5_-_trasformatore_monofase

Trasformatore monofase Trasformatore ideale Il trasformatore ideale è un sistema lineare e non dissipativo Ipotesi:

• Pfe = 0 • ρcu = 0 (Pcu=0) • µfe =∞

η=1 u1i1=u2i2

Trasformatore monofase

0Sl1

fefe ==ℜ

µ

Tutto il flusso viene incanalato nel nucleo che si comporta come un unico tubo di flusso(φ11=φ12 e φ22=φ21). Si assume per il primario la convenzione di segno dell’utilizzatore e per il secondario quelladel generatore. Definito il verso positivo del flusso di mutua, si assume che i versi degli avvolgimenti siano tali che una corrente i1 positiva dia luogo ad un flusso autoconcatenato φ11 positivo (stesso verso del flusso di mutua φ) e che una corrente i2 positiva dia luogo ad un flusso autoconcatenato φ22 negativo (verso opposto rispetto al flusso di mutua φ).

Trasformatore monofase Nei due avvolgimenti alimentati singolarmente sono indotte le tensioni: |e11| = N1 dφ11/dt |e22| = N2 dφ22/dt I segni delle due forze elettromotrici indotte devono essere scelti in accordo con la Legge di Lenz. Quindi, un incremento della corrente i1 (i2) e quindi del flusso φ11 (φ22) deve creare una fem indotta e11 (e22) che si opponga all’incremento di i1 (i2). Si ha quindi: e11 = N1 dφ11/dt e22 = - N2 dφ22/dt Per le assunzioni fatte sui segni dei flussi, le forze elettromotrici indotte dal flusso di mutuavalgono: e1 = N1 dφ/dt e2 = N2 dφ/dt


Per la legge di Faraday-Lenz

= t = Rapporto spire

Per la legge di Hopkinson (o della circuitazione magnetica) 2211fe iNiN0 −=ℜ= φ = 1/t

2

1

2

1

2

1

NN

ee

uu

==

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==

dtdNeu

dtdNeu

222

111

φ

φ

1

2

2

1

NN

ii

=

21 PP =

Trasformatore monofase Funzionamento in regime sinusoidale

2211fe ININ0 −=ℜ= Φ

1

2

2

1

NN

II

=

2

1

eff2

eff1

NN

EE

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

====

M2M2M2M2

eff2

M1M1M1M1

eff1

N44.4N2f2N

22EE

N44.4N2f2N

22EE

ΦΦπΦω

ΦΦπΦω


Trasformatore reale Tenendo conto delle perdite nei due avvolgimenti (perdite nel rame) e nel nucleo (perdite nelferro) si passa da un sistema ideale con rendimento unitario ad un sistema con rendimentoinferiore a uno.


Trasformatore con conduttori reali ( ρcu>0) Le perdite negli avvolgimenti sono date dalla somma delle perdite in continua e delle perdite addizionali. Queste ultime sono dovute all’incremento della resistenza degli avvolgimenti passando dalla corrente continua alla corrente alternata, e sono causate dalla disuniforme distribuzione delle correnti nei conduttori intersecati dai flussi dispersi. Si tiene conto delle perdite nel rame, e delle conseguenti cadute di tensione, inserendo nel circuito equivalente due resistenze in serie agli avvolgimenti del trasformatore ideale, detterispettivamente resistenza di primario R1 e resistenza di secondario R2. Si ha:

R1 = (Pcu1+Padd1)/I12 ≠ RDC1

R2 = (Pcu2+Padd2)I22 ≠ RDC2

R1 ed R2 sono poste in serie agli avvolgimenti del trasformatore ideale perché in tal modo lepotenze dissipate nelle due resistenze sono proporzionali ai quadrati delle correnti diprimario e di secondario, come avviene nella realtà. In fase di progetto R1, R2 vengono proporzionate in modo che i due avvolgimenti presentinola stessa densità di corrente (nei trasformatori trifase di media e grande potenza 2,5 ÷ 3,5 [A/mm2] per il rame, 1,5 ÷ 2 [A/mm2] per l'alluminio, nei piccoli trasformatori monofase 1,5 ÷2,4 [A/mm2] decrescente all'aumentare della potenza per il rame).


Circuito equivalente del trasformatore con conduttori reali

Si ha:

2211 ININ0 −=ℜ= φ

1

2

2

1

NN

II

=

2211 IVIV ≠

2

1

2

1

2

1

NN

EE

VV

=≠

Trasformatore monofase Trasformatore con nucleo ferromagnetico reale In un nucleo ferromagnetico reale la permeabilità magnetica non è infinita, si verifica il fenomeno della saturazione magnetica ed infine sono presenti perdite di potenza per isteresi e correnti parassite. Effetti della permeabilità magnetica finita Si ha: µfe ≠∞ (µfe = µr µo µr = 7000 ; µo = 1,26 10-6)

Corrente di magnetizzazione ≠ 0

La riluttanza del nucleo vale: 0Sl1

fefe ≠=ℜ

µ

Flussi di dispersione ≠ 0


Se µfe ≠∞ si ha:

0Sl1

fefe ≠=ℜ

µ

Per la legge di Hopkinson:

mmfe F=ℜ φ A vuoto ( 1I = 10I ; 2I =0) si ha:

101fe IN=ℜ φ 1

fe10 NI φℜ

=

A carico ( 2I ≠0) si ha:

2211fe ININ −=ℜ φ 1

22fe1 N

INI +ℜ=

φ


In un trasformatore reale la corrente di primario, non dipende solo dalla corrente di secondario, come nel trasformatore ideale, ma anche dal flusso, poiché il flusso deve essere sostenuto da una componente di corrente detta corrente di magnetizzazione. In particolare, a vuoto si ha:

m11

fe10 I

NI =

ℜ=

φ

A carico si ha invece:

1

22m1

1

22

1

fe1 N

ININ

INN

I +=+ℜ

=φ

A differenza del trasformatore ideale, quindi:

1

2

2

1

NN

II

≠

Trasformatore monofase Trascurando le perdite nel ferro, la corrente di magnetizzazione coincide con la correnteassorbita a vuoto dal trasformatore, scorre quindi anche quando 2I =0, inoltre poiché:

ℜ= m11IN

Φ m1m1m1

21

11 IjXINjNjE =ℜ

== ωΦω ℜ

=21

m1NX ω

per tener conto della corrente di magnetizzazione si inserisce in parallelo al primario deltrasformatore ideale una reattanza induttiva X1m (o X’0) detta reattanza di magnetizzazione. Si ha quindi:

L’introduzione della reattanza di magnetizzazione permette di considerare il flusso φ come sostenuto solo dalla corrente che scorre nell’avvolgimento primario. In alternativa, come giàvisto nel caso di due avvolgimenti accoppiati, è possibile fare un ragionamento duale edintrodurre in maniera equivalente una reattanza di magnetizzazione X2m (o X”0) in parallelo al secondario, precorsa dalla corrente di magnetizzazione riportata al secondario.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

====

===

m1m11

22222

m1m1111

IXNNjNjNjjE

IjXNjjE

ΦωΦωλω

Φωλω


Il flusso risulta indipendente dal carico, infatti, è direttamente proporzionale alla forza elettromotrice indotta ed approssimativamente alla tensione di alimentazione. Quest’ultima, dipende solo dalle caratteristiche della rete di alimentazione e non varia al variare del carico.

φω 111 NjEV =≈

Poiché il flusso è indipendente dal carico, la forza magnetomotrice resta costante al variare del carico, si ha infatti:

2211101fe INININ +==ℜ φ

Si può quindi scrivere:

12m11

22

1

m111 II

NIN

NINI +=+=

1

1

NjVω

φ ≈

Trasformatore monofase La corrente di primario I1 può essere scomposta in due termini: la corrente di magnetizzazione I1m ,sempre presente, e la corrente di reazione I12, proporzionale alla corrente di secondario. Quest’ultima è presente solo se il trasformatore è sotto carico, ed è pari alla corrente di secondario riportata al primario:

21

212 I

NNI =

Poiché la forza magnetomotrice totale è indipendente dal carico, la corrente di reazione può essere vista come l’incremento della corrente di primario (rispetto al valore a vuoto) necessaria a bilanciare la forza magnetomotrice di secondario (N2I2), generata dalla presenza del carico. La corrente di reazione è pertanto una componente fittizia della corrente 1I che, attraversando le N1 spire dell’avvolgimento primario, genera la stessa forza magnetomotrice che in realtà è generata dalla corrente 2I , circolando nelle N2 spire di secondario. Si ha infatti:

221

221121 IN

NINNIN ==


Circuito equivalente del trasformatore con reattanza di magnetizzazione

Le equazioni divengono:

12m11 III +=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=+−=+−=

+=+=+=

m1m11

212

2

122222222

m1m1111111111

IXNNjI

NNRNjIREIRV

IjXIRNjIREIRV

Φω

Φω

Trasformatore monofase Flusso disperso A vuoto, il flusso è sostenuto totalmente dalla forza magnetomotrice N1i1. Poiché però la permeabilità magnetica del ferro non è infinita, alcune linee di flusso dϕi1d si chiudono in aria, concatenandosi totalmente o parzialmente solo con l’avvolgimento primario.

Il flusso concatenato col primario vale:

d1m1d111d1id1i11 NNdN λλφΦϕλΦλ +=+=∑+=

λi1d =coefficiente di concatenamento della linea di flusso disperso dϕi1d (0<λi1d < N1) λ1m = flusso principale concatenato col primario λ1d = flusso disperso concatenato col primario


Come già visto nel caso di due avvolgimenti accoppiati, il flusso di dispersione è sostenuto dalla forza magnetomotrice N1i1. In regime qualsiasi si ha quindi:

1d1m1m11d1

21

m1fe

21

d1m11 iLiLiNiN+=

ℜ+

ℜ=+= λλλ

essendo:

d1

21

d1NLℜ

= = induttanza di dispersione del primario

d1ℜ = riluttanza media del cammino seguito (in aria) dalle linee di flusso disperso dϕi1d

Il flusso disperso causa una variazione della tensione indotta al primario che, in regimesinusoidale, è pari a:

1d11d1d1 IjXILjV −=−= ω∆ essendo:

d1

21

d1NXℜ

= ω = reattanza di dispersione del primario


Analogamente, se 2I ≠0, viene generato un flusso di dispersione secondario Φ2d e di conseguenza una caduta di tensione pari a:

2d22d2d2 IjXILjV −=−= ω∆

essendo:

d2

22

d2NLℜ

= = induttanza di dispersione del secondario

d2ℜ = riluttanza media del cammino seguito (in aria) dalle linee di flusso disperso dϕi2d

d2

22

d2NXℜ

= ω = reattanza di dispersione del secondario

Per tener conto delle cadute di tensione dovute ai flussi dispersi si inseriscono le reattanze di dispersione in serie agli avvolgimenti di primario e di secondario del trasformatore ideale. Le reattanze di dispersione sono praticamente costanti, perché il flusso di dispersione che leorigina, sviluppandosi in gran parte in aria, percorre un circuito magnetico a permeabilità magnetica costante.


Circuito equivalente del trasformatore con reattanze di dispersione

Le equazioni divengono:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−=

++=

22d2222

11d1111

EIjXIRVEIjXIRV


Effetti della saturazione Si definisce flusso di magnetizzazione, la quantità:

Il trasformatore è stato visto fin’ora come un sistema lineare, in realtà a causa dellasaturazione del nucleo ferromagnetico la relazione tra corrente di magnetizzazione e flusso dimagnetizzazione è non lineare. In particolare, a partire dal ginocchio della curva dimagnetizzazione, a parità di corrente, il flusso reale è inferiore di una quantità ∆λ rispetto a quello calcolato assumendo il sistema lineare.

Trasformatore monofase A causa della saturazione del nucleo ferromagnetico la corrente di magnetizzazione, non solorisulta maggiore, a parità di flusso, rispetto al caso lineare, ma risulta anche distorta. Infatti acausa del legame non lineare tra flusso e corrente di magnetizzazione, se una delle duegrandezze è sinusoidale l’altra necessariamente deve essere non sinusoidale, almeno per unvalore di picco sufficientemente elevato.


In un trasformatore monofase alimentato da una tensione sinusoidale la corrente di magnetizzazione non può essere sinusoidale. Infatti: I trasformatori lavorano con valori d'induzione massima prossimi al ginocchio della curva BH. In tali condizioni la corrente magnetizzante risulta in pratica uguale alla somma delle componenti di prima e terza armonica. Nella pratica, per semplificare lo studio del trasformatore, si approssima la corrente di magnetizzazione alla sola prima armonica, trascurando così gli effetti della saturazione.

Tuttavia, poiché la distorsione della corrente di magnetizzazione causa essenzialmente un lieve incremento delle perdite per effetto Joule nei conduttori, si può tener conto degli effetti della saturazione aumentando l’ampiezza della componente di prima armonica, ponendola pari a:

Essendo I1m1 e I1m3 i valori efficaci delle componenti di prima e di terza armonica.

dt)t(dN)t(e)tsin(V)t(v 1111

φω =≈=1

1

NjVω

Φ =

Trasformatore monofase Effetti delle perdite nel ferro Le perdite nel nucleo ferromagnetico valgono:

Pfe = Pist+Pcp = ki f BM

η + kc f2 BM2 ≈ kf BM

2 = kf ( )21SfN44.41 E1

2

Si tiene conto delle perdite nel ferro inserendo nel circuito equivalente una resistenzatrasversale R0 (o R’0) in parallelo alla reattanza di magnetizzazione che dissipa la stessa potenza dissipata nella realtà nel nucleo ferromagnetico. La resistenza equivalente delle perdite nel ferro è posta in parallelo al trasformatore idealeperché in tal modo la potenza dissipata dipende dal quadrato della tensione indotta E1, come nella realtà le perdite nel nucleo ferromagnetico. Poiché ai terminali di R0 è presente la forza elettromotrice indotta 1E , si avrà:

fe

21

0 PER =

Attraverso R0 passa una componente di corrente p1I in quadratura con la corrente di magnetizzazione.

Trasformatore monofase La corrente I10 che percorre il parallelo R0 // X1m è detta corrente a vuoto del trasformatore, perché coincide con la corrente di primario quando la corrente di secondario è nulla. La corrente I10 non varia apprezzabilmente al variare del carico ed è composta da:

• la fondamentale della corrente di magnetizzazione I1m1 • la terza armonica della corrente di magnetizzazione, dovuta alla saturazione del nucleo. I1m3 • una componente di quinta armonica spesso trascurabile I15. • una componente alla frequenza fondamentale ma sfasata di 90° rispetto all’armonica fondamentale

dovuta alle perdite nel nucleo I1p.

Trasformatore monofase Circuito equivalente esatto del trasformatore monofase

t = =≠=

2

1

2

1

2

1

VV

EE

NN t’= Rapporto di trasformazione

p1m11210121 IIIIII ++=+=

⎩⎨⎧

+−−=

++=

22d2222

11d1111

EIjXIRVEIjXIRV

11

22

p101

m1m1111

ENNE

IREIjXNjjE

=

=

=== Φωλω

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