ( , ]z ทมา: http://www.moojimoji.com/images/math/20090721171625.jpg

เมอมาถงตอนนครอาจใหนกเรยนฝกอานพนทใตเสนโคงปกตจากตารางทงสองแบบน โดยแบงนกเรยนเปนสองกลมแลวผลดกนเปนผถาม และผตอบ ทงนค าถามควรมทงการหาพนทใตเสนโคงปกตเมอก าหนดคามาตรฐานมาให และในทางกลบกนคอก าหนดพนทใตเสนโคงปกตมาใหแลวหาคามาตรฐาน ทงนค าถามในแบบทสองนควรถามถงพนทใตเสนโคงปกตในหลากหลายลกษณะ เชน วดพนทใตเสนโคงปกตจากซายสดของเสนโคงปกต หรอ พนทใตเสนโคงปกตทอยระหวางคามาตรฐานสองคา เชนนเปนตน โดยผถามอาจวาดรปประกอบเพอใหค าถามมความชดเจน นอกจากนในกรณทคามาตรฐานหรอพนทใตเสนโคงปกตทตองการไมปรากฏในตาราง นกเรยนยงสามารถใชการเทยบสดสวนเพอประมาณคาทตองการได

http://www.moojimoji.com/images/math/20090721171625.jpg


18

ตวอยาง 3 ก าหนดพนทใตเสนโคงปกตจาก 0z ถง z a เปน 0.3400 จงประมาณคา a วธท า จากตารางพนทใตเสนโคงปกตในชวง [0, ]z จะไดวา พนทใตเสนโคงเทากบ 0.3389 ตรงกบคามาตรฐาน 0.99 พนทใตเสนโคงเทากบ 0.3400 ตรงกบคามาตรฐาน a พนทใตเสนโคงเทากบ 0.3413 ตรงกบคามาตรฐาน 1.00

โดยการเทยบสดสวนจะไดวา 0.3400 0.3389 0.0011 0.99 0.99

0.3413 0.3389 0.0024 0.01 1.00 0.99

a a

ดงนน 0.99 0.0046 0.9946a ตวอยาง 4 จงหาประมาณพนทใตเสนโคงปกตจาก 0z ถง 1.234z วธท า จากตารางพนทใตเสนโคงปกตในชวง [0, ]z จะไดวา คามาตรฐาน 1.23 มพนทใตเสนโคงเทากบ 0.3907 คามาตรฐาน 1.234 มพนทใตเสนโคงเทากบ A คามาตรฐาน 1.24 มพนทใตเสนโคงเทากบ 0.3925

โดยการเทยบสดสวนจะไดวา 0.3907 0.3907 0.004 1.234 1.23

0.3925 0.3907 0.0018 0.01 1.24 1.23

A A

ดงนน 0.3907 0.00072 0.39142A เมอมาถงตอนนหากมนกเรยนสงสยวาพนทใตเสนโคงปกตในชวง [0, ], [0, ), (0, ]z z z และ (0, )z มความ

แตกตางกนหรอไมอยางไร กขอใหครอธบายกบนกเรยนอยางใจเยนวา ใหพจารณาการหาพนทใตเสนโคงปกตโดยการตดพนทดงกลาวในแนวดงใหตงฉากกบแกนนอน จนพนทนนเปนแทงผอมๆ หลายแทง แลวมองวาแตละแทงเปนเสมอนสเหลยมผนผา ทมพนท เทากบ ความกวาง คณ ความยาว ดงนนส าหรบจดปลายท 0 และ z นนเสมอนวาเปนสเหลยมผนผาทมแตความยาว แตความกวางเทากบศนย ดงนนจะรวมจดปลายหรอไมนน ไมท าใหคาพนทใตเสนโคงเปลยนแปลงแตอยางใด ส าหรบนกเรยนทสนใจค าอธบายทรดกมมากกวาน ครควรแนะน าใหนกเรยนผนนสอบตรงเขาภาควชาคณตศาสตรของมหาวทยาลยใดกได เพอเรยนรเกยวกบเรองนตอไปในชนทสงขน นอกจากนครยงอาจใหนกเรยนยอนกลบไปทพจารณาพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานในชวง [ 2,2] ซงคอ0.9544 ด งนน ในทางสถต จะถอว าหากข อม ลม การแจกแจงปกต แล วจะไดว าข อม ลท อย ในช ว ง [ 2 , 2 ] มอยประมาณ 95% ของขอมลทงหมด ผลสรปนเรยกวากฎ 95% (The 95% rule)


19

ตอมาไดกลาวถงความเชอมโยงระหวางคามาตรฐาน พนทใตเสนโคงปกต และเปอรเซนตของขอมล ซงจะเชอมโยงไปถงเรองต าแหนงของขอมล (ควอไทล เดไซล และเปอรเซนไทล)

หากพจารณาใหถถวนจะเหนวา คามาตรฐาน พนทใตเสนโคงปกต และเปอรเซนตของขอมล ยงมความเชอมโยงกบความนาจะเปนอกดวย เชน - ส าหรบขอมลทมการแจกแจงปกตความนาจะเปนทจะสมหยบขอมลมาตวหนงแลวจะมากกวาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเปน 0.5 - ส าหรบขอมลทมการแจกแจงปกตความนาจะเปนทจะสมหยบขอมลมาตวหนงแลวจะมากกวาขอมลทคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.64 เปน 0.0505 เปนตน


20

สดทายไดยกตวอยางทหลากหลายเพอใหเขาใจความเชอมโยงระหวางคามาตรฐาน พนทใตเสนโคงปกต เปอรเซนตของขอมล ตลอดจนต าแหนงของขอมล


21

หลงจากเขาใจตวอยางตางๆ แลว สอไดทงปญหาชวนคดไวใหนกเรยนชวยกนท า

ส าหรบปญหานสามารถแกไดโดย วธท า พนทใตเสนโคงปกตจาก ถง ขอมลในต าแหนงเปอรเซนไทลท 97.5 เทากบ 0.5 0.4750 ท าใหไดวาขอมลในต าแหนงเปอรเซนไทลท 97.5 คดเปนคามาตรฐานไดเปน 1.96

ดงนนในกลมนกเรยนหญง จะหาขอมล x ทคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.96 ไดโดยแกสมการ 451.96

2

x

ท าให 48.92x กโลกรม

ดงนนนกเรยนชายทหนก 48.92 กโลกรม คดเปนคามาตรฐานไดเปน 48.92 572.02

4z

เนองจากพนทใตเสนโคงปกตจาก 0z ถง 2.02z เทากบ 0.4783 ท าใหพนทใตเสนโคงปกตจาก ถง 2.02z เทากบ 0.5 0.4783 0.0217 นนคอขอมลในต าแหนงเปอรเซนไทลท 97.5 ของกลมนกเรยนหญง จะกลายเปนขอมลในต าแหนงเปอรเซนไทลท 2.17 ของกลมนกเรยนชาย

นอกจากนครอาจยกตวอยางนเพมเตม ตวอยาง 5 ถาน าหนกแรกเกดของทารกในประเทศไทยมการแจกแจงปกต โดยในป 2553 มน าหนกเฉลย 2500 กรม และสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 500 กรม และในป 2554 มน าหนกเฉลย 3400 กรม และสวนเบยงเบนมาตรฐาน 400 กรม น าหนกแรกเกดของทารกไทยคนหนงอยในต าแหนงเปอรเซนไทลท 88.49 ในป 2553 จะอยในต าแหนงเปอรเซนไทลทเทาใดในป 2554 วธท า พนทใตเสนโคงปกตจาก ถง ขอมลในต าแหนงเปอรเซนไทลท 88.49 เทากบ 0.5 0.3849 ท าใหไดวาขอมลในต าแหนงเปอรเซนไทลท 88.49 คดเปนคามาตรฐานไดเปน 1.2


22

ดงนนในป 2553 จะหาขอมล x ทคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.2 ไดโดยแกสมการ 25001.2

500

x

ท าให 3100x กรม

เดกทหนก 3100 กรมในป 2554 คดเปนคามาตรฐานไดเปน 3100 34000.75

400z

เนองจากพนทใตเสนโคงปกตจาก 0z ถง 0.75z เทากบ 0.2734 ท าใหพนทใตเสนโคงปกตจาก ถง 0.75z เทากบ 0.5 0.2734 0.2266 นนคอขอมลในต าแหนงเปอรเซนไทลท 88.49 ในป 2553 จะกลายเปนขอมลในต าแหนงเปอรเซนไทลท 22.66 ในป 2554


23

แบบฝกหดเพมเตมเรองการแจกแจงปกต 1. คะแนนสอบวชาภาษาไทยของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ในโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปกต โดยคะแนนเฉลยและสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 30 และ 2.5 ตามล าดบ โดยก าหนดวาผทไดคะแนนมากกวา 27 คะแนนจงจะสอบผาน จงหาเปอรเซนตของผสอบผานมากกวาหรอนอยกวาเปอรเซนตของผสอบไมผานอยเทาใด 2. นกเรยนชนมธยมศกษาปทหกของโรงเรยนแหงหนงม 400 คน โดยนาย ก นาย ข และ นาย ค เปนนกเรยนในระดบชนนของโรงเรยน ซงเกรดเฉลยของนาย ก อยทต าแหนงเปอรเซนไทลท 81.5 เกรดเฉลยของนาย ข มคามาตรฐานเทากบ 1 และนกเรยนในระดบชนนของโรงเรยนทไดเกรดเฉลยนอยกวานาย ค มจ านวน 330 คน ถาหากเกรดเฉลยของนกเรยนระดบชนนของโรงเรยนดงกลาวมการแจกแจงปกตแลว จงเรยงล าดบเกรดเฉลยของเดกทงสามคนนจากมากทสดไปหานอยทสด 3. ความสงของคนกลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณตเปน และความแปรปรวนเปน 2 ถานาย ก มความสง 0.15 ป จ านวนคนในกลมนทมอายมากกวานาย ก เปนรอยละเทาใด 4. คะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณต และสมประสทธของความแปรผนเทากบ 50 และ 20% ตามล าดบ นาย ก สอบไดคะแนนในต าแหนงเปอรเซนไทลท 83.4 แลวนาย ก สอบไดคะแนนเทาใด 5. ถาคะแนนสอบวชาภาษาฝรงเศสของนกเรยนกลมหนงซงมจ านวน 20000 คน มการแจกแจงปกตทมสวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 20 จงหาจ านวนนกเรยนทสอบไดคะแนนซงตางจากคะแนนเฉลยมากกวา 20 6. นาย ก สอบวชาสงคมศกษาสองครง ซงคะแนนสอบมการแจกแจงปกตทงสองครง โดยครงทหนงคะแนนสอบคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.96 และครงทสองคะแนนสอบคดเปนต าแหนงเปอรเซนไทลท 98.3 ถาในการสอบทงสองครงมคาเฉลยเลขคณตเทากน และสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบครงทหนง และครงทสองเปน 10 และ 5 ตามล าดบ แลวจงหาวาคะแนนสอบในครงทหนงมากกวาหรอนอยกวาครงทสองอยเทา ใด และคามาตรฐานของคะแนนสอบในครงทหนงมากกวาหรอนอยกวาครงทสองอยเทาใด 7. น าหนกของเดกเลกกลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมฐานนยมเทากบ 10 กโลกรม และสมประสทธของการแปรผนเทากบ 20% แลวนกเรยนทหนกมากกวา 8 กโลกรม แตนอยกวา 13 กโลกรมคดเปนกเปอรเซนต


24

8. ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกตทมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 10 จงหาผลตางของขอมลทอยในต าแหนงเปอรเซนไทลท 97.5 กบขอมลทอยต าแหนงเปอรเซนไทลท 33 9. ความสงของกลมนกเรยนหญง และกลมนกเรยนชายมการแจกแจงปกตโดยทคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของความสงของกลมนกเรยนหญงเปน 165.7 และ 4 ตามล าดบ ในขณะทคาเฉลยเลขคณตและสวนเบยงเบนมาตรฐานของความสงของกลมนกเรยนชายเปน 169 และ 5 ตามล าดบ ถานกเรยนชายคนหนงมความสงตรงกบเปอรเซนไทลท 90.99 ของกลมนกเรยนชาย แลวจ านวนนกเรยนหญงทมความสงนอยกวาความสงของนกเรยนชายผนคดเปนรอยละเทาใดของนกเรยนหญง 10. คะแนนสอบวชาสขศกษาของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงปกต นาย ก และ นาย ข เปนนกเรยนของหองน โดยทมนกเรยน 16.6% สอบไดคะแนนมากกวานาย ก และ มนกเรยนอย 5.71% ทสอบไดคะแนนนอยกวานาย ข นอกจากนนาย ก ยงไดคะแนนมากกวานาย ข อย 51 คะแนน จงหาความแปรปรวนของการสอบครงน


25

สรปสาระส าคญประจ าตอน


26

สรปสาระส าคญประจ าตอน


27

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหด/เนอหาเพมเตม


28

แบบฝกหดระคน 1. คะแนนสอบวชาฟสกสของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 6 ของโรงเรยนแหงหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณตเปน 69 คะแนน ถานกเรยนทสอบไดคะแนนมากกวา 85 คะแนน มอย 15.87% จงหาความแปรปรวนและคาประมาณของสมประสทธของการแปรผนของคะแนนสอบวชาน 2. ถาความสงของนกเรยนหองหนงมการแจกแจงปกตทมมธยฐานเทากบ 150 เซนตเมตร และมนกเรยนทสงนอยกวา 148 เซนตเมตรอย 34.46% จงหาคาประมาณของสมประสทธของการแปรผนของความสงของนกเรยนหองน 3. ในการสอบวชาภาษาอาหรบของนกเรยนหองหนง นกเรยนคนหนงสอบได 43.75 คะแนน คดเปนคามาตรฐานไดเทากบ 0.5 และสมประสทธของการแปรผนของคะแนนนกเรยนหองนเทากบ 25% จงหาคาเฉลยของคะแนนสอบของนกเรยนหองน 4. ในการสอบปลายภาคของนกเรยนหองหนง วเคราะหแลวไดความวาคนทสอบได 97 คะแนน จะคดเปนคะแนนมาตรฐานเทากบ 4 และ คนทสอบได 20 คะแนนจะคดเปนคะแนนมาตรฐานเทากบ 3 จงหาคาประมาณของสมประสทธการแปรผนของคะแนนสอบของนกเรยนหองน 5. คะแนนสอบวชาพทธศาสนาของนกเรยนชนหนง ซงมอยสองหอง มคาเฉลยเลขคณตรวมเทากบ 74 คะแนน โดยทหองท 1 และ หองท 2 มนกเรยน 20 และ 30 คน ตามล าดบ ถาคะแนนเฉลยของนกเรยนหองท 1 เทากบ 50 คะแนน และเมอแยกพจารณาทราบวานกเรยนหองท 1 ทสอบได 55 คะแนน คดเปนคามาตรฐาน 1 เทากนกบคามาตรฐานของนกเรยนในหองท 2 ทสอบได 94 คะแนน จงหาความแปรปรวนของคะแนนของนกเรยนในหองท 1 และหองท 2 6. ถาน าหนกของเดกเลกกลมหนงมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณตเปนสามเทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน และ 55.57% ของนกเรยนกลมนมน าหนกนอยกวา 15.7 กโลกรม แลวนกเรยนทมน าหนกนอยกวา 13 กโลกรม รวมกบนกเรยนทมน าหนกมากกวา 18 กโลกรมมอยรอยละเทาใด 7. การแจกแจงความสงของนกเรยนกลมหนงเปนการแจกแจงปกต ถานกเรยนทมความสงมากกวา 149.45 เซนตเมตร มอย 2.94% และนกเรยนทมความสงนอยกวามธยฐานแตมากกวา 136.5 เซนตเมตร มอย 25.8% แลวจงหาสมประสทธการแปรผนของความสงของนกเรยนกลมน


29

8. คะแนนสอบของเดกกลมหนงมคาเฉลยเลขคณตและความแปรปรวนเทากบ 60 และ 225 ตามล าดบ ถานาย ก และนาย ข เปนเดกกลมนซงคะแนนมาตรฐานของนาย ก มากกวานาย ข อย 3.4 และผลบวกของคะแนนสอบของคนทงสองเทากบ 142.5 คะแนน จงหาคามาตรฐานของคะแนนของนาย ก และ คะแนนสอบของนาย ข 9. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองท 1 และหองท 2 พบวาคะแนนของทงสองหองมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณตเทากน และเทากบ และสมประสทธของการแปรผนของคะแนนของ

นกเรยนหองท 1 นอยกวาหองทสองอย 5 ผทสอบไดคะแนนเปนต าแหนงเปอรเซนไทลท 78.81 ของหอง

ท 1 ไดคะแนนสอบมากกวาหรอนอยกวาผทสอบไดคะแนนเปนต าแหนงเปอรเซนไทลเดยวกนในหองท 2 อยกคะแนน 10. อายของพนกงานบรษทแหงหนงมการแจกแจงปกตทมความแปรปรวนเทากบ 4 และมพนกงานจ านวน 50.4% ทมอายไมเกน 34 ป ตอมาเมอพจารณาอายของพนกงานในบรษทนอก 2 ปขางหนา ให a เปนต าแหนงเปอรเซนไทลของพนกงานทอาย 36 ป และ b เปนจ านวนเปอรเซนตของพนกงานทมอาย (หนวยเปนป) อยในชวง [34, 36] แลว จงหา a และ b


30

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


31

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองคะแนนมาตรฐาน 1. 72 คะแนน; 2.9 2. 152.72 เซนตเมตร 3. 39 คะแนน 4. 22.4 คะแนน 5. อายตงแต 21 ถง 24 ป

เฉลยแบบฝกหดเพมเตมเรองการแจกแจงปกต 1. มากกวาอย 76.98% 2. ข, ค, ก 3. 55.96 4. 59.7

คะแนน 5. 6348 คน

6. คะแนนสอบครงท 1 มากกวาคะแนนสอบครงท 2 อย 9 คะแนน; คามาตรฐานของคะแนนสอบครงท 1 นอยกวาคามาตรฐานของคะแนนสอบครงท 2 อย 0.16

7. 77.45% 8. 24 9. 99.38 10. 400 คะแนน2

เฉลยแบบฝกหดระคน

1. 256 ; 16 0.2369

2. 1

0.0330

3. 50 คะแนน 4. 11 0.2153

5. 25 ; 16 คะแนน2

6. 61.89 7. 1 0.0428

8. 2.45 ; 45.75 คะแนน 9. มากกวาอย 4 คะแนน 10. 50.4 ; 37.88


32

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


33

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


34


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


35


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

Documents

83 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่10_คะแนนมาตรฐาน