คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร

เร่ือง

การนับและความนาจะเปน (เนือ้หาตอนที่ 3)

การจัดหมู

โดย

ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจด ี

สื่อการสอนชุดนี ้เปนความรวมมอืระหวาง คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ

สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธกิาร

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

1

สื่อการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน

ส่ือการสอน เร่ือง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซ่ึงประกอบดวย

1. บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน

- กฎเกณฑเบื้องตนเกีย่วกับการนับ - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(ส่ิงของแตกตางกนัทั้งหมด)

3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปล่ียน - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (ส่ิงของไมแตกตางกันทั้งหมด) - วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม

4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู - วิธีจัดหมู

5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม - ทฤษฎีบททวนิาม - ทฤษฎีบทอเนกนาม

6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม - การทดลองสุม - ปริภูมิตัวอยาง - เหตุการณและความนาจะเปน

7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1 - สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน - การหาความนาจะเปนแบบงาย

8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2 - การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ - การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1) 10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2) 11. แบบฝกหัด (ขัน้สูง)

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

2

12. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ 13. สื่อปฏิสัมพันธ เร่ือง การเรียงสับเปล่ียน

14. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ทฤษฎีบททวินาม 15. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง ความนาจะเปน 16. สื่อปฏิสัมพนัธ เร่ือง การใสบอลลงกลอง

คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา ส่ือการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ

ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชส่ือชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เร่ือง การนับและความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูช่ือเร่ือง และชื่อตอนไดจากรายชื่อส่ือการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

3

เร่ือง การนับและความนาจะเปน (การจัดหมู) หมวด เนื้อหา ตอนที่ 3 (3/7) หัวขอยอย 1. วิธีจัดหมู

จุดประสงคการเรียนรู เพื่อใหผูเรียน

1. สามารถหาจํานวนวิธีการเลอืกสิ่งของได 2. เขาใจและสามารถใชเทคนิคการนับแบบอืน่ ๆ ได

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง

ผูเรียนสามารถ 1. อธิบายความแตกตางระหวางการเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนและการจดัหมูได 2. อธิบายวิธีหาและหาจํานวนวธีิในการจัดหมูได 3. อธิบายวิธีหาและหาจํานวนวธีิของเหตุการณที่กําหนดใหได

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

4

เนื้อหาในสื่อการสอน

เนื้อหาทั้งหมด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

5

1. วิธีจัดหมู

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

6

1. วิธีจัดหมู ในหวัขอนี้ ผูเรียนจะไดศกึษาเรื่อง “วิธีจัดหมู” โดยในสื่อการสอนจะเริ่มโดยการยกตัวอยางเพื่อให

ผูเรียนเหน็ความเชื่อมโยงระหวาง “วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน” และ “วิธีจัดหมู”

เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนแลว ผูสอนควรย้าํใหผูเรียนเหน็ความแตกตางระหวาง “วิธีเรียงสับเปลี่ยน” และ “วิธีจัดหมู” ซ่ึงสําหรับ “วิธีเรียงสับเปลี่ยน” ลําดบัของสิ่งของที่นํามาจัดเรยีงมีความสําคัญ แตสําหรับ “วิธีจัดหมู” ลําดับของสิ่งของไมมีความสําคัญ ยกตัวอยางเชน เลือกนักเรียน 2 คนจากนกัเรยีน 8 คนที่มีโอมและไอซรวมอยูดวย จะพบวา การเลือกได “โอมกับไอซ” หรือ “ไอซกับโอม” ไมแตกตาง ดังนั้น การจัดแบบนี้เปนวิธีจัดหมู แตถาเลือกนักเรียน 2 คน เพื่อมายนืเขาแถวหนาชั้นเรียน “โอม ไอซ” และ “ไอซ โอม” มีความแตกตาง เนื่องจากมีลําดับของการยืนมาเกี่ยวของ ดงันั้นการจดัแบบนี้ เปนวิธีการเรียงสับเปลี่ยน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

7

จากนั้นผูสอนอาจยกตวัอยาง “การจัดหมู” เพิ่มเติม เชน 1. การเลือกมะมวง 3 ผลจากตะกราซึ่งบรรจุมะมวงทั้งหมด 10 ผล 2. การเลือกผูแทน 2 คน จากผูสมัครทั้งหมด 5 คน 3. การสุมหยิบลูกแกว 2 ลูกพรอมกัน จากกลองซึ่งบรรจุลูกแกวทั้งหมด 8 ลูก 4. การเลือกตัวเลข 3 ตัว จากเลขโดด 0-9 5. การเลือกวิชาเรียน 2 วิชา จากวิชาที่มใีหเลือกทั้งหมด 6 วิชา เมื่อผูเรียนเขาใจเรื่อง “การจัดหมู” ดีแลว ผูสอนควรยกตัวอยางตอไปนี้ เพื่อใหผูเรียนเขาใจการหา

“จํานวนวิธีจดัหมู” ไดดยีิ่งขึ้น ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีที่จะเลือกคณะกรรมการชุดหนึ่งซึ่งมี 6 คน จากผูสมัครซึ่งมีอยูทั้งหมด 9 คน วิธีทํา การเลือกคน 6 คน จากทั้งหมด 9 คน เพื่อเปนคณะกรรมการ จะเหน็วา ลําดับในการเลือกไมมีความสําคัญ

ดังนั้น จํานวนวิธีเลือกคณะกรรมการชุดนี ้ 984

6

= =

วิธี

ตัวอยาง จงหาจํานวนวิธีเลือกอาหารคาว 2 อยาง จากอาหารคาวทั้งหมด 12 อยาง วิธีทํา การเลือกอาหารคาว 2 อยาง จากทั้งหมด 12 อยาง จะเห็นวา ลําดับในการเลือกไมมีความสําคัญ

ดังนั้น จํานวนวิธีเลือกอาหารชุดนี้ 1266

2

= =

วิธี

ตัวอยาง คนกลุมหนึ่งประกอบดวยคณุครู 4 คน นักเรียนชาย 2 คน นกัเรียนหญิง 2 คน ตองการเลือกตัวแทน 4 คน โดยตองมีคุณครู 1 คนและนกัเรียนหญิงอยางนอย 1 คน จะมวีิธีการเลือกทั้งหมดกี่วิธี วิธีทํา กรณี 1 ตัวแทนมีคุณครู 1 คน นักเรียนหญิง 1 คน (ดังนัน้เปนนักเรียนชาย 2 คน)

จํานวนวิธีในการเลือก 4 2 28

1 1 2

= =

กรณี 2 ตัวแทนมีคุณครู 1 คน นักเรยีนหญงิ 2 คน (ดังนัน้เปนนกัเรียนชาย 1 คน)

จํานวนวิธีในการเลือก 4 2 28

1 2 1

= =

โดยหลักการบวก จะไดวา จํานวนวิธีเลือกผูแทนที่โจทยตองการ 8 8 16= + = วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

8

หลังจากผูเรียนไดชม “ปญหาชวนคดิ” ในสื่อการสอนแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันแปลความหมาย

ของ “รูปหลายเหลี่ยม” วาเปนอะไรไดบาง จากนั้นใหผูเรียนชวยกนัคิดหาคําตอบ แลวผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนด ู

ปญหาชวนคดิ กําหนดวงกลม ดังรูป

จงหาจํานวนวธีิสรางรูปหลายเหลี่ยม โดยใชจุดบนวงกลมเปนจุดยอดมมุ วิธีทํา ในการสรางรูปหลายเหลี่ยม โดยใชจุดบนวงกลมเปนจุดยอดมมุ สามารถพิจารณาเปนกรณตีาง ๆ ไดดังนี ้ กรณี 1 สรางรูปสามเหลี่ยม

จํานวนวิธีสรางรูปสามเหลี่ยม มีทั้งหมด 6 203

=

วธีิ

กรณี 2 สรางรูปสี่เหล่ียม

จํานวนวิธีสรางรูปสี่เหล่ียม มีทั้งหมด 6 154

=

วิธี

A

B C

D

EF

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

9

กรณี 3 สรางรูปหาเหล่ียม

จํานวนวิธีสรางรูปหาเหล่ียม มีทั้งหมด 6 65

=

วิธี

กรณี 4 สรางรูปหกเหลี่ยม

จํานวนวิธีสรางรูปหกเหลีย่ม มีทั้งหมด 6 16

=

วิธี

โดยหลักการบวก จะไดวา จํานวนวิธีสรางรูปหลายเหลีย่มดังตองการ มทีั้งหมด 20 15 6 1 42+ + + = วิธี ตัวอยาง ตูเสือ้ผาใบหนึ่ง มีเสื้อสีขาวแบบตาง ๆ กัน 6 ตวั และเสื้อสีเหลืองแบบตาง ๆ กัน 4 ตัว ถาสุมหยิบเสื้อผาจากตูใบนี้มา 5 ตัว ใหมีสีคละกัน จํานวนวิธีที่จะหยิบไดเสื้อสีขาวมากกวาเสื้อสีเหลือง เทากับเทาใด วิธีทํา โจทยกาํหนดวาสุมหยิบเสื้อผามา 5 ตัว ใหมีสีคละกัน หมายความวา ตองหยิบไดทั้งเสื้อสีขาวและเสื้อสีเหลือง ส่ิงที่สนใจคือจํานวนวิธีไดเสื้อสีขาวมากกวาเสื้อสีเหลือง ซ่ึงสามารถแบงพิจารณาไดเปน 2 กรณ ี กรณี 1 หยิบไดเสื้อสีขาว 4 ตัวและเสื้อสีเหลือง 1 ตัว

จํานวนวิธีในการหยิบ 6 460

4 1

= =

วิธี

กรณี 2 หยิบไดเสื้อสีขาว 3 ตัวและเสื้อสีเหลือง 2 ตัว

จํานวนวิธีในการหยิบ 6 4120

3 2

= =

วิธี

โดยหลักการบวก จะไดวา จํานวนวิธีหยิบไดเสื้อสีขาวมากกวาเสื้อสีเหลือง 60 120 180= + = วิธี ตัวอยาง ในการเลือกคณะกรรมการ 4 คน จากผูสมัคร 10 คน ซ่ึงมีอดิศักดิ์และอดิศรรวมอยูดวย ถาอดิศักดิ์และอดิศรจะถูกเลอืกพรอมกันไมได จงหาวิธีการเลือกคณะกรรมการชุดนี ้วิธีทํา วิธีท่ี 1 เราสามารถแบงพิจารณาเปนกรณีตาง ๆ ไดดังนี ้ กรณี 1 อดิศักดิ์และอดิศรไมถูกเลือกเปนกรรมการ

ดังนั้น ตองเลือกกรรมการ 4 คนจากผูสมัครที่เหลือ 8 คน ซ่ึงมีจํานวนวิธี 84

=

วิธี

กรณี 2 อดิศักดิ์ถูกเลือกเปนกรรมการ แตอดิศรไมถูกเลือกเปนกรรมการ ดังนั้น กรรมการ 1 คน คืออดิศักดิ ์และกรรมการอีก 3 คน เลือกจากผูสมัครที่เหลือ 8 คน

ซ่ึงมีจํานวนวิธี 83

=

วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

10

กรณี 3 อดิศรถูกเลือกเปนกรรมการ แตอดิศักดิ์ไมถูกเลือกเปนกรรมการ ดังนั้น กรรมการ 1 คน คืออดิศร และกรรมการอีก 3 คน เลือกจากผูสมัครที่เหลือ 8 คน

ซ่ึงมีจํานวนวิธี 83

=

วิธี

โดยหลักการบวก จะไดวา

จํานวนวิธีในการเลือกคณะกรรมการชุดนี้ 8 8 870 56 56 182

4 3 3

= + + = + + =

วิธี

วิธีท่ี 2 สามารถหาจํานวนวิธี โดยใช “นิเสธ” ของขอความซึ่งผูเรียนไดเรียนไปกอนหนานี้เขาชวย ดงันี้ จํานวนวิธีเลือกคณะกรรมการ โดยอดิศักดิ์และอดิศรจะถูกเลือกพรอมกันไมได = (จํานวนวิธีการเลือกคณะกรรมการ โดยไมมีเงื่อนไขใด ๆ )

− (จํานวนวธีิการเลือกคณะกรรมการ โดยอดิศักดิ์และอดิศรตองถูกเลือกทั้งคู) 10 84 2

= −

210 28 182= − = วิธี

เมื่อผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนควรชี้ใหผูเรียนเห็นความแตกตางระหวาง

1. การสุมหยิบลูกแกวพรอมกนั 2. การสุมหยิบลูกแกวคร้ังละ 1 ลูก และใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป และ 3. การสุมหยิบลูกแกวคร้ังละ 1 ลูก และไมใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป ซ่ึงสําหรับการสุมหยิบลูกแกวพรอมกัน จะพบวาลําดับของสีลูกแกวที่ไดไมมีความสําคัญ นั่นคือ การ

หยิบไดลูกแกวสีแดงกับสีดาํ กับ การหยิบไดลูกแกวสีดํากับสีแดง ไมมีความแตกตาง ซ่ึงวธีิการสุมหยิบในลักษณะนี้ คือ “วิธีจัดหมู” ที่เราไดเรียนในสื่อตอนนี้นั่นเอง

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

11

แตสําหรับการหยิบลูกแกวคร้ังละ 1 ลูก ทั้งแบบใสกลับคืนและไมใสกลับกอนหยิบลูกถัดไป จะเห็นวา ลําดับของสีลูกแกวที่ไดมีความสําคัญ เชน การที่หยิบครั้งแรกไดลูกแกวสีแดงและหยิบครั้งที่สองไดลูกแกวสีดาํ แตกตางจาก การหยิบครั้งแรกไดลูกแกวสีดําและหยิบครั้งที่สองไดลูกแกวสีแดง ซ่ึงการสุมหยิบเมื่อคํานึงถึงลําดับกอนหลังที่ได จะเปนเรื่องของ “การเรียงสับเปลี่ยน” ที่เราไดเรียนไปในสื่อตอนที่แลว

เพื่อใหผูเรียนเขาใจเรื่องการจัดหมูและการเรียงสับเปลี่ยนไดดยีิ่งขึ้น ผูสอนอาจใหผูเรียนทาํตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเตมิ ตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 12 ลูกซึ่งแตกตางกนัทั้งหมด โดยเปนลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 4 ลูก และสีน้ําเงิน 3 ลูก ถาสุมหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองนี้พรอมกัน จงหาจํานวนวิธีที ่

1. หยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก 2. หยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก 3. หยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก

วิธีทํา 1. สุมหยิบลูกบอล 3 ลูก ใหไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก นั่นคือ ลูกบอลอีก 2 ลูก ตองไมใชสีขาว ดังนั้น ลูกบอลสีขาว 1 ลูก ตองหยิบจากลูกบอลสีขาวที่มี 4 ลูก และ ลูกบอลอีก 2 ลูก ตองหยิบจากลูกบอลสีแดงหรือสีน้ําเงิน

ทําใหไดวา จํานวนวิธีในการหยิบใหไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก 4 8112

1 2

= =

วิธี

2. สุมหยิบลูกบอล 3 ลูก ใหไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก ดังนั้น ลูกบอลอีก 1 ลูก ตองไมใชสีขาวและไมใชสีแดง นั่นคือ ตองเปนสีน้ําเงิน ทําใหไดวา จํานวนวิธีในการหยิบใหไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก

4 5 360

1 1 1

= =

วิธี

3. จํานวนวิธีสุมหยิบลูกบอล 3 ลูก ใหไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก = (จํานวนวิธีสุมหยิบลูกบอล 3 ลูก โดยไมมีเงื่อนไข) − (จํานวนวิธีสุมหยิบลูกบอล 3 ลูก โดยไมไดลูกบอลสีขาวเลย)

12 4 8220 56 164

3 0 3

= − = − =

วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

12

ขอควรระวัง สําหรับตัวอยางที่ผานมา เราตองการหาจํานวนวิธีหยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก ถาพิจารณาวาสุมหยิบลูกบอลสีขาว 1 ลูก แลวที่เหลืออีก 2 ลูกจะหยิบไดสีอะไรก็ได จะไดวา จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก เทากับ

4 11220

1 2

=

วิธี

ซ่ึงไมตรงกับตัวอยางขางตน ลองพิจารณาสาเหตุวาเปนเพราะอะไร สังเกตวา วิธีการนับขางตน จะเกิดเหตุการณที่ได { ขาว1 , ขาว2, ขาว3 } และ { ขาว2 , ขาว1, ขาว3 } ซ่ึงไมแตกตางกัน ดังนัน้การนับแบบนี้ทําใหมีการนบัซ้ําเกิดขึ้น ซ่ึงเปนสิ่งที่ผูเรียนควรระมัดระวัง

หยิบสีขาว 1 ลูก

สุมหยิบอีก 2 ลูก สีอะไรก็ได

มาจาก 41

มาจาก 41

มาจาก 112

มาจาก 112

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

13

ตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 12 ลูกซึ่งแตกตางกนัทั้งหมด โดยเปนลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 4 ลูก และสีน้ําเงิน 3 ลูก ถาสุมหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองนี้ โดยหยิบครัง้ละ 1 ลูก และใสกลับคืนกอนหยบิลูกถัดไป จงหาจํานวนวธีิที่

1. หยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก 2. หยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก 3. หยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก

วิธีทํา การหยิบลูกบอลครั้งละ 1 ลูก แสดงวาลําดับของสีที่ไดมีความสําคัญ ดังนัน้ จึงเปนเรื่องของการเรียงสับเปลี่ยน

1. กรณี 1 หยิบลูกแรกไดสีขาว จํานวนวธีิในการหยิบลูกแรกไดสีขาว 4 8 8 256= × × = วิธี กรณี 2 หยบิลูกที่สองไดสีขาว จํานวนวิธีในการหยิบลูกที่สองไดสีขาว 8 4 8 256= × × = วิธี กรณี 3 หยบิลูกที่สามไดสีขาว จํานวนวิธีในการหยิบลูกที่สามไดสีขาว 8 8 4 256= × × = วิธี โดยหลักการบวก จะไดวา จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก 256 256 256 768= + + = วิธี หรือ อาจพจิารณาดังนี้

จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก 34 8 8 768

1

= × × × =

วิธี

สีขาว ไมใชสีขาว 2. จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก 3!(4 5 3) 360= × × = วิธี

สีขาว สีแดง สีน้ําเงิน

3. จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก = (จํานวนวธีิในการหยิบลูกบอล 3 คร้ัง โดยไมมีเงื่อนไข) − ( จํานวนวิธีในการหยิบลูกบอล โดยไมไดลูกบอลสีขาวเลย) (12 12 12) (8 8 8) 1,216= × × − × × = วิธี

สลับตําแหนงของ สีขาว สีแดง สีน้ําเงิน

ในการหยิบ 3 คร้ัง ตองไดสีขาว 1 คร้ัง

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

14

ตัวอยาง กลองใบหนึ่งมีลูกบอลอยู 12 ลูกซึ่งแตกตางกนัทั้งหมด โดยเปนลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 4 ลูก และสีน้ําเงิน 3 ลูก ถาสุมหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองนี้ โดยหยิบครัง้ละ 1 ลูก และไมใสกลับคืนกอนหยิบลูกถัดไป จงหาจํานวนวธีิที่

1. ไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก 2. ไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และลูกบอลสีแดง 1 ลูก 3. ไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก

วิธีทํา 1. จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก 34 8 7 672

1

= × × × =

วิธี

สีขาว ไมใชสีขาว

2. จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูก และสีแดง 1 ลูก 3!(4 5 3) 360= × × = วิธี

สีขาว สีแดง สีน้ําเงิน ผูเรียนสังเกตวา จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาว 1 ลูกและสีแดง 1 ลูก ทั้งกรณีใส กลับคืนและไมใสกลับคนื มีคาเทากัน เนื่องจาก เราตองการลูกบอลสีขาว สีแดงและ สีน้ําเงิน อยางละ 1 ลูก ดังนั้นการใสกลับคืนหรือไมใสกลับคืน จึงไมมีผลกระทบตอการหยิบครั้งถัดไป 3. จํานวนวิธีในการหยิบไดลูกบอลสีขาวอยางนอย 1 ลูก

= (จํานวนวิธีในการหยิบลูกบอล 3 คร้ัง โดยไมมีเงื่อนไข) − ( จํานวนวิธีในการหยิบลูกบอล โดยไมไดลูกบอลสีขาวเลย)

(12 11 10) (8 7 6) 984= × × − × × = วิธี ตัวอยาง ขอสอบชุดหนึ่งมีทัง้หมด 12 ขอ ใหเลือกทําเพียง 8 ขอ จะมีวิธีการเลือกทําไดทั้งหมดกี่วิธี ถา

1. ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 2. ตองทํา 3 ขอแรก

วิธีทํา 1. จํานวนวิธีเลือกขอสอบ 10 ขอ จากทั้งหมด 15 ขอ 12495

8

= =

วิธี

2. กําหนดวาตองทํา 3 ขอแรก ดังนั้น ตองเลือกทําอีก 5 ขอจากอีก 9 ขอที่เหลือ

จํานวนวธีิเลือกทําขอสอบ 8 ขอ โดยตองทํา 3 ขอแรก 3 9126

3 5

= =

วิธี

ในการหยิบ 3 คร้ัง ตองไดสีขาว 1 คร้ัง

สลับตําแหนงของ สีขาว สีแดง สีน้ําเงิน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

15

ตัวอยาง ไพสํารับหนึ่งมีทั้งหมด 52 ใบ สุมหยิบไพ 4 ใบพรอมกันจากไพสํารับนี้ จงหาจํานวนวธีิที่ 1. หยิบไดไพครบทุกหนา 2. หยิบไดไพหนาโพดําทั้ง 4 ใบ 3. หยิบไดไพหนาโพดํา 1 ใบและโพแดง 2 ใบ

วิธีทํา 1. ตองการหยบิไดไพครบทกุหนา นั่นคือ ตองหยิบไดไพหนาโพดํา โพแดง ขาวหลามตัดและดอกจิก อยางละ 1 ใบ

ดังนั้น จํานวนวิธีหยิบไดไพครบทุกหนา 413 13 13 1313

1 1 1 1

= =

วิธี

2. ตองการหยิบไดไพหนาโพดําทั้ง 4 ใบ นั่นคือ ไพหนาโพแดง ขาวหลามตัด และดอกจิกตองไมถูกหยิบได

ดังนั้น จํานวนวิธีหยิบไดไพหนาโพดาํทั้ง 4 ใบ 13 13 13 13715

4 0 0 0

= =

วิธี

3. ตองการหยิบไดไพหนาโพดํา 1 ใบและโพแดง 2 ใบ นั่นคือ ไพอีก 1 ใบที่เหลือ เปนไพหนาขาวหลามตัดหรือดอกจิก ก็ได

ดังนั้น จํานวนวิธีหยิบไดไพหนาโพดาํ 1 ใบและโพแดง 1 ใบ 13 13 2626,364

1 2 1

= =

วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

16

ในบางครั้ง จาํนวนวิธีที่เราตองการนับ อาจตองประยกุตใชทั้งเรื่อง “การเรียงสับเปลี่ยน” และ “การจัดหมู” เขาดัวยกัน ดังตัวอยางตอไปนี้

ตัวอยาง มีมะลิ 6 กระถางตาง ๆ กัน และกหุลาบ 4 กระถางตาง ๆ กัน จงหาจํานวนวธีิทั้งหมดในการเลือกมะลิ 3 กระถางและกุหลาบ 2 กระถาง เพื่อมาจัดเปนวงกลม วิธีทํา ขั้นท่ี 1 เลือกมะลิ 3 กระถางและกหุลาบ 2 กระถาง

จํานวนวิธีการเลือกมีทั้งหมด 6 4120

3 2

= =

วิธี

ขั้นท่ี 2 นํามะลิและกุหลาบที่เลือกไดในขัน้ที่ 1 มาจัดเรยีงเปนวงกลม จํานวนวิธีจดัเรียงกระถางตนไม 5 กระถางเปนวงกลม (5 1)! 4! 24= − = = วธีิ โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีการจดัเรียงที่ตองการ 120 24 2,880= × = วิธี

ตัวอยาง จัดเด็ก 10 คน ยนืเปนวงกลมคราวละ 6 คน ไดทั้งหมดกี่วิธี วิธีทํา ขั้นท่ี 1 เลือกเด็ก 6 คนจากเด็ก 10 คน

จํานวนวิธีเลือกเด็ก 6 คน จากเด็ก 10 คน มทีั้งหมด 106

วิธี

ขั้นท่ี 2 จัดเดก็ 6 คน ยืนเปนวงกลม จํานวนวิธีจดัเด็ก 6 คน ยนืเปนวงกลม มีทัง้หมด (6 1)! 5!− = วิธี

โดยหลักการคูณ จะไดวา จํานวนวิธีจัดเด็ก 10 คน ยืนเปนวงกลมคราวละ 6 คน 105! 25,200

6

= =

วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

17

แบบฝกหัดเพิ่มเติม เร่ือง การจดัหมู

1. ในการพิมพปกหนังสือมีสีใหเลือกทั้งหมด 12 สี ถาใหเลือกพิมพไดเพียง 3 สี จะมีวิธีเลือกกี่วธีิ 2. จํานวนวิธีเลือกผูแทน 3 คน จากคน 9 คน ซ่ึงประกอบดวยชาย 4 คน หญิง 5 คน โดยตองมีชายอยางนอย 1 คน มีกีว่ิธี 3. ตองการเลือกตัวแทน 4 คน จากอาจารย 4 คน นักเรยีนชาย 5 คน นกัเรยีนหญิง 2 คน โดยใหมีอาจารย 1 คน

และนักเรียนหญิงอยางนอย 1 คน จํานวนวิธีการเลือกเทากับเทาใด 4. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกแกว 8 ลูก(แตกตางกันทั้งหมด) เปนลูกแกวสีแดง 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก และสขีาว 3 ลูก

สุมหยิบลูกแกว 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน จงหาจํานวนวิธีที่ 4.1 หยิบไดลูกแกวสีเขียวทั้งสองลูก 4.2 หยิบไดลูกแกวสีเหมือนกัน 4.3 หยิบไมไดลูกแกวสีเขยีวเลย

5. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 10 ลูก เปนลูกบอลสีแดง 4 ลูก สีเขียว 2 ลูก สีขาว 3 ลูก และสีน้ําเงิน 1 ลูก สุมหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน จงหาจํานวนวธีิที่ 5.1 หยิบไดลูกบอลสีใดก็ได 5.2 หยิบไดลูกบอลสีแดงทั้ง 3 ลูก 5.3 หยิบไดลูกบอลสีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงิน 1 ลูก 5.4 หยิบไดลูกบอลสีแดงอยางนอย 1 ลูก 5.5 หยิบไดลูกบอลสีขาวอยางมาก 2 ลูก

6. ไพสํารับหนึ่งมี 52 ใบ สุมหยิบไพ 4 ใบจากไพสํารับนี้พรอมกัน จงหาจํานวนวิธีที ่6.1 หยิบไดไพหนาโพดําทั้ง 4 ใบ 6.2 หยิบไดไพครบทุกหนา 6.3 หยิบไดไพหนาขาวหลามตัด 2 ใบ 6.4 หยิบไดไพหนาดอกจิกอยางนอย 1 ใบ

7. ชมรมบาสเกตบอล ตองการเลือกคณะกรรมการ 3 คนจากสมาชิกชมรม 30 คน ซ่ึงมีนายนิพนธและนายนิพจนรวมอยูดวย จะมวีิธีการเลือกไดกีว่ธีิ ถา 7.1 นายนิพนธตองไดรับคัดเลือกเปนกรรมการ 7.2 นายนิพนธและนายนิพจนจะถูกเลือกเปนกรรมการพรอมกันไมได

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

18

8. ตองการเลือกคณะกรรมการ 5 คน จากทั้งหมด 12 คน ซ่ึงประกอบดวย ครู 5 คน และนักเรียน 7 คน จะมีวิธีการเลือกไดกี่วิธี ถา 8.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 8.2 คณะกรรมการตองมีครู 1 คนเทานั้น 8.3 คณะกรรมการตองมีครูอยางนอย 1 คน 8.4 คณะกรรมการตองมีทั้งครูและนักเรียน

9. ขอสอบชุดหนึง่มีทั้งหมด 10 ขอ ใหเลือกทาํเพียง 6 ขอ จะมีวิธีการเลือกทําไดทั้งหมดกี่วิธี ถา 9.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 9.2 ตองทํา 2 ขอแรก 9.3 ตองทําอยางนอย 4 ขอจาก 5 ขอแรก

10. ถา { , , , , , , }A a b c d e f g= และ { , }B a b= แลวจํานวนเซต C ซ่ึง B C A⊆ ⊆ เทากับเทาใด 11. บนเสนรอบวงของวงกลมวงหนึ่งมีจดุ 7 จุด จงหาจํานวนวิธีสรางรูปหลายเหลี่ยมบรรจุในวงกลมโดยอาศัย

จุดยอดเหลานัน้ 12. มีเด็ก 8 คน จัดเขาแถวเปนวงกลมคราวละ 6 คน ไดทั้งหมดกี่วิธี 13. นักเรียนอนุบาลหองหนึ่งมี 10 คน เปนหญงิ 5 คนและชาย 5 คน ครูประจําชั้นคดิจะจดัเกมใหเลนรวมกัน

โดยการจดัใหเขานั่งรอบโตะกลมครั้งละ 6 คน และใหเดก็หญิงนั่งสลับกับเด็กชาย คณุครูจะมวีิธีการจัดใหเขานั่งไดตาง ๆ กันกี่วิธี

14. ตองการทาสีดําและสีขาวลงในชองบนแผนวงแหวนที่มี 8 ชอง ดังรูป

โดยทาสีดํา 6 ชอง จะมีจํานวนวิธีทั้งหมดเทากับเทาใด 15. มีนักเรียน 10 คน เปนชาย 4 คน หญิง 6 คน เลือกมายนืเขาแถวหนาหองเพียง 5 คน ไดทั้งหมดกี่วิธี ถา

15.1 ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม 15.2 เปนชาย 3 คน หญิง 2 คน 15.3 เปนชาย 3 คน หญิง 2 คน โดยชายทั้งหมดตองยืนติดกันและหญิงทั้งหมดตองยืนตดิกนั 15.4 เปนชาย 3 คน หญิง 2 คน โดยหญิง 2 คนหามยืนตดิกนั

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

19

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

20

สรุปสาระสําคัญประจําตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

21

เอกสารอางอิง

1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสอืเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 4 ช้ันมัธยมศึกษาปที ่4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

22

ภาคผนวกที่ 1 แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

23

แบบฝกหัดระคน 1. กลองใบหนึ่งมีปากกาสขีาว 5 ดาม และปากกาสีเหลือง 4 ดามปนกันอยู หยิบปากกามา 2 ดามอยางสุม จํานวนวิธีที่จะไดปากกาสองดามเปนสีเดียวกันเทากบัเทาไร 1. 12 วิธี 2. 16 วิธี 3. 36 วิธี 4. 60 วิธี 2. ถามีส่ิงของ n ส่ิงแตกตางกัน และจํานวนวิธีที่จัดเรยีงลําดับสิ่งของทั้ง n ส่ิงเปน 576 เทาของจํานวนที ่ เลือกสิ่งของ n ส่ิงนี้คราวละ 4 ส่ิงแลว n เทากับเทาไร 1. ไมสามารถหาคา n ได 2. 4 3. 8 4. 28 3. กลองใบหนึ่งมีหนังสืออยู 4 เลม ปากกา 2 ดาม และดินสอ 3 แทง สุมหยิบของออกมาจากกลองครั้งหนึ่ง จํานวน 3 ช้ิน จํานวนวธีิที่จะหยิบไดดินสออยางนอย 1 แทง มีทัง้หมดกีว่ิธี 1. 20 วิธี 2. 28 วิธี 3. 45 วิธี 4. 64 วิธี 4. ในการแขงขันฟุตบอล คณะกรรมการจัดการแขงขนัจัดใหมีการแขงขันแบบพบกนัหมด ปรากฏวา จะตองจดัใหมีการแขงขันทั้งหมด 45 คู การแขงขันนี้มีทีมเขารวมแขงขันทั้งหมดกี่ทีม

1. 7 ทีม 2. 8 ทีม 3. 9 ทีม 4. 10 ทีม 5. ในชมรมสงเสริมศีลธรรม มีสมาชิกเปนพอบาน 5 คน แมบาน 3 คน และเยาวชน 6 คน ตองการเลือก กรรมการชุดหนึ่งที่มี 3 คน โดยจะตองมีเยาวชนอยางนอย 1 คน จาํนวนวิธีเลือกเทากับขอใดตอไปนี ้

1. 84 วิธี 2. 168 วิธี 3. 308 วิธี 4. 468 วิธี

6. ในการเลือกคณะกรรมการ 5 คน จากผูสมัคร 12 คน ถาผูสมัครสองคนที่กําหนดใหจะไมถูกเลือกพรอมกัน

จํานวนวิธีการเลือกมีทั้งหมดกี่วิธี 1. 132 วิธี 2. 264 วิธี 3. 660 วิธี 4. 672 วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

24

7. บอตกปลาแหงหนึ่งเปนวงกลม อนุญาตใหเขาตกปลาไดทีละ 4 คน โดยใหนั่งอยูรอบบอ ถาครอบครัวหนึ่ง มากัน 6 คน จะจัดคนในครอบครัวนีน้ั่งรอบบอตกปลาไดทั้งหมดกี่วิธี 1. 15 วิธี 2. 24 วิธี 3. 45 วิธี 4. 90 วิธี 8. โรงเรียนแหงหนึ่ง มีชมรมทั้งหมด 10 ชมรม โดยนักเรียนแตละคนตองเปนสมาชิกชมรม 1 ชมรม จงหา จํานวนวิธีที่มานะและมานีเลือกอยูชมรมเดียวกันซึ่งเปนคนละชมรมกับปต ิ 1. 45 วิธี 2. 90 วิธี 3. 180 วิธี 4. 900 วิธี 9. บริษัทนักสืบเอกชนแหงหนึ่งมีพนกังาน 15 คน เปนหญิง 7 คน ชาย 8 คน ผูจดัการรับงานมา 2 งาน โดยงาน ช้ินแรกใชพนักงานหญงิ 3 คน งานชิน้ที่สองใชพนกังานชาย 4 คน จํานวนวิธีที่ผูจัดการจะจดัพนักงานให ทํางานทั้งสองงานนี้เทากับขอใดตอไปนี้

1. 1,225 วิธี 2. 1,550 วิธี 3. 2,450 วิธี 4. 4,900 วิธี

10. สามีภรรยาคูหนึ่ง มีลูก 2 คน มีทรัพยสินเปนที่ดิน 10 แปลง และเครื่องเพชร 5 ชุด ถาตองการแบงสมบัติให ลูกคนโตโดยลูกคนโตตองไดที่ดิน 6 แปลงและเครือ่งเพชร 2 ชุด จะมวีิธีการแบงทรัพยสินใหลูกคนโตได ทั้งหมดกีว่ิธี 1. 55 วิธี 2. 700 วิธี 3. 1,050 วิธี 4. 2,100 วิธี

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

25

ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝกหัด

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

26

เฉลยแบบฝกหัด เร่ือง การจดัหมู

1. 220 2. 74 3. 100 4. 4.1 1 4.2 7 4.3 15 5. 5.1 120 5.2 4 5.3 3 5.4 100 5.5 119 6. 6.1 715 6.2 28,561 6.3 57,798 6.4 188,474 7. 7.1 406 7.2 4,032 8. 8.1 792 8.2 175 8.3 771 8.4 770 9. 9.1 210 9.2 70 9.3 55 10. 32 11. 99 12. 3,360 13. 1,200 14. 4 15. 15.1 30,240 15.2 7,200 15.3 1,440 15.4 4,320

เฉลยแบบฝกหัดระคน 1. 2 2. 3 3. 4 4. 4 5. 3 6. 4 7. 4 8. 2 9. 3 10. 4

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

27

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

28

รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง เซต

ความหมายของเซต

เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต

เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

เซต

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองแผนภาพเวนน-ออยเลอร บทนํา เร่ือง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร การใหเหตุผล

ประพจนและการสมมูล

สัจนิรันดรและการอางเหตุผล

ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองหอคอยฮานอย

การใหเหตุผลและตรรกศาสตร

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองตารางคาความจริง บทนํา เร่ือง จํานวนจริง สมบัติของจํานวนจริง การแยกตัวประกอบ

ทฤษฏีบทตัวประกอบ

สมการพหุนาม

อสมการ เทคนิคการแกอสมการ คาสัมบูรณ การแกอสมการคาสัมบูรณ กราฟคาสัมบูรณ สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองชวงบนเสนจํานวน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองสมการและอสมการพหุนาม

จํานวนจริง

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟคาสัมบูรณ บทนํา เร่ือง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะทฤษฎีจํานวนเบื้องตน

ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย บทนํา เร่ือง ความสมัพันธและฟงกชัน ความสัมพันธและฟงกชัน

ความสัมพันธ

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

29

เรื่อง ตอน

โดเมนและเรนจ อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน

ฟงกชันเบื้องตน

พีชคณิตของฟงกชนั

อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส

ความสัมพันธและฟงกชัน

ฟงกชันประกอบ

บทนํา เร่ือง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

เลขยกกําลัง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

ลอการิทึม

อสมการเลขชี้กําลัง

ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม

อสมการลอการิทึม

บทนํา เร่ือง ตรีโกณมิติ อัตราสวนตรีโกณมิติ เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย ฟงกชันตรีโกณมิติ 1

ฟงกชันตรีโกณมิติ 2

ฟงกชันตรีโกณมิติ 3

กฎของไซนและโคไซน กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ

ตรีโกณมิติ

สื่อปฏิสัมพันธเร่ืองกฎของไซนและกฎของโคไซน บทนํา เร่ือง กําหนดการเชิงเสน

การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร กําหนดการเชิงเสน

การหาคาสุดขีด

บทนํา เร่ือง ลําดับและอนุกรม

ลําดับ

การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต

ลิมิตของลําดับ

ผลบวกยอย อนุกรม

ลําดับและอนุกรม

ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม

คูมือสื่อการสอนวชิาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย

30

เรื่อง ตอน

บทนํา เร่ือง การนับและความนาจะเปน

การนับเบื้องตน

การเรียงสับเปลี่ยน

การจัดหมู ทฤษฎีบททวินาม

การทดลองสุม

ความนาจะเปน 1

การนับและความนาจะเปน .

ความนาจะเปน 2

บทนํา เร่ือง สถิติและการวิเคราะหขอมูล

บทนํา เนื้อหา แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2 แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3

การกระจายของขอมูล

การกระจายสัมบูรณ 1

การกระจายสัมบูรณ 2

การกระจายสัมบูรณ 3

การกระจายสัมพัทธ คะแนนมาตรฐาน

ความสัมพันธระหวางขอมูล 1

ความสัมพันธระหวางขอมูล 2

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1

สถิติและการวิเคราะหขอมูล

โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2

การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส การถอดรากที่สาม เสนตรงลอมเสนโคง

โครงงานคณิตศาสตร

กระเบื้องที่ยืดหดได