72522308-Nota-Ulangkaji-MTE3114-Topik-1-2-Kecil-1

NOTA ULANGKAJI

MTE3114 – APLIKASI MATEMATIK

TOPIK 1: MATEMATIK DALAM KEHIDUPAN SEHARIAN

Peranan Matematik dalam Teknologi Moden

Makna Matematik

Matematik adalah satu kajian tentang pola

•Banyak teori atau konsep dalam matematik adalah berasaskan pola

•Contoh:•Segitiga nombor (triangular numbers)

•Nombor persegi (square numbers)

Matematik adalah satu kajian hubungan

•Matematik juga mengkaji perhubungan antara pembolehubah-pemboleh ubah tertentu.

•Contoh:

Matematik adalah satu cara berfikir

•Matematik juga mengetengahkan cara berfikir untuk mendapatkan sesuatu keputusan atau menyelesaikan masalah.

•Contoh:

•Penaakulan dalam matematik: •A adalah C•B adalah C •Maka A adalah B

•4 langkah penyelesaian masalah menggunakan model Polya

Oleh: Cg Mohd Ridzuan al-Kindy (IPG KDRI)

Matematik adalah satu alat kehidupan seharian

•Matematik telah menjadi suatu alat yang sangat penting dalam kehidupan seharian.

•Kita mengunakan matematik dalam •Perniagaan•Perjalanan / Perantauan •Makanan•Pendidikan•Merancang•Bekerja dan sebagainya

•Contoh:•Penggunaan alat pengukuran•Penggunaan jam dalam menentukan masa dan tempoh

•Penggunaan kalkulator dalam membuat pengiraan

Matematik sebagai seni

•Matematik juga boleh dikatakan sebagai suatu seni.

•Terdapat banyak rekabentuk seni yang unik berasaskan pengetahuan dan kemahiran matematik yang tertentu.

•Contoh:•Tesselasi

•Friese dan mozek

Matematik sebagai bahasa

•Bahasa dalam matematik adalah hukum, teori Matematik dan formula yang dihubungkan dengan simbol-simbol.

•Matematik mempunyai bahasa dan operasi yang unik.

•Ahli matematik telah merekabentuk bahasa matematik dari semasa ke semasa sehinggalah menjadi suatu simbol dan hukum matematik yang universal.

•Contoh:•Hukum Cummutative• + = +•Teori sudut pada suatu garis lurus

•Formula isipadu prisma

Nota Padat MTE3114 – Aplikasi Matematik | 1

Matematik sebagai instrumen rekreasi

sebagaisebuah insrumen rekreasi.

•Aktiviti rekreasi yang melibatkan penciptaan bentuk dan corak yang menarik, kajian pola nombor, magic square dan permainan seperti permainan catur adalah sangat berkait rapat dengan Matematik.

•Contoh:•Susunan blok / bongkah

•Magic Square

•Tangram

•Permainan komputer•Angry bird - mengaplikasikan pemilihan sudut yang bersesuaian untuk menuju sasaran

Bidang-bidang Matematik

Kuantiti Ruang Perubahan Struktur

Dasar dan Matematik Matematikfalsafah diskret gunaan

Kuantiti o Kajian kuantiti adalah kajian berkaitan dengan

nombor dan aritmetik (pengiraan yang melibatkan nombor dan operasi).


Ruang o Kajian tentang ruang adalah bertitik tolak

daripada geometri (geometri Euclid) yang berkembang kepada beberapa pecahan bidang kajian ruang.

Perubahan o Kajian tentang perubahan adalah bertitik tolak

daripada kalkulus yang mengkaji perubahan antara pembolehubah / faktor-faktor yang berkaitan.

Struktur o Banyak objek matematik seperti set nombor dan

fungsi, menunjukkan struktur dalaman. Sifat struktur objek-objek ini diselidiki dalam kajian kumpulan, gelanggang, medan dan sistem abstrak yang lain.


o Teori nombor boleh dibahagikan kepada beberapa subbidang, berdasarkan kaedah yang digunakan dan jenis persoalan yang dikaji: Teori nombor asas Teori nombor analisis Teori nombor algebra Geometri nombor Teori nombor kombinatorik Teori nombor pengiraan geometri algebra aritmetik Topologi aritmetik Dinamik aritmetik

Bentuk modular

Dasar dan falsafah o Untuk menjelaskan dasar matematik, bidang

logik matematik dan teori set telah dibangunkan.

o Teori kategori memberi penyelesaian secara abstrak dengan struktur matematik dan hubungan misalnya konsep fungsi (fungsi gubahan, fungsi songsangan dan sebagainya)

Matematik diskret o Matematik diskret adalah satu bidang yang

mengkaji struktur matematik yang bersifat diskret, iaitu yang saling tidak berhubungan (tidak selanjar).

o Topik-topik dalam matematik diskret: Sains komputer (teori) Teori maklumat Logik Teori set Kombinatorik Teori graf Kebarangkalian Teori nombor Algebra Kalkulus pembezaan terhingga, kalkulus

diskret atau analisis diskret


Geometri diskret dan geometri pengiraan Penyelidikan operasi Teori permainan, teori keputusan, teori utiliti,

teori pilihan sosial Pendiskretan Analog diskret matematik selanjar Diskret hibrib dan matematik selanjar

Matematik gunaan o Matematik gunaan adalah satu cabang

matematik yang berkaitan dengan teknik matematik yang digunakan dalam aplikasi ilmu matematik untuk domain yang lain.


Aplikasi Bidang-bidang Matematik dalam Teknologi Moden

Aplikasi dalam Teknologi Moden

Perniagaan – pengiraan yang berkaitan perniagaan menggunaan kemahiran aritmetik.

Mark up = harga jualan – kos barang

% mark up drpd kos barang =

% mark up drpd harga jualan =

Harga jualan = Kos barang (100% + % mark up drpd kos barang)

Mark down = Harga asal – harga jualan

% mark down =

Harga jualan =

Ku

anti

ti Perbankan dan pelaburan – pengiraan kadar %faedah dan keuntungan.

Pendidikan – penggunaan aplikasi komputer bagi pengiraan markah dan kedudukan murid dalam bilik darjah seperti Microsoft Office Excel.

Rekabentuk hiasan dalam menggunakan teori asas geometri seperti susunan mozek di lantai, susun atur perabut untuk memperlihatkan ruang yang luas dan sebagainya.

Ru

ang


Rekabentuk pembinaan jambatan yang bersesuaian yang mengambil kira panjang jambatan, muatan atau berat yang ditanggungnya, keadaan cuaca dan lokasi.

Kajian topologi peta yang melibatkan struktur geografi tanah dalam peta – kawasan tanah tinggi, tanah pamah, kawasan tadahan hujan dan sebagainya.

Astronomi – teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk hitung jarak ke bintang-bintang terdekat dalam geografi untuk hitung antara titik tertentu dan dalam sistem navigasi satelit

Penentuan waktu solat fardu melalui sudut kedudukan matahari


Per

ub

ahan

Str

ukt

ur

Pembinaan – penetapan kadar air keluar dari tangki (pembezaan kalkulus), isipadu tangki air yang boleh dibina (pengamiran tentu)

Pembinaan roller coster – kalkulus sebenarnya diaplikasikan bagi menentukan persamaan yang tepat bagi mewakili setiap segmen roller coaster. Kecerunan dan sambungan yang tepat harus ditentukan supaya pengguna selamat menggunakannya. (Pembezaan peringkat kedua – second degree differentiation - turning point, stationery point)

Sistem rangkaian – rangkaian dalam sesebuah organisasi yang berstruktur melibatkan sambungan peranti seperti komputer, pencetak, pengimbas, sambungan internet, router dan pelayan (server) D

asa

r d

an

fal

safa

h


Biologi – Pengkajian struktur kromosom x dan y yang diwakilkan strukturnya dengan nombor jujukan tertentu. Di dalam setiap kromosom pula terdapat struktur-struktur tret (trait) yang diwakilkan dengan nombor.

Penciptaan bahan elektronik – penggunaan get logik dalam bahan elektronik mengaplikasikan logikal matematik. Keputusan (output) yang dikeluarkan oleh sesuatu peranti elektronik bergantung kepada jenis get logik yang digunakan.

3 get logi asas: o TAK ( = ̿= )

Input, A Output, X0 11 0

oDAN ( = Input∙)

OutputA B X0 0 00 1 01 0 01 1 1

o ATAU ( )Input Output

= +

A B X0 0 00 1 11 0 11 1 1

Penggunaan get logik yang digabungkan adalah melibatkan litar elektronik dalam peranti seperti: o Penggera kebakaran o Kipas / lampu automatik

Sains sosial – mengumpul data dan membuat pengelasan data mengikut ciri-ciri tertentu dengan mengaplikasikan teori set. Ciri-ciri yang boleh dikelaskan antaranya adalah: o Bangsa / keturunan o Agama o Jenis-jenis darah dan sebagainya.


Matematik Sebagai Aktiviti Budaya yang Berterusan

Friezes (Dekorasi Dinding) Friezes – satu konsep matematik untuk mengklasifikasikan corak pada permukaan dua dimensi yang berulang-ulang dalam satu arah, berdasarkan Simetri dalam corak. Terdapat 7 corak dekorasi dinding asas yang pengaplikasikan konsep penjelmaan (transformation) dalam matematik yang kongruen (tidak melibatkan pembesaran / enlargement). John Conway mencipta nama-nama yang berkaitan dengan jejak langkah bagi setiap kumpulan dekorasi dinding (F1 hingga F7)

o F1 – Hop Melibatkan translasi ke sisi Corak asas:

Contoh corak: dekorasi dinding Sempadan Alcazar de los Reyes Cristianos, Cordoba, Sepanyol

o F2 – Step Melibatkan translasi ke sisi dan

pantulan glide Corak asas:

o F3 – Sidle Melibatkan translasi dan pantulan

secara menegak dan simetri Corak asas:

Contoh corak: dekorasi dinding Palacio de Velazquez Parque de Retiro Madrid, Sepanyol

o F4 – Spinning hop Melibatkan translasi dan putaran

(separuh pusingan) Corak asas:

Contoh corak: Meander Frieze San Giorgio Maggiore, Venice, Italy


o F5 – Spinning sidle Melibatkan translasi, pantulan glide dan

putaran (separuh pusingan) Corak asas:

Contoh corak: Mosaic Nuestra Senora de la Almundena, Madrid, Spain

o F6 – Jump Melibatkan translasi dan pantulan Corak asas:

Contoh corak: Ceiling Mezquita, Cordoba, Spain

o F7 – Spinning jump Melibatkan ketiga-tiga translasi,

pantulan dan putaran Corak asas:

Contoh corak: Back of a Bench, Banos de la Maria de Padilla Reales Alcazares, Seville, Spain

Mosaic (Mozek) Mosaic adalah seni mewujudkan imej-imej dengan himpunan kepingan kecil kaca berwarna, batu atau bahan-bahan lain. Ia boleh menjadi satu teknik seni hiasan, aspek hiasan dalaman, atau kepentingan budaya dan rohani seperti di beberapa tempat terkenal tamadun dunia. o Roman mosaic


o Etruscan mosaic

o Girih – islamic comlex mosaic

o Dome of the Rock, Palestin

Asas Matematik Kontemporari

Matematik kontemporari adalah jambatan kepada ilmu dan pengetahun matematik. Ia menghubungkan pelbagai disiplin ilmu matematik untuk menjadikannya lebin berkembang dan moden.

Contoh:


o Gabungan algebra dan kakulus untuk ruang vector

o Gabungan teori nombor asas dan nombor asas dua untuk sistem Binari.

Sistem BinariSebuah sistem mempersembahkan nombor menggunakan asas 2. Nombor-nombor (1, 2, 3, 4, 5, ...) dipersembahkan dengan diwakili dengan digit 0 dan 1. Ahli matematik melihat sistem binari ini sebagai suatu alat berkembangnya ilmu sains komputer dan kecanggihan peranti elektronik.

Contoh: Nombor desimal Sistem binari

0 01 12 103 114 1005 1016 1107 1118 10009 1001

10 1010. .. .. .

32 100000Secara ringkasnya, nilai tempat bagi sistem binari adalah:

25 24 23 22 21 20

1 0 0 0 0 1

100001 = (1 x 25) + (1 x 20)= 32 + 1= 33 (nombor desimal)

Sistem binari ini digunapakai secara meluas dalam kebanyakan peranti dan litar elektronik yang menggunakan get logik (yang mana input dan outputnya diwakili oleh digit 0 dan 1)Contoh peranti yang menggunakan sistem binari: o Kalkulatoro Komputero Mesin taip elektronik

Penggunaan sistem binari dalam kod ASCII: o ASCII - American Standard Code

for Information Interchangeo Digunakan secara meluas dalam bidang

mikrokomputero Kod ASCII mewakili symbol pada papan kekunci

komputer. Terdapat 127 kod ASCII yang mewakili 127 simbol kesemuanya.

o Contoh kod ASCII:

Simbol ASCII Sistem Binaric 99 01100011a 97 01100001

space 32 00100000


TOPIK 2: KOD KLASIKAL DAN CIPHERS

Pengenalan kepada Kod dan CiphersMenurut William F. Friedman, penciptaan tulisan merupakan permulaan sebenar tamadun. Tetapi tidak lama selepas tulisan benar-benar diwujudkan, pelbagai manusia menjumpai keperluan tulisan yang hanya boleh dibaca oleh penerima yang dimaksudkan, tetapi tidak orang lain.

Kod – menggunakan simbol-simbol atau kumpulan huruf untuk mewakili perkataan atau frasa. o Kod, seperti yang digunakan dalam mesej

menghantar, mungkin koleksi huruf yang mudah seperti SOS bukan rahsia, yang bermaksud, "Saya menghadapi masalah dan saya meminta bantuan."

o Untuk mesej yang lebih kompleks, kedua-dua penghantar dan penerima memerlukan Buku Kod.

o Buku Kod adalah senarai kombinasi huruf dan apa yang mereka maksudkan.

o Penerima akan menyemak kumpulan huruf dan kemudian menterjemahkannya dalam bentuk frasa untuk mendapatkan maksud mesej.

o Contoh: Buku Kod Frasa Lengkap Bentley

DIZUH (contracts for)DAELF (computing)FEAVO (equipment)RUGUB (has/have been signed)KUKIB (New York)CUGYA (commence)OKGAP (production)ICSCO (immediately).

Kod : DIZUHDAELF FEAVORIGUB KUKIBCUGYA OKGAPICSCO

Mesej : "Contracts for computing Equipment have been signed [in] New York Commence production immediately.”

Bagi seseorang tanpa Kod Buku tersebut, mesej itu akan dibaca tanpa menyedari mesej itu sebenarnya dihantar bagi tujuan ekonomi, bukan keselamatan.

Ciphers – di mana satu huruf diganti dengan yang lain, sama ada mudah atau skim kompleks. o Ciphers telah digunakan sejak sekurang-

kurangnya Rom Purba.o Walau bagaimanapun, terdapat tanda-tanda

dalam tulisan kuno bahawa mereka telah menggunakannya lebih awal daripada itu.

o Secara asasnya, sesuatu teks biasa (plain text) itu ditukarkan kepada teks cipher (cipher text) bagi membolehkan sesuatu mesej dihantar tanpa diketahui orang yang tidak berkenaan.


o Contoh: Cipher Ceasar

Proses menggantikan setiap huruf dalam abjad dengan abjad pada kedudukan ketiga seterusnya.a = D b = E c = F d = G e = H

Oleh itu, “code" akan diwakili oleh FRGH.

Teks biasa: code Teks cipher: FRGH

Perkembangan Ciphers

Terdapat dua kategori cipher: o Transposisi o Penggantian

Transposisi ( Tranposition )

Cipher transposisi melibatkan penyusunan semula huruf (atau kumpulan huruf) mengikut sistem yang mudah dan yang telah dipersetujui antara pengirim dan penerima.

Railfence cipher o Cipher yang melibatkan hurufnya ditulis

berasingan pada garis atas dan garis bawah (secara zig zag, ke atas dan ke bawah)

Teks biasa : APLIKASI MATEMATIK

Railfence : A L K S M T M T KP I A I A E A I

Teks Cipher : ALKSMTMTK PIAIAEAI

Route cipher o Cipher yang melibatkan mesejnya ditulis ke

bawah mengikut dimensi yang telah ditetapkan, disusun semula dengan kekunci tertentu.


o Teks biasa ditulis dalam dimensi tertentu yang ditetapkan. Teks biasa ditulis ke bawah.

Dimensi : 3 baris

A I S A M IP K I T A KL A M E T

Kemudian disusun mengikut kekunci tertentu yang ditetapkan.

Kekunci : Ke dalam lingkaran, ikut arah jam, bermula dari sebelah kanan atas


Teks cipher : IKTEMALPAISAMATIK

* Penetapan dimensi dan kekunci tertakluk kepada persetujuan antara pengirim dan penerima.

Columnar Cipher o Cipher yang melibatkan mesejnya ditulis dalam

lajur (column) berdasarkan perkataan kekunci (satu perkataan) yang ditetapkan, dan kemudian mesejnya ditulis semula mengikut lajur dan ruang yang dipilih secara berselerak (berdasarkan kedudukan huruf dalam susunan alphabet).

Teks biasa : APLIKASI MATEMATIKA

o Bilangan lajur ditentukan berdasarkan bilangan huruf pada perkataan kekunci.

Perkataan kekunci: FUNGSI

o Teks biasa disusun di setiap lajur, satu huruf demi satu huruf (di bawah perkataan kekunci):

Ked. dalamF U N G S I

1 6 4 2 5 3susunan huruf

A P L I K AMesej S I M A T E

M A T I K A

o Teks kemudiannya ditulis semula mengikut turutan lajur.


Teks cipher : AAK ILP ITA MAK AMI SET

Latin Square o Ia terdiri daripada siri perkataan 5 huruf yang

disusun dalam segiempat, yang dijumpai pada dinding villa Rom di Pompeii dan Cirencester.

o Latin Square dibaca sebagai ‘rotas opera rukun arepo sator', yang secara kasarnya bermaksud 'orang yang memberi panduan kepada pembajak untuk menuai benih '.

o Segi empat Latin Square adalah simetri - ianya boleh dibaca dari kiri ke kanan, kanan ke kiri, ke atas atau ke bawah.

o Namun, terdapat mesej tersembunyi dan hanya pengirim dan penerima yang tahu bagaiman cara membaca mesej yang tersembunyi. o

Penerima mesej bagi Latin Square adalahpenganut krsitian.

o Mesej yang cuba disampaikan selepas menyusun semula huruf (transposisi):

Teks cipher : ASM IAI AEA LMT KTK PIA

o Cipher ini kemudiannya berkembang kepada Double Transposition Columnar Cipher.Mesej yang telah ditransposisi, ditukarkan lagi melalui proses yang sama.

o Ini bagi menjadikan mesej lebih sukar diterjemahkan. Ia mula digunakan semasa Perang Dunia I oleh tentera Jerman.

Perkataan kekunci: FUNGSI

F U N G S I

Ked. dalam1 6 4 2 5 3

susunan hurufA S M I A I

Mesej A E A L M TK T K P I A

1. 'Paternoster' diulangi dua kali, yang bermaksud 'bapa kami 2. Paternosters membentuk salib, yang mempunyai kepentingan Kristian. 3. Yang ditinggalkan A dan O, yang mewakili yang alfa dan omega, yang awal dan akhir, juga signifikan dengan ajaran Kristian.

o Latin Square diletakkan di sebelah rumah yang menawarkan perlindungan kepada penganut Kristian.


Syctale o Syctale adalah alat ini yang digunakan untuk

melaksanakan cipher transposisi, yang terdiri daripada silinder kayu yang digulung padanya jalur kertas dan di sekitarnya ditulis mesej yang hendak disampaikan.

o Setelah mesej itu ditulis, gulungan kertas itu dibuka dan dihantar kepada penerima.

o Penerima hanya boleh membacanya dengan penggunakan silinder yang sama diameternya.

o Orang-orang Yunani kuno, dan orang Sparta khususnya, dikatakan telah menggunakan cipher ini untuk berkomunikasi semasa kempen ketenteraan untuk peperangan.

Kelebihan:Mesej lebih mudah diterjemah dan kesilapan penterjemahan sangat kurang.

Kelemahan:Jalur kertas mudah koyak

Penggantian ( Subtitution )

Cipher penggantian ialah proses huruf (atau kumpulan huruf) menggantikan seluruh mesej surat yang lain (atau kumpulan huruf) dengan suatu sistem penggantian yang telah dipersetujui antara pengirim dan penerima.

Cipher Ceasar o Proses setiap huruf dalam teks biasa digantikan

dengan huruf yang digerakkan daripada kedudukan asal sebanyak beberapa kedudukan tetentu.

o Ceasar memperkenalkan cipher ini dengan pergerakan sebanyak tiga kedudukan. (A = D, B = E, C = F dan seterusnya)

Biasa: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Cipher: DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC

o Contoh Cipher Ceasar:


Teks cipher : DSOLNDVL PDWHPDWLN


Cipher Kamasutra / Vatsyayana o Kamasutra adalah sebuah kitab lama India yang

ditulis dalam abad ke-4 oleh Brahmin sarjana Vatsyayana.

o Kamasutra menyarankan bahawa wanita perlu mengkaji 64 seni, termasuk memasak, seksual,

berpakaian, urut, dan penyediaan minyak wangi. o Nombor 45 dalam senarai itu adalah mlecchita-

vikalpa, seni tulisan rahsia, yang menyokong untuk membantu wanita menyembunyikan butir-butir komunikasi mereka.

o Salah satu teknik yang disyorkan adalah Cipher Kamasutra yang memasangkan 26 huruf secara rawak, dan kemudian menggantikan setiap huruf dalam mesej asal dengan rakan kongsinya.

o Contoh Cipher:

* Huruf A digantikan dengan huruf R * Huruf X digantikan dengan huruf F


Teks cipher : RNJQZRCQ URETUREQZ

Cipher Pigpen o Cipher ini telah digunakan oleh Freemason

pada abad ke-18 untuk menyimpan maklumat sulit.

o Cipher ini tidak menggantikan satu huruf yang lain tetapi ia menggantikan setiap huruf untuk simbol.

o Abjad ditulis dalam grid-grid yang ditunjukkan, dan maka setiap huruf dicipher dengan menggantikannya dengan simbol yang sepadan dengan bahagian grid abjad tersebut.

o Contoh cipher:


Teks cipher :



Cipher Atbash o Contoh cipher:o Proses penggantian yang mudah dimana cipher

Teks biasa : APLIKASI MATEMATIKbagi setiap huruf dipasangkan dengan 26 hurufKekunci : MUDAHyang disusun secara terbalik.

Teks biasa dipasangkan dengan huruf padakekunci (huruf pada kekunci diulang sehinggakesemua huruf teks biasa dipasangkan)

APLIKASIMATEMATIK

MUDAHMUDAHMUDAHMU


Proses cipher berlaku dengan merujuk pada

Teks cipher : ZKORPZHR NZGVNZGRP kotak Vigenère untuk melihat huruf-huruf yangdi cipherkan.

Cipher Affine APLIKASIMATEMATIKo Cipher ini melibatkan proses huruf dalam abjad MUDAHMUDAHMUDAHMU

dipetakan bersamaan angka.o Ianya diselitkan dengan penggunakan fungsi

matematik yang mudah dan ditukar kembali MJOIRMMLMHFYPAAUEkepada huruf.

General monoalphabetic ciphero Cipher ini melibatkan penggantian setiap huruf

dalam teks biasa dengan satu huruf cipher yangdisusun secara rawak.

Teks biasa : APLIKASI MATEMATIK o Kebarangkalian susunan bagi setiap huruf adalah sebanyak 26! = 4 x

1026.Teks cipher : 0 15 11 8 10 0 18 8 12 0

19 4 12 0 19 8 10

Vigenère / Polyalphabetic ciphero Cipher adalah lebih kompleks di mana ianya

menggunakan teks biasa dan kekunci untukmenjalankan proses menggantikan huruf cipher

ke dalam teks biasa. Teks biasa : APLIKASI MATEMATIK

Teks cipher : NHGXCNVX LNKILNKXC

Transposisi VS Penggantian

Transposisi PenggantianSebuah sistem cipher yang telah dipersetujui antara

pengirim dan penerima.Cipher transposisi Cipher penggantianmelibatkan ialah proses hurufpenyusunan semula (atau kumpulan huruf)huruf (atau kumpulan menggantikan seluruhhuruf) mengikut mesej surat yang lainsistem tertentu. (atau kumpulan huruf)

dengan suatu sistemtertentu.

Unit-unit (huruf-huruf) Unit-unit (huruf-huruf)bagi teks biasa bagi teks biasadisusun semula dalam dikekalkan dalamsusunan yang susunan yang samaberbeza dan biasanya dalam ciphertext,agak kompleks tanpa tetapi unit sendirimengubah unit itu diubah.sendiri.


Documents

72522308-Nota-Ulangkaji-MTE3114-Topik-1-2-Kecil-1