บทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล

1

ครเสวตร โรงเรยนอทกวทยาคม กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร วชาคณตศาสตรเพมเตม ปการศกษา 2556

บทท 1 สถตและขอมล สถตเปนศาสตรทใชเปนเครองมอชวยในการตดสนใจอยางมเหตผล การแกปญหาสวนใหญตองใช ขอมล ขาวสาร สารสนเทศ และกระบวนการทางสถตมาชวยในการสรปผล

1. ความหมายของสถต สถตเปนศาสตรทวาดวยการเกบรวบรวมและวเคราะหขอมลเพอหาขอสรปจากขอมลทเกยวของแลวน ามาอธบายปรากฏการณหนง หรอตอบค าถามหรอประเดนปญหาทสนใจ โดยอาศยขอมลทไดจากการเกดซ าๆของปรากฏการณนนๆ สถตแบงออกเปน 2 ประเภท ดงน

สถตพรรณนา คอ สถตของการวเคราะหขอมลขนตนทมงอธบายลกษณะกวางๆของขอมล ซงสนใจศกษาเกยวกบวธการสรปขอมลแตละชดทเราสนใจดวยการวดแนวโนมสสวนกลาง ( คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ฐานนยม ) และการวดการกระจาย ( สวนเบยงเบนมาตรฐาน พสย ฯลฯ ) ตลอดจนการแจกแจงความถของขอมล และการน าเสนอผลสรปดงกลาว เพออธบายขอมลนน

สถตเชงอนมาน คอ สถตของการวเคราะหขอมลทเกบรวบรวมไดจากตวอยางเพออางองไปถงขอมลทงหมด ซงสนใจวธการวาในสถานการณหนงจะเลอกตวแทน (ตวอยาง) จากขอมลทงหมด (ประชากร) ไดอยางไรจงจะเปนตวแทนทดของประชากร หรอก าหนดแบบแผนการทดลองอยางไรจงจะสามารถท าการวเคราะหเพอตอบค าถามทตองการได หากพจารณาโดยรวมแลวจะเหนวา สถตครอบคลมเรองของขอมลและการเชอมโยงกบปญหารวมทงการสรางวธการวเคราะหขอมล ดงนนสถตจงครอบคลมองคประกอบดงน 1. การเกบรวบรวมขอมล สามารถท าไดหลายวธ เชน การสอบถาม การสงเกต การทดลอง เปนตน 2. การวเคราะหขอมล เปนการหาขอสรปจากขอมลทมเพออธบายหรอตอบค าถามทตองการ 3. การน าเสนอขอมล เปนการน าเสนอขอสรปในรปแบบทผใชโดยทวไปสามารถเขาใจงายและชดเจน

2. ขอมลและการเกบรวบรวมขอมล 2.1) ความหมายของขอมล ขอมล เปนขอความจรงหรอสงทบงบอกถงสภาพ สถานการณ หรอปรากฏการณใดปรากฏการณ หนง โดยทขอมลอาจเปนตวเลขหรอขอความกได 2.2) ประเภทของขอมล

ประเภทของขอมลเมอจ าแนกตามวธการเกบรวบรวมขอมลจะแบงไดเปน 2 ประเภท คอ 1) ขอมลปฐมภม คอขอมลทผใชจะตองเกบรวบรวมจากผใหขอมลหรอแหลงทมาของขอมลโดดตรง 2) ขอมลทตยภม คอขอมลทผใชไมตองเกบรวบรวมจากผใหขอมลหรอแหลงทมาโดยตรง แตได

จากขอมลทมผอนเกบรวบรวมไวแลว

2


ประเภทของขอมลเมอจ าแนกตามลกษณะของขอมลจะแบงไดเปน 2 ประเภท คอ 1) ขอมลเชงปรมาณ คอขอมลทใชแทนขนาดหรอปรมาณซงวดออกมาเปนจ านวนทสามารถน ามาใชเปรยบเทยบ

กนไดโดยตรง 2) ขอมลเชงคณภาพ คอขอมลทไมสามารถวดออกมาเปนจ านวนไดโดยตรง แตอธบายลกษณะหรอคณสมบตใน

เชงคณภาพได เชน หมายเลขรถประจ าทาง เพศของสมาชกในครอบครว

แบบฝกหดท 1 1) จงน าขอความในตารางเตมในชองวางของแตละขอทสมพนธกน

1) ………………………….. ศาสตรทวาดวยการเกบรวบรวมและวเคราะหขอมลเพอหาขอสรปจากขอมลท

เกยวของแลวน ามาอธบายปรากฏการณหนงหรอตอบค าถามหรอประเดนปญหาทสนใจ

2) ………………………….. ขอมลทใชแทนขนาด ซงวดออกมาเปนจ านวนทสามารถน ามาใชเปรยบเทยบกน ไดโดยตรง

3) …………………………. คาเฉลยเลขคณต มธยฐานและฐานนยม

4) …………………………. ตาราง แผนภมแทง แผนภมวงกลม

5) …………………………. สถตของการวเคราะหขอมลทเกบรวบรวมไดจากตวอยางเพออางองไปถง ขอมลทงหมด

6) …………………............ การสอบถาม การสงเกต การทดลอง

7) …………………………. ขอมลทผใชจะตองเกบรวบรวมจากผใหขอมลหรอแหลงทมาของขอมลโดยตรง

8) …………………………. ขอมลทผใชไมตองเกบรวบรวมจากผใหขอมลหรอแหลงทมาโดยตรง แตไดจาก ขอมลทมผอนเกบรวบรวมไวแลว

9) ………………………… ขอมลทไมสามารถวดออกมาเปนจ านวนไดโดยตรง แตอธบายลกษณะหรอ คณสมบตของขอมลนนได

สถตเชงอนมาน สถตเชงพรรณนา ขอมลเชงปรมาณ ขอมลทตยภม สถต ขอมลเชงคณภาพ การเกบรวบรวมขอมล ขอมลปฐมภม คากลางของขอมล การน าเสนอขอมล ขอมล

3


10) ………………………... ขอความจรงหรอสงทบงบอกถงสภาพ สถานการณ หรอปรากฏการณใด ปรากฏการณหนง

11) ………………………… สถตของการวเคราะหขอมลขนตนทมงอธบายลกษณะกวางๆของขอมล

2) จงพจารณาวาขอมลในแตละขอตอไปนเปนขอมลเชงปรมาณหรอขอมลเชงคณภาพ

…………………….. 1) หมายเลขทะเบยนรถจกรยานยนตในอ าเภอเมอง จงหวดระยอง

…………………….. 2) คะแนนสอบ Pre-test ของนกเรยน ม.5 วชาคณตศาสตรพนฐาน

…………………….. 3) ราคาน ามนเบนซนไรสารตะกว

…………………….. 4) ปรมาณน าฝนทตกในจงหวดระยอง

…………………….. 5) จ านวนสมาชกในครอบครวของนกเรยนทท าขอสอบชดน

…………………….. 6) อาชพของผปกครองนกเรยน ม.5 โรงเรยนระยองวทยาคม

…………………….. 7) อตราคาโดยสารรถตจากจงหวดระยองถงกรงเทพมหานคร

…………………….. 8) เลขทของนกเรยน ม.5 ของโรงเรยนระยองวทยาคม …………………….. 9) เลขประจ าตวประชาชน …………………….. 10) จ านวนเงนทนกเรยนชน ม.5 น ามาโรงเรยนในวนท 15 มกราคม 2556

4


บทท 2 การวเคราะหขอมลเบองตน 1. การแจกแจงความถของขอมล

การแจกแจงความถ เปนวธการทางสถตอยางหนงทใชในการจดขอมลทมอย หรอทเกบรวบรวมมาไดใหอยเป พวกๆ เพอความสะดวกในการน าเสนอขอมลและการวเคราะหขอมล

1.1) ความถสะสม (cumulative frequency) คอ ผลรวมของความถของคานนหรอของอนตรภาคชนนนกบความถ ของคาหรออนตรภาคชนทมชวงคะแนนต ากวาทงหมด

1.2) ความถสมพทธ (relative frequency) คอ อตราสวนระหวางความถของคานนหรอของอนตรภาคชนนนกบ ผลรวมของความถทงหมด

1.3) ความถสะสมสมพทธ ( relative cumulative frequency ) คอ อตราสวนระหวางระหวางความถสะสมของ คานนหรอของอนตรภาคชนกบผลรวมของความถทงหมด

ความถสมพทธ = รอยละของความถสมพทธ =

จ านวนความถในแตละอนตรภาคชน

ผลรวมของความถในแตละอนตรภาคชน

100 จ านวนความถในแตละอนตรภาคชน


ความถสะสมสมพทธ = รอยละของความถสะสมสมพทธ =

จ านวนความถสะสมในแตละอนตรภาคชน


100 จ านวนความถสะสมในแตละอนตรภาคชน ผลรวมของความถในแตละอนตรภาคชน

5


ตวอยางท 1 ขอมลตอไปนเปนการวดเสนรอบวงของตนไมจ านวน 50 ตน จงเตมตารางใหสมบรณ

เสนรอบวง ( x ซ.ม.)

จ านวนตนไม

ความถสะสม

ความถสมพทธ ความถสะสมสมพทธ

รอยละของความถสมพทธ

รอยละของความถสะสมสมพทธ

40 50x

15

50 60x

11

60 70x

7

70 80x

13

80 90x

4

การสรางตารางแจกแจงความถ มสงทเกยวของดงน

1. ขดจ ากดชน ( Class limites ) ในแตละอนตรภาคชนจะมขดจ ากดชน 2 คา คอ ขดจ ากดลาง ( Lower class limits ) ซงเปนคาทนอยทสดของชนนน และขดจ ากดบน( Upper class limits ) ซงเปนคาทมากทสดของชนนน ขอบลาง ( Lower boundary ) คอ คากงกลางระหวางคาทนอยทสดในอนตรภาคชนนนกบคาทมากทสดของอนตร

ภาคชนทตดกนนน และเปนชวงทต ากวา ขอบบน ( Upper boundary ) คอ คากงกลางระหวางคาทมากทสดในอนตรภาคชนนนกบคาทนอยทสดของอนตร

ภาคชนทตดกนนน และเปนชวงทสงกวา

ความกวางของแตละอนตรภาคชน = ขอบบน – ขอบลาง

1. จดกงกลางของอนตรภาคชน (Mid-point) คอ = =

ขอบบน + ขอบลาง

2 ขดจ ากดบน + ขดจ ากดลาง

2

6


การสรางตารางแจกแจงความถของขอมลมขนตอน ดงน 1) หาพสย จากสตร พสย = ขอมลทมคามากทสด – ขอมลทมคานอยทสด 2) ก าหนดจ านวนชน (นยมสราง 7 – 15 ชน) หรอก าหนดความกวางของอนตรภาคชน(นยมก าหนด 5 , 10 , 15 , …) 3) ค านวณหาความกวางของอนตรภาคชนหรอจ านวนชน จากสตร

ความกวางของอนตรภาคชน =

4) สรางชวงคะแนนใหมความกวางเทาทค านวณได ใหขอมลทมคานอยทสดอยในชวงคะแนนทมชวงต าสด แลวนบจ านวนขอมลในแตละชวงคะแนนใสในชองความถในตาราง

ตวอยางท 2 ขอมลเปนจ านวนวนทขาดเรยนของนกเรยนจ านวน 45 คน ในรอบปทผานมา 4 2 0 3 2 3 7 1 2 0 0 6 4 5 1 5 3 0 2 7 2 3 2 2 5 2 0 1 4 0 0 4 5 0 1 1 4 1 6 2 6 2 6 3 3

1. จงสรางตารางแจกแจงความถของขอมลขางตน

จ านวนวนทขาดเรยนของนกเรยน(วน) รอยขด จ านวนนกเรยน(คน)

พสย จ านวนชน

7


2. สรางฮสโทแกรมแทนการแจกแจงความถของจ านวนวนทขาดเรยน

ตวอยางท 3 ตารางแสดงปรมาณวตามนซในสมแตละผลเปนมลลกรมทพบในสม 102 ผล

1. จงสรางฮสโทแกรมแสดงขอมลขางตน

2. สมทมปรมาณวตามนซในแตละผลมากกวา 30 มลลกรม คดเปนรอยละเทาไรของสมทงหมด

8


ตวอยางท 4 คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 40 คน เปนดงน

ใหนกเรยนตอบค าถามขอตอไปน

1) คะแนนสงสด = ………… คะแนนต าสด = …………

2) พสยของคะแนนสอบ = ……………………………………………………

3) ถาตองการสรางตารางแจกแจงความถใหม 10 อนตรภาคชน แตละอนตรภาคชนจะมความกวาง = ……..

4) ถาตองการสรางตารางแจกแจงความถใหแตละอนตรภาคชนกวาง 5 จะมจ านวนอนตรภาคชน = ………..

5) ถาตองการสรางตารางแจกแจงความถใหแตละอนตรภาคชนกวาง 10 จะมจ านวนอนตรภาคชน = …………

6) ถาอนตรภาคชนแรกเปน 25 – 29 อนตรภาคชนตอไปไดแก …………………………………………………...

…………………………………………………………………………………………………………………….

7) จากขอ 6) จงเตมตารางตอไปนใหสมบรณ

อนตรภาคชน รอยขด ความถ ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน

25 – 30

9


8) จงสรางฮสโทแกรมจากตารางแจกแจงความถในขอ 7) ตวอยางท 5 ก าหนดขอมลชดหนง ดงน 7.6 8.7 9.3 7.5 9.1 8.5 8.4 8.3 7.8 8.2 8.4 7.7 9.8 8.8 8.1 8.8 9.9 9.2 7.1 8.4 9.4 8.7 8.3 9.2 7.9 8.3 7.9 9.1 9.0 8.7 ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางตอไปนใหสมบรณ

1) คาสงสด คอ ………………………….. คาต าสด คอ ………………………

2) พสย คอ ………………………………………………….

3) ถาสรางตารางแจกแจงความถใหแตละอนตรภาคชนกวาง 0.5 จะมทงหมด ……….. ชน

10


4) จงสรางตารางแจกแจงความถใหอนตรภาคชนแรกเปน 7.1 – 7.5

อนตรภาคชน รอยขด ความถ ขอบลาง ขอบบน จดกงกลางชน 7.1 – 7.5

5) จงสรางฮสโทแกรมแสดงขอมลดงกลาวขางตน

11


2. แผนภาพตน – ใบ (stem-and leaf plot หรอ stem plot ) ในตารางแจกแจงความถและอสโทแกรมไมสามารถทราบไดวามขอมลคาใดอยบางเพราะจดแบงขอมลเปนชวงๆ การจดขอมลเปนกลม อาจใชวธการสรางแผนภาพเพอแจกแจงความถและวเคราะหขอมลเบองตนไปพรอมกน เรยกวา แผนภาพตน – ใบ

ตวอยางท 1 ขอมลตอไปนเปนน าหนกของนกเรยนชนมธยมศกษาปท 5 จ านวน 20 คน

น าหนกนกเรยน คนท 1 ถง 10

32 45 41 49 52 63 32 57 48 39

น าหนกของนกเรยน คนท 11 ถง 20

42 38 61 40 57 68 35 40 51 66

จงสรางแผนภาพตน – ใบ เพอแสดงน าหนกของนกเรยนทง 20 คนน ตวอยางท 2 ขอมลตอไปนเปนคะแนนสอบวชาคณตศาสตรซงมคะแนนเตม 100 คะแนน ของนกเรยน 30 คน 71 33 42 55 67 74 83 35 97 59 86 78 86 63 83 88 92 56 97 66 73 82 49 64 72 55 67 72 65 71 จงสรางแผนภาพตน – ใบ ในการแจกแจงความถของขอมลขางตน

12


ตวอยางท 3 นกเรยนหองหนงมผลการสอบวชาคณตศาสตรและวชาภาษาองกฤษ ซงและละวชามคะแนนเตม 100 คะแนน เปนดงน

วชาคณตศาสตร 42 44 54 65 77 88 43 66 89 43 52 65 98 83 64 53 72 80 72 67 55

วชาภาษาองกฤษ 54 43 51 66 74 95 54 45 90 65 88 49 73 86 68 47 52 87 70 58 90

จงสรางแผนภาพตน – ใบ ในการแจกแจงความถของของคะแนนสอบทงสองวชาน

ตวอยางท 4 จากแผนภาพตน – ใบ ของขอมลทแสดงจ านวนเวลาทนกเรยนใชท าแบบทดสอบจ านวน 30 ขอ ตอไปน เวลาทใชในการท าแบบทดสอบ(นาท) 5 0 3 5 6 3 5 8 9 7 1 4 6 7 8 9 8 2 6 8 9 9 0 0 1

1) จงหาจ านวนนกเรยนทงหมดทท าแบบทดสอบชดน 2) เวลามากทสดและนอยทสดทนกเรยนใชในการท าแบบทดสอบเปนเทาใด

13


3. การวดต าแหนงทของขอมล( Measures of relative standing ) การบอกต าแหนงของคาในขอมล ท าได 3 วธ คอ โดยใช ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนตไทล 1. ควอรไทลท r ( )rQ เปนคาทมจ านวนขอมลตวอนๆ นอยกวาหรอเทากบคานอย r สวน

เมอแบงขอมลออกเปน 4 สวนเทาๆกน

2. เดไซลท r ( )rD เปนคาทมจ านวนขอมลตวอนๆ นอยกวาหรอเทากบคานอย r สวน เมอแบงขอมลออกเปน 10 สวนเทาๆกน

3. เปอรเซนตไทลไทลท r ( )rP เปนคาทมจ านวนขอมลตวอนๆ นอยกวาหรอเทากบคานอย r สวน เมอแบงขอมลออกเปน 100 สวนเทาๆกน

การหา , ,r r rQ D P ของขอมลทไมไดแจกแจงความถ 1. เรยงขอมลจากนอยไปมาก 2. หาต าแหนงของ rQ หรอ rD หรอ rP จากสตร

ต าแหนงของ ( 1)

4r

r NQ


10r

r ND


100r

r NP

เมอ N เปนจ านวนขอมลทงหมด

3. ค านวณหา rQ หรอ rD หรอ rP ทตองการ

ขอมลมคานอย ขอมลมคามาก



14


ตวอยางท 1 คะแนนสอบครงหนงของนกเรยน 9 คน เปนดงน 35 , 31 , 42 , 43 , 30 , 35 , 49 , 48 , 25 จงหา

1 2 3 3 6 40, , , , ,Q Q Q D D P และ 80P ของขอมลชดน

ตวอยางท 2 คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 10 คน เปนดงน 18 4 9 5 5 7 12 16 13 10 จงหา 1 2 , 3 4 7 60, , , ,Q Q Q D D P และ 90P ของขอมลชดน

15


ตวอยางท 3 ผลการทดสอบเกยวกบระดบสตปญญาของนกเรยนชนประถมศกษาปท 5 กลมหนงปรากฏคะแนนดงน 99 112 115 100 97 106 120 113 98 105 102 114 98 118 123 95 107 111 100 94 96 119 93 121 101 117 99 125

1) นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไร จงจะมนกเรยนประมาณครงหนงของชนไดคะแนนต ากวา 2) นกเรยนจะตองสอบไดคะแนนเทาไร จงจะมนกเรยนประมาณหนงในสของชน ไดคะแนนสงกวา 3) นกเรยนจะตองสอบไดกคะแนนจงจะมผสอบไดคะแนนนอยกวาอยประมาณ 8 ใน 10

ตวอยางท 4 ในการสอบครงหนงมนกเรยน 12 คน ทไดคะแนนสอบวชาสถตเทากบหรอนอยกวา 15 คะแนน ถาเปอรเซนตไทลท 25 ของคะแนนสอบครงนเทากบ 15 คะแนน จงหาจ านวนนกเรยนทงหมดทเขาสอบ ตวอยางท 5 ถาเปอรเซนตไทลท 60 ของคะแนนสอบวชาศลปะเทากบ 87 คะแนนและมนกเรยน 9 คน ทไดคะแนน เทากบหรอนอยกวา 87 คะแนน จงหาวามกคนทไดคะแนนมากกวา 87 คะแนน ตวอยางท 6 ถามนกเรยน 30 คน จากนกเรยนทงหมด 40 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 95 คะแนน จงหาวา เปอรเซนตไทลของคะแนน 95 คะแนนเทากบเทาใด

16


ตวอยางท 7 ถาคะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของแกมตรงกบต าแหนง 70P ขอความใดตอไปนเปนจรง 1) คะแนนสอบวชาภาษาองกฤษของแกมเทากบ 70% 2) 30% ของคนทสอบวชาภาษาองกฤษเหมอนแกมไดคะแนนมากกวาคะแนนทแกมได 3) 70% ของคนทสอบวชาภาษาองกฤษเหมอนแกมไดคะแนนเทากบคะแนนทแกมได 4) 70% ของคนทสอบวชาภาษาองกฤษเหมอนแกมไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบคะแนนทแกมได

ตวอยางท 8 ขอมลชดหนงม 10 จ านวนประกอบดวยจ านวนตอไปน 4 , 8 , 8 , 9 , 14 , 15 , 18 , 18 , 22 , 25 ควอรไทลทสามของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด ตวอยางท 9 ขอมลชดหนงประกอบดวย 19 จ านวน ตอไปน

6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30

ควอรไทลท 3 มคาตางจากเปอรเซนตไทลท 45 เทากบขอใดตอไปน ก. 4 ข. 5 ค. 6 ง. 7

ตวอยางท 10 คะแนนของผเขาสอบ 15 คน เปนดงน 45 , 54 , 59 , 60 , 62 , 64 , 65 , 68 , 70 , 72 , 73 , 75 , 76 , 80 , 81 ถาเกณฑในการสอบผาน คอ ตองไดคะแนนไมต ากวาเปอรเซนตไทลท 60 แลว ขอใดตอไปนเปนคะแนนต าสด ของผทสอบผาน

ก. 68 คะแนน ข. 70 คะแนน ค. 72 คะแนน ง. 73 คะแนน

17


ตวอยางท 11 นกเรยนกลมหนงจ านวน 80 คน ซงม ล าเจยก ล าดวน และล าพ รวมอยดวย ปรากฏผลดงตอไปน ล าดวนไดคะแนนตรงกบควอรไทลท 3 ล าพไดคะแนนตรงกบเปอรเซนตไทลท 50 ล าเจยกไดคะแนนเปนล าดบท 30 เมอเรยงคะแนนจากมากไปนอย ขอใดตอไปนเปนการเรยงรายชอของผทไดคะแนนนอยไปหาผทไดคะแนนมาก

ก. ล าพ ล าเจยก ล าดวน ข. ล าพ ล าดวน ล าเจยก ค. ล าเจยก ล าพ ล าดวน ง. ล าเจยก ล าดวน ล าพ

4. การวดคากลางของขอมล การวดคากลางของขอมลมหลายวธ แตละวธมขอดและขอเสย คากลางของขอมลทนยมใชมอย 3 ชนด คอ คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) มธยฐาน (Median) และฐานนยม (Mode) ขอมลทน ามาหาคากลาง แบงออกเปนขอมลทไมไดแจกแจงความถ(Ungrouped Data) และขอมลทแจกแจงความถแลว (grouped Data) วตถประสงคของการหาคากลางของขอมลกเพอน าไปใชเปนตวแทนของขอมลทงชดทมอยซงสะดวกทงในดานการจดจ าและการน าไปใช สญลกษณ (sigma) เปนสญลกษณแทนการบวก (summation)

สญลกษณ 1

N

i

i

x

แทนการบวกของขอมล ix ทกๆ คา i มคาตงแต 1 ถง N

4.1) คาเฉลยเลขคณต (Arithmetic Mean) 1. ขอมลไมไดแจกแจงความถ

1) คาเฉลยเลขคณต x

1 1 2 3 . . .

N

i

i N

xx x x x

xN N

ตวอยางท 1 จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลในแตละขอตอไปน

1) 2 , 4 , 6 ,7 , 8 , 9 2) 5 , 9 , 7 , 12 , 10 , 11 , 16 3) 28 , 20 , 37 , 31 , 32 , 28 , 27 , 32 , 26

18


4) 113 , 110 , 122 , 116 , 117 , 113 , 112 , 117 , 113 , 115

ตวอยางท 2 จากการตรวจสอบราคาน าผลไมขนาดบรรจ 250 มลลลตรทขายในรานคาแหงหนง จ านวน 5 ชนดเปนดงน 10 , 12 , 15 , 22 , 8 จงหาราคาเฉลยของน าผลไมทง 5 ชนดน ตวอยางท 3 คะแนนสอบของนกเรยน 15 คน ซงมคะแนนเตม 10 คะแนน เปนดงน

5 , 3 , 1 , 10 , 5 , 8 , 9 , 6 , 7 , 3 , 9 , 6 , 6 , 8 , 7 ถาถอเกณฑคนทสอบผานตองไดคะแนนมากกวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบ จะมผทสอบผานกคน ตวอยางท 4 ขอมลชดหนงม 8 จ านวน ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 11.5 ผลรวมของขอมลชดนเปนเทาไร ตวอยางท 5 อายเฉลยของนกศกษากลมหนงจ านวน 5 คน เทากบ 21.6 ป ถาอายของนกศกษาเปนดงน 19 , 22 , x , x , 27 ป จงหาคา x

19


ตวอยางท 6 ขอมลชดหนงม 5 จ านวน มคาเฉลยเลขคณตเปน 5 แตเนองจากขอมลไมชดเจนจงอานคาจาก 3

เปน 8 จงหาคาเฉลยเลขคณตทถกตอง

ตวอยางท 7 ขอมลชดหนงม 20 จ านวน คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบ 4 ตอมาพบวาผค านวณอานคาขอมลผดไป 2 จ านวน คออาน 0.8 เปน 8.0 และอาน 3.0 เปน 0.3 จงหาคาเฉลยเลขคณตทถกตอง ตวอยางท 8 ในกาสอบวชาคณตศาสตร 5 ครง แตละครงมคะแนนเตม 60 คะแนน ถาในการสอบ 4 ครงแรก ศตวรรษสอบ ไดคะแนน 25 , 31 , 42 และ 30 คะแนน จงหาวาเขาจะตองสอบครงสดทายใหไดคะแนนเทาไร จงจะมคะแนนเฉลย เทากบ 60% ของคะแนนเตม

20


ตวอยางท 9 ในการแขงขนกฬามหาวทยาลยโลกครงท 24 ซงประเทศไทยเปนเจาภาพมการสงรายชอนกกฬาจากประเทศ ไทย 379 คนมอายเฉลย 22 ป ถามการถอนตวนกกฬาไทยออก 4 คน ซงมอาย 24 , 25 , 25 และ 27 ปและมการ เพมนกกฬาไทยอก 5 คน ซงมอายเฉลย 17 ปแลว อายเฉลยของนกกฬาจากประเทศไทยจะเทากบขอใดตอไปน (ขอสอบ O-NET) ก. 6.21 ป ข. 7.21 ป ค. 8.21 ป ง. 9.21 ป ตวอยางท 10 ถาในป พ.ศ. 2547 คาเฉลยเลขคณตของอายของพนกงานของบรษทแหงหนงเทากบ 23 ป ในปตอมา บรษทไดรบพนกงานเพมขนอก 20 คน ท าใหคาเฉลยเลขคณตของพนกงานในป พ.ศ. 2548 เทากบ 25 ปและผลรวม ของอายของพนกงานเพมขนจากป พ.ศ. 2547 อก 652 ป เมอสนป พ.ศ. 2548 บรษทแหงนมพนกงานทงหมดจ านวน เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET)

ก. 76 คน ข. 96 คน ค. 326 คน ง. 346 คน

21


2) คาเฉลยเลขคณตรวม (Combined arithmetic mean)

1 1 2 2 3 31

1 2 3

1

. . .

. . .

k

i ik ki

kk

ii

N XN x N x N x N x

รวมN N N N

N

x

ตวอยางท 11 ขอมล 2 ชด ชดแรกม 5 จ านวน มคาเฉลยเลขคณตเทากบ 17 ชดทสองม 7 จ านวน มคาเฉลยเลขคณต เทากบ 11 จงหาคาเฉลยเลขคณตรวมของขอมลทงสองชดน ตวอยางท 12 นกเรยนชน ม.5 ของโรงเรยนแหงหนงจ านวน 50 คน มคาเฉลยเลขคณตของน าหนกเทากบ 57 กโลกรม คาเฉลยเลขคณตของน าหนกของนกเรยนชาย 35 คน เทากบ 60 กโลกรม จงหาคาเฉลยเลขคณตของน าหนกของ นกเรยนหญงชน ม.5 ตวอยางท 13 เงนเดอนเฉลยของพนกงานในบรษทแหงหนงเทากบ 10,000 บาท เงนเดอนเฉลยของพนกงานชายและหญง เทากบ 10,400 บาท และ 8,400 บาท ตามล าดบ จงหาอตราสวนของพนกงานชายตอหญง

22


ตวอยางท 14 นกเรยนชน ม.5 ของโรงเรยนแหงหนงซงม 3 หอง อตราสวนของจ านวนนกเรยนหอง ก:ข:ค เทากบ 6:7:8 คะแนนเฉลยของวชาคณตศาสตรหอง ก และ ข เทากบ 75 คะแนน คะแนนเฉลยวชาคณตศาสตรของ

ทงสามหองเทากบ 65 คะแนน จงหาคะแนนเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนหอง ค 3) คาเฉลยเลขคณตแบบถวงน าหนก (Weight arithmetic mean )

1 1 1 2 2 3 3

1 2 3

1

. . .

. . .

N

i i

i N n

N

Ni

i

w xw x w x w x w x

Xw w w w

w

ตวอยางท 15 ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนายคณต ในชนมธยมศกษาปท 4 เปนดงน

รหสวชา ค41101 ค42101 ค41102 ค41202

จ านวนหนวยกต 1 1.5 1 1.5 เกรด 2.5 3 3.5 2

เกรดเฉลยของวชาคณตศาสตร ของนายคณต ในชนมธยมศกษาปท 4 เทากบขอใดตอไปน(ขอสอบ O-NET) ก. 2.60 ข. 2.65 ค. 2.70 ง. 2.75

23


ตวอยางท 16 หองเรยนหองหนงมนกเรยน 50 คน ในการสอบวชาคณตศาสตรพนฐาน ปรากฏวาม 7 คน ไดเกรด 4 ม 12 คน ไดเกรด 3 ม 20 คน ไดเกรด 2 ม 8 คน ไดเกรด 1 นอกนนไดเกรด 0 จงหาเกรดเฉลยของนกเรยนทงหอง

2. ขอมลแจกแจงความถ 1. คาเฉลยเลขคณต

1 1 1 2 2 3 3 . . .

N

i i

i N N

f xf x f x f x f x

xN N

ตวอยางท 1 น าหนกของนกเรยน 20 คน ปรากฏดงตารางตอไปน จงหาคาเฉลยของน าหนกนกเรยน 20 คนน

น าหนก(กก.) 60 64 72 75 77 85 จ านวนนกเรยน 1 5 6 2 4 2

ตวอยางท 2 ตารางตอไปนเปนความสงของนกเรยนกลมหนง จงหาคาเฉลยของความสงของนกเรยนกลมน

ความสง(ซ.ม.) 92 97 102 107 112 117 112 จ านวนนกเรยน 4 10 14 24 16 9 3

24


กรณทมการแจกแจงความถเปนอนตรภาคชน 1. วธตรง

1 1 1 2 2 3 3

1 2 3

1

. . .

. . .

N

i i

i N N

N

Ni

i

f xf x f x f x f x

xf f f f

f

เมอ ix คอจดกงกลางชนท i

2. วธทอนคา

1

1

N

i i

i

N

i

i

f d

x A I

f

( ใชไดกรณทความกวางของอตรภาคชนเทากนเทานน )

เมอ A คอ จดกงกลางชนทม 0id ตวอยางท 3 จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลในตารางตอไปนโดยวธตรงและวธทอนคา

อนตรภาคชน ความถ 1 – 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 21 - 25

4 1 8 2 5

ตวอยางท 4 ตารางตอไปนเปนขอมลอาย(ป) ของคนกลมหนง จงหาคาเฉลยเลขคณตของคนกลมน

อาย(ป) จ านวนคน 11 – 15 16 – 20 21 – 25 26 – 30 36 – 35 36 – 40

3 10 20 11 5 1

25


ตวอยางท 5 ตารางแจกแจงความถของอายของสมาชกของสโมสรแหงหนง เปนดงน

อาย(ป) จ านวนคน

20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 - 54

22 48 60 36 22 10 2

จงหา อายเฉลยของสมาชกของสโมสรแหงน ตวอยางท 6 ถาตารางแจกแจงความถของขอมลชดหนง ซงมความกวางของแตละอนตรภาคชนเทากน เปนดงตอไปน

ชนท จดกงกลางของอนตรภาคชน ความถสะสม

1 2 3 4 5

. . .

. . .

. . . 25 30

8 16 36 40 50

จงหาคาเฉลยเลขคณตของขอมลในตารางขางบน

26


4.2) มธยฐาน(Median) มธยฐาน ( )Median คอ คาของขอมลทอย ณ ต าแหนงกงกลางเมอเรยงขอมลจากนอยไปมากแลว จะเขยนแทน ดวยสญลกษณ Med หรอ Mdn และ การหามธยฐานของขอมล ท าไดโดย

1. เรยงขอมลจากนอยไปมาก

2. หาต าแหนงของมธยฐานของขอมลทงหมด N คา จากสตร ต าแหนง 1

2

NMed

3. ค านวณหามธยฐาน

สมบตของมธยฐาน

1

N

i

i

x b

มคานอยทสดเมอ b med

ตวอยางท 1 จงหามธยฐานของขอมลในแตละขอตอไปน 1) 15 , 20 , 17 , 25 , 20 , 18 , 19 2) 7 , 8 , 6 , 13 , 17 , 9 , 10 , 9 , 11 , 12 , 3

3) 2 , 10 , 6 , 15 , 9 , 7 , 23 , 14 , 5 , 11 4) 7 , 8 , 4 , 9 , 14 , 5 , 7 , 8 , 10 , 19 , 17 , 29 ตวอยางท 2 จงหามธยฐานของขอมลในตารางตอไปน

iX 2 5 9 10 13 15

if 3 5 2 5 4 2

iX 4 3 10 6 8 2

if 5 3 8 3 4 1

27


1.3 ) ฐานนยม ( )Mode คอ คาของขอมลทปรากฏเปนจ านวนครงทมากทสด

ตวอยางท 1 จงหาฐานนยมของขอมลในแตละขอตอไปน

1) 3 , 4 , 5 , 9 , 10 , 5 , 3 , 4 , 5 , 8 2) 3 , 6 , 8 , 10 , 9 , 7 , 6 , 10 , 11 , 12 3) 4 , 5 , 7 , 9 , 9 , 5 , 6 , 7 , 3 4) 2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 , 8 , 8 , 9 , 9

ตวอยางท 2 ขอมลตอไปนเปนชนดของตนไมทปลกในสวนผลไมแหงหนง

ชนด จ านวน

มงคด 25 ทเรยน 20 เงาะ 27 สมโอ 13 ลองกอง 15

ฐานนยมเทากบ ………………..

ตวอยางท 3 จากการส ารวจยหอจกรยานยนตทคนชอบจ านวน 55 คน ปรากฏผลดงน

ยหอ จ านวน ฮอนดา 17 ยามาฮา 25 ซซก 8

ไทเกอร 5

ฐานนยมเทากบ ………………..

28


การวดการกระจายของขอมล การวดการกระจายเปนคาสถตทอธบายถงการกระจายของขอมลในชดขอมล ซงการกระจายอาจท าไดหลายวธดวยกน ทส าคญ คอ การวดการกระจายดวยพสย สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน ซงสามารถท าไดโดยอาศยสตรดงน

1) พสย (Range) คอ คาทใชวดการกระจายทไดจากผลตางระหวางขอมลทมคาสงสดและขอมลทมคาต าสด

ดงนน พสย = max minx x

2) สวนเบยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation) คอ คาการกระจายทใชขอมลทกคามาค านวณ โยมสตรในการค านวณดงน

- สวนเบยงเบนมาตรฐานของประชากร คอ

2

1

N

i

i

x x

N

หรอ 2

21

N

i

i

x

xN

สญลกษณ อานวา “ ซกมา ”

- สวนเบยงเบนมาตรฐานของกลมตวอยาง ใชสญลกษณ S หรอ . .S D

ดงนน

2

1

N

i

i

x x

SN

หรอ 2

21

N

i

i

x

S xN

3) ความแปรปรวน คอ ก าลงสองของสวนเบยงเบนมาตรฐาน

ใชสญลกษณ 2 ส าหรบประชากร และ 2S หรอ 2. .S D ส าหรบกลมตวอยาง

ดงนน

2

2 1

N

i

i

x x

SN

หรอ 2

22 1

N

i

i

x

S xN

29


ตวอยางท 1 จงหาคาเฉลย พสย สวนเบยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวนของอายของบตรในครอบครวหนงดงน 8 , 9 , 12 , 16 , 18 ป ตวอยางท 2 จงหาราคาเฉลย พสย สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของราคาปดของหนของบรษทแหงหนง

ซงอยในตลาดหลกทรพย โดยใชราคาปดของวนสดทายของเดอน 1 ถงเดอน 9 ดงน 14 , 27 , 31 , 35 , 49 , 51 , 67 , 73 , 103

30


ตวอยางท 3 อณหภมในหมบานแหงหนงทางภาคเหนอของประเทศซงวดทกวนท 1 ของทกๆเดอน ในปทผานมาเปนดงน เดอน ม.ค. ก.พ. ม.ค. เม.ย. พ.ค. ม.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค. อณหภม( oC ) 3 7 11 25 24 24 23 22 22 21 15 7

จงหาคาเฉลย พสย สวนเบยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลชดน การวดการกระจายของขอมลโดยใชสวนเบยงเบนมาตรฐาน เปนวธทนกสถตยอมรบวาเปนวธทใชวดการกระจายไดดทสด เพราะวาในการค านวณนนใชขอมลทกๆคาหรอตวแทนของขอมลทกคามาค านวณ ในการวดการกระจายโดยวธนนอกจากใหคาการกระจายทมความละเอยดถกตอง และเชอถอไดมากทสดแลว ยงสามารถน าไปใชในการวเคราะหขอมลสถตชนสงตอไป ขอมลทวไปไมวาจะเปนขอมลดานประชากร สงคม หรอเศรษฐกจ เชน สวนสง น าหนกของเดกแรกเกด ปรมาณและคณภาพของผลผลตการเกษตรแตละชนด ขอมลเหลานมกจะมการแจกแจงแบบปกต ซงมสมบตทส าคญบางประการคอ จ านวนขอมลทมอยในชวง 2 และ 2X S จะมประมาณรอยละ 95 ของจ านวนขอมลทงหมด ซงเปนไปตามกฎเกณฑทนยมเรยกวา “ The 95% Rule ” โดยทวไปไมวาขอมลจะมการกระจายในลกษณะใด จะมขอมลอยประมาณ 95% ของขอมลทงหมด

31


หมายเหต จาก The 95% Rule สามารถน าไปหาคาประมาณของสวนเบยงเบนมาตรฐานจากพสย โดยพจารณาวา ถาประมาณ 95% ของขอมลทงหมดอยในชวง 2 , 2X S X S แลวพสยมคาประมาณ 4 เทาของสวนเบยงเบน

มาตรฐาน นนคอ 4

RangeS

พนทภายใตเสนโคงปกต ( Standard score )

2x s 2x s จากรป จะพบวา ในชวง 2x s และ 2x s จะมขอมลจ านวนประมาณ 95% ระหวางชวงน

ตวอยางท 4 ในการสอบวชาสถตของนกเรยนจ านวน 2,000 คน ปรากฏวา คาเฉลยเลขคณตของคะแนน สอบเทากบ 54 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 4 คะแนน จ านวนนกเรยนทไดคะแนนอย ระหวาง 46 – 62 คะแนนมทงหมดประมาณกคน ตวอยางท 5 ในการสอบวชาสถตของนกเรยนจ านวน 500 คน ปรากฏวา คาเฉลยเลขคณตของคะแนน สอบเทากบ 45 คะแนน และสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 3 คะแนน จ านวนนกเรยนทไดคะแนนอย ระหวาง 39 – 51 คะแนนมทงหมดประมาณกคน

32


ตวอยางท 6 จงหาสวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลในแตละขอตอไปนโดยใชการประมาณคาจากพสย 1) 3 , 5 , 4 , 8 , 6 , 10 , 5 , 6 , 5 , 6

2) 4 , 7 , 8 , 10 , 6 , 5 , 9 , 12 , 15 , 17 ตวอยางท 7 รานอาหารแหงหนงมความคดทจะบรการสงอาหารใหกบลกคาทอยในบรเวณใกลเคยงกบราน และจะสงให

ลกคาภายใน ครงชวโมง ถาผจดการทดลองสงอาหารใหกบลกคากลมหนง และพบวาคาเฉลยของเวลาทใชสงอาหารเปน 25 นาท สวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 5 นาท อยากราบวา อยางเรวทสดและอยางชาทสดพนกงานจะสามารถสงอาหารใหกบลกคาสวนใหญใชเวลาประมาณกนาท

33


แผนภาพกลอง ( Box-and-Whisker ) นอกจากการวดการกระจายโดยใชพสยและสวนเบยงเบนมาตรฐานแลว เรายงสามารถใชความรเรอง ควอรไทลและสรางแผนภาพทเรยกวา แผนภาพกลอง มาชวยในการอธบายการกระจายของขอมลไดอกดวย เชน จากคะแนนสอบของนกเรยนในวชาคณตศาสตรของนกเรยนจ านวน 19 คน ดงน

58 , 56 , 50 , 53 , 50 , 53 , 43 , 56 , 56 , 46 , 51 , 52 , 60 , 49 , 53 , 67 , 70 , 55 , 44

ซงสามารถสรางเปนแผนภาพกลองไดดงน ตวอยางท 8 คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนง ปรากฏผลดงน 12 , 23 , 29 , 35 , 47 , 50 , 59 , 67 , 67 , 77 , 80 , 82 จงสรางแผนภาพกลองเพอแสดงขอมลขางตน

34


ขอสอบ O-NET สถตและการวเคราะหขอมล 1) พนกงานโรงงานแหงหนงจ านวน 1,000 คน ไดรบเงนเดอนเฉลยคนละ 8,000 บาท มสวน เบยงเบนมาตรฐาน

1,000 บาท ถาการกระจายของเงนเดอนพนกงานโรงงานแหงนเปนแบบปกตแลว ขอสรปในขอใดตอไปน ผด ก. พนกงานจ านวนนอยกวา 100 คน ไดรบเงนเดอนนอยกวา 6,000 บาท ข. พนกงานอยางมาก 930 คน ไดรบเงนเดอนมากกวาหรอเทากบ 6,000 บาท ค. พนกงานทไดรบเงนมากกวา 10,000 บาท มจ านวนนอยกวา 70 คน ง. ถาในปตอไปพนกงานไดรบเงนเดอนเพมขนคนละ 400 แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของเงนเดอนพนกงาน

โรงงานนเทาเดม

2) จากการทดสอบนกเรยนจ านวน 100 คนใน 2 รายวชา แตละรายวชามคะแนนเตม 150 คะแนน ถา ผลการทดสอบทงสองรายวชา เขยนเปนแผนภาพกลองไดดงน แลว ขอสรปในขอใดตอไปนถก ก. คะแนนสอบทงสองรายวชามการแจกแจงแบบปกต ข. จ านวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 1 มากกวา จ านวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 2 ค. คะแนนสงสดทอยในกลม 25 % ต าสด ของผลการสอบรายวชาท 1 นอยกวา คะแนนสงสดทอยในกลม 25 % ต าสด ของผลการสอบรายวชาท 2 ง. จ านวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60 – 80 ในการสอบรายวชาท 2 นอยกวาจ านวนนกเรยนทไดคะแนนในชวงเดยวกน ในการสอบรายวชาท 1

คะแนนสอบรายวชาท 1

0 20 40 60 80 100 120 140

คะแนนสอบรายวชาท 2

35


3) จากแผนภาพกลองของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนจ าแนกตามเพศเปนดงน

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

ก. คะแนนสอบเฉลยของวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายสงกวาคะแนนสอบเฉลย ของวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง ข. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายมการกระจายเบขวา ค. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายมากกวาคะแนนสอบ วชาคณตศาสตรของนกเรยนชาย ง. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายเบขวา

4) คะแนนสอบความรทวไปของนกเรยน 200 คน น าเสนอโดยใชแผนภาพกลองดงน

10 12 16 18 24 ขอใดเปนเทจ

ก. จ านวนนกเรยนทท าได 12 ถง 16 คะแนน มเทากบ จ านวนนกเรยนทท าได 16 ถง 18 คะแนน ข. จ านวนนกเรยนทท าได 12 ถง 18 คะแนน มเทากบ จ านวนนกเรยนทท าได 18 ถง 24 คะแนน ค. จ านวนนกเรยนทท าได 10 ถง 12 คะแนน มเทากบ จ านวนนกเรยนทท าได 18 ถง 24 คะแนน ง. จ านวนนกเรยนทท าได 10 ถง 16 คะแนน มเทากบ จ านวนนกเรยนทท าได 16 ถง 24 คะแนน

5) ก าหนดใหขอมลชดทหนงซงประกอบดวย 1 2 3 10, , , . . . ,x x x x มคาเฉลยเลขคณต เทากบ x และ ขอมลชดทสองซงประกอบดวย 1 2 3 20, , , . . . ,y y y y มคาเฉลยเลขคณตเทากบ y โดยท

2 210 20

1 1

160 , 110i i

i i

x x y y

และ x y

ถาน าขอมลทงสองชดมารวมเปนชดเดยวกนและ สวนเบยงเบนมาตรฐานของขอมลชดใหม เทากบขอใดตอไปน

ก. 3 ข. 5 ค. 7 ง. 9

100 0

คะแนนสอบของนกเรยนชาย

คะแนนสอบของนกเรยนหญง

36


6) เมอสองปกอน นกเรยนหองหนงม 30 คน แบงออกไดเปนสองกลม กลมทหนงม 10 คน ทกคนมอาย 10 ป และกลมทสองม 20 คน มอายเฉลย 8.5 ป

ถาความแปรปรวนของอายนกเรยนในกลมทสอง เทากบ 0 แลว ในปจจบน ความแปรปรวนของอาย นกเรยนหองน เทากบขอใดตอไปน

ก. 2

1

ข. 3

2

ค. 2

5

ง. 3

8

7) ขอมลชดหนงมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 20 มธยฐานเทากบ 25 และฐานนยมเทากบ 30 ขอสรปใดตอไปนถกตอง ก. ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางซาย ข. ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายทเบทางขวา ค. ลกษณะการกระจายของขอมลเปนการกระจายแบบสมมาตร ง. ไมสามารถสรปลกษณะการกระจายของขอมลได

8) ในการสอบของนกเรยนหองหนง ซงม 60 คน ไดคะแนนรวมทงหมด 1320 คะแนน โดยมความแปรปรวนของคะแนนสอบเทากบ 100 ถามนกเรยน 10 คน ไดคะแนนคนละ 32 คะแนน คะแนนสอบ ของนกเรยน 50 คน ทเหลอมความแปรปรวนเทากบขอใดตอไปน ก. 96 ข. 98 ค. 100 ง. 102

9) ขอมล 4 จ านวนมคาดงน 5 , a , b , 1 โดยท 1 a < b ถาขอมลชดนมคาเฉลยเลขคณตเทากบ 4 คาความแปรปรวนเทากบ 5 แลว b – a มคาเทากบขอใดตอไปน

ก. 2 ข. 4 ค. 6 ง. 8

Education

บทที่ 1 สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล