3.1 空间向量及其运算

3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算3.1.3 空间向量的数量积运算3.1.4 空间向量正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示

3.1.1 空间向量及其加减运算

(一 )知识与技能

1 ．了解空间向量的概念，掌握其表示方法 .2 ．掌握向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义 .3 ．能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的题．

（二）过程与方法经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，掌握其加减运算 .

（三）情感、态度与价值观体会类比的方法在认识事物过程中的作用 . 形成从易到难，从特殊到一般地认识事物的能力 . 形成二维平面向三维空间的转化，培养空间想象能力 .

( 一 ) 典例精析例 1 判断下列命题是否正确 .（ 1 ）空间中任意两个单位向量必相等；

（ 2 ） 0 无方向；（ 3 ）若空间向量 m 、 n 、 p 满足 m=n ， n=p ，则 m=p ；

（ 4 ）若空间向量 a 、 b 满足 |a|=|b| ，则 a=b ；

（ 5 ）两个空间向量相等，则它们的起点和终点均相同 .

【解析】（ 1 ）单位向量的模为 1 ，方向不一定相同，故此命题不正确 . （ 2 ） 0 也有方向，故此命题不正确 .（ 3 ）正确 .（ 4 ）只有两个向量的模相等，方向相同时才是相等向量，此命题不正确 .（ 5 ）起点和终点相同是两个向量相等的充分不必要条件，此命题不正确 .

【点评】熟练掌握空间向量的有关概念是解决该类问题的关键 .

例 2 化简： (AB － CD) － (AC － BD).

【解析】（方法 1 ） (AB － CD) － (AC － BD)=AB － CD － AC+BD=

AB +DC+CA+BD=(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0.

（方法 2 ） (AB － CD) － (AC － BD)=AB － CD － AC+BD=(AB － A

C)+

(DC － DB)=CB+BC=0.

【点评】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则 .遇到减法时既可转化成加法，也可按减法法则进行运算 .加减法之间可以转化 .

例 3 已知平行六面体 ABCD － A′B′C′D′ ，求证： AC+AB+AD=2AC′.

【证明】∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC=AB+AD ， AB′= AB+AA′ ， AD′=AD+AA′.∴AC+AB′+AD′=(AB+AD)+(AB+AA′)+(AD+AA′)=2(AB+AD +AA′).

又 AB+AD+AA′=AB+BC+CC′=AC+CC′=AC′. AC+AB′+∴AD′=2AC′

【点评】在本例证明过程中，应用了平行六面体的对角线向量 AC=AB +AD+AA′ ，此结论可以认为向量加法的平行四边形法则在空间的推广（即平行六面体法则） .

→ → → →

3.1.2 空间向量的数乘运算

(一 )知识与技能1 ．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，会进行向量的数乘运算 .2 ．理解直线的方向向量，会用向量表示空间的直线与平面 .3 ．理解共线向量定理和共面向量定理，会证明空间三点共线与四点共面问题 .

（二）过程与方法类比平面向量的数乘运算、共线向量定理，学习空间向量的数乘运算、共线向量定理，从而进一步研究空间向量的共面向量定理 .

（三）情感、态度与价值观体会类比的方法在认识事物过程中的作用 . 形成从易到难，从特殊到一般地认识事物的能力 . 形成二维平面向三维空间的转化，培养空间想象能力 .

( 一 ) 典例精析例 1 已知 ABCD － A′B′C′D′ 是平行六面体 .

（ 1 ）化简 AA′+BC+ AB ；

（ 2 ）设 M 是底面 ABCD 的中心， N 是侧面 BCC′B′ 的对角线 BC′

上的 分点，设 MN=xAB+y AD+zAA′ ，试求 x 、 y 、 z 的值 .

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43 → → → →

【解析】 (1) （方法 1 ）取 AA′ 的中点 E ，则 AA′ =EA′ ，又 BC=A′D′ ， AB=D′C′ ，取 F 为 D′C′ 的一个三等分点（ D′F

= D′C′ ），则 D′F= AB.

∴ AA′+BC+ AB=EA′+A′D′+D′F=EF.

（方法 2 ）取 AB 的三等分点 P ，使得 PB= AB ，取 CC′ 的中点 Q ，则 AA′+BC+ AB = CC′+ BC+ AB=CQ+BC+PB=PQ.

（ 2 ） MN=MB+BN= DB+ BC′= (DA+AB)+ (BC+CC′)

= ( － AD+AB)+ (AD+AA′)

= AB+ AD+ AA′.∴x= ， y= ， z= .

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→→

【点评】（ 1）本题第（ 1）小题是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法 .（ 2）用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是正确解题的关键 .一般寻找到以欲求向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧 .

例 2 已知四边形 ABCD 是空间四边形， E 、H 分别是边 AB 、 AD 的中点， F 、 G 分别是CB 、 CD 上的点，且 CF= CB ， CG=

CD ，求证：四边形 EFGH 是梯形 .

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【证明】∵ E 、 H 分别是边 AB 、 AD 的中点，∴ AE=

AB ，AH = AD ， EH=AH － AE= AD － AB=

(AD － AB)

= BD = ( CD － CB)= ( CG － C

F)= (CG － CF)= FG. ∴ EH∥FG 且 |EH|= |FG|

≠|FG| ，又 F 不在 EH 上，∴ 四边形 EFGH 是梯形 .

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【点评】用向量共线定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括共线的情况 .

例 3 已知斜三棱柱 ABC － A′B′C′ ，如图，设 AB=a ， AC=bAA′=c. 在面对角线 AC′ 和棱 BC 上分别取点 M 、 N ，使 AM=kAC′ ， BN=kBC （ 0≤k≤1 ），求证： MN 与向量 a 和 c 共面 .

【证明】 AM=kAC=kb+kc ， AN=AB+BN=a+kBC=a+k( － a+b)=(1 －k)a+kb. ∴ MN=AN － AM=(1 － k)a+kb － kb － kc=(1－ k)a － kc.∴MN 与向量 a 和 c 共面 .

【点评】要证明三个向量 a 、 b 、 c （ b 、 c 不共线）共面，就是证明存在一对实数 x 、 y 使 a=xb+yc 成立 . 也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用 b 、 c 表示 a ，若能用 b 、 c 表示 a ，就证明存在 x 、 y 使等式成立， a 、 b 、 c 就共面 .

3.1.3 空间向量的数量积运算

(一 )知识与技能1 ．掌握空间向量夹角的概念及表示方法 .2 ．掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律 .3 ．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单问题 .

（二）过程与方法类比平面向量的数量积，进而通过思考探究空间向量数量的概念、性质及其应用 .

（三）情感、态度与价值观通过本节课学习，进一步体会类比法在学习过程中的作用，反思怎样进行学习 .

( 一 ) 典例精析例 1 已知平行四边形 ABCD 中， AD=4 ， CD=3 ，∠ D=60° ， PA⊥平面 ABCD ，并且 PA=6 ，求 PC 的长 .

【解析】∵ PC=PA+AD+DC.∴PC2=(PA+AD+DC)2=PA2+AD2+DC2+2PA·AD+2PA·DC+2AD·DC=62+42+32+2|AD||DC|cos120°=61 － 12=49.∴|PC|=7 ，即 PC=7.【点评】求两点间的距离或某线段的长度，一般把此线段用向量表示，然后通过向量的自身数量积，由已知向量的模及向量间的夹角得模的平方，再开方即为所求 .

例 2 在三棱锥 D － ABC 中， DA⊥平面 ABC ，∠ ACB=90° ，∠ABD=30° ， AC=BC ，求异面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值 .

【解析】设 AC=a ， AB=b ， AD=c ， |a|=a ，则 |b|= a ， |c|= a ，CD=c － b ， |CD|= a ，∴ AB·CD=b·(c － a)=b·c － b·a=0 － a·acos45°= － a2 .

∴cos 〈 AB, CD 〉 =AB·CD|AB||CD|= － . AB∴ 与CD 所成角的余弦值为

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2

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1030

【点评】对于空间向量 a 、 b ，有 cos 〈 a,b 〉 = ，利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量夹角的取值范围为［ 0,π ］，而异面直线所成角的取值范围为 (0, ］，故当〈 a,b 〉∈ (0, ］时，它们相等，而当〈 a,b 〉∈ ( ， π) 时，它们互补 .

baba

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2

2

【证明】 ∵ OB=OC ， AB=AC ， OA=OA ，∴△ OAC OAB≌△ ，

∴∠AOC= AOB.∠

∵OA·BC=OA·(OC － OB)=OA·OC － OA·OB=|OA||OC|cos AOC∠

－|OA||OB|cos AOB=0∠ ，

∴OA BC.⊥

例 3 已知空间四边形 OABC 中， OB=OC ， AB=AC ，求证： OA BC.⊥

【点评】 a⊥ba·b=0 ，事实上，用向量法证线线垂直问题是向量的数量积的应用 .

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示

(一 )知识与技能

1．理解空间向量基本定理及其意义 .2．会用空间向量基本定理解决立体几何的简单问题 .3．掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 .

通过类比平面向量，学习空间向量的基本定理、正交分解及其坐标表

示 .（三）情感、态度与价值观通过本节课学习，进一步体会类比法在学习过程中的作用，反思怎样进行学习 .

( 一 ) 典例精析例 1 设 x=a+b ， y=b+c ， z=c+a ，且{a,b,c} 是空间的一个基底，试判断向量 x ， y ， z 能否构成空间的基 向量 .

【解析】（方法 1 ）设 x=my+nz ，则 a+b=na+mb+ （ m+n ） c ，∴ m=1 ， n=1 ， m+n=0 ，此时 m 、 n 的值不存在 . 即不存在 m 、n 使 x=my+nz ，即 x ， y ， z 不共面，∴ x ， y ， z 能构成空间的基向量 .

（方法 2 ）如图，设 a=AB ， b=AD ， c=AA1 ，则 x=AC ， y=AD1 ，z= AB 1 ，由 A 、 B1 、 C 、 D1 四点不共面，可知 x ，y ， z 也不共面，∴x ， y ， z 能构成空间的基向量 .

【点评】（ 1 ）能否构成空间向量的基底，即是判断给出的向量组中的三个向量是否共面 .（ 2）充分利用一些常见的几何体，如：正方体、长方体、平行六面体、四面体等可以帮助进行相关的判断 .

例 2 在空间四边形 OABC 中， G 、 H 分别是△ ABC 、△ OBC 的重心，设 OA=a ， OB=b ， OC=c ，试用向量 a 、 b 、 c 表示OG 和 GH【解析】设 BC 的中点为 D. 则 OG=OA+AG=OA+ AD=OA+ (OD

－ OA)= OA+ OD= OA+ · (OB+OC)=

(OA+OB+OC)

= (a+b+c).

GH=OH － OG= OD － OG= · (b+c)

－ (a+b+c)= － a.

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【点评】本例是向量基本定理的推论的应用，此推论意在用分解定理确定点的位置，它对于以后用向量方法解决几何问题很有用，选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决几何问题的一项基本功 .

例 3 已知 PA 垂直于正方形 ABCD 所在的平面， M 、 N 分别是 AB 、PC 的三等分点，且 |PN|=2|NC| ， |AM|=2|MB| ， PA=AB=1 ，求向量MN 的坐标 .

【解析】（方法 1 ）∵ PA=AB=AD=1 ， PA⊥平面 ABCD ， AD⊥AB ，∴可设 DA=i ， AB=j ， AP=k ，以 i 、 j 、 k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 .∵MN=MA+AP+PN= － AB+AP+ PC=－ AB+AP+ ( － AP+AD+AB)= AP+ AD= － i+ k.∴MN=( － ,0, ).

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【点评】（ 1）空间直角坐标系的建立必须寻求三条两两垂直的直线，在空间体几何体中不具备此条件时，建系后要注意坐标与空间体中相关直线的夹角 .（ 2）本题的答案不唯一，建立不同的空间直角坐标系，得到不同的坐标 .

（方法 2 ）设 DA=i ， AB=j ， AP=k ，以 i 、 j 、 k 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 . 过 M 作 ME AD∥ 交 CD 于 E.∵MN=ME+EN=AD+ DP= － DA+ (DA+AP)= － DA+ AP=

－ i+ k ，

∴MN=( － ,0, ).

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3.1.5 空间向量运算的坐标表示

(一 )知识与技能1 ．掌握空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算和坐标表示 .2 ．掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证明空间两个向量平行和垂直 .3 ．掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式 .

（二）过程与方法类比平面向量运算的坐标表示，进而通过思考探究空间向量运算的坐标表示及其应用 .

（三）情感、态度与价值观通过本节课学习，进一步体会类比法在学习过程中的作用，反思怎样进行学习 .

( 一 ) 典例精析例 1 已知 A 、 B 、 C 三点坐标分别为 (2, － 1,2) 、 (4,5, － 1) 、( － 2,2,3) ，求满足下列条件的 P 点坐标 .（ 1 ） OP= (AB － AC) ；

（ 2 ） AP =1(AB － AC).21

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【解析】 AB=(2,6, － 3) ， AC=( － 4,3,1) ， AB － AC=(6,3, － 4).

（ 1 ） OP= (6,3, － 4)=(3, , － 2) ，∴ P 点坐标为 (3, , － 2).

（ 2 ）设 P(x,y,z) ，则 AP=(x － 2,y+1,z － 2) ，又 AP= (AB － AC)

=OP=(3, , － 2) ，∴ x － 2=3 ， y+1= ， z － 2=

－ 2 ，即 x=5 ， y= ， z=0. P∴ 点坐标为 (5, ,0).

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【点评】关于向量坐标运算应熟记公式 .本题给出了求 P点坐标的两种情况，它们的区别在于：当向量始点不为原点时，求终点坐标需将位置向量的坐标加上始点坐标 .

例 2 已知 A(1,0,0) 、 B(0,1,0) 、 C(0,0,2).（ 1 ）若 DB AC∥ ， DC AB∥ ，求点 D 的坐标；

（ 2 ）是否存在实数 x 、 y ，使得 AC=xAB+yBC 成立，若存在，求 x 、y 的值 .【解析】（ 1 ）设 D(x,y,z) ，∴ DB=( － x,1 － y, － z) ， AC=( － 1,

0,2) ， DC=( － x, － y,2 － z) ， AB=( － 1,1,0).∵DB∥AC ， DC∥AB ，∴ － x － 1= － z2 ， 1 － y=0 ，－ x － 1= － y1 ， 2 － z=0 ，即 x=－ 1 ， y=1 ， z=2.∴ 点 D 的坐标为 ( － 1,1,2).

（ 2 ） AB=( － 1,1,0) ， AC=( － 1,0,2) ， BC=(0, － 1,2) ，若存在 x 、y 满足条件，则 ( － 1,0,2)=x( － 1,1,0)+y(0, － 1,2) ，即 ( － 1,0,2)=( － x,xy,2y) ，∴ － 1= － x 0=x － y

2=2y ， 解得 x=1y=1.∴ 存在实数 x=1 、 y=1 ，使得结论成立 .

【点评】（ 1 ）掌握好空间向量的坐标运算是顺利解决这类题目的关键 .（ 2 ）已知 a=(a1,a2,a3) ， b=(b1,b2,b3) ，则 a∥b （ b≠0 ） a

=λba1=λb1 ， a2=λb2 ， a3=λb3 （ λ∈R ） . 这一充要条件在解题中经常使用，要熟练掌握 .

【解析】（ 1 ） AB=( － 2, － 1,3) ， AC=(1, － 3,2).∴cos 〈 AB,

AC 〉= ，

∴sin 〈 AB,AC 〉 = .∴此平行四边形的面积S=|AB| |AC| sin AB,AC 〉 =7 .

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491914632

ACAB

ACAB

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例 3 已知空间三点 A(0,2,3) ， B( － 2,1,6) ， C(1, － 1,5).（ 1 ）求以 AB 、 AC 为邻边的平行四边形的面积；

（ 2 ）若 |a|= ，且 a 分别与 AB 、 AC 垂直，求向量 a.3

3

（ 2 ）设 a=(x,y,z) ，则 － 2x － y+3z=0 x － 3y+2z=0 x2+y2+z2=3 ，解得 x=1 x= － 1 y=1 或 y= － 1 z=1 z= － 1.∴a=(1,1,1) 或 a=( － 1, － 1, － 1).

【点评】利用向量的数量积及其坐标运算解决夹角、垂直等问题，充分突出了其工具性的特点，一定要熟练运用向量的坐标运算及数量积运算解题 .