3． 1． 2 空间向量的数量积运算

1 ．了解空间向量夹角的概念及表示方法．

2 ．掌握空间向量数量积的计算方法及应用．

3 ．能将立体几何问题转化为向量运算问题．

点 O ，作 OA＝ a， OB＝ b ，则 __________ 叫做向量 a， b 的夹角，

1 ．如图 3－ 1－ 6 ，已知两个非零向量 a， b ，在空间任取一→ →

记作 __________ ．

图 3－ 1－ 6

∠AOB

〈 a， b 〉

2．向量 a，b 的夹角〈a，b〉的范围是____________，当

〈a，b〉＝π2时，称___________________________，记作_______．

3．|a||b|cos〈a，b〉叫做______________________，记作

_________，即_________________________________________．

注意：a·a＝|a|2或|a|＝ a2.

[0 ， π]

向量 a ， b 互相垂直 a⊥b

a ， b 的数量积

a·b a·b ＝ |a||b|cos 〈 a ， b 〉

4 ．空间向量的数量积满足以下运算律：

(1)(λa)·b＝ __________.

(2)a·b＝ __________.

(3)a·(b＋ c)＝ ______________.

注意：一般情况下 (a·b)·c 与 a·(b·c) 是不相等的．

5 ．线线垂直．

若 a， b 是非零向量，则 a⊥b⇔__________.

λ(a·b)

b·a

a·b＋ a·c

a·b ＝ 0

【要点】利用数量积求夹角与长度．

【剖析】根据空间向量数量积的定义：a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，

那么空间两个非零向量 a，b的夹角的余弦 cos〈a，b〉＝a·b

|a||b|，

这个公式在今后的求解及证明中应用很广泛；在空间两个向量

的数量积中，特别地，a·a＝|a||a|·cos0°＝|a|2，所以向量 a的模

|a|＝ a2，将其推广：|a±b|＝ a±b2＝ a2±2a·b＋b2，|a＋b＋c|

＝ a＋b＋c2＝ a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a.

(1)AB·AC； (2)AD·BD； (3)GF·AC.

题型 1 求向量的数量积

例 1 ：如图 3－ 1－ 7 ，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对

角线长都等于 a ，点 E， F， G 分别是 AB， AD， DC 的中点，求

下列向量的数量积：

→ → → → → →

图 3－ 1－ 7

思维突破：在图形中求向量的数量积时注意观察向量的方

向，正确求出其夹角，如此题中〈GF→ ，AC→ 〉＝π，而不是 0.

自主解答：(1)∵ |AB→ |＝|AC→ |＝a，〈AB→，AC→ 〉＝60°，

∴ AB→ ·AC→ ＝a·acos60°＝12a2.

(2)∵ |AD→ |＝a，|BD→ |＝a，〈AD→ ，BD→ 〉＝60°，

∴ AD→ ·BD→ ＝a·acos60°＝12a2.

(3)∵ |GF→ |＝12a，|AC→ |＝a，又GF→ ∥ AC→ ，

∴ 〈GF→ ，AC→ 〉＝π.

∴ GF→ ·AC→ ＝12a·acosπ＝－

12a2.

【变式与拓展】

则 a·b＋ b·c＋ c·a＝ ( )

A． 1.5 B ．－ 1.5 C． 0.5 D ．－ 0.5

1．在边长为 1的正三角形ABC中，设BC→＝a，AB→＝c，AC→＝b，

C

解析：∵ BC→ ＝a，AB→＝c，AC→ ＝b，

∴ |a|＝|b|＝|c|＝1.

且〈a，b〉＝2π3，〈b，c〉＝

π3，〈c，a〉＝

2π3，

∴ a·b＝12，b·c＝

12，c·a＝－

12.

∴ a·b＋b·c＋c·a＝12.

PC 的自身数量积，由已知向量的模及向量间的夹角，得其模的

题型 2 求线段的长度例 2 ：已知在▱ ABCD 中， AD＝ 4， CD＝ 3 ，∠ D＝ 60° ，

PA ⊥平面 ABCD ，并且 PA ＝ 6 ，求 PC 的长．

思维突破：求 PC 的长，先把 PC 转化为向量，然后求向量

→

平方，再开方即为所求．

自主解答：∵ PC→ ＝PA→＋AD→ ＋DC→ ，

∴ |PC→ |2＝(PA→＋AD→ ＋DC→ )2

＝PA→ 2＋AD→ 2＋DC→ 2＋2PA→ ·AD→ ＋2AD→ ·DC→ ＋2DC→ ·PA→

＝62＋42＋32＋2|AD→ |·|DC→ |cos120°＝61－12＝49.

∴ PC＝7.

求 |PC|.

【变式与拓展】

2 ．已知 PA ⊥平面 ABC ，∠ ABC＝ 120°， PA＝ AB＝ BC＝ 6 ，→

解：∵ PC→ ＝PA→＋AB→＋BC→ ，

∴ |PC→ |2＝(PA→＋AB→＋BC→ )2

＝PA→ 2＋AB→ 2＋BC→ 2＋2PA→ ·AB→＋2AB→ ·BC→ ＋2BC→ ·PA→

＝62＋62＋62＋2|AB→ |·|BC→ |cos60°＝108＋36＝144.

∴ PC＝ 144＝12.

题型 3 向量的夹角问题

例 3 ：如图 3－ 1－ 8 ，在空间四边形 OABC 中， OA＝ 8， AB＝ 6 ，

AC＝ 4， BC＝ 5 ，∠ OAC＝ 45° ，∠ OAB＝ 60° ，求 OA 与 BC 夹角

的余弦值．

图 3－ 1－ 8

思维突破：利用数量积求 cos〈OA→，BC→〉时，必须先求出两

向量的数量积OA→ ·BC→及向量的模|OA→ |，|BC→ |，才能求出 cos〈OA→，BC→〉，

从中求得向量夹角．

自主解答：∵ BC→ ＝AC→ －AB→，

∴ OA→ ·BC→ ＝OA→ ·AC→ －OA→ ·AB→

＝|OA→ |·|AC→ |·cos〈OA→ ，AC→ 〉－|OA→ |·|AB→ |·cos〈OA→ ，AB→〉

＝8× 4× cos135°－8× 6× cos120°＝24－16 2.

∴ cos〈OA→ ，BC→ 〉＝OA→ ·BC→

|OA→ |·|BC→ |

＝24－16 2

8× 5＝

3－2 25 .

∴ OA与 BC夹角的余弦值为3－2 2

5 .

【变式与拓展】

3 ．如图 3－ 1－ 9 ，在平行六面体 AC′ 中，∠ B′BA ＝

∠B′BC ＝∠ ABC＝ 60°， AB＝ 1， AD＝ 2， AA′＝ 3 ，求 A′D

与 D′C 所成的角的余弦值．

图 3－ 1－ 9

解：根据平行四边形法则，有A'D→ ＝A'A→ ＋AD→，D'C→ ＝A'B'→ ＋A'A→ ，

∴ A'D→ ·D'C→ ＝ (A'A→ ＋A'D'→ )·(A'B'→ ＋A'A→ )＝A'A→ ·A'B'→ ＋A'A→ ·A'A→ ＋

A'D'→ ·A'B'→ ＋A'D'→ ·A'A→ ＝3× cos60°＋3× 3× cos0°＋2× cos120°＋

2× 3× cos120°＝132，又根据余弦定理，得|A'D→ |＝ 7，|D'C→ |＝ 13，

∴ cos〈A'D→ ，D'C→ 〉＝A'D→ ·D'C→

|A'D→ ||D'C→ |＝

132

7× 13＝

9114 .

∴ 所求角的余弦值是91

14 .