คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เร่ือง

การนับและความนาจะเปน (เนือ้หาตอนที่ 1) การนับเบือ้งตน

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจด ี

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมอืระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธกิาร

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1

สื่อการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน

ส่ือการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซ่ึงประกอบดวย

1. บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน

- กฎเกณฑเบื้องตนเกีย่วกับการนับ - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(ส่ิงของแตกตางกนัทั้งหมด)

3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปล่ียน - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (ส่ิงของไมแตกตางกันทั้งหมด) - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู - วิธีจัดหมู

5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบททวนิาม - ทฤษฎีบทอเนกนาม

6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม - การทดลองสุม - ปริภูมิตัวอยาง - เหตุการณและความนาจะเปน

7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1 - สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน - การหาความนาจะเปนแบบงาย

8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2 - การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ - การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1) 10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2) 11. แบบฝกหัด (ขัน้สูง) 12. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ 13. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง การเรียงสับเปล่ียน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2

14. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ทฤษฎีบททวินาม 15. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ความนาจะเปน 16. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง การใสบอลลงกลอง

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา ส่ือการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ

ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชส่ือชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เร่ือง การนับและความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูช่ือเร่ือง และชื่อตอนไดจากรายชื่อส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3

เร่ือง การนับและความนาจะเปน (การนับเบื้องตน) หมวด เนื้อหา ตอนที่ 1 (1/7) หัวขอยอย 1. กฎเกณฑเบื้องตนเกีย่วกบัการนับ 2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(ส่ิงของแตกตางกันทั้งหมด)

จุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียน

1. เขาใจและสามารถใชหลักการบวกและหลกัการคูณในการหาจํานวนวิธีในการนับได 2. สามารถหาจํานวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่ส่ิงของแตกตางกันทั้งหมดได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

ผูเรียนสามารถ 1. อธิบายหลักการบวกและหลกัการคูณได 2. ประยุกตใชหลักการบวกและหลักการคูณในการหาจํานวนวิธีในการนบัได 3. อธิบายวิธีหาและหาจํานวนวิธีในการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่ส่ิงของแตกตางกัน

ทั้งหมดได

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4

เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5

1. กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6

1. กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

ในหวัขอนี้ผูเรียนจะไดศกึษาเรื่องกฎเกณฑเบื้องตนเกีย่วกบัการนับ ซ่ึงประกอบดวยหลักการคูณและหลักการบวก ซ่ึงเปนพื้นฐานสําคัญในเรื่องของการนับ

ตัวอยางที่ผูเรียนไดชมจากสื่อการสอน คือ ตัวอยางการนบัการทํางาน ซ่ึงประกอบดวย 2 ขัน้ตอน โดยในตัวอยางแรก การแตงตัวสามารถแบงการทํางานไดเปน 2 ขั้นตอน โดยขั้นตอนแรก คอื การเลือกเสือ้ และขั้นตอนที่ 2 คือ การเลือกกระโปรง สวนในตัวอยางที่ 2 การจัดชุดอาหาร สามารถแบงการทํางานไดเปน 2 ขั้นตอนเชนกนั โดยขั้นตอนแรก คือ การเลือกอาหารคาว และขั้นตอนที ่2 คือ การเลือกอาหารหวาน ซ่ึงสามารถสรุปไดดังนี ้

ทฤษฎีบท ถาการทํางานอยางหนึ่งประกอบดวยการทํางาน 2 ขั้นตอน โดยการทํางานขั้นตอนที่ 1 มีวิธีทํา n วิธี และการทํางานขั้นตอนที่ 2 มีวิธีทํา m วิธี จะไดวา จํานวนวิธีของการทํางานนี้เทากับ n m× วิธี

จากทฤษฎีบทขางตน สามารถขยายไปสูกรณีที่การทํางานประกอบดวยการทํางาน k ขั้นตอน ดังรายละเอยีดในสื่อการสอนตอไปนี ้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7

เมื่อผูเรียนไดแนวคดิเกีย่วกบัหลักการคูณ พรอมทั้งเห็นตัวอยางการประยุกตใชหลักการคูณแลว ผูสอน อาจยกตวัอยางเพิ่มเติมเพื่อใหผูเรียนไดฝกทักษะในเรื่องนี้ไดดยีิ่งขึ้น ดงันี้

ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการสรางจํานวน 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 โดยที่เลขแตละหลักจะตองไมซํ้ากัน และจาํนวนที่สรางขึน้ตองเปนจํานวนที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700 วิธีทํา

_________ _________ _________ หลักรอย หลักสิบ หลักหนวย

การสรางจํานวนที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700 สามารถแบงการทํางานออกเปน 3 ขั้นตอน ดงันี้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เพื่อวางในหลักรอย ซ่ึงมีไดทั้งหมด 3 วิธี (เลข 4 หรือ เลข 5 หรือเลข 6)ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขโดด 1 ตัว เพื่อวางในหลักสิบ ซ่ึงมีไดทั้งหมด 7 วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว เพื่อวางในหลักหนวย ซ่ึงมีไดทั้งหมด 6 วิธี โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีในการสรางจํานวนดงักลาวมีทั้งหมด 3 7 6 126× × = วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8

เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติม ดังนี้

ในกรณีที่การหาจํานวนของเหตุการณที่สนใจโดยตรงทาํไดยาก เทคนิคที่สําคัญอยางหนึ่งคือการหาจํานวนของเหตุการณที่ไมสนใจแทน จากนั้นใชความสัมพันธที่วา

ตัวอยางตอไปนี้ เปนตวัอยางที่ประยุกตใชเร่ืองการนับในการหาจํานวนฟงกชันและการหาจํานวน สับเซต ซ่ึงผูสอนอาจทบทวนความหมายของฟงกชัน ฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งและสับเซต ใหผูเรียนกอน จากนัน้จึงใหผูเรียนฝกทาํตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม ตัวอยาง ให { }1,2,3, 4=A จงหา

1. จํานวนฟงกชันทั้งหมดจาก A ไป A 2. จํานวนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งทั้งหมดจาก A ไป A 3. จํานวนฟงกชันทั้งหมดทีไ่มใชฟงกชันหนึง่ตอหนึ่งจาก A ไป A

วิธีทํา ________ ________ ________ ________ (1)f (2)f (3)f (4)f

จํานวนของเหตุการณที่สนใจ = ( จํานวนของเหตุการณที่ไมมีเงื่อนไข ) − (จํานวนของเหตุการณทีไ่มสนใจ)

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9

1. ในการสรางฟงกชัน f จาก A ไป A สามารถแบงการทํางานไดเปน 4 ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ (1)f ซ่ึงมีไดทั้งหมด 4 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ (2)f ซ่ึงมีไดทั้งหมด 4 วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ (3)f ซ่ึงมีไดทั้งหมด 4 วิธี ขั้นตอนที่ 4 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ (4)f ซ่ึงมีไดทั้งหมด 4 วิธี โดยหลักการคณู จะไดวา จํานวนวิธีในการสรางฟงกชันดงักลาวมีทั้งหมด 4 4 4 4 256× × × = วิธี ดังนั้น จํานวนฟงกชันจาก A ไป A มีทั้งหมด 256 ฟงกชัน 2. ในการสรางฟงกชัน f ซ่ึงเปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง จาก A ไป A สามารถแบงการทํางานไดเปน 4 ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ (1)f ซ่ึงมีไดทั้งหมด 4 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ (2)f โดยไมซํ้ากับ (1)f ซ่ึงมีไดทั้งหมด 3 วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ (3)f โดยไมซํ้ากับ (1)f และ (2)f ซ่ึงมีไดทั้งหมด 2 วิธี ขั้นตอนที่ 4 เลือกสมาชิกใน A จํานวน 1 ตัว เพื่อกําหนดใหเปนคาของ (4)f โดยไมซํ้ากับ (1)f , (2)f และ (3)f ซ่ึงมีไดทั้งหมด 1 วิธี โดยหลักการคณู จะไดวา จํานวนวิธีในการสรางฟงกชันดงักลาวมีทั้งหมด 4 3 2 1 24× × × = วิธี ดังนั้น จํานวนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป A มีทั้งหมด 24 ฟงกชัน 3. จํานวนฟงกชันทัง้หมดที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป A = (จํานวนฟงกชันทั้งหมดจาก A ไป A ) − (จํานวนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งทั้งหมดจาก A ไป A ) = 256 − 24 = 232 ฟงกชัน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10

ตัวอยาง กําหนดใหเซต A มีจํานวนสมาชิก n ตัว จงหาจํานวนสับเซตทั้งหมดของ A วิธีทํา กําหนดให 1 2{ , , , }= … nA a a a

ในการสรางสับเซต B ของ A สามารถแบงการทํางานไดเปน n ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 เลือกวา 1∈a B หรือ 1∉a B ซ่ึงมีไดทั้งหมด 2 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกวา 2 ∈a B หรือ 2 ∉a B ซ่ึงมีไดทั้งหมด 2 วิธี ขั้นตอนที่ n เลือกวา ∈na B หรือ ∉na B ซ่ึงมีไดทั้งหมด 2 วิธี โดยหลักการคูณ จะไดวา จาํนวนสับเซตทั้งหมดของ A เทากับ 2n สับเซต

ตัวอยางในสื่อการสอนตอไปนี้ เปนตวัอยางเพื่อนําเขาสูเร่ืองหลักการบวก ซ่ึงผูเรียนจะไดศกึษาเรื่องหลักการบวกและตัวอยางการประยุกตใช

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11

ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติมวา บอยครั้งที่เราตองใชทั้งหลักการคูณและหลกัการบวกเพื่อนบัจํานวนเหตกุารณที่สนใจ และเพื่อใหผูเรียนเขาใจหลักการทั้งสองไดดียิ่งขึ้น ผูสอนอาจใหผูเรียนฝกทําตัวอยางเพิ่มเติม ดังนี ้

ตัวอยาง ในการสรางรหัสจากตัวอักษร A, B, C, D โดยกาํหนดใหแตละรหัสอาจมีอักษร 2 ตัว หรืออักษร 3 ตัว เทานั้น จะสรางรหัสไดทั้งหมดกี่วิธี วิธีทํา ในการสรางรหัสดังกลาว สามารถแบงพิจารณาไดเปน 2 กรณ ี กรณีท่ี 1 รหัสมีอักษร 2 ตัว

ขั้นตอนที่ 1 เลือกอักษรตัวแรก ซ่ึงมีทั้งหมด 4 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกอักษรตัวที่สอง ซ่ึงมีทั้งหมด 4 วิธี

โดยหลักการคูณ จะไดวา วิธีสรางรหัสที่มีอักษร 2 ตัว เทากบั 4 4 16× = วิธี กรณีท่ี 2 รหัสมีอักษร 3 ตัว ขั้นตอนที่ 1 เลือกอักษรตัวแรก ซ่ึงมีทั้งหมด 4 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกอักษรตัวที่สอง ซ่ึงมีทั้งหมด 4 วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกอักษรตัวที่สอง ซ่ึงมีทั้งหมด 4 วิธี โดยหลักการคูณ จะไดวา วิธีสรางรหัสที่มีอักษร 3 ตัว เทากบั 4 4 4 64× × = วิธี จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 และหลักการบวก จะไดวา จํานวนรหัสทีม่ีอักษร 2 ตัวหรืออักษร 3 ตวั มีทั้งหมด 16 64 80+ = วธีิ

ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการสรางจํานวน 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 โดยที่เลขแตละหลักจะตองไมซํ้ากัน และจาํนวนที่สรางขึน้ตองเปนจํานวนคี่ที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700 วิธีทํา

_________ _________ _________ หลักรอย หลักสิบ หลักหนวย

จะเห็นวา เลข 5 อยูไดทั้งในตําแหนงหลักรอยและหลักหนวย ดังนั้นจึงแบงพิจารณาเปน 2 กรณี ดังนี ้ กรณีท่ี 1 หลักหนวยเปนเลข 5

ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักหนวย ซ่ึงมีทั้งหมด 1 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขหลักรอย ซ่ึงมีทั้งหมด 2 วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขหลักสิบ ซ่ึงมีทั้งหมด 6 วิธี โดยหลักการคูณ จํานวนที่หลักหนวยเปนเลข 5 มีทั้งหมด 1 2 6 12× × = จํานวน

4, 5, 6 1, 3, 5, 7

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12

กรณีท่ี 2 หลักหนวยไมเปนเลข 5 ขั้นตอนที่ 1 เลือกเลขหลักหนวย ซ่ึงมีทั้งหมด 3 วิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกเลขหลักรอย ซ่ึงมีทั้งหมด 3 วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขหลักสิบ ซ่ึงมีทั้งหมด 6 วิธี โดยหลักการคูณ จํานวนที่หลักหนวยเปนเลข 5 มีทั้งหมด 3 3 6 54× × = จํานวน จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 และหลักการบวก จะไดวา จํานวน 3 หลักซึ่งเปนจํานวนคี่ที่มีคามากกวา 400 แตนอยกวา 700 มทีั้งหมด 12 54 66+ = วิธี สําหรับตัวอยางขางตน ผูเรียนอาจแบงกรณีแบบอื่นได เชน กรณหีลักรอยเปนเลข 5 และกรณีหลักรอยไมเปนเลข 5

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13

แบบฝกหัดเพิ่มเติม เร่ือง กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

1. สวนสาธารณะแหงหนึ่งมีประตูทั้งหมด 5 ประตู ถาจะเขาประตูหนึ่งและออกอีกประตูหนึ่ง ซ่ึงไม

ซํ้ากับประตูที่เขามา จะมีวิธีการเขาและออกจากสวนสาธารณะแหงนีไ้ดทั้งหมดกี่วิธี 2. ถาถนนจากกรงุเทพฯ ถึงลพบุรีมี 3 สาย และถนนจากลพบุรีถึงนครราชสีมามี 4 สาย ถาจะขับ

รถยนตจากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมาโดยขับผานจังหวดัลพบุรี จะใชเสนทางที่ตางกันไดทั้งหมดกี่เสนทาง

3. เมื่อโยนเหรียญ 1 เหรียญ จํานวน 3 คร้ัง จะมีผลลัพธที่แตกตางกันไดทั้งหมดกีว่ิธี 4. บริษัทผูผลิตเสื้อผาสําเร็จรูปบริษัทหนึ่งผลิตเสื้อ 3 แบบ แตละแบบมี 5 สี และมีขนาดตาง ๆ กัน 3

ขนาด ถาจะจดัเสื้อที่ผลิตเขาตูโชวหนารานใหครบทุกแบบ ทุกสี และทุกขนาด จะตองใชเสื้อทั้งหมดกี่ตัว

5. นักวิ่งแขง 5 คน จะวิ่งเขาเสนชัยในอันดับตาง ๆ กันไดทัง้หมดกีว่ิธี สมมติวาไมมีนกัวิ่งสองคนใดวิง่เขาเสนชัยพรอมกัน

6. ให { }1,2,3, 4,5A = จงหาจํานวนฟงกชัน :f A A→ โดยที่ ( )f x x≥ ทุก x A∈ 7. ให {1,2,3}A = และ { , , , }B a b c d= จงหา

7.1 จํานวนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่งจาก A ไป B 7.2 จํานวนฟงกชันจาก A ไป B ที่ไมใชฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15

2. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด) ในหวัขอนี้ ผูเรียนจะไดศกึษาวิธีการเรียงสบัเปลี่ยนเชิงเสนในกรณีที่ส่ิงของที่นํามาจัดเรียงแตกตางกนั

ทั้งหมด โดยเริ่มจากใหผูเรียนรูจักกับ “แฟกทอเรียล” ซ่ึงจะมีบทบาทสําคัญในเรื่องของการนับ

ผูเรียนควรฝกทักษะเรื่องแฟกทอเรียล จากตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง จงหาคาตอไปนี ้ 1. 6!

3! 2. !

( 3)!nn −

3. 2

( 1)!( 1)!( !)

n nn

− +

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16

วิธีทํา 1. 6! 6 5 4 3! 6 5 4 1203! 3!

× × ×= = × × =

2. ! ( 1) ( 2) ( 3)! ( 1)( 2)( 3)! ( 3)!

× − × − × −= = − −

− −n n n n n n n nn n

3. 2

( 1)!( 1)! ( 1)![( 1) !] 1( !) [ ( 1)!] !

− + − + × += =

× −n n n n n n

n n n n n

ตัวอยาง จงเขยีนจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปแฟกทอเรียล 1. 100 99 98× × 2. 11 12 13 14 15× × × × 3. ( 1)( 2)n n n− − วิธีทํา 1. 100 99 98 97 96 2 1 100!100 99 98

97 96 2 1 97!× × × × × × ×

× × = =× × × ×

2. 1 2 10 11 12 13 14 15 15!11 12 13 14 15

1 2 10 10!× × × × × × × ×

× × × × = =× × ×

3. ( 1)( 2)( 3) 2 1 !( 1)( 2)

( 3) 2 1 ( 3)!− − − × × ×

− − = =− × × × −

n n n n nn n nn n

ตัวอยาง จงหาคา n จากสมการตอไปนี้ 1. ! 720

( 3)!=

−nn

2. ! !( 10)!10! ( 8)!8!

n nn n

=− −

วิธีทํา 1. ! 720( 3)!

=−nn

( 1)( 2) 10 9 8− − = × ×n n n ดังนั้น 10=n 2. ! !

( 10)!10! ( 8)!8!n n

n n=

− −

( 8)! 10!( 10)! 8!

−=

−nn

( 8)( 9) 10 9− − = ×n n ดังนั้น 18=n

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17

ทฤษฎีบท จํานวนวิธีในการจัดเรียงสิ่งของ n ส่ิงที่แตกตางกันทั้งหมด จะมีได !n วิธี พิสูจน จํานวนวิธีในการจัดเรียงสิ่งของ n ส่ิงที่แตกตางกันทั้งหมด ,

! !( )!

= = =−n nnP nn n

วิธี

เมื่อผูเรียนไดชมตัวอยางขางตนจบแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติมวา ในการหาจํานวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน โดยมีเงื่อนไขเพิ่มเติมวา “ส่ิงของ k ส่ิงตองอยูติดกนั” มีเทคนิคสําคัญอยางหนึ่งคือ นําสิ่งของที่ตองการใหอยูติดกนั “มัด” รวมไวดวยกนั จากนัน้ มองสิ่งของที่ “มัด” รวมกันไวเปนเสมือนสิง่ของเพียงหนึง่ส่ิง แตผูเรียนอยาลืมวา ส่ิงของที่ “ มัด” รวมไวดวยกนั สามารถสลับตําแหนงกันไดอีก เพื่อใหผูเรียนเขาใจเทคนิคดงักลาวไดดียิ่งขึ้น ผูสอนอาจใหผูเรียนทาํตวัอยางตอไปนีเ้พิ่มเติม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18

ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีจดันักเรียนชาย 5 คนและนกัเรียนหญิง 3 คนยืนเขาแถว โดยท่ี 1. ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. นักเรียนชายตองอยูตดิกันและนักเรยีนหญิงตองอยูติดกัน

วิธีทํา 1. จํานวนวิธีจัดนกัเรียนชาย 5 คน นักเรยีนหญงิ 3 คน ยืนเขาแถว = 8,8P 8!= วิธี 2. นํานักเรยีนชาย 5 คน มัดติดกันไว และนํานักเรยีนหญิง 3 คน มัดติดกันไว ดังนั้น ในการจัดดังกลาว จึงเปรยีบเสมือนการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ 2 ส่ิง จัดเรียงได 2! วิธี นักเรียนชายที่มัดติดกนัไว 5 คน เรียงสับเปลี่ยนกันได 5! วิธี นักเรียนหญิงที่มัดติดกนัไว 3 คน เรียงสับเปลี่ยนกันได 3! วิธี ทําใหไดวา จํานวนวิธีการจัดที่ตองการมีทั้งหมด 2!5!3! 1,440= = วิธี เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนอาจใหขอสังเกตผูเรียนเพิ่มเติม ดังนี้ ในการจดัชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว โดยท่ี “หญิงหามยืนติดกนั” หมายถึง “ไมมีหญิงสองคนใดยืนติดกัน” ไมใช “หามหญงิสามคนยืนตดิกัน” ดังนั้น “นิเสธของ หญิงหามยืนตดิกัน” จึงไมใช “หญิงทั้งสามคนยืนตดิกัน” เพราะฉะนั้น

จํานวนวิธีจัดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว โดยที่หญิงหามยืนตดิกัน ≠ (จํานวนวิธีจัดชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว) − (จํานวนวิธีจดัชาย 5 คน หญิง 3 คน ยืนเขาแถว โดยที่หญิงท้ังสามคนยืนติดกัน)

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19

แบบฝกหัดเพิ่มเติม เร่ือง วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)

1. จํานวนวิธีในการจัดอักษร A, B, C, D และ E เรียงเปนเสนตรง มีทั้งหมดกี่วิธี 2. นําตัวอักษร A, B, C, D และ E มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน โดยที่ C และ D ตองอยูติดกนั ไดทั้งหมดกีว่ิธี 3. จํานวนวิธีในการจัดเรียงอักษร 3 ตัว จาก A, B, C, D และ E มีทั้งหมดกี่วธีิ 4. ในการแขงขนัวิ่งของนักวิ่ง 5 คน จํานวนวธีิที่นักวิ่งจะวิ่งเขาเสนชัยสองคนแรกมีทั้งหมดกี่วิธี 5. จํานวนวิธีสรางเลขสามหลักจากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 โดยหามใชเลขซ้ํา มีทั้งหมดกี่วิธี 6. จงหาจํานวนวธีิที่ผูชาย 3 คนและผูหญิง 4 คน ยืนเขาแถวซื้อตั๋วรถไฟ โดยที่ผูหญิงทั้งหมดตองยนืตดิกัน 7. จงหาจํานวนวธีิเลือกหัวหนาหอง รองหัวหนาหองและเหรัญญิก ตําแหนงละ 1 คน จากนักเรยีนหองหนึ่ง

ที่มีทั้งหมด 50 คน 8. จํานวนวิธีในการจัดนักเรยีนชาย 4 คน นักเรียนหญิง 4 คน เขาแถวถายรูป มีทั้งหมดกีว่ิธี ถา 8.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเตมิ 8.2 นักเรียนชายยืนสลับกับนักเรยีนหญิง 8.3 นักเรียนชายสองคนยืนสลับกับนักเรียนหญิงสองคน 9. นักเรียนกลุมหนึ่งมีจํานวน 8 คน โดยที่มี ด.ช.สาธิตและ ด.ช.ณัฐ รวมอยูดวย จงหาจํานวนวิธีที่จดั

นักเรียนกลุมนี้เขาแถว โดยที่ 9.1 ด.ช.สาธิตและด.ช.ณัฐ ตองยนืติดกนั 9.2 ด.ช.สาธิตและด.ช.ณัฐ หามยนืติดกนั

10. จงหาคา n จากสมการ ( 1)! 1 ( 2)!! 3 ( 1)!

n nn n

− += +

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22

เอกสารอางอิง

1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 4 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23

ภาคผนวกที่ 1

แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24

แบบฝกหัดระคน

1. มีหนังสือวิชาคณิตศาสตร 3 เลม หนังสือวิชาวิทยาศาสตร 2 เลม และหนังสือวิชาภาษาอังกฤษ 2 เลม โดยหนงัสือทุกเลมแตกตางกันทั้งหมด ถาตองการจัดหนังสือทั้งหมดนี้วางบนชัน้หนังสือ โดยใหหนังสือวิชาเดยีวกันอยูตดิกนั จะมจีํานวนวิธีการจัดไดทัง้หมดกีว่ิธี 1. 6 2. 72 3. 144 4. 5,040

2. จากโจทยขอ 1 ถาเพิ่มเงื่อนไขวา หนังสือวิชาคณิตศาสตรตองอยูระหวางหนังสือวิชาวิทยาศาสตรและหนังสือวิชาภาษาอังกฤษ จะมีจํานวนวิธีการจัดไดทั้งหมดกี่วิธี 1. 24 2. 48 3. 56 4. 72

3. ครอบครัวหนึง่มีทั้งหมด 4 คน ประกอบดวย พอ แม และลูก 2 คน ตองการขับรถไปชายทะเล โดยใชรถยนต 4 ที่นั่ง โดยพอหรือแมเปนคนขับรถ จะมีจํานวนวิธีที่สมาชิกในครอบครัวนัง่รถยนตคันนีไ้ดทั้งหมดกีว่ิธี 1. 6 2. 12 3. 18 4. 24

4. ถามีจานสีขาวลายตางกัน 4 ใบ จานสีฟาลายตางกัน 3 ใบ และจานสีดาํลายตางกัน 3 ใบ จะมจีํานวนวิธีวางจานทั้ง 10 ใบซอนกัน โดยใหจานสีขาวอยูติดกนัทั้งหมดกี่วิธี

1. 4!6! 2. 3!7! 3. 4!7! 4. 10!4!

5. จํานวนวิธีจดันักเรียนชาย 4 คน นักเรยีนหญิง 4 คน เขาแถว โดยที่นกัเรยีนชายจะอยูในตําแหนงเลขคู

เสมอ มีทั้งหมดกี่วิธี 1. 48 2. 144 3. 288 4. 576

6. จํานวนวิธีสรางจํานวน 3 หลักใหมีคามากกวา 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยหามใชเลขซ้ํา มีไดทั้งหมดกีว่ธีิ 1. 12 2. 24 3. 60 4. 154

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

25

7. จากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 จะสรางจํานวนที่มี 3 หลัก โดยแตละหลักมีตัวเลขซ้ํากันได และจํานวนเหลานี้หารดวย 5 ลงตัว ไดทั้งหมดกีจ่ํานวน 1. 30 2. 36 3. 60 4. 72

8. บริษัทแหงหนึง่มีตําแหนงงานวางอยู 2 ตําแหนง ถามีผูมาสมัครเขาทํางาน 5 คน คือ ก, ข, ค, ง และ จ

หลังจากสัมภาษณแลว ปรากฏวาคนที่เหมาะกับตําแหนงที่ 1 คือ ก, ข, ค และ ง สวนคนที่เหมาะสมกับตําแหนงที่ 2 คอื ค, ง และ จ จงหาจํานวนวธีิทั้งหมดที่บริษัทจะเลือกคนเขาทํางานใหเหมาะสมกับตําแหนงดังกลาว 1. 10 2. 12 3. 16 4. 24

9. อักษรภาษาอังกฤษ 5 ตัวทีแ่ตกตางกัน ซ่ึงประกอบดวยพยัญชนะ 2 ตวั และสระ 3 ตัว นํามาจดัเรยีงโดยไมใหพยัญชนะอยูติดกัน แตสระตองอยูติดกัน จํานวนวิธีการจัดเทากับขอใดตอไปนี ้ 1. 12 2. 24 3. 32 4. 36

10. ให { }1,2,3, 4,5A = และ {1,2,3}B = จํานวนฟงกชัน :f A B→ ซ่ึง (1) 1f ≠ และ (2) 2f ≠ เทากบัขอใดตอไปนี้

1. 80 2. 108 3. 125 4. 243

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

26

ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝกหัด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

27

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ

1. 20 2. 12 3. 8 4. 45 5. 120 6. 120 7. 7.1 24 7.2 40

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง การเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)

1. 120 2. 2!4!, 48 3. 60 4. 20 5. 210 6. 4!4!, 576 7. 50 x 49 x 48, 117600 8. 8.1 8!, 40320 9. 9.1 2!7!, 10080 8.2 2!4!4!, 1152 9.2 8!− 2!7!, 30240 8.3 2!4!4!, 1152 10. 1

เฉลยแบบฝกหัดระคน

1. 3 2. 2 3. 2 4. 3 5. 4 6. 3 7. 3 8. 1 9. 1 10. 2

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

28

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

29

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

เซต

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองแผนภาพเวนน-ออยเลอร บทนํา เร่ือง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองหอคอยฮานอย

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองตารางคาความจริง บทนํา เร่ือง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองชวงบนเสนจํานวน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองสมการและอสมการพหุนาม

จํานวนจริง

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟคาสัมบูรณ บทนํา เร่ือง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย บทนํา เร่ือง ความสมัพันธและฟงกชัน ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

30

เรื่อง ตอน

โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชนั

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ความสัมพันธและฟงกชัน

ฟงกชันประกอบ

บทนํา เร่ือง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

อสมการลอการิทึม

บทนํา เร่ือง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกฎของไซนและกฎของโคไซน บทนํา เร่ือง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร กําหนดการเชิงเสน

การหาคาสุดขีด

บทนํา เร่ือง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย อนุกรม

ลําดับและอนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

31

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

การนับและความนาจะเปน .

ความนาจะเปน 2

บทนํา เร่ือง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2 การลงทนุ SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย

ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม

เสนตรงลอมเสนโคง

โครงงานคณิตศาสตร

กระเบื้องที่ยืดหดได