86 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล ตอนที่13_โปรแกรมการคำนวณทางสถิติ1

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง

สถตและการวเคราะหขอมล (เนอหาตอนท 13)

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โดย

ผชวยศาสตราจารย ทพวลย สนตวภานนท

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล สอการสอน เรอง สถตและการวเคราะหขอมล มจ านวนตอนทงหมดรวม 27 ตอน

ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล 2. เนอหาตอนท 1 บทน า (เนอหา)

- ความหมายของสถต - ขอมลและการน าเสนอขอมล - การส ารวจความคดเหน

3. เนอหาตอนท 2 แนวโนมเขาสสวนกลาง 1 - คากลางของขอมล

4. เนอหาตอนท 3 แนวโนมเขาสสวนกลาง 2 - แนวโนมเขาสสวนกลาง

5. เนอหาตอนท 4 แนวโนมเขาสสวนกลาง 3 - คาเฉลยเลขคณต - มธยฐาน - ฐานนยม - คาเฉลยเรขาคณต - คากลางฮารโมนก

6. เนอหาตอนท 5 การกระจายของขอมล - ต าแหนงของขอมล

7. เนอหาตอนท 6 การกระจายสมบรณ 1 - การกระจายสมบรณและการกระจายสมพทธ - พสย (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลไมแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลไมแจกแจงความถ)

8. เนอหาตอนท 7 การกระจายสมบรณ 2 - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลไมแจกแจงความถ) - ความแปรปรวน


2

9. เนอหาตอนท 8 การกระจายสมบรณ 3 - พสย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนควอไทล (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนเฉลย (ขอมลแจกแจงความถ) - สวนเบยงเบนมาตรฐาน (ขอมลแจกแจงความถ)

10. เนอหาตอนท 9 การกระจายสมพทธ - สมประสทธพสย - สมประสทธของสวนเบยงเบนควอไทล - สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย - สมประสทธของความแปรผน

11. เนอหาตอนท 10 คะแนนมาตรฐาน - คะแนนมาตรฐาน - การแจกแจงปกต

12. เนอหาตอนท 11 ความสมพนธระหวางขอมล 1 - ความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

13. เนอหาตอนท 12 ความสมพนธระหวางขอมล 2 - ความสมพนธเชงฟงกชนของขอมลทอยในรปอนกรมเวลา

14. เนอหาตอนท 13 โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

15. เนอหาตอนท 14 โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 - โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

16. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 17. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 18. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 19. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 20. แบบฝกหด (พนฐาน 5) 21. แบบฝกหด (ขนสง) 22. สอปฏสมพนธ เรอง การน าเสนอขอมล 23. สอปฏสมพนธ เรอง การวดคากลางของขอมล 24. สอปฏสมพนธ เรอง การวดการกระจายของขอมล 25. สอปฏสมพนธ เรอง การแจกแจงปกต


3

26. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงเสนตรง 27. สอปฏสมพนธ เรอง ความสมพนธเชงพาราโบลาและความสมพนธเชงชก าลง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง สถตและการวเคราะหขอมล นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอน ๆ ทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


4

เรอง สถตและการวเคราะหขอมล (โปรแกรมค านวณทางสถต 1) หมวด เนอหา ตอนท 13 (13/14) หวขอยอย โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 จดประสงคการเรยนร

เพอใหผเรยนสามารถใชโปรแกรมการค านวณทางสถตในการค านวณคาสถตตาง ๆ ได ผลการเรยนรทคาดหวง

ผเรยนสามารถใชโปรแกรมส าเรจรป Instat ในการ 1. สรางแฟมขอมลของขอมล 1 กลมได 2. สรางแฟมขอมลของขอมล 2 กลม ซงท าไดสองแบบตอไปนได

แบบแตละกลมมชอตวแปรตางกน (Two Data Columns) แบบขอมลทกตวใชชอเดยวกน และจ าแนกกลมดวยตวแปร factor

3. ค านวณคาทางสถตเบองตนได เชน คาเฉลยเลขคณต พสย สวนเบยงเบนมาตรฐาน เปนตน 4. ค านวณคาทางสถตทมความซบซอนมากขนได เชน ควอไทล สวนเบยงเบนควอไทล

เปอรเซนไทลทระดบตาง ๆ ได เปนตน


5

เนอหาในสอการสอน

เนอหาทงหมด


6



7

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1 ในสอตอนนเราจะศกษาการใชโปรแกรมส าเรจรปเพอชวยในการค านวณหาคาทางสถตเบองตน เชนการค านวณหาคากลางของขอมลตาง ๆ ไมวาจะเปน คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน หรอฐานนยม รวมถงการค านวณคาทใชวดการกระจายของขอมลตาง ๆ เชน พสย ความแปรปรวน และสวนเบยงเบนมาตรฐาน ซงในคมอประกอบสอการสอนน แบงออกเปนหวขอตอไปน 1. การสรางแฟมขอมล

2. การวเคราะหขอมลเบองตน

ผสอนควรจะทบทวนเนอหาเกยวกบประเภทของคากลางและการกระจายของขอมลอยางคราว ๆ กอนจะเขาสการใชโปรแกรมส าเรจรป

[ภาพจากสอการสอน]


8

ผสอนควรแนะน านกเรยนใหเขาใจถงรปแบบ และการทจะน าโปรแกรมส าเรจรปมาใชอยางถกตองดงน โปรแกรมส าเรจรปทใชในการค านวณทางสถตทนยมใชในปจจบนนนมอยหลายโปรแกรม ทงทอยในรปแบบของธรกจ และแบบเพอใชส าหรบการศกษา โปรแกรมสวนใหญมการจดทะเบยนลขสทธถกตองตามกฎหมาย และหากผใชงานตองการน าโปรแกรมเหลานมาใชในการท างานดานตางๆ กจะตองซอลขสทธกบบรษททเปนผแทนจ าหนายของบรษททผลตโปรแกรมนน ๆ แตส าหรบบางโปรแกรมผผลตอนญาตใหผใชงานนนน ามาใชงานได โดยเฉพาะทางดานการศกษา ซงเปนการสงเสรมความรทมไดมงหวงทางธรกจแตอยางใด ตวอยางโปรแกรมส าเรจรปในลกษณะนไดแก โปรแกรม Open Stat โปรแกรม R และโปรแกรม Instat เปนตน ซงในสอการสอนชดนจะน าโปรแกรม Instat+ V3.36 ส าหรบ Windows มาใชงานในการค านวณทางสถต


ผสอนสามารถแนะน าโปรแกรมการค านวณทางสถตส าเรจรปอน ๆ เพมเตม เชน

โปรแกรม Minitab โปรแกรม Splus


9

การเขาสการท างานของโปรแกรม Instat 1. ท าการตดตงโปรแกรม Instat ซงสามารถ ดาวนโหลด ไดจาก http://rdg.ac.uk/ssc

ท าการตดตงโดย ดบเบลคลกท

จากนนโปรแกรมจะเขาสหนาตางตดตงโปรแกรม โดยคลก Next

คลกเลอก Modify จากนนคลก Next

http://rdg.ac.uk/ssc


10

คลกเลอก Documents จากนนคลก Next

ซงโปรแกรมจะก าหนดทตดตง และแสดงต าแหนงทตดตงเพอยนยน จากนน คลก Install

โปรแกรมจะเขาสหนาตางการตดตง หลงจากตดตงแลว คลก Finish


11

2. หลงจากตดตงโปรแกรมเสรจเรยบรอย การเขาสโปรแกรม Instat ท าไดดงน เลอกเมน Start บนมมซายลางของจอภาพคอมพวเตอร เลอกเมนยอย All programs เพอหาเมนรายชอโปรแกรมตาง ๆ คลกเลอกท Instat+ V3.36

3. เมอเขาสโปรแกรม Instat นกเรยนจะไดเหนหนาตาง (windows) การท างานดงขางลางน


12

และผสอนควรจะใหขอมลพนฐานเกยวกบหนาตางการท างานทส าคญดงในสอการสอน


ทงน ผสอนสามารถใหค าอธบายพนฐานเพมเตม ดงตอไปน นามสกลของแฟมขอมลผลลพธแตละประเภททท าการบนทกโดยโปรแกรม Instat คอ

- แฟมขอมล : *.wor - แฟมขอมลค าสงและผลลพธ : *.out - แฟมขอมลกราฟ : *.igt - แฟมขอมลตาราง : *.itb


13

การบนทกขอมล (Save) ท าไดดงน - คลกเลอกหนาตางทตองการบนทกขอมล - คลกเลอกทเมน File เลอก Save จะปรากฏหนาตางยอย Save Commands and Output As - ก าหนดชอแฟมขอมล ชอง File name - โปรแกรม Instat จะก าหนดนามสกลใหอตโนมต


14

1. การสรางแฟมขอมล


15

1. การสรางแฟมขอมล

ในเนอหาสวนนผสอนสามารถแนะน านกเรยนวาการสรางแฟมขอมลอยางงายแบงเปน 2 ลกษณะ ตามรปแบบของขอมลอยางคราว ๆ กอนทจะเปดสอการสอนในสวนน

1. การสรางแฟมขอมลส าหรบขอมล 1 กลม


ผสอนควรใหนกเรยนทบทวน และท าตวอยางเพมเตมเกยวกบการสรางแฟมขอมลโดยการตงชอ ตวแปรใหสอดคลองกบขอมล ดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง เกบขอมลคะแนนผสอบวชาภาษาองกฤษของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 4 กลมหนง จ านวน 20 คน ไดผลดงตอไปน

27 41 35 45 32 29 31 30 49 12 38 25 33 31 21 30 24 34 43 36


16

ผสอนควรแนะน าใหนกเรยนทราบถงความส าคญของการต งชอตวแปรวา การตงชอตวแปรทสอดคลองกบขอมล ชวยใหสามารถสอสาร และสรปผลขอมลเปนไปไดงาย ตวอยางเชน การตงชอตวแปร X1 ซงแสดงขอมลคะแนนวา “data” เปรยบเทยบกบการตงชอตวแปร X1 วา “score” จะเหนวาการตงชอแบบทสองจะท าใหผใชโปรแกรมสามารถทราบไดทนทวา ขอมลทอยในแฟมขอมลนเปนขอมลคะแนนนนเอง

2. การสรางแฟมขอมลส าหรบขอมล 2 กลม การสรางแฟมขอมลแบบนจะถกน าไปใชในสอการสอนเรองสถตและการวเคราะหขอมล เนอหา ตอนท 14 : โปรแกรมการค านวณทางสถต 2 ในการสรางแฟมขอมลลกษณะน ยงถกแบงออกเปน 2 แบบยอย คอ 2.1 ขอมลแตละกลมมชอตวแปรตางกน (Two Data Columns) แฟมขอมลแบบน ขอมลทกตวทอยใน worksheet เปนขอมลทเราน ามาวเคราะหหาคาสถตตางๆ ผสอนควรแสดงการสรางแฟมขอมลส าหรบตวอยางตอไปน เพอใหนกเรยนเขาใจมากขน


17

1

1

ตวอยาง ขอมลคะแนนสอบยอยของวชาคณตศาสตรและวชาฟสกสของนกเรยน 10 คน

คณตศาสตร ฟสกส 9 8 3 5 7 4 4 6 5 5 8 7 6 7 10 9 8 10 4 3

เขาสการท างานในหนาตาง Current Worksheet ท าการตงชอตวแปรในแถวท

ใตตวแปร X1 ส าหรบคะแนนวชาคณตศาสตรเปน math และ ใตตวแปร X2 ส าหรบคะแนนวชาฟสกสเปน physics


18

บนทกขอมลของแตละวชาแยกกนในแตละ column

บนทกแฟมขอมลโดยการคลกเลอกเมน File เลอก Save จากนนก าหนดชอแฟมขอมลทตองการในชอง File name ในหนาตางยอยทปรากฏขน

หมายเหต นามสกลของแฟมขอมลคอ .wor


19

1

1

2.2 ขอมลทกตวใชชอเดยวกนและจ าแนกกลมดวยตวแปร factor (Data columns and Factor levels) การสรางขอมลแบบนจะก าหนดใหตวแปรหนงเปนตวแปร factor เพอเปนตวจ าแนกกลมของขอมล

และอกตวแปรหนงแทนขอมลทใชวเคราะหคาทางสถต ผสอนควรใชตวอยางขอมลคะแนนวชาคณตศาสตร และฟสกส เพออธบายการสรางแฟมขอมลแบบนโดย

เขาสการท างานในหนาตาง Current Worksheet ท าการตงชอตวแปรในแถวท

ใตตวแปร X1 ส าหรบวชาเปน subject และ ใตตวแปร X2 ส าหรบคะแนนเปน score

บนทกขอมลวชาในตวแปร subject 1 หมายถง คณตศาสตร 2 หมายถง ฟสกส บนทกขอมลคะแนนในตวแปร score ให

สอดคลองกบวชา และเรยงล าดบตามเดม ท าการเปลยนสถานะของตวแปร X1 ไปเปนตวแปร Factor โดย

คลกเลอกเมน Manage ไปยงเมนยอย Column Properties เลอก Factor


20

1

2

3

1 2

3

หลงจากเลอก Factor จะเหนหนาตางยอย Make or modify a factor column. - ก าหนด X1 (subject) ในชอง Data column

- คลกเลอก Number of levels โปรแกรม Instat จะก าหนดตวเลขใหเองจากขอมล ทบนทกไว

- คลกเลอก OK

ผลลพธทไดคอ

การก าหนดตวแปรเปนแบบ Factor เปนการบอกโปรแกรม Instat วา ขอมลอยในกลมใด แตไมไดน าขอมลในตวแปรนมาท าการวเคราะหหาคาทางสถต หรออกนยหนงเพยงเปนการจ าแนกกลมของขอมลนนเอง


21



22


กลบมาทตวอยางในสอการสอนขอมลสวนสงของนกเรยน เพอทจะเรมตนแสดงขนตอนการใชโปรแกรม Instat ในการวเคราะหขอมลเบองตน


หลงจากมการแสดงการเลอกค าสงการท างาน Statistics Summary Describe ผสอนอาจจะมการหยดภาพเพอใหนกเรยนไดมเวลาในการทบทวนตามกบเครองตนเองกอนทจะศกษาสอการสอน ในสวนถดไป


23


ผสอนใหนกเรยนทบทวนขนตอนทใชในสอการสอนกบตวอยางขอมลคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษทนกเรยนสรางแฟมขอมลไวแลว พรอมทงเนนย ากบนกเรยนวาผลลพธทไดจากขนตอนนเปนเพยงคาสถตพนฐานทโปรแกรม Instat ก าหนดไว นกเรยนสามารถท าการเพมเตมค าสงเพอใหโปรแกรมค านวณคาสถตอนๆดงแสดงไวในสอการสอน


อกครง ผสอนควรใหนกเรยนไดฝกใชค าสงเพมเตมขางตนกบตวอยางขอมลคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษทนกเรยนไดฝกใชค าสงส าหรบการหาคาสถตพนฐานไปแลว จากนนผสอนสามารถใหนกเรยนฝกท าตวอยางสดทายทอยในสอการสอนไปพรอมๆกบการดสอเพอใหนกเรยนไดทบทวน พรอมเปรยบเทยบผลลพธทตนเองท ากบผลลพธในสอการสอนนน

หมายเหต ผสอนสามารถแนะน านกเรยนไดวาการวเคราะหขอมลเบองตนน สามารถท าไดเหมอนกนส าหรบขอมล 2 กลม ผเรยนสามารถหาความรเพมเตมไดจากเอกสารอางอง


24

เอกสารอางอง

1. รองศาสตราจารย ด ารง ทพยโยธา. หนงสอ การวเคราะหขอมลทางสถตดวยโปรแกรมส าเรจรป Instat . รองศาสตราจารย ด ารง ทพยโยธา . กรงเทพฯ : โรงพมพจฬาลงกรณมหาวทยาลย, 2551.

2. http://www.reading.ac.uk/ssc 3. http://www.ssc.rdg.ac.uk/n/n_instat.htm 4. http://www.ssc.rdg.ac.uk/n/software/instat/tutorial.pdf

http://www.reading.ac.uk/ssc

https://webmail.it.chula.ac.th/wm/mail/fetch.html?urlid=7e24122dee05b62007c053d524a0a141d&url=http%3A%2F%2Fwww.ssc.rdg.ac.uk%2Fn%2Fn_instat.htm

https://webmail.it.chula.ac.th/wm/mail/fetch.html?urlid=7e24122dee05b62007c053d524a0a141d&url=http%3A%2F%2Fwww.ssc.rdg.ac.uk%2Fn%2Fsoftware%2Finstat%2Ftutorial.pdf


25

สรปสาระส าคญประจ าตอน


26

สรปสาระส าคญประจ าตอน

ผสอนสรปสาระส าคญทไดเรยนในสอการสอน ดงตอไปน

1. โครงสรางของโปรแกรม Instat โดยเนนย าสวนการท างาน เกยวกบหนาตาง (windows) ตางๆ เชน Current Worksheet และ Command and Output ซงเราใชงานเปนหลกในสอการสอนตอนน


27

2. ผสอนสรปขนตอนการท างานของการสรางแฟมขอมล 3. วเคราะหขอมลหาคาสถตพนฐานดวยค าสง Statistics Summary Describe และ

4. การวเคราะหขอมลหาคาสถตเพมเตมโดยคลกเลอกค าสงเมน Additional Statistics

หมายเหต การทนกเรยนจะสามารถใชโปรแกรมส าเรจรปเพอชวยในการค านวณทางสถตไดอยางม

ประสทธภาพนน นกเรยนจะตองมการทบทวน ฝกท าตวอยาง และลองผดลองถกกบการใชโปรแกรมอยางสม าเสมอ นกเรยนสามารถหาขอมลเพมเตมเกยวกบโปรแกรม Instat นไดในเอกสารอางองของคมอน


28

ภาคผนวกท 1 แบบฝกหดเพมเตม


29

แบบฝกหดเพมเตม

1. ขอมลแสดงรายไดตอวน (หนวยเปนบาท) ของรานคา 30 ราน ในตลาดนดของโรงเรยนแหงหนง มดงน

รานขายของใช/ของเลน รานอาหาร 472 159 951 135 203 774 990 109 360 104 476 417 224 671 216 118 497 832 230 241 885 632 642 606 983 137 244 843 295 269

1.1 จงสรางแฟมขอมลส าหรบขอมลรายไดตอวนของรานคาทงหมด 1.2 จงหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน เปอรเซนไทลท 72 รวมถงสวนเบยงเบนมาตรฐานของรายได

ตอวนของรานคาในตลาดนดแหงน 2. จากขอมลในขอ 1 จงสรางแฟมขอมลส าหรบขอมล 2 ชด โดยแยกเปนรายไดตอวนของรานอาหาร และรายไดตอวนของรานขายของอนๆ (ของเลน/ของใช) 2.1 แฟมขอมลแบบแตละกลมมชอตวแปรตางกน (two data columns) 2.2 แฟมขอมลทกตวใชชอเดยวกนและจ าแนกกลมดวยตวแปร factor


30

ภาคผนวกท 2 เฉลยแบบฝกหด


31

เฉลยแบบฝกหด

1.2 การวเคราะหขอมลของรายไดตอวนของรานคาในตลาดนดแหงน ไดผลดงน - คาเฉลยเลขคณต 457.17 บาท - มธยฐาน 388.5 บาท - เปอรเซนไทลท 72 651.28 บาท - สวนเบยงเบนมาตรฐาน 297.21 บาท


32

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


33

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


34


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


35


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2



โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได